2020年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学模拟题(含答案解析)

浙江省2020届高三高考模拟试题数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U＝R，集合A={x|x＜32}，集合B＝{y|y＞1}，则∁U（A∩B）＝（）A．[32，+∞)B．(−∞，1]∪[32，+∞)C．(1，32)D．(−∞，32)2．已知i是虚数单位，若z=3+i1−2i，则z的共轭复数z等于（）A．1−7i3B．1+7i3C．1−7i5D．1+7i53．若双曲线x2m−y2=1的焦距为4，则其渐近线方程为（）A．y=±√33x B．y=±√3x C．y=±√55x D．y=±√5x4．已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α，则（）A．β内一定能找到与l平行的直线B．β内一定能找到与l垂直的直线C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行D．若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直5．等差数列{a n}的公差为d，a1≠0，S n为数列{a n}的前n项和，则“d＝0”是“S2nS n∈Z”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．随机变量ξ的分布列如表：ξ﹣1012P13a b c其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)=19，则D（ξ）＝（）A．181B．29C．89D．80817．若存在正实数y，使得xyy−x =15x+4y，则实数x的最大值为（）A．15B．54C．1D．48．从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C 和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（ ） A ．85B ．95C ．2040D ．22809．已知三棱锥P ﹣ABC 的所有棱长为1．M 是底面△ABC 内部一个动点（包括边界），且M 到三个侧面P AB ，PBC ，P AC 的距离h 1，h 2，h 3成单调递增的等差数列，记PM 与AB ，BC ，AC 所成的角分别为α，β，γ，则下列正确的是（ ）A ．α＝βB ．β＝γC ．α＜βD ．β＜γ10．已知|2a →+b →|=2，a →⋅b →∈[−4，0]，则|a →|的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．[12，1]C ．[1，2]D ．[0，2]二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．若α∈(0，π2)，sinα=√63，则cosα＝ ，tan2α＝ ．12．一个长方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体与原长方体的体积之比是 ，剩余部分表面积是 ．13．若实数x ，y 满足{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4，若3x +y 的最大值为7，则m ＝ ．14．在二项式(√x +1ax 2)5(a ＞0)的展开式中x﹣5的系数与常数项相等，则a 的值是 ．15．设数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *，则a 2＝ ，S 5＝ ． 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知a cos B ＝b cos A ，∠A =π6，边BC 上的中线长为4．则c ＝ ；AB →⋅BC →= ．17．如图，过椭圆C：x2a2+y2b2=1的左、右焦点F1，F2分别作斜率为2√2的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x−π3)+2cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间[−π4，π2]上的最大值和最小值．19．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1．（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；（2）若D在B1C1上，满足B1D＝2DC1，求AD与平面A1BC1所成的角的正弦值．20．（15分）已知等比数列{a n}（其中n∈N*），前n项和记为S n，满足：S3=716，log2a n+1＝﹣1+log2a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•log2a n}（n∈N*）的前n项和T n．21．（15分）已知抛物线C：y=12x2与直线l：y＝kx﹣1无交点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．（1）证明：直线AB恒过定点Q；（2）试求△P AB面积的最小值．22．（15分）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（1）求a的取值范围；（2）证明：f(x1)−f(x2)＜12．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【详解详析】∵U＝R，A={x|x＜32}，B＝{y|y＞1}，∴A∩B=(1，32)，∴∁U(A∩B)=(−∞，1]∪[32，+∞)．故选：B．2．【详解详析】∵z=3+i1−2i =(3+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=15+75i，∴z=15−75i．故选：C．3．【详解详析】双曲线x2m−y2=1的焦距为4，可得m+1＝4，所以m＝3，所以双曲线的渐近线方程为：y=±√33x．故选：A．4．【详解详析】由α，β是两个相交平面，其中l⊂α，知：在A中，当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线，故A错误；在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；在C中，β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；在D 中，β内有无数条直线与l 垂直，则β与α不一定垂直，故D 错误． 故选：B ．5．【详解详析】等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和， “d ＝0”⇒“S 2n S n∈Z ”，当S2nS n∈Z 时，d 不一定为0，例如，数列1，3，5，7，9，11中，S 6S 3=1+3+5+7+9+111+3+5=4，d ＝2，故d ＝0”是“S 2n S n∈Z ”的充分不必要条件．故选：A ．6．【详解详析】∵a ，b ，c 成等差数列，E （ξ）=19， ∴由变量ξ的分布列，知：{a +b +c =232b =a +c (−1)×13+b +2c =19，解得a =13，b =29，c =19，∴D （ξ）＝（﹣1−19）2×13+（0−19）2×13+（1−19）2×29+（2−19）2×19=8081．故选：D ．7．【详解详析】∵xyy−x =15x+4y ， ∴4xy 2+（5x 2﹣1）y +x ＝0， ∴y 1•y 2=14＞0， ∴y 1+y 2=−5x 2−14x ≥0，∴{5x 2−1≥0x ＜0，或{5x 2−1≤0x ＞0， ∴0＜x ≤√55或x ≤−√55①， △＝（5x 2﹣1）2﹣16x 2≥0， ∴5x 2﹣1≥4x 或5x 2﹣1≤﹣4x ， 解得：﹣1≤x ≤15②，综上x 的取值范围是：0＜x ≤15；x的最大值是15，故选：A．8．【详解详析】根据题意，分2步进行分析：①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若数字4、7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个字母，有C52＝10种选法，则有5+35+35+10＝85种选法，②，将选出的4个元素全排列，有A44＝24种情况，则一共有85×24＝2040种不同排法；故选：C．9．【详解详析】依题意知正四面体P﹣ABC的顶点P在底面ABC的射影是正三角形ABC的中心O，由余弦定理可知，cosα＝cos∠PMO•cos＜MO，AB＞，其中＜MO，AB＞表示直线MO与AB的夹角，同理可以将β，γ转化，cosβ＝cos∠PMO•cos＜MO，BC＞，其中＜MO，BC＞表示直线MO与BC的夹角，cosγ＝cos∠PMO•cos＜MO，AC＞，其中＜MO，AC＞表示直线MO与AC的夹角，由于∠PMO是公共的，因此题意即比较OM与AB，BC，AC夹角的大小，设M到AB，BC，AC的距离为d1，d2，d3则d1＝sinℎ1θ，其中θ是正四面体相邻两个面所成角，sinθ=2√23，所以d1，d2，d3成单调递增的等差数列，然后在△ABC中解决问题由于d1＜d2＜d3，可知M在如图阴影区域（不包括边界）从图中可以看出，OM与BC所成角小于OM与AC所成角，所以β＜γ，故选：D．10．【详解详析】选择合适的基底．设m →=2a →+b →，则|m →|=2，b →=m →−2a →，a →⋅b →=a →⋅m →−2a →2∈[−4，0]， ∴（a →−14m →）2=a →2−12a →•m →+116m →2≤8+116m →2 |m →|2=m →2＝4，所以可得：m→28=12，配方可得12=18m →2≤2(a →−14m →)2≤4+18m →2=92，所以|a →−14m →|∈[12，32]， 则|a →|∈[0，2]． 故选：D ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．【详解详析】∵α∈(0，π2)，sinα=√63， ∴cosα=√1−sin 2α=√33，tanα=sinαcosα=√2，∴tan2α=2tanα1−tan 2α=√21−(√2)2=−2√2．故答案为：√33，﹣2√2．12．【详解详析】根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：该几何体为长方体切去一个角．故：V =2×1×1−13×12×2×1×1=53．所以：V 1V =532=56．S ＝2（1×2+1×2+1×1）−12(1×2+1×2+1×1)+12×√2×√2=9．故答案为：56，9．13．【详解详析】作出不等式组{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4对应的平面区域如图：（阴影部分）．令z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ， 平移直线y ＝﹣3x +z ， 由图象可知当3x +y ＝7．由 {3x +y =7y =4，解得 {x =1y =4，即B （1，4），同时A 也在2x ﹣y +m ＝0上， 解得m ＝﹣2x +y ＝﹣2×1+4＝2． 故答案为：2．14．【详解详析】∵二项式(√x +1ax2)5(a ＞0)的展开式的通项公式为 T r +1=C 5r •(1a)r•x5−5r 2，令5−5r 2=−5，求得r ＝3，故展开式中x﹣5的系数为C 53•(1a )3；令5−5r 2=0，求得r ＝1，故展开式中的常数项为 C 51•1a =5a ， 由为C 53•(1a )3=5•1a ，可得a =√2，故答案为：√2．15．【详解详析】∵数列{a n }的前n 项和为S n ．S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *， ∴a 2＝3a 1+2，且a 1+a 2＝6，解得a 1＝1，a 2＝5，a 3＝3S 2+2＝3（1+5）+2＝20， a 4＝3S 3+2＝3（1+5+20）+2＝80， a 5＝3（1+5+20+80）+2＝320， ∴S 5＝1+5+20+80+320＝426． 故答案为：5，426．16．【详解详析】由a cos B ＝b cos A ，及正弦定理得sin A cos B ＝sin B cos A ， 所以sin （A ﹣B ）＝0， 故B ＝A =π6，所以由正弦定理可得c =√3a ，由余弦定理得16＝c 2+（a2）2﹣2c •a2•cos π6，解得c =8√217；可得a =8√77，可得AB →⋅BC →=−ac cos B =−8√77×8√217×√32=−967．故答案为：8√217，−967． 17．【详解详析】作点B 关于原点的对称点B 1，可得S △BOF 2=S△B′OF 1，则有S 1S2=|y A ||y B 1|=75，所以y A =−75y B 1．将直线AB 1方程x =√2y4−c ，代入椭圆方程后，{x =√24y −c x 2a 2+y 2b 2=1，整理可得：（b 2+8a 2）y 2﹣4√2b 2cy +8b 4＝0， 由韦达定理解得y A +y B 1=4√2b 2cb 2+8a 2，y A y B 1=−8b 4b 2+8a 2，三式联立，可解得离心率e =ca =12． 故答案为：12．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．【详解详析】（1）f （x ）＝sin2x +cos2x +1=√2sin(2x +π4)+1 所以最小正周期为π． 因为当π2+2kπ≤2x +π4≤3π2+2kπ时，f （x ）单调递减．所以单调递减区间是[π8+kπ，5π8+kπ]．（2）当x ∈[−π4，π2]时，2x +π4∈[−π4，5π4]，当2x +π4=π2函数取得最大值为√2+1，当2x +π4=−π4或5π4时，函数取得最小值，最小值为−√22×√2+1＝0．19．【详解详析】（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1， 根据已知条件易得AB 1⊥A 1B ，由A 1C 1⊥面ABB 1A 1，得AB 1⊥A 1C 1， A 1B ∩A 1C 1＝A 1，以AB 1⊥平面A 1BC 1；（2）以A 1B 1，A 1C 1，A 1A 为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，设AB ＝a ， 则A （0，0，a ），B （a ，0，a ），C 1(0，a ，0)，D(a3，2a 3，0)，所以AD →=(a3，2a 3，−a)，设平面A 1BC 1的法向量为n →，则n →=(1，0，−1)， 可计算得到cos ＜AD →，n →＞=2√77，所以AD 与平面A 1BC 1所成的角的正弦值为2√77． 20．【详解详析】（1）由题意，设等比数列{a n }的公比为q ， ∵log 2a n +1＝﹣1+log 2a n ， ∴log 2a n+1−log 2a n =log 2a n+1a n=−1，∴q =a n+1a n =12．由S 3=716，得a 1[1−(12)3]1−12=716，解得a 1=14．∴数列{a n }的通项公式为a n =12n+1．（2）由题意，设b n ＝a n •log 2a n ，则b n =−n+12n+1． ∴T n ＝b 1+b 2+…+b n =−(222+323+⋯+n+12n+1) 故−T n =222+323+⋯+n+12n+1，−T n2=223+⋯+n2n+1+n+12n+2．两式相减，可得−T n2=12+123+⋯+12n+1−n+12n+2=34−n+32n+2．∴T n=n+32n+1−32．21．【详解详析】（1）由y=12x2求导得y′＝x，设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1=12x12，y2=12x22则k P A＝x1，P A：y﹣y1＝x1（x﹣x1），设P（x0，kx0﹣1），代入P A直线方程得kx0﹣1+y1＝x1x0，PB直线方程同理，代入可得kx0﹣1+y2＝x2x0，所以直线AB：kx0﹣1+y＝xx0，即x0（k﹣x）﹣1+y＝0，所以过定点（k，1）；（2）直线l方程与抛物线方程联立，得到x2﹣2kx+2＝0，由于无交点解△可得k2＜2．将AB：y＝xx0﹣kx0+1代入y=12x2，得12x2−xx0+kx0−1=0，所以△=x02−2kx0+2＞0，|AB|=2√1+x02√△，设点P到直线AB的距离是d，则d=02√1+x02，所以S△PAB=12|AB|d=(x02−2kx0+2)32=[(x0−k)2+2−k2]32，所以面积最小值为(2−k2)32．22．【详解详析】（1）求导得f′（x）＝lnx+1﹣2ax（x＞0），由题意可得函数g（x）＝lnx+1﹣2ax有且只有两个零点．∵g′(x)=1x −2a=1−2axx．当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）＝f′（x）至多有一个零点，不符合题意，舍去；当a＞0时，令g′（x）＝0，解得x=12a，所以x∈(0，12a )，g′(x)＞0，g(x)单调递增，x∈(12a，+∞)，g′(x)＜0，g(x)单调递减．所以x=12a 是g（x）的极大值点，则g(12a)＞0，解得0＜a＜12；（2）g（x）＝0有两个根x1，x2，且x1＜12a＜x2，又g（1）＝1﹣2a＞0，所以x1＜1＜12a＜x2，从而可知f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．所以f(x1)＜f(1)=−a＜0，f(x2)＞f(1)=−a＞−1，2．所以f(x1)−f(x2)＜12。

2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷(四)(时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{x |x －1>0}，C ＝{x |y ＝x －1，y ∈A }，则(A ∩B )∪C ＝( ) A ．{2，3，4} B ．{2，3，4，5，6} C ．{0，1，2，3，4，5}D ．{3，4，5}2．若复数z 满足方程z ＝(z ＋1)i(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0中心对称( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度5．在△ABC 中，D 是线段BC 上一点(不包括端点)，AD →＝λAB →＋(1－λ)AC →，则( ) A ．λ<－1 B ．－1<λ<0 C ．0<λ<1D ．λ>16.如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数为( )A ．24B ．48C ．96D ．1207．已知某三棱锥的三视图如图所示，其中每个小正方形的边长都为1.三棱锥上的点M 在俯视图上的对应点为A ，点N 在左视图上的对应点为B ，则线段MN 的长度的最大值为( )A ．3 3B ．3 2C ．9D ．68．已知数列{a n }为等差数列，且a 8＝1，则2|a 9|＋|a 10|的最小值为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．09．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)经过等腰梯形ABCD 的上底的两个顶点C 、D ，下底的两个顶点A 、B分别为双曲线的左、右焦点，对角线AC 与双曲线的左支交于点E ，且3|AE |＝2|EC |，|AB |＝2|CD |，则该双曲线的离心率是( )A. 2 B ． 3 C. 5D ．710．记min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤y ，y ，x >y ，已知函数F (x )＝min{2x ，x 2}( )A ．若F (a )≤b 2，则a ≤bB ．若F (a )≤2b ，则a ≤bC ．若F (a )≥b 2，则a ≥bD ．若F (a )≥2b ，则a ≥b第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分． 11．双曲线x 24－y 2＝1的实轴长是________，焦点到渐近线的距离是________．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x，x ≤0，1－3x ，x >0，则f (f (－1))＝________；若f (2a 2－3)>f (5a )，则实数a 的取值范围是________．13．在(2－x )6的展开式中，含x 3项的二项式系数为________，系数为________．(均用数字作答) 14．已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的．若从袋子中摸出3个球，记摸到白球的个数为ξ，则ξ＝1的概率是________，随机变量ξ的均值是________．15．已知x ，y ，z 均为实数，且满足x 2＋2y 2＋z 2＝1，则5xy ＋2yz ＋2z 2的最大值为________． 16．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4≥0x ＋y ≥0x ≤3，则z ＝|2x －y |的最大值为________．17．在棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点M 是棱AD 的中点，点P 是线段CD 1(不包括点C )上的动点，点Q 是线段CM 上的动点，设直线PQ 与平面ABCD 所成的角为θ，则tan θ的最大值为________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．(本题满分14分)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝sin(B －C )． (1)求角C 的大小；(2)若c ＝2，当sin A ＋cos(7π12－B )取得最大值时，求A ，a 的值．19.(本题满分15分)如图，三棱柱ABC ­A 1B 1C 1所有的棱长均为1，A 1C 1⊥B 1C .(1)求证：A 1B ⊥AC ；(2)若A 1B ＝1，求直线A 1C 1和平面ABB 1A 1所成角的余弦值．20．(本题满分15分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，且点(2，a 2)，(a 7，S 3)均在直线x －y ＋1＝0上．(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)设b n ＝22S n －n ，T n ＝2b 1·2b 2·…·2b n ，证明T n <2 2.21.(本题满分15分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，上顶点为B ，直线AB 的斜率为66，坐标原点O 到直线AB 的距离为427. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否在圆O ：x 2＋y 2＝b 2上存在点D ，使得圆O 过D 的切线与椭圆C 交于点P ，Q ，线段PQ 的中点为M ，直线PQ 与OM 的夹角为45°？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，说明理由．22．(本题满分15分)已知函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ，其中a 为实常数．(1)若x ＝12是f (x )的极大值点，求f (x )的极小值；(2)若不等式a ln x －1x ≤b －x 对任意－52≤a ≤0，12≤x ≤2恒成立，求b 的最小值．高考仿真模拟卷(四)1．解析：选B.由题意知，B ＝{x |x >1}，C ＝{2，3，4，5，6}，所以(A ∩B )∪C ＝{2，3，4，5}∪{2，3，4，5，6}＝{2，3，4，5，6}，故选B.2．解析：选C.由于z ＝(z ＋1)i ，则(1－i)z ＝i ，所以z ＝i 1－i ＝i （1＋i ）2＝－12＋12i ，所以z ＝－12－12i ，对应点的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，－12在第三象限．故选C. 3．解析：选C.因为函数f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x <0，x 2，x ≥0在定义域R 上单调递增，所以当a >b 时，f (a )>f (b )，即a |a |>b |b |，所以充分性成立；当a |a |>b |b |时，a >b ，所以必要性成立．故选C.4．解析：选B.假设将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象平移ρ个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2ρ＋π3关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0中心对称，所以将x ＝－π12代入得到sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋2ρ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2ρ＝0， 所以π6＋2ρ＝k π，k ∈Z ，所以ρ＝－π12＋k π2，当k ＝0时，ρ＝－π12.5．解析：选C.根据平面向量加法运算的平行四边形法则，可知⎩⎪⎨⎪⎧0<λ<10<1－λ<1，所以0<λ<1，故选C.6．解析：选C.依题意，设题目中的4种不同的颜色分别为a ，b ，c ，d ，注意到满足题意的方法中顶点A ，B ，E 的颜色互不相同，下面进行分步计数：第一步，确定涂顶点A ，B ，E 处(不妨设顶点A ，B ，E 处的颜色分别为a ，b ，c )，相应的方法数为A 34＝24；第二步，确定涂顶点C ，D 的颜色的方法种数，相应的方法数为4(分别为(C ，D )＝(a ，b )，(a ，d )，(d ，a )，(d ，b ))．根据分步乘法计数原理知，满足题意的不同的涂色方法种数为24×4＝96，选C.7．解析：选A.根据题意及三视图，在棱长为3的正方体中还原该几何体的直观图，为如图所示的三棱锥P ­CNE .由题意知M 在PC 上，则线段MN 长度的最大值即PN 的长，故线段MN 长度的最大值为3 3.8．解析：选C.a 9＝a 8＋d ＝1＋d ，a 10＝a 8＋2d ＝1＋2d ， 2|a 9|＋|a 10|＝2|1＋d |＋|1＋2d |＝2(|1＋d |＋|12＋d |)，所以当d ∈⎣⎡⎦⎤－1，－12时，原式取到最小值1.故选C. 9．解析：选D.由题意可知，A (－c ，0)，B (c ，0)，又点C 在双曲线上，ABCD 为等腰梯形，|AB |＝2|CD |，所以点C 的横坐标为c 2，不妨设C ⎝⎛⎭⎫c 2，y 0，由3|AE |＝2|EC |可知AE →＝23EC →，得E ⎝⎛⎭⎫－2c 5，2y 05，从而满足⎩⎨⎧c 24a 2－y 20b2＝1，4c 225a 2－4y 2025b2＝1，消去y 20b 2，得c2a2＝7，所以该双曲线的离心率为7.10．解析：选D.在平面直角坐标系内画出函数y ＝2x 和函数y ＝x 2的图象，易得两函数图象有三个交点，设从左至右交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，则由图易得F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ∈（－∞，x 1]∪[x 2，x 3]，x 2，x ∈（x 1，x 2）∪（x 3，＋∞），画出函数y ＝2x 和y ＝F (x )的图象，过函数y ＝2x 的图象上任意一点(b ，2b )作x 轴的平行线l ，由图易得在函数y ＝F (x )的图象上，位于直线l 和直线l 上方的点均在x ＝b 的右侧，所以若F (a )≥2b ，则a ≥b ，故选D.11．解析：因为a 2＝4，b 2＝1，所以实轴长2a 等于4，焦点到渐近线的距离为b 等于1. 答案：4 112．解析：f (－1)＝⎝⎛⎭⎫12－1＝2，所以f (f (－1))＝f (2)＝1－3×2＝－5.作出函数图象，由图象可知函数f (x )在定义域上单调递减，所以由f (2a 2－3)>f (5a )得，2a 2－3<5a ，即2a 2－5a －3<0，解得－12<a <3，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，3. 答案：－5 ⎝⎛⎭⎫－12，3 13．解析：依题意，(2－x )6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6·26－r ·(－x )r ＝C r 6·26－r ·(－1)r ·x r ，因此在(2－x )6的展开式中，含x 3项的二项式系数为C 36＝20，系数为C 36·23·(－1)3＝－160.答案：20 －16014．解析：依题意得，ξ的所有可能取值分别是0，1，2，P (ξ＝0)＝C 34C 36＝15，P (ξ＝1)＝C 24·C 12C 36＝35，P (ξ＝2)＝C 14·C 22C 36＝15，因此随机变量ξ的均值是E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.答案：35115．解析：由题意可知，1＝x 2＋2y 2＋z 2＝x 2＋25y 2＋85y 2＋15z 2＋45z 2≥225xy ＋425yz ＋45z 2＝225(5xy ＋2yz ＋2z 2)，即5xy ＋2yz ＋2z 2≤522＝524，故5xy ＋2yz ＋2z 2的最大值为524，当且仅当x ＝126，y ＝5213，z ＝1013时取等号． 答案：52416．解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线2x －y ＝0，平移该直线，当直线经过平面区域内的点(－2，2)时，相应直线在y 轴上的截距最大，此时2x －y 取得最小值，最小值是－6；当直线经过平面区域内的点(3，－3)时，相应直线在y 轴上的截距最小，此时2x －y 取得最大值，最大值是9，因此2x －y 的取值范围是[－6，9]，z ＝|2x －y |的取值范围是[0，9]，z ＝|2x －y |的最大值是9.答案：917．解析：如图，过P 作PN ⊥CD 于N ，连接QN ，则直线PQ 与平面ABCD 所成的角θ即∠PQN ，所以tan θ＝PNQN ，结合图形可知，对于线段CD 1上的任意点P ，作PN ⊥CD ，在线段CM 上均存在点Q ，使得QN ⊥CM ，此时tan θ取得最大值．不妨取点P 运动到D 1点，此时N 在D 点，则PN ＝1，又DM ＝12，CD ＝1，所以CM＝52，QN ＝55， 所以(tan θ)max ＝155＝ 5. 答案：518．解：(1)在锐角△ABC 中，cos A ＝－cos(B ＋C )＝sin(B －C )， 所以sin B cos C －cos B sin C ＋cos B cos C －sin B sin C ＝0， 即sin B (cos C －sin C )＋cos B (cos C －sin C )＝0， 所以(sin B ＋cos B )(cos C －sin C )＝0.因为A ，B ，C 均为锐角，所以sin B ＋cos B >0， cos C －sin C ＝0，tan C ＝1，故C ＝π4.(2)由(1)知，A ＋B ＝3π4.由⎩⎨⎧0<A <π20<3π4－A <π2， 得π4<A <π2. sin A ＋cos(7π12－B )＝sin A ＋cos[7π12－(3π4－A )]＝sin A ＋cos(A －π6)＝sin A ＋32cos A ＋12sin A ＝32sin A ＋32cos A ＝3(sin A ·32＋cos A ·12)＝3sin(A ＋π6)． 由于π4<A <π2，所以5π12<A ＋π6<2π3，故当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，sin A ＋cos(7π12－B )取得最大值 3.由正弦定理a sin π3＝c sin π4＝222＝2，得a ＝ 3.19．解：(1)取AC 中点O ，连接A 1O ，BO ，所以BO ⊥AC .连接AB 1交A 1B 于点M ，连接OM ，则B 1C ∥OM . 因为A 1C 1∥AC ，A 1C 1⊥B 1C ， 所以AC ⊥OM .又因为OM ⊆面A 1BO ，OB ⊆面A 1BO ，所以AC ⊥面A 1BO ，所以A 1B ⊥AC .(2)因为A 1C 1∥AC ，所以直线A 1C 1和平面ABB 1A 1所成角等于直线AC 和平面ABB 1A 1所成角． 因为三棱柱ABC ­A 1B 1C 1所有的棱长均为1，故A 1B ⊥AB 1， 因为A 1B ⊥AC ，所以A 1B ⊥面AB 1C ， 所以面AB 1C ⊥面ABB 1A 1.因为面AB 1C ∩面ABB 1A 1＝AB 1，所以AC 在平面ABB 1A 1的射影为AB 1， 所以∠B 1AC 为直线AC 和平面ABB 1A 1所成角． 因为AB 1＝2AM ＝2AB 2－BM 2＝3，由于A 1C 1⊥B 1C ，所以AC ⊥B 1C ，所以在Rt △ACB 1中，cos ∠B 1AC ＝AC AB 1＝13＝33.所以直线AC 和平面ABB 1A 1所成角的余弦值为33， 即直线A 1C 1和平面ABB 1A 1所成角的余弦值为33. 20．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .由点(2，a 2)，(a 7，S 3)均在直线x －y ＋1＝0上，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 7－S 3＋1＝0.又S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2，所以a 7＝8.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，a 1＋6d ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝1. 所以a n ＝n ＋1，S n ＝n （n ＋3）2.(2)证明：b n ＝22S n －n ＝2n （n ＋2）＝1n －1n ＋2.令P n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，则P n ＝1－13＋12－14＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝32－1n ＋1－1n ＋2，因为n ∈N *，所以P n <32，所以T n ＝2b 1·2b 2·…·2b n ＝2b 1＋b 2＋…＋b n ＝2P n <232，所以T n <2 2.21．解：(1)已知b a ＝66，而直线AB 的方程为－x a ＋yb ＝1，由题意11a 2＋1b 2＝427，从而a ＝427·1＋a 2b2＝427·1＋⎝⎛⎭⎫662＝6，b ＝66a ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 26＋y 2＝1.(2)设点D (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝1.由题意知y 0≠0，从而直线PQ 的斜率k ＝－x 0y 0，故直线PQ 的方程可写为y ＝1y 0(1－x 0x )，代入椭圆C 的方程并整理得1＋5x 206x 2－2x 0x ＋x 20＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝6x 01＋5x 20， 从而y 1＋y 22＝1y 0⎝⎛⎭⎫1－x 0·x 1＋x 22＝y 01＋5x 20， 所以M ⎝⎛⎭⎫6x 01＋5x 20，y 01＋5x 20.若直线PQ 与OM 的夹角为45°，则△ODM 是等腰直角三角形， 从而|OM |＝2，即⎝⎛⎭⎫6x 01＋5x 202＋⎝⎛⎭⎫y 01＋5x 202＝2，化简得50x 40－15x 20＋1＝0，解得x 20＝110或x 20＝15. 经检验符合题意，所以存在满足题设要求的点D ，其横坐标可为±1010，±55. 22．解：(1)f ′(x )＝x 2＋ax ＋1x 2， 因为x >0，由f ′⎝⎛⎭⎫12＝0，得⎝⎛⎭⎫122＋12a ＋1＝0，所以a ＝－52， 此时f(x)＝－52ln x ＋x －1x . 则f′(x)＝x 2－52x ＋1x 2＝（x －2）⎝⎛⎭⎫x －12x2. 所以f(x)在⎣⎡⎦⎤12，2上为减函数，在[2，＋∞)上为增函数． 所以x ＝2为极小值点，极小值f(2)＝32－5ln 22.(2)不等式aln x －1x≤b －x ，即f(x)≤b.所以b ≥f max (x)．(ⅰ)若1≤x ≤2，则ln x ≥0，f(x)＝aln x ＋x －1x ≤x －1x ≤2－12＝32.当a ＝0，x ＝2时取等号；(ⅱ)若12≤x<1，则ln x<0，f(x)＝aln x ＋x －1x ≤－52ln x ＋x －1x.由(1)可知g(x)＝－52ln x ＋x －1x 在⎣⎡⎦⎤12，1上为减函数． 所以当12≤x ≤1时，g(x)≤g ⎝⎛⎭⎫12＝52ln 2－32.因为52ln 2－32<52－32＝1<32，所以f max (x)＝32，于是b min ＝32.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江模拟卷1）数学参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题4分，满分40分。

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。

多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

-1,211 . 1 12. []13．+=1．14．：8；（1，+∞）．15①_①_① 16. 1-e-317.2三、解答题：本大题共5小题，共74分。

18.解：（①）①（1﹣cos2B）=8sinBsinC，①2sin2B=8sinBsinC，①由sinB≠0，可得：sinB=4sinC，①A+=π，①C=，即B=2C，①sinB=sin2C=2sinCcosC，可得：cosC==，①cosB=cos2C=2cos2C﹣1=（①）由（①）可得sinB=4sinC，可得：b=4c，可得b=4，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：a2﹣6a﹣55=0，解得：a=11或a=﹣5（舍去），①CD=5，又①cosC=，①sinC=，①S①ADC=•DC•AC•sinC==10．19.（①）证明：取PB的中点F，连接AF，EF．①EF是①PBC的中位线，①EF①BC，且EF=．又AD=BC，且AD=，①AD①EF且AD=EF，则四边形ADEF是平行四边形．①DE①AF，又DE①面ABP，AF①面ABP，①ED①面PAB；（①）解：法一、取BC的中点M，连接AM，则AD①MC且AD=MC，①四边形ADCM是平行四边形，①AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上．①AB①AC，可得．过D作DG①AC于G，①平面PAC①平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，①DG①平面PAC，则DG①PC．过G作GH①PC于H，则PC①面GHD，连接DH，则PC①DH，①①GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．在①ADC中，，连接AE，．在Rt①GDH中，，①，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值．法二、取BC的中点M，连接AM，则AD①MC，且AD=MC．①四边形ADCM是平行四边形，①AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上，①AB①AC．①面PAC①平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，①AB①面PAC．如图以A为原点，方向分别为x轴正方向，y轴正方向建立空间直角坐标系．可得，．设P（x，0，z），（z＞0），依题意有，，解得．则，，．设面PDC的一个法向量为，由，取x0=1，得．为面PAC的一个法向量，且，设二面角A﹣PC﹣D的大小为θ，则有，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值．20解：（1）①等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=a5+a6=25，①，解得a1=﹣1，d=3，①{a n}的通项公式a n=﹣1+（n﹣1）×3=3n﹣4．（2）①a1=﹣1，d=3，①=．①不等式2S n +8n+27＞（﹣1）n k （a n +4）对所有的正整数n 都成立， ①3n 2+3n+27＞（﹣1）n k•3n ，①（﹣1）n k ＜n++1对所有的正整数n 都成立，当n 为偶数时，k ＜n++1，设F （n ）=n++1，F （n ）min =F （4）=4+=．①k ＜．当n 为奇数时，﹣k ＜n++1，k ＞﹣（n++1），﹣（n++1）≤﹣2﹣1=﹣7，当且仅当n=，即n=3时，取等号，①实数k 的取值范围是（﹣7，）．21.[解] (1)由题意得⎩⎨⎧c a ＝12，127＋5＝b ，a 2＝b 2＋c 2，①⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝23，c ＝2，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x ＝my ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，x ＝my ＋3，①(3m 2＋4)y 2＋18my －21＝0，①y 1＋y 2＝－18m 3m 2＋4，y 1y 2＝－213m 2＋4.由A ，P ，M 三点共线可知y M 163＋4＝y 1x 1＋4，①y M ＝28y 13x 1＋4.同理可得y N ＝28y 23x 2＋4，①k 1k 2＝y M 163－3×y N 163－3＝9y M y N 49＝16y 1y 2x 1＋4x 2＋4.①(x 1＋4)(x 2＋4)＝(my 1＋7)(my 2＋7)＝m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49，①k 1k 2＝16y 1y 2m 2y 1y 2＋7my 1＋y 2＋49＝－127.①k 1k 2为定值－127.22，解析：（1）因为，所以， 此时，由，得，又，所以．所以的单调减区间为．(1)102af =-=2a =2()ln ,0f x x x x x =-+>2121()21(0)x x f x x x x x-++'=-+=>()0f x '<2210x x -->0x >1x >()f x (1,)+∞（2）方法一：令， 所以．当时，因为，所以．所以在上是递增函数，又因为， 所以关于的不等式不能恒成立．当时，， 令，得．所以当时，； 当时，， 因此函数在是增函数，在是减函数．故函数的最大值为． 令，因为， 21()()1)ln (1)12g x f x ax x ax a x =-=-+-+-(21(1)1()(1)ax a x g x ax a x x-+-+'=-+-=0a ≤0x >()0g x '>()g x (0,)+∞213(1)ln11(1)12022g a a a =-⨯+-+=-+>x ()1f x ax -≤0a >21()(1)(1)1()a x x ax a x a g x x x-+-+-+'==-()0g x '=1x a =1(0,)x a∈()0g x '>1(,)x a∈+∞()0g x '<()g x 1(0,)x a∈1(,)x a∈+∞()g x 2111111()ln ()(1)1ln 22g a a a a a a a a=-⨯+-⨯+=-1()ln 2h a a a =-1(1)02h =>，又因为在是减函数．所以当时，．所以整数的最小值为2．1(2)ln 204h =-<()h a (0,)a ∈+∞2a ≥()0h a <a。

2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷(九)(时间：120分钟；满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z ＝3－2i 1－i 的共轭复数z －＝( )A.52＋12i B ．52－12iC.12＋52i D ．12－52i2．已知集合A ＝{x |x (x 2－4)＝0}，B ＝{x |－1<lg(x ＋1)<1}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{－2，0，2} C ．{0，2}D ．{2}3．已知向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B ．10 C ．2 5D ．104．“φ＝2k π＋π2，k ∈Z ”是“函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象过原点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知数列{a n }为等比数列，则下列结论正确的是( ) A ．a 1＋a 3≥2a 2 B ．若a 3>a 1，则a 4>a 2C ．若a 1＝a 3，则a 1＝a 2D ．a 21＋a 23≥2a 226．数学与文学之间存在着奇妙的联系，诗中有回文诗，如“山东落花生花落东山，西湖回游鱼游回湖西”，倒过来读，仍然是原句！数学上也有这样一类数，如66，202，3773，34543，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，我们称这样的数为“回文数”．现用数字1，2，3，4组数(可重复用)，则组成的五位“回文数”的个数为( )A ．24B ．28C ．48D ．647．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y 2＝20x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝17，则双曲线的离心率为( )A. 5 B ．53C.54D ．528．已知x 0是f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x＋1x 的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0，0)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)<0，f (x 2)>09．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1x －y ≤1y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx＋1＝0在区间(b ，a )上有两解，则实数k 的范围是( )A ．(－6，－2)B ．(－3，2)C ．(－103，－2)D ．(－103，－3)10．已知△ABC ，D 是边BC (不包括端点)上的动点，将△ABD 沿直线AD 折起到△AB ′D ，使B ′在平面ADC 内的射影恰好在直线AD 上，则( )A ．当BD ＝CD 时，B ′，C 两点的距离最大 B ．当BD ＝CD 时，B ′，C 两点的距离最小 C ．当∠BAD ＝∠CAD 时，B ′，C 两点的距离最小 D ．当BD ⊥AD 时，B ′，C 两点的距离最大第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．11．已知随机变量ξ的分布列如下表所示，当1x ＋4y取最小值时，x ＝________，E (ξ)＝________．12.________．13．抛物线y 2＝ax (a >0)上的点P (32，y 0)到焦点F 的距离为2，则a ＝________，△POF 的面积为________．14．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＝8，a 4＋a 5＋a 6＝－4，则a 7＋a 8＋a 9＝________，S 9＝________．15．已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0＜x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是__________．16．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则z ＝2|x ＋y |＋|y ＋2|＋|2x －3y －6|的最大值为________． 17．已知a ，b ∈R 且0≤a ＋b ≤1，函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在[－12，0]上至少存在一个零点，则a －2b 的取值范围为________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本题满分14分)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD ＝2∠BAD ，BD ＝2，AB ＝6，cos ∠BCD ＝－13.(1)求AD 的长；(2)求梯形ABCD 的面积．19．(本题满分15分)如图所示，平面ABEF ⊥平面ABC ，四边形ABEF 是矩形，AB ＝2，AF ＝23，△ABC 是以A 为直角的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，PF ＝3.(1)证明：AC ⊥BF ；(2)求直线BC 与平面P AC 所成角的正切值．20．(本题满分15分)已知函数f (x )＝(x －1)e x ＋1，x ∈[0，1]．(1)证明：f (x )≥0；(2)若a <e x －1x <b 在x ∈(0，1)上恒成立，求b －a 的最小值．21．(本题满分15分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且F 1，F 2与短轴的一个顶点Q 构成一个顶角为120°的等腰三角形，点P (2，22)在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过F 2作斜率之积为－1的两条直线AB ，CD 分别交椭圆C 于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，求|MF 2|·|NF 2|的最大值．22．(本题满分15分)已知函数f (x )满足：对任意的x ∈R ，恒有f (x )f (1－x )＝14，且f (x )>0恒成立．若数列{a n }满足：a n ＝f (0)·f (1n )·f (2n )·…·f (n －2n )·f (n －1n)·f (1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1（1－3a n ）2－11－3a n，且S n 为{b n }的前n 项和，证明：12≤S n <15.高考仿真模拟卷(九)1．解析：选B.z ＝3－2i 1－i ＝（3－2i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝5＋i 2＝52＋12i ，z －＝52－12i.2．解析：选C.由已知得A ＝{－2，0，2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－910<x <9，故A ∩B ＝{0，2}．3．解析：选B.因为向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，所以2x －4＝0，2y ＝－4，解得x ＝2，y ＝－2，所以a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，所以a ＋b ＝(3，－1)，所以|a ＋b |＝ 32＋（－1）2＝10.4．解析：选A.由函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象过原点，得cos φ＝0，所以φ＝k π＋π2，k ∈Z ，因为“φ＝2k π＋π2，k ∈Z ”是“φ＝k π＋π2，k ∈Z ”的一部分，所以“φ＝2k π＋π2，k ∈Z ”是“函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象过原点”的充分不必要条件．5．解析：选D.对于选项A ，当数列{a n }的公比为－12，首项为－1时，a 1＋a 3<2a 2，故A 错误；对于选项B ，当数列{a n }的公比为－3. 首项为1时，a 3>a 1，但a 4<a 2，故B 错误；对于选项C ，若a 1＝a 3，则公比为±1，且当公比为－1时，a 1≠a 2，故C 错误；对于选项D ，a 21＋a 23≥2a 1a 3＝2a 22恒成立，故选D.6．解析：选D.若五位“回文数”仅由1个数字组成，则“回文数”的个数为C 14；若五位“回文数”由2个数字组成，则“回文数”的个数为C 24(A 22C 12＋C 12)；若五位“回文数”由3个数字组成，则“回文数”的个数为C 34A 33.由分类加法计数原理知，组成的五位“回文数”的个数为C 14＋C 24(A 22C 12＋C 12)＋C 34A 33＝64.故选D.7．解析：选B.由题意知F (5，0)，不妨设P 点在x 轴的上方，由|PF |＝17知点P 的横坐标为17－5＝12，则其纵坐标为20×12＝415，设双曲线的另一个焦点为F 1(－5，0)，则|PF 1|＝（12＋5）2＋（415）2＝23，所以2a ＝|PF 1|－|PF |＝23－17＝6，所以a ＝3，所以e ＝c a ＝53，故选B.8．解析：选C.因为x 0是函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x＋1x 的一个零点，所以f (x 0)＝0，因为f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x＋1x 是单调递减函数，且x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0，0)，所以f (x 1)>f (x 0)＝0>f (x 2)，故选C.9．解析：选C.根据可行域的图形可知目标函数z ＝x －2y 在点(1，0)处取得最大值1，即a ＝1，在点(－1，1)处取得最小值－3，即b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3，1)上有两解．令f (x )＝x 2－kx＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）>0f （1）>0－3<k 2<1Δ＝k 2－4>0⇒－103<k <－2，故选C. 10．解析：选C.如图，过B 作BO ⊥AD ，垂足为O ，连接OC ，则B ′C ＝BO 2＋OC 2，设∠BAD ＝θ，△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则OB 2＝c 2sin 2 θ，OA 2＝c 2cos 2 θ，由余弦定理知OC 2＝c 2cos 2 θ＋b 2－2bc cos θ·cos(∠BAC ­θ)，所以B ′C ＝b 2＋c 2－2bc cos θcos （∠BAC －θ）.因为cos θcos(∠BAC －θ)＝cos θ·(cos ∠BAC cos θ＋sin ∠BAC sin θ)＝12(cos ∠BAC ＋cos ∠BAC cos 2θ＋sin ∠BAC sin 2θ)＝12[cos ∠BAC ＋cos(2θ－∠BAC )]，所以B ′C ＝b 2＋c 2－bc [cos ∠BAC ＋cos （2θ－∠BAC ）]，所以2θ＝∠BAC 时，B ′C 最小，此时∠BAD ＝∠CAD ，故选C.11．解析：由题意得，x ＋y ＝12(x >0，y >0)，所以1x ＋4y ＝2(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝2⎝⎛⎭⎫5＋y x ＋4x y ≥2×(5＋4)＝18，当且仅当y ＝2x ，即x ＝16，y ＝13时取等号，此时随机变量ξ的分布列为ξ1 2 3 P161213所以E (ξ)＝1×16＋2×12＋3×13＝136.答案：16 13612．解析：由三视图知，该几何体的直观图如图中几何体BCC 1F ­ADD 1E 所示，是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，故其体积V ＝（1＋2）×22×2＝6，表面积S ＝2×2×2＋1×2＋2×12＋22＋2×（1＋2）×22＝16＋2 5.答案：6 16＋2513．解析：依题意与抛物线的定义得，|PF |＝32＋a4＝2，得a ＝2，则|y 0|＝2×32＝3，所以△POF 的面积为12×|OF |×|y 0|＝12×12×3＝34.答案：23414．解析：因为数列{a n }是等比数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列． 由题意可知，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝8，a 4＋a 5＋a 6＝S 6－S 3＝－4， 所以(－4)2＝8(S 9－S 6)， 所以S 9－S 6＝2， 即a 7＋a 8＋a 9＝2.所以S 9＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝8＋(－4)＋2＝6. 答案：2 615．解析：线段PQ 的中点M (x 0，y 0)的轨迹方程为x 0＋3y 0＋2＝0，由y 0＜x 0＋2，得x 0＞－2，则y 0x 0＝－13（x 0＋2）x 0＝－23x 0－13∈⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(0，＋∞)． 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(0，＋∞) 16．解析：因为x 2＋y 2≤1，所以z ＝2|x ＋y |＋|y ＋2|＋|2x －3y －6|＝2|x ＋y |＋y ＋2＋6－2x ＋3y ＝2|x ＋y |＋4y －2x ＋8， 当x ＋y >0时，z ＝2(x ＋y )＋4y －2x ＋8＝6y ＋8， 所以z max ＝14，当x ＋y ≤0时，z ＝－2x －2y ＋4y ＋8－2x ＝－4x ＋2y ＋8，如图，数形结合知，当直线z ＝－4x ＋2y ＋8和圆相切时，z 取得最大值，此时|8－z |（－4）2＋22＝1，解得z ＝8＋25或z ＝8－25(舍去)， 故z max ＝8＋25，综上所述，z 的最大值为14. 答案：1417．解析：由题意，要使函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[－12，0]上有零点，即方程x 2＋ax ＋b ＝0在[－12，0]上有根，只需f (－12)·f (0)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝b ≥0，f （－12）＝14－12a ＋b ≥0，－12<－a2<0，Δ＝a 2－4b ≥0，其对应的平面区域如图1，图2中的阴影部分所示，易知当a ＝1，b ＝0时，a －2b 取得最大值1，当a ＝0，b ＝0时，a －2b 取得最小值0，所以a －2b 的取值范围为[0，1]．答案：[0，1]18．解：(1)因为∠BCD ＝2∠BAD ，cos ∠BCD ＝－13，所以cos ∠BCD ＝2cos 2∠BAD －1，即cos 2∠BAD ＝13.因为∠BCD ∈(0，π)，所以∠BAD ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos ∠BAD ＝33. 在△ABD 中，由余弦定理得，BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB ·cos ∠BAD ， 即4＝AD 2＋6－2AD ×6×33，解得AD ＝ 2. (2)由(1)可得AD 2＋BD 2＝AB 2，所以∠ADB ＝π2，所以sin ∠ABD ＝33. 因为AB ∥CD 且∠ABD 为锐角， 所以∠BDC ＝∠ABD ， 所以sin ∠BDC ＝sin ∠ABD ＝33，cos ∠BDC ＝1－sin 2∠BDC ＝63. 由cos ∠BCD ＝－13，得sin ∠BCD ＝223.所以sin ∠CBD ＝sin(∠BCD ＋∠BDC )＝sin ∠BCD cos ∠BDC ＋cos ∠BCD sin ∠BDC ＝223×63＋⎝⎛⎭⎫－13×33＝33.在△BCD 中，由正弦定理得，DC sin ∠CBD ＝BDsin ∠BCD ，所以DC ＝BD ·sin ∠CBD sin ∠BCD＝62，所以梯形ABCD 的面积S ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×AD ×BD ＋12×BD ×CD ×sin ∠BDC ＝322.19．解：(1)证明：因为△ABC 是以A 为直角的等腰直角三角形， 所以AC ⊥AB ，又平面ABEF ⊥平面ABC ，平面ABEF ∩平面ABC ＝AB ， 所以AC ⊥平面ABEF .因为BF ⊂平面ABEF ，所以AC ⊥BF . (2)在矩形ABEF 中，AB ＝2，AF ＝23， 则BF ＝4，又PF ＝3，所以F A 2＝PF ·BF ，所以BF ⊥AP ，由(1)知AC ⊥BF ，又AC ∩AP ＝A ，所以BF ⊥平面P AC ， 则∠BCP 为直线BC 与平面P AC 所成的角．如图，过点P 作PM ∥AB 交BE 于点M ，过点P 作PN ⊥AB 于点N ， 连接NC ，因为BF ＝4，PF ＝3，所以PB ＝1，则PM EF ＝BM BE ＝PB BF ＝14，所以PM ＝BN ＝12，BM ＝PN ＝32，AN ＝AB －BN ＝2－12＝32，所以CN ＝AN 2＋AC 2＝（32）2＋22＝52，PC ＝PN 2＋NC 2＝（32）2＋（52）2＝7. 在Rt △BCP 中，tan ∠BCP ＝BP PC ＝77. 故直线BC 与平面P AC 所成角的正切值为77. 20．解：(1)证明：因为f ′(x )＝x e x ≥0，即f (x )在[0，1]上单调递增， 所以f (x )≥f (0)＝0，结论成立．(2)令g (x )＝e x －1x ，则g ′(x )＝（x －1）e x ＋1x 2>0，x ∈(0，1)， 所以，当x ∈(0，1)时，g (x )<g (1)＝e －1，要使e x －1x<b ，只需b ≥e －1. 要使e x －1x>a 成立，只需e x －ax －1>0在x ∈(0，1)上恒成立． 令h (x )＝e x －ax －1，x ∈(0，1)，则h ′(x )＝e x －a ，由x ∈(0，1)，得e x ∈(1，e)，①当a ≤1时，h ′(x )>0，此时x ∈(0，1)，有h (x )>h (0)＝0成立，所以a ≤1满足条件；②当a ≥e 时，h ′(x )<0，此时x ∈(0，1)，有h (x )<h (0)＝0，不符合题意，舍去；③当1<a <e 时，令h ′(x )＝0，得x ＝ln a ，可得当x ∈(0，ln a )时，h ′(x )<0，即x ∈(0，ln a )时，h (x )<h (0)＝0，不符合题意，舍去．综上，a ≤1. 又b ≥e －1，所以b －a 的最小值为e －2.21．解：(1)因为△QF 1F 2是一个顶角为120°的等腰三角形．所以c ＝3b ，a ＝2b .则椭圆C 的方程为x 2（2b ）2＋y 2b 2＝1， 又点P (2，22)在椭圆C 上， 所以24b 2＋12b2＝1，得b 2＝1，所以a ＝2. 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)显然直线AB 与CD 的斜率存在且不为0，F 2(3，0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋3(m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线CD 的方程为x ＝－1m y ＋3， 联立方程得⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4x ＝my ＋3， 化简得(m 2＋4)y 2＋23my －1＝0.则y 1＋y 2＝－23m m 2＋4， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋23＝83m 2＋4. 所以M (43m 2＋4，－3m m 2＋4)， |MF 2|＝（43m 2＋4－3）2＋（－3m m 2＋4）2＝3·m 2＋m 4m 2＋4.用－1m 替换m ，可得|NF 2|＝3·（1m ）4＋（1m ）2（1m）2＋4＝3·1＋m 21＋4m 2. 所以|MF 2|·|NF 2|＝3·m 2＋m 4m 2＋4·3·1＋m 21＋4m 2＝3（m 2＋1）|m |4m 4＋17m 2＋4＝3·1|m |＋|m |4（m 2＋1m 2）＋17＝3·1|m |＋|m |4（1|m |＋|m |）2＋9. 设1|m |＋|m |＝t ≥2(当且仅当1|m |＝|m |，即m 2＝1时等号成立)． 则|MF 2|·|NF 2|＝3t 4t 2＋9＝34t ＋9t . 因为f (t )＝4t ＋9t在[2，＋∞)上单调递增， 所以当t ＝2，即m ＝±1时，4t ＋9t 取得最小值252， 从而|MF 2|·|NF 2|取得最大值625. 22．解：(1)令x ＝1n， 则f (1n )f (1－1n )＝14， 即f (1n )f (n －1n )＝14， 同理可得f (2n )·f (n －2n )＝14， f (3n )·f (n －3n )＝14， …f (n －1n )·f (1n )＝14， f (1)·f (0)＝14. 又a n ＝f (0)·f (1n )·f (2n )·…·f (n －2n )·f (n －1n)·f (1)． 所以a n ＝f (1)·f (n －1n )·f (n －2n )·…·f (2n )·f (1n )·f (0)．两式相乘得，a 2n ＝[f (0)·f (1)]·[f (1n )·f (n －1n )]·[f (2n )·f (n －2n )]·…·[f (n －2n )·f (2n )]·[f (n －1n )·f (1n )]·[f (1)·f (0)]＝(14)n ＋1. 又f (x )>0恒成立，所以a n >0恒成立，则a n ＝（14）n ＋1＝(12)n ＋1. (2)证明：将a n ＝(12)n ＋1代入b n ＝1（1－3a n ）2－11－3a n ，得b n ＝3·2n ＋1（2n ＋1－3）2. 又S n ＋1－S n ＝b n ＋1＝3·2n ＋2（2n ＋2－3）2>0，故S n 是关于n 的递增数列， 故S n ≥S 1＝b 1＝12.当n ≥2时，b n ＝3·2n ＋1（2n ＋1－3）2<3·2n ＋1（2n ＋1－3）（2n ＋1－4）＝3·2n （2n ＋1－3）（2n －2）<3·2n（2n ＋1－3）（2n －3）＝3(12n －3－12n ＋1－3)． 故S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12＋b 2＋b 3＋…＋b n <12＋3(122－3－123－3＋123－3－124－3＋…＋12n －3－12n ＋1－3)＝15－32n ＋1－3<15. 综上，12≤S n <15.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷(三)(时间：120分钟；满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A ＝{－1，1，2}，B ＝{x ∈N |－1<x ≤2}，则A ∪B ＝( ) A ．{1，2} B ．{－1，1，2} C ．{0，1，2}D ．{－1，0，1，2}2．已知i 是虚数单位，复数z ＝(3－i)(1＋3i)，则复数z 的实部为( ) A. 3 B ．2 3 C ．0D ．23．已知α∈[0，π]，则“α＝π4”是“sin α＝22”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y －2≥0，y ≥－1，则z ＝2x ＋3y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．5D ．1325．函数y ＝cos 2x ·ln|x |的图象可能是( )6．已知0＜a ＜14，随机变量ξ的分布列如下：当a 增大时，( ) A ．E (ξ)增大，D (ξ)增大 B ．E (ξ)减小，D (ξ)增大 C ．E (ξ)增大，D (ξ)减小D ．E (ξ)减小，D (ξ)减小7．已知△ABC 外接圆圆心为O ，半径为1，2AO →＝AB →＋AC →且|OA →|＝|AB →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为( )A.12 B ．32 C ．－12D ．－328．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．6B ．6 2C ．14D ．1429．已知a ∈R ，函数f (x )满足：存在x 0>0，对任意的x >0，恒有|f (x )－a |≤|f (x 0)－a |，则f (x )可以为( ) A ．lg x B ．－x 2＋2x C ．2xD ．sin x10．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8－2S 4＝5，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为( ) A ．10 B ．15 C ．20D ．25第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．11．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，|a ＋2b |＝23，则|b |＝________，a·b ＝________． 12．若直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则直线l 的方程是________，最短弦长为________．13．设(2x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0，其中a i (i ＝0，1，…，8)是常数，则a 3＝________，a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝________．14．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到函数g (x )的图象．若函数g (x )为偶函数，则φ的值为________，此时函数f (x )在区间(0，π3)上的值域是________．15．若等边三角形ABC 的边长为23，平面内一点M 满足：CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________．16．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数y ＝2[f (x )]2＋2bf (x )＋1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是________．17．如图，已知矩形ABCD ，AB ＝3，AD ＝1，AF ⊥平面ABC ，且AF ＝3.E 为线段DC 上一点，沿直线AE 将△DAE 翻折成△D ′AE ，M 为BD ′的中点，则三棱锥M －BCF 体积的最小值是________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．(本题满分14分)如图，在△ABC 中，已知点D 在边AB 上，AD ＝3DB ，cos A ＝45，cos ∠ACB ＝513，BC ＝13.(1)求cos B 的值； (2)求CD 的长．19.(本题满分15分)如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，M 为线段BC 的中点，D 为线段BC 上一点，且BD ＝BA ，沿直线AD 将△ADC 翻折至△ADC ′，使AC ′⊥BD .(1)证明：平面AMC ′⊥平面ABD ；(2)求直线C ′D 与平面ABD 所成的角的正弦值．20．(本题满分15分)设函数f (x )＝23＋1x (x >0)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f ⎝⎛⎭⎫1a n －1，n ∈N *，且n ≥2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，设S n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n a n ＋1，若S n ≥3t4n 恒成立，求实数t 的取值范围．21.(本题满分15分)如图，过抛物线M ：y ＝x 2上一点A (点A 不与原点O 重合)作抛物线M 的切线AB 交y 轴于点B ，点C 是抛物线M 上异于点A 的点，设G 为△ABC 的重心(三条中线的交点)，直线CG 交y 轴于点D .(1)设A (x 0，x 20)(x 0≠0)，求直线AB 的方程； (2)求|OB ||OD |的值．22．(本题满分15分)已知函数f(x)＝ln xx2＋x.(1)求函数f(x)的导函数f′(x)；(2)证明：f(x)＜12e＋e(e为自然对数的底数)．高考仿真模拟卷(三)1．解析：选D.因为A ＝{－1，1，2}，B ＝{x ∈N |－1<x ≤2}＝{0，1，2}，所以A ∪B ＝{－1，0，1，2}，故选D.2．解析：选B.复数z ＝(3－i)(1＋3i)＝3－3i 2－i ＋3i ＝23＋2i ，所以复数z 的实部为2 3. 3．解析：选A.若α＝π4，则sin α＝22，故充分性成立；因为α∈[0，π]，所以若sin α＝22，则α＝π4或α＝3π4，故必要性不成立．故“α＝π4”是“sin α＝22”的充分不必要条件．4．解析：选D.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝52，y ＝12，故A (52，12)．作出直线2x ＋3y ＝0并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点(52，12)时，z ＝2x ＋3y 取得最大值，故z max ＝2×52＋3×12＝132.5．解析：选D.由于函数y ＝cos 2x ·ln|x |是偶函数，其图象关于y 轴对称，因此可以排除A ，B 两个选项；当0<x <π4时，y ＝cos 2x ·ln|x |<0，所以排除C ，故选D.6．解析：选A.E (ξ)＝－34＋a ，a 增大时，E (ξ)增大，D (ξ)＝Eξ2－(Eξ)2＝－a 2＋52a ＋316＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2816， 当a ∈⎝⎛⎭⎫0，14时，a 增大，D (ξ)增大．故选A. 7．解析：选A.因为AB →＋AC →＝2AO →，所以点O 为BC 的中点，因为O 是三角形的外心，所以△ABC 是直角三角形， 且A 是直角，OA ＝BO ，因为|OA →|＝|AB →|，所以△ABO 是正三角形，所以BA →在BC →方向上的投影等于|BA →|·cos 60°＝12.8．解析：选A.将几何体放入长、宽、高分别为4，4，3的长方体中，可知该几何体的直观图如图中四棱锥A ­BCDE 所示，故S 四边形BCDE ＝12×4×4－12×2×2＝6，四棱锥A ­BCDE 的高h ＝3，故该几何体的体积V ＝13S 四边形BCDE h ＝13×6×3＝6，故选A. 9．解析：选D.对于选项A ，由于f (x )＝lg x 在x >0上是增函数，值域是R ，所以不满足|f (x )－a |≤|f (x 0)－a |恒成立；对于选项B ，f (x )＝－x 2＋2x 在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，值域是(－∞，1]，所以不满足|f (x )－a |≤|f (x 0)－a |恒成立；对于选项C ，f (x )＝2x 在(0，＋∞)上是增函数，值域是(1，＋∞)，所以不满足|f (x )－a |≤|f (x 0)－a |恒成立；对于选项D ，f (x )＝sin x 在x >0时的值域为[－1，1]，总存在x 0>0，对任意的x >0，恒有|f (x )－a |≤|f (x 0)－a |，故选D.10．解析：选C.由题意可得，a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8，由S 8－2S 4＝5可得S 8－S 4＝S 4＋5，由等比数列的性质可得S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列，则S 4(S 12－S 8)＝(S 8－S 4)2，所以a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8＝（S 4＋5）2S 4＝S 4＋25S 4＋10≥2S 4×25S 4＋10＝20，当且仅当S 4＝5时等号成立．所以a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为20.选C.11．解析：由|a ＋2b |2＝|a |2＋4|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＋4|b |2＝4＋4|b |＋4|b |2＝12，解得|b |＝1，所以a·b ＝|a |·|b |cos 〈a·b 〉＝1.答案：1 112．解析：直线l 过定点(0，1)，圆C 可化为(x －1)2＋y 2＝4.当过定点(0，1)和圆心(1，0)的直线与l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦最短，易知此时k ＝1，故直线l 的方程为y ＝x ＋1.所以圆心到直线的距离为d ＝|1－0＋1|2＝2，故最短弦长为24－（2）2＝2 2. 答案：y ＝x ＋1 2213．解析：(2x －1)8展开式的通项T r ＋1＝C r 8(2x )8－r ·(－1)r ，当8－r ＝3，即r ＝5时，a 3＝C 58×23×(－1)5＝－448.令x ＝1，得a 8＋a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝1，令x ＝－1，得a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0＝(－3)8＝6 561，两式相减可得，2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝－6 560，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－3 280.答案：－448 －3 28014．解析：由函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，可得函数的最小正周期T ＝2×π2＝π，即2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)．由题意可得g (x )＝f (x ＋π3)＝2sin[2(x ＋π3)＋φ]＝2sin[2x ＋(2π3＋φ)]，因为g (x )为偶函数，所以2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π－π6(k ∈Z )．又|φ|<π2，所以k ＝0，φ＝－π6，所以f (x )＝2sin(2x －π6)．设t ＝2x －π6，因为x ∈(0，π3)，所以t ∈(－π6，π2)，故sin t ∈(－12，1)，所以函数f (x )在区间(0，π3)上的值域为(－1，2)． 答案：－π6(－1，2)C (0，0)，A (23，15．解析：通解：如图，以C 为坐标原点建立平面直角坐标系，则0)，B (3，3)，所以CA →＝(23，0)，CB →＝(3，3)，所以CM →＝16(3，3)＋23(23，0)＝(332，12)，所以M (332，12)，MA →＝(32，－12)，MB →＝(－32，52)，所以MA →·MB →＝32×(－32)＋(－12)×52＝－2. 优解：MA →·MB →＝(CA →－CM →)·(CB →－CM →)＝(13CA →－16CB →)·(56CB →－23CA →)＝718CA →·CB →－29CA →2－536CB →2＝718×23×23cos60°－29×(23)2－536×(23)2＝－2.答案：－216．解析：作出函数f (x )的图象如图所示，结合图象可知，若函数y ＝2[f (x )]2＋2bf (x )＋1有8个零点，则关于f (x )的一元二次方程2[f (x )]2＋2bf (x )＋1＝0在(0，1)上有2个不相等的实根．设t ＝f (x )，则方程转化为2t 2＋2bt ＋1＝0，设两个根分别为t 1，t 2，则由根与系数的关系知，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4b 2－8>0，0<t 1，t 2<1，即⎩⎪⎨⎪⎧b <－2或b >2，0<t 1＋t 2<2，0<（t 1－1）（t 2－1）<1，所以⎩⎪⎨⎪⎧b <－2或b >2，0<－b <2，0<12－（－b ）＋1<1，得－32<b <－2.答案：⎝⎛⎭⎫－32，－2 17．解析：三棱锥M ­BCF 的底面三角形BCF 是固定的，又AF ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AF ⊥BC .又在矩形ABCD 中，BC ⊥AB ，AB ∩AF 以S △BCF ＝12＝A ，所以BC ⊥平面ABF .又BF ⊂平面ABF ，所以BF ⊥BC ，所BC ·BF ＝3，所以要求三棱锥M ­BCF 体积的最小值，只需求点M到平面BCF 的距离h 的最小值即可．因为M 为BD ′的中点，所以点M 到平面BCF 的距离是点D ′到平面BCF 的距离h ′的一半．因为E 为DC 上的动点．且AD ′＝1，所以D ′的轨迹为以A 为球心，1为半径的球面的一部分．作AG ⊥BF交BF于点G，当D′为AG与球面的交点时，h′最小，此时h′＝AG－AD′＝32－1＝12，所以V M­BCF≥13×12×12×3＝312.答案：31218．解：(1)在△ABC中，cos A＝45，A∈(0，π)，所以sin A＝1－cos2A＝1－（45）2＝35.同理可得，sin∠ACB＝1213.所以cos B＝cos[π－(A＋∠ACB)]＝－cos(A＋∠ACB)＝sin A sin∠ACB－cos A cos∠ACB＝35×1213－45×513＝1665.(2)在△ABC中，由正弦定理得，AB＝BCsin A×sin ∠ACB＝1335×1213＝20.又AD＝3DB，所以BD＝14AB＝5.在△BCD中，由余弦定理得，CD＝BD2＋BC2－2BD·BC cos B＝52＋132－2×5×13×1665＝9 2.19．解：(1)由题意知AM⊥BD，又因为AC′⊥BD，所以BD⊥平面AMC′，因为BD⊂平面ABD，所以平面AMC′⊥平面ABD.(2)在平面AC′M中，过C′作C′F⊥AM交AM于点F，连接FD.由(1)知，C′F⊥平面ABD，所以∠C′DF为直线C′D与平面ABD所成的角．设AM＝1，则AB＝AC＝2，BC＝3，MD＝2－3，DC＝DC′＝33－2，AD＝6－ 2.在Rt△C′MD中，MC′2＝C′D2－MD2＝(33－2)2－(2－3)2＝9－4 3.设AF ＝x ，在Rt △C ′F A 中，AC ′2－AF 2＝MC ′2－MF 2， 即4－x 2＝(9－43)－(x －1)2， 解得，x ＝23－2，即AF ＝23－2. 所以C ′F ＝223－3.故直线C ′D 与平面ABD 所成角的正弦值为C ′FAF ＝23－33－1.20．解：(1)由a n ＝f ⎝⎛⎭⎫1an －1得，a n －a n －1＝23，n ∈N *，n ≥2，所以{a n }是首项为1，公差为23的等差数列．所以a n ＝1＋23(n －1)＝2n ＋13，n ∈N *.(2)因为a n ＝2n ＋13，所以a n ＋1＝2n ＋33，所以1a n a n ＋1＝9（2n ＋1）（2n ＋3）＝92⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3.则S n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n a n ＋1＝92⎝⎛⎭⎫13－12n ＋3＝3n2n ＋3.故S n ≥3t 4n 恒成立等价于3n 2n ＋3≥3t 4n ，即t ≤4n 22n ＋3恒成立．令g (x )＝4x 22x ＋3(x >0)，则g ′(x )＝8x （x ＋3）（2x ＋3）2>0，所以g (x )＝4x 22x ＋3(x >0)为单调递增函数．所以当n ＝1时，4n 22n ＋3取得最小值，且⎝⎛⎭⎫4n 22n ＋3min ＝45. 所以t ≤45，即实数t 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，45. 21．解：(1)因为y ′＝2x ，所以直线AB 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0， 所以直线AB 的方程y －x 0＝2x 0(x －x 0)， 即y ＝2x 0x －x 20.(2)由题意得，点B 的纵坐标y B ＝－x 20，所以AB 中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 02，0. 设C (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，直线CG 的方程为x ＝my ＋12x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋12x 0y ＝x 2，联立得m 2y 2＋(mx 0－1)y ＋14x 20＝0. 因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2.由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝4y 2＝1－mx 0m 2，y 1y 2＝3y 22＝x 204m 2. 所以（1－mx 0）216m 4＝x 2012m 2， 解得mx 0＝－3±23，所以点D 的纵坐标y D ＝－x 02m ＝x 206±43， 故|OB ||OD |＝⎪⎪⎪⎪y B y D ＝43±6. 22．解：(1)f ′(x )＝x ＋1－（2x ＋1）ln x （x 2＋x ）2. (2)设g (x )＝x ＋12x ＋1－ln x ＝12＋14x ＋2－ln x ， 则函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减，且g (e)>0，g (e)<0， 所以存在x 0∈(e ，e)，使g (x 0)＝0， 即x 0＋12x 0＋1－ln x 0＝0， 所以x 0＋1－(2x 0＋1)ln x 0＝0，所以f ′(x )＝0，且f (x )在区间(0，x 0)上单调递增，在区间(x 0，＋∞)上单调递减．所以f (x )≤f (x 0)＝ln x 0x 0（x 0＋1）＝1x 0（2x 0＋1）<12e ＋e.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷(八)(时间：120分钟；满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＜0}，B ＝{x |－x 2＋x ＜0}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(－∞，0)∪[1，＋∞) B ．(－∞，0]∪(1，＋∞) C ．[0，1)D ．[0，1]2．已知复数z 的共轭复数z －＝1＋2i(i 为虚数单位)，复数z 满足(a ＋b i)·z ＝5(a ，b ∈R )，则a ＋b 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．33．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x ＞1，则f ⎝⎛⎭⎫1f （2）的值为( )A.1516 B ．－2716C.89D ．184．随机变量X 的分布列如表所示，若E (X )＝13，则D (3X －2)＝( )A.9 C ．5D ．35．正四面体ABCD ，E 为棱AD 的中点，过点A 作平面BCE 的平行平面，该平面与平面ABC 、平面ACD 的交线分别为l 1，l 2，则l 1，l 2所成角的正弦值为( )A.63B ．33 C.13D ．226．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b ＝1，a ＝2c ，则当C 取最大值时，△ABC 的面积为( )A.33B ．36C.233D ．37．若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，则使a k ·a k ＋1＜0的k 值为( ) A ．22 B ．21 C ．24D ．238．已知向量a ，b 满足|a |＝1，且对任意实数x ，y ，|a －x b |的最小值为32，|b －y a |的最小值为3，则|a ＋b |＝( )A.7 B ．5＋2 3C.7或 3D ．5＋23或5－239．已知变量a ，b 满足b ＝－12a 2＋3ln a (a ＞0)，若点Q (m ，n )在直线y ＝2x ＋12上，则(a －m )2＋(b －n )2的最小值为( )A.95 B ．355C ．9D ．310．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a ＞0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分． 11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________，体积为________．12．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列{b n }的通项公式为b n ＝________，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________．13．已知多项式(x ＋b )5＝(x －1)5＋a 1(x －1)4＋a 2(x －1)3＋a 3(x －1)2＋a 4(x －1)－32，则b ＝________，a 2＝________．14．若实数x ，y 满足x >y >0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则2x ＋1y 的最小值是________，x －y x 2＋y 2的最大值为________．15．已知圆C ：x 2＋(y ＋1)2＝3，设EF 为直线l ：y ＝2x ＋4上的一条线段，若对于圆C 上的任意一点Q ，∠EQF ≥π2，则|EF |的最小值是________．16．设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x )，对于任意的实数x ，有f (x )＋f (－x )＝2x 2，当x ∈(－∞，0]时，f ′(x )＋1＜2x .若f (2＋m )－f (－m )≤2m ＋2，则实数m 的取值范围是________．17.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝1，AC ＝CD ＝DA ＝2，动点M 在边DC 上(不同于D 点)，P 为边AB 上任意一点，沿AM 将△ADM 翻折成△AD ′M ，当平面AD ′M 垂直于平面ABC 时，线段PD ′长度的最小值为________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本题满分14分)设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a (a ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R )的对称轴方程．19.(本题满分15分)如图，三棱柱ABC ­A 1B 1C 1所有的棱长均为2，A 1B ＝6，A 1B ⊥AC .(1)求证：A 1C 1⊥B 1C ；(2)求直线AC 和平面ABB 1A 1所成角的余弦值．20．(本题满分15分)数列{a n }的各项均为正数，且a n ＋1＝a n ＋2a n －1(n ∈N *)，{a n }的前n 项和是S n .(1)若{a n }是递增数列，求a 1的取值范围；(2)若a 1>2，且对任意n ∈N *，都有S n ≥na 1－13(n －1)，证明：S n <2n ＋1.21.(本题满分15分)已知A ，B ，C 是抛物线y 2＝2px (p >0)上三个不同的点，且AB ⊥AC .(1)若A (1，2)，B (4，－4)，求点C 的坐标；(2)若抛物线上存在点D ，使得线段AD 总被直线BC 平分，求点A 的坐标．22．(本题满分15分)已知函数f (x )＝e x －1x ，g (x )＝e x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，e －1)处的切线方程； (2)若正实数m ，n 满足f (m )＝g (n )，求证：n m >12.高考仿真模拟卷(八)1．解析：选C.因为A ＝(－2，1)，B ＝(－∞，0)∪(1，＋∞)，所以∁R B ＝[0，1]，A ∩(∁R B )＝[0，1)，选C.2．解析：选D.由题意可得z ＝1－2i ，故(a ＋b i)·z ＝(a ＋b i)(1－2i)＝a ＋2b ＋(b －2a )i ＝5，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝5，b ＝2a ，解得a ＝1，b ＝2，故a ＋b ＝3，选D.3．解析：选A.因为f (2)＝4，所以f ⎝⎛⎭⎫1f （2）＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－⎝⎛⎭⎫142＝1516. 4．解析：选C.由题设知，E (X )＝－1×16＋0×a ＋1×b ＝13，所以b ＝12，又由所给分布列得16＋a ＋b ＝1，所以a ＝13.随机变量3X －2的分布列为所以E (3X －2)＝－5×16＋(－2)×13＋1×12＝－1，所以D (3X －2)＝(－5＋1)2×16＋(－2＋1)2×13＋(1＋1)2×12＝5.故选C.5．解析：选A.设所作的平面为α，则由α∥平面BCE ，α∩平面ABC ＝l 1，平面BCE ∩平面ABC ＝BC ，得l 1∥BC ，同理可得l 2∥CE ，所以l 1，l 2所成的角等于BC 与CE 所成的角，即∠BCE .设正四面体ABCD 的棱长为2，则BC ＝2，CE ＝BE ＝3，在△BCE 中，由余弦定理，得cos ∠BCE ＝22＋（3）2－（3）22×2×3＝33，则sin ∠BCE ＝1－cos 2∠BCE ＝63，故选A. 6．解析：选B.当C 取最大值时，cos C 最小， 由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3c 2＋14c ＝14⎝⎛⎭⎫3c ＋1c ≥32， 当且仅当c ＝33时取等号，且此时sin C ＝12，所以当C 取最大值时， △ABC 的面积为12ab sin C ＝12×2c ×1×12＝36.7．解析：选D.因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－23，又a 1＝15，所以数列{a n }是首项为15，公差为－23的等差数列，所以a n ＝15－23·(n －1)＝－23n ＋473，且{a n }为递减数列，令a n ＝－23n ＋473＞0，得n ＜23.5，可知使a k ·a k ＋1＜0的k 值为23.8．解析：选C.不妨设向量a ＝(1，0)，b ＝(m ，n )，则a －x b ＝(1－xm ，－xn )，b －y a ＝(m －y ，n )． |a －x b |2＝(1－mx )2＋(－xn )2＝(m 2＋n 2)x 2－2mx ＋1，又对任意实数x 有|a －x b |的最小值为32，所以4（m 2＋n 2）－（－2m ）24（m 2＋n 2）＝⎝⎛⎭⎫322，化简得n 2＝3m 2. |b －y a |2＝(m －y )2＋n 2，又对任意实数y 有|b －y a |的最小值为3，所以n 2＝3，所以3m 2＝3，即m ＝±1.由a ＋b ＝(1＋m ，n )，可得|a ＋b |2＝(1＋m )2＋n 2＝m 2＋n 2＋2m ＋1＝7或3，故|a ＋b |＝7或3，故选C.9．解析：选A.由题意知，y ＝2x ＋12表示斜率为2的直线，变量a ，b 满足b ＝－12a 2＋3ln a ，设函数f (x )＝－12x 2＋3ln x ，则f ′(x )＝－x ＋3x ，设当切线斜率为2时，函数f (x )图象的切点的横坐标为x 0，则－x 0＋3x 0＝2，所以x 0＝1，此时切点坐标为⎝⎛⎭⎫1，－12，切点到直线y ＝2x ＋12的距离d ＝35，所以(a －m )2＋(b －n )2的最小值为d 2＝95.10.解析：选B.x 2a 2－4y 2＝1的右顶点坐标为(a ，0)，一条渐近线为x －2ay ＝0.由点到直线的距离公式得d ＝|a |12＋4a 2＝34，解得a ＝32或a ＝－32(舍去)， 故双曲线的方程为4x 23－4y 2＝1.因为c ＝34＋14＝1，故双曲线的右焦点为(1，0)，即抛物线的焦点为(1，0)，所以p ＝2，x ＝－1是抛物线的准线，如图，作MA ⊥l 1，MB ⊥l 2，设抛物线的焦点为F ，连接MF ，则由抛物线的定义知|MB |＝|MF |，当M ，A ，F 三点共线时，距离之和最小，其最小值是点F 到l 1的距离，由点到直线的距离公式可得d 1＝|4＋6|（－3）2＋42＝105＝2，即距离之和的最小值为2.11．解析：如图所示，该几何体为三棱锥P ­ABC ，其中P A ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝2，AC ＝1，BC ＝2，所以该几何体的表面积S ＝12×2×1＋12×1×2＋12×5×2＋12×5×2＝2＋25，体积V ＝13×2×12×1×2＝23.答案：2＋25 2312．解析：由已知条件可得q 4－1＝a 4a 1＝813＝27，即q ＝3，所以a n ＋1a n ＝q ＝3，则b n ＋1－b n ＝log 3a n ＋1－log 3a n ＝log 3a n ＋1a n＝1.又因为b 1＝log 3a 1＝log 33＝1，可得等差数列{b n }的通项公式为b n ＝n ，所以1b n b n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.答案：nn n ＋113．解析：由题意，(x ＋b )5＝[(x －1)＋(b ＋1)]5，利用二项式定理．T r ＋1＝C r 5(x －1)5－r (b ＋1)r ，r ＝0，1，2，…，5⇒⎩⎪⎨⎪⎧（b ＋1）5＝－32a 2＝C 25（b ＋1）2⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3a 2＝40. 答案：－3 4014．解析：由log 2x ＋log 2y ＝1，得log 2(xy )＝1，即xy ＝2，所以2x ＋1y≥22x ·1y ＝2，当且仅当2x ＝1y，且x ＝2，y ＝1时等号成立．由题意知x －y x 2＋y 2＝x －y （x －y ）2＋4>0，又（x －y ）2＋4x －y ＝(x －y )＋4x －y ≥2（x －y ）·4x －y ＝4，当且仅当x －y ＝4x －y ，即x ＝1＋3，y ＝3－1时等号成立，所以（x －y ）2＋4x －y的最小值为4，所以x －y x 2＋y2的最大值为14.答案：2 1415．解析：依题意，圆心C (0，－1)到直线l 的距离d ＝|2×0－（－1）＋4|5＝5>r ＝3，所以直线l 与圆C 相离．由对于圆C 上的任意一点Q ，均满足∠EQF ≥π2得，点Q 必位于以线段EF 为直径的圆上或圆内，即圆C 与以线段EF 为直径的圆内切或内含(其中12|EF |>3)．记线段EF 的中点为M ，则12|EF |－3≥|CM |，|EF |≥2(|CM |＋3)≥2(d ＋3)＝2(5＋3)，即|EF |的最小值是2(5＋3)． 答案：2(5＋3)16．解析：令g (x )＝f (x )＋x －x 2，所以g (x )＋g (－x )＝f (x )＋x －x 2＋f (－x )－x －x 2＝f (x )＋f (－x )－2x 2＝0，所以g (x )为定义在R 上的奇函数，又当x ≤0时，g ′(x )＝f ′(x )＋1－2x ＜0，所以g (x )在R 上单调递减，所以f (2＋m )－f (－m )≤2m ＋2等价于f (2＋m )＋(2＋m )－(m ＋2)2≤f (－m )＋(－m )－(－m )2，即2＋m ≥－m ，解得m ≥－1，所以实数m 的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)17．解析：过D ′作AM 的垂线，垂足为H ，连接DH ，则DH ⊥AM ，故H 的轨迹为以AD 为直径的圆．要使D ′P 最小，应过H 作AB 的垂线，垂足为P ，问题转化为DH 2＋HP 2的最小值，而DH 2＋HP 2＝AD 2－AH 2＋HP 2＝4－AP 2，故只需AP 最大，所以该圆最右侧的点即为H 点，此时AP ＝12，所以4－AP 2＝154，所以PD ′min ＝152. 答案：15218．解：(1)f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝ 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1＋a ， 则f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时f (x )单调递增，即k π－38π≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．所以⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )为f (x )的单调递增区间． (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，π4≤2x ＋π4≤7π12， 当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝1. 所以f (x )max ＝2＋1＋a ＝2⇒a ＝1－ 2. 由2x ＋π4＝k π＋π2得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，故y ＝f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π8，k ∈Z .19．解：(1)证明：法一：如图，取AC 中点O .连接A 1O ，BO . 由题意得BO ⊥AC ，因为A 1B ⊥AC ，A 1B ∩BO ＝B ，A 1B ⊂平面A 1BO ，BO ⊂平面A 1BO ，所以AC⊥平面A1BO，连接AB1交A1B于点M，连接OM，则B1C∥OM，又OM⊂平面A1BO，所以AC⊥OM，因为A1C1∥AC，所以A1C1⊥B1C.法二：连接AB1，BC1，因为四边形A1ABB1是菱形，所以A1B⊥AB1，又A1B⊥AC，AB1∩AC＝A，所以A1B⊥平面AB1C，所以A1B⊥B1C.又四边形B1BCC1是菱形，所以BC1⊥B1C，所以B1C⊥平面A1BC1，所以B1C⊥A1C1.(2)因为A1B⊥AB1，A1B⊥AC，所以A1B⊥平面AB1C.所以平面AB1C⊥平面ABB1A1.因为平面AB1C∩平面ABB1A1＝AB1，所以直线AC在平面ABB1A1的射影为AB1，所以∠B1AC为直线AC和平面ABB1A1所成的角．因为AB1＝2AM＝2AB2－BM2＝10，所以在Rt△ACB1中，cos∠B1AC＝ACAB1＝210＝105.所以直线AC和平面ABB1A1所成角的余弦值为10 5.20．解：(1)由{a n}是递增数列知，a2>a1⇔a1＋2a1－1>a1，得0<a1<2①，又由a3>a2⇔a2＋2a2－1>a2，得0<a2<2，即a1＋2a1－1<2，解得1<a1<2②，由①②，得1<a1<2.下面用数学归纳法证明：当1<a1<2时，1<a n<2对任意n∈N*恒成立．(i)当n＝1时，1<a1<2成立；(ii)假设当n＝k(k∈N*)时，1<a k<2成立，则当n＝k＋1时，a k＋1＝a k＋2a k－1∈[22－1，2)⊆(1，2)，所以当n＝k＋1时，也成立．由(i)(ii)可知1<a n<2对任意n∈N*恒成立．于是a n＋1－a n＝2a n－1>0，即{a n}是递增数列．所以a1的取值范围是1<a1<2.(2)证明：因为a 1>2，可用数学归纳法证明：a n >2对任意n ∈N *恒成立．于是a n ＋1－a n ＝2a n－1<0，即{a n }是递减数列． 在S n ≥na 1－13(n －1)中，令n ＝2， 得2a 1＋2a 1－1＝S 2≥2a 1－13， 解得a 1≤3.故2<a 1≤3.先证：(i)当2<a 1≤73时，S n ≥na 1－13(n －1)恒成立． 事实上，当2<a 1≤73时，由于a n ＝a 1＋(a n －a 1)≥a 1＋(2－73)＝a 1－13，于是 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ≥a 1＋(n －1)(a 1－13)＝na 1－13(n －1)． 再证：(ii)a 1>73不合题意． 事实上，当3≥a 1>73时，设a n ＝b n ＋2， 则由a n ＋1＝a n ＋2a n－1， 可得b n ＋1＝b n ＋2b n ＋2－1. 得b n ＋1b n ＝b n ＋1b n ＋2≤23(因为73<a 1≤3，所以13<b 1≤1)， 于是数列{b n }的前n 项和T n ≤b 1·1－（23）n 1－23<3b 1≤3， 故S n ＝2n ＋T n <2n ＋3＝na 1＋(2－a 1)n ＋3 ③，令a 1＝73＋t (t >0)， 则由③式得S n <na 1＋(2－a 1)n ＋3＝na 1－13(n －1)－tn ＋83， 只要n 充分大，就有S n <na 1－13(n －1)， 这与S n ≥na 1－13(n －1)矛盾． 所以a 1>73不合题意． 综合(i)(ii)，有2<a 1≤73. 因为2<a 1≤73，所以0<b 1≤13，所以b n ＋1b n ＝b n ＋1b n ＋2≤b 1＋1b 1＋2≤47， 故数列{b n }的前n 项和T n ≤b 1·1－（47）n 1－47<73b 1<1， 所以S n ＝2n ＋T n <2n ＋1.21．解：(1)因为A (1，2)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，所以p ＝2. 抛物线方程为y 2＝4x .设C (t 24，t )，则由k AB ·k AC ＝－1， 即－4－24－1·t －2t 24－1＝－1， 解得t ＝6，t ＝2(舍去)，即C (9，6)．(2)设A (x 0，y 0)，B (y 212p ，y 1)，C (y 222p，y 2)，则y 20＝2px 0. 直线BC 的方程为y －y 1y 2－y 1＝x －y 212p y 222p －y 212p， 即(y 1＋y 2)y ＝2px ＋y 1y 2，由k AB ·k AC ＝y 1－y 0y 212p －y 202p ·y 2－y 0y 222p －y 202p＝－1. 得y 0(y 1＋y 2)＋y 1y 2＋y 20＝－4p 2，与直线BC 的方程联立，化简，得(y 1＋y 2)(y ＋y 0)＝2p (x －2p －x 0)， 故直线BC 恒过点E (x 0＋2p ，－y 0)．因此直线AE 的方程为y ＝－y 0p(x －x 0)＋y 0， 代入抛物线的方程y 2＝2px (p >0)，得点D 的坐标为(2p （x 0＋p ）2y 20，－2p （x 0＋p ）y 0)． 因为线段AD 总被直线BC 平分，所以⎩⎨⎧2（x 0＋2p ）＝x 0＋2p （x 0＋p ）2y 20，－2y 0＝y 0－2p （x 0＋p ）y 0， 解得x 0＝p 2，y 0＝±p .即点A 的坐标为(p 2，±p )． 22．解：(1)因为f ′(x )＝e x x －（e x －1）x 2，所以f ′(1)＝1， 所以y ＝f (x )在点(1，e －1)处的切线方程为x －y ＋e －2＝0.(2)证明：f (m )＝g (n )即e m －1m＝e n . 要证n m >12，只要证e n >e 12m ，即证e m －1m >e 12m ， 即证e m －1－m e 12m >0， 故只要证当m >0时有e m －1－m e 12m >0成立即可． 令h (x )＝e x －1－x e 12x (x >0)， 则h ′(x )＝e x －e 12x －12x e 12x ＝e 12x ⎝⎛⎭⎫e 12x －1－x 2， 令m (x )＝e 12x －12x －1(x >0)， 则m ′(x )＝12e 12x －12>0(x >0)， 所以m (x )>m (0)＝0，即e 12x －1－x 2>0， 所以h ′(x )＝e 12x ⎝⎛⎭⎫e 12x －1－x 2>0， 所以h (x )>h (0)＝0，所以h (m )＝e m －1－m e 12m >0，所以n m >12.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷(七)(时间：120分钟；满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{x |x 2－2x －8≤0}，集合N ＝{x |lg x ≥0}，则M ∩N ＝( ) A ．{x |－2≤x ≤4} B ．{x |x ≥1} C ．{x |1≤x ≤4}D ．{x |x ≥－2}2．已知复数z 满足1－2i ＝|3＋4i|z (i 为虚数单位)，则z 的虚部是( )A ．－2iB ．－2C ．2iD ．23．已知a ，b ，c 为实数，则“0.1a <0.1b ”是“a 3c 2>b 3c 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知任意两个平面向量a ，b ，则下列关系式中不恒成立的是( ) A ．||a |－|b ||≤|a －b | B ．|a ·b |≤|a |·|b |C ．(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2D ．(a ＋b )3＝a 3＋3a 2·b ＋3a ·b 2＋b 35．函数f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x ＋2－x2x －2－x 的图象可能是( )6．已知在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a ＝23，c ＝22，且1＋tan Atan B ＝2cb，则角C 的大小为( ) A.π4 B ．π6C.π3D ．5π127．已知a ∈R ，函数f (x )满足：存在x 0>0，对任意的x >0，恒有|f (x )－a |≤|f (x 0)－a |，则f (x ) 可以是( ) A ．f (x )＝lg xB ．f (x )＝－x 2＋2xC ．f (x )＝2xD ．f (x )＝sin x8．已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若存在正整数n 0，对任意正整数m ，Sn 0·Sn 0＋m <0恒成立，则下列结论不一定成立的是( )A ．a 1d <0B ．|S n |有最小值C ．an 0·an 0＋1>0D ．an 0＋1·an 0＋2>09．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y －1≤0，x ＋a ≥0，若|2x ＋y |的取值范围是[0，2]，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－13，＋∞ B ．⎝⎛⎦⎤－∞，13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13 D ．⎣⎡⎦⎤－13，13 10．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|AB ||MN |的最小值为( ) A. 2 B ．2 2 C. 3D ．23第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．11．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________，体积为________．12．我国唐代天文学家、数学家张逐曾以“李白喝酒”为题编写了如下一道题：“李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗(计量单位)，三遇店和花，喝光壶中酒．”问最后一次遇花时有酒________斗，原有酒________斗．13．一个不透明袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球3个、黑球2个，现随机等可能取出小球．当有放回依次取出2个小球时，记取出的红球数为ξ1，则E (ξ1)＝________；若第一次取出1个小球后，放入1个红球和1个黑球，第二次随机取出1个小球．记取出的红球总数为ξ2，则E (ξ2)＝________．14．已知圆C ：x 2＋y 2＝25和两点A (3，4)，B (－1，2)，则直线AB 与圆C 的位置关系为________，若点P 在圆C 上，且S △ABP ＝52，则满足条件的P 点共有________个．15．某人将编号分别为1，2，3，4，5的5个小球随机放入编号分别为1，2，3，4，5的5个盒子中，每个盒子中放一个小球．若球的编号与盒子的编号相同，则视为“放对”，否则视为“放错”，则全部“放错”的情况有________种．16．过点(0，3b )的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C 的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，则双曲线C 的离心率的最大值是__________．17．已知平面向量m ，n 满足|m ＋n |＝2，|m －n |＝1，若平面向量a 满足|a ＋m |＝|n |，则|a |的最大值为________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本题满分14分)已知函数f (x )＝12sin x cos x －32cos 2x ＋34 .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，且f (x 0)＝12，求f (2x 0)的值．19.(本题满分15分)如图，在三棱锥P ­ABC 中，△P AC 和△ABC 均为等腰三角形，且∠APC ＝∠BAC ＝90°，PB ＝AB ＝4.(1)判断AB ⊥PC 是否成立？并给出证明； (2)求直线PB 与平面ABC 所成角的正弦值．20．(本题满分15分)已知数列{a n }是首项为2的等差数列，其前n 项和S n 满足4S n ＝a n ·a n ＋1.数列{b n }是以12为首项的等比数列，且b 1b 2b 3＝164.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，不等式1S 1＋1S 2＋…＋1S n ≥14λ－12T n 恒成立，求λ的取值范围．21.(本题满分15分)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，A ，B 分别为M 的右顶点和上顶点，且|AB |＝ 5.(1)求椭圆M 的方程；(2)若C ，D 分别是x 轴负半轴，y 轴负半轴上的点，且四边形ABCD 的面积为2.设直线BC 和AD 的交点为P ，求点P 到直线AB 的距离的最大值．22．(本题满分15分)已知a ＞0，函数f (x )＝a 2x 3－3ax 2＋2，g (x )＝－3ax ＋3. (1)若a ＝1，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间(－1，1)上的极值；(3)若∃x 0∈⎝⎛⎦⎤0，12，使不等式f (x 0)＞g (x 0)成立，求实数a 的取值范围．高考仿真模拟卷(七)1．解析：选C.由题意得，M ＝{x |－2≤x ≤4}，N ＝{x |x ≥1}，则M ∩N ＝{x |1≤x ≤4}． 2．解析：选D.法一：设z ＝a ＋b i(a ∈R ，b ∈R )， 则|3＋4i|＝5＝(a ＋b i)(1－2i)＝(a ＋2b )＋(b －2a )i ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝5b －2a ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，故z ＝1＋2i ，所以z 的虚部是2. 法二：1－2i ＝|3i ＋4i|z ，即z ＝51－2i ＝5（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝1＋2i ，所以z 的虚部是2.3．解析：选B.因为函数y ＝0.1x 在R 上单调递减，所以“0.1a <0.1b ”的充要条件是“a >b ”．因为函数y ＝x 3在R 上单调递增，所以“a 3>b 3”是“a >b ”的充要条件．又“a 3>b 3”是“a 3c 2>b 3c 2”的必要不充分条件，所以“0.1a <0.1b ”是“a 3c 2>b 3c 2”的必要不充分条件．故选B.4．解析：选D.对于A 选项，||a |－|b ||≤|a －b |⇔(|a |－|b |)2≤(a －b )2⇔|a |·|b |≥a ·b ，故A 正确；对于B 选项，由向量数量积的定义可知|a ·b |＝||a |·|b |cos 〈a ，b 〉|≤|a |·|b |.故B 正确；由向量数量积的运算法则易知C 正确；D 不正确，选D.5．解析：选A.易知函数f (x )是偶函数，故其图象关于y 轴对称，排除选项C.函数的定义域是x ≠0，排除选项D.⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x ＋2－x 2x －2－x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x＋14x －1＝⎪⎪⎪⎪1＋24x －1＞1，所以f (x )＞0，排除选项B.6．解析：选A.由题意得1＋tan A tan B ＝tan A ＋tan B tan B ＝sin A cos A ＋sin Bcos B sin B cos B ＝sin A cos B ＋sin B cos A sin B cos A ＝sin （A ＋B ）sin B cos A＝sin Csin B cos A，根据正弦定理b sin B ＝c sin C ，得c b ＝sin Csin B ，又1＋tan A tan B ＝2c b ，所以sin C sin B cos A ＝2sin Csin B .又B ，C 为三角形的内角，所以sin C ≠0，sin B ≠0，所以cos A ＝12.又A 为三角形的内角，所以A ＝π3.因为a ＝23，c ＝22，sin A ＝32， 所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝22，又a >c ，所以A >C ，所以C ＝π4.7．D8．解析：选C.由Sn 0·Sn 0＋m <0知d ≠0，否则Sn 0与Sn 0＋m 同号．①当d >0时，易知必须a 1<0(否则Sn 0与Sn 0＋m 同号或Sn 0·Sn 0＋m ＝0)；②当d <0时，易知必须a 1>0(否则Sn 0与Sn 0＋m 同号或Sn 0·Sn 0＋m ＝0)，故A 正确．对于选项B ，因为d ≠0，所以等差数列{a n }的前n 项和S n ＝kn 2＋bn (k ≠0)，又y ＝kx 2＋bx (k ≠0)的图象是抛物线，所以|S n |必有最小值，故B 正确．对于选项C 、D ，例如：数列－1，2，5，…，选项C 不成立．故选C.9．解析：选D.画出可行域如图中阴影部分所示，令z ＝2x ＋y ，由图可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (1，0)时，z 取最大值2，经过点B (－a ，－a －1)时，z 取最小值－3a －1.因为|2x ＋y |∈[0，2]，所以－2≤－3a －1≤0，解得－13≤a ≤13.10．解析：选C.如图，过A 、B 分别作准线的垂线AQ 、BP ，垂足分别是Q 、P ，设|AF |＝a ，|BF |＝b ，由抛物线的定义，得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |，在梯形ABPQ 中，2|MN |＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b .在△ABF 中，由余弦定理得|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ，配方得|AB |2＝(a ＋b )2－ab ，因为ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，则(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝34(a ＋b )2，即|AB |2≥34(a ＋b )2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以|AB |2|MN |2≥34（a ＋b ）214（a ＋b ）2＝3，则|AB ||MN |≥3，即所求的最小值为 3.11．解析：由题意知，几何体是一个侧面垂直于底面的四棱锥与正方体的组合体，由图中数据可得，几何体的表面积是42×5＋12×4×13×2＋12×4×3＋12×4×5＝96＋413，体积为43＋13×4×4×3＝80.答案：96＋413 8012．解析：由于最后一次喝光酒，且见花喝一斗，所以倒推回去知最后一次遇花时有酒1斗．第三次遇店时加一倍，故第三次遇店时有酒12斗，以此类推，得原有酒78斗．答案：1 7813．解析：由题意可知，ξ1～B ⎝⎛⎭⎫2，35，所以E (ξ1)＝2×35＝65；而ξ2＝0，1，2，P (ξ2＝0)＝25×26＝215，P (ξ2＝2)＝35×36＝310，P (ξ2＝1)＝1－215－310＝1730，所以E (ξ2)＝0×215＋1×1730＋2×310＝76.答案：65 7614．解析：因为点A 在圆C 上，点B 在圆C 内，因此直线AB 与圆C 相交，而S △ABP ＝52＝12×|AB |×h ，其中h 为AB 边上的高，又|AB |＝25，所以h ＝52，又圆的半径r ＝5，圆心C 到直线AB 的距离d ＝5，因此r －d ＝5－5>h ＝52，因此直线AB 两侧各有两个点满足条件，即满足条件的P 点共有4个． 答案：相交 415．解析：法一：第一步，若1号盒子“放错”，则1号盒子有C 14＝4种不同的情况；第二步，考虑与1号盒子中所放小球的编号相同的盒子中的情况，若该盒子中的小球编号恰好为1，则5个小球全部“放错”的情况有C 12＝2(种)，若该盒子中的小球编号不是1，则5个小球全部“放错”的情况有C 13(1＋C 12)＝9(种)．由计数原理可知，5个小球全部放错的情况有4×(2＋9)＝44(种)．法二：将5个小球放入5个盒子中，共有A 55＝120种不同的放法，其中恰有1个小球“放对”的情况有C 15C 13(1＋C 12)＝45(种)，恰有2个小球“放对”的情况有C 25C 12＝20(种)，恰有3个小球“放对”的情况有C 35＝10(种)，恰有4个小球“放对”的情况有0种，恰有5个小球“放对”的情况为1种，故全部“放错”的情况有120－45－20－10－1＝44(种)．答案：4416．解析：根据题意知，直线l 的斜率为b a ，所以直线l 的方程为y ＝ba x ＋3b ，因为双曲线右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，所以直线y ＝b a x ＋3b 与直线y ＝b a x 的距离大于等于b ，即3ab a 2＋b 2≥b ，所以ca ≤3，即e ≤3，所以双曲线的离心率的最大值为3.答案：317．解析：因为|a ＋m |＝|n |，所以|a |－|m |≤|a ＋m |＝|n |，所以|a |≤|m |＋|n |.又|m |＋|n |＝⎪⎪⎪⎪m ＋n 2＋m －n 2＋⎪⎪⎪⎪m ＋n 2＋m －n 2≤|（m ＋n ）＋（m －n ）|2＋|（m ＋n ）－（m －n ）|22＝2|m ＋n |2＋2|m －n |22＝5，所以|a |的最大值为 5.答案：518．解：(1)f (x )＝12sin x cos x －32cos 2 x ＋34＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34.即f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝π.(2)由x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x 0－π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 又因为f (x 0)＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π3＝12， 所以2x 0－π3＝π2，即2x 0＝5π6.所以f (2x 0)＝f ⎝⎛⎭⎫5π6＝12sin ⎝⎛⎭⎫2·5π6－π3＝12sin 4π3＝－34. 19．解：(1)AB ⊥PC 不成立，证明如下： 假设AB ⊥PC ，因为AB ⊥AC ，且PC ∩AC ＝C ， 所以AB ⊥平面P AC ，所以AB ⊥P A ，这与已知PB ＝AB ＝4矛盾， 所以AB ⊥PC 不成立． (2)法一：如图，取AC 的中点O ，BC 的中点G ，连接PO ，OG ，PG ，由已知计算得PO ＝OG ＝PG ＝2， 由已知得AC ⊥PO ，AC ⊥OG ，且PO ∩OG ＝O ， 所以 AC ⊥平面POG ，所以平面ABC ⊥平面POG . 取OG 的中点H ，连接PH ，BH ，则PH ⊥OG ，PH ⊥平面ABC ，从而∠PBH 是直线PB 与平面ABC 所成的角．因为PH ＝3，PB ＝4，所以sin ∠PBH ＝PH PB ＝34，即直线PB 与平面ABC 所成角的正弦值为34.法二：如图，以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x ，y 轴建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (4，0，0)，C (0，4，0)，设P (x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧P A 2＝x 2＋y 2＋z 2＝8，PB 2＝（x －4）2＋y 2＋z 2＝16，PC 2＝x 2＋（y －4）2＋z 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，z ＝3，则P (1，2，3)．设直线PB 与平面 ABC 所成的角为θ，又PB →＝(3，－2，－3)，平面ABC 的一个法向量是n ＝(0，0，1)，所以sin θ＝|PB →·n ||PB →|·|n |＝34，即直线PB 与平面ABC 所成角的正弦值为34.20．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意得，4a 1＝a 1(a 1＋d )，解得d ＝2， 所以a n ＝2n .由b 1b 2b 3＝b 32＝164⇒b 2＝14，从而公比q ＝b 2b 1＝12， 所以b n ＝⎝⎛⎭⎫12n.(2)由(1)知，1S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1. 又T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝1－12n ，对任意的n ∈N *，1S 1＋1S 2＋…＋1S n ≥14λ－12T n 恒成立，所以32－1n ＋1－12n ＋1≥14λ.因为F (n )＝32－1n ＋1－12n ＋1(n ∈N *)单调递增，所以F (n )min ＝F (1)＝34.所以34≥14λ，所以λ≤3，所以λ的取值范围为(－∞，3]．21．解：(1)由c a ＝32得a ＝2b .又|AB |＝a 2＋b 2＝5，所以b ＝1，a ＝2. 所以椭圆M 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)，C (s ，0)，D (0，t )，其中s <0，t <0.因为A (2，0)，B (0，1)，则y 0x 0－2＝t －2，y 0－1x 0＝－1s ，得t ＝－2y 0x 0－2，s ＝－x 0y 0－1.又四边形ABCD 的面积为2，得(2－s )(1－t )＝4，代入得⎝⎛⎭⎫2＋x 0y 0－1⎝⎛⎭⎫1＋2y 0x 0－2＝4，即(x 0＋2y 0－2)2＝4(x 0－2)(y 0－1)，整理得x 20＋4y 20＝4. 可知，点P 在第三象限的椭圆弧上．设与AB 平行的直线y ＝－12x ＋m (m <0)与椭圆M 相切．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4y ＝－12x ＋m 消去y 得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，Δ＝8－4m 2＝0，m ＝－ 2. 所以点P 到直线AB 的距离的最大值为|2＋1|1＋14＝25＋2105.22．解：(1)由f (x )＝a 2x 3－3ax 2＋2，得 f ′(x )＝3a 2x 2－6ax .当a ＝1时，f ′(1)＝－3，f (1)＝0，所以f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程是y ＝－3x ＋3. (2)令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2a.①当0＜2a＜1，即a ＞2时，x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )的极大值是f (0)＝2；极小值是f ⎝⎛⎭⎫2a ＝2－4a . ②当2a≥1，即0＜a ≤2时，f (x )在(－1，0)上单调递增，在(0，1)上单调递减， 所以f (x )的极大值为f (0)＝2，无极小值．(3)设F (x )＝f (x )－g (x )＝a 2x 3－3ax 2＋3ax －1，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12， 则F ′(x )＝3a 2x 2－6ax ＋3a ＝3a 2x 2＋3a (1－2x )，因为x ∈⎝⎛⎦⎤0，12，a ＞0，所以F ′(x )＝3a 2x 2＋3a (1－2x )＞0， F (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上为增函数，则F (x )max ＝F ⎝⎛⎭⎫12. 依题意，只需F (x )max ＞0，即a 2×18－3a ×14＋3a ×12－1＞0， 即a 2＋6a －8＞0，解得a ＞－3＋17或a ＜－3－17(舍去)， 所以正实数a 的取值范围是(－3＋17，＋∞)．。

浙江高考仿真卷(一)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．若集合A ＝{}x | x 2<1，B ＝{}x | 0<x <2，则A ∪B 等于( )A.{}x | 0<x <1B.{}x | －1<x <0C.{}x | 1<x <2D.{}x | －1<x <2答案 D解析 ∵集合A ＝{}x | x 2<1＝{}x | －1<x <1，B ＝{}x | 0<x <2，∴A ∪B ＝{}x | －1<x <2.2．双曲线x 24－y 2＝1的顶点到渐近线的距离等于( )A.255B.45C.25D.455答案 A解析 双曲线x 24－y 2＝1的顶点为()±2，0.渐近线方程为y ＝±12x . 双曲线x 24－y 2＝1的顶点到渐近线的距离等于11＋14＝255.3．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，3x ＋y ≤3，y ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值是( )A ．0B ．1C ．5D ．6 答案 D解析 作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示：由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，平移直线y ＝－12x ＋12z ，由图象可知，当直线y ＝－12x ＋12z 经过点A 时，直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距最大，此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，3x ＋y ＝3，得A (0,3)， 此时z 的最大值为z ＝0＋2×3＝6.4．已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )A.223 B ．20 C ．20＋ 6 D ．20＋10答案 C解析 该几何体是棱长为2的正方体削去一个角后得到的几何体(如图)，其表面积为S ＝3×2×2＋2×(1＋2)×22＋12×2×2＋12×22×3＝20＋ 6.5．设x ∈R ，则x 3<1是x 2<1的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由x 3<1，可得x <1， 由x 2<1，解得－1<x <1， 所以(－1,1)(－∞，1)，所以x 3<1是x 2<1的必要不充分条件．6．函数y＝x3＋ln(x2＋1－x)的图象大致为()答案 C解析因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＋ln()x2＋1＋x(－x)2＋1＋x＝－x3＋ln()＝－x3－ln()x2＋1－x＝－f()x，所以f()x为奇函数，图象关于原点x2＋1＋x－1＝－x3－ln()2－1>0，所以排除A.对称，排除B，D，因为f(1)＝1＋ln()7．设随机变量X的分布列如下：则方差D(X)等于()A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析a＝1－0.1－0.3－0.4＝0.2，E(X)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.4＝2，故D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.2＋(2－2)2×0.3＋(3－2)2×0.4＝1.8．已知在矩形ABCD中，AD＝2AB，沿直线BD将△ABD折成△A′BD，使点A′在平面BCD上的射影在△BCD内(不含边界)．设二面角A′－BD－C的大小为θ，直线A′D, A′C 与平面BCD所成的角分别为α，β则()A．α<θ<βB．β<θ<αC．β<α<θD．α<β<θ答案 D解析如图，作A′E⊥BD于E, O是A′在平面BCD内的射影，连接OE，OD，OC，易知∠A′EO＝θ，∠A′DO＝α，∠A′CO＝β，在矩形ABCD中，作AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，由O点必落在EF上，由AD＝2AB知OE<AE<CF<CO<OD，从而tan θ>tan β>tan α，即θ>β>α.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0<x ≤2，f (4－x )，2<x <4，设方程f (x )－1e x ＝t (t ∈R )的四个不等实数根从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则下列判断中一定成立的是( ) A.x 1＋x 22＝1B ．1<x 1x 2<4C ．4<x 3x 4<9D ．0<()x 3－4()x 4－4<4答案 C解析 由题意，作出函数的图象如图所示，由图可知，0<x 1<1<x 2<2<x 3<3<x 4<4， 所以4<x 3x 4<16，又||log 2()4－x 3>||log 2()4－x 4， 得log 2()4－x 3>－log 2()4－x 4，所以log 2()4－x 3()4－x 4>0，得()4－x 3()4－x 4>1，即x 3x 4－4()x 3＋x 4＋15>0， 又x 3＋x 4>2x 3x 4，所以2x 3x 4<x 3x 4＋154， 所以()x 3x 4－3()x 3x 4－5>0，所以x 3x 4<9， 综上，4<x 3x 4<9.10．已知a ，b ，c ∈R 且a ＋b ＋c ＝0，a >b >c ，则ba 2＋c 2的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－55，55 B.⎝⎛⎭⎫－15，15 C ．(－2，2) D.⎝⎛⎭⎫－2，55 答案 A解析 由a ＋b ＋c ＝0，a >b >c ，得a >0，c <0，b ＝－a －c .因为a >b >c ，即a >－a －c >c ，解得－2<c a <－12.设t ＝b a 2＋c 2，则t 2＝b 2a 2＋c 2＝(－a －c )2a 2＋c 2＝1＋2ac a 2＋c 2＝1＋2c a ＋a c .令y ＝c a ＋a c ，x ＝c a ，x ∈⎝⎛⎭⎫－2，－12，则y ＝x ＋1x，由对勾函数的性质知函数在(－2，－1]上单调递增，在⎣⎡⎭⎫－1，－12上单调递减，所以y max ＝－2，y >－52，即c a ＋ac ∈⎝⎛⎦⎤－52，－2， 所以2c a ＋ac∈⎣⎡⎭⎫－1，－45， 所以t 2∈⎣⎡⎭⎫0，15. 所以t ∈⎝⎛⎭⎫－55，55. 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 11．二项式(1＋2x )5中，所有的二项式系数之和为_________________； 系数最大的项为________． 答案 32 80x 3,80x 4解析 所有的二项式系数之和为C 05＋C 15＋…＋C 55＝25＝32，展开式为1＋10x ＋40x 2＋80x 3＋80x 4＋32x 5，系数最大的项为80x 3和80x 4.12．圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心C 的坐标是__________，设直线l ：y ＝k (x ＋2)与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则k ＝__________. 答案 (1,2) 0或125解析 由圆的一般方程x 2＋y 2－2x －4y ＝0可得(x －1)2＋(y －2)2＝5，故圆心为C (1,2)．又圆心到直线l 的距离d ＝|3k －2|1＋k 2，由弦心距、半径及半弦长之间的关系可得⎝ ⎛⎭⎪⎫|3k －2|1＋k 22＋1＝5，解得k ＝0或k ＝125.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝3，b ＝2，A ＝π3，则B＝________；S △ABC ＝_____________. 答案 π4 3＋34解析 由已知及正弦定理可得sin B ＝b sin A a ＝2×sin π33＝22， 由于0<B <π，可解得B ＝π4或B ＝3π4，因为b <a ，利用三角形中大边对大角可知B <A ， 所以B ＝π4，C ＝π－π3－π4＝5π12，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×sin 5π12＝3＋34.综上，B ＝π4，S △ABC ＝3＋34.14．在政治、历史、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则甲的不同的选法种数为____．乙、丙两名同学都选物理的概率是________． 答案 15949解析 由题意知同学甲只要在除物理之外的六门学科中选两门即可，故甲的不同的选法种数为C 26＝6×52＝15(种)；由题意知同学乙、丙两人除选物理之外，还要在剩下的六门学科中选两门，故乙、丙的所有不同的选法种数为m ＝C 26C 26＝6×52×6×52＝225(种)，而同学乙、丙两人从7门学科中选3门的所有选法种数为n ＝C 37C 37＝7×6×53×2×1×7×6×53×2×1＝35×35＝1 225(种)，故所求事件的概率是P ＝2251 225＝949.15．已知正实数x ，y 满足x ＋2y ＝4，则2x (y ＋1)的最大值为________． 答案 3解析 已知正实数x ，y 满足x ＋2y ＝4，根据基本不等式得到2x ()y ＋1＝x ()2y ＋2≤x ＋2y ＋22＝3.当且仅当x ＝2y ＋2，即x ＝3，y ＝12时，等号成立． 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若对任意λ∈R ，不等式|λBC →－BA →|≥|BC →|恒成立，则c b ＋bc 的最大值为________．答案5解析 由对任意λ∈R ，不等式|λBC →－BA →|≥|BC →|恒成立，得BC 边上的高h ≥a . 在△ABC 中，有12ah ＝12bc sin A ，即bc ＝ahsin A ，在△ABC 中，由余弦定理得 b 2＋c 2＝a 2＋2bc cos A ＝a 2＋2ah cos Asin A， 则c b ＋b c ＝b 2＋c2bc ＝a 2＋2ah cos A sin A ahsin A ＝a 2sin A ＋2ah cos A ah ＝a sin A ＋2h cos A h≤h sin A ＋2h cos Ah＝sin A ＋2cos A＝5sin(A ＋φ)，其中tan φ＝2，则当A ＋φ＝π2且h ＝a 时，c b ＋bc取得最大值 5.17．等差数列{a n }满足a 21＋a 22n ＋1＝1，则a 2n ＋1＋a 23n ＋1的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－52，3＋52解析 设⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝sin α，a 2n ＋1＝cos α⇒a 2n ＋1＝a 1＋2nd ＝cos α⇒2nd ＝cos α－sin α⇒a 2n ＋1＋a 23n ＋1＝(a 2n ＋1－nd )2 ＋(a 2n ＋1＋nd )2＝2[a 22n ＋1＋(nd )2]＝2⎣⎡⎦⎤cos 2α＋⎝⎛⎭⎫cos α－sin α22＝2cos 2α＋1－2sin αcos α2＝3＋2cos 2α－sin 2α2＝3＋5cos ()2α＋φ2⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25，所以所求的范围为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－52，3＋52.三、解答题(本大题共5小题，共74分．)18．(14分)已知函数f (x )＝cos x ()sin x －3cos x ，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π3，2π3上的单调性． 解 (1)由题意得f (x )＝cos x sin x －3cos 2x ＝12sin 2x －32()1＋cos 2x ＝12sin 2x －32cos 2x －32 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，其最大值为1－32.(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝sin z 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎡⎦⎤π3，2π3，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ， 易知A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤π3，5π12.所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π3，5π12上单调递增；在区间⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减． 19．(15分)在四棱锥E －ABCD 中，BC ∥AD ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2BC ，AB ＝AE ＝ED ＝BE ，F 是AE 的中点．(1)证明：BF ∥平面EDC ；(2)求BF 与平面EBC 所成角的正弦值． (1)证明 取ED 的中点G ，连接FG ，GC ， 则FG ∥AD ，且FG ＝12AD ，又因为BC ∥AD ，且BC ＝12AD ，所以FG ∥BC ，且FG ＝BC ， 所以四边形BFGC 是平行四边形， 所以BF ∥CG ，因为BF ⊄平面EDC ，CG ⊂平面EDC ， 所以BF ∥平面EDC .(2)解 分别取AD ，BC 的中点H ，N ，连接EH 交FG 于点M ，则M 是FG 的中点，连接MN ，则BF ∥MN ，所以BF 与平面EBC 所成角即为MN 与平面EBC 所成角， 由EA ＝ED ，H 是AD 的中点，得EH ⊥AD ，由于BC ∥AD ，所以BC ⊥EH ，易知四边形BHDC 是平行四边形，所以CD ∥BH ， 由BC ⊥CD ，得BC ⊥BH ，又EH ∩BH ＝H ，所以BC ⊥平面EBH ，因为BC ⊂平面EBC ，所以平面EBC ⊥平面EBH ， 过点M 作MI ⊥BE ，垂足为I ，则MI ⊥平面EBC ， 连接IN ，∠MNI 即为所求的角．设BC ＝1，则AD ＝CD ＝2，所以AB ＝5， 由AB ＝BE ＝AE ＝5，得BF ＝152， 所以MN ＝BF ＝152， 在Rt △AHE 中，由AE ＝5，AH ＝1，得EH ＝2， 在△EBH 中，由BH ＝EH ＝2，BE ＝5， MI ⊥BE ，M 为HE 的中点，可得MI ＝114， 因此sin ∠MNI ＝MI MN ＝16530.20．(15分)正项数列{}a n 满足a 2n ＋a n ＝3a 2n ＋1＋2a n ＋1，a 1＝1.(1)求a 2的值；(2)证明：对任意的n ∈N *，a n <2a n ＋1；(3)记数列{a n }的前n 项和为S n ，证明：对任意的n ∈N *,2－12n －1≤S n <3.(1)解 当n ＝1时，由a 21＋a 1＝3a 22＋2a 2＝2及a 2>0，得a 2＝7－13. (2)证明 由a 2n ＋a n ＝3a 2n ＋1＋2a n ＋1<4a 2n ＋1＋2a n ＋1＝(2a n ＋1)2＋2a n ＋1，又因为y ＝x 2＋x 在x ∈(0，＋∞)上单调递增，故a n <2a n ＋1. (3)证明 由(2)知当n ≥2时，a n a n －1>12，a n －1a n －2>12，…，a 2a 1>12，相乘得a n >12n －1a 1＝12n －1，即a n >12n －1， 故当n ≥2时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n >1＋12＋…＋12n －1＝2－12n －1，当n ＝1时，S 1＝1＝2－12n －1.所以当n ∈N *时，S n ≥2－12n －1.另一方面，a 2n ＋a n ＝3a 2n ＋1＋2a n ＋1>2a 2n ＋1＋2a n ＋1＝2(a 2n ＋1＋a n ＋1)，令a 2n ＋a n ＝b n ，则b n >2b n ＋1，于是当n ≥2时，b n b n －1<12，b n －1b n －2<12，…，b 2b 1<12，相乘得b n <12n －1b 1＝12n －2， 即a 2n ＋a n ＝b n <12n －2，故a n <12n －2， 故当n ≥2时，S n ＝a 1＋(a 2＋…＋a n )<1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋12n －2＝3－12n －2<3.当n ＝1时，S 1＝1<3， 综上，对任意的n ∈N *,2－12n －1≤S n <3.21．(15分)已知抛物线C 1：y 2＝4x 和C 2：x 2＝2py ()p >0的焦点分别为F 1，F 2，点P ()－1，－1且F 1F 2⊥OP (O 为坐标原点)． (1)求抛物线C 2的方程；(2)过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，求△PMN 面积的最小值． 解 (1)F 1(1,0)，F 2⎝⎛⎭⎫0，p2， ∴F 1F 2→＝⎝⎛⎭⎫－1，p 2， F 1F 2→·OP →＝⎝⎛⎭⎫－1，p 2·()－1，－1＝1－p 2＝0， ∴p ＝2，∴抛物线C 2的方程为x 2＝4y .(2)由题意知，过点O 的直线的斜率一定存在且不为0，设直线方程为y ＝kx ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝kx ，得(kx )2＝4x ，求得M ⎝⎛⎭⎫4k 2，4k ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ，得N (4k,4k 2)(k ＜0)，从而|MN |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪4k 2－4k ＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫4k 2－4k ， 点P 到直线MN 的距离d ＝|k －1|1＋k 2，S △PMN ＝12·|k －1|1＋k 2·1＋k 2⎝⎛⎭⎫4k 2－4k ＝2(1－k )(1－k 3)k 2＝2(1－k )2()1＋k ＋k 2k 2＝2⎝⎛⎭⎫k ＋1k －2⎝⎛⎭⎫k ＋1k ＋1， 令t ＝k ＋1k ()t ≤－2，有S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)，当t ＝－2，k ＝－1时，S △PMN 取得最小值． 即当过原点的直线为y ＝－x 时， △PMN 的面积取得最小值为8. 22．(15分)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1. (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设函数g (x )＝(x －2)e x ＋f (x )－1－b ，当a ≥1时，g (x )≤0对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，1恒成立，求满足条件的b 最小的整数值．解 (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ，当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，x ＝1a，由f ′(x )>0，得x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a ，由f ′(x )<0，得x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞， 所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a ，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞. 综上，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，当a >0时，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞. (2)由g (x )＝()x －2e x ＋ln x －ax －b ， 因为g (x )≤0对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，1恒成立，b ≥()x －2e x ＋ln x －ax 在a ≥1时对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，1恒成立， 因为a ≥1，x >0，所以()x －2e x ＋ln x －ax ≤()x －2e x ＋ln x －x ，只需b ≥()x －2e x ＋ln x －x 对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，1恒成立即可． 构造函数h (x )＝()x －2e x ＋ln x －x ， h ′(x )＝(x －1)e x ＋1x －1＝(x －1)⎝⎛⎭⎫e x －1x ， 因为x ∈⎝⎛⎭⎫12，1，所以x －1<0，且t (x )＝e x －1x单调递增，因为t ⎝⎛⎭⎫12＝12e －2<0，t ()1＝e －1>0，所以一定存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，使得t (x 0)＝0， 即e x 0＝1x 0，x 0＝－ln x 0.所以h (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫12，x 0，单调递减区间为()x 0，1. 所以h (x )max ＝h ()x 0＝()x 0－2e x 0＋ln x 0－x 0 ＝1－2⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0∈()－4，－3， 所以b 的最小的整数值为－3.浙江高考仿真卷(二)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．已知集合M ＝{x |1≤x ≤3}，N ＝{x |x >2}，则集合M ∩(∁R N )等于( ) A ．{x |1≤x ≤2} B ．{x |x ≥1} C ．{x |1≤x <2} D ．{x |2<x ≤3}答案 A解析 ∵N ＝{x |x >2}， ∴∁R N ＝{x |x ≤2}，∴集合M ∩(∁R N )＝{x |1≤x ≤2}．2．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为( )A.35B.45C.54D.53 答案 C解析 因为双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的两焦点之间的距离为10，所以2c ＝10，c ＝5，所以a 2＝c 2－9＝16，所以a ＝4.所以离心率e ＝54.3．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，若a >b >1，则一定有( ) A ．log a x >log b y B ．sin a x >sin b y C ．ay >bx D ．a x >b y答案 D解析 当x >y >0，a >b >1时，由指数函数和幂的性质易得a x >a y >b y .4．将函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位长度，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值为( )A.π12B.π6C.π3D.5π6 答案 B解析 设y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π3个单位长度得到的函数为g (x )，则g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＋φ，因为g (x )为奇函数，且在原点有定义，所以－2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π＋7π6(k ∈Z )，故当k ＝－1时，|φ|min ＝π6.5．函数f (x )＝e |x －1|－2cos(x －1)的部分图象可能是( )答案 A解析 因为f (1)＝－1，所以排除B ；因为f (0)＝e －2cos 1>0，所以排除D ；因为当x >2时，f (x )＝e x －1－2cos (x －1)，∴f ′(x )＝e x －1＋2sin(x －1)>e －2>0，即x >2时，f (x )具有单调性，排除C.6．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则D (ξ)的最大值为( ) A.23 B.59 C.29 D.34 答案 A解析 由分布列得a ＋b ＋c ＝1，又因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，则a ＋c ＝23，所以E (ξ)＝c －a ，D (ξ)＝a (c －a ＋1)2＋b (c －a )2＋c (c －a －1)2＝a (c －a )2＋b (c －a )2＋c (c －a )2＋2a (c －a )＋a －2c (c －a )＋c ＝－(c －a )2＋23，则当a ＝c 时，D (ξ)取得最大值23.7．已知单位向量e 1，e 2，且e 1·e 2＝－12，若向量a 满足(a －e 1)·(a －e 2)＝54，则|a |的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤2－32，2＋32 B.⎣⎡⎦⎤2－12，2＋12 C.⎝⎛⎦⎤0，2＋12 D.⎝⎛⎦⎤0，2＋32 答案 B解析 因为向量e 1，e 2为单位向量， 且e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos 〈e 1，e 2〉＝－12，所以|e 1＋e 2|＝1＋1＋2×⎝⎛⎭⎫－12＝1. 因为(a －e 1)·(a －e 2)＝54，所以a 2－a ·(e 1＋e 2)＋e 1·e 2＝54，所以|a |2－a ·(e 1＋e 2)＝74，所以|a |2－|a |·cos 〈a ，e 1＋e 2〉＝74，所以cos 〈a ，e 1＋e 2〉＝|a |2－74|a |，又因为－1≤cos 〈a ，e 1＋e 2〉≤1， 所以|a |的取值范围为⎣⎡⎦⎤2－12，2＋12. 8.在等腰梯形ABCD 中，已知AB ＝AD ＝CD ＝1，BC ＝2，将△ABD 沿直线BD 翻折成△A ′BD ，如图，则直线BA ′与CD 所成角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π3，π2 B.⎣⎡⎦⎤π6，π3 C.⎣⎡⎦⎤π6，π2 D.⎣⎡⎦⎤0，π3 答案 A解析 在等腰梯形ABCD 中，易知∠ABC ＝π3，∠ABD ＝∠CBD ＝π6，则∠A ′BD ＝π6，为定值，所以BA ′的轨迹可看作是以BD 为轴，B 为顶点，母线与轴的夹角为π6的圆锥的侧面，故点A ′的轨迹如图中AF 所示，其中F 为BC 的中点．过点B 作CD 的平行线，过点C 作BD 的平行线，两平行线交于点E ，则直线BA ′与BE 所成的角即直线BA ′与CD 所成的角．又易知CD ⊥BD ，所以直线A ′B 与CD 所成角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π3，π2，故选A.9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －x 2，0≤x <2，2f (x －2)，x ≥2， g (x )＝kx ＋2，若函数F (x )＝f (x )－g (x )在[0，＋∞)上只有两个零点，则实数k 的值不可能为( ) A ．－23 B ．－12 C ．－34 D ．－1答案 A解析 函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象的交点，在同一直角坐标系下作出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象，如图所示，当函数y ＝g (x )的图象经过点(2,0)时满足条件，此时k ＝2－00－2＝－1 ，当函数y ＝g (x )的图象经过点(4,0)时满足条件，此时k ＝2－00－4＝－12 ，当函数y ＝g (x )的图象与(x －1)2＋y 2＝1(x >0，y >0)相切时也满足题意，此时|k ＋2|1＋k2＝1，解得k ＝－34， 故选A.10．已知数列满足，a 1＝1，a 2＝12，且[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *，记T 2n为数列{a n }的前2n 项和，数列{b n }是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式⎝⎛⎭⎫T 2n ＋1b n ·1b n <1成立的最小整数n 为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 答案 C解析 因为[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *，∴当n 为偶数时，可得(3＋1)a n ＋2－2a n ＋2(1－1)＝0，n ∈N *，即a n ＋2a n ＝12，∴a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列；当n 为奇数时，可得(3－1)a n ＋2－2a n ＋2(－1－1)＝0，n ∈N *，即a n ＋2－a n ＝2，∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以2为公差的等差数列，T 2n ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n )＝n 2＋1－12n ，∵数列{b n }是首项和公比都是2的等比数列，b n ＝2×2n －1＝2n ，则⎝⎛⎭⎫T 2n ＋1b n ·1b n <1等价为⎝⎛⎭⎫n 2＋1－12n ＋12n ·12n <1，即(n 2＋1)·12n <1，即n 2＋1<2n ，分析函数y ＝n 2＋1与y ＝2n ，则当n ＝1时，2＝2，当n ＝2时，5<4不成立，当n ＝3时，10<8不成立，当n ＝4时，17<16不成立，当n ＝5时，26<32成立，当n ≥5时，n 2＋1<2n 恒成立，故使不等式⎝⎛⎭⎫T 2n ＋1b n ·1b n <1成立的最小整数n 为5.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11．若⎝⎛⎭⎫3x －1x n 的展开式中所有项的系数的绝对值之和为64，则n ＝________；该展开式中的常数项是____________． 答案 3 －27解析 所求系数的绝对值之和相当于⎝⎛⎭⎫3x ＋1x n 中所有项的系数之和，则在⎝⎛⎭⎫3x ＋1x n 中令x ＝1，得(3＋1)n ＝64，所以n ＝3；⎝⎛⎭⎫3x －1x 3的通项为T k ＋1＝C k 3(3x )3－k ⎝⎛⎭⎫－1x k ＝C k 3·33－k · (－1)k 332kx-，令3－3k 2＝0，则k ＝1，常数项为C 13×32×(－1)1＝－27. 12．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋1≤0，x ＋y ≤m ，若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则m 的取值范围为_______，如果目标函数z ＝2x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________. 答案 (2，＋∞) 4解析 要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋1≤0，x ＋y ≤m 所表示的平面区域形状为三角形，直线x ＝1与直线x－2y ＋1＝0的交点(1,1)必在直线的左下方，所以m >2，画出该区域如图阴影部分所示(含边界)，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，由图可知，当直线y ＝2x －z 过点A (1，m －1)时在y 轴上的截距最大，z 最小，所以，－1＝2×1－(m －1)，解得m ＝4.13．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是23，则a ＝________，该几何体的表面积为________．答案 1 3＋ 5解析 如图所示，此几何体是四棱锥，底面是边长为a 的正方形，平面SAB ⊥平面ABCD ，并且∠SAB ＝90°，SA ＝2，所以体积是V ＝13×a 2×2＝23，解得a ＝1，四个侧面都是直角三角形，所以计算出表面积是S ＝12＋12×1×2＋12×1×5＋12×1×2＋12×1×5＝3＋ 5.14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 若a ＝7，c ＝3，A ＝60°，则b ＝________，△ABC 的面积S ＝________. 答案 1或2334或332解析 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即7＝b 2＋9－2b ×3cos 60°，即b 2－3b ＋2＝0，解得b ＝1或2, 当b ＝1时， S ＝12bc sin A ＝12×1×3×sin 60°＝334，同理当b ＝2时， S ＝332.15.如图所示，在排成4×4方阵的16个点中，中心位置4个点在某圆内，其余12个点在圆外．从16个点中任选3点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有____个．答案 312解析 根据题意，分3种情况讨论：①取出的3个点都在圆内，C 34＝4，即有4种取法；②在圆内取2点，圆外12点中有10个点可供选择，从中取1点，C 24C 110＝60，即有60种取法；③在圆内取1点，圆外12点中取2点，C 14()C 212－4＝248，即有248种取法．则至少有一个顶点在圆内的三角形有 4＋60＋248＝312(个)．16．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，点P 在椭圆C 上移动时，△PF 1F 2的内心I 的轨迹方程为____________________________． 答案 x 2＋3y 2＝1(y ≠0)解析 由题意得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设点P (x ，y )，I (m ，n )，－2<x <2，y ≠0，则|PF 1|＝(x ＋1)2＋y 2＝(x ＋1)2＋3－3x 24＝⎪⎪⎪⎪x 2＋2＝2＋x 2，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝4－⎝⎛⎭⎫2＋x 2＝2－x 2，|F 1F 2|＝2c ＝2，|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c ＝6，则由点I 为△PF 1F 2的内心结合图形(图略)得⎩⎨⎧2＋x 2＝m ＋1＋2－x2－(1－m )，12×|n |×6＝12×2×|y |，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m ，y ＝3n ，代入椭圆C 的方程得三角形的内心I 的轨迹方程为m 2＋3n 2＝1(n ≠0)，即x 2＋3y 2＝1(y ≠0)．17．设点P 是△ABC 所在平面内一动点，满足CP →＝λCA →＋μCB →，3λ＋4μ＝2(λ，μ∈R )，|P A →|＝|PB →|＝|PC →|.若|A B →|＝3，则△ABC 面积的最大值是________． 答案 9解析 由3λ＋4μ＝2，得32λ＋2μ＝1，所以CP →＝λCA →＋μCB →＝32λ·23CA →＋2μ·12CB →.设23CA →＝CM →，12CB →＝CN →， 则由平面向量基本定理知点P ，M ，N 在同一直线上， 又|P A →|＝|PB →|＝|PC →|，所以P 为△ABC 的外心，且∠ACB 为锐角，PN ⊥BC ，由此可作图，如图所示，设∠ACB ＝θ，CN ＝x ，则BC ＝2x ， CM ＝x cos θ，CA ＝3x2cos θ，所以S △ABC ＝12AC ·BC sin θ＝12·3x 2cos θ·2x ·sin θ＝3tan θ2x 2， 在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos θ， 即4x 2＋9x 24cos 2θ－2·2x ·3x 2cos θ·cos θ＝9， 所以x 2＝36cos 2θ9－8cos 2θ，所以S △ABC ＝3tan θ2·36cos 2θ9－8cos 2θ＝54sin θcos θ9sin 2θ＋cos 2θ＝54tan θ9tan 2θ＋1＝549tan θ＋1tan θ≤9. 当且仅当9tan θ＝1tan θ，即tan θ＝13时等号成立，所以△ABC 面积的最大值是9.三、解答题(本大题共5小题，共74分．)18．(14分)已知函数f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的单调递增区间； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π3上的值域．解 (1)f (x )＝4sin x ·⎝⎛⎭⎫cos x cos π3＋sin x sin π3－ 3 ＝4sin x ·⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x － 3 ＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin 2x ＋3·()1－cos 2x － 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12()k ∈Z . (2)由π4≤x ≤π3，得π6≤2x －π3≤π3，故而2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[1，3]， 即f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π3上的值域为[1，3]．19．(15分)如图，已知四边形ABCD 是正方形，AE ⊥平面ABCD ，PD ∥AE ，PD ＝AD ＝2EA ＝2，G ，F ，H 分别为BE ，BP ，PC 的中点．(1)求证：平面ABE ⊥平面GHF ；(2)求直线GH 与平面PBC 所成的角θ的正弦值．解 (1)因为AE ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以AE ⊥BC ， 因为四边形ABCD 是正方形，所以AB ⊥BC ，又BA ∩AE ＝A ，BA ，AE ⊂平面ABE ，所以BC ⊥平面AEB ， 因为F ，H 分别为BP ，PC 的中点，所以FH 为△PBC 的中位线， 所以FH ∥BC ， 所以FH ⊥平面ABE ，又FH ⊂平面GHF ，所以平面ABE ⊥平面GHF .(2)解 方法一 因为AE ⊥平面ABCD ，PD ∥AE ，所以PD ⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC ，因为四边形ABCD 是正方形，所以CD ⊥BC ， 又PD ∩CD ＝D ，PD ，CD ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD ，又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCD . 连接DH ，则DH ⊥PC ，因为平面PBC ∩平面PCD ＝PC ，所以DH ⊥平面PBC ，所以∠DHG 为直线GH 与平面PBC 所成角的余角，即θ＝π2－∠DHG .在等腰直角三角形PDC 中，因为PD ＝DC ＝2，所以PC ＝22， 所以DH ＝PD ·DCPC ＝ 2.连接DG ，易知DG ＝22＋12＋⎝⎛⎭⎫122＝212，GH ＝22＋⎝⎛⎭⎫122＝172， 所以在△DHG 中，cos ∠DHG ＝DH 2＋HG 2－DG 22DH ·GH ＝3434，所以sin θ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－∠DHG ＝cos ∠DHG ＝3434， 即直线GH 与平面PBC 所成的角θ的正弦值为3434. 方法二 易知DA ，DC ，DP 两两垂直，所以以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由PD ＝AD ＝2EA ＝2，易得B (2,2,0)，C (0,2,0)，P (0,0,2)，H (0,1,1)，G ⎝⎛⎭⎫2，1，12，则CP →＝(0，－2,2)，CB →＝(2,0,0)，HG →＝⎝⎛⎭⎫2，0，－12.设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝(x ，y ，z )·(2，0，0)＝0，n ·CP →＝(x ，y ，z )·(0，－2，2)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝0，－2y ＋2z ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝z .令y ＝1，则z ＝1，所以n ＝(0,1,1)为平面PBC 的一个法向量， 所以sin θ＝|cos 〈n ，HG →〉|＝|n ·HG →|02＋12＋12×22＋02＋⎝⎛⎭⎫－122＝122×172＝3434， 故直线GH 与平面PBC 所成的角θ的正弦值为3434. 20．(15分)已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝1e n a －(n ∈N *)．(其中e 为自然对数的底数，e ＝2.71828…)(1)证明：a n ＋1>a n (n ∈N *)；(2)设b n ＝1－a n ，是否存在实数M >0，使得b 1＋b 2＋…＋b n ≤M 对任意n ∈N *成立？若存在，求出M 的一个值；若不存在，请说明理由． (1)证明 设f (x )＝e x －x －1，令f ′(x )＝e x －1＝0， 得到x ＝0.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．故f (x )≥f (0)＝0，即e x ≥x ＋1(当且仅当x ＝0时取等号)． 故a n ＋1＝1en a －≥a n ，且取不到等号，所以a n ＋1>a n .(2)解 先用数学归纳法证明a n ≤1－1n ＋1.①当n ＝1时，a 1≤1－12成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k ≤1－1k ＋1成立，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1ek a －≤11ek -+＝111ek +≤11＋1k ＋1＝k ＋1k ＋2 ＝1－1k ＋2，即a k ＋1≤1－1k ＋2也成立．故对n ∈N *都有a n ≤1－1n ＋1. 所以b n ＝1－a n ≥1n ＋1.取n ＝2t －1(t ∈N *)，b 1＋b 2＋…＋b n ≥12＋13＋…＋1n ＋1 ＝12＋⎝⎛⎭⎫13＋14＋… ＋⎝⎛⎭⎫12t －1＋1＋12t －1＋2＋…＋12t . 即b 1＋b 2＋…＋b n ≥12＋12＋…＋12＝t2.其中t ＝log 2n ＋1，t ∈N *，当n →＋∞时，t →＋∞，t2→＋∞，所以不存在满足条件的实数M ，使得b 1＋b 2＋…＋b n ≤M 对任意n ∈N *成立． 21．(15分)抛物线C ：y ＝x 2，直线l 的斜率为2. (1)若l 与抛物线C 相切，求直线l 的方程；(2)若l 与抛物线C 相交于A ，B ，线段AB 的中垂线交C 于P ，Q ，求|PQ ||AB |的取值范围．解 (1)设直线l 的方程为y ＝2x ＋b ，联立直线l 与抛物线C 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，y ＝x 2，得x 2－2x －b ＝0，Δ＝4＋4b ＝0，所以b ＝－1， 因此，直线l 的方程为y ＝2x －1.(2)设直线l 的方程为y ＝2x ＋b ，设点A ()x 1，y 1， B ()x 2，y 2，P ()x 3，y 3，Q ()x 4，y 4，联立直线l 与抛物线C 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，y ＝x 2， 得x 2－2x －b ＝0，Δ＝4＋4b >0，所以b >－1. 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－b . 所以|AB |＝5|x 1－x 2|＝25(b ＋1)， 且y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)＋2b ＝4＋2b ， 所以线段AB 的中点为(1,2＋b )，所以直线PQ 的方程为y ＝－12x ＋52＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋52＋b ，y ＝x 2，得2x 2＋x －5－2b ＝0， 由根与系数的关系得x 3＋x 4＝－12，x 3x 4＝－52－b ，所以|PQ |＝52|x 3－x 4|＝5441＋16b ， 所以|PQ ||AB |＝1841＋16b 1＋b＝1816＋25b ＋1>12，所以|PQ ||AB |的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 22．(15分)已知函数f (x )＝e x －e x sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2(e 为自然对数的底数)． (1)求函数f (x )的值域；(2)若不等式f (x )≥k (x －1)(1－sin x )对任意x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2恒成立，求实数k 的取值范围； (3)证明：e x －1＞－12(x －32)2＋1.(1)解 因为f (x )＝e x －e x sin x ，所以f ′(x )＝e x －e x (sin x ＋cos x )＝e x (1－sin x －cos x )＝e x ⎣⎡⎦⎤1－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥22，所以f ′(x )≤0， 故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减，函数f (x )的最大值为f (0)＝1－0＝1； f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝2πe －2πe sin π2＝0， 所以函数f (x )的值域为[0,1]．(2)解 原不等式可化为e x (1－sin x )≥k (x －1)(1－sin x )，(*) 因为1－sin x ≥0恒成立，故(*)式可化为e x ≥k (x －1)． 令g (x )＝e x －kx ＋k ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则g ′(x )＝e x －k ， 当k ≤0时，g ′(x )＝e x －k >0，所以函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，故g (x )≥g (0)＝1＋k ≥0，所以－1≤k ≤0；当k >0时，令g ′(x )＝e x －k ＝0，得x ＝ln k ，所以当x ∈(0，ln k )时，g ′(x )＝e x －k <0； 当x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )＝e x －k >0.所以当ln k ＜π2，即0<k <2πe 时，函数g (x )min ＝g (ln k )＝2k －k ln k >0成立；当ln k ≥π2，即k ≥2πe 时，函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减，g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫π2＝2πe －k ·π2＋k ≥0，解得2πe ≤k ≤2πeπ12-， 综上，－1≤k ≤2πeπ12-. (3)证明 令h (x )＝e x －1＋12⎝⎛⎭⎫x －322－1， 则h ′(x )＝e x －1＋x －32.令t (x )＝h ′(x )＝e x －1＋x －32，则t ′(x )＝e x －1＋1>0，所以h ′(x )在R 上单调递增，由h ′⎝⎛⎭⎫12＝12e -－1＜0，h ′⎝⎛⎭⎫34＝14e -－34＞0， 故存在x 0∈⎝⎛⎭⎫12，34，使得h ′()x 0＝0， 即01ex －＝32－x 0. 所以当x ∈(－∞，x 0)时，h ′(x )<0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )>0.故当x ＝x 0时，函数h (x )有极小值，且是唯一的极小值， 故函数h (x )min ＝h (x 0)＝01ex －＋12⎝⎛⎭⎫x 0－322－1 ＝－⎝⎛⎭⎫x 0－32＋12⎝⎛⎭⎫x 0－322－1 ＝12×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 0－32－12－32＝12⎝⎛⎭⎫x 0－522－32， 因为x 0∈⎝⎛⎭⎫12，34，所以12⎝⎛⎭⎫x 0－522－32> 12×⎝⎛⎭⎫34－522－32＝132>0，故h (x )＝e x －1＋12⎝⎛⎭⎫x －322－1>0， 即e x －1>－12⎝⎛⎭⎫x －322＋1.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷(十二)(时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U ＝{－1，0，1，2}，A ＝{x ∈Z |x 2＜2}，则∁U A ＝( ) A ．{2} B ．{0，2} C ．{－1，2}D ．{－1，0，2}2．设复数z ＝2－i1＋i ，则z 的共轭复数为( )A.12－32i B ．12＋32iC ．1－3iD ．1＋3i 3．在△ABC 中，“A >π3”是“sin A >32”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设a ＝log 123，b ＝⎝⎛⎭⎫130.2，c ＝⎝⎛⎭⎫12－12，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c5．浙江新高考的要求是“七选三”，即考生从物理、化学、生物、思想政治、历史、地理和技术这七个科目中选三个．已知某大学某专业对选考科目的要求是物理和化学这两个科目至少选一个，若考生甲想就读该专业，则他的选考方法的种数为( )A ．5B ．10C ．15D ．256．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫94，3 B ．⎣⎡⎭⎫94，3 C ．(1，3)D ．(2，3)7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋y －3≤0，x ∈N ，y ∈N ，则|x －3y |的最大值是( )A ．3B ．5C ．7D ．98．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2在第一象限的交点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，且2|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为( )A.13 B ．132C ．13D ．1329．已知在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB >BC ，O 为AC 的中点，P 为△ABC 所在平面外一点，且P A ＝PB ＝PC ，设二面角P －AB －C 的大小为α，二面角P －BC －A 的大小为β，则( )A ．α<βB ．α>βC ．α＝βD ．α，β的大小与点P 的位置有关10．已知a ，b ，c 是平面内三个单位向量，若a ⊥b ，则|a ＋2c |＋|3a ＋2b －c |的最小值为( ) A.29B ．29－3 2 C.19－2 3 D ．5第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分． 11．椭圆x 24＋y 23＝1的长轴长是________，离心率是________．12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________，体积为________．13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝5，a 5＝3，则a n ＝________，S 7＝________． 14．已知(2x －1)10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，其中a i ∈R ，i ＝1，2，…，10，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝________；a 7＝________．15.如图，△ABC 是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF ＝2AF ，AB ＝13，则△EDF的面积为________．16．设点P 是△ABC 所在平面内动点，满足CP →＝λCA →＋μCB →，3λ＋4μ＝2(λ，μ∈R )，|P A →|＝|PB →|＝|PC →|.若|AB →|＝3，则△ABC 的面积最大值是________．17．记max{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≥qq ，p ＜q ，设M (x ，y )＝max{|x 2＋y ＋1|，|y 2－x ＋1|}，其中x ，y ∈R ，则M (x ，y )的最小值是________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本题满分14分)已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋sin 2ωx －12的最小正周期为π，ω＞0.(1)求f (x )的表达式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的最大值和最小值．19.(本题满分15分)如图，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝π3.(1)求证：C 1B ⊥平面ABC ；(2)设CE →＝λCC 1→(0≤λ≤1)，且平面AB 1E 与BB 1E 所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．20．(本题满分15分)已知数列{a n}满足a1＝2，a n＋1＝a2n＋6a n＋6.(n∈N*)(1)设C n＝log5(a n＋3)，求证{C n}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)设b n＝1a n－6－1a2n＋6a n，数列{b n }的前n项和为T n，求证：－516≤T n<－14.21．(本题满分15分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点M(m，－2)与其焦点的距离为2.(1)求实数p与m的值；(2)如图所示，动点Q在抛物线C上，直线l过点M，点A，B在l上，且满足QA⊥l，QB∥x轴．若|MB|2|MA|为常数，求直线l的方程．22．(本题满分15分)已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋mx(m∈R)．(1)当m≠0时，求函数f(x)的单调区间；(2)有这样的结论：若函数p(x)的图象是在区间[a，b]上连续不断的曲线，且在区间(a，b)内可导，则存在x0∈(a，b)，使得p′(x0)＝p（b）－p（a）b－a.已知函数f(x)在(x1，x2)上可导(其中x2>x1>－1)，若函数g(x)＝f（x1）－f（x2）x1－x2(x－x1)＋f(x1)．证明：对任意x∈(x1，x2)，都有f(x)>g(x)．高考仿真模拟卷(十二)1．解析：选A.因为A ＝{x ∈Z |x 2＜2}，所以A ∈{－1，0，1}，所以∁U A ＝{2}，故选A. 2．解析：选B.z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）2＝12＋32i.3．解析：选B.取A ＝2π3，则sin A ＝32，由sin A >32⇔π3<A <2π3. 所以“A >π3”是“sin A >32”的必要不充分条件．4．解析：选A.因为a ＝log 123<log 122＝－1，0<b ＝⎝⎛⎭⎫130.2<1，c ＝2>1，所以a <b <c . 5．解析：选D.根据题意可分以下三种情况：①考生甲选物理不选化学，有C 25种选考方法；②考生甲选化学不选物理，有C 25种选考方法；③考生甲同时选物理和化学，有C 15种选考方法．根据分类加法计数原理可知，考生甲的选考方法的种数为C 25＋C 25＋C 15＝25.6．解析：选D.因为数列{a n }是递增数列，又a n ＝f (n )，n ∈N *， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f （8）>f （7）⇒2<a <3.7．解析：选B.约束条件对应的可行域如图中阴影部分内整点：令z ＝x －3y 知z max ＝3－3×0＝3，z min＝1－3×2＝－5，－5≤z ≤3，0≤|z |≤5，所以|x －3y |的最大值为5.故选B.8．解析：选A.由于⎩⎪⎨⎪⎧2|PF 1|＝3|PF 2||PF 1|－|PF 2|＝2a |PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，令|PF 1|＝3t ，则|PF 2|＝2t ，所以t ＝2a ，13t 2＝4c 2.所以13×4a 2＝4c 2，所以c 2＝13a 2.所以e 2＝c 2a 2＝13，所以e ＝13，故选A. 9．解析：选B.如图，分别取AB ，BC 的中点M ，N ，连接OP ，OM ，ON ，PM ，PN ，则OM ∥BC ，ON ∥AB .因为∠ABC ＝90°，所以OM ⊥AB ，ON ⊥BC ，又P A ＝PB ＝PC ，所以PM ⊥AB ，PN ⊥BC ，所以AB ⊥平面PMO ，BC ⊥平面PNO ，所以AB ⊥PO ，BC ⊥PO ，所以PO ⊥平面ABC ，易知∠PMO 为二面角P －AB －C 的平面角，∠PNO 为二面角P －BC －A 的平面角，即α＝∠PMO ，β＝∠PNO ，则tan α＝PO OM ，tan β＝POON .因为AB >BC ，所以ON >OM ，所以tan α>tan β，α>β，选B.10．解析：选A.设c ＝(x ，y )，a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，则x 2＋y 2＝1，从而|a ＋2c |＋|3a ＋2b －c |＝（2x ＋1）2＋（2y ）2＋（x －3）2＋（y －2）2＝3（x 2＋y 2）＋x 2＋y 2＋4x ＋1＋（x －3）2＋（y －2）2＝（x ＋2）2＋y 2＋（x －3）2＋（y －2）2≥52＋22＝29，等号可取到． 11．解析：因为a ＝2，所以2a ＝4， 因为b ＝3，所以c ＝1， 所以c a ＝12.答案：4 1212．解析：根据三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体截去一个三棱锥后剩下的几何体，其直观图如图所示，所以该几何体的表面积S ＝3×2×2＋2×（1＋2）×22＋12×2×2＋12×22×5－2＝20＋6，体积V＝23－13×12×1×2×2＝223.答案：20＋622313．解析：法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5a 1＋4d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7d ＝－1， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋(n －1)×(－1)＝8－n ，所以a 7＝8－7＝1， S 7＝7×（a 1＋a 7）2＝28.法二：a n ＝a 3＋(n －3)×a 5－a 32＝8－n ，S 7＝7×（a 1＋a 7）2＝7×（a 3＋a 5）2＝7×（5＋3）2＝28.答案：8－n 2814．解析：令x ＝2，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝310＝59 049. 令x －1＝y ，则(1＋2y )10＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋…＋a 10y 10，得a 7＝C 71027＝15 360.答案：59 049 15 36015．解析：由题意知DB ＝AF ＝CE ，设DB ＝x ，则AD ＝3AF ＝3x ，在△ABD 中，∠ADB ＝120°，根据余弦定理得AB 2＝AD 2＋DB 2－2AD ·DB cos 120°，即13＝9x 2＋x 2＋3x 2＝13x 2，解得x ＝1，所以DF ＝2x ＝2，因此△DEF 的面积为34×22＝ 3. 答案：316．解析：由3λ2＋2μ＝1(λ，μ∈R )知可配凑CP →＝3λ2·2CA →3＋2μ·CB →2＝3λ2·CD →＋2μ·CE →，故P ，D ，E 三点共线．又由|P A →|＝|PB →|＝|PC →|知，点P 为△ABC 的外接圆圆心．如图可知PE 是AB 的中垂线，故CD ＝BD ，且|BD ||AD |＝|CD ||AD |＝2，设点D (x ，y )，则（x －3）2＋y 2x 2＋y 2＝2，化简得(x ＋1)2＋y 2＝4 所以S △ABC ＝3S △ABD ≤3·12·3·r ≤9.答案：917．解析：由M (x ，y )＝max{|x 2＋y ＋1|，|y 2－x ＋1|}，可知当|x 2＋y ＋1|＝|y 2－x ＋1|时，M (x ，y )取得最小值，即x 2＋y ＋1＝y 2－x ＋1或x 2＋y ＋1＝－(y 2－x ＋1)，解得x ＝－y 或x ＝y －1或(x －12)2＋(y ＋12)2＝－32(舍)．当x ＝－y 时，M (x ，y )＝y 2＋y ＋1＝(y ＋12)2＋34≥34；当x ＝y －1时，M (x ，y )＝x 2＋x ＋2＝(x ＋12)2＋74≥74，所以M (x ，y )的最小值为34.答案：3418．解：(1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋sin 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋1－cos 2ωx 2－12＝32sin 2ωx －12cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6. 因为f (x )的最小正周期为π，故T ＝2π2ω＝π，所以ω＝1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， 2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6.当2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2， 即x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3时，f (x )单调递增；当2x －π6∈⎝⎛⎦⎤π2，5π6， 即x ∈⎝⎛⎦⎤π3，π2时，f (x )单调递减； 又f (0)＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12.所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝1，f (x )min ＝f (0)＝－12. 19．解：(1)证明：因为AB ⊥侧面BB 1C 1C ，BC 1⊂侧面BB 1C 1C ，故AB ⊥BC 1，在△BCC 1中，BC ＝1，CC 1＝BB 1＝2，∠BCC 1＝π3，BC 21＝BC 2＋CC 21－2BC ·CC 1·cos ∠BCC 1＝12＋22－2×1×2×cos π3＝3， 所以BC 1＝3，故BC 2＋BC 21＝CC 21，所以BC ⊥BC 1，而BC ∩AB ＝B ， 所以C 1B ⊥平面ABC .(2)由(1)可知，AB ，BC ，BC 1两两垂直．以B 为原点，BC ，BA ，BC 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则B (0，0，0)，A (0，1，0)，B 1(－1，0，3)，C (1，0，0)，C 1(0，0，3)． 所以CC 1→＝(－1，0，3)，所以CE →＝(－λ，0，3λ)，E (1－λ，0，3λ)， 则AE →＝(1－λ，－1，3λ)，AB 1→＝(－1，－1，3)． 设平面AB 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥AE →n ⊥AB 1→，即⎩⎨⎧（1－λ）x －y ＋3λz ＝0－x －y ＋3z ＝0，令z ＝3，则x ＝3－3λ2－λ，y ＝32－λ，故n ＝⎝⎛⎭⎪⎫3－3λ2－λ，32－λ，3是平面AB 1E 的一个法向量．因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，BA →＝(0，1，0)是平面BB 1E 的一个法向量，所以|cos 〈n ，BA →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BA →|n ||BA →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－λ1×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－3λ2－λ2＋⎝⎛⎭⎫32－λ2＋（3）2＝32. 两边平方并化简得2λ2－5λ＋3＝0， 所以λ＝1或λ＝32(舍去)．20．解：(1)证明：由a n ＋1＝a 2n ＋6a n ＋6得a n ＋1＋3＝(a n ＋3)2，所以log 5(a n ＋1＋3)＝2log 5(a n ＋3)，即C n ＋1＝2C n ， 所以{C n }是以2为公比的等比数列． (2)又C 1＝log 55＝1，所以C n ＝2n －1， 即log 5(a n ＋3)＝2n －1，所以a n ＋3＝52n －1 故a n ＝52n －1－3.(3)证明：因为b n ＝1a n －6－1a 2n ＋6a n ＝1a n －6－1a n ＋1－6，所以T n ＝1a 1－6－1a n ＋1－6＝－14－152n －9.又0<152n －9≤152－9＝116，所以－516≤T n <－14.21．解：(1)设焦点为F ，由题意得|MF |＝m ＋p2＝2，又点M (m ，－2)在抛物线上，故2pm ＝4. 解得p ＝2，m ＝1.(2)设直线l 的方程为t (y ＋2)＝x －1，Q ⎝⎛⎭⎫y 24，y 0. 则y B ＝y 0，所以|MB |＝1＋t 2|y 0＋2|. 取直线l 的一个方向向量e ＝(t ，1)，则MQ →＝⎝⎛⎭⎫y 204－1，y 0＋2.|MA |＝|MQ →·e |t 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫y 204－1t ＋y 0＋2t 2＋1.故|MB |2|MA |＝（t 2＋1）1＋t 2（y 0＋2）2⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫y 204－1t ＋y 0＋2.则t ＝1，定值为82，此时直线l 的方程y ＝x －3.22．解：(1)f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝1＋mx ＋m x ＋1＝m ⎝⎛⎭⎫x ＋m ＋1m x ＋1. 当m >0时，⎝⎛⎭⎫－m ＋1m －(－1)＝－1m <0， 即－m ＋1m<－1， 因为x >－1，所以f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．当m <0时，⎝⎛⎭⎫－m ＋1m －(－1)＝－1m >0，即－m ＋1m >－1， 由f ′(x )>0，解得－1<x <－m ＋1m， 由f ′(x )<0，解得x >－m ＋1m， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－m ＋1m 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－m ＋1m ，＋∞上单调递减． (2)证明：令h (x )＝f (x )－g (x )＝f (x )－f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2(x －x 1)－f (x 1)，则h ′(x )＝f ′(x )－f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2. 因为函数f (x )在区间(x 1，x 2)上可导，则根据结论可知，存在x 0∈(x 1，x 2)，使得f ′(x 0)＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，又f ′(x )＝1x ＋1＋m ， 所以h ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)＝1x ＋1－1x 0＋1＝x 0－x （x ＋1）（x 0＋1）. 当x ∈(x 1，x 0]时，h ′(x )≥0，从而h (x )单调递增， 所以h (x )>h (x 1)＝0；当x ∈(x 0，x 2)时，h ′(x )<0，从而h (x )单调递减， 所以h (x )>h (x 2)＝0.故对任意x ∈(x 1，x 2)，都有h (x )>0，即f (x )>g (x )．。

2020年浙江省高考数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]2．（4分）设i 为虚数单位，复数z =2+3ii，则z 的共轭复数是（ ） A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1，2x −y ≤2，x −y +1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（ ）A ．2B ．4√55C ．4D ．1654．（4分）已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sin α=√33”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要5．（4分）函数f （x ）＝x 2+e |x |的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点，则下列说法中错误的是（ ）A ．线段PQ 与平面CDD 1C 1可能平行B ．当Q 为线段B 1C 1的中点时，线段PQ 与DD 1所成角为π4C ．PQ ≥√2ABD ．CD 1与PQ 不可能垂直7．（4分）已知0＜a ＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a 增大时，ξ的期望E （ξ）变化情况是（ ）ξ ﹣10 1 P13abA ．E （ξ）增大B ．E （ξ）减小C ．E （ξ）先增后减D ．E （ξ）先减后增8．（4分）已知函数f(x)={x 2+4x +2，x ≤0log 2x ，x ＞0，且方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围为（ ） A ．(−154，0]B ．(−154，2]C ．[﹣4，+∞）D ．[﹣4，2）9．（4分）如图，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．则（ ）A ．α≥β，β≤γB ．α≤β，β≤γC ．α≥β，β≥γD ．α≤β，β≥γ10．（4分）设数列{a n }满足a n +1＝a n 2+2a n ﹣2（n ∈N *），若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．1二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P （1，1）作直线l 与双曲线x 2−y 22=λ交于A ，B 两点，若点P 恰为线段AB 的中点，则实数λ的取值范围是 ．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．13．（6分）已知（1﹣x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，则a 2＝ ，a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6＝ ． 14．（6分）在△ABC 中，a ＝1，cos C =34，△ABC 的面积为√74，则c ＝ ． 15．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的上、下顶点分别为B 2，B 1，若一个半径为√2b ，过点B 1，B 2的圆M 与椭圆的一个交点为P （异于顶点B 1，B 2），且|k PB 1−kPB 2|=89，则椭圆的离心率为 ．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BCD ＝60°， CB ＝CD ＝2√3．若点M 为边BC 上的动点，则AM →•DM →的最小值为 ．17．（4分）设f （x ）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f （x ）+xf '（x ）＞0，则不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）的解集为 三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ﹣c ＝1，cos A =13，△ABC 的面积为2√2．（Ⅰ）求a 及sin C 的值； （Ⅱ）求cos （2A −π6）的值．19．（15分）如图，三棱锥D ﹣ABC 中，AD ＝CD ，AB ＝BC ＝4√2，AB ⊥BC ． （1）求证：AC ⊥BD ；（2）若二面角D ﹣AC ﹣B 的大小为150°且BD ＝4√7时，求直线BM 与面ABC 所成角的正弦值．20．（15分）在等差数列{a n }和正项等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，数列{b n }的前n 项和为Sn ，且S 3＝14． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）令c n =a b n ，（﹣1）n d n ＝n c n +n ，求数列{d n }的前项和为T n ．21．（15分）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．（1）若点M纵坐标为√2，求M与焦点的距离；（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：y A•y B为常数；（3）是否存在t，使得y A•y B＝1且y P•y Q为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．22．（15分）设函数f（x）＝e x cos x，g（x）＝e2x﹣2ax．（1）当x∈[0，π3]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[0，+∞）时，不等式g(x)≥f′(x)e2x恒成立（f'（x）是f（x）的导函数），求实数a的取值范围．2020年浙江省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]【解答】解：由题意得：A ＝{x ∈N *|x ≤3}＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}＝{x |0≤x ≤4}， ∴所以A ∩B ＝{1，2，3}， 故选：A ．2．（4分）设i 为虚数单位，复数z =2+3ii，则z 的共轭复数是（ ） A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i【解答】解：∵z =2+3i i =(2+3i)(−i)−i2=3−2i ， ∴z =3+2i ． 故选：B ．3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1，2x −y ≤2，x −y +1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（ ）A ．2B ．4√55C ．4D ．165【解答】解：画出变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1，2x −y ≤2，x −y +1≥0，的可行域，可发现z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值是（3，0）到2x ﹣y ﹣2＝0距离的平方． 取得最小值：(6−24+1)2=165．故选：D ．4．（4分）已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sin α=√33”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要【解答】解：若cos2α=13，则cos2α＝1﹣2sin 2α，sin α=±√33，则cos2α=13”是“sin α=√33”的不充分条件；若sin α=√33，则cos2α＝1﹣2sin 2α，cos2α=13，则cos2α=13”是“sin α=√33”的必要条件； 综上所述：“cos2α=13”是“sin α=√33”的必要不充分条件．故选：B ．5．（4分）函数f （x ）＝x 2+e |x |的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：因为对于任意的x ∈R ，f （x ）＝x 2+e |x |＞0恒成立，所以排除A ，B ， 由于f （0）＝02+e |0|＝1，则排除D ， 故选：C ．6．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点，则下列说法中错误的是（ ）A ．线段PQ 与平面CDD 1C 1可能平行B ．当Q 为线段B 1C 1的中点时，线段PQ 与DD 1所成角为π4C ．PQ ≥√2ABD ．CD 1与PQ 不可能垂直【解答】解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点， 在A 中，当Q 为线段B 1C 1中点时，线段PQ 与平面CDD 1C 1平行，故A 正确； 在C 中，当Q 为线段B 1C 1的中点时，PQ ∥DC 1， ∴线段PQ 与DD 1所成角为∠C 1DD 1=π4，故B 正确；在C 中，PQ ≥√2AB ，当且仅当Q 为线段B 1C 1的中点时取等号，故C 正确； 在D 中，当Q 为线段B 1C 1的中点时，PQ ∥DC 1，CD 1与PQ 垂直，故D 错误． 故选：D ．7．（4分）已知0＜a ＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a 增大时，ξ的期望E （ξ）变化情况是（ ）ξ ﹣10 1 P13abA ．E （ξ）增大B ．E （ξ）减小C ．E （ξ）先增后减D ．E （ξ）先减后增【解答】解：依题可知{E(ξ)=−13+b a +b =23，∴E(ξ)=−13+23−a ，∴当a 增大时，ξ的期望E （ξ）减小．故选：B ．8．（4分）已知函数f(x)={x 2+4x +2，x ≤0log 2x ，x ＞0，且方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围为（ ） A ．(−154，0] B ．(−154，2] C ．[﹣4，+∞） D ．[﹣4，2）【解答】解：作出函数f （x ）的图象，方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根 即等价于函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝a 有三个交点A ，B ，C ，故有﹣2＜a ≤2， 不妨设x 1＜x 2＜x 3，因为点A ，B 关于直线x ＝﹣2对称，所以x 1+x 2＝﹣4， ﹣2＜log 2x 3≤2，即14＜x 3≤4，故−154＜x 1+x 2+x 3≤0．故选：A ．9．（4分）如图，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．则（ ）A ．α≥β，β≤γB ．α≤β，β≤γC ．α≥β，β≥γD ．α≤β，β≥γ【解答】解：∵在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点， 记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β， 二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ． ∴根据最小角定理得α≥β， 根据最大角定理得β≤γ． 故选：A ．10．（4分）设数列{a n }满足a n +1＝a n 2+2a n ﹣2（n ∈N *），若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．1【解答】解：a n+1−a n =a n 2+a n −2=(a n +2)(a n −1)，若a n ＜﹣2，则a n +1＞a n ，则该数列单调递增，所以无限趋于﹣2．若a n ＝﹣2，则a n +1＝a n ，则该数列为常数列，即a n ＝2．所以，综上所述，λ≥﹣2．∴λ的最小值是﹣2．故选：B ． 二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P （1，1）作直线l 与双曲线x 2−y 22=λ交于A ，B 两点，若点P 恰为线段AB 的中点，则实数λ的取值范围是 （﹣∞，0）∪（0，12） ．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入双曲线可得：{x 12−y 122=λx 22−y 222=λ，两式相减可得：y 1−y 2x 1−x 2=2(x 1+x 2)y 1+y 2，而由题意可得，x 1+x 2＝2×1＝2，y 1+y 2＝2×1＝2， 所以直线AB 的斜率k =y 1−y 2x 1−x 2=2×22=2，所以直线AB 的方程为：y ﹣1＝2（x ﹣1），即y ＝2x ﹣1，代入双曲线的方程可得：2x 2﹣4x +1+2λ＝0，因为直线与双曲线由两个交点，所以△＞0，且λ≠0，即△＝16﹣4×2×（1+2λ）＞0，解得：λ＜12， 所以实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，12）．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 9 ．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 下底面为直角梯形，高为3的四棱锥体， 如图所示：所以：V =13×12(2+4)×3×3=9， 故答案为：913．（6分）已知（1﹣x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，则a 2＝ 15 ，a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6＝ 64 ．【解答】解：由（1﹣x ）6的通项为T r+1=C 6r (−x)r 可得，令r ＝2，即x 2项的系数a 2为C 62=15，即a 2＝15，由（1﹣x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，取x ＝﹣1，得a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6＝[1﹣（﹣1）]6＝64，故答案为：15，64． 14．（6分）在△ABC 中，a ＝1，cos C =34，△ABC 的面积为√74，则c ＝ √2 ． 【解答】解：∵a ＝1，cos C =34，△ABC 的面积为√74， ∴sin C =√1−cos 2C =√74，可得√74=12ab sin C =√78ab ，解得ab ＝2，∴b ＝2，∴由余弦定理可得c =2+b 2−2abcosC =√12+22−2×1×2×34=√2． 故答案为：√2．15．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上、下顶点分别为B 2，B 1，若一个半径为√2b ，过点B 1，B 2的圆M 与椭圆的一个交点为P （异于顶点B 1，B 2），且|k PB 1−kPB 2|=89，则椭圆的离心率为2√23． 【解答】解：设P （x 0，y 0），B 1（0，﹣b ），B 2（0，+b ），由|kPB 1−kPB 2|=89，|y 0−b x 0−y 0+b x 0|=89，∴|x 0|=94b ，由题意得圆M 的圆心在x 轴上，设圆心（t ，0），由题意知：t 2+b 2＝2b 2∴t 2＝b 2， ∴MP 2＝2b 2＝（x 0﹣t ）2+y 02，∴y 02=716b 2，P 在椭圆上，所以81b 216a +716=1， ∴a 2＝9b 2＝9（a 2﹣c 2），∴e 2=89，所以离心率为2√23，故答案为：2√23． 16．（4分）如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BCD ＝60°，CB ＝CD ＝2√3．若点M 为边BC 上的动点，则AM →•DM →的最小值为214．【解答】解：如图所示：以B 为原点，以BA 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴，过点D 做DP ⊥x 轴，过点D 做DQ ⊥y 轴，∵AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，CB =CD =2√3， ∴B （0，0），A （2，0），C （0，2√3），D （3，√3），设M （0，a ），则AM →=（﹣2，a ），DM →=（﹣3，a −√3），故AM →•DM →=6+a （a −√3）=(a −√32)2+214≥214， 故答案为：214．17．（4分）设f （x ）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f （x ）+xf '（x ）＞0，则不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）的解集为 （1，2）【解答】解：令g （x ）＝xf （x ），x ∈（0，+∞）．g ′（x ）＝f （x ）+xf '（x ）＞0， ∴函数g （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递增．不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）即不等式（x +1）f （x +1）＞（x 2﹣1）f （x 2﹣1），x +1＞0． ∴x +1＞x 2﹣1＞0，解得：1＜x ＜2．∴不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）的解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ﹣c ＝1，cos A =13，△ABC 的面积为2√2．（Ⅰ）求a 及sin C 的值； （Ⅱ）求cos （2A −π6）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ﹣c ＝1，cos A =13， ∴sin A =√1−cos 2A =2√23， ∵△ABC 的面积为12bc •sin A =bc 2•2√23=√23bc ＝2√2，∴bc ＝6，∴b ＝3，c ＝2， ∴a =√b 2+c 2−2bc ⋅cosA =√9+4−2⋅3⋅2⋅13=3． 再根据正弦定理可得a sinA=c sinC，即2√23=2sinC，∴sin C =4√29． （Ⅱ）∴sin2A ＝2sin A cos A =4√29，cos2A ＝2cos 2A ﹣1=−79， 故 cos （2A −π6）＝cos2A cos π6+sin2A sinπ6=−79•√32+4√29•12=4√2−7√318． 19．（15分）如图，三棱锥D ﹣ABC 中，AD ＝CD ，AB ＝BC ＝4√2，AB ⊥BC ． （1）求证：AC ⊥BD ；（2）若二面角D ﹣AC ﹣B 的大小为150°且BD ＝4√7时，求直线BM 与面ABC 所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取AC 中点O ，连结BO ，DO ， ∵AD ＝CD ，AB ＝BC ，∴AC ⊥BO ，AC ⊥DO ， ∵BO ∩DO ＝O ，∴AC ⊥平面BOD ， 又BD ⊂平面BOD ，∴AC ⊥BD ．（2）解：由（1）知∠BOD 是二面角D ﹣AC ﹣B 的平面角，∴∠BOD ＝150°， ∵AC ⊥平面BOD ，∴平面BOD ⊥平面ABC ， 在平面BOD 内作Oz ⊥OB ，则Oz ⊥平面ABC ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 由题意得OB ＝4，在△BOD 中由余弦定理得OD ＝4√3，∴A （0，﹣4，0），B （4，0，0），C （0，4，0），D （﹣6，0，2√3），∴M （﹣3，2，√3），BM →=（﹣7，2，√3），平面ABC 的法向量n →=（0，0，1），设直线BM 与面ABC 所成角为θ，则直线BM 与面ABC 所成角的正弦值为：sin θ=|n →⋅BM →||n →|⋅|BM →|=√356=√4228．20．（15分）在等差数列{a n }和正项等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，数列{b n }的前n 项和为Sn ，且S 3＝14．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）令c n =a b n ，（﹣1）n d n ＝n c n +n ，求数列{d n }的前项和为T n ．【解答】解：（1）等差数列{a n }的公差设为d ，正项等比数列{b n }的公比设为q ，q ＞0，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，可得2a 2＝b 1+b 2，即2（1+d ）＝2+2q ，即d ＝q ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，可得2+2q +2q 2＝14，解得q ＝2，d ＝2，则a n ＝2n ﹣1，b n ＝2n ；（2）c n =a b n =2n +1﹣1，（﹣1）n d n ＝n c n +n ＝n •2n +1，则d n ＝2n •（﹣2）n ，前项和为T n ＝2•（﹣2）+4•4+6•（﹣8）+…+2n •（﹣2）n ，﹣2T n ＝2•4+4•（﹣8）+6•16+…+2n •（﹣2）n +1，相减可得3T n ＝﹣4+2（4+（﹣8）+…+（﹣2）n ）﹣2n •（﹣2）n +1＝﹣4+2•4(1−(−2)n−1)1−(−2)−2n •（﹣2）n +1，化简可得T n =−49−6n+29•（﹣2）n +1． 21．（15分）已知抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．（1）若点M 纵坐标为√2，求M 与焦点的距离；（2）若t ＝﹣1，P （1，1），Q （1，﹣1），求证：y A •y B 为常数；（3）是否存在t ，使得y A •y B ＝1且y P •y Q 为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）解：∵抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．点M 纵坐标为√2， ∴点M 的横坐标x M ＝（√2）2＝2，∵y 2＝x ，∴p =12，∴M 与焦点的距离为MF =x M +p 2=2+14=94．（2）证明：设M （y 02，y 0），直线PM ：y ﹣1=y 0−1y 02−1（x ﹣1），当x ＝﹣1时，y A =y 0−1y 0+1，直线QM ：y +1=y 0+1y 02−1（x ﹣1），x ＝﹣1时，y B =−y 0−1y 0−1，∴y A y B ＝﹣1， ∴y A •y B 为常数﹣1．（3）解：设M （y 02，y 0），A （t ，y A ），直线MA ：y ﹣y 0=y 0−y A y 02−t （x ﹣y 02）， 联立y 2＝x ，得y 2−y 02−t y 0−y A y +y 02−t y 0−y A y 0−y 02=0，∴y 0+y p =y 02−t y 0−y A ，即y P =y 0y A −t y 0−y A， 同理得y Q =y 0y B −1y 0−y B，∵y A •y B ＝1，∴y P y Q =y 02−ty 0(y A +y B )+t 2y 02−y 0(y A +y B )+1， 要使y P y Q 为常数，即t ＝1，此时y P y Q 为常数1，∴存在t ＝1，使得y A •y B ＝1且y P •y Q 为常数1．22．（15分）设函数f （x ）＝e x cos x ，g （x ）＝e 2x ﹣2ax ．（1）当x ∈[0，π3]时，求f （x ）的值域；（2）当x ∈[0，+∞）时，不等式g(x)≥f′(x)e 2x 恒成立（f '（x ）是f （x ）的导函数），求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）由题可得f '（x ）＝e x cos x ﹣e x sin x ＝e x （cos x ﹣sin x ）．令f '（x ）＝e x （cos x ﹣sin x ）＝0，得x =π4∈[0，π3]． 当x ∈(0，π4)时，f '（x ）＞0，当x ∈(π4，π3)时，f '（x ）＜0，所以f(x)max =f(π4)=√22e π4，f(x)min =min{f(0)，f(π3)}．因为f(π3)=e π32＞e 332=e 2＞1=f(0)，所以f （x ）min ＝1， 所以f （x ）的值域为[1，√22e π4]． （2）由g(x)≥f′(x)e 2x 得e 2x −2ax ≥cosx−sinx e x ， 即sinx−cosxe +e 2x −2ax ≥0．设ℎ(x)=sinx−cosx e x +e 2x −2ax ，则ℎ′(x)=2cosx e x +2e 2x −2a ． 设φ（x ）＝h '（x ），则φ′(x)=4e 3x −2√2sin(x+π4)e x． 当x ∈[0，+∞）时，4e 3x ≥4，2√2sin(x +π4≤2√2)，所以φ'（x ）＞0． 所以φ（x ）即h '（x ）在[0，+∞）上单调递增，则h '（x ）≥h '（0）＝4﹣2a ．若a ≤2，则h '（x ）≥h '（0）＝4﹣2a ≥0，所以h （x ）在[0，+∞）上单调递增．所以h （xa ＞2）≥h （0）＝0恒成立，符合题意．若，则h '（0）＝4﹣2a ＜0，必存在正实数x 0，满足：当x ∈（0，x 0）时，h '（x ）＜0，h （x ）单调递减，此时h （x ）＜h （0）＝0，不符合题意综上所述，a 的取值范围是（﹣∞，2]．。