分维值D计算方法

土壤表面不平度分形特性的图像分析方法侯占峰，韩进玉，韩宝生(内蒙古农业大学机电工程学院，呼和浩特010018)摘要：研究了分形几何理论和图像处理技术在土壤表面不平度分形维数计算方法中的应用。

利用分形几何的相关理论针对图像预处理后的表面形貌的图像数据建立数学模型，得到可以表征土壤表面不平度的分形参数。

为此，共选择了3种不同耕作方式的土壤表面作为研究对象，运用自行设计的程序进行了表面分形维数的计算。

结果表明：不同类型表面的分形维数相差较大，利用分形维数能够进行土壤表面不平度的有效表征，同时能对不同类型的土壤表面进行准确分类。

关键词：土壤；图像；分形维数中图分类号：T P391．41文献标识码：A 0引言土壤表面不平度对土壤颗粒的形成以及土壤表面磨蚀、风蚀等起着重要作用…。

由于土壤空间变异性的存在，使得土壤的表面结构具有随机性和空间相关的特征，因此通过土壤表面不平度分析可进行土壤风蚀预测及对土壤中溶质的时空分布和变化进行预测预报口J。

另外，根据地面不平度还可模拟研究土壤与轮胎之间的相互作用规律及土壤的变形量∞J。

所以，土壤不平度是农业工程人员与汽车工程人员长期以来研究的对象。

这些都表明研究土壤表面不平度的特性具有重大意义。

近20年来，分形的应用渗透到了各个领域，并不断得到发展，这主要是分形可以将以前不能定量描述或难以定量描述的复杂对象用一种较为便捷的定量方法表述出来。

传统的分析方法是对利用专门的测量仪器测到的表面轮廓高度进行分形分析¨J，这种方法费时费工。

随着计算机技术的发展，数字图像技术已经越来越广泛地应用到各个生产和科技领域。

如果将表面不平度的信息通过图像的形式获取，然后进行分形分析，则不仅可以节省时间与资金，还可以为人们提供形象化的信息。

本文作为图像技术在农业工程中应用的尝试，利用分形理论，计算了不同耕作方式土壤表面图像的分形维数。

结果表明：土壤表面不平度与分维值之间具收稿日期：2011—03—11基金项目：内蒙古自然科学基金项目(2010K S0718)作者简介：侯占峰(1980一)，男，呼和浩特人，讲师，硕士，(E—m ai l) nj au-haf@163．c or n。

分形维数算法分形维数算法分形包括规则分形和无规则分形两种。

规则分形是指可以由简单的迭代或者是按一定规律所生成的分形，如Cantor集，Koch曲线，Sierpinski海绵等。

这些分形图形具有严格的自相似性。

无规则分形是指不光滑的，随机生成的分形，如蜿蜒曲折的海岸线，变换无穷的布朗运动轨迹等。

这类曲线的自相似性是近似的或统计意义上的，这种自相似性只存于标度不变区域。

对于规则分形，其自相似性、标度不变性理论上是无限的（观测尺度可以趋于无限小）。

不管我们怎样缩小（或放大）尺度（标度）去观察图形，其组成部分和原来的图形没有区别，也就是说它具有无限的膨胀和收缩对称性。

因些对于这类分形，其计算方法比较简单，可以用缩小测量尺度的或者不断放大图形而得到。

分形维数D=lnN(λ)/ln(1/λ) （2-20）如Cantor集，分数维D=ln2/ln3=0.631；Koch曲线分数维D=ln4/ln3=1.262; Sierpinski海绵分数维D=ln20/ln3=2.777。

对于不规则分形，它只具有统计意义下的自相似性。

不规则分形种类繁多，它可以是离散的点集、粗糙曲线、多枝权的二维图形、粗糙曲面、以至三维的点集和多枝权的三维图形，下面介绍一些常用的测定方法[26]。

（1）尺码法用某个选定尺码沿曲线以分规方式测量，保持尺码分规两端的落点始终在曲线上。

不断改变尺码λ，得到一系列长度N（λ），λ越小、N越大。

如果作lnN～lnλ图后得到斜率为负的直线，这表明存在如下的幂函数关系N～λ-D（2-21）上式也就是Mandelbrot在《分形：形状、机遇与维数》专著中引用的Richardson公式。

Richardson是根据挪威、澳大利亚、南非、德国、不列颠西部、葡萄牙的海岸线丈量结果得出此公式的，使用的测量长度单位一般在1公里到4公里之间。

海岸线绝对长度L被表示为：L=Nλ～λ1-D（2-22）他得到挪威东南部海岸线的分维D≈1.52，而不列颠西部海岸线的分维D≈1.3。

在地下水溶质输运方程中, 表征含水层介质弥散特征的参数是水动力弥散系数 Dij , 它可表示为:
Dij =
T V ij + (
L-
T)
ViVj V
( 1)
式中: L , T 分别为纵向和横向孔隙尺度弥散度, 是仅与介质特性有关的参数.
大量的室内弥散试验结果表明, 纵向弥散度 L 一般为毫米的量级, 称为孔隙尺度的水动力弥散
散度的基准尺度. 根据分维的定义, 可将弥散度与基准尺度的关系绘在双对数坐标系中, 若为直线,
表明尺度效应具有分形特征, 直线的斜率即为尺度效应的分维. 2 2 考虑可信度的尺度效应分维计算 按其可信度赋以一定的权值, 也可以认为是模型尺度与纵向
弥散度关系的某一个概率值. 设模型试验尺度为 Ls , 在该尺度上运用某种手段求得的弥散度为 L. 按取得手段的不同, 将每一对 ( L s, L ) 关系的可靠性用 3 级可信度来表征. 权值的分配是这样的,
= 1, 2, , N, 可推出,
求解以上方程组,
N
N
N
D2
wixi + D1
w
ix
2 i
=
w ix iyi
i= 1
i= 1
i= 1
N
N
N
D2 wi + D1 wixi =
w iy i
i= 1
i= 1
i=1
可得到 D 1 和 D 2 的值, 即得到弥散度与空间尺度的关系.
计算表明,
( 4) 选用不同的
权值分配方案, 得到 Log L 与 LogLs 回归方程是不同的, 如表 1 所示.
系数 D1 就是所求弥散度尺度效应的分维值 D. 第三种方案得到的结果与传统最小二乘回归方法

第３６卷第１２期２００８年１２月同济大学学报（自然科学版）ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＴＯＮＧＪＩＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（ＮＡＴＵＲＡＬＳｃ正ＮＣＥ）沥青混合料分形级配理论杨瑞华１，－，许志鸿１，张超１，李淑明１（１．同济大学道路与交通工程教育部重点试验室，上海２０００９２；２．上海市公路管理处，上海２０００６３）Ｖｄ．３６Ｎｏ．１２Ｄｅｃ．２００８摘要：介绍沥青混合料集料粒径分布分形维数的计算方法并分析其分形特征．对于连续级配，其集料粒径分布为一重分形分布；对于间断级配，其集料粒径分布为二重分形分布．采用粗集料粒径分布分形维数Ｄ。

和细集料粒径分布分形维数Ｄｆ作为描述集料级配分形特点的指标．在此基础上，提出分形级配理论的计算式，该式不仅可以计算连续级配，还可以计算间断级配．研究分形级配理论与现有主要级配设计理论之间的关系，结果表明，分形级配理论可以包括现有的几种主要级配计算方法，这主要由于分形是集料级配的本质．关键词：道路工程；沥青混合料；级配理论；分形中图分类号：Ｕ４１６．２１７文献标识码：Ａ文章编号：０２５３—３７４Ｘ（２００８）１２—１６４２—０５ＦｒａｃｔａｌＧｒａｄａｔｉｏｎＴｈｅｏｒｙｏｆＡｓｐｈａｌｔＭｉｘｔｕｒｅＹＡＮＧＲｕｉｈｕａ１，－，ＸＵＺｈｉｈｏｎ９１，ＺＨＡＮＧＣｈａ０１，ＬＩＳｈｕｍｉｎ９１（１．ＫｅｙｌａｂｏｒａｔｏｒｙｏｆＲｏａｄａｎｄＴｒａｆｆｉｃＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｏｆｔｈｅＭｉｍｓｔｒｙｏｆＥｄｕｃａｔｉｏｎ，ＴｏｎｇｉｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｊ２０００９２，Ｃｈｉｎａ；２．ＳｈａｎｇｈａｉＨｇｈｗａｙＡｄｍｉｎｉｓｔｒａｔｉｏｎＤｅｐａｒｍａｅｎｔ，Ｓｈａｎｇｈａｉ２０００６３。

Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｐｒｅｓｅｎｔｓａｎｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏｔｈｅａｐｐｒｏａｃｈｔｏｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｏｆｆｒａｃｔａｌｄｉｍｅｎｓｉｏｎｏｆｇｒａｉｎｓｉｚｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｎｄａｌｓｏａｎａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅｆｒａｃｔａｌｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆａｓｐｈａｌｔｍｉｘｔｕｒｅａｇｇｒｅｇａｔｅ．Ｔｈｅｆｒａｃｔａｌｏｆｄｅｎｓｅ－ｇｒａｄｅｄａｇｇｒｅｇａｔｅｉｓｏｎｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ．ｂｕｔｔｈｅｆｒａｃｔａｌｏｆｇａｐ—ｇｒａｄｅｄａｇｇｒｅｇａｔｅｉｓｔｗｏ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ．Ｄｃ（ｆｒａｃｔａｌｄｉｍｅｎｓｉｏｎｏｆｃｏａｒｓｅａｇｇｒｅｇａｔｅ）ａｎｄＤｆ（ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｏｆｆｉｎｅａｇｇｒｅｇａｔｅ）ａｒｅｕｓｅｄａｓｔｈｅｉｎｄｅｘｅｓｔｏｄｅｓｃｒｉｂｅｔｈｅｆｒａｃｔａｌｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆａｓｐｈａｌｔｍｉｘｔｕｒｅａｇｇｒｅｇａｔｅ．Ａｄｄｉｔｉｏｎａｌｌｙ，ｔｈｅｆｒａｃｔａｌｇｒａｄａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙｉｓｐｕｔｆｏｒｗａｒｄ，ｎｏｔｏｎｌｙｕｓｅｄｆｏｒｔｈｅｄｅｓｉｇｎｏｆｄｅｎｓｅ—ｇｒａｄｅｄａｇｇｒｅｇａｔｅ，ｂｕｔａｌｓｏｆｏｒｇａｐ－ｇｒａｄｅｄａｇｇｒｅｇａｔｅ．Ａｎａｎａｌｙｓｉｓｉｓｍａｄｅｏｆｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｆｒａｃｔａｌｇｒａｄａｔｉｏｎｔｈｅ—ｏｒｙａｎｄｏｔｈｅｒｇｒａｄａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｉｅｓ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｆｒａｃｔａｌｇｒａｄａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙｃｏｖｅｒｓｔｈｅｅｘｉｓｔｉｎｇｇｒａｄａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓ．Ｔｈｅｃａｕｓｅｌｉｅｓｉｎｔｈｅｆａｃｔｔｈａｔｆｒａｃｔａｌｉｓｔｈｅｅｓｓｅｎｃｅｏｆａｇｇｒｅｇａｔｅ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｒｏａｄｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ；ａｓｐｈａｌｔｍｉｘｔｕｒｅ；ｇｒａｄａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙ；ｆｒａｃｔａｌ分形理论是定量描述几何形体复杂程度及空间填充能力的一门新兴边缘科掣１Ｉ．目前，分形理论已经被广泛运用于研究自然界中常见的、不稳定的、不规则的现象‘２Ｉ．对于材料科学实验中经常出现的那些凹凸而不圆润、破碎而不连续，粗糙而不光滑的形状（即无序系统），传统的几何语言常难以描述，而收稿日期：２００７—０６—１９基金项目：道路与铁道工程国家重点学科资助项目作者简介：杨瑞华（１９７７一），女，工学博士，主要研究方向为道路工程．Ｅ－ｍａｉｌ：ｙａｎｇｒｕｉｈｕａｌ９９５＠１６３．ｃｏｉｎ；许志鸿（１９３９一），男，教授，博士生导师，主要研究方向为道路工程结构与材料．Ｅ－ｍａｉｌ：ｘｕｚｈｈｌ９３９＠１６３．ｃｏｍ第１２期杨瑞华，等：沥青混合料分形级配理论分形理论却弥补了它们的不足，揭示了无标度性（自相似性），给出了自然界中复杂几何形态的一种定量描述［３】３．沥青混合料具有复杂的微观结构，是一种多级多层次的复合材料体系，尤其是其骨料的级配具有突出的自相似性，因此可以采用分形科学分析评价沥青混合料的机理．１沥青混合料分形维数的计算方法文献［４］从分形的角度，推导了连续集料粒径质量分形特征函数Ｐ（ｒ）一．３－Ｄ———．３－ＤＰ（ｒ）＝互ｒｍｉｎＦ－－了７而（１）式中：，＇ｍｉｎ为最小粒径尺寸；Ｄ为连续集料粒径质量分布分形维数；ｒ为集料中某种颗粒的筛孔尺寸；，。

第2期
李 等 :分形维数计算方法研究进展
73
认为 ,总的末梢根长 L 与部分直径之间表现出较好
的相关性 ,特别是当只有小的直径被考虑的时候.
1991 ; Frontier ,1987 ; Palmer M. W. ,1988 ; Falconer K. J . ,1991 ; Miline B. T. ,1991) 的工作. 另外 ,祖元刚 等[12] 给出了辽东栎种群的空间分布分形维数计算
模型 : Db
=
-
lim
m →0
log log
2001210203 收稿 http :ΠΠwww. chinainfo. gov. cnΠperiodicalΠbjlydxxbΠ 3 国家自然科学基金项目“黄土坡面果粮复合系统根系结构及生态位特征研究”(39970609) 资助. 第一作者 :李 ,女 ,1973 年生 ,博士生. 主要研究方向 :林业生态工程. 电话 :010 - 62390661 Email :lleejie @263. net 地址 :100083 北京市海 淀区清华东路 35 号北京林业大学资源与环境学院.
的欧氏长度 , L0 为分形曲线的初始操作长度 ,ε为
分形曲线的标度 , D 为其分维. Mandelbrot 也首次提
出了 周 长 - 面 积 关 系 的 分 形 估 算 模 型 P1ΠD =
a0 A1Π2 , P 为分形曲线的 Hausdorff 长度 , A 为平面图
形的欧氏面积 , a0 为形状因子 , D 为分维[2 ,3 ,7] .
根系 的 拓 扑 特 性 在 文 献 中 得 到 了 相 当 的 关
注[17～19] . 从根部构造所需的碳的角度来考虑 ,根系

3　国家自然科学基金(49771035)及河南省自然科学基金(974071200)资助项目 收稿日期:1997205205,收到修改稿日期:1997212222城镇体系等级结构的分形维数及其测算方法3刘继生(东北师范大学地理系　长春　130024)陈彦光(信阳师范学院地理系　信阳　464000)摘　要　文章探讨了城镇体系等级结构的分形研究方法。

首先,讨论了区域城镇规模分布的Zi pf 模型,并通过分形退化分析将其应用范围加以拓广,从而与非分形研究接口;第二,引进了分形结构因子,以此开创了城镇体系等级结构的FSF 分析;第三,提出了表征城镇体系等级差异的差异度概念和度量方法。

文章给出实例说明了各种方法的应用,并比较了三种方法的异同。

关键词　城镇体系　等级结构　规模分布　分形　分维分　类　中图法　K 92815等级结构是城镇体系研究的重要内容,其发展已有较长的历史,人们为此建立了许多模型[1],但理论进展却局限甚多。

今天,由于分形(fractal )理论的引入,城镇体系等级结构的研究正在发生方法论的变革[2]。

本文总结前人的研究成果,引入适当的数理工具,结合作者的研究经验,提出一套较为系统的方法用以研究城镇体系的等级结构。

这些分析方法的基本依据均是分形维数(fractal di m en si on ,简称“分维”)或其等价参数,包括Zi pf 维数、分形结构因子和差异度。

本文给出了各种参数的数学表达,并以实例说明了它们的意义及其计算方法。

1　区域城镇规模分布的Zi p f 维数111　城镇规模分布的Z ipf 定律及其应用方法城镇体系的等级结构与规模分布原本是各自独立的研究课题。

现已证明,等级模式与规模分布法则一致或兼容[1],可谓是殊途同归。

为此,本文将城镇规模分布作为等级结构研究的重要内容。

所谓城镇规模分布(city -size distribu ti on )系指某区域(国家、地区等)内城镇人口规模的层次分布。

位序- 规模法则2、豪斯道夫(Haus dor f f )维数和位序-规模法则分析。

确定分维的方法中最基本、最常用的是豪斯道夫维数，其定义为：对于一个客体，我们用尺度r去度量其容积大小，测量结果则为与r 有关的数值N (r)，尺度r越小，则测量结果N (r)越大，反之，尺度r越大，则测量的结果N (r)越小，表达式为：N (r )x Cr A-D (1)式中r为人口尺度，N( r )则为区域内城镇数目；D为维数(豪斯道夫维数)，C为常数。

位序-规模法则是从城市的规模和城市规模位序的关系来考察一个城市体系的规模分布，1913年由奥尔巴克(F.Auerbach ) 提出。

1949年捷夫(G.K.Zipf )提出在经济发达的国家里，一体化城市体系的城市规模分布可用简单的公式表达：Pr=P1/R (2)式中，Pr是第R位城市的人口；P1是最大城市人口；R是Pr 城市的位序。

现在被广泛使用的公式实际上是罗特卡模式的一般化：Pi=P1/Ri A q (3)式中，Pi是第i位城市的人口；P1是规模最大的城市人口；Ri是第i位城市的位序；q是常数。

捷夫模式是q=1的特例，对公式2取对数得：LgPi=lgP_(1-q)lgRi (4)通过对比豪斯道夫维数公式和位序-规模法则公式中各字母所代表的意义来看，这两种模型实质是一样的，D实际上是位序-规模分布q的倒数，即D=1/q。

当D=q=1时，说明这个区域的第二位城市人口是最大城市人口的1/2，第三位城市是最大城市人口的1/3。

依此类推，当D<1，即q>1时，说明城市规模分布比较集中，大城市很突出，中间城市位序城镇较少，首位度较高，城镇体系不完善；当D>1，即q<1时，说明城市人口分布比较均匀，高位次的城市规模不是很突出，中小城市发育比较好。

当D Tx,即qT0时，区域内所有城市一样大。

当D T0,即q 时，区域内只有一个城市。

因为城镇体系的演化受到许多因素的制约，所以后两种极端情况在现实中一般不存在。

把全体分成 1/ 2 的相似形组成 。2 、4 、8 数字还可以写成 21 、
22 、23 ,显然这里的指数与其图形的经验维数相一致 。推而广
之 ,若某图形是由把全体缩小成 1/ a 的 b 个相似形所组成 ,由
于 b = aD ,则有
D = log b/ log a 。
(1)
此 D 便是几何图形的维数 , 由于它是通过相似变换得来的 ,
1983 年 ,P. Grassberger 和 J . Procassia 给出了关联维数
的定义[1 ] :
D2
= lim ε→0
ln C (ε) lnε
。
(9)
式中
C (ε)
=
1 N2
i
,
N
∑
j=1
H
(ε-
0 xi
-
xj 0) 。
(10)
1. 6 广义维数
H. G. E. Hentschel 等提出了广义维数的概念 ,其定义
可证 Dq| q = 0 = D0 ;当 q = 1 时 , 利用罗必塔法取极限可得 D1
=
lim
ε→0
Dq
;
且
Dq| q = 2 =
D2 ,即
q = 2 时 ,广义维数
Dq 就是关键
维数 D2 。
2 分形维数的基本测量方法
2. 1 改变粗视化程度求维数的方法 这是基于盒子维数和信息维数的定义设计的一种测量分
是
Dq =
-
lim
ε→0
S q (ε) lnε
。
(11)
式中
S q (ε)
=
1
1 -
N (ε)
ln[ ∑ Piq ] q i=1

径分布 ｒ 的关系见图 １ 在计算中汞的表面张力 １ 也取 ０．４８Ｎ／ｍ 接触角 同样取 １３０ 根据 Ｗａｓｈｂｕｒｎ 方 程 由孔径 ｒ ｉ 可得到施加压力 Ｐ ｉ 根据孔隙体积累积率
孔隙率和样品的表观体积 可获得相应的进汞体
积Ｖｉ 采用与上一节同样的计算方法可得到 l n ( Wr n 2n ) 与 ｌｎQ n 的函数关系 如图 ２ 所示 由图 ２ 可见 冻干火鸡 肉的数据也拟合为一直线 通过求取该直线的斜率可得 到冷冻干燥火鸡肉的表面分维 Ｄ＝０．２８４ ２．３ 结果的分析与讨论
１．２．２ 孔隙结构的变形与坍塌 理论上 压汞法对于任何固体结构的多孔物料都是
适用的 在采用压汞法测量物料孔隙结构时 其基本 前提是压汞过程中物料的孔隙结构是刚性的 然而在较 高压力下进汞时 往往会导致多孔物料中相应的小孔孔 隙坍塌或变形 破坏了在此压力下不符合 Ｗａｓｈｂｕｒｎ 方 程进汞条件的孔隙通道 导致了所测小孔体积的萎缩 研究表明［ ３ ］ 用压汞法和氦吸附法测量合成石墨孔体积 时 当压力不超过 ２ ０ Ｍ Ｐ ａ 时 两种方法得到的孔体积 是相当一致的 当压力超过上述压力时 汞的侵入体积 增加 表明孔隙结构遭到破坏 因此 利用压汞法测 量多孔物料的孔径分布时 所确定的汞压范围应考虑多 孔物料固体骨架的刚度 而对于冷冻干燥的食品物料 其孔径主要集中在 ０．１ １５０．０ ｍ 之间 因此最大外加压 力仅需 ７．３５ＭＰａ 故孔隙坍塌的影响在压汞法测冻干物 料时可以忽略
收稿日期 ２００３－１０－１４ ＊通讯联系人 基金项目 国家自然科学基金资助项目（２０２０６０２６） 作者简介 陈三强（ １ ９ ７ ９ － ） 男 硕士研究生 研究方向为化工分离工程
26 2004, Vol. 25, No. 7
食品科学

◆分形和分维 ◆递归模型
8.1 8.2 8.5 8.6

分形和分维 递归模型 本章小结 习题
8.1分形和分维
真实的世界并不规则，闪电不是直线，海 岸线不是弧线，云团不是球体，山峦也不是锥 体。自然界的许多对象是如此不规则和支离破 碎，以致欧氏几何学不能真实有效地再现大自 然。 为了再现真实世界，必须选择新的工具， 分形几何学应运而生。分形几何是以非规则物 体为研究对象的几何学。由于闪电、海岸线、 云团、山峦、海浪、野草、森林、火光等非规 则物体在自然界里比比皆是，因此分形几何学 又被称为描述大自然的几何学。
先绘制第一段直线，然后改变夹角，分别绘制其余3段直线
8.2.3 Peano-Hilbert曲线
意大利数学家皮亚诺（Peano， 1858～1932），通过对一些古代装饰图 案的研究，于1890年构造出一种奇怪的 平面曲线，这条曲线蜿蜒向前，一笔绘 成，并能充满整个平面。接着德国数学 家希尔伯特(Hilbert，1862～1943)于 1891年也构造出一种类型相同但比较简 单的曲线。这种曲线被称为PeanoHilbert曲线。
n＝0 n ＝2 n ＝1
Peano-Hilbert曲线的出现，当时曾令当时的 数学界大吃一惊： 它是一条曲线，但又是一个平面； 皮亚诺曲线的方程只有一个参数，但它却能确定 了一个平面；而在欧氏几何学中，确定一条曲线需
要一个参数，确定一个平面需要两个参数。
8.2.4 Sierpinski垫片、地毯和海绵
分形山
8.1分形和分维
8.1.1 8.1.2 8.1.3 8.1.4

分形的诞生 分形的基本特征 分形的定义 分形维数的定义
8.1.1 分形的诞生
分形（Fractal）这个词，是由美籍法国 数学家曼德尔布罗特（Benoit B.Mandelbrot） 自己创造出来的，此词来源于拉丁文fractus， 意为不规则、支离破碎。1967年曼德尔布罗特 在美国《科学》杂志上发表了划时代的论文 《英国海岸线有多长？统计自相似与分数维》， 成为其分形思想萌芽的重要标志。1973年，在 法兰西学院讲学期间，曼德尔布罗特提出了分 形几何学的整体思想，并认为分数维是个可用 于研究许多物理现象的有力工具。1982年曼德 尔布罗特出版了《大自然的分形几何学》，引 起了学术界的广泛重视，曼德尔布罗特也因此 一举成名。

量维数为：
log N ( ) DC lim 0 log(1/ )
土木建筑材料新进展系列讲座
(3)、豪斯道夫（Hausdorff）维数
设一个整体S划分为N个大小和形态完全相同的小图形，每一个小图形的 线度是原图形的r倍，则豪斯道夫维数为：
log N ( ) DH lim 0 log(1/ )
(4)根据分布函数求维数
对于大小和分布没有特征长度的图形或物体，从其分布函数可求得分形维数。 例如月球表面照片上有不同大小的月坑，月坑直径为r，把直径大于r的月坑存
在的几率记为p (r)，若把直径的分布几率密度记为p(s)，
则有p (r)= ∫∞ r p (s)ds，可证明上式为幂型p(r) ∝r-D ，其中D为分形维数。
土木建筑材料新进展系列讲座
改变观察
尺度求维数
分形维数
根据频谱
求维数
的确定
根据测度
关系求维数
根据分布 函数求维数 根据相关 函数求维数
土木建筑材料新进展系列讲座
(1)改变观察尺度求维数
用圆和球、线段和正方形以及立方体等具有特征长度的基本图形去近似分形 图形．例如用长度为r的线段集合近似海岸线那样的复杂曲线，把得到的线 段总数记为N(r)，如果该曲线有N(r) ∝r-D的关系，即可称这曲线具有D维数。 对海岸线和随机行走轨迹分形维数的测定，多数采用此法。
空间称为该分形体的无标度空间，在此范围以外，就不是分形了。
土木建筑材料新进展系列讲座
自相似性
大自然的物体形态千变万化，对于这些不规则的物体形态，我们往往不 能用欧式理论描述。但是如果我们从一个形体上任意选取一个局部区域，对 其进行放大，再将放大后的图形与原图加以比较，我们发现它们之间形状特 征呈现出令人惊讶的自相似性。举一个例子，对于一支花朵，有主干和支干， 如果把支干掰下来和主干比较，那么它们之间极为相似，如果再仔细地看一 看花心的话，又会发现花瓣和花瓣之间是对称的，而且也是相似的。总而言 之，物质的各个部分都或多或少的具有自相似结构。

分形理 论是非 线性科学 的一个重要 分支 ， 主要研 究 自然 界和非 线性 系 统 中 出现 的不光 滑 和不 规 则 的 具有 自相 似性且没有 特征长 度 的形状 和现 象． 管一 尽 直 以来人们 对分形 的定义存 在较多争 议 ， 是还 是有 但 不少 学者 给出 了较 为全面而恰 当 的分 形定 义 ， 他们 认
此期 间 Ｍａｄｌｒｔ 表 了《 形 ： 、 遇 和 维 数 》 ｎｅｂｏ 发 分 形 机 这一 专著 ， 第一 次 系 统地 阐述 了分 形几 何 的思 想 内
收 稿 日期 ：０ １ １—１ ２ １ —１ ８ 作者简介 ： 刘 利 （ ９ ７一） 男 ， 南 息县 人 ， 士 生 ， 究 方 向 ： 污 染 控制 １８ ， 河 硕 研 水
纷 繁复 杂性 ， 少 微 观 探 测 手 段 ， 们 无 法 深 入认 缺 人
识 混凝 过程 的本 质 以及 絮 凝 体 的真 实 成 长 过 程． 这 大 大 阻碍 了 混 凝 方 面 的 深 入 研 究 ． 形 理 论 的 出 分 现， 使人 们 以全新 的观 念 和 手 段来 更 加 清 楚地 认 识 絮凝成 长 的真 实过 程 ， 混凝 理论 的进 一 步 深入 研 为
了混 凝 过 程 中 出现 的 复 杂现 象及 无 规 则形 态 ， 而 为 今 后 对 混 凝 过 程 的 进 一 步 研 究提 供 了 有 力 工 具 ． 文 不 仅 对 从 该
分形理论的基本知识进行 了简单地介 绍， 并且还对其在絮体 形 态学和 混凝动 力 学方面的研 究应 用进行 了阐述， 同 时列举 了分形维数在 混凝 工艺 中的具体 应用 实例 ， 最后提 出了 目前存在的 问题及 自己的见解． １ 参 ２ ． 图 ， １
多 ， 中， 其 实验 室最 常用 的方 法就是 影像 分析 法 ．

城市道路网内部结构特性分析的分形维数方法何石坚;李清波;匡姣姣【摘要】为科学规划和改造城市道路网,引入分形维数D(r)的有关理论,以城市道路网中i级子路网的分形维数Di(r)作为该级子路网覆盖效率的评价指标,对分形维数的运算过程进行深入研究.建立了各级子网分形维数Di(r)与网格边长r之间的关系模型,提出了连通深度指标Ri用以评价各级路网的有效连通距离.研究结果表明:分形维数D(r)能较好地描述路网的覆盖程度.Di(r)=1.585时,各级子路网相应地处于最优覆盖效率,对应的连通深度Ri可用于描述各级子路网的交通服务特性.【期刊名称】《交通科学与工程》【年(卷),期】2015(031)002【总页数】6页(P96-101)【关键词】道路工程;城市道路网;结构特性;分形维数;连通深度【作者】何石坚;李清波;匡姣姣【作者单位】长沙理工大学交通运输工程学院,湖南长沙410004;长沙理工大学交通运输工程学院,湖南长沙410004;长沙理工大学交通运输工程学院,湖南长沙410004【正文语种】中文【中图分类】U419.1城市道路网内部结构特性分析的分形维数方法何石坚，李清波，匡姣姣（长沙理工大学交通运输工程学院，湖南长沙 410004）摘要：为科学规划和改造城市道路网，引入分形维数D（r）的有关理论，以城市道路网中i级子路网的分形维数Di（r）作为该级子路网覆盖效率的评价指标，对分形维数的运算过程进行深入研究。

建立了各级子网分形维数Di（r）与网格边长r之间的关系模型，提出了连通深度指标Ri用以评价各级路网的有效连通距离。

研究结果表明：分形维数D（r）能较好地描述路网的覆盖程度。

Di（r）＝1.585时，各级子路网相应地处于最优覆盖效率，对应的连通深度Ri可用于描述各级子路网的交通服务特性。

关键词：道路工程；城市道路网；结构特性；分形维数；连通深度中图分类号：U419.1文献标识码：A文章编号：1674-599X（2015）02-0096-06收稿日期：2014-11-16作者简介：何石坚（1993-），男，长沙理工大学硕士生。

天津市各区县的经济联系强度分析天津工业大学陶贻侠、张力峰、宋志敏摘要 (2)一、引言 (3)二、模型建立 (3)（一）经济联系强度分形模型 (3)（二）经济联系强度的引力模型 (5)三、天津市简介 (7)四、计算结果及分析 (8)（一）数据收集和整理 (8)（二）结果分析 (10)五、结语 (15)参考文献 (16)摘要改革开放以来我国先后形成了三大经济区，以广州市、深圳市和珠海市为中心的珠三角地区,以上海市为中心的长三角地区和以北京市、天津市为中心的环渤海经济圈，这都是发展水平相近的地区的经济联系和合作日益加强的结果。

特别是随着我国市场经济的进一步深化和多方位横向联合的高层次发展, 区域间经济联系日益增强。

因此, 区域经济联系研究具有深刻的实践意义。

针对国内外经济联系定量研究和对区域经济联系进行量化分析成为研究热点之一。

本文在前人研究的基础上，以天津市为研究对象，采用分形理论和经济联系强度的引力模型，分析天津各区县的经济联系强度。

天津作为首都北京的门户，作为北方经济中心和沿海开放城市，只有天津自身的经济得到均衡、可持续的发展，才能服务环渤海，辐射三北，因此对天津经济联系的分析意义重大。

以2009年为基准年，数据来源于天津统计年鉴2010，首先以天津和平区和滨海新区为经济核心，分别测算了他们对天津各区县的经济联系的分形特征。

通过分析得出以和平区为核心的各区经济联系强度的分维值很低，说明以和平区为核心对天津各区县的经济联系强度的分布差异程度较大，区域经济联系强度的区域分异较为突出，中心城区接受的经济辐射量几乎占据了和平区的辐射总量，滨海新区、环城新四区和偏远郊区接受的经济辐射量不到总量3%。

因此和平区对天津经济的辐射力不足、对中心城区以外的区县的发展带动力弱。

考虑到中心城区之间在人流、物流、资金流、信息流等方面畅通、交通发达，探讨了提高中心城区经济辐射力的优化方案。

结果表明中心城区作为一个经济区统一规划。

豫西黄土丘陵区不同退耕地土壤大团聚体的组成及其分形特征刘晶;王磊【摘要】选取退耕10年左右的乔木林、灌木林、果园、人工草地及荒地,对表层土壤大团聚体的分布、稳定性及其分形特征进行研究.结果表明,＞2 mm的团聚体在土壤团粒结构中占主导地位,灌木地、乔木地和荒地土壤中2～5 mm和1～2 mm团聚体含量较耕地显著提高;灌木地、乔木地、果园、草地和荒地表层土壤中＞5mm和2～5 mm两个粒级水稳性团聚体含量较耕地均显著提高.灌木林、乔木林、草地和荒地土壤中干筛和湿筛团聚体的平均重量直径和几何平均直径较耕地均显著增加,分维数较耕地显著降低,这4种退耕地土壤结构显著改善,果园土壤结构的改善尚不明显.团聚体分维数能较好地描述土壤团聚体的分布状况且与土壤理化性质关系密切.【期刊名称】《广东农业科学》【年(卷),期】2015(042)019【总页数】7页(P48-54)【关键词】黄土丘陵;退耕;大团聚体;组成;分维数【作者】刘晶;王磊【作者单位】河南科技大学林学院,河南洛阳471003;河南科技大学林学院,河南洛阳471003【正文语种】中文【中图分类】S153.6土壤团聚体是组成土壤结构的基本单元，团聚体的数量、分布状况和稳定性不但决定了土壤侵蚀、板结等物理过程的速度和幅度，而且对调节土壤肥力和土壤养分循环过程，维持土地生产力有十分重要的影响［1-2］。

土壤团聚体按粒径大小以0.25 mm为界可分为大团聚体和微团聚体两类，其中大团聚体对土地利用和管理的变化最为敏感，也被称为稳定性团聚体，而具有抗水力分散的稳定性团聚体即为水稳性团聚体［3］。

许多学者采用土壤团聚体平均质量直径（MWD，mm）和几何平均直径（GMD，mm）来研究土壤团聚体的特征［4］。

近年来，随着分形学的发展和分形理论在土壤学科广泛运用，分形理论已成为定量描述土壤团聚体的新方法［5］。

已有研究表明，土壤团聚体及水稳性团聚体组成等具有自相似的结构多孔介质，具有一定的分形特征［6］。

采用同一油石比 ６０％对上述 ５组级配进行混 合料性能试验研究，以空隙率、ＶＣＡ、动稳定度以 及水稳性作为评价指标，试验结果如表 ７所示。
表 ７ 沥青混合料性能试验结果
级配类型
空隙 率 ／％
ＶＣＡｍｉｘ
ＶＣＡＤＲＧ
动稳定度 ／ （次·ｍｍ－１）
冻融劈裂 ＴＳＲ／％
ＳＭＡ－１３－１ ４６ ＳＭＡ－１３－２ ２９ ＳＭＡ－１３－３ ３７ ＳＭＡ－１３－４ ５６ ＳＭＡ－１３－５ ３４
８０
湖南交通科技
表 ５ 分形维数与主要粒径通过率之间相关性
筛孔尺寸 ／ｍｍ 相关系数 Ｒ２ 筛孔尺寸 ／ｍｍ 相关系数 Ｒ２
１３２ ９５ ４７５
０２４ ０１９ ０３５
２３６ ００７５
—
０７５ ０６２
—
４７卷
图 ２ ＦＡｃ与 Ｄｆ的相关性 图 ３ ＦＡｃ与 Ｄｃ的相关性
图 ５ ＣＡ与粗集料分形维数的相关性
００７５ ７ １０ ８ ８
１１
图 １ 典型的 δ／δｍａｘ与 Ｐ （δ） 的对数关系图
细集料分界筛孔处存在明显拐点，此时采用单一分 形维数表达间断级配集料分布显然不合适。借鉴贝 雷法粗细集料划分标准，采用二重分形维数即粗集 料分形维数 ＤＣ 和细集料分形维数 Ｄｆ来表征 ＳＭＡ 的级配分形特征。
根据式 （２），对表 ３中各级配经双对数处理 后，回归拟合计算得到各级配的分形维数 Ｄ。７组 级配分形维数如表 ４所示。
测试结果 １０１ １７８ ２９５１ ９２ ５级 ４８
推荐的 ＳＭＡ－１３级配范围。对表 ３中的 ＳＭＡ级配
技术要求≤２６ ≤２８ ≥２６ ≤１５ ≥５级 ≥４２
按照式 （２） 进行回归分析发现 （见图 １），在粗

图 1 交通网络与回转半径示意图
图 2 分枝维数特征指标
2 城市外部形态演变的分形规律
城市外部空间形态是城市空间要素自组织演
变的外在表现 ,合理的外部空间形态有利于城市组
成要素及其资源环境的稳定发展. 城市外部形态在
空间上表现为建成区的位移和扩张 ,其实质就是一
种空间演替 ,从整体上看产生了城市外部空间形态
的回转半径范围内具有自相似性. 对式 (3) 取对数
拟合 ,则 :
n
n
n
∑ ∑ ∑ ln ri ·ln N ( ri) -
D = i =1
n
1 n
(
i =1
l n ri )
(
i =1
ln N ( ri)
)
n
∑ ∑ (ln ri) 2 -
i =1
1 n
(
i
=1
l n ri )
2
(4)
分枝维数是由交通网络的分枝数目变化率确
第 38 卷 第 3 期 2005 年 6 月
武汉大学学报 (工学版) Engineering Jo urnal of Wuhan U niversity
Vol. 38 No . 3 J une 2005
文章编号 :167128844 (2005) 032099205
城市空间形态的分形维数及应用
李 江
网络分枝的递减变化越快. 当 D = 2 时 , 网络分枝
数密度由中心向四周均匀变化 ; 而当 D > 2 时 , 网
络分枝数由中心向四周呈递增趋势.
1. 2 分枝维数的扩展分析
客观世界不存在纯数学的理想分形 ,只存在统
计意义下的随机分形. 因此 , 自相似性仅出现在一