有理数基本概念

绵阳中教英才书籍院四月朔期终复习之有理数之阳早格格创做有理数观念整治班级：姓名：（一）有理数：（1按标记分类：整统称为；④背整数战整统称为.注意：皆大于整，皆小于整.“0”即不是，也不是.（3）用正数、背数表示差同意思的量：如果用正数表示某种意思的量，那么背数表示其意思的量，如果背数表示某种意思的量，则正数表示其意思的量.如：若-5米表示背东走5米，则+3米表示背走3米； 若+6米表示降下6米，则-2米表示；示.（4）有理数“0”的效率：（二）数轴（1）观念：确定了、战的曲线注：①、、称为数轴的三果素，三者缺一不可.（2）数轴的绘法及罕睹过失分解①绘一条火仄的；②正在那条曲线上适合位子与一真心面动做：③决定背左的目标为，用表示；⑤数轴绘法的罕睹过失（3）有理数与数轴的闭系十足有理数皆不妨用数轴上的表示出去.正在数轴上，左边的面所对于应的数总比左边的面所对于应的数，正数皆大于，背数皆小于，正数大于十足背数.注意（三）差同数（1）差同数：惟有的二个数互称为差同数．特天天，0的差同数是.（2）差同数的本量：①代数意思：惟有的二个数喊搞互为差同数，特天天，O的差同数是0．差同数必须出现，不克不迭单独存留．比圆+5战互为差同数，大概者道+5是的差同数，－5是的差同数，而单独的一个数不克不迭道是．其余，定义中的“惟有”指除以中，二个数，注意应与“只消标记分歧”区别启．比圆+3与－3互为差同数，而+3与－2虽然分歧，但是它们不是差同数．②几许意思：一对于差同数正在数轴上应分别位于二侧，而且到本面的相等．那二面是闭于对于称的．③供任性一个数的差同数，只消正在那个数的前里加上“”号即可．普遍天，数a的差同数是；那里以a表示任性一个数，不妨为、、背数，也不妨是任性一个代数式．注意－a纷歧定是．注意：当a＞0时，－a0(正数的差同数是数)；当a=0时，－aO(0的差同数是)；当a＜0背数的差同数是)．④互为差同数的二个数的战为，即若a与b互为，则a+b=0，反之，若a+b=O，则a与b互为．⑤多沉标记的化简：一个正数前里不管有几个“＋”号，皆不妨局部；一个正数前里有个“－”号，也不妨把“－”号局部去掉；一个正数前里有个“－”号，则化简后只生存一个“－”号，即“背正”（其中“奇奇”是指正数前里的“”号的个数的，“背正”是指化简的终尾截止的.（四）千万于值（1）千万于值的代数意思及几许意思①千万于值的代数意思：一个正数的千万于值是；一个背数的千万于值是它的；0的千万于值是.②千万于值的几许意思：一个数a的千万于值便是数轴上表示数a的与的距离.数a的千万于值记做.注意：①与千万于值也是一种，那个标记是“”，供一个数的千万于值，便是根据本量千万于值标记.②千万于值具备性，与千万于值的截止经常.③所有一个有理数皆是由部分组成：战它的，如：－5，标记是，千万于值是.（3）利用千万于值比较二个背有理数的大小准则：二个背数，千万于值大的反而.步调：①估计二个背数的.②比较那二个的大小.③写出精确的推断截止.④如果若搞个非背数的战为0，那么那若搞个非背数皆必为.比圆：若0,____,____,______a b c a b c++====则知识面二：有理数运算（一）有理数比较大小1、⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩同正：__________大的数大两数同号同负：__________大的反而小比较大小两数异号（一正一负）：______大于_______正数与0：_______大于0其中有时负数与0：_______小于02、数形分离利用数轴比较有理数大小.（二）有理数的加减法（1）有理数加法规则①共号二数相加，与相共的，并把千万于值 .②千万于值不相等的同号二数相加，与的加数的标记，并用较大的减去较小的.③一个数共0相加，仍得.（2）有理数加法的运算步调规则是运算的依据，根据有理数加法的运算规则，不妨得到加法的运算步调：①决定战的；②供战的千万于值，即决定是二个加数的千万于值的.（3）有理数加法的运算律①二个加数相加，接换加数的位子，稳定.即a+b=b+a(加执法)②三个数相加，先把前二个数相加，大概者先把后二个数相加，稳定.即 (a+b)+c=a+(b+c)（加执法）（4）有理数加法的运算本领①分数与小数均奇尔，应先化为形式.②戴分数可分为与二部分介进运算.③多个加数相加时，若有互为差同数的二个数，可先分离得④若有不妨凑整的数，即相加得整数时，可先分离.⑤若有共分母的分数大概易通分的分数，应先分离正在所有.⑥相共的数不妨先分离正在所有.（5）有理数减法规则减去一个数，等于，即a-b=a+()（6）有理数减法的运算步调①把减号形成加号（改变运算标记）②把减数形成它的差同数（改变本量标记）③把减法转移为加法，依照加法运算的步调举止运算.（7）有理数加减混同运算的步调①把算式中的减法转移为加法；②简略加号与括号；③利用运算律及本领烦琐估计，供出截止.注意：根据有理数减法规则，减去一个数等于加上，果此加减混同运算不妨依据上述规则转移成惟有的运算，即形成供几个正数，背数战0的战，那个战称为代数战.为了书籍写烦琐，不妨把加号与每个加数中的括号均简略，写成简略加号战的形式，（三）有理数的乘除法（1）有理数乘法规则二数相乘，共号得，同号得，并把相乘.所有数共相乘，皆得0.（2）有理数乘法的运算律①二个数相乘，接换果数的位子，积相等.即ab=（乘法分离律）②三个数相乘，先把前二个数相乘，大概者先把后二个数相乘，积相等.即 abc=（乘法分离律）③一个数共二个数的战相乘，等于把那个数分别共那二个数相乘，再把积相加. 即 a(b+c)=（乘法调配律）（3）有理数乘法规则的推广①几个不等于0的数相乘，积的标记由的个数决断，当的个数是奇数时，积为；的个数是奇数时，积为.②几个数相乘，如果有一个果数为0，则积为.正在举止乘法运算时，若有戴分数，应先化为，便于约分；若有小数及分数，普遍先将小数化为，大概凑整估计；利用乘法调配律及其顺用，也可简化估计.（4）有理数除法规则：除以一个不等于0的数，等于乘那个数的.即a÷b=a· (b≠0)二数相除，共号得，同号得，并把千万于值，除以所有一个不等于0的数，皆得0.（5）倒数及有理数除法①乘积为的二个数互为倒数.倒数是出现的，单独一个数不克不迭称为倒数；互为倒数的二个数的乘积一定；不倒数；供一个非整有理数的倒数，只消把它的分子战分母即可（正整数不妨瞅做分母为1的分数）.注意：反之亦然.②有理数除法的运算步调：最先决定商的，而后再供出商的千万于值.（四）有理数的乘圆（1.（2）含意：.3×3×3×3×3，-3）×（-3）×（-3）×（-3）×（-3），特天注意背数及分数的乘圆，应把底数加上括号. 如7个2相乘的积的.当n为奇数时，；而当n为奇数时，注意：背数的奇次幂是，背数的幂是正数.正数的所有次幂皆是，0的所有次幂皆是，所有不为0的数的0次幂皆是.（3）“奇背奇正”心诀的应用心诀“奇背奇正”正在多处知识面中均提到过，它简曲的应用犹如下几面：①多沉背号的化简，那里奇奇指的是“－”号的个数，比圆：－[－（－3）]=，－[+（－3）]=.②有理数乘法，当多个非整果数相乘时，那里奇奇指的是背果数的个数，正背指截止中积的标记，比圆：（－3）×（－2）×（－6）=，而（－3）×（－2）×6=.③有理数乘圆，那里奇奇指的是指数，当底数为背数时，指数为奇数，则幂为；指数为奇数，则幂为，比圆：（－3，（－3（4）有理数混同运算的运算程序：①先乘圆，再乘除，终尾加减；②共级运算，从左到左举止；③如有括号，先搞括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次举止.加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘圆及启圆（以去教）称为三级运算.共级运算，按从左到左的程序举止；分歧级运算，应先算级运算，而后级，终尾级；如果有括号，先算括号里的，有多沉括号时，应先算___括号里的，再算括号里的，终尾算括号里的. 以上运算程序不妨简记为：“从左到左，从下（级）到矮（级），从小（括号）到大（括号）”.（五）近似数、战科教记数法（1）科教记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中.比圆：. 又如：10200000=也是.（2）科教计数法a战n的决定：a便是把本数的小数面移动过到左边第1个不是0的数字后里所到的数；n的值比本数的整数位少1.。

人教版七年级上册有理数的基本概念（无答案）有理数的基本概念板块一 有理数基本概念【知识导航】正数：像3、1、+0.33 等的数，叫做正数。

在小学学过的数，除0外都是正数。

正数都大于0。

正数：像-1、-3.12、175-、-2021等在正数前加上〝-〞〔读作负〕号的数，叫做正数。

正数都小于0。

0既不是正数，也不是正数。

假设正数表示某种意义，那么正数表示它的相反的意义。

如：南为正方向，向南1km 表示为+1km ，那么向北3km 表示为-3km 。

有理数：整数与分数统称为有理数。

在理数：有限不循环小数，如π。

留意：⑴正数和零统称为非正数；⑵正数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数。

【例1】⑴以下各组量中，具有相反意义的量是〔 〕 A ．浪费汽油10升和糜费粮食 B ．向东走8公里和向北走8公里C ．支出300元和支出100元D ．身高1.8米和身高0.9米⑵假设零上5C 记作5C +，那么零下5C 记作〔 〕A ．-5B ．-10C ．5C -D ．10C -⑶假设水位降低4m 时水位变化记为+4m ，那么水位下降3m 记作___，水位不升不降时水位变化记为____m⑷甲乙两地的海拔高度区分为200米，-150米，那么甲地比乙地高出〔 〕A ．200米B ．50米C ．300米D ．350米⑸学而思饮料公司消费的一种瓶装饮料外包装上印有〝60030()ml ±〞字样，请问〝30ml ±〞是什么意思？××局对该产品抽查3瓶，容量区分为589,573,627ml ml ml ，问抽查产品的容量能否合格？【例2】⑴一种零件的长度在图纸上是0.050.05(20)+-米，表示这种零件加工要求最大不超越_______，最小不小于_____.⑵1是〔〕A．最小的整数B．最小的正整数C．最小的自然数D．最小的有理数⑶14.5,6,0,2.4,,,0.313,3.14,112π----以上各数中，____属于正数，____属于非正数，____属于非负有理数。

有理数的基本概念正数、负数、有理数有理数:按定义整数与分数统称有理数.()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数注：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数.【例1】下列说法正确的是（）A．a-一定是负数B．一个数不是正数就是负数C．0-是负数D．在正数前面加“-”号，就成了负数【巩固】所以然饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030±(mL)”字样，请问“30mL±”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603mL，611mL，589mL，573mL，627mL，问抽查产品的容量是否合格？【例2】下列个数中：1330.70125---，，，，，中负分数有个；负整数有个；自然数有个【例3】下列数中，哪些属于负数？哪些属于非正数？属于正分数？哪些属于非负有理数？4.5-，6，0，2.4，π，12-，0.313-，3.14，11-【例4】若a-是负数，则a【例5】下列说法正确的是（）A．a-表示负有理数B．一个数的绝对值一定不是负数C．两个数的和一定大于每个加数D．绝对值相等的两个有理数相等板块二、倒数【例6】6的倒数是（）A．6-B．16±C．61-D．61【例7】7-的倒数为（）A.7B.17C.17- D.7-【例8】一个数的倒数是它本身，则这个数一定是一个数的相反数数是它本身，则这个数一定是【例9】有理数a等于它的倒数，有理数b等于它的相反数，则20022003a b+=数轴【例10】数轴上有一点A它表示的有理数是3-，将点A向左移动3个单位得到点B，再向右移动8个单位，得到点C，则点B表示的数是，点C表示的数是．【巩固】在数轴上，下面说法中不正确的是( )．A．两个正数，小的离原点B．两个有理数，大数对应的点在右边C．两个负数，较大的数对应的点离原点近D．两个有理数，大的离原点较远【例11】⑴数轴上点A对应的数为3-，那么与A相距1个长度的点B所对应的数是_________.⑵数轴上的点A、B分别表示数3-和2，点C是A、B的中点，则点C所表示的数是_________. 【巩固】数轴上有一点到原点的距离是5.5，那么这个点表示的数是_________.【例12】一辆货车从超市出发，向东走了3km到达小彬家，继续向前走了1.5km到达小颖家，然后向西走了9.5km到达小明家，最后回到超市⑴以超市为原点，向东作为正方向，用1个单位长度表示1km，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置⑵小明家距离小彬家多远？⑶货车一共行驶了多少千米？板块四、相反数相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是0. 【例13】 2010的相反数是（ ）A ．2010B ．20101C ．2010-D ．20101-【巩固】 3的相反数是A ． 3B ． －3C ． ±3D ．13【巩固】 m -的相反数是 ，1m -+的相反数是 ，m n a b +-+的相反数是 .【巩固】 若0a b +=，且a b >，那么____0a ，____0b . 【例14】 如果0a <，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数⑴ ()a -+；⑵()a --；⑶[]()a -+-；⑷[]()a ---；⑸(){}a -+--⎡⎤⎣⎦绝对值绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 求字母a 的绝对值：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ ②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.【例1】 m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；x0x -（>，=，<）；【例2】 3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=，则x = ．【例3】 2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=，则x = ．【例4】 下列各组判断中，正确的是 ( )A ．若a b =，则一定有a b =B ．若a b >，则一定有a b >C. 若a b >，则一定有a b > D ．若a b =，则一定有()22a b =-【例5】 若a b >且a b <，则下列说法正确的是（ ）A ．a 一定是正数B ．a 一定是负数C ．b 一定是正数D ．b 一定是负数【例6】 下列式子中正确的是 ( )A ．a a >-B ．a a <-C ．a a ≤-D ．a a ≥-【例7】 绝对值等于5的整数有 个，绝对值小于5的整数有 个【例8】 有理数a 与b 满足a b >，则下面哪个答案正确( )A ．a b >B ．a b =C ．a b <D ．无法确定【例9】 已知：52a b ==，，且a b <；则____________a b ==，.【例10】 已知123a b c ===，，，且a b c >>，那么a b c +-=【例11】 已知15x <≤，化简15x x -+-【例12】 如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求a b a c b c ++--+的值.b -1c 0 a 1【例13】 数a b ，在数轴上对应的点如右图所示，试化简a b b a b a a ++-+--ba【例14】 实数a b c ，，在数轴上的对应点如图，化简a c b a b a c +--++- 0cba【例15】 若0.239x =-，求131********x x x x x x -+-++-------的值．【例16】 若200122002x =，则|||1||2||3||4||5|x x x x x x +-+-+-+-+-= ．【例17】 若a b c ，，均为非零的有理数，求a b ca b c++的值【例18】 实数a b ，在数轴上的对应点如图，试比较a a b b a b a b --+-，，，，，的大小 0ba【例19】 如图所示，若0a b c ++=，则下列判断一定成立的是（ ）cbaA ．00a c <<，B ．00a c <>，C ．00a c >>，D ．00a c ><，绝对值练习1．比较大小．（1）85.2-- 2.85； （2）85.2-- ()85.2-- （3）－2.85 85.2+-； （4）65-76- （5）65- 76- （6）⎪⎭⎫⎝⎛--65 76--2．计算：12(3)(4)5(6)---+---+---= 。

一、考点突破能力提升类例1若a为最小正整数，b为a的相反数的倒数，c为绝对值最小的数，求代数式2010（a+b）+2011c的值.一点通：最小的正整数为1，1的相反数为-1，-1的倒数为-1，绝对值最小的数为0.解：∵a为最小正整数，∴a=1，∵b为a的相反数的倒数，∴b=-1，∴a+b=0，∵c为绝对值最小的数，∴c=0，∴2010（a+b）+2011c=0点评：明确最小正整数的值，互为相反数、互为倒数的关系，绝对值最小的数的值。

例2 比较－87与－98的大小。

一点通：比较两个数的大小，应考虑：①作差法；②作商法；③绝对值大小的比较. 解：解法一：作差比较。

－87－（－98）＝－87＋98＝721＞０ ∴－87＞－98B. ∣a ∣>∣b ∣C. a －b>0D. a+b>0例4 a 、b 、c 三数在数轴上的位置如图所示，其中|a|=|c|， 化简式子：||||||||||c a cc b b a a -+++一点通：此题一方面考查学生的识图能力，另一方面考查学生对数轴、绝对值的理解，旨在考查知识的综合应用。

解：由图可知：a ，b<0，c>0，则由绝对值定义可得： 原式=1111||||-=+--=-++-+-c a ccb b a a 点评：采用数形结合的思想，根据有理数a 、b 在数轴上的位置，从而确定其去绝对值后的符号是解决本题的关键。

c b a |||||||||c b a c +--概念去括号。

解：原式=c c b a c a b c b a c a b 2)]([)()(=++-++-=+---+--点评：含绝对值式子的化简例7 已知 |a ＋2|＋|b-3|=0，求a 和b 的值。

一点通：由绝对值的非负性可知，|a ＋2|≥0，|b-3|≥0，而且只有当|a ＋2|和|b-3|都等于0时，|a ＋2|＋|b-3|=0才成立，因为只有0的绝对值等于0，所以a=-2，b=3。

什么是有理数和有理数的基本性质定义：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

有理数的相关概念介绍有理数的概念的内容包含有理数分类的原则和方法，相反数、数轴、绝对值的概念和特点。

1.有理数的分类：有理数包括整数和分数，整数又包括正整数，0和负整数，分数包括正分数和负分数。

“分类”的原则：(1)相称(不重、不漏);(2)有标准2.非负数，非正数：非负数：正数与零的统称。

非正数：负数与零的统称。

3.相反数：(1)定义:如果两个数的和为0.那么这两个数互为相反数.(2)求相反数的公式: a的相反数为-a.(3)性质：①a≠0时，a≠-a;②a与-a在数轴上的位置关于原点对称;③两个相反数的和为0,商为-1。

(4)注意：0的相反数是0。

4.数轴：(1)定义(“三要素”):具有原点、正反方向、单位长度的直线叫数轴。

作用：①直观地比较实数的大小;②明确体现绝对值意义;③所有的有理数可以在数轴上表示出来，所有的无理数如都可以在数轴上表示出来，故数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，数轴上的点与实数是一一对应关系。

5.绝对值(1)代数定义：正数的绝对值是它的本身，0的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数。

(2)几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。

①符号"││”是“非负数”的标志;②数a的绝对值只有一个;③处理任何类型的题目，只要其中有"││”出现，其关键一步是去掉"││”符号，如果有“-”要继续计算。

[2]从整数到有理数人类先认识了整数，然后才认识了有理数。

从直觉上可以感觉到，有理数和它的运算都可以由整数得到。

下面就提供了一种方法：定义有理数为整数对(a,b)的等价类,其中b非零。

定义a/b=c/d,如果ad=bc。

定义有理数乘法为(a/b)*(c/d)=ac/bd,定义a/b的倒数为b/a，如果a,b非零。

定义有理数加法为a/b+c/d=(ad+bc)/bd，定义a/b的相反数为(-a)/b，定义a-b为a+(b的相反数)。

有理数知识点整理有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数、零以及所有可以表示为分数的数。

在数学中，有理数是一种基本的数学概念，我们在日常生活和学习中经常会接触到它们。

下面将整理一些有关有理数的知识点。

1. 有理数的定义和表示：有理数可以通过一个分子和一个非零的分母的比值来表示，分子和分母都是整数。

通常用分数的形式来表示有理数，例如1/2、3/4等。

有理数可以是正数、负数或零。

2. 有理数的加法和减法：有理数的加法和减法可以通过分数的加减法来进行。

当两个有理数的分母相同时，只需将分子进行相应的加减操作即可。

当两个有理数的分母不同时，可以通过通分的方法，将两个有理数的分母变成相同的，然后进行相应的加减操作。

3. 有理数的乘法和除法：有理数的乘法和除法可以通过分数的乘除法来进行。

乘法要将两个有理数的分子相乘，分母相乘；除法要将除数的分子和被除数的分母相乘，除数的分母和被除数的分子相乘。

4. 有理数的大小比较：有理数的大小比较可以通过它们的绝对值来判断。

绝对值是一个数的大小与符号无关的值，即该数与0的距离。

绝对值大的数比绝对值小的数要大。

当两个有理数的绝对值相同时，可以根据它们的符号来判断大小。

5. 有理数的相反数和倒数：有理数的相反数是指与该有理数的绝对值相等，符号相反的数。

例如，-2是2的相反数，2是-2的相反数。

有理数的倒数是指与该有理数的乘积为1的数。

例如，2的倒数是1/2，-3的倒数是-1/3。

6. 有理数的约分和分数的化简：有理数的约分是指将一个分数的分子和分母同时除以同一个非零整数，得到一个相等的分数。

分数的化简是指将一个分数的分子和分母同时除以它们的公因数，得到一个最简形式的分数。