八年级下数学大题难题(含答案)

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，若f(x)在x=1处取得极值，则该极值是（）A. 1B. -1C. 3D. -3答案：A解析：首先求f(x)的导数f'(x) = 3x^2 - 3。

令f'(x) = 0，得x = ±1。

再求f''(x) = 6x，将x=1代入，得f''(1) = 6 > 0，所以x=1是极小值点，f(1) = 1^3 - 31 + 1 = 1，故答案为A。

2. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，首项为a1，则Sn = （）A. n^2B. n(n+1)/2C. n(n+1)d/2D. n(n-1)d/2答案：C解析：等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 [2a1 + (n-1)d]，化简得Sn =n(n+1)d/2，故答案为C。

3. 若直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边长是（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A解析：根据勾股定理，斜边长c = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5，故答案为A。

4. 若等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，则其第n项an = （）A. b1 q^(n-1)B. b1 / q^(n-1)C. b1 (q^n - 1) / (q - 1)D. b1 (q^n +1) / (q + 1)答案：A解析：等比数列的通项公式为an = b1 q^(n-1)，故答案为A。

5. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两根分别为x1和x2，则x1 + x2 = （）A. 5B. -5C. 6D. -6答案：A解析：根据韦达定理，方程x^2 - 5x + 6 = 0的两根之和为x1 + x2 = -(-5)/1 = 5，故答案为A。

二、填空题（每题5分，共25分）6. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(x)的图像关于x=2对称，则f(5) = _______。

经典难题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥C O．求证：CD＝GF．（初二）2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝15度求证：△PBC是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA 1、BB1、CC1、DD1的中点．求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．经典难题（二）1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）经典难题（三）1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．求证：CE＝CF．（初二）2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．求证：AE＝AF．（初二）3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．求证：PA＝PF．（初二）4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO 相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）经典难题（四）1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．求：∠APB的度数．（初二）2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）经典难题（五）1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：√3≤L＜2．2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80度，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA ＝30度，∠EBA＝20度，求∠BED的度数．答案经典难题（一）4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠D EN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。

2017 年 05 月 21 日数学（因式分解难题） 2一．填空题（共 10 小题）1．已知 x+y=10， xy=16，则 x 2y+xy 2 的值为．2．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成 2（x ﹣1）（x ﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成 2（x ﹣2）（ x ﹣ 4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：．．若多项式x 2+mx+4 能用完全平方公式分解因式，则 m 的值是 ．34．分解因式： 4x 2﹣4x ﹣ 3=．5．利用因式分解计算： 2022+202× 196+982= ．．△ 三边 a ，b ，c 满足 a 2+b 2+c 2，则△ ABC 的形状是 ．6 ABC =ab+bc+ca 7．计算： 12﹣22+32﹣42+52﹣62+⋯﹣1002+1012=．8．定义运算 a ★b=（ 1﹣ a ） b ，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣ 2）=3②a ★b=b ★a③若 a+b=0，则（ a ★ a ） +（ b ★ b ） =2ab④若 a ★ b=0，则 a=1 或 b=0．其中正确结论的序号是 （填上你认为正确的所有结论的序号） ．9 ．如果 1+a+a 2+a 3 ，代数式 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8 = ．=0 a+a．若多项式2﹣6x ﹣ b 可化为（ x+a ）2﹣1，则 b 的值是．10x二．解答题（共 20 小题）11．已知 n 为整数，试说明（ n+7）2﹣（ n ﹣3）2的值一定能被 20 整除． 12．因式分解： 4x 2y ﹣4xy+y ．13．因式分解（1）a3﹣ab2（2）（ x﹣y）2+4xy．14．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若 m2 +2mn+2n2﹣ 6n+9=0，求 m 和 n 的值．解：∵ m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（ m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若 x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求 x y的值．（2）已知△ ABC的三边长 a，b，c 都是正整数，且满足a2+b2﹣ 6a﹣6b+18+| 3﹣c| =0，请问△ ABC是怎样形状的三角形？15．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如 4=22﹣02，12=42﹣22， 20=62﹣42，因此 4，12，20 这三个数都是和谐数．（1）36 和 2016 这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2 和 2k（其中 k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是 4 的倍数吗？为什么？（3）介于 1 到 200 之间的所有“和谐数”之和为．16．如图 1，有若干张边长为 a 的小正方形①、长为 b 宽为 a 的长方形②以及边长为 b 的大正方形③的纸片．（1）如果现有小正方形① 1 张，大正方形③ 2 张，长方形② 3 张，请你将它们拼成一个大长方形（在图 2 虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式 a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8 张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．17．（ 1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1 所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图 2 中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图 3 所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．18．已知 a+b=1，ab=﹣1，设 s1=a+b， s2=a2+b2，s3=a3+b3，⋯，s n=a n+b n（1）计算 s2；（2）请阅读下面计算s3的过程：因为 a+b=1，ab=﹣1，所以 s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ ab（a+b）=1×s2﹣（﹣ 1）=s2+1=你读懂了吗？请你先填空完成（2）中 s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4．（3）试写出 s n﹣2， s n﹣1，s n三者之间的关系式；（4）根据（ 3）得出的结论，计算s6．19．（1）利用因式分解简算： 9.82+0.4×9.8+0.04（2）分解因式： 4a（a﹣1）2﹣（ 1﹣a）20．阅读材料：若 m 2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求 m、n 的值．解：∵ m2﹣2mn+2n2﹣ 8n+16=0，∴（ m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（ m﹣ n）2+（n﹣4）2=0，∴（ m﹣n）2=0，（ n﹣ 4）2=0，∴ n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0，求 x﹣y 的值．（2）已知△ ABC的三边长 a、b、c 都是正整数，且满足a2+b2﹣ 6a﹣8b+25=0，求△ ABC的最大边 c 的值．（3）已知 a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则 a﹣b+c=．21．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式 x2﹣4x+m 有一个因式是（ x+3），求另一个因式以及 m 的值．解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则 x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴n+3=﹣4m=3n解得： n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（ x﹣7）， m 的值为﹣ 21．问题：（1）若二次三项式 x2﹣5x+6 可分解为（ x﹣ 2）（x+a），则 a=；（2）若二次三项式 2x2+bx﹣5 可分解为（ 2x﹣1）（ x+5），则 b=；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣ k 有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k 的值．22．分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣ 1；（3）6xy2﹣ 9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣ y） +9（x﹣y）2．23．已知 a，b，c 是三角形的三边，且满足（ a+b+c）2=3（a2+b2+c2），试确定三角形的形状．24．分解因式（1）2x4﹣4x2y2+2y4（2）2a3﹣4a2b+2ab2．25．图①是一个长为2m、宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为；（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣ n）2、 mn 之间的等量关系是．（3）若 x+y=7，xy=10，则（ x﹣y）2=．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了．（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．26．已知 a、b、c 满足 a﹣b=8，ab+c2+16=0，求 2a+b+c 的值．27 ．已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、 b 、 c ，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积．28．（x2﹣4x）2﹣ 2（ x2﹣4x）﹣ 15．29．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（ x+1）2=（ 1+x） [ 1+x+x（x+1）]=（ 1+x）2（ 1+x）=（ 1+x）3（1）上述分解因式的方法是，共应用了次．（2）若分解 1+x+x（x+1）+x（x+1）2+⋯+x（x+1）2004，则需应用上述方法次，结果是．（3）分解因式： 1+x+x（x+1）+x（ x+1）2+⋯+x（x+1）n（n 为正整数）．30．对于多项式 x3﹣5x2+x+10，如果我们把 x=2 代入此多项式，发现多项式 x3﹣5x2 +x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（ x﹣ 2）（注：把 x=a 代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（ x﹣a）），于是我们可以把多项式写成： x3﹣5x2+x+10=（x﹣ 2）（x2+mx+n），（1）求式子中 m 、n 的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣ 2x2﹣ 13x ﹣10 的因式．2017 年 05 月 21 日数学（因式分解难题）2参考答案与试题解析一．填空题（共10 小题）1．（2016 秋 ?望谟县期末）已知x+y=10，xy=16，则 x2y+xy2的值为160．【分析】首先提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．【解答】解：∵ x+y=10，xy=16，∴x2y+xy2=xy（x+y）=10×16=160．故答案为： 160．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．2．（2016 秋?新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成 2（ x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成 2（ x﹣2）（x﹣ 4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：2（x ﹣3）2．【分析】根据多项式的乘法将2（x﹣1）（x﹣9）展开得到二次项、常数项；将2（ x﹣ 2）（x﹣4）展开得到二次项、一次项．从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式 2 后利用完全平方公式分解因式．【解答】解：∵ 2（x﹣ 1）（x﹣9）=2x2﹣20x+18；2（ x﹣2）（x﹣4）=2x2﹣ 12x+16；∴原多项式为 2x2﹣12x+18．2x2﹣ 12x+18=2（x2﹣6x+9）=2（x﹣3）2．【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键．二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次项正确．3．（2015 春?昌邑市期末）若多项式x2+mx+4 能用完全平方公式分解因式，则m 的值是± 4．【分析】利用完全平方公式（ a+b）2=（a﹣b）2+4ab、（ a﹣ b）2=（ a+b）2﹣ 4ab 计算即可．【解答】解：∵ x2+mx+4=（x±2）2，即x2+mx+4=x2±4x+4，∴m=±4．故答案为：± 4．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键．4．（2015 秋 ?利川市期末）分解因式： 4x2﹣ 4x﹣3= （2x﹣ 3）（2x+1）．【分析】 ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数 a 分解成两个因数 a1， a2的积 a1?a2，把常数项 c 分解成两个因数 c1， c2的积 c1?c2，并使 a1c2+a2c1正好是一次项 b，那么可以直接写成结果： ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2），进而得出答案．【解答】解： 4x2﹣ 4x﹣3=（ 2x﹣3）（2x+1）．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键．5．（2015 春?东阳市期末）利用因式分解计算： 2022+202×196+982=90000．【分析】通过观察，显然符合完全平方公式．第 9页（共 31页）=（ 202+98）2=3002=90000．【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值．6．（2015 秋 ?浮梁县校级期末）△ ABC三边 a，b，c 满足 a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ ABC的形状是等边三角形．【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，再化简得（ a﹣ b）2+（a ﹣c）2+（b﹣c）2=0，得出： a=b=c，即选出答案．【解答】解：等式 a2+b2+c2=ab+bc+ac 等号两边均乘以 2 得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，即a2﹣ 2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2=0，即（ a﹣b）2+（ a﹣ c）2+（b﹣c）2=0，解得： a=b=c，所以，△ ABC是等边三角形．故答案为：等边三角形．【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得a=b=c，由三边相等判定△ ABC是等边三角形．7．（2015 秋?鄂托克旗校级期末）计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+⋯﹣1002+1012= 5151．【分析】通过观察，原式变为 1+（32﹣22）+（52﹣ 42）+（1012﹣ 1002），进一步运用高斯求和公式即可解决．【解答】解： 12﹣22+32﹣42+52﹣62+⋯﹣1002+1012=1+（32﹣22） +（ 52﹣42） +（ 1012﹣1002）=1+（3+2）+（5+4）+（7+6）+⋯+（101+100）=（ 1+101）× 101÷2=5151．故答案为： 5151．【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题．8．（2015 秋?乐至县期末）定义运算 a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣ 2）=3②a★b=b★a③若 a+b=0，则（ a★ a） +（ b★ b） =2ab④若 a★ b=0，则 a=1 或 b=0．其中正确结论的序号是③④（填上你认为正确的所有结论的序号）．【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：① 2★（﹣ 2）=（1﹣2）×（﹣ 2）=2，本选项错误；②a★b=（1﹣a）b，b★a=（1﹣b）a，故 a★ b 不一定等于 b★ a，本选项错误；③若a+b=0，则（ a★a）+（b★b）=（1﹣a）a+（1﹣b）b=a﹣ a2+b﹣b2=﹣ a2﹣b2=﹣2a2=2ab，本选项正确；④若 a★ b=0，即（ 1﹣a）b=0，则 a=1 或 b=0，本选项正确，其中正确的有③④．故答案为③④．【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．9．（ 2015 春?张掖校级期末）如果 1+a+a2+a3=0，代数式 a+a2+a3+a4+a5 +a6+a7+a8=0．【分析】 4 项为一组，分成 2 组，再进一步分解因式求得答案即可．【解答】解：∵ 1+a+a2+a3=0，∴a+a2+a3+a4+a5+a6+a7 +a8，=a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3），=0+0，=0．故答案是： 0．【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题．10．（2015 春?昆山市期末）若多项式 x2﹣ 6x﹣b 可化为（ x+a）2﹣ 1，则 b 的值是﹣8．【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可．【解答】解：∵ x2﹣6x﹣ b=（x﹣3）2﹣9﹣b=（ x+a）2﹣ 1，解得： a=﹣3，b=﹣8．故答案为：﹣ 8．【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键．二．解答题（共20 小题）11．已知 n 为整数，试说明（ n+7）2﹣（ n﹣3）2的值一定能被 20 整除．【分析】用平方差公式展开（ n+7）2﹣（ n﹣3）2，看因式中有没有20 即可．【解答】解：（n+7）2﹣（ n﹣ 3）2=（n+7+n﹣ 3）（n+7﹣ n+3）=20（n+2），∴（ n+7）2﹣（ n﹣ 3）2的值一定能被 20 整除．【点评】主要考查利用平方差公式分解因式．公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．12．（2016 秋?农安县校级期末）因式分解：4x2y﹣ 4xy+y．【分析】先提取公因式 y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解： 4x2y﹣4xy+y=y（4x2﹣4x+1）=y（2x﹣ 1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．（2015 秋?成都校级期末）因式分解32（1）a ﹣ab（2）（ x﹣y）2+4xy．【分析】（ 1）原式提取 a，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式 =a（a2﹣ b2）=a（ a+b）（ a﹣ b）；（2）原式 =x2﹣ 2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=（x+y）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（2015 春?甘肃校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若 m2 +2mn+2n2﹣ 6n+9=0，求 m 和 n 的值．解：∵ m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（ m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若 x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求 x y的值．（2）已知△ ABC的三边长 a，b，c 都是正整数，且满足a2+b2﹣ 6a﹣6b+18+| 3﹣c| =0，请问△ ABC是怎样形状的三角形？【分析】（ 1）首先把x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，配方得到（ x﹣y）2+（y+2）2=0，再根据非负数的性质得到x=y=﹣2，代入求得数值即可；（2）先把 a2+b2﹣6a﹣ 6b+18+| 3﹣c| =0，配方得到（ a﹣ 3）2+（b﹣3）2+| 3﹣c| =0，根据非负数的性质得到a=b=c=3，得出三角形的形状即可．【解答】解：（1）∵ x2 +2y2﹣2xy+4y+4=0∴x2+y2﹣2xy+y2+4y+4=0，∴（ x﹣y）2+（y+2）2=0∴x=y=﹣ 2∴；22（2）∵ a +b ﹣6a﹣6b+18+| 3﹣ c| =0，22∴a ﹣6a+9+b ﹣6b+9+| 3﹣c| =0，22∴（ a﹣3） +（ b﹣ 3） +| 3﹣c| =0∴a=b=c=3∴三角形 ABC是等边三角形．【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题．15．（2015 秋?太和县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如 4=22﹣02， 12=42﹣22，20=62﹣42，因此 4，12，20 这三个数都是和谐数．（1）36 和 2016 这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2 和 2k（其中 k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是 4 的倍数吗？为什么？（3）介于 1 到 200 之间的所有“和谐数”之和为2500．【分析】（ 1）利用 36=102﹣82；2016=5052﹣5032说明 36 是“和谐数”，2016不是“和谐数”；（2）设两个连续偶数为 2n，2n+2（n 为自然数），则“和谐数”=（2n+2）2﹣（ 2n）2，利用平方差公式展开得到（ 2n+2+2n）（2n+2﹣2n）=4（ 2n+1），然后利用整除性可说明“和谐数”一定是 4 的倍数；（3）介于 1 到 200 之间的所有“和谐数”中，最小的为： 22﹣02=4，最大的为：2250 ﹣ 48 =196，将它们全部列出不难求出他们的和．【解答】解：（1）36 是“和谐数”，2016 不是“和谐数”．理由如下：36=102﹣ 82；2016=5052﹣5032；（2）设两个连续偶数为2k+2 和 2k（n 为自然数），∵（ 2k+2）2﹣（ 2k）2=（2k+2+2k）（ 2k+2﹣ 2k）=（ 4k+2）× 2=4（2k+1），∵4（2k+1）能被 4 整除，∴“和谐数”一定是 4 的倍数；（3）介于 1 到 200 之间的所有“和谐数”之和，S=（22﹣ 02）+（42﹣ 22）+（62﹣42） +⋯+（502﹣482）=502 =2500．故答案是： 2500．【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形，从而达到使计算简化．16．（2015 春?兴化市校级期末）如图 1，有若干张边长为 a 的小正方形①、长为 b 宽为 a 的长方形②以及边长为 b 的大正方形③的纸片．（1）如果现有小正方形① 1 张，大正方形③ 2 张，长方形② 3 张，请你将它们拼成一个大长方形（在图 2 虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式 a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为 169，长方形②的周长为 34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8 张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．【分析】（ 1）根据小正方形① 1 张，大正方形③ 2 张，长方形② 3 张，直接画出图形，利用图形分解因式即可；（2）由长方形②的周长为 34，得出 a+b=17，由题意可知：小正方形①与大正方形③的面积之和为 a2+b2=169，将 a+b=17 两边同时平方，可求得 ab 的值，从而可求得长方形②的面积；（3）设正方形的边长为（ na+mb），其中（ n、m 为正整数）由完全平方公式可知：（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2．因为现有三种纸片各8张，n2≤8，m2≤8，2mn≤ 8（ n、 m 为正整数）从而可知n≤2，m≤2，从而可得出答案．【解答】解：（1）如图：拼成边为（ a+2b）和（ a+b）的长方形∴a2+3ab+2b2=（a+2b）（ a+b）；（2）∵长方形②的周长为34，∴a+b=17．∵小正方形①与大正方形③的面积之和为 169，∴a2+b2=169．将 a+b=17 两边同时平方得：（ a+b）2=172，整理得： a2+2ab+b2=289，∴2ab=289﹣169，∴ab=60．∴长方形②的面积为60．（3）设正方形的边长为（ na+mb），其中（ n、m 为正整数）∴正方形的面积 =（ na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2．∵现有三种纸片各8 张，∴n2≤8，m2≤8，2mn≤8（n、m 为正整数）∴n≤2，m≤2．∴共有以下四种情况；①n=1，m=1，正方形的边长为a+b；②n=1，m=2，正方形的边长为a+2b；③n=2，m=1，正方形的边长为2a+b；④n=2，m=2，正方形的边长为2a+2b．【点评】此题考查因式分解的运用，要注意结合图形解决问题，解题的关键是灵活运用完全平方公式．17．（2014 秋 ?莱城区校级期中）（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图 2 中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为： a2+2a+1 = （a+1）2．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图 3 所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．【分析】（ 1）要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式；（2）要能根据等式画出合适的拼图．【解答】解：（1）①长方形的面积 =a2+2a+1；长方形的面积 =（a+1）2；②a2+2a+1=（a+1）2；（2）①如图，可推导出（ a+b）2=a2+2ab+b2；②2a2+5ab+2b2=（ 2a+b）（a+2b）．【点评】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．18．（2013 秋?海淀区校级期末）已知a+b=1，ab=﹣1，设 s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，⋯， s n =a n+b n（1）计算 s2；（2）请阅读下面计算s3的过程：因为 a+b=1，ab=﹣1，所以 s33+b3（a+b ）（2+b2）﹣ ab（a+b）=1×s2﹣（﹣ 1）=s2+1= 4=a=a你读懂了吗？请你先填空完成（ 2）中 s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4．（3）试写出 s n﹣2， s n﹣1，s n三者之间的关系式；（4）根据（ 3）得出的结论，计算s6．【分析】（1）（2）利用完全平方公式进行化简，然后代入a+b，ab 的值，即可推出结论；（3）根据（ 1）所推出的结论，即可推出 S n﹣2+S n﹣1=S n；（4）根据（ 3）的结论，即可推出 a6+b6=S6=S4+S5 =2S4+S3．【解答】解：（1）S2=a2+b2=（ a+b）2﹣ 2ab=3；（2）∵（ a2+b2）（a+b） =a3+ab2+a2 b+b3=a3+b3+ab（ a+b），∴a3+b3=4，即 S3=4；2222∵S4=（a +b ）﹣2（ab） =7，（3）∵ S2=3，S3=4， S4=7，∴S2+S3=S4，∴S n﹣2+S n﹣1=S n；（3）∵ S n﹣2+S n﹣1=S n，S2=3，S3=4，S4=7，∴S5=4+7=11，∴S6=7+11=18．【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意推出 S2=3，S3=4， S4=7，分析归纳出规律： S n﹣2+S n﹣1=S n．219．（2013 春?重庆校级期末）（ 1）利用因式分解简算：9.8 +0.4×9.8+0.04【分析】（ 1）利用完全平方公式因式分解计算即可；（2）先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可．【解答】解：（1）原式 =9.82+2×0.2×9.8+0.22=（ 9.8+0.2）2=100；（2）4a（ a﹣1）2﹣（ 1﹣a）=（ a﹣ 1）（4a2﹣4a+1）=（ a﹣ 1）（2a﹣ 1）2．【点评】此题考查因式分解的实际运用，掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键．20．（ 2013 春?惠山区校级期末）阅读材料：若 m2﹣2mn+2n2﹣ 8n+16=0，求 m、n的值．解：∵ m2﹣2mn+2n2﹣ 8n+16=0，∴（ m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0 ∴（ m﹣ n）2+（n﹣4）2=0，∴（ m﹣n）2=0，（ n﹣ 4）2=0，∴ n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0，求 x﹣y 的值．（2）已知△ABC的三边长a、b、c 都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ ABC的最大边 c 的值．（3）已知 a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则 a﹣b+c= 7．【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为 0，两非负数分别为 0 求出 x 与 y 的值，即可求出 x﹣y 的值；（2）将已知等式 25 分为 9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为 0，两非负数分别为 0 求出 a 与 b 的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出 c 的长；（3）由 a﹣ b=4，得到 a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为 0，两非负数分别为 0 求出 b 与 c 的值，进而求出 a 的值，即可求出 a﹣b+c 的值．【解答】解：（1）∵ x2 +2xy+2y2+2y+1=0 222∴（ x +2xy+y ） +（ y +2y+1）=0∴（ x+y）2+（ y+1）2=0∴x+y=0 y+1=0解得 x=1， y=﹣1∴x﹣y=2；（2）∵ a2+b2﹣6a﹣8b+25=0∴（ a2﹣ 6a+9） +（ b2﹣8b+16）=0∴a﹣3=0，b﹣4=0解得 a=3，b=4∵三角形两边之和＞第三边∴c＜a+b，c＜3+4∴c＜7，又 c 是正整数，∴c最大为 6；（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且 c﹣3=0，即 b=﹣ 2， c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣ 2）+3=7．故答案为： 7．【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．21．（2012 秋?温岭市校级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m 有一个因式是（ x+3），求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则 x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴n+3=﹣4m=3n解得： n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（ x﹣7）， m 的值为﹣ 21．问题：（1）若二次三项式 x2﹣5x+6 可分解为（ x﹣ 2）（x+a），则 a= ﹣ 3 ；（2）若二次三项式 2x2+bx﹣5 可分解为（ 2x﹣1）（ x+5），则 b= 9 ；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣ k 有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及 k 的值．【分析】（ 1）将（ x﹣2）（x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出 a 的值；（2）（ 2x﹣1）（ x+5）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出 b 的值；（3）设另一个因式为（ x+n），得 2x2 +5x﹣ k=（2x﹣3）（ x+n） =2x2+（2n﹣ 3）x﹣ 3n，可知 2n﹣ 3=5，k=3n，继而求出 n 和 k 的值及另一个因式．【解答】解：（1）∵（ x﹣ 2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a=x2﹣5x+6，∴a﹣2=﹣ 5，解得： a=﹣3；（2）∵（ 2x﹣1）（ x+5）=2x2+9x﹣5=2x2+bx﹣ 5，（3）设另一个因式为（ x+n），得 2x2 +5x﹣ k=（2x﹣3）（ x+n） =2x2+（2n ﹣ 3）x﹣ 3n，则2n﹣3=5，k=3n，解得： n=4，k=12，故另一个因式为（ x+4），k 的值为 12．故答案为：（1）﹣ 3；（ 2 分）（2）9；（ 2 分）（ 3）另一个因式是 x+4，k=12（6分）．【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．22．（2012 春?郯城县期末）分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣ 1；（3）6xy2﹣ 9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣ y） +9（x﹣y）2．【分析】（ 1）直接提取公因式x 即可；（2）利用平方差公式进行因式分解；（3）先提取公因式﹣ y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）把（ x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣ 1）；（2）16x2﹣ 1=（4x+1）（ 4x﹣1）；223（3）6xy ﹣ 9x y﹣y ，22=﹣ y（ 9x ﹣ 6xy+y ），2=﹣ y（ 3x﹣y）；（4）4+12（x﹣ y） +9（x﹣y）2，=（ 3x﹣3y+2）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在（3），提取公因式﹣y 后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解．23．（ 2012 春?碑林区校级期末）已知 a，b，c 是三角形的三边，且满足（ a+b+c）2=3（ a2 +b2+c2），试确定三角形的形状．【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．【解答】解：∵（ a+b+c）2=3（ a2+b2+c2），∴a2+b2+c2 +2ab+2bc+2ac，=3a2+3b2+3c2，a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣ 2bc+a2+c2﹣2ac=0，即（ a﹣b）2+（ b﹣ c）2+（c﹣ a）2=0，∴a=b=c，故△ ABC为等边三角形．【点评】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．24．（2011 秋?北辰区校级期末）分解因式4 2 24（1）2x ﹣4x y +2y（2）2a3﹣4a2b+2ab2．【分析】（ 1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）2x4﹣4x2y2+2y4=2（x2﹣ y2）2=2（x+y）2（x﹣y）2；（2）2a3﹣4a2b+2ab2=2a（a2﹣2ab+b2）=2a（a﹣b）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用公式进行二次分解，注意分解要彻底．25．（2011 秋?苏州期末）图①是一个长为2m、宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）观察图②请你写出三个代数式（ m+n）2、（m﹣ n）2、 mn 之间的等量关系是（m+n）2﹣（ m﹣n）2=4mn ．（3）若 x+y=7，xy=10，则（ x﹣y）2= 9．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了（ m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2．（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．【分析】（ 1）可直接用正方形的面积公式得到．（2）掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别．（3）此题可参照第（ 2）题．（4）可利用各部分面积和 =长方形面积列出恒等式．（5）可参照第（ 4）题画图．【解答】解：（1）阴影部分的边长为（m﹣n），阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）（ m+n）2﹣（ m﹣ n）2=4mn；222（3）（ x﹣y） =（ x+y）﹣ 4xy=7 ﹣ 40=9；22（4）（ m+n）（2m+n）=2m +3mn+n ；（5）答案不唯一：例如：．【点评】本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形．26．（ 2009 秋?海淀区期末）已知 a、b、c 满足 a﹣ b=8，ab+c2 +16=0，求2a+b+c 的值．【分析】本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口．由 a﹣b=8 可得 a=b+8；将其代入 ab+c2+16=0 得：b2+8b+c2+16=0；此时可发现 b2+8b+16 正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出 b、 c 的值，进而可求得 a 的值；然后代值运算即可．【解答】解：因为 a﹣b=8，所以 a=b+8．（1 分）又ab+c2+16=0，所以（ b+8）b+c2+16=0．（ 2 分）又（ b+4）2≥0，c2≥ 0，则b=﹣4，c=0．（4 分）所以 a=4，（ 5 分）所以 2a+b+c=4．（ 6 分）【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法．27．（2010 春?北京期末）已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足 a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积．【分析】我们可先将 a+b+c+ab+bc+ac+abc 分解因式可变为（ a+1）（b+1）（c+1）﹣1，就得（ 1+b）（c+1）（a+1）=2007，由于 a、b、c 均为正整数，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也为正整数，而 2007 只可分解为 3×3×223，可得（a+1）、（b+1）、（c+1）的值分别为 3、3、223，所以 a、b、c 值为 2、 2、222．就可求出长方体体积 abc 了．【解答】解：原式可化为： a+ab+c+ac+ab+abc+b+1﹣ 1=2006，a（ 1+b）+c（1+b） +ac（1+b）+（1+b）﹣ 1=2006，（1+b）（a+c+ac）+（1+b）=2007，（1+b）（c+1+a+ac）=2007，（1+b）（c+1）（ a+1）=2007，2007 只能分解为 3×3×223∴（ a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分别为 3、 3、223 ∴a、b、c 也只能分别为 2、2、222 ∴长方体的体积 abc=888．【点评】本题考查了三次的分解因式，做题当中用加减项的方法，使式子满足分解因式．28．（2007 秋?普陀区校级期末）（x2﹣4x）2﹣ 2（ x2﹣4x）﹣ 15．【分析】把（x2﹣ 4x）看作一个整体，先把﹣ 15 写成 3×（﹣ 5），利用十字相乘法分解因式，再把 3 写成（﹣ 1）×（﹣ 3），﹣5 写成 1×（﹣ 5），分别利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：（x2﹣4x）2﹣ 2（ x2﹣4x）﹣ 15，=（ x2﹣4x+3）（x2﹣ 4x﹣5），=（ x﹣1）（x﹣3）（ x+1）（x﹣5）．【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．29．（2007 春?镇海区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：2=（ 1+x） [ 1+x+x（x+1）]=（ 1+x）2（ 1+x）=（ 1+x）3（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．（2）若分解 1+x+x（x+1）+x（x+1）2+⋯+x（x+1）2004，则需应用上述方法2004第 29 页（共 31 页）次，结果是（ 1+x）2005．（3）分解因式： 1+x+x（x+1）+x（ x+1）2+⋯+x（x+1）n（n 为正整数）．【分析】此题由特殊推广到一般，要善于观察思考，注意结果和指数之间的关系．【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了 2 次．（2）需应用上述方法2004 次，结果是（ 1+x）2005．（3）解：原式 =（1+x）[ 1+x+x（x+1） ]+ x（ x+1）3+⋯+x（ x+1）n，=（ 1+x）2（ 1+x） +x（x+1）3+⋯+x（x+1）n，=（ 1+x）3+x（ x+1）3+⋯+x（ x+1）n，=（ x+1）n+x（ x+1）n，=（ x+1）n+1．【点评】本题考查了提公因式法分解因式的推广，要认真观察已知所给的过程，弄清每一步的理由，就可进一步推广．30．（2007 春 ?射洪县校级期末）对于多项式x3﹣5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式 x3﹣ 5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x ﹣2）（注：把 x=a 代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10=（x﹣ 2）（x2+mx+n），（1）求式子中 m 、n 的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣ 2x2﹣ 13x ﹣10 的因式．【分析】（ 1）根据（ x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣ 2）x2+（ n﹣ 2m） x﹣ 2n，得出有关 m，n 的方程组求出即可；（2）由把 x=﹣1 代入 x3﹣2x2﹣13x﹣10，得其值为 0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案．【解答】解：（1）方法一：因（ x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣ 2n，=x3﹣ 5x2+x+10，（2 分）所以，解得： m=﹣ 3， n=﹣5（5 分），方法二：在等式x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n）中，分别令 x=0，x=1，即可求出： m=﹣3，n=﹣5（注：不同方法可根据上面标准酌情给分）（2）把 x=﹣1 代入 x3﹣2x2﹣13x﹣ 10，得其值为 0，则多项式可分解为（ x+1）（x2+ax+b）的形式，（ 7 分）所以 x3﹣2x2﹣13x﹣10=（x+1）（x2﹣ 3x﹣10），（9 分）=（ x+1）（x+2）（x﹣5）．（10 分）【点评】此题主要考查了因式分解的应用，根据已知获取正确的信息，是近几年中考中热点题型同学们应熟练掌握获取正确信息的方法．。

八年级下册数学难题精选分式：一：如果abc=1,求证11++a ab +11++b bc +11++c ac =1二：已知a 1+b 1=)(29b a +，则a b +ba等于多少？三：一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。

向容器中注满水的全过程共用时间t 分。

求两根水管各自注水的速度。

四：联系实际编拟一道关于分式方程2288+=xx 的应用题。

要求表述完整，条件充分并写出解答过程。

五：已知M ＝222y x xy -、N ＝2222yx y x -+，用“+”或“－”连结M 、N,有三种不同的形式，M+N 、M-N 、N-M ，请你任取其中一种进行计算，并简求值，其中x ：y=5：2。

反比例函数：一：一张边长为16cm 正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E ”图案如图1所示．小矩形的长x （cm ）与宽y （cm ）之间的函数关系如图2所示：（1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）“E ”图案的面积是多少？（3）如果小矩形的长是6≤x ≤12cm ，求小矩形宽的范围.二：是一个反比例函数图象的一部分，点(110)A，，(101)B，是它的两个端点．（1）求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例．三：如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数1yx的图象上，则图中阴影部分的面积等于 .四：如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，1），且P（1，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的OPCQ周长的最小值．五：如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与Y 轴和X 轴分别交于点A 、点8，与反比例函数y 一罟在第一象限的图象交于点c(1，6)、点D(3，x)．过点C 作CE 上y 轴于E ，过点D 作DF 上X 轴于F ． (1)求m ，n 的值；(2)求直线AB 的函数解析式；勾股定理：一：清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王．近日，•西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，•设其面积为S ，则第一步：6S＝m ；第二步：m =k ；第三步：分别用3、4、5乘以k ，得三边长”．（1）当面积S 等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程．二：一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张三：如图，甲、乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的A处目测得点A与甲、乙楼顶B C、刚好在同一直线上，且A与B相距350米，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是米．20乙CBA甲1020四：恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷()A 和世界级自然保护区星斗山()B 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，50km AB A =，、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和1S PA PB =+，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A '，连接BA '交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和2S PA PB =+． （1）求1S 、2S ，并比较它们的大小； （2）请你说明2S PA PB =+的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．P图（1）图（3）图（2）五：已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE AC =． （1）求证：BG FG =；（2）若2AD DC ==，求AB 的长． 四边形：一：如图，△ACD 、△ABE 、△BCF 均为直线BC 同侧的等边三角形. (1) 当AB ≠AC 时，证明四边形ADFE 为平行四边形；(2) 当AB = AC 时，顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件.DCEB GAFEFDABC二：如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF。

2023年部编版八年级数学下册期末考试题（加答案）班级：姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．4的平方根是（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．162．已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为（）A．2a＋2b－2c B．2a＋2b C．2c D．03．按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（）A．11m n==，B．10m n==，C．12m n==，D．21m n==，4．若关于x的方程333x m mx x++--=3的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜92B．m＜92且m≠32C．m＞﹣94D．m＞﹣94且m≠﹣345．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（）A．20{3210x yx y+-=--=，B．210{3210x yx y--=--=，C．210{3250x yx y--=+-=，D．20{210x yx y+-=--=，6．如图，AB ∥CD ，点E 在线段BC 上，若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数是（ ）A ．70°B ．60°C ．55°D ．50°7．下列说法中错误的是（ ）A ．12是0.25的一个平方根B ．正数a 的两个平方根的和为0C ．916的平方根是34D ．当0x ≠时，2x -没有平方根 8．如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且D 点落在对角线D ′处．若AB=3，AD=4，则ED 的长为（ ）A ．32B ．3C ．1D ．439．如图，//DE BC ，BE 平分ABC ∠，若170∠=，则CBE ∠的度数为（ ）A ．20B ．35C ．55D ．7010．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，CE 平分∠ACD ，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD 等于（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．55°二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，a ，b 满足|a ﹣7|+（b ﹣1）2=0，c 为奇数，则c=________．2．若最简二次根式1a +与8能合并成一项，则a ＝__________．3．将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为_________. 4．如图，AB ∥CD ，则∠1+∠3—∠2的度数等于 _________．5．我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼制成一个大正方形（如下图），设勾a=3，弦c=5，则小正方形ABCD 的面积是_______。

初二数学经典难题一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）2．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN 于E、F．求证：∠DEN=∠F．3．（10分）如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半．4．（10分）设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA．求证：∠PAB=∠PCB．5．（10分）P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长．6．（10分）一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度．7．（10分）（2009•郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．8．（10分）（2008•海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB．（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）设AP=x，△PBE的面积为y．①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．9．（10分）（2010•河南）如图，直线y=k1x+b与反比例函数（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．（1）求k1、k2的值．（2）直接写出时x的取值范围；（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．10．（10分）（2007•福州）如图，已知直线y=x与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4．（1）求k的值；（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．初二数学经典难题参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定。

初二数学难题30道1. 解析几何：在直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(1, 2)，求线段AB的中点坐标。

2. 代数方程：解方程 2x + 5 = 3x 4。

3. 函数问题：给定函数 f(x) = x^2 2x + 1，求 f(3) 的值。

4. 不等式求解：解不等式 5x 2 > 3。

5. 平行四边形：已知平行四边形ABCD，AB = 6cm，BC = 8cm，求对角线AC的长度。

6. 解析几何：在直角坐标系中，点A(1, 2)，点B(3, 4)，求线段AB的长度。

7. 代数方程：解方程 3x^2 4x + 1 = 0。

8. 函数问题：给定函数 g(x) = 2x + 3，求 g(2) 的值。

9. 不等式求解：解不等式 2x 5 < 1。

10. 平行四边形：已知平行四边形ABCD，AB = 7cm，BC = 9cm，求对角线BD的长度。

11. 解析几何：在直角坐标系中，点A(4, 5)，点B(2, 1)，求线段AB的长度。

12. 代数方程：解方程 4x^2 9x + 2 = 0。

13. 函数问题：给定函数 h(x) = x^3 3x^2 + 2x，求 h(1) 的值。

14. 不等式求解：解不等式3x + 4 ≤ 7。

15. 平行四边形：已知平行四边形ABCD，AB = 8cm，BC = 10cm，求对角线AC的长度。

16. 解析几何：在直角坐标系中，点A(3, 2)，点B(1, 1)，求线段AB的中点坐标。

17. 代数方程：解方程 5x 3 = 2x + 7。

18. 函数问题：给定函数 f(x) = x^2 + 4x + 4，求 f(0) 的值。

19. 不等式求解：解不等式4x 8 ≥ 2。

20. 平行四边形：已知平行四边形ABCD，AB = 9cm，BC = 11cm，求对角线BD的长度。

21. 解析几何：在直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(1, 4)，求线段AB的长度。

22. 代数方程：解方程 6x^2 5x 1 = 0。

八年级下数学大题难题(含答案)
2）若矩形ABCD的周长为40，求矩形EFGC的面积；
3）若点M在矩形ABCD内部任意取，且BM=8，AM=6，求矩形EFGC的面积。

1.在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，垂足为点E，
CF⊥BD，垂足为点F。

证明四边形AECF是平行四边形，依
据是AE和CF平行。

2.在平面直角坐标系中，将边长为4的正方形放置。

点P
是OA上的一个动点，且从点O向点A运动。

连接CP交对角线OB于点D，连接AD。

1）证明三角形OCD和三角形OAD全等；
2）若三角形OCD的面积是四边形OABC面积的1/6，求
D点的坐标；
3）当三角形OCD为等腰三角形时，点P的坐标为（2，2）。

3.已知矩形EFGC的一边EC和对角线CF分别与矩形ABCD的对角线AC及边BC重合。

连接AF，取AF的中点为M，连接BM、EM。

1）证明BM=ME；
2）若矩形ABCD的周长为40，矩形EFGC的面积为48；3）当BM=8，AM=6时，矩形EFGC的面积为24.。

八下数学试题难题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若a、b、c是三角形的三边长，则下列不等式中正确的是（）。

A. a + b > cB. a + b = cC. a + b < cD. a + b ≤ c答案：A2. 计算下列算式的结果：\(\sqrt{4} + \sqrt{9} - \sqrt{16}\) 的值是（）。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C3. 一个数的平方是9，这个数是（）。

A. 3B. -3C. 3或-3D. 0答案：C4. 一个数的立方是-8，这个数是（）。

A. 2B. -2C. 1D. -1答案：B5. 计算下列算式的值：\((-2)^3\) 的结果是（）。

A. -8B. 8C. -2D. 2答案：A6. 一个等腰三角形的两边长分别为3和5，那么它的周长是（）。

A. 8B. 11C. 13D. 16答案：C7. 一个数的绝对值是5，这个数是（）。

A. 5B. -5C. 5或-5D. 0答案：C8. 计算下列算式的值：\((-3)^2\) 的结果是（）。

A. 9B. -9C. 3D. -3答案：A9. 一个数的相反数是-7，那么这个数是（）。

A. 7B. -7C. 0D. 14答案：A10. 计算下列算式的值：\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\) 的结果是（）。

A. \(\frac{1}{5}\)B. \(\frac{5}{6}\)C. \(\frac{3}{5}\)D. \(\frac{1}{6}\)答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的平方根是4，那么这个数是______。

答案：162. 一个数的立方根是-2，那么这个数是______。

答案：-83. 一个数的绝对值是7，那么这个数可以是______。

答案：7或-74. 一个等腰三角形的两边长分别为4和6，那么它的周长是______。

答案：14或165. 计算下列算式的值：\(\frac{3}{4} - \frac{1}{2}\) 的结果是______。

-WORD格式--试题-范文范例--指导案例初二数学经典难题一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）2．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN=∠F．3．（10分）如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半．4．（10分）设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA．求证：∠PAB=∠PCB．5．（10分）P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长．6．（10分）一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度．7．（10分）（2009•郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ 与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．8．（10分）（2008•海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB．（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）设AP=x，△PBE的面积为y．①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．9．（10分）（2010•河南）如图，直线y=k1x+b与反比例函数（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．（1）求k1、k2的值．（2）直接写出时x的取值范围；（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．10．（10分）（2007•福州）如图，已知直线y=x与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4．（1）求k的值；（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．初二数学经典难题参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定。