八年级数学上册第12章整式的乘除12.3乘法公式12.3.1两数和乘以这两个数的差导学案新版华东师大版

12.3 乘法公式1 两数和乘以这两数的差课前知识管理1、两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差：(a+b)(a-b)=a 2-b 2所以，我们把这个公式叫作平方差公式.平方差公式可以形象记忆为：(□+△)(□—△)=□2—△2.几何背景：如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a 2－b 2.若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成S Ⅰ+S Ⅲ＝S Ⅰ+S Ⅳ＝（a+b ）（a －b ），从而验证了平方差公式（a+b ）（a －b ）＝a 2－b 2.2、平方差公式的特征：（1）公式左边的两个因式都是二项式，必须是相同的两数的和与差.或者说两个二项式必须有一项完全相同，另一项只有符号不同.（2）公式中的a 与b 可以是数，也可以换成一个代数式.名师导学互动典例精析：知识点1：直接应用平方差公式例1、计算：)421)(214(22x x +-． 【解题思路】此题是两个二项式相乘，且这两个二项式中各有一完全相同的项24x ，另外一项－21与21互为相反数，符合平方差公式的结构特点，因此，可直接套用平方差公式． 【解】)421)(214(22x x +-=4116)21()4(4222-=-x x ． 【方法归纳】将两个括号内的相同项24x 看作□，符号相反的项－21与21看作△，就可以直接运用平方差公式.对应练习：计算(y —2x)(—2x —y).知识点2：连用平方差公式化简例2、化简：()()()()()224488x y x y x y x y x y -++++.【解题思路】本题的前两项能利用平方差公式得到()22x y-，它与第三项()22x y +又能构成平方差公式，依次类推，较轻松地得到结果.【解】原式=()()()()22224488x yx y x y x y -+++=()()()444488x y x y x y -++ =()()88881616.x y x y x y -+=-【方法归纳】连用平方差公式使运算量大大减小，实现简算目的.对应练习：计算：))()()()((884422b a b a b a b a b a ++++- 知识点3：分组后运用平方差公式例3、计算: (2a+3)(3a+5)(2a-3)(3a-5).【解题思路】若直接运算,则计算比较繁琐,如果运用乘法的交换律将第一、三结合，第二、四结合分组，就可以利用乘法公式计算.【解】(2a+3)(3a+5)(2a －3)(2a －5)=[(2a+3)(2a －3)][(3a+5)(3a －5)]=(4a 2-9)(9a 2－25)=36a 4－181a 2+225.【方法归纳】根据算式中各因式的特征，恰当分组后利用乘法公式可以简化计算，减少运算量.对应练习：计算：(x+2)(x 2+4)(x —2).知识点4：添项后运用平方差公式例4．计算；1)12)(12)(12)(12(842+++++． 【解题思路】本题若添上一个因式“２－１”后，则可以连续四次运用平方差公式计算．【解】原式＝=+++++-1)12)(12)(12)(12)(12(8421)12)(12)(12)(12(8422++++- ＝1)12)(12)(12(844+++-＝16168821121)12)(12(=+-=++-．【方法归纳】本题的解题关键是在不改变原式的值的前提下，将原式添上一个因式，使得它能运用乘法公式计算．对应练习：某同学在计算)14)(14(32++时，把3写成14-后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：2551161)4()14)(14()14)(14)(14()14)(14(32222222=-=-=+-=++-=++. 请借鉴该同学的经验，计算：1584221)211)(211)(211)(211(+++++. 知识点5：逆用平方差公式例5．计算：22)43()32(a b b a --+【解题思路】若直接运用完全平方公式展开再相减，运算量大，若把式中的“32b a +”与“a b 43-”分别视为平方差公式中的a 、b ，逆用平方差公式，则运算简便． 解：22)43()32(a b b a --+ab a a b a a b b a a b b a 4126322433243322+-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=. 【方法归纳】本题正向思考解题较为麻烦，若抓住题目的特征，逆用公式解题，往往显得简单．对应练习：计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-22221011411311211. 知识点6：变形后运用平方差公式例6.计算293.【解题思路】注意到93接近整百数100，二者相差7，若使用数字93、7巧构平方差公式便可实现简算.【解】()()864949860077937939322=+=+-+=. 【方法归纳】公式()()22b a b a b a -=-+可以变形为()()22b b a b a a +-+=. 对应练习：计算：298知识点7：拆项变形后使用例7、计算(x-y+1)(x+y-5).【解题思路】观察式子的特点,可以将两个多项式拆成两个数的和与这两个数的差的形式.然后利用平分差公式计算.解：(x-y+1)(x+y-5)=(x-y-2+3)(x-y-2-3)=[(x-2)-(y-3)][(x-2)+(y-3)]=(x-2)2-(y-3)2=x 2-4x+4-y 2+6y-9=x 2-y 2-4x +6y-5.【方法归纳】拆项的关键在于将两个因式中的相同项、相反项正确分析出来，并恰当分组，使之符合平方差公式的结构特征.对应练习：()()3232-++-b a b a易错警示例8、计算：(2x +3)(2y -3).错解：(2x +3)(2y -3)=4xy -9.错解分析：(2x +3)(2y -3)中的两个因式不符合“两个数的和与这两个数的差的积”，因此不能用平方差公式做，只能按多项式乘以多项式的法则进行运算．正解：(2x +3)(2y -3)=4xy -6x +6y -9.例9、(2x +9)(2x -9).错解：(2x +9)(2x -9)=4x 2-9.错解分析：(2x +9)(2x -9)应等于2x 与9的平方差，即(2x )2-92，错解中没有把第二项9平方，当第二项是完全平方数时，很容易犯这样的错误．正解：(2x +9)(2x -9)=(2x )2-92=4x 2-81.例10、(a 3-8)(a 3+8).错解：(a 3-8)(a 3+8)=a 9-64.错解分析：(a 3-8)(a 3+8)中(a 3)2=a 6，而(a 3)2≠a 9.正解：(a 3-8)(a 3+8)=(a 3)2-82=a 6-64.例11、(-2a -7)(2a -7)．错解：(-2a -7)(2a -7)＝4a 2-49.错解分析：(-2a -7)(2a -7)符合平方差公式的特征，但到底是哪个数的平方减去哪个数的平方呢？错解中认为就是前面一个数的平方减去后面一个数的平方，但(-2a -7)(2a -7)≠(-2a )2-72，应该是两式中符号相同的数的平方减去符号相反的那个数的平方，即： (-2a -7)(2a -7)=(-7-2a )(-7+2a ) =(-7)2-(2a )2或(-2a -7)(2a -7)=－(2a +7)(2a -7) =－[(2a )2-72]．正解： (-2a -7)(2a -7) = (-7-2a )(-7+2a ) =(-7)2-(2a )2=49-4a 2．课堂练习评测知识点1：平方差公式1、在边长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b 的小正方形()a b >（如图1），把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（如图2），分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是 （用字母表示）．2、已知2a b +=，则224a b b -+的值是 3、下列计算中，错误的有（ ）①（3a+4）（3a －4）=9a 2－4；②（2a 2－b ）（2a 2+b ）=4a 2－b 2；③（3－x ）（x+3）=x 2－9；④（－x+y ）·（x+y ）=－（x －y ）（x+y ）=－x 2－y 2．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个知识点2：平方差公式的实际应用 4、一个长方形的面积是(x 2－9)平方米，其长为(x ＋3)米，用含有x 的整式表示它的宽为___________米.知识点3：平方差公式的运用5、计算：2221123443m n n m ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭;6、计算：(3x-2y)(9x 2+4y 2)(-2y-3x)7、平方差公式的常见变形(1)位置变化:(a+b)(-b+a)=________;(2)符号变化:(-a-b)(a-b)=_______.(3)系数变化:(2a+3b)(2a-3b)=_______.(4)指数变化:(a 2+b 3)(a 2-b 3)=_____.(5)项数变化:(a+2b-c)(a-2b-c)=_________________;(6)连用公式:(a+b)(a-b)(a 2+b 2)= __________________.课后作业练习基础训练一、填空题1、=--+-)2)(2(y y _______.2、=-+)2)(2(y x y x ______.3、=-+)3121)(3121(b a b a ______.4、=---))((22x a x a _______.5、=++-))()((22b a b a b a _______.6、=-+-))((y x y x _______.7、=+-----+))(())((y x y x y x y x _______.8、+xy (_______）-xy (_______）81122-=y x . 二、选择题9、下列各式中，能直接用平方差公式计算的是（ ）A )22)(2(b a b a +--;B )2)(2(a b b a +-;C )2)(2(b a b a +--;D )2)(2(b a a b ++-.10、下列各式中，运算结果是223625y x -的是（ ）A )56)(56(x y x y --+- ;B )56)(65(x y y x +-;C )56)(56(x y x y ++- ;D )65)(65(y x y x +--.11、为了应用平方差公式计算(x+2y-1)(x-2y+1),下列变形正确的是( )A.[x-(2y+1)]2B.[x-(2y-1)][x+(2y-1)]C.[(x-2y)+1][(x-2y)-1]D.[x+(2y+1)]2三、解答题12、计算)2)(2())((n m n m n m n m -+-+-.13、先化简后求值2),2)(2()2)(2(22-=-+--+x x x x x .提高训练14、解方程4)2()1)(1(2=---+x x x x .15、已知代数式(-4x+3y)(-3y-4x)与多项式M 的差是(2x+3y)(8x-9y),求多项式M.16、一个长方形菜地,长为(2a+3)cm,宽为(2a-3)cm, 那么这块菜地的面积是多少?17、一个长方体的游泳池的长为(4a 2+9b 2)米,宽为(2a+3b)米,高为(2a-3b)米,那么这个游泳池的容积是多少?12.3.1对应练习答案：1.解：原式=[(—2x)+y][(—2x)—y]=(—2x)2—y 2=4x 2—y2.2.解：原式＝))()(())()()((88444488442222b a b a b a b a b a b a b a ++-=+++-＝16168888))((b a b a b a -=+-．3.解：原式=(x+2)(x —2)(x 2+4)=(x 2—4)(x 2+4)=x 4—16.4.答案：25.解：原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+10111011411411311311211211 1091011434532342123⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯=2011=. 6.解：()()96044960022982989822=+=+-+=.7.答案：96422-+-b b a . 课堂作业练习参考答案：1、答案：()()22a b a b a b +-=- 2、答案：43、答案：D4、答案：（3x -）5、解:原式=22224211134916m n m n ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 6、解:原式=[(3x-2y)(-3x-2y)](9x 2+4y 2) =(4y 2-9x 2)(9x 2+4y 2)=16y 4-81x 47、(1)a 2-b 2 (2)b 2-a 2 (3)4a 2-9b 2 (4)a 4-b 6 (5)(a-c)2-4b 2=a 2-2ac+c 2-4b 2(6)a 4-b 4课后作业练习参考答案：1～8：24y -；224y x -；229141b a -；24a x -；44b a -；22x y -；0；91,91. 9、D ；10、A ；11、D12、23n ；13、化简结果为24x x -，求值结果为12；14、5.2=x15、解:由题意得: M=(-4x+3y)(-3y-4x)-(2x+3y)(8x-9y) =(-4x)2-(3y)2-(16x 2-18xy+24xy-27y 2) =16x 2-9y 2-16x 2-6xy+27y 2=18y 2-6xy.16、解:这块菜地的面积为: (2a+3)(2a-3)=(2a)2-9=4a 2-9(cm 2)17、解:游泳池的容积是:(4a 2+9b 2)(2a+3b)(2a-3b) =[(2a)2-(3b)2](4a 2+9b 2)=(4a 2-9b 2)(4a 2+9b 2) =(4a 2)2-(9b 2)2=16a 4-81b 4(米3) 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

12.3.1 两数和乘以这两个数的差【学习目标】1、从已有的整式乘法的知识中提炼出两数和乘以它们的差这一乘法公式，明确这一公式来源于整式乘法，又可以用于整式的乘法的辩证思想；2、掌握两数和乘以它们的差的公式的结构，并能正确地运用；【学习重难点】1、掌握两数和乘以它们的差的结构特征；2、正确理解两数和乘以它们的差的公式意义。

【学习过程】一、课前准备1、多项式与多项式相乘法则2．利用多项式与多项式的乘法法则写出 (x＋a)(x＋b)的结果。

3.计算：(1)(x＋3)(x－3)； (2)(a＋2b)(a－2b)；(3)(4m＋n)(4m－n)； (4)(5＋4y)(5－4y)。

二、学习新知自主学习：1、做一做，计算归纳总结也就是说， 这个公式叫做两数和与两数差的乘法公式，简称为平方差公式2.平方差公式的特征：（1）等式左边是两个数（2）等式右边是两个数3.需要注意的几个问题(1)公式中的字母的意义很广泛,可以代表常数,单项式或多项式(2)必须符合平方差公式特征的代数式才能用平方差公式4.平方差公式的几何意义实例分析：例1、计算：（1）(a+3)(a-3) （2）(23)(23)a b a b +-(3)(1+2c)(1-2c) (4)(-2x-y)(2x-y)例2 、运用平方差公式计算 1998×2002解：1998×2002 =（2000- ）×(2000+ )==例3 、街心花园有一块边长为a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米，问改造后的长方形草坪的面积是多少？【随堂练习】 1.(x+6)(6-x)=________,11()()22x x -+--=_____________.2.222(25)()425a b a b --=-.3.(x-1)(2x +1)( )=4x -1.4.(a+b+c)(a-b-c)=[a+( )][a-( )].5.(a-b-c-d)(a+b-c+d)=[( )+( )][( )-( )]【中考连线】计算:2481511111(1)(1)(1)(1)22222+++++【参考答案】随堂练习1.36-x 2,x 2-14 2.-2a 2+5b 3.x+1 4.b+c,b+c 5.a-c,b+d,a-c,b+d中考连线原式=248151111112(1)(1)(1)(1)(1)222222-+++++=1615112(1)222-+=.。

12.3 乘法公式1 两数和乘以这两数的差课前知识管理1、两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差：(a+b)(a-b)=a 2-b 2所以，我们把这个公式叫作平方差公式.平方差公式可以形象记忆为：(□+△)(□—△)=□2—△2.几何背景：如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a 2－b 2.若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成S Ⅰ+S Ⅲ＝S Ⅰ+S Ⅳ＝（a+b ）（a －b ），从而验证了平方差公式（a+b ）（a －b ）＝a 2－b 2. 2、平方差公式的特征：（1）公式左边的两个因式都是二项式，必须是相同的两数的和与差.或者说两个二项式必须有一项完全相同，另一项只有符号不同.（2）公式中的a 与b 可以是数，也可以换成一个代数式.名师导学互动典例精析：知识点1：直接应用平方差公式 例1、计算：)421)(214(22x x +-．【解题思路】此题是两个二项式相乘，且这两个二项式中各有一完全相同的项24x ，另外一项－21与21互为相反数，符合平方差公式的结构特点，因此，可直接套用平方差公式． 【解】)421)(214(22x x +-=4116)21()4(4222-=-x x ．【方法归纳】将两个括号内的相同项24x 看作□，符号相反的项－21与21看作△，就可以直接运用平方差公式.对应练习：计算(y —2x)(—2x —y). 知识点2：连用平方差公式化简 例2、化简：()()()()()224488x y x y x yxy x y -++++.【解题思路】本题的前两项能利用平方差公式得到()22x y -，它与第三项()22xy +又能构成平方差公式，依次类推，较轻松地得到结果. 【解】原式=()()()()22224488x y xy x y x y -+++=()()()444488x y x y x y -++=()()88881616.x yxy x y -+=-【方法归纳】连用平方差公式使运算量大大减小，实现简算目的. 对应练习：计算：))()()()((884422b a b a b a b a b a ++++-知识点3：分组后运用平方差公式例3、计算: (2a+3)(3a+5)(2a-3)(3a-5).【解题思路】若直接运算,则计算比较繁琐,如果运用乘法的交换律将第一、三结合，第二、四结合分组，就可以利用乘法公式计算.【解】(2a+3)(3a+5)(2a －3)(2a －5)=[(2a+3)(2a －3)][(3a+5)(3a －5)]=(4a 2-9)(9a 2－25)=36a 4－181a 2+225.【方法归纳】根据算式中各因式的特征，恰当分组后利用乘法公式可以简化计算，减少运算量.对应练习：计算：(x+2)(x 2+4)(x —2). 知识点4：添项后运用平方差公式例4．计算；1)12)(12)(12)(12(842+++++．【解题思路】本题若添上一个因式“２－１”后，则可以连续四次运用平方差公式计算． 【解】原式＝=+++++-1)12)(12)(12)(12)(12(8421)12)(12)(12)(12(8422++++- ＝1)12)(12)(12(844+++-＝16168821121)12)(12(=+-=++-．【方法归纳】本题的解题关键是在不改变原式的值的前提下，将原式添上一个因式，使得它能运用乘法公式计算．对应练习：某同学在计算)14)(14(32++时，把3写成14-后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：2551161)4()14)(14()14)(14)(14()14)(14(32222222=-=-=+-=++-=++.请借鉴该同学的经验，计算：1584221)211)(211)(211)(211(+++++. 知识点5：逆用平方差公式例5．计算：22)43()32(a b ba --+【解题思路】若直接运用完全平方公式展开再相减，运算量大，若把式中的“32ba +”与“a b43-”分别视为平方差公式中的a 、b ，逆用平方差公式，则运算简便． 解：22)43()32(a bb a --+ab a a b a a b b a a b b a 4126322433243322+-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=.【方法归纳】本题正向思考解题较为麻烦，若抓住题目的特征，逆用公式解题，往往显得简单．对应练习：计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-22221011411311211. 知识点6：变形后运用平方差公式 例6.计算293.【解题思路】注意到93接近整百数100，二者相差7，若使用数字93、7巧构平方差公式便可实现简算.【解】()()864949860077937939322=+=+-+=.【方法归纳】公式()()22b a b a b a -=-+可以变形为()()22b b a b a a +-+=.对应练习：计算：298知识点7：拆项变形后使用 例7、计算(x-y+1)(x+y-5).【解题思路】观察式子的特点,可以将两个多项式拆成两个数的和与这两个数的差的形式.然后利用平分差公式计算. 解：(x-y+1)(x+y-5)=(x-y-2+3)(x-y-2-3)=[(x-2)-(y-3)][(x-2)+(y-3)]=(x-2)2-(y-3)2=x 2-4x+4-y 2+6y-9=x 2-y 2-4x+6y-5.【方法归纳】拆项的关键在于将两个因式中的相同项、相反项正确分析出来，并恰当分组，使之符合平方差公式的结构特征. 对应练习：()()3232-++-b a b a易错警示例8、计算：(2x +3)(2y -3). 错解：(2x +3)(2y -3)=4xy -9.错解分析：(2x +3)(2y -3)中的两个因式不符合“两个数的和与这两个数的差的积”，因此不能用平方差公式做，只能按多项式乘以多项式的法则进行运算． 正解：(2x +3)(2y -3)=4xy -6x +6y -9. 例9、(2x +9)(2x -9).错解：(2x +9)(2x -9)=4x 2-9.错解分析：(2x +9)(2x -9)应等于2x 与9的平方差，即(2x )2-92，错解中没有把第二项9平方，当第二项是完全平方数时，很容易犯这样的错误．正解：(2x +9)(2x -9)=(2x )2-92=4x 2-81.例10、(a 3-8)(a 3+8).错解：(a 3-8)(a 3+8)=a 9-64.错解分析：(a 3-8)(a 3+8)中(a 3)2=a 6，而(a 3)2≠a 9.正解：(a 3-8)(a 3+8)=(a 3)2-82=a 6-64. 例11、(-2a -7)(2a -7)．错解：(-2a -7)(2a -7)＝4a 2-49.错解分析：(-2a -7)(2a -7)符合平方差公式的特征，但到底是哪个数的平方减去哪个数的平方呢？错解中认为就是前面一个数的平方减去后面一个数的平方，但(-2a -7)(2a -7)≠(-2a )2-72，应该是两式中符号相同的数的平方减去符号相反的那个数的平方，即： (-2a -7)(2a -7)=(-7-2a )(-7+2a ) =(-7)2-(2a )2或(-2a -7)(2a -7)=－(2a +7)(2a -7) =－[(2a )2-72]．正解： (-2a -7)(2a -7) = (-7-2a )(-7+2a ) =(-7)2-(2a )2=49-4a 2．课堂练习评测知识点1：平方差公式1、在边长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b 的小正方形()a b >（如图1），把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（如图2），分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是 （用字母表示）．2、已知2a b +=，则224a b b -+的值是 3、下列计算中，错误的有（ ）①（3a+4）（3a －4）=9a 2－4；②（2a 2－b ）（2a 2+b ）=4a 2－b 2；③（3－x ）（x+3）=x 2－9；④（－x+y ）·（x+y ）=－（x －y ）（x+y ）=－x 2－y 2． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 知识点2：平方差公式的实际应用4、一个长方形的面积是(x 2－9)平方米，其长为(x ＋3)米，用含有x 的整式表示它的宽为___________米.知识点3：平方差公式的运用5、计算：2221123443m n n m ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭;6、计算：(3x-2y)(9x 2+4y 2)(-2y-3x)7、平方差公式的常见变形(1)位置变化:(a+b)(-b+a)=________; (2)符号变化:(-a-b)(a-b)=_______.(3)系数变化:(2a+3b)(2a-3b)=_______.(4)指数变化:(a 2+b 3)(a 2-b 3)=_____.(5)项数变化:(a+2b-c)(a-2b-c)=_________________;(6)连用公式:(a+b)(a-b)(a 2+b 2)= __________________.课后作业练习基础训练一、填空题1、=--+-)2)(2(y y _______.2、=-+)2)(2(y x y x ______.3、=-+)3121)(3121(b a b a ______. 4、=---))((22x a x a _______. 5、=++-))()((22b a b a b a _______. 6、=-+-))((y x y x _______. 7、=+-----+))(())((y x y x y x y x _______.8、+xy (_______）-xy (_______）81122-=y x .二、选择题9、下列各式中，能直接用平方差公式计算的是（ ） A )22)(2(b a b a +--; B )2)(2(a b b a +-; C )2)(2(b a b a +--; D )2)(2(b a a b ++-. 10、下列各式中，运算结果是223625y x -的是（ ） A )56)(56(x y x y --+- ; B )56)(65(x y y x +-; C )56)(56(x y x y ++- ; D )65)(65(y x y x +--.11、为了应用平方差公式计算(x+2y-1)(x-2y+1),下列变形正确的是( )A.[x-(2y+1)]2B.[x-(2y-1)][x+(2y-1)]C.[(x-2y)+1][(x-2y)-1]D.[x+(2y+1)]2三、解答题12、计算)2)(2())((n m n m n m n m -+-+-.13、先化简后求值2),2)(2()2)(2(22-=-+--+x x x x x .提高训练14、解方程4)2()1)(1(2=---+x x x x .15、已知代数式(-4x+3y)(-3y-4x)与多项式M 的差是(2x+3y)(8x-9y),求多项式M.16、一个长方形菜地,长为(2a+3)cm,宽为(2a-3)cm, 那么这块菜地的面积是多少?17、一个长方体的游泳池的长为(4a 2+9b 2)米,宽为(2a+3b)米,高为(2a-3b)米,那么这个游泳池的容积是多少?12.3.1对应练习答案：1.解：原式=[(—2x)+y][(—2x)—y]=(—2x)2—y 2=4x 2—y 2.2.解：原式＝))()(())()()((88444488442222b a b a b a b a b a b a b a ++-=+++-＝16168888))((b a b a b a -=+-．3.解：原式=(x+2)(x —2)(x 2+4)=(x 2—4)(x 2+4)=x 4—16. 4.答案：2 5.解：原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+10111011411411311311211211 1091011434532342123⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯=2011=. 6.解：()()96044960022982989822=+=+-+=. 7.答案：96422-+-b b a . 课堂作业练习参考答案：1、答案：()()22a b a b a b +-=-2、答案：43、答案：D4、答案：（3x -）5、解:原式=22224211134916m n m n ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.6、解:原式=[(3x-2y)(-3x-2y)](9x 2+4y 2) =(4y 2-9x 2)(9x 2+4y 2)=16y 4-81x 47、(1)a 2-b 2 (2)b 2-a 2 (3)4a 2-9b 2 (4)a 4-b 6 (5)(a-c)2-4b 2=a 2-2ac+c 2-4b 2(6)a 4-b 4课后作业练习参考答案：1～8：24y -；224y x -；229141b a -；24a x -；44b a -；22x y -；0；91,91. 9、D ；10、A ；11、D 12、23n ；13、化简结果为24x x -，求值结果为12；14、5.2=x15、解:由题意得: M=(-4x+3y)(-3y-4x)-(2x+3y)(8x-9y)=(-4x)2-(3y)2-(16x 2-18xy+24xy-27y 2)=16x 2-9y 2-16x 2-6xy+27y 2=18y 2-6xy.16、解:这块菜地的面积为: (2a+3)(2a-3)=(2a)2-9=4a 2-9(cm 2)17、解:游泳池的容积是:(4a 2+9b 2)(2a+3b)(2a-3b)=[(2a)2-(3b)2](4a 2+9b 2)=(4a 2-9b 2)(4a 2+9b 2)=(4a 2)2-(9b 2)2=16a 4-81b 4(米3)。

12．3 乘法公式12．3.1 两数和乘以这两数的差1．能说出平方差公式的特点，并会用式子表示．2．能使学生正确地利用平方差公式进行多项式的乘法．3．通过平方差公式得出的过程，使学生明白数形结合的思想．重点掌握平方差公式的特点，牢记公式．难点具体问题要具体分析，会运用公式进行计算．一、创设情境教师展示多媒体，引出问题学生自主解答．街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要加长2米，而东西方向要缩短2米．问改造后的长方形草坪的面积是多少？解：(a＋2)(a－2)＝a2－4.二、探究新知请同学们计算：(1)(a＋b)(a－b)；(2)(x＋3)(x－3)．并结合计算结果思考下列问题：1．等式左边的两个多项式有什么特点？2．等式右边的多项式有什么特点？3．你能用上面的规律直接计算下列各式吗？(1)(a＋2)(a－2)；(2)(3a＋1)(3a－1)．4．你能用一句话归纳出上述等式的规律吗？5．你有什么不清楚的问题想问老师吗？教师答疑总结：对问题系列中的关键问题进行提问答疑．教师提出两数和乘以这两数差的乘法公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.学生解决问题：学生根据教师提出的问题，分组讨论，由小组长做好记录．学生反馈问题：每组自告奋勇回答，把解决问题的过程和结果向教师和全班同学汇报．并提出自己小组存在的问题．学出提出：(1)为什么两数和乘以这两数差的乘法公式是对的？(2)(a＋2)(a－2)型，可以用两数和乘以这两数差的乘法公式完成吗？(3)怎样形式的多项式相乘可以用两数和乘以这两数差的乘法公式？(当然，我们的学生还可能会问出许多我们事先不曾预料到的问题)得出两数和乘以这两数差的乘法公式的基本特征：两个二项式相乘，一项相同，一项相反，且相同的写在前面．教师提出问题：(你会用两数和乘以这两数差的乘法公式了吗？)请你计算：(独立思考)1．计算：(1)(a＋3)(a－3)；(2)(2a＋3b)(2a－3b)；(3)(1＋2c)(1－2c)；(4)(－2x－y)(2x－y)．2．观察：(－2x＋7)( )，在括号内填入怎样的代数式，才能运用两数和乘以这两数差的公式进行计算？由此你想到了什么规律？学生动手，动脑：做教材第31页“试一试”．学生由面积相等推得两数和乘以这两数差的乘法公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.三、练习巩固1．计算：(y＋x)(y－x)(x2＋y2)(x4＋y4)．2．计算：(1)20172－2016×2018；(2)3×(4＋1)(42＋1)＋1.四、小结与作业小结这一节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结．作业教材第36页习题12.3第1题．本节课重在应用平方差公式计算，而应用公式的关键是掌握平方差公式的特征，在学生合作探索平方差公式后，教师要求学生构造具有平方差公式的习题，并计算，具有开放性，大大调动了学生的积极性与学习激情．在典例精析中第(2)小题学生思维受阻时，让学生由式子特征联想知识模型、构造平方差公式，再解决相应数学问题是数学创造性的表现！多边形的内角和一、新课导入1.导入课题：我们知道，三角形的内角和等于180°；正方形、长方形的内角和都等于360°.那么，任意一个四边形的内角和是否也等于360°?五边形、六边形的内角和分别是多少呢？大家带着这个问题一起来探究多边形的内角和问题.2.学习目标:（1）探索多边形的内角和公式.（2）通过把多边形转化成三角形，体会转化思想在几何中的运用.3.学习重、难点:重点：多边形的内角和公式及推导.难点：探究多边形的内角和公式的应用.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第21页“思考”到第22页例1.（2）自学时间：6分钟.（3）自学要求：认真阅读课本的内容，完成课本中的思考及有关填空，积极思考完成自学参考提纲中的问题.（4）自学参考提纲：①多边形的内角和公式是怎样的？公式是怎样推导出来的？n边形内角和等于（n-2）×180°.从n边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，它们将n边形分为（n-2）个三角形，n边形的内角就等于（n-2）×180°.②把一个多边形分成几个三角形，你还有不同于课本中的分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？试试看！在n边形内选一点，连接这个点与n边形的各顶点，n边形被分成n个三角形，n边形的内角和等于n个三角形内角和总和减去一个周角，即n边形的内角和等于n×180°-360°=(n-2)×180°.③例1找两个角的关系是运用了什么知识找到的？哪个条件是隐含的？哪个条件是已知的？是运用多边形内角和等于（n-2）×180°找到的四边形ABCD的内角和等于360°这个条件是隐含的；四边形的一组对角互补这个条件是已知的.2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：对于公式的推导，方法很多，但都围绕一个基本核心思路即把多边形分成若干个三角形，对于这个转化的数学思想方法，部分学生会存在理解困难，教师应及时了解情况.②差异指导：对学习中存在的各种问题予以分类指导.（2）生助生：学生之间相互展示交流.4.强化：(1)多边形的内角和公式：n边形内角和等于(n-2)·180°.注意：多边形的内角和是180°的倍数.(2)练习：完成教材第24页“练习”.1.自学指导:(1)自学内容：教材第22页到第23页的内容.(2)自学时间：6分钟.(3)自学方法：分析并归纳例2的问题思路.(4)自学参考提纲：①阅读例2的解题过程，分析并归纳其解题思路，即外角和的求法.②完成例2后的思考中的问题，仿例2的解题思路完成其证明过程.③认真阅读教材第23页最后一段，体会这段文字所描述的意思，说说多边形的内角和还可以怎样解释？2.自学:同学们可结合自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：对于“多边形的外角和等于360°的证明过程，部分学生叙述上会存在一定的困难，注意观察这些学生.②差异指导：对学习有困难的学生进行分类指导.(2)生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：(1)多边形的外角和等于360°，与边数的多少没有关系.(2)练习：完成教材第24页“练习”.练习1：（1）x=65（2）x=60（3）x=95练习2：六边形练习3：四边形三、评价1.学生自我评价（围绕三维目标）：学生交流自己的学习收获和困惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果和不足进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师自我评价（教学反思）：在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考，比较观察、交流和表述，激发学生学习兴趣，强调分组讨论，学生与学生之间很好地交流与合作，利用师生的双向活动，适时调度，查漏补缺，从而顺利达到教学目的.一、基础巩固（每小题10分，共60分）1.如图（1），∠1=90度；如图（2），∠1=85度；如图（3），∠1=95度.2.下列各个度数中，不可能是多边形的内角和的是(A)A.600°B.720°C.900°D.1080°3.若多边形的边数由3增加到5，则其外角和的度数(C)A.增加B.减少C.不变D.不能确定4.正多边形的一个外角为36°，则它的边数是（A）A.10B.6C.5D.85.正n边形的内角和为（n-2）×180°，每一个内角都等于(2)nn×180°，每一个外角都等于1n×360°.6.若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是十二边形.二、综合应用（20分）7.已知，在四边形ABCD中，∠A∶∠B＝5∶7，∠B与∠A的差等于∠C，∠D与∠C的差是80度，求四边形ABCD四个内角的度数.解：设∠A=5x°,∠D=y°,则∠B=7x°,∠C=2x°,由题意可得5x+7x+2x+y=(4-2)×180=360,y-2x=80.解得x1=17.5,y1=115,所以∠A=87.5°，∠B=122.5°,∠C=35°,∠D=115°.三、拓展延伸（20分）8.如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米，后左转30度，再沿直线前进10米.又向左转30度，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了多少米？解：由题意可知，小亮第一次回到出发地A点时，他的行走路线是一个正多边形，且这个正多边形的外角等于30°,边长为10米.所以这个多边形的边数为360°÷30°=12.所以一共走了12×10=120（米）.期中检测题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列二次根式中属于最简二次根式的是AA．5 B．8 C．12D．0.32．(2019·天津)如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(2，0)，(0，1)，点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于CA．5 B．43 C．45 D．20第2题图第5题图第7题图3．在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是DA．a＝9，b＝41，c＝40 B．a＝5，b＝5，c＝52C．a∶b∶c＝3∶4∶5 D．a＝11，b＝12，c＝154．(2019·郴州)下列运算正确的是DA．(x2)3＝x5 B．2＋8＝10 C．x·x2·x4＝x6 D．22＝25．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是CA．8 B．10 C．12 D．146．(2019·呼和浩特)已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为CA．22 B．25 C．42 D．2107．(2019·淄博)如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为BA．2 B．2 C．22 D．68．(2019·宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出C A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和第8题图第9题图第10题图9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，且CD＝52，如果Rt△ABC的面积为1，则它的周长为DA．5＋12B．5＋1 C．5＋2 D．5＋310．(2019·安徽)如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE＋PF＝9的点P的个数是DA．0 B．4 C．6 D．8二、填空题(每小题3分，共15分)11．(2019·衡阳)27－3＝23．12．(2019·株洲)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E，F分别为MB，BC的中点，若EF＝1，则AB＝4．第12题图第13题图第14题图13．如图，以△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝9，S3＝25，当S2＝16时，∠ACB＝90°.14．(2019·玉林)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2019次后，则它与AB边的碰撞次数是673．15．(2019·北京)在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，对于任意矩形ABCD，下面四个结论中：①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是①②③．三、解答题(共75分)16．(8分)计算： (1)12 －418－(3 －8 ); (2)(43 －613)÷3 －(5 ＋3 )(5 －3 ).解：(1)3 ＋2 (2)017．(9分)已知a ＝7 －5 ，b ＝7 ＋5 ，求值： (1)b a ＋a b； (2)3a 2－ab ＋3b 2. 解：a ＋b ＝27 ，ab ＝2， (1)b a ＋a b ＝（a ＋b ）2－2ab ab＝12(2)3a 2－ab ＋3b 2＝3(a ＋b )2－7ab ＝7018．(9分)(2019·湘西州)如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边CD ，AD 上，且AF ＝CE .(1)求证：△ABF ≌△CBE ；(2)若AB ＝4，AF ＝1，求四边形BEDF 的面积．解：(1)在△ABF 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠A ＝∠C ＝90°，AF ＝CE ，∴△ABF ≌△CBE (SAS)(2)由已知可得正方形ABCD 面积为16，△ABF 面积＝△CBE 面积＝12 ×4×1＝2.所以四边形BEDF 的面积为16－2×2＝1219．(9分)如图，在B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里的速度前进，2小时后甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你能知道乙船沿哪个方向航行吗？解：由题意得BM ＝2×8＝16(海里)，BP ＝2×15＝30(海里)，∵BM 2＋BP 2＝162＋302＝1156，MP 2＝342＝1156，∴BM 2＋BP 2＝MP 2，∴∠MBP ＝90°，∴乙船沿南偏东30°的方向航行20．(9分)如图，四边形ABCD 是菱形，BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，垂足分别为点E ，F .(1)求证：BE ＝BF ；(2)当菱形ABCD 的对角线AC ＝8，BD ＝6时，求BE 的长．解：(1)由AAS 证△ABE ≌△CBF 可得 (2)∵四边形ABCD 是菱形，∴OA ＝12 AC ＝4，OB＝12 BD ＝3，∠AOB ＝90°，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝5，∵S 菱形ABCD＝AD ·BE ＝12AC ·BD ，∴5BE＝12 ×8×6，∴BE ＝24521．(10分)如图，在▱ABCD 中，O 是CD 的中点，连接AO 并延长，交BC 的延长线于点E .(1)求证：△AOD ≌△EOC ；(2)连接AC ，DE ，当∠B ＝∠AEB ＝________°时，四边形ACED 是正方形，请说明理由．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠ADO ＝∠OCE ，∠DAO ＝∠CEO ，∵O 是CD 的中点，∴OD ＝OC ，∴△AOD ≌△EOC (AAS) (2)当∠B ＝∠AEB ＝45°时，四边形ACED 是正方形，理由：∵△AOD ≌△EOC ，∴OA ＝OE ，又∵OC ＝OD ，∴四边形ACED 是平行四边形，∵∠B ＝∠AEB ＝45°，∴AB ＝AE ，∠BAE ＝90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴∠COE ＝∠BAE ＝90°，∴▱ACED 是菱形，∵AB ＝AE ，AB ＝CD ，∴AE ＝CD ，∴菱形ACED 是正方形22．(10分)(2019·哈尔滨)已知：在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F .(1)如图①，求证：AE ＝CF ；(2)如图②，当∠ADB ＝30°时，连接AF ，CE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积的18.解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠ABE ＝∠CDF ，∵AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ，∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°，在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE ＝∠CDF ，∠AEB ＝∠CFD ，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF (AAS)，∴AE ＝CF (2)解：△ABE 的面积＝△CDF 的面积＝△BCE 的面积＝△ADF 的面积＝矩形ABCD 面积的18 .理由如下：∵AD ∥BC ，∴∠CBD ＝∠ADB ＝30°，∵∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＝60°，∵AE ⊥BD ，∴∠BAE ＝30°，∴BE ＝12AB ，AE ＝12 AD ，∴△ABE 的面积＝12 BE ×AE ＝12 ×12 AB ×12 AD ＝18 AB ×AD ＝18矩形ABCD 的面积，∵△ABE ≌△CDF ，∴△CDF 的面积＝18 矩形ABCD 的面积；作EG ⊥BC 于G ，∵∠CBD＝30°，∴EG ＝12 BE ＝12 ×12 AB ＝14 AB ，∴△BCE 的面积＝12 BC ×EG ＝12 BC ×14 AB ＝18BC ×AB ＝18 矩形ABCD 的面积，同理：△ADF 的面积＝18矩形ABCD 的面积23．(11分)已知正方形ABCD 和正方形EBGF 共顶点B ，连接AF ，H 为AF 的中点，连接EH ，正方形EBGF 绕点B 旋转．(1)如图①，当F 点落在BC 上时，求证：EH ＝12CF ；(2)如图②，当点E 落在BC 上时，连接BH ，若AB ＝5，BG ＝2，求BH 的长．解：(1)延长FE 交AB 于点Q ，∵四边形EBGF 是正方形，∴EF ＝EB ，∠EFB ＝∠EBF ＝45°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，∴∠BQF ＝∠QBE ＝45°，∴QE ＝EB ，∴QE ＝EF ，又∵AH ＝FH ，∴EH ＝12AQ ，∵∠BQF ＝∠BFQ ＝45°，∴BQ ＝BF ，∵AB ＝BC ，∴AQ ＝CF ，∴EH ＝12CF (2)延长EH 交AB 于点N ，∵四边形EBGF 是正方形，∴EF ∥BG ，EF ＝EB ＝BG ＝2，∵EF ∥AG ，∴∠FEH ＝∠ANH ，∠EFH ＝∠NAH .又∵AH ＝FH ，∴△ANH ≌△FEH (AAS)，∴NH ＝EH ，AN ＝EF .∵AB ＝5，AN ＝EF ＝2，∴BN ＝AB －AN ＝3，∵∠NBE ＝90°，BE ＝2，BN ＝3，∴EN ＝22＋32＝13 .∵∠NBE ＝90°，EH ＝NH ，∴BH ＝12 EN ＝132。

两数和乘以这两数的差
年级八学科数学课型新授授课人学习内容两数和乘以这两数的差
学习目标1.会推导两数的和乘以它们的差的乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，了解公式的几何背景，并能运用公式进行简单的计算。

2.自己探索，归纳得出平方差公式，再通过运用公式计算加深对公式的理解、认识，形成一定的运用公式计算的能力。

3.在探索归纳理解和运用平方差公式的过程中体会数形结合的思想方法。

学习重点平方差公式的推导和运用。

学习难点公式中字母的广泛含义。

导学过程复备栏【温故互查】
多项式与多项式相乘的法则是什么？
【设问导读】
计算（a+b）(a-b)=
公式(a+b)(a-b)=a2-b2有何特征？
用语言叙述这一公式
【自学检测】
计算：
（1）(a+3)(a-3) （2）(2a+3b)(2a-3b)
（3）(-2x-y)(2x-y) （4）(-2x+y)(2x+y)
【巩固训练】
63⨯57= 101⨯99=
8.2⨯7.8= 75⨯65=
1998 2002
【拓展延伸】
1、(2x+y-3)(2x-y+3)
2、(2+1)(22+1)(24+1)+…+(264+1)+1
教学反思。

12．3 乘法公式12．3.1 两数和乘以这两数的差1．能说出平方差公式的特点,并会用式子表示．2．能使学生正确地利用平方差公式进行多项式的乘法．3．通过平方差公式得出的过程,使学生明白数形结合的思想．重点掌握平方差公式的特点,牢记公式．难点具体问题要具体分析,会运用公式进行计算．一、创设情境教师展示多媒体,引出问题学生自主解答．街心花园有一块边长为a米的正方形草坪,经统一规划后,南北方向要加长2米,而东西方向要缩短2米．问改造后的长方形草坪的面积是多少？解：(a＋2)(a－2)＝a2－4.二、探究新知请同学们计算：(1)(a＋b)(a－b)；(2)(x＋3)(x－3)．并结合计算结果思考下列问题：1．等式左边的两个多项式有什么特点？2．等式右边的多项式有什么特点？3．你能用上面的规律直接计算下列各式吗？(1)(a＋2)(a－2)；(2)(3a＋1)(3a－1)．4．你能用一句话归纳出上述等式的规律吗？5．你有什么不清楚的问题想问老师吗？教师答疑总结：对问题系列中的关键问题进行提问答疑．教师提出两数和乘以这两数差的乘法公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.学生解决问题：学生根据教师提出的问题,分组讨论,由小组长做好记录．学生反馈问题：每组自告奋勇回答,把解决问题的过程和结果向教师和全班同学汇报．并提出自己小组存在的问题．学出提出：(1)为什么两数和乘以这两数差的乘法公式是对的？(2)(a＋2)(a－2)型,可以用两数和乘以这两数差的乘法公式完成吗？(3)怎样形式的多项式相乘可以用两数和乘以这两数差的乘法公式？(当然,我们的学生还可能会问出许多我们事先不曾预料到的问题)得出两数和乘以这两数差的乘法公式的基本特征：两个二项式相乘,一项相同,一项相反,且相同的写在前面．教师提出问题：(你会用两数和乘以这两数差的乘法公式了吗？)请你计算：(独立思考)1．计算：(1)(a＋3)(a－3)；(2)(2a＋3b)(2a－3b)；(3)(1＋2c)(1－2c)；(4)(－2x－y)(2x－y)．2．观察：(－2x＋7)( ),在括号内填入怎样的代数式,才能运用两数和乘以这两数差的公式进行计算？由此你想到了什么规律？学生动手,动脑：做教材第31页“试一试”．学生由面积相等推得两数和乘以这两数差的乘法公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.三、练习巩固1．计算：(y＋x)(y－x)(x2＋y2)(x4＋y4)．2．计算：(1)20172－2016×2018；(2)3×(4＋1)(42＋1)＋1.四、小结与作业小结这一节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结．作业教材第36页习题12.3第1题．本节课重在应用平方差公式计算,而应用公式的关键是掌握平方差公式的特征,在学生合作探索平方差公式后,教师要求学生构造具有平方差公式的习题,并计算,具有开放性,大大调动了学生的积极性与学习激情．在典例精析中第(2)小题学生思维受阻时,让学生由式子特征联想知识模型、构造平方差公式,再解决相应数学问题是数学创造性的表现！。