等比数列及其前n项和(含答案)

第3讲 等比数列及其前n 项和 ,)1．等比数列的有关概念 (1)定义假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (q ≠0，n ∈N *)． (2)等比中项假如a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇒G 2＝ab ． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ； (2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列；(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)．1．辨明三个易误点(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 也不能为0，但q 可为正数，也可为负数．(2)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能马上断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.(3)在运用等比数列的前n 项和公式时，必需留意对q ＝1与q ≠1分类争辩，防止因忽视q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．2．等比数列的三种判定方法(1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(2)通项公式法：a n ＝cqn －1(c 、q 均是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．3．求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和公式中联系着五个量：a 1，q ，n ，a n ，S n ，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 1与q ，在解题中依据已知条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组，是解题的关键．(2)分类争辩思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必需分类求和，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q；在推断等比数列单调性时，也必需对a 1与q 分类争辩．1.教材习题改编 等比数列{a n }中，a 3＝12，a 4＝18，则a 6等于( ) A ．27 B ．36 C ．812D ．54C 法一：由a 3＝12，a 4＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12，a 1q 3＝18，解得a 1＝163，q ＝32，所以a 6＝a 1q 5＝163×⎝ ⎛⎭⎪⎫325＝812.故选C.法二：由等比数列性质知，a 23＝a 2a 4，所以a 2＝a 23a 4＝12218＝8，又a 24＝a 2a 6，所以a 6＝a 24a 2＝1828＝812.故选C.2.教材习题改编 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63D ．64C 由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C. 3.教材习题改编 在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，得q 3＝27，所以q ＝3.所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 27，814.教材习题改编 由正数组成的等比数列{a n }满足a 3a 8＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝________． log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10 ＝log 2＝log 2(a 3a 8)5＝log 2225＝25.255.教材习题改编 在等比数列{a n }中，a n >0，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝________． 由于a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6.所以a 1q 4－a 1＝15，① a 1q 3－a 1q ＝6，②且q ≠1. ①②得（q 2＋1）（q 2－1）q ·（q 2－1）＝156，即2q 2－5q ＋2＝0， 所以q ＝2或q ＝12，当q ＝2时，a 1＝1；当q ＝12时，a 1＝－16(舍去)．所以a 3＝1×22＝4. 4等比数列的基本运算(高频考点)等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，属中、低档题． 高考对等比数列基本运算的考查主要有以下三个命题角度： (1)求首项a 1、公比q 或项数n ； (2)求通项或特定项； (3)求前n 项和．(2021·兰州模拟)设数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n ＋1＝9a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }的前n 项和T n .【解】 (1)当n ＝1时，由6a 1＋1＝9a 1，得a 1＝13.当n ≥2时，由6S n ＋1＝9a n ，得6S n －1＋1＝9a n －1， 两式相减得6(S n －S n －1)＝9(a n －a n －1)， 即6a n ＝9(a n －a n －1)，所以a n ＝3a n －1.所以数列{a n }是首项为13，公比为3的等比数列，其通项公式为a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由于b n ＝1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2，所以{b n }是首项为3，公比为13的等比数列，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝92⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .等比数列基本运算的解题技巧(1)求等比数列的基本量问题，其核心思想是解方程(组)，一般步骤是：①由已知条件列出以首项和公比为未知数的方程(组)；②求出首项和公比；③求出项数或前n 项和等其余量．(2)设元的技巧，可削减运算量，如三个数成等比数列，可设为a q，a ，aq (公比为q )；四个数成等比数列且q >0时，设为a q 3，a q，aq ，aq 3.角度一 求首项a 1、公比q 或项数n1．(2021·高考全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．由于a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 又由于S n ＝126，所以2（1－2n）1－2＝126，所以n ＝6.6角度二 求通项或特定项2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________． 由于3S 1，2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3.化简，得a 3a 2＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3，故a n ＝1×3n －1＝3n －1.3n －1角度三 求前n 项和3．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－310) B ．19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)C 由题意知数列{a n }为等比数列，设其公比为q ，则q ＝a n ＋1a n ＝－13，a 1＝a 2q ＝4，因此其前10项和等于4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．等比数列的判定与证明(2022·高考全国卷丙)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.【解】 (1)由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0且λ≠1得a n ≠0， 所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列， 于是a n ＝11－λ(λλ－1)n －1.(2)由(1)得，S n ＝1－(λλ－1)n. 由S 5＝3132得，1－(λλ－1)5＝3132，即(λλ－1)5＝132. 解得λ＝－1.证明数列{a n }是等比数列常用的方法 一是定义法，证明a n a n －1＝q (n ≥2，q 为常数)；二是等比中项法，证明a 2n ＝a n －1·a n ＋1.若推断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．已知数列{a n }是等差数列，a 3＝10，a 6＝22，数列{b n }的前n 项和是T n ，且T n ＋13b n ＝1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，a 1＋5d ＝22，解得a 1＝2，d ＝4.所以a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2. (2)证明：由T n ＝1－13b n ，①令n ＝1，得T 1＝b 1＝1－13b 1.解得b 1＝34，当n ≥2时，T n －1＝1－13b n －1，②①－②得b n ＝13b n －1－13b n ，所以b n ＝14b n －1，所以b n b n －1＝14.又由于b 1＝34≠0， 所以数列{b n }是以34为首项，14为公比的等比数列．等比数列的性质(1)(2021·高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1C ．12D ．18(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n >0，q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝( ) A ．31 B ．36 C ．42D ．48(3)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________． 【解析】 (1)法一：由于a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)， 所以a 24＝4(a 4－1)， 所以a 24－4a 4＋4＝0，所以a 4＝2.又由于q 3＝a 4a 1＝214＝8，所以q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C.法二：由于a 3a 5＝4(a 4－1)， 所以a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)．将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12，故选C.(2)由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且a n >0，q >1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.所以S 5＝1×（1－25）1－2＝31，故选A.(3)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132. 由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.【答案】 (1)C (2)A (3)－12等比数列常见性质的应用(1)在解决等比数列的有关问题时，要留意挖掘隐含条件，利用性质，特殊是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以削减运算量，提高解题速度．(2)等比数列性质的应用可以分为三类：①通项公式的变形；②等比中项的变形；③前n 项和公式的变形．依据题目条件，认真分析，发觉具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(3)在应用相应性质解题时，要留意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时留意设而不求思想的运用．1．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．18 B ．－18C ．578D ．558A 由于a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.2．(2021·沈阳质量监测)数列{a n }是等比数列，若a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________．设等比数列{a n }的公比为q ，由等比数列的性质知a 5＝a 2q 3，求得q ＝12，所以a 1＝4.a 2a 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝14a 1a 2，a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＝14a n －1a n (n ≥2)．设b n ＝a n a n ＋1，可以得出数列{b n }是以8为首项，以14为公比的等比数列，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1为数列{b n }的前n 项和，由等比数列前n 项和公式得a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝323(1－4－n)．323(1－4－n) ,)——分类争辩思想在等比数列中的应用已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为________．【解析】 设公比为q ，若q ＝1，则S 2m S m ＝2，与题中条件冲突，故q ≠1.由于S 2m S m ＝a 1（1－q 2m ）1－q a 1（1－q m）1－q ＝q m＋1＝9，所以q m＝8.所以a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，所以m ＝3，所以q 3＝8，所以q ＝2. 【答案】 2(1)本题在利用等比数列的前n 项和公式表示S 2m 和S m 时，对公比q ＝1和q ≠1进行了分类争辩．(2)分类争辩思想在等比数列中应用较多，常见的分类争辩有： ①已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种状况． ②等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1争辩．③项数的奇、偶数争辩．④等比数列的单调性的推断留意与a 1，q 的取值的争辩．在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n （n ＋1）2，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)nb n ，求T n .(1)由题意知(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)， 解得a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知b n ＝a n （n ＋1）2＝n (n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn ·(n ＋1)． 由于b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)， 可得当n 为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n )＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n 2（4＋2n ）2＝n （n ＋2）2，当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝（n －1）（n ＋1）2－n (n ＋1)＝－（n ＋1）22.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－（n ＋1）22，n 为奇数，n （n ＋2）2，n 为偶数.,)1．(2021·太原一模)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4C ． 2D ．2 2B 在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q2＝a 4a 2＝14， 所以q ＝12，a 1＝a 2q＝4.2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则a 的值为( ) A ．－13B ．13C ．－12D ．12A 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a ·2n －1－a ·2n －2＝a ·2n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋16，所以a ＋16＝a2，所以a ＝－13.3．等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A ．n (n ＋1) B ．n (n －1) C ．n （n ＋1）2D ．n （n －1）2A 由于a 2，a 4，a 8成等比数列，所以a 24＝a 2·a 8，所以(a 1＋6)2＝(a 1＋2)·(a 1＋14)，解得a 1＝2.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2×2＝n (n ＋1)．故选A.4．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3C 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，依据题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2，a 1q 4＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16125，q ＝52.所以a n ＝a 1qn －1＝16125×⎝ ⎛⎭⎪⎫52n －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫52n －4，所以lg a n ＝lg 2＋(n －4)lg 52，所以前8项的和为8lg 2＋(－3－2－1＋0＋1＋2＋3＋4)lg 52＝8lg 2＋4lg 52＝4lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×52＝4.5．(2021·莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 017＝( )A ．92 016B ．272 016C ．92 017D ．272 017D 由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n ，b n ＝3n. 又c n ＝ba n ＝33n， 所以c 2 017＝33×2 017＝272 017.6．(2021·唐山一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝( )A ．4n －1B ．4n－1 C ．2n －1D ．2n－1D 设{a n}的公比为q ，由于⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①②可得1＋q2q ＋q 3＝2，所以q ＝12，代入①得a 1＝2，所以a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝42n ， 所以S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ， 所以S n a n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 42n ＝2n－1，选D.7．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________． 设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S n ＝1－2n1－2＝2n－1.2n－18．(2021·郑州其次次质量猜测)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6＝0，则S 6S 3＝________．由题可知{a n }为等比数列，设首项为a 1，公比为q ，所以a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，所以27a 1q 2＝a 1q 5，所以q ＝3，由S n ＝a 1（1－q n ）1－q，得S 6＝a 1（1－36）1－3，S 3＝a 1（1－33）1－3，所以S 6S 3＝a 1（1－36）1－3·1－3a 1（1－33）＝28.289．若{a n }是正项递增等比数列，T n 表示其前n 项之积，且T 10＝T 20，则当T n 取最小值时，n 的值为________． T 10＝T 20⇒a 11…a 20＝1⇒(a 15a 16)5＝1⇒a 15a 16＝1，又{a n }是正项递增等比数列，所以0＜a 1＜a 2＜…＜a 14＜a 15＜1＜a 16＜a 17＜…，因此当T n 取最小值时，n 的值为15.1510．在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2a 4＝16，a 6＝32，记b n ＝a n ＋a n ＋1，则数列{b n }的前5项和S 5为________．设数列{a n }的公比为q ，由a 23＝a 2a 4＝16得，a 3＝4，即a 1q 2＝4，又a 6＝a 1q 5＝32，解得a 1＝1，q ＝2，所以a n ＝a 1qn －1＝2n －1，b n ＝a n ＋a n ＋1＝2n －1＋2n ＝3·2n －1，所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，所以S 5＝3（1－25）1－2＝93.9311．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． (1)证明：依题意S n ＝4a n －3(n ∈N *)， 当n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1. 由于S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1， 公比为43的等比数列．(2)由于a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －11－43＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ≥2)，当n ＝1时也满足，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1.12．(2021·衡阳模拟)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n＝( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2nD ．3n－1C 由于数列{a n }为等比数列，a 1＝2，设其公比为q ，则a n ＝2qn －1，由于数列{a n ＋1}也是等比数列，所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n ，故选C.13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n－1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．(1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋1，解得a 4＝78.(2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)， 即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)． 由于4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，所以a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2（2a n ＋1－a n ）＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．14．(2021·南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列．(1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，在a n 与a n ＋1之间插入3n 个数，使这3n ＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .(1)由于a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列， 所以a 5＋S 5－a 4－S 4＝a 6＋S 6－a 5－S 5， 即2a 6－3a 5＋a 4＝0， 所以2q 2－3q ＋1＝0， 由于q ≠1，所以q ＝12，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .(2)b n ＝a n ＋a n ＋12·3n＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫32n， T n ＝34×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32＝94⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.。

第四章 数列4.3.2 等比数列的前n 项和公式学案一、学习目标1. 理解等比数列的前n 项和公式的推导方法；2. 掌握等比数列的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题. 二、基础梳理1.等比数列的前n 项和公式：当1q ≠时， ()11(1)1n n a q S q q-=≠-或1(1)1n n a a qS q q-=≠-. 2.等比数列的前n 项和的性质（1）当q =1时，n m s m s n =，当1q ≠±时，11nn mm s q s q-=-. （2）m n n m m n n m s s q s s q s +=+=+.（3）设s 偶与s 奇分别是偶数项的和与奇数项的和，若项数为2n ，则s q s =偶奇，若项数为2n +1，则1s a q s -=奇偶.（4）当1q ≠-时，连续m 项的和（232m m m m m s s s s s --⋅⋅⋅，，，）仍成等比数列，公比为2m q m ≥，，注意：连续m 项的和必须非零才能成立. 三、巩固练习1.已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，正项等比数列{}n b 满足1134,1b a b a ==+，则使61n b S +≥成立的n 的最大值为( ) A.5B.6C.7D.82.已知数列{}n a 为等比数列，11a =，2q =，且第m 项至第()n m n <项的和为112，则m n +的值为( ) A.11B.12C.13D.143.记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知{}n a 和{}n S k - (k 为常数)均为等比数列,则k 的值可能为( )A.1aB.2aC.3aD.13a a +4.5个数依次组成等比数列,且公比为2-,则其中奇数项和与偶数项和的比值为( ) A.2120-B.2-C.2110-D.215-5.已知n S 是等比数列{}n a 的前 n 项和,若存在*m ∈N ,满足22519,1m m mm S a m S a m +==-,则数列{}n a 的公比为( ) A.2-B.2C.3-D.36.已知等比数列{}n a 的公比2q =,前100项的和10090S =,则246100a a a a ++++=( )A.15B.30C.45D.607.（多选）已知等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，且满足11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-，则以下结论正确的是( ) A.01q << B.9910110a a -<C.100T 的值是n T 中最大的D.使1n T >成立的最大正整数数n 的值为1988. （多选）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件11a >，201920201a a ⋅>，20192020101a a -<-，则下列结论中正确的是( ) A.20192020S S <B.2019202110S S ⋅-<C.2019T 是数列{}n T 中的最大值D.数列{}n T 无最大值答案以及解析1.答案：D解析：设等比数列{}n b 的公比为q ， 由题意可知当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-； 当1n =时，112a S ==，2,1,21,2,n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩213412,18b b a b q ∴==+==. 0n b >，2,2n n q b ∴=∴=，66264b ∴==，2651n ∴≥+，8n ∴≤，∴n 的最大值为8，故选D.2.答案：B解析：由已知，得()()11121121121212n m -⨯-⨯--=--，即()11422127m n m --+⋅-=⨯，则14122217m n m --+⎧=⎨-=⎩，解得57m n =⎧⎨=⎩，所以12m n +=，故选B. 3.答案：C解析：若公比1q =,则{}1,n n S k na k S k -=--不可能为等比数列,因此1q ≠,此时1111111n nn a q a q S k a k k q q q ⎛⎫---=-=+- ⎪---⎝⎭,只需101a k q -=-即可.A 选项,{}1n S a -的首项为0,不满足题意；B 选项, 1211011a a a q q q ⎛⎫-=-=⎪--⎝⎭,即211300124q q q ⎛⎫-=⇒-+= ⎪-⎝⎭不成立；C 选项,21311011a a a q q q ⎛⎫-=-= ⎪--⎝⎭,即23210101q q q q -=⇒-+=-,该方程必然有解,成立；D 选项,()2113111011a a a a q q q ⎛⎫-+=--= ⎪--⎝⎭,即()221101001q q q q q q--=⇒-+=⇒=-,不成立. 4.答案：C解析：由题意可设这5个数分别为,2,4,8,16a a a a a --,其中0a ≠,故奇数项和与偶数项和的比值为416212810a a a a a ++=---,故选C.5.答案：B解析：设数列{}n a 的公比为 q ,若1q =,则22mmS S =,与题中条件矛盾,故1q ≠.()()21211119,811m m mm m m a q S q q q S a q q--==+=∴=--.2132111518,3,8,21m m m m m a a q m q m q q a a q m --+====∴=∴=∴=-. 6.答案：D 解析：1001210090S a a a =+++=,设1399S a a a =+++,则241002S a a a =+++,100290,30S S S S ∴+==∴=,故24100260a a a S +++==.故选D.7.答案：ABD解析：9910010a a ->，991001a a ∴>，0q ∴>.99100101a a -<-，()()99100110a a ∴--<，又11a >，01q ∴<<.故A 正确.由A 选项的分析可知991a >，10001a <<，2991011001a a a ∴=<，9910110a a ∴-<，1009910099T T a T =<，故B 正确，C 不正确.()()()()99198121981198219799100991001T a a a a a a a a a a a ===>，()()()1991991219819911992198991011001001T a a a a a a a a a a a a ===<，∴使1n T >成立的最大正整数数n 的值为198，故D 正确. 8.答案：AC解析：由题意，得20191a >，202001a <<，所以01q <<，等比数列{}n a 是各项都为正数的递减数列，即122019202010a a a a >>>>>>>.因为2020201920200S S a -=>，所以20192020S S <，故A 正确；因为20191220191S a a a =+++>，所以()()22201920212019201920202021201920192020202120191S S S S a a S S a a S ⋅=⋅++=+⋅+>>，即2019202110S S ⋅->，故B 错误；根据122019202010a a a a >>>>>>>，可知2019T 是数列{}n T 中的最大项，故C 正确，D 错误.故选AC.。

§6.3 等比数列及其前n 项和题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × ) (4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × ) (5)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( × )(6)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × ) 题组二 教材改编2．[P51例3]已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝______.答案 12解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12.3．[P54A 组T8]在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 答案 27,81解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.题组三 易错自纠4．若1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为________．答案 －12解析 ∵1，a 1，a 2,4成等差数列， ∴3(a 2－a 1)＝4－1，∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2>0，∴b 2＝2，∴a 1－a 2b 2＝－(a 2－a 1)b 2＝－12. 5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.答案 －11解析 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q ·1－qa 1(1－q 2)＝1－q 51－q 2＝1－(－2)51－4＝－11. 6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB ＝210 KB)． 答案 48解析 由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{a n }，且a 1＝2，q ＝2，∴a n ＝2n ，则2n ＝64×210＝216，∴n ＝16. 即病毒共复制了16次． ∴所需时间为16×3＝48(分钟).题型一 等比数列基本量的运算1．(2018·开封质检)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A ．2B ．1 C.12 D.18答案 C解析 由{a n }为等比数列，得a 3a 5＝a 24， 又a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 24＝4(a 4－1)， 解得a 4＝2.设等比数列{a n }的公比为q ， 则由a 4＝a 1q 3，得2＝14q 3，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12.故选C.2．(2018·济宁模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n＝________. 答案 2n －1解析 ∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54， ②由①除以②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，解得q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ，∴S n a n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 42n＝2n －1. 思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．题型二 等比数列的判定与证明典例 (2018·潍坊质检)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式． (1)证明 由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2， 得a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2(n ≥2)， ② 由①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2)． ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)， 故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1， ∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列．∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14， 故a n ＝(3n －1)·2n －2. 引申探究若将本例中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变，求数列{a n }的通项公式． 解 由已知得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n . ∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1＋1， ∴a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ≥2，(*)又a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋2，即a 2＋1＝2(a 1＋1)， ∴当n ＝1时(*)式也成立，故{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可． (2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．跟踪训练 (2016·全国Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0， 所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)解 由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n . 由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.题型三 等比数列性质的应用1．(2019·郑州三模)已知等比数列{a n }，且a 6＋a 8＝4，则a 8(a 4＋2a 6＋a 8)的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案 D解析 ∵a 6＋a 8＝4，∴a 8(a 4＋2a 6＋a 8)＝a 8a 4＋2a 8a 6＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝16.故选D.2．(2017·云南省十一校跨区调研)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( ) A ．40 B ．60 C ．32 D ．50 答案 B解析 由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60，故选B. 思维升华 等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类： (1)通项公式的变形． (2)等比中项的变形．(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (12分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明． 规范解答(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4， 可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.[2分]又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n (n ∈N *)．[3分](2)证明 由(1)知，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ， S n ＋1S n＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＋11－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧2＋12n (2n ＋1)，n 为奇数，2＋12n(2n－1)，n 为偶数.[6分]当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝32＋23＝136.[8分]当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝34＋43＝2512.[10分]故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.[12分]1．(2019·福建漳州八校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( ) A ．－3 B ．5 C ．－31 D ．33 答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得q ≠1.∵S 3＝2，S 6＝18，∴1－q 31－q 6＝218，得q 3＝8，∴q ＝2. ∴S 10S 5＝1－q 101－q5＝1＋q 5＝33，故选D. 2．(2019·武汉市武昌区调研)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( ) A ．－2 B ．－1 C.12 D.23答案 B解析 由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍去)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2中得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1，故选B.3．(2019张掖市一诊)已知等比数列{a n }中，a 3＝2，a 4a 6＝16，则a 10－a 12a 6－a 8的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 答案 B解析 a 5＝±a 4·a 6＝±16＝±4， ∵q 2＝a 5a 3>0，∴a 5＝4，q 2＝2，则a 10－a 12a 6－a 8＝q 4＝4. 4．(2019山西太原三模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x 的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( )A ．S n ＝2T nB ．T n ＝2b n ＋1C ．T n >a nD ．T n <b n ＋1 答案 D解析 由题意可得S n ＋3＝3×2n ，S n ＝3×2n －3，由等比数列前n 项和的特点可得数列{a n }是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式a n ＝3×2n －1，设b n ＝b 1q n －1，则b 1q n －1＋b 1q n ＝3×2n －1，当n ＝1时，b 1＋b 1q ＝3，当n ＝2时，b 1q ＋b 1q 2＝6， 解得b 1＝1，q ＝2，数列{b n }的通项公式b n ＝2n －1，由等比数列求和公式有：T n ＝2n －1，观察所给的选项： S n ＝3T n ，T n ＝2b n －1，T n <a n ，T n <b n ＋1.5．(2019广元模拟)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于( )A ．5B ．9C ．log 345D ．10 答案 D解析 由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9， 则原式＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝10.6．(2018·长春质检)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( ) A ．192里 B ．96里 C ．48里 D ．24里 答案 B解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12，由题意得a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝192×12＝96，即第二天走了96里，故选B.7．已知{a n }是各项都为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且S 2＝3，S 4＝15，则a 3＝________. 答案 4解析 S 4－S 2＝a 3＋a 4＝12，S 2＝a 1＋a 2＝3， ∴a 3＋a 4a 1＋a 2＝q 2＝123＝4，q ＝2或q ＝－2(舍去)，∴a 3＋a 4＝a 3(1＋q )＝3a 3＝12，a 3＝4.8．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________． 答案 4解析 因为a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，所以由a 8＝a 6＋2a 4，得a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2，消去a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，q 2＝－1(舍去)，a 6＝a 2q 4＝1×22＝4.9．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和为________． 答案 2n －1解析 设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2， ∴数列{a n }的前n 项和为1－2n 1－2＝2n －1. 10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 答案 12n解析 ∵a n ＋S n ＝1，①∴a n －1＋S n －1＝1(n ≥2)，②由①－②，得a n －a n －1＋a n ＝0，即a n a n －1＝12(n ≥2)， 又a 1＝12， ∴数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列， 则a n ＝12×⎝⎛⎭⎫12n －1＝12n . 11．(2016·全国Ⅲ)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解 (1)由题意，得a 2＝12，a 3＝14. (2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1≠0，所以a n ＋1a n ＝12. 故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列， 因此a n ＝12n －1. 12．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *. (1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；(2)求T 2n .解 (1)∵a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1，∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n .∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12， ∵a 1＝1，a 1·a 2＝12， ∴a 2＝12，∴b 1＝a 1＋a 2＝32. ∴{b n }是首项为32，公比为12的等比数列． ∴b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n . (2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ， ∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列， ∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝3－32n .13．(2017·新乡三模)若数列{a n ＋1－a n }是等比数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝5，则a n ＝________.答案 3n －1＋12解析 ∵a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，∴q ＝3，∴a n ＋1－a n ＝3n －1，∴a n －a 1＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a n －1－a n －2＋a n －a n －1＝1＋3＋…＋3n －2＝1－3n －11－3， ∵a 1＝1，∴a n ＝3n －1＋12. 14．(2018·徐州质检)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝12n (n ＝1,2,3，…)，则S 2n ＋3＝________.答案 43⎝⎛⎭⎫1－14n ＋2 解析 由题意，得S 2n ＋3＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2n ＋2＋a 2n ＋3)＝1＋14＋116＋…＋14n ＋1 ＝43⎝⎛⎭⎫1－14n ＋2.15．已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T n >1的n 的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 C解析 ∵{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 2a 4＝a 3，∴a 23＝a 3，∴a 3＝1.又∵q >1，∴a 1<a 2<1，a n >1(n >3)，∴T n >T n －1(n ≥4，n ∈N *)，T 1<1，T 2＝a 1·a 2<1，T 3＝a 1·a 2·a 3＝a 1a 2＝T 2<1，T 4＝a 1a 2a 3a 4＝a 1<1，T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝a 53＝1，T 6＝T 5·a 6＝a 6>1，故n 的最小值为6，故选C.16．(2019·武汉市武昌区调研)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋12n ＝(－1)n a n (n ∈N *)，则数列{S n }的前9项和为________．答案 －3411 024解析 因为S n ＋12n ＝(－1)n a n ， 所以S n －1＋12n －1＝(－1)n －1a n －1(n ≥2)． 两式相减得S n －S n －1＋12n －12n －1 ＝(－1)n a n －(－1)n －1a n －1，即a n －12n ＝(－1)n a n ＋(－1)n a n －1(n ≥2)， 当n 为偶数时，a n －12n ＝a n ＋a n －1， 即a n －1＝－12n ， 此时n －1为奇数，所以若n 为奇数，则a n ＝－12n ＋1； 当n 为奇数时，a n －12n ＝－a n －a n －1， 即2a n －12n ＝－a n －1， 所以a n －1＝12n －1，此时n －1为偶数， 所以若n 为偶数，则a n ＝12n . 所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝⎩⎨⎧－12n ＋1，n 为奇数，12n ，n 为偶数.所以数列{S n }的前9项和为S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 9＝9a 1＋8a 2＋7a 3＋6a 4＋…＋3a 7＋2a 8＋a 9＝(9a 1＋8a 2)＋(7a 3＋6a 4)＋…＋(3a 7＋2a 8)＋a 9＝－122－124－126－128－1210 ＝－122×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1451－14＝－3411 024.。

第一课时 等比数列的前n 项和公式课标要求素养要求1.探索并掌握等比数列的前n 项和公式.2.理解等比数列的通项公式与前n 项和公式的关系.在探索等比数列的前n 项和公式的过程中，发展学生的数学运算和逻辑推理素养.新知探究在信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速地传递有关信息.在此背景下，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依法承担有关法律责任.你知道这其中的缘由吗？如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传给3个不同的好友(称为第1轮传播)，每个好友收到信息后，又都传给了3个不同的好友(称为第2轮传播)……，依此下去，假设信息在传播的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人数就构成了一个等比数列问题 如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？ 提示 1＋3＋9＋…＋320＝1－3211－3＝12(321－1).1.等比数列的前n 项和公式应用公式求和，首先要判断公比是否为1，再选择公式已知量首项、公比和项数 首项、末项和公比2.当公比q ≠1时，设A ＝a 1q －1，等比数列的前n 项和公式是S n ＝A (q n－1).即S n 是n 的指数型函数.当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，S n 是n 的正比例函数. 3.错位相减法(1)推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法；(2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和，即若{b n }是公差d ≠0的等差数列，{c n }是公比q ≠1的等比数列，求数列{b n ·c n }的前n 项和S n 时，可以用这种方法.拓展深化[微判断]1.求等比数列的前n 项和可以直接套用公式S n ＝a 1（1－q n ）1－q.(×)提示 当q ＝1时，S n ＝na 1.2.等比数列的前n 项和不可以为0.(×)提示 可以为0，比如1，－1，1，－1，1，－1的和.3.数列{a n }的前n 项和为S n ＝a n＋b (a ≠0，a ≠1)，则数列{a n }一定是等比数列.(×)提示 由于等比数列的前n 项和为S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 11－q －a 11－qq n.可以发现b ＝－1时，数列{a n }才为等比数列.4.求数列{n ·2n}的前n 项和可用错位相减法.(√) [微训练]1.在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 4＝18，则该数列的前10项和S 10＝( )A.2－128B.2－129C.2－1210D.2－1211解析 易知公比q ＝12，则S 10＝1－12101－12＝2－129.答案 B2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则公比q ＝( ) A.1或－1 B.1 C.－1D.12解析 由S 3＋S 6＝S 9得S 3＝S 9－S 6，即a 1＋a 2＋a 3＝a 7＋a 8＋a 9＝q 6(a 1＋a 2＋a 3)，则q 6＝1，q ＝±1. 答案 A [微思考]1.若等比数列{a n }的公比q 不为1，其前n 项和为S n ＝Aq n＋B ，则A 与B 有什么关系？ 提示 A ＝－B .2.等比数列{a n }的前n 项和公式中涉及a 1，a n ，n ，S n ，q 五个量，已知几个量方可以求其它量？ 提示 三个.题型一 等比数列前n 项和公式的直接应用 【例1】 求下列等比数列前8项的和： (1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.解 (1)因为a 1＝12，q ＝12，所以S 8＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1281－12＝255256.(2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得1243＝27·q 8.又由q <0，可得q ＝－13，所以S 8＝a 1－a 8q 1－q ＝a 1－a 91－q ＝27－12431－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1 64081.规律方法 求等比数列的前n 项和，要确定首项，公比或首项、末项、公比，应注意公比q ＝1是否成立.【训练1】 (1)求数列{(－1)n ＋2}的前100项的和；(2)在14与78之间插入n 个数，组成所有项的和为778的等比数列，求此数列的项数.解 (1)法一 a 1＝(－1)3＝－1，q ＝－1. ∴S 100＝－1[1－（－1）100]1－（－1）＝0.法二 数列{(－1)n ＋2}为－1，1，－1，1，…，∴S 100＝50×(－1＋1)＝0.(2)设此数列的公比为q (易知q ≠1)，则⎩⎨⎧78＝14q n ＋1，778＝14－78q 1－q，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－12，n ＝3，故此数列共有5项. 题型二 等比数列前n 项和公式的综合应用【例2】 已知一个等比数列{a n }，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求a 4和S 5.解 设等比数列的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q 2）＝10， ①a 1q 3（1＋q 2）＝54. ② ∵a 1≠0，1＋q 2≠0，②÷①得q 3＝18，∴q ＝12，∴a 1＝8，∴a 4＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1， ∴S 5＝8×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝312. 【迁移1】 设数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，且S 3＝3a 3，求此数列的公比q . 解 当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3，符合题目条件.当q ≠1时，a 1（1－q 3）1－q＝3a 1q 2.因为a 1≠0，所以1＋q ＋q 2＝3q 2，2q 2－q －1＝0， 解得q ＝－12.所以此数列的公比q ＝1或－12.【迁移2】 在等比数列{a n }中，S 2＝30，S 3＝155，求S n . 解 若q ＝1，则S 3∶S 2＝3∶2， 而事实上，S 3∶S 2＝31∶6，故q ≠1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 2）1－q＝30， ①a 1（1－q 3）1－q ＝155， ②两式作比，得1＋q 1＋q ＋q 2＝631， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56，从而S n ＝5（1－5n）1－5＝54(5n－1)或S n ＝180⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＝1 080⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56n 11.规律方法 等比数列前n 项和公式的运算(1)应用等比数列的前n 项和公式时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.(2)当q ＝1时，等比数列是常数列，所以S n ＝na 1；当q ≠1时，等比数列的前n 项和S n 有两个公式.当已知a 1，q 与n 时，用S n ＝a 1（1－q n ）1－q 比较方便；当已知a 1，q 与a n 时，用S n ＝a 1－a n q1－q比较方便. 【训练2】 (1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ≠1.若a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋2＋a n ＋1＝2a n ，则S 5＝( )A.12B.20C.11D.21(2)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( ) A.－2 B.2 C.－3D.3解析 (1)a n ＋2＋a n ＋1＝2a n 等价于a n q 2＋a n q ＝2a n . 因a n ≠0，故q 2＋q －2＝0，即(q ＋2)(q －1)＝0.因为q ≠1，所以q ＝－2，故S 5＝1×[1－（－2）5]1－（－2）＝11，故选C.(2)设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S 2mS m＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1. ∵S 2m S m ＝a 1（1－q 2m ）1－q a 1（1－q m）1－q ＝q m ＋1＝9，∴q m＝8. ∵a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1， ∴m ＝3，∴q 3＝8，∴q ＝2. 答案 (1)C (2)B题型三 等比数列前n 项和公式的函数特征应用【例3】 数列{a n }的前n 项和S n ＝3n－2.求{a n }的通项公式，并判断{a n }是否是等比数列. 解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －2)－(3n －1－2)＝2·3n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝31－2＝1不适合上式.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2×3n －1，n ≥2. 法一 由于a 1＝1，a 2＝6，a 3＝18，显然a 1，a 2，a 3，不是等比数列， 即{a n }不是等比数列.法二 由等比数列{b n }的公比q ≠1时的前n 项和S n ＝A ·q n＋B 满足的条件为A ＝－B ，对比可知S n ＝3n－2，－2≠－1，故{a n }不是等比数列.规律方法 已知S n ，通过a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求通项a n ，应特别注意n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝A (q n－1)，其中A ≠0，q ≠0且q ≠1，则{a n }是等比数列. 【训练3】 若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________.解析 显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n－1)，又S n ＝13×3n＋t ，∴t ＝－13.答案 －13题型四 利用错位相减法求数列的前n 项和【例4】 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n(x ≠0). 解 当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2；当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n，xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…(n －1)x n ＋nx n ＋1，∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nxn ＋1＝x （1－x n ）1－x －nx n ＋1，∴S n ＝x （1－x n ）（1－x ）2－nx n ＋11－x. 综上可得，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n （n ＋1）2，x ＝1，x （1－x n）（1－x ）2－nx n ＋11－x ，x ≠1且x ≠0.规律方法 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是公比不为1的等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法. 【训练4】 求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n 的前n 项和.解 设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，即12S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1. ∴S n ＝2－12n －1－n 2n ＝2－n ＋22n (n ∈N *).一、素养落地1.通过学习等比数列前n 项和公式及其应用，提升数学运算和逻辑推理素养.2.在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”.3.前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即当q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况. 二、素养训练1.数列1，5，52，53，54，…的前10项和为( ) A.15()510－1 B.14()510－1 C.14()59－1 D.14()511－1 解析 S 10＝1－5101－5＝14(510－1).答案 B2.设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( ) A.2 B.4 C.152D.172解析 由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152.答案 C3.等比数列{a n }中，a 3＝8，a 6＝64，则{a n }的前5项的和是________.解析 ∵q 3＝a 6a 3＝8，∴q ＝2，从而a 1＝2.∴S 5＝2（1－25）1－2＝62.答案 624.已知等比数列{a n }中，a 1＝2，q ＝2，前n 项和S n ＝126，则n ＝________. 解析 S n ＝2（1－2n）1－2＝126，即2n ＋1＝128，故n ＋1＝7，n ＝6.答案 65.在等比数列{a n }中，a 1＝2，S 3＝6，求a 3和q . 解 由题意，得若q ＝1， 则S 3＝3a 1＝6，符合题意. 此时，q ＝1，a 3＝a 1＝2.若q ≠1，则由等比数列的前n 项和公式，得S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝2（1－q 3）1－q＝6，解得q ＝－2.此时，a 3＝a 1q 2＝2×(－2)2＝8.综上所述，q ＝1，a 3＝2或q ＝－2，a 3＝8.基础达标一、选择题1.设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n [（－1）n －1]2B.（－1）n ＋1＋12C.（－1）n＋12D.（－1）n－12解析 S n ＝（－1）[1－（－1）n]1－（－1）＝（－1）n－12.答案 D2.在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A.33 B.72 C.84D.189解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3， 得q 2＋q －6＝0.∵q >0，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝q 2·S 3＝22×21＝84. 答案 C3.等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝1，a 4＝4，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝( ) A.2n－1 B.4n－13C.1－（－4）n3D.1－（－2）n3解析 由a 1a 2a 3＝1得a 2＝1，又a 4＝4，故q 2＝4，a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝1－4n1－4＝4n－13.答案 B4.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4－a 1＝78，S 3＝39，设b n ＝log 3a n ，那么数列{b n }的前10项和为( ) A.log 371B.692C.50D.55解析 由a 4－a 1＝78得a 1(q 3－1)＝78，又S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝39，解得a 1＝q ＝3，故a n ＝3n，b n ＝n ，所以数列{b n }的前10项和为55.答案 D5.已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是其前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和等于( ) A.158或5 B.3116或5 C.3116D.158解析 设数列{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由已知得9（1－q 3）1－q ＝1－q61－q，解得q ＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，前5项和为1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 答案 C 二、填空题6.等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析 由题意设数列{a n }的首项为a 1，公比为q (q ≠1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2， 所以a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案 327.已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 解析 ∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ， ∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0. ∵a n >0，∴a n ＋1＝3a n . 又a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， ∴S n ＝2（1－3n）1－3＝3n－1.答案 3n －18.若等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝m ·4n －1＋t (其中m ，t 是常数)，则m t＝________. 解析 法一 a 1＝S 1＝m ＋t ， a 2＝S 2－S 1＝3m ，a 3＝S 3－S 2＝12m ，则a 22＝a 1a 3，所以9m 2＝12m (m ＋t )，即m ＝－4t ，故m t ＝－4.法二 S n ＝m ·4n －1＋t ＝14m ·4n ＋t ， 因为{a n }是等比数列，故14m ＝－t ，则m t＝－4. 答案 －4三、解答题9.在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和.解 设数列{a n }的公比为q (q ≠0).由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1（q －1）＝2， ①q 2－4q ＋3＝0， ② 解②得q ＝3或q ＝1.由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去.故公比q ＝3，首项a 1＝1.所以数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝1×（1－3n ）1－3＝3n －12(n ∈N *). 10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1的等差数列，且a 2＝3，a 3＝5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·3n，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1的等差数列， ∴S n n＝a 1＋n －1，可得S n ＝n (a 1＋n －1)，∴a 1＋a 2＝2(a 1＋1)，a 1＋a 2＋a 3＝3(a 1＋2)，且a 2＝3，a 3＝5.解得a 1＝1.∴S n ＝n 2.∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1(n ＝1时也成立). ∴a n ＝2n －1.(2)b n ＝a n ·3n ＝(2n －1)·3n，∴数列{b n }的前n 项和 T n ＝3＋3×32＋5×33＋…＋(2n －1)×3n ， ∴3T n ＝32＋3×33＋…＋(2n －3)×3n ＋(2n －1)×3n ＋1， ∴－2T n ＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)×3n ＋1＝3＋2×9（3n －1－1）3－1－(2n －1)×3n ＋1， 可得T n ＝3＋(n －1)×3n ＋1.能力提升11.数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________.解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n －a n －1＝2n －1.各式相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2， 故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1(n ∈N *).答案 2n －112.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上.(1)当实数t 为何值时，数列{a n }是等比数列？(2)在(1)的结论下，设b n ＝log 4a n ＋1，c n ＝a n ＋b n ，T n 是数列{c n }的前n 项和，求T n . 解 (1)因为点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上， 所以a n ＋1＝3S n ＋1，当n ≥2时，a n ＝3S n －1＋1.于是a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)⇒a n ＋1－a n ＝3a n ⇒a n ＋1＝4a n . 又当n ＝1时，a 2＝3S 1＋1⇒a 2＝3a 1＋1＝3t ＋1， 所以当t ＝1时，a 2＝4a 1，此时，数列{a n }是等比数列.(2)由(1)，可得a n ＝4n －1，a n ＋1＝4n ，所以b n ＝log 4a n ＋1＝n ，c n ＝4n －1＋n ，那么T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n －1＋n ) ＝(40＋41＋…＋4n －1)＋(1＋2＋…＋n )＝4n －13＋n （n ＋1）2. 创新猜想13.(多选题)已知等比数列{a n }的前n 项和是S n ，则下列说法一定成立的是( )A.若a 3>0，则a 2 021>0B.若a 4>0，则a 2 020>0C.若a 3>0，则S 2 021>0D.若a 3>0，则S 2 021<0解析 设数列{a n }的公比为q ， 当a 3>0时，a 2 021＝a 3q 2 018>0，A 正确；当a 4>0时，a 2 020＝a 4·q 2 016>0，B 正确. 又当q ≠1时，S 2 021＝a 1（1－q 2 021）1－q， 当q <0时，1－q >0，1－q 2 021>0，∴S 2 021>0，当0<q <1时，1－q >0，1－q2 021>0，∴S 2 021>0， 当q >1时，1－q <0，1－q 2 021<0，∴S 2 021>0. 当q ＝1时，S 2 021＝2 021a 1>0，故C 正确，D 不正确. 答案 ABC14.(多空题)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且公比q >1，若a 2＝2，S 3＝7.则数列{a n }的通项公式a n ＝________，a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.解析 ∵a 2＝2，S 3＝7，由S 3＝2q＋2＋2q ＝7， 解得q ＝2或q ＝12，又∵q >1，∴q ＝2， 故a 1＝1，所以a n ＝2n －1 ∴a 2n ＝4n －1， ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1（1－4n ）1－4＝4n －13. 答案 2n －1 4n－13。

考点30 等比数列及其前n项和1．已知数列的前项和为，满足，则的通项公式（）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，当时，，因此,选B.2．已知数列为正数项的等比数列，是它的前项和，若，且，则（）A． 34 B． 32 C． 30 D． 28【答案】C3．已知各项均不相等的等比数列成等差数列，设为数列的前n项和，则等于A． B． C． 3 D． 1【答案】A【解析】设等比数列{a n}的公比为q，∵3a2，2a3，a4成等差数列，∴2×2a3=3a2+a4，∴4a2q=3，化为q2﹣4q+3=0，解得q=1或3．q=1时，,q=2时，.故选：A．4．已知数列的前项和，则数列的前项和为（）A． B． C． D．【答案】C5．已知等比数列的前项和，且，，则A． B． C． D．【答案】C【解析】由题得.故答案为：C6．已知等比数列中，，，为方程的两根，则（）A． 32 B． 64 C． 256 D．【答案】B7．等比数列中，公比，记（即表示数列的前项之积），中值为正数的个数是A． B． C． D．【答案】B【解析】等比数列{a n}中a1＞0，公比q＜0，故奇数项为正数，偶数项为负数．∴Π11＜0，Π10＜0，Π9＞0，Π8＞0．故答案为：B8．已知等比数列的前n项和为，若，且，，成等差数列，则A． 10 B． 12 C． 18 D． 30【答案】A【解析】在等比数列中，由，得，即，又，，成等差数列，，即，联立得：舍或．．则．故选：A．9．已知为正项等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则的值是( )A． 29 B． 30 C． 31 D． 32【答案】C10．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足成等差数列，则 ( ) A． 3 B． 9 C． 10 D． 13【答案】C【解析】设各项均为正数的等比数列的公比为，满足成等差数列，，，解得，则，故选C.11．已知数列的前n项和为，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为，，点在直线上，若存在，使不等式成立，求实数m的最大值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）4③－④得，∴．∵．∴为递增数列，且，∴．∴，实数m的最大值为4．12．数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n(n+1)(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；(3)令(n∈N*)，求数列{c n}的前n项和T n.【答案】（1）；(2);（3） .（3）c n===n•3n+n，令数列{n•3n}的前n项和为A n，则A n=3+2×32+3×33+…+n•3n，∴3A n=32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，∴﹣2A n=3+32+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1，可得A n=．∴数列{c n}的前n项和T n=+．13．已知数列中，且．（Ⅰ）求，，并证明是等比数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和．【答案】（1）见解析；（2），②①－②得所以，．14．已知α为锐角，且，函数，数列的首项，．（1）求函数的表达式；（2）求证：数列为等比数列；（3）求数列的前n项和．【答案】(1)；(2) 见解析；(3).∴15．已知数列的前项和，.（1）求；（2）若，且数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）.16．在等差数列{a n}中，，其前n项和为，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。

即病毒共复制了13次．∴所需时间为13×3＝39(秒).](对应学生用书第106页)考点1等比数列的基本运算等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，a n，q，n，S n，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意分q＝1和q≠1两类分别讨论．1.设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知3S3＝a4－2，3S2＝a3－2，则公比q＝()A．3B．4C．5D．6∴q ＝－12或q ＝1. ∴a 2＝a3q ＝－3或32.]4．(20xx·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m . [解] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1(n ∈N ＋). (2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－（－2）n 3. 由S m ＝63得(－2)m ＝－188， 此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1. 由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.抓住基本量a 1, q ，借用方程思想求解是解答此类问题的关键，求解中要注意方法的择优．考点2 等比数列的判定与证明故⎩⎨⎧⎭⎬⎫an 2n 是首项为12，公差为34的等差数列． ∴an 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14， 故a n ＝(3n －1)·2n －2.(20xx·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．[解] (1)证明：由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )，即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n ). 又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列． 由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8，即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1.所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12， b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12. 考点3 等比数列性质的应用。

4.3.2等比数列的前n项和公式一、等比数列的前n 项和公式已知量首项1a 与公比q首项1a ，末项n a 与公比q公式()()()111111n n na q S a q q q⎧=⎪=-⎨≠⎪-⎩()()11111n n na q S a a qq q ⎧=⎪=-⎨≠⎪-⎩二、等比数列前n 项和的函数特征1、n S 与q 的关系（1）当公比1q ≠时，等比数列的前n 项和公式是()111nn a q S q-=-，它可以变形为1111n n a a S q q q =---，设11aA q=-，则上式可以写成n n S A Aq =-的形式，由此可见，数列{}n S 的图象是函数x y A Aq =-图象上的一群孤立的点；（2）当公比1q =时，等比数列的前n 项和公式是1n S na =，则数列{}n S 的图象是函数1y a x =图象上的一群孤立的点。

2、n S 与n a 的关系当公比1q ≠时，等比数列的前n 项和公式是11n n a a qS q-=-，它可以变形为111n na qS a q q=---设1qA q =--，11aB q=-，则上式可写成n n S Aa B =+的形式，则n S 是n a 的一次函数。

三、等比数列前n 项和的性质1、等比数列{}n a 中，若项数为2n ，则=S q 偶奇S ；若项数为21n +，则1=S a q S -奇偶.2、若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S ，2n n S S -，32n n S S -…成等比数列（其中n S ，2n n S S -，32n n S S -…均不为0）．3、若一个非常数列{}n a 的前n 项和()0,0,n n S Aq A A q n N *=-≠≠∈，则数列{}n a 为等比数列。

四、等比数列前n 项和运算的技巧1、在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：1a ，n a ，n ，q ，n S ，其中首项1a 和公比q 为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答；2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如n q ，11a q-都可以看作一个整体。

数学 等比数列及其前n 项和一、选择题1．在等比数列{a n }中，a 1＝12，q ＝12，a n ＝132，则项数n 为( )A ．3B ．4C ．5D ．62．在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( ) A ．32B ．23C ．－23D ．23或－233．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯塔的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，a 3＝8，则a 6＝( ) A ．16 B ．32 C ．64D ．1285．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则实数a 的值为( )A ．－13B ．13C ．－12D ．126．设等比数列{a n }的公比为q >0，且q ≠1，S n 为数列{a n }前n 项和，记T n ＝a nS n ，则( )A ．T 3≤T 6B ．T 3<T 6C ．T 3≥T 6D ．T 3>T 67．已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是数列{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列{1a n}的前4项和为( ) A ．158或4B ．4027或4C ．4027D ．1588．已知数列{a n }是递减的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 2＋a 5＝18，a 3a 4＝32，则S 5的值是( )A ．62B ．48C ．36D ．31二、填空题9．数列{a n }满足：log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，若a 3＝10，则a 8＝_____．10．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2＝ ．11．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝_____．12． 已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是_____． 三、解答题13．等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3． (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m ．14． (2018·安徽联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4． (1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列． (2)求数列{S n }的前n 项和T n ．1．已知1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值是( )A ．52或－52B ．－52C ．52D ．122．等比数列{a n }共有奇数项，所有奇数项的和S 奇＝255，所有偶数项的和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1等于( )A ．1B ．2C ．3D ．43．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n ＝( ) A ．80 B ．30 C ．26D ．164．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝82，a 3·a n －2＝81，且前n 项和S n ＝121，则此数列的项数n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．75． 已知等比数列{a n }满足条件a 2＋a 4＝3(a 1＋a 3)，a 2n ＝3a 2n ，n ∈N *，数列{b n }满足b 1＝1，b n －b n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c 1a 1＋c 2a 2＋c 3a 3＋…＋c na n＝b n ，n ∈N *，求{c n }的前n 项和T n ．【参考答案】一、选择题1．在等比数列{a n }中，a 1＝12，q ＝12，a n ＝132，则项数n 为( C )A ．3B ．4C ．5D ．62．在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( C ) A ．32B ．23C ．－23D ．23或－23[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝18，a 1q 3＝8解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝27，q ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－27，q ＝－23，又a 1<0，因此q ＝－23.故选C ．3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯塔的2倍，则塔的顶层共有灯( B )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏[解析] 设塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由x (1－27)1－2＝381可得x ＝3．4．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，a 3＝8，则a 6＝( C ) A ．16 B ．32 C ．64D ．128[解析] 由题意得，等比数列的公比为q ，由S 3＝14，a 3＝8，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝14，a 3＝a 1q 2＝8，，解得a 1＝2，q ＝2，所以a 6＝a 1q 5＝2×25＝64，故选C ．5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则实数a 的值为( A )A ．－13B ．13C ．－12D ．12[解析] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a ·2n －1－a ·2n －2＝a ·2n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋16，又因为{a n }是等比数列，所以a ＋16＝a 2，所以a ＝－13．6．设等比数列{a n }的公比为q >0，且q ≠1，S n 为数列{a n }前n 项和，记T n ＝a nS n ，则( D )A ．T 3≤T 6B ．T 3<T 6C ．T 3≥T 6D ．T 3>T 6[解析] T 6－T 3＝a 6(1－q )a 1(1－q 6)－a 3(1－q )a 1(1－q 3)＝q 5(1－q )1－q 6－q 2(1－q )1－q 3＝－q 2(1－q )1－q 6，由于q >0且q ≠1，所以1－q 与1－q 6同号，所以T 6－T 3<0，∴T 6<T 3，故选D ．7．已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是数列{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列{1a n}的前4项和为( C ) A ．158或4B ．4027或4C ．4027D ．158[解析] 设数列{a n }的公比为q ．当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84.S 6＝6，两者不相等，因此不合题意． 当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得28(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q ，解得q ＝3.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1．所以数列{1a n }的前4项和为1＋13＋19＋127＝4027．8．已知数列{a n }是递减的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 2＋a 5＝18，a 3a 4＝32，则S 5的值是( A )A ．62B ．48C ．36D ．31[解析] 由a 2＋a 5＝18，a 3a 4＝32，得a 2＝16，a 5＝2或a 2＝2，a 5＝16(不符合题意，舍去)，设数列{a n }的公比为q ，则a 1＝32，q ＝12，所以S 5＝32[1－(12)5]1－12＝62，选A ．二、填空题9．数列{a n }满足：log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，若a 3＝10，则a 8＝__320___．[解析] 由题意知log 2a n ＋1＝log 22a n ，∴a n ＋1＝2a n ，∴{a n }是公比为2的等比数列，又a 3＝10，∴a 8＝a 3·25＝320．10．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2＝647(1－2－3n) ．[解析] 设数列{a n }的公比为q ，则q 3＝a 5a 2＝18，解得q ＝12，a 1＝a 2q＝4.易知数列{a n a n ＋1a n＋2}是首项为a 1a 2a 3＝4×2×1＝8，公比为q 3＝18的等比数列，所以a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n＋1a n ＋2＝8(1－18n )1－18＝647(1－2－3n )． 11．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝__32___．[解析] 由题意知S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝74，a 4＋a 5＋a 6＝S 6－S 3＝634－74＝14＝74·q 3，∴q ＝2．又a 1＋2a 1＋4a 1＝74，∴a 1＝14，∴a 8＝14×27＝32．12． 已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是__(－∞，－1]∪[3，＋∞)___．[解析] 设等比数列的公比为q ，则S 3＝1q ＋q ＋1∵|1q ＋q |＝1|q |＋|q |≥2(当且仅当|q |＝1时取等号) ∴1q ＋q ≥2或1q＋q ≤－2∴S 3≥3或S 3≤－1，∴S 3的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 三、解答题13．等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3． (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m ．[分析] 本题考查等比数列的通项公式、前n 项和公式． (1)根据已知，建立含有q 的方程→求得q 并加以检验→代入等比数列的通项公式(2)利用等比数列前n 项和公式与已知建立等量关系即可求解． [解析] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1．由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2.故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1． (2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n 3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1.由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6.综上，m ＝6． [解后反思] 等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略： (1)求通项．求出等比数列的两个基本量a 1和q 后，通项便可求出． (2)求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解． (3)求公比．利用等比数列的定义和性质建立方程(组)求解．(4)求前n 项和．直接将基本量代入等比数列的前n 项和公式求解或利用等比数列的性质求解．[易错警示] 解方程时，注意对根的检验．求解等比数列的公比时，要结合题意进行讨论、取值，避免错解．14． (2018·安徽联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4． (1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列． (2)求数列{S n }的前n 项和T n ．[解析] (1)证明：由题意知S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)， 即S n ＝2S n －1－n ＋4，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2]， 又易知a 1＝3，所以S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1， 所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n ＝4(1－2n )1－2＋n (n ＋1)2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82．1．已知1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值是( C )A ．52或－52B ．－52C ．52D ．12[解析] 由题意得a 1＋a 2＝5，b 22＝4，又b 2与第一项的符号相同，所以b 2＝2.所以a 1＋a 2b 2＝52.故选C ． [技巧点拨] (1)在等差(比)数列的基本运算中要注意数列性质的运用，利用性质解题可简化运算，提高运算的速度．(2)根据等比中项的定义可得，在等比数列中，下标为奇数的项的符号相同，下标为偶数的项的符号相同，在求等比数列的项时要注意这一性质的运用，避免出现符号上的错误．2．等比数列{a n }共有奇数项，所有奇数项的和S 奇＝255，所有偶数项的和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1等于( C )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] ∵a n ＝192， ∴q ＝S 偶S 奇－a n ＝－12663＝－2．又S n ＝a 1－a n q1－q＝S 奇＋S 偶，∴a 1－192×(－2)1－(－2)＝255＋(－126)，解得a 1＝3，故选C ．3．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n ＝( B ) A ．80 B ．30 C ．26D ．16[解析] 由等比数列的性质知S n 、S 2n －S n 、S 3n －S 2n 成等比数列，∴(S 2n －2)2＝2(14－S 2n )，∴S 2n ＝6或－4(舍去)，又S 2n －S n 、S 3n －S 2n 、S 4n －S 3n 成等比数列，∴82＝4(S 4n －14)，∴S 4n ＝30.故选B ．另解：(特殊化)不妨令n ＝1，则a 1＝S 1＝2，S 3＝2(1－q 3)1－q ＝14，∴q 2＋q －6＝0，∴q ＝2或－3(舍去)∴S 4＝2(1－q 4)1－q＝30.故选B ．4．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝82，a 3·a n －2＝81，且前n 项和S n ＝121，则此数列的项数n 等于( B )A ．4B ．5C ．6D ．7[解析] 在等比数列{a n }中，a 3·a n －2＝a 1·a n ＝81，又a 1＋a n ＝82，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝81或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝81，a n ＝1.当a 1＝1，a n ＝81时，S n ＝1－81q1－q ＝121，解得q ＝3．由a n ＝a 1q n －1得81＝3n －1，解得n ＝5． 同理可得当a 1＝81，a n ＝1时，n ＝5.故选B ．5． 已知等比数列{a n }满足条件a 2＋a 4＝3(a 1＋a 3)，a 2n ＝3a 2n ，n ∈N *，数列{b n }满足b 1＝1，b n －b n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c 1a 1＋c 2a 2＋c 3a 3＋…＋c na n ＝b n ，n ∈N *，求{c n }的前n 项和T n ．[解析] (1)设{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1，n ∈N *，由已知a 2＋a 4＝3(a 1＋a 3)，a 1q ＋a 1q 3＝3(a 1＋a 1q 2)，得q ＝3，由已知a 2n ＝3a 2n ，即a 1q 2n －1＝3a 21q 2n －2， 解得q ＝3a 1，a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝3n －1．因为b 1＝1，b n －b n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)， 可得b 2－b 1＝3，b 3－b 2＝5，…，b n －b n －1＝2n －1， 累加可得b n ＝n 2．(2)当n ＝1时，c 1a 1＝1，c 1＝1，当n ≥2时，c 1a 1＋c 2a 2＋c 3a 3＋…＋c na n ＝n 2①c 1a 1＋c 2a 2＋c 3a 3＋…＋c n －1a n －1＝(n －1)2② 由①－②得到c na n ＝2n －1，c n ＝(2n －1)·3n －1，n ≥2，综上，c n ＝(2n －1)·3n －1，n ∈N *．T n ＝1×30＋3×31＋…＋(2n －3)×3n －2＋(2n －1)×3n －1③ 3T n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n ④ 由③－④得到－2T n ＝1×30＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝1×30＋2×3(3n －1－1)3－1－(2n －1)×3n ．所以T n ＝1＋(n －1)×3n ．。

课时规范练31等比数列及其前n项和课时规范练第49页一、选择题1.在等比数列{a n}中,a1=1,公比|q|≠1.若a m=a1a2a3a4a5,则m等于( )A.9B.10C.11D.12答案:C解析:a m=a1a2a3a4a5=q·q2·q3·q4=q10=a1q10,所以m=11.2.在等比数列{a n}中,a2a6=16,a4+a8=8,则等于( )A.1B.-3C.1或-3D.-1或3答案:A解析:由a2a6=16,得=16⇒a4=±4,又a4+a8=8,可得a4(1+q4)=8,∵q4>0,∴a4=4.∴q2=1,=q10=1.3.等比数列{a n}的公比为q,则“a1>0,且q>1”是“对于任意正整数n,都有a n+1>a n”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:易知,当a1>0且q>1时,a n>0,所以=q>1,表明a n+1>a n;若对任意自然数n,都有a n+1>a n成立,当a n>0时,同除以a n得q>1,但当a n<0时,同除以a n得q<1.4.已知等比数列{a n}满足a n>0,n=1,2,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3),则当n≥1时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1等于( )A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2D.(n-1)2答案:C解析:由a5·a2n-5=22n(n≥3),得=22n,∵a n>0,∴a n=2n.易得结论.5.各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,若S n=2,S3n=14,则S4n等于( )A.80B.30C.26D.16答案:B解析:设S2n=a,S4n=b,由等比数列的性质知2(14-a)=(a-2)2,解得a=6或a=-4(舍去),同理(6-2)(b-14)=(14-6)2,所以b=S4n=30.6.在等比数列{a n}中,a1=2,其前n项和为S n,若数列{a n+1}也是等比数列,则S n等于( )A.2n+1-2B.3nC.2nD.3n-1答案:C解析:数列{a n}为等比数列,设其公比为q,则a n=2q n-1,∵数列{a n+1}也是等比数列,∴(a n+1+1)2=(a n+1)(a n+2+1).∴+2a n+1=a n a n+2+a n+a n+2.∴a n+a n+2=2a n+1.∴a n(1+q2-2q)=0,得q=1,即a n=2.∴S n=2n.二、填空题7.已知在等差数列{a n}中,n≥1时,都有a n>a n+1,且a2,a8是方程x2-12x+m=0的两根,前15项的和S15=m,则数列{a n}的公差为.答案:-2或-3解析:由题意得2a5=a2+a8=12,即a5=6.由S15=m,且S15=15a8,得a8=,将x1=a8=代入方程x2-12x+m=0,解得m=0或m=-45,即a8=0或-3.由3d=a8-a5=-6或-9,均小于0,得d=-2或-3.8.在等比数列{a n}中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式a n=.答案:4n-1解析:由题意知a1+4a1+16a1=21,解得a1=1,所以通项公式为a n=4n-1.9.已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且A,B,C成等差数列,三边a,b,c成等比数列,b=,则△ABC的面积是.1 / 2答案:解析:因为△ABC的内角A,B,C成等差数列,所以A+C=2B,B=.又因为三边a,b,c成等比数列,b=,所以ac=b2=3.于是S△ABC=ac sin B=.三、解答题10.在等差数列{a n}中,a1=1,a7=4,数列{b n}是等比数列,已知b2=a3,b3=,求满足b n<的最小自然数n的值.解:∵{a n}为等差数列,a1=1,a7=4,∴6d=3,d=,∴a n=.∵{b n}为等比数列,b2=2,b3=,q=,∴b n=6×.∵b n<,∴81<,即3n-2>81=34.∴n>6,从而可得n min=7.11.已知{a n}是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.(1)求数列{a n}的通项;(2)求数列{}的前n项和S n.解:(1)由题设知公差d≠0.由a1=1,a1,a3,a9成等比数列,得,解得d=1,或d=0(舍去).所以{a n}的通项a n=1+(n-1)×1=n.(2)由(1)知=2n,由等比数列前n项和公式得S n=2+22+23+…+2n==2n+1-2.12.已知数列{a n}满足:a1=1,a2=a(a>0).数列{b n}满足b n=a n a n+1(n∈N*).(1)若{a n}是等差数列,且b3=12,求a的值及{a n}的通项公式;(2)若{a n}是等比数列,求{b n}的前n项和S n;(3)当{b n}是公比为q-1的等比数列时,{a n}能否为等比数列?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.解:(1)∵{a n}是等差数列,a1=1,a2=a,∴a n=1+(n-1)(a-1).又∵b3=12,∴a3a4=12,即(2a-1)(3a-2)=12.解得a=2或a=-.∵a>0,∴a=2.∴a n=n.(2)∵数列{a n}是等比数列,a1=1,a2=a(a>0),∴a n=a n-1.∴b n=a n a n+1=a2n-1.∵=a2,∴数列{b n}是首项为a,公比为a2的等比数列.当a=1时,S n=n;当a≠1时,S n=.(3)数列{a n}不能为等比数列.∵b n=a n a n+1,∴.则=a-1.∴a3=a-1.假设数列{a n}能为等比数列.由a1=1,a2=a,得a3=a2.∴a2=a-1,此方程无解,故数列{a n}一定不能为等比数列.希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。

即病毒共复制了13次．∴所需时间为13×3＝39(秒).](对应学生用书第106页)考点1等比数列的基本运算等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1、a n、q、n、S n、已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).(2)运用等比数列的前n项和公式时、注意分q＝1和q≠1两类分别讨论．1.设S n为等比数列{a n}的前n项和、已知3S3＝a4－2、3S2＝a3－2、则公比q＝()A．3B．4C．5D．6∴q ＝－12或q ＝1. ∴a 2＝a3q ＝－3或32.]4．(20xx·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中、a 1＝1、a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和、若S m ＝63、求m . [解] (1)设{a n }的公比为q 、由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2、解得q ＝0(舍去)、q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1(n ∈N ＋). (2)若a n ＝(－2)n －1、则S n ＝1－（－2）n 3. 由S m ＝63得(－2)m ＝－188、 此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1、则S n ＝2n －1. 由S m ＝63得2m ＝64、解得m ＝6. 综上、m ＝6.抓住基本量a 1, q 、借用方程思想求解是解答此类问题的关键、求解中要注意方法的择优．考点2 等比数列的判定与证明故⎩⎨⎧⎭⎬⎫an 2n 是首项为12、公差为34的等差数列． ∴an 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14、 故a n ＝(3n －1)·2n －2.(20xx·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1、b 1＝0、4a n ＋1＝3a n －b n ＋4、4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列、{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．[解] (1)证明：由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )、即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n ). 又因为a 1＋b 1＝1、所以{a n ＋b n }是首项为1、公比为12的等比数列． 由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8、即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又因为a 1－b 1＝1、所以{a n －b n }是首项为1、公差为2的等差数列． (2)由(1)知、a n ＋b n ＝12n －1、a n －b n ＝2n －1.所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12、 b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12. 考点3 等比数列性质的应用。

课时作业32 等比数列及其前n 项和1．已知正项等比数列{a n }满足a 3＝1，a 5与32a 4的等差中项为12，则a 1的值为( A )A ．4B ．2 C.12D.14解析：由题意知2×12＝a 5＋32a 4，即3a 4＋2a 5＝2. 设{a n }的公比为q (q ＞0)，则由a 3＝1， 得3q ＋2q 2＝2，解得q ＝12或q ＝－2(舍去)，所以a 1＝a 3q 2＝4.2．(2019·益阳调研)已知等比数列{a n }中，a 5＝3，a 4a 7＝45，则a 7－a 9a 5－a 7的值为( D )A ．3B ．5C ．9D ．25解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 7＝a 5q ·a 5q 2＝9q ＝45，所以q ＝5，a 7－a 9a 5－a 7＝a 5q 2－a 7q 2a 5－a 7＝q 2＝25.故选D.3．(2019·武昌调研)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，S n ＋2＝4S n ＋3恒成立，则a 1的值为( C )A ．－3B ．1C ．－3或1D ．1或3解析：设等比数列{a n }的公比为q ， 当q ＝1时，S n ＋2＝(n ＋2)a 1，S n ＝na 1， 由S n ＋2＝4S n ＋3得，(n ＋2)a 1＝4na 1＋3，即3a 1n ＝2a 1－3，若对任意的正整数n,3a 1n ＝2a 1－3恒成立， 则a 1＝0且2a 1－3＝0，矛盾，所以q ≠1， 所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ，S n ＋2＝a 1(1－q n ＋2)1－q，代入S n ＋2＝4S n ＋3并化简得a 1(4－q 2)q n ＝3＋3a 1－3q ，若对任意的正整数n 该等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 4－q 2＝0，3＋3a 1－3q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，q ＝－2，故a 1＝1或－3，故选C.4．(2019·西安八校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝－33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值是( A )A ．－ 3B ．－1C ．－33D. 3解析：依题意得，a 36＝(－3)3，a 6＝－3，3b 6＝7π，b 6＝7π3，b 3＋b 91－a 4·a 8＝2b 61－a 26＝－7π3，故tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3＝－tan π3＝－ 3. 5．(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( D )A.32f B.322f C.1225fD.1227f解析：由题意知，十三个单音的频率构成首项为f ，公比为122的等比数列，设该等比数列为{a n }，则a 8＝a 1q 7，即a 8＝1227f ，故选D.6．在正项数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n 等于( A )A ．2n ＋1－2B ．2n ＋1C ．2n2－ 2D ．2n ＋22－ 2解析：因为点(a n ，a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上， 所以a n －2·a n －1＝0.又因为a n ＞0，所以a na n －1＝2(n ≥2)．又a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 所以所求的S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.7．(2019·天津实验中学月考)设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30＝( B )A ．210B ．220C ．216D ．215解析：因为a 1a 2a 3＝a 32，a 4a 5a 6＝a 35，a 7a 8a 9＝a 38，…，a 28a 29a 30＝a 329，所以a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9…a 28a 29a 30＝(a 2a 5a 8…a 29)3＝230.所以a 2a 5a 8…a 29＝210.则a 3a 6a 9…a 30＝(a 2q )(a 5q )(a 8q )…(a 29q )＝(a 2a 5a 8…a 29)q 10＝210×210＝220，故选B.8．(2019·山西太原模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x 的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( D )A ．S n ＝2T nB ．T n ＝2b n ＋1C ．T n ＞a nD ．T n ＜b n ＋1解析：由题意可得S n ＋3＝3×2n ，S n ＝3×2n －3，由等比数列前n 项和的特点可得数列{a n }是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式a n ＝3×2n －1，设b n ＝b 1q n －1，则b 1q n －1＋b 1q n ＝3×2n －1， 当n ＝1时，b 1＋b 1q ＝3， 当n ＝2时，b 1q ＋b 1q 2＝6， 解得b 1＝1，q ＝2，数列{b n }的通项公式b n ＝2n －1，由等比数列求和公式有：T n ＝2n －1，观察所给的选项： S n ＝3T n ，T n ＝2b n －1，T n ＜a n ，T n ＜b n ＋1.9．在各项都为正数的等比数列{a n }中，若a 2 018＝22，则1a 2 017＋2a2 019的最小值为 4 .解析：设公比为q (q ＞0)，因为a 2 018＝22， 所以a 2 017＝a 2 018q ＝22q ，a 2 019＝a 2 018q ＝22q ， 则有1a 2 017＋2a 2 019＝2q ＋222q ＝2q ＋22q ≥2 2q ×2q ＝4，当且仅当q 2＝2，即q ＝2时取等号，故所求最小值为4.10．(2019·湖北荆州一模)已知等比数列{a n }的公比不为－1，设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S 12＝7S 4，则S 8S 4＝ 3 .解析：由题意可知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列， 则(S 8－S 4)2＝S 4·(S 12－S 8)，又S 12＝7S 4，∴(S 8－S 4)2＝S 4·(7S 4－S 8)，可得S 28－6S 24－S 8S 4＝0，两边都除以S 24，得⎝ ⎛⎭⎪⎫S 8S 42－S 8S 4－6＝0，解得S 8S 4＝3或－2， 又S 8S 4＝1＋q 4(q 为{a n }的公比)，∴S 8S 4＞1，∴S 8S 4＝3.11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．解：(1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋1， 解得a 4＝78.(2)证明：因为4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 所以4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)， 即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)． 又因为4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2， 所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1， 所以a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2(2a n ＋1－a n )＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．12．(2016·四川卷)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q ＞0，n ∈N *.(1)若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求数列{a n }的通项公式； (2)设双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率为e n ，且e 2＝53，证明：e 1＋e 2＋…＋e n ＞4n －3n3n －1.解：(1)由已知，S n ＋1＝qS n ＋1，S n ＋2＝qS n ＋1＋1， 两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1. 又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1， 故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立．所以，数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列． 从而a n ＝q n －1.由2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列， 可得2a 3＝3a 2＋2，即2q 2＝3q ＋2，则(2q ＋1)(q －2)＝0， 由已知，q ＞0，故q ＝2. 所以a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)证明：由(1)可知，a n ＝q n －1.所以双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝1＋q 2(n －1). 由e 2＝1＋q 2＝53，解得q ＝43.因为1＋q 2(k －1)＞q 2(k －1)， 所以1＋q 2(k －1)＞q k －1(k ∈N *)． 于是e 1＋e 2＋…＋e n ＞1＋q ＋…＋q n －1＝q n －1q －1， 故e 1＋e 2＋…＋e n ＞4n －3n3n －1.13．(2019·山东实验中学诊断测试)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应偿还a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( D )A ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且a ＝507 B ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且c ＝507 C ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且a ＝507 D ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且c ＝507 解析：由题意可知b ＝12a ，c ＝12b ， ∴b a ＝12，c b ＝12.∴a 、b 、c 成等比数列且公比为12.∵1斗＝10升，∴5斗＝50升，∴a ＋b ＋c ＝50， 又易知a ＝4c ，b ＝2c ，∴4c ＋2c ＋c ＝50， ∴7c ＝50，∴c ＝507，故选D.14．(2019·郑州第一次质量预测)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜t ，则实数t 的取值范围为( D )A.⎝⎛⎭⎪⎫13，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2n 22(n －1)2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n＝122n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和等于12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＜23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.15．(2019·东北三省三校联考)各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为 a n ＝n (n ＋1)2 .解析：由题意知2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n ·b n ＋1， ∴a n ＋1＝b n b n ＋1，当n ≥2时，2b n ＝b n －1b n ＋b n b n ＋1， ∵b n ＞0，∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1， ∴{b n }成等差数列，由a 1＝1，a 2＝3，得b 1＝2，b 2＝92， ∴b 1＝2，b 2＝322， ∴公差d ＝22，∴b n ＝n ＋122，∴b n ＝(n ＋1)22， ∴a n ＝b n －1b n ＝n (n ＋1)2.16．已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n≤136(n ∈N *)．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列， 所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3， 即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)证明：由(1)知，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n，S n ＋1S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋11－⎝⎛⎭⎪⎫－12n＝⎩⎨⎧2＋12n (2n ＋1)，n 为奇数，2＋12n(2n－1)，n 为偶数.当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.故对于n ∈N *，有S n ＋1S n≤136.。

备考2020年高考数学一轮复习：29 等比数列及其前n项和一、单选题1.（2019•全国Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=（）A. 16B. 8C. 4D. 22.等比数列前项和为，则下列一定成立的是（）A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则3.已知等比数列{an}中，a1+a2=3，a3+a4=12，则a5+a6=( ）．A. 3B. 15C. 48D. 634.若三个实数成等比数列，其中，，则（）A. 2B.C.D. 45.已知数列是由正数组成的等比数列，为其前项和.已知，则( )A. B. C. D.6.设{a n}为等比数列，给出四个数列：①{2a n}，②{a n2}，③{2an}，④{log2la n}．其中一定为等比数列的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④7.已知为等比数列的前项和，且，则（）A. 510B. 510C. 1022D. 10228.已知等比数列满足，，则（）A. B. 2 C. 或 2 D. 29.已知正项等比数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.10.设等比数列的前n项和为，若，，则A. 144B. 81C. 45D. 6311.设等比数列的公比，前项和为，则=（）A. B. C. D.12.记数列的前项和为.已知，，则（）A. B. C. D.二、填空题13.（2019•卷Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和。

若a1=，，则S5=________14.已知等比数列中，，则公比________；________．15.已知数列{a n}的首项a1＝2，数列{b n}为等比数列，且b n＝.若b10b11＝2，则a21＝________.16.已知等比数列中，，，则________．17.无穷等比数列各项和的值为2，公比，则首项的取值范围是________三、解答题18.已知数列满足．（1）证明：是等比数列；（2）求．19.（2019•卷Ⅱ）已知是各项均为正数的等比数列，，。

第28讲 等比数列及其前n 项和【练基础】1．已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 5＝16，a 2＝2，则公比q ＝( ) A ．4 B.52 C ．2 D.12【答案】C【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·a 1q 4＝16，a 1q ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，q ＝－2(舍去)，故选C.2．已知各项均不为0的等差数列{a n }满足a 3－a 272＋a 11＝0，数列{b n }为等比数列，且b 7＝a 7，则b 1·b 13＝( )A ．25B ．16C ．8D ．4【答案】B【解析】由a 3－a 272＋a 11＝0，得2a 7－a 272＝0，a 7＝4，所以b 7＝4，b 1·b 13＝b 27＝16. 3．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【答案】C【解析】由题意得，2a 5a 6＝18，∴a 5a 6＝9，∵a 1a m ＝a 5a 6＝9，∴m ＝10.4．设{a n }是首项大于零的等比数列，则“a 21<a 22”是“数列{a n}为递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】设公比为q ，若a 21<a 22，则a 21<a 21q 2，即q 2>1，则q >1或q <－1，当q <－1时，数列为摆动数列，则“数列{a n }为递增数列”不成立，即充分性不成立，若“数列{a n }为递增数列”，则a 1<a 2，∵a 1>0，∴a 2>0，则“a 21<a 22”成立，即必要性成立，则“a 21<a 22”是“数列{a n }为递增数列”的必要而不充分条件．5．已知公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝3a 3，则S 5＝( ) A ．1 B ．5 C.3148 D.1116【答案】D【解析】由题意得a 1(1－q 3)1－q ＝3a 1q 2，解得q ＝－12或q ＝1(舍)，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝1－⎝⎛⎭⎫－1251－⎝⎛⎭⎫－12＝1116.6．已知{a n }是等比数列，若a 1＝1，a 6＝8a 3，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，则T 5＝( )A.3116 B ．31 C.158 D ．7【答案】A【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，则q 3＝a 6a 3＝8a 3a 3＝8，故q ＝2.易证数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公比为12的等比数列，所以T 5＝1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116. 7．已知{a n }是公差为3的等差数列，若a 1，a 2，a 4成等比数列，则{a n }的前10项和S 10＝( ) A ．165 B ．138 C ．60 D ．30【答案】A【解析】由a 1，a 2，a 4成等比数列得a 22＝a 1a 4，即(a 1＋3)2＝a 1·(a 1＋9)，解得a 1＝3，则S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×3＋45×3＝165.故选A.8．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( ) A ．－2 B ．－1 C.12 D.23 【答案】B【解析】将已知两式作差得S 4－S 2＝3a 4－3a 2，所以a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即3a 2＋a 2q －2a 2q 2＝0.所以2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1(舍去)．将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2，即a 1＋a 1q ＝3a 1q ＋2，解得a 1＝－1.9．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则q ＝________.【答案】2【解析】由等比数列的性质得a 24＝a 3a 5，又因为a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 24＝4(a 4－1)，解得a 4＝2.又a 1＝14，所以q 3＝a 4a 1＝8，解得q ＝2. 10．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于________．【答案】323⎝⎛⎭⎫1－14n 【解析】因为{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，所以q 3＝a 5a 2＝18，则q ＝12，所以a n a n ＋1a n －1a n＝q 2＝14(n ≥2)．所以数列{a n a n ＋1}是以8为首项，14为公比的等比数列．所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n 1－14＝323⎝⎛⎭⎫1－14n . 【练提升】1．已知等比数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且满足：a 1＋3a 3＝72，S 3＝72，则a 4＝( )A.14 B.18 C ．4 D ．8【答案】A【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，则q >0.∵a 1＋3a 3＝72，S 3＝72，∴a 1＋3a 1q 2＝72，a 1(1＋q ＋q 2)＝72，联立解得a 1＝2，q ＝12.则a 4＝2×⎝⎛⎭⎫123＝14.故选A.2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n ＝4(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)，a 1a 2a 3＝－27，则a 5＝( ) A ．81 B ．24 C ．－81 D ．－24 【答案】C【解析】解法一：易知等比数列{a n }的公比q ≠1，由S 2n ＝4(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)，可得a 1(1－q 2n )1－q ＝4×a 1(1－q 2n )1－q2，解得q ＝3.由a 1a 2a 3＝a 32＝－27，得a 2＝－3，所以a 5＝a 2q 3＝－3×33＝－81.故选C.解法二：当n ＝1时，S 2＝a 1＋a 2＝4a 1，即a 2＝3a 1，所以q ＝3.又a 1a 2a 3＝a 32＝－27，所以a 2＝－3，所以a 5＝a 2q 3＝－3×33＝－81.故选C.3．(多选)在公比为q 的等比数列{a n }中，S n 是数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 5＝27a 2，则下列说法正确的是( )A ．q ＝3B ．数列{S n ＋2}是等比数列C ．S 5＝121D ．2lg a n ＝lg a n －2＋lg a n ＋2(n ≥3)【答案】ACD【解析】因为a 1＝1，a 5＝27a 2，所以有a 1·q 4＝27a 1·q ⇒q 3＝27⇒q ＝3，因此选项A 正确； 因为S n ＝1－3n 1－3＝12(3n －1)，所以S n ＋2＝12(3n ＋3)，因为S n ＋1＋2S n ＋2＝12(3n ＋1＋3)12(3n ＋3)＝1＋21＋31－n≠常数，所以数列{S n ＋2}不是等比数列，故选项B 不正确； 因为S 5＝12(35－1)＝121，所以选项C 正确；a n ＝a 1·q n －1＝3n －1>0，因为当n ≥3时，lg a n －2＋lg a n ＋2＝lg(a n －2·a n ＋2) ＝lg a 2n ＝2lg a n ，所以选项D 正确．4．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＋a 3a n －2＝256，且前n 项和S n ＝126，则n ＝ ( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】C【解析】因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a n －1＝a 3a n －2＝a 1a n ，又因为a 2a n －1＋a 3a n －2＝256，所以a 1a n＝128，又因为a 1＋a n ＝66.所以a 1＝2，a n ＝64或a 1＝64，a n ＝2.因为S n ＝a 1－a n q 1－q ，且S n ＝126，所以若a 1＝2，a n ＝64，则2－64q 1－q ＝126，得q ＝2.此时a n ＝2×2n －1＝2n ＝64，n ＝6；若a 1＝64，a n ＝2，则64－2q 1－q ＝126，得q ＝12，此时a n ＝64×⎝⎛⎭⎫12n －1＝2，得n ＝6.综上知，n ＝6. 5．已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，若a 1＝－24，a 4＝－89，则当T n 取得最大值时，n 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝－24q 3＝－89，所以q 3＝127，q ＝13，易知此等比数列各项均为负数，则当n 为奇数时，T n 为负数，当n 为偶数时，T n 为正数，所以T n 取得最大值时，n 为偶数，排除B ；而T 2＝(－24)2×⎝⎛⎭⎫13＝24×8＝192，T 4＝(－24)4× ⎝⎛⎭⎫136＝84×19＝849>192，T 6＝(－24)6×⎝⎛⎭⎫1315＝86×⎝⎛⎭⎫139＝8639＝849×8237<849，所以T 4最大．故选C. 6．若数列{a n ＋1－a n }是等比数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝5，则a n ＝________. 【答案】3n －1＋12【解析】因为a 1＝1，a 2＝2，a 3＝5， 所以a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3.所以等比数列{a n ＋1－a n }的首项为1，公比为3， 所以a n ＋1－a n ＝1×3n －1. 所以a 2－a 1＝1， a 3－a 2＝3， …a n －a n －1＝3n －2，以上各式相加得a n －a 1＝1＋3＋…＋3n －2＝1－3n －11－3＝3n －1－12，又a 1＝1，所以a n ＝3n －1＋12(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1，也满足上式，所以a n ＝3n －1＋12.7．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝________.【解析】∵a 3a 9＝a 26，∴a 26＝2a 25，设等比数列{a n }的公比为q ，∴q 2＝2，由于q >0，解得q ＝2，∴a 1＝a 2q ＝22. 【答案】228．在数列{a n }中，a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，且a 1＝2，a 2＝5.(1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .【解析】(1)证明：∵a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2， ∴(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)， 即a n ＋1＋1a n ＋1＝a n ＋2＋1a n ＋1＋1.∵a 1＝2，a 2＝5，∴a 1＋1＝3，a 2＋1＝6，∴a 2＋1a 1＋1＝2，∴数列{a n ＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知，a n ＋1＝3·2n －1， ∴a n ＝3·2n －1－1，∴S n ＝3(1－2n )1－2－n ＝3·2n －n －3.。

等比数列及其前n 项和一、知识梳理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：a n a n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数).(2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝2.等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q .3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ， a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n .证明：（1）当q ≠-1且q ≠0时，A a a a a S n n =++++=...321，n n n n n n n n n n n Aq q a q a q a a a a a S S =+++=++++=-+++ (2123212)n n n n n n n n n n n Aq q a q a q a a a a a S S 222221332221223......=+++=++++=-+++所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n（2）当q= -1时，<1>、当n 为奇数时，1a S n=，132,0a S S n n ==1120a a S S n n -=-=-， 11230a a S S n n =-=-所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n<2>、当n 为偶数时，032===n n n S S S ，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n不能构成等比数列小结：1.若数列{a n }为等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 也是等比数列. 2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)等比数列公比q 是一个常数，它可以是任意实数.( ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( ) 解析 (1)在等比数列中，q ≠0.(2)若a ＝0，b ＝0，c ＝0满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列. (3)当a ＝1时，S n ＝na .(4)若a 1＝1，q ＝－1，则S 4＝0，S 8－S 4＝0，S 12－S 8＝0，不成等比数列.答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( ) A.－12B.－2C.2D.12解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，即q ＝12.答案 D3.在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________.解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 答案 27，814.(2019·天津和平区质检)已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( ) A.2B.4C.92D.6解析 根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2.又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4. 答案 B5.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32f B.322fC.1225fD.1227f解析 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f ，公比为122的等比数列，设此数列为{a n }，则a 8＝1227f ，即第八个单音的频率为1227f . 答案 D6.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，则n ＝________.解析 由a n ＋1＝2a n ，知数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列，由S n ＝2（1－2n ）1－2＝126，解得n ＝6.答案 6考点一 等比数列基本量的运算【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.(2)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析 (1)由{a n }为等比数列，设公比为q .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝－1，①a 1－a 1q 2＝－3，② 显然q ≠1，a 1≠0，②①得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1， 所以a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.(2)设数列{a n }首项为a 1，公比为q (q ≠1)，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q＝634，解得⎩⎨⎧a 1＝14，q ＝2， 所以a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案 (1)－8 (2)32规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q.【训练1】 (1)等比数列{a n }中各项均为正数，S n 是其前n 项和，且满足2S 3＝8a 1＋3a 2，a 4＝16，则S 4＝( ) A.9B.15C.18D.30(2)(2017·北京卷)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.解析 (1)设数列{a n }的公比为q (q >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2S 3＝2（a 1＋a 1q ＋a 1q 2）＝8a 1＋3a 1q ，a 1q 3＝16， 解得q ＝2，a 1＝2，所以S 4＝2（1－24）1－2＝30.(2){a n }为等差数列，a 1＝－1，a 4＝8＝a 1＋3d ＝－1＋3d ，∴d ＝3，∴a 2＝a 1＋d ＝－1＋3＝2.{b n }为等比数列，b 1＝－1，b 4＝8＝b 1·q 3＝－q 3，∴q ＝－2，∴b 2＝b 1·q ＝2，则a 2b 2＝22＝1.答案 (1)D (2)1考点二 等比数列的判定与证明【例2】 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1， 得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1. (2)解 由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132，得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.【训练2】 (2019·广东省级名校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4.(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n . (1)证明 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 所以S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)， 则S n ＝2S n －1－n ＋4(n ≥2)，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2](n ≥2)， 又由题意知a 1－2a 1＝－3， 所以a 1＝3，则S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2等比数列. (2)解 由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1， 所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n＝4（1－2n ）1－2＋n （n ＋1）2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82.考点三 等比数列的性质及应用【例3】 (1)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A.12B.10C.8D.2＋log 35(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( ) A.40B.60C.32D.50解析 (1)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，则原式＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝10.(2)数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4，8，S 9－S 6，S 12－S 9是首项为4，公比为2的等比数列，则S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝16，S 12－S 9＝a 10＋a 11＋a 12＝32，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 答案 (1)B (2)B【训练3】 (1)(2019·菏泽质检)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( ) A.－2B.－ 2C.± 2D.2(2)(一题多解)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________.解析 (1)根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4， a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0， 所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0， 由a 3a 7＝a 25，得a 5＝－a 3a 7＝－ 2.(2)法一 由等比数列的性质S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由已知得S 6＝3S 3，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73.法二 因为{a n }为等比数列，由S 6S 3＝3，设S 6＝3a ，S 3＝a (a ≠0)，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等比数列，即a ，2a ，S 9－S 6成等比数列，所以S 9－S 6＝4a ，解得S 9＝7a ，所以S 9S 6＝7a 3a ＝73.答案 (1)B (2)73数学运算——等差(比)数列性质的应用1.数学运算是指在明析运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.本系列数学运算主要表现为：理解数列问题，掌握数列运算法则，探究运算思路，求得运算结果.通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展.2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想.类型1 等差数列两个性质的应用 在等差数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和： (1)S 2n －1＝(2n －1)a n ；等差中项）(2)设{a n }的项数为2n ，公差为d ，则S 偶－S 奇＝nd .【例1】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________.(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d ＝________.解析 (1)由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0得2a m －a 2m ＝0，解得a m ＝0或2.又S 2m －1＝（2m －1）（a 1＋a 2m －1）2＝(2m －1)a m ＝38， 显然可得a m ≠0，所以a m ＝2.代入上式可得2m －1＝19，解得m ＝10.(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5. 答案 (1)10 (2)5类型2 等比数列两个性质的应用在等比数列{a n }中，(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a n ·a m ＝a p ·a q ；(2)当公比q ≠－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(n ∈N *).【例2】 (1)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A.6B.5C.4D.3(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A.18B.－18C.578D.558 解析 (1)数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18，所以a 7＋a 8＋a 9＝18.答案 (1)C (2)A类型3 等比数列前n 项和S n 相关结论的活用(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q . 若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q .(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q n S m (q 为公比).【例3】 (1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.(2)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________. 解析 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160， 所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. (2)设等比数列{a n }的公比q ，易知S 3≠0.则S 6＝S 3＋S 3q 3＝9S 3，所以q 3＝8，q ＝2.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.答案 (1)2 (2)3116三、课后练习1.已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T 1>1的n 的最小值为( )A.4B.5C.6D.7 解析 ∵{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 2a 4＝a 3，∴a 23＝a 3，∴a 3＝1.又∵q >1，∴a 1<a 2<1，a n >1(n >3)，∴T n >T n －1(n ≥4，n ∈N *)，T 1<1，T 2＝a 1·a 2<1，T 3＝a 1·a 2·a 3＝a 1a 2＝T 2<1，T 4＝a 1a 2a 3a 4＝a 1<1，T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝a 53＝1，T 6＝T 5·a 6＝a 6>1，故n 的最小值为6. 答案 C 2.数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A.(3n －1)2B.12(9n －1)C.9n －1D.14(3n －1)解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1，∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列.因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1－9n )1－9＝12(9n －1). 答案 B 3.(2019·华大新高考联盟质检)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3a 11＝2a 25，且S 4＋S 12＝λS 8，则λ＝______.解析 ∵{a n }是等比数列，a 3a 11＝2a 25，∴a 27＝2a 25，∴q 4＝2，∵S 4＋S 12＝λS 8，∴a 1（1－q 4）1－q ＋a 1（1－q 12）1－q ＝λa 1（1－q 8）1－q， ∴1－q 4＋1－q 12＝λ(1－q 8)，将q 4＝2代入计算可得λ＝83.答案 834.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋λ(λ为常数).(1)试探究数列{a n ＋λ}是不是等比数列，并求a n ；(2)当λ＝1时，求数列{n (a n ＋λ)}的前n 项和T n . 解 (1)因为a n ＋1＝2a n ＋λ，所以a n ＋1＋λ＝2(a n ＋λ). 又a 1＝1，所以当λ＝－1时，a 1＋λ＝0，数列{a n ＋λ}不是等比数列， 此时a n ＋λ＝a n －1＝0，即a n ＝1； 当λ≠－1时，a 1＋λ≠0，所以a n ＋λ≠0， 所以数列{a n ＋λ}是以1＋λ为首项，2为公比的等比数列， 此时a n ＋λ＝(1＋λ)2n －1，即a n ＝(1＋λ)2n －1－λ.(2)由(1)知a n ＝2n －1，所以n (a n ＋1)＝n ×2n ， T n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① 2T n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，② ①－②得：－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2（1－2n ）1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2. 所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.。