2011届高三一轮测试(理)三角函数

届高三数学一轮复习：同角三角函数的基本关系与诱导公式一、同角三角函数的基本关系式sin 1.平方关系：2α+cos2α=1(α∈R) . π sin α α≠kπ+ ,k∈Z tan α= 2 cos α . 2.商数关系：二.六组诱导公式角函数2π-απ+α-απ-απ -α 2π +α 2正弦-sin α-sin α-sin α cos α -tan αsin αcos αcos α余弦-cos α -cos α 正切-tan α-cosα sin α-sinα-cot αtan α-tanαcot αkπ 对于角“ ± α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变2 偶不变，符号看象限”,“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”.“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”.[小题能否全取]1.sin 585°的值为2 A.- 2 3 C.- 2 2 B. 2 3 D. 2()解析：sin 585° =sin(360° +225° ) =sin 225° =sin(180° +45° )=-sin 45° 2 =- . 2答案：A2.(教材习题改编)已知sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ), π |θ| ,则θ 等于2 πA.- 6π C. 6(π B.- 3 π D. 3)解析：∵sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ), ∴-sin θ=- 3cos θ,∴tan θ= 3. π π ∵|θ| ,∴θ= . 2 3 答案：D3.已知tanπ sin 2+θ -cos π-θ θ=2,则=( π sin 2-θ -sin π-θ)A.2 C.0B.-2 2 D. 3cos θ+cos θ 2 2 解析：原式= = = =-2. cos θ-sin θ 1-tan θ 1-2答案：B4.记cos(-80° )=k,那么tan 100° =1-k2 A. k 1-k2 B.- k()k k C. D.- 2 1-k 1-k2 解析：∵cos (-80° )=cos 80° =k,∴sin 80° 1-k2, = 1-k2 ∴tan 80° = k . 1-k2 而tan 100° =-tan 80° =- k .答案：B3π 3 5. (2022年重庆高考)若cos α=- , α∈ π, 2 , tan α 且则5=________.4 解析：依题意得sin α=- 1-cos α=- , 52sin α 4 tan α= = . cos α 34 答案：3应用诱导公式时应注意的问题(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号―脱周期―化锐角.特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. (3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化.[例1] =1 (1)(2022年江西高考)若tan θ+ =4, sin 2θ 则tan θ ( )1 A. 5 1 C. 31 B. 4 1 D. 2(2)已知sin(3π+α)=2sin =________.3π +α 2sin α-4cos α ,则5sin α+2cos α[自主解答]1 (1)∵tanθ+ =4, tan θsin θ cos θ ∴ + =4, cos θ sin θ sin2θ+cos2θ 2 ∴ =4,即=4, cos θsin θ sin 2θ 1 ∴sin 2θ= . 2(2)法一：由3π sin(3π+α)=2sin 2 +α 得tan α=2.tan α-4 2-4 1 原式= = =- . 6 5tan α+2 5×2+2法二：由已知得sin α=2cos α. 2cos α-4cos α 1 原式= =- . 6 5×2cos α+2cos α[答案] (1)D 1 (2)- 6在(2)的条件下，sin2α+sin 2α=________.sin2α+2sin αcos α 解析：原式=sin2α+2sin αcos α= sin2α+cos2α tan2α+2tan α 8 = = . 5 tan2α+18答案： 51.利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦sin α 的互化，利用=tan α可以实现角α的弦切互化. cos α2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子，利用(sinα±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二(参阅本节题型技法点拨). 3.注意公式逆用及变形应用：1=sin2α+cos2α, sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.1.(1)(2022年长沙模拟)若角α 的终边落在第三象限，则cos α 2sin α 2 + 2 的值为1-sin α 1-cos α ( )A.3 C.1B.-3 D.-1(2)(2022年厦门模拟)已知sin αcos α 等于2 A.- 5 2 2 C. 或- 5 5π sin(3π-α)=-2sin 2+α ,则(2 B. 5 1 D.- 5)解析：(1)由角α 的终边落在第三象限得sin α0,cos α0, cos α 2sin α cos α 2sin α 故原式= + = + =-1-2=-3. |cos α| |sin α| -cos α -sin α π (2)∵sin(3π-α)=sin(π-α)=-2sin 2+α ,∴sinα=-2cossin αcos α tan α α,∴tan α=-2,∴sin αcosα= 2 = = sin α+cos2αtan2α+1 2 - . 5答案：(1)B(2)A[例2](1)3π tan π+α cos 2π+α sin α- 2cos -α-3π sin -3π-α=________.sin kπ+α cos kπ+α (2)已知A= + (k∈Z),则A sin α cos α 的值构成的集合是( )A.{1,-1,2,-2} C.{2,-2}B.{-1,1} D.{1,-1,0,2,-2}[自主解答] tan αcos =(1)原式π αsin -2π+ α+2cos 3π+α [-sin 3π+α ] π αsin 2+αtan αcos =-cos α sin αtan αcos αcos α = -cos α sin αtan αcos α sin α cos α =- =- =-1. sin α cos α sin α。

第六章 三角恒等变形n7 n)已知 cos( a — 6)+ sin a=，贝U Sin( a+ "6)的值是 _丄..4 厂口 r . 4cos a+ ?sin a+ sin a= 5 . 3，即？cos a+ 2 sin a= £,n 4. ,7 n 4“宀 4得 S in ( a + 6 = 5， sin( a + 6 n = — sin( a+ 6)=— 5.答案：一55.(原创题)定义运算a b = a 2— ab — b 2,则sin £ (0话= _____________________ •nn 2 nn n 2 n2n 2 n 1解析：衫=sin 12 — sin^^cos^ — cos ：^=— (cos — sin ^) — 2 x 2sin 12cos 匚n 1+2;31+2\3s%=^^r~ •答案：—「^,.n6 .已知 a€(2, n(1)求 cos a 的值；(2)若 sin( a — 3 =—解：(1)因为Sin j+迹扌=于，两边同时平方得sin a= ± 又n < a < n 所以cos a=—弋.⑵因为 2< a < n, 2< 3< n,所以一 n<— 3 — 2，故一2< a — 3<©・34第一节 同角三角函数的基本关系A 组1 .已知 si n a= f, si n ( a — ®=—100,(X 、 B均为锐角，则B 等于 解析：•n 2 3 10 3<2，• cos( a — 3 = - 1 — sin (a — 3 =^^.2、5 =5 ••- sin 3= sin[ a — ( a — 3] = sin a cos( a — 3 — coso (sin( a — 3 = •nn fr ,、:••• 0< 3<2，• 3= 4•答案: n 2 .已知 0< a <2< 3< n,• •• cos 3= cos[( a+ 3.如果tan a 、tan 3是方程解析：tan a+ tan 3= 3,n 4 cos a= 3, sin( a+ 3)=— 3,贝y cos 3 的值为 ___________ . 55 n n 34 42< 3< n, •• 2<a+ 3<2 n • sin a= 5 COS (a+®= — 54 3 3 43)— a = cos(a+ 3)cos a+ sin( a+ 3)sin a= (— ) X _+ ( — ) X =5 5 5 5 x 2— 3x — 3 = 0 的两根，则 sin(a+ 3)= __________ •cos( a — 3)sin( a+ 3) sin a cos 3+ cos «sin 3tan a an 3=— 3,贝 U = ------ a — 3a 3+ 324•答案:2425tan a+ tan 331 + tan d an 3 1 — 33 3 —2•答案：—24. (2008年高考山东卷改编 解析：由已知得n 1=—cos 6 — 2,3€(2，, n)求 cos 3 的值.、•/ sin a 一,5又sin( a— 3 = —5，得cos( a— 3) = §•cos 3= cos[ a — (a — ®] = cos %cos( a — 3)+ sin a in( a — 3 3 4 1 34 ；'3+ 3=_ kx_+_x ( — -) =_-----2 5 2 ' 5丿10-1.」os2a 1+an a 的值为1 + sin2 a 1 — tan a2 . 2cos2 a 1 + tan a cos a — sin a 1 + tan a 解析：cos2a• =2--1 + sin2 a 1 — tan a (sin a+ cos a 1 — tan acos a — sin a 1 + tan a 1 — tan a 1 + tan a = • = • = 1.sin a+ cos a 1 — tan a 1 + tan a 1 — tan a 2已知 cos(n+ x)=3 4 5,则sin2x二2sinx的值为 __ 4 5n 3 解析：•/ cos (n+ x)= 3 , 45cosx「n n已知 cos( a+ 3)= sin( a — §),则n解析：T a € (0, ^), • 2 a€ (0, nna, 3€ (0 , 2), •- a+ 3€ (0 , n) • sin( a+ 3)=71 4V2、，2也 23cos2(xcos( a+ 3 + sin2 况sin( a+ 3) = (— 9) x31 +^2cos(2 a — 4)6 .已知角 a 在第一象限,且 cos a= 3,贝“=5nsin( a+ 2)• 1 — si n2x =18, si n2x =玄,2sin2x — 2sin x 2sinx(cosx — sinx) 1 —tanxcosx — sinx7=sin 2x = 25.4. 5. n 解析：cos( a+ 3)= n 1 cos ocoSg — sin a in3= qCos a — n . n 1 . V3 =sin ocos^ — cos 於门3= ^sin a —亍cos a,由已知得： (舟 + _23)sin a=(2 + _23)cos a, tan a= 1. 、r n 3 n 设 a€ (4,—), 解析：a€ (^, n •- 3€ (0 , 4), 7t J . ■一 2 sin a, sin( a — 3) 7t n n 3 3 n 5 (0 , 4) , cos( a —4) = 5 , sin(-^+ 3 = ,贝V sin( a+ 3)= 3 n n n n 7), a — 4€ (0 ,刁，又 cos( a — 3 n 3 n •- 7 + 3€ (7 , n si n (a+ 3=—cos[( a —n+(3n+ 3]4 4n 3 n n 3 n=—cos( a — 4) cos (4 + 3+ sin(a — 4) sin("4+56即 sin( a+ 3 = 651 1已知 cos a= 3 , cos( a+ 3 = — § ,且 a,氏(0 , )•/ sin (¥+13 ..3；)=5，• sin( 3)=13， n 4 a —4)= 5. 3 n 12 ••• cos (7 + 3 = — 13,、3— 12 4 5 56 3)=—孑(—丙 + 4^5 =—5 13 65' n2)，贝y cos( a — 3的值等于2.1 — tanx3.tan a= 27 . . / 4^2--cos2 a= 2cos a — 1 = — 9, - - sin2 a=勺 1 — cos 2 a= 9 , /2 2^2 "1 — cos ( a+3=3 , • cos( a — 3)= COS[2 a — ( a+ 3]= 1 • ' cos a= 3,• cosx — sinx =故 tan70 — tan10 = , 3(1 + tan70 tan10 )，代入所求代数式得:tan70 tan10 °____ tan70 tan10 ° ________ tan70 tan10 .3(1 + tan70 t a n103 . 3tan70 fan10nsin( a+ 4),3(1 + tan70 °n 10 °+ tan 120|O9.已知角a 的终边经过点A(— 1，15),解析:sin a+ cos a 0, cos a=—■C c "的值等于Sin2 a+ cos2 a+ 1n sin( a+ 4) sin2 a+ cos2a+ 1 孟=—2.cos20 ° o osi n 20 °os10 + v 3sin 10 tan70cos20 cos10 ° *』3sin10 sin70 ° 解：原式= + — 2cos40sin 20 cos70cos20 cos10 + . 3sin10 cos20= —2cos40 °sin 20cos20 (cos10 + ■' 3sin10 ) °—2cos40 °10.求值: —2cos40 ° sin 202cos20 (cos10 s °30 + sin10 °s30 )—2cos40 °sin202cos20 sin40 — 2sin20 cos40 °=2.sin 20x x11.已知向量 m = (2cos2, 1), n = (sin 》1)(x € R )，设函数 f(x)= m n — 1.(1)求函数f(x)的值域；(2)已知锐角厶 5 3ABC 的三个内角分别为 A , B , C ,若f(A)= 13，f (B )= 5，求f(C)的值.解：(1)f(x)= m n — 1 = (2cos|, 1) (sinJ 1) — 1 = 2co€sin2+ 1 — 1 = sinx.••• x € R ，•函数 f(x)的值域为[—1,1].5 3 5 3⑵•/ f(A)=云，f(B)= 5，• sinA =石，sinB = 5.3 4解析：T a 在第一象限，且 cos a= - , /. sin a= 4则5 543 n tan a+ 1 1••• cos a= — ：, tan a=—;, ••• tan( a+~) = ----------- = ~.5 4 4 1 — tan a 78.tan70— tan10 + tan 120 的值为tan 70 — tan10解析：由 tan(70 ° 10°== 3,1 + tan70 °an10 °22cos a+ 2sin a cos a =2(sin a+ cos (a = 3 14 + 5)= n 7.已知 a = (cos2a, sin a), b = (1,2sin a — 1), a€ (^, n COS a ，若a b = 2则tan( a+n 的值为 ________________2 2 22 3 解析：a b = cos2 a+ 2sin a — sin a= 1 — 2sin a+ 2sin a — sin a= 1 — sin a= , /• sin a=，又 a€557t. nsin( a+㊁)cos2 a+-^sin2 a) cos atanlO °n701 + ■•..：2cos(2 a — 4)1 +A ,B 都为锐角，•- cosA =1 — sin ?A = —, cosB =1 — sin 2B =—.13' 5解: (1)法一： T cos( 3— 4 = cos^cos 3+ sin 》in y-^cos B+^sin 3=1, \f 2 2 7•- cos 3+ sin 3= ^, • 1 + sin2 3= 9, • sin2 3= — 9.法二：sin2 3= cosg — 2®= 2cos 2( 3--)— 1 =3 n n 3 n(2) •/ 0< 加2< 仟 n ，••• 4<3— 4<才，2< a + 3<~2，二 sin( 3— 4)>0, cos(a+ 3<0. 1 4 n 2 23••• cos( 3— 4)= 3, sin( a+ 3) = 5, ••• sin(・4)= 丁, cos( a+®=—-.7C7C7C7C--cos( a + 4)= cos[( a+ ® — ( 3- 4)] = cos( a+ 3)cos( 3— 4) + sin( a+ 3)sin( 3— 4)=—3 乂 1 + 4 乂 込陛=8 羽-3=5X 3+ 5X 3 =15 .• f(C)= si nC = sin[ — (A + B)] = si n(A + B)= si nAcosB + cosAs inB 5 4 12、/ 3 56 _ _ ,，…56 =—X ■+ — X = 13 5 13 512. (2010年南京调研 (1)求sin2 3的值; 65 • f (c )的值为65 1 4 )已知：0< a <2<3<^ cos( 3— 4)= 3，sin(a+3)=亏. 7t⑵求cos( a+ 4)的值.。

三角函数典型习题 1 ．设锐角ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =.(Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围.2 ．在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22sin 2sin=++C B A . （I ）试判断△ABC 的形状;（II ）若△ABC 的周长为16,求面积的最大值.3 ．已知在ABC ∆中,A B >,且A tan 与B tan 是方程0652=+-x x 的两个根.(Ⅰ)(Ⅱ)4．在∆(1)求(2)若5（1（26(I)(II)若7(Ⅰ)(Ⅱ)当0,2x ∈⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 的最大值,并写出x 相应的取值.8．在ABC ∆中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量(2sin ,m B =,2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且//m n ｡(I)求锐角B 的大小;(II)如果2b =,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值｡答案解析1【解析】:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2B =, 由ABC ∆为锐角三角形得π6B =. (Ⅱ)cos sin cos sin AC A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭===22∴C II.163∴ (Ⅱ)∵由(Ⅰ)∵C 2∵tan 3A =,A 为三角形的内角,∴sin A = 由正弦定理得:sin sin AB BC C A= ∴BC ==8【解析】:(1) //m n ⇒ 2sinB(2cos 2B 2-1)=-3cos2B⇒2sinBcosB=-3cos2B ⇒ tan2B=- 3∵0<2B<π,∴2B=2π3,∴锐角B=π3(2)由tan2B =- 3 ⇒ B=π3或5π6①当B=π3时,已知b=2,由余弦定理,得: 4=a 2+c 2-ac≥2ac -ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)∵△∴△②4=a 2∴∵△∴△42sin (2)a 2+故S 5π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2633x -∴≤≤， 即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤，max min ()3()2f x f x ==，∴． （Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，． 6【解析】:(I)由已知得3sin 3sin 222A A a c b ⇒=⋅-+(II)而b 又S 所以7 =所以(Ⅱ)1-所以此时444428。

巩固1．(2009年高考陕西卷)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B.53C.23 D ．－2解析：选 A.3sin α＋cos α＝0，则tan α＝－13，1cos 2α＋sin2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝(－13)2＋11＋2×(－13)＝103. 2．若sin α＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝( )A ．－7210B ．－210C.210D.7210解析：选B.由α∈(－π2，π2)，sin α＝35可得cos α＝45，由两角和与差的余弦公式得：cos(α＋5π4)＝－22(cos α－sin α)＝－210，故选B.3．若α∈(π2，π)，且sin α＝45，则sin(α＋π4)－22cos α＝( ) A.225 B ．－225 C.425 D ．－425解析：选A.sin(α＋π4)－22cos α＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225.故选A.4．(原创题)已知cos(α＋π3)＝sin(α－π3)，则tan α＝________.解析：∵cos(α＋π3)＝sin(α－π3)，∴cos αcos π3－sin αsin π3＝sin αcos π3－cos αsin π3， ∴tan α＝1. 答案：15.已知sin (30°＋α)＝35，60°<α<150°，则cos α的值为________． 解析：∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°.∵sin (30°＋α)＝35，∴cos (30°＋α)＝－45. ∴cos α＝cos [(30°＋α)－30°] ＝cos (30°＋α)·cos 30°＋sin (30°＋α)·sin 30°＝－45×32＋35×12＝3－4310.答案：3－4310 6．化简：(1)sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)； (2)11－tan θ－11＋tan θ. 解：(1)原式＝sin α·cos β＋cos α·sin β－2sin α·cos β2sin α·sin β＋cos α·cos β－sin α·sin β＝－(sin α·cos β－cos α·sin β)cos α·cos β＋sin α·sin β＝－sin (α－β)cos (α－β)＝－tan (α－β)．(2)原式＝(1＋tan θ)－(1－tan θ)1－tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ. 练习1．(2008年高考海南、宁夏卷)3－sin70°2－cos 210°＝( )C ．2 D.32解析：选C.原式＝3－sin70°2－1＋cos20°2＝6－2sin70°3－sin70°＝2，故选C.2．已知sinθ＝－13，θ∈(－π2，π2)，则sin(θ－5π)sin(32π－θ)的值是( )A.229 B ．－229C ．－19 D.19 解析：选B.由已知条件可得θ为第四象限角，根据同角三角函数关系式可得cosθ＝223，由三角函数诱导公式可得sin(θ－5π)sin(32π－θ)＝sinθcosθ＝－13×223＝－229，正确答案为B.3．已知cos(π－2α)sin(α－π4)＝－22，则cosα＋sinα等于( )A ．－72 B.72 C.12 D ．－12解析：选D.由已知可得cos(π－2α)sin(α－π4)＝－cos2α22(sinα－cosα)＝－(sinα＋co sα)(cosα－sinα)22(sinα－cosα)＝sinα＋cosα22＝－22⇒sinα＋cosα＝－12.4．设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是( ) A ．sin(α＋β)>sinα＋sinβ B ．cos(α＋β)>cosαcosβ C ．sin(α＋β)>sin(α－β) D ．cos(α＋β)>cos(α－β) 解析：选C.∵sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ， 又∵α、β都是锐角，∴cosαsinβ>0， 故sin(α＋β)>sin(α－β)．5．在直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x －25与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，记∠xOA ＝α(0<α<π2)，∠xOB ＝β(π<β<3π2)，则sin(α＋β)的值为( )A.35B.45C ．－35D ．－45解析：选D.由⎩⎨⎧y ＝2x －25x 2＋y 2＝1得点A(35，45)，点B(－725，－2425)．sinα＝45，cosα＝35，sinβ＝－2425，cosβ＝－725，然后由两角和的正弦公式求解．6．(2008年高考山东卷)已知cos(α－π6)＋sinα＝453，则sin(α＋7π6)的值是( )A ．－235 B.235C ．－45 D.45解析：选C.∵cos(α－π6)＋sinα＝453，∴32cosα＋12sinα＋sinα＝453，∴3(12cosα＋32sinα)＝453，∴sin(α＋π6)＝45，又∵sin(α＋7π6)＝sin(π＋α＋π6)＝－sin(α＋π6)，∴sin(α＋7π6)＝－45. 7.cos2α1＋sin2α·1＋tanα1－tanα的值为________．解析：原式＝cos 2α－sin 2α(sinα＋cosα)2·1＋sinαcosα1－sinαcosα＝cosα－sinαsinα＋cosα·sinα＋cosαcosα－sinα＝1.答案：18．若点P(cosα，s inα)在直线y ＝－2x 上，则sin2α＋2cos2α＝________.解析：∵P(cosα，sinα)在y ＝－2x 上， ∴sinα＝－2cosα，即tanα＝－2.∴sin2α＋2cos2α＝2tanα1＋tan 2α＋2·1－tan 2α1＋tan 2α＝2＋2tanα－2tan 2α1＋tan 2α＝2－4－2×41＋4＝－2.答案：－2 9.2cos5°－sin25°cos25°的值为________．解析：由已知得：2cos5°－sin25°cos25°＝2cos(30°－25°)－sin25°cos25°＝3cos25°cos25°＝ 3. 答案： 310．已知α是第一象限角，且cosα＝513，求sin(α＋π4)cos(2α＋4π)的值．解：∵α是第一象限角，cosα＝513，∴sinα＝1213.∴sin(α＋π4)cos(2α＋4π)＝22(sinα＋cosα)cos2α＝22(sinα＋cosα)cos 2α－sin 2α＝22cosα－sinα＝22513－1213＝－13214. 11．求值：(1)2cos10°－sin20°sin70°；(2)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)．解：(1)原式＝2cos(30°－20°)－sin20°sin70°＝3cos20°＋sin20°－sin20°sin70°＝3cos20°sin70°＝ 3. (2)原式＝tan[(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan(π6－θ)tan(π6＋θ)]＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)＝ 3.12．(2008年高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 两点的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知，cosα＝210，cosβ＝255.因α为锐角，故sinα＞0，从而sinα＝1－cos 2α＝7210，同理可得sinβ＝55.因此tanα＝7，tanβ＝12.所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝7＋121－7×12＝－3. (2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－(－3)×12＝－1.又0＜α＜π2，0＜β＜π2，故0＜α＋2β＜3π2，从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝3π4。

2011三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式（专练1）一、选择题1、（安徽省百校论坛2011届高三第三次联合考试理）已知3cos()||,tan 22ππϕϕϕ-=<且则等于（ ）A ．BCD 2、（浙江省金丽衢十二校2011届高三第一次联考文） 函数()sin sin(60)f x x x =++ 的最大值是（ ）A B ．2C ．2D ．13、（山东省莱阳市2011届高三上学期期末数学模拟6理）已知)2,2(,31sin ππθθ-∈-=，则)23sin()sin(θππθ--的值是（ ） A 、922 B 、922- C 、91- D 、914、（湖南省嘉禾一中2011届高三上学期1月高考押题卷）在区间[1,1]-上随机取一个数,cos 2xx π的值介于0到12之间的概率为（ ）A ．13B ．2πC ．12D ．235、（湖北省补习学校2011届高三联合体大联考试题理） 已知cos()0,cos()0,2πθθπ+<->下列不等式中必成立的是( )A.tancot22θθ> B.sincos22θθ> C.tancot22θθ< D.sincos22θθ<6、（河南省鹿邑县五校2011届高三12月联考理）函数()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像为C,如下结论中正确的是（ ）A ．图像C 关于直线6x π=对称； B ．图像C 关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称； C ．函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数； D ．由3sin 2y x =的图像向右平移3π个单位长度可以得到图像C 。

7、（河南省辉县市第一高级中学2011届高三12月月考理）若cos 2sin αα+=则tan α=（ ）A.1-B.2C.1D.-28、（北京四中2011届高三上学期开学测试理科试题） 已知53sin ,,2=⎪⎭⎫⎝⎛∈αππα，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα等于（ ）A ．7B ．7-C ．71 D ．71- 9、（福建省三明一中2011届高三上学期第三次月考理） 已知函数)(sin cos )(R x x x x f ∈=，给出下列四个命题：①若;),()(2121x x x f x f -=-=则 ②)(x f 的最小正周期是π2； ③)(x f 在区间]4,4[ππ-上是增函数； ④)(x f 的图象关于直线43π=x 对称； ⑤当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx 时，)(x f 的值域为.43,43⎥⎦⎤⎢⎣⎡-其中正确的命题为（ ） A ．①②④ B ．③④⑤ C ．②③ D ．③④10、（浙江省温州市啸秋中学2010学年第一学期高三会考模拟试卷）函数()sin cos f x x x =⋅的最小值是（ ） A ．1- B ．12-C ．12D ．1 11、（浙江省嵊州二中2011届高三12月月考试题文） 函数()2cos sin cos y x x x =+的最大值为（ ）（A ）2 （B 1（C（D 112、（山东省日照市2011届高三第一次调研考试文）已知4sin ,sin cos 0,5θθθ=<则θ2sin 的值为（ ） (A)2524-(B)2512- (C)54- (D)2524 13、（福建省四地六校2011届高三上学期第三次联考试题理） 已知22ππθ-<<，且s i n c o s ,a θθ+=其中()0,1a ∈，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是 （ ）A ．3-B ．3 或13C ．13-D ．3-或13- 14、（甘肃省甘谷三中2011届高三第三次检测试题）tan 690°的值为（ ）Ａ．Ｄ．15、（甘肃省甘谷三中2011届高三第三次检测试题）若sin([0,])2θθπ=∈，则tan θ=（ ）A. 4-B. 4C. 0D. 0或4-选择题参考答案：1—5：D 、A 、B 、D 、A ； 6—10：C 、B 、C 、D 、B ； 11—15：B 、A 、C 、A 、D ；二、填空题16、（重庆市重庆八中2011届高三第四次月考文）在ABC ∆中，如果sin :A sin :B sin C =5:6:8，则此三角形最大角的余弦值是 ．17、（重庆市南开中学高2011级高三1月月考文）若3(0,),cos(),sin 5θππθθ∈+==则 。

三角函数典型习题1 •设锐角ABC的内角A B, C的对边分别为a, b, c,a 2bsi nA.(I )求B的大小；(n)求cosA sin C的取值范围• A B C 厂2 •在ABC中角A,B,C所对的边分别为a, b, c,sin sin— 2 .2 2(1)试判断△ ABC的形状；(II)若厶ABC的周长为16,求面积的最大值•23 •已知在ABC中,A B，且tan A与tan B是方程x 5x 6 0的两个根•(I )求tan (A B)的值;(n )若AB 5 ,求BC的长•2 2 2 14. 在ABC中，角A. B. C所对的边分别是a,b,c,且a c b ac.22A C(1) 求sin cos2B 的值；2(2) 若b=2,求厶ABC面积的最大值.5. 已知函数f(x) 2s in2 n x 3cos2x, xn，-n•4 4 2(1 )求f (x)的最大值和最小值；(2)f(x) m 2在x n,n上恒成立，求实数m的取值范围.4 26. 在锐角△ ABC 中,角A. B. C 的对边分别为a、b、c,已知(b2 c2 a2)ta nA 3bc.(I) 求角A;(II) 若a=2,求厶ABC面积S的最大值？7. 已知函数f (x) (sin x cosx) +cos2 x .(I )求函数f x的最小正周期；(n )当x o,?时,求函数f x的最大值拼写出x相应的取值•8 .在ABC中，已知内角A . B . C所对的边分别为a、b、c,向量r r 2 B r r m 2sin B, 、3 ,n cos2B, 2cos 1，且m//n?2(I) 求锐角B的大小；(II) 如果b 2,求ABC的面积S ABC的最大值?答案解析11【解析】：(I )由a 2bsi nA ,根据正弦定理得si nA 2si n Bsin A ,所以sin B -,2 由ABC 为锐角三角形得B n .6(n )cosA sin C cos A sinAcos A sin -A61 3cos A cos Asin A22、、3sinA -.32【解析】 :I. sinC . sin CC cos .C sin2sin('—222 224C C 即C，所以此三角形为直角三角形2 422••• tanA 3, A 为三角形的内角，二sin A由正弦定理得：-A 艮 -BCsin C sin A-2 2b a b 2 abII.16 号，此时面积的最大值为 32 6 42 .-2ab ,—2ab 64(2 -.2)当且仅当a b 时取等3【解析】：(I )由所给条件 方程x 2 5x 6 ••• tan (A B) tan A tan B1 tan Atan BB C 180 ,• C180 (A 0 的两根 tan A 3, tan B 2 . 1B).由(I )知,tanCtan(A B)1,•/ C 为三角形的内角，• sinC_2 23 10弘知教育内部资料 中小学课外辅导专家2 3••• BC 1 —汇 3.5. 近 y/10 2r r 2B 厂8【解析】:(1) m//n2sinB(2cos ；-1)=-,3cos2B 2sinBcosB=- 3cos2Btan2B=- 32兀 心宀 n••• 0<2B< n,2B=y,A 锐角 B=3① 当B=n^，已知b=2，由余弦定理，得： 4=a 2+c ?-ac > 2aac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)■/ △ ABC 的面积 S ABC =3acsinBh^ac w 3ABC 的面积最大值为.3② 当B=6n 时，已知b=2,由余弦定理，得:4=a 2+c 2+ 3ac 县ac+ . 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= , 6- . 2时等号成立) •，ac < 4(23)1 1•••△ ABC 的面积 S AABC =2 acsinB^ac <2- , 3 ，△ ABC 的面积最大值为 2- 314【解析】:(1)由余弦定理：cosB=4sid +cos2B=1 24⑵由cos B4 得sinB.15 •/ b=2,4n1 2sin 2x —；=；ac+4 > 2c,得 acw —,c 233 2sin(2x -)2 ,即 0 1 -2sin(2x -) 12 44(2)由 tan2B=- .3n ［、. 5nB=3或石 1 V15S\ ABc =~acsi nBw(a=c 时取等号)3故S A ABC 的最大值为5【解析】(I ) T f(x).n _1 cos 2x3cos2x 1 sin2x 3cos2x弘知教育内部资料 中小学课外辅导专家n nn n又••• x —< 2x -<4 2 613 又 S besin A be24所以△ ABC 面积S 的最大值等于32 27【解析】:(I )因为 f (x) (sin x eosx) +eos2 x sin1 sin2x eos2x ( ) =1+.2si n(2x )42所以，T —,即函数f(x)的最小正周期为2(n )因为 0 x ，得 2x L,所以有-sin(2x) 12 4 4 4 24所以，函数f x 的最大值为1 2此时，因为一2x —丄，所以,2x ，即x -4 4 4428即 2 < 1 2sinn2x -3 • f(x) maxf (X)min(n) •/ f (x)f(x)f(x)•- m f (X)maxf ( X) min••• 1 m 4，即m 的取值范围是(1,4).6【解析】：(1)由已知得b 1 2 * 4e 2 a 2 si nA ,32bccos A又在锐角△ ABC 中，所以A=60,［不说明是锐角 △ ABC 中，扣 1 分］(II)因为 a=2,A=60 所以 b e be 4,S1 3besin Abe2而 b 2 e 2 2be be 42bcbe 4 ,3x 2sin xeosx eos 2 x eos2x。

四川省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编第5部分:三角函数 一、选择题：1．(四川省成都市外国语学校2011年3月高三考试理科)函数sin (3sin 4cos ) ()y x x x x R =+∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(,)M T 为（ B ）A ．(5,)πB ．(4,)πC ．(1,2)π-D ．(4,2)π1．(四川省成都市外国语学校2011年3月高三考试文科)函数sin (3sin 4cos ) ()y x x x x R =+∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(,)M T 为（ B ）A ．(5,)πB ．(4,)πC ．(1,2)π-D ．(4,2)π5．(四川省资阳市资阳中学2011年高三第一次高考模拟文科)若tan 2α=，则2sin cos sin 2cos αααα-+的值为(B )（A ）12 （B ）34 （C ）1 （D ）542．(四川省资阳市资阳中学2011年高三第一次高考模拟文科) “cos 0θ<且tan 0θ>”是“θ为第三象限角”的( A )（A ）充要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分不必要条件（D ）既不充分也不必要条件12．(四川省成都市外国语学校2011年3月高三考试理科)下列命题中：①函数()2()sin (0,)sin f x x x xπ=+∈的最小值是22②在ABC ∆中，若sin2sin2A B =，则ABC ∆是等腰或直角三角形；③如果正实数,,a b c满足a b c +>，则111a b c a b c +>+++；④如果()y f x =是可导函数，则0()0f x '=是函数()y f x =在0x x =处取到极值的必要不充分条件。

其中正确的命题是（ C ）A ．①②③④B ．①④C ．②③④D ．②③5、(四川省泸州高中2011届高三一模适应性考试理科)设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是( C ) A 23 B 43 C 32 D 34. (四川省泸州高中2011届高三一模适应性考试文科)已知x x x x f cos sin sin )(2+=，则)(x f 的最小正周期和一个单调增区间分别为 （ C ）A.π，［0，π］B. 2π，［-4π，43π］C.π, ［-8π，83π］D. 2π，［-4π，4π］7. (四川省泸州高中2011届高三一模适应性考试文科)在⊿ABC 中，若sin2A=sin2B,则⊿ABC 的形状是( C ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形[来源:] 1.(四川省南充市2011届高三第一次高考适应性考试理科)若以集合(a,b,c 均为正数）中三个元素为边长构成一个三角形，则该三角形一 定不可能是（ D ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形6．(四川省攀枝花市七中2011届高三下学期开学考试文科)为了得到函数sin(2)6y x π=+的图象，只需把函数x y 2sin =的图象 （ D ）A ．向左平移6π个长度单位B ．向右平移6π个长度单位C ．向右平移3π个长度单位D ．向左平移12π个长度单位2．(四川省2011届普通高考考生知识能力水平摸底测试一理科)为了得到函数3sin(2),5y x x Rπ=+∈的图象，只需把函数3sin(),5y x x Rπ=+∈的图象上所有的点的（ B ）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变4．(四川省2011届普通高考考生知识能力水平摸底测试一文科)下列函数中最小正周期是π的函数是 （D ）[来源:] A ．sin cos y x x =+ B ．sin cos y x x =-C ．|sin ||cos |y x x =+D ．|sin cos |t x x =+二、填空题：13．(四川省成都市外国语学校2011年3月高三考试理科)已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边，若cos cos 2B bC a c =-+，则B = 。