广东省广州市2021届高三数学3月阶段训练(一模考试)试题 理(含解析)

2021年高三3月月考（一模）数学（理）试题含答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.若复数则=（）A．3 B.2 C． D．2.已知集合，集合B为函数的定义域，且A∪B=R，那么m的值可以是（）A．﹣1 B．0C．1D．23．设向量与满足:在方向上的投影为，与垂直，则（）A． B． C． D．4.设中变量x，y满足条件，则z的最小值为（）A．2B．4C．8D．165.已知不重合的直线m、l和平面，，,则是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件6．已知对任意的实数，直线都不与曲线相切．则实数的取值范围为( )A. B. C. D.7．某三棱锥的三视图如图所示，其中左视图中虚线平分底边，则该三棱锥的所有面中最大面的面积是( )否是输入m 输出S 结束 S =0,i =1 S =S +ii =i +2 i<m 开始A ．2B ．C ．2D ． 8．阅读如图所示的程序框图，若输入m=xx ，则输出等于() A ．10072 B.10082 C ．10092 D ．xx 29.函数y=sin φ取最小正值时所得偶函数为，则函数的部分图象可以为( )10．设、是双曲线：（，）的两个焦点，是上一点，若，且△最小内角的大小为，抛物线：的准线交双曲线所得的弦长为4,则双曲线的实轴长为（ ）A ．6B ．2C ．D ．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0.若函数只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A. B. C. D.左（侧）视图12.已知是定义在上的函数的导函数，且满足，则不等式的解集为( ) A. B. C. D.第Ⅱ卷（13-21为必做题，22-24为选做题）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

2021年高三3月份模拟考试数学（理）试题含解析一.选择题1．（5分）（xx•滕州市校级模拟）已知z=，则z的共轭复数为（） A． 2﹣i B． 2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解析】：解：z====﹣2+i，则z的共轭复数=﹣2﹣i．故选：C．【点评】：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2．（5分）集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩（∁B）=（）RA．{x|x＞1} B．{x|x≥1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2}【考点】：交、并、补集的混合运算．【分析】：根据补集和交集的意义直接求解．【解析】：解：C R B={X|x≥1}，A∩C R B={x|1≤x≤2}，故选D．【点评】：本题考查集合的基本运算，较简单．3．（5分）某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（）A．92+14π B．82+14π C．92+24π D．82+24π【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，下面是棱长为5，4，4的长方体；上面是一个半圆柱，其轴截面与长方体的上面重合．据此即可得出该几何体的表面积．【解析】：解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，下面是棱长为5，4，4的长方体；上面是一个半圆柱，其轴截面与长方体的上面重合．∴该几何体的表面积=5×4×3+4×4×2+π×22+2π×5=92+14π．故选A．【点评】：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．4．（5分）曲线y=x3﹣2x在点（1，﹣1）处的切线方程是（）A．x﹣y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y+2=0 D．x+y﹣2=0【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的概念及应用．【分析】：先求导公式求出导数，再把x=1代入求出切线的斜率，代入点斜式方程再化为一般式．【解析】：解：由题意得，y′=3x2﹣2，∴在点（1，﹣1）处的切线斜率是1，∴在点（1，﹣1）处的切线方程是：y+1=x﹣1，即x﹣y﹣2=0，故选A．【点评】：本题考查了导数的几何意义，即在某点处的切线斜率是该点处的导数值，以及直线方程的点斜式和一般式．5．（5分）设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若a∥b，a∥α，则b∥α B．若α⊥β，a∥α，则a⊥βC．若α⊥β，a⊥β，则a∥α D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β【考点】：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】：证明题；综合法．【分析】：A选项a∥b，a∥α，则b∥α，可由线面平行的判定定理进行判断；B选项α⊥β，a∥α，则a⊥β，可由面面垂直的性质定理进行判断；C选项α⊥β，a⊥β，则a∥α可由线面的位置关系进行判断；D选项a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β，可由面面垂直的判定定理进行判断；【解析】：解：A选项不正确，因为b⊂α是可能的；B选项不正确，因为α⊥β，a∥α时，a∥β，a⊂β都是可能的；C选项不正确，因为α⊥β，a⊥β时，可能有a⊂α；D选项正确，可由面面垂直的判定定理证明其是正确的．故选D【点评】：本题考查线面平行、线面垂直以及面面垂直的判断，主要考查空间立体的感知能力以及组织相关知识进行判断证明的能力．6．（5分）设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为（）A．﹣3 B．﹣6 C． 3 D． 6【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：先画出可行域，得到角点坐标．再利用z的最大值为12，通过平移直线z=x+y得到最大值点A，求出k值，即可得到答案．【解析】：解：可行域如图：由得：A（k，k），目标函数z=x+y在x=k，y=k时取最大值，即直线z=x+y在y轴上的截距z最大，此时，12=k+k，故k=6．∴得B（﹣12，6），目标函数z=x+y在x=﹣12，y=6时取最小值，此时，z的最小值为z=﹣12+6=﹣6，故选B．【点评】：本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义．7．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A． 1 B．C．D．【考点】：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由图象可得A=1，由周期公式可得ω=2，代入点（，0）可得φ值，进而可得f（x）=sin（2x+），再由题意可得x1+x2=，代入计算可得．【解析】：解：由图象可得A=1，=，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），代入点（，0）可得sin（+φ）=0∴+φ=kπ，∴φ=kπ﹣，k∈Z又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴sin（2×+）=1，即图中点的坐标为（，1），又，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），∴x1+x2=×2=，∴f（x1+x2）=sin（2×+）=，故选：D【点评】：本题考查三角函数的图象与解析式，属基础题．8．（5分）在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（）A．24种B．48种C．96种D．144种【考点】：计数原理的应用．【专题】：计算题．【分析】：本题是一个分步计数问题，A只能出现在第一步或最后一步，从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，程序B和C实施时必须相邻，把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列．【解析】：解：本题是一个分步计数问题，∵由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有A21=2种结果∵程序B和C实施时必须相邻，∴把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22=48种结果根据分步计数原理知共有2×48=96种结果，故选C．【点评】：本题考查分步计数原理，考查两个元素相邻的问题，是一个基础题，注意排列过程中的相邻问题，利用捆绑法来解，不要忽略被捆绑的元素之间还有一个排列．9．（5分）函数f（x）=ln（x2+2）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：研究函数性质，选择与之匹配的选项．【解析】：解：因为定义域为R，且f（﹣x）=f（x），所以函数为偶函数，排除C项；又f（0）=ln2＞0，排除A、B两项；只有D项与之相符．故选：D．【点评】：本题考查了函数的性质与识图能力，属基础题，一般先观察四个选项的不同，再差别函数对应的性质，即得正确选项．10．（5分）如图，从点M（x0，4）发出的光线，沿平行于抛物线y2=8x的对称轴方向射向此抛物线上的点P，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射向直线l：x﹣y﹣10=0上的点N，经直线反射后又回到点M，则x0等于（）A． 5 B． 6 C．7 D．8【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：由题意可得抛物线的轴为x轴，抛物线的焦点F（1，0），MP所在的直线方程为y=4，从而可求P（2，4），Q（2，﹣4），N（6，﹣4），确定直线MN的方程，可求答案．【解析】：解：由题意可得抛物线的轴为x轴，F（2，0），∴MP所在的直线方程为y=4在抛物线方程y2=8x中，令y=4可得x=2，即P（2，4）从而可得Q（2，﹣4），N（6，﹣4）∵经抛物线反射后射向直线l：x﹣y﹣10=0上的点N，经直线反射后又回到点M，∴直线MN的方程为x=6故选：B．【点评】：本题主要考查了抛物线的性质的应用，解决问题的关键是要熟练掌握相关的性质并能灵活应用．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知向量=（2，1），=（﹣1，k），若⊥，则实数k=2．【考点】：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】：平面向量及应用．【分析】：由向量垂直可得=2×（﹣1）+1×k=0，解关于k的方程可得．【解析】：解：∵=（2，1），=（﹣1，k），且⊥，∴=2×（﹣1）+1×k=0，解得k=2故答案为：2．【点评】：本题考查数量积与向量垂直的关系，属基础题．12．（5分）（xx•上海）圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=3．【考点】：点到直线的距离公式．【分析】：先求圆心坐标，然后求圆心到直线的距离即可．【解析】：解：圆心（1，2）到直线3x+4y+4=0距离为．故答案为：3【点评】：考查点到直线距离公式，圆的一般方程求圆心坐标，是基础题．13．（5分）如图是某算法的程序框图，若任意输入[1，19]中的实数x，则输出的x大于49的概率为．【考点】：程序框图．【专题】：概率与统计；算法和程序框图．【分析】：根据框图的流程，依次计算运行的结果，直到不满足条件n≤3，求出输出x的值，再根据输出的x大于49，求出输入x的范围，根据几何概型的概率公式计算．【解析】：解：由程序框图知：第一次运行x=2x﹣1，n=2；第二次运行x=2×（2x﹣1）﹣1．n=2+1=3；第三次运行x=2×[2×（2x﹣1）﹣1]﹣1，n=3+1=4，不满足条件n≤3，程序运行终止，输出x=8x﹣（4+2+1）=8x﹣7，由输出的x大于49，得x＞7，∴输入x∈（7，19]，数集的长度为12，又数集[1，19]的长度为18，∴输出的x大于49的概率为．故答案为：．【点评】：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答此类问题的关键．14．（5分）已知x，y均为正实数，且xy=x+y+3，则xy的最小值为9．【考点】：基本不等式．【专题】：创新题型．【分析】：已知条件提供了和与积的关系，要求的是积的范围，可以考虑将和转化为积，再求积的范围；也可以一元二次方程的韦达定理去研究．【解析】：解：∵x，y均为正实数，且xy=x+y+3∴xy=x+y+3≥2+3 （当x=y时取等号）即（）2﹣2﹣3≥0∴（+1）（﹣3）≥0∵x，y均为正实数∴+1＞0∴﹣3≥0 即xy≥9故xy的最小值为9．【点评】：本题主要是用基本不等式解题，关键在于化归转化思想的运用．本题还可以尝试消元利用函数求最值．15．（5分）如果对定义在R上的函数f（x），对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数①y=﹣x3+x+1；②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；③y=e x+1；④f（x）=．以上函数是“H函数”的所有序号为②③．【考点】：函数单调性的性质．【专题】：新定义；函数的性质及应用．【分析】：不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．【解析】：解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．①y=﹣x3+x+1；y'=﹣3x2+1，则函数在定义域上不单调．②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；y’=3﹣2（cosx+sinx）=3﹣2sin（x+）＞0，函数单调递增，满足条件．③y=e x+1为增函数，满足条件．④f（x）=．当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H函数”的函数为②③，故答案为：②③．【点评】：本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知向量=（sin（2x+），sinx），=（1，sinx），f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=2，，若sin（A+C）=2cosC，求b 的大小．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦定理．【专题】：三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】：（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的单调性，结合函数的定义域，即可得到结论；（Ⅱ）由，可得A，利用两角和与差的三角函数以及正弦定理结合sin（A+C）=2cosC，即可求边b的长．【解析】：解：（Ⅰ）==…（4分）所以f（x）递减区间是．…（5分）（Ⅱ）由和得：…（6分）若，而又，所以∵0＜C＜π，所以若，同理可得：，显然不符合题意，舍去．…（9分）∴…（10分）由正弦定理得：…（12分）【点评】：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简与三角函数的性质，考查正弦定理以及两角和与差的三角函数的运用，正确化简函数是关键．17．（12分）袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球部放回，直到其中有一人去的白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X的概率分布及数学期望E（X）．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率的应用问题，试验发生包含的所有事件是从9个球中取2个球，共有C92种结果，而满足条件的事件是从n个球中取2个，共有C n2种结果，列出概率使它等于已知，解关于n的方程，舍去不合题意的结果．（2）用X表示取球终止时取球的总次数，由题意知X的可能取值为1，2，3，4，结合变量对应的事件，用等可能事件的概率公式做出结果，写出分布列和期望．【解析】：解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率的应用问题，试验发生包含的所有事件是从9个球中取2个球，共有C92种结果而满足条件的事件是从n个球中取2个，共有C n2种结果设袋中原有n个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为，由题意知=，即，化简得n2﹣n﹣30=0．解得n=6或n=﹣5（舍去）故袋中原有白球的个数为6．（2）用X表示取球终止时取球的总次数，由题意，X的可能取值为1，2，3，4．；；；P（X=4）=．∴取球次数X的概率分布列为：∴所求数学期望为E（X）=1×+2×+3×+4×=．【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，是一个综合题，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，要引起注意．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，E、F分别为BD、PD的中点，EA=EB=AB=1，PA=2．（Ⅰ）证明：PB∥面AEF；（Ⅱ）求面PBD与面AEF所成锐角的余弦值．【考点】：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】：空间向量及应用．【分析】：（Ⅰ）由题设条件推导出EF∥PB，由此能证明PB∥面AEF．（Ⅱ）由题设条件推导出∠ABE=60°，∠ADE=∠DAE，从而得到BA⊥AD．分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立坐标系，利用向量法能求出面PBD与面AEF所成锐角的余弦值．【解析】：（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：∵E、F分别为BD、PD的中点，∴EF∥PB…（2分）∵EF⊂面AEF，PB⊄面AEF∴PB∥面AEF…（4分）（Ⅱ）解：∵EA=EB=AB=1∴∠ABE=60°又∵E为BD的中点∴∠ADE=∠DAE∴2（∠BAE+∠DAE）=180°解得∠BAE+∠DAE=90°，∴BA⊥AD…（6分）∵EA=EB=AB=1，∴，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立坐标系由题设条件知：∴…（8分）设、分别是面PBD与面AEF的法向量则，∴又，∴…（11分）∴．∴面PBD与面AEF所成锐角的余弦值为．…（12分）【点评】：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．19．（12分）在数列{a n}（n∈N*）中，其前n项和为S n，满足2S n=n﹣n2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（k为正整数），求数列{b n}的前2n项和T2n．【考点】：数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）由，求出，再由a n=S n﹣S n﹣1，能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，由此利用分组求和法和裂项求和法能求出数列{b n}的前2n项和T2n．【解析】：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题设得：，∴∴a n=S n﹣S n﹣1=1﹣n（n≥2）…（2分）当n=1时，a1=S1=0，∴数列{a n}是a1=0为首项、公差为﹣1的等差数列，∴a n=1﹣n．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：…（6分）∴T2n=b1+b2+b3+…+b2n=[1•20+3•2﹣2+5•2﹣4+7•2﹣6…+（2n﹣1）•22﹣2n]=…（9分）设T=1+3•2﹣2+5•2﹣4+7•2﹣6+…+（2n﹣1）•22﹣2n，则2﹣2•T=2﹣2+3•2﹣4+5•2﹣6+7•2﹣8+…+（2n﹣3）•22﹣2n+（2n﹣1）•2﹣2n，两式相减得：整理得：…（11分）∴．…（12分）【点评】：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要注意分组求和法和裂项求和法的合理运用．20．（13分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣x．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为函数的保值区间．设g（x）=（f′（x）+1）（x2﹣1），试问函数g（x）在（1，+∞）上是否存在保值区间？若存在，请求出一个保值区间；若不存在，请说明理由．【考点】：导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】：综合题；导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）求导数，确定函数的单调性，即可求f（x）的最小值；（Ⅱ）假设函数g（x）存在保值区间[a，b]，可得方程（x2﹣1）e x=x有两个大于1的相异实根．设φ（x）=（x2﹣1）e x﹣x（x＞1），证明φ（x）在（1，+∞）上单增，可得φ（x）在区间（1，+∞）上至多有一个零点，与方程（x﹣1）2e x=x有两个大于1的相异实根矛盾，即可得出结论．【解析】：解：（Ⅰ）求导数，得f'（x）=e x﹣1．令f'（x）=0，解得x=0．…（2分）当x＜0时，f'（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，0）上是减函数；当x＞0时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．故f（x）在x=0处取得最小值f（0）=0．…（6分）（Ⅱ）函数g（x）在（1，+∞）上不存在保值区间，证明如下：假设函数g（x）存在保值区间[a，b]，由g（x）=（x2﹣1）e x得：g'（x）=（x2+2x﹣1）e x因x＞1时，g'（x）＞0，所以g（x）为增函数，所以即方程（x2﹣1）e x=x有两个大于1的相异实根…（9分）设φ（x）=（x2﹣1）e x﹣x（x＞1），则φ'（x）=（x2+2x﹣1）e x﹣1因x＞1，φ'（x）＞0，所以φ（x）在（1，+∞）上单增所以φ（x）在区间（1，+∞）上至多有一个零点…（12分）这与方程（x﹣1）2e x=x有两个大于1的相异实根矛盾所以假设不成立，即函数h（x）在（1，+∞）上不存在保值区间．…（13分）【点评】：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查新定义，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．21．（14分）设F1，F2分别是椭圆D：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2作倾斜角为的直线交椭圆D于A，B两点，F1到直线AB的距离为3，连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4．（Ⅰ）求椭圆D的方程；（Ⅱ）已知点M（﹣1，0），设E是椭圆D上的一点，过E、M两点的直线l交y轴于点C，若，求λ的取值范围；（Ⅲ）作直线l1与椭圆D交于不同的两点P，Q，其中P点的坐标为（﹣2，0），若点N（0，t）是线段PQ垂直平分线上一点，且满足=4，求实数t的值．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）AB的方程为：，由F1到直线AB的距离为3，可求c，结合连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4，即可求出求椭圆D的方程；（Ⅱ）由，可得e的坐标，代入椭圆方程，即可求λ的取值范围；（Ⅲ）分类讨论，写出线段PQ垂直平分线方程，利用=4，结合韦达定理，即可求实数t的值．【解析】：解：（Ⅰ）设F1，F2的坐标分别为（﹣c，0），（c，0），其中c＞0由题意得AB的方程为：∵F1到直线AB的距离为3，∴有，解得…（2分）∴a2﹣b2=c2=3…①由题意知：，即ab=2…②联立①②解得：a=2，b=1，∴所求椭圆D的方程为…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆D的方程为设E（x1，y1），C（0，m），∵，∴（x1，y1﹣m）=λ（﹣1﹣x1，﹣y1），∴…（7分）又E是椭圆D上的一点，则∴解得：或λ≤﹣2…（9分）（Ⅲ）由P（﹣2，0），设Q（x1，y1）根据题意可知直线l1的斜率存在，可设直线斜率为k，则直线l1的方程为y=k（x+2）把它代入椭圆D的方程，消去y，整理得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0由韦达定理得，则，y1=k（x1+2）=∴线段PQ的中点坐标为，（1）当k=0时，则有Q（2，0），线段PQ垂直平分线为y轴于是由，解得：…（11分）（2）当k≠0时，则线段PQ垂直平分线的方程为y﹣由点N（0，t）是线段PQ垂直平分线的一点，令x=0，得：于是由，解得：代入，解得：综上，满足条件的实数t的值为或．…（14分）【点评】：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．30475 770B 看&R30922 78CA 磊€or34579 8713 蜓L 27350 6AD6 櫖1jb。

2021年广州市一般高中毕业班综合测试〔一〕理科数学一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的．1．设会集M{x|0x1,x R},N{x|x2,xR}，那么〔〕A．MINM B．MINN C．MUNM D．MUNR2．假设复数z满足方程z220，那么z3〔〕A．22B．22C．22i D．22i3．假设直线kx y10与圆x2y22x4y10有公共点，那么实数k的取值范围是〔〕A．[3,)B．(,3]C．(0,)D．(,)4．p:x12，q:2x 3，那么p是q的〔〕A．充分不用要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不用要条件5．设函数f(x)2cos1x3，假设对任意x R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)建立，那么x1x2的最小2值为〔〕A．B．C．2D．4 21AA1,CQ 1CC1，6．直三棱柱ABC A1B1C1的体积为V，假设P,Q分别在AA1,CC1上，且AP33那么四棱锥B APQC的体积为〔〕A．1V B．2V1D．7V C．V6939 A1C1B1P QA CB7．为了让居民认识垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念众望所归．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由 10位同学组成四个宣传小组，其中可回收 物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有 3位同学．现从这 10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，那么每个宣传小组最少选派1人的概率为〔 〕5B ．934A ．C ．D ．1414778．直线l:yx2与x 轴的交点为抛物线 C:y 22px(p0)的焦点，直线l 与抛物线C 交于A,B两点，那么AB 的中点到抛物线 C 的准线的距离为〔 〕A ．8B ．6C ．5D ．49．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 11,a 2 a 54，假设S n ≥4a n8(nN)，那么n 的最小值3为〔 〕A ．8B ．9C ．10D ．1110．点P(x 0,y 0)是曲线C:y x 3 x 2 1上的点，曲线C 在点P 处的切线方程与直线y8x11平行，那么〔 〕 A ．x 02B ．x 04344 C ．x 0D ．x 02或x 02或x 03311．O 为坐标原点，设双曲线x 2y 20,b 0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，点P 是双曲C:221(aab线C 上位于第一象限上的点，过点 F 2作 F 1PF 2的均分线的垂线，垂足为 A ，假设bF 1F 22OA ，那么双曲线C 的离心率为〔〕5B ．45D ．2A ．3C ．4312．函数f(x)x 2 x1,x0 ，假设F(x) f(x)sin(2021 x) 1在区间[1,1]上有m 个零x2x 1, x ≥0点x 1,x 2,x 3,L,x m ，那么f(x 1) f(x 2) f(x 3)Lf(x m )〔〕A ．4042B ．4041C ．4040D ．4039二、填空题：此题共4小题，每题 5分，共 20分．把答案填在题中的横线上．13．如图，若是一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为 1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为 ，表面积为 ．14．在ax 1(x 2 1)5的张开式中，x3的系数是15，那么实数a ．xuruur ur uurur uur的夹角为5，那么实数k的值为15．单位向量e1与e2 的夹角为，假设向量e1 2e2 与2e1 ke23 6．16．记数列{a n}的前n项和为S n，anan1 cosnsinn(nN)，且mS2021 1009，n 2 21 9a1m0，那么的最小值为．a1 m三、解答题：共70分．解同意写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必定作答．第22、23 题为选考题，考生依照要求作答．〔一〕必考题：共60分．17．〔本小题总分值12分〕△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．c 3，且满足absinC．3〔1〕求角C的大小；asinA bsinBcsinC〔2〕求b2a的最大值．18．〔本小题总分值12分〕随着马拉松运动在全国各地逐渐流行，参加马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计检查，其中一项为哪一项检查人员从参加马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每个月参加马拉松运动训练的天数进行统计，获取以下统计表：平均每个月进行训练的天数x x≤5 5x20 x≥20人数15 60 25 〔1〕以这100人平均每个月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参加马拉松训练的人平均每个月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参加马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每个月进行训练的天数很多于20天〞的概率；〔2〕依照统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每个月进行训练的天数很多于20天〞的人数，求Y的分布列及数学希望E(Y)．19．〔本小题总分值12分〕如图1，在边长为2的等边△ABC中，D, E分别为边AC, AB的中点．将△AED沿DE折起，使得ABAD，AC AE，获取如图2的四棱锥ABCDE，连接BD，CE，且BD与CE交于点H．〔1〕求证：AH 平面BCDE；〔2〕求二面角B AED的余弦值．AAE D E DHB C B图2 C图120．〔本小题总分值 12分〕eM 过点A( 3,0) ，且与eN:(x3)2 y 2 16内切，设eM 的圆心M 的轨迹为曲线C ．〔1〕求曲线C 的方程；〔〕设直线l 不经过点 B(2,0)且与曲线 C 订交于P,Q 两点．假设直线 PB 与直线QB 的斜率之积为1 2，2判断直线l 可否过定点，假设过定点，求出此定点坐标；假设但是定点，请说明原由．21．〔本小题总分值 12分〕函数f(x)(x4)e x3x 26x,g(x)a 1 x1lnx ．3 〔1〕求函数f(x)在(0,)上的单调区间；〔2〕用max{m,n}表示 m,n 中的最大值， f(x)为f(x)的导函数．设函数h(x)max{f(x),g(x)}，假设h(x)≥0在区间(0, )上恒建立，求实数 a 的取值范围；〔3〕证明：11 1 L1 1 ln3 (n N)． nn1n 23n13n〔二〕选考题：共 10分．请考生在第 22、23题中任选一题作答．若是多做，那么按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】〔本小题总分值 10分〕xOy 中，曲线x 3 t 在平面直角坐标系C 1的参数方程为1 〔t 为参数〕，曲线C 2的参数方程为y2t3x,3cos〔为参数且〕．223tan1〕求曲线C 1和C 2的一般方程；〔2〕假设A,B 分别为曲线C 1,C 2上的动点，求AB 的最小值．23．【选修4—5：不等式选讲】〔本小题总分值10 分〕 函数f(x)3x6 xa,aR ．〔1〕当a1 时，解不等式 f(x)3；〔2〕假设不等式f(x)11 4x 对任意x4,3建立，求实数 a 的取值范围．22021年广州市一般高中毕业班综合测试〔一〕 理科数学参照答案 1．答案：A 剖析：M{x|0x1,xR },N{x|x2,x}{x|2x2,x R },MN ，RMIN M ．2．答案：D剖析：z 2 2 0, z 22,z2i,z 3(2i)32 2i ．3．答案：D剖析：圆的标准方程为(x 1)2 (y 2)2 4，圆心为C(1,2)，半径r 2，直线kx y 1 0过定点P(0,1)，因为CP2r ，因此直线与圆恒有公共点，因此实数k 的取值范围是(, )．4．答案：B剖析：由x 12，得x 1 2或x1 2，解得x 3或x 1，因为{x|2 x 3} {x|x3或x 1}，因此p 是q 的必要不充分条件．5．答案：C剖析：由题可知 x 1是函数f(x)的最小值点， x 2是函数f(x)的最大值点．因此x 1x 2的最小值为函数f(x)半个周期，T4,1T2．2A 1 C 16．答案：B剖析：设底面正三角形的边长为a ，直三棱柱的高为h ，那么V3a 2h ， B 14PQ因此V BAPQC11ah3a 3a2h2V ．AC33 21897．答案：CB剖析：从10 位同学中采用 5人，共有C 105252种不同样的选法，假设每个宣传小组最少选派 1人，那么共有2C 22C 21C 31C 31 2C 21C 21C 32C 3136 72 108种不同样的选法，那么所求概率为108 3 ．252 78．答案：A剖析：依题可知抛物线的焦点坐标为F(2,0)，因此p 4，将yx2代入y 28x ，得x 212x40，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，AB 中点M(x 0,y 0)，那么x 1x 212，x 0x 1x 26，2那么点M 到准线x 2的距离为6(2)8．9．答案：C{a n }的公差为d ，那么a 2 a 5 2a 125d4，解得d2剖析：设等差数列 5d3 ．3因此a na 1 (n 1)d 12(n1)2n 1 ，S nn(a 1a n ) 1 n2，由S n ≥4a n 8，化简得：3 3 32 3n 2 8n 20≥0 ，(n 2)(n10)≥0，n ≥10，即n 的最小值为10．10．答案：B剖析：令y3x 2 2x8，得3x 22x8，(3x4)(x2) 0 ，解得x4 或x2，43当x2 时，y5，此时M(2,5)在直线y8x 11上，故舍去，因此 ．x311．答案：CP剖析：延长F 2A 交PF 1于点B ，因为PA 是F 1PF 2的均分线且PA F 2B ，B可得PBPF ，且ABAF ，A22因此OA 是△F 1BF 2的中位线， F 1O F 2因此OA11 PF 1PB1 PF 1PF 2a ，BF 1222又由b F 1F 22OA ，可得b 2c 2a ，因此b 2 (2c 2a)2，c 2 a 2 4c 2 4a 28ac ，因此3c 28ac 5a 2 0 ，3e 28e 5 0 ，(3e 5)(e1) 0，e5 ．312．答案：B剖析：f(x)xxx 1，因此F(x) f(x) sin(2021 x)1xx x sin(2021x)为奇函数，m0，显然F( 1)F(0) F(1)0，当0≤x ≤1时，由F(x) x 2因此x i x sin(2021x)0，i 1得x 2x sin(2021 x)，在同一坐标系中作出 y x 2 x (0 x ≤1)和ysin(2021x)(0x ≤1)的图象，ysin(2021 x) 的最小正周期 T1，1010在每个区间 0,1 , 1 ,2 ,LL 1009,1010 内各有2 个零点， 因此两函数在区间(0,1]内10101010 1010 1010 1010共有2021 个交点，即F(x)在(0,1]内共有2021 个零点，由对称性， F(x)在[1,0)内也有2021 个零点，又F(0)0，因此m4041，因此f(x 1)4041f(x2) f(x3)L f(x m) (xx x1) 4041．i113．答案： 3 ，3 〔第1个空2分，第二个空3分〕3剖析：该几何体是一个圆锥，其底面半径r 1，高h3，母线长l2，体积V1 r 2h 3 ，表面积S r 2rl3．3314．答案：5剖析： ax 1 (x21)5 ax(x 2 1)5 1(x2 1)5，xx而(x 21)5的张开式中含 x 2的项为C 54x 2( 1)4 5x 2 ，含x 4 的项为C 53(x 2)2(1)3 10x 4 ，因此 ax 1 (x21)5的张开式中， x 3的系数是5a 1015，解得a5．x15．答案：10u ruur13r uruur(2, ruruu r k3 k ， 剖析：不如取e 1(1,0),e 2,，设ae2e3)，b2e 1ke 22,221222r r3r rab4 kk32k 219k10 0，那么cosa,brr2，两边平方，并整理得a bk23k 22722 4(k10)(2k1)0，解得k10或k 1 5 k 0，因此k10 ．，又因为42216．答案：16剖析：当n2时，得a 2a 31, a 2 a 32；当n 4时，得a 4a 5 1,a 4 a 5 4，2 4a 2 a 3 a 4 a 5 2，同理可得a 6a 7 a 8 a9 a10 a 11 a 12 a13 La2021 a 2021a 2021 a 20212 ，又a 21, a 20a22021，a20 21 02121 0212021因此S2021 a1 (a2 a3 a4 a5) (a6 a7 a8 a9) L (a2021a2021)a1 504 2 2021 a1 1010，由m S2021 1009，得a1m 1，因此19 1 9 (a1 m) 10 m9a1≥10 2 m9a1 16．a1 ma1 m a1 m a1 m17．解：〔1〕依照正弦定理a b c，得abc3．sinAsinB sinC b 2 c 2a 2因为c3，因此ab a 2 b 2c 2【或aba 2 b 2 3】．由余弦定理，得cosCa 2b 2c21【或cosCa 2b 23 1】，因为0 C ，因此C ．2ab22ab 23〔2〕由与〔1〕知c3，C．由正弦定理abc3， sinA sinBsinC23sin3得a2sinA ，b2sinB2sin2A ．3因此b2a2A 4sinA 5sinA3cosA 2 7sin(A)，2sin3〔其中tan3〕．因为 02 ，0，因此 0A5，02 A．5366因此A时，b 2a2 7sin(A)获取最大值2 7．因此b 2a 的最大值为27．218．解：〔1〕设从该市参加马拉松运动训练的人中随机抽取一个人，抽到的人恰好是“平均每个月进行训练 的天数很多于 20天〞记为事件为A ，那么P(A)25 1．100 4设抽到的人是“平均每个月进行训练的天数很多于20天〞的人数为，那么:B14，．4因此恰好抽到 2 个人是“平均每个月进行训练的天数很多于20天〞的概率为2 2P2C 42 3127．4 4128〔2〕用分层抽样的方法从100个马拉松训练者中抽取 12个，那么其中“平均每个月进行训练的天数很多于20天〞有3个．现从这12人中抽取 3个，那么“平均每个月进行训练的天数很多于 20天〞的数量Y 遵从超几何分布， Y 的所有可能的取值为0，1，2，3．那么 P(Y0)C 30C 93 21 ，P(Y1) C 13C 9227 ，C 12355C 12355P(Y2)C 32C 19273)C 33C 901．C 123，P(Y C 322022012因此Y 的分布列以下：Y12 3P21 2727 15555220220因此EY0211272 2731165=3 ． 5555220220 220 419．〔1〕证明1：在图1中，因为△ABC 为等边三角形，且 D 为边AC 的中点，因此BDAC ．在△BCD 中，BD CD ，BC 2，CD 1，因此BD3．因为D,E 分别为边AC,AB 的中点，因此ED//BC ．在图2中，有DHED 1 ，因此DH1BD3 ．HBBC 233因为ABAD ，因此△ABD 为直角三角形．因为AD1，BD3，因此cosADBAD 3BD．3在△ADH 中，由余弦定理得AH 2 AD 2 DH 22AD DH cosADB1 12 1 33 2 ，因此AH 6 ．3 3 3 3 3在△ADH 中，因为AH 2DH 2 2 1 1 AD 2，因此AHBD ．同理可证AHCE ．3 3因为CEIBD H ，CE平面BCDE ，BD平面BCDE ，因此AH 平面BCDE ．证明2：在图1中，因为△ABC 为等边三角形，且 D 为边AC 的中点，因此BDAC ．在△BCD 中，BDCD ，BC 2，CD1，因此BD 3．因为D,E 分别为边AC,AB 的中点，因此ED//BC ．在图2中，有DHED1 ，因此DH 1BD3 ．在Rt △BAD 中，BD 3，AD1，HBBC233在△BAD 和△AHD 中，因为DBDA3，BDAADH ，因此△BAD ∽△AHD ．DADH因此AHD BAD90 ．因此AH BD ．同理可证AH CE ．因为CEIBD H ，CE平面BCDE ，BD平面BCDE ，因此AH 平面BCDE ．〔2〕解法1：以E 为原点， EB 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴，平行于AH 的直线为z 轴，建立以以下图的空间直角坐标系E xyz ，那么B(1,0,0),C(0,3,0), A0,3, 6 ，33zAE Duuu r3 6 uuu ruuu r1uuur13．EA0,,, EB(1,0,0),EDBC,,0332 2 2ur设平面ABE 的法向量为m(x 1,y 1,z 1)， uruuur3 6ur那么mEA3 y 13 z 10 ，取m(0,2,1)．uruuurmEB x 1r uuur36rnEAy 2z 2设平面ADE 的法向量为(x 2,y 2,z 2)，那么33r(6,2,1)．n，取nr uuur1x 23y 2nEDur r22urr33mn因此cosm,n ur r33 ．m n3由图可知，二面角B AE D 的平面角是钝角，故二面角BAED 的余弦值为3 ．3解法2：在四棱锥ABCDE 中，分别取AE ，AB 的中点M ，N ，连接DM ，MN ，ND ．因为△ADE 为等边三角形，因此 DM AE ， 因为BE EC ，BE AH ，CEIAH H ， 且CE,AH 平面AEC ，因此BE平面AEC ．因为AE平面AEC ，因此BEAE ．AMNED因为点M ，N 分别为边AE ，AB 的中点，H因此NM//BE ．因此NMAE ．B C 因此DMN 为所求二面角的平面角．在等边三角形ADE 中，因为AD1，因此DM3 ．在△ABE 中，MN1EB1 ．222在Rt △ABD 中，AD1，BD3，因此AB2．因此DNAN 2 AD 21 1 6 ．223 2 1 2 26在△DMN 中，由余弦定理得cos 22 23． DMN31232 2因此二面角BAED的余弦值为3．320．〔1〕解：设eM 的半径为R ，因为eM 过点A(3,0)RMA，且与eN 相切，因此，即MN4RMN MA 4．因为NA 4 ，因此点M 的轨迹是以N ，A 为焦点的椭圆．设椭圆的方程为 x 2 y 21(a b 0)，那么2a4，且ca 2b 23，a 2b 2因此a2，b1．因此曲线C 的方程为x 2y 2 1 ．4〔2〕解法 1：依题意，直线BP,BQ 的斜率均存在且不为 0，设直线BP 的斜率为k(k 0)，那么直线BPyk(x 2)2222的方程为yk(x2)．由x 2，得(14k )x16k x16k 40，y 214解之得x 12，x 28k 2 2 ．因此点P8k 2 24k1 4k 2的坐标为1 4k 2,4k 2．1因为直线BQ 的斜率为1，因此可得点Q 的坐标为2 2k 2 ,2k ．2k1 k2 1 k 2当k2kPQ =3k时，直线l 的斜率为．22(1 2k 2)因此直线l 的方程为y2k3kx2 2k 2，k 22(11 k 212k 2)整理得y2(1 3k 2x 1 k 2．即y2(1 3k 2x 2 ．2k ) 2k2k ) 3此时直线l 过定点2,0 ．当k2 时，直线l 的方程为x 2 ，显然过定点 2,0 ．323 3综上所述，直线l 过定点2,0 ．3解法2：当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为：xx 1．设点P(x 1,y 1)，那么点Q(x 1, y 1)，依题意x 12，因为y 1 y 1x2y 1 241，因此y 12x 1 2 4x 14．k BP k BQx 2 x 2 4x 2 21 1 1 1因为x12 y12 1，且x1 2，解得x1 2 ．此时直线l的方程为x 2 ．4 3 3当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：ykx m ．y kx m,由x 2得(4k 21)x 28km x4(m 2 1) 0．y 214需要满足(8km)216(4k 21)(m 2 1) 0，即m 24k 2 1．设点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，那么有x 1x 28km，x 1x 24(m 2 1)．4k 214k 2 1因为y 1kx1m ，y 2kx 2m ，因此y 1y 2(kx 1 m)(kx 2 m) m 2 4k 2 ．4k 2 1因为k BP k BQy 1y 2y 1y 21 ，因此x 1x 22x 1x 2 42y 1y 2．x 1 2x 22x 1x 2 2(x 1 x 2)424(m 2 1)16km42(m 24k 2)28km20．因此m2k 或m2k ．即4k 214k24k 21，即3m4k13当m 2 k 时，满足m24k 2 1，直线l 的方程为yk x2 ，恒过定点 2 ,0 ．33 3 当m2k 时，满足m 24k 2 1，直线l 的方程为y k(x2)，恒过定点(2,0) ，不合题意．显然直线x 2 2，也过定点,033综上所述，直线l 过定点2,0 ．321．〔1〕解：因为f(x) (x4)e x3 x 2 6x ，因此f(x) (x 3)e x3 2x6(x3)(e x32)．当0x3时，f(x) 0，f(x)单调递减；当x3时，f(x)0，f(x)单调递加，因此函数 f(x)的单调递减区间为 (0,3)，单调递加区间为(3, )．〔2〕解：由〔 1〕可知，当x[3, )时，f(x)≥0．因此要使h(x)≥0在区间(0, )上恒建立，只要g(x)≥0 在区间(0,3)上恒建马上可．因为g(x)≥0 a 1x 1 lnx≥0．3以下给出四种求解思路：思路1：因为x0 ，因此 a 1 x 1 lnx ≥0在区间0,3上恒建立，3转变成a ≥1lnx 1 在区间 0,3 上恒建立．x 3令m(x)1 lnx 1 lnxx ，那么m(x) x 2．3因为当x (0,1)时，m(x) 0，当x(1,3)时，m(x)0．因此m(x)在(0,1)上单调递加，在 (1,3) 上单调递减．因此m(x)≤m(1)4 ．因此a ≥4．因此实数a 的取值范围为4, ．3 3 3思路2：因为g(x)a1 x 1 lnx ，那么g(x)a1 1(3a1)x 3(0x3)．33 x3x①假设a ≤10在 (0,3) 上恒建立，因此 g(x)在(0,3)上单调递减， ，那么g(x)3因此g(x)g(3)a 1 3 1ln3，由g(3)≥0，解得a ≥2ln3．33此时实数a 不合题意．②假设1a ≤ 2 ，那么g(x)≤0 在(0,3) 上恒建立，因此 g(x)在(0,3) 上单调递减，3 3因此g(x)g(3)a 1 3 1ln3，由g(3)≥0，解得a ≥2ln3．33此时实数a 不合题意．③假设a 2 x3时，g(x)3 x3时，g(x) 0．，那么当0 3a 0，当313a1因此函数g(x)在0, 3 上单调递减，在 3 ,3 上单调递加．1 3a3a 1因此g(x)≥g3ln 3 ，由3 ≥0，解得a ≥ 43a 11 ln．3a3a 13 此时实数a 满足a ≥4．3综上所述，实数 a 的取值范围为 4．,3思路3：因为g(x)a1 x 1 lnx ，那么g(x)a1 1．33 x因为g(x) a 1 x 1 lnx≥0在(0,3) 上恒建立，那么g(1) a 1 1≥0，即a≥4 ．3 3 3因为g(x) a 1 1 在(0,3) 上单调递加，3 x因为g 1 10 ，【或x 0时，g(x) 】g(3) a20．a 3 3因此存在x0 (0,3) ，使得g(x0) a 1 1 0．3 x0当x(0,x0)时，g(x0) 0，当x (x0,3)时，g(x0) 0．因此函数g(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,3)上单调递加．因此g(x)≥g(x0) a 1x0 1lnx0 lna 1．3 3要使g(x) a 1 x 1 lnx≥0在(0,3) 上恒建立，只要ln a 1 ≥0，解得a≥4．3 3 3 因此实数a的取值范围为4, ．3思路4：因为x 0，因此 a 1x 1 lnx≥0在区间(0,3)上恒建立，3转变成 a 1x≥1 lnx在区间(0,3) 上恒建立．3令s(x) 1 lnx，那么s(x) 10，x (0,3)．x因此s(x)在(0,3)上单调递加．而y a 1s(x) 1 lnx相切于点(x0,y0)，x是经过原点的直线，设过原点的直线与3那么切线方程为y y0 1 (x x0)，因为y y0 1(xx0)过原点，因此y01．x0 x0因为y0 1 lnx0，因此x0 1．即切点为(1,1)．因此经过原点且与s(x) 1 lnx相切的直线方程为y x．因此足a1 x ≥1lnx 的条件是a1≥1，解得a ≥4．333因此数a 的取范4,．3〔3〕明1：由〔4 ，有lnx ≤x1．即ln(x1)≤x ．2〕可知，当a31ln 1 1 lnn1，n nn同理11 ln n2， 1 ln n 3，⋯，1ln 3n1．n n 1 n 2 n 23n3n因此1n 1 n 1 L 1 1 1ln 3n1ln31ln3．n 1 23n 3nnn因此1n 1 n 1 L1 1 1 ln3．n 1 23n 3n明2：要11 1 L1 1 1 ln3，n n 1n23n 3n1 1 1 L1 11 1 11 1即e nn 1 n 2 3n 13n3，即e n en1en 2 L e 3n 1 e 3n 3．先明e x 1 x(x 0)，事上，p(x)=e x1x ，p(x)=e x 1，当x0 ，p(x)=e x1 0，因此p(x)在(0,)上增．因此p(x)p(0) 0，因此e x1 x(x0)．11 11 11+11+11 1+1因此e n e n1e n2Le3n1e3nL1+nn13n13nn1n2L3n 1 3n13n1 3．nn13n 3n n因此1n 1 n 1 L1 1 1 ln3．n 1 2 3n 3n22．解：〔1〕因曲C 1的参数方程x 3 ty 1 〔t 参数〕，消去参数t ，得2xy50．2t因此曲C 1的方程2x y 5 0．x 3 ,cos 〔参数〕，因曲C2的参数方程y 3tan那么由x3，得cos3，代入y3tan 得siny，消去参数，得x 2y 2 3．cosxx因为,2 ，因此x 0．因此曲线C 2的方程为x 2y 2 3(x0)．2〔2〕因为点A ，B 分别为曲线C 1，C 2上的动点，设直线 2x y b 0与曲线C 2相切，2x y b0，消去y 得3x 24bx b 2 3 0．因此(4b)243 (b 23) 0，解得b3．由y3x 2 2因为x0 ，因此b3．因为直线2xy 5 0与2x y3 0间的距离为：3 (5)85．因此AB 的最小值85．d1)222 ( 5523．〔1〕解：因为a 1，因此f(x) 3x2 x 1．当x ≤1时，由f(x) 7 4x 3，解得x 1，此时x．当1x2时，f(x) 5 2x 3 ，解得x 1，此时1 x2．当x ≥2时，f(x)4x 7 3 ，解得x552 ，此时2≤x．2综上可知，1x5 5．．因此不等式的解集为 1,22〔2〕解法 1：由f(x)11 4x ，得 3x 2 x a 11 4x ，因为x4, 3 ，因此x a 5 x ．问题转变成 x a5 x 对任意的x4,3恒建立，22因此x5xa5x 【或(xa)2(5 x)2】．因此2x5a5．因为当x4,3时，(2x5)ma x8．因此实数a 的取值范围为(8,5)．2解法2：由f(x) 11 4x，得3x 2 x a 11 4x，因为x 4, 3 ，因此|x a| 5 x．2问题转变成x a 5 x对任意的x 4, 3 恒建立，分别作出函数y x 5与函数y x a的图2像，以以下图，要使x a 5 x对任意的x 4, 3恒建立，那么当x 4, 3 时，函数y x 5的2 2图像在函数yx a 的图像的上方． 因此当x4,3时，需要满足ax5x 且xa5x ．2因为当x 4, 3 时，2x5m a x8．2因此实数a 的取值范围为8,5．。

三角函数0215、机器人 "海宝〞在某圆形区域表演 "按指令行走〞．如下列图 , "海宝〞从圆心O 出发 ,先沿北偏西1312arcsin方向行走13米至||点A 处 ,再沿正南方向行走14米至||点B 处 ,最||后沿正东方向行走至||点C 处 ,点B 、C 都在圆O 上．那么在以圆心O 为坐标原点 ,正东方向为x 轴正方向 ,正北方向为y 轴正方向的直角坐标系中圆O 的方程为【答案】22522=+y x【 解析】,连结OB ,由题意知12sin13A arc = ,13AO =, 14AB = 所以12sin 13A =,5cos 13A = ,由余弦定理可得2222252cos 13142131422513OB OA AB OA AB A =+-⋅=+-⨯⨯⨯= ,即15OB = ,所以圆的半径为15 ,所以所求圆的方程为22522=+y x .16、定义在(0 )2π，上的函数2(sin 1)y x =+与83y =的图像的交点为P ,过P 作1PP x ⊥轴于1P ,直线1PP 与tan y x =的图像交于点2P ,那么线段12PP的长为【答案】4【解析】由82(sin 1)3y x =+=,得1sin 3x = ,所以1sin 3x arc = ,即18(sin ,)33P arc ,因为1PP x ⊥轴于1P ,所以11(sin ,0)3P arc ,所以2P 的纵坐标为1tan(arcsin )3y = ,即211(arcsin ,tan(arcsin ))33P ,所以121tan(arcsin )3PP =417、sin 3cos α=α ,那么cos 21sin 2α=+α_______【答案】21-【解析】因为222cos 2cos sin cos sin 1sin 2(sin cos )cos sin αα-αα-α==+αα+αα+α,所以cos 2cos sin cos 3cos 11sin 2cos sin cos 3cos 2αα-αα-α===-+αα+αα+α .18、在ABC 中 ,2,6AB AC B π=== ,那么ABC 的面积为_______ 【答案】32或3【 解析】由余弦定理得2222cos6AC AB BC AB BC π=+-⋅,即24126BC BC =+- ,所以2680BC BC -+= ,解得2BC =或4BC = 所以ABC 的面积为1sin 26S AB BC BC π=⋅=所以S ==或S BC == .19、函数sin 2y x =的最||小正周期为 ． 【答案】π【 解析】因为2ω= ,所以函数的最||小正周期为222T πππω=== .20、集合{|03}A x x =<< ,2{|4}B x x => ,那么A B = ．【答案】(2,3)【 解析】因为2{|4}{22}B x x x x x =>=><-或 ,所以{23}(2,3)A B x x =<<= .21、1tan 2α ,1tan()3βα-=- ,那么tan(2)βα-的值为 ． 【答案】1-【解析】因为tan()tan tan(2)tan[()]1tan()tan所以tan(2)11321111()()32.22、函数1)cos (sin )(2++=x x x f 的最||小正周期是___________． 【答案】π 【解析】2()(sin cos )122sin cos 2sin 2f x x x x x x =++=+=+,所以周期222T πππω=== .23、在△ABC 中 ,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且满足5522cos=A ,3=⋅AC AB ,那么△ABC 的面积为______________． 【答案】2【 解析】因为2cos 2cos12A A =- ,所以23cos 2()155A =-= ,所以4sin 5A = ,因为cos 3AB AC AB AC A ⋅== ,所以35cos AB AC A== ,所以△ABC 的面积114sin 52225ABCSAB AC A ==⨯⨯= .24、函数)32sin(π+=x y 的最||小正周期是_________．【答案】π【 解析】因为2ω= ,所以周期222T πππω===25、ABC ∆3AC ABC π=∠= ,那么ABC ∆的周长等于._______【答案】3【解析】13cos6022ABC S AB BC ∆==,即2AB BC = .又由余弦定理可知2222cos60AC AB BC AB BC =+- ,即2232AB BC =+- ,所以225AB BC += ,即2()25AB BC AB BC +-= ,解得2()549AB BC +=+= ,即3AB BC += .所以ABC∆的周长等于3.26、(0,)απ∈且tan()4πα+=,那么α=【答案】512π【 解析】由tan()4πα+=,43k k Z ππαπ+=-+∈ ,所以7,12k k Z παπ=-+∈ .因为(0,)απ∈ ,所以5444πππα<+<,所以当1k =时 ,751212ππαπ=-+= .27、在ABC ∆中 ,角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ,假设2222a b c += ,那么cos C 的最||小值等于 【答案】12【 解析】因为2222a b c += ,所以22222a b c ab +=≥ ,即2c ab ≥当且仅当a b =时去等号 .所以22221cos 2222a b c c ab C ab ab ab +-==≥= ,所以cos C 的最||小值等于1228、设函数()sin ,f x x =x R ∈ ,那么以下结论错误的选项是…………… …………… ( ) A ．()f x 的值域为[0,1] B ．()f x 是偶函数C ．()f x 不是周期函数D ．()f x 不是单调函数【答案】C【解析】因为()sin()sin ()f x x x f x ππ+=+== ,所以函数的周期是π ,即()f x 是周期函数 ,所以C 错误 .选C29、函数2sin sin2y x x =-的最||小正周期为 ． 【答案】π【解析】21cos211sin sin2sin2sin2cos2222x y x x x x x -=-=-=--1)2x ϕ=+ ,其中ϕ为参数 ,所以周期222T πππω=== . 30、将函数3sin ()1cos xf x x的图像按向量n (a,0)=- (0a )平移 ,所得图像对应的函数为偶函数 ,那么a 的最||小值为 【答案】π65【 解析】由题意知()sin 2cos()6f x x x x π=-=+,按n (a,0)=-平移 ,得到函数()2cos()6f x a x a π+=++,即2cos()6y x a π=++ ,此时函数为偶函数 ,所以,6a k k Z ππ+=∈,所以,6a k k Z ππ=-+∈ ,所以当1k =时 ,a 的最||小值为π65 .。

2021年广东省广州市高考数学综合测试试卷（3月份）（一模）一、选择题（共8小题）.1．复数z＝在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则∁R A＝（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≤﹣2或x≥1}D．{x|x≤﹣1或x ≥2}3．2020年11月10日，我国“奋斗者”号载人深潜器在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达到惊人的10909m，创造了我国载人深潜的新记录．当“奋斗者”号下潜至某一深度时，处于其正上方海面处的科考船用声呐装置向“奋斗者”号发射声波．已知声波在海水中传播的平均速度约为1450m/s，若从发出至回收到声波所用时间为6s，则“奋斗者”号的实际下潜深度约为（）A．2900m B．4350m C．5800m D．8700m4．a＞b+1是2a＞2b的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．函数f（x）＝x3﹣sin x在[﹣1，1]上的图像大致为（）A．B．C．D．6．如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为（）A．30B．40C．44D．707．已知A（﹣1，0），B（0，2），直线l：2x﹣2ay+3+a＝0上存在点P，满足|PA|+|PB|＝，则l的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知e≈2.71828是自然对数的底数，设a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣ln2，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b二、选择题（共4小题）.9．已知点O为坐标原点，直线y＝x﹣1与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，则（）A．|AB|＝8B．OA⊥OBC．△AOB的面积为2D．线段AB的中点到直线x＝0的距离为2 10．已知函数f（x）＝sin2x+2cos2x，则（）A．f（x）的最大值为3B．f（x）的图像关于直线x＝对称C．f（x）的图像关于点（﹣，1）对称D．f（x）在[﹣，]上单调递增11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝1，点Q 是棱A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则下面结论中正确的是（）A．PQ与EF一定不垂直B．二面角P﹣EF﹣Q的正弦值是C．△PEF的面积是2D．点P到平面QEF的距离是常量12．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2，…；第n（n∈N*）次得到数列1，x1，x2，x3，…，x k，2；…．记a n＝1+x1+x2+…+x k+2，数列{a n}的前n项为S n，则（）A．k+1＝2n B．a n+1＝3a n﹣3C．a n ＝（n2+3n）D．S n ＝（3n+1+2n﹣3）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设向量＝（1，m ），＝（2，1），且•（2+）＝7，则m ＝．14．某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，这5次试验的数据如表：零件数x（个）102030405062a758189加工时间y（min）若用最小二乘法求得回归直线方程为＝0.67x+54.9，则a的值为．15．已知圆（x﹣1）2+y2＝4与双曲线C：＝1的两条渐近线相交于四个点，按顺时针排列依次记为M，N，P，Q，且|MN|＝2|PQ|，则C的离心率为．16．已知三棱锥P﹣ABC的底面ABC是边长为6的等边三角形，PA＝PB＝PC＝，先在三棱锥P﹣ABC内放入一个内切球O1，然后再放入一个球O2，使得球O2与球O1及三棱锥P﹣ABC的三个侧面都相切，则球O1的体积为，球O2的表面积为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，cos2B＝cos（A+C），a sin A+c sin C＝6sin B．（1）求B；（2）求△ABC的周长．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，a2是a1，a5的等比中项，S5＝25．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n+b n+1＝S n，求b2﹣b20．19．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E是边AB的中点（如图1），将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置，连接A1B，A1C，得到四棱锥A1﹣BCDE（如图2）．（1）证明：平面A1BE⊥平面BCDE；（2）若A1E⊥BE，连接CE，求直线CE与平面A1CD所成角的正弦值．20．某中学举行篮球趣味投篮比赛，比赛规则如下：每位选手各投5个球，每一个球可以选择在A区投篮也可以选择在B区投篮，在A区每投进一球得2分，投不进球得0分；在B区每投进一球得3分，投不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A区和B区每次投篮进球的概率分别为和，且各次投篮的结果互不影响．（1）若甲投篮得分的期望值不低于7分，则甲选择在A区投篮的球数最多是多少个？（2）若甲在A区投3个球且在B区投2个球，求甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率．21．已知点A（1，0），点B是圆O1：（x+1）2+y2＝16上的动点，线段AB的垂直平分线与BO1相交于点C，点C的轨迹为曲线E．（1）求E的方程；（2）过点O1作倾斜角互补的两条直线l1，l2，若直线l1与曲线E交于M，N两点，直线l2与圆O1交于P，Q两点，当M，N，P，Q四点构成四边形，且四边形MPNQ的面积为8时，求直线l1的方程．22．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2+x（a∈R）．（1）证明：曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线l恒过定点；（2）若f（x）有两个零点x1，x2，且x2＞2x1，证明：．参考答案一、选择题（共8小题）.1．复数z＝在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵＝，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．2．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则∁R A＝（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≤﹣2或x≥1}D．{x|x≤﹣1或x ≥2}解：因为集合A＝{x|（x﹣1）（x+2）＜0}＝{x|﹣2＜x＜1}，由补集的定义可知，∁R A＝{x|x≤﹣2或x≥1}．故选：C．3．2020年11月10日，我国“奋斗者”号载人深潜器在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达到惊人的10909m，创造了我国载人深潜的新记录．当“奋斗者”号下潜至某一深度时，处于其正上方海面处的科考船用声呐装置向“奋斗者”号发射声波．已知声波在海水中传播的平均速度约为1450m/s，若从发出至回收到声波所用时间为6s，则“奋斗者”号的实际下潜深度约为（）A．2900m B．4350m C．5800m D．8700m解：由题意可得“奋斗者”号的实际下潜深度约为：S＝vt＝1450×3＝4350m，故选：B．4．a＞b+1是2a＞2b的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由a＞b+1能够推出2a＞2b，由2a＞2b能推出a＞b，不能推出a＞b+1，故a＞b+1是2a＞2b的充分不必要条件，故选：A．5．函数f（x）＝x3﹣sin x在[﹣1，1]上的图像大致为（）A．B．C．D．解：∵f（1）＝1﹣sin1＞0，∴排除选项A和D，又f（）＝（）3﹣sin＝（）3﹣＜0，∴排除选项B，故选：C．6．如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为（）A．30B．40C．44D．70解：根据题意，四个阴数即4个偶数：2、4、6、8，五个阳数即5即奇数：1、3、5、7、9，从中任选3个，使选出的3个数和为奇数，有2种情况，①选出的3个数都是奇数，有C53＝10种选法，②选出的3个数是2个偶数和1个奇数，有C42C51＝30种选法，一共有30+10＝40种选法，故选：B．7．已知A（﹣1，0），B（0，2），直线l：2x﹣2ay+3+a＝0上存在点P，满足|PA|+|PB|＝，则l的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．解：将点A，B代入直线l的方程，可知点A，B均不在直线l上，设P（x，y），则，又|AB|＝，且|PA|+|PB|＝，所以点P的轨迹为线段AB，因为线段AB的方程为，即y＝2x+2，x∈[﹣1，0]，联立方程组，解得，直线l的斜率为k＝，设l的倾斜角为α，则，因为﹣1≤x≤0，所以，即﹣1≤tanα≤1，α∈（0，π），解得α∈．故选：D．8．已知e≈2.71828是自然对数的底数，设a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣ln2，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b解：已知e≈2.71828是自然对数的底数，a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣ln2，设f（x）＝﹣，则f′（x）＝﹣，当0≤x≤时，f′（x）＞0，函数f（x）在0≤x≤上是增函数，当x＞时，f′（x）＜0，函数f（x）在x＞上是减函数，a＝f（3），b＝f（2），而＜2＜3，所以b＞a，又因为e x＞x+1，x≠1，为常用不等式，可得，令g（x）＝﹣lnx，g′（x）＝﹣，当x＜e时，g′（x）＜0，函数g（x）在x＜e上是减函数，故g（2）＞g（e）＝0，则＞ln2，即﹣＜﹣ln2，则c＞b，故：a＜b＜c故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知点O为坐标原点，直线y＝x﹣1与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，则（）A．|AB|＝8B．OA⊥OBC．△AOB的面积为2D．线段AB的中点到直线x＝0的距离为2解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得y2﹣4y﹣4＝0，所以y1+y2＝4，y1y2＝﹣4，x1+x2＝y1+1+y2+1＝6，x1x2＝（y1+1）（y2+1）＝y1y2﹣（y1+y2）+1＝﹣4﹣4+1＝﹣7，对于A：|AB|＝＝＝8，故A正确；对于B：•＝（x1，y1）（x2，y2）＝x1x2+y1y2＝﹣7+（﹣4）＝﹣11≠0，故B不正确；对于C：点O到直线AB的距离d＝＝，所以S△AOB＝•|AB|•d＝•8•＝2，故C正确；对于D：线段AB的中点坐标为（，），即（3，2），所以线段AB的中点到直线x＝0的距离为2，故D正确．故选：AC．10．已知函数f（x）＝sin2x+2cos2x，则（）A．f（x）的最大值为3B．f（x）的图像关于直线x＝对称C．f（x）的图像关于点（﹣，1）对称D．f（x）在[﹣，]上单调递增解：f（x）＝sin2x+2×＝sin2x+cos2x+1＝（sin2x+cos2x）+1＝sin（2x+）+1，A：∵sin（2x+）∈[﹣1，1]，∴f（x）的最大值为+1，∴A不正确．B：当x＝时，f（）＝sin+1＝+1，∴f（x）的图象关于直线x＝对称，∴B正确．C：当x＝﹣时，f（﹣）＝sin0+1＝1，∴f（x）的图象关于点（﹣，1）对称，∴C正确．D：∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴f（x）在区间[﹣，]上先增后减，∴D不正确．故选：BC．11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝1，点Q 是棱A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则下面结论中正确的是（）A．PQ与EF一定不垂直B．二面角P﹣EF﹣Q的正弦值是C．△PEF的面积是2D．点P到平面QEF的距离是常量解：对于A，当P与点D1重合时，PQ⊥EF，故选项A错误；对于B，由于点P是棱C1D1上的动点，EF是棱AB上的一条线段，所以平面PEF即平面ABC1D1，建立如图所示的空间直角坐标系，则Q（2，0，4），A（4，0，0），B（4，4，0），所以，平面QEF即平面QAB，设平面QAB的法向量为，则，即，令z＝1，则，同理可求得平面ABC1D1的法向量为，设二面角P﹣EF﹣Q为θ，所以，故，故选项B正确；对于C，由于AB⊥平面BB1CC1，又BC1⊂平面BB1CC1，所以AB⊥BC1，所以BC1⊥EF，所以BC1是△PEF的高，所以，故选项C正确；对于D，由于C1D1∥EF，且C1D1⊄平面QEF，EF⊂平面QEF，所以C1D1∥平面QEF，又点P在C1D1上，所以点P到平面QEF的距离为常量，故选项D正确．故选：BCD．12．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2，…；第n（n∈N*）次得到数列1，x1，x2，x3，…，x k，2；…．记a n＝1+x1+x2+…+x k+2，数列{a n}的前n项为S n，则（）A．k+1＝2n B．a n+1＝3a n﹣3C．a n＝（n2+3n）D．S n＝（3n+1+2n﹣3）解：由a1＝3+3，a2＝3+3+9，a3＝3+3+9+27，a4＝3+3+9+27+81，，…，a n＝3+31+32+33+…+3n＝3+＝，由a1有3项，a2有5项，a3有9项，a5有17项，…，故a n有2n+1项．故C错误；所以k+2＝2n+1，即k+1＝2n，故A正确；由a n ＝，可得a n+1＝＝3a n﹣3，故B正确；由S n＝a1+a2+…+a n ＝（32+33+34+…+3n+1）+＝•+＝（3n+1+2n﹣3），故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设向量＝（1，m ），＝（2，1），且•（2+）＝7，则m ＝﹣1．解：∵向量＝（1，m ），＝（2，1）．m 实数，∴2+＝（4，2m+1），∵•（2+）＝7，∴•（2+）＝8+2m+1＝7，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1．14．某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，这5次试验的数据如表：零件数x（个）102030405062a758189加工时间y（min）若用最小二乘法求得回归直线方程为＝0.67x+54.9，则a的值为68．解：由题意可知：＝＝30，＝＝，回归直线方程为＝0.67x+54.9经过样本中心，所以＝0.67×30+54.9，解得a＝68．故答案为：68．15．已知圆（x﹣1）2+y2＝4与双曲线C：＝1的两条渐近线相交于四个点，按顺时针排列依次记为M，N，P，Q，且|MN|＝2|PQ|，则C的离心率为．解：双曲线C的渐近线的方程为y＝±x，由题意可知MN⊥x轴，PQ⊥x轴，设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），Q（x2，﹣y2），联立，k＝，得（1+k2）x2﹣2x﹣3＝0，所以x1+x2＝，x1x2＝，又因为|MN|＝2|PQ|，所以△MON∽△POQ，相似比为2：1，所以|x1|＝2|x2|，即x1＝﹣2x2，所以x1+x2＝﹣x2＝，x1x2＝﹣2x22＝，所以﹣2（）2＝，解得k2＝，所以e＝＝＝＝．故答案为：．16．已知三棱锥P﹣ABC的底面ABC是边长为6的等边三角形，PA＝PB＝PC＝，先在三棱锥P﹣ABC内放入一个内切球O1，然后再放入一个球O2，使得球O2与球O1及三棱锥P﹣ABC的三个侧面都相切，则球O1的体积为，球O2的表面积为．解：设O为△ABC外接圆的圆心，因为ABC是边长为6的等边三角形，所以，因为OP2+OA2＝PA2，解得OP＝3，设球O1的半径为r，球O2的半径为R，由等体积法可得，＝＝＝，所以＝1，所以球O1的体积为；作截面图如图所示，可知O1O＝O1N＝1，则PN＝1，PO1＝2，PO2＝1﹣R，因为△PO2E∽△PO1F，则，即，解得，所以球O2的表面积为＝．故答案为：；．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，cos2B＝cos（A+C），a sin A+c sin C＝6sin B．（1）求B；（2）求△ABC的周长．解：（1）因为cos2B＝cos（A+C），所以2cos2B﹣1＝﹣cos B，解得，cos B＝或cos B＝﹣1（舍），由B为三角形内角得B＝，（2）因为a sin A+c sin C＝6sin B，由正弦定理得，a2+c2＝6b＝18，因为cos B＝＝＝，故ac＝9，所以（a+c）2＝a2+c2+2ac＝18+18＝36，故a+c＝6，所以△ABC的周长a+b+c＝9．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，a2是a1，a5的等比中项，S5＝25．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n+b n+1＝S n，求b2﹣b20．解：（1）由a2是a1，a5的等比中项，可得a22＝a1a5，即为（a1+d）2＝a1（a1+4d），化为d＝2a1，由S5＝25，可得5a1+10d＝25，即a1+2d＝5，解得a1＝1，d＝2，则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）S n＝n（1+2n﹣1）＝n2，b n+b n+1＝S n＝n2，①可得b n+1+b n+2＝（n+1）2，②②﹣①可得b n+2﹣b n＝2n+1，则b20＝b2+（b4﹣b2）+（b6﹣b4）+…+（b20﹣b18）＝b2+5+9+…+37＝b2+×9×（5+37）＝b2+189，所以b2﹣b20＝﹣189．19．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E是边AB的中点（如图1），将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置，连接A1B，A1C，得到四棱锥A1﹣BCDE（如图2）．（1）证明：平面A1BE⊥平面BCDE；（2）若A1E⊥BE，连接CE，求直线CE与平面A1CD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵菱形ABCD，且∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∵E为AB的中点，∴DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥A1E，又BE∩A1E＝E，BE、A1E⊂平面A1BE，∴DE⊥平面A1BE，∵DE⊂平面BCDE，∴平面A1BE⊥平面BCDE．（2）解：由（1）知，平面A1BE⊥平面BCDE，∵A1E⊥BE，平面A1BE∩平面BCDE＝BE，∴A1E⊥平面BCDE，以E为原点，ED，EB，EA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，1），C（，2，0），D（，0，0），E（0，0，0），∴＝（，2，0），＝（，0，﹣1），＝（0，﹣2，0），设平面A1CD的法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1，则y＝0，z＝，∴＝（1，0，），设直线CE与平面A1CD所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，故直线CE与平面A1CD所成角的正弦值为．20．某中学举行篮球趣味投篮比赛，比赛规则如下：每位选手各投5个球，每一个球可以选择在A区投篮也可以选择在B区投篮，在A区每投进一球得2分，投不进球得0分；在B区每投进一球得3分，投不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A区和B区每次投篮进球的概率分别为和，且各次投篮的结果互不影响．（1）若甲投篮得分的期望值不低于7分，则甲选择在A区投篮的球数最多是多少个？（2）若甲在A区投3个球且在B区投2个球，求甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率．解：（1）甲在A区每次投篮得分的期望为2×＝，在B区每次投篮得分的期望为3×＝，设甲选择在A区投篮的球数为x个，则x+（5﹣x）≥7，解得x≤3，所以甲选择在A区投篮的球数最多是3个．（2）甲在B区投中0个，在A区投中1，2，3个的概率为[1﹣]×＝，甲在B区投中1个，在A区投中2个或3个的概率（×××+××）×＝，甲在B区投中2个得6分，此时在A区投篮得分不可能高于B区，故甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率为+＝．21．已知点A（1，0），点B是圆O1：（x+1）2+y2＝16上的动点，线段AB的垂直平分线与BO1相交于点C，点C的轨迹为曲线E．（1）求E的方程；（2）过点O1作倾斜角互补的两条直线l1，l2，若直线l1与曲线E交于M，N两点，直线l2与圆O1交于P，Q两点，当M，N，P，Q四点构成四边形，且四边形MPNQ的面积为8时，求直线l1的方程．解：（1）由已知得，圆O1的圆心为O1（﹣1，0），半径r＝|BO1|＝4，点A（1，0），因为线段AB的垂直平分线与BO1相交于点C，所以|CA|＝|CB|，所以|CA|+|CO1|＝|CB|+|CO1|＝|BO1|＝4＞|O1A|，所以点C的轨迹是以O1，A为焦点，长轴长为4的椭圆，设曲线E的方程为+＝1（a＞b＞0），则2a＝4，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆E的方程为+＝1．（2）由题意可得直线l1，l2的斜率都存在且不为0，设直线l1的方程为y＝k（x+1），M（x1，y1），N（x2，y2），由得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，△＝（8k2）2﹣4（3+4k2）（4k2﹣12）＝144（1+k2）＞0，所以x1+x2＝﹣，x1x2＝，所以|MN|＝|x1﹣x2|＝＝＝•＝，由于直线l2过圆O1的圆心，则|PO1|＝|QO1|＝4，且P，Q两点到直线MN的距离相等，设直线l2的倾斜角为θ，则tan（π﹣θ）＝k，即tanθ＝﹣k，又点P到直线MN的距离d＝|PO1||sin2θ|＝4||＝4×＝，则四边形MPNQ的面积S＝2S△PMN＝d×|MN|＝，由于四边形MPNQ的面积为8，则＝8，解得k＝±，所以直线l1的方程为y＝±（x+1）．22．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2+x（a∈R）．（1）证明：曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线l恒过定点；（2）若f（x）有两个零点x1，x2，且x2＞2x1，证明：．【解答】证明：（1）f′（x）＝xlnx﹣ax2+x＝lnx+1﹣2ax+1＝lnx﹣2ax+2，f′（1）＝2﹣2a，又f（1）＝1﹣a，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（1﹣a）＝（2﹣2a）（x﹣1），即y＝2（1﹣a）（x﹣），当x＝时，y＝0，故直线l过定点（，0）；（2）∵x1，x2是f（x）的两个零点，且x2＞2x1，∴，可得，∴＝＝，令t＝（t＞2），∴lnx1x2+2＝＝，构造函数g（t）＝，g′（t）＝，令h（t）＝t﹣，则h′（t）＝＞0，则h（t）在（2，+∞）上单调递增，而h（2）＝2﹣＝＞0，∴g′（t）＞0，则g（t）在（2，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（2）＝3ln2，可得ln（x1x2）+2＞3ln2，则ln（x1x2）＞，即x1x2＞，则＞＞．。

2021年高三3月统一测试（一模）数学（理）试题含解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，则集合B可能是（） A． {1，2} B．{x|x≤1} C． {﹣1，0，1} D． R【考点】：交集及其运算．【专题】：计算题；集合．【分析】：由集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，得B⊆A，由此能求出结果．【解析】：解：∵集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，∴B⊆A，观察备选答案中的4个选项，只有{1，2}⊆A．故选：A．【点评】：本题考查交集性质的应用，是基础题，解题时要认真审题．2．（5分）在极坐标系中，圆ρ=2被直线ρsinθ=1截得的弦长为（）A．B． 2 C． 2 D． 3【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：首先把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出弦长．【解析】：解：圆ρ=2的极坐标方程转化成直角坐标方程为：x2+y2=4．直线ρsinθ=1转化成直角坐标方程为：y=1．所以：圆心到直线y=1的距离为1．则：弦长l==．故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离及勾股定理的应用．3．（5分）执行如图的程序框图，若输出的S=48，则输入k的值可以为（）A． 4 B． 6 C．8 D．10【考点】：程序框图．【专题】：算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当S=48时，由题意，此时应该满足条件n=10＞k，退出循环，输出S的值为48，故应有：7＜k＜10．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得n=1，S=1不满足条件n＞k，n=4，S=6不满足条件n＞k，n=7，S=19不满足条件n＞k，n=10，S=48由题意，此时应该满足条件n=10＞k，退出循环，输出S的值为48，故应有：7＜k＜10故选：C．【点评】：本题主要考查了程序框图和算法，根据退出循环的条件分析k的取值范围是解题的关键，属于基础题．4．（5分）已知m∈R，“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据函数的性质求出m的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解析】：解：若函数y=f（x）=2x+m﹣1有零点，则f（0）=1+m﹣1=m＜1，当m≤0时，函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数不成立，即充分性不成立，若y=log m x在（0，+∞）上为减函数，则0＜m＜1，此时函数y=2x+m﹣1有零点成立，即必要性成立，故“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的必要不充分条件，故选：B【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数零点和对数函数的性质求出等价条件是解决本题的关键．5．（5分）二项式（2x+）6的展开式中，常数项的值是（）A．240 B．60 C．192 D．180【考点】：二项式系数的性质．【专题】：概率与统计．【分析】：利用通项公式T r+1==x6﹣3r，令6﹣3r=0，解得r=2．即可得出．【解析】：解：T r+1==x6﹣3r，令6﹣3r=0，解得r=2．∴常数项的值是==240．故选：A．【点评】：本题考查了二项式定理的通项公式、常数项，属于基础题．6．（5分）等差数列{a n}中，a，a k=（m≠k），则该数列前mk项之和为（）A．B．C．D．【考点】：等差数列的前n项和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由已知求出等差数列的公差，得到a mk，然后代入前n项和公式得答案．【解析】：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的性质以及已知条件得d==，∵a1+（m﹣1）d=a m，∴a1=﹣（m﹣1）=，∴a mk=+（mk﹣1）=1，∴s mk==．故选：C．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．7．（5分）（xx•湖北）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②【考点】：简单空间图形的三视图．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．【解析】：解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，故选：D．【点评】：本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．8．（5分）如果双曲线的离心率e=，则称此双曲线为黄金双曲线．有以下几个命题：①双曲线是黄金双曲线；②双曲线y是黄金双曲线；③在双曲线中，F1为左焦点，A2为右顶点，B1（0，b），若∠F1 B1 A2=90°，则该双曲线是黄金双曲线；④在双曲线中，过焦点F2作实轴的垂线交双曲线于M、N两点，O为坐标原点，若∠MON=120°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为（）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：对于①②求出双曲线的离心率判断正误；对于③通过∠F1B1A2=90°，转化为a，b，c的关系，求出双曲线的离心率判断正误；对于④，MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=120°，转化为a，b，c的关系，求出双曲线的离心率判断正误．【解析】：解：①双曲线中a=，c=，离心率是，故不是黄金双曲线，即①正确；②由双曲线y，可得离心率e==，故该双曲线是黄金双曲线，即②正确；③∵∠F1B1A2=90°，∴，∴b2+c2+b2+a2=（a+c）2，化为c2﹣ac﹣a2=0，由③可知该双曲线是黄金双曲线；④如图，MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=120°，∴NF2=OF2，∴，∴b2=3ac，∴c2﹣a2=3ac，∴e2﹣3e﹣1=0，∴e=，∴该双曲线不是黄金双曲线，故选：B【点评】：本题考查双曲线的基本性质，a，b，c的关系，离心率的求法，考查计算能力．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）z=1+i，为复数z的共轭复数，则z+=1+．【考点】：复数代数形式的混合运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：直接利用复数的模，共轭复数化简求解即可．【解析】：解：z=1+i，=1﹣i，z+=1+i+（1﹣i）+|1+i|﹣1=1+．故答案为：1+．【点评】：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．10．（5分）如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则∠CBD=30°．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：欲求：“∠CBD”，根据圆中角的关系：∠COD=2∠CBD，只要求出∠COD即可，把它放在三角形COD中，可利用切割线定理求出CD的长，从而解决问题．【解析】：解：由割线定理得，PA×PB=PC×PD，∵PA=4，PC=5，∴4×10=5×PD，∴PD=8，∴CD=8﹣5=3，∴△CDO是等边三角形，∴∠COD=60°，从而∠CBD=30°．故填：30°或．【点评】：此题中要通过计算边长，发现直角三角形或等腰三角形或等边三角形．本题主要考查与圆有关的比例线段、圆周角定理、圆中的切割线定理，属于基础题．11．（5分）设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点M，则点M落在圆x2+y2=1内的概率为．【考点】：几何概型；简单线性规划．【专题】：概率与统计．【分析】：首先分别画出区域D、M，然后分别计算面积，利用几何概型的公式解答即可．【解析】：解：平面区域D以及满足条件的M如图阴影部分区域D的面积为=4，区域M的面积为，由几何概型的公式得点M落在圆x2+y2=1内的概率为；故答案为：．【点评】：本题考查了几何概型的概率公式的运用；关键是明确区域的面积，利用公式解答．12．（5分）如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，，满足=x+y（x，y∈R），则=．【考点】：向量的三角形法则．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据向量的运算法则以及向量的基本定理进行运算即可．【解析】：解：将向量，，放入坐标系中，则向量=（1，2），=（2，﹣1），=（3，4），∵=x+y，∴（3，4）=x（1，2）+y（2，﹣1），即，解得，则=，故答案为：．【点评】：本题主要考查向量的分解，利用向量的坐标运算是解决本题的关键．13．（5分）若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的课程中恰有2门相同的选法有180种．【考点】：计数原理的应用．【专题】：排列组合．【分析】：根据分步计数原理，先选2门确定为甲乙相同的2门，再从剩下的4门中任选2门分配给甲乙即可．【解析】：解：先出6门中选2门，再从剩下的4门再选2门分给甲乙，故甲乙所选的课程中恰有2门相同，故有C62×A42=180种情况，故答案为：180．【点评】：本题考查分步计数原理，关键是如何分步，属于基础题14．（5分）已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，都存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=}；②M={（x，y）|y=log2x}；③M={（x，y）|y=e x﹣2；④M={（x，y）|y=sinx+1．其中是“垂直对点集”的序号是③④．【考点】：点到直线的距离公式．【专题】：导数的综合应用．【分析】：由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足：曲线y=f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．【解析】：解：由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足：曲线y=f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．①M={（x，y）|y=}，假设集合M是“垂直对点集”，则存在两点，，满足=﹣1，化为=﹣1，无解，因此假设不成立，即集合M不是“垂直对点集”，②M={（x，y）|y=log2x}，（x＞0），取（1，0），则不存在点（x2，log2x2）（x2＞0），满足1×x2+0=0，因此集合M不是“垂直对点集”；③M={（x，y）|y=e x﹣2，结合图象可知：集合M是“垂直对点集”；④M={（x，y）|y=sinx+1，结合图象可知：集合M是“垂直对点集”．综上可得：只有③④是“垂直对点集”．故答案为：③④．【点评】：本题考查了新定义“垂直对点集”、直线垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在平面直角坐标系xOy中设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（x1，y1），将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q（x2，y2）记f（α）=y1+y2（1）求函数f（α）的值域；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=，且a=，c=1，求b．【考点】：任意角的三角函数的定义；直线与圆的位置关系．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：（1）根据三角函数的定义求出函数f（α）的表达式，即可求出处函数的值域；（2）根据条件求出C，根据余弦定理即可得到结论．【解析】：解：（Ⅰ）由三角函数定义知，y1=sinα，y2=sin（α+）=cosα，f（α）=y1+y2=cosα+sinα=sin（α+），∵角α为锐角，∴＜α+＜，∴＜sin（α+）≤1，∴1＜sin（α+）≤，则f（α）的取值范围是（1，]；（Ⅱ）若f（C）=，且a=，c=1，则f（C）═sin（C+）=，即sin（C+）=1，则C=，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即1=2+b2﹣2×b，则b2﹣2b+1=0，即（b﹣1）2=0，解得b=1．【点评】：本题主要考查三角函数的定义以及余弦定理的应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．16．（13分）国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI）与空气质量等级对应关系如下表：下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市xx年3月某时刻实时监测到的数据：（Ⅰ）求x的值，并根据上表中的统计数据，判断东、西部城市AQI数值的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）根据AQI的平均数及其它几个城市的AQI值即可求出x，带入方差公式即可求出并比较出东西部城市AQI数值的方差；（Ⅱ）根据古典概型的求概率方法求出随机变量ξ分别取1，2，3时的概率，从而列出其分布列，带入数学期望公式即可求出其数学期望．【解析】：解：（Ⅰ）x=82，；（Ⅱ）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个；根据题意ξ的所有可能取值为：1，2，3；P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=；∴ξ的分布列为：所以E（ξ）=．【点评】：考查对数据平均值的理解，方差的概念及计算方差的公式，古典概型的概率求解，以及组合数公式，离散型随机变量的分布列的概念，数学期望的概念及求解公式．17．（14分）如图，多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，正方形ADEF的边长为2，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=AD=2，CD=4．（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；（Ⅱ）试在平面CDE上确定点P，欲使点P到直线DC、DE的距离相等，且AP与平面BEF 所成的角等于30°．【考点】：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】：计算题；证明题．【分析】：（Ⅰ）欲证BC⊥平面BDE，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面BDE内两相交直线垂直，根据面面垂直的性质可知ED⊥平面ABCD，则ED⊥BC，根据勾股定理可知BC⊥BD，满足定理所需条件；（Ⅱ）DE，DA，DC两两垂直，以D为顶点，DA，DC，DE分别为x轴y轴z轴，建立直角坐标系D﹣xyz，求出D，A，E，B，F，以及，，设P（o，y，z）通过|y|=|z|．设是平面BEF 的法向量，利用，求出，推出与所成的角为60°或120°．通过cos=和y|=|z|．求出P的坐标．【解析】：解：（Ⅰ）在正方形ADEF中，ED⊥AD．又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，所以ED⊥平面ABCD．所以ED⊥BC．（3分）在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得在△BCD中，，所以BD2+BC2=CD2．所以BC⊥BD．（5分）所以BC⊥平面BDE．（6分）（Ⅱ）DE，DA，DC两两垂直，以D为顶点，DA，DC，DE分别为x轴y轴z轴，建立直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），A（2，0，0），E（0，0，2），B（2，2，0），F（2，0，2）=（2，0，0），设P（o，y，z）则|y|=|z|．令是平面BEF的法向量，则，∴令y′=1，得∴∵AP与平面BEF所成的角等于30°∴与所成的角为60°或120°．∴cos===．∴y2+z2+4yz﹣4=0又∵|y|=|z|．∴y=z或y=﹣z，当y=z时y=z=，当y=﹣z时，上式无解，∴P（0，），或P（0，﹣）．【点评】：本题考查直线与平面垂直，直线与平面所成的角，空间向量的运算，考查空间想象能力，计算能力已经逻辑推理能力．18．（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣（a＞0）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．【考点】：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】：分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】：（Ⅰ）求出导数，求得单调区间，进而得到极小值；（Ⅱ）求出h（x）的导数，注意分解因式，结合a＞0，即可求得单调区间；（III）若在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0．即h（x）在[1，e]上的最小值小于零．对a讨论，①当1+a≥e，②当1＜1+a ＜e，求得单调区间和最小值即可．【解析】：解：（Ⅰ）f（x）=x﹣alnx的定义域为（0，+∞）．当a=1时，f′（x）=．由f′（x）=0，解得x=1．当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x=1时，函数f（x）取得极小值，极小值为f（1）=1﹣ln1=1；（Ⅱ）h（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣alnx+，其定义域为（0，+∞）．又h′（x）==．由a＞0可得1+a＞0，在0＜x＜1+a上，h′（x）＜0，在x＞1+a上，h′（x）＞0，所以h（x）的递减区间为（0，1+a）；递增区间为（1+a，+∞）．（III）若在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0．即h（x）在[1，e]上的最小值小于零．①当1+a≥e，即a≥e﹣1时，由（II）可知h（x）在[1，e]上单调递减．故h（x）在[1，e]上的最小值为h（e），由h（e）=e+﹣a＜0，可得a＞．因为＞e﹣1．所以a＞．②当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，由（II）可知h（x）在（1，1+a）上单调递减，在（1+a，e）上单调递增．h（x）在[1，e]上最小值为h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）．因为0＜ln（1+a）＜1，所以0＜aln（1+a）＜a．则2+a﹣aln（1+a）＞2，即h（1+a）＞2不满足题意，舍去．综上所述：a∈（，+∞）．【点评】：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式成立的问题转化为求函数的最值，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．19．（14分）已知椭圆C：离心率e=，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）利用短轴长及离心率即得椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），由（I）可得直线PA、QA的方程，从而可得以MN为直径的圆，化简后令y=0，则x=，即得结论．【解析】：（Ⅰ）解：由短轴长为，得b=，由=，得a2=4，b2=2．∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）结论：以MN为直径的圆过定点F（，0）．证明如下：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，∵A（﹣2，0），∴直线PA方程为：，∴Q（0，），直线QA方程为：，∴N（0，），以MN为直径的圆为，即，∵，∴，令y=0，则x2﹣2=0，解得x=．∴以MN为直径的圆过定点F（，0）．【点评】：本题考查椭圆，及其与直线的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（13分）设数列{a n}满足：①a1=1；②所有项a n∈N*；③1=a1＜a2＜…＜a n＜a n+1＜…设集合A m={n|a n≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值．我们称数列{b n}为数{a n}的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．（Ⅰ）若数列{a n}的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{a n}；（Ⅱ）设a n=3n﹣1，求数列{a n}的伴随数列{b n}的前30项之和；（Ⅲ）若数列{a n}的前n项和S n =n2+c（其中c常数），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前m项和T m．【考点】：数列的求和．【专题】：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】：（Ⅰ）根据伴随数列的定义直接可得答案；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m （m∈N*），分1≤m≤2，3≤m≤8，9≤m≤26，27≤m≤30（m∈N*）四种情况考虑即可；（III）由题意和a n与S n的关系式求出a n，代入a n≤m得n的最大值为b m，并求出伴随数列{b m}的各项，再对m分类讨论，分别求出伴随数列{b m}的前m项和T m．【解析】：解：（Ⅰ）根据题意，易得数列为1，4，7；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m （m∈N*）当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2当9≤m≤26，m∈N*时，b9=b10=…=b26=3当27≤m≤30，m∈N*时，b27=b28=b29=b30=4∴b1+b2+…+b30=1×2+2×6+3×18+4×4=84；（III）∵a1=S1=1+c=1，∴c=0；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1，∴a n=2n﹣1 （n∈N*）由a n=2n﹣1≤m得：（m∈N*）因为使得a n≤m成立的n的最大值为b m，所以b1=b2=1，b3=b4=2，…，b2t﹣1=b2t=t （t∈N*）当m=2t﹣1 （t∈N*）时：=t2=，当m=2t （t∈N*）时：=t2+t=所以．【点评】：本题考查数列的应用，着重考查对抽象概念的理解与综合应用的能力，观察、分析寻找规律是难点，属难题．jW2 37452 924C 鉌37005 908D 邍+29584 7390 玐35750 8BA6 讦38345 95C9 闉FnT。

广州市普通高中毕业班综合测试（一）第Ⅰ卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。

（1）复数()221i 1i+++的共轭复数是 （A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- 答案：B 解析：()221i 1i+++＝211i i i +-=+，共轭复数为：1i - （2）若集合}{1M x x =≤，}{2,1N y y x x ==≤，则（A ）M N = （B ）M N ⊆ （C ）N M ⊆ （D ）M N =∅答案：C解析：集合}{11M x x =-≤≤，{01N y y =≤≤，故有N M ⊆ （3）已知等比数列{}n a 的各项都为正数, 且35412a ,a ,a 成等差数列,则3546a a a a ++的值是（A（B（C ）（D答案：A解析：依题意，有345a a a +=，即234111a q a q a q +=，化简，得：210q q --=，解得：12q +=， 3546a a a a ++＝24211353111a q a q q a q a q q q ++=++＝1q＝12（4）阅读如图的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5答案：B解析：解析：第1步：n ＝16，k ＝2；第2步：n ＝49，k ＝3； 第3步：n ＝148，k ＝4；退出循环，k ＝4。

（5）已知双曲线C 222:14x y a -=的一条渐近线方程为230+=x y ,1F ,2F 分别 是双曲线C 的左，右焦点, 点P 在双曲线C 上, 且17PF =, 则2PF 等于 （A ）1 （B ）13 （C ）4或10 （D ）1或13答案：D解析：解析：依题意，有：223a =，所以，a ＝3，因为17PF = 所以，当点P 在双曲线的左支时，有｜PF 2｜－｜PF 1｜＝2a ，解得：｜PF 2｜＝13当点P 在双曲线的右支时，有｜PF 1｜－｜PF 2｜＝2a ，解得：｜PF 2｜＝1，故选D 。

广东省广州市广东实验中学2021届高三数学第三次阶段考试试题 理（含解析）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区 域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}260A x x x =--<，集合{}2|log 1B x x =<，则AB =（ ）A. ()2,3-B. (),3-∞C. ()2,2-D. ()0,2【答案】A 【解析】 【分析】先由二次不等式的解法得{}|23A x x =-<<，由对数不等式的解法得{}|02B x x =<<，再结合集合并集的运算即可得解.【详解】解不等式260x x --<,解得23x -<<,则{}|23A x x =-<<, 解不等式2log 1x <,解得02x <<,即{}|02B x x =<<, 即AB =()2,3-,故选:A.【点睛】本题考查了二次不等式的解法及对数不等式的解法，重点考查了集合并集的运算，属基础题.2.己知i 是虚数单位，复数z 满足1zi z=-，则z 的模是( ) A. 1 B.12C.2【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出． 【详解】1zz=-i ， ∴z ＝i -zi ， ∴z 1(1)11222i i i i i ===++-， ∴|z|2==， 故选：C ．【点睛】本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．3.若2,a ln =125b -=，201cos 2c xdx π=⎰，则,,a b c 的大小关系（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. c b a <<D.b c a <<【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的性质，以及微积分定理与12比较即可.【详解】12,2a ln =>=121,25b -=<== ()02111cos sin 22220c xdx x ππ=⎰=⨯=，故选：D【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的性质，微积分定理，考查利用中间量比较大小，属于常考题型. 4.若2sin cos 12x x π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则cos2x =（ ） A. 89-B. 79-C.79D. -1【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式化简得到sin x ，再结合二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】2sin sin 1x x +=，即1sin 3x =所以22cos 212sin 1799x x =-=-= 故选C【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，属于基础题.5.(,2)m ∈-∞-是方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】方程表示双曲线，可得()()()5320m m m --+<，解得m 范围即可判断出结论，解得m 范围即可判断出结论．【详解】由方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线，可得()()2560m m m ---<，即()()()5320m m m --+<即2m <-，或35m <<，∴ (,2)m ∈-∞-是方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线的充分不必要条件，故选：A【点睛】本题考查了双曲线的标准方程、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.点P 是ABC 所在平面上一点，若2355A APB AC =+，则ABP △与ACP △的面积之比是（ ） A.35B.52C.32D.23【答案】C 【解析】 【分析】由向量的线性运算可得32=BP PC ，即点P 在线段AB 上，且32=BP PC ,由三角形面积公式可得:ABP S ∆APC S ∆:3:2BP PC ==，得解.【详解】解：因为点P 是ABC 所在平面上一点，又2355AP AB AC =+， 所以2233-=-5555AP AB AC AP ,即23=55BP PC ,即32=BP PC ， 则点P 在线段BC 上，且32=BP PC ,又1sin 2APC S AP PC APC ∆=∠，1sin 2ABP S AP BP APB ∆=∠,又APB APC π∠+∠=，即sin sin APC APB ∠=∠， 所以点P 在线段BC 上，且32=BP PC , :ABP S ∆APCS ∆1sin :2AP BP APB =∠1sin 2AP PC APC ∠:3:2BP PC ==， 故选：C.【点睛】本题考查了向量的线性运算及三角形的面积公式，重点考查了运算能力，属中档题.7.已知()121sin 221x x f x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，则函数()y f x =的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】由函数解析式可得()()f x f x =-，则函数()y f x =为偶函数，其图像关于y 轴对称，再取特殊变量4π得04f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，即可得在()0,∞+存在变量使得()0f x <，再观察图像即可. 【详解】解：因为()121sin 221xx f x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，则()121sin 221x x f x x x ---⎛⎫-=-+⋅ ⎪+⎝⎭=121sin 221xx x x -⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭，即()()f x f x =-，则函数()y f x =为偶函数，其图像关于y 轴对称，不妨取4x π=，则 ()44221(08221f x πππ-=-<+，即在()0,∞+存在变量使得()0f x <， 故选D.【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断及函数的图像，重点考查了函数的思想，属中档题. 8.某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A. 24 B. 16C. 8D. 12【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解．【详解】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有222A =种情况； （2）将这个整体与英语全排列，有222A =中顺序，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个， 安排物理，有2中情况，则数学、物理的安排方法有224⨯=种， 所以不同的排课方法的种数是22416⨯⨯=种，故选B ．【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答红注意特殊问题和相邻问题与不能相邻问题的处理方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．9.已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是（ ） A. 3(0,]5B. 13[,]25C. 13[,]24D. 15[,)22【答案】B 【解析】 【分析】先化简()f x ，再根据正弦函数性质列方程与不等式，解得结果. 【详解】222()2sin cos ()sin sin (1cos())sin 422x f x x x x x x ωππωωωωω=--=+-- 2sin (1sin )sin sin x x x x ωωωω=+-=因为()f x 在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值， 所以255,,236222ππωπωπππωπ-≤-≤≤<，即13[,]25ω∈故选B【点睛】本题考查二倍角余弦公式、辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.10.设变量y 满足约束条件342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则z ＝|x －3y |的最大值为( )A. 8B. 4C. 2D.45【答案】A 【解析】由题意作出满足条件的可行域如图中阴影部分，则对于目标函数z=|x ﹣3y|，平移直线y=13x 可知， 当直线经过点A （﹣2，2）时，z=|x ﹣3y|取得最大值， 代值计算可得z max =|﹣2﹣3×2|=8． 故选A ．11.AOB 中，OA a OB b ==，，满足||2a b a b ⋅=-=，则AOB ∆的面积的最大值为（ ） 3 B. 2C. 23D. 22【答案】A 【解析】 【分析】利用数量积公式以及平方关系计算得到sin AOB ∠，利用模长公式以及基本不等式得到||||4a b ≤，结合三角形面积公式化简即可求解.【详解】||||cos 2a b a b AOB ⋅=∠=,即2cos ||||AOB a b ∠=22(||||)4sin 1|||2|||||a b AOB a b a b -⎛⎫∴∠=-=⎪⎝⎭22||||2||2a b a a b b -=-⋅+= ，即228||||2||||a b a b =+≥所以||||4a b ≤ 所以22(||||)41111||||sin ||||=(||||)4164=32222||||AOBa b S a b AOB a b a b a b ∆-=∠=-≤-故选A【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.12.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点P ，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点Q在线段2PF 的延长线上，且1,QF QP ⊥15sin 13F PQ ∠=，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A. 26⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B. 1,53⎛ ⎝⎭C. 1,52⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.2⎫⎪⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】首先满足QF 1⊥QP ，点Q 在椭圆的内部，故点Q 轨迹在以F 1F 2为直径，原点为圆心的圆上，且圆在椭圆的内部,得到e <；根据Q 在线段2PF 的延长线上，考虑极端情况，得到15e >，得到答案.【详解】∵QF 1⊥QP ，∴点Q 在以F 1F 2为直径，原点为圆心的圆上， ∵点Q 在椭圆的内部，∴以F 1F 2为直径的圆在椭圆内，∴c ＜b ；∴c 2＜a 2﹣c 2，∴212e ＜，故0＜e 2； 当Q 点与2F 重合时，此时不妨设113PF =，则125F F =，故212PF =.即252a =，52c =，此时15e =. Q 在线段2PF 的延长线上，故212PF F π>∠，故15e >. 综上可得：12,52e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C ．【点睛】本题考查了椭圆的性质、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数()3ln 2f x x x x =+，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是___________．【答案】750x y --= 【解析】 【分析】先求函数()f x 的导函数()'fx ，再由导数的几何意义，求()'17f =，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线的斜率为7，再由直线的点斜式方程求解即可.【详解】解：因为()3ln 2f x x x x =+，所以()'2ln 16fx x x =++，则()'21ln11617f =++⨯=，即曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是27(1)y x -=-，即750x y --=， 故答案为750x y --=.【点睛】本题考查了导数的几何意义、直线的点斜式方程，重点考查了导数的应用及运算能力，属基础题.14.()422x x --的展开式中，3x 的系数为 ． （用数字填写答案） 【答案】40- 【解析】试题分析：()422x x --()422x x ⎡⎤=-+⎣⎦展开后只有()42x +与()33242C x x -+中含3x 项其系数和为133124432240C C C ⨯-⨯⨯=-，故答案为40-.考点：二项展开式定理. 15.己知函数sin ()xx af x e-=有极值，则实数a 的取值范围为_____________【答案】( 【解析】 【分析】求出函数的导函数，则cos sin ()xx x af x e -+'=有可变零点，求三角函数的值域得到结果.【详解】由sin ()x x a f x e -=可得：cos sin ()xx x af x e -+'=， ∵函数sin ()xx af x e-=有极值， ∴cos sin ()xx x af x e -+'=有可变零点，∴cos sin 0x x a -+=，即sin cos 4a x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴(a ∈故答案为：(【点睛】本题考查函数存在极值的条件，考查三角函数的值域问题，考查转化思想，属于中档题.16.点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，5,AC =4,BC =将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使B DC '∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后AB '的最小值是_______．【解析】 【分析】过点B ′作B ′E ⊥CD 于E ，连结BE ，AE ，设∠BCD ＝∠B ′CD ＝α，则有B ′E ＝4sin α，CE ＝4cos α，2ACE πα∠=-，由此利用余弦定理、勾股定理能求出当4πα=时，AB ′取得最小值7．【详解】解：过点B ′作B ′E ⊥CD 于E ，连结BE ，AE ， 设∠BCD ＝∠B ′CD ＝α，则有B ′E ＝4sin α，CE ＝4cos α，2ACE πα∠=-，在△AEC 中，由余弦定理得：222516402AE cos cos cos πααα⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭＝25+16cos 2α﹣40sin αcos α，在Rt △AEB ′中，由勾股定理得：AB '2＝AE 2+B ′E 2＝25+16cos 2α﹣40sin αcos α+16sin 2α＝41﹣20sin2α，∴当4πα=时，AB ′取得最小值21．故答案为：21．【点睛】本题考查线段长的最小值的求法，考查余弦定理、勾股定理、直二面角等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分．17.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比是正数的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知．1122331,3,8,15a b a b T S ==+=-=(Ⅰ)求{}{},n n a b 的通项公式； (Ⅱ)若数列{}n c 满足11211222n n n n a c a c a c n +--+++=--对任意*n N ∈都成立；求证：数列{}n c 是等比数列．【答案】（1）1,32n n n a n b -==⋅；（2）证明见解析．【解析】(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为(0)q q >2375d q q q d +=+-=由题意得 (2)分2375d q q q d +=+-=解得………………………………………………………5分(Ⅱ)由知两式相减：………………………………8分…………………………………………………………………10分当时，，适合上式即是等比数列…………………………18.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠BCD ＝120°，四边形BFED 为矩形，平面BFED ⊥平面ABCD ，BF ＝1.(1)求证：AD ⊥平面BFED ；(2)点P 在线段EF 上运动，设平面PAB 与平面ADE 所成锐二面角为θ，试求θ的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2）θ最小值为60° 【解析】 【分析】（1）在梯形ABCD 中，利用勾股定理，得到AD ⊥BD ，再结合面面垂直的判定，证得DE ⊥平面ABCD ，即可证得AD ⊥平面BFED ；（2）以D 为原点，直线DA ，DB ，DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面PAB 与平面ADE 法向量，利用向量的夹角公式，即可求解。

广州市普通高中毕业班综合测试（一）第Ⅰ卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。

（1）复数()221i 1i+++的共轭复数是 （A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- 答案：B 解析：()221i 1i+++＝211i i i +-=+，共轭复数为：1i - （2）若集合}{1M x x =≤，}{2,1N y y x x ==≤，则（A ）M N = （B ）M N ⊆ （C ）N M ⊆ （D ）M N =∅答案：C解析：集合}{11M x x =-≤≤，{01N y y =≤≤，故有N M ⊆ （3）已知等比数列{}n a 的各项都为正数, 且35412a ,a ,a 成等差数列,则3546a a a a ++的值是（A（B（C ）（D答案：A解析：依题意，有345a a a +=，即234111a q a q a q +=，化简，得：210q q --=，解得：12q =， 3546a a a a ++＝24211353111a q a q q a q a q q q ++=++＝1q＝12（4）阅读如图的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为 （A ）2 （B ）3（C ）4 （D ）5答案：B解析：解析：第1步：n ＝16，k ＝2；第2步：n ＝49，k ＝3； 第3步：n ＝148，k ＝4；退出循环，k ＝4。

（5）已知双曲线C 222:14x y a -=的一条渐近线方程为230+=x y ,1F ,2F 分别 是双曲线C 的左，右焦点, 点P 在双曲线C 上, 且17PF =, 则2PF 等于 （A ）1 （B ）13 （C ）4或10 （D ）1或13答案：D解析：解析：依题意，有：223a =，所以，a ＝3，因为17PF =所以，当点P 在双曲线的左支时，有｜PF 2｜－｜PF 1｜＝2a ，解得：｜PF 2｜＝13 当点P 在双曲线的右支时，有｜PF 1｜－｜PF 2｜＝2a ，解得：｜PF 2｜＝1，故选D 。