下载文档原格式
课时作业 A 组——基础对点练1．(2017·杭州模拟)在△ABC 中，已知M 是BC 中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM →＝( )A.12a －b B.12a ＋b C ．a －12bD ．a ＋12b解析：AM→＝AC →＋CM →＝－CA →＋12CB →＝－b ＋12a ，故选A.答案：A2．已知AB→＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( )A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D解析：因为AD→＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A .所以A ，B ，D 三点共线． 答案：B3．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( ) A ．a B ．b C ．cD ．0解析：依题意，设a ＋b ＝mc ，b ＋c ＝na ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝mc －na ，即a －c ＝mc －na .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0. 答案：D4．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.BC→ B.12AD →C.AD →D.12BC →解析：如图，EB→＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD→＝AD →. 答案：C5．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2 AC →＋CB →＝0，则向量OC →等于( )A.23OA →－13OB → B ．－13OA →＋23OB → C ．2 OA→－OB → D ．－OA→＋2 OB → 解析：因为AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，所以2 AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2 OA →＋OB →＝0，所以OC →＝2 OA →－OB →. 答案：C6．已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作一条直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM→＝x AB →，AN →＝y AC →，则xy x ＋y 的值为( )A ．3 B.13 C ．2D.12解析：由已知得M ，G ，N 三点共线，所以AG→＝λ AM →＋(1－λ)AN →＝λx AB →＋(1－λ)y AC →.∵点G 是△ABC 的重心，∴AG →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λx ＝13，(1－λ)y ＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝13x ，1－λ＝13y ，得13x ＋13y ＝1，即1x ＋1y ＝3，通分得x ＋y xy ＝3，∴xy x ＋y＝13.答案：B7．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD→＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( ) A.23 B.13 C ．－13D ．－23解析：∵AD→＝2DB →，即CD →－CA →＝2(CB →－CD →)，∴CD→＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23. 答案：A8．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |解析：a |a |＝b |b |⇔a ＝|a |b|b |⇔a 与b 共线且同向⇔a ＝λb 且λ＞0.B ，D 选项中a 和b 可能反向．A 选项中λ＜0，不符合λ＞0. 答案：C9．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD→＝－13AB →＋43AC → B.AD→＝13AB →－43AC →C.AD→＝43AB →＋13AC →D.AD→＝43AB →－13AC →解析：由题意得AD→＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →，故选A. 答案：A10．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋y AC →，则x＝ ；y ＝ .解析：∵AM →＝2MC →，∴AM →＝23AC →. ∵BN→＝NC →，∴AN →＝12(AB →＋AC →)， ∴MN→＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC → ＝12AB →－16AC →.又MN→＝xAB →＋yAC →，∴x ＝12，y ＝－16. 答案：12 －1611．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足等式OA→＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状为 ． 解析：由OA→＋OC →＝OB →＋OD →得OA →－OB →＝OD →－OC →，所以BA →＝CD →，所以四边形ABCD 为平行四边形． 答案：平行四边形12．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝ .(用e 1，e 2表示)解析：在矩形ABCD 中，因为O 是对角线的交点，所以OC→＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(DC →＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2)． 答案：52e 1＋32e 213．已知A (1,0)，B (4,0)，C (3,4)，O 为坐标原点，且OD→＝12(OA →＋OB →－CB →)，则|BD→|等于 ． 解析：由OD→＝12(OA →＋OB →－CB →)＝12(OA →＋OC →)，知点D 是线段AC 的中点，故D (2,2)，所以BD→＝(－2,2)，故|BD →|＝(－2)2＋22＝2 2.答案：2 2B 组——能力提升练1．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝me 1＋2e 2，b ＝ne 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则mn 等于( ) A ．－12 B.12 C ．－2D ．2解析：∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即me 1＋2e 2＝λ(ne 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m －λ＝2，故mn ＝－2.答案：C2．在△ABC 中，AN →＝14NC →，若P 是直线BN 上的一点，且满足AP→＝m AB →＋25AC →，则实数m 的值为( ) A ．－4 B ．－1 C ．1D ．4解析：根据题意设BP →＝n BN →(n ∈R)，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋n BN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－n )AB →＋n 5AC →，又AP →＝m AB →＋25AC →，∴⎩⎨⎧1－n ＝m ，n 5＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，m ＝－1，故选B.答案：B3．在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( ) A ．(0，52] B ．(52，72] C ．(52，2]D ．(72，2]解析：由题意得点B 1，B 2在以O 为圆心的单位圆上，点P 在以O 为圆心、半径为12的圆内，又AB 1→⊥AB 2→，AP →＝AB 1→＋AB 2→，所以点A 在以B 1B 2为直径的圆上，当点P 与点O 重合时，|OA→|最大，为2，当点P 在半径为12的圆周上时，|OA →|最小，为72，故选D. 答案：D4．在△ABC 中，BD →＝3 DC →，若AD →＝λ1 AB →＋λ2 AC →，则λ1λ2的值为( )A.116B.316C.12D.109解析：由题意得，AD→＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →，∴λ1＝14，λ2＝34，∴λ1λ2＝316. 答案：B5．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5 AM →＝AB →＋3 AC →，则△ABM与△ABC 的面积的比值为( ) A.15 B.25 C.35D.45解析：设AB 的中点为D ，如图，连接MD ，MC ，由5 AM →＝AB →＋3 AC→，得5 AM →＝2 AD →＋3 AC → ①，即AM →＝25AD →＋35AC →，即25＋35＝1，故C ，M ，D 三点共线，又AM→＝AD →＋DM → ②，①②联立，得5 DM→＝3 DC →，即在△ABM 与△ABC 中，边AB 上的高的比值为35，所以△ABM 与△ABC 的面积的比值为35.答案：C6．设M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB→＋32MA →＋32MC →＝0，D 是AC 的中点，则|MD →||BM →|的值为( ) A.13 B.12 C ．1D ．2解析：∵D 是AC 的中点，延长MD 至E ，使得DE ＝MD (图略)，∴四边形MAEC 为平行四边形，∴MD→＝12ME →＝12(MA →＋MC →)．∵MB→＋32MA →＋32MC →＝0，∴MB →＝－32(MA →＋MC →)＝－3MD →，∴|MD →||BM →|＝|MD →||－3MD →|＝13，故选A. 答案：A7．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点， 若DE→＝λ AB →＋μ AD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝( )A.58B.14 C ．1D.516解析：DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A. 答案：A8．在△ABC 上，点D 满足AD →＝2AB →－AC →，则( )A ．点D 不在直线BC 上B ．点D 在BC 的延长线上 C ．点D 在线段BC 上 D ．点D 在CB 的延长线上 解析：AD →＝2AB →－AC →＝AB →＋AB →－AC → ＝AB →＋CB →； 如图，作BD ′→＝CB →，连接AD ′，则： AB →＋CB →＝AB →＋BD ′→＝AD ′→＝AD →； ∴D ′和D 重合；∴点D 在CB 的延长线上． 答案：D9．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC边上一点，BC →＝3 EC →，F 为AE 的中点，则BF →＝( ) A.23AB →－13AD → B.13AB →－23AD →C ．－23AB →＋13AD →D ．－13AB →＋23AD →解析：如图，取AB 的中点G ，连接DG ，CG ，则易知四边形DCBG 为平行四边形，所以BC →＝GD →＝AD →－AG →＝AD →－12AB →，∴AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝23AB →＋23AD →，于是BF→＝AF →－AB →＝12AE →－AB →＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋23AD →－AB →＝－23AB →＋13AD →，故选C. 答案：C10．设D 为△ABC 所在平面内一点，且BC→＝3BD →，则AD →＝( )A.23AB →＋13AC →B.13AB →＋23AC →C.43AB →＋13AC →D.23AB →＋53AC → 解析：∵BC→＝3BD →∴BD →＝13BC →＝13(AC →－AB →)，则AD→＝AB →＋BD →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →. 答案：A11．已知O 为坐标原点，B 、D 分别是以O 为圆心的单位圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点，点P 为单位圆劣弧BD 上一点，若OB →＋OD →＝xDB →＋yOP →，∠BOP ＝π3， 则x ＋y ＝( ) A ．1 B. 3 C ．2D ．4－3 3解析：如图，DB→＝OB →－OD →，∴OB→＋OD →＝x (OB →－OD →)＋yOP →， ∴yOP→＝(1－x )OB →＋(1＋x )OD →，① ∵∠BOP ＝π3，∴OP →＝12OB →＋32OD →， ∴yOP →＝y 2OB →＋32yOD →，② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝y2，1＋x ＝32y ，解得x ＝2－3，y ＝23－2，∴x ＋y ＝3，故选B. 答案：B12．已知向量e 1、e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝ .解析：因为a 与b 共线，所以a ＝xb ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2λx ＝－1，故λ＝－12. 答案：－1213．如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝ .解析：因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1.因为点M 为AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝12AB →＋16BC →，又AM→＝λAB →＋μBC →，所以λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝23.答案：2314.(2018·临汾模拟)如图，△ABC 中，GA →＋GB →＋GC →＝0，CA →＝a ，CB→＝b .若CP →＝ma ，CQ →＝nb ，CG ∩PQ ＝H ，CG →＝2CH →，则1m ＋1n ＝ .解析：由GA→＋GB →＋GC →＝0，知G 为△ABC 的重心，取AB 的中点D (图略)，则CH →＝12CG →＝13CD →＝16(CA →＋CB →)＝16m CP →＋16n CQ →，由P ，H ，Q 三点共线，得16m ＋16n ＝1，则1m ＋1n ＝6. 答案：615.如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为 ．解析：由AN →＝13NC →，可知AN →＝14AC →，又∵AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋811AN →，且B 、P 、N 共线，∴m ＋811＝1，∴m ＝311. 答案：311。
课时作业A 组——基础对点练1．已知|a |＝6，|b |＝3，向量a 在b 方向上的投影是4，则a ·b 为( )A ．12B ．8C ．－8D ．2解析：∵|a |cos 〈a ，b 〉＝4，|b |＝3，∴a ·b ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉＝3×4＝12.答案：A2．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )A ．－8B ．－6C ．6D ．8解析：由向量的坐标运算得a ＋b ＝(4，m －2)，由(a ＋b )⊥b ，(a ＋b )·b ＝12－2(m －2)＝0，解得m ＝8，故选D.答案：D3．(2018·云南五市联考)在如图所示的矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为线段BC 上的点，则AE →·DE →的最小值为( )A ．12B ．15C ．17D ．16解析：以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,4)，D (2,4)，设E (x,0)(0≤x ≤2)，所以AE →·DE →＝(x ，－4)·(x －2，－4)＝x 2－2x ＋16＝(x －1)2＋15，于是当x ＝1，即E 为BC 的中点时，AE →·DE →取得最小值15，故选B.答案：B4．(2018·昆明市检测)已知a ，b 为单位向量，设a 与b 的夹角为π3，则a 与a －b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：由题意，得a ·b ＝1×1×cos π3＝12，所以|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋1＝1，所以cos 〈a ，a －b 〉＝a ·〈a －b 〉|a ||a －b |＝a 2－a ·b 1×1＝1－12＝12，所以〈a ，a －b 〉＝π3，故选B. 答案：B5．在△ABC 中，BC ＝5，G ，O 分别为△ABC 的重心和外心，且OG →·BC →＝5，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述三种情况都有可能解析：设M 为BC 的中点，G 在BC 上的射影为H ，A 在BC 上的射影为N ，由OG →·BC →＝5，又BC ＝5，知OG →在BC →上的投影为1，即MH ＝1，∴HC ＝1.5，又MG GA ＝12＜11.5，A 在BC 上的射影在MC 的延长线上，∴△ABC 为钝角三角形，故选B. 答案：B6．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )·b ，则|c |＝__________.解析：由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )·b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2. 答案：8 27．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b·c ＝0，则t ＝________.解析：由题意，将b·c ＝[t a ＋ (1－t )b ]·b 整理得ta ·b ＋(1－t )＝0，又a·b ＝12，所以t ＝2. 答案：28．(2018·九江市模拟)若向量a ＝(1,1)与b ＝(λ，－2)的夹角为钝角，则λ的取值范围是。
平面向量知识网络平面向量结构简图画龙点晴概念标量: 只有大小不计方向的量叫做标量.向量：既有大小又有方向的量叫做向量。
零向量：长度为零的向量叫做零向量, 记作0, 零向量没有确定的方向。
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
向量的模: 向量a 的大小(或长度)叫做向量的模, 记作|a |.负向量: 与已知的向量a 的模相等且方向相反的向量叫做已知向量a 的负向量, 记作-a .自由向量: 只有大小和方向而无特定位置的向量叫做自由向量.有向线段: 具有方向的线段叫做有向线段. 通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向. 以A 为起点, B 为终点的有向线段记作AB . 起点、方向、长度是有向线段的在要素。
用有向线段表示向量：已知向量a 与有向线段AB . 当|a |=|AB |且a 与AB 同向时, 向量a 可用有向线段AB 表示, 叫做向量AB .向量加法：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
向量加法的平行四边形: 平面上任意两个向量a 、b ，从同一点O 出发分别作向量OA =a ，OB =b ，以OA 、OB 为一组邻边作平行四边形OACB ，则平行四边形的对角线OC 所代表的向量OB OA OC +== a+b 。
向量加法的三角形法则: 平面上任意两个向量a 、b ，任取一个起点O ，从O 出发作向量OA =a ，再从A 出发作向量AB =b ，则OB =OA +AB =a+b 。
说明：(1)“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点；(2)可以推广到n 个向量连加，和向量就是以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量； (3)a a a =+=+00；(4)不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则.向量的加法运算律: (1)交换律：a +b =b +a ; (2)向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ). 向量的减法: 平面上任意两个向量a 、b ，从同一点O出发分别作向量OA =a ，OB =b ，作向量BA , 则向量BA 叫做向量a 与b 的差, 记作a-b , 即BA = a-b. [活用实例][例1] 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
课时作业A 组——基础对点练1．(2017·高考天津卷)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{1,2,3,4}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,6}解析：由题意知A ∪B ＝{1,2,4,6}，∴(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}．答案：B2．(2018·成都市模拟)设集合A ＝{0,1}，B ＝{x |(x ＋2)(x －1)＜0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( )A ．{－2，－1,0,1}B ．{－1,0,1}C ．{0,1}D ．{0} 解析：因为集合A ＝{0,1}，B ＝{x |(x ＋2)(x －1)＜0，x ∈Z}＝{－1,0}，所以A ∪B ＝{－1,0,1}．故选B.答案：B3．设集合A ＝{x |x ＜2}，B ＝{y |y ＝2x －1}，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，3)B ．[2,3)C ．(－∞，2)D ．(－1,2)解析：A ＝{x |x ＜2}，因为y ＝2x －1＞－1，所以B ＝{y |y ＝2x －1}＝(－1，＋∞)，所以A ∩B ＝(－1,2)，故选D.答案：D4．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( ) A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：根据题意，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，又∵a ≠0，∴a ＋b ＝0，即a ＝－b ，∴b a ＝－1，b ＝1.故a ＝－1，b ＝1，则b －a ＝2.故选C.答案：C5．已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2,3}，B ＝{x |x ＋1x －2＜0}，则A ∩B ＝( ) A ． {－2，－1,0,1,2,3}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,2}D ．{0,1}解析：由题意，得B＝{x|－1＜x＜2}，所以A∩B＝{0,1}，故选D.答案：D6．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝()A．{1} B．{4}C．{1,3} D．{1,4}解析：由题意，得B＝{1,4,7,10}，∴A∩B＝{1,4}．答案：D7．(2018·长沙市模拟)已知集合P＝{x|－2 016≤x≤2 017}，Q＝{x| 2 017－x＜1}，则P∩Q ＝()A．(2 016,2 017) B．(2 016,2 017]C．[2 016,2 017) D．(－2 016,2 017)解析：由已知可得Q＝{x|0≤2 017－x＜1}＝(2 016，2 017]，则P∩Q＝(2 016,2 017]．答案：B8．(2018·石家庄模拟)函数y＝x－2与y＝ln(1－x)的定义域分别为M，N，则M∪N＝() A．(1,2] B．[1,2]C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．(－∞，1)∪[2，＋∞)解析：使x－2有意义的实数x应满足x－2≥0，∴x≥2，∴M＝[2，＋∞)，y＝ln(1－x)中x 应满足1－x＞0，∴x＜1，∴N＝(－∞，1)，所以M∪N＝(－∞，1)∪[2，＋∞)，故选D.答案：D9．(2018·沈阳市模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|0≤x＜6}，则集合(∁U A)∩B ＝()A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x≤2}C．{x|0≤x＜2} D．{x|0≤x≤2}解析：∵U＝R，A＝{x|x≥2}，∴∁U A＝{x|x＜2}．又B＝{x|0≤x＜6}，∴(∁U A)∩B＝{x|0≤x＜2}．故选C.答案：C10．(2018·天津模拟)设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝() A．{1} B．{2}C．{0,1} D．{1,2}解析：N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0,1,2}，所以M∩N＝{1,2}．答案：D11．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝()A．{1,4} B．{2,3}C．{9,16} D．{1,2}解析：n＝1,2,3,4时，x＝1,4,9,16，∴集合B＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}．答案：A12．(2018·长春市模拟)已知集合A＝{x|x2－x＋4＞x＋12}，B＝{x|2x－1＜8}，则A∩(∁R B)＝()A．{x|x≥4} B．{x|x＞4}C．{x|x≥－2} D．{x|x＜－2或x≥4}解析：由题意易得，A＝{x|x＜－2或x＞4}，B＝{x|x＜4}，则A∩(∁R B)＝{x|x＞4}．故选B. 答案：B13．已知集合A＝{－1,2,3,6}，B＝{x|－2＜x＜3}，则A∩B＝________.答案：{－1,2}14．已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(∁U B)＝________.解析：∁U B＝{2}，∴A∪∁U B＝{1,2,3}．答案：{1,2,3}15．集合{－1,0,1}共有__________个子集．解析：集合{－1,0,1}的子集有∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}，{－1, 0,1}，共8个．答案：816．已知集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(∁U B)＝__________.答案：{1,2,3,5}B组——能力提升练1．已知全集U＝{0,1,2,3}，∁U M＝{2}，则集合M＝()A．{1,3} B．{0,1,3}C．{0,3} D．{2}解析：M＝{0,1,3}．答案：B2．已知集合A＝{0,1,2}，B＝{1，m}．若A∩B＝B，则实数m的值是()A．0 B．2C．0或2 D．0或1或2解析：∵A∩B＝B，∴B⊆A，∴m＝0或m＝2.答案：C3．(2018·南昌市模拟)已知集合A ＝{x ∈R|0＜x ≤5}，B ＝{x ∈R|log 2x ＜2}，则(∁A B )∩Z ＝( )A ．{4}B ．{5}C ．[4,5]D ．{4,5}解析：∵集合A ＝{x ∈R|0＜x ≤5}，B ＝{x ∈R|log 2x ＜2}＝{x |0＜x ＜4}，∴∁A B ＝{x |4≤x ≤5}，∴(∁A B )∩Z ＝{4,5}，故选D.答案：D4．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －1x ＋2≤0，B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋4 x ＋5)}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．(－1,1]D ．[－1,1]解析：依题意，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －1x ＋2≤0＝{x |－2<x ≤1}，B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋4x ＋5)}＝{x |－x 2＋4x ＋5>0}＝{x |－1<x <5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥5}，A ∩(∁R B )＝(－2，－1]，选A.答案：A5．(2018·惠州模拟)已知集合A ＝{0,1}，B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈A }，则集合B 的子集的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8解析：由题意知，B ＝{0,1,2}，则集合B 的子集的个数为23＝8.故选D.答案：D6．(2018·太原市模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是( )A ．(－2,1)B ．[－1,0]∪[1,2)C ．(－2，－1)∪[0,1]D ．[0,1]解析：因为集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，所以A ＝{x |－2＜x ＜0}，B ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∪B ＝(－2,1]，A ∩B ＝[－1,0)，所以阴影部分表示的集合为∁A ∪B (A ∩B )＝(－2，－1)∪[0,1]，故选C.答案：C7．(2018·郑州质量预测)设全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1,4}，B＝{2,4}，则∁U(A∩B)＝()A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{1,3,4} D．{2,3,4}解析：因为U＝{1,2,3,4}，A∩B＝{4}，所以∁U(A∩B)＝{1,2,3}，故选A.答案：A8．(2018·广雅中学测试)若全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是()解析：由题意知，N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，而M＝{－1,0,1}，所以N M，故选B.答案：B9．已知集合A满足条件{1,2}⊆A，则集合A的个数为()A．8 B．7C．4 D．3解析：由题意可知，集合A中必含有元素1和2，可含有3,4,5中的0个、1个、2个，则集合A可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，共7个．故选B.答案：B10．已知集合A＝{2,0,1,4}，B＝{k|k∈R，k2－2∈A，k－2∉A}，则集合B中所有的元素之和为()A．2 B．－2C．0 D. 2解析：若k2－2＝2，则k＝2或k＝－2，当k＝2时，k－2＝0，不满足条件，当k＝－2时，k－2＝－4，满足条件；若k2－2＝0，则k＝±2，显然满足条件；若k2－2＝1，则k＝±3，显然满足条件；若k2－2＝4，得k＝±6，显然满足条件．所以集合B中的元素为－2，±2，±3，±6，所以集合B中的元素之和为－2，故选B.答案：B11．给出下列四个结论：①{0}是空集；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③集合A ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}中有两个元素；④集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Q ⎪⎪6x ∈N 是有限集． 其中正确结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：对于①，{0}中含有元素0，不是空集，故①错误；对于②，比如0∈N ，－0∈N ，故②错误；对于③，集合A ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}中有一个元素，故③错误；对于④，当x ∈Q 且6x ∈N 时，6x 可以取无数个值，所以集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Q ⎪⎪6x ∈N 是无限集，故④错误．综上可知，正确结论的个数是0.故选A.答案：A12．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z}，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z}，定义集合A B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．30解析：集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z}，所以集合A 中有5个元素(即5个点)，即图中圆内及圆上的整点．集合B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z}中有25个元素(即25个点)，即图中正方形ABCD 内及正方形ABCD 上的整点．集合A B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }中的元素可看作正方形A 1B 1C 1D 1内及正方形A 1B 1C 1D 1上除去四个顶点外的整点，共7×7－4＝45个．答案：C13．设全集U ＝{n ∈N|1≤n ≤10}，A ＝{1,2,3,5,8}，B ＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A )∩B ＝________. 解析：依题意得U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，∁U A ＝{4,6,7,9,10}，(∁U A )∩B ＝{7,9}． 答案：{7,9}14．集合A ＝{x ∈R||x －2|≤5}中的最小整数为________．解析：由|x －2|≤5，得－5≤x －2≤5，即－3≤x ≤7，所以集合A 中的最小整数为－3. 答案：－315．若集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0，x ∈R}有且仅有两个子集，则实数a 的值为________． 解析：由题意知，方程(a －1)x 2＋3x －2＝0，x ∈R ，有一个根，∴当a ＝1时满足题意，当a ≠1时，Δ＝0，即9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18. 答案：1或－18。
平面向量及向量的运算 同步练习一、选择题1．以下说法错误的是（ ）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量 2．下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．；）＋＋（BC CD AB B ．）；＋）＋（＋（CM BC MB AD C ．－＋ D ．； 3．设四边形ABCD 中，有=21，且||=||，则这个四边形是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 4．已知=（3，4），=（5，12），与 则夹角的余弦为（ ）A ．6563 B ．65 C ．513 D ．13 5． 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+ 3b| =（ ）A ．7B ．10C ．13D ．46．已知向量a (cos ,sin )θθ=,向量b 1)=-，则|2a －b|的最大值、最小值分别是（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16，0D ．4，07．已知）（），点＝（），，－＝（－21x,P 1,1ON 32OM 在线段NM 的中垂线上，则x 等于（ ）A ．；－25B ．；－23C ．；－27 D ．－3；8．在平面直角坐标系中，已知两点A （cos80o,sin80o）,B(cos20o,sin20o),则｜AB ｜的值是（ ）A ．；21B ．；22 C ．；23 D ．1； 9．|a|=3,|b|=4,向量a+43b 与a －43b 的位置关系为（ ）A ．平行B ．垂直C ．夹角为3π．不平行也不垂直10．在边长为2的正三角形ABC 中，设AB =c, =a, =b,则a ·b+b ·c+c ·a 等 于（ ） A ．0 B ．1 C ．3 D ．－3二、填空题11．若),4,3(=AB Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为 ． 12．已知(3,4),(2,3)=-=a b ，则2||3-⋅=a a b ．13．与向量a =（12，5）平行的单位向量为 ．14． 已知向量OP X OB OA OP 是直线设),1,5(),7,1(),1,2(===上的一点（O 为 坐标原点），那么XB XA ⋅的最小值是___________________．三、解答题15．向量),1,(),2,1(x b a ==（1）当2+与-2平行时，求x ； （2）当b a 2+与b a -2垂直时，求x .16．已知61)b a (2)b 3a (23,|b |4,a =+∙==－｜｜, (1)求∙的值； （2）求b a 与的夹角θ； （3）求｜｜b a +的值．17．设、是两个不共线的非零向量（R t ∈）（1）记),(31,,b a OC b t OB a OA +===那么当实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？（2）若 1201||||夹角为与且==，那么实数x 为何值时||x -的值最小？附加题：已知A 、B 、C 的坐标分别是A （3，0），B （0，3），C （cos α，sin α）.（1） 若AC BC =，求角α的值；（2）若1,AC BC ⋅=- 求22sin sin 21tan ααα++的值．参考答案一、选择题二、填空题11．（1，3） 12. 28 13.)135,1312(或 )135,1312(-- 14. -8三、解答题15.（1）21， （2）27或-2 16.（1）-6（2）32π（3）1317.（1）t=21(2)x=21-时最小附加题. （1）)(,4Z k k ∈+=ππα（2）95-。
课时作业组——基础对点练．(·高考天津卷)设集合＝{}，＝{}，＝{}，则(∪)∩＝( )．{}．{}．{}．{}解析：由题意知∪＝{}，∴(∪)∩＝{}．答案：．(·成都市模拟)设集合＝{}，＝{(＋)(－)＜，∈}，则∪＝( )．{－}．{－，－}．{}．{}解析：因为集合＝{}，＝{(＋)(－)＜，∈}＝{－}，所以∪＝{－}．故选.答案：．设集合＝{＜}，＝{＝－}，则∩＝( )．(－∞，)．[)．(－)．(－∞，) 解析：＝{＜}，因为＝－＞－，所以＝{＝－}＝(－，＋∞)，所以∩＝(－)，故选.答案：．设，∈，集合{，＋，}＝，则－＝( )．－．．－．解析：根据题意，集合{，＋，}＝，又∵≠，∴＋＝，即＝－，∴＝－，＝.故＝－，＝，则－＝.故选.答案：．已知集合＝{－，－}，＝{＜}，则∩＝( )． {－，－}．{－}．{}．{－}解析：由题意，得＝{－＜＜}，所以∩＝{}，故选.答案：．已知集合＝{}，＝{＝－，∈}，则∩＝( )．{}．{}．{}．{}解析：由题意，得＝{}，∴∩＝{}．答案：．(·长沙市模拟)已知集合＝{－≤≤ }，＝{－)＜}，则∩＝( )．( )．( ]．(－)．[ )解析：由已知可得＝{≤－＜}＝( ，]，则∩＝( ]．答案：．(·石家庄模拟)函数＝与＝(－)的定义域分别为，，则∪＝( )．[]．(]．(－∞，)∪[，＋∞)．(－∞，]∪[，＋∞) 解析：使有意义的实数应满足－≥，∴≥，∴＝[，＋∞)，＝(－)中应满足－＞，∴＜，∴＝(－∞，)，所以∪＝(－∞，)∪[，＋∞)，故选.答案：．(·沈阳市模拟)设全集＝，集合＝{≥}，＝{≤＜}，则集合(∁)∩＝( )．{＜≤}．{＜＜}．{≤≤}．{≤＜} 解析：∵＝，＝{≥}，∴∁＝{＜}．又＝{≤＜}，∴(∁)∩＝{≤＜}．故选.答案：．(·天津模拟)设集合＝{}，＝{－＋≤}，则∩＝( )．{}．{}．{}．{}解析：＝{－＋≤}＝{≤≤}，又＝{}，所以∩＝{}．答案：．已知集合＝{}，＝{＝，∈}，则∩＝( )．{}．{}．{}．{}解析：＝时，＝，∴集合＝{}，∴∩＝{}．答案：．(·长春市模拟)已知集合＝{－＋＞＋}，＝{－＜}，则∩(∁)＝( )．{＞}．{≥}．{＜－或≥}．{≥－}解析：由题意易得，＝{＜－或＞}，＝{＜}，则∩(∁)＝{＞}．故选.答案：．已知集合＝{－}，＝{－＜＜}，则∩＝.答案：{－}．已知集合＝{}，＝{}，＝{}，则∪(∁)＝.解析：∁＝{}，∴∪∁＝{}．答案：{}。
课时作业A组一一基础对点练1. （2017杭州模拟）在厶ABC中，已知M是BC中点，设CB= a, CA= b,则AM =（）11A.qa —bB.qa + b11C. a —2b D . a+-bf f f f f1 1解析：AM = AC+ CM = —CA + 2CB = —b + qa，故选A.答案：Af f f2.已知AB = a+ 2b, BC= —5a + 6b,CD = 7a—2b,则下列一定共线的三点是（A. A, B, CB. A, B, DC. B, C, D D . A, C, Df f f f f f f解析：因为AD = AB + BC + CD = 3a + 6b = 3(a + 2b)= 3AB,又AB , AD有公共点A.所以A, B, D三点共线.答案：B3. 已知向量a, b, c中任意两个都不共线，但a + b 与c共线，且b+ c与a共线，则向量a+ b + c=( )A . aB . bC. c D . 0解析：依题意，设a+ b= me, b+ c= na,则有(a + b) —(b + c)= me—na, 即卩a—c= me—na.又a 与c 不共线，于是有m = —1, n = —1, a+ b = —c, a+ b + c= 0.答案：Df f4. 设D, E, F分别为△ ABC的三边BC, CA, AB的中点，贝U EB+ FC =( )f fA.BC1B.^ADf fC.AD1D.^BC解析：AC.- 3D. - 31 1如图，EB+ FC = EC+ CB+ FB + BC= EC + FB = q(AC + AB) = - 2AD = AD.答案：Cf f f5.已知O, A, B,C为冋一平面内的四个点，若 2 AC+ CB = 0,则向量OC等于（)f f f f2 1A.3OA —3OB B . 1 2-3OA+3OBf f f fC. 2O A —OB D . —OA + 2 OBf f f f f f f f f f f f f解析：因为AC= OC—OA, CB = OB —OC,所以2AC + CB = 2(OC —OA) + (OB —OC)=OC —f f f f f2 OA + OB = 0,所以0C= 2 OA—OB.答案：C6.已知点G是厶ABC的重心，过点G作一条直线与AB, AC两边分别交于M , N两点,f f f f且AM = x AB, AN= y AC,则鶯的值为（)A. 31B.1C. 21f f f f解析：由已知得M , G , N三点共线，所以AG =入AM + （1 —；）AN=入xAB + （1 —答案：B7.在△ ABC中，已知D是AB边上的一点，若AD = 2DB,2 於AC「.•点G是厶ABCf f f2 1的重心，••• AG = 3 X ^(AB + AC)f f1=3(AB+ AC),入x 3,亠3X，1-匕3y，1 1 1 1得3X+矿1，即X+1= 3，通分得xy x+ y13.f f f1CD = 3CA + QB,贝V入等于(C.- 3D. - 3A・3C.- 3D. - 3f f f f f f解析：T AD = 2DB，即CD —CA= 2(CB —CD),f f f••• CD = 3CA+ |CB,「・匕|.答案：Aa b&设a, b都是非零向量，下列四个条件中，使 a =肯成立的充分条件是()A . a= —bB . a// bC. a = 2b D . a / b 且ai= |b|解析：a= £? a=警？a与b共线且同向？ a =入I且A> O.B, D选项中a和b可能反向.A |a| |b| |b|选项中入v 0,不符合X> 0.答案：Cf f9. 设D ABC所在平面内一点，BC = 3CD，则()f f f f f f1 4 1 4A.AD = —|AB + |ACB.AD = |AB —|ACf f f f f fC.AD = 4AB+ 1ACD.AD = 4AB —£A Cffff ff f f f f1 11 14解析：由题意得AD = AC+ CD = AC + |BC= AC + |AC —|AB= —|AB+ |AC,故选A.答案：Af ffff f f10. __________________________________________________________________________ 在△ ABC 中，点M, N 满足AM = 2MC , BN= NC.若MN = xAB + yAC,贝V x= ______________y= __________ .f f f f2 解析：•/ AM = 2MC ,• AM = |AC.f f f f f1•/ BN = NC ,• AN= |(AB + AC),f f f f f f1 MN = AN —AM =-(AB+ AC) —2A C2f f1 1 =2AB —6AC.f f f1 1又MN = xAB + yAC,• x=—, y =—一2 6_ 1—6fff fO 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA, OB , OC , 0D 满足等式OA + OC =OB + OD ，则四边形 ABCD 的形状为 ____________ .TTTTTTT TT T解析：由OA + OC = OB + OD 得OA - OB = OD — OC ,所以BA = CD ，所以四边形 ABCD 为平 行四边形.答案：平行四边形TTT12. _____________________________________________________________________ 在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC = 5e i , DC = 3勺，则OC = ______________________ .(用印, e 2表示)TT T T T T1 1 1解析：在矩形ABCD 中，因为O 是对角线的交点，所以OC = I II AC = 2(AB + AD) = *DC + BC) =2(5 e i +3e 2).答案：芬+ 3e 2TT T TT1TT T TT TT解析：由OD = *0A + OB — CB) = ；(OA + OC),知点D 是线段AC 的中点，故D(2,2)，所以BDT=(—2,2)，故 |BD|= , — 2 2+ 22= 2 2. 答案：2 2B 组一一能力提升练1.已知e 1, e 2是不共线向量，a = m& + 2e 2, b = ne 1 — e 2,且mn ^ 0,若a // b ,则半等于( )II 1 A . — 2 B.2 C .— 2D . 2入n mm解析：T a / b ，— a =入 b 即卩 me 〔 + 2e 2= X ne 〔 一 e 2),则 i，故—=—2.I —入=2n答案：C答案：1 2 11.已知 T T13. 已知A(1,0), B(4,0) , C(3,4), O 为坐标原点，且OD = -(OA + OB —CB)，则|BD|等于1 一3.在平面上，AB 1 丄 AB 2,|0B 1|= |0B 2|= 1, AP = AB 1+ AB 2.若 |0P|<2，则 |OA|的取值范围是( A . (0, — ———— — 又AB 1± AB 2, AP = AB 1 + AB 2,所以点A 在以B 1B 2为直径的圆上，当点P 与点0重合时，|0A1最大，为，2,当点P 在半径为2的圆周上时， —|0A|最小，为#故选D.答案：D4.在△ ABC 中， — — — — —BD = 3 DC ,若AD =入AB + h AC ,贝U 入乃的值为( )1 A~ 16 B .16 16C 1 C.210 D .?解析：由题意得， — — — — — — — — — —33 1 3AD = AB + BD = AB + ：BC = AB + [(AC — AB) = [AB +•-入=4, ^=4‘二 “= 答案：B— — —5. 若点M 是厶ABC 所在平面内的一点，且满足 5 AM = AB + 3人6则厶ABM 与厶ABC 的2.在△ ABC 中,1 AN =4NC，若p 是直线BN 上的一点，且满足2AP = m AB + AC ,则实数 m5的值为（C . 1根据题意设 BP = n BN(n € R)，则 AP = AB + BP = AB + n BN = AB + n(AN — AB)= AB +/ — —、 — —— n 1 " -AC — AB =(1.-— n —n)AB + 5AC , 又 AP = m '■■5选B.答案：B— — — — —— — 「1 n = m .2 1n =2,AB + ?C ,・ • f n 2 解得5 in = 5， m = —1,— — — —C .(解析：由题意得点B 1, B 2在以0为圆心的单位圆上，点1P 在以o 为圆心、半径为2的圆内,解析: 故If面积的比值为（ ）1 A.5 3 C.3D 三点共线，又AM = AD + DM ②，①②联立，得5 DM = 3 DC ,即在△ ABM 与厶ABC 中,33 边AB 上的高的比值为3，所以△ ABM 与厶ABC 的面积的比值为3.55答案：Cf fff6. 设M 是厶ABC 所在平面上的一点，且 MB + |M A + 3MC = 0, D 是AC 的中点，贝V 的|BM|值为（)11 A.3B.1 C . 1D . 2解析： •/ D 是AC 的中点，延长MD 至E ,使得DE = MD （图略），•四边形 MAEC 为平行四f f f f边形，•• 1 1 -MD = 2ME = 2(MA + MC).ffffff f3 3 3••• MB + 2MA + 2MC = 0，二 MB = —，(MA + MC) = — 3MD ,...碑=」》丄=3，故选A.~f ~f 3|BM| |— 3MD|答案：Afff7. 如图所示，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O , E 为AO 的中点，若DE =入AB +卩AD （人 □为实数），则*+ f=（ ）2 B.2 4 D・4解析：设AB 的中点为D ，如图,连接MDMC , 得 5 AM = 2 AD + 3AC ①，即 ff2 _ AM = 5AD+ 5AC ,2 3即-+ 3= 1,故 C , M , 5 5由 5 AM = AB + 3 AC ,A.55D .{6111111 AO 1 3 1 3DE =-DA + -DO =-DA +jDB = -DA + ：(DA + AB)= AB — AD ，所以 X=-, 尸一：,222424 4 4 4 4f=5，故选A.8答案：A&在△ ABC 上，点 D 满足AD = 2AB — AC ,则( )A .点D 不在直线BC 上B .点D 在BC 的延长线上 C .点D 在线段BC 上 D .点D 在CB 的延长线上ff f解析：AD = 2AB — ACf f f =AB + AB — ACf f=AB + CB ;如图，f f作BD ' = CB ，连接AD '，则：f f ffffAB + CB = AB + BD ' = AD ' = AD ; ••• D '和D 重合；•••点D 在CB 的延长线上. 答案：Dff9.如图，在直角梯形 ABCD 中，AB = 2AD = 2DC , E 为BC 边上一点，BC = 3 EC , F 为AEf的中点，贝U BF =( )C . 1解析:T T1 2D . —-AB+3AD解析：如图，取AB的中点G,连接DG, CG,则易知四边形DCBG为平行四边形，所以BCT T T T T T T T T T T1 2 2=GD = AD —AG= AD —|AB,「・AE= AB+ BE= AB + _BC = AB+ - AD —_AB T T T T T1 1于是BF = AF —AB= |AE—AB = |答案:T TA.|AB-1A D10.设 D ABC所在平面内一点，且BC = 3BD , 则AD =( )T- 1A.§AB+ 3AC1 -B.3AB + -AC3’T T4 1C.3AB+ 3ACT T2 5解析：•/ BC= 3BDT T T T••• BD = 3BC= 3(AC —AB),贝U AD = AB+ BD = AB+T〜1—AB)= 3AB + 3AC.答案：A2 1C.—3AB + 3ADT T=細+[AD ,,故选C.11. 已知0为坐标原点，B 、D 分别是以O 为圆心的单位圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交•'•OB + OD = x(OB — OD) + yOP ,TTT•yOP = (1 — x)OB + (1 + x)OD ，①解得 x = 2— 3, y = 2工：3— 2,「. x + y = , 3,故选 B. 答案：B12. ___________________________________________________________________________ 已知向量e 1、e?是两个不共线的向量， 右a = 2e 1 — e ?与b = e 1 +入e 共线，贝卩入=_____________________________________________________________________________________________■x = 2解析：因为a 与b 共线，所以a = xb ,, I入 x — 1故 A - 2.13. 如图，在厶ABC 中，AB = 2, BC = 3, Z ABC = 60 ° AH 丄BC 于点H , M 为AH 的中点.若TTT点，点P 为单位圆劣弧 BD 上一点,A . 1 C . 2ff解析：如图，DB = OB — OD ,T T T T TT TTTn若0B + OD = xDB + yOP , / BOP =-,3B.-D . 4— 3,3则 x + y =(n••ZBOP =-,TTTOP = *0B + ~2-OD ,T •yOP =TT；OB + ~2-yOD ,®由①②得1 — .1 + x =x =y 2,y ,AM = ?AB+ 迟C,则 + [i=____________ .答案:小1 1nb，CG n PQ=H，CG=2CH，则m+n=f f f f1 1 解析：由AN= 3NC，可知AN = 4AC,f f f f f又AP= mAB+121AC= mAB+塔AN，且B P、N 共线，••• m+11= 1,••• m= 3解析:因为点M为AH的中点, ；AB +JJ BC，所以入=6,1+ BH)= 2严+ 3BC ,f f1 1=-AB+R BC ,2 6又AM =尸6,所以14.（2018临汾模拟）如图,△ ABC 中, GA + GB+ GC = 0, CA= a,CB = b.若CP= ma,CQ =解析:f f f由GA+ GB+ GC = 0，知G ABC的重心，取AB的中点f1D(图略)，贝U CH = ^CG =答案: f f f f+C B)=6m CP+6n CQ，由P, H , Q三点共线，得11= 1，则丄 +1= 6.6m 6n m nf115.如图，在△ ABC 中，AN = 3NC ,f f fP是BN上的一点，若AP= mAB + ^AC，则实数m的值因为AB = 2,Z ABC= 60°f f f f所以AM = 1A H =6答案:3 1 1。
向量一、选择题1.已知平行四边形ABCD 中，AD =(3,7), AB =(-2,3),对角线AC 、BD 交于O ，则CO 的坐标是( ) A.(- 21，5) B.(- 21， -5) C.( 21)，-5) D.( 21，5) 2.设点P 分21P P 的比为λ，若｜21P P ｜=4｜2PP ｜，则λ的值为( )A..-5或3B.-4或2C.5或-3D.4或-23.三点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、C(x 3,y 3)共线的充要条件是( )A.x 1y 2-x 2y 1=0B.x 1y 3-x 3y 1=0C.(x 2-x 1)(y 3-y 1)=(x 3-x 1)(y 2-y 1)D.(x 2-x 1)(x 3-x 1)=(y 2-y 1)(y 3-y 1)4.已知点A(1，8)，B(5，0)且｜PA ｜=3｜PB ｜,(A 、B 、P 三点共线)则点P 的坐标为( )A.(4，2)B.(7，-4)C.(4，2)或(7，-4)D.不存在5.设=(23,sin α), =(cos α,31)且∥，则锐角α为( ) A.30°B.60°C.45°D.75° 6.点P 分有向线段21P P 成定比λ，若λ∈(-∞，-1)，则λ所对应点，P 的集合是( )A.线段P 1P 2B.线段P 1P 2的延长线C.射线P 2P 1D.线段P 1P 2的反向延长线7.已知向量AB =(6,1), BC =(x,y), CD =(-2,-3),则DA =( )A.(x+4,2-y)B.(x-4,2-y)C.(x-4,y-2)D.(-4-x,-y+2)8.已知M(-1，0)，N(5，6)，P(3，4)，P 为MN 的定比分点，则λ的值是( ) A.31 B.3 C. 21 D.29.已知=(1,2), =(x,1)，当+2与2-共线时，x 值为( )A.1B.2C. 31D. 21 10.在△ABC 中，A(3，1)，AB 中点为D(2，4)，三角形的重心G(3，4)，则B 、C 坐标分别为( )A.(1，7)、(4，5)B.(1，7)、(5，4)C.(7，1)、(4，5)D.(7，1)、(5，4)11.如果1e 、2e 是平面α内所有向量的一组基底，那么( )A.若实数λ1、λ2，使λ11e +λ22e =,λ1=λ2=0B.空间任一向量a 可以表示为a =λ11e +λ22e ,这里λ1、λ2是实数C.对实数λ1、λ2，λ11e +λ22e )不一定在平面α内D.对平面α内的任一向量a ，使a =λ11e +λ22e 的实数λ1、λ2有无数对.12.已知：平面上有三个点A(-2，1)、B(1，4)、D(4，-3)，又有一点C 在线段AB 上，使｜｜=2｜｜，连结DC 并延长至E ，使｜｜＝4｜｜，则点E 的坐标为( )A.(0，1)B.(-83 ，311)C.(0，1)或(-38，311)D.(-8，-35) 二、填空题：1.已知1e 、2e 是一对不共线的非零向量，若=1e +λ2e , b =-2λ1e -2e ,且、共线，则λ= .2.若向量=(1，-2)的终点在原点，那么这个向量的始点坐标是 .3. 在△ABC 中，已知=a ,CA =c ，O 是△ABC 的重心，则OB +OC = .4.已知△ABC 的顶点A(4，5)，重心G(-1，2)，则BC 边的中点D 坐标为三、解答题：1.已知=,B(1,0), =(-3,4), =(-1,1)，且=3-2，求点A 的坐标.2.已知△ABC ，A(7，8)、B(3，5)、C(4，3)，M 、N 是AB 、AC 的中点，D 是BC 中点，MN 与AD 交于F ，求DF .3.已知A(1，-2)，B(2，1)，C(3，2)和D(-2，3)，以、为一组基底来表示++. 4.已知两点A(3，-4)、B(-9，2)，在直线AB 上求一点P ，使得｜AP ｜=31｜AB ｜. 5.正方形ABCO ，按顺时针方向依次为A →B →C →O ，O 为坐标原点=(1,3)，求向量，OC 的坐标.6.已知点M(2，3)、N(8，4)，点P 在线段MN 内，且MP =λPN =λ2MN ，求λ的值及P 点的坐标.附加题1、已知，不共线，=+, =2-，将符合下列条件的向量写成m +n )的形式：(1)点C 分所成的比λ=2，则= .(2)点C 分所成的比λ=-3,则= .2、已知平行四边形三个顶点是(3，-2)，(5，2)，(-1，4)，则第四个顶点的坐标为 .3、已知A(2，3)、B(0，1)、C(3，0)，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，且DE 平分△ABC 的面积，求点D 的坐标. 向量测试01 一、选择题 BACCC BDDDB AB 二、填空 1.±22 2. (-1，2) 3. 31 (a -c ) 4. (- 27，21) 三、解答题： 1.(8，-10) 2. DF =-21 AD =(47,2) 3.32AB -22AC 4、.P(-1，-2)或P(7，-6)5、OA =(231-,231+), OC =2 (462+,62-) 6、λ=215-,P(11-35,259-) 附加题1、解：(1)由AC =λCB ,有OC -OA =λ(OB -OC )有OC =λ+11OA +λλ+1OB 所以OC =211+OA +212+OB =31 (a +b )+32(a -b )=35a -31b (2) OC =λ+11 OB +λλ+1OA =-21 (2a -b )+23( a +b )=21a +2b 2、解：如图，设OA =(3,-2), OB =(5,-2), OC =(-1,4), OD =(x,y)依题意，AB =DC 或AC =DB 或AB =CD由AB =DC ，可得：OB -OA =OC -OD即(5,2)-(3,2)=(-1,4)-(x,y) ⇔ (2,4)=(-1-x,4-y)∴D(-3，0)同理，若=可得：(-4，6)=(5-x,2-y).∴x=9,y=-4, ∴D(9,4)若=可得：(2，4)=(x+1,y-4)∴x=1,y=8. ∴D(1,8)∴点D 的坐标为(-3，0)或(9，-4)或(1，8)3、解：因为DE ∥BC ，则有△ADE ∽△ABC.有ABC ADE S S △△=(ABAD )2 由已知，有(AB AD )2=21，即AB AD =21以点D 分所成的比为λ，利用分点定义可得λ=121-=2+1所以得点D 的横、纵坐标为 x=1212++=2-2,y=121123++++=3-2则点D 的坐标为(2-2，3-2)。
课时作业 A 组——基础对点练1．(2017·杭州模拟)在△ABC 中，已知M 是BC 中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM →＝( )A.12a －b B.12a ＋b C ．a －12bD ．a ＋12b解析：AM →＝AC →＋CM →＝－CA →＋12CB →＝－b ＋12a ，故选A.答案：A2．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D解析：因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A .所以A ，B ，D 三点共线． 答案：B3．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( ) A ．a B ．b C ．cD ．0解析：依题意，设a ＋b ＝mc ，b ＋c ＝na ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝mc －na ，即a －c ＝mc －na .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0. 答案：D4．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.BC →B.12AD →C.AD →D.12BC →解析：如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →.答案：C5．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2 AC →＋CB →＝0，则向量OC →等于( )A.23OA →－13OB →B ．－13OA →＋23OB →C ．2 OA →－OB →D ．－OA →＋2 OB →解析：因为AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，所以2 AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2 OA →＋OB →＝0，所以OC →＝2 OA →－OB →. 答案：C6．已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作一条直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝x AB →，AN →＝y AC →，则xyx ＋y 的值为( )A ．3 B.13 C ．2D.12 解析：由已知得M ，G ，N 三点共线，所以AG →＝λ AM →＋(1－λ)AN →＝λx AB →＋(1－λ)y AC →.∵点G 是△ABC 的重心，∴AG →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，∴⎩⎨⎧λx ＝13，(1－λ)y ＝13，即⎩⎨⎧λ＝13x，1－λ＝13y，得13x ＋13y ＝1，即1x ＋1y ＝3，通分得x ＋y xy ＝3，∴xy x ＋y ＝13. 答案：B7．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13 C ．－13D ．－23解析：∵AD →＝2DB →，即CD →－CA →＝2(CB →－CD →)， ∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.答案：A8．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |解析：a |a |＝b |b |⇔a ＝|a |b|b |⇔a 与b 共线且同向⇔a ＝λb 且λ＞0.B ，D 选项中a 和b 可能反向．A选项中λ＜0，不符合λ＞0. 答案：C9．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析：由题意得AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →，故选A.答案：A10．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.解析：∵AM →＝2MC →，∴AM →＝23AC →.∵BN →＝NC →，∴AN →＝12(AB →＋AC →)，∴MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →. 又MN →＝xAB →＋yAC →，∴x ＝12，y ＝－16.答案：12 －1611．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足等式OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状为________．解析：由OA →＋OC →＝OB →＋OD →得OA →－OB →＝OD →－OC →，所以BA →＝CD →，所以四边形ABCD 为平行四边形． 答案：平行四边形12．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝________.(用e 1，e 2表示)解析：在矩形ABCD 中，因为O 是对角线的交点，所以OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(DC →＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2)． 答案：52e 1＋32e 213．已知A (1,0)，B (4,0)，C (3,4)，O 为坐标原点，且OD →＝12(OA →＋OB →－CB →)，则|BD →|等于__________．解析：由OD →＝12(OA →＋OB →－CB →)＝12(OA →＋OC →)，知点D 是线段AC 的中点，故D (2,2)，所以BD→＝(－2,2)，故|BD →|＝(－2)2＋22＝2 2.答案：2 2B 组——能力提升练1．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝me 1＋2e 2，b ＝ne 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则mn 等于( )A ．－12B.12 C ．－2D ．2解析：∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即me 1＋2e 2＝λ(ne 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m －λ＝2，故mn＝－2.答案：C2．在△ABC 中，AN →＝14NC →，若P 是直线BN 上的一点，且满足AP →＝m AB →＋25AC →，则实数m的值为( ) A ．－4 B ．－1 C ．1D ．4 解析：根据题意设BP →＝n BN →(n ∈R)，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋n BN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－n )AB →＋n 5AC →，又AP →＝m AB →＋25AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－n ＝m ，n 5＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，m ＝－1，故选B. 答案：B3．在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( )A ．(0，52] B ．(52，72] C ．(52，2] D ．(72，2] 解析：由题意得点B 1，B 2在以O 为圆心的单位圆上，点P 在以O 为圆心、半径为12的圆内，又AB 1→⊥AB 2→，AP →＝AB 1→＋AB 2→，所以点A 在以B 1B 2为直径的圆上，当点P 与点O 重合时，|OA →|最大，为2，当点P 在半径为12的圆周上时，|OA →|最小，为72，故选D.答案：D4．在△ABC 中，BD →＝3 DC →，若AD →＝λ1 AB →＋λ2 AC →，则λ1λ2的值为( )A.116B.316C.12D.109解析：由题意得，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →，∴λ1＝14，λ2＝34，∴λ1λ2＝316.答案：B5．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5 AM →＝AB →＋3 AC →，则△ABM 与△ABC 的面积的比值为( ) A.15 B.25 C.35D.45解析：设AB 的中点为D ，如图，连接MD ，MC ，由5 AM →＝AB →＋3 AC →，得5 AM →＝2 AD →＋3 AC →①，即AM →＝25AD →＋35AC →，即25＋35＝1，故C ，M ，D 三点共线，又AM →＝AD →＋DM →②，①②联立，得5 DM →＝3 DC →，即在△ABM 与△ABC 中，边AB 上的高的比值为35，所以△ABM 与△ABC 的面积的比值为35.答案：C6．设M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB →＋32MA →＋32MC →＝0，D 是AC 的中点，则|MD →||BM →|的值为( ) A.13 B.12 C ．1D ．2 解析：∵D 是AC 的中点，延长MD 至E ，使得DE ＝MD (图略)，∴四边形MAEC 为平行四边形，∴MD →＝12ME →＝12(MA →＋MC →)．∵MB →＋32MA →＋32MC →＝0，∴MB →＝－32(MA →＋MC →)＝－3MD →，∴|MD →||BM →|＝|MD →||－3MD →|＝13，故选A. 答案：A7．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λ AB →＋μ AD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝()A.58B.14 C ．1D.516解析：DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A.答案：A8．在△ABC 上，点D 满足AD →＝2AB →－AC →，则( )A ．点D 不在直线BC 上B ．点D 在BC 的延长线上 C ．点D 在线段BC 上 D ．点D 在CB 的延长线上解析：AD →＝2AB →－AC →＝AB →＋AB →－AC →＝AB →＋CB →； 如图，作BD ′→＝CB →，连接AD ′，则： AB →＋CB →＝AB →＋BD ′→＝AD ′→＝AD →； ∴D ′和D 重合；∴点D 在CB 的延长线上． 答案：D9．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC →＝3 EC →，F 为AE的中点，则BF →＝( )A.23AB →－13AD → B.13AB →－23AD →C ．－23AB →＋13AD →D ．－13AB →＋23AD →解析：如图，取AB 的中点G ，连接DG ，CG ，则易知四边形DCBG 为平行四边形，所以BC →＝GD →＝AD →－AG →＝AD →－12AB →，∴AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝23AB →＋23AD →，于是BF →＝AF →－AB →＝12AE →－AB →＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋23AD →－AB →＝－23AB →＋13AD →，故选C.答案：C10．设D 为△ABC 所在平面内一点，且BC →＝3BD →，则AD →＝( )A.23AB →＋13AC →B.13AB →＋23AC →C.43AB →＋13AC → D.23AB →＋53AC →解析：∵BC →＝3BD →∴BD →＝13BC →＝13(AC →－AB →)，则AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →.答案：A11．已知O 为坐标原点，B 、D 分别是以O 为圆心的单位圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点，点P 为单位圆劣弧BD 上一点，若OB →＋OD →＝xDB →＋yOP →，∠BOP ＝π3， 则x ＋y ＝( )A ．1 B. 3 C ．2D ．4－3 3 解析：如图，DB →＝OB →－OD →， ∴OB →＋OD →＝x (OB →－OD →)＋yOP →，∴yOP →＝(1－x )OB →＋(1＋x )OD →，① ∵∠BOP ＝π3，∴OP →＝12OB →＋32OD →，∴yOP →＝y 2OB →＋32yOD →，②由①②得⎩⎨⎧1－x ＝y2，1＋x ＝32y ，解得x ＝2－3，y ＝23－2，∴x ＋y ＝3，故选B.答案：B12．已知向量e 1、e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________.解析：因为a 与b 共线，所以a ＝xb ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2λx ＝－1，故λ＝－12.答案：－1213．如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________.解析：因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1.因为点M 为AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝12AB →＋16BC →，又AM →＝λAB →＋μBC →，所以λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝23.答案：2314.(2018·临汾模拟)如图，△ABC 中，GA →＋GB →＋GC →＝0，CA →＝a ，CB →＝b .若CP →＝ma ，CQ →＝nb ，CG ∩PQ ＝H ，CG →＝2CH →，则1m ＋1n ＝________.11解析：由GA →＋GB →＋GC →＝0，知G 为△ABC 的重心，取AB 的中点D (图略)，则CH →＝12CG →＝13CD →＝16(CA →＋CB →)＝16m CP →＋16n CQ →，由P ，H ，Q 三点共线，得16m ＋16n ＝1，则1m ＋1n＝6. 答案：615.如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．解析：由AN →＝13NC →，可知AN →＝14AC →， 又∵AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋811AN →，且B 、P 、N 共线，∴m ＋811＝1，∴m ＝311. 答案：311。
