向量同步练习

2.4 向量的数量积（数学苏教版必修4）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共30分）1. 已知a=（1，2），b=（-3，2），若k a+b与a-3b垂直，则k的值为.2. 已知向量a=（2cos ϕ，2sin ϕ），ϕ∈(π2，π)，b=（0，-1），则a与b的夹角为.3. 设a、b是非零向量，若函数f(x)=(x a+b)·(a-x b)的图象是一条直线，则必有.（填正确的序号）○1a⊥b；○2a∥b；○3|a|=|b|；○4|a|≠|b|.4. 如果向量a与b的夹角为θ，那么我们称a×b 为向量a与b的“向量积”，a×b是一个向量，它的长度为|a×b|=|a||b|sin θ.如果|a|=5,|b|=1,a·b=-3,则|a×b|= .5.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴，b=(2,-1)，则a= .6. 设a=（4，-3），b=（2，1），若a+t b与b的夹角为45°，则t的值为.二、解答题(共70分)7.（15分）已知a=（-2，2），b=（5，m），若|a+b|不超过5，求m的取值范围.8.（20分）已知a=（2，3），b=（-3，5），求a在b方向上的投影. 9. （15分）已知a=（-4，-3），b=（-3，-2），c=2a+λb，d=-a+2λb，当实数λ为何值时，向量c-d与a垂直？10. （20分）四边形ABCD 中，AB=a ，BC =b ，CD =c ，DA=d ，且a ·b =b ·c =c ·d =d ·a ，试问四边形ABCD是什么图形？2.4 向量的数量积（数学苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．二、解答题7.8.9.10.2.4 向量的数量积（数学苏教版必修4）答案一、填空题1. 19 解析：k a +b =k （1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2）， a -3b =（1，2）-3×（-3，2）=（10，-4）. 又k a +b 与a -3b 垂直，故（k a +b ）·（a -3b ）=0， 即（k-3）·10+（2k+2）·（-4）=0，得k =19.2. 3π2-ϕ 解析：设a 与b 的夹角为θ，则 cos θ=∙a b a b =-2sin φ2=-sin ϕ=cos(π2+ϕ). ∵ϕ∈（π2，π），θ∈［0，π］， ∴ cos θ=cos(π2+ϕ)=cos(3π2-ϕ).∴ θ=3π2-ϕ. 3. ○1 解析： f (x )=(x a+b )·(a-x b )=- a ·b x 2+(a 2-b 2)x+a ·b ,若函数f (x )的图象是一条直线，则其二次项系数为0，∴ a ·b =0,∴ a ⊥b .4. 4 解析：由于|a |=5，|b |=1，a ·b =|a ||b |cos θ=-3,所以cos θ=-35. 又因为θ为向量a 与b 的夹角，所以sin θ=45, 所以|a ×b |=|a ||b |sin θ=4.5. (-1,1)或（-3，1） 解析：设a =(x ,y ), 则a +b =(x+2,y-1),由题意得221,(2)(1)1,1310y x y x y =⎧++-=⎧⇒⎨⎨=---=⎩⎩或，∴ a =(-1,1)或（-3，1）.6.1 解析：∵ a =（4，-3），b =（2，1）， ∴ a +t b =（4+2t ，-3+t ）. ∵ a +t b 与b 的夹角为45°, ∴ （a +t b ）·b =|a +t b |·|b |·cos 45°，∴ （4+2t ）×2+（-3+t ）=222212t t ⨯+⨯22（4+2）+(-3+)， ∴ 5t+5=252252t t ++. ∴225t t ++=（t+1）.①将①式两边平方得t 2+2t-3=0，解得t =1或t =-3. 而t =-3时①式无意义，∴ t =-3舍去，取t =1.二、解答题7.解：由a +b =（3，2+m ），|a +b |≤5， 得9+（2+m ）2≤25.解得-6≤m ≤2. 8.解：∵ a ·b =2×（-3）+3×5=9，|b |=22(3)5-+=，∴ |a |cos θ=∙a b b =93434. 9.解：因为c =2a +λb ，d =-a +2λb ，所以c -d =（2a +λb ）-（-a +2λb ）=3a -λb . 又a =（-4，-3），b =（-3，-2），所以c -d =3（-4，-3）-λ（-3，-2）=（-12+3λ，-9+2λ）.又（c -d ）⊥a ，所以（-12+3λ）×（-4）+（-9+2λ）×（-3）=0.解得λ=256. 10.解：因为a +b +c +d =0，所以a +b =-（c +d ）.所以（a +b ）2=（c +d ）2. 即|a |2+2a ·b +|b |2=|c |2+2c ·d +|d |2. 由于a ·b =c ·d ，所以|a |2+|b |2=|c |2+|d |2.① 同理，有|a |2+|d |2=|c |2+|b |2.② 由①②可得|a |=|c |，且|b |=|d |， 即四边形ABCD 两组对边分别相等. 所以四边形ABCD 是平行四边形. 又由a ·b =b ·c 得b ·（a -c ）=0.而由平行四边形ABCD 的性质得a =-c ， 代入上式得b ·（2a ）=0，即a ·b =0. 所以a ⊥b .亦即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形.。

9.3.3 向量平行的坐标表示（同步训练）-高中数学苏教版（2019）必修二一、选择题1．已知()1,m x = ,(),2n x = ,若//m n,则x =( )2．已知向量()3,a m = ，11,3b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ .若//a b，则实数m =( )A.1B.1-C.9D.9-3．已知向量()2,1a = ,()2,b m m =- ,若//a b,则m =( ).A.4- B.2- C.2D.44．已知向量(),4a m = ，()3,2b =- ，且//a b，则m =( )A.6B.-835．已知向量()1,0a = ,()1,1b =,()()//a b a b λμ+-,则( )A.1λμ+= B.0λμ+= C.1λμ= D.1λμ=-6．已知向量(1,)a λ= ,(,2)b μ=- ,且a 与b共线,则( )=-2= C.2λμ=- D.2λμ=二、多项选择题7．下列说法中，正确的有( )A.若0a λ=，则0a = B.若ab λ=，则//a bC.若0a b λμ+=，则//a bD.若AB AC λ→→=，则A ，B ，C 三点共线8．已知向量()1,3OA =- ，()2,1OB =- ，()1,2m C m O =+-，若点A ，B ，C能构成三角形，则实数m 可以是( ) C.1 D.－1三、填空题9．若向量()2,3a =- ,()1,2b m =+ ,且//a b,则m =__________.10．已知向量()1,1a x x =-+ ,()2,1b =- ,若//a b,则实数x =_____________.11．已知()4,2a = ，()6,b y = ，且//a b ，则y =___________.四、解答题12．已知向量()1,2a =- ，()3,2b =.(1)若2ka b - 与2a b +垂直，求实数k 的值；(2)已知O ，A ，B ，C 为平面内四点，且2OA a b =+ ，3OB a b =+ ，()3,2OC m m =-.若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值.13．已知向量(3,1)a =- ,(1,2)b =- ,m a kb =+,()k ∈R (1)若向量m 与a垂直,求实数k 的值(2)当k 为何值时,向量m 与a b +平行.参考答案1．答案：C解析：因为()1,m x = ,(),2n x = ,//m n,所以2120x ⨯-=,解得x =故选：C.2．答案：B解析：因为向量()3,a m = ，11,3b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，且//a b，得()1313m ⨯=-⨯，得m =1-.故选：B.3．答案：B解析：()2,1a = ,()2,b m m =-,由//a b可得22m m =-,解得2m =-.故选:B.4．答案：B解析：向量(),4a m = ，()3,2b =- ，且//a b，2430m ∴--⨯=，解得6m =-.故选：B.5．答案：B解析：因为()1,0a = ,()1,1b =,所以()1,a b λλλ+=+ ,()1,a b μμμ-=--,因为()()//a b a b λμ+-,所以()()()110λμλμ+---=,则0λμ+=.故选：B.6．答案：C解析：向量(1,)a λ= ,(,2)b μ=- ,且a 与b共线,则()12λμ⨯-=,所以2λμ=-.7．答案：BD解析：A 选项中0λ=也成立，故错误；B 选项中当0λ=时，0a = ，0 与任一向量平行，当0λ≠时，//a b，故正确；C 选项中0λμ==时不平行，故错误；D 选项依据共线定理可知正确.故选：BD.8．答案：ABD解析：因为(2,1)(1,3)(1,2)AB OB OA =-=---=，(1,2)(1,3)(,1)AC OC OA m m m m =-=+---=+.假设A ，B ，C 三点共线，则()1120m m ⨯+-=，即1m =.所以只要1m ≠，则A ，B ，C 三点即可构成三角形.故选：ABD.9．答案：73-解析：由题意得()314m +=-,解得m =10．答案：解析： //a b ,()1,1a x x =-+ ,()2,1b =- ,1220x x ∴-++=,x ∴=11．答案：3解析：因为()4,2a = ，()6,b y = ，且//a b，所以4260y -⨯=，则3y =.故答案为：3.12．答案：(1)k =(2)2m =解析：（1）()()()21,223,26,42ka b k k k -=--=---，则()()()221,23,25,2a b +=-+=-，因为2ka b - 与2a b +垂直，所以()()562420k k ----=，解得k =（2）()()()21,223,27,2OA a b =+=-+=，()()()331,23,26,4OB a b =+=-+=-，()()()6,47,21,6AB OB OA =-=--=--，()()()3,27,237,22AC OC OA m m m m =-=--=---，因为A ，B ，C 三点共线，所以//AB AC.所以()()122637m m -⨯--=-⨯-，解得2m =.13．答案：答案：(1)2(2)1解析：(1)由已知可得(3,12)m k k =-+-,因为向量m 与a垂直,所以3(3)1(12)0k k -⨯-++⨯-=,解得2k =;(2)(2,1)a b +=-- ,因为m 与a b +平行,所以2(12)1(3)k k -⨯-=-⨯-+,解得1k =,所以当1k =时,向量m 与a b +平行。

1.对空间任意两个向量→-a ，→-b （→-b ≠→-0），→-a ∥→-b 的充要条件是 ( )A 、→-b =λ→-aB 、→-a =λ→-bC 、→-a =→-bD 、→-a =-→-b2.在空间四边形ABCD 中，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则21AB +→--(→--BD +→--BC )等于 ( )A 、→--ADB 、→--GAC 、→--AGD 、→--MG3．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点 A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OC OB OA OM ++=B ．OC OB OA OM --=2C ．OC OB OA OM 3121++=D ．OC OB OA OM 313131++=4．对空间任意两个向量b a o b b a //),(,≠的充要条件是 （ ）A ．b a =B ．b a -=C ．a b λ=D ．b a λ=5.在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）36.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ） （A ）+-a b c （B ）-+a b c （C ）-++a b c （D ）-+-a b c7.平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，+→--AB →--11C B +→--1DD =____________ 。

8.如果两个向量→-a ，→-b 不共线，则→-p 与→-a ，→-b 共面的充要条件是____ ________。

9.4 向量应用（同步训练）-高中数学苏教版（2019）必修二一、选择题1．已知O 是ABC △2OC OB OC-=+- ABC 一定为( )A.以BC 为底边的等腰三角形B.以AB 为底边的等腰三角形C.以BC 为斜边的直角三角形D.以AB 为斜边的直角三角形2．如图，已知O 是ABC △的垂心，且230OA OB OC ++=，则tan :tan :tan BAC ABC ACB ∠∠∠等于( )A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:63．如果一架飞机向西飞行400km ，再向东飞行500km ，记飞机飞行的路程为s ，位移为a ，那么||s -=a ( )A.800kmB.700kmC.600kmD.500km4．已知，，||||4c a c a ++-=，2650d b d -⋅+= ，则||c d - 的最大值为( )+2+5．某校的八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，寓意“方方正正做人”，又寄托南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神.如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45︒后的正方形组合而成，已知向量n ，k ，则向量=a ( )||a = |1b = 0a b ⋅=A.23+n kB.(23++n kC.(2(2++n kD.(1(2++n k6．如图，圆O 是边长为4的正方形ABCD 的内切圆，PQR △是圆O 的内接正三角形，若PQR △绕着圆心O 旋转，则AQ OR ⋅的最大值是( )A.2++1+2+二、多项选择题7．已知ABC △是边长为1的等边三角形,点D 在边AC 上,且3AC AD =,点E 是BC 边上任意一点（包含B ,C .点）,则AE BD ⋅的取值可能是( )A.8．瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上,而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半,”这就是著名的欧拉线定理.设ABC △中,点O ､H ､G 分别是外心､垂心和重心,下列四个选项中结论正确的是( )A.2GH OG =B.0GA GB GC ++=C.OH OA OB OC=++ D.OA OB OC== 三、填空题9．一个所受重力大小为20N 的物体从倾斜角为30︒，斜面长1m 的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是__________.10．如图所示，一个物体被两条轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是1F ，2F ，且1F ，2F 与水平夹角均为45N ，则物体的重力大小为__________N.11．已知等边ABC △的外接圆O 的面积为36π,动点M 在圆O 上,若MA MB MB MC λ⋅+⋅≤,则实数λ的取值范围为________________.四、解答题12．如图，在ABC △中，已知2AB =，5AC =，60BAC ∠=︒，BC ，AC 边上的两条中线AM ，BM 相交于点P ，求MPN ∠的余弦值.13．用向量的方法证明梯形的中位线定理：梯形两腰中点的连线等于两底边和的一半，且平行于上、下两底边.参考答案1．答案：C2OC OB OC-=+-+AC AB -=+ 2AC AB -=+ 2222AB AC AB AC AB AC ⋅=++⋅ ,所以0AB AC ⋅=,则AB AC ⊥,所以ABC △是以BC 为斜边的直角三角形.故选：C.2．答案：A解析：O 是ABC △的垂心，延长，BO ，分别交边AB ，，BC 于点P ，M ，N，如图，则，BM AC ⊥，，BOP BAC ∠=∠，，12tantan 21OP BOP O OC BPBP AP OCAP P AOP ⋅∠===∠⋅==于是得tan :tan :tan ::BOC AOC AOB BAC ABC ACB S S S ∠∠∠=△△△，又230OA OB OC ++= ，由“奔驰定理”有0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=△△△，即::1:2:3BOC AOC AOB S S S =△△△，所以tan :tan :tan 1:2:3BAC ABC ACB ∠∠∠=，故选：A.3．答案：ACO AO AC CP AB ⊥AN BC ⊥AOP ABC ∠=∠解析：依题意，400500900(km)s =+=，||100km =a ，所以||900100800(km)s -=-=a .故选A.4．答案：C 解析：如图所示，不妨设a OA ==，(0,1)b OB ==，(,)OC m n = ，(,)OD p q = ，1(A ，满足||a =|1b = ，0a b ⋅= ，又||||c a c a ++-=1422||a c A A +==>==，由椭圆的定义可知点C 在以1A ，A 为焦点，长轴长为4的椭圆上运动，2a =，c ====21y +=，而2650d b d -⋅+= ，即22650p q q +-+=，即，这表明了点D 在圆上面运动，其中点为圆心，为半径，，等号成立当且仅当C ，D ，E 三点共线，故只需求上面运动，所以不妨设，则||CE ===所以当6sin 12(3)θ-=-=-⨯-，且C ，D ，E 三点共线时，||c d - 有最大值，max ||226CE +=+=.故选：C.22(3)4p q +-=22(3)4x y +-=(0,3)E 2r =2d OC OD CD CE ED CE =-=≤+=+|CE 21y =(2cos ,sin )C θθ5．答案：D解析：根据题意可得||||=n k .图形是以正方形中心为中心将正方形逆时针旋转45︒后与原正方形组合而成，如图.由对称性可得||||||||||||AB BC CD DE EQQF =====，|||||||||CE EF FG AB ====n ，点B ，C ，E ，Q共线，点Q ，F ，G 共线，所以(2BQ BC CE EQ =++=k ，(1QG QF FG =+=n ，所以(2(1BQ QG =+=++a k n .故选D.6．答案：D解析：由题意，可得，又由[0,π]AOR ∠∈，所以，又因为2π22cos 23OQ OR ⋅=⨯⨯=- ，所以，所以AQ OR ⋅的最大值为7．答案：AB解析：设BC 的中点为O ,以点O 为坐标原点,BC ,OA 所在直线分别为x ,y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系xOy ,2cos OA OR AOR AOR ⋅=⨯∠=∠[AOR ∠∈-()2[22AQ OR OQ OA OR AOR ⋅=-⋅=--∠∈---+2-+由于ABC △是边长为1的等边三角形,且3AC AD =,所以1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,A ⎛ ⎝,16D ⎛ ⎝设(),0E x ,则1122x -≤≤,所以,AE x ⎛= ⎝,23BD ⎛= ⎝,所以21113222AE BD x x ⎛⎫⋅=--≤≤ ⎪⎝⎭ ,所以521632x -≤-≤即51,66AE BD ⎡⎤⋅∈--⎢⎥⎣⎦,故选：AB.8．答案：ABC 解析：如图:根据欧拉线定理可知,点O ､H ､G 共线,且2GH OG =.对于A,2GH OG = ,2GH OG ∴=,故A 正确;对于B,G 是重心,则延长AG 与BC 的交点D 为BC 中点,且2AG GD =,则20GA GB GC GA GD ++==+,故B 正确;对于C,233()3232()33OH OG AG AO AD AO AD AO AO OD AO⎛⎫==-=-=-=+- ⎪⎝⎭2OD AO=-OB OC OA =++,故C 正确;对于D,OA OB OC ==显然不正确.故选:ABC.9．答案：10J解析：因为物体的重力为20N，物体在重力方向上的位移大小是11sin 30(m)2⨯︒=，2010(J)=.10．答案：解析：一个物体被两条轻质细绳拉住，且处于平衡状态，所以重力为，与水平夹角均为，所以由向量加法的平行四边形法可知，所以物体的重力大小为.11．答案：[)72,+∞解析：依题意,设ABC △的外接圆的半径为R ,则2π36πR =,故6R =,在等边ABC △12=,则AB =取线段AC 的中点N ,连接BN ,则9BN AB ==,所以()2MA MB MB MC MB MA MC MB MN ⋅+⋅=⋅+=⋅ ;取线段BN 的中点P ,连接BP ,则O 在线段BN 上,且133ON BN ==,所以93322OP NP ON =-=-=,1||=+G F 1F 2F 45N 12+F F 212cos 45210+=︒=⨯=F F N则2214MB MN MP BN ⋅=- 又()2222362MP MP MO OP ⎛⎫=≤+=+= ⎪⎝⎭ 故225813644MB MN ⋅≤-=,则72λ≥.故答案为：[)72,+∞.12解析： M ，N 分别是BC ，AC 的中点，1()2AM AB AC ∴=+ ，12BN AN AB AC AB =-=- .AM 与BN 的夹角等于MPN ∠，cos ||||AM BNMPN AM BN ⋅∴∠=.11()22AM BN AB AC AC AB ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭ 2211114242AB AC AB AC AB AC =⋅-+-⋅2211125cos 60253424=-⨯⨯⨯︒-⨯+⨯=，||AM ===，||BN ===，cos MPN ∴∠==13．答案：证明见解析解析：证明：因为,,EF ED DC CF EF EA AB BF ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩所以1()2EF ED DC CF EA AB BF =+++++ .又因为E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则ED EA +=0 ，CF BF +=0，所以1()2EF AB DC =+ .因为AB ，DC共线且同向，所以1||(||||)2EF AB DC =+ .不妨设(0)AB DC λλ=≠，则11()(1)22EF DC DC DC λλ=+=+ ，所以//EF DC .又EF ，CD 无公共点，所以//EF DC .同理.所以梯形的中位线定理即证.//EF AB。

用向量讨论平行与垂直同步练习题一、选择题1．直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)，则l 与α的位置关系是( )A ．l ⊥αB ．l ∥αC ．l 与α相交但不垂直D ．l ∥α或l ⊂α2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(2,1，－1)，v ＝(3,2,8)，则( )A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交不垂直D ．以上均不正确3．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( )A ．平行B ．相交但不垂直C ．垂直D ．不能确定 4．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y)分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝1525．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l∥αB ．l⊥αC ．l αD ．l 与α斜交 6．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的可能是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1，－2,1)C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3，－1)7．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 等于( ) A ．2 B ．－4 C ．4 D ．－2 8．已知直线l 1的方向向量a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a⊥b ，则x ＋y 的值是( )A ．－3或1B ．3或－1C ．－3D ．1 9.已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A （4,1,3），B （2，-5，1），C （3，7，λ），若AB ⊥AC ，则λ等于（ ） A.28 B.-28 C.14 D.-14 10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1A 二、填空题11.设a ，b 分别是直线l 1，l 2的方向向量，根据下列条件判断直线l 1，l 2的位置关系： (1)a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)，l 1与l 2__ __；(2)a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,0,3)，l 1与l 2__ _____.12．平面α，β的法向量分别为m ＝(1,2，－2)，n ＝(－2，－4，k )，若α⊥β，则k 等于_______． 13．已知A (1,0,1)，B (0,1,1)，C (1,1,0)，则平面ABC 的一个法向量为________．14．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)， AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是_______．15．若A ⎝⎛⎭⎪⎫0，2，198，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，58，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，58是平面α内三点，设平面α的法向量为a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.16．已知A(1,1，－1)，B(2,3,1)，则直线AB 的模为1的方向向量是_____________． 三、解答题17.已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)， C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．18．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：(1)AD 1∥平面BDC 1；(2)A 1C ⊥平面BDC 1.19.已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝DA ＝CD ＝2AB ＝2，M 点为PC 的中点．(1)求证：BM ∥平面PAD ； (2)在平面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD .20.在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是11D B 的中点，求证：11//ODC C B 面.21.在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是棱BC AB ,的中点，试在棱1BB 上找一点M ，使得M D 1⊥平面1EFB .22．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求证：(1)FC 1∥平面ADE ；(2)平面ADE∥平面B 1C 1F.23．在棱长为1的正方体AC 1中，O 1为B 1D 1的中点．求证：(1)B 1D ⊥平面ACD 1；(2)BO 1∥平面ACD 1.24．在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点． (1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．。

1.2 空间向量基本定理同步练习一、单选题1．{},,a b c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ）A ．{},,a a b a b +-B ．{},,b a b a b +-C ．{},,c a b a b +-D ．{},,2a b a b a b +-+【答案】C【解析】对于A ，因为()()2a b a b a ++-=，所以,,a a b a b +-共面，不能构成基底，排除A ， 对于B ，因为)()2a b a b b +--=(，所以,,b a b a b +-共面，不能构成基底，排除B ， 对于D ，312()()22a b a b a b +=+--，所以,,2a b a b a b +-+共面，不能构成基底，排除D ， 对于C ，若,,c a b a b +-共面，则()()()()c a b a b a b λμλμλμ=++-=++-，则,,a b c 共面，与{},,a b c 为空间向量的一组基底相矛盾，故,,c a b a b +-可以构成空间向量的一组基底，故选C2．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则BD 等于（ ）A ．1122a b c -+ B ．a b c +-C ．a b c -+D ．1122a b c -+- 【答案】A【解析】由题意在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =， 可知：BD BO OD =+，BO b =-，11112222OD OA OC a c =+=+，1122BD a b c =-+．故选A ．3．如图，在三棱锥A BCD -中，E ､F 分别是棱AD ､BC 的中点，则向量EF →与,AB CD →→的关系是（ ）A ．1122EF AB CD →→→=+B ．1122EF AB CD →→→=-+C ．1122EF AB CD →→→=-D ．1122EF AB CD →→→=--【答案】C【解析】取AC 的中点M ，连结,EM FM ，,E F 分别是,AD BC 的中点，12ME CD →→∴=，12MF AB →→∴=，1122EF MF ME AB CD →→→→→∴=-=-.故选C .4．如图，在四面体OABC 中，2OM MA =，BN NC =，则MN =（ ）A ．111222OA OB OC →→→+-B ．221332OA OB OC →→→+-C ．121232OA OB OC →→→-+D ．211322OA OB OC →→→-++【答案】D【解析】∵2OM MA →→=，BN NC →→=，∴12()23MN ON OM OB OC OA →→→→→→=-=+-211322OA OB OC →→→=-++．故选D ．5．在下列结论中：①若向量,a b 共线，则向量,a b 所在的直线平行；②若向量,a b 所在的直线为异面直线，则向量,a b 一定不共面； ③若三个向量,,a b c 两两共面，则向量,,a b c 共面；④已知空间的三个向量,,a b c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p xa yb zc =++. 其中正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错． 两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错，三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两共面，但它们不是共面向量，故③错．根据空间向量基本定理，,,a b c 需不共面，故④错． 故选A ．6．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若1,,AB a AD b AA c ===，则CM =（ ）A ．1122++a b c B ．1122-+a b c C ．1122a b c -++ D ．1122--+a b c【答案】D【解析】由题意，因为M 为11A C 与11B D 的交点，所以M 也为11A C 与11B D 的中点， 因此()()11112CM AM AC AA A M AB AD AA AC AB AD =-=+-+=+-+ ()1121122AA AB AD a b c -=-+=-+.故选D. 7．在三棱锥A BCD -中，E 是棱CD 的中点，且23BF BE =，则AF =（ ） A ．133244AB AC AD +- B ．3344AB AC AD +-C ．533AB AC AD -++D ．111333AB AC AD ++【答案】D【解析】因为E 是棱CD 的中点，23BF BE =， 所以()22213333AF AB BF AB BE AB AE AB AE AB =+=+=+-=+ ()1111133333AC AD AB AB AC AD =++=++.故选D.8．若{},,a b c 是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（ ）A ．,2,3a b cB ．,,a b b c c a +++C ．,,a b c b c c +++D ．2,23,39a b b c a c ++-【答案】D【解析】对于:,2,3,:,,,:,,A a b c B a b b c c a C a b c b c c ++++++，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底，对于D ：2,23,3-9a b b c a c ++满足：()()3-932-23a c a b b c ⎡⎤=++⎣⎦，是共面向量，不能构成空间的一个基底，故选D9．如图，在四面体OABC 中，G 是底面∆ABC 的重心，则OG 等于（ ）A ．OA OB OC ++ B ．111222OA OB OC ++ C ．111236OA OB OC ++D ．111333OA OB OC ++【答案】D 【解析】()()211112323333AG AC AB OC OA OB OA OC OB OA ⎛⎫=⋅⋅+=⋅-+-=+- ⎪⎝⎭ 则111333OG AG OA OA OB OC =+=++,故选D. 10．已知在平行六面体ABCD A B C D '-'''中，3AB =，45AD AA ='=，，120BAD ∠=︒，60BAA ∠='︒，90DAA ∠='︒，则AC '的长为（ ）A ．2B ．53C 58D 53【答案】D【解析】在平行六面体ABCD A B C D '-'''中，3AB =，AD 4=, 5AA '=，120BAD ∠=︒，60BAA ∠='︒，90DAA ∠='︒，AC AB AD AA ''=++,()22AC AB AD AA '∴=++'222222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+'⋅''91625234cos120235cos6050121553=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=-+=则53AC ='．故选D11．（多选题）给出下列命题，其中正确命题有（ ）A ．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B ．已知向量//a b ，则,a b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．,,,A B M N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么,,,A B M N 共面D ．已知向量{},,a b c 组是空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底 【答案】ABCD【解析】选项A 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A 正确；选项B 中，根据空间基底的概念，可得B 正确；选项C 中，由,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，可得,,BA BM BN 共面， 又由,,BA BM BN 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，所以C 正确；选项D 中：由{},,a b c 是空间的一个基底，则基向量,a b 与向量m a c =+一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D 正确． 故选ABCD.12．（多选题）设a ，b ，c 是空间一个基底，则（ ）A ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cB ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，z )，使p xa yb zc =++D ．则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 一定能构成空间的一个基底 【答案】BCD【解析】对于A 选项，b 与,a c 都垂直，,a c 夹角不一定是π2，所以A 选项错误. 对于B 选项，根据基底的概念可知a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面. 对于C 选项，根据空间向量的基本定理可知，C 选项正确.对于D 选项，由于a ，b ，c 是空间一个基底，所以a ，b ，c 不共面.假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，设()()()1a b x b c x c a +=++-+，化简得()1x a x b c ⋅=-+，即()1c x a x b =⋅+-，所以a ，b ，c 共面，这与已知矛盾，所以a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面，可以作为基底.所以D 选项正确.故选BCD三、填空题13．已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD =x SA ySB zSC ++，则x +y +z =_____.【答案】12-【解析】如图，根据条件()12BD BC BS =+ ()12SC SB SB =-- 12SB SC =-+ 102SA SB SC =-+,又BD xSA ySB zSC =++,∴由空间向量基本定理得110122x y z ++=-+=-,故填12-14．平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，向量1,,AB AD AA 两两的夹角均为60°，且AB =1，|AD |=2，|1AA |=3，则|1AC |等于_____. 【答案】5【解析】由平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1可得:11AC AB AD AA =++， ∴22221111222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++⋅⋅++⋅+=12+22+32+2cos 60°(1×2+1×3+2×3) =25，∴1AC =5.故填5.15．已知点M ，N 分别是空间四面体OABC 的边OA 和BC 的中点，P 为线段MN 的中点，若OP =λOA +μOB +γOC ，则实数λ+μ+γ=_____.【答案】34【解析】如图，连接ON ，在△OMN 中，点P 是MN 中点，由平行四边形法则得．()()111111111222422444OP OM ON OM ON OA OB OC OA OB OC =+=+=+⨯+=++, 又OP =λOA +μOB +γOC ，∴111,,444λμγ===，∴34λμγ++=．故填34．16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 是1CC 的中点，1113A F AB =，且1DF AB AC AA αβγ=++，则αβγ++=__________．【答案】12-【解析】由题意的：1113A F A B =，1111DF DC C A A F =++=111123CC AC A B -+=1111111233AA AC A B A A -++=1111111233AA AC A B AA -+-=11136AB AC A A -+, 故可得α=13，β=-1，γ=16，可得：αβγ++=1-2.故填1-2.17．如图所示,在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===,点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N为BC 中点，若=MN xa yb zc ++，则x y z ++=_____________【答案】13【解析】,,,OA a OB b OC c ===点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，22=33OM OA a ∴= ()111222ON OB OC b c =+=+ 112=223MN ON OM b c a ∴-=+-211,,322x y z ∴=-== 故21113223x y z ++=-++= 故填1318．如图，在空间四边形OABC 中，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且3MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG ，设OG x OA y OB z OC =⋅+⋅+⋅，则x 、y 、z 的和为______.【答案】78【解析】MN MA AB BN =++11111()22222OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=-++ 13131112424222OG OM MG OA MN OA OA OB OC ⎛⎫∴=+=+=+-++ ⎪⎝⎭813388OA OB OC =++133,,888x y z ∴===，即78x y z ++=．故填78三、解答题19．已知ABCD A B C D -''''是平行六面体．（1）化简1223AA BC AB '++，并在图形中标出其结果； （2）设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC B ''的对角线BC '上的点，且:3:1BN NC '=，设MN AB AD AA αβγ'=++，试求α，β，γ的值．【解析】（1）如图所示，取线段AA '中点E ，则12EA AA ''=， BC AD A D ''==， 取23D F D C '''=， ∵AB D C =''，∴2233AB D C D F '''==．则2312AA BC AB EA A D D F EF '''''++=++=．（2）∵ M N MB BN +=124 3BC DB =+'314()()2DA AB BC CC '=+++ 113 244AB AD AA '=++αAB βAD γAA '++=，∴12α=，14β=，34γ=． 20．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，设1,,AB a AD b AA c ===，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．（1）用向量,,a b c 表示1,D B EF ，；（2）若1D F xa yb zc =++，求实数x ，y ，z 的值．【解析】（1）111D B D D DB AA AB AD a b c=+=-+-=--，11122EF EA AF D A AC =+=+ 1111()()()222AA AD AB AD a c =-+++=-.（2）11111111()()22222D F D D D B c a b c a b c =+=-+--=--，所以11,,122x y z ==-=-.21．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA ∠=∠=︒．（1）设1AA a =，AB b =，AC c =，用向量a ，b ，c 表示1BC ，并求出1BC 的长度； （2）求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．【解析】（1）111111111BC BB B C BB A C A B a c b =+=+-=+-∴11cos 11cos602a b a b BAA ︒=∠=⨯⨯=，同理可得12a cbc ==， ∴()222212222BC a c ba cb ac a b c b =+-=++-+-=．（2）因为1AB a b =+，所以()222123AB a b a b a b =+=++=，因为()()22111AB BC a ba cb a ac a b b a c b b =++-=+-++-=，所以1111116cos ,23AB BC AB BC AB BC <>==⨯．∴异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为6622．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，（1）用,,a b c 表示BM ； （2）求对角线1AC 的长； （3）求1cos ,AB AC【解析】（1）连接1A B ,AC ，1AC ，如图：AB a =，AD b =，1AA c =在1A AB ，根据向量减法法则可得：11BA AA AB c a =-=- 底面ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD a b =+=+11//AC A C 且11AC AC =，∴ 11AC AC a b==+ 又M 为线段11A C 中点，∴ ()1111122A M b AC a ==+ 在1A MB 中()11111222BM BA A M c a a a b c b -+=+=+-++= （2）顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒∴1cos602a b a b ⋅=⋅︒=，s 2c 160o a a c c ⋅⋅==︒，s 2c 160o b b c c ⋅⋅==︒，由（1）可知AC a b =+∴平行四边形11AA CC 中故：11AC AC A b A a c+=+=+ ()()22211C a cb A AC ==++()()()222+++222+a c a b c c b b a =⋅+⋅⋅222+++cos cos cos 606062022b a bc a b c c a ︒+⋅⋅︒+︒=⋅11121+1+1+22222++=⨯⨯⨯6=∴16AC =故：对角线1AC . （3）1AC a b c=++，AB a =又111cos ,a a c AB AC AB AC AB AC b ⋅+⋅==⋅+212311b a a a c+++⋅⋅=+===。

向量一、选择题1.已知平行四边形ABCD 中，AD =(3,7), AB =(-2,3),对角线AC 、BD 交于O ，则CO 的坐标是( ) A.(- 21，5) B.(- 21， -5) C.( 21)，-5) D.( 21，5) 2.设点P 分21P P 的比为λ，若｜21P P ｜=4｜2PP ｜，则λ的值为( )A..-5或3B.-4或2C.5或-3D.4或-23.三点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、C(x 3,y 3)共线的充要条件是( )A.x 1y 2-x 2y 1=0B.x 1y 3-x 3y 1=0C.(x 2-x 1)(y 3-y 1)=(x 3-x 1)(y 2-y 1)D.(x 2-x 1)(x 3-x 1)=(y 2-y 1)(y 3-y 1)4.已知点A(1，8)，B(5，0)且｜PA ｜=3｜PB ｜,(A 、B 、P 三点共线)则点P 的坐标为( )A.(4，2)B.(7，-4)C.(4，2)或(7，-4)D.不存在5.设=(23,sin α), =(cos α,31)且∥，则锐角α为( ) A.30°B.60°C.45°D.75° 6.点P 分有向线段21P P 成定比λ，若λ∈(-∞，-1)，则λ所对应点，P 的集合是( )A.线段P 1P 2B.线段P 1P 2的延长线C.射线P 2P 1D.线段P 1P 2的反向延长线7.已知向量AB =(6,1), BC =(x,y), CD =(-2,-3),则DA =( )A.(x+4,2-y)B.(x-4,2-y)C.(x-4,y-2)D.(-4-x,-y+2)8.已知M(-1，0)，N(5，6)，P(3，4)，P 为MN 的定比分点，则λ的值是( ) A.31 B.3 C. 21 D.29.已知=(1,2), =(x,1)，当+2与2-共线时，x 值为( )A.1B.2C. 31D. 21 10.在△ABC 中，A(3，1)，AB 中点为D(2，4)，三角形的重心G(3，4)，则B 、C 坐标分别为( )A.(1，7)、(4，5)B.(1，7)、(5，4)C.(7，1)、(4，5)D.(7，1)、(5，4)11.如果1e 、2e 是平面α内所有向量的一组基底，那么( )A.若实数λ1、λ2，使λ11e +λ22e =,λ1=λ2=0B.空间任一向量a 可以表示为a =λ11e +λ22e ,这里λ1、λ2是实数C.对实数λ1、λ2，λ11e +λ22e )不一定在平面α内D.对平面α内的任一向量a ，使a =λ11e +λ22e 的实数λ1、λ2有无数对.12.已知：平面上有三个点A(-2，1)、B(1，4)、D(4，-3)，又有一点C 在线段AB 上，使｜｜=2｜｜，连结DC 并延长至E ，使｜｜＝4｜｜，则点E 的坐标为( )A.(0，1)B.(-83 ，311)C.(0，1)或(-38，311)D.(-8，-35) 二、填空题：1.已知1e 、2e 是一对不共线的非零向量，若=1e +λ2e , b =-2λ1e -2e ,且、共线，则λ= .2.若向量=(1，-2)的终点在原点，那么这个向量的始点坐标是 .3. 在△ABC 中，已知=a ,CA =c ，O 是△ABC 的重心，则OB +OC = .4.已知△ABC 的顶点A(4，5)，重心G(-1，2)，则BC 边的中点D 坐标为三、解答题：1.已知=,B(1,0), =(-3,4), =(-1,1)，且=3-2，求点A 的坐标.2.已知△ABC ，A(7，8)、B(3，5)、C(4，3)，M 、N 是AB 、AC 的中点，D 是BC 中点，MN 与AD 交于F ，求DF .3.已知A(1，-2)，B(2，1)，C(3，2)和D(-2，3)，以、为一组基底来表示++. 4.已知两点A(3，-4)、B(-9，2)，在直线AB 上求一点P ，使得｜AP ｜=31｜AB ｜. 5.正方形ABCO ，按顺时针方向依次为A →B →C →O ，O 为坐标原点=(1,3)，求向量，OC 的坐标.6.已知点M(2，3)、N(8，4)，点P 在线段MN 内，且MP =λPN =λ2MN ，求λ的值及P 点的坐标.附加题1、已知，不共线，=+, =2-，将符合下列条件的向量写成m +n )的形式：(1)点C 分所成的比λ=2，则= .(2)点C 分所成的比λ=-3,则= .2、已知平行四边形三个顶点是(3，-2)，(5，2)，(-1，4)，则第四个顶点的坐标为 .3、已知A(2，3)、B(0，1)、C(3，0)，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，且DE 平分△ABC 的面积，求点D 的坐标. 向量测试01 一、选择题 BACCC BDDDB AB 二、填空 1.±22 2. (-1，2) 3. 31 (a -c ) 4. (- 27，21) 三、解答题： 1.(8，-10) 2. DF =-21 AD =(47,2) 3.32AB -22AC 4、.P(-1，-2)或P(7，-6)5、OA =(231-,231+), OC =2 (462+,62-) 6、λ=215-,P(11-35,259-) 附加题1、解：(1)由AC =λCB ,有OC -OA =λ(OB -OC )有OC =λ+11OA +λλ+1OB 所以OC =211+OA +212+OB =31 (a +b )+32(a -b )=35a -31b (2) OC =λ+11 OB +λλ+1OA =-21 (2a -b )+23( a +b )=21a +2b 2、解：如图，设OA =(3,-2), OB =(5,-2), OC =(-1,4), OD =(x,y)依题意，AB =DC 或AC =DB 或AB =CD由AB =DC ，可得：OB -OA =OC -OD即(5,2)-(3,2)=(-1,4)-(x,y) ⇔ (2,4)=(-1-x,4-y)∴D(-3，0)同理，若=可得：(-4，6)=(5-x,2-y).∴x=9,y=-4, ∴D(9,4)若=可得：(2，4)=(x+1,y-4)∴x=1,y=8. ∴D(1,8)∴点D 的坐标为(-3，0)或(9，-4)或(1，8)3、解：因为DE ∥BC ，则有△ADE ∽△ABC.有ABC ADE S S △△=(ABAD )2 由已知，有(AB AD )2=21，即AB AD =21以点D 分所成的比为λ，利用分点定义可得λ=121-=2+1所以得点D 的横、纵坐标为 x=1212++=2-2,y=121123++++=3-2则点D 的坐标为(2-2，3-2)。

《1.2空间向量及其运算的坐标表示》同步练习一、单选题1．已知向量，，则向量（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知向量，向量，若，则实数（ ）A ．B ．C ．D ．3．若向量，且，则实数的值是（ ）A ．B ．0C ．D ．14．已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ）A ．BC ．D ． 5．已知，，且，则（ ）A ．-4B ．-5C ．5D ．-26．若，则的最小值是（ ）ACD7．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则( ) A ． B ． C ． D ．8．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知，， ，若、、三个向量共面，则实数( )A ．3B ．5C ．7D ．910．如图，在边长为的正方体中，为的中点，点在底面(1,2,1)a =-(1,2,1)a b -=--b =(2,4,2)-(2,4,2)--(2,0,2)--(2,1,3)-()3,2,a x =()2,0,1b =a b ⊥x =33-66-(0,1,1),(1,1,0)a b =-=()a b a λ+⊥λ1-2-()1,,2a n =()2,1,2b =-2a b -b a 222()2,1,2a =-()4,2,b x =-//a b x =(1,21,0),(2,,)a m m b m m =--=b a -(2,1,3)A -xOz B OA OB ⋅=10-1012-12),4(4,2a =--)6,(3,2b =-)10,,6(5a b +=--()2,1,6a b -=--10a b ⋅=6a =()2,1,3a =-()1,4,4b =--()7,7,c λ=a b c λ=21111ABCD A B C D -E BC P ABCD上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（ ）A ．B ．C ．．二、多选题11．已知向量，则与共线的单位向量（ ）A ．B ．C ．D ．12．对于任意非零向量，，以下说法错误的有( )A ．若，则B ．若，则C ．D．若，则为单位向量13．若，，与的夹角为，则的值为（）A ．17B ．－17C ．－1D ．1三、填空题 11B P D E ⊥1B P 523(1,1,0)a =a e =(22--(0,1,0)(1,1,1)()111,,a x y z =()222,,b x y z =a b ⊥1212120x x y y z z ++=//a b 111222x y z x y z ==cos ,a b =><1111===x y z a ()1,,2a λ=--()2,1,1b =-a b 120︒λ14．已知，，则______.15．已知向量，，则____；若，则______16．已知，，，，，则______.17如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点P 在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为__________.四、解答题18．已知，，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.19．已知向量，，.（1）若，求的值；（2）若、、、四点共面，求的值.20.已知向量，，.（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值；（Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.21．已知空间三点，设. ()3,2,5a =-()1,5,1b =-a b ⋅=(1,2,2)a (2,,1)b x a =a b ⊥x =()1,1,0a =()0,1,1b =()1,0,1c =p a b =-2q a b c =+-p q ⋅=1111ABCD A B C D -M 1AA 11ABB A 1D P CM PBC ∆()2,1,3a =-()4,2,b x =-()1,,2c x =-//a b x ()a b c +⊥x ()1,1,1AB =()1,2,1AC =-()3,,1AD y =AD AC ⊥y A B C D y (2,1,2)=--a (1,1,2)b =-(,2,2)x =c ||22c =ka b +c x k c a b x ()()()2,0,2,1,1,2,3,0,4A B C ---,a AB b AC ==（1）求和的夹角的余弦值；（2）若向量与互相垂直，求的值.22．已知向量.（1）求与共线的单位向量；（2）若与单位向量垂直，求m ，n 的值.23．已知空间中三点，，，设，.（1）若，且，求向量；（2）已知向量与互相垂直，求的值；（3）求的面积.答案解析一、单选题1．已知向量，，则向量（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由已知可得.故选：A.2．已知向量，向量，若，则实数（ ）A ．B ．C ．D ． a b θka b +2ka b -k ()1,2,2a =-a b a ()0,,c m n =()2,0,2A -()1,1,2B --()3,0,4C -a AB =b AC =3c =//c BC c ka b +b k ABC ∆(1,2,1)a =-(1,2,1)a b -=--b =(2,4,2)-(2,4,2)--(2,0,2)--(2,1,3)-()()()1,2,11,2,12,4,2b =----=-()3,2,a x =()2,0,1b =a b ⊥x =33-66-【答案】D【解析】，，，，解得.故选：D.3．若向量，且，则实数的值是（ ）A ．B ．0C ．D ．1【答案】C【解析】由已知，由得：，，故选：C.4．已知空间向量，，若与垂直，则等于（）ABC．【答案】A【解析】由空间向量，，若与垂直，则，即，即，即，即，即， 故选：A. ()3,2,a x =()2,0,1b =a b ⊥60a b x ∴⋅=+=6x =-(0,1,1),(1,1,0)a b =-=()a b a λ+⊥λ1-2-(0,1,1)(1,1,0)(,1,1)a bλλλλ+=-+=+-()a b a λ+⊥()(,1,1)(0,1,1)110a b a λλλλ+⋅=+-⋅-=++=2λ∴=-()1,,2a n =()2,1,2b =-2a b -b a 2()1,,2a n =()2,1,2b =-2a b -b (2)0a b b -⋅=22a b b ⋅=249n +=52n =51,,22a ⎛⎫= ⎪⎝⎭251a =+=5．已知，，且，则（ ）A ．-4B ．-5C ．5D ．-2【答案】A【解析】因为，，且，所以存在实数，使得，即解得 故选：6．若，则的最小值是（ ）ACD【答案】C【解析】，所以故选C7．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则( ) A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】由题意，空间直角坐标系中，点关于平面的对称点， 所以,则，故选 D. 8．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D()2,1,2a =-()4,2,b x =-//a b x =()2,1,2a =-()4,2,b x =-//a b λb a λ=4222x λλλ-=⎧⎪=-⎨⎪=⎩24x λ=-⎧⎨=-⎩A (1,21,0),(2,,)a m m b m m =--=b a -(1,1,)b a m m m -=+-(1)b a m -=+=≥(2,1,3)A -xOz B OA OB ⋅=10-1012-12(2,1,3)A -xOz (2,1,3)B =(2,1,3),(2,1,3)OA OB -=22(1)13312OA OB ⋅=⨯+-⨯+⨯=),4(4,2a =--)6,(3,2b =-)10,,6(5a b +=--()2,1,6a b -=--10a b ⋅=6a =【解析】因为，所以，，故选：9．已知，， ，若、、三个向量共面，则实数( )A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】A【解析】，， ， 、、三个向量共面，存在实数，，使得，即有：，解得，，实数．故选：．10．如图，在边长为的正方体中，为的中点，点在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（ ）),4(4,2a =--)6,(3,2b =-)10,,2(5a b +=--()2,1,6a b -=--()()()46234222a b =⨯+-⨯-+-⨯=(246a =+=D ()2,1,3a =-()1,4,4b =--()7,7,c λ=a b c λ=()2,1,3a =-()1,4,4b =--()7,7,c λ=a b c ∴m n c ma nb =+727434m n m n m n λ=-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩5m =3n =∴35433λ=⨯-⨯=A 21111ABCD A B C D -E BC P ABCD 11B P D E ⊥1B PA． C ．． 【答案】D【解析】如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则点、、，设点，，， ，，得， 由，得，得，23D DA DC 1DD x y z D xyz -()12,2,2B ()10,0,2D ()1,2,0E ()(),,002,02P x y x y ≤≤≤≤()11,2,2D E =-()12,2,2B P x y =---11D E B P ⊥()112224220B P D E x y x y ∴⋅=-+-+=+-=22x y =-0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩022202y y ≤-≤⎧⎨≤≤⎩01y ≤≤，当时，取得最大值. 故选：D.二、多选题 11．已知向量，则与共线的单位向量（ ）A． B ． C ．D ． 【答案】AC【解析】设与共线的单位向量为，所以，因而，得到． 故，而或． 故选：AC ． 12．对于任意非零向量，，以下说法错误的有( )A ．若，则B ．若，则 C．D ．若，则为单位向量【答案】BD【解析】 对于A 选项，因为，则，A 选项正确； 对于B 选项，若，且，，若，但分式无意义，B 选项错误； ()124B P x ∴=+=01y ≤≤1y =1B P 3(1,1,0)a =a e =(22--(0,1,0)(22(1,1,1)a e a e λ=a e λλ==a λ=±ae a =±11a =+=2(,22e =2(,2e =-()111,,a x y z =()222,,b x y z =a b ⊥1212120x x y y z z ++=//a b 111222x y z x y z ==cos ,a b =><1111===x y z a a b ⊥1212120a b x x y y z z ⋅=++=20x =20y ≠20z ≠//a b 12x x对于C 选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C 选项正确；对于D 选项，若，则，此时，不是单位向量，D 选项错误.故选：BD.13．若，，与的夹角为，则的值为（ ）A ．17B ．－17C ．－1D ．1【答案】AC【解析】由已知，， ，解得或， 故选：AC.三、填空题 14．已知，，则______.【答案】 【解析】，故答案为：15．已知向量，，则_____；若，则_______ 【答案】3 0【解析】∵向量，， ∴. cos ,a b =><1111===x y z 2211a =+=a ()1,,2a λ=--()2,1,1b =-a b 120︒λ224a b λλ⋅=---=--22145,4116a b λλ=++=+=++=1cos12025a b a b λλ⋅-∴===-⋅+17λ=1λ=-()3,2,5a =-()1,5,1b =-a b ⋅=2()3,2,5a =-()1,5,1b =-()3125512a b ∴=-⨯+⨯+⨯-=2(1,2,2)a(2,,1)b x a =a b ⊥x =(1,2,2)a (2,,1)b x ||143a =++=若，则，解得.故答案为：3，0.16．已知，，，，，则______.【答案】-1【解析】依题意，所以.故答案为：17．如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点P 在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为__________.【解析】以D 点为空间直角坐标系的原点，以DC 所在直线为y 轴，以DA 所在直线为x 轴，以 为z 轴，建立空间直角坐标系.则点， 所以.因为，所以,因为,所以，所以，因为B(2，2，0)，所以，所以因为，所以当时，. a b ⊥2220a b x ⋅=+-=0x=()1,1,0a =()0,1,1b =()1,0,1c =p a b =-2q a b c =+-p q ⋅=()()1,0,1,0,3,1p a b q =-=-=0011p q ⋅=+-=-1-1111ABCD A B C D -M 1AA 11ABB A 1D P CM PBC ∆1DD 1(2,,),(0,0,2)P y z D 1(2,,2)D P y z =-(0,2,0),(2,0,1)C M (2,2,1)CM =-1D P CM ⊥4220y z -+-=22z y =-(0,2,)BP y z =-BP ===02y ≤≤65y =min BP =因为BC ⊥BP,所以. 四、解答题18．已知，，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）-6；（2）-4.【解析】（1）， ∴，∴. （2），∵，∴，∴，∴.19．已知向量，，.（1）若，求的值；（2）若、、、四点共面，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），得，，，，解得；min 1()22PBC S ∆=⨯=()2,1,3a =-()4,2,b x =-()1,,2c x =-//a b x ()a b c +⊥x b a λ=2423x λλλ=-⎧⎪-=⎨⎪=⎩6x =-()2,1,3a b x +=-+()a b c +⊥()0a b c +⋅=()2230x x --++=4x =-()1,1,1AB =()1,2,1AC =-()3,,1AD y =AD AC ⊥y A B C D y 1y =-4y =AD AC ⊥AD AC ⊥0AD AC ∴⋅=()()3,,11,2,10y ∴⋅-=3210y ∴+-=1y =-（2）由、、、四点共面，得，，使得，，，，解得.20.已知向量，，.（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值； （Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.【答案】（Ⅰ）实数和的值分别为和.（Ⅱ） 【解析】 (Ⅰ)因为,.且.因为向量与垂直,所以.即.所以实数和的值分别为和.(Ⅱ)因为向量与向量，共面,所以设（）. 因为, 所以 所以实数的值为. 21．已知空间三点，设.（1）求和的夹角的余弦值； A B C D λ∃R μ∈AD AB AC λμ=+()()()1,1,11,2,13,,1y λμ∴+-=321y λμλμλμ+=⎧⎪∴+=⎨⎪-=⎩4y =(2,1,2)=--a (1,1,2)b =-(,2,2)x =c ||22c =ka b +c x k c a b x x k 03-12-||22c =0x ==ka b =+(21,1,22)k k k ---+ka b +c ()0ka b c =+⋅260k +=x k 03-c a b c a b λμ=+,R λμ∈(,2,2)(2,1,2)(1,1,2)x λμ=--+-2,2,222,x λμμλλμ=--⎧⎪=-⎨⎪=+⎩1,21,23.2x λμ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩x 12-()()()2,0,2,1,1,2,3,0,4A B C ---,a AB b AC ==a b θ（2）若向量与互相垂直，求的值.【答案】（1）；（2）或. 【解析】 ，．（1）所以与的夹角的余弦值为. （2），，所以, 即，所以或. 22．已知向量.（1）求与共线的单位向量； （2）若与单位向量垂直，求m ，n的值.【答案】（1）或.（2）或 【解析】（1）设=(λ,2λ,-2λ)，而为单位向量，∴||=1，即λ2+4λ2+4λ2=9λ2=1，∴λ=±. ka b +2ka b -k 52k =-2k =(1,1,2)(2,0,2)(1,1,0)a AB ==---=(3,0,4)(2,0,2)(1,0,2)b AC ==---=-10cos ||||2a b a b θ⋅-+===⨯a b θ,,01,)0,21,,()()(2ka b k k k k +=+-=-2,,02,)0,42,,()()(4ka b k k k k -=--=+-()()21,,22,,(4)()1280k k k k k k k -⋅+-=-++-=22100k k +-=52k =-2k =()1,2,2a =-a b a ()0,,c m n =122,,333b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭122,,333b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,2m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩b b b 13∴=或=. （2）由题意，知，且故可得 解得或 23．已知空间中三点，，，设，.（1）若，且，求向量；（2）已知向量与互相垂直，求的值；（3）求的面积.【答案】（1）或；（2）；（3）【解析】（1）空间中三点，，，设，， 所以，，，，且，设，，，或．（2）， 且向量与互相垂直， b 122,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭b 122,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭0a c ⋅=1c=10220,1,m n ⨯+-=⎧⎪=2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩()2,0,2A -()1,1,2B --()3,0,4C -a AB =b AC =3c =//c BC c ka b +b k ABC ∆()2,1,2c =-()2,1,2c =--532()2,0,2A -()1,1,2B --()3,0,4C -a AB =b AC =()()()1,1,22,0,21,1,0a AB =--=--=--()()()3,0,42,0,21,0,2b AC ==---=-∴(3,0,4)(1,1,2)(2,1,2)BC =----=-3c =//c BC c mBC =∴()()2,1,22,,2c mBC m m m m ==-=-(233c m m ∴=-==1m ∴=±∴()2,1,2c =-()2,1,2c =--()()()1,0,21,,21,1,0ka b k k k -++=---=--()1,0,2b =-ka b +b，解得． 的值是．（3）因为，， ，，，． ()140ka b b k ∴+=-+=5k =k ∴5()1,1,0AB =--()1,0,2AC =-()2,1,2BC =-1AB AC ∴=-(AB =-21AC ==11cos ,||||2510AB AC AB AC AB AC -∴<>===-sin ,1AB AC ∴<>==1sin ,2ABC S AB AC AB AC ∆∴=⨯⨯⨯<>12=32=。

1.2　空间向量基本定理题型一：空间向量基底概念与判断1．下列能使向量MA uuu r ，MB uuu r ，MC uuu ur 成为空间的一个基底的关系式是（ ）A ．111333OM OA OB OC =++uuuu r uuu r uuu r uuu r B ．MA MB MC=+uuu r uuu r uuu u r C ．OM OA OB OC=++uuuu r uuu r uuu r uuu r D ．2MA MB MC=-uuu ruuu r uuu u r2．空间四个点O ，A ，B ，C ，,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r为空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）A ．O ，A ，B ，C 四点不共线B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线C ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线D ．O ，A ，B ，C 四点不共面3．若{},,a b c r r r为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ）A ．{},,a a b a b+-r r r r r B ．{},,b a b a b+-r r r r r C ．{},,c a b a b+-r r r r r D ．{},,2a b a b a b+-+r r r r r r题型二：空间向量基本定理的应用4．空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===uuu r r uuu r r uuu r r.点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，则MN uuuu r 等于（ ）A ．12a r -2132b c+r r B ．-211322a b c++r r rC ．12a r 12b +r -23crD ．2233a b +r r -12cr5．设O ABC -是正三棱锥，1G 是ABC V 的重心，G 是1OG 上的一点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++uuu r uuu r uuu r uuu r，则x y z ++=（ ）．A ．14B ．12C ．34D ．16．如图，在四面体ABCD 中，点M 是棱BC 上的点，且2BM MC ＝，点N 是棱AD 的中点.若MN x AB y AC z AD =++uuuu r uuu r uuu r uuu r，其中,,x y z 为实数，则xyz 的值是（ ）A ．19-B ．18-C ．19D ．18【双基达标】一、单选题7．已知{},,a b c r r r 是空间的一个基底，若p a b,q a b =+=-u r r r r r r，则（ ）A ．a,p,q r u r r是空间的一组基底B ．b,p,q r u r r是空间的一组基底C ．c,p,q r u r r是空间的一组基底D ．,p q u r r 与,,a b c r r r中的任何一个都不能构成空间的一组基底8．点P 是矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ^平面ABCD ，M ，N 分别是PC ，PD 上的点，且23PM PC =uuuu r uuu r，=uuu r uuu rPN ND 则满足MN x AB y AD z AP =++uuuu r uuu r uuu r uuu r 的实数,,x y z 的值分别为（ ）A ．211,,366-B ．211,,366-C ．211,,366--D ．211,,366--9．在下列两个命题中，真命题是（ ）①若三个非零向量a r ，b r ，c r 不能构成空间的一个基底，则a r ，b r ，c r共面；②若a r ，b r 是两个不共线向量，而c r ＝λa r ＋μb r (λ，μR Î且λμ≠0)，则{a r ，b r ，c r}构成空间的一个基底．A ．仅①B ．仅②C ．①②D ．都不是10．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，P 是线段1D B 上一点，且12BP D P =，若1DP xAB y AD z AA =++uuu r uuu r uuu r uuur，则x y z ++=（ ）A ．43B ．23C ．13D ．111．如图，在三棱锥O ABC -中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点D 为线段PQ 上一点，且2PD DQ =uuu r uuur，若记OA a =uuu r r ，OB b =uuu r r ，OC c =uuu r r，则OD =uuu r （ ）A ．111633a b c++r r r B ．111333a b c++r r rC ．111363a b c++r r r D ．111336a b c++r r r 12．下列结论错误的是（ ）.A ．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C ．若a r ､b r是两个不共线的向量，且c a b l m =+r r r (R l m Î、且0l m ×¹)，则{}a b c r r r ，，构成空间的一个基底D ．若OA uuu r ､OB uuur ､OC uuu r 不能构成空间的一个基底，则O ､A ､B ､C 四点共面13．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为,,,OB AC M N 分别是,OA CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r 表示向量OG uuu r为（ ）A ．111633OG OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r B ．122233OG OA OB OC=++uuu r uuu r uuu r uuu r C ．2233OG OA OB OC=++uuu r uuu r uuu r uuu r D ．112233OG OA OB OC=++uuu uuu r uuu r uu r u r 14．设p ：a r ，b r ，c r是三个非零向量；q ：{},,a b c r r r 为空间的一个基底，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件15．已知空间向量a r ，b r 满足|a r |=|b r |=1，且a r ，b r的夹角为3p ，O 为空间直角坐标系的原点，点A ，B 满足OA uuu r =2a r +b r ，OB uuu r =3a r -b r，则△OAB 的面积为（ ）A B C D ．11416．已知在四棱柱ABCD A B C D ¢¢¢¢-中，四边形ABCD 为平行四边形，若32AC a AB bBC cCC =+¢+¢uuuu r uuu r uuu r uuur，则abc =（）A ．12B ．13C ．16D ．56【高分突破】一：单选题17．在空间四边形OABC 中，OA a =uuu r r ，OB b =uuu r r ，OC c =uuu r r ，且AM MB =uuuu r uuu r，则MC =uuu u r （ ）A ．1122+-r r r a b cB ．1122a b c ++r r rC ．1122---r r r a b c D ．1122a b c--+r r r18．在三棱锥O ABC -中，,,,2OA a OB b OC c AM MO ====uuu r r uuu r uuu r r uuuu r uuuu r r ，N 为BC 中点，则MN =uuuu r（ ）A ．121232a b c-+r r r B ．111322a b c-++r r rC ．111222a b c+-r rr D ．121332a b c+-r r r 19．在平行六面体1111ABCD A B C D －中，AC 与BD 的交点为M ，设AB a =uuu r r ，AD b =uuu r r ，1AA c =uuur r，则下列向量中与1D M uuuuu r相等的向量是（ ）A ．1122-++r r r a b cB ．1122a b c-+r r rC ．1122+-r r ra b cD ．1122--r r ra b c20．如图，在四面体OABC 中，M ，N 分别在棱OA ，BC 上且满足2OM MA =uuuu r uuu r ，BN NC =uuu r uuu r，点G 是线段MN 的中点，用向量OA uuu r ，OB uuu r ，OC uuu r 作为空间的一组基底表示向量OG uuu r应为（ ）A ．111363OG OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r B ．111344OG OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu rC ．111336OG OA OB OC=++uuu r uuu r uuu r uuu r D ．111443OG OA OB OC=++uuu r uuu r uuu r uuu r21．已知0a b c ++=r r r，||2a =r ，||3b =r ，||c =r ，则向量a r 与b r 之间的夹角,a b áñr r 为（ ）.A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对22．给出下列命题：①已知a b ^r r，则()()a b c c b a b c ×++×-=×r r r r r r r r ；②A 、B 、M 、N 为空间四点，若BA uuu r、BM uuuu r、BN uuu r不构成空间的一个基底，那么A 、B 、M 、N 共面；③已知a b ^r r，则a r 、b r 与任何向量都不构成空间的一个基底；④若a r 、b r 共线，则a r 、b r所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．423．已知O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，且向量a r =OA OB OC ++uuu r uuu r uuu r ，向量b =r OA OB OC +-uuu r uuu r uuu r ，则不能与,a b rr 构成空间的一个基底的是（ ）A ．OA uuu rB ．OB uuu rC ．OC uuu rD ．OA uuu r 或OBuuu r24．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，H 分别在棱1BB ，BC ，BA 上，且满足134BM BB =uuuu v uuuv，12BN BC =uuu v uuu v ，12BH BA =uuuv uuu v ，O 是平面1B HN ，平面ACM 与平面11B BDD 的一个公共点，设BO xBH yBN zBM=++uuu v uuuv uuu v uuuu v，则3x y z ++=（ ）A ．105B ．125C ．145D ．165二、多选题25．在以下命题中，不正确的命题有（ ）A ．a b a b -=+r r r r 是a r 、b r共线的充要条件B ．若//a b r r，则存在唯一的实数l ，使λa b=r r C ．对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若22OP OA OB OC =--uuu r uuu r uuu r uuu r，则P 、A 、B 、C 四点共面D ．若{},,a b c r r r 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++r r r r r r构成空间的另一个基底26．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC ®®®®=++，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．已知向量{},,a b c ®®®组是空间的一个基底，若m a c ®®®=+，则{},,a b m ®®®也是空间的一个基底D ．若0a b ®®×<，则a b ®®×是钝角27．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =uuuu r uuu r ，现用基组{},,OA OB OC uuu r uuu r uuu r 表示向量OG uuu r，有OG xOA yOB zOC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则（ ）A ．16x =B ．13y =C ．13z =D ．1x y z ++=28．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =uuu r r ，AD b =uuu r r ，1AA c =uuur r.则下列正确的是（ ）A ．1122BM a b c =-+u u u u r r r rB ．1AC a b c=++uuuu r r r rC ．1ACD ．1cos ,AB AC <>uuu r uuuu r =29．下列命题中，正确的命题有（ ）A ．a b a b +=-r r r r 是a b r r ，共线的充要条件B ．若//a b r r 则存在唯一的实数l ，使得=a bl r r C ．对空间中任意一点O 和不共线的三点,,,A B C 若243OP OA OB OC =-+uuu r uuu r uuu r uuu r，则,,,P A B C 四点共面D ．若{}a b c r r r，，为空间的一个基底，则{}23a b b c c a +++r r r r r r ，，构成空间的另一个基底30．给出下列命题，其中正确的有（ ）A ．空间任意三个向量都可以作为一组基底B ．已知向量//a b rr ，则a r 、b r 与任何向量都不能构成空间的一组基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA uuu r ，BM uuuu r ，BN uuu r不能构成空间的一组基底，则A ，B ，M ，N 共面D ．已知{,,}a b c r r r是空间向量的一组基底，若m a c =+r r r ，则{,,}a b m r r r 也是空间一组基底三、填空题31．已知在正方体ABCD 一1111D C B A 中，点E 为底面1111D C B A 的中心，112a AA =ruuur ，12b AB =ruuu r ，13c AD =ruuu r ，AE xa yb zc =++uuu r r r r，则x =______，y =_______，z =_______．32．设,,x a b y b c z c a =+=+=+r r r u r r r r r r且{},,a b c r r r 是空间的一组基底，给出下列向量组：①{},,a b x r r r ；②{,,}x y z r u r r③{,,}b c z r r r ④{,,}x y a b c ++r u r r r r其中可以作为空间的基底的向量组是___________(填序号)．33．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 是边OA 的中点，G 是ABC D 的重心，则用基向量OA uuu r ，OB uuur ，OC uuu r 表示向量MG uuuu r 的表达式为___________.34．如图，点M 为OA 的中点，{},,OA OC OD uuu r uuu r uuu r 为空间的一个基底，DM xOA yOC zOD =++uuuu r uuu r uuu r uuu r ，则有序实数组（x ，y ，z ）=________.35．已知123e e e u r u u r ur ，，为不共面的三个向量，123123123a e e e b e e e c e e e =++=+-=-+u r u ur ur u r u u r ur u r u u r ur r r r ，，，12323d e e e =++u r u u r ur r ，若d a b c a b l =++r r r r，则α，β，λ的值分别为________．36．下列关于空间向量的命题中，正确的有______．①若向量a r ，b r与空间任意向量都不能构成基底，则//a b r r ；②若非零向量a r ，b r ，c r 满足a b ^r r，b c ^r r ，则有//r r a c ；③若OA uuu r ，OB uuur ，OC uuu r 是空间的一组基底，且111333OD OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则A ，B ，C ，D 四点共面；④若向量a b +r r ，b c +r r ，c a +r r ，是空间一组基底，则a r ，b r ，c r也是空间的一组基底．四、解答题37．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AB a =uuu r r ，AD b =uuu r r ，1AA c =uuur r，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．（1）用向量,,a b c r r r 表示1D B uuuu r，EF uuu r ；（2）若1D F xa yb zc =++uuuu r r r r，求实数,,x y z 的值．38．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.求证：A，E ，C 1，F 四点共面.39．如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，1,,AB a AD b AA c ===uuu r r uuu r r uuur r，E 为A 1D 1的中点，F 为BC 1与B 1C 的交点.（1）用基底{},,a b c r r r 表示向量1,,DB BE AFuuu r uuu r uuu r（2）化简1DD DB CD ++uuur uuu r uuu r，并在图中标出化简结果.40．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，G 为△PDC 的重心，AB =uuu ri ，AD =uuu r j ，AP =uuu rk ，试用基底{i ，j ，k }表示向量PG uuu r ，BG uuu r.【答案详解】1．C 【详解】对于A ：由()1OM xOA yOB zOC x y z =++++=uuuu v uuuu v uuu v uuu v ，可得M ，A ，B ，C 四点共面，即,,MA MB MC uuu r uuur uuuu r共面，所以选项A 无法构成基底，选项C 可以构成基底；对于B ：因为MA MB MC =+uuu r uuu r uuu u r ，由平面向量基本定理，可得,,MA MB MC uuu r uuur uuuu r共面，无法构成基底，故B 错误；同理选项D 中，,,MA MB MC uuu r uuur uuuu r共面，故D 错误.故选：C 2．D 【详解】由空间基底的定义，,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r三个向量不共面，但选项A ，B ，C 三种情形都有可能使,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r共面，只有D 才能使这三个向量不共面.故选：D.【点睛】本题考查基底的概念，属于基础题.3．C 【详解】A ：因为()()2a b a b a r r r r r++-=，所以向量,,a a b a b r r r r r +-是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；B ：因为()(1)()2a b a b b r r r r r++--=，所以向量,,b a b a b r r r r r +-是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；C ：因为{},,a b c r r r为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.若,,c a b a b r r r r r +-不构成一组基底，则有()()()()c x a b y a b c x y a x y b r r r r r r r r =++-Þ=++-，所以向量,,a b c r r r是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此,,c a b a b r r r r r+-能构成一组基底，D ：因为312()()22a b a b a b r r r r r r +=+++，所以向量,,2a b a b a b r r r r r r+-+是共面向量，因此,,2a b a b a b r r r r r r+-+不能构成一组基底.故选：C 4．B【详解】解：因为2OM MA =，所以2233OM OA a ==uuuu r uuu r r ,N 为BC 的中点，则()111222ON OB OC b c =+=+uuu r uuu r uuu r r r ，()2121132322MN MO ON OA OB OC a b c =+=-++=-++uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r r r .故选：B.5．C【详解】如下图所示，连接1AG 并延长交BC 于点D ，则点D 为BC 的中点，1G Q 为ABC V 的重心，可得123AG AD =uuuu r uuu r ，而()()111222OD OB BD OB BC OB OC OB OB OC =+=+=+-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，()1122123333OG OA AG OA AD OA OD OA OA OD =+=+=+-=+uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ()()12113323OA OB OC OA OB OC =+×+=++uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以，13311111144333444OG OG OA OB OC OA OB OC æö==++=++ç÷èøuuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以，14x y z ===，因此，34x y z ++=.故选：C.6．C 【详解】因为12()23MN AN AM AD AB BC =-=-+uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r 12()23AD AB AC AB =---uuu r uuu r uuu r uuu r 112233AD AB AC =--uuu r uuu r uuu r ，所以121,,332x y z =-=-=，故19xyz =.故选：C.7．C假设12c k p k q =+r u r r ，即()()12c k a b k a b =++-r r r r r ，得()()12120k k a k k b c ++--=r r r r ，这与{},,a b c r r r 是空间的一个基底矛盾，故c,p,q r u r r 是空间的一组基底，故选：C .8．D取PC 的中点E ，连接NE ，则()21321122MN EN EM PC PC CD PM PE CD æö=-=--=--ç÷èøuuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ()()111221116626PC AC AP AB AD A B P CD A AB =--=+----=-u uuu r uuu r u uu r uuu r uu uu r uu u r uuu u r r uuu r 211366AB AD AP =--+uuu r uuu r uuu r ，又因为MN x AB y AD z AP =++uuuu r uuu r uuu r uuu r ，由空间向量基本定理可得：231616x y z ì=-ïïï=-íïï=ïî故选：D.9．A【详解】解：根据空间向量基底的定义，三个非零向量a r ，b r ，c r 不能构成空间的一个基底，则a r ，b r ，c r 共面正确，故①为真命题；根据平面向量基本定理，若a r ，b r 是两个不共线向量，且c r ＝λa r ＋μb r(λ，μR Î且λμ≠0)，则c r 与a r 、b r 所确定的平面共面，即a r ，b r ，c r 共面，所以{a r ，b r ，c r }不能构成空间的一个基底，故②为假命题.故选：A.10．B【详解】长方体1111ABCD A B C D -中，依题意，1113D P D B =uuuu r uuuu r ，11111111121()()3333DP DD D P DD D B DD DB DD DD DA AB =+=+=+-=++uuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuu r uuuu r uuuu r uuu r uuu r 1112333AB AD AA =-+uuu r uuu r uuur ，而1DP xAB y AD z AA =++uuu r uuu r uuu r uuur ，又1,,AB AD AA uuu r uuu r uuur 不共面，于是得13x =，13y =-，23z =，所以23x y z ++=.故选：B 11．A【详解】解: ()12121222323233OD OP PD OA PQ OA OQ OP OA OQ OP =+=+=+-=+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ()12121111+11126332326333OA OB OC OA OA OB OC a b c =+´+´=++-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r u r r uu r r ,故选:A12．C【详解】A 选项，三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，故A 正确；B 选项，三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，如图，故B 正确；C 选项，∵ 满足c a b l m =+r r r ，∴a r ，b r ，c r 共面，不能构成基底，故C 错误，D 选项，因为OA uuu r ､OB uuu r ､OC uuu r 共起点，若O ，A ，B ，C 四点不共面，则必能作为空间的一个基底，故D 正确，故选C .13．A 【详解】221333OG OM MG OM MN ON OM =+=+=+uuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuu r uuuu r .因为,M N 分别为,OA CB 的中点，所以()11,,22OM OA ON OB OC ==+uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 所以()1111136633OG OB OC OA OA OB OC =++=++uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .故选：A.14．B当非零向量a r ，b r ，c r 共面时，{},,a b c r r r 不能是空间的一个基底，由p 得不出q ，若{},,a b c r r r 为空间的一个基底，则a r ，b r ，c r 一定不共面，所以a r ，b r ，c r 一定是非零向量，所以由q 可以得出p ，因此p 是q 的必要不充分条件，故选：B.15．B【详解】|OA uuu r，|OB uuu r |==，则cos∠AOB=·||||OA OB OA OB uuu r uuu r uuu r uuu r=226||||7a b a b -+×r r r r 1611127-+´´==1114，从而有sin ∠AOB=，∴△OAB 的面积S 1||||sin 2OA OB AOB =Ðuuu r uuu r =12，故选：B ．16．C【详解】据题意，得AC AB BC CC ¢¢=++uuuu r uuu r uuu r uuuu r ，32AC a AB bBC cCC =+¢+¢uuuu r uuu r uuu r uuur ，所以32AB BC CC a AB bBC cCC ¢¢++=++uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur ，即(31)(21)(1)0a AB b BC c CC ¢-+-+-=uuu r uuu r uuur .又因为,,AB BC CC ¢uuu r uuu r uuur 为空间不共面的三个向量，所以312110a b c -=-=-=，所以11,,132a b c ===，所以16abc =.故选：C.17．D()1122MC OC OM OC OA AB OC OA OB OA æö=-=-+=---ç÷èøu u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u r 11112222OC OA OB c a b --=--=u u u r u u r u u u r r r r 故选：D18．B【详解】连接ON ，所以()()1122ON OB OC b c =+=+uuu r uuu r uuu r r r ，因为2AM MO =uuuu r uuuu r ，所以1133OM OA a ==uuuu r uuu r r ，所以()11112322MN MO ON OM OB OC a b c =+=-++=-++uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uu r r uu r r .故选：B.19．D 【详解】()()11112D M AM AD AB AD AD AA =-=+-+uuuuu r uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 11122AB AD AA =--uuu r uuu r uuur 1122a b c =--r r r 故选：D20．B【详解】连接ON ，如图，则由向量加法的平行四边形法则可得()()1121122322OG OM ON OA OB OC =+=´+´+uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 111344OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r .故选：B.21．C因为0a b c ++=r r r ，所以a b c +=-r r r ，两边平方得：222||||||2||||cos ,c a b a b a b =++áñr r r r r r r ，即1949223cos ,a b =++´´´áñr r ，所以1cos ,2a b áñ=r r ，因为[],0,180a b ΰ°n n r r ，所以,60a b °áñ=r r .故选：C22．C对于①，若a b ^r r ，则0a b ×=r r ，故()()a b c c b a a b a c c b c a c b ×++×-=×+×+×-×=×r r r r r r r r r r r r r r r r ，故①正确；对于②，若BA uuu r 、BM uuuu r 、BN uuu r 不构成空间的一个基底，则BA uuu r 、BM uuuu r 、BN uuu r 这3个向量在同一平面内，故A 、B 、M、N 共面，故②正确；对于③，当a b ^r r 时，若c r 与a r 、b r 不共面，则a r 、b r 、c r 可构成空间的一个基底，故③不正确；对于④，根据向量共线的定义可得其成立，故④正确，故选：C.23．C【详解】因为a r =OA OB OC ++uuu r uuu r uuu r ，b r =OA OB OC +-uuu r uuu r uuu r ，故12OC =uuu r (a b -r r )，所以OC uuu r 与向量,a b r r 共面，故OC uuu r ，a r ，b r 不能构成空间的一个基底.故选：C .24．C【详解】如图，Q 为AC 与BD 交点，P 为BQ 中点，O 为MQ 与1B P 的交点.过P 作PT 平行MQ 交1BB 于T .如图,则T 为BM 中点，所以1111131334224242MT BM BB MB MB ==´=´´=.所以123B O OP =uuur uuu r ，因此1323421411()555352555BO BB BP BM BH BN BM BH BN =+=×+×+=++uuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuu r ，因为BO xBH yBN zBM =++uuu r uuu r ，所以411,,555z x y ===,1435x y z \++=.故选：C25．ABC 【详解】对于A 选项，充分性：若a b a b -=+r r r r ，则a r 、b r 方向相反，且a b ³r r ，充分性成立；必要性：若a r 、b r 共线且方向相同，则a b a b +=+r r r r ，即必要性不成立，所以，a b a b -=+r r r r 是a r 、b r 共线的充分不必要条件，A 选项错误；对于B 选项，若0b =r r ，0a ¹r r ，则//a b r r ，但不存在实数l ，使得λa b =r r ，B 选项错误；对于C 选项，对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若P 、A 、B 、C 四点共面，可设AP xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r，其中x 、y R Î，则()()OP OA x OB OA y OC OA -=-+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，可得()1OP x y OA xOB yOC =--++uuu r uuu r uuu r uuu r ，由于22OP OA OB OC =--uuu r uuu r uuu r uuu r ，22111--=-¹Q ，此时，P 、A 、B 、C 四点不共面，C 选项错误；对于D 选项，假设a b +r r 、b c +r r 、c a +r r 共面，可设()()()a b m b c n c a na mb m n c +=+++=+++r r r r r r r r r ，由于{},,a b c r r r 为空间的一个基底，可得110m n m n =ìï=íï+=î，该方程组无解，假设不成立，所以，{},,a b b c c a +++r r r r r r 构成空间的另一个基底，D 选项正确.故选：ABC.26．ABC【详解】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的;对于B 中，若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC ®®®®=++，因为1111632++=，根据空间向量的基本定理,可得P,A,B,C 四点一定共面，所以是正确的;对于C 中，由{},,a b c ®®®是空间中的一组基底，则向量,,a b c ®®®不共面，可得向量,,a b c a +r r r r 不共面，所以{},,a b m ®®®也是空间的一组基底，所以是正确的;对于D 中，若0a b ®®×<，又由[0,]a b p ®®×Î，所以(,]2a b pp ®®×Î，所以不正确.故选：ABC27．ABC【详解】如下图所示，N Q 为BC 的中点，则()11112222ON OB BN OB BC OB OC OB OB OC =+=+=+-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，M Q 为OA 的中点，则12OM OA =uuuu r uuu r ，111222MN ON OM OB OC OA \=-=+-uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r ，2MG GN =uuuu r uuu r Q ，则23MG MN =uuuu r uuuu r ，212111111323222633OG OM MG OM MN OA OB OC OA OA OB OC æö\=+=+=++-=++ç÷èøuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，16x \=，13y z ==，则56x y z ++=.故选：ABC.28．BD【详解】由空间向量的加法法则得1AC a b c =++uuuu r r r r ，B 正确，111111111111()22BM BB B M BB B D AA B A B C =+=+=++uuuu r uuur uuuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuuu r 111()222c a b a b c =+-+=-++r r r r r r ，A 错误；由已知111cos 602a b b ca c ×=×=×=´´°=r r r r r r ，1AC a b =+===uuuu r r rC 错；1cos ,AB AC <==uuu r uuuu r ，D 正确．故选：BD ．29．CD【详解】对于,A 当a b a b +=-r r r r 时，a b r r ，共线成立，但当a b r r ，同向共线时a a bb +¹-r r r r 所以a b a b +=-r r r r 是a b r r ，共线的充分不必要条件，故A 不正确对于B ，当0b =r 时，//a b r r ，不存在唯一的实数,l 使得=a b l r r ，故B 不正确对于C ，由于243OP OA OB OC =-+uuu r uuu r uuu r uuu r ，而2431-+=，根据共面向量定理知P A B C ，，，四点共面，故C 正确对于D ，若{}a b c r r r ，，为空间的一个基底，则a b c r r r ，，不共面，由基底的定义可知，23a b b c c a +++r r r r r r ，，不共面，则{}23a b b c c a +++r r r r r r ，，构成空间的另一个基底，故D 正确.故选：CD30．BCD【详解】选项A 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A 不正确；选项B 中，根据空间基底的概念，可得B 正确；选项C 中，由,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 不能构成空间的一个基底，可得,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 共面，又由,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，所以C 正确；选项D 中：由{},,a b c r r r 是空间的一个基底，则基向量,a b r r 与向量m a c =+r r r 一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D 正确．故选：BCD.31．2 132如图所示，11113()222AE AA A E AA AB AD a b c xa yb zc =+=++=++=++uuu r uuur uuu u r uuur uuu r uuu r r r r r r r 所以3212x y z ===，，，故答案为：①2，②1，③3232．②③④【详解】如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1,,a AB b AD c AA ===r uuu r r uuu r r uuur ，则11,,x AC y AD z AB ===r uuu r u r uuuu r r uuu u r ，1a b c AC ++=r r r uuuu r ，因,,,A B D C 四点共面，则向量,,a b x r r r 共面，而11,,,A C D B 四点不共面，则向量,,x y z r u r r 不共面，又11,,,A D A B 四点不共面，则,,b c z r r r 不共面，11,,,A C D C 四点不共面，则,,x y a b c ++r u r r r r 也不共面，所以可以作为空间的基底的向量组是②③④.故答案为：②③④33．如图所示，连AG 延长交BC 于E ，MG MA AG=+u u u r u u u r u u u r 1223OA AE =+uuu r uuu r ()121232OA AB AC =+×+uuu r uuu r uuu r ()()111233OA OB OA OC OA =+-+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 111633OA OB OC =-++uuu r uuu r uuu r 故答案为：111633MG OA OB OC =-++uuuu r uuu r uuu r uuu r .34．1,0,12æö-ç÷èø12DM OM OD OA OD =-=-uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r 所以有序实数组()1,,,0,12x y z æö=-ç÷èø，故答案为：1,0,12æö-ç÷èø.35．511.22a b l ==-=-；；∵()()()123123123d a b c e e e e e e e e e a b l a b l =++=++++-+-+u r u u r ur u r u u r ur u r u u r ur r r r r 且123e e e u r u u r ur ，，不共面()()()123d e e e a b l a b l a b l \=++++-+-+u r u r u u r ur∴123a a a b l b l b l ++=ìï+-=íï-+=î，∴5,21,1.2a b l ì=ïï=-íïï=-î故答案为：511.22a b l ==-=-；；36．①③④【详解】对于①：若向量a r ， b r 与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即//a b r r ，故①正确；对于②：若非零向量a r ，b r ，c r 满足a b ^r r ，b c ^r r ，则a r 与c r 不一定共线，故②错误；对于③：若OA uuu r ，OB uuu r ，OC uuu r 是空间的一组基底，且111333OD OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则11()()33OD OA OB OA OC OA -=-+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，即1133AD AB AC =+uuu r uuu r uuu r ，可得到,,A B C ，D 四点共面，故③正确；对于④：若向量a b +r r ，b c +r r ，c a +r r ，是空间一组基底，则空间任意一个向量d u r ，存在唯一实数组(,,)x y z ，使得()()()()()()d x a b y b c z c a x z a x y b y z c =+++++=+++++v v v v v v v v v v ，由,,x y z 的唯一性，则x z +，x y +，y z +也是唯一的则a r ，b r ，c r 也是空间的一组基底，故④正确．故答案为：①③④37．（1）1D B a b c =--uuuu r r r r ，()12EF a c =-uuu r r r ；（2）11,,122x y z ==-=-（1）如图，连接AC ，EF ，D 1F ，BD 1，111D B D D DB AA AB AD a b c=+=-+-=--uuuu r uuuu r uuu r uuur uuu r uuu r r r r ()()()111111122222EF EA AF D A AC AA AD AB AD a c =+=+=-+++=-uuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r r r （2）()()()111111*********D F D D D B AA D B c a b c a b c =+=-+=-+--=--uuuu r uuuu r uuuu r uuur uuuu r r r r r r r r 11,,122x y z \==-=-38．证明:因为11AC AB AD AA ®®®®=++＝111233AB AD AA AA ®®®®+++＝11()3AB AA ®®+＋12()3AD AA ®®+＝AB BE AD DF AE AF ®®®®®®+++=+，所以1AC ®，AE ®，AF ®共面，所以A ，E ，C 1，F 四点共面.39．（1）111DC CB DC BB BC a b B c D =+=+-=-+uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r r r r ，1112BA AA A E a b BE c =++=-++uuu r uuu r uuur uuur r r r ，()111222AB BF a b c a b AF c =+=++=++uuu r uuu r uuu r r r r r r r ；（2）()1111111DD DB CD DD DB CD DD CB DD D A DA ++====++++uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuuur uuu u r 如图，连接DA 1，则1DA uuu u r 即为所求.40．PG uuu r 13=i +23j -23k ；BG uuu r =-23i +23j +13k .【详解】延长PG 交CD 于点N ，则N 为CD 的中点，因为G 为△PDC 的重心，所以PG uuu r ()1122233333PN PA AB AD AP A A A AD P D B ==+++-+-==uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 13i +23j -23k .111323BG BC CN NG BC CN NP AD DC PN =++=++=--uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 111221()63323331A AB AD AP AD AB AP D AB =+-=-+--uuu r uuu r uuu r uuu r uuu uuu r uuu r r uuu r 23=-i ＋23j ＋13k .。