第四部分 图形的平移翻折与旋转
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第四部分图形的平移翻折与旋转
4.1图形的平移
例1 2014年江西省中考第11题
如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC方向平移2个单位后，得到△A′B′C′，联结A′C，则△A′B′C的周长为_______．
动感体验
请打开几何画板文件名“14江西11”，拖动点B′运动，可以体验到，△A′B′C′向右移动2个单位后，△A′B′C是等边三角形．
答案12．
4.2图形的翻折
例1 2014年上海市中考第18题
如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE 交于点G．设AB＝t，那么△EFG的周长为______________（用含t的代数式表示）．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14福州10”，拖动点F在AD上运动，可以体验到，当点C′、D′、B在同一条直线上时，直角三角形BCE的斜边BE等于直角边C′E的2倍，△BCE是30°角的直角三角形，此时△EFG是等边三角形（如图2）．
答案．思路如下：如图2，等边三角形EFG的高＝AB＝t．
图2
例2 2014年无锡市中考第18题
如图1，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点，则PE＋PF的最小值是______．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14无锡18”，拖动点P在CD边上运动，点B′与点B关于直线CD对称，可以体验到，当点P与点D重合时，P A＋PB′取得最小值，此时PE＋PF也取得最小值．
答案3．思路如下：如图3，点B′与点B关于直线CD对称，正好A、D、B′三点共线，AB′＝6．如图2，P A＋PB′总是大于AB′的．
所以当点P与点D重合时，P A＋PB′的最小值为6．
此时PE＋PF的最小值为6－3＝3．
图2 图3
4.3图形的旋转
例1 2014年上海市黄浦区中考模拟第18题
如图1，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AC上一点，且AD＝3，如果△ABD绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，点D旋转至D'，那么线段DD'的长为．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14黄浦18”，拖动点B'绕点A逆时针旋转，可以体验到，两个等腰三角形ABB'与等腰三角形ADD'保持相似（如图2）．
答案12
5
．思路如下：如图3，由△ABC∽△ADD'，可得．5∶4＝3∶DD'．
图2 图3
例2 2014年上海市长宁区中考模拟第17题
如图1，点D是等腰△ABC的底边AB上的点，若AC＝BC且∠ACB＝100°，将△ACD绕点C逆时针旋转，使它与△BCD′重合，则∠D′BA=度．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14长宁17”，拖动点A′绕点C逆时针旋转，可以体验到，
△CA′D′与△CAD保持全等．当A′与B重合后，再拖动点D，发现D的位置对∠D′BA的大小没有影响（如图2，图3）．
答案80°．
图2 图3
4.4三角形
例1 2014年泰州市中考第16题
如图1，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ＝AE，则AP的长等于__________cm．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14泰州16”，拖动点P在AD上运动，观察度量值，可以体验到，存在两个时刻PQ＝AE．
答案1或2．思路如下：如图2，当PQ＝AE时，可证PQ与AE互相垂直．
在Rt△ADE中，由∠DAE＝30°，AD＝3，可得AE＝．
在Rt△APM中，由∠P AM＝30°，AM AP＝2．
在图3中，∠ADF＝30°，当PQ＝DF时，DP＝2，所以AP＝1．
图2 图3
4.5四边形
例1 2014年广州市中考第8题
将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2．当∠B＝60°时，如图2，AC等于（）．
(B)2；
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“14广州08”，拖动点A绕着点B旋转，可以体验到，当∠B＝90°时，△ABC 是等腰直角三角形；当∠B＝60°时，△ABC是等边三角形（如图3）．
答案(A)．思路如下：
4.6圆
例1 2014年温州市中考第16题
如图1，在矩形ABCD中，AD＝8，E是AB边上一点，且AE＝1
4
AB，⊙O经过点E，与边CD所在
直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线相交于另一点F，且EG∶EF2．当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是________．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14温州16”，拖动点B运动，可以体验到，⊙O的大小是确定的，⊙O既可以与BC相切（如图3），也可以与AD相切（如图4）．
答案12或4．思路如下：
如图2，在Rt△GEH中，由GH＝8，EG∶EF2，可以得到EH＝4．
在Rt△OEH中，设⊙O的半径为r，由勾股定理，得r2＝42＋(8－r)2．解得r＝5．
设AE＝x，那么AB＝4x．
如图3，当⊙O与BC相切时，HB＝r＝5．
由AB＝AE＋EH＋HB，得4x＝x＋4＋5．解得x＝3．此时AB＝12．
如图4，当⊙O与AD相切时，HA＝r＝5．
由AE＝AH－EH，得x＝5－4＝1．此时AB＝4．
图2 图3 图4
例2 2014年徐州市中考第17题
如图1，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆和小圆的半径分别为3和1，若⊙P 与这两个圆都相切，则⊙P 的半径为_______．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14徐州17”，拖动圆心P 运动，可以体验到，⊙P 与大圆内切的同时，既可以与小圆外切（如图2），也可以与小圆内切（如图3）．
答案 1或2．
图2 图3
4.7函数图像的性质
例1 2014年苏州市中考第18题
如图1，直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB ⊥l ，垂足为B ，联结P A ．设P A ＝x ，PB ＝y ，则(x －y )的最大值是_____．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14苏州18”，拖动点P 在圆上运动一周，可以体验到，AF 的长可以表示x －y ，点F 的轨迹象两叶新树丫，当AF 最大时，OF 与AF 垂直（如图2）．
答案 2．思路如下：如图3，AC 为⊙O 的直径，联结PC ．
由△ACP ∽△P AB ，得
AC PA AP PB =
，即8x x y =．所以21
8
y x =． 因此22
11(4)288
x y x x x -=-=--+．
所以当x ＝4时，x －y 最大，最大值为2．
图2 图3
例2 2014年烟台市中考第12题
如图1，点P是平行四边形ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设点P经过的路径长为x，△BAP的面积为y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图像是（）．
图1
(A) (B) (C) (D)
动感体验
请打开几何画板文件名“14烟台12”，拖动横轴上表示实数x的点运动，可以体验到，y随x变化的函数图像是（A）．
答案(A)．思路如下：事实上，当P在AD或BC边上时（如图2，图4），△ABP都是等高三角形，y是x 的一次函数；当P在CD上时，△ABP是同底等高的三角形，面积不变（如图3）．
图2 图3 图4。
