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第3讲-置信区间估计ppt课件

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区间估计 (3)ppt课件

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当两样本为成对资料时，在置信度为P＝1- α 时，两总体平均数差数µ 1-µ 2的置信区间可估 计为：
0+1.96x
临界值
u x
P ( 1 . 96 x 1 . 96 ) 0 . 95 x x
P ( x 1 . 96 ) P ( x 1 . 96 ) 0 . 05 x x


P ( 2 . 58 x 2 . 58 ) 0 . 99 x x
当为大样本时，不论总体方差σ2为已 知或未知，可以利用样本平均数 x 和总体 方差σ2作出置信度为P＝1-α的中体平均数 的区间估计为：
( L x u , L x u ) 1 2 x x
其置信区间的下限L1和上限L2为
L u 1 x x
L u 2 x x
总体平均数的点估计L为：
L x tsx
tа为正态分布下置信度P＝1－ α时的t临界值
蛋白质含量的点估计为：
L x u 14 . 5 1 . 96 0 . 50 14 . 5 0 . 98 x
说明小麦蛋白质含量有95％的把握落在13.52％～ 15.48％的区间里。

P ( x 2 . 58 ) P ( x 2 . 58 ) 0 . 01 x x


P ( x 1 . 96 x 1 . 96 ) 0 . 95 x x
P ( x 2 . 58 x 2 . 58 ) 0 . 99 x x
总体平均数的点估计未知时，
σ2需由样本方差s2来估计，于是置信度为P
＝1-α的总体平均数μ的置信区间可估计为
( x t s , x t s ) x x

SPSS课程PPT( 置信区间估计)

SPSS课程PPT( 置信区间估计)

若 X1 , X 2 ,, X n 为来自X 的样本，
假设总体X 的前k 阶矩存在 ,
且均为 1 , 2 ,, k 的函数 即 ,
8
l E ( X ) x f ( x;1 , 2 ,, k )dx (X为连续型)
l l

或 l E ( X l x 6 (0 75 1 90 2 54 3 22 250 nk 4 6 5 2 6 1) 1.22. k 0
knk k 0
6
故 E ( X ) 的估计为1.22 .
5
点估计问题的一般提法 设总体 X 的分布函数 F ( x; )的形式为已

ˆ 这样得到的 与样本值 x1 , x2 ,, xn有关, 记为 ˆ ( x1 , x2 ,, xn ), 参数 的最大似然估计值 ,
ˆ ( X 1 , X 2 ,, X n ) 参数 的最大似然估计量.
22
( 2) 设总体 X 属连续型
似然函数的定义
设概率密度为 f ( x; ), 为待估参数, , ( 其中 是 可能的取值范围 )
1 E ( X ) x

2

1

2
e ( x ) / dx ,
2 E( X ) x

1

e ( x ) / dx 2 2 ( ).
分别以一阶、二阶样本矩 A1 , A2
代替上两式中的 1 , 2 , 有
14
例4
设总体 X 在[0, ]上服从均匀分布, 其中
( 0) 未知, ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是来自总体 X 的样本, 求 的估计量.

区间估计ppt课件

区间估计ppt课件

极端值处理问题
剔除极端值
在数据分析前，对极端值进行识别和处理，如采用箱线图、Zscore等方法剔除异常值。
转换数据
对数据进行适当的转换，如对数转换、平方根转换等，使极端值的 影响减小。
使用稳健统计量
采用对极端值不敏感的稳健统计量进行区间估计，如中位数、截尾 均值等。
多重比较问题
控制比较次数
在实验设计和数据分析阶段，合理控制比较次数，避免不必要的 多重比较。
02
抽样分布与中心极限定理
抽样分布概念及类型
抽样分布概念
从总体中随机抽取一定数量的样本，统计量的分布称为抽样分布。
常见抽样分布类型
正态分布、t分布、F分布、卡方分布等。
中心极限定理内容及应用
中心极限定理内容
当样本量足够大时，无论总体分布如何，样本均值的分布将近似于正态分布。
中心极限定理应用
在统计学中，中心极限定理是推断统计的理论基础，常用于区间估计、假设检验 等。
构造方法
根据样本均值、标准差和样本量，结 合正态分布或t分布的性质，可以构造 出总体均值的置信区间。
比例p置信区间构建方法
二项分布与比例估计
01
当总体服从二项分布时，样本比例是总体比例的一个良好估计
量。
置信区间的构造
02
利用样本比例、样本量和二项分布的性质，可以构造出总体比
例的置信区间。
注意事项
03
配对样本t检验原理及应用
原理
配对样本t检验是通过比较同一组样本在不同条件下的均值差异来检验两个总体均值是否存在显著差 异的方法。其原假设为两个总体均值相等，备择假设为两个总体均值不等或大于/小于另一个总体均 值。
应用
配对样本t检验适用于前后测量、两种处理方法等配对设计的数据分析。例如，在医学领域，可以通过 配对样本t检验来比较同一种药物在不同剂量下的疗效差异；在教育领域，可以通过配对样本t检验来 比较同一种教学方法在不同班级中的教学效果差异。

03 第三节 置信区间

03 第三节 置信区间

第三节 置信区间前面讨论了参数的点估计, 它是用样本算出的一个值去估计未知参数. 即点估计值仅仅是未知参数的一个近似值, 它没有给出这个近似值的误差范围.例如, 在估计某湖泊中鱼的数量的问题中, 若根据一个实际样本, 利用最大似然估计法估计出鱼的数量为50000条, 这种估计结果使用起来把握不大. 实际上, 鱼的数量的真值可能大于50000条, 也可能小于50000条.且可能偏差较大.若能给出一个估计区间, 让我们能较大把握地(其程度可用概率来度量之)相信鱼的数量的真值被含在这个区间内, 这样的估计显然更有实用价值.本节将要引入的另一类估计即为区间估计, 在区间估计理论中, 被广泛接受的一种观点是置信区间, 它由奈曼(Neymann)于1934年提出的.内容分布图示★ 引言 ★ 置信区间的概念★ 例1 ★ 例2★ 寻求置信区间的方法 ★ 例3 ★ )10(-分布参数的区间估计 ★ 例4 ★ 单侧置信区间★ 例5 ★ 例6★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-3内容要点：一、置信区间的概念定义1 设θ为总体分布的未知参数, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本, 对给定的数)10(1<<-αα, 若存在统计量),,,,(),,,,(2121n n X X X X X X θθθθ==使得,1}{αθθθ-=<<P则称随机区间),(θθ为θ的α-1双侧置信区间, 称α-1为置信度, 又分别称θ与θ为θ的双侧置信下限与双侧置信上限.注: 1. 置信度α-1的含义: 在随机抽样中, 若重复抽样多次, 得到样本n X X X ,,,21 的多个样本值),,,(21n x x x , 对应每个样本值都确定了一个置信区间),(θθ, 每个这样的区间要么包含了θ的真值, 要么不包含θ的真值. 根据伯努利大数定理, 当抽样次数充分大时, 这些区间中包含θ的真值的频率接近于置信度(即概率) α-1, 即在这些区间中包含θ的真值的区间大约有)%1(100α-个,不包含θ的真值的区间大约有%100α个. 例如, 若令95.01=-α, 重复抽样100次, 则其中大约有95个区间包含θ的真值, 大约有5个区间不包含θ的真值.2. 置信区间),(θθ也是对未知参数θ的一种估计, 区间的长度意味着误差, 故区间估计与点估计是互补的两种参数估计.3. 置信度与估计精度是一对矛盾.置信度α-1越大, 置信区间),(θθ包含θ的真值的概率就越大, 但区间),(θθ的长度就越大, 对未知参数θ的估计精度就越差. 反之, 对参数θ的估计精度越高, 置信区间),(θθ长度就越小, ),(θθ包含θ的真值的概率就越低, 置信度α-1越小. 一般准则是: 在保证置信度的条件下尽可能提高估计精度.二、寻求置信区间的方法寻求置信区间的基本思想: 在点估计的基础上, 构造合适的函数, 并针对给定的置信度导出置信区间.一般步骤:(1) 选取未知参数θ的某个较优估计量θˆ;(2) 围绕θˆ构造一个依赖于样本与参数θ的函数);,,,,(21θn X X X u u =(3) 对给定的置信水平α-1,确定1λ与2λ,使,1}{21αλλ-=≤≤u P通常可选取满足2}{}{21αλλ=≥=≤u P u P 的1λ与2λ，在常用分布情况下, 这可由分位数表查得;(4) 对不等式作恒等变形化后为αθθθ-=≤≤1}{P , 则),(θθ就是θ的置信度为α-1的双侧置信区间。

概率论区间估计PPT课件

概率论区间估计PPT课件

2
(n
1)
第23页/共25页
作业 P131 5，7，8，9，14，15*
预习 第10章 1~5节
第24页/共25页
感谢您的观看！
第25页/共25页
（1）方差已知，对均值的区间估计
构造U-统计量，反查标准正态分布表， 确定U的双侧分位数
u 2
得EX的区间估计为
X
u
2
,
n
X u 2
n
第18页/共25页
小结
总体服从正态分布的均值或方差的区间估计 假设置信水平为1- （2）方差未知，对均值的区间估计
构造T-统计量，查t-分布临界值表， 确定T的双侧分位数
5
第1页/共25页
可以认为该种灯泡的使用寿命在1473.4个单位时间左右， 但范围有多大呢？又有多大的可能性在这“左右”呢？
如果要求有95%的把握判断在1473.4左右，则由U统计 量可知
U X ~ N 0,1
n
由
P
X
0.95
n
查表得 1.96
0.95
X 1.96 X 1.96
由 X
构造T-统计量
~ t(n 1)
Sn
T X
Sn
当置信水平为1-时，由
P T t 2(n 1) 1
查t-分布表确定
t 2 (n 1)
从而得的置信水平为1-的置信区间为
X
S n
t
2
(n
1) ,
X
S n
t
2
(n
1)
第9页/共25页
例3 某厂生产的一种塑料口杯的重量X被认为服从正态 分布，今随机抽取9个，测得其重量为（单位：克）： 21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3， 21.6。试用95%的置信度估计全部口杯的平均重量。

3-33区间估计-PPT课件

3-33区间估计-PPT课件

解：已知Ｘ~N(，102)，n = 25, 1- = 95%， u1-/2=1.96。根据样本数据计算得： 。由于是正态总体，且方差已知。总 x 105 . 36 体均值 在 1- 置信水平下的置信区间为
xu 1 2
Байду номын сангаас
10 105 .36 1 .96 n 25 105 .36 3 .92 101 .44 ,109 .28
2 2 ( n 1 ) S ( n 1 ) S 2 , 2 ( n 1 ) ( n 1 ) 1 2 2 注：两边开方即得到 的置信区间
( 3 )
(4) 当 已知时, 方差 2 的 置信区间（这种情况在实际中很少 ） 2 n X 2 i ~ (n ) ， 由概率 取枢轴量 Q
α(0< α <1)，对任意的θΘ,有
ˆ P { } 1 L
则称 ˆ L 是θ 的置信水平为 1- α的(单侧)置信下限.
ˆ ˆ( 定义4: 设 是统计量, 若对给定的 ,..., X ) U UX 1 n
α(0<α<1), 对任意的θΘ, 有
ˆ} P { 1 U
总体方差的区间估计 (例题分析)
【例 3 】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从 某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量 如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以 95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间 。
解:已知n＝25，1-＝95% ,根据样本数据计算得 s2 =93.21
投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁
五. 总体比率的置信区间 (大样本)
• 总体比率 Population Proportion : p ˆ • 样本比率 Sample Proportion: p 如果是大样本，则：

置信区间(详细定义及计算)-置信区间公式42页PPT

置信区间(详细定义及计算)-置信区间 公式
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——

置信区间PPT精选文档

9
单样本区间应用－1
• 注塑模压机生产的产品外壳形状直接影响产 品外壳组装。
• 对于上壳的直径目标值为10.88cm，判断其 中设备A所加工的上壳直径平均高度与目标值 是否相同。也就是说，在置信度α=0.05的条件 下，A所模压出产品直径的总体平均值的置信 区间是否包含目标值。
• 抽取模压机A加工的10个外壳并测得直径为： 10.88 10.89 10.87 10.89 10.89 10.86 10.88 10.87 10.86 10.88
10
单样本区间应用－1
• 计算样本数据的均值与标准差
n10 x10.8σ ˆ70 7.0116
• 样本计算的平均值与目标值存在差异， 进一步分析其差异是偶然因素还是特殊 因素造成的。
10.89 10.88
10.87
10.86
设备A
11
单样本区间应用－1
• 计算置信区间
由于σ未知，套用前单元的公式：
置信区间计算公式
备注
（ x y
2
2 1
n1
2 2
n2
，x y
2
2 1
2 2
）
n1 n2
（ x y t SW
2
11 n1 n2
，x y t SW
2
11 ） n1 n2
其中： SW
( n1
1) s12
(n2
1)
s
2 2
n1 n2 2
σ1， σ2 为 总 标 准 差
n1， n2 为 样 本 容 量
置信区间为：
(x snt2 , x snt2)
(10.8770.01162.262, 10.8770.01126.26)2

第3讲(置信区间)


Hanson Wang
生源的困惑：合理吗？
地区 A B C D E 总数 人口总数 （万） 5,000 3,000 1,000 10,000 7 000 7,000 26,000 实际招 生人数 480 300 200 800 300 2,080 每百万人 招生人数 9.6 10.0 20.0 8.0 43 4.3 8.0
Hanson Wang
95%C.I.byMBA y
1 0.95 0.05 / 2 0.025 z1 / 2 z0.975 0 975 1.96
MBA No Yes
n 944 942
Mean -0.27 -0 00 -0.00
SD 9.58 9 90 9.90
95% CI -2.84~2.08 -0 90~0 65 -0.90~0.65 -0.67~0.55 -1.57~0.92 -8.65~4.61
Hanson Wang
95%C.I.byGender y
1 0.95 0.05 / 2 0.025 z1 / 2 z0.975 0 975 1.96
P x 2 SE , x 2 SE P x 2 SE x P 2 Z 2 95.4% SE
Hanson Wang
ConfidenceInterval(C.I.)
Q For an arbitrarily Q: yg given constant , can we find a constant (denoted by z* ), such that
Hanson Wang
TheEstimationError
Exp 1 2 3 4 5 6 n 15 89 363 658 542 219 Mean 2 71 2.71 -1.12 0.71 0.09 -0.77 -0.45 SD 9 63 9.63 9.38 9.77 9.62 9.93 9.69 SE 2 49 2.49 0.99 0.51 0.38 0.43 0.66 Possible Range -2.26~7.69 2 26 7 69 -3.11~0.87 -0.32~1.74 0.32 1.74 -0.66~0.84 -1.62~0.09 -1.76~0.86

第3讲-置信区间估计ppt课件

3 0.765 1.638 2.353
.05
t值
0 2.920
t
s已知的区间估计例
一个随机样本 n = 25 有 X = 50 和 s = 8. m 的95% 的置信区间估计.
S X ta/2,n1 n
8 50 2 .0639 25
S X ta/2,n1 n
50 2 .0639 8 25
第3讲-置信区间估计
本讲内容
s 已知的均值的区间估计 s 未知的均值的区间估计 比例的区间估计 有限总体的情形 样本大小估计
一个引例
董事长：刘经理，下月我们的销售额估计会有多少？ 刘经理：2400万元左右。 董事长(很疑惑的表情）：左右？左右多少啊？ 刘经理：大概2000万元到2800万元之间。 董事长：你有多大的把握？ 刘经理：90%。 董事长满意的笑了。
区间估计的整体思路
总体
均值, m, 未知 样本
随机样本
均值 X = 50 我有 95% 的置 信度认为 m 在 40和60之间.
总体参数估计
估计总体 参数... 均值 比例 方差 总体均值差 样本 统计
m p s2
m1 - m 2
_
X
p
_ _ x - x
1
s
2 2
区间估计

提供参数值的变化范围 以一个样本的观察为基础 给出对总体参数的接近程度的信息 用概率形式来表示的 不是 100% 确定
2 2
2
2
置信区间估计
置信区间
均值
比例
s 已知
s 未知
比例的置信区间估计
假设 两类结果 总体服从二项分布 可以使用正态近似 置信区间估计
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第3讲-置信区间估计
本讲内容
s 已知的均值的区间估计 s 未知的均值的区间估计 比例的区间估计 有限总体的情形 样本大小估计
一个引例
董事长：刘经理，下月我们的销售额估计会有多少？ 刘经理：2400万元左右。 董事长(很疑惑的表情）：左右？左右多少啊？ 刘经理：大概2000万元到2800万元之间。 董事长：你有多大的把握？ 刘经理：90%。 董事长满意的笑了。
p ( 1 p ) p ( 1 p ) s s s s p Z p p Z s a / 2 s a / 2 n n
0 . 08 ( 1 0 . 08 ) 0 . 08 ( 1 0 . 08 ) 0 . 08 1 . 96 p 0 . 08 1 . 96 400 400
m
练习

P199 11～12 P200 16~20
样本容量的确定问题
太大: 需要太多的公 司资源
太小:
效果就会不 好
均值的样本大小举例
90% 的置信度，误差在± 5 的样本大小为多少？ 其中试验的标准方差为 45.
Z s 1 .645 45 n 219.2 @ 220 2 2 Error 5
练习

P205 31~32,35,36 P206 40
估计比例的样本大小举例
90% 的置信度，误差在± 5 的样本大小为多少？ 其 中在总体的 1,000, 个元素中随机选了100 个中有 30 个 是次品.
Z p ( 1 p )1 . 645 (. 30 )(. 70 ) n 227 . 3 2 2 error . 05
2 2
2
2
置信区间估计
置信区间
均值
比例
s 已知
s 未知
比例的置信区间估计
假设 两类结果 总体服从二项分布 可以使用正态近似 置信区间估计
p 1 p s( s) p Z s a /2 n

p
p 1 p s( s) p Z s a/2 n
估计比例举例
一个有 400 投票人的样本表明有 32 偏向于选候 选人A. 95% 的置信区间估计比例 p.
估计的元素
总体参数在区间内某处的概率
置信区间
样本统计
置信下限
置信上限
总体均值的置信限
总体参数 = 样本统计 ± Its Error
X m
mX
Error
m X
= Error =
X m
Z
sX
Error
sX
x
Error
Zs
m X Z sX
置信水平
区间包含未知的总体参数的概率 记 (1 - a) % = 置信水平
如：90%, 95%, 99%
a 是区间不包含参数的概率
置信区间和置信水平
均值的样本 分布
a/2
1-a
s_ x
a/2
区间形式
mX m
X
_
XZ sX
到
(1 - a) % 的 概率区间包 含了 m. a % 不包含. 置信区间
XZ sX
置信区间估计
置信区间
均值
比例
s 已知
s 未知
置信区间（σ 已知）
2 2
@
228
当不知p的计划值时

可采用p=0.5来估计样本容量
练习

P205 33 34 39
本讲小结
介绍了建立总体均值和总体比例的置信区间估计
的方法
概括了建立总体均值置信区间的程序，提供了计
算区间估计的实际指南
算区间估计的实际指南
概括了建立总体比例置信区间的程序，提供了计
简单介绍如何确定样本容量的方法

假设

总体的标准方差已知 总体是正态分布 如果不是正态分布，使用大样本
置信区间估计
s s m X Za/2 X Za/2 n n
例
CJW问题，我们来求95%的置信区间。 置信系数1-α=0.95,α=0.05 样本均值=82,σ=20,n=100 Zα/2=Z0.025=1.96 置信区间
3 0.765 1.638 2.353
.05
t值
0 2.920
t
s已知的区间估计例
一个随机样本 n = 25 有 X = 50 和 s = 8. m 的95% 的置信区间估计.
S X ta/2,n1 n
8 50 2 .0639 25
S X ta/2,n1 n
50 2 .0639 8 25
20 821.96 100
82 3 . 92
练习

P193 1-10题
置信区间估计
置信区间
均值
比例
s 已知
s 未知
置信区间（σ未知）
假设 总体的标准方差σ未知 总体必须是正态分布 使用 t 分布


置信区间估计 S X ta/2,n1 n
m
X ta/2,n1
区间估计的整体思路
总体
均值, m, 未知 样本
随机样本
均值 X = 50 我有 95% 的置 信度认为 m 在 40和60之间.
总体参数估计
估计总体 参数... 均值 比例 方差 总体均值差 样本 统计
m p s2
m1 - m 2
_
X
p
_ _ x - x
1
s
2 2
区间估计

提供参数值的变化范围 以一个样本的观察为基础 给出对总体参数的接近程度的信息 用概率形式来表示的 不是 100% 确定
S n
学生 t-分布
标准正态分布 钟形 t (df = 13)
对称
平坦
t (df = 5)Байду номын сангаас
0
Z t
学生t-分布表
a/2
试验区域
df .25 .10
假定: n = 3
df = n - 1 = 2 a = .10 a/2 =.05
.05
1 1.000 3.078 6.314
2 0.817 1.886 2.920