图论-图的基本概念

图论及其应用简介图论是计算机科学中的一个重要分支，研究的对象是由边与顶点组成的图形结构以及与其相关的问题和算法。

图论的应用广泛，涵盖了计算机科学、网络科学、物理学、社会学、生物学等多个领域。

本文将介绍图论的基本概念、常用算法以及一些实际的应用案例。

图的基本概念图由顶点（Vertex）和边（Edge）组成，记作G=(V, E)，其中V为顶点的集合，E为边的集合。

图可以分为有向图和无向图两种类型。

有向图有向图中的边具有方向性，即从一个顶点到另一个顶点的边有明确的起点和终点。

有向图可以表示一种有序的关系，比如A到B有一条边，但B到A可能没有边。

有向图的表示可以用邻接矩阵或邻接表来表示。

无向图无向图中的边没有方向性，任意两个顶点之间都有相互连接的边。

无向图可以表示一种无序的关系，比如A与B有一条边，那么B与A之间也有一条边。

无向图的表示通常使用邻接矩阵或邻接表。

常用图论算法图论中有许多经典的算法，其中一些常用的算法包括：深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于遍历或搜索图的算法。

通过从起始顶点开始，沿着一条路径尽可能深入图中的顶点，直到无法再继续前进时，返回上一个顶点并尝试下一条路径的方式。

DFS可以用于判断图是否连通，寻找路径以及检测环等。

广度优先搜索（BFS）广度优先搜索也是一种用于遍历或搜索图的算法。

不同于深度优先搜索，广度优先搜索逐层遍历顶点，先访问离起始顶点最近的顶点，然后依次访问与起始顶点距离为2的顶点，以此类推。

BFS可以用于寻找最短路径、搜索最近的节点等。

最短路径算法最短路径算法用于计算图中两个顶点之间的最短路径。

其中最著名的算法是迪杰斯特拉算法（Dijkstra’s A lgorithm）和弗洛伊德算法（Floyd’s Algorithm）。

迪杰斯特拉算法适用于没有负权边的图，而弗洛伊德算法可以处理带有负权边的图。

最小生成树算法最小生成树算法用于找到一个连通图的最小的生成树。

其中最常用的算法是普里姆算法（Prim’s Algorithm）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal’s Algorithm）。

图论--图的基本概念1.图：1.1⽆向图的定义：⼀个⽆向图G是⼀个有序的⼆元组<V,E>，其中V是⼀个⾮空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。

E是⽆序积V&V的有穷多重⼦集，称作边集，其元素称作⽆向边，简称边。

注意：元素可以重复出现的集合称作多重集合。

某元素重复出现的次数称作该元素的重复度。

例如，在多重集合{a,a,b,b,b,c,d}中，a,b,c,d的重复度分别为2，3，1，1。

从多重集合的⾓度考虑，⽆元素重复出现的集合是各元素重复度均为1的多重集。

1.2有向图的定义：⼀个有向图G是⼀个有序的⼆元组<V,E>，其中V是⼀个⾮空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。

E是笛卡尔积V✖V的有穷多重⼦集，称作边集，其元素为有向边，简称为边。

通常⽤图形来表⽰⽆向图和有向图：⽤⼩圆圈（或实⼼点）表⽰顶点，⽤顶点之间的连线表⽰⽆向边，⽤带箭头的连线表⽰有向边。

与1.1，1.2有关的⼀些概念和定义：（1）⽆向图和有向图统称为图，但有时也把⽆向图简称作图。

通常⽤G表⽰⽆向图，D表⽰有向图，有时也⽤G泛指图（⽆向的或有向的）。

⽤V(G),E(G)分别表⽰G的顶点集和边集，|V(G)|,|E(G)|分别是G的顶点数和边数，有向图也有类似的符号。

（2）顶点数称作图的阶，n个顶点的图称作n阶图。

（3）⼀条边也没有的图称作零图，n阶零图记作N n。

1阶零图N1称作平凡图。

平凡图只有⼀个顶点，没有边。

（4）在图的定义中规定顶点集V为⾮空集，但在图的运算中可能产⽣顶点集为空集的运算结果，为此规定顶点集为空集的图为空图，并将空图记作Ø。

（5）当⽤图形表⽰图时，如果给每⼀个顶点和每⼀条边指定⼀个符号（字母或数字，当然字母还可以带下标），则称这样的图为标定图，否则称作⾮标定图。

（6）将有向图的各条有向边改成⽆向边后所得到的⽆向图称作这个有向图的基图。

（7）若两个顶点v i与v j之间有⼀条边连接，则称这两个顶点相邻。

图论知识点摘要：图论是数学的一个分支，它研究图的性质和应用。

图由节点（或顶点）和连接这些节点的边组成。

本文将概述图论的基本概念、类型、算法以及在各种领域的应用。

1. 基本概念1.1 节点和边图由一组节点（V）和一组边（E）组成，每条边连接两个节点。

边可以是有向的（指向一个方向）或无向的（双向连接）。

1.2 路径和环路径是节点的序列，其中每对连续节点由边连接。

环是一条起点和终点相同的路径。

1.3 度数节点的度数是与该节点相连的边的数量。

对于有向图，分为入度和出度。

1.4 子图子图是原图的一部分，包含原图的一些节点和连接这些节点的边。

2. 图的类型2.1 无向图和有向图无向图的边没有方向，有向图的每条边都有一个方向。

2.2 简单图和多重图简单图是没有多重边或自环的图。

多重图中，可以有多条边连接同一对节点。

2.3 连通图和非连通图在无向图中，如果从任意节点都可以到达其他所有节点，则称该图为连通的。

有向图的连通性称为强连通性。

2.4 树树是一种特殊的连通图，其中任意两个节点之间有且仅有一条路径。

3. 图的算法3.1 最短路径算法如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，用于在加权图中找到从单个源点到所有其他节点的最短路径。

3.2 最大流最小割定理Ford-Fulkerson算法用于解决网络流中的最大流问题。

3.3 匹配问题如匈牙利算法，用于解决二分图中的匹配问题。

4. 应用4.1 网络科学图论在网络科学中有广泛应用，如社交网络分析、互联网结构研究等。

4.2 运筹学在运筹学中，图论用于解决物流、交通网络优化等问题。

4.3 生物信息学在生物信息学中，图论用于分析蛋白质相互作用网络、基因调控网络等。

5. 结论图论是数学中一个非常重要和广泛应用的领域。

它不仅在理论上有着深刻的内涵，而且在实际应用中也发挥着关键作用。

随着科技的发展，图论在新的领域中的应用将会不断涌现。

本文提供了图论的基础知识点，包括概念、图的类型、算法和应用。

图论期末总结一、引言图论是一门研究图和网络结构的数学学科。

图论不仅在数学领域中有着广泛的应用，而且在计算机科学、物理学、化学、生物学等交叉学科中也扮演着重要的角色。

在本学期的图论课程中，我系统地学习了图论的基本概念、算法和应用，对图论的知识有了更深入的理解和认识。

在本文中，我将对本学期学习的图论知识进行总结和归纳。

二、基本概念1. 图的定义与表示：图是由一组顶点和一组边组成的数学模型。

在图中，顶点表示图中的实体，边表示顶点之间的关系。

图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。

2. 图的类型：图可以分为有向图和无向图、加权图和非加权图、简单图和多重图等。

有向图的边具有方向性，无向图的边没有方向性。

加权图的边带有权重，非加权图的边没有权重。

简单图没有自环和平行边，多重图可以有自环和平行边。

3. 图的基本术语：顶点的度数是指与该顶点相关联的边的数量。

入度是有向图中指向该顶点的边的数量，出度是有向图中从该顶点发出的边的数量。

路径是由边连接的一系列顶点，路径的长度是指路径上边的数量。

连通图是指从一个顶点到任意其他顶点都存在路径。

三、图的算法1. 图的遍历算法：深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）是两种常用的图遍历算法。

DFS从一个顶点出发，探索所有可能的路径，直到无法继续深入为止。

BFS从一个顶点开始，逐层探索图中的其他顶点，直到所有顶点都被访问过为止。

2. 最短路径算法：最短路径算法用来计算图中两个顶点之间的最短路径。

迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法是两种常用的最短路径算法。

迪杰斯特拉算法适用于没有负权边的图，通过每次选择到某个顶点的最短路径来逐步扩展最短路径树。

弗洛伊德算法适用于有负权边的图，通过每次更新两个顶点之间的最短路径来逐步求解最短路径。

3. 最小生成树算法：最小生成树算法用于找到连接图中所有顶点的最小代价树。

克鲁斯卡尔算法和普林姆算法是两种常用的最小生成树算法。

克鲁斯卡尔算法通过每次选择代价最小的边来逐步扩展最小生成树。

基本知识点：一、图的基本定义：平凡图：只有一个顶点无边的图。

非平凡图：其他所有图。

空图：边集合为空的图。

简单图：既没有环也没有重边的图。

复合图：其他所有的图。

同构图：顶点集合之间存在双射（一一对应关系），对应边重数和端点对应相等。

标定图：给图的点和边标上符号。

非标定图：不标号。

非标定图代表一类相互同构的图。

完全图：每两个不同顶点之间都有一条边相连的简单图。

N 个顶点的完全图只有一个，记为n K 。

偶图（二部图）：具有二分类(,)X Y 的图，他的点集可以分解为两个（非空）子集X 和Y ，使得每条边的一个端点在X 中，另一个端点在Y 中。

完全偶图 ：指具有二分类(,)X Y 的简单偶图，其中X 的每个顶点与Y 的每个顶点相连。

若,X m Y n ==，则这样额完全偶图记为：,m n K 。

k —正则图：设(,)G V E =为简单图，如果对所有的结点v V ∈，有()d v k =，称G 为k —正则图。

完全图和完全偶图,n n K 均是正则图。

图划分：若一个n 阶简单图G 各点的度为i d ，则分正整数k 为n 个部分的划分i d ∑称为是图划分。

子图：边集合和点集合均是原图的子集，且待判定图中的边的重数不超过原图中对应的边的重数。

生成子图：点集合相等，边集合为原图子集的图。

导出子图：由顶点集为原图G 真子集的所有点，及两端点均在该集合中的边的全体组成的子图V ‘。

'[]G V 和G v -。

边导出子图：由原图G 边的真子集，该图中边的断点全体为顶点组成的子图E ‘。

'[]G E 和{}G e -。

图的运算：并，交，差，对称差，联图，积图，合成图，极图路与图的联通性：途径：迹：边互不相同的途径。

路：边和点都互不相同的途径。

连通的：两个顶点之间存在路。

连通图：每一对顶点之间都有一条路。

连通分支：将V 划分为一些等价类12,,...k V V V 。

两个顶点u 和v 是连通的当且仅当他们属于同一个子集i V ，称子图()i G V 为连通分支。

图论基础知识的名词解释图论是数学的一个分支，研究图的属性和关系。

图是由节点和节点之间的边组成的抽象模型，被广泛应用于计算机科学、网络分析、医学和社会科学等领域。

下面，我们将解释一些图论中常用的基础概念和术语。

1. 图 (Graph)图是图论研究的基本对象，由一组节点和连接这些节点的边组成。

节点也被称为顶点 (Vertex)，边则是节点之间的连接线。

图可以分为有向图 (Directed Graph) 和无向图 (Undirected Graph) 两种类型。

在有向图中，边有方向，从一个节点指向另一个节点；而在无向图中，边没有方向，节点之间的关系是双向的。

2. 顶点度数 (Degree of a Vertex)顶点度数指的是一个顶点与其他顶点相邻的边的数量。

在无向图中，顶点度数即与该顶点相连的边的数量；在有向图中，则分为入度 (In-degree) 和出度 (Out-degree)。

入度表示指向该节点的边的数量，而出度表示从该节点出发的边的数量。

3. 路径 (Path)路径指的是通过边连接的一系列节点，形成的顺序序列。

路径的长度是指路径上边的数量。

最短路径 (Shortest Path) 是指连接两个节点的最短长度的路径。

最短路径算法被广泛应用于计算机网络中的路由选择和地图导航系统中的路径规划。

4. 连通图 (Connected Graph)连通图是指图中的任意两个节点之间都存在路径的图。

如果一个图不是连通图，那么它可以被分割为多个连通分量 (Connected Component)。

连通图在社交网络分析和传感器网络等领域中具有重要的应用。

5. 完全图 (Complete Graph)完全图是指任意两个节点之间都存在边的图。

在完全图中，每对节点之间都有一条边相连。

n个节点的完全图有n(n-1)/2条边。

完全图经常用于描述需要互相交流的问题，如计算机网络中的通信。

6. 树 (Tree)树是一种无环连通图，其中任意两个节点之间有且仅有一条路径相连。

图论常考知识点总结1. 图的基本概念图是由顶点集合和边集合构成的。

顶点之间的连接称为边，边可以有方向也可以没有方向。

若图的边没有方向，则称图为无向图；若图的边有方向，则称图为有向图。

图的表示方式：邻接矩阵和邻接表。

邻接矩阵适合存储稠密图，邻接表适合存储稀疏图。

2. 图的连通性连通图：如果图中任意两点之间都存在路径，则称该图是连通图。

强连通图：有向图中，任意两个顶点之间都存在方向相同的路径，称为强连通图。

弱连通图：有向图中，去掉每条边的方向之后，所得到的无向图是连通图，称为弱连通图。

3. 图的遍历深度优先搜索（DFS）：从起始顶点出发，沿着一条路往前走，走到不能走为止，然后退回到上一个分支点，再走下一条路，直到走遍图中所有的顶点。

广度优先搜索（BFS）：从起始顶点出发，先访问它的所有邻居顶点，再按这些邻居顶点的顺序依次访问它们的邻居顶点，依次类推。

4. 最短路径狄克斯特拉算法：用于计算图中一个顶点到其他所有顶点的最短路径。

弗洛伊德算法：用于计算图中所有顶点之间的最短路径。

5. 最小生成树普里姆算法：用于计算无向图的最小生成树。

克鲁斯卡尔算法：用于计算无向图的最小生成树。

6. 拓扑排序拓扑排序用于有向无环图中对顶点进行排序，使得对每一条有向边(u,v)，满足排序后的顶点u在顶点v之前。

以上就是图论中一些常考的知识点，希望对大家的学习有所帮助。

当然，图论还有很多其他的知识点，比如欧拉图、哈密顿图、网络流等，这些内容都值得我们深入学习和探讨。

图论在实际应用中有着广泛的应用，掌握好图论知识对于提升计算机科学和工程学的技能水平有着重要的意义。

图论1．图的基本概念图：由一些点和连接两点间的连线组成图1在这个图中，521,,,v v v 称为这个图的顶点，顶点之间的连线621,,,e e e 称为这个图的边。

通常我们用V 表示一个图中所有顶点的集合，用E 表示一个图中所有边的集合。

于是一个图G 通常被定义为()E V G ,=，在上图中{}521,,,v v v V =，{}621,,,e e e E = 图的阶数：一个图中含有的顶点数。

例如上图中含有5个顶点，故上图称为5阶图 有向边（弧）：如果在图的定义中要求边e 对应的序偶><b a ,是有序的，即前后顺序是不能颠倒的，则称边e 为有向边或弧。

无向边：如果在图的定义中要求边e 对应的序偶><b a ,是无序的，即前后顺序是可以颠倒的，则称边e 为无向边无向图：如果一个图中的每一条边都是无向边，则称这个图为无向图 有向图：如果一个图中的每一条边都是有向边，则称这个图为有向图 如果图的某个顶点和某条边是相联的，则称它们是相关联的顶点的次数：在无向图中把与某个顶点相关联的边数称为该顶点的次数。

环算两次，顶点v 的次数记为()v d在有向图中从顶点v 出去的边数，称为顶点v 的出度，记为()v d +进入顶点v 的边数，称为顶点v 的入度，记为()v d-，()()()v d v dv d -++=定理：一个图中所有的顶点的次数之和等于边数之和的两倍 推论：任何图中奇数次顶点的总数必为偶数例：一次聚会中，认识奇数个人的人数必为偶数 孤立点：次数为0的顶点。

图2 图3多重边：在图中，如果两个顶点之间的边多于一条，那么这几条边就称为多重边。

多重图：含有多重边的图环：如果图中某条边的起点和终点为同一个顶点，那么称这条边为环 简单图：既没有多重边又没有环的图在图中如果顶点i v 和j v 之间至少存在一条边，那么称顶点i v 和j v 是相邻的。

如果边i e 和j e 之间至少有一个共同顶点，则称边i e 和j e 是相邻的子图：设有图()111,E V G =和()221,E V G =，如果21V V ⊆并且21E E ⊆，则称图1G 是图2G 的一个子图生成子图：，如果21V V =并且21E E ⊆，则称图1G 是图2G 的一个生成子图图4图5链：以顶点开始以顶点结束的顶点和边的非空有限交替序列 例如43152v e v e v 就是一条链，而4312v e v v 却不是一条链圈：如果一条链的起点和终点是同一个顶点，则称这条链是一个圈如21152v e v e v路：当一条链中所有边和所有顶点均不相同时就称这条链为路 回路：如果一个圈中的所有边均不向图并且除第一个顶点和最后一个顶点相同外其余顶点都不相同，则称这个圈为回路连通图：如果某个图中的任何两个顶点之间至少存在一条链，则称这个图为连通图在实际的应用中，经常会涉及到图中各个顶点之间的某种联系，例如，在城市公路交通图中，需要说明两个路口之间的路段的长度，这时就需要给图的边赋以某个数值（称为线权）或给顶点赋以某个数值（称为点权），我们把这种赋以了数值的图称为加权图或网络。