广东省惠州市2016届高三模拟考试数学文试题

惠州市2016届第三次调研考试文数命题细目表惠州市2016届高三第三次调研考试 文科数学参考答案：一、选择题（每小题5分，满分60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ADACBBCDBDCA1.【解析】322(1)1121(1)(1)i i i z i i i i i i i i +=+=-=-+-=---+，其共轭复数为12i +，选A . 2.【解析】由题意可知，集合{}{}2,1,0,,=∈∈+==A y A x y x z z B ，故选D.3. 【解析】2xy =在R 上是增函数，0.81.20.812,2,1.20.80,2a b -⎛⎫===>> ⎪⎝⎭021a b ∴>>=，再由5552log 2log 4log 51,c ==<=a b c ∴>>，故选A.4. 【解析】由333,||2a b ma +==解得3m =，选C. 5. 【解析】由65101=-+a a a 得：66=a ，()6621111111=+=a a S ，选B ．6.【解析】34cos sin =+θθ)40(πθ<<，所以两边平方可得：1612sin cos 9θθ+⋅=，即7sin cos 18θθ⋅=，所以272(sin cos =12sin cos =1=99θθθθ---），又因为04πθ<<，所以sin cos θθ<，所以sin cos 0θθ-<，所以2sin cos θθ-=-，故应选B ． 7.【解析】由圆的方程可知圆心为()0,0，半径为2，由题意知圆心到直线l 的距离=1d ，即22=1211a a d -==+，解得=2a ±，故C 正确．8.【解析】S=3024，故选D ．9. 【解析】设()00,y x P ，根据抛物线的焦半径公式：52200=+=+=x px PF ，所以30=x ，2420=y ，代入双曲线的方程，2491m-=，解得：3=m ，所以，双曲线方程是1322=-y x ，渐近线方程是x y 3±=, 选B. 10.【解析】(2)4nn n a S n ++= ①，当2n ≥时11(1)41n n n a S n --++=- ②①-② 并整理得：12(1)n n a n a n -=-，所以有1212(2)n n a n a n ---=-，…，21221a a =⨯， 所以12111211212(1)2(2)212n n n n n n a a a n n na a a a a n n -----=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=--⨯，当1n =时，适合此式，所以12n n na -=，选D. 11.【解析】根据三视图可知，该几何体由两部分构成，底部为圆柱的一半，底面半径为1，高为3，上部为三棱柱，底面是直角边为2的等腰直角三角形，高为3，所以上部分几何体的表面积为1=222+23+=10+2S ⨯⨯⨯⨯上（）（）（3）为21=1+=42S πππ⨯⨯⨯⨯下（）（213），所以该几何体的表面积为104π+,选C ．12. 【解析】由图象知，()0=x f 有3个根0，,,(2,1),(1,2)a b a b ∈--∈，()0=x g 有3个根0，,,(1,0),(0,1)c d c d ∈-∈，由()()0=x g f ，得()0=x g 或,a b ，由图象可知()x g 所对每一个值都能有3个根，因而m=9；由()()0=x f g ，知()0=x f 或,c d ，由图象可以看出0时对应有3个根，d 时有4个，c 时只有2个，加在一起也是9个，即n=9，∴m+n=9+9=18，故选A ．13. 【答案】3【解析】把点（a ，27）代入3x y =得，a=3，所以33tantan ==ππa14. 【答案】4【解析】32a b +232332242323a b a b b aa b a b ++=+=++≥，当且仅当ba ab 3223=即a=1.5，b=1时取等号． 15. 【答案】34【解析】,,a b c 三名学生选择社团的结果有：(A,A,A),(A,A,B),(A,B,A),(B,A,A),(A,B,B), (B,A,B),(B,B,A),(B,B,B)，共8个等可能性的基本事件，三人在同一个社团的结果有：(A,A,A),(B,B,B)，共两个，所以“三人在同一个社团”的概率为2184=，而“三人不在同一个社团”与“三人在同一个社团”是对立事件，所以“三人不在同一个社团”的概率为13144-=； 16.【答案】5π【解析】记底面三角形ABC 的外接圆为⊙O ′，半径为r,则22sin120BCr ==︒，所以记球的半径为R，因为SC⊥平面ABC，则2R===所以球O的表面积为224452S Rπππ⎛==⨯⨯=⎝⎭．三、解答题17. 【解析】（Ⅰ）因为∠D=2∠B所以311cos22coscos2-=-==BBD（2分）因为()0,Dπ∠∈，所以（4分）所以△ACD（6分）（Ⅱ）在△ACD中，12cos2222=⋅⋅-+=DDCADDCADAC，（8分）在△ABC中，12cos2222=⋅⋅-+=BBCABBCABAC（10分）把已知条件代入并化简得：042=-ABAB因为AB≠0，所以AB = 4 （12分）18. 【解析】（Ⅰ）女性平均使用微信的时间为：76.4912.072.0528.0324.0116.0=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ (小时) （4分）（Ⅱ）()112.0214.004.02=⨯+++a解得08.0=a（6分）(8分)()()()()()dbcadcbabcadnk++++-=22()706.2941.232685050123020381002>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=（11分）所以有90﹪的把握认为“微信控”与“性别”有关．（12分）19. 【解析】（I）连接DE，由题意可知四边形ABED和AECD是平行四边形，又AB=AD，所以ABED是菱形（2分）AB CD故BM AE ⊥，.DM AE ⊥ 即AE M B ⊥1，.DM AE ⊥ （4分）又因为M M B DM =⋂1，MD 、⊂M B 1平面MD B 1，所以⊥AE 平面MD B 1．（5分） 由题可得AE ∥CD ，所以1CD B DM ⊥平面 （6分） （Ⅱ） 连接CM ，由（Ⅰ）得AB=AE=BE=2 ，所以1B AE ∆为等边三角形 ，31=∴M B （7分）又722=+=CD DM CM ，101=C B21221C B CM M B =+∴，即1B M MC ⊥ （9分）又AE M B ⊥1，MC AE M ⋂=，⊥∴M B 1平面CDE （10分）3322121=⨯⨯=⋅=∆DM AE S CDE （11分）1111133B CDE CDE V S B M -∆∴=⋅== （12分）20. 【解析】（I ）由36=e ，得36=a c ，即a c 36=，① （1分） 以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为222x y a +=， （2分）此圆与直线260x -+=相切，所以a ==c=2, （4分）所以2222b a c =-=,所以椭圆的方程为12622=+y x ． （5分） （Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(12622x k y y x 得061212)31(2222=-+-+k x k x k ， （6分） 设1122(,),(,)A x y B x y ,所以22213112k k x x +=+，222131612k k x x +-=⋅，（7分）根据题意,假设x 轴上存在定点)0,(m E ,使得⋅为定值， 则有⋅11221212(,)(,)()()x m y x m y x m x m y y =-⋅-=-⋅-+)2)(2())((21221--+--=x x k m x m x)4())(2()1(22212212m k x x m k x x k ++++-+=)4(3112)2(31612)1(22222222m k kk m k k k k +++⋅+-+-⋅+= 13)6()10123(2222+-++-=k m k m m （9分） 要使上式为定值，即与k 无关，则应有)6(31012322-=+-m m m ， （10分）即37=m ， （11分） 此时⋅9562-=-=m 为定值，定点为)0,37(． （12分）21.【解析】（I ）()()()()1111,0ax x f x ax a x x x--'=-++=>， （1分） （i ）当0=a 时，()xxx f -='1，令()0>'x f ,得10<<x ，令()0<'x f ,得1>x ， 函数f(x)在()1,0上单调递增，()+∞,1上单调递减； （2分）（ii ）当10<<a 时，令()0='x f ，得11=x ,112>=ax （3分） 令()0>'x f ,得a x x 1,10><<，令()0<'x f ,得ax 11<<，函数f(x)在()1,0和⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a 上单调递增，⎪⎭⎫⎝⎛a 1,1上单调递减； （4分） （iii ）当1=a 时，()0≥'x f ，函数f(x)在()+∞,0上单调递增；（5分）（iv ）当1>a 时，110<<a （6分） 令()0>'x f ,得1,10><<x a x ，令()0<'x f ,得11<<x a， （7分）函数f(x)在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0和()+∞,1上单调递增，⎪⎭⎫⎝⎛1,1a 上单调递减； （8分） 综上所述：当0=a 时，函数f(x)的单调递增区间为()1,0，单调递减区间为()+∞,1； 当10<<a 时，函数f(x)的单调递增区间为()1,0和⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1a ，单调递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,1； 当1=a 时，函数f(x)的单调递增区间为()+∞,0；当1>a 时，函数f(x)的单调递增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0和()+∞,1，单调递减区间为⎪⎭⎫⎝⎛1,1a （9分） （II ）当0=a 时，()x x x f ln +-=，由()mx x f =，得mx x x =+-ln ，又0>x ，所以1ln -=xx m ，要使方程()mx x f =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上有唯一实数解， 只需1ln -=x xm 有唯一实数解， （10分）令()()01ln >-=x x x x g ，∴()2ln 1x xx g -='， 由()0>'x g 得e x <<0；()0<'x g 得e x >，∴()g x 在区间[]e ,1上是增函数，在区间[]2,e e 上是减函数. （11分）()11-=g ，()11-=e e g ，()1222-=e e g ，故 2211m e -≤<-或11m e=- （12分） 22．【解析】（Ⅰ）以D 为圆心DA 为半径作圆，又ABCD 为正方形，∴EA 为圆D 的切线（1分） 依据切割线定理得2EA EF EC =⋅ （2分）另外圆O 以BC 为直径，∴EB 是圆O 的切线， （3分） 同样依据切割线定理得2EB EF EC =⋅ （4分） 故AE EB = （5分）（Ⅱ）连结BF ，∵BC 为圆O 直径，∴BF EC ⊥ （6分） 由BF CE BE BC S BCE ⋅=⋅=∆2121，得552521=⨯=BF （8分） 又在Rt BCE ∆中，由射影定理得542==⋅BF FC EF （10分）23.【解析】（Ⅰ）曲线C 的参数方程可化为 ()()12122=-+-y x （2分） 直线l 的方程为24sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ．可化为 2sin cos =+θρθρ （4分） 直线l 的直角坐标方程为 02=-+y x （6分）（Ⅱ）令0y =，得2x =，即M 点的坐标为（2，0） （7分）又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为()2,1，半径1r =，则MC =（8分）所以1MN MC r +=≤，MN ∴1． （10分） 24.【解析】（Ⅰ）()f x ≥-2当2-≤x 时，24-≥-x , 即2≥x ，∴φ∈x ； （1分）当12<<-x 时，23-≥x ,即32-≥x ,∴213x -≤< （2分） 当1≥x 时，24-≥+-x , 即6≤x , ∴1≤x ≤6 （3分）综上，{x |23-≤x ≤6} （4分）（Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<<--≤-=1,412,32,4)(x x x x x x x f 函数()f x 的图像如图所示：（6分）令a x y -=，a -表示直线的纵截距，当直线过(1,3)点时，2=-a ； ∴当-a≥2，即a ≤-2时成立； （7分）当2<-a ，即2->a 时，令a x x -=+-4， 得22ax +=, ∴a≥2+2a ,即a ≥4时成立， （9分）综上a ≤-2或a ≥4 （10分）。

惠州市2016届高三第一次调研考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 考生注意：1． 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2． 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3． 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合{}{}1,2,3,4,2,==|-2≤≤∈P Q x x x R ，则PQ 等于 （ ）（A ）{}1,2,0,1,2-- （B ）{}3,4 （C ）{}1 （D ）{}1,2（2）双曲线22132x y -=的焦距为（ ）（A ）（B （C ）（D ）（3）设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+= ( ) （A ）1i -- （B ）1i + （C ）1i - （D ）1i -+ （4）＝则中，A c b a ABC ∠===∆,2,3,7（ ）（A ）O30 （B ）O45 （C ）O60 （D ）O90 （5）在等比数列{}n a 中，若0n a >且3764a a =，则5a 的值为 （ ） （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8（6）函数x x x f 32cos 32sin )(+=的图象中相邻的两条对称轴间距离为 ( ) （A ）32π （B ）π34 （C ）3π （D ）π67（7）已知流程图如右图所示,该程序运行后,为使输出的b 值为16，则循环体的判断框内①处应填 （ ）（A ）3?a > （B ）3?a ≥ （C ）3?a ≤ （D ）3?a <（8）向量)2 , 1(-=a 、)3 , 1(=b ,下列结论中,正确的是( )（A ）//b a （B ）b a ⊥ （C ）)//(b a a - （D ）)(b a a -⊥（9）如右图是一个四棱锥的三视图,则该几何体的体积为（ ） （A ）403 （B ）323 （C ）163 （D ） 283（10）已知函数⎩⎨⎧>-≤=1),1(log 1,2)(3x x x x f x ，且1)(0=x f ，则=0x （ ）（A ）0 （B ）4 （C ）0或4 （D ）1或3 （11）过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，如果126x x +=，那么AB ＝ （ ）（A ）6 （B ）8 （C ）9 （D ） 10 （12）对函数()f x ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值叫做函数)(x f 的下确界．现已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足(1)(1)f x f x -=+，当]1,0[∈x 时，23)(2+-=x x f ，则)(x f 的下确界为 （ ）（A ）2（B ）1 （C ）0（D ）1-第Ⅱ卷注意事项：第II 卷须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分。

惠州市2016届高三第一次调研考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分． 考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I 卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号．第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3． 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1）设集合{}{}1,2,3,4,2,==|-2≤≤∈P Q x x x R ，则PQ 等于( )（A){}1,2,0,1,2-- （B ）{}3,4 （C ）{}1 （D){}1,2（2）双曲线22132x y -=的焦距为()（A ）32 （B ）5 （C ）25（D ）45【答案】C 【解析】试题分析：由双曲线定义易知25c=，故选C.考点：双曲线和几何性质。

（3）设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+= （ ） （A ）1i --(B ）1i+ （C ）1i- (D ）1i -+（4）＝则中，A c b a ABC ∠===∆,2,3,7（）(A ）O30 （B ）O45 （C)O60 （D ）O 90【答案】C 【解析】试题分析：由余弦定理直接得2229471cos 22322b c a A bc +-+-===⨯⨯，且()0,A π∈，得60A =︒，故选C.考点：余弦定理.（5）在等比数列{}n a 中，若0na >且3764a a =，则5a 的值为 ( ）（A ）2 （B ）4 （C ）6（D)8(6）函数x x x f 32cos 32sin)(+=的图象中相邻的两条对称轴间距离为（ ）（A ）32π （B ）π34 （C ）3π （D ）π67【答案】A 【解析】试题分析：函数解析式化简得2()2sin()34f x x π=+，函数的周期为2323T ππ==，由正弦函数图像可知相邻的两条对称轴间距离为半个周期，则322T π=,故选A .考点:1。

文科数学试题第 1 页（共14 页）机密★启用前考试时间：2015年7月1日 15：00-17：00 广东省惠州市
2016届高三第一次调研考试文科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘
贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共
12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合
1,2,3,4,2,P Q x x x R ，则P Q 等于（）（A ）1,2,0,1,2
（B ）3,4（C ）1（D ）1,2
（2）双曲线22
132x y 的焦距为（）
（A ）32
（B ）5（C ）25（D ）45（3）设1z i （i 是虚数单位），则22
z z ( )
（A ）1i
（B ）1i （C ）1i （D ）1i （4）＝则中，A c b a ABC ,2,3,7（）
（A ）30（B ）45（C ）60（D ）90
（5）在等比数列n a 中，若0n a 且3764a a ，则5a 的值为（）
（A ）2 （B ）4
（C ）6 （D ）8。

所以ABAE ,,,3 分ADAC即 AB AC ADAE,,, 4 分又 ABBC ，所以 AC BC AD AE,,, 5 分（Ⅱ）因为 FC 是圆 O 的切线，所以 FC 2FA FB ， ,,,6 分又 AF 2,CF 2 2，所以 BF4, AB 2 ，,,, 7 分因为 ACF FBC , CFBAFC ，所以 AFC CFB,,, 8 分所以AFAC，得 AC2,cos ACD2,sin ACD14 sin AEB ,, 9 分FCBC44所以 AEsin AB4 14 ,,,10 分AEB723. （本小题满分 10 分）（Ⅰ）消去参数得直线 l 的普通方程为 3x y3 0 ，,,, 2 分 由23sin 得圆 C 的直角坐标方程 x 2y 2 2 3 y0 .,,,5 分（Ⅱ）由直线 l 的参数方程可知直线过点P ，,,6 分把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程x 2 y 2 23 y 0 ，得 (11 t )2 (3 t 3) 23 ， ,,,,7 分22化简得 t 2 4t 10 ,12 0 ，故设t 1 ,t 2是上述方程的两个实数根， 所以 t 1 t 2 4,t 1t21 ,,，8 分A, B 两点对应的参数分别为 t 1, t 2 ，,,,,,, 9 分 所以 | PA|| PB| | t 1 | | t 2 | t 1 t 24 .,,,,,,10 分24. （本小题满分10 分）（Ⅰ） 当 a 2时，f (x)x 2x 1，原不等式等价于2x22 x1x1221，或，或,,,,,,3 分x 2 x1123x+2x3x+2x322解得 x11 或 x1或44不等式的解集为 { x | x11 或 x 1}4 4,,,,,,4 分,,,,,,,,5 分（Ⅱ） f (m) f (1) m a m11a11,,,,, 6 分m a m m am a 1a1112 m18 分mmm a,,,,a m2(| m | 1 ) 4 ，当且仅当m1时等号成立。

2015-2016学年广东省惠州市高三（上）第一次调研数学试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合P={1，2，3，4}，Q={x|﹣2≤x≤2，x∈R}则P∩Q等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{3，4} C．{1} D．{1，2}2．双曲线的焦距为（）A．B．C． D．3．设z=1+i（i是虚数单位），则+z2=（）A．﹣1﹣i B．1+i C．1﹣i D．﹣1+i4．△ABC中，a=，b=3，c=2，则∠A=（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．在等比数列{a n}中，若a n＞0且a3a7=64，a5的值为（）A．2 B．4 C．6 D．86．函数f（x）=sin x的图象中相邻的两条对称轴间距离为（）A． B． C．3πD．7．已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填（）A．a＞3？B．a≥3？C．a≤3？D．a＜3？8．设向量、，下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．9．如图是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=，且f（x0）=1，则x0=（）A．0 B．4 C．0或4 D．1或311．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．6 B．8 C．9 D．1012．对函数f（x），在使f（x）≥M成立的所有常数M中，我们把M的最大值叫做函数f（x）的下确界．现已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），当x∈[0，1]时，f（x）=﹣3x2+2，则f（x）的下确界为（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若，则cos2θ=．14．方程x2+x+n=0（n∈[0，1]）有实根的概率为．15．已知点P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|OP|的最大值等于．16．已知函数f（x）=ax+1﹣e x（a∈R，e为自然对数的底数），若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，则a=．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知{a n}为等差数列，且满足a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，若a3，a k+1，S k成等比数列，求正整数k的值．18．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85．（Ⅰ）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（Ⅱ）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．参考公式：方差，其中．19．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD的交点为G，AD⊥平面ABE，AE⊥EB，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥CE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求三棱锥C﹣GBF的体积．20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上，半径为4的圆C位于y轴的右侧，且与y轴相切，（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若椭圆的离心率为，且左右焦点为F1，F2，试探究在圆C上是否存在点P，使得△PF1F2为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的P点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）21．已知函数f（x）=x3+（a﹣1）x2﹣3ax+1，x∈R．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）当a=3时，若函数f（x）在区间[m，2]上的最大值为28，求m的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．（选修4﹣1几何证明选讲）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直于AB于F，连接AE，BE，证明：（1）∠FEB=∠CEB；（2）EF2=AD•BC．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆C2的方程为ρ=﹣2cosθ+2sinθ．（Ⅰ）求直线C1的普通方程和圆C2的圆心的极坐标；（Ⅱ）设直线C1和圆C2的交点为A，B，求弦AB的长．【选修4-5：不等式选讲】24．已知关于x的不等式m﹣|x﹣2|≥1，其解集为[0，4]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b均为正实数，且满足a+b=m，求a2+b2的最小值．2015-2016学年广东省惠州市高三（上）第一次调研数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合P={1，2，3，4}，Q={x|﹣2≤x≤2，x∈R}则P∩Q等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{3，4} C．{1} D．{1，2}【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】根据题意，由交集的定义，分析集合P、Q的公共元素，即可得答案．【解答】解：根据题意，P={1，2，3，4}，Q={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，P、Q的公共元素为1、2，P∩Q={1，2}，故选D．【点评】本题考查集合交集的运算，关键是理解集合交集的含义．2．双曲线的焦距为（）A．B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线，易知c2=3+2=5，求出c，即可求出双曲线的焦距．【解答】解：由双曲线，易知c2=3+2=5，∴c=，∴双曲线的焦距为2．故选：C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，双曲线标准方程中的参数a，b，c的关系：c2=a2+b2，双曲线焦距的概念．3．设z=1+i（i是虚数单位），则+z2=（）A．﹣1﹣i B．1+i C．1﹣i D．﹣1+i【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】将复数z代入+z2，然后进行化简计算即可．【解答】解：由复数z=1+i得；故选：B．【点评】本题考查了复数的代数形式的混合运算；注意掌握运算法则，属于基础题．4．△ABC中，a=，b=3，c=2，则∠A=（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由余弦定理cosA=，代入数据，再由特殊角的三角函数值，计算即可得到A．【解答】解：由余弦定理直接得，且A∈（0°，180°），得A=60°，故选C．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．5．在等比数列{a n}中，若a n＞0且a3a7=64，a5的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】等差数列的通项公式．【分析】在等比数列中，第五项是第三项和第七项的等比中项，又有数列是正项数列，所以可直接求得结果．【解答】解：a3a7=a52=64，又a n＞0，所以a5的值为8，故选D【点评】对等比中项的考查是数列题目中最常出现的，在解题过程中易出错，在题目没有特殊限制的情况下等比中项有两个值，同学们容易忽略．6．函数f（x）=sin x的图象中相邻的两条对称轴间距离为（）A． B． C．3πD．【考点】正弦函数的图象；两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再利用正弦函数的图象的对称性和周期性，求得图象中相邻的两条对称轴间距离．【解答】解：函数解析式化简得，函数的周期为，由正弦函数图象可知，相邻的两条对称轴间距离为半个周期，则，故选：A．【点评】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的图象的对称性好周期性，属于基础题．7．已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填（）A．a＞3？B．a≥3？C．a≤3？D．a＜3？【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量b的值，并输出，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：a=1时进入循环，此时b=21=2，a=2时，再进入循环此时b=22=4，a=3，再进入循环此时b=24=16，∴a=4时应跳出循环，∴循环满足的条件为a≤3？∴故选：C．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．8．设向量、，下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．【考点】平面向量的坐标运算．【专题】计算题．【分析】利用向量共线的充要条件是：坐标交叉相乘相等；向量垂直的充要条件是：数量积为0判断出选项．【解答】解：∵﹣1×3≠2×1∴不成立∵∴不成立∵，又∵﹣1×（﹣1）≠2×（﹣2），∴不成立∵﹣1×（﹣2）+2×（﹣1）=0，∴故选D【点评】本题考查向量共线的充要条件、考查向量垂直的充要条件．9．如图是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角梯形的直四棱锥，结合图中数据求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的直四棱锥；且四棱锥的底面为梯形，梯形的上底长为1，下底长为4，高为4；所以，该四棱锥的体积为V=S•h=．底面积故选：A．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．10．已知函数f（x）=，且f（x0）=1，则x0=（）A．0 B．4 C．0或4 D．1或3【考点】导数的运算．【专题】导数的概念及应用．【分析】由f（x0）=1，得到x0的两个方程解之即可．【解答】解：当x≤1时，由得x0=0；当x＞1时，由f（x0）=log3（x0﹣1）=1得x0﹣1=3，则x0=4，且两者都成立；故选：C．【点评】本题考查了已知分段函数的函数值求自变量；考查了讨论的思想；注意分段函数的一个函数值可能对应多个自变量．11．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．6 B．8 C．9 D．10【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法．【分析】抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+2，由此易得弦长值．【解答】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=﹣1，∵抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点∴|AB|=x1+x2+2，又x1+x2=6∴∴|AB|=x1+x2+2=8故选B．【点评】本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度．12．对函数f（x），在使f（x）≥M成立的所有常数M中，我们把M的最大值叫做函数f（x）的下确界．现已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），当x∈[0，1]时，f（x）=﹣3x2+2，则f（x）的下确界为（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【考点】抽象函数及其应用；函数的最值及其几何意义．【专题】数形结合；函数的性质及应用．【分析】由题意可得f（x）关于x=0，x=1对称；从而作出函数f（x）的图象，从而由定义确定下确界即可．【解答】解：由题意知，f（x）关于x=0，x=1对称；故函数f（x）的周期为2，又∵当x∈[0，1]时，f（x）=﹣3x2+2，∴当x∈[﹣1，1]时，f（x）=﹣3x2+2；故作出函数f（x）在R上的部分图象如下，故易得下确界为f（1）=﹣1，故选D．【点评】本题考查了函数性质的判断与应用，同时考查了数形结合的思想应用及学生对新定义的接受能力，属于中档题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若，则cos2θ=．【考点】诱导公式的作用；二倍角的余弦．【分析】由sin（α+）=cosα及cos2α=2cos2α﹣1解之即可．【解答】解：由可知，，而．故答案为：﹣．【点评】本题考查诱导公式及二倍角公式的应用．14．方程x2+x+n=0（n∈[0，1]）有实根的概率为．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】由方程有实根得到△=1﹣4n≥0，得到n的范围，在n∈[0，1]）的前提下的区间长度为，由几何概型公式可得．【解答】解：方程有实根时，满足△=1﹣4n≥0，得，由几何概型知，得．故答案为：．【点评】本题考查了几何概型概率求法；关键是求出方程有实根的n的范围，利用几何概型公式解答．15．已知点P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|OP|的最大值等于．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利两点间的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如右图所示，则OB的距离最大，由，即，即B（1，3），则．故答案为：．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用两点间的距离公式是解决本题的关键．16．已知函数f（x）=ax+1﹣e x（a∈R，e为自然对数的底数），若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，则a=e．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用．【分析】先求出函数的导数，得到f′（1）=a﹣e=0，解出即可．【解答】解：直线平行于x轴时斜率为0，由f′（x）=a﹣e x，得k=f′（1）=a﹣e=0，得出a=e，故答案为：e．【点评】本题考查了导数的应用，考查曲线的切线问题，是一道基础题．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知{a n}为等差数列，且满足a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，若a3，a k+1，S k成等比数列，求正整数k的值．【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由题意可得首项和公差的方程组，解方程组可得通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S n，进而可得a3，a k+1，S k，由等比数列可得k的方程，解方程即可．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由题意可得，解方程组可得a1=2，d=2，∴a n=2+2（n﹣1）=2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，∴a3=2×3=6，a k+1=2（k+1），，∵a3，a k+1，S k成等比数列，∴，∴（2k+2）2=6（k2+k），化简可得k2﹣k﹣2=0，解得k=2或k=﹣1，∵k∈N*，∴k=2【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及等比数列的通项公式，属中档题．18．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85．（Ⅰ）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（Ⅱ）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．参考公式：方差，其中．【考点】极差、方差与标准差；茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）利用平均数求出x的值，根据所给的茎叶图，得出甲班7位学生成绩，做出这7次成绩的平均数，把7次成绩和平均数代入方差的计算公式，求出这组数据的方差．（Ⅱ）设甲班至少有一名学生为事件A，其对立事件为从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生；先计算出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生的所有抽取方法总数，和没有甲班一名学生的方法数目，先求出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生的概率，进而结合对立事件的概率性质求得答案【解答】解：（I）∵甲班学生的平均分是85，∴．…∴x=5．…则甲班7位学生成绩的方差为s2==40．…（II）甲班成绩在90（分）以上的学生有两名，分别记为A，B，…乙班成绩在90（分）以上的学生有三名，分别记为C，D，E．…从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）．…其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）．…记“甲班至少有一名学生”为事件M，则，即从成绩在90（分）以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为．…【点评】本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识．19．如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 的交点为G ，AD ⊥平面ABE ，AE ⊥EB ，AE=EB=BC=2，F 为CE 上的点，且BF ⊥CE ．（Ⅰ） 求证：AE ⊥平面BCE ；（Ⅱ）求三棱锥C ﹣GBF 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）利用线面垂直的性质及判定可得BC ⊥平面ABE ，可得BC ⊥AE ．再利用线面垂直的判定定理可得AE ⊥平面BCE ；（Ⅱ）由三角形的中位线定理可得：FG ∥AE ，．利用线面垂直的性质可得FG ⊥平面BCE ．再利用“等体积变形”即可得出V C ﹣GBF =V G ﹣BCF 计算出即可．【解答】（I ）证明：∵AD ⊥面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥面ABE ，AE ⊂平面ABE ，∴AE ⊥BC ．…又∵AE ⊥EB ，且BC ∩EB=B ，∴AE ⊥面BCE ．…（II ）解：∵在△BCE 中，EB=BC=2，BF ⊥CE ，∴点F 是EC 的中点，且点G 是AC 的中点，…∴FG ∥AE 且． …∵AE ⊥面BCE ，∴FG ⊥面BCE ．∴GF 是三棱锥G ﹣BFC 的高 …在Rt △BCE 中，EB=BC=2，且F 是EC 的中点．…∴．…【点评】本题中考查了线面垂直的判定定理和性质定理、三角形的中位线定理、三棱锥的体积计算公式及“等体积变形”等基础知识和基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上，半径为4的圆C位于y轴的右侧，且与y轴相切，（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若椭圆的离心率为，且左右焦点为F1，F2，试探究在圆C上是否存在点P，使得△PF1F2为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的P点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求圆C的方程，只要求出圆心与半径即可，而已知圆C的半径为4，圆心在x轴上，圆C位于y轴的右侧，且与y轴相切，故圆心为（4，0），从而可得圆C的方程；（Ⅱ）假设存在满足条件的点P，根据椭圆方程可先求出F1，F2的坐标为（﹣4，0），（4，0），若△PF1F2为直角三角形，则过F2作x轴的垂线与圆交与两点，两点都满足题意，过F1作圆的切线，两个切点都满足题意．故有4个点符合题意．【解答】解：（Ⅰ）∵圆心在x轴上，半径为4的圆C位于y轴的右侧，∴可设圆的方程为（x﹣a）2+y2=16，（a＞0）∵圆与y轴相切，∴a=4，∴圆的方程为：（x﹣4）2+y2=16．（Ⅱ）∵椭圆的离心率为，∴，解得：b=3∴，∴F1（﹣4，0），F2（4，0）∴F2（4，0）恰为圆心C．①过F2作x轴的垂线与圆交与两点P1，P2，则∠P1F2F1=∠P2F2F1=90°，符合题意；②过F1作圆的切线，分别与圆切于点P3，P4，连接CP1，CP2，则∠F1P1F2=∠F1P2F2=90°．符合题意．综上，圆C上存在4个点P，使得△PF1F2为直角三角形．【点评】本题考查圆的方程，椭圆方程以及与椭圆相关的综合性问题，探索性问题的解决技巧等．属于难题．21．已知函数f（x）=x3+（a﹣1）x2﹣3ax+1，x∈R．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）当a=3时，若函数f（x）在区间[m，2]上的最大值为28，求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，然后分a=﹣1，a＞﹣1和a＜﹣1把函数的定义域分段，由导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调区间；（2）把a=3代入函数解析式，求导后得到导函数的零点，把定义域分段后列表分析原函数的单调性并求出极值，结合函数的极值及函数f（x）在区间[m，2]上的最大值为28求得m的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=x3+（a﹣1）x2﹣3ax+1，得：f′（x）=3x2+3（a﹣1）x﹣3a=3（x﹣1）（x+a）．令f′（x）=0，得x1=1，x2=﹣a．①当﹣a=1，即a=﹣1时，f′（x）=3（x﹣1）2≥0，f（x）在（﹣∞，+∞）单调递增；②当﹣a ＜1，即a ＞﹣1时，当x ＜﹣a 或x ＞1时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（﹣∞，﹣a ），（1，+∞）内单调递增．当﹣a ＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，f （x ）在（﹣a ，1）内单调递减；③当﹣a ＞1，即a ＜﹣1时，当x ＜1或x ＞﹣a 时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（﹣∞，1），（﹣a ，+∞）内单调递增．当1＜x ＜﹣a 时f ′（x ）＜0，f （x ）在（1，﹣a ）内单调递减．综上，当a ＜﹣1时，f （x ）在（﹣∞，1），（﹣a ，+∞）内单调递增，f （x ）在（1，﹣a ）内单调递减；当a=﹣1时，f （x ）在（﹣∞，+∞）单调递增；当a ＞﹣1时，f （x ）在（﹣∞，﹣a ），（1，+∞）内单调递增，f （x ）在（﹣a ，1）内单调递减． （2）当a=3时，f （x ）=x 3+3x 2﹣9x+1，x ∈[m ，2]，f ′（x ）=3x 2+6x ﹣9=3（x+3）（x ﹣1），令f ′（x ）=0，得x 1=1，x 2=﹣3．将x ，f ′（x ），f （x ）变化情况列表如下：由此表可得，f （x ）极大值=f （﹣3）=28，f （x ）极小值=f （1）=﹣4．又f （2）=3＜28，故区间[m ，2]内必须含有﹣3，即m 的取值范围是（﹣∞，﹣3]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，是中档题．请考生在第22、23、24题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．（选修4﹣1几何证明选讲）如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直于AB 于F ，连接AE ，BE ，证明：（1）∠FEB=∠CEB ；（2）EF 2=AD •BC ．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】综合题．【分析】（1）直线CD与⊙O相切于E，利用弦切角定理可得∠CEB=∠EAB．由AB为⊙O的直径，可得∠AEB=90°．又EF⊥AB，利用互余角的关系可得∠FEB=∠EAB，从而得证．（2）利用（1）的结论及∠ECB=90°=∠EFB和EB公用可得△CEB≌△FEB，于是CB=FB．同理可得△ADE≌△AFE，AD=AF．在Rt△AEB中，由EF⊥AB，利用射影定理可得EF2=AF•FB．等量代换即可．【解答】证明：（1）∵直线CD与⊙O相切于E，∴∠CEB=∠EAB．∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°．∴∠EAB+∠EBA=90°．∵EF⊥AB，∴∠FEB+∠EBF=90°．∴∠FEB=∠EAB．∴∠CEB=∠EAB．（2）∵BC⊥CD，∴∠ECB=90°=∠EFB，又∠CEB=∠FEB，EB公用．∴△CEB≌△FEB．∴CB=FB．同理可得△ADE≌△AFE，∴AD=AF．在Rt△AEB中，∵EF⊥AB，∴EF2=AF•FB．∴EF2=AD•CB．【点评】熟练掌握弦切角定理、直角三角形的互为余角的关系、三角形全等的判定与性质、射影定理等是解题的关键．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆C2的方程为ρ=﹣2cosθ+2sinθ．（Ⅰ）求直线C1的普通方程和圆C2的圆心的极坐标；（Ⅱ）设直线C1和圆C2的交点为A，B，求弦AB的长．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把参数方程化为直角坐标方程，求出圆心的直角坐标，再把它化为极坐标．（Ⅱ）由（Ⅰ）求得（﹣1，）到直线x﹣y+1=0 的距离d，再利用弦长公式求得弦长．【解答】解：（Ⅰ）由C1的参数方程消去参数t得普通方程为x﹣y+1=0，圆C2的直角坐标方程（x+1）2+=4，所以圆心的直角坐标为（﹣1，），所以圆心的一个极坐标为（2，）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知（﹣1，）到直线x﹣y+1=0 的距离d==，所以AB=2=．【点评】本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．【选修4-5：不等式选讲】24．已知关于x的不等式m﹣|x﹣2|≥1，其解集为[0，4]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b均为正实数，且满足a+b=m，求a2+b2的最小值．【考点】二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法．【专题】选作题；不等式．【分析】（Ⅰ）去掉绝对值，求出解集，利用解集为[0，4]，求m的值；（Ⅱ）利用柯西不等式，即可求a2+b2的最小值．【解答】解：（Ⅰ）不等式m﹣|x﹣2|≥1可化为|x﹣2|≤m﹣1，…∴1﹣m≤x﹣2≤m﹣1，即3﹣m≤x≤m+1，…∵其解集为[0，4]，∴，∴m=3．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b=3，∵（a2+b2）（12+12）≥（a×1+b×1）2=（a+b）2=9，∴a2+b2≥，∴a2+b2的最小值为．…【点评】本题考查不等式的解法，考查柯西不等式，正确运用柯西不等式是关键．。

惠州市2016届高三第一次调研考试数 学 试 题 (文科）参考答案 2015.7一、选择题（每小题5分，共60分）1．【解析】由题意{}1,2PQ =,故选D .2．【解析】由双曲线定义易知25c =，故选C .3．【解析】由复数计算得22121z i i i z+=-+=+，故选B . 4．【解析】由余弦定理直接得2229471cos 22322b c a A bc +-+-===⨯⨯，且()0,A π∈，得60A =︒，故选C .5．【解析】由等比数列性质易知237564a a a ==，且0n a >，则58a =，故选D . 6．【解析】函数解析式化简得2()sin()34f x x π=+，函数的周期为2323T ππ==，由正弦函数图像可知相邻的两条对称轴间距离为半个周期，则322T π=，故选A .7．【解析】b 的值由2,4,16变化，a 也由1，2，3递变，由题意易知选C .8．【解析】由() 2,1a b -=--，则易得： ( )0a a b -=，故选D .9．【解析】由三视图得到其直观图（右上图所示），则体积为1140[(14)4]4323⨯+⨯⨯=，故选A . 10．【解析】当1x ≤时，由00()21xf x ==得00x =；当1x >时，由030()log (1)1f x x =-=得013x -=， 则04x =，且两者都成立，故选C .11．【解析】由抛物线方程可知24p =，得2p =；又由抛物线定义可知，点A 到焦点的距离等于其到准线的距离，则12628AB AF BF x x p =+=++=+=，故选B .12．【解析】如右图所示，函数()f x 在R 上的部分图象，易得下确界为1-，故选D ．二、填空题：（每小题5分，共20分） 13、 725- 14、1415、16、e13【解析】由3sin()cos 25παα+==， 得2237cos 22cos 12()1525αα=-=⨯-=-. 14【解析】方程有实根时，满足140n ∆=-≥，得14n ≤，由几 何概型知A P =构成事件的区域测度试验的全部结果所构成的区域测度，得1=4P . 15【解析】如右图所示，max ||||OP OB ===16【解析】直线平行于x 轴时斜率为0，由()x f x a e '=-得(1)0k f a e '==-=，得出a e =.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意知112282412a d a d +=⎧⎨+=⎩ ……………………2分解得12,2a d == …………………………………………4分 所以1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=，得2n a n = …………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得21()(22)(1)22n n a a n n nS n n n n ++===+=+ ……………8分 ∴3236a =⨯=，12(1)k a k +=+，2k S k k =+因 31,,k k a a S + 成等比数列，所以213k k a a S +=，从而22(22)6()k k k +=+， ………10分即 220k k --=，*k N ∈,解得2k = 或1k =-（舍去）∴ 2k = ……………………………………………………12分18．（本小题满分12分） 【解析】（I ）∵甲班学生的平均分是85，∴92968080857978857x +++++++=．………1分∴5x =． …………………………………………………………………………… 3分则甲班7位学生成绩的方差为2s ()()()22222221675007117⎡⎤=-+-+-++++⎢⎥⎣⎦40=．………………… 6分 （II ）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为,A B ， ………………………………… 7分乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为,,C D E ． ………………………… … 8分 从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：()()(),,,,,,A B A C A D()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,A E B C B D B E C D C E D E ． ………………………………9分 其中甲班至少有一名学生共有7种情况：()()(),,,,,,A B A C A D ()()()(),,,,,,,A E B C B D B E ． ………………… …………10分记“甲班至少有一名学生”为事件M ，则()710P M =， 即从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为710． … 12分19．（本小题满分12分） 【解析】（I ）证明：AD ⊥面ABE ，//AD BC ， BC ∴⊥面ABE ，AE ⊂平面ABEAE BC ∴⊥．…………………………………4分又 AE EB ⊥，且BC EB B =，AE ∴⊥面BCE ．……………………………………………………5分 （II ）∵在BCE ∆中，2EB BC ==，BF CE ⊥，∴点F 是EC 的中点，且点G 是AC 的中点，…………………… 7分∴//FG AE 且112FG AE ==． …………………………………8分AE ⊥面BCE ，FG ∴⊥面BCE ．∴GF 是三棱锥G BFC -的高 …………………………………………………………9分 在Rt BCE ∆中，2EB BC ==，且F 是EC 的中点，1111222B C F B C ES S B E B C ∆∆∴==⋅⋅=．…………………………………………………………11分 1133C BFG G BCF BCF V V S FG --∆∴==⋅=．…………………………………………………………12分20．（本小题满分12分）【解析】（I ）依题意，设圆的方程为()()22160x a y a -+=>． ………………………………………1分∵圆与y 轴相切，∴4a =． ∴圆的方程为()22416x y -+=．……………………………4分（Ⅱ）∵椭圆222125x y b+=的离心率为45， ∴45c e a ==，且252=a ，得5a =．……………5分∴4c =．∴()()124,0,4,0F F -． ………………………………6分∴()24,0F 恰为圆心C ．………………………………………………………………………7分（i ）过2F 作x 轴的垂线，交圆12,P P ，则12122190PF F P F F ∠=∠=，符合题意；…………9分 （ii ）过1F 可作圆的两条切线，分别与圆相切于点34,P P ，连接34,CP CP ，则1321490F P F F P F ∠=∠=，符合题意．………………………………11分 综上，圆C 上存在4个点P ，使得12PF F ∆为直角三角形． …………………………………12分21．（本小题满分12分）【解析】（I ）()()()2()=3+3131f x x a x a x x a '--3=-+． ……………………………………………1分令()0f x '=得121,x x a ==-．……………………………………………………………………2分 （i ）当1a -=，即1a =-时，()2()=310f x x '-≥，()f x 在(),-∞+∞单调递增． ………3分（ii ）当1a -<，即1a >-时，当21x x x x <>或时()0f x '>，()f x 在()()21,x x -∞+∞和,内单调递增；当21x x x <<时()0f x '<，()f x 在()21,x x 内单调递减． ………………………………4分 （iii ）当1a ->，即1a <-时，当12x x x x <>或时()0f x '>，()f x 在()()12,x x -∞+∞和,内单调递增；当12x x x <<时()0f x '<，()f x 在()12,x x 内单调递减． ………………………………5分 综上，当1a <-时，()f x 在()()12,x x -∞+∞和,内单调递增，()f x 在()12,x x 内单调递减；当 当1a =-时，()f x 在(),-∞+∞单调递增；当1a >-时，()f x 在()()21,x x -∞+∞和,内单调递增，()f x 在()21,x x 内单调递减．（其中121,x x a ==-）………………… 6分（II ）当3a =时，32()391,[,2]f x x x x x m =+-+∈，2()3693(3)(1)f x x x x x '=+-=+- 令()0f x '=，得121,3x x ==-．………………………………………………………………… 7分 将x ，()f x '，()f x 变化情况列表如下：1………………………………………………………………………………………………………8分 由此表可得()(3)28f x f =-=极大，()(1)4f x f ==-极小．…………………………………9分 又(2)328f =<，………………………………………………………………………………… 10分故区间[,2]m 内必须含有3-，即m 的取值范围是3]-∞-（，．……………………………… 12分考生在第22、23、24题中任选一题做答。

20. （本小题满分12 分）解：（Ⅰ）设点M 的坐标为(x, y) ， k A1My(x2)①,,, 1 分x 2kA2 My(x2)②,,,2分x 2① ②得y23整理得x2y21,,,3分4，43x24∴轨迹 C 的方程为x2y2 1 （ x 2 ）,,,4分43（Ⅱ）点 A(1,t ) ( t0)在轨迹M上∴1t 21，解得 t3，即点 A 的坐标为(1,3) ,, 5 分4322设 k AE k ，则直线AE的方程为：y k( x1)3x2y 21，并整理得2，代入43(3 4k2 )x2(12k 8k2 )x4k 212k30,,, 6 分设 E(x E , y E ) , F (x F ,y F ) ,3) 在轨迹C上，∴x E4k212k37 分∵点 A(1,34k 2③ ,,,2y E kx E 3k④,,,8 分2又 k AE kAF0 得 k AF k ，将③、④式中的k 代换成k ，可得x F4k 212 k 3， y F kx F3k,,,9 分34k 22∴直线 EF 的斜率K EF y F y E k (x F x E ) 2k,,,10 分x F x E x F x E∵ x xF 8k 26, x x24k,,,11 分E4k 23FE4k 23k 8k262k k(8k 26)2k(4k23)1∴k EF 4k23,,,12 分24k24k24k 2321.（本小题满分 12 分）（Ⅰ）函数 f ( x) 的定义域为(0,) .,,, 1 分f(x)112ax2x1,,, 2 分2axx.xa0，方程2ax2x 10 的判别式18a .9专业资料整理专业资料整理①当 a1 0 ，∴ f (x)0 ，故函数 f ( x) 在 (0,) 上递减 ,,,3 分时，8②当 0 a1 0 ，由 f (x)0 1 1 8a1 1 8a4 分时，可得 x 14a， x 24a . ,,,8x(0, x 1 )x 1( x 1, x 2 )x 2( x 2 ,)f ( x)f ( x)↘ 极小值↗极大值 ↘函数 f (x) 的减区 间为 (0, x 1 ), ( x 2 , ) ；增区间为 ( x 1 , x 2 ) .,,,5分所以，当 a 1f ( x) 在 (0,) 上递减；时，8当 0 a1 时， f ( x) 在 (11 8a ,1 18a) 上递增，在 (0,11 8a ) ，8 4a 4a4a(11 8a , ) 上递减 . ,,,6 分4a（Ⅱ）由（Ⅰ）知当 0a1 时，函数 f (x) 有两个极值点 x 1 , x2 ，且 x 1 x 21, x 1 x 21 ,,82a2a7 分f ( x 1 ) f ( x 2 ) x 1 ax 12 ln x 1 x 2 ax 22 ln x 2( x 1 x 2 ) a( x 12 x 22 ) ln( x 1x 2 ) ( x 1 x 2 ) a[( x 1 x 2 )2 2 x 1x 2 ] ln( x 1 x 2 ) ,,,8 分1 ln 11,,, 9 分4a 2a设1t4, 则 1 ln 1 1tln t1h(t ),,,10 分2a4a 2a 2￠ 1 1t - 2> 0，h (t) = -t=2t2所以 h(t) 在 (4, +? ) 上递增， h(t ) > h(4) = 3 - 2ln2 ,,,11 分所以 f (x 1)f ( x 2 ) 3 2 ln 2,,, 12 分请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。

惠州市2016届高三模拟考试数 学（文科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合{|14}A x x =<<，2{|230}B x x x =--≤，则=B C A R （ ）（A ）(1,2) （B ）(1,3) （C ）(3,4) （D ）(1,4) （2）如果复数3()2biz b R i-=∈+的实部和虚部相等，则||z 等于（ ）（A ） （B ） （C ）3 （D ）2 （3）已知函数)(x f 是偶函数，当0>x 时，31)(x x f =，则在区间)0,2(-上，下列函数中与)(x f 的单调性相同的是( )（A ）12+-=x y （B ）1+=x y （C ）xe y = （D ）⎩⎨⎧<+≥-=0,10,123x x x x y（4）已知函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的最小正周期为π，则函数()f x 的图像（ ）（A ）关于直线8x π=对称 （B ）关于点(,0)8π对称 （C ）关于直线4x π=对称 （D ）关于点(,0)4π对称（5）下列四个结论：①若p q ∧是真命题，则p ⌝可能是真命题；②命题“2000,10x R x x ∃∈--<”的否定是“01,2≥--∈∀x x R x ”；③“5a >且5b >-”是“0a b +>”的充要条件； ④当0a <时，幂函数y x α=在区间(0,)+∞上单调递减. 其中正确的是（ ）（A ）①④ （B ）②③ （C ）①③ （D ）②④ （6）如右图，圆C 内切于扇形AOB , 3AOB π∠=,若向扇形AOB 内随机投掷300个点，则落入圆内的点的个数估计值为（ ） （A ）450 （B ）400 （C ）200 （D ）100（7）已知等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，那么当{}n a 的前n 项和最大时，n 的值为（ ）（A ）7 （B ）8 （C ） 9 （D ）10（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） （A ）12 （B ）16 （C ）18 （D ）24（9）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）（A ）16 （B ）17（C ）18 （D ）19(第8题)（第9题）侧视图正视图俯视图（10）已知,x y 满足2020(0)0kx y x y k y -+≥⎧⎪+-≥<⎨⎪≥⎩，若目标函数z y x =-的最小值是4-，则k 的值为（ ）（A ）13- （B ）3- （C ）12-（D ）2- （11）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F ，则双曲线的离心率为（ ） （A）12+ （B）1 （C）12（D）1（12）已知函数21,0()21,0x x x x f x e x ⎧-+<⎪=⎨⎪-≥⎩，若函数()y f x kx =-有3个零点， 则实数k 的取值范围是（ ）（A ）(1,1)- （B ）(1,)+∞ （C ）[2,)+∞ （D ）[1,2)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

惠州市2016届高三模拟考试数 学（文科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合{|14}A x x =<<，2{|230}B x x x =--≤，则R A B = ð（ ）（A ）(1,2) （B ）(1,3) （C ）(3,4) （D ）(1,4) （2）如果复数3()2biz b R i-=∈+的实部和虚部相等，则||z 等于（ ）（A ）（B ）（C ）3 （D ）2 （3）已知函数)(x f 是偶函数，当0>x 时，31)(x x f =，则在区间)0,2(-上，下列函数中与)(x f 的单调性相同的是( )（A ）12+-=x y （B ）1+=x y （C ）xe y = （D ）⎩⎨⎧<+≥-=0,10,123x x x x y（4）已知函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的最小正周期为π，则函数()f x 的图像（ ）（A ）关于直线8x π=对称 （B ）关于点(,0)8π对称 （C ）关于直线4x π=对称 （D ）关于点(,0)4π对称（5）下列四个结论：①若p q ∧是真命题，则p ⌝可能是真命题；②命题“2000,10x R x x ∃∈--<”的否定是“01,2≥--∈∀x x R x ”； ③“5a >且5b >-”是“0a b +>”的充要条件； ④当0a <时，幂函数y x α=在区间(0,)+∞上单调递减. 其中正确的是（ ）（A ）①④ （B ）②③ （C ）①③ （D ）②④ （6）如右图，圆C 内切于扇形AOB , 3AOB π∠=,若向扇形AOB 内随机投掷300个点，则落入圆内的点的个数估计值为（ ） （A ）450 （B ）400 （C ）200 （D ）100（7）已知等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，那么当{}n a 的前n 项和最大时，n 的值为（ ）（A ）7 （B ）8 （C ） 9 （D ）10（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） （A ）12 （B ）16 （C ）18 （D ）24（9）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） （A ）16 （B ）17（C ）18 （D ）19(第8题)（第9题）OABC 侧视图4正视图俯视图（10）已知,x y 满足2020(0)0kx y x y k y -+≥⎧⎪+-≥<⎨⎪≥⎩，若目标函数z y x =-的最小值是4-，则k 的值为（ ） （A ）13-（B ）3- （C ）12- （D ）2- （11）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F ，则双曲线的离心率为（ ） （A）12+ （B）1 （C）12+ （D）1（12）已知函数21,0()21,0x x x x f x e x ⎧-+<⎪=⎨⎪-≥⎩，若函数()y f x kx =-有3个零点， 则实数k 的取值范围是（ ）（A ）(1,1)- （B ）(1,)+∞ （C ）[2,)+∞ （D ）[1,2)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。