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38中学数学研究2021年第1期(下)基于核心素养“数学运算”的公式教学探究——以“点到直线的距离”的教学为例扬州大学附属中学(225002)张顺摘要基于培养学生的“数学运算”素养以“点到直线的距离”设计了一节课.课堂中主要采用了“交点法”、“面积法”、“构造函数法”、“构造相似三角形法”来推导公式，课堂中从学生学情岀发,重点介绍公式推导的每一步的难点，指导学生如何想？如何算？有效提高学生运算能力.关键词点到直线距离;数学运算《普通高中数学课程标准(2017版)》中明确界定了数学学科的六大核心素养的内涵和水平划分.其中“数学运算”素养是指“在明确运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养”，并从理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路和求得运算结果等方面给岀了三个不同水平的划分.基于数学核心素养之一“数学运算”的培养要求，近日,笔者在所教班级上了一节“点到直线的距离”的课.下面笔者就以此为例谈谈如何在数学课堂中的落实“数学运算”的培养.1教学内容和目标1.1教材分析“点到直线的距离”是苏教版必修二第二章第6节的内容，旨在解决“直线l:Ax+By+C=0外一点P(x o,y o)到直线l的距离”.教材通过上节课已经证明的一道例题四边形ABCD为平行四边形，接着追问如何求平行四边形ABCD 的面积，自然引到求点到直线的距离.教材对于该例题给岀了两种解法“交点法”、“三角形面积法”，接着指岀“交点法”计算量较大，“三角形面积法”计算简洁，再通过该方法求证岀一般情形下“点到直线的距离公式”.1.2学情分析高一第二学期学生在此之前已经学习了两条直线平行与垂直的判定、两点间距离公式和中点坐标公式等内容，已经具备了一定的利用代数方法解决几何问题的能力.“点到直线距离”小学、初中时就也就有所涉及例如求三角形面积时作岀一边上的高，这个概念学生并不陌生,但学生由用尺规量岀点到直线距离，上升到利用公式计算得到距离是思维层次的一大步提高.根据我所教班级学生特点学生素质较高，综合能力较强，同时由于是文科班女生占了绝大多数，学生代数运算，尤其是多字母的代数运算的能力还是不足的特点,本节课立足于提升学生的运算素养，尝试解释运算背后的算理，让学生能有所得.1.3教学目标(1)通过点到直线距离公式的推导，渗透化归思想.(2)通过点到直线距离公式推导的几种证法，使学生能理解算法选择的优劣，探究优化求解的思路,提升数学运算素养.1.4教学重难点重点：点到直线距离公式的推导；难度：对点到直线距离公式推导过程的优化.2教学过程问题1：“点到直线距离”如何定义？预设1：过一点作已知直线的垂线,相交于垂足,点到垂足的距离为点到直线距离.预设2:已知点到直线上一点的最短距离为点到直线距离.设计意图：该问题一是让学生明白我们这节课所要研究的问题，二来通过该问题的两个预设为接下来推导点到直线距离公式的两种方法作铺垫.问题2:已知直线l:Ax+By+C=0(A2+B2=0)外一点P(x o,y o),求点P到直线l的距离？预设1：先求过点P垂直l的直线，再求两直线交点，最后用两点间距离公式.该方法可能遇到的问题：学生不会求过点P与l垂直的直线;求不岀交点;求不岀两点间距离.预设1：先求过点P垂直l的直线，再求两直线交点，最后用两点间距离公式.该方法可能遇到的问题：学生不会求过点P与l垂直的直线;求不岀交点;求不岀两点间距离.设过点P与l垂直的直线为l':Bx一Ay+D=0,由于过点P(x o,y o)故有Bx o-Ay o+D=0,将D=Ay o-Bx o 代入l'得到l':Bx一Ay+Ay o一Bx o=0从而突破第一个难点.」f Bx—Ay+Ay o—Bx o=0再将I o联立，利用加减Ax+By+C=0消元得到交点坐标为2021年第1期(下)中学数学研究39Bx ° 一 ABy ° 一 AC Ay ° 一 AB x ° 一 B C )从而突破A 2 +B 2 ，第二个难点.最后再求两点距离:A 2 +B 2离最小值来表示距离.'B 2- ABy 0 - AC\2/A 2y 0 - ABx 0 - BC\2X 0 A 2 + B 2+V 0A 2 +B 2，A 2 x o + ABy o + AC)2/ B 2 y o + ABx o + BC)2+A 2 +B 2A 2 + B 2A 2(Ax o + By o + C )2 +B 2(By o + Ax o +C )2A 2 +B 2(A 2 + B 2)2(Ax o + By o + C )2|Ax o + By o + C y/A 2 + B 2A 2 +B 2合理的进行通分合并同类项，学生运算中常见的问题是不考虑代数式得结构特征，“暴力”分解多项式从而破坏式子结构，而由于运能能力的不足,对于拆分后的式子往往没有办法更进一步的化简，使得计算难以进行下去.追问1：上面解法较为繁琐,计算容易出错，那么有没有更好的解法呢？教师在黑板上板书如图(1)所示图形，提示学生要求 PQ 还能有什么方法.学生在图形提示下会联想到利用三 角形面积求出PQ,于是有下面的解法.图⑴设 P(x °,y °),则 M (x m ,y °), N (x n , y °)代入直线方程A x m + By ° + C — 0Ax ° ++ C — 0解得x m ——By ° + CAx ° +By ° + CA Ax ° + By ° + CA通过数学建模，学生能建立直线上一点与已知点的函数关系式.设直线l 上一点为Q(x,y ),定点P(x °, y °), 于是 PQ — ^(x - x °)2 + (y - y °)2,由于 Q 在直线 I 上，PQ 最小时P,Q 在与l 垂直的直线上，由预设(1)中解得的方程有fBx 一 A y + A y ° 一 Bx ° = °计算时Ax + By + C — 0.需要有目标意识，需要我们求得的表达式结构中有(x - x °), (y - y °)这两个量，于是对上面方程组可以变形 为 f B (x - x °) 一 A (y 一 ”°) —°’ 又观A (x 一 x °) + B (y 一 y °) = —A x ° — By ° 一 C,察目标结构中有(x - x °)2 + (y - y °)2,所以想到将方程组两式平方再相加，得到(A 2 + B 2)[(x - x °)2 + (y - y °)2]—(Ax ° + By ° + C )2,最后得到 J(x - x °尸 + (y - y °)?—|Ax ° + By ° + C A 2 + B 2 •设计意图：对于多字母运算学生在公式变形式往往像无头苍蝇到处乱撞，展开到哪里就到哪里.公式变形前没能对多要求的目标式的结构有所思考，另一方还需要学生公式变形时有一定的整体意识.这种方法学生不会那么容易想到,教学时需要教师一步步去引导，指导学生如何算，怎么想.问题3:前面探讨过通过构造三角形，利用三 角形面积来求高，是否还有其他构造图形的方式教师板书如图⑵所 示图形，为了突出重点，这d =-A x °+ C , MP同理 NP — Ax ° + B y ° + C ；因为 S ampn — 1 MP -B 21 MP - NPnp= —mn-d ，所以d = mn —|Ax ° + By ° + C MP - NP7MP 2 + NP 2VA 2 + B 2•追问2:为什么通过三角形等面积法转化后计算量会减少？设计意图：学生能看懂该解法，但是如果没有老师作图提示能主动联想通过三角形面积算两次得到斜高的学生应该不会很多.再者利用该方法为什么能起到简化运算的效果，是什么原因使然，对于这个问题学生想不到去追问，但这 恰恰是比较重要的.通过转化与化归将求斜高转化为求两条平行于坐标轴的直角边长度,这种转化能简化运算的原因 就在于其问题研究的坐标系是直角坐标系，在直角坐标系中，平行于坐标轴的两点距离是容易得到的|x i - x 2 |或者 |y i - ”21,而在其它情况下会用到两点距离公式增加计算.预设2:学生会想到利用直线上一点与已知点求两者距于零情况.教师提示学生利用相似三角形知识.在老师的提示下学生能够得到大三角形MPQ 与小直角三角 形相似，因为MP — |kx ° + b - y ° |,身 —.1 79即MPV1 + k 2d — |kx 7 一 y °+ b |,最后再化为直线一般式下情形即可得1 + k 2证.设计意图：这种创造性的思维，教师预想的学生不可能构造出这种图形，所以需要板书出来直接给学生，学生通过这样的构造能体会到数形结合的思想,觉得数学美丽有趣就 是成功！3小结本节课用4种方法证明了点到直线的距离：交点法，面积法，构造函数法，构造相似图形法.交点法难算，但是解析几何证明题中少不了计算，当我们没有什么巧妙解法时，计 算也许是唯一的路径，教学中也要让学生能有面对复杂计算40中学数学研究2021年第1期(下)直观想象素养视角下的微专题教学实践研究——以动点的轨迹方程为例福建省厦门市厦门实验中学(361116)吴俊英摘要本文以动点的轨迹方程为例，阐述直观想象素养视角下的微专题教学实践.精选例题及变式练习题,以求轨迹方程的思维岀发点为主线将有关动点的轨迹方程问题整合成一个微专题，落实直观想象素养培养，最后给岀结合微专题进行教学实践的建议.关键词微专题;轨迹方程;直观想象引言直观想象是数学核心素养的关键组成，是借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的素养.直观想象是发现和提岀数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础.在数学解题中，直观想象更是不可或缺的重要思维与工具.很多看似复杂，无从下手的数学问题，借助直观想象就可能很容易获得解题的捷径.高三二轮复习时间紧,任务重，教学时可以聚焦一个具体考点(重点、热点或难点),以微专题的形式组织教学活动,一个微专题占用1-2课时.微专题学习可以有效激发学生学习兴趣,提高学生学习积极性，调动学生学习主动性,从本质上提高学生数学素养.本文以圆锥曲线轨迹方程为例，谈谈直观想象素养视角下的微专题教学实践.1教学诊断分析求动点的轨迹方程是解析几何的重要内容.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握,还充分考查了直观想象素养、逻辑推理素养和数学运算素养，因此这类问题成为高考命题的热点，也是学生的一大难点.学生在解决解析几何有关问题的时候,存在以下几种问题：(1)识图、作图、用图意识薄弱,解题时没有养成作岀草图或相对准确图像的意识;(2)平面几何知识较弱,无法充分挖掘几何条件,结合平面几何知识,减少计算量.(3)对题目中条件的含义理解不清，无法选择选择简便的方法实现几何条件代数化或者代数条件几何化;(4)对不同题型相应的方法选择较盲目，多凭感觉而没有养成解决一类问题的思考路线.2归纳知识结构本节内容要求学生正确理解曲线与方程的概念,会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法.教学时可以借助思维导图，由学生自主归纳求动点的轨迹方程的一般步骤及求动点轨迹方程的思维岀发点和思考路线.设计意图：经过一轮复习，高三学生应能明确求轨迹方程中“建系设点、列岀条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤以及求曲线的轨迹方程的常用方法：直接法、定义法、相关点法、参数法等.但学生对于方法的选择更多只停留于利用方法简单机械的操作，而对其背后的思维岀发点还不甚清楚.通过知识归纳帮助学生进一步理顺解题思路.3例题及变式练习以高考题为例重点说明求点的轨迹方程问题的常见解法,再通过变式练习强化，达到能力迁移.教师在课前学案中能算下去的信心.面积法大大减少了计算，同学们也要对其背后原因有所了解，因为直角坐标系下平行于坐标轴的线段长度容易表示.构造函数的方法是本节课重点强调的一种方法，该方法首先要能准确建模构造岀函数，列岀目标表达式和约束条件，而求解最值化简过程中需要有整体思想和目标意识,时刻联想到所要求的的目标结构.最后为了提升学生学习数学兴趣，介绍了一种巧妙的构造相似三角形方法，讲解这种方法主要是让学生体会数学的美妙.参考文献[1]朱占奎•“点到直线的距离公式”教学设计[J].中学数学教学参考•2018(9):11-13.*本文系福建省教育科学“十三五”规划2018年度课题《基于数学直观想象素养培养的微课程建设研究》(立项批准号：FJJKXB18-353).福建省教育科学“十三五”规划2017年度课题《高中生数学直观想象评价的实证研究》(立项批准号：Fjjgzx17-19)的研究成果之一.。
点到直线距离公式初中版1. 什么是点到直线的距离？大家好！今天咱们聊聊一个数学问题——点到直线的距离。
你有没有想过，怎么找一个点到直线的最近距离呢？比如你站在一条笔直的马路上，想知道你离马路最边缘的距离是多少？其实，数学里有一个简单的方法来算这个“最短距离”。
2. 点到直线距离的公式2.1 公式的介绍首先，点到直线的距离公式是这样的：[ d = frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{sqrt{A^2 + B^2}} ]。
听起来是不是有点复杂？别担心，我们一步一步来搞定它。
这里的 (A)、(B)、(C) 是直线方程 (Ax + By + C = 0) 中的系数，(x_1) 和 (y_1) 是点的坐标，(d) 就是我们要找的距离。
2.2 直线方程怎么来？可能有人会问：这条直线方程 (Ax + By + C = 0) 是怎么来的？其实，它就是直线的一种标准表示方法。
如果你有两个点的坐标，咱们可以先找出直线的方程，然后代入公式里，就能找到点到直线的最短距离了。
3. 实际应用中的小窍门3.1 举个例子比如你在某个地点 ( (3, 4) )，有一条直线方程 (2x 3y + 6 = 0)。
那么我们怎么计算这个点到直线的距离呢？1. 把点的坐标代入公式，得到 ( |2 cdot 3 3 cdot 4 + 6| = |6 12 + 6| = |0| )。
2. 计算分母，得到 ( sqrt{2^2 + (3)^2} = sqrt{4 + 9} = sqrt{13} )。
3. 最终距离 ( d = frac{0}{sqrt{13}} = 0 )。
这说明点其实就在直线上。
3.2 应用小贴士记住一个诀窍：公式里分子是“绝对值”，也就是无论你代入的数是正数还是负数，结果都是正数。
这样能确保你计算出的距离不会是负的，毕竟，距离可不能是负数，对吧？4. 总结点到直线的距离公式看起来有点复杂，但其实只要把公式记牢，理解直线方程的来源，运用起来并不难。
•28•理科考试研究•数学版2020年10月1日在公式推导教学中培养学生的数学核心素养——以点到直线的距离公式推导为例纪定春周思波（四川师范大学数学科学学院四川成都610068）摘要：培养学生的数学核心素养,是数学教育的基本任务和重要使命.本文从等面积法、相似法、切线法、对称法、函数法等角度推导点到直线的距离公式，培养学生的数学建模素养和直观想象素养;从解三角形法、向量法、不等式法、复数法等角度推导点到直线的距离公式，培养学生的逻辑推理素养和数据分析素养；从定义法、导数法等角度推导点到直线的距离公式，培养学生的数学抽象素养和数学运算素养；从问题推广的角度,培养学生研究数学的素养.关键词：公式推导教学；数学核心素养；点到直线的距离；问题推广培养学生的数学核心素养，是数学教育的基本任务和重要使命.《普通高中数学课程标准（2017年版）》，将数学学科核心素养的内涵界定为：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析数学学科的六大核心素养之间既相对独立、又相互交融，是一个统一的有机体.在数学教学活动中，公式教学是数学教学中的重要组成成分，在培养学生的数学思维品质方面具有重要的价值和意义.然而，现行高中数学教学并不重视公式推导过程的教学，很少有教师讲公式的推导过程，甚至出现了直接套用公式来解决问题的“形式化”倾向.根据英国数学教育心理学家斯根普的说法，数学学习有两种基本的理解方式，即工具性理解和关系性理解•工具性理解，只需要知道怎么用方法，而不追究方法的来龙去脉（推导过程）•直接套用公式的教学方式，属于是“工具性理解”，其优点是比较容易理解、教学效果立竿见影、涉及的知识较少，能够提升得出正确结果的效率等.但是工具性理解对于新任务的解决具有不适应性,如高考数学中的情境型、知识迁移型等试题，即不能通过所学知识和方法发生正迁移来解决问题.同时，工具性理解很容易造成学生死记硬背，增加数学学习的负担，降低学习兴趣和动机等•关系性理解，不仅要知道做什么，还需要知道理由（即过程）.关系性理解的优点是适应新情境和新任务，比较容易记住，关系性知识可以成为有效的教学目标，关系性图式是一个高质量的有机体等.可见，关系性理解对学生的后续发展具有延展性，能够有效地将知识、方法和思想等发生正迁移作用.在小学阶段讲圆的周长、面积等就适合工具性理解（直接告诉结论）而不适合关系性理解•可见,只有平衡好二者之间的关系，才能更好地将两种数学的理解方式发挥到极致.点到直线的距离公式是高中数学的重要内容，其推导过程蕴含了丰富的数学思想，如对称思想、切线思想、变换思想、构造思想、放缩思想、函数化思想、等面积思想等，因此，点到直线的距离公式是高中数学思想方法的瑰宝，仅从工具性理解的视角来学习是不够的，还应该从关系性理解的视角出发,将点到直线的距离公式推导同不同的知识模块联系起来，如与函数、不等式、三角、向量、复数、几何等联系起来,这对培养学生的知识迁移和数学创新意识是有利的.目前,对点到直线距离公式推导的研究有很多,如唐柏令和杨贤其⑵给出了点到直线距离公式的五种证明方法;熊昌进⑶巧用柯西不等式法给出了点到直线的距离;黄坪⑷用定义法和向量法给出了点到直线的距离推导，其中向量法最为巧妙;余树林和袁新宝⑴从几何、向量、不等式等角度给出了点到直线的十三种推导方法，有些视角是相同的，故分类还不够完整;孙国泰⑻针对三角形法推导点到直线距离运算量较大的问题进行了有益的探索，并给出了更简洁的三角形法推导点到直线的距离公式；杨懿荔和汪晓勤E对点到直线距离公式的推导方法作了调查分析,从符合学生的认知角度出发，给岀了点到直线距离公式推导的四种方法；桂役⑻从六种不同的视角，给出了点到直线的推导方法,并将点到直线的距离公式推作者简介：纪定春（1995-）,男，四川资阳人，硕士研究生，研究方向：数学教育；周思波（1971-）,男，四川广元人，硕士，副教授，硕士生导师，研究方向：高中数学教育.2020年10月1日理科考试研究•数学版•29•广到空间中点到平面的距离;严永芳⑼从四个不同的角度给岀了点到直线的公式推导；孙鑒从数学运算素养的视角岀发，提供了点到直线距离公式推导的两种思路和六种解法.以上的这些研究结果，对本文的构思和写作具有一定的启发性和指导意义.1问题的提出已知直线的方程为l-.Ax+By+C=0,直线外一点P的坐标为（牝,九），求点P到直线I的距离.（注：以下推导均不考虑特殊情况，只考虑当0且BH0时.）2在公式推导教学中培养学生的数学核心素养数学公式的教学，是数学教学中的重要构件，是学生对公式形成正确认识的基础，也是学生理解、记忆和运用公式的重要心理过程.数学核心素养是建立在数学能力的基础之上，是一种稳定的、内隐的一种意识和修养.公式的推导过程，就是学生感知、理解、内化和形成数学能力的重要过程•通过公式的推导教学,可以有效地提高学生的关系性理解，有助于把握公式的内涵和外延，促进学生对公式的深刻理解，进而生成数学核心素养.2.1培养学生的直观想象和数学建模素养教学中的实物直观、图形直观、言语直观、视听（电化）直观等方式都可以促进学生形成对数学公式的初步感觉和识别⑴）•其中数学图象（图形）的正确感知，是形成数学思维和数学复杂认知结构的重要基础,没有全面的感知过程，就无法形成对数学本质的正确认识•直观想象是数学六大学科核心素养之一，它是指借助几何直观和空间想象感知事物形态与变化，利用图形理解和解决问题的过程卫］.可见，利用图形的直观性解决问题,对培养学生的直观想象素养是有益的•数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养⑴.数学建模过程主要包括：问题情境、建立模型、求解模型、修正模型、检验模型等，最终达到解决实际问题的目的.当然，在高中数学阶段，由于学生所学的知识和方法有限，复杂的数学建模活动是无法开展的，但是可以利用已有的数学模型来解题,常见的数学模型，如函数模型、方程模型、面积模型、相切模型等，其实这些模型早就在小学、初中数学中就接触过.通过运用这些模型和思想来解决数学问题，对培养学生的直观想象和数学建模素养是有利的,因此需要教师在教学活动中有意识地渗透这些直观化和模型化的思想.2. 1.1等面积法等面积思想,是从不同的视角来表征同一个图形的面积，进而建立起不同等量之间的数量关系.用等面积思想推导点到直线距离公式是容易理解的，有利于培养学生用几何直观和数学模型来解决问题的意识.解析过点戸（牝，九）作直线/的垂线，交直线/于点Q（X.,/,）,为了方便计算点的坐标,再过点p作平行于X轴和，轴的直线，分别与直线Ax+By+C=0A r r C相交于点S,R（如图1）.可知,S由同一个直角三角形面积是相同的，用两种方式将面积表示出来，即ylP<?l-\RS\=*IPSI-\PR\.在RtAPS/?中，有PR，+PS2=RS2,则VPR-+PS2将坐标代入，化简可得IPQI=^A2+B2评析该方法巧妙地运用了三角形面积的不同表示方法、平面中平行直线上点的性质，具有一定的技巧性•该推导方式与苏教版和人教A版的处理方式相同,均是运用等面积法.2. 1.2相似法相似可以视为全等的自然推广，当两个图形的相似比为1：1时，即为全等.能够通过等面积的思想来解决点到直线的距离，那也可以用相似解决问题.由等面积法可知JPQ\-\RS\=IPSI-\PR\,这是两个乘积相等的形式，可以化为比值的结构，由此自然联想到三角形的相似.解析过点P（x0,y0）作直线/的垂线，垂足为点Q.过点P作平行于％的直线，交直线/于点八直线/与x轴、y轴的交点分别记为$,心如图2所示）.显然可得△OSRs'QTP,故有無=经.• 30 •理科考试研究•数学版2020年10月1日由此可得PQ =竺护By 0 + C1(-^—+%)J 尹+臣\A xq + By 0 + C I-/A 2 + B 2 '解析以点为圆心，半径为点到直线的 距离作圆，与直线/相交于点（2,则有IP0 =『 = 〃（如图3所示）.由直线与圆相切，故(x -x 0)2 + (y -y 0)2Ax + By + C = 0,2ABy Q - 2B 2x 0 +2AC4- --------------,------------X +B-评析该方法是基于对等面积法再思考所产生 的.既然作两条关于坐标轴平行的直线可以解决问题，那么作一条直线是否可行呢？是可行的.巧妙地 运用了平行线的同位角相等、直线与坐标轴的交点的性质，思维量较大但是运算过程简单，体现了“多想少 算”的思维方式•这就相当于将等面积的模型进行了变换使用，但是从本质上是相同的.2. 1.3切线法点到直线的距离可以视为以P （x 0,y 0 ）为圆心的圆的半径，这时直线与圆相切•从代数的角度来看，就 是联立直线和圆方程，只有唯一解，故可以用根的判别式来解决.2'有唯一解.消去y,可得匚詳”2陝由方程有唯一根，则根的判别式厶=0,解得rI Ax 0 + By 0 + C IV a 2 + B 2 '即r 为点到直线的距离.评析该方法将几何问题代数化,利用直线和圆相切的代数意义,将几何问题巧妙地转化为代数问题 来解决•还充分地运用了圆的切线的几何性质，即圆心到切点的连线垂直于该切线,并且点到直线的距离恰好为圆的半径.在该方法中，可以渗透数形结合的 思想、切线思想、几何代数化思想等,有助于培养学生的直观想象素养和数学建模素养.2. 1.4对称法对称广泛存在于现实世界中，同时也存在于数学世界中•对称表现出简单、和谐、匀称，带给人美的享 受•用数学的语言描述对称，其实就是变换的不变性，所以对称是数学美的一种具体体现.数学教学不仅仅 是数学知识的简单传授，还应该崇尚审美立美.数学审美，主要是欣赏、品味数学的简单美、对称美、奇异美、和谐美等.数学立美，就是要引导学生发现数学 美,甚至是（再）创造数学美.解析 设点P （x 0,y 0 ）关于直线/的对称点为P 、（a,b ），连接PP ”交直线I 于点Q,则点Q 在直线I上，且＜2（笃巴,屮）（如图4所示）.x Q - a A 所以x Q + a2yo +b2+ c=o.A ・+ B ・3(兀° 一" "(% 一 » =0, 所以？ 、 、lA(x 0 一a) +B(y 0 -6) =2(Ax 0 +By 0 +C).将两式平方相加，可得(A 2+B 2)[(%0-a)2 + (y 0-6)2] =4(Ax 0 + By 0 + C)〔I A xq + B v q + C I所以PP 、=2——匕厂兰.^A 2 + B 2故点到直线的距离IPQI =皿。
《点到直线的距离公式》说课稿一、教材分析:1、教学内容的分析: 点到直线的距离公式是《平面解析几何》第一章最后一节内容，是在研究了平面内直线的方程，两直线的位置关系的基础上的一个重要内容，它既是第一章的终点部分，又是第二章解决一些轨迹问题的基础，同时，这节课也是培养学生迁移，联想及探索创新能力的好素材。
2、学生的分析：学生刚学完两条直线的位置关系，在处理一些简单问题上有了一个明显的认识，但在较复杂的应用方面还不够熟练，所以进行必要的引导很有必要二、教学目标分析：（依据教纲和本节教材的特点确定）（1）知识目标：A：理解点到直线距离公式的推导过程。
B：掌握点到直线的距离公式。
（2）能力目标：培养学生迁移，联想能力，逻辑思维能力，数形结合能力。
（3）情感目标：通过多种手法，进行数学的美学教育，提高学生的学习积极性。
三、教学重点：点到直线的距离公式。
四、教学难点：引导学生迁移，联想，创新思维，找出证明途径。
五、教学关键：教师必须抓住学生思维的火花，让学生的内在动机外显行为化。
六、教法分析:（遵循“教师为主导，学生为主体”的原则）1、教师必须抛弃过去的那种单纯的教师讲授，学生接受的教学模式，在教学中启发引导，迁移联想，构建模型。
由于本节内容为第一章最后一节内容，学生对点、线、线线关系均有了一个较为明确的认识。
因此改变传统的求证方法，以引导思路为主，让学生边探索，边发现，最后证明距离公式。
2、多媒体教学，使整个课上得生动、有趣、高效。
3、使用教具，多媒体课件及投影仪。
七、学习方法分析：充分地调动学生的学习积极性，增加学生的参与机会，让学生“动手、动脑”，因此在教学中，引导学生“动手做，大胆猜，严格证，勤钻研”的学习方法，让学生“学”有所“思”，“思”有所“得”，最终达到学生会学的目的。
八、教学程序：1、复习提问：① 平面内点与直线的位置关系有几种？ ② 点到直线的距离的定义（设计意图：通过简明的情景设置为本节作好 知识的铺垫与图形准备） 2、演示启发：由复习可知，点到直线的距离是点到直线的垂线段的长，那么怎样用解析法求点到直线的距离呢？（设计意图：提出问题，激发学生的求知欲，探索欲。
点到直线的距离公式教学案例作者：简素宁来源：《成才之路》2009年第12期摘要:在点到直线的距离公式教学案例中,用一些常见的“筑路”和“台风”问题作为情境,引导学生提出问题,同时给了学生自由思考的空间。
学生在交流中弄清了数学概念,并运用自己的洞察力,把一个小小的问题与那么多的知识联系在一起,在学生思维豁然开朗之际,也展示了交流合作的艺术:取他人之长,补自己之短。
关键词:案例;点到直线的距离;公式一、案例背景贵州师范大学数学与跨文化数学教育研究所提出了“数学情境与提出问题”数学学习的教学经验,指中小学生在教师的引导下,从熟悉的或感兴趣的数学情境出发,通过积极思考、主动探究、提出问题、分析问题和解决问题,从而获取数学知识、思想方法和技能并应用数学知识的过程。
本案例正是基于此,创设数学情境,对引导学生的数学探究起着思维导向、激发作用。
本节课是数学公式的教学,以往学生在学习点到直线的距离公式时,往往是会公式的推导和公式的运用,忽视了这个“产生过程”,而公式的推导蕴涵着丰富的数学思想和数学方法,它可以很好地培养学生探究性思维品质。
本节课是以情境为载体,让学生初步体会常见的数学思想方法(比如数形结合、三角、向量知识)在解析几何的应用,提高学生分析问题和解决问题的能力。
因此,这节课决定了应该调动学生积极性,充分讨论,集思广益,探索方法和结论的过程,所以采用“数学情境与数学问题”教学法。
二、案例过程1. 数学源于生活师:同学们,我们知道数学像文学作品一样,来源于生活,高于生活,并指导生活。
那么,在你的生活中,你遇到过以下问题吗?情景1:如图(略)在铁路附近有一个仓库,现要修建一条公路,使之连接起来,怎样设计才能使公路最短?生1:我认为应该这样设计,把仓库看成一个点,把那条铁路看成一条直线,然后从这点作这条直线的垂线段,再沿这条垂线段铺设公路,即为最短。
师:很好。
情景2:据报道,9月15号13号台风“珊珊”从太平洋出发以近直线型路线运动,台风波及区域约直径100海里,请预测台北市是否要做台风来临前的相关工作。
【摘要】欢迎来到查字典数学网高一数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。
因此小编在此为您编辑了此文：高一数学教案：点到直线的距离公式教案希望能为您的提供到帮助。
本文题目：高一数学教案：点到直线的距离公式教案一、三维目标：1、知识与技能：理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式;??2、能力和方法：会用点到直线距离公式求解两平行线距离3、情感和价值：认识事物之间在一定条件下的转化。
用联系的观点看问题二、教学重点：点到直线的距离公式教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.三、教学方法：学导式教具：多媒体、实物投影仪四、教学过程(一)、情境设置，导入新课前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。
逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离。
用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。
要求学生思考一直线上的计算?能否用两点间距离公式进行推导?两条直线方程如下：(二)、研探新课1.点到直线距离公式：点到直线的距离为：(1)提出问题在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为，直线=0或B=0时，以上公式，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢?学生可自由讨论。
(2)数行结合，分析问题，提出解决方案学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P到直线的距离d是点P到直线的垂线段的长.这里体现了画归思想方法，把一个新问题转化为一个曾今解决过的问题，一个自己熟悉的问题。
画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。
方案一：设点P到直线的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ 可知，直线PQ的斜率为 (A0)，根据点斜式写出直线PQ的方程，并由与PQ的方程求出点Q的坐标;由此根据两点距离公式求出|PQ|，得到点P到直线的距离为d此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法方案二：设A0，B0，这时与轴、轴都相交，过点P作轴的平行线，交于点 ;作轴的平行线，交于点，由得 .所以，|PR|=| |= ，|PS|=| |=|RS|= | |由三角形面积公式可知： |RS|=|PR||PS|，所以。
点到直线的距离公式及其应用山东 孙天军一、知识要点1．点00()P x y ，到直线x a =的距离0d x a =-；点00()P x y ，到直线y b =的距离0d y b =-；2．点00()P x y ，到直线l ：0Ax By C ++=的距离d =； 3．点00()P x y ，到直线l '：y kx b =+的距离d = 4．利用点到直线的距离公式，可求得两平行线11:0l Ax By C ++=与2212:0()l Ax By C C C ++=≠间的距离d =．推导方法如下：由于A B ，不同时为零，不妨设0A ≠，令0y =，得直线1l 与x 轴的交点10C P A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，点P 到直线2l的距离d =即为两平行线间的距离；当0A =时，公式d =也成立．二、解题指导1．求距离例1 已知(23)A --，，(21)B -，，(02)C ，，求ABC △的面积．分析：欲求ABC △的面积，可先求出直线AB 的方程，再求点C 到直线AB 的距离． 解：由两点式，可求出直线AB 的方程为：240x y --=，点C 到直线AB 的距离等于ABC △中AB 边上的高h，h ==AB = ∴182ABC S AB h ==△． 2．求点的坐标例2 求直线:220l x y --=上到直线:230l x y '+-=的距离为的点的坐标．解：设()P a b ，为直线l 上到l '220a b --=，22b a =-，所以点P 的坐标为(22)a a -，．=∴125a =或25． ∴所求点的坐标为121455⎛⎫⎪⎝⎭，，或为2655⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 3．求方程利用点到直线的距离可确定直线方程中的参数，从而求得直线方程；利用点到直线的距离列方程可求动点的轨迹方程．例3 点()P x y ，到定点M的距离与到直线3x =2，求点()P x y ，的轨迹方程．2=． 化简，得所求的轨迹方程为2244x y +=．4．求最值（创新应用型）例４ 已知51260x y +=的最小值．解：∵的最小值是点(40)P ，到直线51260x y +=的距离4013d ==， ∴ 所求最小值为4013． 三、感悟与体验点到直线的距离公式是解析几何常用的基本公式之一．解析几何中的轨迹问题、最值问题、曲线与直线的位置关系等都与点到直线的距离有关，应用点到直线的距离公式能够解决许多重要问题．。
推倒点到直线的距离公式的方法要推导点到直线的距离公式，我们首先需要了解直线的一般方程形式以及如何找到垂直于直线的向量。
然后，我们可以使用线段的性质来计算点到直线的距离。
为了更好地理解这个过程，我将在以下几个步骤中详细说明。
第一步：了解直线的一般方程形式直线的一般方程形式可以表示为Ax+By+C=0，其中A，B和C是实数，而(x,y)是直线上的点坐标。
这个方程可以通过点斜式或两点式来转换。
点斜式形式为y-y1=m(x-x1)，其中m是直线的斜率，(x1,y1)是直线上的已知点。
两点式形式为(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)，其中(x1,y1)和(x2,y2)是直线上的两个已知点。
第二步：找到垂直向量为了计算点到直线的距离，我们需要找到垂直于直线的向量。
考虑直线的一般方程形式Ax+By+C=0，它的法向量可以表示为n=<A,B>。
由于我们想要找到垂直向量，我们可以将其分解为两个分量n=<B,-A>，这样我们就得到了垂直于直线的向量。
第三步：应用线段的性质在线段的性质中，我们可以使用两个向量之间的点积来计算两个向量之间的夹角。
如果向量v1和v2之间的夹角为θ，则它们之间的点积可以表示为v1·v2 = ，v1，，v2，cosθ。
由于我们已经找到了垂直向量，我们可以使用它来构造线段，其中一个点是直线上的点P，另一个点是要计算距离的点Q。
第四步：计算点到直线的距离我们将垂直向量n=<B,-A>归一化为单位向量u=<B/√(A^2+B^2),-A/√(A^2+B^2)>。
然后，我们可以从点P到点Q构建线段。
线段的长度可以表示为PQ = ，Q - P， = ，(x - x1, y - y1)，= ，u，，PQ，cosθ。
由于我们想要计算点到直线的距离，我们需要知道线段的长度PQ和夹角θ的正弦值sinθ。
我们可以使用线段的长度PQ = ，(x - x1, y - y1)， = ，u，，PQ，cosθ 和方程式 Ax + By + C = 0 来计算点到直线的距离：PQ = ，u，，(x - x1, y - y1)， c osθ=，u，(，Ax+By+C，/√(A^2+B^2))=，Ax+By+C，/√(A^2+B^2)至此，我们已成功推导出点到直线的距离公式。
