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12.3 乘法公式1 两数和乘以这两数的差课前知识管理1、两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差：(a+b)(a-b)=a 2-b 2所以，我们把这个公式叫作平方差公式.平方差公式可以形象记忆为：(□+△)(□—△)=□2—△2.几何背景：如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a 2－b 2.若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成S Ⅰ+S Ⅲ＝S Ⅰ+S Ⅳ＝（a+b ）（a －b ），从而验证了平方差公式（a+b ）（a －b ）＝a 2－b 2.2、平方差公式的特征：（1）公式左边的两个因式都是二项式，必须是相同的两数的和与差.或者说两个二项式必须有一项完全相同，另一项只有符号不同.（2）公式中的a 与b 可以是数，也可以换成一个代数式.名师导学互动典例精析：知识点1：直接应用平方差公式例1、计算：)421)(214(22x x +-． 【解题思路】此题是两个二项式相乘，且这两个二项式中各有一完全相同的项24x ，另外一项－21与21互为相反数，符合平方差公式的结构特点，因此，可直接套用平方差公式． 【解】)421)(214(22x x +-=4116)21()4(4222-=-x x ． 【方法归纳】将两个括号内的相同项24x 看作□，符号相反的项－21与21看作△，就可以直接运用平方差公式.对应练习：计算(y —2x)(—2x —y).知识点2：连用平方差公式化简例2、化简：()()()()()224488x y x y x y x y x y -++++.【解题思路】本题的前两项能利用平方差公式得到()22x y-，它与第三项()22x y +又能构成平方差公式，依次类推，较轻松地得到结果.【解】原式=()()()()22224488x yx y x y x y -+++=()()()444488x y x y x y -++ =()()88881616.x y x y x y -+=-【方法归纳】连用平方差公式使运算量大大减小，实现简算目的.对应练习：计算：))()()()((884422b a b a b a b a b a ++++- 知识点3：分组后运用平方差公式例3、计算: (2a+3)(3a+5)(2a-3)(3a-5).【解题思路】若直接运算,则计算比较繁琐,如果运用乘法的交换律将第一、三结合，第二、四结合分组，就可以利用乘法公式计算.【解】(2a+3)(3a+5)(2a －3)(2a －5)=[(2a+3)(2a －3)][(3a+5)(3a －5)]=(4a 2-9)(9a 2－25)=36a 4－181a 2+225.【方法归纳】根据算式中各因式的特征，恰当分组后利用乘法公式可以简化计算，减少运算量.对应练习：计算：(x+2)(x 2+4)(x —2).知识点4：添项后运用平方差公式例4．计算；1)12)(12)(12)(12(842+++++． 【解题思路】本题若添上一个因式“２－１”后，则可以连续四次运用平方差公式计算．【解】原式＝=+++++-1)12)(12)(12)(12)(12(8421)12)(12)(12)(12(8422++++- ＝1)12)(12)(12(844+++-＝16168821121)12)(12(=+-=++-．【方法归纳】本题的解题关键是在不改变原式的值的前提下，将原式添上一个因式，使得它能运用乘法公式计算．对应练习：某同学在计算)14)(14(32++时，把3写成14-后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：2551161)4()14)(14()14)(14)(14()14)(14(32222222=-=-=+-=++-=++. 请借鉴该同学的经验，计算：1584221)211)(211)(211)(211(+++++. 知识点5：逆用平方差公式例5．计算：22)43()32(a b b a --+【解题思路】若直接运用完全平方公式展开再相减，运算量大，若把式中的“32b a +”与“a b 43-”分别视为平方差公式中的a 、b ，逆用平方差公式，则运算简便． 解：22)43()32(a b b a --+ab a a b a a b b a a b b a 4126322433243322+-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=. 【方法归纳】本题正向思考解题较为麻烦，若抓住题目的特征，逆用公式解题，往往显得简单．对应练习：计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-22221011411311211. 知识点6：变形后运用平方差公式例6.计算293.【解题思路】注意到93接近整百数100，二者相差7，若使用数字93、7巧构平方差公式便可实现简算.【解】()()864949860077937939322=+=+-+=. 【方法归纳】公式()()22b a b a b a -=-+可以变形为()()22b b a b a a +-+=. 对应练习：计算：298知识点7：拆项变形后使用例7、计算(x-y+1)(x+y-5).【解题思路】观察式子的特点,可以将两个多项式拆成两个数的和与这两个数的差的形式.然后利用平分差公式计算.解：(x-y+1)(x+y-5)=(x-y-2+3)(x-y-2-3)=[(x-2)-(y-3)][(x-2)+(y-3)]=(x-2)2-(y-3)2=x 2-4x+4-y 2+6y-9=x 2-y 2-4x +6y-5.【方法归纳】拆项的关键在于将两个因式中的相同项、相反项正确分析出来，并恰当分组，使之符合平方差公式的结构特征.对应练习：()()3232-++-b a b a易错警示例8、计算：(2x +3)(2y -3).错解：(2x +3)(2y -3)=4xy -9.错解分析：(2x +3)(2y -3)中的两个因式不符合“两个数的和与这两个数的差的积”，因此不能用平方差公式做，只能按多项式乘以多项式的法则进行运算．正解：(2x +3)(2y -3)=4xy -6x +6y -9.例9、(2x +9)(2x -9).错解：(2x +9)(2x -9)=4x 2-9.错解分析：(2x +9)(2x -9)应等于2x 与9的平方差，即(2x )2-92，错解中没有把第二项9平方，当第二项是完全平方数时，很容易犯这样的错误．正解：(2x +9)(2x -9)=(2x )2-92=4x 2-81.例10、(a 3-8)(a 3+8).错解：(a 3-8)(a 3+8)=a 9-64.错解分析：(a 3-8)(a 3+8)中(a 3)2=a 6，而(a 3)2≠a 9.正解：(a 3-8)(a 3+8)=(a 3)2-82=a 6-64.例11、(-2a -7)(2a -7)．错解：(-2a -7)(2a -7)＝4a 2-49.错解分析：(-2a -7)(2a -7)符合平方差公式的特征，但到底是哪个数的平方减去哪个数的平方呢？错解中认为就是前面一个数的平方减去后面一个数的平方，但(-2a -7)(2a -7)≠(-2a )2-72，应该是两式中符号相同的数的平方减去符号相反的那个数的平方，即： (-2a -7)(2a -7)=(-7-2a )(-7+2a ) =(-7)2-(2a )2或(-2a -7)(2a -7)=－(2a +7)(2a -7) =－[(2a )2-72]．正解： (-2a -7)(2a -7) = (-7-2a )(-7+2a ) =(-7)2-(2a )2=49-4a 2．课堂练习评测知识点1：平方差公式1、在边长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b 的小正方形()a b >（如图1），把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（如图2），分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是 （用字母表示）．2、已知2a b +=，则224a b b -+的值是 3、下列计算中，错误的有（ ）①（3a+4）（3a －4）=9a 2－4；②（2a 2－b ）（2a 2+b ）=4a 2－b 2；③（3－x ）（x+3）=x 2－9；④（－x+y ）·（x+y ）=－（x －y ）（x+y ）=－x 2－y 2．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个知识点2：平方差公式的实际应用 4、一个长方形的面积是(x 2－9)平方米，其长为(x ＋3)米，用含有x 的整式表示它的宽为___________米.知识点3：平方差公式的运用5、计算：2221123443m n n m ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭;6、计算：(3x-2y)(9x 2+4y 2)(-2y-3x)7、平方差公式的常见变形(1)位置变化:(a+b)(-b+a)=________;(2)符号变化:(-a-b)(a-b)=_______.(3)系数变化:(2a+3b)(2a-3b)=_______.(4)指数变化:(a 2+b 3)(a 2-b 3)=_____.(5)项数变化:(a+2b-c)(a-2b-c)=_________________;(6)连用公式:(a+b)(a-b)(a 2+b 2)= __________________.课后作业练习基础训练一、填空题1、=--+-)2)(2(y y _______.2、=-+)2)(2(y x y x ______.3、=-+)3121)(3121(b a b a ______.4、=---))((22x a x a _______.5、=++-))()((22b a b a b a _______.6、=-+-))((y x y x _______.7、=+-----+))(())((y x y x y x y x _______.8、+xy (_______）-xy (_______）81122-=y x . 二、选择题9、下列各式中，能直接用平方差公式计算的是（ ）A )22)(2(b a b a +--;B )2)(2(a b b a +-;C )2)(2(b a b a +--;D )2)(2(b a a b ++-.10、下列各式中，运算结果是223625y x -的是（ ）A )56)(56(x y x y --+- ;B )56)(65(x y y x +-;C )56)(56(x y x y ++- ;D )65)(65(y x y x +--.11、为了应用平方差公式计算(x+2y-1)(x-2y+1),下列变形正确的是( )A.[x-(2y+1)]2B.[x-(2y-1)][x+(2y-1)]C.[(x-2y)+1][(x-2y)-1]D.[x+(2y+1)]2三、解答题12、计算)2)(2())((n m n m n m n m -+-+-.13、先化简后求值2),2)(2()2)(2(22-=-+--+x x x x x .提高训练14、解方程4)2()1)(1(2=---+x x x x .15、已知代数式(-4x+3y)(-3y-4x)与多项式M 的差是(2x+3y)(8x-9y),求多项式M.16、一个长方形菜地,长为(2a+3)cm,宽为(2a-3)cm, 那么这块菜地的面积是多少?17、一个长方体的游泳池的长为(4a 2+9b 2)米,宽为(2a+3b)米,高为(2a-3b)米,那么这个游泳池的容积是多少?12.3.1对应练习答案：1.解：原式=[(—2x)+y][(—2x)—y]=(—2x)2—y 2=4x 2—y2.2.解：原式＝))()(())()()((88444488442222b a b a b a b a b a b a b a ++-=+++-＝16168888))((b a b a b a -=+-．3.解：原式=(x+2)(x —2)(x 2+4)=(x 2—4)(x 2+4)=x 4—16.4.答案：25.解：原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+10111011411411311311211211 1091011434532342123⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯=2011=. 6.解：()()96044960022982989822=+=+-+=.7.答案：96422-+-b b a . 课堂作业练习参考答案：1、答案：()()22a b a b a b +-=- 2、答案：43、答案：D4、答案：（3x -）5、解:原式=22224211134916m n m n ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 6、解:原式=[(3x-2y)(-3x-2y)](9x 2+4y 2) =(4y 2-9x 2)(9x 2+4y 2)=16y 4-81x 47、(1)a 2-b 2 (2)b 2-a 2 (3)4a 2-9b 2 (4)a 4-b 6 (5)(a-c)2-4b 2=a 2-2ac+c 2-4b 2(6)a 4-b 4课后作业练习参考答案：1～8：24y -；224y x -；229141b a -；24a x -；44b a -；22x y -；0；91,91. 9、D ；10、A ；11、D12、23n ；13、化简结果为24x x -，求值结果为12；14、5.2=x15、解:由题意得: M=(-4x+3y)(-3y-4x)-(2x+3y)(8x-9y) =(-4x)2-(3y)2-(16x 2-18xy+24xy-27y 2) =16x 2-9y 2-16x 2-6xy+27y 2=18y 2-6xy.16、解:这块菜地的面积为: (2a+3)(2a-3)=(2a)2-9=4a 2-9(cm 2)17、解:游泳池的容积是:(4a 2+9b 2)(2a+3b)(2a-3b) =[(2a)2-(3b)2](4a 2+9b 2)=(4a 2-9b 2)(4a 2+9b 2) =(4a 2)2-(9b 2)2=16a 4-81b 4(米3) 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
12.3.1 两数和乘以这两个数的差【学习目标】1、从已有的整式乘法的知识中提炼出两数和乘以它们的差这一乘法公式，明确这一公式来源于整式乘法，又可以用于整式的乘法的辩证思想；2、掌握两数和乘以它们的差的公式的结构，并能正确地运用；【学习重难点】1、掌握两数和乘以它们的差的结构特征；2、正确理解两数和乘以它们的差的公式意义。
【学习过程】一、课前准备1、多项式与多项式相乘法则2．利用多项式与多项式的乘法法则写出 (x＋a)(x＋b)的结果。
3.计算：(1)(x＋3)(x－3)； (2)(a＋2b)(a－2b)；(3)(4m＋n)(4m－n)； (4)(5＋4y)(5－4y)。
二、学习新知自主学习：1、做一做，计算归纳总结也就是说， 这个公式叫做两数和与两数差的乘法公式，简称为平方差公式2.平方差公式的特征：（1）等式左边是两个数（2）等式右边是两个数3.需要注意的几个问题(1)公式中的字母的意义很广泛,可以代表常数,单项式或多项式(2)必须符合平方差公式特征的代数式才能用平方差公式4.平方差公式的几何意义实例分析：例1、计算：（1）(a+3)(a-3) （2）(23)(23)a b a b +-(3)(1+2c)(1-2c) (4)(-2x-y)(2x-y)例2 、运用平方差公式计算 1998×2002解：1998×2002 =（2000- ）×(2000+ )==例3 、街心花园有一块边长为a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米，问改造后的长方形草坪的面积是多少？【随堂练习】 1.(x+6)(6-x)=________,11()()22x x -+--=_____________.2.222(25)()425a b a b --=-.3.(x-1)(2x +1)( )=4x -1.4.(a+b+c)(a-b-c)=[a+( )][a-( )].5.(a-b-c-d)(a+b-c+d)=[( )+( )][( )-( )]【中考连线】计算:2481511111(1)(1)(1)(1)22222+++++【参考答案】随堂练习1.36-x 2,x 2-14 2.-2a 2+5b 3.x+1 4.b+c,b+c 5.a-c,b+d,a-c,b+d中考连线原式=248151111112(1)(1)(1)(1)(1)222222-+++++=1615112(1)222-+=.。
12.3.1 两数和乘以这两个数的差
【学习目标】
1、从已有的整式乘法的知识中提炼出两数和乘以它们的差这一乘法公式，明确这一公式来源于整式乘法，又可以用于整式的乘法的辩证思想；
2、掌握两数和乘以它们的差的公式的结构，并能正确地运用；
【学习重难点】
1、掌握两数和乘以它们的差的结构特征；
2、正确理解两数和乘以它们的差的公式意义。
【学习过程】
一、课前准备
1、多项式与多项式相乘法则
2．利用多项式与多项式的乘法法则写出 (x＋a)(x＋b)的结果。
3.计算：
(1)(x＋3)(x－3)； (2)(a＋2b)(a－2b)；
(3)(4m＋n)(4m－n)； (4)(5＋4y)(5－4y)。
二、学习新知
自主学习：
1、做一做，计算
归纳总结
也就是说， 这个公式叫做两数和与两数差的乘法公式，简称为平方差公式
2.平方差公式的特征：
（1）等式左边是两个数
（2）等式右边是两个数
3.需要注意的几个问题
(1)公式中的字母的意义很广泛,可以代表常数,单项式或多项式
(2)必须符合平方差公式特征的代数式才能用平方差公式
4.平方差公式的几何意义
实例分析：
例1、计算：（1）(a+3)(a-3) （2）(23)(23)
a b a b +-
(3)(1+2c)(1-2c) (4)(-2x-y)(2x-y)
例2 、运用平方差公式计算 1998×2002
解：1998×2002 =（2000- ）×(2000+ )
=
=
例3 、街心花园有一块边长为a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米，问改造后的长方形草坪的面积是多少？
【随堂练习】 1.(x+6)(6-x)=________,11()()22x x -+--=_____________.
2.222(25)(
)425a b a b --=-. 3.(x-1)(2x +1)( )=4x -1.
4.(a+b+c)(a-b-c)=[a+( )][a-( )].
5.(a-b-c-d)(a+b-c+d)=[( )+( )][( )-( )]
【中考连线】
计算:2481511111(1)(1)(1)(1)22222++
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【参考答案】
随堂练习
1.36-x 2,x 2-
14 2.-2a 2+5b 3.x+1 4.b+c,b+c 5.a-c,b+d,a-c,b+d 中考连线
原式=248151
111112(1)(1)(1)(1)(1)222222-+++++=1615112(1)222-+=.。
