解直角三角形的几种基本图形

板块一 解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形.二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：⑴ 三边之间的关系：222a b c += (勾股定理)；⑵ 锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒；⑶ 边角之间的关系：sin a A c =，cos b A c =，tan a A b =，cot bA a=.三、 解直角三角形的四种基本类型⑴ 已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin aA c=求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠，b =； ⑵ 已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =；⑶ 已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，cot b a A =，sin ac A=；⑷ 已知两直角边(如a 和b )，求出c =tan aA b=，得90B A ∠=︒-∠.具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin ac A =等.四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 直角三角形两锐角间的三角函数关系（五）解直角三角形的技巧及注意点在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故sin cos(90)cos A A B =︒-=，cos sin A B =，tan cot A B =，cot tan A B =.利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题．（六）如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解；（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是： ①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等.解直角三角形cba CBA【例1】在三角形ABC中，903010C A AB∠=︒∠=︒=，，，则AC的长度为（）A．B．C．D．【例2】已知Rt ABC∆中，90C∠=︒，根据下列条件解直角三角形：60A∠=︒，4b=；【例3】已知Rt ABC∆中，90C∠=︒，根据下列条件解直角三角形：60A∠=︒，6a b+=；【例4】已知Rt ABC∆中，90C∠=︒，根据下列条件解直角三角形：45A∠=︒，12S∆=.【例5】如图，在Rt ABC∆中，已知1CD AB BC⊥=，，如果40BCD∠=︒，求AC的长度DCBA【例6】如图，在Rt ABC∆中，已知1CD AB BC⊥=，，如果1tan3BCD∠=，求CD的长度DCBA【例7】如图所示，在ABC∆中，90C∠=︒，D是AC边上的一点，且53AD DB CD===，，求tan CBD∠和sin A的值．DCB A【例8】 如图，在凯里市某广场上空飘着一只汽球P ，A B ，是地面上相距90米的两点，它们分别在汽球的正西和正东，测得仰角45PAB ∠=︒，仰角30PBA ∠=︒，求汽球P 的高度（精确到0.1米，3=1.732）PACPBA【例9】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若sin tan A B =，求cos A 的值.【例10】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若cos cot A B =，求sin A 的值.【例11】 在三角形ABC 中，90C ∠=︒，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，已知603B a b ∠=︒+=+，求a b ，【例12】 如图，在ABC ∆中，已知20AB AC BC ===，ABC ∆中各内角的度数 DCBA【例13】 如图，已知：ABC ∆是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，连接CE ，求sin ACE ∠的值.FED CBA【例14】 如图所示，天空中有一静止的广告气球C ，从地面A 点测得C 的仰角为45°，从地面B 点测得C 的仰角为60°．已知20AB =米，点C 和直线AB 在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度CD （结果保留根号）．DCBA【例15】 如图，两条宽都为1的平直纸条，交叉叠放在一起，他们的交角为α，求他们的重叠部分的面积（即图像的阴影部分的面积）【例16】 已知：如图，ABC ∆中，45B AB ∠=︒，，D 是BC 上一点，53AD CD ==，，求ADC ∠的度数及AC 的长．C BAB板块二 解直角三角形应用（七）直角三角形中其他重要概念⑴ 仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．⑵ 坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为hi l=，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi lα==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵． ⑶ 方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度.如图⑶．图(3)北图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线2. 解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：⑴ 分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；⑵ 找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；⑶ 根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；⑷ 按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位.（一）、仰角俯角【例17】 如图，一艘核潜艇在海面下500米A 点处测得俯角为30︒正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后再次在B 点处测得俯角为60︒正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C 点处距离海面的深度？（精确到米）海面60°30°D CBA【例18】 亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M ，颖颖的头顶B 及亮亮的眼睛A 恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C ，D ．然后测出两人之间的距离 1.25m CD =，颖颖与楼之间的距离30m DN =（C D N 、、在一条直线上），颖颖的身高 1.6m BD =，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离0.8m AC =．你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？NMDC B A【例19】 某旅游区有一个景观奇异的望天洞，D 点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A 处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB 返回山脚下的B 处．在同一平面内，若测得斜坡BD 的长为100米，坡角10DBC ∠=︒，在B 处测得A 的仰角40ABC ∠=︒，在D 处测得A 的仰角85ADF ∠=︒，过D 点作地面BE 的垂线，垂足为C ． ⑴ 求ADB ∠的度数； ⑵ 求索道AB 的长．（结果保留根号）【例20】 如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角23AEF ∠=︒，量得树干倾斜角38BAC ∠=︒，大树被折断部分和坡面所成的角604m ADC AD ∠=︒=，． ⑴求CAE ∠的度数；⑵求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数据：2 1.43 1.76 2.4===，，）．【例21】 一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度CD ．已知她的眼睛与地面的距离为1.6米，小迪在B 处测量时，测角器中的60AOP ∠=°(量角器零度线AC 和铅垂线OP 的夹角，如图)；然后她向小山走50米到达点F 处(点B F D ，，在同一直线上)，这时测角器中的45EO P ''∠=°，那么小山的高度CD 约为( )A CDE FBGACDEFBC60°38°BDE23°AFＡ．68米 Ｂ．70米 Ｃ．121米 Ｄ．123米(注：数据3 1.732≈，2 1.414≈供计算时选用)G45︒60︒P'O'E PO ADCPGCO A【例22】 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高20cm ，深为30cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，斜坡的坡角BCA ∠为12︒，设台阶的起点为A ，斜坡的起点为C ，求AC 的长度（精确到1cm ）DC BA【例23】 课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度. 如图，在A 处用测角仪(离地高度1.5米)测得旗杆顶端的仰角为15︒，朝旗杆方向前进23米到B 处，再次测得旗杆顶端的仰角为30︒，求旗杆EG 的高度.23米30°15°GF ED C BA【例24】 在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点 C ，测得C 在A 北偏西31︒的方向上，沿河岸向北前行20米到达B 处，测得C 在B 北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．(参考数值：3tan315︒≈，1sin312︒≈)【例25】 如图，湖心岛上有一凉亭，现欲利用湖岸边的开阔平整地带，测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB (见示意图)，可供使用的工具有测倾器、皮尺．A⑴ 请你根据现有条件，设计一个测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB 的方案，画出测量方案的平面示意图，并将测量的数据标注在图形上(所测的距离用m ，n …表示，角用α，β…表示，测倾器高度忽略不计)；⑵ 根据你所测量的数据，计算凉亭到湖面的高度AB (用字母表示)．【例26】 如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲乙两人分别在相距8米的A 、B 两处测得D 点和C 点的仰角分别为45︒和60︒，且A 、B 、E 三点在一条直线上，若15BE =米，求这块广告牌的高度．(取1.73≈，计算结果保留整数)EDC BA60︒45︒【例27】 由山脚下的一点A 测得山顶D 的仰角是45︒，从A 沿倾斜角为30︒的山坡前进1500米到B ，再次测得山顶D 的仰角为60︒，求山高CD .DCBA【例28】 如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为45︒，沿着坡度为30︒的斜坡前进400米到D 处(即30,400DCB CD ∠=︒=米)，测得A 的仰角为60︒，求山的高度AB .【例29】 如图所示，某学校拟建两幢平行的教学楼，现设计两楼相距30米，从A 点看C 点，仰角为5︒；从A 点看D 点，俯角为30o ，解决下列问题： ⑴ 求两幢楼分别高多少米？(结果精确到1米)⑵ 若冬日上午9:00太阳光的入射角最低为30o (光线与水平线的夹角)，问一号楼的光照是否会有影响？请说明理由，若有，则两楼间距离应至少相距多少米时才会消除这种影响？(结果精确到1米)(参考数据：tan50.0875≈o tan300.5774≈o cos30 1.732≈o)D【例30】 若每层楼高2.2米，问在例题的第⑵问中，在一号楼中至少住在第几层光照就不会受到二号楼的影响？F 30︒ED CBA【例31】 某住宅小区有一郑南朝向的居民楼，如图，该楼底层是高为6m 的超市，超市以上是居民住房，在该楼前方15m 处准备盖一幢高20m 的新楼，已知当地冬季正午的阳光与水平线夹角为32︒ ⑴超市以上居民住房采光是否受到影响？为什么？⑵若要使居民住房采光不受影响，两楼至少应相距多少米？（精确到0.1m ）新楼居民楼新楼32°BADCBA【例32】 如图，“五一”期间在某商贸大厦上从点A 到点B 悬挂了一条宣传条幅，小明和小雯的家正好住在商贸大厦对面的家属楼上．小明在四楼D 点测得条幅端点A 的仰角为30︒，测得条幅端点B 的俯角为45︒；小雯在三楼C 点测得条幅端点A 的仰角为45︒，测得条幅端点B 的俯角为30︒．若设楼层高度CD 为3米，请你根据小明和小雯测得的数据求出条幅AB 的长．(结果精确到个位，参考数据CDC B A1.732)【例33】 如图，某高层楼房与上海东方明珠电视塔隔江想望，甲、乙两学生分别在这楼房的A B ，两层，甲在A 层测得电视塔塔顶D 的仰角为α，塔底C 的俯角为β，乙在B 层测得塔顶D 的仰角为θ，由于塔底的视线被挡住，乙无法测得塔底的俯角，已知A B ，之间的高度差为a ，求电视塔高CD （用含a αβθ，，，的代数式表示）（二）、坡度角【例34】 为了加固一段河堤，需要运来砂石和土将堤面加宽1m ，使坡度由原来的1:2变成1:3，如图所示，已知原来背水坡长12BC m =，堤长100m ，那么需要运来砂石和土多少立方米?(参考数据3≈1.7，5≈2.7)CFEDBA【例35】 燕尾槽的横断面是等腰梯形，下图是个燕尾槽的横断面，其中燕尾角B 为55°，外口宽AD 为180 mm ，燕尾槽的深度为70 mm ，求它的里口宽BC （精确到1 mm ）F EDCBA【例36】创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O的半径OC所在的直线为对称轴的轴对称图形，A是OD与圆O的交点．OAC⑴请你帮助小王在下图中把图形补画完整；⑵由于图纸中圆O的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i 是坡面CE的坡度），求r的值．OAC【例37】一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形. 现需将其整修并进行美化，方案如下：①将背水坡AB的坡度由1:0.75改为3；②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花.⑴求整修后背水坡面的面积；⑵如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？DACB【例38】 城市规划期间，欲拆除一电线杆AB ，如图所示，已知距电线杆AB 水平距离14m 的D 处有一大坝，背水坡CD 的坡度为2，坝高CF 为2m ，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30︒，D 、E 之间是宽为2m 的人行道，试问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B 为圆心.以AB 的长为半径的圆形区域为危险区域)．FE人行道DCB A【例39】 如图，甲、乙两建筑物的水平距离为30m ，从乙的顶部A 测得甲的顶部C 的仰角为60︒，测得甲的底部D 的俯角为30︒，求两建筑物的高.B【例40】 在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度．如图1，虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为倾角θ，一般情况下，倾角θ愈小，楼梯的安全程度愈高．如图2，设计者为提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角由1θ减至2θ，这样楼梯占用地板的长度由1d 增加到2d ，已知11440d m θ=∠=︒，，236θ∠=︒，求楼梯占用地板的长度增加了多少？（精确到0.01 m ． 参考数据：tan36°=0.7256， tan40°=0.8391．）θ地板地板角由44︒减至32︒，已知原台阶AB 的长为5米(BC 所在地面为水平面)． ⑴ 改善后的台阶会加长多少？(精确到0.01米)⑵ 改善后的台阶多占多长一段地面？(精确到0.01米)44︒32︒DCBA【例42】 我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示．BC AD ∥，斜坡40AB =米，坡角60BAD ∠=︒，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过45o 时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC 削进到E 处，问BE 至少是多少米（结果保留根号）？ABD CEF G ECDBA（三）、方位角【例43】 如图，AC 是某市环城路的一段，AE BF CD ，，都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A B C ，，．经测量花卉世界D 位于点A 的北偏东45°方向、点B 的北偏东30°方向上， 2AB km =，15DAC ∠=︒． （1）求B D ，之间的距离； （2）求C D ，之间的距离．中山路文化路和平路和平路文化路中山路BCD45°30°15°15°30°45°ODC BBCA44︒【例44】 如图所示，某轮船以30海里／时的速度航行，在A 点处测得海面上的哨所P 在南偏东60︒，向北航行40分钟后到达B 点，测得哨所P 在南偏东30︒，轮船改变为北偏东60︒的航向再航行2小时到达C 点，若在PC 上存在一点M ，点M 在点B 的南偏东60︒处，且在点M 的周围有方圆15海里的暗礁区，问轮船从B 点到C 点的航行中有无触礁的危险?是否需要改变航向?EDB A【例45】 为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，设计师提供了车库入口设计示意图，按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你计算图中CE 的长（精确到0.1m ）【例46】 如图所示，某船以每小时36海里的速度向正东航行，在A 点测得某岛C 在北偏东60°方向上，航行半小时后到B 点，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁． （1）试说明B 点是否在暗礁区域外．（2）若继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．东【例47】 如图，公路MN 和公路PQ 在P 处交会，且30QPN ∠=︒，点A 处有一所学校，160m AP =，假设拖拉机行使时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么当拖拉机在公路MN 上沿PN 的方向以10m/s 的速度行使时，⑴ 学校是否会受到噪音的影响？为什么？⑵若学校会受到噪音的影响，受影响的时间是多少？【例48】 随着科学技术的发展，机器人已经能按照设计的指令完成各种动作，在坐标平面上，根据指令[s ，]α(0a ≥，0360α︒≤<︒)机器人能完成下列动作：先原地顺时针旋转角度α，再朝其面对的方向沿直线行走距离s . ⑴ 填空：如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面对y 轴的正方向，现要使其移动到点(2A ，2)，则给机器人发出的指令应是_________⑵ 机器人在完成上述指令后，发现(6P ，0)处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动，已知小球的滚动速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器原地旋转时间，请你给机器人发一个指令，使它能最快截住小球.(如图，点C 为机器人最快截住小球的位置)(角度精确到度；参考数据：sin490.75︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈，tan390.80︒≈)Ny xPOANy xP OC BA【例49】 第⑵问中，将“小球的滚动速度与机器人行走的速度相同”改为“小球速度为机器人的2”，则要在最短时间内截住小球应下的指令为 .【例50】 如图，在某海域内有三个港口A 、D 、C ．港口C 在港口A 北偏东60︒方向上，港口D 在港口A 北偏西60︒方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30︒的方向驶离A 港口3小时后到达B 点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每5分钟4吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．同时在B 处测得港口C 在B 处的南偏东75︒方向上．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B 处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向．【例51】 渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60︒方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到B 处.在B 处看见灯塔M 在北偏东15︒方向，求此时灯塔M 与渔船的距离.北东北15︒60︒MBA北东北60︒15︒NM BA【例52】 如图，某剧组在东海拍摄广告风光片，拍摄基地位于A 处，在其正南方向15海里处一小岛B ，在B的正东方向20海里处有一小岛C ，小岛D 位于AC 上，且距小岛A 有10海里. ⑴ 求A ∠的度数(精确到1︒)和点D 到BC 的距离；⑵ 摄制组甲从A 处乘甲船出发，沿A B C →→的方向匀速航行，摄制组乙从D 处乘乙船出发，沿南偏西方向匀速直线航行，已知甲船的速度是乙船速度的2倍，若两船同时出发并且在B 、C 间的F 处相遇，问相遇时乙船航行了多少海里？(结果精确到0.1海里)北C B北EC B【例53】 海面上B 处有一货轮正在向正南方向航行，其航行路线是当它到达正南方C 时，在驶向正西方的目的地A 处，且200CA CB ==海里，在AB 中点O 处有一客轮，其速度为货轮的一半，现在客轮要截住货轮取一件货物，于是选择某一航向行驶去截住货轮，那么当客轮截住客轮时至少航行了多少海里，它所选择了怎样的方向角？(路程保留整数海里，角度精确到度)【例54】 为保卫祖国的海疆，我人民解放军海军在海岸线上相距20n mile 的A B ，两地设立观测站，按国际惯例，海岸线以外12n mile 范围内均为我国领海，外国船只除特许外，不得私自进入我国领海，某日，观测员发现一外国船只行驶至P 处，在A 观测站测得P 在北偏东27︒，同时在B 观测站测得P 在北偏西56︒，问此时是否需要向此未经特许的船只发出警告，命令其退出我国领海？（参考数据：932sin63tan632sin34tan341053︒≈︒≈︒≈︒≈，，，）56°27°PBA【例55】 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220km 的B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，⑴ 该城市是否会受这次台风影响？请说明理由.⑵ 若受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间会有多长？ ⑶ 该城市受台风影响的最大风力是几级？（四）其它【例56】 公园里有一块形如四边形ABCD 的草地，测得10BC CD ==米，120B C ∠=∠=︒，45A ∠=︒．请你求出这块草地的面积．DCBA【例57】 如图，不透明圆锥体DEC 放在水平面上，在A 处灯光照射下形成影子，设BP 过底面圆的直径，已知圆锥体的高为，底面半径为2m ，4BE m =⑴求B ∠的度数；⑵若2ACP B ∠=∠，求光源A 距水平面的高度PEDCBA【例58】 小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15︒的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全.他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75︒，如果拖把的总长为1.80m ，则小明拓宽了行路通道_________m ．(结果保留三个有效数字，参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈)【例59】 如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角α为60︒．① 如图2，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且:2:3AC BD =，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米；② 如图３，当A 点下滑到'A 点，B 点向右滑行到'B 点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到'P 点．若'15POP ∠=︒，试求'AA 的长．图1αN MOB AD C图2αMO B A P'P B'A'图3αMOB A【例60】 如图1、图2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB （与地面平行）或绕定点P （固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持''AP A P BP B P ==，）．通过向下踩踏点A 到'A （与地面接触点）使点B 上升到点'B ，与此同时传动杆BH 运动到''B H 的位置，点H 绕固定点D 旋转（DH 为旋转半径）至点'H ，从而使桶盖打开一个张角'HDH ∠．如图3，桶盖打开后，传动杆''H B 所在的直线分别与水平直线AB DH 、垂直，垂足为点M C 、，设''H C B M =．测得6cm 12cm '8cm AP PB DH ===，，．要使桶盖张开的角度'HDH ∠不小于60︒，那么踏板AB 离地面的高度至少等于多少cm ？（结果保留两位有效数字）图3图2C MAA'P BB'HDH'H'DHB'BPA'A【例61】 如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，连结BD ，若3cos 5BDC ∠=， 求tan A 的值．NM DCBA（图1）【例62】 如图所示，已知在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3sin 5B =，D 是BC 上一点，DE AB ⊥，垂足为E ，CD DE =，9AC CD +=.求：⑴ BC 的长；⑵ CE 的长.EDCBA【例63】 如图，某居民小区内A B ，两楼之间的距离30MN =米，两楼的高都是20米，A 楼在B 楼正南，B楼窗户朝南．B 楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离2DN =米，窗户高 1.8CD =米．当正午时刻太阳光线与地面成30o 角时，A 楼的影子是否影响B 楼的一楼住户采光？若影响，挡住该住户窗户多高？若不影响，请说明理由．(1.4141.732=2.236=)【例64】 如图，水坝的横截面为梯形ABCD ，坝顶宽6m AD =，坡面CD =，AB 的坡度为，135ADC ∠=︒，求水坝的横截面积．DBA【例65】 水坝的横截面是等腰梯形ABCD ，坝顶宽6AD m =，坝高4m ，斜坡AB 的坡度为1:2，现要将水坝加高2m ，要求坝顶宽度不变，背水坡AB 改为EG 后，坡度改为1:2.5，如图，按这样的要求，加固一条长为50m 的水坝，需要多少土方？Q HR G FEDCB A【例66】如图所示，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时的速度沿北偏西60︒方向前进，乙船以每小时15km的速度沿东北方向前进，甲船航行2h到达C处，发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速(匀速)沿北偏东75︒的方向追赶，结果两船在B处相遇.⑴甲船从C处追上乙船用了多长时间？⑵甲船追赶乙船的速度是多少？北【例67】如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，建筑物周围没有开阔平整地带，建筑物顶端宽度AD、高度DC都可以直接测得，从A D C，，三点都可看到塔顶H⑴试根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案，具体要求如下：①可供使用的测量工具有皮尺、测角器；②测量数据尽可能少；③在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A D，间距离，用m表示，D C，间距离，用n表示；如果测角，用αβγ，，表示）⑵根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示，测角器高度忽略不计）DBA【例68】如图，某电信部门计划架设一条连结B C，两地的电缆，测量人员在山脚A地测得B C，两地在同一方向，且两地的仰角分别为3045︒︒，，在B地测得C地的仰角为60︒，已知C地比A地高200米，且由于电缆的重力导致下坠，实际长度是两地距离的1.2倍，求电缆的长（精确到0.1米）。

仰角俯角α h li 第十讲 解直角三角形及其应用一、解直角三角形定义：定义：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三边和两个锐角。

由直角三角形中除直角外的已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形。

三种基本关系：1、边边关系：222a b c +=2、角角关系：∠A+∠B=90°3、边角关系：即四种锐角三角函数 类型 已知条件解法两边两直角边a 、b22c a b =+，tan aA b =，90B A ∠=︒-∠直角边a ，斜边c 22b c a =-，sin aA c=，90B A ∠=︒-∠一边 一锐角直角边b ，锐角A ∠B ＝ ；a ＝b •tanA ； c= ；斜边c ，锐角A90B A ∠=︒-∠，sin a c A =g ； b ＝ ；三、解直角三角形的基本思路：“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切），宁乘毋除，取原避中（取原始值避免用中间量）。

” 四、解直角三角形中的实际问题有：（1）方位角、象限角.（2）俯角、仰角.（3）坡角（是斜面与水平面的夹角）、坡度（是坡角的正切值）. 五、有关公式（1）1sin 2S ab C ∆==1sin 2bc A =1sin 2ac B（2）Rt △面1122S ab ch ==V（3）结论：直角三角形斜边上的高abh c=六、基本图形（组合型）翻折 平移七、解题思路与数学思想方法αtan lh i ==仰角铅垂线水平线视线视线俯角 单个直角三角形 直接求解 实际问题 数学问题 抽象转化 不是直角三角形 直角三角形 求解 八九、经典例题（一）利用直角三角形解决俯角仰角问题 仰角：视线在水平线上方的角； 俯角：视线在水平线下方的角。

例1、天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A 处测得天塔最高点C 的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B 处测得最高点C 的仰角为54°，AB=112m ，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD （tan36°≈0.73，结果保留整数）．小小收获：测底部不可到达物体的高度已知：如图下，在Rt △ADC 中，∠D ＝90°，∠A ＝α ，∠CBD ＝β ，AB ＝a ．用含a 及α 、β 的三角函数的式子表示CD 的长为 ；例2、在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌（如图所示）.已知标语牌的高.在地面的点处，测得标语牌点的仰角为30°，在地面的点处，测得标语牌点的仰角为75°，且点的同一直线上，求点与点之间的距离.（计算结果精确到0.1米，参考数据：）辅助线构造:ih l=hlα巩固 1、如图，两建筑物的水平距离BC 为18m ，从A 点测得D 点的俯角α为30°，测得C 点的俯角β为60°．则建筑物CD 的高度为 m （结果不作近似计算）．2、国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A 处的俯角为，B 处的俯角为．如果此时直升机镜头C 处的高度CD为200米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是 米．3、如图，在小山的东侧A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C 处，此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为30°，则小山东西两侧A 、B 两点间的距离为 米．（二）利用直角三角形解决坡度坡角问题斜坡坡度i =斜坡的垂直高度斜坡的水平距离注意：通常我们将坡度i 写成1:m 的形式，坡度i 与坡角α之间的关系为tan i α=。

解直角三角形复习讲义知识要点：一、直角三角形的元素（边与角）的对应关系。

Eg ：在Rt △ABC 中，∠C=90°得：直角边： AC BC 斜边： AB 图形： .b a c锐角： ∠ B ∠A 直角：∠C二、直角三角形的相关性质：如图（1）：在Rt △ABC 中，∠C=90° 1、 两锐角的关系：直角三角形的两个锐角互余。

∠A+∠B=90°2、 三边关系：勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

BC 2+ AC 2 =AB 2 或（a 2+b 2=c 2）变形式子：BC 2 =AB 2- AC 2，AC 2 =AB 2 -BC 2……等的应用。

勾股定理逆定理：如果一个三角形的两条较短边的平方和等于较长边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

若：BC 2+ AC 2 =AB 2 或（a 2+b 2=c 2），则：△ABC 是直角三角形，且∠C=90°3、 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

4、 直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。

5、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原来的直角三角形相似。

若：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于点D则：△ACD ∽△CBD ∽△ABC 对应边成比例6、射影定理：△ACD ∽△ABC AC 2=AD ·AB△CBD ∽△ABC BC 2=BD ·AB△ACD ∽△CBD CD 2=AD ·DB7、边角关系：锐角三角函数（1）锐角∠A 、∠B （∠A+∠B=90°）的三角函数： 互余两角的三角函数关系 取值范围 全称 简写锐角∠A 的正弦sinA=斜边的对边A ∠=cosB 0＜sinA ＜1 Sine sin锐角∠A 的余弦cosA=斜边的邻边A ∠=sinB 0＜cosA ＜1 Cosine cos锐角∠A 的正切tanA=的邻边的对边A A ∠∠=cotB tanA ＞0 Tangent tan(或tg)锐角∠A 的余切cotA=的对边的邻边A A ∠∠=tanB cotA ＞0 Cotangent cot(或 ctg 、ctn)注：对于锐角∠A 的每一个确定的度数，其对应的三角函数值也是唯一确定的。

解直角三角形中考要求知识要点模块一 解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形． 二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳： （1）三边之间的关系：222a b c += (勾股定理) （2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cos ,cos sin ,tan a b aA B A B A c c b=====三、解直角三角形的四种基本类型（1）已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin aA c=求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠，b =； （2）已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =； （3）已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，tan b a B =，sin ac A=； （4）已知两直角边(如a 和b )，求出c =tan aA b=，得90B A ∠=︒-∠． 具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin a c A=等． 四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 五、解直角三角形的技巧及注意点在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故sin cos(90)cos A A B =︒-=，cos sin A B =．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题．cb CBA六、如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解；（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等．【例1】 如图是教学用直角三角板，边33090tan 3AC cm C BAC =∠=︒∠=，，，则边BC 的长为（ ）A ．303cmB ．203cmC ．103cmD ．53cm【巩固】如图，在ABC △中，9060C B D ∠=︒∠=︒，，是AC 上一点，DE AB ⊥于E ，且21CD DE ==，，则BC 的长为（ ）A ．2B ．433C ．23D ．43【巩固】如图，ABC △是等腰三角形，90ACB ∠=︒，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，连接CE ，则sin ACE ∠= ．例题精讲CBA3ED CBAEDCBA如图所示，O 的直径点作O 的切线，切点为七、直角三角形中其他重要概念（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为h i l=，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi lα==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵．（3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶．八、解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位． （一）仰角与俯角30,400DCB CD ∠=︒=米)，测得A 的仰角为60︒，求山的高度AB ．图(3)图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线FD CDCB A【巩固】如图，某电信部门计划架设一条连结B C ，两地的电缆，测量人员在山脚A 地测得B C ， 两地在同一方向，且两地的仰角分别为3045︒︒，，在B 地测得C 地的仰角为60︒，已知C 地比A 地高200米，且由于电缆的重力导致下坠，实际长度是两地距离的1.2倍，求电缆的长（精确到0.1米）（二）坡度与坡角图所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．（1）请你帮助小王在下图中把图形补画完整；（2）由于图纸中圆O 的半径r 的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i =是坡面CE 的坡度），求r 的值．O CA（三）方向角【例8】 如图，AC 是某市环城路的一段，AE BF CD ，，都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A B C ，，．经测量花卉世界D 位于点A 的北偏东45︒方向、点B 的北偏东30︒方向上， 2AB km =，15DAC ∠=︒．（1）求B D ，之间的距离； （2）求C D ，之间的距离．【巩固】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220km 的B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km ，风力就减弱一级，该台风中心现在以15km/h 的速度沿北偏东30︒方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到四级，则称受台风影响． （1）该城市是否会受这次台风影响？请说明理由．（2）若受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间会有多长？ （3）该城市受台风影响的最大风力是几级？（四）其它【例9】 小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15︒的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全．他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75︒，如果拖把的总长为1.80m ，则小明拓宽了行路通道_________m ．(结果保留三个有效数字，参考数据：sin150.26︒≈和平路文化路中山路30°15°45°FEDCBA【巩固】如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角α为60︒．（1）求AO 与BO 的长；（2）若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行．① 如图2，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且:2:3AC BD =，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米；② 如图３，当A 点下滑到'A 点，B 点向右滑行到'B 点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到'P 点．若'15POP ∠=︒，试求'AA 的长．【例10】 关于三角函数有如下的公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-tan tan tan()(1tan tan 0)1tan tan αβαβαβαβ++=-⋅≠-⋅利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如tan 45tan 60tan105tan(4560)(21tan 45tan 60︒+︒︒=︒+︒===--︒⋅︒根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD 上方A 点处测得建筑物顶端D 点的俯角α为60︒，底端C 点的俯角β为75︒，此时直升飞机与建筑物CD 的水平距离BC 为42米，求建筑物CD 的高．图1图2图3βαDCBA课堂检测1． （2011•遵义）某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长6AB cm =，45ABC ∠=︒，后考虑到安全因素，将楼梯脚B 移到CB 延长线上点D 处，使30ADC ∠=︒（如图所示） （1）求调整后楼梯AD 的长； ACB ∠= ．课后作业水坡CD 的坡度为2，坝高CF 为2m ，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30︒，D 、E 之间是宽为2m 的人行道，试问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？请说明理由(在地面上，以点B 为圆心．以AB 的长为半径的圆形区域为危险区域)．FE人行道DCB A。

解直角三角形的基本类型及解法解直角三角形的基本类型及解法解直角三角形方法很多,灵活多样.解直角三角形是探究直角三角形中边角关系的问题,是现实世界中应用广泛的关系之一，本文是店铺整理解直角三角形的基本类型及解法的资料，仅供参考。

解直角三角形注意事项1.尽量使用原始数据，使计算更加准确.2.有的问题不能直接利用直角三角形内部关系解题，•但可以添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题.3.一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法解题.4.解直角三角形的方法可概括为“有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦有切(正切、余切)，宁乘毋除，取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦;无斜边时，就用正切或余切;当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法;既可由已知数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，忌用中间数据.5.必要时按照要求画出图形，注明已知和所求，•然后研究它们置于哪个直角三角形中，应当选用什么关系式来进行计算.6.要把添加辅助线的过程准确地写在解题过程之中.7.解含有非基本元素的直角三角形(即直角三角形中中线、高、角平分线、•周长、面积等)，一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为元素间的关系式，再通过解方程组来解.直角三角形面积公式因为直角三角形的两条直角边分别相当于三角形的底和高，所以直角三角形的面积，可以用两条直角边的长度相乘再除以2。

s=(1/2)x底x高s=(1/2)xaxbxsinC (C为a,b的夹角)s=1/2acsinBs=1/2bcsinA直角三角形性质1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

若∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2(勾股定理)2、在直角三角形中，两个锐角互余。

如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°3、直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半(即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2)。

模型构建专题：解直角三角形应用中的基本模型之六大类型【考点导航】目录【典型例题】【类型一含特殊角(“30°，45°，60°”)的非直角三角形】【类型二不含特殊角的非直角三角形】【类型三“独立”型】【类型四“背靠背”型】【类型五“叠合”型】【类型六“斜截”型】【典型例题】【类型一含特殊角(“30°，45°，60°”)的非直角三角形】1(2023·辽宁葫芦岛·统考二模)如图，小明在游玩时想利用手中的无人机测量一山崖CD(垂直于地面)的高度，小明从A点看向无人机B的仰角为45°．从无人机B处测得看山崖顶端C的仰角为30°，测得看山崖底部D处的俯角为60°，无人机B与山崖的水平距离BE为50米．(图中各点均在同一平面内)．(1)求山崖的高度(结果保留根号)；(2)若点A距离地面2米，求小明到山崖的水平距离(结果取整数)．(参考数据：2≈1.414，3=1.732)【变式训练】1(2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考阶段练习)为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加强了海洋巡逻力度，如图，一艘海监船位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔Р的北偏东30°方向上的B处．(1)在这段时间内，海监船与灯塔Р的最近距离是多少海里？(2)在这段时间内，海监船航行了多少海里？(结果保留根号)2(2023·海南·统考中考真题)如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，测得港口C位于B的北偏东45°方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上．(1)填空：∠AMB=度，∠BCM=度；(2)求灯塔M到轮船航线AB的距离(结果保留根号)；(3)求港口C与灯塔M的距离(结果保留根号)．3(2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中)无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中C处测得楼DH楼顶D处的俯角为45°，测得楼EF楼顶E处的俯角为60°．已知楼EF和楼DH之间的距离HF为90米，楼EF的高度为12米，从楼EF的E处测得楼DH的D处的仰角为30°，AB∥HF．(点A、B、C、D、E、F、H在同一平面内)．(参考数据：3≈1.73)(1)求楼DH的高度；(2)求此时无人机距离地面HF的高度．4(2023秋·海南海口·九年级校考期末)脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活，如图是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得尾顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走6m 到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF=12m，EF∥CB，AB交EF于点G(点C，D，B在同一水平线上)．(参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，3≈1.7)(1)求屋顶到横梁的距离AG；(2)求房屋的高AB(结果精确到1m)．5(2023·辽宁葫芦岛·统考二模)无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为1003米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°(点A、B、C、D、P在同一平面内，参考数据：3≈1.732,2≈1.414)．(1)填空：∠ADP=度；(2)求楼CD的高度；(3)求此时无人机距离地面BC的高度(结果精确到1米)．【类型二不含特殊角的非直角三角形】1(2023秋·全国·九年级专题练习)如图，在2×4的方格中，两条线段的夹角(锐角)为∠1，则tan∠1=．【变式训练】1(2023·江苏宿迁·统考中考真题)如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC=．2(2023·全国·九年级专题练习)如图，△ABC的三个顶点都在边长是1的小正方形的顶点上，则tan∠BAC=．3(2023春·浙江杭州·九年级专题练习)在△ABC中，AC=42，BC=6，∠C为锐角且tan C=1．(1)求△ABC的面积；(2)求AB的值；(3)求cos∠ABC的值．4(2023秋·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考开学考试)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D 为BC的中点，DE⊥AC于点E，连接BE．已知DE=2.(1)若tan C=12，求AB的长度；(2)若∠C=30°，求sin∠BEA．5(2023·宁夏吴忠·校考二模)问题呈现：如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，求cos∠CPN的值．方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解获此类问题，比如连接格点M、N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中，问题解决：(1)求出图1中cos∠CPN的值；(2)如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求tan∠CPN的值．6(2023秋·全国·九年级专题练习)在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=1，∠A=α，求sin2α(用含sinα，cosα的式子表示)．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取AB的中点O，连接OC，过点C作CD⊥AB于点D，则∠COB=2α，然后利用锐角三角函数在Rt△ABC中表示出AC，BC，在Rt△ACD中表示出CD，则可以求出sin2α=CDOC =sinα⋅AC12=sinα⋅cosα12=2sinα⋅cosα．阅读以上内容，回答下列问题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=1．(1)如图3，∠ACB=90°，AB=1，若BC=12，则sinα=，sin2α=；(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2α的表达式(用含sinα，cosα的式子表示)．【类型三“独立”型】1(2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习)如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度AB，无人机在离教学楼底部B处16米的C处垂直上升31米至D处，测得教学楼顶A处的俯角为39°，则教学楼的高度AB约为米．(结果精确到0.1米)【参考数据：sin39°=0.63，cos39°=0.78，tan39°=0.81】【变式训练】1(2023春·山东日照·九年级日照市新营中学校考阶段练习)如图，AB是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端B沿水平方向向左走8米到达点C，沿坡度i=1:2(坡度i=坡面铅直高度与水平宽度的比)斜坡走到点D，再继续沿水平方向向左走40米到达点E(A、B、C、D、E在同一平面内)，在E处测得建筑物顶端A的仰角为34°，已知建筑物底端B与水平面DE的距离为2米，则建筑物AB的高度约是(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)()A.27.1米B.30.8米C.32.8米D.49.2米2(2023春·安徽淮南·九年级校联考阶段练习)如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为米；3如图，小明在公园放风筝，拿风筝线的手B 离地面高度AB 为1.5m ，风筝飞到C 处时的线长BC 为30m ，这时测得∠CBD =53°，求此时风筝离地面的高度．(精确到0.1m ，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)【类型四“背靠背”型】1(2023春·山东青岛·九年级统考开学考试)科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C 游玩，到达A 地后，导航显示车辆应沿北偏西67°方向行驶4千米至B 地，再沿北偏东23°方向行驶一段距离到达古镇C ，小明发现古镇C 恰好在A 地的正北方向，求B ，C 两地的距离(结果保留整数)(参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，sin23°≈513，tan23°≈512)．【变式训练】1(2023春·江苏南通·九年级校考阶段练习)如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行302km 至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20°方向，则A ，C 两港之间的距离为km ．2(2023春·海南省直辖县级单位·九年级统考期中)某校举办以“测量”为主题的数学实践活动，该校数学兴趣小组准备借助无人机来测量小区内的一座大楼高度．如图所示，无人机从地面点A处沿着与地面垂直的方向上升，至点B处时，测得大楼底部C的俯角为30°，E测得大楼顶部D的仰角为45°．无人机保持航向不变继续上升50米到达点E处，此时测得大楼顶部D的俯角为60°．已知A、C两点在同一水平线上．(1)填空：∠DBE=度，∠BED=度；(2)求A、C两点间的距离：(结果保留根号)(3)求这座大楼CD的高度．(结果保留根号)3(2023·黑龙江大庆·统考一模)如图，某无人机兴趣小组在操场上展开活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得教学楼BC顶端点C处的俯角为45°，又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离为57米．(点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号)(1)填空：∠ADC=度，∠BCD=度；(2)求此时无人机与教学楼BC之间的水平距离BE的距离；(3)求教学楼BC的高度．【类型五“叠合”型】1(2023春·河南驻马店·九年级统考阶段练习)文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅，因塔建于天宁寺内，又名天宁寺塔；文峰塔建于五代后周广顺二年，已有一千余年历史，风格独特，具有上大下小的特点．由下往上一层大于一层，逐渐宽敞，是伞状形式，这种平台、莲座、辽式塔身、藏式塔刹的形制世所罕见．活动课上，数学社团的学生计划测量文峰塔的高度．如图所示，先在点C处用高1.6m的测角仪测得塔尖A的仰角为37°，向塔的方向前进12m到达F处，在F处测得塔尖A的仰角为45°，请你相关数据求出文峰塔的高度．(结果精确到1m，参考数据：，，，．)【变式训练】1(2023秋·山东聊城·九年级聊城市实验中学校考阶段练习)如图，小明为了测量小河对岸大树BC 的高度，他在点A 测得大树顶端B 的仰角为45°，沿斜坡走352米到达斜坡上点D ，在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF 的坡比为1:2，E ，A ，C 在同一水平线上．(1)求小明从点A 到点D 的过程中，他上升的高度．(2)大树BC 的高度约为多少米?(参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)2(2023·江苏苏州·校考二模)如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶点处测得古树顶端的仰角为，在这棵古树的正前方处，测得古树顶端的仰角为，在点处测得点的俯角为，已知为米，且、、三点在同一条直线上．(1)求平房的高度；(2)请求出古树的高度．(根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计)【类型六“斜截”型】1(2023春·辽宁阜新·九年级校考阶段练习)如图，在南北方向的海岸线上，有A ，B 两艘巡逻船，现均收到故障船C 的求救信号，已知A ，B 两船相距海里，船C 在船A 的北偏东方向上，船C 在船B 的东南方向上，上有一观测点D ，测得船C 正好在观测点D 的南偏东方向上．(1)求出A与C之间的距离．(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？(参考数据：，)【变式训练】1(2023·内蒙古·统考中考真题)某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上，其中．求河流的宽度(结果精确到1米，参考数据：)．2(2023春·江苏苏州·九年级统考期中)如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口C，途经某海域A处时，港口C的工作人员监测到点A在南偏东30°方向上，另一港口B的工作人员监测到点A在正西方向上．已知港口C在港口B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里．(1)求出此时点A到港口C的距离(计算结果保留根号)；(2)若该渔船从A处沿AC方向向港口C驶去，当到达点A 时，测得港口B在A 的南偏东75°的方向上，求此时渔船的航行距离(计算结果保留根号)．。

老师姓名学生姓名学管师学科名称年级上课时间月日_ _ :00-- __ :00 课题名称解直角三角形复习讲义教学重点教学过程【知识要点】：一、直角三角形的元素（边与角）的对应关系。

Eg：在Rt△ABC中，∠C=90°得：直角边：AC BC 斜边：AB 图形：.b a c锐角：∠B ∠A 直角：∠C二、直角三角形的相关性质：如图（1）：在Rt△ABC中，∠C=90°1、两锐角的关系：直角三角形的两个锐角互余。

∠A+∠B=90°2、三边关系：勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

BC2+ AC2 =AB2 或（a2+b2=c2）变形式子：BC2 =AB2- AC2，AC2 =AB2 -BC2……等的应用。

勾股定理逆定理：如果一个三角形的两条较短边的平方和等于较长边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

若：BC2+ AC2 =AB2 或（a2+b2=c2），则：△ABC是直角三角形，且∠C=90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

4、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。

5、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原来的直角三角形相似。

若：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D则：△ACD∽△CBD∽△ABC 对应边成比例6、射影定理：△ACD∽△ABC AC2=AD·AB△CBD∽△ABC BC2=BD·AB△ACD∽△CBD CD2=AD·DBCAbcBa图(1)7、边角关系：锐角三角函数（1）锐角∠A 、∠B （∠A+∠B=90°）的三角函数： 互余两角的三角函数关系 取值范围 全称 简写锐角∠A 的正弦sinA=斜边的对边A ∠=cosB 0＜sinA ＜1 Sine sin锐角∠A 的余弦cosA=斜边的邻边A ∠=sinB 0＜cosA ＜1 Cosine cos锐角∠A 的正切tanA=的邻边的对边A A ∠∠=cotB tanA ＞0 Tangent tan (或tg)锐角∠A 的余切cotA=的对边的邻边A A ∠∠=tanB cotA ＞0 Cotangent cot (或 ctg 、ctn)注：对于锐角∠A 的每一个确定的度数，其对应的三角函数值也是唯一确定的。