高三物理总复习 牛顿运动定律 临界问题

第15讲牛顿运动定律中的临界问题11、临界问题物体由某种物理状态转变为另种物理状态时，所要经历的种特殊的转折状态，称为临界状态.这种从种状态变成另种状态的分界点就是临界点，此时的条件就是临界条件。

2、临界问题的标志（1）题目中出现“恰好”“刚好”等关键词句，明显表明此过程即为临界点。

（2）题目中出现“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词句，表明题述过程存在着“起止点”，而这些“起止点”一般对应着临界状态。

（3）题目中出现“最大”最小”“至多”“至少”等词句，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点。

4、处理临界问题的方法（1）极限法如果在题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等关键词时，一般隐含着临界问题。

处理这类问题时，常常把物理问题或过程推向极端，从而得到临界状态及临界条件，以达到快速求解问题的目的。

（2）假设法有些物理过程没有出现明显的临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界状态，也可能不会出现临界状态。

解答此类问题，一般用假设法，即假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，即可得出结论。

（3）数学方法将物理过程转化为数学表达式，然后根据数学中求极值的方法，求出临界条件。

涉及三角函数、二次函数、不等式等数学知识。

5、临界问题解决步骤：（1）依据题中提示语言判定临界问题及分类；（2）确定临界状态下临界条件；（3）按照牛二定律做题步骤解决问题：①明确研究对象②受力分析③正交分解④分析各坐标系运动状态列方程：若为平衡状态列平衡方程；若为非平衡状态列牛顿第二定律。

一、利用极值法求解临界问题[例1]如图所示，质量为m=1kg的物块放在倾角为θ=37°的斜面体上，斜面质量为M=2kg，斜面与物块间的动摩擦因数为μ=0.2，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F，要使物体m相对斜面静止，试确定推力F的取值范围。

【答案】推力F的取值范围为14.25N≤F≤33.53N.【解析】（1）设物块处于相对斜面向下滑动的临界状态时的推力为F1，此时物块受力如下图所示，取加速度的方向为x轴正方向：对物块分析，在水平方向有F N sinθ﹣μF N cosθ=ma1，竖直方向有F N cosθ+μF N sinθ﹣mg=0，对整体有F1=（M+m）a1，代入数值得，F1=14.35N.（2）设物块处于相对斜面向上滑动的临界状态时的推力为F2，对物块受力分析，在水平方向有F N sinθ+μF N cosθ=ma2，竖直方向有F N cosθ﹣μF N sinθ﹣mg=0，对整体有F2=（M+m）a2，代入数值得，F2=33.53N综上所述可知推力F的取值范围为：14.25N≤F≤33.53N.答：推力F的取值范围为14.25N≤F≤33.53N.二、利用假设法求解临界问题[例2]一物块在粗糙斜面上，在平行斜面向上的外力F作用下斜面和物块始终处于静止状态，当按图甲所示规律变化时.物体与斜面间的摩擦力大小变化规律可能是图乙中的（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设t=0时刻F=F0，则F与t的关系式为F=F0-kt，k是图线斜率的大小.A、D若t=0时刻物体受到的静摩擦力方向沿斜面向上，由平衡条件得：摩擦力F f=mgsinα-F=mgsinα-（F0-kt）=kt+（mgsinα-F0），若mgsinα=F0，则有F f=kt，当F=0时，F f=mgsinα，保持不变.则A错误，D正确；B、C若t=0时刻物体受到的静摩擦力方向沿斜面向下，由平衡条件得知，摩擦力F f=F-mgsinα，当F减小时，摩擦力先减小，减小到零后，摩擦力反向增大，故BC错误；故选D.三、利用数学方法求解临界问题[例3]如图所示，一质量m＝0.4kg的小物块，以v0＝2m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t＝2s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L＝10m。

动力学中的临界和极值问题一、动力学中的临界极值问题1．“四种”典型临界条件(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力F N＝0。

(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值。

(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛与拉紧的临界条件是F T＝0。

(4)速度达到最值的临界条件：加速度为0。

2. 解题指导（1）直接接触的连接体存在“要分离还没分”的临界状态，其动力学特征：“貌合神离”，即a相同、F N＝0.（2）靠静摩擦力连接(带动)的连接体，静摩擦力达到最大静摩擦力时是“要滑还没滑”的临界状态.（3）极限分析法：把题中条件推向极大或极小，找到临界状态，分析临界状态的受力特点，列出方程（4）数学分析法：将物理过程用数学表达式表示，由数学方法(如二次函数、不等式、三角函数等)求极值．3.解题基本思路(1)认真审题，详细分析问题中变化的过程(包括分析整个过程中有几个阶段)；(2)寻找过程中变化的物理量；(3)探索物理量的变化规律；(4)确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系．4. 解题方法二、针对练习1、（多选）如图所示，长木板放置在水平面上，一小物块置于长木板的中央，长木板和物块的质量均为m ，物块与木板间的动摩擦因数为μ，木板与水平面间的动摩擦因数为4μ，已知最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，重力加速度为g ．现对物块施加一水平向右的拉力，则木板加速度a 大小可能是（ ）A ．0a =B ．4ga μ=C ．3g a μ=D ．23ga μ=2、（多选）如图所示，A 、B 两物块的质量分别为2m 和m ，静止叠放在水平地面上．A 、B 间的动摩擦因数为μ，B 与地面间的动摩擦因数为12μ.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g .现对A 施加一水平拉力F ，则( ) A ．当F <2μmg 时，A 、B 都相对地面静止 B ．当F ＝52μmg 时，A 的加速度为13μgC ．当F >3μmg 时，A 相对B 滑动D ．无论F 为何值，B 的加速度不会超过12μg3、如图所示，木块A 、B 静止叠放在光滑水平面上，A 的质量为m ，B 的质量为2m 。

牛顿运动定律（3）——临界问题一、分离类临界问题【例1】．如图所示，细线的一端固定于倾角为45˚的光滑斜面A 的顶端P 处，细线的另一端拴一质量为m 的小球。

当斜面至少以加速度a =___g______ 向左运动时，小球对的压力等于零，当斜面以a=2g 的加速度向左运动时，线中拉力T =____5mg ____。

【变式1】如图所示，在光滑水平面上放着紧靠在一起的AB 两物体，B 的质量是A 的2倍，B 受到向右的恒力F B =2N ，A 受到的水平力F A =(9-2t )N ，(t 的单位是s)。

从t ＝0开始计时，则（ ABD ）A ．A 物体在3s 末时刻的加速度是初始时刻的511倍；B ．t ＞4s 后，B 物体做匀加速直线运动；C ．t ＝4.5s 时，A 物体的速度为零；D ．t ＞4.5s 后，AB 的加速度方向相反。

【例2】．一根劲度系数为k ，质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m 的物体,有一水平板将物体托住，并使弹簧处于自然长度，如图所示。

现让木板由静止开始以加速度a (a ＜g ) 匀加速向下移动，求经过多长时间木板开始与物体分离。

答案：t =2m (g —a )ka【变式2】. 一个弹簧测力计放在水平地面上，Q 为与轻弹簧上端连在一起的秤盘，P 为一重物，已知P 的质量M ＝10.5 kg ，Q 的质量m ＝1.5 kg ，弹簧的质量不计，劲度系数k ＝800 N/m ，系统处于静止．如图所示，现给P 施加一个方向竖直向上的力F ，使它从静止开始向上做匀加速运动，已知在前0.2 s 内，F 为变力，0.2 s 以后，F 为恒力．求力F 的最大值与最小值．(取g ＝10 m/s 2)解析：设开始时弹簧压缩量为x 1，t ＝0.2 s 时弹簧的压缩量为x 2，物体P 的加速度为a ，则有kx 1＝(M ＋m )g ①kx 2－mg ＝ma ②x 1－x 2＝12at 2 ③ 由①式得x 1＝（M ＋m ）g k＝0.15 m ， ④ 由②③④式得a ＝6 m/s 2F 小＝(M ＋m )a ＝72 N ，F 大＝M (g ＋a )＝168 N.二、相对滑动类临界问题【例3】．如图所示，在光滑水平面上有一辆小车A，其质量为m A＝2.0 kg，小车上放一个物体B，其质量为m B＝1.0 kg.如图甲所示，给B一个水平推力F，当F增大到稍大于3.0 N时，A、B开始相对滑动．如果撤去F，对A施加一水平推力F′，如图乙所示．要使A、B不相对滑动，则F′的最大值F max为(C)A．2.0 N B．3.0 N C．6.0 N D．9.0 N解析：选C.根据题图甲所示，设A，B间的静摩擦力达到最大值F fmax时，系统的加速度为a.根据牛顿第二定律，对A、B整体有F＝(m A＋m B)a，对A有F fmax＝m A a，代入数据解得F fmax＝2.0 N.根据题图乙所示情况，设A、B刚开始滑动时系统的加速度为a′，根据牛顿第二定律得：以B为研究对象有F fmax＝m B a′以A、B整体为研究对象，有F max＝(m A＋m B)a′代入数据解得F max＝6.0 N．故C正确．【变式3】. (多选)如图甲所示，物块A与木板B叠放在粗糙水平面上，其中A的质量为m，B的质量为2m，且B足够长，A与B、B与地面间的动摩擦因数均为μ。

2022届高三物理一轮复习：专题五 牛顿定律中的临界问题1．如图所示，质量为m 1的木块和质量为m 2的长木板叠放在水平地面上．现对木块施加一水平向右的拉力F ．木块在长木板上滑行，而长木板保持静止状态．已知木块与长木板间的动摩擦因数为μ1，长木板与地面间的动摩擦因数为μ2，且最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，则( )A ．μ1>μ2B ．μ1<μ2C ．若改变F 的大小，当F >μ1(m 1＋m 2)g 时，长木板将开始运动D ．若将F 作用于长木板，当F >(μ1＋μ2)(m 1＋m 2)g 时，长木板与木块将开始相对滑动 2．如图所示，质量为M 的本板放在水平桌面上，木板上表面有一质量为m 的物块，物块与木板，木板与桌面间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力，若要以水平外力F 将木板抽出，则力的大小应大于（ ）A ．mg μB ．()M m g μ+C ．2()M m g μ+D ．(2)M m g μ+3．如图所示，长度为2 m 、质量为1 kg 的木板静止在光滑水平面上，一木块质量也为1 kg （可视为质点），与木板之间的动摩擦因数为0.2．要使木块在木板上从左端滑向右端而不至滑落，则木块的初速度不能超过（ ）A ．1 m/sB ．2 m/sC ．4 m/sD ．8 m/s4．如图所示，水平地面上有一木板B ，木块A 叠放在木板B 上。

A 、B 质量分别为1m 、2m ，A 、B 之间的动摩擦因数为1μ，B 与地面间的动摩擦因数为2μ。

最初A 、B 均静止。

假设最大静摩擦力和滑动摩擦力相等，且1212()mg m m g μμ<+。

下列说法正确的是（ ）A ．无论对A 施加多大的水平向右的恒力，B 始终保持静止B ．无论对B 施加多大的水平向右的恒力，A 始终保持静止C ．对A 施加一个水平向右恒力F ，若212()F m m g μ>+时，A 、B 一起向右运动D ．对B 施加一个水平向右恒力F ，若1212()()F m m g μμ>++时，A 、B 相对滑动5．如图所示，一辆货车载着一些相同的圆柱形光滑空油桶，底部一层油桶平整排列且相互紧贴，上一层只有一只桶C 自由摆放在A 、B 桶之间。

图1—1 牛顿运动定律运用中的临界问题在应用牛顿定律解题时常遇到临界问题，它包括：1. 平衡物体（a=0）的平衡状态即将被打破而还没有被打破的瞬间；2. 动态物体（a ≠0）的状态即将发生突变而还没有变化的瞬间。

临界状态也可归纳为加速度即将发生突变的状态。

加速度发生突变的本质原因是物体的外力发生了突变，物体处于临界状态，必然隐含着某些力（如弹力、摩擦力等）的突变。

抓住这些力突变的条件，是我们解题的关键。

对于此类问题的解法一般有以下三种方法：一．极限法在题目中如果出现“最大”、“最小”、“刚好”等关键词时，一般隐藏着临界问题，处理这类问题时，常常把物理问题或过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显露出来，达到尽快求解的目的。

例1.如图1—1所示，质量为m 的物体放在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数为μ，对物体施加一个与水平方向成θ角的力F ，试求： （1）物体在水平面上运动时力F 的值； （2）物体在水平面上运动所获得的最大加速度。

例2．（和静摩擦力相联系的临界情况）如图，质量为m=1Kg 的物块放在倾角为θ的斜面上，斜面体质量为M=2Kg ，斜面与物块间的动摩擦因数μ=0.2，地面光滑，θ=370，现对斜面体施一水平推力F ，要使物体m 相对斜面静止，力F 应为多大？（设物体与斜面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g 取10m/s 2）例3．（和弹力相联系的临界条件）如图2—1所示，质量均为M 的两个木块A 、B 在水平力F 的作用下，一起沿光滑的水平面运动，A 与B 的接触面光滑，且与水平面的夹角为60° ，求使A 与B 一起运动时的水平力F 的范围。

图2—1例4 如图所示，光滑小球恰好放在木块的圆弧槽中，它左边的接触点为A ，槽的半径为R ，且OA 与水平线成α角，通过实验知道，当木块的加速度过大时，小球可以从槽中滚出来，圆球的质量为m ，木块的质量为M ，各种摩擦及绳和滑轮的质量不计，则木块向右的加速度最小为多大时，小球恰好能滚出圆弧槽。

a【例9】一弹簧秤秤盘的质量M =1.5kg ，盘内放一个质量m =10.5kg 的物体P ，弹簧质量忽略不计，轻弹簧的劲度系数k =800N/m ，系统原来处于静止状态，如图所示．现给物体P 施加一竖直向上的拉力F ，使P 由静止开始向上作匀加速直线运动．已知在前0.2s 时间内F 是变力，在0.2s以后是恒力．求物体匀加速运动的加速度多大？取g =10m/s 2．解析： 因为在t =0.2s 内F 是变力，在t =0.2s 以后F所以在t =0.2s 时，P 离开秤盘．此时P 对盘的压力为零，由于盘的质量M =1.5kg ，所以此时弹簧不能处于原长．开始时，系统处于静止状态，设弹簧压缩量为x 1，由平衡条件得g m M kx )(1+=t =0.2s 时，P 与秤盘分离，设弹簧压缩量为x 2，对秤盘据牛顿第二定律得：Ma Mg kx =-2t =0.2s 内，物体的位移：22121atx x x =-=由以上各式解得a =6m/s 2．3.(07江苏6)如图所示,光滑水平面上放置质量分别为m 和2m 的四个木块,其中两 个质量为m 的木块间用可伸长的轻绳相连,木块间的最大静摩擦力是μmg .现用水平拉力F 拉其中一个质量为2m 的木块,使四个木块以同一加速度运动,则轻绳对m 的最大拉力为 ( ) A .53mg μ B .43mg μ C .23mg μ D . 3μmg答案 B5. (安徽蒙城六中2008-2009学年度第一学期教学质量检测)．如图所示，小车板面上的物体质量为m =8㎏，它被一根水平方向上拉伸了的弹簧拉住而静止在小车上，这时弹簧的弹力为6N 。

现沿水平向右的方向对小车施以作用力，使小车由静止开始运动起来，运动中加速度由零逐渐增大到1m/s 2,随即以1 m/s 2的加速度做匀加速直线运动。

以下说法正确的是 ( AC ) A ．物体与小车始终保持相对静止，弹簧对物体的作用力始终没有发生变化B ．物体受到的摩擦力一直减小C ．当小车加速度（向右）为0.75 m/s 2时，物体不受摩擦力作用D ．小车以1 m/s 2的加速度向右做匀加速直线运动时，物体受到的摩擦力为8N5.(08东北三校第一次联考)质量分别为m 、2m 、3m 的物块A 、B 、C 叠放在光滑的水平地面上,现对B 施加一水平力F ,已知AB 间、BC 间最大静摩擦力均为f 0,为保证它们能够一起运动,F 最大值为 ( )A .6f 0B .4f 0C .3f 0D .2f 0答案 D13．如图所示，在光滑水平面上有一小车A ，其质量为0.2=Am kg ，小车上放一个物体B ，其质量为0.1=B m kg ，如图（1）所示。

1
如图所示，质量均为
，由牛顿第三定律知对地面
的加速度一直增大
的加速度相等时，两者的动能之差如图所示，两质量相等的物块2C ．两实线之间围成的面积有最大值，即两物体的相对位移最大，弹簧被拉到最长，可知知道、速度相等时，弹簧的弹性势能最大，故
时刻，两物体加速度相等，斜率相同，速度差最大，故
两者动能之差
3
如图所示，光滑水平面上放置质量分别为
D.
如图所示，点4时，小物块滑至斜面的时间为．，且设倾斜直轨
木块的加速度最大时，对水平面压力最小 B.当时，木块的加速度为
D.木块对水平面的最大压力为
如图甲，有一质量为5竖直向下时加速度为零，此时木块对水平面压力最大，故A 错误；角的关系是
，当
时，木块的加速度为
，根据牛顿第二定律可得外力
，故C 错误；
当小圆环在直杆上运动的时间最短时，小圆环与直杆间一定有挤压当小圆环在直杆上运动的时间最短时，直杆与水平方向的夹角满足如图所示，竖直平面内有一光滑直杆6根据数学知识可知，当则得
当小圆环在直杆上运动的时间最短时，由于
，所以当小圆环在直杆上运动的时间最短时，力下，小圆环与直杆间无挤压，故
7
一轻弹簧的一端固定在倾角为
8
如图所示，
9
如图，物块
，受重力、支持力和拉力，根据平衡条件，三个力可以构
根据平衡条件，有：
再分析物体
，
，
其中：
根据牛顿第三定律，有：
10
将小砝码置于桌面上的薄纸板上，用水平向右的拉力将纸板迅速抽出，砝码的移动很小．这就是
，砝码不会从桌面上掉下。

牛顿运动定律运用中的临界问题在应用牛顿定律解题时常遇到临界问题，它包括：平衡物体（a=0）的平衡状态即将被打破而还没有被打破的瞬间；动态物体（a≠0）的状态即将发生突变而还没有变化的瞬间。

临界状态也可归纳为加速度即将发生突变的状态。

加速度发生突变的本质原因是物体的外力发生了突变，物体处于临界状态，必然隐含着某些力（如弹力、摩擦力等）的突变。

抓住这些力突变的条件，是我们解题的关键。

一、和绳子拉力相联系的临界情况例1. 小车在水平路面上加速向右运动，一质量为m的小球用一条水平线和一条斜线（与竖直方向成30°角）把小球系于车上，求下列情况下，两绳的拉力：（1）加速度；（2）加速度。

解析：小车处于平衡态（a=0）对小球受力分析如下图所示。

当加速度a由0逐渐增大的过程中，开始阶段，因m在竖直方向的加速度为0，角不变，不变，那么，加速度增大（即合外力增大），OA绳承受的拉力必减小。

当时，m存在一个加速度，物体所受的合外力是的水平分力。

当时，a增大，（OA绳处于松弛状态），在竖直方向的分量不变，而其水平方向的分量必增加（因合外力增大），角一定增大，设为a。

当时，。

当，有：（1）（2）解得当，有：。

点评：1. 通过受力分析和对运动过程的分析找到本题中弹力发生突变的临界状态是绳子OA拉力恰好为零；2. 弹力是被动力，其大小和方向应由物体的状态和物体所受的其他力来确定。

二、和静摩擦力相联系的临界情况例2. 质量为m=1kg的物体，放在=37°的斜面上如下图所示，物体与斜面的动摩擦因数，要是物体与斜面体一起沿水平方向向左加速运动，则其加速度多大？解析：当物体恰不向下滑时，受力分析如下图所示，解得当物体恰不向上滑时，受力分析如下图所示，解得因此加速度的取值范围为：。

点评：本题讨论涉及静摩擦力的临界问题的一般方法是：1. 抓住静摩擦力方向的可能性。

2. 最大静摩擦力是物体即将由相对静止变为相对滑动的临界条件。

牛顿运动定律中的临界问题临界条件：(1)接触与脱离的临界条件:两物体相接触或脱离,临界条件是弹力F N=0.(2)相对滑动的临界条件:两物体相接触且相对静止时,常存在着静摩擦力,则相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值.(3)绳子断裂与松弛的临界条件:绳子所能承受的张力是有限度的,绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力,绳子松弛的临界条件是张力T=0.(4)加速度变化时,速度达到最值的临界条件:加速度变为0.1.(多选)如图所示，在光滑水平面上放着紧靠在一起的ＡＢ两物体，Ｂ的质量是Ａ的2倍，B受到向右的恒力FB=2N，A受到的水平力FA=(9-2t)N，(t的单位是s)。

从t＝0开始计时，则A.A物体在3s末时刻的加速度是初始时刻的5/11倍B.t＞4s后,B物体做匀加速直线运动C.t＝4.5s时,A物体的速度为零D.t＞4.5s后,A、B的加速度方向相反2.如图所示，质量均为m=3kg的物块A、B紧挨着放置在粗糙的水平地面上，物块A的左侧连接一劲度系数为k=l00N/m的轻质弹簧，弹簧另一端固定在竖直墙壁上。

开始时两物块压紧弹簧并恰好处于静止状态，现使物块B在水平外力F⁄的匀加速直线运动直至与A分离，已知作用下向右做a= 2m s2⁄。

求：两物块与地面的动摩擦因数均为μ=0.5，g=l0m s2（1）物块A、B分离时，所加外力F的大小；（2）物块A、B由静止开始运动到分离所用的时间3.(多选)如图所示，水平地面上两滑块A、B的质量分别为1kg、2kg，A、B与地面间动摩擦因数均为0.2。

弹簧左端固定在墙壁上，右端固定在A上。

A、B紧靠在一起（不粘连）压紧劲度系数为50N/m的弹簧，此时弹簧的压缩量为10cm 且A、B均静止。

现施加一水平向右的拉力F，F恒为10N。

最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g＝10m/s2。

则下列说法正确的是（）A．施加拉力之前B受到3N的摩擦力B．AB分离的瞬间B的加速度大小为3m/s2C．滑块A的速度最大时，其位移大小为4cmD．从施加拉力开始计时，3秒末滑块B的速度为9m/s4.如图所示，质量都为m的A.B两物体叠放在竖直弹簧上并保持静止，用大小等于mg的恒力F向上拉B，运动距离h时B与A分离。

牛顿运动定律的应用（临界问题）例1.静止在水平面上的A、B两个物体通过一根拉直的轻绳相连，如图所示，轻绳长L＝1 m，承受的最大拉力为8 N，A的质量m1＝2 kg，B的质量m2＝8 kg，A、B与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，现用一逐渐增大的水平力作用在B上，使A、B向右运动，当F增大到某一值时，轻绳刚好被拉断(g＝10 m/s2)(1)求绳刚被拉断时F的大小(2)若绳刚被拉断时，A、B的速度为2 m/s，保持此时的F大小不变，当A 的速度恰好减小为0时，A、B间的距离为多少？例2.一有固定斜面的小车在水平面上做直线运动，小球通过细绳与车顶相连．小球某时刻正处于图示状态．设斜面对小球的支持力为N，细绳对小球的拉力为T，关于此时刻小球的受力情况，下列说法正确的是()A．若小车向左运动，N可能为零 B．若小车向左运动，T不可能为零C．若小车向右运动，N不可能为零 D．若小车向右运动，T不可能为零例3.一弹簧一端固定在倾角为37°的光滑斜面的底端，另一端拴住质量为m1＝4 kg的物块P，Q为一重物，已知Q的质量为m2＝8 kg，弹簧的质量不计，劲度系数k＝600 N/m，系统处于静止，如图所示．现给Q施加一个方向沿斜面向上的力F，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前0.2 s时间内，F为变力，0.2 s以后，F为恒力，求：力F的最大值与最小值．(sin 37°＝0.6，g＝10 m/s2)例4.如图所示，物体A叠放在物体B上，B置于光滑水平面上，A、B质量分别为mA＝6 kg，mB＝2 kg，A，B之间的动摩擦因数μ＝0.2(可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，开始时F＝10 N，此后逐渐增加，在增大到45N的过程中，则()A．当拉力F<12 N时，物体均保持静止状态B．两物体开始没有相对运动，当拉力超过12 N后，开始相对运动C．两物体从受力开始就有相对运动D．两物体始终没有相对运动同步练习：1.如图所示，水平桌面光滑，A、B物体间的动摩擦因数为μ(可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，A物体质量为2m，B和C物体的质量均为m，滑轮光滑，砝码盘中可以任意加减砝码．在保持A、B、C三个物体相对静止共同向左运动的情况下，B、C间绳子所能达到的最大拉力是()A ．μmg B．μmg C． 2μmg D． 3μmg2.光滑水平面上并排放置质量分别为m1＝2 kg、m2＝1kg的两物块，t＝0时刻同时施加两个力，其中F1＝2 N、F2＝(4－2t) N，方向如图所示．则两物块分离的时刻为()A． 1 s B． 1.5 s C． 2 s D． 2.5 s3.如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m和3m的三个木块，其中质量为2m和3m的木块间用一不可伸长的轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为T.现用水平拉力F拉其中一个质量为3m的木块，使三个木块以同一加速度运动，则以下说法正确的是()A．质量为2m的木块受到四个力的作用B．当F逐渐增大到T时，轻绳刚好被拉断C．当F逐渐增大到1.5T时，轻绳还不会被拉断D．轻绳刚要被拉断时，质量为m和2m的木块间的摩擦力为0.66T4.如图所示，质量均为m的木块A和B，用劲度系数为k的轻质弹簧连接，最初系统静止．用大小F＝2mg，方向竖直向上的恒力拉A直到B刚好离开地面，则在此过程中()A．A上升的初始加速度大小为2gB．弹簧对A和对B的弹力是一对作用力与反作用力C．A上升的最大高度为mg/kD．A上升的速度先增大后减少5.如图所示，质量为1 kg的木块A与质量为2 kg的木块B叠放在水平地面上，A、B间的最大静摩擦力为2 N，B与地面间的动摩擦因数为0.2.用水平力F作用于B，则A、B保持相对静止的条件是(g＝10 m/s2) ()A．F≤12 N B．F≤10 N C．F≤9 N D．F≤6 N6.如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m的A、B两个物体，A、B间的最大静摩擦力为μmg，现用水平拉力F拉B，使A、B以同一加速度运动，则拉力F的最大值为()A．μmg B．2μmg C．3μmg D．4μmg7.(多选)如图甲所示，平行于光滑斜面的轻弹簧劲度系数为k，一端固定在倾角为θ的斜面底端，另一端与物块A连接，两物块A、B质量均为m，初始时均静止，现用平行于斜面向上的力F拉动物块B，使B做加速度为a 的匀加速运动，A、B两物块在开始一段时间内的v－t关系分别对应图乙中A、B图线，重力加速度为g，则下列说法正确的是()A．t1时刻，弹簧形变量为B．t2时刻，弹簧形变量为C．t1时刻，A，B 刚分离时的速度为D．从开始到t2时刻，拉力F先逐渐增大后不变8.某校举行托乒乓球跑步比赛，赛道为水平直道，比赛距离为s.比赛时，某同学将球置于球拍中心，以大小为a的加速度从静止开始做匀加速直线运动，当速度达到v0时，再以v0做匀速直线运动跑至终点．整个过程中球一直保持在球拍中心不动．比赛中，该同学在匀速直线运动阶段保持球拍的倾角为θ0，如图所示．设球在运动中受到空气阻力大小与其速度大小成正比，方向与运动方向相反，不计球与球拍之间的摩擦，球的质量为m，重力加速度为g.(1)求空气阻力大小与球速大小的比例系数k；(2)求在加速跑阶段球拍倾角θ随速度v变化的关系式；(3)整个匀速跑阶段，若该同学速度仍为v0，而球拍的倾角比θ0大了β并保持不变，不计球在球拍上的移动引起的空气阻力变化，为保证到达终点前球不从球拍上距离中心为r的下边沿掉落，求β应满足的条件．9.如图所示，一质量m＝0.4 kg的小物块，以v0＝2 m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t＝2 s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L＝10 m．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝.重力加速度g取10 m/s2.(1)求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小．(2)拉力F与斜面夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？10.如图在倾角为30°的小车的光滑斜面上，用劲度系数k＝500 N/m的弹簧连接一质量为m＝1kg的物体．(1)当小车以m/s2的加速度运动时，m与斜面保持相对静止，求弹簧伸长的长度．(2)若使物体m对斜面无压力，小车加速度至少多大？(3)若使弹簧保持原长，小车加速度大小、方向如何？11.如下图甲所示，一物块以一定的初速度，沿倾角可在0～90°之间任意调整的木板向上滑动，设它沿木板向上能达到的最大位移为x.若木板倾角不同时对应的最大位移x与木板倾角α的关系如下图乙所示．g取10 m/s2.求：(1)物体初速度的大小v0；(2)物体与木板间的动摩擦因数μ；(3)当α＝60°时，它沿木板向上能达到的最大位移．12.一根劲度系数为k、质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m的物体，有一水平的板将物体托住，并使弹簧处于自然长度，如图所示，现让木板由静止开始以加速度a(a<g)匀加速向下移动，求经过多长时间木板与物体分离．13.如图所示，质量为m＝1 kg的物块放在倾角为θ＝37°的斜面体上，斜面体质量为M＝2 kg，斜面体与物块间的动摩擦因数为μ＝0.2，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F，要使物块m相对斜面静止，试确定推力F的取值范围．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)牛顿运动定律的应用（临界问题）例1.静止在水平面上的A、B两个物体通过一根拉直的轻绳相连，如图所示，轻绳长L＝1 m，承受的最大拉力为8 N，A的质量m1＝2 kg，B的质量m2＝8 kg，A、B与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，现用一逐渐增大的水平力作用在B上，使A、B向右运动，当F增大到某一值时，轻绳刚好被拉断(g＝10 m/s2)(1)求绳刚被拉断时F的大小(2)若绳刚被拉断时，A、B的速度为2 m/s，保持此时的F大小不变，当A 的速度恰好减小为0时，A、B间的距离为多少？【答案】(1)40 N(2)3.5 m【解析】(1)设绳刚要被拉断时产生的拉力为T，根据牛顿第二定律，对A 物体有T－μm1g＝m1a代入数值得a＝2 m/s2对A、B整体F－μ(m1＋m2)g＝(m1＋m2)a代入数值得F＝40 N(2)设绳断后，A的加速度大小为a1，B的加速度大小为a2，则a1＝＝2 m/s2a2＝＝3 m/s2A停下来的时间为t，则t ＝＝1 sA的位移为x1，则x1＝＝1 mB的位移为x2，则x2＝vt＋a2t2＝3.5 mA刚静止时，A、B间距离为Δx＝x2＋L－x1＝3.5 m.例2.一有固定斜面的小车在水平面上做直线运动，小球通过细绳与车顶相连．小球某时刻正处于图示状态．设斜面对小球的支持力为N，细绳对小球的拉力为T，关于此时刻小球的受力情况，下列说法正确的是()A．若小车向左运动，N可能为零B．若小车向左运动，T不可能为零C．若小车向右运动，N不可能为零D．若小车向右运动，T不可能为零【答案】A【解析】若小车向左做减速运动，则加速度向右，若小球受重力和绳子的拉力的合力可以使小球的加速度与小车的加速度相同，此时N为零，故A正确；若小车向左加速运动，则加速度向左，若此时重力与斜面的支持力的合力可以使小球的加速度与小车的加速度相同，则绳子的拉力为零，故B错误；同理可知当小车向右运动时，也可能做加速或减速运动，故加速度也可能向右或向左，故N和T均可能为零，故C、D均错误；例3.一弹簧一端固定在倾角为37°的光滑斜面的底端，另一端拴住质量为m1＝4 kg的物块P，Q为一重物，已知Q的质量为m2＝8 kg，弹簧的质量不计，劲度系数k＝600 N/m，系统处于静止，如图所示．现给Q施加一个方向沿斜面向上的力F，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前0.2 s时间内，F为变力，0.2 s以后，F为恒力，求：力F的最大值与最小值．(sin 37°＝0.6，g＝10 m/s2)【答案】F min＝36 N F max＝72 N【解析】从受力角度看，两物体分离的条件是两物体间的正压力为0.从运动学角度看，一起运动的两物体恰好分离时，两物体在沿斜面方向上的加速度和速度仍相等．设刚开始时弹簧压缩量为x0则(m1＋m2)g sinθ＝kx0①因为在前0.2 s时间内，F为变力，0.2 s以后，F为恒力，所以在0.2 s时，P对Q的作用力为0，由牛顿第二定律知kx1－m1g sinθ＝m1a②前0.2 s时间内P、Q向上运动的距离为x0－x1＝at2③①②③式联立解得a＝3 m/s2当P、Q开始运动时拉力最小，此时有F min＝(m1＋m2)a＝36 N当P、Q分离时拉力最大，此时有F max＝m2(a＋g sinθ)＝72 N.例4.如图所示，物体A叠放在物体B上，B置于光滑水平面上，A、B质量分别为mA＝6 kg，mB＝2 kg，A，B之间的动摩擦因数μ＝0.2(可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，开始时F＝10 N，此后逐渐增加，在增大到45N的过程中，则()A．当拉力F<12 N时，物体均保持静止状态B．两物体开始没有相对运动，当拉力超过12 N后，开始相对运动C．两物体从受力开始就有相对运动D．两物体始终没有相对运动【答案】D【解析】当A、B间的静摩擦力达到最大静摩擦力，即滑动摩擦力时，A、B才会发生相对运动．此时对B有：F fmax＝mBa，而F fmax＝μmAg＝12 N，a ＝6 m/s2，即二者开始相对运动时的加速度为6 m/s2，此时对A、B整体：F＝(mA＋mB)a＝48 N，即F>48 N后，A、B才会有相对运动，故选项A、B、C错误，D正确．1.如图所示，水平桌面光滑，A、B物体间的动摩擦因数为μ(可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，A物体质量为2m，B和C物体的质量均为m，滑轮光滑，砝码盘中可以任意加减砝码．在保持A、B、C三个物体相对静止共同向左运动的情况下，B、C间绳子所能达到的最大拉力是()A ．μmg B．μmg C． 2μmg D． 3μmg 【答案】B2.光滑水平面上并排放置质量分别为m1＝2 kg、m2＝1 kg的两物块，t＝0时刻同时施加两个力，其中F1＝2 N、F2＝(4－2t) N，方向如图所示．则两物块分离的时刻为()A． 1 s B． 1.5 s C． 2 s D． 2.5 s 【答案】D3.如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m和3m的三个木块，其中质量为2m和3m的木块间用一不可伸长的轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为T.现用水平拉力F拉其中一个质量为3m的木块，使三个木块以同一加速度运动，则以下说法正确的是()A．质量为2m的木块受到四个力的作用B．当F逐渐增大到T时，轻绳刚好被拉断C．当F逐渐增大到1.5T时，轻绳还不会被拉断D．轻绳刚要被拉断时，质量为m和2m的木块间的摩擦力为0.66T【答案】C4.如图所示，质量均为m的木块A和B，用劲度系数为k的轻质弹簧连接，最初系统静止．用大小F＝2mg，方向竖直向上的恒力拉A直到B刚好离开地面，则在此过程中()A．A上升的初始加速度大小为2gB．弹簧对A和对B的弹力是一对作用力与反作用力C．A上升的最大高度为mg/kD．A上升的速度先增大后减少【答案】A5.如图所示，质量为1 kg的木块A与质量为2 kg的木块B叠放在水平地面上，A、B间的最大静摩擦力为2 N，B与地面间的动摩擦因数为0.2.用水平力F作用于B，则A、B保持相对静止的条件是(g＝10 m/s2) ()A．F≤12 N B．F≤10 N C．F≤9 N D．F≤6 N【答案】A7.如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m的A、B两个物体，A、B间的最大静摩擦力为μmg，现用水平拉力F拉B，使A、B以同一加速度运动，则拉力F的最大值为()A．μmg B．2μmg C．3μmg D．4μmg【答案】C8.(多选)如图甲所示，平行于光滑斜面的轻弹簧劲度系数为k，一端固定在倾角为θ的斜面底端，另一端与物块A连接，两物块A、B质量均为m，初始时均静止，现用平行于斜面向上的力F拉动物块B，使B做加速度为a的匀加速运动，A、B两物块在开始一段时间内的v－t关系分别对应图乙中A、B图线，重力加速度为g，则下列说法正确的是()A．t1时刻，弹簧形变量为B．t2时刻，弹簧形变量为C．t1时刻，A，B 刚分离时的速度为D．从开始到t2时刻，拉力F先逐渐增大后不变【答案】BD9.某校举行托乒乓球跑步比赛，赛道为水平直道，比赛距离为s.比赛时，某同学将球置于球拍中心，以大小为a的加速度从静止开始做匀加速直线运动，当速度达到v0时，再以v0做匀速直线运动跑至终点．整个过程中球一直保持在球拍中心不动．比赛中，该同学在匀速直线运动阶段保持球拍的倾角为θ0，如图所示．设球在运动中受到空气阻力大小与其速度大小成正比，方向与运动方向相反，不计球与球拍之间的摩擦，球的质量为m，重力加速度为g.(1)求空气阻力大小与球速大小的比例系数k；(2)求在加速跑阶段球拍倾角θ随速度v变化的关系式；(3)整个匀速跑阶段，若该同学速度仍为v0，而球拍的倾角比θ0大了β并保持不变，不计球在球拍上的移动引起的空气阻力变化，为保证到达终点前球不从球拍上距离中心为r的下边沿掉落，求β应满足的条件．【答案】(1)k ＝ (2)tanθ＝＋tanθ0(3)sinβ≤【解析】(1)在匀速运动阶段，根据平衡条件有mg tanθ0＝kv0①解得k ＝②(2)加速阶段，设球拍对球的支持力为N′，则有N′sinθ－kv＝ma③N′cosθ＝mg④得tanθ＝＋tanθ0⑤(3)以速度v0匀速运动时，设空气阻力与重力的合力为F，有F ＝⑥球拍倾角为θ0＋β时，空气阻力与重力的合力不变，设球沿球拍面下滑的加速度大小为a′，有F sinβ＝ma′⑦设匀速跑阶段所用时间为t，有t ＝－⑧球不从球拍上掉落的条件为：a′t2≤r⑨得sinβ≤⑩10.如图所示，一质量m＝0.4 kg的小物块，以v0＝2 m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t＝2 s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L＝10 m．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝.重力加速度g取10 m/s2.(1)求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小．(2)拉力F与斜面夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？【答案】(1)3 m/s28 m/s(2)30°N【解析】(1)设物块加速度的大小为a，到达B点时速度的大小为v，由运动学公式得L＝v0t ＋at2①v＝v0＋at②联立①②式，代入数据得a＝3 m/s2③v＝8 m/s④(2)设物块所受支持力为F N，所受摩擦力为F f，拉力与斜面间的夹角为α，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得F cosα－mg sinθ－F f＝ma⑤F sinα＋F N－mg cosθ＝0⑥又F f＝μF N⑦联立⑤⑥⑦式得F ＝⑧由数学知识得cosα＋sinα＝sin(60°＋α)⑨由⑧⑨式可知对应最小F的夹角α＝30°⑩联立③⑧⑩式，代入数据得F的最小值为F min ＝N11.如图在倾角为30°的小车的光滑斜面上，用劲度系数k＝500 N/m的弹簧连接一质量为m＝1kg的物体．(1)当小车以m/s2的加速度运动时，m与斜面保持相对静止，求弹簧伸长的长度．(2)若使物体m对斜面无压力，小车加速度至少多大？(3)若使弹簧保持原长，小车加速度大小、方向如何？【答案】(1)0.013 m (2)10m/s2(3)m/s2，方向水平向左【解析】(1)对小滑块受力分析，受重力、支持力和拉力，如图加速度水平向右，故合力水平向右，将各个力和加速度都沿斜面方向和垂直斜面方向正交分解，由牛顿第二定律，得到F－mg sin 30°＝ma cos 30°mg cos 30°－F N＝ma sin 30°解得F＝mg sin 30°＋ma cos 30°＝6.5 N根据胡克定律，有F＝kx代入数据得到x＝0.013 m(2)小滑块对斜面体没有压力，则斜面体对小滑块也没有支持力，小滑块受到重力和拉力，物体的加速度水平向右，故合力水平向右，运用平行四边形定则，如图由几何关系得到F合＝＝10N根据牛顿第二定律，得到a ＝＝10m/s2(3)弹簧保持原长，弹力为零，小滑块受到重力和支持力，物体沿水平方向运动，合力水平向左，加速度水平向左，运用平行四边形定则，如图根据几何关系，有F合＝mg tan 30°根据牛顿第二定律，有F合＝ma故a＝g tan 30°＝m/s2即小车加速度大小为m/s2，方向水平向左13.如下图甲所示，一物块以一定的初速度，沿倾角可在0～90°之间任意调整的木板向上滑动，设它沿木板向上能达到的最大位移为x.若木板倾角不同时对应的最大位移x与木板倾角α的关系如下图乙所示．g取10 m/s2.求：(1)物体初速度的大小v0；(2)物体与木板间的动摩擦因数μ；(3)当α＝60°时，它沿木板向上能达到的最大位移．【答案】(1)5 m/s (2)(3)m 【解析】(1)当α＝90°时，x＝1.25 m，由v＝2gx，解得v0＝5 m/s.(2)当α＝30°时，x＝1.25 m，由v＝2ax，解得a＝10 m/s2.物体沿木板上滑，由牛顿第二定律，mg sin 30°＋μmg cos 30°＝ma，解得物体与木板间的动摩擦因数μ＝.(3)当α＝60°时，物体沿木板上滑，由牛顿第二定律，mg sin 60°＋μmg cos60°＝ma1，解得a1＝m/s2.物块沿木板向上能达到的最大位移x ＝＝m.14.一根劲度系数为k、质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m的物体，有一水平的板将物体托住，并使弹簧处于自然长度，如图所示，现让木板由静止开始以加速度a(a<g)匀加速向下移动，求经过多长时间木板与物体分离．【答案】【解析】木板与物体分离的临界条件是它们之间的作用力为零．对于m物体，由牛顿运动定律得：mg－F－kx＝ma，当F＝0以后，随着x的增大，物体m的加速度减小，二者开始分离．物体与木板分离的临界点为F＝ 0时，此时由上式可得：mg－kx＝ma，x＝木板一直做加速度为a的匀加速运动，则由运动学规律得：x ＝at2，t ＝＝15.如图所示，质量为m＝1 kg的物块放在倾角为θ＝37°的斜面体上，斜面体质量为M＝2 kg，斜面体与物块间的动摩擦因数为μ＝0.2，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F，要使物块m相对斜面静止，试确定推力F的取值范围．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)【答案】14.4 N≤F≤33.6 N【解析】(1)设物块处于相对斜面向下滑动的临界状态时的推力为F1，此时物块受力分析如图所示，取加速度的方向为x轴正方向．对物块，水平方向有F N sinθ－μF N cosθ＝ma1竖直方向有F N cosθ＋μF N sinθ－mg＝0对M、m整体有F1＝(M＋m)a1代入数值得：a1＝4.8 m/s2，F1＝14.4 N(2)设物块处于相对斜面向上滑动的临界状态时的推力为F2，对物块受力分析如图，在水平方向有F N′sinθ＋μF N′cosθ＝ma2竖直方向有F N′cosθ－μF N′sinθ－mg＝0对整体有F2＝(M＋m)a2代入数值得a2＝11.2 m/s2，F2＝33.6 N综上所述：推力F的取值范围为：14.4 N≤F≤33.6 N。

牛顿运动定律第7课时牛顿运动定律应用---临界问题1．正确把握临界条件和临界点2．掌握临界问题的处理方法1．临界状态：物体的运动状态即将发生突变而还没有变化的状态。

可理解为“恰好现象”或“恰恰不出现”的状态。

2．临界条件：加速度发生突变的本质原因是物体的外力发生了突变，物体处于临界状态，必然隐含着某些力（如弹力、摩擦力等）的突变。

3．解答临界问题的关键是找临界条件。

许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语发掘其内含规律，找出临界条件。

有时，有些临界问题中并不显含上述常见的“临界术语”，但审题时发现某个物理量在变化过程中会发生突变，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。

临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。

1．动力学中的常见临界问题(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离的临界条件是弹力N＝0.(2)相对静止或相对滑动的临界条件：两擦力，则相对静止或相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值或为零．(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是张力等于它所能承受的最大张力．绳子松弛的临界条件是T＝0.2．寻找临界条件，解决临界问题的基本思路(1)认真审题，详细分析问题中变化的过程(包括分析整个过程中有几个阶段)．(2)寻找过程中变化的物理量(自变量与因变量)．(3)探索因变量随自变量变化时的变化规律，要特别注意相关物理量的变化情况．(4)确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系．【例1】：如图所示，在水平面上放一质量为m 的物体，与水平面间的动摩擦因数为μ，现用力F拉物体，（1）如果要使物体做匀速运动，求拉力F的最小值。

（2）如果要使物体以加速度a做匀加速运动，求拉力F的最小值。