【教师必备】小学奥数5-4-1 约数与倍数(一).专项检测及答案解析

五年级奥数倍数问题讲座及练习答案五年级奥数集训专题讲座（三）——倍数问题倍数问题在整个小学阶段中非常重要。

我们主要从“和倍、差倍、和差”这三个方面来研究倍数问题。

为了解决倍数问题，我们需要理解以下数量关系式：①和÷（倍数＋1）=小数，小数×倍数=大数（和—小数=大数）②差÷（倍数—1）=小数，小数×倍数=大数（小数＋差=大数）③（和－差）÷2=小数，小数＋差=大数（和—小数=大数）④（和+差）÷2=大数，大数－差=小数（和—大数=小数）例1：三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米，三个队各筑多少米？分析：我们将乙队的米数看作“1”份，甲队筑的米数是2份。

假设丙队多筑240米，三个队共筑了1360+240=1600（米），正好是乙队的4倍。

因此，我们可以使用和倍问题来解答这个问题。

乙队：（1360+240）÷（2+1+1）=400（米），甲队：400×2=800（米），丙队：400－160=240（米）。

答案：甲队筑了800米，乙队筑了400米，丙队筑了240米。

巩固练】：三个植树队植树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少植300棵，三个队各植了多少棵？解析：因为甲队植树的棵数是乙队的2倍，我们可以将乙队植树的棵数看作“1”份。

乙队比___少植300棵，即丙队植树的棵数=乙队植树棵数+300棵。

因此，三个队植树的总棵数是乙队的4倍多300棵。

如果我们从植树总数里减去300，则正好是乙队的4倍。

因此，乙队植树棵数=（1900－300）÷（1+1+2）=400（棵），甲队植树棵数=400×2=800（棵），丙队植树棵数=400+300=700（棵）。

答案：甲队植了800棵，乙队植了400棵，丙队植了700棵。

例2：师徒两人加工同样多的一批零件，师傅加工了102个，徒弟加工了40个。

郑州小学六年级奥数练习之约数倍数11、用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？2、一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？3、有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米。

现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？4、加工某种机器零件，要经过三道工序。

第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？5、一次会餐供有三种饮料。

餐后统计，三种饮料共享了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料。

问参加会餐的人数是多少人？6、一张长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米。

要把它截成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大。

问：这样的正方形的边长是多少厘米？7、用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。

8、求1008、1260、882和1134四个数的最大公约数是多少？9、两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？10、求21672和11352的最小公倍数。

1。

甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是54，甲数是多少？乙数是多少？2。

一块长方形地面，长120米，宽60米，要在它的四周和四角种树，每两棵之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？3。

已知两个自然数的积是5766，它们的最大公约数是31。

求这两个自然数。

4。

兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次。

兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？5。

将长25分米，宽20分米，高15分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能大的立方体，不能有剩余，每个立方体的体积是多少？一共可锯多少块？6。

一箱地雷，每个地雷的重量相同，且都是超过1的整千克数，去掉箱子后地雷净重201千克，拿出若干个地雷后，净重183千克。

四约数与倍数（A）_____ 年级______ 班姓名___________ 得分______一、填空题1 . 28的所有约数之和是 ______ .2. 用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有________ 中不同的拼法•3. 一个两位数，十位数字减个位数字的差是28的约数,十位数字与个位数字的积是24.这个两位数是______ .4. 李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组，总共种树667棵，如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____ 人.5. 两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,则这两个数的差是________ .6. 现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数，桔数相等,最多可分给 _____ 小朋友,每个小朋友得梨_______ 个,桔 _____ 个.7. 一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片_____ 块.8. 长180厘米,宽45厘米,高18厘米的木料，能锯成尽可能大的正方体木块（不余料）__ 块.9. 张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若干个，又以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出，如果他要赚得10元钱利润，那么他必须卖出苹果_____ 个.10. 含有6个约数的两位数有______ 个.11. 写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1,但两两均不互质，请问有多少组这种解？12. 和为1111的四个自然数，它们的最大公约数最大能够是多少？13. 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳4丄米，黄鼠狼每次跳2-米,2 4它们每秒钟都只跳一次.比赛途中，从起点开始每隔12-米设有一个陷井，当它们8之中有一个掉进陷井时，另一个跳了多少米？14. 已知a与b的最大公约数是12, a与c的最小公倍数是300,b与c的最小公倍数也是300,那么满足上述条件的自然数a, b, c共有多少组？（例如：a=12、b=300、c=300,与a=300、b=12、c=300是不同的两个自然数组）--------------------------- 答案 -------------------------------------------- 答案：1. 5628的约数有1,2,4,7,14,28,它们的和为1+2+4+7+14+28=56.2. 4因为105 的约数有1,3,5,7,15,21,35,105 能拼成的长方形的长与宽分别是105和1,35和3,21与5,15与7.所以能拼成4种不同的长方形.3. 64因为28=2 2 7,所以28的约数有6个:1,2,4,7,14,28. 在数字0,1,2,…，9 中，只有6与4之积，或者8与3之积是24，又6-4=2，8-3=5.故符合题目要求的两位数仅有64.4. 28因为667=23 29, 所以这班师生每人种的棵数只能是667 的约数:1,23,29,667. 显然,每人种667棵是不可能的.当每人种29棵树时,全班人数应是23-1=22,但22不能被4整除,不可能.当每人种23棵树时,全班人数应是29-1=28,且28恰好是4的倍数,符合题目要求.当每人种 1 棵树时, 全班人数应是667-1=666, 但666 不能被 4 整除, 不可能. 所以, 一班共有28 名学生.5. 40 或20两个自然数的和是50,最大公约数是5,这两个自然数可能是5和45,15 和35,它们的差分别为(45-5=)40,(35-15=)20, 所以应填40或20.［注］这里的关键是依最大公约数是5的条件,将50分拆为两数之和:50=5+45=15+35.6. 36,1,3.要把梨36个、桔子108个分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔子相等，小朋友的人数一定是36的约数，又要是108的约数，即一定是36和108 的公约数.因为要求最多可分给多少个小朋友,可知小朋友的人数是36和108的最大公约数.36 和108的最大公约数是36,也就是可分给36个小朋友.每个小朋友可分得梨: 36 36=1( 只)每个小朋友可分得桔子: 108 36=3( 只)所以,最多可分得36个小朋友,每个小朋友可分得梨1只,桔子3只.7. 56剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长48厘米及宽42厘米,所以它是48 与42的公约数,题目又要求剪出的正方形最大, 故正方形的边长是48与42 的最大公约数.因为48=2 2 2 2 3,42=2 3 7,所以48与42的最大公约数是 6.这样,最大正方形的边长是6厘米.由此可按如下方法来剪:长边每排剪8块,宽边可剪7 块,共可剪(48 6) (42 6)=8 7=56(块)正方形布片.8. 200根据没有余料的条件可知长、宽和高分别能被正方体的棱长整除, 即正方体的棱长是1 80,45和1 8的公约数.为了使正方体木块尽可能大,正方体的棱长应是180、45和18的最大公约数.180,45 和18的最大公约数是9,所以正方体的棱长是9厘米.这样,长180厘米可公成20段,宽45厘米可分成5段,高18厘米可分成2段.这根木料共分割成(180 9) (45 9) (18 9)=200块棱长是9厘米的正方体.9. 150根据3与5的最小公倍数是 1 5,张老师傅以5元钱买进15个苹果,又以6元钱卖出15个苹果,这样,他15个苹果进与出获利1元.所以他获利10元必须卖出150个苹果.10. 16含有6个约数的数，它的质因数有以下两种情况：一是有5个相同的质因数连乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用M表示含有6个约数的数，用a和b表示M的质因数，那么M a5或M a2 b因为M是两位数，所以M= a5只有一种可能M=25，而M= a2 b就有以下15种情况：M223,M225,M227，M2211,M2213,M2217，M2219, M2223, M322，M325,M327,M3211，M522,M523,M722.所以,含有6个约数的两位数共有15+1=16(个)11. 三个数都不是质数，至少是两个质数的乘积，两两之间的最大公约数只能分别是2,3和5,这种自然数有6,10,15和12,10,15及18,10,15三组.12. 四个数的最大公约数必须能整除这四个数的和，也就是说它们的最大公约数应该是1111的约数.将1111作质因数分解，得1111=11 101最大公约数不可能是1111,其次最大可能数是101.若为101,则将这四个数分别除以101,所得商的和应为11.现有1+2+3+5=11,即存在着下面四个数101,101 2,101 3,101 5,它们的和恰好是101 (1+2+3+5)=101 11=1111,它们的最大公约数为101.所以101为所求.13. 黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是2-与123的“最小公倍数” 99，4 8 4qq 11 1 3即跳了99 ^=9次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是41和123的4 4 2 8“最小公倍数” 99，即跳了99 -=11次掉进陷井.2 2 2经过比较可知，黄鼠狼先掉进陷井，这时狐狸已跳的行程是14- 9=40.5（米）.14. 先将12、300分别进行质因数分解:12=2 2 3300=2 2 3 52(1)确定a的值.依题意a只能取12或12 5(=60)或12 25(=300). ⑵确定b的值.当a=12时，b可取12,或12 5,或12 25；当a=60,300时，b都只能取12.所以,满足条件的a、b共有5组：ra=12 r a=12 r a=12 r a=60 j a=300[b=12, I b=60, I b=300, 1 b=12, t b=12.（3）确定a, b, c的组数.对于上面a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值：2 2 2 2 2 2 2 25，5 2, 5 2，5 3, 5 2 3, 5 2 3, 即卩25, 50, 100, 75, 150, 300.所以满足条件的自然数a、b、c共有5 6=30 （组）。

1. 能够根据除法性质调整余数进行解题2. 能够利用余数性质进行相应估算3. 学会多位数的除法计算4.根据简单操作进行找规律计算带余除法的定义及性质 1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

2、余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；⑵ 余数小于除数．3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．除法公式的应用【例 1】 某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于 。

【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第2题，5分例题精讲知识点拨教学目标5-5-1.带余除法（一）【解析】125【答案】125【例 2】一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。

【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第3题【解析】因为最大的三位数为999，999362727÷=，所以满足题意的三位数最大为：⨯+=36278980【答案】980【巩固】计算口÷△，结果是：商为10，余数为▲。

五年级奥数题及答案：约数倍数问题(高等难度)
结合目前学生的学习进度，查字典数学网为大家准备了小学五年级奥数题，希望小编整理奥数题约数倍数问题(高等难度)，可以帮助到你们!一分耕耘一分收获!奥数习题万变不离其宗，相信大家平时多动脑、多练习、多积累，掌握学习方法与技巧，通过自己的努力，一定能够取得优异的成绩!
约数倍数：(高等难度)
若 a , b , c 是三个互不相等的大于0的自然数，且a + b + c = 1155 ，则它们的最大公约数的最大值为()，最小公倍数的最小值为()，最小公倍数的最大值为()
约数倍数答案：
解答：165、660、57065085
1) 由于a + b + c = 1155，而
1155=3×5×7×11。

令a=mp，b=mq，c=ms.m 为a，b，c的最大公约数，则p+q+s最小取7。

此时m=165.
2) 为了使最小公倍数尽量小，应使三个数的最大公约数m
尽量大，并且使A，B，C的最小公倍数尽量小，所以应使m=165，A=1，B=2，C=4，此时三个数分别为165，330，660，它们的最小公倍数为660，所以最小公倍数的最小值为660。

3) 为了使最小公倍数尽量小，应使三个数两两互质且乘积尽量大。

当三个数的和一定时，为了使它们的乘积尽量大，应使它们尽量接近。

由于相邻的自然数是互质的，所以可以令1155=384+385+386，但是在这种情况下384和386有公约数2，而当1155=383+385+387时，三个数两两互质，它们的最小公倍数为383×385×387=57065085，即最小公倍数的最大值为57065085。

1.学习完全平方数的性质； 2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程3. 掌握完全平方数的综合运用。

一、完全平方数常用性质 1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。

不可能是2，3，7，8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。

2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N 为完全平方数⇔自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则2|n p N ．性质4：完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．3.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。

5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。

6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是知识点拨教学目标5-4-4.完全平方数及应用（一）完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

学科培优数学“约数、倍数、完全平方数”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲中的知识点并不难理解,对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过,所以重点在于一些性质的应用,完全平方数在考试中经常出现,所以对于平方差公式还有一些主要性质一定要记住.知识梳理一、最大公约数与最小公倍数的常用性质(1)两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质。

即若(,),(,),=⨯=⨯那么(,)1a b=A a a bB b a b(2)两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。

即(,)[,]⨯=⨯a b a b a b(3)对于任意3个连续的自然数,如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇,那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数b)偶奇偶,那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍二、约数个数与所有约数的和(1)求任一整数约数的个数：一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。

(2)求任一整数的所有约数的和：一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后,将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和,然后再将这些得到的和相乘,乘积便是这个合数的所有约数的和。

三、完全平方数常用性质1.主要性质●完全平方数的尾数只能是0,1,4,5,6,9。

不可能是2,3,7,8。

●在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

●完全平方数的约数个数是奇数,约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

●若质数p整除完全平方数2a,则p能被a整除。

2.一些推论●任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

●一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

●自然数的平方末两位只有：00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,16,36,56,76,96。

约数与倍数【约数问题】例1 用1155个同样大小的正方形拼成一个长方形，有______种不同的拼法。

（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：不论拼成怎样的长方形，它们的面积都是1155。

而长方形的面积等于长乘以宽。

所以，只要将1155分成两个整数的积，看看有多少种方法。

一般来说，约数都是成对地出现。

1155的约数共有16个。

16÷2=8（对）。

所以，有8种不同的拼法。

例2 说明：360这个数的约数有多少个？这些约数之和是多少？（全国第三届“华杯赛”决赛第一试试题）讲析：将360分解质因数，得360=2×2×2×3×3×5=23×32×5。

所以，360的约数个数是：（3+1）×（2+1）×（1+1）=24（个）这24个约数的和是：例3 一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。

这个数当然有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？（全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题）讲析：这个数是2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7。

把两位数从99、98、……开始，逐一进行分解：99=3×3×11； 98=2×7×7；97是质数； 96=2×2×2×2×2×3。

发现，96是上面数的约数。

所以，两位数的约数中，最大的是96。

例4 有8个不同约数的自然数中，最小的一个是______。

（北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题）讲析：一个自然数N，当分解质因数为：因为8=1×8=2×4=2×2×2，所以，所求自然数分解质因数，可能为：27，或23×3，或2×3×5，……不难得出，最小的一个是24。

第九讲约数、倍数和最大公约数、最小公倍数9.1约数、倍数[同步巩固演练]1、试求下列各数的约数的个数：（1）3136；（2）463052、试求下列各数的约数的和：（1）1998：（2）162003、甲数的2倍等于乙数，乙数的3倍等于丙数，丙数的4倍等于甲数，求甲数。

4、100以内能被3与7整除的最大奇数是几？最大偶数是几？5、小于200的有14个约数的自然数是多少？6、有奇数个约数的三位数是多少个？7、在所有两位数中，哪个数的约数最多？最多有多少个约数？8、有12个数约数的最小自然数是几？9、求出不大于30且有八个约数的最大自然数。

10、求小于1000的只有15个约数的最大自然数。

11、能同时被2，3，5，7整除的最小四位数是几？12、把316表示成两个数的和，使其中一个是13的倍数，另一个是11倍的数，求此二个数。

13、四个连续的自然数的积是3024，求此四个数。

14、十个连续的三位数，最大不超过130，这十个数的和是77倍数，求这十个数。

[能力拓展平台]1、求50至70之间只有4个不同约数的所有自然数。

2、已知a有8个约数，b有9个约数，且a、b的最大公约数是12，试求a与b。

3、一个数的约数中，将所有约数两两求和，所有的和中，最小的是3，最大的是1200，求这个数。

4、修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数，问修改后的这个数是几？5、一个数如果等于除它本身外的所有约数的和，则称此数为完全数，已知30以内有两个完全数，试把它们找出来，并请找出，在496，996，4128中哪几个完全数？6、一串数排成一行，头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，即1，1，2，3，5，8，13，21，…。

在这串数的前2000个数中，共有多少个6的倍数。

9.2 最大公约数、最小公倍数[同步巩固演练]1、求35，98，112的最大公约数与最小公倍数。

2、求403，527，713的最大公约数与最小公倍数。

四 约数与倍数 (A)年级班 姓名 得分一、填空题1 ．28 的所有约数之和是 _____. 2. 用 105 个大小相同的正方形拼成一个长方形, 有 _____种不同的拼法 .3. 一个两位数 , 十位数字减个位数字的差是 28 的约数 , 十位数字与个位数字的积是 24. 这个两位数是 _____.4. 李老师带领一班学生去种树 , 学生恰好被平均分成四个小组 , 总共种树 667 棵, 如果师生每人种的棵数一样多 , 那么这个班共有学生 _____人 .5. 两个自然数的和是 50, 它们的最大公约数是 5, 则这两个数的差是 _____.6. 现有梨 36 个, 桔 108 个 , 分给若干个小朋友 , 要求每人所得的梨数 , 桔数相 等 , 最多可分给 _____个小朋友 , 每个小朋友得梨 _____个 , 桔 _____个.7. 一块长 48 厘米、宽 42 厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形 布片 _____块 .8. 长 180 厘米 , 宽 45 厘米 , 高 18 厘米的木料 , 能锯成尽可能大的正方体木块 ( 不余料 )_____ 块.9. 张师傅以 1 元钱 3 个苹果的价格买苹果若干个 , 又以 2 元钱 5 个苹果的价格将这些苹果卖出 , 如果他要赚得 10 元钱利润 , 那么他必须卖出苹果 _____个 .10. 含有 6 个约数的两位数有 _____个 . 11．写出小于 20 的三个自然数，使它们的最大公约数是 1，但两两均不互质，请问有多少组这种解？12．和为 1111 的四个自然数，它们的最大公约数最大能够是多少？13．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳 4 1 米，黄鼠狼每次跳2 3 米，24 它们每秒钟都只跳一次 . 比赛途中 , 从起点开始每隔 12 3米设有一个陷井 , 当它们 8之中有一个掉进陷井时 , 另一个跳了多少米 ?14. 已知 a 与 b 的最大公约数是 12, a 与 c 的最小公倍数是 300, b 与 c 的最 小公倍数也是 300, 那么满足上述条件的自然数 a, b, c 共有多少组 ?( 例如 : a=12、b=300、c=300，与 a=300、b=12、c=300 是不同的两个自然数组 )———————————————答 案——————————————————————答 案:1． 5628 的约数有 1,2,4,7,14,28,它们的和为1+2+4+7+14+28=56.2. 4因 105 的数有105 和 1,35 和 3,21 与1,3,5,7,15,21,35,1055,15 与 7. 所以能拼成能拼成的方形的与分是4 种不同的方形 .3. 64因 28=2 2 7, 所以 28 的数有 6 个:1,2,4,7,14,28.在数字中，只有 6 与 4 之，或者 8 与 3 之是 24，又 6-4=2，8-3=5.故符合目要求的两位数有64.0,1,2,⋯，94. 28因667=23 29, 所以班生每人种的棵数只能是667 的数:1,23,29,667. 然 , 每人种 667 棵是不可能的 .当每人种 29 棵 , 全班人数是 23-1=22, 但 22 不能被 4 整除 , 不可能 .当每人种 23 棵 , 全班人数是29-1=28, 且 28 恰好是 4 的倍数 , 符合目要求 .当每人种 1 棵 , 全班人数是 667-1=666, 但 666 不能被 4 整除 , 不可能 .所以 , 一班共有 28 名学生 .5. 40或20两个自然数的和是50, 最大公数是35, 它的差分 (45-5=)40,(35-15=)20,5, 两个自然数可能是所以填 40 或 20.5 和45,15和[ 注 ] 这里的关键是依最大公约数是 5 的条件, 将50 分拆为两数之和:50=5+45=15+35.6. 36,1,3.要把梨 36 个、桔子 108 个分若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔子相等，小朋友的人数一定是36 的数，又要是 108 的数，即一定是 36 和 108的公数 . 因要求最多可分多少个小朋友, 可知小朋友的人数是36 和 108 的最大公数 .36 和 108 的最大公数是36, 也就是可分 36 个小朋友 .每个小朋友可分得梨 : 3636=1( 只)每个小朋友可分得桔子 : 10836=3( 只)所以 , 最多可分得 36 个小朋友 , 每个小朋友可分得梨 1 只, 桔子 3 只.7. 56剪出的正方形布片的能分整除方形的48 厘米及 42 厘米 , 所以它是 48 与 42 的公数 , 目又要求剪出的正方形最大, 故正方形的是48 与42 的最大公数 .因 48=222 23,42=2 3 7, 所以 48 与 42 的最大公数是 6., 最大正方形的是 6 厘米 . 由此可按如下方法来剪 : 每排剪 8 , 可剪 7, 共可剪 (486)(426)=87=56( ) 正方形布片 .8.200根据没有余料的条件可知、和高分能被正方体的棱整除, 即正方体的棱是180,45 和 18 的公数 . 了使正方体木尽可能大 , 正方体的棱是180、45 和 18 的最大公数 .180,45 和 18 的最大公数是 9, 所以正方体的棱是 9 厘米 . , 180 厘米可公成 20 段, 45 厘米可分成 5 段, 高 18 厘米可分成 2 段. 根木料共分割成 (180 9)(45 9) (18 9)=200 棱是 9 厘米的正方体 .9. 150根据 3 与 5 的最小公倍数是15, 老傅以 5 元15 个苹果 , 又以 6 元钱卖出 15 个苹果 , 这样 , 他 15 个苹果进与出获利150 个苹果 . 1 元. 所以他获利10 元必须卖出10. 16含有 6 个约数的数 , 它的质因数有以下两种情况 : 一是有 5 个相同的质因数连乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用 M 表示含有 6 个约数的数，用 a 和 b 表示 M 的质因数，那么Ma 5 或 Ma 2b因为 M 是两位数，所以 M= a 5 只有一种可能 M=25 ，而 M= a 2b 就有以下15 种情况：M 22 3, M 22 5, M 22 7 ， M22 11, M 22 13, M 2 2 17 ， M 22 19, M 22 23, M32 2 ，M 32 5, M32 7, M 32 11 ，M52 2, M 52 3, M 7 22 .所以 , 含有 6 个约数的两位数共有 15+1=16(个)11. 三个数都不是质数 , 至少是两个质数的乘积 , 两两之间的最大公约数只能分别是 2,3 和 5, 这种自然数有 6,10,15 和 12,10,15 及 18,10,15 三组 .12. 四个数的最大公约数必须能整除这四个数的和 , 也就是说它们的最大公约数应该是 1111 的约数 . 将 1111 作质因数分解 , 得1111=11 101最大公约数不可能是 1111, 其次最大可能数是 101. 若为 101, 则将这四个数分别除以 101, 所得商的和应为 11. 现有1+2+3+5=11, 即存在着下面四个数101,101 2,101 3,101 5,它们的和恰好是101 (1+2+3+5)=101 11=1111, 它们的最大公约数为 101. 所以 101 为所求 .13.黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是 2 3 与 12 3 的“最小公倍数”99，4 84即跳了9911=9 次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是4 1 和 12 3的442 8“最小公倍数”99，即跳了999=11 次掉进陷井 .2 2 2经 过 比 较 可 知 , 黄 鼠 狼 先 掉 进 陷 井 , 这 时 狐 狸 已 跳 的 行 程 是149=40.5( 米).214.先将 12、 300 分别进行质因数分解：312=22300=23522(1)确定 a 的值 . 依题意 a 只能取 12 或 12 5(=60) 或 12 25(=300).(2)确定 b 的值 .当 a=12 时, b 可取 12, 或 125, 或 1225；当a=60,300 时， b 都只能取 12.所以 , 满足条件的 a、b 共有 5 组：a=12a=12a=12a=60a=300b=12,b=60,b=300,b=12,b=12.(3) 确定 a, b, c 的组数 .对于上面 a、b 的每种取值，依题意， c 均有 6 个不同的值：52，522，22，522223，即 25，，，，，523，5 2 3，5250 100 75 150 300.所以满足条件的自然数 a、b、c 共有 56=30（组）。

约数和倍数的定义：如果一个自然数a 能被自然数b 整除，那么称a 为b 的倍数，b 为a 的约数． 最大公约数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数．在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数．例如：(8,12)4=，(6,9,15)3=．最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数．在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数．例如：[]8,1224=，[]6,9,1590=．最小公倍数最大公约数1.求最小公倍数的方法：①分解质因数的方法；例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以[]22231,252237112772=⨯⨯⨯=；②短除法求最小公倍数；例如：2181239632，所以[]18,12233236=⨯⨯⨯=；③[,](,)a b a b a b ⨯=． 2.最小公倍数的性质：①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．第三讲约数与倍数【例 1】 【基础】1）36、40、52、75这四个数中，哪些数含有约数2？2）36、40、52、75这四个数中，哪些数含有约数5？3）36、40、52、75这四个数中，哪些数含有约数10？【分析】1）223623=⨯，34025=⨯，252213=⨯，27535=⨯，含有约数2的有：36、40、52；2）含有约数5的有：40、75；3）含有约数10的有：40。

【提高】1）36、42、52、72这四个数中，哪些数含有约数4？2）36、42、52、72这四个数中，哪些数含有约数3？3）36、42、52、72这四个数中，哪些数含有约数12？【分析】1）223623=⨯，42237=⨯⨯，252213=⨯，327223=⨯，含有约数4的有：36、52、72；2）含有约数3的有：36、42、72；3）含有约数12的有：36、72。

问答互动环节设计思路
自动评分
利用课件的自动评分功能，对学生的测验结果进行客观评价。
反馈与建议
根据学生的测验成绩和表现，提供针对性的反馈和建议，帮助学生改进学习方法。
设计测验题目
根据教学目标和内容，设计合理的测验题目，检验学生学习效果。
测验反馈机制构建策略
导航菜单优化建议
清晰明了
确保导航菜单清晰明了，方便学生快速找到所需内容。
例2
答案揭秘
第一群只数:5、10、15……
第二群只数:4、8、12……
第三群只数:3、6、9……
三群总只数:12、24、36……
60÷12=5 120÷24=5……
花生总数:60、120、180 ……
答:每只猴子可得5粒花生。
举一反三
练习1
用945个同样大小的正方形拼成一个长方形,有______种不同的拼法。
图片选择与处理
为图片添加必要的标注和说明文字，帮助观众更好地理解和记忆图片内容。
图片标注与说明
将多张图片进行排版和组合，形成具有逻辑关系和视觉冲击力的图表或画廊效果。
图片排版与组合
图片编辑与美化方法
选用通用的音频视频格式，确保课件能够在不同设备和平台上正常播放。
音频视频格式选择
对音频视频素材进行必要的剪辑、合并、添加字幕等处理，提高课件的观赏性和实用性。
从第一次同时发车到第二次同时发车 的时间是3,5,9,15和10的最小公倍数。
规 律 总 结
练习2
9,15和10的最小公倍数是90, 所以3,5,9,15和10的最小公倍数也是90。 从第一次同时发车后90 分钟又同时发第二次车。
参 考 答 案
方法
应用

第十讲约数与倍数在前面的章节，我们学习了数论中的整除和质数合数等知识．今天，我们来学习数论中有关约数与倍数的知识．约数和倍数的定义是这样的：对整数a和b，如果|a b，我们就称a是b的约数（因数），b是a的倍数．=⨯=⨯=⨯，根据定义，我们很容易找到一个数的所有约数，例如对12：因为121122634可知12可以被1、2、3、4、6、12整除，那么它的约数有1、2、3、4、6、12，共6个．从上面12的分拆可以看出，约数具有“成对出现．．．．”的特征，也就是：最大约数对应最小约数、第二大约数对应第二小约数等．所以在写一个数的所有约数时，可以逐对写出．另外如果计算较大约数不太方便，可以转而计算与其成对的较小约数．例题1．12345654321的第三大约数是多少？「分析」第三大约数有点大，那我们可以先求出第三小的约数，再根据它计算第三大的约数．12345678987654321的第二大约数是多少？从上面的分析知，可以通过枚举的方法逐对写出一个数的所有约数，从而可就算出它的约数个数．但是对很大的数，例如20120000，用枚举来计算个数便很麻烦，所以我们要采用新的方法计算．以72为例，首先采用枚举可知72共12个约数，分别为1、72；2、36；3、24；4、18；6、12；8、9．因为72的约数能整除72，而72的所有质因数也都能整除72，所以对72进行质因数分解，有：32=⨯，那么72的所有约数应当由若干个2与若干个3构成．显7223然，2有0个到3个共4种选择；3有0个到2个共3种选择，根据乘法原理，72的约数共⨯=个，见下表（注意0214312=、031=）：从72的这个例子，我们可以总结出计算约数个数的一个简单做法：约数个数等于指数加1再相乘例题2．下列各数分别有多少个约数？23， 64， 75， 225， 720．「分析」熟练掌握约数个数的计算公式即可．下列各数分别有多少个约数？18， 47， 243， 196， 450．例题3．3600有多少个约数？其中有多少个是3的倍数？有多少个是4的倍数？有多少个不是6的倍数？「分析」约数既然能整除3600，那说明约数一定包含在3600的因数中．我们知道4223600235=⨯⨯，那么3600的所有约数一定是由若干个2、若干个3和若干个5组成的．如果约数是3的倍数，那么它至少要含有多少个3？3456共有多少个约数？其中有多少个是3的倍数？有多少个是4的倍数？有多少个不是6的倍数？前面介绍过，一个数的约数具有“可配对”的特点，在练习时大家可以发现，平方数在进行配对时会出现两个重复的数，所以平方数有奇数个约数，根据上面关于约数个数的知识我们可以知道，有奇数个约数的数一定是平方数．．．．．．．．．．．．．．，有偶数个约数的数一定不是平方数．．．．．．．．．．．．．．．． 72 20 21 22 23 30 00231⨯= 10232⨯= 20234⨯= 30238⨯= 31 01233⨯= 11236⨯=212312⨯=312324⨯= 3202239⨯=122318⨯= 222336⨯=322372⨯=例题4．在小于1000的正整数中，有多少个数有奇数个约数？「分析」有奇数个约数的数一定是平方数，所以只要找出有多少个平方数小于1000即可．在2000到3000中，有多少个数有奇数个约数？把一个数分解质因数后，可以知道它的约数个数，反过来，如果知道一个数的约数个数，虽然并不能知道这个数是多少（例如6和10都有4个约数），但可以知道这个数的质因数分解式的形式，例如有2个约数的数一定是质数，有4个约数的数是3a 或b c ⨯（a 、b 、c 都是质数）．下面以16个约数为例，来看一下如何反求质因数分解式：先对16进行分解：1628442242222=⨯=⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯． 所以质因数分解式为：15、7⨯、33⨯、3⨯⨯、⨯⨯⨯．例题5．有12个约数的数最小是多少？有多少个两位数的约数个数是12个？「分析」有12个约数的数有什么样的特点呢？2310823=⨯，根据约数个数的计算方法可知108有12个约数．除此之外，3223⨯，3225⨯，甚至形如32a b ⨯（a 、b 为不同的质数）均有12个约数．想一想还有没有其他的可能？关于约数的另一类问题是计算约数和，下以72为例，先利用上面的表格列出72的所有约数，并计算出行和：现在把3个行和相加，得到72的约数和是()()012301222223331513195+++⨯++=⨯=．72 20 21 22 23 行和30 0023⨯ 1023⨯ 2023⨯ 3023⨯ 01230(2222)3+++⨯ 31 0123⨯1123⨯2123⨯3123⨯01231(2222)3+++⨯ 320223⨯ 1223⨯ 2223⨯ 3223⨯01232(2222)3+++⨯根据这个例子，我们可以总结出计算约数和的一般方法：32a b c ⨯⨯的约数和为()()()232111a a a b b c +++⨯++⨯+．例题6．计算下列数的约数和：108、144． 「分析」熟练掌握约数和的计算公式即可．完全数（perfect number）如果一个自然数的真因子（除了自己以外的约数）之和恰好等于这个数本身，这个数就被叫做完全数．完全数又称完美数或完备数，是一类特殊的自然数．利用本讲学过的知识不难知道6和28是最小的两个完全数．公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全数．毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身．”不过，或许印度人和希伯来人早就知道它们的存在了．有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字，他们指出，创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数．圣·奥古斯丁说：“6这个数本身就是完全的，并不因为上帝造物用了六天；事实恰恰相反，因为这个数是一个完数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了．”完全数诞生后，吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找．它很久以来就一直对数学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力，他们没完没了地找寻这一类数字．接下去的两个完全数是公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员尼克马修斯发现的，他在其《数论》一书中有一段话如下：“也许是这样：正如美的、卓绝的东西是罕有的，是容易计数的，而丑的、坏的东西却滋蔓不已；是以盈数（真因子之和大于自身的数）和亏数（真因子之和小于自身的数）非常之多，杂乱无章，它们的发现也毫无系统．但是完全数则易于计数，而且又顺理成章：因为在个位数里只有一个6；十位数里也只有一个28；第三个在百位数的深处，是496；第四个却在千位数的尾巴上，接近一万，是8128．它们具有一致的特性：尾数都是6或8，而且永远是偶数．”第五个完全数要大得多，是33550336，它的寻求之路也艰难得多，直到十五世纪才由一位无名氏给出．这一寻找完全数的努力从来没有停止．电子计算机问世后，人们借助这一有力的工具继续探索．笛卡尔曾公开预言：“能找出完全数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美人亦非易事．”时至今日，人们一直没有发现有奇完全数的存在．于是是否存在奇完全数成为数论中的一大难题．目前，只知道即便有，这个数也是非常之大，并且需要满足一系列苛刻的条件．作业1.111111111的第二大的约数是多少？作业2.79、128、180分别有多少个约数？作业3.在小于200的正整数中，有多少个数有偶数个约数？作业4.36的所有约数的和是多少？90的所有约数的和是多少？作业5.240有多少个约数？其中有多少个奇约数？有多少个约数是3的倍数？第十讲 约数与倍数例题1. 答案：1763664903详解：12345654321最小的约数是1，第二小的约数是3，第三小的约数是7，那么第三大的约数是1234565432171763664903÷=．例题2. 答案：2；7；6；9；30详解：23为质数，质数有2个约数．6642=，有617+=个约数．27535=⨯，有11216+⨯+=（）（）个约数．2222535=⨯，有21219+⨯+=（）（）个约数．42720235=⨯⨯，有41211130+⨯+⨯+=（）（）（）个约数．例题3. 答案：45；30；27；21 详解：4223600235=⨯⨯，有41212145+⨯+⨯+=（）（）（）个约数．41112130+⨯+⨯+=（）（）（），有41112130+⨯+⨯+=（）（）（）个约数是3的倍数．42222236002354235=⨯⨯=⨯⨯⨯（），有21212127+⨯+⨯+=（）（）（）个约数是4的倍数．4223236002356235=⨯⨯=⨯⨯⨯（），有31112124+⨯+⨯+=（）（）（）个约数是6的倍数，不是6的倍数的约数有21个．例题4. 答案：31详解：平方数有奇数个约数．1000以内的平方数有22221,2,331，因此有31个数有奇数个约数．例题5. 答案：60，5详解：有12个约数的数分解质因数后，可能是11、5⨯、23⨯、2⨯⨯；对应的最小数分别是2048、96、72、60，那么最小的就是60．其中的两位数除了60、72、96之外还有84和90，共5个．例题6. 答案：（1）280；（2）403 详解：（1）2310823=⨯，它的所有约数之和是()()12413927280++⨯+++=．（2）4214423=⨯，它的所有约数之和是()()124816139403++++⨯++=．练习1. 答案：4115226329218107简答：约数是成对出现的，最大的约数对应最小的约数，第二大的约数对应第二小的约数，12345678987654321的第二小的约数是3，对应的第二大的约数是1234567898765432134115226329218107÷=．练习2. 答案：6，2，6，9，18简答：分解质因数后，指数加1连乘即可．练习3. 答案：32；24；24；11简答：73345623=⨯，约数有8432⨯=个．其中3的倍数有8324⨯=个，4的倍数有6424⨯=个，6的倍数有7321⨯=个，那么有322111-=个不是6的倍数．练习4. 答案：10简答：2000~3000之间的平方数有245、246、…、254，共10个，只有这10个数有奇数个约数．作业1. 答案：37037037简答：111111111第二小的约数为3，因此第二大的约数为．作业2. 答案：2个；8个；18个简答：提示，牢记计算约数个数的方法，并能准确分解质因数．作业3. 答案：185个简答：平方数有奇数个约数，小于200的平方数有，共14个，因此有偶数个约数的数有185个．作业4. 答案：91；234简答：提示，牢记求约数和的公式，并能准确分解质因数． 作业5.答案：20个；4个；10个简答：4240235=⨯⨯，有41111120+⨯+⨯+=（）（）（）个约数．奇约数即不含有因子2，有11114+⨯+=（）（）个奇约数，有10个约数是3的倍数．22221,2,314111111111337037037÷=。

1. 能够根据除法性质调整余数进行解题2. 能够利用余数性质进行相应估算3. 学会多位数的除法计算4. 根据简单操作进行找规律计算带余除法的定义及性质1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

2、余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；⑵ 余数小于除数．3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能知识点拨教学目标5-5-1.带余除法（一）够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题精讲除法公式的应用【例 1】某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于。

【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第2题，5分【解析】125【答案】125【例 2】一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。

【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第3题【解析】因为最大的三位数为999，999362727÷=，所以满足题意的三位数最大为：⨯+=36278980【答案】980【巩固】计算口÷△，结果是：商为10，余数为▲。

年级五年级学科奥数版本通用版课程标题约数与倍数（一）求最大公约数的基本方法：1. 分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

2. 短除法：先找出公有的约数，然后相乘。

3. 辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能整除的那个余数，就是所求的最大公约数。

求最小公倍数的方法：1. 分解质因数法：先分解质因数，相同的质因数只取一个，各自独有的质因数全部乘进去。

2. 短除法：先除以各数的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止，把所有的除数和最后的两个商连乘起来。

1. 约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

2. 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。

我们可以把自然数a、b的最大公约数记作（a、b），如果（a、b）＝1，则a和b互质。

3. 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

我们可以把自然数a、b的最小公倍数记作[a、b]，当（a、b）＝1时，[a、b]＝a×b。

4. 最大公约数和最小公倍数的关系：两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

5. 最大公约数的性质：①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质的。

②几个数的最大公约数都是这几个数的约数。

③几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。

④几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘m。

6. 最小公倍数的性质：两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

例128的所有约数之和是_____。

分析与解：一个数的约数包括1及其本身，28的约数有1、2、4、7、14、28，它们的和为1＋2＋4＋7＋14＋28＝56。

例2 用105个大小相同的正方形拼成一个长方形，有_____种不同的拼法。

分析与解：长方形的面积是105个大小相同的正方形的面积总和，同时还等于长乘宽，所以需要找出两个数相乘结果是105的所有情况。

约数与倍数一、 约数、公约数与最大公约数概念(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a 能被整数b 整除，a 叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数；(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；(3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；(4)0被排除在约数与倍数之外1． 求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=； ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=L ；6003151285÷=L ；315285130÷=L ；28530915÷=L ；301520÷=L ；所以1515和600的最大公约数是15．2． 最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ．3． 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；b a即为所求．4． 约数、公约数最大公约数的关系（1）约数是对一个数说的；（2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数二、倍数的概念与最小公倍数(1)倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数(2)公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数(3)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。

20181213小学奥数练习卷（知识点：约数个数与约数和定理）含答案解析）小学奥数练习卷（知识点：约数个数与约数和定理）题号一二三总分得分注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共 1 小题） 1．恰有 20 个因数的最小自然数是（） A．120 B．240 C．360 D．432 第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共 40 小题） 2．写出不大于 100 且恰有 8 个约数的所有自然数是． 3．已知自然数 n 有 10 个约数，2n 有 20 个约数，3n 有 15 个约数，那么 6n 有个约数． 4．一个自然数恰有 48 个约数，并且其中有10 个连续的自然数，那么这个数的最小值是． 5．自然数 N 有很多个约数，把它的这些约数两两求和得到一组新数，其中最小的为 4，最大的为 2684，N 有个约数． 6．四位数的所有因数中，有 3 个是质数，其它 39 个不是质数．那么，四位数有个因数．7．四位数的约数中，恰有 3 个是质数，39 个不是质数，四位数的值是． 8．大于 0 的自然数，如果满足所有因数之和等于它自身的 2 倍，则这样的数称为完美数或完全数．比如，6 的所有因数为 1，2，3，6，1+2+3+6=12，6 就是最小的完美数．是否有无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人类的难题之一．研究完美数可以从计算自然数的所有因数之和开始，81 的所有因数之和为． 9．恰好有 12 个不同因数的最小的自然数为． 10．有 10 个不同因数的最小自然数为． 11．两个正方形的面积之差为 2016 平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有对． 12．60 的不同约数（1 除外）的个数是． 13．如果一个自然数 N（ N＞1）满足：N 的因数个数就是其个位数字，那么这样的 N 就称为中环数（比如 34=217，所以它有 4 个因数，正好就是 34的个位数字，所以 34 就是一个中环数）．在 2～84 中，一共有个中环数． 14．在所有正整数中，因数的和不超过 30 的共有个． 15．一个五位数是 2014 的倍数，并且恰好有 16 个因数，则的最小值是． 16．整数 n 一共有 10 个因数，这些因数从小到大排列，第 8 个是．那么整数n 的最大值是． 17．一个数恰好有 8 个因数，已知 35 和 77 是其中两个，则这个数是． 18．在 1～600 中，恰好有 3 个约数的数有个． 19．已知 a、b 是两个不同的正整数，并且 a、b 的约数个数与 2013 的约数个数相同，则两数之差（大减小）的最小值为． 20．用表示 a 的不同约数的个数．如4 的不同约数有 1，2，4 共 3 个，所以=3，那么（﹣） = ． 21．一个自然数恰有 9 个互不相同的约数，其中 3 个约数 A，B，C 满足：①A+B+C=79 ②AA=BC...。