2015年高考第一轮复习数学：2.9 函数的应用

§2.9函数的应用本节目录知能演练轻松闯关考向瞭望把脉高考考点探究讲练互动教材回顾夯实双基基础梳理1.几种常见的函数模型⑴一次函数模型丿=抵+方仇H0)；⑵反比例函数模型丿=£伙工0)；⑶二次函数模型j=tzx2+^x+c(a^0)；⑷指数函数模型_y=N(l+p)*；(5)y=x+f 型；(6)分段函数模型.2.解答函数应用题的思维过程利用函数模型解决的实际问题称为函数的应用问题.分析和解答函数应用问题的思想过程为：思考探究对于实际应用中的函数，其定义域应注意什么？提示：对实际应用中的函数，除了函数解析式本身的定义域之外，还应须使每个变量有实际意义.课前热身1.（教材改编）在一块半径为R的半圆形钢板上，计划剪成矩形ABCD的形状，在直径上，C、D在半圆周上，若设AB=x f 要使ABCD的面积最大，兀应为（）A. RD.炸C迈R答案：C2. （2011•高考湖北卷）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不.假设在放射性同位素铭137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间（（单位：年）满足函数关系：MC）=Mo2一初，其中Mo为（=0时链⑶的含量•已知（=30时，链137含量的变化率是一10 In 2（太贝克/年），则M（60）=（）亠门古A. 5太贝克B. 751n2太贝克C. 1501n 2太贝克D. 150太贝克解析：选D・•: M'（/）= 一訥。

2&・ln2,,.M' (30)= — 2 = — 101n2, .\M o=6OO.・•・M(t)=600X 2弋，・•・M(60)=600X 2~2= 150(太贝克).3.今有一组实验数据如下现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律, 其中最接近的一个是（）A. v=log2^ B・v=logl/2t2—lC. v— 2 D・ o = 2L2答案：C4._____________________________ 甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲到公园的距离与乙到公园的距离都是2 km,甲10时出发前往乙家，乙10时半从家中出发迎甲，如图表示甲从家出发到乙家为止经过的路程y(km)与时间班分)的关系，甲在公园中休息的时间是十分钟, 那么y =f(x)的函数表达式是________ •x(0WxW30) 答案：血:)=< 2 (30<xW40)希一2 (40<rW60)y(km)4 ...........30 40 60 x0>)5._______ 某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路，该产品的广告效应是产品的销售额与广告费之间的差.如果销售额与广告费的算术平方根成正比，根据市场抽样调查显示：每付出100元广告费，所得的销售额是1000元.则该企业应该投入元广告费，可以获得最大的广告效应.答案：2 500考点1 一次函数或二次函数模型(1)在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)；(2)有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等•一般利用函数图象的开口方向和对称轴与单调性解决,但一定要注意函数的定义域，否则极易出错.魏》图1是某种称为"凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面(阴影部分)的示意图，其中四边形4BCD是矩形, 弧CMD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与 ,设AB = 2r, BC=y.BM图2(1)写出丿关于兀的函数表达式，并指出兀的取值范围；(2)当兀取何值时，凹槽的强度最大？【思路分析】根据平面几何性质得y与兀的关系，强度与兀的关系，通过y代换.【解】(1)易知半圆CMD 的半径为小 圆CMD 的弧长为7rx ，2x+2y+nx=4,故半 4 4因为F 九齐, 所以当工=讨兀时，凹槽的强度最大・111 解得丿= 4—(2+7t)x 2依题意知 0<rvy••••()<¥< 44+兀°(2)设凹槽的强度为7；贝||有 2T=V^(2与—号)=— 馆(4+3兀) 2墮十4+3兀’【思维总结】本题极易出错的地方是定义域所隐含的关系,0<r<j,再者是对7的化简配方，因数字复杂而出错.考点2分段函数模型(1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画实际问题的重要模型.(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值.（2011•高考湖北卷）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度。

2.9 函数的应用考点梳理1．函数的实际应用 (1)基本函数模型：函数模型 函数解析式一次函数模型 二次函数模型指数型函数模型f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ＞0且a ≠1，b ≠0)对数型函数模型 f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ＞0且a ≠1，b ≠0)幂型函数模型f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)(2)其他函数模型． 2．函数建模(1)函数模型应用的两个方面： ①利用已知函数模型解决问题；②建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测． (2)应用函数模型解决问题的基本过程： 、 、 、 . 基础自测手机的价格不断降低，若每隔半年其价格降低14，则现在价格为2 560元的手机，两年后价格可降为( )A ．900元B ．810元C ．1 440元D ．160元(2013·湖北)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件规定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f (m )＝1.06(0.50×『m 』＋1)(单位：元)给出，其中m >0，记『m 』为大于或等于m 的最小整数，如『4』＝4，『2.7』＝3，『3.8』＝4，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为________元．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N )满足如图所示的二次函数关系，则每辆客车营运________年，其营运的年平均利润yx最大．典例解析类型一 幂型函数模型(2012·山东模拟)某公司计划投资A ，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资金额成正比，其关系如图1；B 产品的利润与投资金额的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资金额单位：万元)．(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式；(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品中．问怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？点拨：①列函数关系式时，注意自变量的取值范围；②求最值这里运用了换元法，导数法、不等式法也是解这类题比较常用的方法．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2.其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．类型二 指数型函数模型(2013·南京模拟)有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V m 3，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都为r m 3.现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合．用g (t )表示经过时间t (天)后每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其为经过时间t (天)后的湖水污染质量分数．已知目前污染源以每天p 克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g (t )＝p r＋⎣⎡⎦⎤g （0）－p r e －r V t (p ≥0)，其中g (0)是湖水污染的初始质量分数．(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；(2)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%?点拨：在认真审题，读懂题意之后，不难看出，第(1)问的本质是求g (0)；第(2)问中污染停止即p ＝0，从而转化为解方程的问题．(2014·南京三模)某种树苗栽种时高度为A (A 为常数)米，栽种n 年后的高度记为f (n )．经研究发现，f (n )近似地满足f (n )＝9A a ＋bt n，其中t ＝322-，a ，b 为常数，n ∈N ，f (0)＝A .已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．问：栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．类型三 对数型函数模型某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x (万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x (万元)，x ∈『8，64』时，奖金为y 万元，且y ＝log a x ，y ∈『3，6』，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金．(1)求奖金y 关于x 的函数解析式；(2)某营销人员争取年奖金y ∈『4，10』(万元)，年销售额x (万元)在什么范围内． 点拨：注意根据题中条件找准对应量，列出函数解析式(这里是分段式)，再转化为给定定义域上的“给值求值、给定范围求范围或最值”问题．有时可用函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1＋15ln aa －x ，x ≤6，x －4.4x －4，x >6描述学习某学科知识的掌握程度．其中x 表示某学科知识的学习次数(x ∈N *)，f (x )表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关．(1)证明：当x ≥7时，掌握程度的增长量f (x ＋1)－f (x )总是下降；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115，121』，(121，127』，(127，133』．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科(e 0.05≈1.0513)．类型四 分段函数模型(2014·南通二模)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的净化剂浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y ＝⎩⎨⎧168－x －1，0≤x ≤4，5－12x ，4<x ≤10.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次喷洒的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a (1≤a ≤4)个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值(精确到0.1，参考数据：2取1.4)．点拨：对于分段函数应用题，尤其是求最值问题，不仅要分段考虑，最后还要再将各段综合起来进行比较．要注意分段函数值域是各段上函数值域的并集，最大(小)值是各段上最大(小)值中最大(小)的．(2013·福建厦门调研)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．(1)设一次订购量为x 件，服装的实际出厂单价为P 元，写出函数P ＝f (x )的表达式； (2)当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？名师典金1．解函数应用问题的步骤(1)审题：数学应用问题的文字叙述长，数量关系分散且难以把握，因此，要认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，收集整理数据信息，这是解答数学问题的基础．(2)建模：在明确了问题的实际背景和收集整理数据信息的基础上进行科学的抽象概括，将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，合理引入自变量，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式(也叫目标函数)，将实际问题转化为数学问题，即实际问题数学化，建立数学模型．(3)解模：利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型或目标函数)予以解答，求得结果．(4)还原：将求解数学模型所得的结果还原为实际问题的意义，回答数学应用题提出的问题．以上过程可以用示意图表示为：模拟函数的过程可以用下面框图表示：2．函数模型的选择解题过程中选用哪种函数模型，要根据题目具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型．一般来说：如果实际问题的增长特点为直线上升，则选择直线模型；若增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(指数爆炸)，则选择指数型函数模型；若增长的特点是随着自变量的增大，函数值的增大速度越来越慢，则选择对数型函数模型；如果实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式表示，则选择分段函数模型等．另外，常见的出租车计费问题、税收问题、商品销售等问题，通常用分段函数模型；面积问题、利润问题、产量问题常选择幂型函数模型，特别是二次函数模型；而对于利率、细胞分裂、物质衰变，则常选择指数型函数模型．答案考点梳理1．(1)f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 2．审题 建模 解模 还原 基础自测『解析』半年降价一次，则两年后降价四次， 其价格降为2 560×⎝⎛⎭⎫1－144＝810元．故选B.『解析』由于纵坐标是距学校的距离，随着时间的推移，到学校的距离越来越近，所以不可能是A ；开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，所以D 错；对于B ，C ，我们发现B 中的两条斜线的斜率相近，没有体现出“为了赶时间加快速度行驶”，只有C 符合题意，故选C.『解析』因为y ′＝－x 2＋81，所以当x >9时，y ′<0；x ∈(0，9)时，y ′>0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x ＝9是函数的极大值点．又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x ＝9处取得最大值．故选C.『解析』∵f (5.5)＝1.06(0.50×『5.5』＋1)＝1.06(0.50×6＋1)＝4.24.故填4.24.『解析』由图象知，营运总利润y ＝－(x －6)2＋11. ∴营运的年平均利润y x ＝－x －25x＋12.当且仅当x ＝5时，yx 取最大值．故填5.『解析』(1)设投资x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元， 依题意可设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x . 由图1，得f (1)＝0.2，即k 1＝0.2＝15，由图2，得g (4)＝1.6，即k 2×4＝1.6，所以k 2＝45.故f (x )＝15x (x ≥0)，g (x )＝45x (x ≥0)．(2)设B 产品投入x 万元，则A 产品投入10－x 万元，设企业利润为y 万元， 由(1)得y ＝f (10－x )＋g (x )＝－15x ＋45x ＋2(0≤x ≤10)．因为y ＝－15x ＋45x ＋2＝－15(x －2)2＋145，0≤x ≤10，所以当x ＝2，即x ＝4时，y max ＝145＝2.8. 因此当A 产品投入6万元，B 产品投入4万元时，该企业获得最大利润为2.8万元．『解析』(1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润 f (x )＝(x －3)⎣⎡⎦⎤2x －3＋10（x －6）2＝2＋10(x －3)(x －6)2，3<x <6. 从而，f ′(x )＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (3，4) 4 (4，6) f ′(x ) ＋ 0 － f (x )极大值42由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点． 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．『解析』(1)∵g (t )为常数，∴g (0)－p r ＝0，∴g (0)＝pr .(2)污染源停止，即p ＝0，此时g (t )＝g (0)·e －rVt .设要经过t 天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%. 即g (t )＝5%·g (0)，即有5%·g (0)＝g (0)·e －rV t .由实际意义知g (0)≠0，∴120＝e －rVt .∴t ＝V r ln20，即需要Vrln20天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.『解析』由题意知f (0)＝A ，f (3)＝3A .所以⎩⎪⎨⎪⎧9Aa ＋b ＝A ，9A a ＋14b ＝3A ，解得a ＝1，b ＝8.所以f (n )＝9A 1＋8×t n，其中t ＝2－23.令f (n )＝8A ，得9A 1＋8×t n ＝8A ，解得t n＝164， 即2－2n 3＝164＝2－6，所以n ＝9.答：栽种9年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．『解析』(1)依题意y ＝log a x 在x ∈『8，64』上为增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧log a 8＝3，log a 64＝6 ⇒a ＝2，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤x ＜8，log 2x ，8≤x ≤64，110x ，x ＞64.(2)易知x ≥8.当8≤x ≤64时，要使y ∈『4，10』， 则4≤log 2x ≤10⇒16≤x ≤1024， 所以16≤x ≤64.当x ＞64时，要使y ∈『4，10』⇒40≤x ≤100， 所以64＜x ≤100.综上可得，当年销售额x 在『16，100』(万元)内时，y ∈『4，10』(万元)．『解析』(1)证明：当x ≥7时，f (x ＋1)－f (x )＝0.4（x －3）（x －4）； 当x ≥7时，函数y ＝(x －3)(x －4)单调递增，且(x －3)(x －4)>0，故f (x ＋1)－f (x )单调递减． ∴当x ≥7时，掌握程度的增长量f (x ＋1)－f (x )总是下降．(2)由题意可知0.1＋15ln a a －6＝0.85. 整理得a a －6＝e 0.05. 解得a ＝e 0.05e 0.05－1·6≈123.0，123.0∈(121，127』． 由此可知，该学科是乙学科．『解析』(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f (x )＝4y ＝⎩⎪⎨⎪⎧648－x －4，0≤x ≤4，20－2x ，4<x ≤10.则当0≤x ≤4时，由648－x－4≥4解得0≤x ＜8，所以此时0≤x ≤4. 当4<x ≤10时，由20－2x ≥4解得x ≤8，所以此时4<x ≤8.综上得0≤x ≤8，即若一次喷洒4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天．(2)设从第一次喷洒起，经x (6≤x ≤10)天，浓度g (x )＝2⎝⎛⎭⎫5－12x ＋a ⎣⎡⎦⎤168－（x －6）－1 ＝10－x ＋16a 14－x －a ＝(14－x )＋16a 14－x－a －4 ≥2（14－x ）·16a 14－x－a －4＝8a －a －4. 因为6≤x ≤10，所以14－x ∈『4，8』，而1≤a ≤4，所以4a ∈『4，8』，故当且仅当14－x ＝4a 时，y 有最小值为8a －a －4.令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a 的最小值为24－162≈1.6.『解析』(1)当0<x ≤100时，P ＝60；当100<x ≤500时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－x 50. 所以P ＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤100，x ∈N ，62－x 50，100<x ≤500，x ∈N . (2)设销售商一次订购量为x 件，工厂获得的利润为L 元，则有L ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ，0<x ≤100，x ∈N ，22x －x 250，100<x ≤500，x ∈N . 当x ＝450时，L ＝5850.因此，当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是5850元．。

2.9 函数的应用课型复习课教法讲练结合教学目标（知识、能力、教育）1.通过复习学生能掌握解函数应用题来解题的一般方法和步骤2.会综合运用函数、方程、几何等知识解决与函数有关的综合题以及函数应用问题。

教学重点函数应用题的审题和分析问题能力教学难点函数应用题的审题和分析问题能力。

教学媒体教案教学过程一『课前预习』（一）：『知识梳理』1.解决函数应用性问题的思路面→点→线。

首先要全面理解题意，迅速接受概念，此为“面”；透过长篇叙述，抓住重点词句，提出重点数据，此为“点”；综合联系，提炼关系，建立函数模型，此为“线”。

如此将应用性问题转化为纯数学问题。

2.解决函数应用性问题的步骤（1）建模：它是解答应用题的关键步骤，就是在阅读材料，理解题意的基础上，把实际问题的本质抽象转化为数学问题。

（2）解模：即运用所学的知识和方法对函数模型进行分析、运用、，解答纯数学问题，最后检验所得的解，写出实际问题的结论。

（注意：①在求解过程和结果都必须符合实际问题的要求；②数量单位要统一。

）3.综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解，涉及最值问题时，运用二次函数的性质，选取适当的变量，建立目标函数。

求该目标函数的最值，但要注意：①变量的取值范围；②求最值时，宜用配方法。

（二）『课前练习』1．下列函数中，随x(x＞0)的增大，增长速度最快的是()A．y＝1，x∈Z B．y＝xC．y＝2x D．y＝e x2．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙，如图所示，那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( ) A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面3．某学校开展研究性学习活动，某组同学获得了下面的一组实验数据：x 1.99 3 4 5.1 6.12 y1.54.047.51218.01现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A ．y ＝2x －2B ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xC ．y ＝log 2xD ．y ＝12(x 2－1)4．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时) 高峰电价(单位：元/千瓦时)低谷月用电量(单位：千瓦时) 低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下部分 0.56850及以下部分 0.288超过50至200的部分 0.598 超过50至200的部分 0.318超过200的部分0.668 超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付电费为 元(用数字作答)．5．(2014·武昌高三调研)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100kg )与上市时间t (单位：天)的数据如下表：时间t 60 100 180 种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t . 利用你选取的函数，求：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是__________； (2)最低种植成本是____________元/100kg .二『经典考题剖析』1．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：min)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A 件产品用时15 min ，那么c 和A 的值分别是( )A ．75，25B ．75，16C ．60，25D ．60，162．已知A 、B 两地相距150 km ，某人开汽车以60 km /h 的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1 h 后再以50 km /h 的速度返回A 地．把汽车离A 地的距离x (km )表示为时间t (h )的函数表达式是( )A ．x ＝60tB ．x ＝60t ＋50tC ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5，150－50t ，t >3.5D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5，150，2.5<t ≤3.5，150－50（t －3.5），3.5<t ≤6.53．(2014·陕西)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A．y＝12x3－12x2－x B．y＝12x3＋12x2－3xC．y＝14x3－x D．y＝14x3＋12x2－2x4．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角(阴影三角形)被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上．(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求该函数的定义域．(2)求矩形BNPM面积的最大值．5．有一家公司准备裁减人员．已知这家公司现有职员2m(160＜2m＜630，且m为偶数)人，每人每年可创利n(n>0)万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.02n万元，但公司需付下岗职员每人每年0.8n万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得少于现有职员的34.为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？三『课后训练』几名大学毕业生合作开设3D打印店，生产并销售某种3D产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出20000元．假设该产品的月销售量t(x)(件)与销售价格x(元/件)(x∈N*)之间满足如下关系：①当34≤x≤60时，t(x)＝－a(x＋5)2＋10050；②当60≤x≤70时，t(x)＝－100x＋7600.设该店月利润为M(元)，月利润＝月销售总额－月总成本．(1)求M关于销售价格x的函数关系式；(2)求该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格．(参考数据：461≈21.47)四：『课后小结』布置作业教后记答案（二）『课前练习』 1．『解析』指数函数模型增长速度最快，并且e ＞2，因而y ＝e x 增长速度最快，故选D. 2．『解析』由图象可知，曲线v 甲比v 乙在0～t 0，0～t 1与t 轴所围成的图形面积大，则在t 0，t 1时刻，甲车均在乙车前面．故选A. 3．『解析』通过描点可知，y ＝12(x 2－1)最符合要求．故选D .4．『解析』高峰时段电费a ＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)；低谷时段电费b ＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．故该家庭本月应付的电费为a ＋b ＝148.4(元)．故填148.4. 5．『解析』∵随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t ＝60和t ＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q ＝a (t －120)2＋m 描述，将表中数据代入可得⎩⎪⎨⎪⎧a （60－120）2＋m ＝116，a （100－120）2＋m ＝84， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.01，m ＝80， ∴Q ＝0.01(t －120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100kg .故填120；80.二『经典考题剖析』 1．『解析』由⎩⎪⎨⎪⎧f （4）＝30，f （A ）＝15，即⎩⎨⎧c2＝30，cA ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝60，A ＝16.故选D.2．『解析』∵15060＝2.5，∴当0≤t ≤2.5时，汽车离A 地的距离x ＝60t ；然后在B 地停留1h ，故当2.5<t ≤3.5时，x ＝150；又知返回速度为50 km /h ，且15050＝3，所以当3.5<t ≤6.5时，x ＝150－50(t －3.5)．故选D. 3．『解析』由题意可知，该三次函数的图象过原点，则其常数项为0，不妨设其解析式为y ＝f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，∴f ′(0)＝－1，f ′(2)＝3，可得c ＝－1，3a ＋b ＝1. 又y ＝ax 3＋bx 2＋cx 过点(2，0)，∴4a ＋2b ＝1， ∴a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，∴y ＝f (x )＝12x 3－12x 2－x .故选A.4．『解析』(1)如图，作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝8－y ，EQ ＝x －4， 在△EDF 中，EQ PQ ＝EFFD， 即x －48－y ＝42，所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S ，则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50，(4≤x ≤8) 所以S (x )是关于x 的二次函数，当x ∈『4，8』时S (x )单调递增，所以当x ＝8米时，矩形BNPM 面积最大，最大值为48平方米．答：矩形BNPM 面积的最大值为48平方米． 5．『解析』设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元， 则y ＝(2m －x )(n ＋0.02nx )－0.8nx . 整理得y ＝－n50『x 2－2(m －45)x 』＋2mn ，其图象的对称轴方程为x ＝m －45. ∵－n50＜0，∴当x ＜m －45时，函数y 是递增的； 当x ＞m －45时，函数y 是递减的．∵该公司正常运转所需人数不得少于现有职员的34，∴2m －x ≥34×2m ，∴0＜x ≤m2.∵m 为偶数，∴m2为整数．又∵160＜2m ＜630，∴80＜m ＜315. (1)当0＜m －45≤m2，解得45＜m ≤90，∴80＜m ≤90时，x ＝m －45时，y 取最大值． (2)当m －45＞m2，即90＜m ＜315时，x ＝m2时，y 取到最大值．综上所述，当80＜m ≤90时，应裁员(m －45)人；当90＜m ＜315时，应裁员m2人，公司才能获得最大的经济效益．三『课后训练』『解析』(1)当x ＝60时，t (60)＝1600， 代入t (x )＝－a (x ＋5)2＋10050，解得a ＝2. M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（－2x 2－20x ＋10000）（x －34）－20000，34≤x <60，x ∈N *，（－100x ＋7600）（x －34）－20000，60≤x ≤70，x ∈N *. 即M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 3＋48x 2＋10680x －360000，34≤x <60，x ∈N *，－100x 2＋11000x －278400，60≤x ≤70，x ∈N *. (2)①当34≤x ＜60时，设g (u )＝－2u 3＋48u 2＋10680u －360000，34≤u ＜60，u ∈R . 则g ′(u )＝－6u 2＋96u ＋10680＝－6(u 2－16u －1780)． 令g ′(u )＝0得u 1＝8－2461(舍去)，u 2＝8＋2461≈50.94. 当34<u <50时，g ′(u )>0，g (u )单调递增； 当51<u <60时，g ′(u )<0，g (u )单调递减． ∵x ∈N *，M (50)＝44000，M (51)＝44226， ∴M (x )的最大值为44226. ②当60≤x ≤70时，M (x )＝－100(x 2－110x ＋2784)单调递减， 故此时M (x )的最大值为M (60)＝21600.综上所述，当x ＝51时，月利润M (x )有最大值44226元．答：该打印店月利润最大为44226元，此时产品的销售价格为51元/件．。