-2021年中考数学二轮专题突破 专题四 规律探究题

【九年级】2021年全国中考数学规律探索试题汇编山（2021•威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（?1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2021的坐标为（0，?2）．考点：中心对称；规律型：点的坐标．专题：规律型．分析：计算出前几次跳跃后，点P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7的坐标，可得出规律，继而可求出点P2021的坐标．解答：解：点P1（2，0），P2（?2，2），P3（0，?2），P4（2，2），P5（?2，0），P6（0，0），P7（2，0），从而可得出6次一个循环，∵ =503…3，∴点P2021的坐标为（0，?2）．故答案为：（0，?2）．点评：本题考查了中心对称及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标，总结出一般规律．.（2021• 潍坊）当白色小正方形个数等于1,2，3…时，由白色小正方形和和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于_____________.（用表示，是正整数）（2021• 淄博）如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2021个格子中的整数是.－4abc6b－2…（2021•湖州）将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是85 ．考点：规律型：数字的变化类．分析：先根据第一行的第一列与第二列相差2，往后分别相差3，4，5，6，7，第二行的第一列与第二列相差3，往后分别相差4，5，6，7，第三行的第一列与第二列相差4，往后分别相差5，6，7，8，由此得出第七行的第一列与第二列分别相差8，往后分别相，9，10，11，12，13，从而求出答案．解答：解：第一行的第一列与第二列差个2，第二列与第三列差个3，第三列与第四列差个4，…第六列与第七列差个7，第二行的第一列与第二列差个3，第二列与第三列差个4，第三列与第四列差个5，…第五列与第六列差个7，第三行的第一列与第二列差个4，第二列与第三列差个5，第三列与第四列差个6，第四列与第五列差个7，…第七行的第一列与第二列差个8，是30，第二列与第三列差个9，是39，第三列与第四列差个10，是49，第四列与第五列差个11，是60，第五列与第六列差个12，是72，第六列与第七列差个13，是85；故答案为：85．点评：此题考查了数字的变化类，这是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，解决本题的关键是得到每行中前一列与后一列的关系．（2021• 衢州）如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°.顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…….则四边形A2B2C2D2的周长是▲ ；四边形A2021B2021C2021D2021的周长是▲ .（2021• 台州）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81只需进行次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是。

冲刺4 动态探究考向1 动点与最值1．如图，在Rt△ABO中,∠OBA=90°，A（4，4），点C在边AB上，且ACCB =13,点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）A．(2，2) B．（52，52）C．(83，83）D．（3，3)【答案】C【解析】由题可知：A(4，4），D（2，0),C(4,3），点D关于AO 的对称点D’(0，2），设l D’C：y=kx+b,将D'（0,2），C(4，3)代入，可得y=14x+2，与y=x联立，得，x=83，y=83，∴P（83,83）故选C．2.如图，在平面直角坐标系中,点A，B在反比例函数()0ky kx=≠的图像上运动，且始终保持线段AB=M为线段AB 的中点，连接OM。

则线段OM的长度的最小值是(用含k的代数式表示）。

A作x轴⊥AC,过点B作y轴⊥BD,垂足为C，D，AC与BD相交于点F，连接OF.当点O、F、M在同一直线上时OM最短。

即OM垂直平分AB．设点A坐标为（a，a ＋4），则点B坐标为（a ＋4，a)，点F坐标为（a，a）。

由题意可知△AFB为等腰直角三角形，∵AB=∴AF=BF=4.∵点A在反比例函数y=的图象上，∴a (a＋4)=k，解得a =42k+-.在Rt△OCF中2)=∴OM=OF＋FM=3．图，在菱形ABCD中，连接BD，AC交于点O，过点O作OH⊥BC于点H,以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M.（1）求证:DC是O的切线；(2）若AC=4MC且AC=8，求图中阴影部分的面积；（3）在②的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM 的值最小，并求出最小值。

解：(1）过点O 作OG ⊥CD 于点G ，菱形ABCD 中，AC 是对角线， ∴AC 平分∠BCD, ∵OH ⊥BC ， ∴OH=OG ， ∵OH 是O 的半径，∴OG 等于O 的半径, ∴CD 是O 的切线.①(2)∵AC=4MC ，AC=8，∴OC=2MC=4，MC=OM=2，∴OH=OM=2， 在Rt △OHC 中,OH=2，OC=4，∴=tan ∠HOC=3HCOH,∴∠HOC=60°, ∴S阴影=S △OCH －S扇形OHM=216022360CH OH =23.（3）作点M关于BD的对称点N，连接HN交BD于点P，此时PH+PM的值最小.∵ON=OM=OH,∠MOH=60°, ∴∠MNH=30°，∠MNH=∠HCM,PH+PM的最小值为。

2021年九年级数学中考二轮复习《探索图形的变化规律》专题突破训练1．如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F2．人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图ⓝ表示，那么第50个图形中的白色小正方形地砖的块数是（）A．150B．200C．355D．5053．如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（）A．20B．27C．35D．404．一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（）A．2010B．2011C．2012D．20135．根据右图中已填出的“√”和“×”的排列规律，把②、③、④还原为“√”或“×”且符合右图的排列规律，下面“〇”中还原正确的是（）A．B．C．D．6．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（）A．6B．5C．3D．27．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从5这点开始跳，则经2019次跳后它停在的点所对应的数为（）A．1B．2C．3D．58．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2019应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角9．如图中的每次个图是由若干盆花组成的四边形图案，每条边（包括两个顶点）有n（n＞1）盆花，每个图案中花盆的总数是S，按此规律推断，S与n的函数关系式是（）A．S＝n2B．S＝4n C．S＝4n﹣4D．S＝4n+410．探索以下规律：根据规律，从2018到2020，箭头的方向图是（）A．B．C．D．11．将棱长相等的正方体按如图所示的形状摆放，从上往下依次为第一层、第二层、第三层…．则第2020层正方体的个数为（）A．2009010B．2005000C．2041210D．200412．一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2，第三次从A2点起跳，落点为OA2的中点A3；如此跳跃下去…最后落点为OA2019的中点A2020，则点A2020表示的数为．13．如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为．14．如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆……按此规律排列下去，第9个图形中圆的个数是个．15．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有个○．16．观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第n个“星阵”中的★的个数是．17．如图是各大小型号的纸张长宽关系裁剪对比图，可以看出纸张大小的变化规律：A0纸长度方向对折一半后变为A1纸；A1纸长度方向对折一半后变为A2纸；A2纸长度方向对折一半后变为A3纸；A3纸长度方向对折一半后变为A4纸……A4规格的纸是我们日常生活中最常见的，那么由一张A4的纸可以裁张A8的纸．18．每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为．19．如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为个．20．如图，观察各图中小圆点的摆放规律，并按这样的规律继续摆放下去，则第10个图形中小圆点的个数为．21．设△ABC的面积为1．如图1，分别将AC，BC边2等分，D1，E1是其分点，连接AE1，BD1交于点F1，得到四边形CD1F1E1，其面积S1＝．如图2，分别将AC，BC边3等分，D1，D2，E1，E2是其分点，连接AE2，BD2交于点F2，得到四边形CD2F2E2，其面积S2＝；如图3，分别将AC，BC边4等分，D1，D2，D3，E1，E2，E3是其分点，连接AE3，BD3交于点F3，得到四边形CD3F3E3，其面积S3＝；…按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CD n F n E n，其面积S n＝．22．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1＝6个；图2中黑点个数是6×2＝12个：图3中黑点个数是6×3＝18个；……；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是、．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块，再完成以下问题：（1）第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．23．（1）观察下列图形与等式的关系，并填空（2）观察下图，根据（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：1+3+5+…+（2n﹣1）+（）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝．24．观察下表：序号123…图形xxyxxxxxyyxxyyxxxxxxxyyyxxyyy…xxyyyxxxx我们把某格中各字母的和所得多项式称为“特征多项式”．例如，第1格的“特征多项式”为4x+y．回答下列问题：（1）第3格的“特征多项式”为，第4格的“特征多项式”为，第n格的“特征多项式”为；（2）若第1格的“特征多项式”的值为﹣10，第2格的“特征多项式”的值为﹣16，求x，y的值．25．用若干根火柴可以摆出六个正方形，如下图就是一种摆法，请你再画出与下图不同的两种摆法示意图．并回答：要摆出六个正方形至多需要根火柴，至少需要根火柴．（摆出的六个正方形中，每个正方形的边仅限于一根火柴．）26．观察下面图形，按规律在两个箭头所指的“田”字格内分别画上适当图形（只对一个2分）27．观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律：（1）请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式：①→4×0+1＝4×1﹣3②→4×1+1＝4×2﹣3③→4×2+1＝4×3﹣3④→⑤→…（2）通过猜想，写出与第n个图形相对应的等式．28．（1）计算：；（2）解方程组：；（3）用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：根据规律填空：①第4个图案中有白色地面砖块；②第n个图案中有白色地面砖块。

31规律探究题一、单选题1．（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（ ） A ．23-B ．13C ．12-D ．232．（2021·湖北中考真题）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）A ．2025B ．2023C ．2021D ．20193．（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（ ） A ．23 B ．511 C ．59D ．124．（2021·湖北中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p 的值为（ ）A ．100B ．121C ．144D ．1695．（2021·山东临沂市·中考真题）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg 镭缩减为1mg 所用的时间大约是（ ）A ．4860年B ．6480年C ．8100年D ．9720年6．（2021·四川达州市·中考真题）在平面直角坐标系中，等边AOB ∆如图放置，点A 的坐标为()1,0，每一次将AOB ∆绕着点О逆时针方向旋转60︒，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到11AOB ∆，第二次旋转后得到22A OB ∆，…，依次类推，则点2021A 的坐标为（ ）A ．()202020202,2-B ．()202120212,2C ．()202020202,2D ．()201120212,2-7．（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（ ）A ．4152⨯B ．4312⨯C ．4332⨯D ．4632⨯二、填空题8．（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．9．（2021·陕西）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a 的值为______．10．（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．11．（2021·江苏扬州市·中考真题）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．12．（2021·甘肃武威市·中考真题）一组按规律排列的代数式：2335472,2,2,2a b a b a b a b +-+-，…，则第n 个式子是___________．13．（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．14．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）观察下列等式：22110=-，22321=-，22532=-，…按此规律，则第n 个等式为21n -=__________________．15．（2021·黑龙江中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点16．（2021·四川中考真题）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n 个图形需要___________根火柴棍．17．（2021·四川中考真题）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．18．（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)19．（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点()11,1N 在直线:l y x =上，过点1N 作11N M l ⊥，交x 轴于点1M ；过点1M 作12M N x ⊥轴，交直线l 于点2N ；过点2N 作22N M l ⊥，交x 轴于点2M ；过点2M 作23M N x ⊥轴，交直线l 于点3N ；…；按此作法进行下去，则点2021M 的坐标为_____________．20．（内蒙古呼伦贝尔2021年中考数学试卷）如图，点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作11B A x ⊥轴，垂足为1A ，以11A B 为边向右作正方形1112A B C A ，延长21A C 交直线l 于点2B ；以22A B 为边向右作正方形2223A B C A ，延长32A C 交直线l 于点3B ；……；按照这个规律进行下去，点2021B 的坐标为___________．21．（2021·湖北中考真题）如图，在平面直角坐标系中，动点P 从原点O 出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点()11,1P --；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点2P ；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点3P ；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点4P ，…，按此作法进行下去，则点2021P 的坐标为___________．22．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）如图，11OA B ，122A A B ，233A A B △…，1n n n A A B -都是斜边在x 轴上的等腰直角三角形，点1A ，2A ，3A ，…，n A 都在x 轴上，点1B ，2B ，3B ，…，n B 都在反比例函数()10y x x=>的图象上，则点n B 的坐标为__________．（用含有正整数n 的式子表示）23．（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，一次函数y x =与反比例函数1y x =（0x >）的图象交于点A ，过点A 作AB OA ⊥，交x 轴于点B ；作1//BA OA ，交反比例函数图象于点1A ；过点1A 作111A B A B ⊥交x 轴于点B ；再作121//B A BA ，交反比例函数图象于点2A ，依次进行下去，……，则点2021A 的横坐标为_______．24．（2021·山东中考真题）如图，点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作1B l ⊥，交x 轴于点1A ，以11A B 为边，向右作正方形1121A B B C ，延长21B C 交x 轴于点2A ；以22A B 为边，向右作正方形2232A B B C ，延长32B C 交x 轴于点3A ；以33A B 为边，向右作正方形3343A B B C ，延长的43B C 交x 轴于点4A ；…；按照这个规律进行下去，则第n 个正方形1n n n n A B B C +的边长为________（结果用含正整数n 的代数式表示）．25．（2021·湖北中考真题）如图，过反比例函数()0,0ky k x x=>>图象上的四点1P ，2P ，3P ，4P 分别作x 轴的垂线，垂足分别为1A ，2A ，3A ，4A ，再过1P ，2P ，3P ，4P 分别作y 轴，11PA ，22P A ，33P A 的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ，4S ，1122334OA A A A A A A ===，则1S 与4S 的数量关系为_____________．26．（2021·四川）如图，在平面直角坐标系中，AB y ⊥轴，垂足为B ，将ABO 绕点A 逆时针旋转到11ABO 的位置，使点B 的对应点1B 落在直线34y x =-上，再将11ABO 绕点1B 逆时针旋转到112A B O 的位置，使点1O 的对应点2O 也落在直线34y x =-上，以此进行下去……若点B 的坐标为()0,3，则点21B 的纵坐标．．．为______．27．（2021·山东东营市·中考真题）如图，正方形1ABCB 中，AB =AB 与直线l 所夹锐角为60︒，延长1CB 交直线l 于点1A ，作正方形1112A B C B ，延长12C B 交直线l 于点2A ，作正方形2223A B C B ，延长23C B 交直线l 于点3A ，作正方形3334A B C B ，…，依此规律，则线段20202021A A =________．28．（2021·黑龙江中考真题）如图，菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，1AB =，延长CD 至1A ，使1DA CD =，以1AC 为一边，在BC 的延长线上作菱形111ACC D ，连接1AA ，得到1ADA ∆；再延长11C D 至2A ，使1211D A C D =，以21A C 为一边，在1CC 的延长线上作菱形2122A C C D ，连接12A A ，得到112A D A ∆……按此规律，得到202020202021A D A ∆，记1ADA ∆的面积为1S ，112A D A ∆的面积为2S ……202020202021A D A ∆的面积为2021S ，则2021S =_____．29．（2021·吉林长春市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB 的斜边OA 在y 轴上，2OA ，点B 在第一象限．标记点B 的位置后，将AOB沿x 轴正方向平移至111AO B 的位置，使11AO 经过点B ，再标记点1B 的位置，继续平移至222A O B △的位置，使22A O 经过点1B ，此时点2B 的坐标为__________．30．（2021·湖北荆门市·中考真题）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第____行 第________列．2021中考真题 11 31．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为11a =，第二个图形表示的三角形数记为23a =，…，则第n 个图形表示的三角形数n a ＝___．（用含n 的式子表达）32．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．33．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图①中有5个三角形，图①中有11个三角形，图①中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．。

课后练习34归纳、猜想与说理型问题A组1．图1为雅婷左手拿着3张深灰色与2张浅灰色的牌叠在一起的情形．以下是她每次洗牌的三个步骤：步骤一：用右手拿出叠在最下面的2张牌，如图2.步骤二：将右手拿的2张牌依序交错插入左手拿的3张牌之间，如图3.步骤三：用左手拿着颜色顺序已改变的5张牌，如图4.第1题图若依上述三个步骤洗牌，从图1的情形开始洗牌若干次后，其颜色顺序会再次与图1相同，则洗牌次数可能为下列何者？()A. 18B．20C．25 D．272．(2017·重庆)下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第1个图形中一共有3个菱形，第2个图形中一共有7个菱形，第3个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第9个图形中菱形的个数为()第2题图A ．73B ．81C ．91D ．1093．(2017·丽水模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt △OA 1C 1，Rt △OA 2C 2，Rt △OA 3C 3，Rt △OA 4C 4…的斜边都在坐标轴上，∠A 1OC 1＝∠A 2OC 2＝∠A 3OC 3＝∠A 4OC 4＝…＝30°.若点A 1的坐标为(3，0)，OA 1＝OC 2，OA 2＝OC 3，OA 3＝OC 4…，则依此规律，点A 2018的纵坐标为( )第3题图A ．0B ．－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫3322017C ．(23)2018D ．3×⎝ ⎛⎭⎪⎫23320174．请在图中这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形．第4题图5．观察下面的单项式：a ，－2a 2，4a 3，－8a 4，…根据你发现的规律，第8个式子是 .6．如图，边长为1的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°.连结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形ACEF ，使∠F AC ＝60°.连结AE ，再以AE 为边作第三个菱形AEGH 使∠HAE ＝60°…按此规律所作的第n 个菱形的边长是 .第6题图7．如图，点B 1在反比例函数y ＝2x (x ＞0)的图象上，过点B 1分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足为C 1和A ，点C 1的坐标为(1，0)，取x轴上一点C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，过点C 2作x 轴的垂线交反比例函数图象于点B 2，过B 2作线段B 1C 1的垂线交B 1C 1于点A 1，依次在x 轴上取点C 3(2，0)，C 4⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0…按此规律作矩形，则第n (n ≥2，n 为整数)个矩形A n －1C n －1C n B n 的面积为 .第7题图8．(2017·通州模拟)已知y 是x 的函数，自变量x 的取值范围是x ＞0，下表是y 与x 的几组对应值.x …1245689…y … 3.92 1.950.980.78 2.44 2.440.78…小风根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象和性质进行了探究．下面是小风的探究过程，请补充完整：(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；第8题图(2)根据画出的函数图象，写出：①x＝7对应的函数值y约为________；②该函数的一条性质：________________________．B组9．(2015·十堰)如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，那么能连续搭建正三角形的个数是( )第9题图A ．222B ．280C ．286D ．29210．如图，在标有刻度的直线l 上，从点A 开始， 以AB ＝1为直径画半圆，记为第1个半圆； 以BC ＝2为直径画半圆，记为第2个半圆； 以CD ＝4为直径画半圆，记为第3个半圆； 以DE ＝8为直径画半圆，记为第4个半圆，…按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 倍，第n 个半圆的面积为 (结果保留π)．第10题图11．阅读以下材料：对于三个数a ，b ，c ，用M {a ，b ，c }表示这三个数的平均数，用min{a ，b ，c }表示这三个数中最小的数．例如：M {－1，2，3}＝－1＋2＋33＝43；min{－1，2，3}＝－1；min{－1，2，a }＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≤－1），－1（a >－1）.解决下列问题： (1)填空：如果min{2，2x ＋2，4－2x }＝2，则x 的取值范围为____________________；(2)如果M {2，x ＋1，2x }＝min{2，x ＋1，2x }，求x .12．(2016·河北)如图，已知∠AOB ＝7°，一条光线从点A 出发后射向OB 边．若光线与OB 边垂直，则光线沿原路返回到点A ，此时∠A ＝90°－7°＝83°.第12题图当∠A <83°时，光线射到OB 边上的点A 1后，经OB 反射到线段AO 上的点A 2，易知∠1＝∠2.若A 1A 2⊥AO ，光线又会沿A 2→A 1→A原路返回到点A，此时∠A＝°.…若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值＝°.13．探索规律：观察由※组成的图案和算式，并解答问题．第13题图1＋3＝4＝221＋3＋5＝9＝321＋3＋5＋7＝16＝421＋3＋5＋7＋9＝25＝52(1)试猜想：1＋3＋5＋7＋9＋…＋19＝；(2)试猜想：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n－1)＋(2n＋1)＋(2n＋3)＝；(3)请用上述规律．．．．．计算：1001＋1003＋1005＋…＋2015＋2017＝.(可以用计算器，请算出最后数值哦！)14．18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数V、面数F、棱数E之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察图中的几种简单多面体模型，解答下列问题：(1)根据下面的多面体模型，完成表格中的空格：第14题图多面体顶点数V 面数F 棱数E四面体44长方体812正八面体812正十二面201230体你发现顶点数V、面数F、棱数E之间存在的关系式是____________________；(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是____________________；(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x＋y的值．15．(2016·广东模拟)在由m×n(m×n＞1)个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f，(1)当m、n互质(m、n除1外无其他公因数)时，观察下列图形并完成下表：m n m＋n f123 2134 3235 4257347猜想：当m、n互质时，在m×n的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式是__________________(不需要证明)；(2)当m、n不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立．第15题图C组16．(2016·大同模拟)问题情境：如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在AD边的中点F处，折痕EG分别交AB、CD于点E、G，FN与DC交于点M，连结BF交EG于点P.独立思考：(1)AE＝____________________cm，△FDM的周长为____________________cm；(2)猜想EG与BF之间的位置关系与数量关系，并证明你的结论．拓展延伸：如图2，若点F不是AD的中点，且不与点A、D重合：①△FDM的周长是否发生变化，并证明你的结论；②判断(2)中的结论是否仍然成立，若不成立请直接写出新的结论(不需证明)．第16题图参考答案课后练习34归纳、猜想与说理型问题A组1．B 2.C 3.D 4. 5.－128a8 6.(3)n－17.2n＋18．(1)如图，第8题图(2)①3.0②该函数没有最大值(答案不唯一)B组9．D10.422n－5π11.(1)0≤x≤1(2)x＝112．76613.(1)100(2)(n＋2)2(3)76808114．(1)666V＋F－E＝2(2)20(3)∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线，∴共有棱24×3÷2＝36(条)．那么24＋F－36＝2，解得F＝14.∴x＋y＝14.15．(1)66f＝m＋n－1(2)m、n不互质时，猜想的关系式不一定成立，如图：第15题图C组16．独立思考：(1)316(2)EG⊥BF，EG＝BF.过G点作GH⊥AB 于H，则∠EGH＋∠GEB＝90°，由折叠知，点B、F关于直线GE所在直线对称，∴BF⊥GE，∴∠FBE＋∠GEB＝90°，∴∠FBE＝∠EGH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠C＝∠ABC＝90°，四边形GHBC是矩形，∴GH＝BC＝AB，∴△AFB≌△HEG，∴BF ＝EG；拓展延伸：①△FDM的周长不发生变化．由折叠知∠EFM＝∠ABC ＝90°，∴∠DFM＋∠AFE＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∠A ＝∠D＝90°，∴∠DFM＋∠DMF＝90°，∴∠AFE＝∠DMF，∴△AEF∽△DFM，∴△FMD的周长△AEF的周长＝FDAE.设AF为x cm，则FD＝(8－x)cm，在Rt△AFE中，由勾股定理得：x2＋AE2＝(8－AE)2，AE＝64－x216cm.∴△FMD的周长x＋AE＋8－AE＝8－xAE，△FMD的周长＝（8＋x）（8－x）64－x216＝16（64－x2）64－x2＝16cm，∴△FMD的周长不变．②(2)中结论成立．赠送励志修身名言警句可怕的敌人，就是没有坚强的信念。

2021中考数学二轮专题突破：全等三角形一、选择题1. 如图，已知AB＝DE，∠B＝∠E，为了直接用“ASA”说明△ABC≌△DEF，则需要添加的条件是()A．BC＝EF B．∠A＝∠DC．∠C＝∠F D．AC＝DF2. 如图，若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为()图12-1-10A.2B.3C.5D.2.53. 如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是()A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DCC．BC＝DC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D4. 如图，AB⊥CD，且AB＝CD.E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE ＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为()A．a＋c B．b＋cC．a－b＋c D．a＋b－c5. 如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC ＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是()A．24 B．30C．36 D．426. 如图，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，则∠ABD等于()A．∠EAC B．∠ADE C．∠BAD D．∠ACE7. 如图，AB⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为B，E，∠1=∠2，AD=AB，则下列结论正确的是()A.∠1=∠EFDB.BE=ECC.BF=CDD.FD∥BC8. 如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB 上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 3个以上二、填空题9. 如图，已知△ABC≌△ADE，若∠B＝42°，∠C＝90°，∠EAB＝40°，则∠BAD ＝________°.10. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当条件：________，使△AEH≌△CEB.11. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∠BAC＝65°，则∠ACD 的度数为________．12. 如图，已知CD＝CA，∠1＝∠2，要使△ECD≌△BCA，需添加的条件是__________(只需写出一个条件)．13. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C作平行于AB 的直线交DE的延长线于点F.若DE＝FE，AB＝5，CF＝3，则BD的长是________．14. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E.若△DBE的周长为20，则AB＝________．15. (2019•襄阳)如图，已知ABC DCB ∠=∠，添加下列条件中的一个：①A D ∠=∠，②AC DB =，③AB DC =，其中不能确定ABC △≌△DCB △的是__________(只填序号)．16. 如图，△ABC的两条外角平分线BP ，CP 相交于点P ，PE ⊥AC 交AC 的延长线于点E.若△ABC 的周长为11，PE=2，S △BPC =2，则S △ABC = .三、解答题17. 如图，BD ，CE是△ABC 的高，且BE ＝CD .求证：Rt △BEC ≌Rt △CDB .18. 如图，AB ＝AC ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，且∠ABD ＝∠ACE.求证：BD ＝CE.19. 如图，AB=AD ，BC=DC ，点E 在AC 上.(1)求证:AC 平分∠BAD ; (2)求证:BE=DE.20. 如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作☉O，点E在BC边上，连接AE交☉O于点F，连接BF并延长交CD于点G.(1)求证:△ABE≌△BCG.(2)若∠AEB=55°，OA=3，求的长.(结果保留π)21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD 与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N.求证：FE＝FD.22. 在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D为射线AB上一点，连接CD，过点C作线段CD的垂线l，在直线l上，分别在点C的两侧截取与线段CD相等的线段CE和CF，连接AE，BF.(1)当点D在线段AB上时(点D不与点A，B重合)，如图(a).①请你将图形补充完整;②线段BF，AD所在直线的位置关系为，线段BF，AD的数量关系为.(2)当点D在线段AB的延长线上时，如图(b)，在(1)中②问的结论是否仍然成立?如果成立，请进行证明;如果不成立，请说明理由.2021中考数学二轮专题突破：全等三角形-答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】B[解析] ∵△ABE≌△ACF，AB=5，∴AC=AB=5.∵AE=2，∴EC=AC-AE=5-2=3.3. 【答案】C4. 【答案】D[解析] ∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠CED＝∠AFB＝90°，∠A＝∠C.又∵AB＝CD，∴△CED≌△AFB.∴AF＝CE＝a，DE＝BF＝b，DF ＝DE－EF＝b－c.∴AD＝AF＋DF＝a＋b－c.故选D.5. 【答案】B[解析] 过点D作DH⊥AB交BA的延长线于点H.∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4.∴四边形ABCD的面积＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·DH＋12BC·CD＝12×6×4＋12×9×4＝30.6. 【答案】D[解析] ∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD ＝∠CAE.在△ABD 和△ACE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS)．∴∠ABD ＝∠ACE.7. 【答案】D[解析] 在△AFD 和△AFB 中，∴△AFD ≌△AFB. ∴∠ADF=∠ABF . ∵AB ⊥BC ，BE ⊥AC ， ∴∠BEC=∠ABC=90°.∴∠ABF+∠EBC=90°，∠C+∠EBC=90°. ∴∠ADF=∠ABF=∠C. ∴FD ∥BC.8. 【答案】D【解析】如解图，①当OM 1＝2时，点N 1与点O 重合，△PMN 是等边三角形；②当ON 2＝2时，点M 2与点O 重合，△PMN 是等边三角形；③当点M 3，N 3分别是OM 1，ON 2的中点时，△PMN 是等边三角形；④当取∠M 1PM 4＝∠OPN 4时，易证△M 1PM 4≌△OPN 4(SAS)，∴PM 4＝PN 4，又∵∠M 4PN 4＝60°，∴△PMN 是等边三角形，此时点M ，N 有无数个，综上所述，故选D.二、填空题9. 【答案】88[解析] 因为△ABC ≌△ADE ，所以∠D ＝∠B ＝42°.又∠C ＝90°，所以∠E ＝90°，所以∠EAD ＝180°－42°－90°＝48°.这时∠BAD ＝∠EAB ＋∠EAD ＝40°＋48°＝88°.10. 【答案】AH ＝CB (符合要求即可)【解析】∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为点D 、E ，∴∠BEC ＝∠AEC ＝90°，在Rt △AEH 中，∠EAH ＝90°－∠AHE ，在Rt △HDC 中，∠ECB ＝90°－∠DHC ，∵∠AHE ＝∠DHC ，∴∠EAH ＝∠ECB ，∴根据AAS 添加AH ＝CB 或EH ＝EB ；根据ASA 添加AE ＝CE.可证△AEH ≌△CEB.故答案为：AH ＝CB 或EH ＝EB 或AE ＝CE 均可．11. 【答案】25°12. 【答案】答案不唯一，如CE ＝CB [解析] 由∠1＝∠2，可得∠DCE ＝∠ACB ，又∵CD ＝CA ，∴添加CE ＝CB ，可根据“SAS”判定两个三角形全等．13. 【答案】2[解析] ∵CF ∥AB ，∴∠A ＝∠FCE.在△ADE 和△CFE 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠FCE ，∠AED ＝∠CEF ，DE ＝FE ，∴△ADE ≌△CFE(AAS)． ∴AD ＝CF ＝3.∴BD ＝AB －AD ＝5－3＝2.14. 【答案】20[解析] 由角平分线的性质可得CD ＝DE.易证Rt △ACD ≌Rt △AED ，则AC ＝AE ，DE ＋DB ＝CD ＋DB ＝BC ＝AC ＝AE ，故DE ＋DB ＋EB ＝AE ＋EB ＝AB.15. 【答案】②【解析】∵已知ABC DCB ∠=∠，且BC CB =，∴若添加①A D ∠=∠，则可由AAS 判定ABC △≌DCB △；若添加②AC DB =，则属于边边角的顺序，不能判定ABC △≌DCB △； 若添加③AB DC =，则属于边角边的顺序，可以判定ABC △≌DCB △． 故答案为：②．16. 【答案】7[解析] 过点P 作PF ⊥BC 于点F ，PG ⊥AB 于点G ，连接AP .∵△ABC 的两条外角平分线BP ，CP 相交于点P ，∴PF=PG=PE=2.∵S △BPC =2，∴BC ·2=2，解得BC=2.∵△ABC 的周长为11，∴AC+AB=11-2=9.∴S △ABC =S △ACP +S △ABP -S △BPC =AC ·PE+AB ·PG-S △BPC =×9×2-2=7.三、解答题17. 【答案】证明：∵BD ，CE 是△ABC 的高， ∴∠BEC ＝∠CDB ＝90°. 在Rt △BEC 和Rt △CDB 中， ⎩⎨⎧BC ＝CB ，BE ＝CD ，∴Rt △BEC ≌Rt △CDB(HL)．18. 【答案】证明：∵AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，∴∠BAE ＋∠CAE ＝90°，∠BAE ＋∠BAD ＝90°.∴∠CAE ＝∠BAD.在△ABD 和△ACE 中，⎩⎨⎧∠BAD ＝∠CAE ，AB ＝AC ，∠ABD ＝∠ACE ，∴△ABD ≌△ACE(ASA)．∴BD ＝CE.19. 【答案】证明:(1)在△ABC 与△ADC 中，∴△ABC ≌△ADC (SSS)，∴∠BAC=∠DAC ，即AC 平分∠BAD. (2)由(1)知∠BAE=∠DAE.在△BAE 与△DAE 中，∴△BAE ≌△DAE (SAS)， ∴BE=DE.20. 【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形，AB 为☉O 的直径， ∴∠ABE=∠BCG=∠AFB=90°，AB=BC ， ∴∠BAF +∠ABF=90°，∠ABF +∠EBF=90°， ∴∠EBF=∠BAF ，在△ABE与△BCG中，∴△ABE≌△BCG(ASA).(2)连接OF，∵∠ABE=∠AFB=90°，∠AEB=55°，∴∠BAE=90°-55°=35°，∴∠BOF=2∠BAE=70°.∵OA=3，∴的长==.21. 【答案】证明：如图，连接BF.∵F是△ABC的角平分线AD，CE的交点，∴BF平分∠ABC.∵FM⊥AB，FN⊥BC，∴FM＝FN，∠DNF＝∠EMF＝90°.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°.∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝12∠BAC＝15°.∴∠CDA＝75°.∵CE平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠ACE＝45°.∴∠MEF ＝75°＝∠NDF.在△DNF 和△EMF 中，⎩⎨⎧∠DNF ＝∠EMF ，∠NDF ＝∠MEF ，FN ＝FM ，∴△DNF ≌△EMF(AAS)．∴FE ＝FD.22. 【答案】解:(1)①如图所示.②∵CD ⊥EF ，∴∠DCF=90°.∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DCF .∴∠ACD=∠BCF .又∵AC=BC ，CD=CF ，∴△ACD ≌△BCF ，∴AD=BF ，∠BAC=∠FBC ，∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF ⊥AD. 故答案为:互相垂直，相等.(2)成立.证明:∵CD ⊥EF ，∴∠DCF=90°.∵∠ACB=90°，∴∠DCF=∠ACB.∴∠DCF+∠BCD=∠ACB+∠BCD ，即∠BCF=∠ACD.又∵AC=BC ，CD=CF ，∴△ACD ≌△BCF .∴AD=BF ，∠BAC=∠FBC.∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF ⊥AD.。

2021届东营中考数学复习专题类型突破专题二探索规律问题训练专题类型突破话题二：探索法律类型一数式规律命题视角？数字法初探(2021泰安中考)观察“田”字中各数之间的关系：【分析】依次观察每个“字段”中相同位置的数字，找出数字变化规律，然后观察同一“字段”中每个位置的数字关系。

[独立回答]解数式规律型问题的一般方法（1）当给定的一组数字是整数时，首先观察这组数字是自然数序列、正数序列、奇数序列、偶数序列还是平方、平方加1或减1后的正整数序列，然后观察这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一个符号，最后结合数字定律和符号定律得出结果；（2）当数是分数和整数的组合时，首先将这组数据中的所有整数写成分数，然后分别推导分子和分母定律，最后得到这组数据中第n项的定律；（3）当给定的代数公式包含系数时，首先观察每个项的系数之间是否有一定的对称性，如自然序列、正整数序列、奇数序列、偶数序列或交替，然后观察索引中是否有相似的规律，最后将系数律律和索引律结合起来得到结果1．(2021百色中考)观察以下一列数的特点：0，1，－4，9，－16，25，…，则第11个数是()a．－121b、－100c．100d、 1212．(2021十堰中考)如图，10个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，例如，如果A1=A2+a3，则A1的最小值为（）a．32b、 36c．38d、 403．(2021枣庄中考)将从1开始的连续自然数按如下规律排列：…则2018在第________行．命题角度?数字循环类规律探索一百一十一(2021成都中考)已知a＞0，s1＝，s2＝－s1－1，s3＝，s4＝－s3－1，s5＝，…(即当n为大于as2s411，Sn=；当n是大于1的偶数时，Sn=-Sn-1-1），根据该定律，s2022=____sn－1【分析】根据sn数的变化找出sn的值每6个一循环，结合2018＝336×6＋2，此题得解．【自主解答】数圈定律的问题是出现了几个数圈。

专题04 图形变化类规律问题一、单选题1．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形和1个正方形，第②个图案有7个三角形和2个正方形，第③个图案有10个三角形和3个正方形，⋯依此规律，如果第n 个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个，则n =（ ）A ．504B ．505C ．506D ．507【答案】B 【分析】根据图形的变化规律、正方形和三角形的个数可发现第n 个图案有31n +个三角形和n 个正方形，正三角形和正方形的个数共有41n +个，进而可求得当412021n +=时n 的值． 【详解】解：∵第∵个图案有4个三角形和1个正方形，正三角形和正方形的个数共有5个； 第∵个图案有7个三角形和2个正方形，正三角形和正方形的个数共有9个； 第∵个图案有10个三角形和3个正方形，正三角形和正方形的个数共有13个； 第∵个图案有13个三角形和4个正方形，正三角形和正方形的个数共有17个；∵第n 个图案有()43131n n +-=+个三角形和n 个正方形，正三角形和正方形的个数共有3141n n n ++=+个∵第n 个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个∵412021n += ∵505n =． 故选择：B 【点睛】本题考查了图形变化类的规律问题、利用一元一次方程求解等，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．2．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n 个知形的面积为（ ）A ．14B ．114n - C ．14nD ．114n + 【答案】B 【分析】易得第二个矩形的面积为(21)2，第三个矩形的面积为(41)2，依此类推，第n 个矩形的面积为(221)2n -．【详解】解：已知第一个矩形的面积为1； 第二个矩形的面积为原来的(22211)24⨯-=； 第三个矩形的面积是(23211)216⨯-=； ⋯故第n 个矩形的面积为：(2211111)()244n n n ---==．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．3．如图，第1个图形中小黑点的个数为5个，第2个图形中小黑点的个数为9个，第3个图形中小黑点的个数为13个，…，按照这样的规律，第n 个图形中小黑点的个数应该是（ ）A ．41n +B ．32n +C ．51n -D ．62n -【答案】A 【分析】观察规律，逐个总结，从特殊到一般即可． 【详解】第1个图形，1+1×4=5个； 第2个图形，1+2×4=9个； 第3个图形，1+3×4=13个；第n 个图形，1+4n 个； 故选：A ．本题考查利用整式表示图形的规律，仔细观察规律并用整式准确表达是解题关键．4．按图示的方式摆放餐桌和椅子，图1中共有6把椅子，图2中共有10把椅子，…，按此规律，则图7中椅子把数是（）A．28B．30C．36D．42【答案】B【分析】观察图形变化，得出n张餐桌时，椅子数为4n+2把（n为正整数），代入n＝7即可得出结论．【详解】解：1张桌子可以摆放的椅子数为：2+1×4＝6，2张桌子可以摆放的椅子数为：2+2×4＝10，3张桌子可以摆放的椅子数为：2+3×4＝14，…，n张桌子可以摆放的椅子数为：2+4n，令n＝7，可得2+4×7＝30（把）．故选：B．【点睛】此题考查图形类规律探究，列式计算,根据图形的排列总结规律并运用解决问题是解题的关键．5．如图，用黑白两种颜色的纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案．若第n个图案中有202个白色纸片，则n的值为（）A．66B．67C．68D．69【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以发现白色纸片个数的变化规律，然后根据第n个图案中有202张白色纸片，即可求得n的值．【详解】由图可得，第1个图案中白色纸片的个数为：1＋1×3＝4，第2个图案中白色纸片的个数为：1＋2×3＝7，第3个图案中白色纸片的个数为：1＋3×3＝10，…，第n个图案中白色纸片的个数为：1＋n×3＝3n＋1，令3n＋1＝202，解得，n＝67，故答案为：B．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中白色纸片的变化规律，利用数形结合的思想解答．6．如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律排列下去，则第50个图形中有（）个小圆圈．A．2454B．2605C．2504D．2554【答案】D【分析】设第n个图形中有a n个小圆圈(n为正整数)，根据图形中小圆圈个数的变化可找出“a n＝4+n(n+1)(n为正整数)”，再代入n＝50即可求出结论．【详解】解：设第n个图形中有a n个小圆圈(n为正整数)观察图形，可知：a1＝4+1×2，a2＝4+2×3，a3＝4+3×4，a4＝4+4×5，…，∵a n＝4+n(n+1)(n为正整数)，∵a50＝4+50×51＝2554故选D．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中小圆圈个数的变化找出变化规律“a n＝4+n(n+1)(n为正整数)”是解题的关键．7．用火柴棒按下图的方式搭图形，搭第n个图形需要火柴棒根数为（）A ．21nB ．2nC ．21n -D ．2(1)n +【答案】A 【分析】观察给出图形的根数，发现以此增加2，即可列出代数式． 【详解】第一个图形有：1+2=3根， 第二个图形有：1+2×2=5根， 第三个图形有：1+2×3=7根， 第四个图形有：1+2×4=9根，⋯⋯∵第n 个图形有：2n+1根； 故选：A ． 【点睛】本题考查列代数式表示图形的变化规律，找准每个图形增加的数量关系是解题关键．8．按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的数量是（ ）A．360B．363C．365D．369【答案】C【分析】观察求出图案中地砖的块数，找到规律再求出黑色的地砖的数量即可.【详解】第1个图案只有（2×1﹣1）2＝12＝1块黑色地砖，第2个图案有黑色与白色地砖共（2×2﹣1）2＝32＝9，其中黑色的有12（9＋1）＝5块，第3个图案有黑色与白色地砖共（2×3﹣1）2＝52＝25，其中黑色的有12（25＋1）＝13块，…第n个图案有黑色与白色地砖共（2n﹣1）2，其中黑色的有12[（2n﹣1）2＋1]，当n＝14时，黑色地砖的块数有12×[（2×14﹣1）2＋1]＝12×730＝365.故选：C.【点睛】此题考查图形类规律的探究，有理数的混合运算，根据所给图案总结出图案排列的规律由此进行计算是解题的关键.9．法国数学家柯西于1813年在拉格朗日、高斯的基础上彻底证明了《费马多边形数定理》，其主要突破在“五边形数”的证明上．如图为前几个“五边形数”的对应图形，请据此推断，第20个“五边形数”应该为（），第2020个“五边形数”的奇偶性为（）A ．533；偶数B ．590；偶数C ．533；奇数D ．590；奇数【答案】B 【分析】根据前几个“五边形数”的对应图形找到规律，得出第n 个“五边形数”为23122n n -，将n=10代入可求得第20个“五边形数”，利用奇偶性判断第2020个“五边形数”的奇偶性． 【详解】解：第1个“五边形数”为1=2311122⨯-⨯， 第2个“五边形数”为5=2312222⨯-⨯， 第3个“五边形数”为12=2313322⨯-⨯， 第4个“五边形数”为22=2314422⨯-⨯， 第5个“五边形数”为35=2315522⨯-⨯， ···由此可发现：第n 个“五边形数”为23122n n -， 当n=20时，23122n n -= 231202022⨯-⨯=590， 当n=2020时，232n =3×2020×1010是偶数，12n =1010是偶数，所以23122n n -是偶数，故选：B ．【点睛】本题考查数字类规律探究、有理数的混合运算，通过观察图形，发现数字的变化规律是解答的关键． 10．观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，按此规律第8个图中共有点的个数是（ ）个A ．108B ．109C ．110D ．112【答案】B 【分析】由图可知：其中第1个图中共有1+1×3=4个点，第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点，第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点，…，由此规律得出第n 个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n 3(1)12n n +=+个点，然后依据规律解答即可． 【详解】解：第1个图中共有1+1×3=4个点， 第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点， 第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点， …第n 个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n=13(123)n ++++⋯+3(1)12n n +=+个点， ∵第8个图中共有点的个数38(81)11092⨯+=+=个，故选B.【点睛】此题考查图形的变化规律，根据图形得出数字之间的运算规律是解题的关键．11．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第7个图形共有（）个五星．A．14B．18C．21D．28【答案】C【分析】根据图形的变化发现规律即可求解．【详解】解：第一个图形中有1×3=3个五星，第二个图形中有2×3=6个五星，第三个图形中有3×3=9个五星，第四个图形中有4×3=12个五星，…根据规律可知第n个图形有3n个五星，所以第7个图形共有7×3=21个五星．故选：C．【点睛】考查了规律型：图形的变化类，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．本题的关键规律为第n 个图形有3n 个五星．12．如图所示，2条直线相交只有1个交点，3条直线相交最多能有3个交点，4条直线相交最多能有6个交点，5条直线相交最多能有10个交点，……，n （n ≥2，且n 是整数）条直线相交最多能有（ ）A ．()23n -个交点B ．()36n -个交点C ．()410n -个交点D ．()112n n -个交点 【答案】D【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：()112n n - 【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交有1+2=3个交点；4条直线相交有1+2+3=6个交点；5条直线相交有1+2+3+4=10个交点；6条直线相交有1+2+3+4+5=15个交点；…n 条直线相交有1+2+3+4+…+（n -1）=()112n n -故选：D【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有()112n n -个交点． 13．如图所示图形是由相同的小五角星按一定的规律排列组合而成，其中第一个图形有6个五角星，第二个图形有10个五角星，第三个图形有16个五角星，第四个图形有24个五角星，……，则第八个图形五角星的个数为（ ）A ．74B ．76C ．78D ．80【答案】B【分析】 根据已知图形得出第n 个图形中五角星个数为4+n(n+1)，据此可得．【详解】解：∵第一个图形中五角星的个数6=4+1×2，第二个图形中五角星的个数10=4+2×3，第三个图形中五角星的个数16=4+3×4，……，∵第八个图形中五角星的个数为4+8×9=76，故选B ．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是将已知图形分割成两部分，并从中找到总个数的通项公式4+n(n+1)14．观察下列一组图形，其中图形（1）中共有2颗星，图形（2）中共有6颗星，图形（3）中共有11颗星，图形（4）中共有17颗星，…，按此规律，图形（20）中的星星颗数是（ ）A ．210B ．236C ．249D ．251【答案】C【分析】 设图中第n 个图形的星星个数为a n （n 为正整数），然后列出各个图形星星的个数，去判断星星个数的规律，然后计算第20个图形的星星个数．【详解】解：第n 个图形的星星个数为a n （n 为正整数）则a 1=2=1+1，a 2=6=1+2+3，a 3=11=1+2+3+5，a 4=17=1+2+3+4+7∵a n =1+2+3+……+n +（2n -1）=2(1)15(21)1222n n n n n ++-=+- 令n =20，则2215151?20+?20-12222n n +-==249 故选：C【点睛】本题主要考查根据图形找规律，解题的关建是找出图形规律，然后计算．二、填空题15．如图，45MON ∠=︒，正方形1ABB C ，正方形1121A B B C ，正方形2232A B B C ，正方形3343A B B C ，…，的顶点A ，123,,A A A ，在射线OM 上，顶点1234,,,,,B B B B B ，在射线ON 上，连接2AB 交11A B 于点D ，连接13A B 交22A B 于点1D ，连接24A B 交33A B 于点2D ，…，连接11B D 交2AB 于点E ，连接22B D 交13A B 于点1E ，…，按照这个规律进行下去，设四边形11A DED 的面积为1S ，四边形2112A D E D 的面积为2S ，四边形3223A D E D 的面积为3S ，…，，若2AB =，则n S 等于________．（用含有正整数n 的式子表示）．【答案】2429n +． 【分析】先证得∵ADC ~∵21B DB ，推出CD=23，143DB =，同理得到1143C D =，1283D B =，由∵1~EDB ∵21EB D ，推出∵ED 1B 边D 1B 上的高为43，计算出1649S =，同理计算得出26449S =⨯，236449S =⨯，找到规律，即可求解【详解】解：∵正方形1ABB C ，正方形1121A B B C ，且45MON ︒∠=，∵OAB ∆和11AA B ∆都是等腰直角三角形，∵12OB AB BB ===，∵1114A B OB ==，同理228A B =，∵正方形1ABB C ，正方形1121A B B C ，正方形2232A B B C ，边长分别为2，4， 8，∵12112//,//AC B B DB D B ，∵11224CD AC DB B B ==， ∵12DB CD =，∵11124,333CD CB DB ===， 同理：1112122223231481816,,,333333C D C B D B C D C B D B ======， ∵112//DB D B ，∵121DEB EB D ∆∆∽，设∵EDB 1和∵EB 2D 1的边DB 1和B 2D 1上的高分别为h 1和1h '， ∵11112413,823h DB h D B '=== ∵11124,h h B B '+== ∵1148,33h h '==， 设1112223,,D E D B B E B E D ∆∆∆的边11223,,DB D B D B 的高分别为123,,h h h , ∵1234816,,,333h h h === ∵11112211111114464442222339A B D DB E S S S DB h ∆∆=-=⨯-⨯⋅=⨯-⨯⨯=; 同理求得：221212222122111188648842222339A B D D B E S S S D B h ∆∆=-=⨯-⨯⋅=⨯-⨯⨯=⨯; 333232223233111161664161284222339A B D D B E S S S D B h ∆∆=-=⨯-⨯⋅=-⨯⨯=⨯； …224164424999n n n n S ++-=⨯==．故答案为：2429n．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质在规律型问题中的应用，数形结合并善于发现规律是解题的关键．16．某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品．．．．．．，将这些作品排成一个矩形（作品不完全重合）．现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉．．．．．．．．．．．．．．，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉（例如，用9枚图钉将4张作品钉在墙上，如图）．若有43枚图钉可供选用，则最多可以按照要求展示绘画作品________张．【答案】30【分析】分别找出展示的绘画作品展示成一行、二行、三行、四行、五行、六行、七行的时候，43枚图钉最多可以展示的画的数量，比较后即可得出结论．【详解】解：∵如果所有的画展示成一行，43÷（1+1）=21……1，∵43枚图钉最多可以展示20张画；∵如果所有的画展示成两行，43÷（2+1）=14……1，14-1=13（张），2×13=26（张），∵43枚图钉最多可以展示26张画；∵如果所有的画展示成三行，43÷（3+1）=10……3，10-1=9（张），3×9=27（张），∵43枚图钉最多可以展示27张画；∵如果所有的画展示成四行，43÷（4+1）=8……3，8-1=7（张），4×7=28（张），∵43枚图钉最多可以展示28张画；∵如果所有的画展示成五行，43÷（5+1）=7……1，7-1=6（张），5×6=30（张），∵43枚图钉最多可以展示30张画；∵如果所有的画展示成六行，43÷（6+1）=6……1，6-1=5（张），6×5=30（张），∵43枚图钉最多可以展示30张画；∵如果所有的画展示成七行，43÷（7+1）=5……3，5-1=4（张），4×7=28（张），∵43枚图钉最多可以展示28张画；综上所述：43枚图钉最多可以展示30张画．故答案为：30．【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，观察图形，求出展示的绘画作品展示成一行、二行、三行、四行、五行、六行、七行时，最多可以展示的画的数量是解题的关键．17．如图，每条边上有n（n≥2）个方点，每个图案中方点的总数是S．（1）请写出n＝5时，S＝_____________ ；（2）按上述规律，写出S与n的关系式，S＝__________________ ．【答案】16； 44n -．【分析】当2n =时，4(21)4S =⨯-=；当3n =时，4(31)8S =⨯-=，⋯，以此类推，可知当n n =时，4(1)S n =⨯-，即4(1)S n =-，根据解答即可．【详解】解：（1）2n =，()4421S ==⨯-；3n =，()8431S ==⨯-；4n =，()12441S ==⨯-；()()412S n n ∴=-≥．∵4n =，()45116S =⨯-=；（2）由（1）可得()4144S n n =-=-．【点睛】主要考查了图形类的规律，正确分析理解题目是解题的关键．18．如图，在矩形ABCD 中，AD=2，CD=1，连接AC ，以对角线AC 为边，按逆时针方向作矩形ABCD 的相似矩形AB 1C 1C ，再连接AC 1，以对角线AC 1为边作矩形AB 1C 1C 的相似矩形AB 2C 2C 1，…，按此规律继续下去，则矩形AB4C4C3的面积为_____．【答案】4 75 2【分析】利用勾股定理可求得AC的长，根据面积比等于相似比的平方可得矩形AB1C1C的面积，同理可求出矩形AB2C2C1、AB3C3C2，……的面积，从而可发现规律，根据规律即可求得第n个矩形的面积，继而即可求得矩形AB4C4C3的面积．【详解】∵在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，=∵矩形ABCD与矩形AB1C1C相似，∵矩形AB1C1C与矩形ABCD，∵矩形AB1C1C与矩形ABCD的面积比为54，∵矩形ABCD的面积为1×2=2，∵矩形AB1C1C的面积为2×54=52，同理：矩形AB2C2C1的面积为52×54=258=2352，矩形AB 3C 3C 2的面积为258×54=12532=3552， ……∵矩形AB n C n C n -1面积为2152nn ， ∵矩形AB 4C 4C 3的面积为=4752， 故答案为：4752【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，根据求出的结果得出规律并熟记相似图形的面积比等于相似比的平方是解题关键．19．如图所示，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（2）个图有6个相同的小正方形，第（3）个图有12个相同的小正方形，第（4）个图有20个相同的小正方形，……，按此规律，那么第（n ）个图有________个相同的小正方形．【答案】n(n ＋1)【分析】通过观察可以发现，每一个图形中正方形的个数等于图形序号乘以比序号大一的数，根据此规律解答即可.【详解】第(1)个图有2个相同的小正方形，2＝1×2，第(2)个图有6个相同的小正方形，6＝2×3，第(3)个图有12个相同的小正方形，12＝3×4，第(4)个图有20个相同的小正方形，20＝4×5，…，以此类推，第n 个图应有n(n ＋1)个相同的小正方形.【点睛】本题是对图形变化规律的考查，发现正方形的个数是两个连续整数的乘积是解题的关键，此类题目对同学们的能力要求较高，在平时的学习中要不断积累.20．如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第4个图案中有______个涂有阴影的小正方形，第n个图案中有_______个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）．【答案】17 4n+1【分析】观察发现，后一个图案比前一个图案多涂4个有阴影的小正方形，根据规律写出第n个图案的涂阴影的小正方形的个数即可．【详解】由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5个，第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为5+4=9个，第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为5+4+4=13个，第4个图案涂有阴影的小正方形的个数为5+4+4+4=17个，，第n个图案涂有阴影的小正方形的个数为5+4（n-1）=4n+1（个），故答案为：17，4n+1．【点睛】此题考查图形类规律的探究，列代数式，有理数的加法计算法则，观察图形得到图形的变化规律，总结规律并解决问题是解题的关键．21．将一半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依此规律，第11个图形的小圆个数是______．【答案】134【分析】根据图形的变化寻找规律即可求解．【详解】解：观察图形的变化可知：第1个图形有1×2+2=4个小圆，第2个图形有2×3+2=8个小圆，第3个图形有3×4+2=14个小圆，…，发现规律：第n个图形的小圆个数是n（n+1）+2．所以第11个图形的小圆个数是11×12+2=134．故答案为：134．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律并总结规律，会利用找到的规律进行解题．22．德国数学家康托尔引入位于一条线段上的一些点的集合，做法如下：取一条长度为1的线段三等分后，去掉中间段，余下两条线段，达到第1阶段；将剩下的两条线段分别三等分后，各去掉中间段，余下四条线段，达到第2阶段；再将剩下四条线段分别三等分后，各去掉中间段，余下八条线段，达到第3阶段；．．，一直如此操作下去大在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多．如图是最初几个阶段，（1）当达到第5个阶段时，余下的线段条数为____________．（2）当达到第n个阶段时(n为正整数)，去掉的线段的长度之和为___ (用含n的式子表示)【答案】（1）32；（2）1 ()3n．【分析】根据题意写出前面所求的结果的式子，然后推广得出规律，即可解答．【详解】（1）根据题意可知：第一阶段余下的线段的条数为12=2条；第二阶段余下的线段的条数为22=4条；第三阶段余下的线段的条数为32=8条；第四阶段余下的线段的条数为42=16条；第五阶段余下的线段的条数为52=32条；故答案为32．（2）根据题意可知：第一阶段去掉的线段的长度为11()3； 第二阶段去掉的线段的长度和为211111=()33333⨯+⨯； 第三阶段去掉的线段的长度和为22311111()()()33333⨯+⨯=； 以此类推，第n 阶段去掉的线段的长度和为1()3n． 故答案为1()3n．【点睛】考查发现图形的规律，根据图形写出前面的几种情况，然后找出其规律是解答本题的关键．23．如图，用火柴棍摆出一列正方形图案，其中图∵有4根火柴棍，图∵有12根火柴棍，图∵有24根火柴棍… …以此类推，则图∵中火柴棍的根数是_____________．【答案】220【分析】图形从上到下可以分成几行，第n 个图形中，竖放的火柴有n （n+1）根，横放的有n （n+1）根，因而第n 个图案中火柴的根数是：n （n+1）+n （n+1）=2n （n+1），把n=10代入就可以求出．【详解】设摆出第n 个图案用火柴棍为S n ．∵图，S 1=1×（1+1）+1×（1+1）；∵图，S 2=2×（2+1）+2×（2+1）；∵图，S 3=3×（3+1）+3×（3+1）；…；第n 个图案，S n =n （n+1）+n （n+1）=2n （n+1），则第∵个图案为：2×10×（10+1）=220．故答案为：220．【点睛】本题考查了规律型图形的变化，有一定难度，注意此题第n 个图案用火柴棍为2n （n+1），要拥有一定的推理与论证能力．24．如图，用棋子摆出下列一组图形：按照这种规律摆下去，第2020个图形用的棋子个数是_______．【答案】6063个【分析】根据各图形中所用棋子个数的变化可得出变化规律“33n a n =+”，此题得解．【详解】设第n 个图形用的棋子个数为n a 个（n 为正整数），∵1123a =++，2234a =++，3345a =++，…，∵()()1233n a n n n n =++++=+，∵20203202036063a =⨯+=．故答案为：6063个．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中所用棋子个数的变化，找出变化规律“33n a n =+”是解题的关键．25．如图，正方形ABCD 的边长为1，其面积标记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为2···S ，按照此规律继续下去，则5S 的值为__________【答案】116【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理的内容发现S 1=12=1，S 2=12S 1=12，S 3=12S 2=14，S 4=12S 3=18，…，继而得出规律即可求得答案．【详解】观察，发现规律：S 1=12=1，S 2=12S 1=12，S 3=12S 2=14，S 4=12S 3=18，…， ∵S n =(12)n -1，当n=5时，S 5=411=126⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故答案为：116． 【点睛】本题考查了规律型——图形的变化类，推导出前几个正方形的面积得出面积变化的规律是解题的关键∵ 26．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是___________．【答案】6【分析】求出各个层的正方体的表面积，求出它们的和，该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，求出正方体的个数至少个数．【详解】解：底层正方体的表面积为24；第2层正方体的棱长214()2⨯；第3层正方体的棱长为222⨯，每个面的面积为214()2⨯；第n 层正方体的棱长为12)2n -⨯，每个面的面积为114()2n -⨯； 若该塔形为n 层，则它的表面积为2151111244[4()4()4()]40()2222n n --+⨯+⨯+⋯+⨯=-因为该塔形的表面积超过39，所以该塔形中正方体的个数至少是6．故答案为：6．【点睛】本题是中档题，考查计算能力，数列求和的知识，正确就是解好数学问题的关键，常考题型． 27．如图1是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示的方式两两相扣，相扣处不留空隙，小明用x 个如图1所示的图形拼出来的总长度y 会随着x 的变化而变化，y 与x 的关系式为y =______．【答案】52x +【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．【详解】观察图形可知：当两个图（1）拼接时，总长度为：7+5=12；当三个图（1）拼接时，总长度为：7+2×5；以此类推，可知：用x 个这样的图形拼出来的图形总长度为：()75152x x +-=+，∵y 与x 的关系式为52y x =+．【点睛】本题考查了图形规律，根据图形的拼接规律得出y 与x 的关系式是解题的关键．28．如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种图形来研究数．例如：图中的数1，5，12，22…，由于这些数能够表示成五边形，所以将它们称为五边形数，按照此规律，第40个图形表示的五边形数是_____．【答案】2380【分析】观察图形得到第1个五边形数为1，第2个五边形数为1＋4＝5，第3个五边形数为1＋4＋7＝12，第4个五边形数为1＋4＋7＋10＝22，即每个五边形数是从1开始，后面的数都比前面一个数大3的几个数的和，且数的个数等于序号数，则第n 个五边形数为232n n -，把n ＝40代入计算即可． 【详解】第一个图形有1个，第二个图形有5＝2＋3个，第三个图形有12＝3＋4＋5个，第n 个图形五边形数为()2312312n n n n n n n n -⎡⎤+++++++⋯++-=⎣⎦故第40个图形表示的五边形数是：23404023802⨯-=个【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．29．如图，∵ABC 的面积为1，分别倍长（延长一倍）AB ，BC ，CA 得到∵A 1B 1C 1，再分别倍长A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1得到∵A 2B 2C 2．…按此规律，倍长2020次后得到的∵A 2020B 2020C 2020的面积为_____．【答案】72020【分析】连接AB 1、BC 1、CA 1，根据等底等高的三角形面积相等，可得111A B C S △＝7S ∵ABC ，由此即可解题．【详解】连接AB 1、BC 1、CA 1，根据等底等高的三角形面积相等，∵A 1BC 、∵A 1B 1C 、∵AB 1C 、∵AB 1C 1、∵ABC 1、∵A 1BC 1、∵ABC 的面积都相等，所以，111A B C S △＝7S ∵ABC ，同理222A B C S △＝7111A B C S △＝72S ∵ABC ，依此类推，∵A 2020B 2020C 2020的面积为＝72020S ∵ABC ，∵∵ABC 的面积为1，∵202020202020A S B C ＝72020．故答案为：72020．【点睛】本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面积等于原三角形的面积的7倍是解题的关键．30．（观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图2，图3…)，则图6中挖去三角形的个数为______．【答案】364【分析】根据题意找出图形的变化规律，根据规律计算即可．【详解】因为1n =时，挖去三角形的个数是1个，即03个，2n =时，挖去三角形的个数是4个，即()0133+个，3n =时，挖去三角形的个数是13个，即()012333++个，所以图n 中挖去三角形的个数是()011333n -+++个，所以图∵中挖去三角形的个数是012345333333364+++++=个．故答案为：364．【点睛】本题考查的是图形的变化，掌握图形的变化规律是解题的关键．31．如图，有一个正六边形的点阵，层数由内向外第一层每边有两个点，第二层每边有三个点，依此类推，从射线OA 开始，沿逆时针方向按顺序将每个点依次标上1，2，3，4，5，6，7，……用含n 的代数式表示：第n 层共有______个点、射线OC 上第n 个数字是________．【答案】6n 231n n -+【分析】先分别求出第1、2、3层的点的个数，再归纳类推出一般规律即可得；先分别求出射线OC 上第1、2、3个数字，再归纳类推出一般规律即可得．【详解】第1层共有的点的个数为6，第2层共有的点的个数为1262=⨯，第3层共有的点的个数为1863=⨯，归纳类推得：第n 层共有的点的个数为6n ；射线OC 上第1个数字为33021160=+=⨯++⨯，射线OC 上第2个数字为()1156221601=+=⨯++⨯+，射线OC 上第3个数字为()257182316012=+=⨯++⨯++，归纳类推得：射线OC 上第n 个数字为()2160121n n ++++++-，()()1112162n n n -+-=++⨯，()2131n n n =++-，231n n =-+，故答案为：6n ，231n n -+．【点睛】本题考查了用代数式表示图形的规律型问题、整式的乘法与加减法的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．32．（2020·达州市达川区中小学教学研究室）如图，有一个面积为1的正方形纸板，第一次剪掉这块正方形纸板的一半，第二次剪掉剩下的一半，以此类推．小明想到第n 次剪掉的面积是12n ，第n 次剪掉后剩下的面积也是12n ，小明受此启发，于是计算出202011112482++⋯+=_____________．【答案】2020112-【分析】 根据第1次剪掉的面积是12，第1次剪掉后剩下的面积是12；第2次剪掉的面积是14，第2次剪掉后剩下的面积是14；…第n 次剪掉的面积是12n ，第n 次剪掉后剩下的面积也是12n ；由此规律得出：利用1减去最后剩下的面积计算得出202011112482++⋯+的结果． 【详解】解：∵第1次剪掉的面积是12，第1次剪掉后剩下的面积是12； 第2次剪掉的面积是14，第2次剪掉后剩下的面积是14；。

类型五与平移有关的探究题1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．【要点诠释】（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．【要点诠释】（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．【典例1】在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在直线CD上(不与点C、D重合)，连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH.【问题发现】(1)如图①，若点P在线段CD上，AH与PH的数量关系是________，位置关系是________；【拓展探究】(2)如图②，若点P在线段CD的延长线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，否则说明理由；【解决问题】(3)若点P在线段DC的延长线上，且∠AHQ＝120°，正方形ABCD的边长为2，请直接写出DP的长度．【答案】解：(1)AH ＝PH ，AH ⊥PH ； 【解法提示】如解图①，连接HC ，①∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BDC ＝45°， 又∵QH ⊥BD ，∴△DHQ 是等腰直角三角形， ∴HD ＝HQ ，∠HDP ＝∠HQC ＝45°， 由平移的性质可知DP ＝CQ ，在△HDP 和△HQC 中，⎩⎪⎨⎪⎧HD ＝HQ ∠HDP ＝∠HQC DP ＝QC，∴△HDP ≌△HQC .∴HP ＝HC ，∠DHP ＝∠QHC .根据正方形是轴对称图形得到HA ＝HC ，∠AHD ＝∠CHD ， ∴∠AHP ＝∠AHD ＋∠DHP ＝∠CHD ＋∠QHC ＝90°，即AH ⊥PH . ∴HA ＝HP ，AH ⊥PH . (2)(1)中的结论仍然成立， 理由如下：如解图②，连接HC ，②∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BDC ＝45°， 又∵QH ⊥BD ，∴△DHQ 是等腰直角三角形，∴∠HDP ＝∠HQC ＝135°，HD ＝HQ ，由平移的性质可知DP ＝CQ ，在△HDP 和△HQC 中，⎩⎪⎨⎪⎧HD ＝HQ ∠HDP ＝∠HQC PD ＝CQ，∴△HDP ≌△HQC (SAS)， ∴HP ＝HC ，∠DHP ＝∠QHC ，根据正方形是轴对称图形得到HA ＝HC ，∠AHD ＝∠CHD ， ∴∠AHP ＝∠AHD －∠DHP ＝∠CHD －∠CHQ ＝90°， ∴HA ＝HP ，AH ⊥PH ； (3)DP ＝2 3.【解法提示】由(1)知，AH ＝PH ，AH ⊥PH ， ∴∠HPA ＝45°， ∵∠AHQ ＝120°，∴∠PHQ ＝120°－90°＝30°.∴∠PHD ＝∠QHD －∠PHQ ＝60°，∠AHB ＝∠CHB ＝∠AHP －∠PHD ＝30°， ∴∠CHP ＝∠CHB ＝∠AHB ＝30°， ∴∠CPH ＝180°－∠CHP2＝75°，∴∠APD ＝∠CPH －∠APH ＝30°，在Rt △ADP 中，AD ＝2， ∴DP ＝2tan ∠APD ＝2 3.【典例2】在ABC 中，AB AC =，CG BA ⊥交BA 的延长线于点G ．特例感知：（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 重合，另一条直角边恰好经过点B ．通过观察、测量BF 与CG 的长度，得到BFCG =．请给予证明．猜想论证：（2）当三角尺沿AC 方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC 边重合，另一条直角边交BC 于点D ，过点D 作DE BA ⊥垂足为E ．此时请你通过观察、测量DE ，DF 与CG 的长度，猜想并写出DE 、DF 与CG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想．联系拓展：（3）当三角尺在图2的基础上沿AC 方向继续移动到图3所示的位置（点F 在线段AC 上，且点F 与点C 不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）【答案】（1）证明见详解；（2）DE+DF=CG ，证明见详解；（3）成立． 【解析】 【分析】（1）通过条件证明△BFC ≌△CGB ，即可得到BFCG =；（2）过点B 作BM ⊥CF 交CF 延长线于M ，过点D 作DH ⊥BM 于H ，通过△BMC ≌△CGB ，得到BM=CG ，然后由四边形MHDF 为矩形，MH=DF ，最后再证明△BDH ≌△DBE ，得到BH=DE ，即可得到结论； （3）同（2）中的方法．【详解】 （1）∵AB AC =，∴∠ABC=∠ACB ， 在△BFC 和△CGB 中，90=F G FCB GBC BC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩∴△BFC ≌△CGB ， ∴BFCG =（2）DE+DF=CG ，如图，过点B 作BM ⊥CF 交CF 延长线于M ，过点D 作DH ⊥BM 于H ，∵AB AC =，∴∠ABC=∠ACB ， 在△BMC 和△CGB 中，90=M G FCB GBC BC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩∴△BMC ≌△CGB ， ∴BM=CG ，由题意和辅助线可知，∠M=90°，∠MFD=90°，∠MHD=90°， ∴四边形MHDF 为矩形， ∴MH=DF ，DH ∥MF ， ∴∠HDB=∠MCB ， ∴∠HDB=∠ABC ， 在△BDH 和△DBE 中，90=BHD BED HDB EBDBD DB ∠=∠=︒⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩∴△BDH ≌△DBE ， ∴BH=DE ，∵BM=CG ，BM=BH+HM ， ∴DE+DF=CG ， （3）成立，如图，过点B 作BM ⊥CF 交CF 延长线于M ，过点D 作DH ⊥BM 于H ，同（2）中的方法 ∵AB AC =，∴∠ABC=∠ACB ， 在△BMC 和△CGB 中，90=M G FCB GBC BC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩∴△BMC ≌△CGB ， ∴BM=CG ，由题意和辅助线可知，∠M=90°，∠MFD=90°，∠MHD=90°， ∴四边形MHDF 为矩形， ∴MH=DF ，DH ∥MF ， ∴∠HDB=∠MCB ， ∴∠HDB=∠ABC ， 在△BDH 和△DBE 中，90=BHD BED HDB EBDBD DB ∠=∠=︒⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩∴△BDH ≌△DBE ， ∴BH=DE ，∵BM=CG ，BM=BH+HM ， ∴DE+DF=CG ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，属于几何动态问题，能够正确的构造辅助线找到全等三角形是解题的关键．【典例3】如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′．（1）证明△A′AD′≌△CC′B；（2）若∠ACB=30°，试问当点C′在线段AC上的什么位置时，四边形ABC′D′是菱形，并请说明理由．【思路点拨】（1）根据已知利用SAS判定△A′AD′≌△CC′B；（2）由已知可推出四边形ABC′D′是平行四边形，只要再证明一组邻边相等即可确定四边形ABC′D′是菱形，由已知可得到BC′=12AC，AB=12AC，从而得到AB=BC′，所以四边形ABC′D′是菱形．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，△A′C′D′由△ACD平移得到，∴A′D′=AD=CB，AA′=CC′，A′D′∥AD∥BC．∴∠D′A′C′=∠BCA．∴△A′AD′≌△CC′B．（2）解：当点C′是线段AC的中点时，四边形ABC′D′是菱形．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，△A′C′D′由△ACD平移得到，∴C′D′=CD=AB．由（1）知AD′=C′B．∴四边形ABC′D′是平行四边形．在Rt△ABC中，点C′是线段AC的中点，∴BC′=12 AC．而∠ACB=30°，∴AB=12 AC．∴AB=BC′．∴四边形ABC ′D ′是菱形．【典例4】 如图（1）所示，一张三角形纸片ABC ，6,8,90==︒=∠BC AC ACB .沿斜边AB 的中线CD 把这线纸片剪成11D AC ∆和22D BC ∆两个三角形如图（2）所示.将纸片11D AC ∆沿直线B D 2（AB ）方向平移（点B D D A ,,,21始终在同一条直线上），当点1D 与点B 重合时，停止平移，在平移的过程中，11D C 与2BC 交于点E ，1AC 与222,BC D C 分别交于点F ，P.（1）当11D AC ∆平移到如图（3）所示的位置时，猜想图中E D 1与F D 2的数量关系，并证明你的猜想. （2）设平移距离12,D D 为x ，11D AC ∆与22D BC ∆重叠部分的面积为y ，请写出y 与x 的函数关系式，以及自变量x 的取值范围；（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x ，使得重叠部分面积等于原ABC ∆纸片面积的41？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)D 1E=D 2F ．∵C 1D 1∥C 2D 2，∴∠C 1=∠AFD 2．又∵∠ACB=90°，CD 是斜边上的中线，∴DC=DA=DB ，即C 1D 1=C 2D 2=BD 2=AD 1∴∠C 1=∠A ，∴∠AFD 2=∠A ∴AD 2=D 2F ．同理：BD 1=D 1E ． 又∵AD 1=BD 2，∴AD 2=BD 1．∴D 1E=D 2F ．（2）∵在Rt △ABC 中，AC=8，BC=6，∴由勾股定理，得AB=10．即AD 1=BD 2=C 1D 1=C 2D 2=5又∵D 2D 1=x ，∴D 1E=BD 1=D 2F=AD 2=5-x ．∴C 2F=C 1E=x设△BED 1的BD 1边上的高为h ，由探究，得△BC 2D 2∽△BED 1，又∵∠C 1+∠C 2=90°，∴∠FPC 2=90°．（3）存在．【典例5】如图（1），已知ABC ∆的面积为3，且,AC AB =现将ABC ∆沿CA 方向平移CA 长度得到EFA ∆.（1）求ABC ∆所扫过的图形面积；（2）试判断，AF 与BE 的位置关系，并说明理由； （3）若,15︒=∠BEC 求AC 的长.【思路点拨】（1）根据平移的性质及平行四边形的性质可得到S △EFA =S △BAF =S △ABC ，从而便可得到四边形CEFBCA （'C ）E的面积；（2）由已知可证得平行四边形EFBA为菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得到AF与BE的位置关系为垂直；（3）作BD⊥AC于D，结合三角形的面积求解．【答案与解析】（1）由平移的性质得AF∥BC，且AF=BC，△EFA≌△ABC∴四边形AFBC为平行四边形S△EFA=S△BAF=S△ABC=3∴四边形EFBC的面积为9；（2）BE⊥AF证明：由（1）知四边形AFBC为平行四边形∴BF∥AC，且BF=AC又∵AE=CA∴BF∥AE且BF=AE∴四边形EFBA为平行四边形又已知AB=AC∴AB=AE∴平行四边形EFBA为菱形∴BE⊥AF；（3）如上图，作BD⊥AC于D∵∠BEC=15°，AE=AB∴∠EBA=∠BEC=15°∴∠BAC=2∠BEC=30°∴在Rt△BAD中，AB=2BD设BD=x，则AC=AB=2x∵S△ABC=3，且S△ABC=12AC•BD=12•2x•x=x2∴x2=3∵x为正数。

2021中考数学二轮专题训练：正方形及四边形综合问题一、选择题1. 小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了()A.1次B.2次C.3次D.4次2. 如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为()A. 2B. 2 2C. 2＋1D. 22＋13. 如图，在正方形ABCD中，AB=1，点E，F分别在边BC和CD上，AE=AF，∠EAF=60°，则CF的长是()A.B.C.-1 D.4. （2020·威海）如图，在▱ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，O为BD的中点，E为边AB上一点，直线EO交CD于点F，连结DE，BF．下列结论不成立的是（）A．四边形DEBF为平行四边形B．若AE＝3.6，则四边形DEBF为矩形C．若AE＝5，则四边形DEBF为菱形D．若AE＝4.8，则四边形DEBF为正方形5. 如图正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于点O，则∠DOC的度数为()A.60°B.67.5°C.75°D.54°6. （2020·温州）如图，在R t△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为A．14 B．15 C．83D．657. （2020·湖北孝感）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A 顺时针旋转90°，到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G，若BG=3，CG=2，则CE的长为( )A. B. C.4 D.8. 如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为()A. 2B. 3C. 2D. 1二、填空题9. 以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE，则∠BEC的度数是.10. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC=8，AE=CF=2，则四边形BEDF的周长是.11. 如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE 的对角线，若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标是________．12. 如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则S正方形MNPQ S正方形AEFG的值等于________．13. 如图，正方形ABCD的边长为22，对角线AC，BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的长为________．14. 如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部(包括边界)，则正方形边长a的取值范围是________．15. 七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.由边长为4的正方形ABCD可以制作一副如图①所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图②所示的“拼搏兔”造型(其中点Q，R分别与图②中的点E，G 重合，点P在边EH上)，则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是.16. 如图，正方形ABCD的面积为3 cm2，E为BC边上一点，∠BAE＝30°，F 为AE的中点，过点F作直线分别与AB，DC相交于点M，N.若MN＝AE，则AM的长等于________cm.三、解答题17. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB.过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F.求证:OE=OF.18. 如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE=CF，AF与BE 相交于点G．(1)求证：BE=AF；(2)若AB=4，DE=1，求AG的长．19. 如图，AB是☉O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交☉O于点C，过点C 作☉O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F.(1)求证:CE=EF.(2)连接AF并延长，交☉O于点G.填空:①当∠D的度数为时，四边形ECFG为菱形;②当∠D的度数为时，四边形ECOG为正方形.20. 如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AE<BE)，且∠EOF=90°，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连接MN.(1)求证:OM=ON;(2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长.21. 如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一条直线上，且AD＝3，DE＝1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H.(1)求sin∠EAC的值；(2)求线段AH的长．22. 如图①，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2 cm/s.以AQ、PQ为边作四边形AQPD，连接DQ，交AB于点E.设运动的时间为t(单位：s)(0＜t≤4)，解答下列问题：(1)用含有t的代数式表示AE＝____；(2)如图②，当t为何值时，四边形AQPD为菱形；(3)求运动过程中，四边形AQPD的面积的最大值．2021中考数学二轮专题训练：正方形及四边形综合问题-答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】B【解析】∵正方形ABCD的面积为1，∴BC＝CD＝1，∵E、F是边的中点，∴CE＝CF＝12，∴EF＝（12）2＋（12）2＝22，则正方形EFGH的周长为4×22＝2 2.3. 【答案】C[解析]连接EF.∵AE=AF，∠EAF=60°，∴△AEF为等边三角形，∴AE=EF.∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠D=∠C=90°，AB=AD，∴Rt△ABE ≌Rt△ADF(HL)，∴BE=DF，∴EC=CF.设CF=x，则EC=x，AE=EF==x，BE=1-x.在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，∴1+(1-x)2=(x)2，解得x=-1(舍负).故选C.4. 【答案】：∵O为BD的中点，∴OB＝OD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CDO＝∠EBO，∠DFO＝∠OEB，∴△FDO≌△EBO（AAS），∴OE＝OF，∴四边形DEBF为平行四边形，故A选顶结论正确，若AE＝3.6，AD＝6，∴，又∵，∴，∵∠DAE＝∠BAD，∴△DAE∽△BAD，∴AED＝∠ADB＝90°．故B选项结论正确，∵AB＝10，AE＝5，∴BE＝5，又∵∠ADB＝90°，∴DE AB＝5，∴DE＝BE，∴四边形DEBF为菱形．故C选项结论正确，∵AE＝3.6时，四边形DEBF为矩形，AE＝5时，四边形DEBF为菱形，∴AE＝4.8时，四边形DEBF不可能是正方形．故D不正确．故选：D．5. 【答案】A[解析]连接BF，∵E为AB中点，FE⊥AB，∴EF垂直平分AB，∴AF=BF.∵AF=2AE，∴AF=AB，∴AF=BF=AB，∴△ABF为等边三角形，∴∠FBA=60°，BF=BC，∴∠FCB=∠BFC=15°，∵四边形ABCD为正方形，∴∠DBC=45°，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠DOC=15°+45°=60°.6. 【答案】A【解析】本题主要考查了相似三角形和正方形的性质，由题意知△CDP∽△CBQ，所以CD DPCB BQ=，即2CD CD PECB CB PE-=-，解得：BC＝2CD，所以CQ＝2CP，则CP＝5，CQ＝10，由于PQ∥AB，所以∠CBA＝∠BCQ＝∠DCP，则tan∠BCQ＝tan∠DCP＝tan∠CBA＝12，不妨设DP＝x，则DC＝2x，在R t△DCP中，22(2)25x x+=，解得x＝5.∴DC＝25，BC＝45，所以AB＝10，△ABC的斜边上的高＝2545410AC BCAB⋅⨯==,所以CR＝14，所以因此本题选A．7. 【答案】B【解析】由旋转的性质得△ABF≌△ADE，∴BF=DE，AF=AE，又∵AH⊥EF，∴FH=EH，∵四边形ABCD是正方形，∴∠C=90°，∠EFC=∠EFC，∴△FHG∽△FCE，∴FG FHFE FC=，∵BG=3，CG=2，∴BC=5，设EC=x，则BF=DE=5-x，FG=BG+BF=3+5-x=8-x，CF=BC+BF=5+5-x=10-x，EF=22EC CF+=，FH=22(10)x x+-, ∴2222(10)210(10)x xxx x+-=-+-，解得：x=154.故选B.8. 【答案】B【解析】∵AB＝2，∴BF＝2，又∵BM＝12BC＝1，由勾股定理得FM＝FB2－BM2＝ 3.二、填空题9. 【答案】30°或150°[解析]如图①，∵△ADE是等边三角形，∴DE=DA，∠DEA=∠1=60°.∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠2=90°.∴∠CDE=150°，DE=DC，∴∠3=(180°-150°)=15°.同理可求得∠4=15°.∴∠BEC=30°.如图②，∵△ADE是等边三角形，∴DE=DA，∠1=∠2=60°，∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠CDA=90°.∴DE=DC，∠3=30°，∴∠4=(180°-30°)=75°.同理可求得∠5=75°.∴∠BEC=360°―∠2―∠4―∠5=150°.故答案为30°或150°.10. 【答案】8[解析]如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD=OB=OA=OC，∵AE=CF=2，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形，∴DE=DF=BE=BF，∵AC=BD=8，OE=OF==2，∴由勾股定理得:DE===2，∴四边形BEDF的周长=4DE=4×2=8，故答案为:8.11. 【答案】(3＋2，1)【解析】如解图，过点D作DG⊥BC于G，DF⊥x轴于F，∵在菱形BDCE中，BD＝CD，∠BDC＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴DF ＝CG ＝12BC ＝1，CF ＝DG ＝3，∴OF ＝3＋2，∴D(3＋2，1)．解图12. 【答案】89 【解析】设BD ＝3a ，∠CDB ＝∠CBD ＝45°，且四边形PQMN 为正方形，∴DQ ＝PQ ＝QM ＝NM ＝MB ，∴正方形MNPQ 的边长为a ，正方形AEFG的对角线AF ＝12BD ＝32a ，∵正方形对角线互相垂直，∴S 正方形AEFG ＝12×32a×32a ＝98a 2，∴S 正方形MNPQ S 正方形AEFG ＝a 298a2＝89.13. 【答案】55【解析】∵四边形ABCD 为正方形，∴AO ＝BO ，∠AOF ＝∠BOE＝90°，∵AM ⊥BE ，∠AFO ＝∠BFM ，∴∠FAO ＝∠EBO ，在△AFO 和△BEO中，⎩⎨⎧∠AOF ＝∠BOE AO ＝BO ∠FAO ＝∠EBO，∴△AFO ≌△BEO(ASA )，∴FO ＝EO ，∵正方形ABCD的边长为22，E 是OC 的中点，∴FO ＝EO ＝1＝BF ，BO ＝2，∴在Rt △BOE 中，BE ＝12＋22＝5，由∠FBM ＝∠EBO ，∠FMB ＝∠EOB ，可得△BFM ∽△BEO ，∴FM EO ＝BF BE ，即FM 1＝15，∴FM ＝55.14. 【答案】62≤a ≤3－3 【解析】∵ABCD 是正方形，∴AB ＝a ＝22AC ，∴a的取值范围与AC 的长度直接相关．如解图①，当A ，C 两点恰好是正六边形一组对边中点时，a 的值最小，∵正六边形的边长为1，∴AC ＝3，∴AB ＝a ＝22AC ＝62；如解图②，连接MN ，延长AE ，BF 交于点G ，∵正六边形和正方形ABCD ，∴△MNG 、△ABG 、△EFG 为正三角形，设AE ＝BF ＝x ，则AM ＝BN ＝1－x ，AG ＝BG ＝AB ＝1＋x ＝a ，∵GM ＝MN ＝2，∠BNM ＝60°，∴sin ∠BNM ＝sin 60°＝BC 2BN ＝a 21－x，∴3()1－x ＝a ，∴3()2－a ＝a ，解得，a＝233＋1＝3－ 3.∴正方形边长a 的取值范围是62≤a ≤3－ 3.15. 【答案】4[解析]如图，连接EG ，作GM ⊥EN 交EN 的延长线于M.在Rt △EMG 中，∵GM=4，EM=2+2+4+4=12，∴EG===4，∴EH==4.16. 【答案】233或33 【解析】如解图，过N 作NG ⊥AB ，交AB 于点G ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝NG ＝ 3 cm ，在Rt △ABE 中，∠BAE ＝30°，AB ＝ 3 cm ，∴BE ＝1 cm ，AE ＝2 cm ，∵F 为AE 的中点，∴AF ＝12AE ＝1 cm ，在Rt △ABE 和Rt △NGM 中，⎩⎨⎧AB ＝NGAE ＝NM ，∴Rt △ABE ≌Rt △NGM(HL )，∴BE ＝GM ，∠BAE ＝∠MNG ＝30°，∠AEB ＝∠NMG ＝60°，∴∠AFM ＝90°，即MN ⊥AE ，在Rt △AMF 中，∠FAM ＝30°，AF ＝1 cm ，∴AM ＝AF cos 30°＝132＝233cm ，由对称性得到AM′＝BM ＝AB －AM ＝3－233＝33 cm ，综上，AM 的长等于233或33 cm .解图三、解答题17. 【答案】证明:在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOF=∠BOE=90°.∵AM⊥BE，∴∠AME=90°，∴∠F AO+∠AEB=∠EBO+∠AEB=90°，∴∠F AO=∠EBO.在正方形ABCD中，AC=BD，OA=AC，OB=BD，∴OA=OB，∴△AOF≌△BOE(ASA)，∴OE=OF.18. 【答案】(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，∵DE=CF，∴AE=DF，在△BAE和△ADF中，AB ADBAE ADF AE DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE≌△ADF(SAS)，∴BE=AF；(2)解：由(1)得：△BAE≌△ADF，∴∠EBA=∠FAD，∴∠GAE+∠AEG=90°，∴∠AGE=90°，∵AB=4，DE=1，∴AE=3，∴BE=22AB AE +=2243+=5，在Rt △ABE 中，12AB ×AE=12BE ×AG ，∴AG=435⨯=125．19. 【答案】解:(1)证明:连接OC.∵CE 是☉O 的切线，∴OC ⊥CE. ∴∠FCO +∠ECF=90°.∵DO ⊥AB ，∴∠B +∠BFO=90°. ∵∠CFE=∠BFO ， ∴∠B +∠CFE=90°. ∵OC=OB ，∴∠FCO=∠B. ∴∠ECF=∠CFE. ∴CE=EF .(2)∵AB 是☉O 的直径，∴∠ACB=90°. ∴∠DCF=90°.∴∠DCE +∠ECF=90°，∠D +∠EFC=90°. 由(1)得∠ECF=∠CFE ， ∴∠D=∠DCE. ∴ED=EC. ∴ED=EC=EF .即点E 为线段DF 的中点.①四边形ECFG 为菱形时，CF=CE. ∵CE=EF ，∴CE=CF=EF .∴△CEF为等边三角形.∴∠CFE=60°.∴∠D=30°.故填30°.②四边形ECOG为正方形时，△ECO为等腰直角三角形.∴∠CEF=45°.∵∠CEF=∠D+∠DCE，∴∠D=∠DCE=22.5°.故填22.5°.20. 【答案】解:(1)证明:正方形ABCD中，AC=BD，OA=AC，OB=OD=BD，∴OA=OB=OD，∵AC⊥BD，∴∠AOB=∠AOD=90°，∴∠OAD=∠OBA=45°，∴∠OAM=∠OBN，又∵∠EOF=90°，∴∠AOM=∠BON，∴△AOM≌△BON，∴OM=ON.(2)如图，过点O作OP⊥AB于P，∴∠OP A=90°，∠OP A=∠MAE，∵E为OM中点，∴OE=ME，又∵∠AEM=∠PEO，∴△AEM≌△PEO，∴AE=EP，∵OA=OB，OP⊥AB，∴AP=BP=AB=2，∴EP=1.Rt△OPB中，∠OBP=45°，∴OP=PB=2，Rt△OEP中，OE==，∴OM=2OE=2，Rt△OMN中，OM=ON，∴MN=OM=2.21. 【答案】解图解：(1)由题意知EC ＝2，AE ＝10， 如解图，过点E 作EM ⊥AC 于点M ， ∴∠EMC ＝90°，易知∠ACD ＝45°， ∴△EMC 是等腰直角三角形， ∴EM ＝2，∴sin ∠EAC ＝EM AE ＝55.(4分) (2)在△GDC 与△EDA 中，⎩⎨⎧DG ＝DE∠GDC ＝∠EDA DC ＝DA， ∴△GDC ≌△EDA(SAS )， ∴∠GCD ＝∠EAD ， 又∵∠HEC ＝∠DEA ， ∴∠EHC ＝∠EDA ＝90°， ∴AH ⊥GC ，(7分)∵S △AGC ＝12×AG×DC ＝12×GC×AH ， ∴12×4×3＝12×10×AH ，(9分)∴AH ＝6510.(10分)22. 【答案】(1)5－t ；【解法提示】∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，∴由勾股定理得：AB ＝10 cm ，∵点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为2 cm/s ，∴BP ＝2t cm ，∴AP ＝AB －BP ＝10－2t ，∵四边形AQPD 为平行四边形，∴AE＝12AP ＝5－t .(2)如解图①，当四边形AQPD 是菱形时，DQ ⊥AP ，则cos ∠BAC ＝AE AQ ＝ACAB ， 即5－t 2t ＝810，解得t ＝2513，∴当t ＝2513时，四边形AQPD 是菱形；(3)如解图②，作PM ⊥AC 于M ，设平行四边形AQPD 的面积为S . ∵PM ∥BC ，∴△APM ∽△ABC ，∴AP AB ＝PMBC ，即10－2t 10＝PM 6， ∴PM ＝65(5－t )，∴S ＝AQ ·PM ＝2t ·65(5－t )＝－125t 2＋12t=15255122+⎪⎭⎫⎝⎛--t (0＜t ≤4)， ∵－125＜0，∴当t ＝52时，S 有最大值，最大值为15 cm 2.解图。

专题四规律探究题规律探究题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探究规律 .它体现了“从特殊到一般(再到特殊)”数学思想方法，考查分析、解决问题的能力和观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．规律探究题问题常以填空题、选择题的压轴题形式出现．探究数字或算式的变化规律1. (2019·贺州)计算11×3＋13×5＋15×7＋17×9＋…＋137×39的结果是()A.1937 B.1939 C.3739 D.38392．(2019·常德)观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70＋71＋72＋…＋72019的结果的个位数字是()A．0B．1 C．7D．83．(2018·武汉)将正整数1至2 018按一定规律排列如下表：平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是()A ．2 019B ．2 018C ．2 016D ．2 0134．(2018·临安)已知2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，5＋524＝52×524…若10＋b a ＝102×ba符合前面式子的规律，则a ＋b ＝________.5．(2020·天水)观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S ，用含S 的式子表示这组数据的和是( A )A ．2S 2－SB ．2S 2＋SC ．2S 2－2SD ．2S 2－2S －26．(2018·泰安)观察“田”字中各数之间的关系：，，，，，…，则c的值为___________________________________________________________．7．(2018·淄博)将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是________．8．(2020·泰安)下表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，……，第n个数记为a n，则a4＋a200＝________．9. (2019·绍兴)我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等．如图的幻方中，字母m 所表示的数是________．10．(2019·安徽)观察以下等式 ： 第 1个等式 ：21＝11＋11，第 2个等式 ：23＝12＋16，第 3个等式 ：25＝13＋115，第 4个等式 ：27＝14＋128，第 5个等式 ：29＝15＋145，……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第 6个等式： ________________；(2)写出你猜想的第 n 个等式： ________________(用含 n 的等式表示 )，并证明．11．(2019·滨州)观察下列一组数：a1＝13，a2＝35，a3＝69，a4＝1017，a5＝1533，…，它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数a n＝________(用含n的式子表示)．探究图形的变化规律1．(2019·枣庄)如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是()2．(2018·烟台)如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第n个图形中有120朵玫瑰花，则n的值为()A．28 B．29C．30D．313．(2018·随州)我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”(如1，3，6，10…)和“正方形数”(如1，4，9，16…)，在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m＋n的值为()A．33B．301C．386D．5714．(2020·常德)如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2 020次．移动规则是：第k次移动k个顶点(如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处)，按这样的规则，在这2 020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是(C)A．C，E B．E，FC．G，C，E D．E，C，F5．(2017·达州)如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，依此类推，这样连续旋转2 017次．若AB＝4，AD＝3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为()A．2 017π B．2 034πC．3 024π D．3 026π6．(2018·遵义)每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2 018层的三角形个数为________．7．如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝________.,第1幅 第2幅 第3幅 第n 幅 )8．(2019·淄博)如图，在以A 为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC 中，将B 角折起，使点B 落在AC 边上的点D (不与点A ，C 重合)处，折痕是EF.,图1),图2),图3)如图1，当CD ＝12AC 时，tan α1＝34；如图2，当CD ＝13AC 时，tan α2＝512；如图3，当CD ＝14AC 时，tan α3＝724；……依次类推，当CD ＝1n ＋1AC (n 为正整数)时，tan αn ＝__________.9．(2019·扬州)如图，在①ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，若进行以下操作，在边BC 上从左到右依次取点D 1、D 2、D 3、D 4、…；过点D 1作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点E 1、F 1；过点D 2作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点E 2、F 2；过点D 3作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点E 3、F 3…，则4(D 1E 1＋D 2E 2＋…＋D 2019E 2019)＋5(D 1F 1＋D 2F 2＋…＋D 2019F 2019)＝________.探究坐标的变化规律1．(2019·菏泽)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A 1，第二次移动到点A 2……第n 次移动到点A n ，则点A 2019的坐标是( )A ．(1010，0)B ．(1010，1)C ．(1009，0)D ．(1009，1)2．(2017·温州)我们把1，1，2，3，5，8，13，21…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P 1P 2︵，P 2P 3︵，P 3P 4︵…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4…得到螺旋折线(如图)，已知点P 1(0，1)，P 2(－1，0)，P 3(0，－1)，则该折线上的点P 9的坐标为( )A ．(－6，24)B ．(－6，25)C ．(－5，24)D ．(－5，25)3．(2019·广安)如图，在平面直角坐标系中，点A 1的坐标为(1，0)，以OA 1为直角边作Rt①OA 1A 2，并使①A 1OA 2＝60°，再以OA 2为直角边作Rt①OA 2A 3，并使①A 2OA 3＝60°，再以OA 3为直角边作Rt①OA 3A 4，并使①A 3OA 4＝60°…按此规律进行下去，则点A 2019的坐标为_______________．4．(2018·衡阳)如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝x 和y ＝－12x 的图象分别为直线l 1，l 2，过点A 1⎝⎛⎭⎫1，－12作x 轴的垂线交l 1于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交l 2于点A 3，过点A 3作x 轴的垂线交l 1于点A 4，过点A 4作y 轴的垂线交l 2于点A 5……依次进行下去，则点A 2 018的横坐标为________．5．(2019·潍坊)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，一组同心圆的圆心为坐标原点O ，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线l 0，l 1，l 2，l 3，…都与x 轴垂直，相邻两直线的间距为l ，其中l 0与y 轴重合．若半径为2的圆与l 1在第一象限内交于点P 1，半径为3的圆与l 2在第一象限内交于点P 2，…，半径为n ＋1的圆与l n 在第一象限内交于点P n ，则点P n 的坐标为____________．(n 为正整数)6．(2019·德州)如图，点A 1、A 3、A 5…在反比例函数y ＝kx (x>0)的图象上，点A 2、A 4、A 6…在反比例函数y ＝－kx (x>0)的图象上，①OA 1A 2＝①A 1A 2A 3＝①A 2A 3A 4＝…＝①α＝60°，且OA 1＝2，则A n (n为正整数)的纵坐标为______________________________________．(用含n 的式子表示)7．(2019·泰安)在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，…在直线l上，点C1，C2，C3，C4，…在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是____________．参考答案[类型1]1.B 2.A 3.D 4. 109 5. A 6. 270(或28＋14)7. 2 0188. 201109. 410．(1)211＝16＋166(2)22n－1＝1n＋1n（2n－1）证明：∵右边＝1n＋1n（2n－1）＝2n－1＋1n（2n－1）＝22n－1＝左边．∴等式成立.11. n（n＋1）2＋2n＋1[类型2]1. D 2.C 3. C 4. D 5. D 6. 4 0357. 1 0108.2n＋12n2＋2n9.40 380[类型3]1.C 2.B 3. (－22 017，22 0173) 4. 21 0085. (n，2n＋1)11 / 11 6. (－1)n ＋13(n －n －1)或⎩⎪⎨⎪⎧3（n －n －1），n 为奇数3（n －1－n ），n 为偶数 7. 2(2n －1)。

2021年九年级数学中考二轮复习《探索数字的变化规律》专题突破训练1．观察下列两行数：1，3，5，7，9，11，13，15，17，…1，4，7，10，13，16，19，22，25，…探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是103，则n等于（）A．18B．19C．20D．212．已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是（）A．﹣7.5B．7.5C．5.5D．﹣5.53．计算++++…+的结果是（）A．B．C．D．4．观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（）A．0B．1C．7D．85．一列数按某规律排列如下：，，，，，，，，，，…，若第n个数为，则n＝（）A．50B．60C．62D．716．按一定规律排列的一组数：，，，，…，，，（其中a，b为整数），则a+b的值为（）A．182B．172C．242D．2007．一个整数的所有正约数之和可以按如下方法求得，如：6＝2×3，则6的所有正约数之和（1+3）+（2+6）＝（1+2）×（1+3）＝12；12＝22×3，则12的所有正约数之和（1+3）+（2+6）+（4+12）＝（1+2+22）×（1+3）＝28；36＝22×32，则36的所有正约数之和（1+3+9）+（2+6+18）+（4+12+36）＝（1+2+22）×（1+3+32）＝91．参照上述方法，那么200的所有正约数之和为（）A．420B．434C．450D．4658．现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若S0可以为任意序列，则下面的序列可作为S1的是（）A．（1，2，1，2，2）B．（2，2，2，3，3）C．（1，1，2，2，3）D．（1，2，1，1，2）9．下面是按照一定规律排列的一列数：第1个数：﹣（1+）；第2个数：﹣（1+）×（1+）×（1+）；第3个数：﹣（1+）×（1+）×（1+）×（1+）×（1+）；…依此规律，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（）A．第10个数B．第11个数C．第12个数D．第13个数10．一列数a1，a2，a3，…，其中a1＝，a n＝（n为不小于2的整数），则a100＝（）A．B．2C．﹣1D．﹣211．我们知道：1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，…，那么一列数：，，，，，，，，，，，，，，，，，…中，则第200个数是（）A．B．C．D．12．对点（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（x，y）＝（x+y，x﹣y）；且规定P n（x，y）＝P1（P n﹣1（x，y））（n为大于1的整数）．如P1（1，2）＝（3，﹣1），P2（1，2）＝P1（P1（1，2））＝P1（3，﹣1）＝（2，4），P3（1，2）＝P1（P2（1，2））＝P1（2，4）＝（6，﹣2）．则P2021（1，﹣1）＝（）A．（0，21010）B．（0，﹣21010）C．（0，﹣21011）D．（0，21011）13．某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是个．14．定义：分数（m，n为正整数且互为质数）的连分数（其中a1，a2，a3，…，为整数，且等式右边的每个分数的分子都为1），记作+++…，例如：＝＝＝＝＝＝，的连分数为，记作+++，则++．15．观察下面的变化规律：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，＝﹣，…根据上面的规律计算：＝．16．“书法艺术课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数超过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为，并可推断出5月30日应该是星期几．17．观察下列一组数的排列规律：，，，，，，，，，，，，，，，…那么，这一组数的第2019个数是．18．探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是．19．已知a＞0，S1＝，S2＝﹣S1﹣1，S3＝，S4＝﹣S3﹣1，S5＝，…（即当n为大于1的奇数时，S n＝；当n为大于1的偶数时，S n＝﹣S n﹣1﹣1），按此规律，S2018＝．20．按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，，，，…，则这个数列前2018个数的和为．21．根据下列各式的规律，在横线处填空：，，＝，…，+﹣＝22．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”从图中取一列数：1，3，6，10，…，记a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，那么a9+a11﹣2a10+10的值是．23．阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S＝1+2+22+…+22017+22018①则2S＝2+22+…+22018+22019②②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+…+29＝；（2）3+32+…+310＝；（3）求1+a+a2+…+a n的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．24．观察以下等式：第1个等式：＝+，第2个等式：＝+，第3个等式：＝+，第4个等式：＝+，第5个等式：＝+，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．25．小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第i组有x i首，i＝1，2，3，4；②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i＝1，2，3，4；第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组x1x1x1第2组x2x2x2第3组第4组x4x4x4③每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题：（1）填入x3补全上表；（2）若x1＝4，x2＝3，x3＝4，则x4的所有可能取值为；（3）7天后，小云背诵的诗词最多为首．26．观察以下等式：第1个等式：++×＝1，第2个等式：++×＝1，第3个等式：++×＝1，第4个等式：++×＝1，第5个等式：++×＝1，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．27．观察下列各个等式的规律：第一个等式：＝1，第二个等式：＝2，第三个等式：＝3…请用上述等式反映出的规律解决下列问题：（1）直接写出第四个等式；（2）猜想第n个等式（用n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．28．阅读下列材料，并解决相关的问题．按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为a n．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1＝1，公比为q＝3．则：（1）等比数列3，6，12，…的公比q为，第4项是．（2）如果一个数列a1，a2，a3，a4，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：＝q，＝q，＝q，…＝q．所以：a2＝a1•q，a3＝a2•q＝（a1•q）•q＝a1•q2，a4＝a3•q＝（a1•q2）•q＝a1•q3，…由此可得：a n＝（用a1和q的代数式表示）．（3）若一等比数列的公比q＝2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．29．观察下列关于自然数的等式：32﹣4×12＝5 ①52﹣4×22＝9 ②72﹣4×32＝13 ③…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：92﹣4×2＝；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．30．观察图形，解答问题：（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：图①图②图③三个角上三个数的积1×（﹣1）×2＝﹣2（﹣3）×（﹣4）×（﹣5）＝﹣60三个角上三个数的和1+（﹣1）+2＝2（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）＝﹣12积与和的商﹣2÷2＝﹣1（2）请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x。

专题01 平面直角坐标系规律探究问题【知识点梳理】1、关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征点P （a ，b ）与关于x 轴对称点的坐标为 （a ，-b ） 点P （a ，b ）与关于y 轴对称点的坐标为 （-a ，b ） 点P （a ，b ）与关于原点对称点的坐标为 （-a ，-b ） 口诀：关于谁对称，谁不变，另一个变号，关于原点对称都变号 2、点的平移点P （a ，b ）沿x 轴向右（或向左）平移m 个单位后对应点的坐标是(a ±m,b )； 点P （a ，b ）沿y 轴向上（或向下）平移n 个单位后对应点的坐标是(a,b ±n ). 口诀：横坐标右加左减，纵坐标上加下减.3、两点间的距离：在x 轴或平行于x 轴的直线上的两点P 1 (x 1,y )，P 2 (x 2,y )间的距离为|x 1−x 2| 在y 轴或平行于y 轴的直线上的两点P 1 (x ,y 1)，P 2 (x ,y 2)间的距离为|y 1−y 2| 任意两点P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(x 1+x 22,y 1+y 22)任意两点P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，则线段P 1P 2=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2【典例分析】【例1y)经过某种变换后得到点P ′(−y +1,x +2)，我们把点P ′(−y +1,x +2)叫做点P(x,y)的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…、nP 、…，若点p 1的坐标为（2，0），则点P 2022的坐标为_____。

【答案】（1，4）．解析：解：P 1 坐标为（2，0），则P 2坐标为（1，4），P 3坐标为（-3，3），P 4坐标为（-2，-1），P 5坐标为（2，0），∴P n 的坐标为（2，0），（1，4），（-3，3），（-2，-1）循环， ∵2022=4×505+2， ∴P 2022 坐标与P 2点重合， 故答案为（1，4）．【练1】在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），我们把点P′（y -1，-x+1）叫做点P 的伴随点．已知点A 1的伴随点为A 2，点A 2的伴随点为A 3，点A 3的伴随点为A 4，…，这样依次得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…．若点A 1的坐标为（3，2），则A 2023的坐标为________【答案】（-3，0）解析：解：∵A1（3，2），A2（1，-2），A3（-3，0），A4（-1，4），A5（3，2），…，∴点A n的坐标4个一循环．∵2023=505×4+3，∴点A2023的坐标与点A2的坐标相同．∴A2023的坐标为（-3，0），故答案为：（-3，0）．【练2】某同学在平面直角坐标系内设计了一个动点运动的编程．若一个动点从点A1（1，3）出发，沿A2（3，5）→A3（7，9）→…运动，则点A2022的坐标为（）A．（22021﹣1，22021+1）B．（22022﹣1，22022+1）C．（22022﹣2，22022+2）D．（22021﹣2021，22021+2021）【答案】B【解析】解：∵一个动点从点A1（1，3）出发，沿A2（3，5）→A3（7，9）→…运动，∴A n（2n﹣1，2n+1），∴A2022的坐标为：（22022﹣1，22022+1），故选：B．【练3】对点（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（x，y）＝（x+y，x﹣y）；且规定P n（x，y）＝P1（P n﹣1（x，y））（n为大于1的整数）．如P1（1，2）＝（3，﹣1），P2（1，2）＝P1（P1（1，2））＝P1（3，﹣1）＝（2，4），P3（1，2）＝P1（P2（1，2））＝P1（2，4）＝（6，﹣2）．则P2022（1，﹣1）＝．【答案】（21011，21011）【解析】解：由题意可得：P1（1，﹣1）＝（0，2），P2（1，﹣1）＝（2，﹣2）P3（1，﹣1）＝（0，4），P4（1，﹣1）＝（4，﹣4）P5（1，﹣1）＝（0，8），P6（1，﹣1）＝（8，﹣8）…当n为奇数时，P n（1，﹣1）＝（0，），当n为偶数时，P n（1，﹣1）＝（2n2，2n2），∴P2022（1，﹣1）应该等于（21011，21011）．故答案是：（21011，21011）．【例2】如图，在平面直角坐标系中，A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4，0）…根据这个规律，探究可得点A2022的坐标是（）A．（2022，0）B．（2022，2）C．（2021，﹣2）D．（2022，﹣2）【答案】A【解析】解：观察图形可知，点A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4，0）…的横坐标依次是1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是2、0、﹣2、0、2、0、﹣2、…，四个一循环，2022÷4＝505…2，故点A2022坐标是（2022，0）．故选：A．【练1】如图，动点P1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），……，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点P的坐标是（）A．（2021，0）B．（2020，1）C．（2022，0）D．（2022，1）【答案】C【解析】分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位，∴2022=4×505+2．当第505循环结束时，点P位置在（2020，0），在此基础之上运动两次到（2022，0）．故选C．【练2】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），…，按这样的运动规律，第2022次运动后，动点P2022的坐标是（）A．（2022，1）B．（2022，2）C．（2022，﹣2）D．（2022，0）【答案】D【解析】解：观察图象，动点P第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），第四次运动到P4（4，0），第五运动到P5（5，2），第六次运动到P6（6，0），…，结合运动后的点的坐标特点，可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，﹣2，0，2，0；∵2022÷6＝337，∴经过第2022次运动后，动点P的纵坐标是0，故选：D．【练3】如图，平面直角坐标系中，一个点从原点O出发，按向右→向上→向右→向下的顺序依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移到点A1，第二次移到点A2，第三次移到点A3，…，第n次移到点A n，则点A2022的坐标是_____________.【答案】（1011,1）.【解析】观察图象可知，点A的纵坐标每4个点循环一次，∵2022=505×4+2，∴点A2022的纵坐标与点A2的纵坐标相同，∵A2（1，1），A6（3,1），A10（5,1）……，∴点A2022的坐标是（1011,1）.【例3】如图，在平面直角坐标系上有个点A（-1，O），点A第1次向上跳动一个单位至点A1（-1，1），紧接着第2次向右跳动2个单位至点A2(1，1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，点A第2022次跳动至点A2022的坐标是( )A.(-505, 1011)B.(505, 1010)C.(-506, 1010)D.(506, 1011)【答案】D【解析】解：设第n次跳动至点A n，观察，发现：A（-1，0），A1（-1，1），A2（1，1），A3（1，2），A4（-2，2），A5（-2，3），A6（2，3），A7（2，4），A8（-3，4），A9（-3，5），…，∴A4n（-n-1，2n），A4n+1（-n-1，2n+1），A4n+2（n+1，2n+1），A4n+3（n+1，2n+2）（n为自然数）．∵2022=505×4+2，∴A2022（505+1，505×2+1），即（506，1011）．故选：D．【练1】如图所示，在平面直角坐标系上有个点P（1,0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1(1,1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(−1,1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位……依此规律跳动下去，点P第99次跳动至点P99的坐标是_____【答案】（-25，50）【解析】解：由题中规律可得出如下结论：设点Px的横坐标的绝对值是n，则在y轴右侧的点的下标分别是4（n-1）和4n-3，在y轴左侧的点的下标是：4n-2和4n-1；判断P199的坐标，就是看99=4（n-1）和99=4n-3和99=4n-2和99=4n-1这四个式子中哪一个有负整数解，从而判断出点的横坐标.由上可得：点P第99次跳动至点P99的坐标是（-25，50）故答案为：（-25，50）.【练2】如图，在平面直角坐标系上有点A0(1,0)，点A0第一次跳动至点A1(−1,1)，第二次点A1跳动至点A2(2,1)，第三次点A跳动至点A3(−2,2)，第四次点A3跳动至点A4(3,2)，……依2此规律跳动下去，则点A2021与点A2022之间的距离是（）A．2023B．2022C．2021D．2020【答案】A【解析】观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），第4次跳动至点的坐标是（3，2），第6次跳动至点的坐标是（4，3），第8次跳动至点的坐标是（5，4），…第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），则第2022次跳动至A2022点的坐标是（1012，1011），第2021次跳动至点A2021的坐标是（﹣1011，1011）．∵点A2021与点A2022的纵坐标相等，∴点A2021与点A2022之间的距离=1012﹣（﹣1011）=2023．故选：A．【练3】在平面直角坐标系内原点O（0，0）第一次跳动到点A1（0，1），第二次从点A1跳动到点A2（1，2），第三次从点A2跳动到点A3（﹣1，3），第四次从点A3跳动到点A4（﹣1，4），…，按此规律下去，则点A2021的坐标是（）A．（673，2021）B．（674，2021）C．（﹣673，2021）D．（﹣674，2021）【答案】B【解析】解：因为A1（0，1），A2（1，2），A3（﹣1，3），A4（﹣1，4），A5（2，5），A6（﹣2，6），A7（﹣2，7），A8（3，8），…A3n﹣1（n，3n﹣1），A3n（﹣n，3n），A3n+1（﹣n，3n+1）（n为正整数），∵3×674﹣1＝2021，∴n＝674，所以A2021（674，2021），故选：B．【例4】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1）（1，1）,（1，2），（2，2）……根据这个规律，第2022个点的坐标为________【答案】（45，6）【解析】解：观察图形，可知：第1个点的坐标为（1，0），第4个点的坐标为（1，1），第9个点的坐标为（3，0），第16个点的坐标为（1，3），…，∴第（2n-1）2个点的坐标为（2n-1，0）（n为正整数）．∵2025=452，∴第2025个点的坐标为（45，0）．又∵2025-3=2022，∴第2022个点在第2025个点的上方3个单位长度处，∴第2022个点的坐标为（45，3）．故答案为：（45，3）．【练1】如图，一个蒲公英种子从平面直角坐标系的原点O出发，向正东走3米到达点A1，再向正北方向走6米到达点A2，再向正西方向走9米到达点A3，再向正南方向走12米到达点A4，再向正东方向走15米到达点A5，以此规律走下去，当种子到达点A10时，它在坐标系中坐标为（）A．（﹣12，﹣12）B．（15，18）C．（15，﹣12）D．（﹣15，18）【答案】B【解析】解：根据题意可知：O A1＝3，A1A2＝6，A2A3＝9，A3A4＝12，A4A5＝15，A5A6＝18，A9A10＝30，∴A1点坐标为（3，0），A2点坐标为（3，6），A3点坐标为（﹣6，6），A4点坐标为（﹣6，﹣6），A5点坐标为（9，﹣6），A6点坐标为（9，12），以此类推，A9点坐标为（15，﹣12），所以A10点横坐标为15，纵坐标为﹣12+30＝18，∴A10点坐标为（15，18），故选：B．【练2】如图，一个点在第一象限及x轴、y轴上移动，在第一秒钟，它从原点移动到点（1，0），然后按照图中箭头所示方向移动，即（0，0）→（1，0）→（1，1）→（0，1）→（0，2）→…，且每秒移动一个单位，那么第2022秒时，点所在位置的坐标是（ ）A ．（2，44）B ．（41，44）C ．（44，41）D ．（44，2）【答案】【解析】解：观察可发现，点到（0，2）用4＝22秒，到（3，0）用9＝32秒，到（0，4）用16＝42秒，则可知当点离开x 轴时的横坐标为时间的平方，当点离开y 轴时的纵坐标为时间的平方， 此时时间为奇数的点在x 轴上，时间为偶数的点在y 轴上, ∵2022＝452﹣3＝2025﹣3，∴第2025秒时，动点在（45，0），故第2022秒时，动点在（45，0）向左一个单位，再向上2个单位， 即（44，2）的位置． 故选：D ．【练3】如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,1)，(3,0)，(3,−1)…根据这个规律探索可得，第99个点的坐标为( )A.(14,−1)B.(14,0)C.(14,1)D.(14,2)【答案】C【解析】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点…第n 个有n 个点， 并且奇数列点数对称而偶数列点数y 轴上方比下方多一个， 所以奇数列的坐标为(n,n−12)，(n,n−12−1)，…，(n,1−n 2)；偶数列的坐标为(n,n2)，(n,n2−1)，…，(n,1−n2)， ∵1+2+3+4+……+13=91∴第99个点位于第14列自上而下第7行．−6)，即(14,1)．代入上式得(14,142故选C．【例5】如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的直角△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置…依次进行下去，发现A（3，0），A1（12，3），A2（15，0）…那么点A2022的坐标为．【答案】（12135，0）【解析】解：∵∠AOB＝90°，点A（3，0），B（0，4），根据勾股定理得AB＝5，根据旋转可知：OA+AB1+B1C2＝3+5+4＝12，所以点A1（12，3），A2（15，0）；继续旋转得A3（24，3），A4（27，0）；…发现规律：A2n﹣1（12n，3），A2n（12n+3，0），∵2022＝2n，∴n＝1011，∴点A2022的坐标为（12135，0），故答案为：（12135，0）．【练1】如图，动点P从（0，3）出发沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2022次碰到长方形的边时点P的坐标为．【答案】（0，3【解答过程】解：如图所示：经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2022÷6＝337∴当点P第2022次碰到矩形的边时与P点起点位置重合，∴点P的坐标为（0，3）．故答案为：（0，3）．【练2】如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2019次，依次得到点P1,P2,P3,...,P2022，则点P2022的坐标是（）A.(2022,2)B.(2022,√3)C.(4043,2)D.(4043, √3)【答案】D【解析】解：由题意可知P1是1P的横坐标是3，P3的横坐标是5，P4的横坐标是7…依此类推下去，P n的横坐标是2n-1,∴P2022的横坐标是2×2022-1=4043纵坐标都是√3，故选：D．连续作旋转变换，依【练3】如图，在直角坐标系中，已知点A(−3,0)，B(0,4)，对OAB次得到Δ1，Δ2，Δ3，Δ4，…，则∆2022的直角顶点的坐标为______.【答案】（8088，0）【解析】解：∵点A（-3，0）、B（0，4），∴AB=√32+42=5由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，∵2022÷3=674，∴∆2022的直角顶点是第674个循环组的最后一个三角形的直角顶点；∵674×12=8088，∴∆2022的直角顶点的坐标为（8088，0）.故答案为（8088，0）.【例6】如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推……则正方形OB2021B2022C2022的顶点B2022的坐标是_____.【答案】（0,-22011）【解析】解：∵正方形OA1B1C1的边长为1，∴OB1=√2∴OB2=2∴B2（0，2），同理可知B3（-2，2），B4（-4，0），B5（-4，-4），B6（0，-8），B7（8，-8），B9（16，16），B10（0，32）．由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标的符号相同，每次正方形的边长变为原来的√2倍，∵2022÷8=252⋯⋯6，∴B8n+6（0，-24n+3），∴B2022（0,-22011）．故答案为：（0,-22011）．【练1】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA＝1，以点A1为直角顶点，0A1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律，则点A2022的坐标是_____．【答案】（0,-22011）【解析】解：由等腰直角三角形的性质，可知：A 1（1，1），A 2（0，2），A 3（﹣2，2），A 4（0，﹣4），A 5（﹣4，﹣4），A 6（0，﹣8），A 7（8，﹣8），A 8（16，0），A 9（16，16），A 10（0，32），A 11（﹣32，32），…，∵2022＝252×8+6∴点A 8n+6的坐标为（0，24n+3）（n 为自然数）．∴点A 2022的坐标为（0，24×252+3），即（0,-22011），故答案为：（0,-22011）．【练2】在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2）.长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点2A ，作正方形A 2B 2C 2C 1……按这样的规律进行下去，第2022个正方形的面积为_____．【答案】5×(32)4042.【解析】解：∵点A 的坐标为（1,0），点D 的坐标为（0,2）∴正方形ABCD 的边长为√5，设其面积为S 1=5，依此类推，接下来的面积依次为S 2,S 3,S 4⋯⋯第2022个正方形的面积为S 2022，又∵三角形相似，∴ OA OD =A 1B AB =A 2B 1A 1B 1=⋯=12. ∴ S 2=5×94，S 3=5×(94)2…… ∴S 2022=5×(94)2022−1=5×(94)2021=5×(32)4042.【练3】如图，在平面直角坐标系xOy中，B1（0，1），B2（0，3），B3（0，6），B4（0，10），…，以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2，以B2B3为对角线作第二个正方形A2B2C2B3，以B3B4为对角线作第三个正方形A3B3C3B4，…，如果所作正方形的对角线B n B n+1都在y 轴上，且B n B n+1的长度依次增加1个单位长度，顶点A n都在第一象限内（n≥1，且n为整数），那么A1的纵坐标为；用n的代数式表示A n的纵坐标：．【答案】2；【解析】解：作A1D⊥y轴于点D，则B1D＝B1B2÷2＝（3﹣1）÷2＝1，∴A1的纵坐标＝B1D+B1O＝1+12，同理可得A2的纵坐标＝OB2+（B2B3）÷2＝3+（6﹣3）÷2 4.5，∴A n的纵坐标为，故答案为2，．。

数学第二轮复习-----题型四解直角三角形1.如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（）A. 11米 B.（36﹣15）米 C. 15米 D. （36﹣10）米2.如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO=70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO=50°，那么AC的长度约为______米．（sin70°约等于0.94，sin50°约等于0.77，cos70°约等于0.34，cos50°约等于0.64）第1题图第2题图第3题图第4题图3.一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A、B两点的距离为s米，则塔高为______米．4.居家学习期间，小晴同学运用所学知识在自家阳台测对面大楼的高度．如图，她利用自制的测角仪测得该大楼顶部的仰角为45°，底部的俯角为38°；又用绳子测得测角仪距地面的高度AB为31.6m．求该大楼的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）5.如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α般要满足60°≤α≤75°，现有一架长5.5m的梯子．（1）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？（2）当梯子底端距离墙面2.2m时，α等于多少度（结果保留小数点后一位）？此时人是否能够安全使用这架梯子？（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，sin23.6°≈0.40，cos66.4°≈0.40，tan21.8°≈0.40．）6.某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度为i=1：2.4，点A到大楼的距离AD为72米，求大楼的高度CD．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）7.如图，无人机在离地面60米的C处，观测楼房顶部B的俯角为30°，观测楼房底部A的俯角为60°，求楼房的高度．8.如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°，已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到lm）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈l.43）．9.如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG=2米，货厢底面距地面的高度BH=0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH=α，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽都是1.6米．通过计算判断：当sinα=，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E 会不会触碰到汽车货厢顶部．10.某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示，CD部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45°，底端D点的仰角为30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B 处，测得顶端C的仰角为63.4°（如图②所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米，参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，≈1.41，≈1.73）11.鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A、C、D共线）处同时施工．测得∠CAB=30°，AB=4km，∠ABD=105°，求BD的长．12.由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛B位于它的北偏东30°方向，且小岛与航母相距80海里，航母再航行一段时间后到达C处，测得小岛B位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC的长．13.在小水池旁有一盏路灯，已知支架AB的长是0.8m，A端到地面的距离AC是4m，支架AB与灯柱AC的夹角为65°．小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角是45°，在水池的内沿E测得支架A端的仰角是50°（点C、E、D在同一直线上），求小水池的宽DE．（结果精确到0.1m）（sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan50°≈1.2）14如图，C处是一钻井平台，位于东营港口A的北偏东60°方向上，与港口A相距60海里，一艘摩托艇从A出发，自西向东航行至B时，改变航向以每小时50海里的速度沿BC方向行进，此时C位于B的北偏西45°方向，则从B到达C需要多少小时？第2页，共6页1.【答案】D【解析】【分析】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将实际问题转化为解直角三角形的问题，求出BE的长度，难度一般．过点A作AE⊥BD，交BD于点E；可构造Rt△ABE，利用已知条件可求BE；而甲楼高AC=ED=BD-BE．【解答】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，在Rt△ABE中，AE=30米，∠BAE=30°，∴BE=30×tan30°=10（米），∴AC=ED=BD-BE=（36-10）（米）．∴甲楼高为（36-10）米．故选：D．2.【答案】1.02【解析】解：由题意可得：∵∠ABO=70°，AB=6m，∴sin70°==≈0.94，解得：AO=5.64（m），∵∠CDO=50°，DC=6m，∴sin50°=≈0.77，解得：CO=4.62（m），则AC=5.64-4.62=1.02（m），答：AC的长度约为1.02米．故答案为：1.02．直接利用锐角三角函数关系得出AO，CO的长，进而得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AO，CO的长是解题关键．3.【答案】【解析】解：在Rt△BCD中，∵tanβ=，∴BD =，在Rt△ACD中，∵tanα==，∴tanα=，解得：CD =，故答案为：．在Rt△BCD中有BD =，在Rt△ACD中，根据tanα==可得tanα=，解之求出CD即可得．本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是根据两直角三角形的公共边利用三角函数建立方程求解．4.【答案】解：作AH⊥CD于H，如图：则四边形ABDH是矩形，∴HD=AB=31.6m，在Rt△ADH中，∠HAD=38°，tan∠HAD =，∴AH ===≈40.51（m），在Rt△ACH中，∠CAH=45°，∴CH=AH=40.51m，∴CD=CH+HD=40.51+31.6≈72.1（m），答：该大楼的高度约为72.1m．【解析】作AH⊥CD于H，则四边形ABDH是矩形，得出HD=AB=31.6m，由三角函数定义求出AH≈40.51（m），证出CH=AH=40.51m，进而得出答案．本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题以及等腰直角三角形的判定，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．5.【答案】解：（1）由题意得，当α=75°时，这架梯子可以安全攀上最高的墙，在Rt△ABC中，sinα=，∴AC=AB•sinα≈5.3，答：使用这架梯子最高可以安全攀上5.3m的墙；（2）在Rt△ABC中，cosα==0.4，则α≈66.4°，∵60°≤66.4°≤75°，∴此时人能够安全使用这架梯子．【解析】（1）根据正弦的定义求出AC，得到答案；（2）根据余弦的定义求出α，根据题意判断即可．本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．6.【答案】解：如图，过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，∵CD⊥AD，∴易得四边形BEDF是矩形，∴FD=BE，FB=DE，在Rt△ABE中，BE：AE=1：2.4=5：12，设BE=5x，AE=12x，根据勾股定理，得AB=13x，∴13x=52，解得x=4，∴BE=FD=5x=20，AE=12x=48，∴DE=FB=AD-AE=72-48=24，∴在Rt△CBF中，CF=FB×tan∠CBF ≈24×≈32，∴CD=FD+CF=20+32=52（米）．答：大楼的高度CD约为52米．【解析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题和坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，可得四边形BEDF是矩形，设BE=5x，AE=12x，根据斜坡AB 的坡度为i=1：2.4，利用勾股定理可得x的值，再根据锐角三角函数即可进一步求大楼的高度CD．7.【答案】解：过B作BE⊥CD交CD于E，由题意得，∠CBE=30°，∠CAD=60°，在Rt△ACD中，tan∠CAD=tan60°==，∴AD ==20，∴BE=AD =20，在Rt△BCE中，tan∠CBE=tan30°==，∴CE =20=20，∴ED=CD-CE=60-20=40，∴AB=ED=40（米），答：楼房的高度为40米．【解析】过B作BE⊥CD交CD于E，由题意得，∠CBE=30°，∠CAD=60°，解直角三角形即可得到结论．此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，用到的知识点是俯角的定义、特殊角的三角函数值，关键是作出辅助线，构造直角三角形．8.【答案】解：过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，则AE=MN=CF=1.6m，EF=AC=35m，∠BEN=∠DFN=90°，EN=AM，NF=MC，第4页，共6页则DF=DC-CF=16.6-1.6=15m，在Rt△DFN中，∵∠DNF=45°，∴NF=DF=15m，∴EN=EF-NF=35-15=20m，在Rt△BEN中，∵tan∠BNE =，∴BE=EN•tan∠BNE=20×tan55°≈20×1.43=28.6m，∴AB=BE+AE≈28.6+1.6≈30m．答：居民楼AB的高度约为30米．【解析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，可得AE=MN=CF=1.6m，EF=AC=35m，再根据锐角三角函数可得BE 的长，进而可得AB的高度．9.【答案】解：∵BH=0.6米，sinα=，∴AB ==1米，∴AH=0.8米，∵AF=FC=2米，∴BF=1米，作FJ⊥BG于点J，作EK⊥FJ于点K，∵EF=FB=AB=1米，∠EKF=∠FJB=∠AHB=90°，∠EFK=∠FBJ=∠ABH，∴△EFK≌△FBJ≌△ABH，∴EK=FJ=AH，BJ=BH，∴BJ+EK=0.6+0.8=1.4＜2，∴木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部．【解析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数求出BM+EN的长度，再与2比较大小即可解答本题．本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．10.【答案】解：设楼高CE为x米，∵在Rt△AEC中，∠CAE=45°，∴AE=CE=x米，∵AB=20米，∴BE=（x-20）米，在Rt△CEB中，CE=BE•tan63.4°≈2（x-20）米，∴2（x-20）=x，解得：x=40，在Rt△DAE中，DE=AE·tan30°=40×=米，∴CD=CE-DE =40-≈17（米），答：大楼部分楼体CD的高度约为17米．【解析】此题考查解直角三角形的应用——仰角和俯角，解本题的关键是利用三角函数解答．设楼高CE为x米，于是得到BE=（x-20）米，解直角三角形即可得到结论．11.【答案】解：作BE⊥AD于点E，∵∠CAB=30°，AB=4km，∴∠ABE=60°，BE=2km，∵∠ABD=105°，∴∠EBD=45°，∴∠EDB=45°，∴BE=DE=2km，∴BD ==2km，即BD的长是2km．【解析】根据∠CAB=30°，AB=4km，可以求得BE的长和∠ABE的度数，进而求得∠EBD的度数，然后利用勾股定理即可求得BD的长．本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．12.【答案】解：过点B作BD⊥AC于点D，由题意，得：∠BAD=60°，∠BCD=45°，AB=80，在Rt△ADB中，∠BAD=60°，∴AD =AB=40，BD =AB =40，在Rt△BCD中，∠BCD=45°，∴BD=CD =40，∴BC =BD =40，答：BC的距离是40海里．【解析】过点B作BD⊥AC于点D，根据题意得到∠BAD=60°，∠BCD=45°，AC=80，解直角三角形即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．13.【答案】解：过点B作BF⊥AC于F，BG⊥CD于G ，在Rt△BAF中，∠BAF=65°，BF=AB•sin∠BAF=0.8×0.9=0.72，AF=AB•cos∠BAF=0.8×0.4=0.32，∴FC=AF+AC=4.32，∵四边形FCGB是矩形，∴BG=FC=4.32，CG=BF=0.72，∵∠BDG=45°，∴∠BDG=∠GBD，∴GD=GB=4.32，∴CD=CG+GD=5.04，在Rt△ACE中，∠AEC=50°，CE =，∴DE=CD-CE=5.04-3.33=1.71≈1.7，答：小水池的宽DE为1.7米．【解析】过点B作BF⊥AC于F，BG⊥CD于G，根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．此题考查的知识点是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．14.【答案】解：过C作CD⊥AB于D，在点A的正北方向上取点M，在点B的正北方向上取点N，由题意得：∠MAB=∠NBA=90°，∠MAC=60°，∠NBC=45°，AC =60海里，∴∠CDA=∠CDB=90°，∵在Rt△ACD中，∠CAD=∠MAB-∠MAC=90°-60°=30°，∴CD =AC =30（海里），在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠CBD=∠NBD-∠NBC=90°-45°=45°，∴BC =CD=60（海里），∴60÷50=1.2（小时），∴从B处到达C岛处需要1.2小时．【解析】此题考查了解直角三角形的应用-方向角，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．过C作CD⊥AB于D，在点A的正北方向上取点M，在点B的正北方向上取点N，在直角三角形ACD中，求出CD 的长，在直角三角形BCD中，利用锐角三角函数定义求出BC的长，进而求出所求时间即可．第6页，共6页。

2021年九年级数学中考二轮复习基于问题探究的三角形全等培优专题1.如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．问题探究与发现（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．拓展运用（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD 的面积及AD的长．2.如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．3.问题1：如图①，在四边形中，，是上一点，，.ABCD 90B C ∠=∠=︒P BC PA PD =90APD ∠=︒求证：.AB CD BC +=问题2：如图②，在四边形中，，是上一点，，.ABCD 45B C ∠=∠=︒P BC PA PD =90APD ∠=︒求的值.AB CCD B +4.问题：如图，在△ABD 中，BA =BD ．在BD 的延长线上取点E ，C ，作△AEC ，使EA =EC ，若∠BAE =90°，∠B =45°，求∠DAC 的度数．答案：∠DAC =45°．思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B =45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC 的度数会改变吗？说明理由；（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B =45°”去掉，再将“∠BAE =90°”改为“∠BAE =n °”，其余条件不变，求∠DAC 的度数．5．性质探究如图（1），在等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝120°，则底边AB 与腰AC 的长度之比为________．理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为4＋，则它的面积为________；3（2）如图（2），在四边形EFGH 中，EF ＝EG ＝EH ．在边FG ，GH 上分别取中点M ，N ，连接MN ．若∠FGH ＝120°，EF ＝20，求线段MN 的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为________．（用含α的式子表示）6.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.(1)①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理：(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)(2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 个；321S S S =+②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为，直角三角形面积为，请判断的关系并证明；21S S 、3S 321S S S 、、(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”.在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M 的边长为定值m ，四个小正方形A ，B ，C ，D 的边长分别为a ，b ，c ，d ，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：(结果可用含m 的式子表示)① ；=+++2222d c b a ②b 与c 的关系为，a 与d 的关系为 .7. 如图，AB∥CD,以点A 为圆心，以小于AC 长为半径作圆弧，分别交AC 、AB 于E 、F 两点，再分别以点E 、F 为圆心，以大于EF 长为半径作圆弧，两条圆12弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M.（1）若∠ACD=124°,求∠MAB 的度数；（2）若CN⊥AM，垂足为N ，求证：△CAN≌△MCN.8. 如图①，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2，宽为1的矩形CEFD 拼在一起，构成一个大的矩形ABEF 。

2021年中考数学二轮模块复习高频考点分类精准练（规律探究问题）一．选择题。

1.如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2022个白色纸片，则n的值为( )A．671 B．672 C．673 D．6742.观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是( )A．43 B．45 C．51 D．533. 请你计算:(1-x)(1+x),(1-x)(1+x+x2),…,猜想(1-x)(1+x+x2+…+x n)的结果是( ).A. 1-x n+1B. 1+x n+1C. 1-x nD. 1+x n4. 根据如图中箭头的指向规律,从2019到2020再到2021箭头的方向是以下图示中的( ).5. 将一组数√3,√6,3,2√3,√15,…,3√10,按下面的方式进行排列:√3,√6,3,2√3,√15;3√2,√21,2√6,3√3,√30;……若2√3的位置记为(1,4),2√6的位置记为(2,3),则这组数中最大的有理数的位置记为( ).A. (5,2)B. (5,3)C. (6,2)D. (6,5)6. 如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A 1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是( )A．(12)n·75°B．(12)n－1·65° C．(12)n－1·75° D．(12)n·85°7. 在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位．当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是( )A．(66，34) B．(67，33) C．(100，33) D．(99，34)8. 如图,已知正方形ABCD,顶点A(1,3),B(1,1),C(3,1).规定“把正方形ABCD 先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如此这样,连续经过2021次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为( ).A. (-2012,2)B. (-2012,-2)C. (-2013,-2)D. (-2013,2) 二．填空题。