巧用对称求最大(小)值论文
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巧用对称性妙解一类最值题
赵威
【期刊名称】《《数学学习与研究:教研版》》
【年(卷),期】2013(000)005
【摘要】数学复习课看似容易,其实很难上,本文通过一种思想方法在多个知识点上的运用,把相关的知识、解决问题的具体思路与方法等串联在一起,结果发现初中数学复习课的高效性有赖于变式教学,将相关知识有机整合,会使学生感悟到其知识应用的广泛性,引起学生与教师共鸣.
【总页数】2页(P87-87)
【作者】赵威
【作者单位】江苏省睢宁县李集初级中学
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
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利用对称性求最小值的问题作者:张义来源:《中国校外教育·基教版》2009年第01期[关键词]对称性最小值数学数学来源于生活,又服务于生活,利用对称性求最小值是数学服务于生活的重要体现,也是各地中考的一个热点。
课本中有这样的习题:如图所示,要在高压输电线的旁边修一个小型变电站(C点),该变电站建在输电线(L)旁边的什么地方,才能使变电站到A村(A点)和B村(B点)架设的电线线路最短?一、阅读理解作法:作A点关于直线L的对称点A′,连结A’B交直线L于C,则点C就是所求作的点(即变电站的位置)。
这是为什么呢?说明:我们知道,A、A’关于直线L对称,所以A’C=AC,所以AC+CB=A’C+CB=A’B为了比较大小,我们不妨在L上任取一点C’,这时同样有AC’=A’C’,所以,AC’+C’B=A’C’+C’B,而A’C’+C’B>A’B,(两点之间线段最短)即A’C’+C’B>AC+CB由此可知:只有一点C,使AC+CB最小,所以,C点即为变电站的位置。
二、解决问题上述问题的解决为我们提供了一条解题的线索和思路,触类旁通,由此我们总结并产生了一系列问题的解题思路,即如遇图形本身有对称性,而恰又是求两线段之和的最小值时可思考采用上述方法。
1.在四边形中的应用例:已知如图正方形ABCD,边长为8,P为DC上一点,且DP=2,Q为AC上一动点,求QD +QP的最小值。
解析:因为AC是正方形ABCD的对称轴,所以B,D两点关于直线AC对称,因为Q在对称轴AC上,所以,总有BQ=DQ。
所以,DQ+QP的最小值即为QB+QP的最小值,而BQ+QP最小值即为BP的长,而根据勾股定理得BP=。
所以,QD+QP的最小值为10。
2.在二次函数中的应用例:已知抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点。
(1)求该抛物线的解析式。
(2)设抛物线交y轴于C点,在该抛物线对称轴上是否存在点Q使得△AQC的周长最小?若存在求出Q的坐标,若不存在,请说明理由。
对称方法求最值在数学问题中,求解最值是常见的一类问题。
对称方法是一种利用几何图形的对称性来求解最值的有效手段。
本文将详细阐述如何使用对称方法求解最值。
**对称方法求最值**对称方法是一种基于几何图形的对称性质来求解最值的方法。
在几何问题中,尤其是平面几何问题,通过观察图形的对称性,我们可以找到最值点的位置,进而求解出最值。
### 基本原理对称方法的核心在于“对称轴”或“对称中心”。
对于一个几何问题,如果存在对称轴或对称中心,那么问题的最值往往出现在对称轴或对称中心上。
### 求解步骤1.**确定对称轴或对称中心**:观察题目给出的几何图形,确定是否存在对称轴或对称中心。
2.**分析问题**:根据问题的具体要求,分析什么是最值点,例如最大值点或最小值点。
3.**应用对称性**:利用对称性,确定最值点的位置。
通常,最值点会出现在对称轴或对称中心上。
4.**建立方程**:根据问题的具体条件,建立方程或方程组,求解最值点。
5.**计算最值**:将最值点的坐标代入目标函数,计算出最大值或最小值。
### 实例应用#### 例题:在平面直角坐标系中,求点A(1,2)到直线y=3x+1的距离的最小值。
**解**:1.确定对称轴:直线y=3x+1的斜率为3,故垂直于该直线的直线的斜率为-1/3,即垂直线为对称轴。
2.分析问题:要求点A到直线的距离的最小值,此最值出现在点A关于直线y=3x+1的对称点上。
3.应用对称性:点A关于直线y=3x+1的对称点B,其坐标可以通过求解点A到直线的垂线方程与直线y=3x+1的交点得到。
4.建立方程:根据点斜式,垂线方程为y-2=-(1/3)(x-1)。
5.解方程:将垂线方程代入直线方程y=3x+1,解得交点坐标。
6.计算最值:通过求解得到的对称点B的坐标,计算点A到直线y=3x+1的距离,即为所求的最小值。
通过以上步骤,我们可以求解出该问题的答案。
**注意**:实际应用中,问题可能会更加复杂,需要结合具体问题具体分析。
利用对称思想巧解多元函数最值
房晓南;富春江;洪恩锋
【期刊名称】《中学数学研究(华南师范大学):上半月》
【年(卷),期】2016(0)5
【摘要】我们常说数学是种对称的美,谈到“对称”容易联想到的是轴对称,中心对称,对称式等.而对称的美,不仅是外在的视觉感受,更是一种内在的智慧,是处理数学问题的一种指导思想,是对客观世界的一种合理性解释.
【总页数】3页(P44-46)
【关键词】对称思想;函数最值;巧解;利用;合理性解释;“对称”;中心对称;视觉感受【作者】房晓南;富春江;洪恩锋
【作者单位】辽宁省抚顺市第一中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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1.用多元函数最值问题解法探讨“巧用对称求最值” [J], 熊福州
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坐标对称及最值问题是数学中的常见问题,常常出现在函数、几何、三角函数等领域。
这类问题需要运用对称思想,以及寻找最值的方法。
下面列举了5种常见的题型及相应的解法。
题型一:函数的最值对于函数f(x),其最值可能出现在最小值(f(x)min)和最大值(f(x)max)上。
对于这类问题,我们通常需要观察函数的对称性,例如,如果函数是关于原点对称的,那么最小值和最大值可能在左右两侧取得。
解法上,我们通常需要利用导数或其他方法来找到函数的极值点,从而确定最值。
题型二:两点之间的距离在两点之间的距离问题中,如果两个点关于某个轴对称,那么它们之间的距离可以通过简单的轴对称距离公式来计算。
解法上,我们通常需要利用轴对称距离公式,以及两点之间的距离公式来求解。
题型三:圆的半径的最值在圆的半径的最值问题中,如果圆关于某条直线对称,那么我们需要找到圆的半径与对称轴的位置关系,从而确定圆的半径的最值。
解法上,我们通常需要利用圆的半径公式,以及对称轴的位置关系来求解。
题型四:三角形的重心坐标在三角形的重心坐标问题中,如果三个顶点关于某条直线对称,那么我们需要找到重心坐标与对称轴的关系,从而确定重心的坐标。
解法上,我们通常需要利用重心的几何性质,以及对称轴的位置关系来求解。
题型五:椭圆的离心率在椭圆的离心率问题中,如果焦点关于某轴对称,那么我们需要找到椭圆的离心率与对称轴的关系,从而确定椭圆的离心率。
解法上,我们通常需要利用椭圆的离心率公式,以及对称轴的位置关系来求解。
总的来说,坐标对称及最值问题的解法主要依赖于对称性和位置关系。
对于不同类型的题目,我们需要灵活运用这些方法来解决问题。
同时,对于不同类型的题目,也需要进行相应的变化和拓展,以适应更复杂的情况。
希望以上信息对您有所帮助。
如果您有任何具体问题或需要进一步的解释,请随时告诉我。
谈数学中的对称美与在解题中的应用吴恋,数学计算机科学学院摘要本文首先讨论了数和式中的对称美.其次运用对称思想来解决数学问题.在数学问题的解题过程中,巧妙地构造对称美,从整体上把握问题的实质,优化解题过程.先是就对称在微积分中的应用,列举了一些重要的结论及其在解题中的具体应用.再研究了几何图形中的对称美.然后讨论了数学中其它方面的对称美.特别是对称在记忆数学公式和数学方法中的应用.最后探讨了对称思想在数学教学中的应用,通过在数学教学中落实对称的数学美的思想方法,从而促进学生形成学习数学知识的良好的、积极的情感行为,更好地理解数学知识,提高学生解决数学问题的能力.关键词:对称;数学美;轮换对称性;积分区间;对称性原理;数学思想1引言1.1对称美对称性的感受逐惭成为一项美学准则,广泛应用于建筑、造型艺术、绘画以及工艺美术的装饰之中.你可以从许多中、外著名的建筑、艺术珍品中看到.天坛的建筑、天安门的建筑、颐和园长廊的建筑以及各种花瓶、古人饮酒的爵和各种花边等等是旋转对称、左右对称和平移对称的典型例子.这些对称美给人以匀称、均衡、连贯、流畅的感受,因而体现着一种娴静、稳重、庄严.在现实世界中,既有形态各异的自然对称,又有巧夺天工的人工对称,它们构成了一幅人与自然和谐的优美画卷.因此,对称是宇宙和自然界的基本属性,也是事物适应周围环境而生存发展和繁衍生息的自然规律,充分展现出事物协调环境、自我完善的、和谐的自然美.1.2数学中的对称美美,不仅存在于艺术、文学中,存在于大自然以及社会生活中,而且也存在于自然科学中,存在于数学之中.早在两千多年前,古代哲学家、数学家普洛克拉斯曾说过:“哪里有数,哪里就有美.”这就是说,数学中也充满了美的因素.作为一门科学,数学在其内容结构上和方法上都具有自身的某种美,即数学美.数学美的内容非常丰富,包括普适美、对称美、简洁美、比例美、和谐美、奇趣美等特性.其中对称性是数学美的重要特性之一,正如德国著名的数学家和物理学家魏尔所说的:“美和对称性紧密相连”.数学对称美是数学美的重要组成部分,它普遍存在于初等数学与高等数学的各个分支,在数学研究中有着重要的作用,一直是数学们长期追求的目标,有时甚至把它作为一种尺度,是数学创造与发现的美学方法之一.在数学中,不少的概念与运算,都是由人们对于“对称”问题的探讨派生出来的.数学中众多的轴对称,中心对称图形和等量关系都被赋予了平衡、协调的对称美.对于数学概念,也是一分为二地成对出现的:整-分,奇-偶,和-差,曲-直,方-圆,分解-组合,平行-交叉,正比例-反比例……,都显得那么的稳定、和谐、协调、平衡,如此地奇妙动人.2数和式的对称美2.1数的对称美在数学中,如果一个整数,它的各位数字是左右对称的,我们就称这个数是对称数.例如:1234321、123321等.对称数可以分为奇位对称数和偶位对称数.奇位对称数是指位数是奇数的对称数,奇位对称数位数最中间的那个数字称为对称轴数.偶位对称数是指位数是偶数的对称数,偶位对称数没有对称轴数.产生对称数的方法有很多种:(1) 形如11、111、1111、……的数的平方数是对称数.如:1×9+2=11 12×9+3=111 ...............123456789×9+10=1111111111(2)某些自然数与它的逆序数相加,得出的和再与和的逆序数相加,连续进行下去,也可得到对称数. 如:475475+574=1049 1049+9401=10450 10450+05401=15851 15851也是对称数.美的主要形式就是秩序,匀称和确定性,上面的几个式子就巧妙的体现了数和式中的对称美.可以看出,数学与美学是紧密相连,相辅相成的. 2.2式的对称美如果在代数式中,把任意的两个字母对换,代数式仍然保持不变,像这样的代数式就称为是对称代数式或对称式.如:223223,2,33x y z x xy y x x y xy y +++++++,互换式子中的,x y ,得到的式子仍然成立.在对称式中,字母是对称的,地位是平等的. 在二项式定理:00111222222110()n n n n k n k k n n n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b-------+=+++++++L L中,如果把当1,2,n n =L 的二项式展开式的系数列成如下:11 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 15 10 10 5 1 16 15 20 15 6 1 L L L L L L L L0n C 1n C 2n C 3n C L L L L nn C这就是著名的“杨辉三角”,它是宋朝数学家杨辉的杰作.杨辉三角是我国数学发展史上的一个成就,它反映的就是数学美的对称性.在代数学中,也存在着漂亮的对称式,如:初等对称多项式:112212131112n n n nn n x x x x x x x x x x x x x x σσσ-=+++⎧⎪=+++++⎪⎨⎪⎪=⎩L L L L L L L L L L L L L L , 它在解题中也有广泛的应用.其中在运用初等对称多项式解题时联系最紧密的就是根与系数的关系定理:对于n 次多项式11110()n n n n f x a x a x a x a --=++++L 的n 个根12,,,n x x x L 有如下关系:1122121311012(1)n n nn n n nn n n n a x x x a a x x x x x x x x a a x x x a ---⎧+++=-⎪⎪⎪+++++=⎪⎨⎪⎪⎪=-⎪⎩L L L L L L L L L L L L L L 由此定理可以非常简便的求出关于多项式根的对称多项式的值.例1.设1a ,2a ,3a 是方程0876523=-+-x x x 的三个根,计算:))()((233121233222222121a a a a a a a a a a a a ++++++(*)的值.解:令3211a a a ++=σ. 3132212a a a a a a ++=σ, 3213a a a =σ, 则 561=σ,572=σ,583=σ.再将(*)式化为初等对称多项式的多项式,得:))()((233121233222222121a a a a a a a a a a a a ++++++ =323312221σσσσσ--=-6251679. 由上面的例子可以看出,对称性在数学中是广泛存在的,数学与对称是紧密相连的.3对称美在数学中的应用3.1对称在数学解题中的应用解题是一门艺术,对称性是艺术的一个非常重要的要素,如果在解题的过程中注意到对称性,那么就可以减少一些繁琐的计算,化难为易,提高解题的效率,达到事半功倍的效果.微分与积分也是一对具有对称美的事物,而对称性的方法也是微积分计算中常用的方法.3.1.1对称在微分学中的一些结论与应用定理:(1)若(,)(,)u x y u y x =,则(,)(,)y x u x y u y x =;(2) 若(,)(,)u x y u y x =-,则(,)(,)y x u x y u y x =-.因此若求出x u ,则可直接写出y u ,xx u 与yy u 的关系,也是如此. 例2.设()xy u e x y =-,求出x u ,y u ,xx u ,yy u . 解:2()(1)xy xy xy x u e y x y e e xy y =-+=-+,223(1)(2)xy xy xy xx u e y xy y e y e xy y y =-++=-+.对称的有:2(1)xy y u e x xy =--,32(2)xy yy u e x x y x =--. 3.1.2对称在积分学中的一些结论和应用3.1.2.1在重积分计算中,经常利用多元函数的轮换对称性来解题.轮换对称性的定义:若积分区域或被积函数的表达式中,将其变量x,y,z 按下列次序:x →y;y →z;z →x 后,其表达式均不变,则称积分区域或被积函数关于变量x,y,z 具有轮换对称性. 定理1:(二重积分的坐标轮换对称性)如果区域D 的边界曲线方程是关于x,y 地位对称,(,)f x y 在D 上连续,则(,)(,)DDf x y dxdy f y x dxdy =⎰⎰⎰⎰定理2:(三重积分的坐标轮换对称性)如果有界闭区域Ω的边界曲面的方程关于x,y,z 地位对称,()f u 在Ω上连续,则()()()f x dxdydz f y dxdydz f z dxdydz ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.由此,可以推广到:定理3:(n 重积分的坐标轮换对称性)如果n 维有界闭区域V 的边界曲面的方程关于12,,,n x x x L 地位对称,()f u 在V 上连续,则112()nf x dx dx dx ⎰⎰⎰⎰L L =212()nf x dx dx dx ⎰⎰⎰⎰L L=12()nnf x dx dx dx =⎰⎰⎰⎰L LL例3.计算三重积分2()()f x dxdydz x y z dxdydz ΩΩ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰,其中Ω是0,0,0x a y a z a ≤≤≤≤≤≤所围成正方形(a 为一大于0的实数).解:2222()(222)I x y z dxdydz x y z xy xz yz dxdydzΩΩ=++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰中被积函数及积分区域都有轮换对称性.所以222x dxdydz y dxdydz z dxdydz ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰,xydxdydz xzdxdydz yzdxdydz ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰,故2(36)I x xy dxdydz Ω=+⎰⎰⎰265(36)2a a adz dy x xy dx a =+=⎰⎰⎰.3.1.2.2 利用积分区间的对称性和被积函数的奇偶性,可简化定积分的计算. 定理:设()f x 是[]b a ,上的连续函数,则通过变换x a b t =+-,可得:()baf x dx ⎰=()baf a b x dx +-⎰[]22()()a b af x f a b x dx +=++-⎰这就是积分区间的对称原理.特别地,当()()f x f a b x =+-时,有()ba f x dx ⎰22()ab af x dx +=⎰.例4.求积分2π⎰解:由于()f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有界,且只有可去间断点2x π=,故定积分存在.由积分区间对称原理可得:原积分201121()2dx x ππ⎡⎤⎢⎥=+⎥⎥+-⎣⎦⎰220011224dx dx πππ===⎰⎰. 若被积函数是非奇非偶时,通过适当的换元或拆项等方法也可转化为对称区间的积分问题.把积分区间的对称性原理推广到二元函数积分中,可以得到结论: 结论1:设D 关于y 轴对称,则(,)Df x y dxdy ⎰⎰12(,)(,)0(,)D f x y dxdy f x y x f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰若关于变量为偶函数若关于变量为奇函数’其中1D 是D 的右半部分:1{(,)|(,),0}D x y x y D x =∈≥且. 结论2:设D 关于x 轴对称,则(,)Df x y dxdy ⎰⎰12(,)(,)0(,)D f x y dxdy f x y y f x y y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰若关于变量为偶函数若关于变量为奇函数’ 其中1D 是D 的上半部分:1{(,)|(,),0}D x y x y D y =∈≥且.结论3:设D 关于x 轴和y 轴均对称,且(,)f x y 关于变量x 和变量y 均为偶函数,则1(,)4(,)DD f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰其中1D 是D 在第一象限的部分:1{(,)|(,),0,0}D x y x y D x y =∈≥≥且. 结论4:设D 关于原点对称,则(,)Df x y dxdy ⎰⎰122(,)2(,),(,)(,)0(,)(,)D D f x y dxdy f x y dxdy f x y f x y f x y f x y ⎧=--=⎪=⎨⎪--=-⎩⎰⎰⎰⎰如果如果 其中1{(,)|(,),0}D x y x y D x =∈≥且,2{(,)|(,),0}D x y x y D y =∈≥且. 结论5:设D 关于直线y=x 对称,则(,)(,)DDf x y dxdy f y x dxdy =⎰⎰⎰⎰特别地,当12(,)()()f x y f x f y =时,1212()()()()DDf x f y dxdy f y f x dxdy =⎰⎰⎰⎰.例5.计算二重积分2(751)DI x x y d σ=+++⎰⎰,其中22:1D x y +≤.解:D 关于x 轴和y 轴均对称,而75x y 和分别关于变量x 和y 为奇函数,故(75)0Dx y d σ+=⎰⎰,所以:22(1)D D DI x d x d d σσσ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰212005(cos )4d r rdr πθθππ=+=⎰⎰.同样地,将它应用到三重积分中.例6.计算三重积分()x z dxdydz Ω+⎰⎰⎰,其中Ω是由曲面z =z =所围成的区域.解:Ω关于坐标面x=0对称,且关于变量x 为奇函数,故0xdxdydz Ω=⎰⎰⎰.所以()x z dxdydz zdxdydz ΩΩ+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰21240cos *sin 8d d r r dr πππθϕϕϕ==⎰⎰⎰.例10.计算三重积分222222ln(1)1V z x y z dxdydz x y z ++++++⎰⎰⎰, 其中{}222(,,)|1V x y z x y z =++≤.解:积分区域V 是以原点O(0,0,0)为中心的单位球域,所以V 关于xoy 平面对称,被积函数222222ln(1)(,,)1z x y z f x y z x y z+++=+++是关于z 的奇函数, 故由对称性知222222ln(1)01Vz x y z dxdydz x y z +++=+++⎰⎰⎰. 由上可见,在解决微积分问题时,巧妙应用对称性的观点去解题,可以使运算过程更加的快捷、流畅,计算结果更加的精确. 3.2 对称在数学中的其他应用对称是形式美的显著特征,就数学而言,不仅让枯燥抽象的数学公式变得容易记忆,而且也是数学命题证明必不可少的一种方法. 3.2.1利用对称性记忆公式在数学分析中,斯托克斯公式有一种形式表示法:sin sin sin c s Pdx Qdy Rdz ds x yz PQR αβγδδδδδδ⎛⎫⎪ ⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰Ñ 其中P,Q,和R 为连续可微函数,S 为逐片光滑的有界双侧曲面,C 为包围S 的逐段光滑的简单闭曲线,(sin ,sin ,sin )αβγ为曲面S 在点(,,)x y z 处的单位法向量,方向为逆时针,这个公式的右边是用第一型曲面积分表示的,被积函数是一个三阶行列式.若取xy 平面上的平面区域D 作曲面S,并取上侧,则斯托克斯公式右侧的三阶行列式为001x y x yz P Q PQR δδδδδδδδδδ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是斯式公式就变成了格林公式,由此可见,格林公式是斯式公式的特例. 类似地,奥式公式可表示为(sin ,sin ,sin )(,,)(,,)(,,)SVP Q R ds P Q R dv x y zδδδαβγδδδ=⎰⎰⎰⎰⎰g g 其中S 是包围V 的逐片光滑曲面,P,Q,R 在S+V 上是连续可微的,(sin ,sin ,sin )αβγ为曲面S 上点(,,)x y z 处的单位法向量.不难看出,斯式公式和奥式公式都是由三个矢量(P,Q,R),(sin ,sin ,sin )αβγ,及(,,)x y zδδδδδδ所决定的. 上述一些形式上的对称性,是数学分析中追求对称形式美的有利证据.一些望而生怯的公式由于有了对称美,变得非常容易记忆了. 3.2.2数列解题中的的对称思想在数列解题中,存在着大量的对称思想,无论是等差数列还是等比数列,都含有丰富的对称之美.我们知道:只要m n p q +=+,其中,,,m n p q N ∈,就有 (ⅰ)m n p q a a a a +=+(等差数列)(ⅱ)m n p qa a a a =(等比数列)利用这个数量关系来处理有关数列问题,常常能化繁为简. 例11.(1)已知{}n a 为等差数列,且23101148a a a a +++=,求67?a a +=(2)已知{}n a 为等比数列,2435460,225n a a a a a a a >++=,求35?a a +=解:(1)∵21131067()()482()a a a a a a +++==+,∴6724a a +=(2)∵2224333465,a a a a a a a a ===,∴223355225a a a a ++= ∵20a >,∴355a a +=例12.在等差数列中,69121520a a a a +++=,求20S .解:∵691215651202()2()a a a a a a a a +++=+=+∴201202()20S a a =+=由此可以看出,如果在等差数列中,由条件不能具体的求出1a 和d ,但可以求出1a 和d 的组合式,而所求的量往往可以用这个组合式来表示,那么就用“整体代值”的方法将值求出,同样的方法也可以用在等比数列中.3.3 对称美与数学教学人们常说:“成功的教学给人以一种美的享受”.而长期以来,在数学教学中,人们总是重视基础知识和基本技能的传授与训练,而忽视了美育的渗透,不善于发现数学本身所特有的美,不注意用数学美来感染诱发学生的求知欲望,激发他们的学习兴趣,不重视引导学生发现数学美,鉴赏数学美,以致使一些学生感到数学抽象枯燥,失去学好的信心.心理学研究表明:没有丝毫兴趣的强制性学习,将会扼杀学生探求真理的欲望.因此,只有学生热爱数学,才能产生积极而又持久的求学劲头.我国数学家徐利治认为:“数学教学的目的之一是使学生获得对数学的审美能力,即能增进学生对数学美的主观感受能力.”数学的教学过程不仅仅是学生个体的认识过程和发展过程,而且也是在教师指导下的一种特殊审美过程.因此在教学过程中,应当把数学美的内容通过教学过程的设计向学生揭示出来,从而使学生认识到数学的内容是美的,并且充分运用数学美的诱发力引起学生浓厚的学习兴趣、强烈的求知欲望,使抽象、高深的数学知识得以形象化、趣味化,使学生从心理上愿意接近它、接受它,直到最终热爱它.对称美是数学中最普遍的一种美.图形的对称、式子的对称和解题方法的对称等,都能给人以匀称的美感,用对称的观点去处理数学问题,往往可以从问题的一部分联想起与此对称的另一部分,从而采取补全的方法,使之构成一种整体的对称美,使问题化繁为简,化难为易.在数学教学过程中,充分发掘教材中的对称式的美,运算中的对称美、函数中的对称美、几何图形中的对称美,激发学生对数学美的体验,使学生从数学的显性美提高到对数学隐性美的认识,从感性认识上升到理性认识,使学生对所学的知识更易于接受,便于理解,培养学生爱好数学、认识数学美的兴趣.在数学问题的求解过程中,充分运用对称的数学美的思想方法,可以使学生感受到对称美,增强求知欲,使数学问题的解决更加简捷明快,从而提高了学生的直觉思维能力和形象思维能力,开拓解题新思路,进而提高了学生解决问题的能力和对数学思想方法的领悟,使学生由此而产生学习数学的兴趣.在数学解题过程中,若能积极挖掘问题中隐含的对称性,巧妙地利用对称性,可使复杂的问题变得条理清楚,脉络分明,能化难为易、化繁为简.例如对于数列中的若干项的和或积的问题,如果能对其结构进行对称性的分析,将数学的对称美与题目的条件或结论相结合,就能构建一组互相关联的对偶式,从而确定解题的总体思路或入手方向.其实质是让美的启示、美的追求在解题过程中成为宏观指导力量,使问题的解决过程更加简洁明快.数学中蕴涵着丰富的美,除了对称美以外,还有很多.把数学美的和谐对称、简单统一等特征融贯在教学的整个过程中,可以发展学生思维的灵活性、发散性、深刻性、独创性等诸方面的能力就得到培养和提高.使学生在美的享受中,获得知识,理解知识,掌握知识.结术语数学并不等于美学,但是数学中却真实地蕴藏着丰富的美学内涵,而对数学内在美的追寻探索,又会使人们更迅速、更确切的洞悉数学的真谛.对称美是数学美的重要特征之一,对称美是一个广阔的主题,数学则是它根本.我们应该更深刻地掌握我们的所学专业知识,积极地去理解数学,学好数学,这样才能更好的走向工作岗位,取得成功.参考文献:[1]钱双平.对称性在高等数学解题中的应用---数学美学方法的应用,云南电大学报,2004,6(2):62-63.[2]马锐.数学中的对称美,昆明冶金高等专科学校学报,2004,20(2):35.[3]周齐明.在数学教学中应加强数学美的教育,六安师专学报,1999,15(4).[4]杨琴,杨联华.探求高等数学中的对称美,景德镇高专学报,2005,20(4).[5]陈自高.数学中的对称美与应用,中国科技信息,2006,(5).[6]胡本荣.从对称性看数学中的美学,达县师范高等专科学校学报,2004,14(2).[7]钱双平.对称性在高等数学解题中的应用,2004,6(2).[8]窦丹.“对称思想”对学生数学能力的培养和作用:[硕士学位论文],东北师范大学,2005.[9]赵博.数学美与中学数学教学:[硕士学位论文],武汉:华中师范大学,2004.。
专题:利用轴对称求最大(小)值
1、已知点A 在直线l 外,点P 为直线l 上的一个动点。
问是否存在一个定点B ,当点P 在l 上运动时,点P 与B A ,两点的距离总是相等?若存在,请作出点P ;若不存在,请说明理由。
答:
作法:
理由:
2、如图,N M ,为△ABC 的边AC AB ,上两点,在BC 边上求作一点P ,使得△PMN 的周长最小
作法:
3、如图,B A ,两点在直线l 同侧,请在l 上作Q P ,两点,且a MN ,M 在N 的左侧,使得四边形ABMN 的周长最短
作法:
4、B A ,两点在直线l 的异侧,在l 上求作一点P ,使得||BP AP -最大
作法:
5、如图,点M 在∠AOB 的内部,在OB 边上求作一点P ,使得P 到点M 的距离与P 到OA 边的距离和最小
作法:
6、如图1,正方形ABCD 中,8=AB ,M 是DC 上的一点,且2=DM ,N 是AC 上一动点,请在图2和图3中作出MN DN +分别取得最小值与最大值时点N 的位置。
用“对称法”求解一类图形面积的最大值
甘志国
【期刊名称】《数学教学》
【年(卷),期】2014(000)008
【摘要】题1(北师大版小学数学(第11册)第102页第13题)张伯伯要用
20米的篱笆,靠着自家的一面院墙围出一块菜地.你认为围成什么形状的菜地面积最大?面积是多少平方米?(得数保留两位小数)解答本题要用等周定理:在所有定长的封闭曲线中,圆包围的面积最大.
【总页数】3页(P23-24,5)
【作者】甘志国
【作者单位】北京丰台二中 100071
【正文语种】中文
【中图分类】O123.1
【相关文献】
1.正方体在平面上正投影图形面积的最大值及推广 [J], 刘锐
2.一类求解形如|Am+Bn|+|Cm+Dn|最大值的转化策略 [J], 李俊
3.在问题中引领在变式中提升——谈“图形面积的最大值”课堂教学策略达成 [J], 章礼满
4.二次函数在图形面积最大值中的应用 [J], 谢闪珠
5.在问题中引领在变式中提升
——谈"图形面积的最大值"课堂教学策略达成 [J], 章礼满
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对称思想数学论文2200字_对称思想数学毕业论文范文模板对称思想数学论文2200字(一):例谈高中数学排列组合解题中的对称思想论文摘要:许多数学问题所涉及的对象具有对称性,不仅包括数的对称、图形的对称等,对称更是一种思想方法。
探究问题的深层次结构及其解法的深层次原理,让方法得到思维策略层面的升华。
关键词:排列组合;深层次结构;原理;对称思想现实生活中许多事物都具有某些对称性,对称给人们以和谐、平衡的美感。
数学来源于生活,许多数学问题中涉及的对象都具有对称性,不仅包括数的对称、图形的对称等。
对称不仅是一个数学概念,更是一种思想方法。
本文结合具体实例,和大家一起探讨高中数学排列组合问题中怎样发现或挖掘问题中的对称特征,怎样利用对称思想使解题方法简洁明快,以达到拓展学生的解题思路,培养学生的思维能力。
例1:将4个相同的红球和4个相同的黑球排成一排,然后从左至右依次给它们赋以编号l,2,…,8.则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有_______种。
解析:注意到4个相同的红球没有区别,4个相同的黑球也没有区别,先求出任意排放的排法pagenumber_ebook=322,pagenumber_book=75=70,而其中会出现红球的编号之和与黑球编号之和相等的情况。
所有编码之和(1+2 +3+4+5+6+7+8)等于36,则红球的编号之和与黑球编号之和都等于18。
根据对称性(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),在1、2、3、4中选择2个数为红球编号有pagenumber_ebook=322,pagenumber_book=75 =6种,则在5、6、7、8中红球的编号也就确定。
解析:(1)4位回文数的特点为中间两位相同,千位和个位数字相同但不能为零,第一步,选千位和个位数字,共有9种选法;第二步,选中间两位数字,有10种选法;故4位回文数有9×10=90个,故答案为90;ABABBABA若A在1、2、3、4中选择了1、3,则利用对称性,在5、6、7、8中只能选择8、6与之对应;除了上述情形外,利用对称性红球的编号之和等于黑球编号之和还包括(1、4、6、7)与(2、3、5、8);因为红球的编号之和小于黑球编号之和的排法和大于的排法一样,则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有pagenumber_ebook=322,pagenumber _book=75=31种。
巧用对称求最大(小)值
“两点之间线段最短”在数学及现实生活中有着广泛的应用。
例如:要在河边修一个水泵站,分别向张村、李庄送水,问水泵站修在河边什么地方,可使铺设的水管最短?这个问题可以看作是在定直线的同侧有两定点、,要在定直线上找一点,使得最短的一个应用,解决这个问题的关键在于确定动点的位置。
如果能巧用轴对称变换,对直线同侧(或异侧)的两点转化为直线异(或同)侧的两点,根据“两点之间线段最短”就可以解决。
在各地的中考题中和现实生活中,类似于此种问题比比皆是,为了更好地解决好此类问题,笔者试通过以下几例与大家共同讨论动点的确定及最大(小)值的求法。
一、巧用轴对称作图变换线段位置
例1:如图1,在直角梯形abcd中,∠abc=90°,ad∥bc,ad =4,ab=5,bc=6,点p是ab上一个动点,当pc+pd的和最小时,pb的长为___________________。
(2010年扬州市中考题)
分析:解决这个问题首先要明确pc+pd的和何时最小,也就是关键确定动点的位置。
在、两定点中,如果作其中一点(这里不妨选)关于的对称点,根据轴对称性质,,要使的和最短,只需和最短,根据两点之间线段最短可知,只需、、在一直线上,连结、交于,动点的位置确定。
然后利用∽,求出的长为。
评注:巧用轴对称求两线段的和的最小值,就是要变换其中一条线段的位置,给利用“两点间距离最短”创造条件。
求路程最短问
题中,对直线同侧的两点往往运用轴对称的知识,转化为直线异侧来解决。
二、巧用点坐标关于坐标轴对称确定动点位置
例2:如图2,正比例函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于点,过点作轴的垂线,垂足为,已知的面积为1.(1)求反比例函数的解析式;(2)如果为反比例函数在第一象限图象上的点(点与点不重合),且点的横坐标为1,在轴上求一点,使最小。
(2010年济宁市中考题)
分析:根据题意,很容易求得双曲线的解析式是,得到a的坐标为(2,1),b的坐标为(1,2),它们同在轴的同侧(都在轴上方),利用关于轴对称的点坐标的特征,将其中的一点翻到轴的另一侧(即轴下方)的处,使点与点位于轴的异侧,连结、交轴于,即为所求。
然后求得的解析式为,当时,。
所以点为(,)
评注:如果问题出现在函数中,根据直角坐标系关于坐标对称的性质,写出点关于轴(或轴)的对称点的坐标,然后根据解析式确定动点位置。
例3:已知:如图3,把矩形放置于直角坐标系中,,取的中点,连结,把沿轴的负方向平移的长度后得到。
(1)试直接写出点的坐标;
(2)已知点与点在经过原点的抛物线上,试问在抛物线的对称轴上是否存在一点,使得的值最大。
(2010年福建晋江中考题)
分析:易知d的坐标为,要在抛物线的对称轴上求一点,必须先
求出抛物线解析式。
经过原点、点与点的抛物线的解析式为,对称轴为直线,点、点在直线的两侧,利用二次函数图象的对称性可知:二次函数图象与轴的另一个交点和点关于对称轴对称,而点、点位于直线的同侧,因为点、点关于直线对称,所以,要使得的值最大,即是使得的值最大,当、、三点在同一直线上时,的值最大。
所以存在一点,使得的值最大。
评注:求两线段的差的绝对值的最大值,也要变换其中一条线段的位置,给利用“两点间距离最短”创造条件。
求两线段的差的绝对值的最大值问题中,一般对直线两侧的两点,转化为直线同侧来解决。
三、巧用轴对称图形确定最短距离
例4:菱形abcd中,ad=8,∠abc=120°,是bc的中点,p为对角线ac上的一个动点,求的最小值。
(2003年温州市中考题)
分析:菱形是轴对称图形,它的对角线所在的直线是它的对称轴,b、e在对称轴的同侧,b关于ac的对称点是d,连结de交ac于p,p就是要找的点。
故的最小值为。
圆也是轴对称图形,过圆心的任何一条直线都是它的对称轴。
故选。
四、利用函数图象对称性确定最短距离。
例5:在矩形oabc中,已知a、c两点的坐标分别为a(4,0)、c(0,2),d为oa的中点.设点p是∠aoc平分线上的一个动点(不与点o重合).
(1)试证明:无论点运动到何处,总与相等;
(2)当点运动到与点的距离最小时,试确定过三点的抛物线的解析式;
(3)设点e是(2)中所确定抛物线的顶点,当点p运动到何处时,△pde的周长最小?求出此时点p的坐标和△pde的周长;(2009年新疆乌鲁木齐市中考题)
分析:利用可证明.当点运动时,它与两定点、的距离总相等,但与顶点b的距离是变化的,根据“在连结直线上各点与点b的所有线段中,垂线段最短”,过点作的平分线的垂线,垂足为,点即为所求.根据是等腰直角三角形得点的坐标为(3,3),从而求出抛物线的解析式为.因此顶点的坐标为,画出图像,观察图像,要使△pde的周长最小,因为为定长,只要最短,、两点在的同侧,只要将、两点中的一点作关于的对称点,显然由等腰直角三角形的对称性可知:d点关于的平分线的对称点即为点,连结交的平分线于即得。
评注:本题中的两个最短距离必须注意,一个是直线上动点到定点的距离最短(实际上是垂线段最短问题),另一个是动点到两定点距离和最短问题,不能混为一谈。
例6:抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为a(-4,0)、b(2,0),与y轴交于点c,顶点为d。
点e(1,2)为线段bc的中点,bc的垂直平分线与x轴、y轴分别交于f、g.(1)求抛物线的解析式,并写出顶点d的坐标;(2)在直线ef上求一点h,使△
cdh的周长最小,并求出最小周长。
(2010年绵阳市中考题)
分析:易求抛物线的解析式为,顶点d的坐标为(-1,).画出抛物线的图像,设抛物线的对称轴与x轴交于点m.要在直线ef上求一点h,使△cdh的周长最小,只需使dh+ch最小。
因为ef垂直平分bc,观察图像,c关于直线eg的对称点为b,连结bd交于ef 于一点,则这一点为所求点h,dh +ch=dh+hb=bd=.从而可以得出△cdh的周长最小值为cd+dr+ch=.而要求交点h的坐标,可以利用函数解析式来求,直线bd的解析式为,直线ef的解析式为.联立直线bd与ef的方程,解得使△cdh的周长最小的点的坐标h(,).评注:确定动点的位置方法,必须灵活应用所学知识巧妙应用,不能生搬硬套,如何求两线段的和(或差)的最小(或最大)值,也必须灵活计算,防止思维僵化。
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以pdf格式阅读原文。