八下期中复习 特殊的平行四边形

鲁教版2020八年级数学下册第六章特殊的平行四边形期中复习题B （附答案）1．如图，把一长方形纸片沿EF 折盈后，点D 、C 分别落在1D 、1C 的位置，若152AED ∠=︒，则EFB ∠等于（ ）A ．65ºB ．62ºC ．56ºD ．64º2．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AD 的中点.若OE ＝3，则菱形ABCD 的周长为( )A ．16B ．12C ．20D ．243．如图，正方形ABCD 的面积为36，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为 ( )A ．3B ．6C ．8D ．94．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，根据图形可知他得出的这个推论指（ ）A ．S 矩形ABMN ＝S 矩形MNDCB ．S 矩形EBMF ＝S 矩形AEFNC ．S 矩形AEFN ＝S 矩形MNDCD ．S 矩形EBMF ＝S 矩形NFGD5．已知：如图，M 是正方形ABCD 内的一点，且MC MD AD ==，则AMB ∠的度数为（ ）A ．120︒ B ．135︒ C ．145︒ D ．150︒6．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P 为边BC 上一动点（P 不与B 、C 重合），PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值是( )A ．3B ．4C ．4.8D ．无法确定 7．如图，菱形中，，这个菱形的周长是（ ）A ．B ．C ．D ．8．下列说法错误的是( )A ．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半B ．矩形的对角线相等C ．对角线互相垂直的平行四边形是矩形D ．对角线相等的菱形是正方形9．如图，在ABCD Y 中，2,AB AD F =是CD 的中点，作BE AD ⊥于点E ，连接EF BF 、，下列结论:①CBF ABF ∠=∠；②FE FB =；③2EFB S S ∆=四边形DEBC ；④3BFE DEF ∠=∠；其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，正方形OABC 绕着点O 逆时针旋转30°得到正方形ODEF ，连接AF ，则∠OF A 的度数是（ ）11．如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，P 点是BD 的中点，若9AC =，则CP 的长为______．12．如图，在平面直角坐标系中有一个长方形ABCO ，C 点在x 轴上，A 点在y 轴上，B 点坐标(8，4)，将长方形沿EF 折叠，使点B 落到原点O 处，点C 落到点D 处，则OF 的长度是_____.13．如果一个矩形较短的边长为5cm ，两条对角线所夹的角为60°，则这个矩形的面积是________．14．如图，以 AB 为底分别作等边三角形 QAB 和正方形 ABCD ．如果在正方形的对角线 AC 上存在一点 P 使 PD+PQ 存在最小值为 2，则该正方形的面积是_________ ．15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝9，点E ，F 分别在BC ，CD 上，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点B ′处，又将△CEF 沿EF 折叠，使点C 落在直线EB ′与AD 的交点C ′处，DF ＝_____．16．如图，正方形ABCD 的边长为4，点O 为对角线AC BD 、的交点，点E 为边AB 的中点，BED ∆绕着点B 旋转至11BD E ∆，如果点1D E D 、、在同一直线上，那么1EE 的长为____．17．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠EFG=50°，则∠DEG=_________度．18．如图，正方形ABCD中，AD=12，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是_____．19．如图，分别以AB的两个端点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点P、Q，作直线PQ交AB于点C，在CP上截取CD＝AC，过点D作DE∥AC，使DE＝AC，连接AD、BE，当AD＝1时，四边形DCBE的面积是_____．20．如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点，点E为CD边的中点，连接OE，如果OE＝3，则菱形ABCD的周长为_____.21．如图，四边形ABCD 是矩形，将△ABD 沿对角线BD 翻折180°得到△A′BD，（1）作出折叠后的图形△A′BD（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．（2）设AD 与BC 交于点F，AD＝8，AB＝4，求△BDF 的面积．22．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（，），点B在轴正半轴上，∠ABO=30°，动点D从点A出发，沿着射线AB方向以每秒3个单位的速度运动，过点D作DE⊥轴，交轴于点E，同时，动点F从定点C（，）出发沿轴正方向以每秒1个单位的速度运动，连结DO，EF，设运动时间为秒.（1）当点D运动到线段AB的中点时，①求的值；②判断四边形DOFE是否是平行四边形，请说明理由；（2）点D在运动过程中，以点D，O，F，E为顶点的四边形是矩形，求出满足条件的的值；（3）过定点C做直线⊥轴，与线段DE所在的直线相交于点M，连结EC，MF，若四边形ECFM为平行四边形，请直接写出点E的坐标.23．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为(3，3)．将正方形ABCO 绕点A顺时针旋转角度α(0°＜α＜90°)，得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED 的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．(1)求∠PAG的度数；(2)当∠1＝∠2时，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=18 cm，BC=21 cm，点P从点A开始沿AD边向D以1 cm/s的速度运动，点Q从点C开始沿CB边向B以2 cm/s的速度运动，如果P 、Q 分别从A 、C 同时出发，设运动时间为t 秒．求：（1）当t 为何值时，四边形ABQP 为矩形？（2）当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？25．如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，AD BC ⊥于点D ，点M 为BC 的中点，10cm AB =，则MD 的长为？26．如图，点A 在直线l 外，点B 在直线l 上．（1）在l 上求作一点C ，在l 外求作一点D ，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形；（要求：用直尺和圆规作出所有大小不同的菱形）（2）连接AB ，若AB ＝5，且点A 到直线l 的距离为4，通过计算，找出（1）中面积最小的菱形．27．已知，在∆ABC 中， ∠BAC = 90︒， AB = AC ，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与点 B 、C 重合）. 以 AD 为边作正方形 ADEF ，连接CF .（1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上时，求证： BD = CF ；（2）如图 2，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系；（3）如图 3，当点 D 在线段 BC 的反向延长线上时，且点 A 、F 分别在直线 BC 的两侧，其他条件不变，若正方形ADEF 的边长为2 ，对角线AE 、DF 相交于点O ，连接OC ，求OC 的长度.28．已知结论：在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，请利用这个结论进行下列探究活动.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=23，D为AB中点，P为AC上一点，连接PD，把△APD沿PD翻折得到△EPD，连接CE.（1）AB=_____,AC=______.（2）若P为AC上一动点，且P点从A点出发，沿AC以每秒一单位长度的速度向C 运动，设P点运动时间为t秒.①当t=_____秒时，以A、P、E、D、为顶点可以构成平行四边形.②在P点运动过程中，是否存在以B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.参考答案1．D【解析】【分析】根据折叠的性质，可1DEF D EF ∠=∠,由152AED ∠=︒，则可计算得1128DED ︒∠=,进而计算EFB ∠的度数.【详解】根据根据折叠的性质，可1DEF D EF ∠=∠Q 152AED ∠=︒1118018052128DED AED ︒︒︒︒∴∠=-∠=-=∴ 164DEF D EF ︒∠=∠=Q 四边形ABCD 为长方形64DEF EFB ︒∴∠=∠=故选D.【点睛】本题主要考查矩形的折叠问题，关键在于根据折叠的性质确定1DEF D EF ∠=∠.2．D【解析】【分析】由菱形的性质可得出AC ⊥BD ，AB=BC=CD=DA ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD 的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，AB=BC=CD=DA ，∴△AOD 为直角三角形．∵OE=3，且点E 为线段AD 的中点，∴AD=2OE=6．C 菱形ABCD =4AD=4×6=24．故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出AD=6．本题属于基础题，难度不大．3．B【解析】【分析】根据正方形的面积求出边长，根据正方形的性质，点B、D关于AC对称，再根据轴对称确定最短路线问题，BE与AC的交点即为所求的使PD+PE的和最小时的点P的位置，然后根据PD+PE=BE计算即可得解．【详解】∵正方形ABCD的面积为36cm2，∴边长AB=6cm，∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=6cm，由正方形的对称性，点B、D关于AC对称，∴BE与AC的交点即为所求的使PD+PE的和最小时的点P的位置，∴PD+PE的和的最小值=BE=6cm．故答案为：6cm．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，正方形的对称性，熟记性质以及最短路线的确定方法确定出PD+PE的和的最小值=BE是解题的关键．4．D【解析】【分析】根据矩形的性质：矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，即可求解.．【详解】S矩形NFGD=S△ADC−(S△ANF+S△FGC),S矩形EBMF =S △ABC −(S △ANF +S △FCM ).易知,S △ADC =S △ABC ,S △ANF =S △AEF ,S △FGC =S △FMC ，可得S 矩形NFGD =S 矩形EBMF .故选：D.【点睛】考查矩形的性质，掌握矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分是解题的关键.5．D【解析】【分析】利用等边三角形和正方形的性质求得30ADM ∠=︒，然后利用等腰三角形的性质求得MAD ∠的度数，从而求得BAM ABM ∠=∠的度数，利用三角形的内角和求得AMB ∠的度数．【详解】解：MC MD AD CD ===Q ，MDC ∴∆是等边三角形，60MDC DMC MCD ∴∠=∠=∠=︒，90ADC BCD ∠=∠=︒Q ，30ADM ∴∠=︒，75MAD AMD ∴∠=∠=︒，15BAM ∴∠=︒，同理可得15ABM ∠=︒，1801515150AMB ∴∠=︒-︒-︒=︒，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质及等边三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质求得有关角的度数，难度不大．6．C【解析】【分析】根据已知得出四边形AEPF是矩形，得出EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，根据垂线段最短得出即可．【详解】连接AP，∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠A=∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，在Rt△BAC中，∠A=90°，AC=8，AB=6，由勾股定理得：BC=10，由三角形面积公式得：12×8×6=12×10×AP，∴AP=4.8，即EF=4.8.故选：C.【点睛】利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解此题的关键是确定出何时，EF最短.7．C【解析】【分析】通过菱形性质及勾股定理求出边AB的值，周长为4AB即可．【详解】解：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，设AC与BD交于点O，则AO=1，BO=2，所以AB=．周长为4AB=4．故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解决四边形问题一般转化为三角形问题．8．C【解析】【分析】根据有关的定理和定义找到错误的命题即可得到答案；【详解】A、菱形的面积等于对角线乘积的一半，故正确，不符合题意；B、矩形的对角线相等，正确，不符合题意；C、对角线平分且相等的平行四边形是矩形，错误，符合题意；D、对角线相等的菱形是正方形，正确，不符合题意；故选：C．【点睛】考查了命题与定理的知识，在判断一个命题正误的时候可以举出反例．9．C【解析】【分析】由平行四边形的性质结合AB=2AD，CD=2CF可得CF=CB，从而可得∠CBF=∠CFB，再根据CD∥AB，得∠CFB=∠ABF，继而可得CBF ABF∠=∠，可以判断①正确；延长EF交BC的延长线与M，证明△DFE与△CFM(AAS)，继而得EF=FM=12EM，证明∠CBE=∠AEB=90°，然后根据直角三角形斜边中线的性质即可判断②正确；由上可得S△BEF=S△BMF，S△DFE=S△CFM，继而可得S△EBF=S△BMF=S△EDF+S△FBC，继而可得2EFB S S ∆=四边形DEBC ，可判断③正确；过点F 作FN ⊥BE ，垂足为N ，则∠FNE=90°，则可得AD//FN ，则有∠DEF=∠EFN ，根据等腰三角形的性质可得∠BFE=2∠EFN ，继而得∠BFE=2∠DEF ，判断④错误.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AB=CD ，AD//BC ，∵AB=2AD ，CD=2CF ，∴CF=CB ，∴∠CBF=∠CFB ，∵CD ∥AB ，∴∠CFB=∠ABF ，∴CBF ABF ∠=∠，故①正确；延长EF 交BC 的延长线与M ，∵AD//BC ，∴∠DEF=∠M ，又∵∠DFE=∠CFM ，DF=CF ，∴△DFE 与△CFM(AAS)，∴EF=FM=12EM ， ∵BF ⊥AD ，∴∠AEB=90°，∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠CBE=∠AEB=90°，∴BF=12EM ， ∴BF=EF ，故②正确；∵EF=FM ，∴S △BEF =S △BMF ，∵△DFE ≌△CFM ，∴S △DFE =S △CFM ，∴S △EBF =S △BMF =S △EDF +S △FBC ，∴2EFB S S ∆=四边形DEBC ，故③正确；过点F 作FN ⊥BE ，垂足为N ，则∠FNE=90°，∴∠AEB=∠FEN ，∴AD//EF ，∴∠DEF=∠EFN ，又∵EF=FB ，∴∠BFE=2∠EFN ，∴∠BFE=2∠DEF ，故④错误，所以正确的有3个，故选C.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判断与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 10．C【解析】【分析】由旋转和正方形性质，可得∠AOF=120°，由OA=OF ，即可得到∠OFA.【详解】解：根据旋转的定义可知，∠AOD=30°，∠DOF=90°，∴∠AOF=30°+90°=120°．∵OA=OF ，∴∠OFA=（180°–120°）÷2=30°．故选C ．【点睛】本题考查了正方形的性质和旋转的性质，解题的关键是根据旋转的性质求出∠AOF 的度数.11．3【解析】【分析】由题意推出BD ＝AD ，然后在Rt △BCD 中，CP ＝12BD ，即可推出CP 的长度． 【详解】∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，∴∠A ＝30°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD ＝∠DBA ＝30°，∴BD ＝AD ，CD ＝12BD ＝12AD ， ∵AC ＝9，∴AD ＝BD ＝6，∵P 点是BD 的中点，∴CP ＝12BD ＝3． 故答案为：3．【点睛】本题主要考查角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质，关键在于根据已知推出BD ＝AD ，求出BD 的长度．12．5【解析】【分析】连接BF ，设OF x =，根据翻折原理可得BF OF =，然后根据勾股定理222FB FC BC =+即可求解.【详解】连接BF ，如图所示：设OF x =根据翻折原理可得：=BF OF x =∵B 点坐标(8，4)∴8,4OC BC ==∴8FC x =-∵长方形ABCO∴90BCF ∠=︒∴222BF FC BC =+∴222(8)4x x =-+解得：5x =，即5OF =∴OF 的长度是5故填：5.【点睛】本题主要考查勾股定理、矩形的性质、翻折问题，根据勾股定理列出式子是关键.13．2532【解析】【分析】根据矩形对角线相等且互相平分性质和题中条件易得△AOB 为等边三角形，即可得到矩形对角线一半长，进而求解即可．【详解】如图：AB=5cm，∠AOB=60°，∵四边形是矩形，AC，BD是对角线，∴OA=OB=OD=OC=12BD=12AC，在△AOB中，OA=OB，∠AOB=60°，∴OA=OB=AB=5cm，BD=2OB=2×5=10cm，∴22105=53，∴矩形的面积3cm2．故答案为：3【点睛】此题考查矩形的性质，矩形的两对角线所夹的角为60°，那么对角线的一边和两条对角线的一半组成等边三角形．本题比较简单，根据矩形的性质解答即可．14．4【解析】【分析】根据正方形的对称性可得，B点和D点关于AC对称，设BQ与AC的交点为点P，连结PD，此时PD+PE的和最小，从而可得PD+PQ=PB+PQ=BQ=2，再由等边三角形性质可得正方形ABCD边长为2，再由正方形面积公式即可得出答案.【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴点D与点B关于AC对称，设BQ与AC的交点为点P，连结PD，此时PD+PE的和最小，∴PD+PQ=PB+PQ=BQ=2，又∵△ABQ为等边三角形，∴AB=BQ=2，∴正方形ABCD边长为2，∴S正=22=4.故答案为4.【点睛】此题考查了正方形的性质，轴对称的应用-最短距离问题，熟练掌握相关知识是解题的关键．15．3.【解析】【分析】首先连接'CC ，可以得到'CC 是'EC D ∠的平分线，所以'CB CD =，又'AB AB =，所以'B 是对角线中点，2AC AB =，所以30ACB ∠=︒，即可得出答案.【详解】连接CC ′，∵将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点B ′处，又将△CEF 沿EF 折叠，使点C 落在EB ′与AD 的交点C ′处．∴EC ＝EC ′，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，在△CC ′B ′与△CC ′D 中，''90'''''D CB C B C C DC C C C C C ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CC ′B ′≌△CC ′D （AAS ），∴CB ′＝CD ，又∵AB ′＝AB ，∴AB ′＝CB ′，所以B ′是对角线AC 中点，即AC ＝2AB ＝18，所以∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝60°，∠ACC ′＝∠DCC ′＝30°，∴∠DC ′C ＝∠1＝60°，∴∠DC ′F ＝∠FC ′C ＝30°，∴C ′F ＝CF ＝2DF ，∵DF +CF ＝CD ＝AB ＝9，∴DF ＝3．故答案为3．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质和角平分线的判定与性质，解答此题要抓住折叠前后的图形全等的性质，得出'CC 是'EC D ∠的平分线是解题关键.16610 【解析】【分析】根据正方形的性质得到4AB AD ==，根据勾股定理得到242BD AB ==，2225DE AD AE =+=B 作1BF DD ⊥于F ，根据相似三角形的性质得到5EF =，求得2555DF ==，根据旋转的性质得到1BD BD =，11D BD E BE ∠=∠，1BE BE =，可得11D BD E BE ∆~∆，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵正方形ABCD 的边长为4，∴4AB AD ==，∴242BD ==∵点E 为边AB 的中点，∴122AE AB ==， ∵090EAD ∠=，∴DE ==过B 作1BF DD ⊥于F ，连接1EE ，∴090DAE EFB ∠=∠=，∵∠AED=∠FEB ，∴ADE FBE ∆~∆， ∴EF BE AE DE=，∴2EF =，∴EF =，∴DF ==， ∵BED ∆绕着点B 旋转至11BD E ∆，∴1BD BD =，111,D BD E BE BE BE ∠=∠=，∴12DD DF ==，11D BD E BE ∆~∆， ∴11EE BE DD BD=，∴124EE =，∴1EE =.．【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确的作出图形，证出11D BD E BE ∆~∆．17．100【解析】【分析】根据平行线求出∠DEF ，根据折叠性质得出∠FEG=∠DEF ，即可求出答案．【详解】∵四边形ABCD 是长方形，∴AD ∥BC ，∴∠DEF=∠EFG=50°，∵沿EF 折叠，∴∠DEF=∠FEG=50°，∴∠DEG=50°+50°=100°，故答案为100．【点睛】考查了平行线性质和折叠的性质的应用，关键是求出∠DEF 的度数和得出∠DEF=∠FEG ． 18．4【解析】【分析】如图，连接AE ，根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt △AFE ≌Rt △ADE ；在直角△ECG 中，设DE=FE=x ，然后根据勾股定理计算即可求出DE 的长．【详解】解：如图，连接AE，∵AB=AD=AF，∠D=∠AFE=90°，在Rt△AFE和Rt△ADE中，∵,. AE AE AF AD=⎧⎨=⎩∴Rt△AFE≌Rt△ADE，∴EF=DE.设DE=FE=x，则EC=12-x．∵G为BC中点，BC=12，∴CG=6，在Rt△ECG中，根据勾股定理，得：(12-x)2+36=(x+6)2，解得，x=4，则DE=4.故答案为4.【点睛】本题考查了翻折变换，掌握翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的熟练应用是解题的关键.19．【解析】【分析】首先证明四边形DCBE是矩形，求出DC，BC即可．【详解】解：由作图可知：DC⊥AB，∵AC＝CD，∠ACD＝90°，AD＝1，∵DE＝AC＝BC，DE∥BC，∴四边形DCBE是平行四边形，∵∠DCB＝90°，∴四边形DCBE是矩形，∴四边形DCBE的面积，故答案为．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．24【解析】【分析】根据菱形的性质及直角三角形斜边中线的性质解答即可．【详解】∵菱形ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点，∴AC⊥BD，∠COD=90°，∵E为CD的中点，∴OE=CE=BE=3，∴CD=6，∴菱形ABCD的周长为6×4=24.故答案为24【点睛】本题考查菱形的性质及直角三角形斜边中线的性质，菱形的四条边相等；对角线互相垂直平分且平分对角；直角三角形斜边中线等于斜边的一半；熟练掌握相关性质是解题关键. 21．（1）如图所示，△A′BD 即为所求；见解析；（2）S△BDF＝10．【解析】【分析】（1）以B为圆心，AB长为半径画弧，以D为圆心，AD长为半径画弧，交于点A'，连接BA'，DA'，即可得到△A'BD；（2）由矩形的性质以及轴对称的性质，即可得到△BDF为等腰三角形，再根据勾股定理求得BF的长，即可得到△BDF的面积．【详解】（1）如图所示，△A′BD 即为所求；（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD∥BC，CD＝AB＝4，∴∠FBD＝∠ADB，∵沿矩形ABCD 的对角线BD 翻折△ABD 得△A′BD，∴△ABD≌△A′BD，∴∠ADB＝∠FDB，AD＝A'D＝8，∴∠FBD＝∠FDB，∴BF＝DF，设BF＝x，则DF＝x，A'F＝8﹣x，又∵∠BA'F＝90°，∴Rt△A'BF 中，A'F2+A'B2＝BF2，即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴BF＝5，∴S△BDF＝12BF×CD＝12×5×4＝10．【点睛】此题主要考查折叠问题和勾股定理，作图之后更容易解答22．（1）①t=2；②见解析；（2）t=14；（3）E（0，）．【解析】【分析】(1) ①由题意可知，当点D运动到线段AB的中点时，可知,由动点D的速度，可计算出；②根据轴，可知轴，由点F的运动速度可知,推出，所以DE平行且等于OF，可证出四边形DOFE是平行四边形.(2)由题意可知当点D在线段AB上，四边形DOFE构不成矩形，所以计算当点D在线段AB的延长线上，根据,可推出，因为四边形DOFE 要构成矩形，所以使即可求出答案.(3)当点D在线段AB上运动时，由可知，推出，因为四边形ECFM为平行四边形，所以时成立，即可算出点E的坐标；当点D在AB的延长线上，四边形ECFM不可能为平行四边形.【详解】（1）①∵∴，∵为的中点，∴，∵点的运动速度为每秒个单位∴，得：.②∵轴，，可知轴，根据点的运动速度与，可知，∴∵为的中点，∴为的中位线，∴∴∴四边形是平行四边形.（2）要使以点为顶点的四边形是矩形，则点在射线上，如下图所示：∵∴∵，∴即∴（3）由题意可分情况讨论：当点D在线段AB上运动时，如下图所示：∵∴∵四边形为平行四边形∴∴，∵∴∴点的坐标为当点在的延长线上，四边形ECFM不可能为平行四边形所以综上所述：点的坐标为【点睛】本题考查了平面直角坐标系里的动点问题，结合特殊四边形，熟知和掌握坐标与线段的转化和矩形平行四边形的性质是解题关键.23．(1)∠PAG＝45°；(2)点P的坐标为(3，33)；(3)点M的坐标为(0，﹣3)或3 3).【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定定理HL可证出Rt△AOG≌Rt△ADG、Rt△ABP≌Rt△ADP，根据全等三角形的性质可得出∠1＝∠DAG、∠BAP＝∠DAP，由∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP ＝90°，可求出∠P AG＝∠DAG+∠DAP＝45°；（2）由Rt△AOG≌Rt△ADG可得出∠AGO＝∠AGD，结合等角的余角相等可得出∠AGO ＝∠AGD＝∠PGC，由∠AGO+∠AGD+∠PGC＝180°，可得出∠AGO＝∠AGD＝∠PGC ＝60°、∠1＝∠2＝30°，再通过解含30度角的直角三角形即可求出点P的坐标；（3）延长GE交y轴于点M1及延长GP与AB的延长线交于点M2，通过全等三角形的性质及等边三角形的性质可得出点M1及点M2为所求的点，再结合点A、点G的坐标即可求出点M的坐标．【详解】解：(1)在Rt△AOG和Rt△ADG中，AO AD AG AG=⎧⎨=⎩，∴Rt△AOG≌Rt△ADG(HL)，∴∠1＝∠DAG．同理，可证Rt △ABP ≌Rt △ADP ，∴∠BAP ＝∠DAP ．∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP ＝90°，∴2∠DAG+2∠DAP ＝90°，∴∠PAG ＝∠DAG+∠DAP ＝45°．(2)∵Rt △AOG ≌Rt △ADG ，∴∠AGO ＝∠AGD ．∵∠1+∠AGO ＝90°，∠2+∠PGC ＝90°，∠1＝∠2，∴∠AGO ＝∠AGD ＝∠PGC ．又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC ＝180°，∴∠AGO ＝∠AGD ＝∠PGC ＝60°，∴∠1＝∠2＝30°．在Rt △AOG 中，AO ＝3，AG ＝2OG ，AG 2＝AO 2+OG 2，∴OG，∴CG ＝3在Rt △PCG 中，PG ＝2CG ＝2(3，CG ＝3∴PC﹣3，∴点P 的坐标为(3，3)．(3)存在两个M 点，如图所示．①延长GE 交y 轴于点M 1，∵∠AGO ＝∠PGC ，∠PGC ＝∠M 1GO ，∴∠AGO ＝∠M 1GO ．在△AOG 和△M 1OG 中，1190AOG M OG OG OG AGO M GO ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴AG ＝M 1G ，∴△AGM 1为等腰三角形．∵A(0，3)，∴点M 1的坐标为(0，﹣3)；②延长GP与AB的延长线交于点M2，作GF⊥AB于点F．∵∠M2AG＝∠AGM2＝60°，∴△AGM2为等边三角形，∴GF垂直平分线AM2．∵A(0，3)，G(3，0)，∴AF＝M2F＝3，∴点M2的坐标为(23，3)．综上所述：点M的坐标为(0，﹣3)或(23，3)．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、余角、解含30度角的直角三角形、等腰三角形的判定以及等边三角形判定与性质，解题的关键是：（1）通过证全等，找出∠1＝∠DAG、∠BAP＝∠DAP；（2）通过解含30度角的直角三角形求出OG、PC的长度；（3）利用等腰三角形的性质确定点M的位置．24．（1）当t=7s时，四边形ABQP为矩形；（2）当t=6时，四边形PQCD为平行四边形．【解析】【分析】（1）四边形ABQP为矩形,则AP=BQ,所以AP=BC-QC即t=21–2t，求解即可；（2）在梯形ABCD中, AD∥BC，要使四边形PQCD为平行四边形,即PD=QC,因为PD=AD-AP=18-t,QC=2t,所以18-t=2t,求解即可.【详解】（1）由题意知AP=t，CQ=2t，所以BQ=21–2t，∴AP∥BQ，又∵∠B=90°，∴要使四边形ABQP为矩形，只需满足AP=BQ，即：t=21–2t，解得t=7，∴当t=7s时，四边形ABQP为矩形；（2）由题意知：AP=t，QC=2t，PD=18–t，当PD=QC时，四边形PQCD为平形四边形，即18–t=2t，∴t=6，∴当t=6时，四边形PQCD为平行四边形．【点睛】本题考查了动点问题的综合应用,平行四边形和矩形的判定,中等难度,熟练掌握动点问题的分析方法,建立方程之间的等量关系是解题关键.25．5cm.【解析】【分析】取AB中点N，连接DN，MN．根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质证明∠NDB=∠B，根据三角形的中位线定理和平行线的性质证明∠NMB=∠C，结合三角形的外角的性质和已知条件可得∠DNM=∠C=∠NMD，从而发现DM=DN．【详解】取AB中点N，连接DN，MN．在Rt△ADB中，N是斜边AB上的中点，∴DN=12AB=BN，∴∠NDB=∠B，在△ABC中，M，N分别是BC，AB的中点，∴∠NMB=∠C，又∠NDB是△NDM的外角，∴∠NDB=∠NMD+∠DNM，即∠B=∠NMD+∠DNM=∠C+∠DNM，又∠B=2∠C，∴∠DNM=∠C=∠NMD，∴DM=DN，又AB=10cm，∴DM=5cm．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、平行线的性质和三角形的外角的性质，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 26．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）以AB、BC为边作菱形得到如图①的菱形ABCD；以AB为边，BC为对角线作菱形得到如图②的菱形ABDC；以AB为对角线、BC为边作菱形得到如图③的菱形ACBD；（2）分别进行三个菱形的面积可判断菱形ACBD的面积最小．【详解】解:（1）如图①②③；（2）图①中，菱形ABCD的面积＝5×4＝20，图②中，BC＝6，AD＝8，菱形ABDC的面积＝×6×8＝24，图③中，作AH⊥BC于H，设菱形的边长为x，在Rt△ABH中，AH＝4，AB＝5，则BH＝3，所以CH＝x﹣3，在Rt△ACH中，42+（x﹣3）2＝x2，解得x＝菱形ACBD的面积＝，所以面积最小的菱形为ACBD．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质．27．（1）证明见解析；（2）CF=BC+CD；（3）OC=.【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形与正方形的性质，通过“边角边”证明△BAD≌△CAF，则BD=CF；（2）同理（1）通过“边角边”证明△BAD≌△CAF，则BD=CF，可得CF=BC+CD；（3）同上通过“边角边”证明△BAD≌△CAF，得到∠ACF=∠ABD=∠BAC+∠BCA，则∠DCF=90°，在Rt△DCF中OC是斜边上的中线，则OC=DF，然后根据正方形的边长求得其对角线的长即可得到答案.【详解】解：（1）∵四边形ADEF是正方形，∴∠DAF=90°，AD=AF，∵∠BAC = 90︒，∴∠BAD+∠CAD=90°，∠CAF+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠CAF，又∵AB=C，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD=CF；（2）∵四边形ADEF是正方形，∴∠DAF=90°，AD=AF，∵∠BAC = 90︒，∴∠BAD=∠CAD+90°，∠CAF=∠CAD+90°，∴∠BAD=∠CAF，又∵AB=AC，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD=CF=BC+CD；（3）同理（1）易证△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ABD=∠ACF，∵∠ABD=∠BAC+∠BCA，∠ACF=∠BCA+∠BCF，∴∠BCF=∠BCA=90°，则在Rt△DCF中，∵DO=FO，∴OC=DF，∵正方形ADEF的边长为2，∴DF=2，则OC=.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形中斜边上的中线等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.28．（1）6；（2）①②存在，t=2或t=6.【解析】【分析】（1）根据含30°角的直角三角形性质可得AB的长，利用勾股定理即可求出AC的长；（2）①根据平行四边形的性质可得AD//PE，AD=PE，根据折叠性质可得PE=AP，即可得AP=AD，由D为AB中点可得AD的长，即可得AP的长，进而可求出t的值；②分两种情况讨论：当BD为边时，设DE与PC相交于O，根据三角形内角和可得∠B=60°，根据平行四边形的性质可得CE=BD，CE//BD，BC//DE，可得∠ECP=∠A=30°，∠CED=∠ADE=∠B=60°，根据折叠性质可得∠ADP=∠EDP=30°，AP=PE，即可证明∠ADP=∠A，可得AP=PD=PE，可得∠PED=∠PDE=30°，即可得∠PEC=90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得PC=2PE，利用勾股定理列方程可求出PE的长，即可得AP的长；当BD为对角线时，可证明平行四边形BCDE是菱形，根据菱形的性质可得∠DCE=30°，可证明DE=AD，∠ADC=∠CDE=120°，利用SAS可证明△ACD≌△ECD，可得AC=CE，根据翻折的性质可证明点P与点C重合，根据AC的长即可求出t值，综上即可得答案.【详解】（1）∵∠C=90°，∠A=30°，BC=∴，∴故答案为： 6（2）①如图，∵D为AB中点，∴AD=BD=12 AB，∵BC=12 AB，∴AD=BD=BC=∵ADEP是平行四边形，∴AD//PE，AD=PE，∵△APD沿PD翻折得到△EPD，∴AP=PE，∴AP=AD=23，∵P点从A点出发，沿AC以每秒一单位长度的速度向C运动，∴t=23.故答案为：23②存在，理由如下：i如图，当BD为边时，设DE与PC相交于O，∵∠A=30°，∠ACB=90°，∴∠B=60°，∵四边形DBCE是平行四边形，∴CE=BD，CE//BD，DE//BC，∴∠ECP=∠A=30°，∠CED=∠ADE=∠B=60°，∵△APD沿PD翻折得到△EPD，∴∠ADP=∠EDP=30°，AP=PE，∴∠PAD=∠PDA=30°，∴AP=PD=PE，∴∠PED=∠PDE=30°，∴∠PEC=∠PED+∠DEC=90°，∵∠ECP=30°，∴PC=2PE，∴PC2=PE2+EC2，即4PE2=PE2+(232解得：PE=2或PE=-2（舍去），∵P点从A点出发，沿AC以每秒一单位长度的速度向C运动，∴t=2.ii当BD为对角线时，∵BC=BD=AD，∠B=60°，∴△BCD都是等边三角形，∴∠ACD=30°，∵四边形DBCE是平行四边形，∴平行四边形BCDE为菱形，∴DE=AD，∠ADC=∠CDE=120°，又∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD，∴AC=CE，∴△ECD是△ACD沿CD翻折得到，∵△APD沿PD翻折得到△EPD，∴点P与点C重合，∴AP=AC=6.∵P点从A点出发，沿AC以每秒一单位长度的速度向C运动，∴t=6.故当t=2或t=6时，以B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形. 【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质及平行四边形的性质，在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半；熟练掌握相关性质是解题关键.。

特殊的平行四边形中的最值模型-瓜豆模型(原理)动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。

掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。

本专题就最值模型中的瓜豆原理(动点轨迹为直线型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。

动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，故只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。

主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。

模型：运动轨迹为直线型1)如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．2)如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。

理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。

【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

1)当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；2)当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定：①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。

初二下册数学知识点：特殊的平行四边形知识
点
人生的道路很长，但关键的却往往只有几步，而初中就是这关键几步中的第一步，查字典数学网为大家准备了特殊的平行四边形知识点，欢迎阅读与选择!1、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。

例
1、1、在同一平面内两条直线的位置关系为(相交)和(平行)。

2、两条直线相交成直角时，就说这两条直线互相垂直，其…平行四边形矩形菱形正方形梯形等腰梯形图形两组对边分别平行的四边形。

定义用“ ”表示平行四边形，例如： ABCD，平行四边形 ABCD 记作有一个角是直角的平有一组邻边相等的平行四边形是菱形有一组邻边相等且…第十八章平行四边形的认识知识点回顾：平行四边形、特殊平行四边形的特征以及彼此之间的关系 1. 矩形是特殊的平行四边形，矩形的四个内角都是_____。

矩形的对角线___ 2.菱形是特殊的平行四边形，菱形是四条边都__，它的两条对角线__每条对角线平…特殊的平行四边形和一元二次方程的知识点归纳
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初二数学期中复习（二）几种特殊平行四边形、梯形华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：期中复习（二）几种特殊平行四边形、梯形、一元一次不等式（组）［教学目标］1. 认识几种特殊四边形，掌握图形的特征及识别方法，并能利用图形特征及识别方法解决简单的推理与计算问题，进一步学会推理与数学说理。

2. 认识不等式（组），理解不等式性质；掌握一元一次不等式（组）解法；探索一元一次不等式（组）在实际问题中应用。

二. 重点、难点：1. 教学重点：（1）几种特殊四边形的特征和识别方法。

（2）不等式性质及解一元一次不等式（组）。

2. 教学难点：（1）平行四边形与特殊平行四边形之间的区别联系。

（2）探索一元一次不等式（组）在实际问题中应用。

［知识网络及要点总结］1. 四边形四边形平行四边形矩形菱形正方形梯形等腰梯形直角梯形两组对边分别平行有一直角邻边相等邻边相等有一直角只有一组对边平行两腰相等一腰垂直于底−→−−−−−−⎫⎬⎪⎭⎪−→−−−−−−−→−−−−→−−−−−⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪−→−−−−−→−−−−−→−−−−−→−−−−⎧⎨⎪⎩⎪平行四边形四边形菱形矩形正方形梯形等腰梯形直角梯形2. 不等式（组）概念 一元一次不等式（组）实际问题 不等式 性质 不等式（组）的解集解法 解一元一次不等式解一元一次不等式（组）解集在数 轴上表示 分析、抽象（不等关系）基本性质不等式的三条基本性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号不变。

（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

规律与方法当ABCD为菱形时，EFGH为________________；当ABCD为正方形时，EFGH为________________；当EFGH是矩形时，ABCD为________________；当EFGH是菱形时，ABCD为________________；当EFGH是正方形时，ABCD为________________。

初二数学特殊的平行四边形知识点的归纳初二数学特殊的平行四边形知识点的归纳【菱形】1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2.菱形的性质：(1)菱形的性质有：①平行四边形的一切性质;②四条边都相等;③对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角;④菱形是对称轴图形，它有2条对称轴，分别为它的两条对角线所在的直线。

(2)菱形面积=底×高=对角线乘积的一半。

3.菱形的判定：(1)用定义判定(即一组邻边相等的平行四边形是菱形)。

(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

(3)四条边都相等的四边形是菱形。

综上可知，判定菱形时常用的思路：四条边都相等菱形菱形四边形平行四边形有一组邻边相等菱形【矩形】1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2.矩形的性质：(1)具有平行四边形的一切性质;(2)矩形的'四个角都是直角;(3)矩形的四个角都相等。

4.矩形的判定方法：(1)用定义判定(即有一个角是直角的平行四边形是矩形);(2)三个角都是直角的四边形是矩形;(3)对角线相等的平行四边形是矩形。

综上可知，判定矩形时常用的思路：【正方形】1.正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2.正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

(1)边：四条边相等，邻边垂直且相等，对边平行且相等。

1(2)角：四个角都是直角。

(3)对角线：对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

3.正方形的判定(1)根据定义判定;(2)对角线相等的菱形是正方形;(2)有一个角是直角的菱形是正方形;(3)有一组邻边相等的矩形是正方形;(4)对角线互相垂直的矩形是正方形。

4.特殊的平行四边形之间的关系矩形、菱形是特殊的平行四边形，正方形是更特殊的平行四边形，它既是矩形，又是菱形，它们之间的关系如图所示：5.依次连接四边形各边中点所得到的四边形的形状：(1)依次连接任意四边形各边中点所得到的四边形是平行变形;(2)依次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是菱形;(3)依次连接对角线垂直的四边形各边中点所得到的四边形是矩形;(4)依次连接对角线垂直且相等的四边形各边中点所得到的四边形是正方形;。

特殊的平行四边形1．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别____的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．2．平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD 是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB=DC，AD=BC∴四边行ABCD 是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA=OC，OB=OD∴四边行ABCD 是平行四边形．3．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相_____且_____的四边形是矩形”）（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．4．矩形的性质（1）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是____；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线____；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（2）由矩形的性质，可以得到直角三角线的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的___．5．菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（平行四边形 + 一组邻边相等=菱形）①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有__条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度）6．菱形的判定（1）四条边都_____的四边形是菱形．几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形7．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是_____；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．8．正方形的判定正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．（1）性质：①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的_____的直线；②等腰梯形同一底上的两个角相等；③等腰梯形的两条对角线相等．（2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质．10．等腰梯形的判定（1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；（2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．（3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形．判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系．注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用．教学重点：能用综合法来证明特殊的平行四边形的相关结论；教学难点：运用特殊的平行四边形的性质定理和判定定理解决计算问题；1.菱形的性质；平行四边形的性质．【例1】菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直练1.如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠BCO=55°，则∠ADO=°．练2.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是（）A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形2.菱形的性质；坐标与图形性质．【例2】如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为．练3.菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．3. 矩形的性质；菱形的判定．【例3】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点，连接AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是（）A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．无法确定练4.下列说法中，正确的是（）A．同位角相等B．对角线相等的四边形是平行四边形C．四条边相等的四边形是菱形D．矩形的对角线一定互相垂直练5.如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE 交于G，DF与CE交于H．求证：四边形EGFH为菱形．4．正方形的判定；矩形的性质．【例4】（2014•山东淄博一中期末）如图所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个大的正方形，他判定的方法是．练6.下列说法中，错误的是（）A．菱形的四条边都相等B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C．四个角都相等的四边形是矩形D．等腰梯形的对角线相等5．直角梯形；平行四边形的性质；等腰梯形的性质．【例5】如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A 点开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），t分别为何值时，四边形PQCD是平行四边形？等腰梯形？练7．已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P是腰DC上的一个动点（P与D、C不重合），点E、F、G分别是线段BC、PC、BP的中点．（1）试探索四边形EFPG的形状，并说明理由；（2）若∠A=120°，AD=2，DC=4，当PC为何值时，四边形EFPG是矩形并加以证明．1、下列命题中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C. 两条对角线相等的平行四边形是矩形 D.两边相等的平行四边形是菱形2、关于下列结论，正确的是_______________________。