高考理科数学模拟试卷五

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2022届高三第五次高考模拟考试理科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，满足(1i)1i z +=-的复数z 对应的点为Z ，则OZ =（ ）A ．12B C ．1D2．已知集合(){}ln 1A x y x ==-，集合{}1,0,1,2,3B =-，则A B =（ ） A ．{}2,3B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,23．已知平面向量(1,2)a =，(2,)b y =-，若a b ⊥，则a b +=( )AB C D4．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．某年级有21个班，1班51人，2班53人，三班52人，由此推测各班都超过50人B ．猜想数列112⨯，123⨯，134⨯，…的通项公式为1(1)n a n n =+（n +∈N ）C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质D ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B 是两条平行直线的同旁内角，则180A B ∠+∠=︒ 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，734a a =，则10S =（ ） A ．-110B ．-115C ．110D ．1156．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为4，其右焦点到双曲线C 曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．y =D ．y x =±7．在三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为AB ､11B C 的中点，若12AA AC ==，DE DE 与1CC 所成角的余弦值为（ ）A B C D 8．中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，是反映中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华民族的瑰宝.某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量x （单位：克）与药物功效y （单位：药物单位）之间具有关系210y x x =-.检测这种药品一个批次的5个样本，得到成分甲的平均值为4克，标准差为2克，则估计这批中医药的药物功效的平均值为（ ） A ．22药物单位B ．20药物单位C ．12药物单位D ．10药物单位9．哈三中招聘了8名教师，平均分配给南岗群力两个校区，其中2名语文教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（ ） A ．18种B ．24种C ．36种D ．48种10．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||πϕ<）的部分图像如图所示，现将()y f x =的图像向右平移π3个单位长度得到()y g x =的图像，则以下说法正确的是（ ）A ．函数()g x 的初相是3π4B ．函数()g x 的最大值是2C ．函数()g x 在ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()g x 的图像是由函数()2h x x =向右平移π3个单位长度，横坐标扩大到原来的3倍得到的11．已知抛物线C ：24x y =，点M 为直线1y =-上一动点，过点M 作直线MA ，MB 与抛物线C 分别切于点A ，B ，则MA MB ⋅=（ ） A ．0B ．1C ．-1D ．0或112．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)0f x f x -+-=，当10x -≤≤时，()(1)e x f x x =+，则（ ）A ．31π1tan (2022)ln 242f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．31π1(2022)tan ln 242f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．131πln (2022)tan 224f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．131π(2022)ln tan 224f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若直线:90l x my -+=被圆22:2240C x y x ++-=截得线段的长为6，则实数m 的值为__________. 14．利用随机模拟方法近似计算1x =和24y x =所围成图形的面积.首先利用计算机产生两组0~1区间的均匀随机数，RAND a =，1RAND b =，然后进行平移和伸缩变换，()140.5b b =-，若共产生了N 个样本点(,)a b ，其中落在所围成图形内的样本点数为N ，则所围成图形的面积可估计为__________.（结果用N ，1N 表示） 15．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知22n n S b +=，则9a =___________. 16．已知菱形ABCD 的边长为2，且π3ABC ∠=，点M ，N 分别为线段AB ，CD 上的动点，沿DM 将ADM△翻折至A DM '，若点C 在平面A DM '内的射影恰好落在直线DM 上，则当线段A N '最短时，三棱锥A CMN '-的体积为___________.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答17．如图，平面四边形ABCD 中，AB BD DA ==，1BC =，3CD =，BCD θ∠=.(1)若π2θ=，求AC BD +的值； (2)试问θ为何值时，平面四边形ABCD 的面积最大？18．哈三中从甲､乙两个班级中选拔一个班级代表学校参加知识竞赛，在校内组织预测试，为测试两班平均水准，要求每班参加预测试的代表学生应按班级人数的15随机选出.现甲班在籍学生50人，乙班在籍学生40人(1)若乙班将学生进行编号，编号分别为1，2，3，…，40，采用系统抽样的方法等距抽取，若第二段被抽取的学生编号为7，求第四段抽取的学生的编号（直接写出结果，无需过程）；(2)现从甲乙两班代表学生中利用分层抽样共选取9人，再从这9人中随机抽取3人参加加试，记其中甲班学生人数为随机变量X ，求X 的分布列与期望.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，2AD PD ==，1CD =，5PC =E 为棱PC 上的点，且BC DE ⊥.(1)证明：平面PCD ⊥平面ABCD ；(2)若二面角E AD B --的大小为π4，求直线DE 与平面PBC 所成角的正弦值.20．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）离心率为1e ，短轴长为2，双曲线E ：2213y x -=的离心率为2e ，且122e e =(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交直线l ：2x =-于点M ，交直线AB 于点N ，当MAN ∠最小时，求直线AB 的方程. 21．已知223()ln (1)42x f x x x a x =---.(1)若()f x 恒有两个极值点1x ，2x （12x x <），求实数a 的取值范围；(2)在（1）的条件下，证明()()1232f x f x +>.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为2221x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2cos θsin θρ=+. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设点()2,1P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求PA PBPB PA+的值. 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 设函数()()211R f x x a a =---∈．(1)当1a =-时，解不等式()1f x x >+；(2)若存在0x 使得不等式()0021f x x >+成立，求实数a 的取值范围．参考答案：1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．D 7．C 8．A 9．C 10．C 11．A 12．B13．14．14N N##14NN15．11101617． (1)若π2θ=，1BC CD ==，2BD =，得2AB =，sin DBC ∠=0ABC DBC π<∠+∠<， 得3DBC π∠=，所以2π3ABC ∠=，在ABC 中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=，所以2AC BD +=(2)BCD θ∠=，在BCD △中，由余弦定理得2222cos 423BD BC CD BC CD θθ=+-⋅=-， 所以213sin 3)23ABD S BD πθ==-△， 13sin 2BCD S BC CD θθ=⋅=△， 所以π333ABD BC A CD DB S S Sθ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭四边形当5π6θ=时，ABCD S 四边形取到最大值318． (1)乙班在籍学生40人，每班参加预测试的代表学生应按班级人数的15，则乙班应选取8人.则将40人分成8组，每组5人，若第二段被抽取的学生编号为7， 则第四段抽取的学生的编号为：72517+⨯= (2)由题意得，X 的可能取值为0，1，2，3035439C C 1(0)C 21P X ===，125439C C 5(1)C 14P X ===215439C C 10(2)C 21P X ===，305439C C 5(3)C 42P X === X 0 1 2 3 P 121514102154251055()1231421423E X =⨯+⨯+⨯= 19． (1)由ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，又因为BC DE ⊥，CD DE D =所以BC ⊥面PCD ，又BC ⊂面ABCD . 所以面PCD ⊥面ABCD (2)2222125PD DC PC +=+==，所以PD CD ⊥底面ABCD 为矩形，则BC CD ⊥，又BC DE ⊥，且CD DE D =由CD DE ⊂，平面PCD ,则BC ⊥平面PCD 又PD ⊂平面PCD ,所以 BC PD ⊥在底面ABCD 为矩形中，//BC AD ,所以AD PD ⊥建立以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在的直线为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系. 则(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(2,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,2)P(2,0,0)DA =，设(0,,2)CE CP λλλ==-（01λ≤≤）所以(0,1,2)DE DC CE λλ=+=-设面ADE 的法向量为()1111,,x n y z =，则1100DA n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即()11112020y z x λλ⎧--=⎨=⎩ 则1(0,2,1)n λλ=-设面ABD 的法向量为2(0,0,1)n =由12cos ,2n n ==，解得13λ= 则220,,33DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又(2,1,2)PB =-，(2,0,0)BC =-设面PBC 的法向量为()3333,,n x y z =,则3300PB n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即333322020x y z x +-=⎧⎨-=⎩ 则3(0,2,1)n =设直线DE 与面PBC 所成角为θ 33sin cos ,DE n θ=<>=20． (1)双曲线的离心率22e =，由21221be a=-2212b a =，其中22b =，所以22a =，即椭圆方程为：2212x y +=(2)当直线AB 的斜率存在且为零时，其垂直平分线与直线l 平行，不满足题意，故直线AB 的斜率不为零，可设直线AB 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()(),,,M M N N M x y N x y . 联立直线AB 与椭圆C 的方程22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()222210t y ty ++-=，()22442t t ∆=++=()2810t +> 由一元二次方程根与系数的关系可得12222t y y t -+=+，12212y y t =-+ 则22N t y t =-+，22221122N N t x ty t t =+=-+=++ 由MN AB ⊥，则MN k t =-，222222226||112122MNM N t MN kx t t t t +=+-=+--=+++ 又222121121||||1122t AN AB t y y t +==+-=+ 则222223||tan 212224||11t MN MAN t AN t t +⎫∠===+≥++ 2211t t ++1t =±时取等号.此时直线AB 的方程为10x y +-=或10x y --=.故当MAN ∠最小时，直线AB 的方程为10x y +-=或10x y --=.21． (1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()ln f x x x x a '=--， 则方程()0f x '=有两个不同的正根，即函数y a =与()ln (0)h x x x x x =->图像有两个交点， ()ln h x x '=-，令()001h x x '>⇒<<，令()01h x x '<⇒>，所以函数()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以max ()(1)1h x h ==，且当(0,1)x ∈时，()ln (1ln )0h x x x x x x =-=->， 当(1,)x ∈+∞时，()ln (1ln )0h x x x x x x =-=-<，如图，由图可知(0,1)a ∈； (2)设()()(2)G x h x h x =--(12)x <<，则()2()()(2)ln 20G x h x h x x x '''=+-=--+>，()G x 在(1,2)单调递增，故()(1)(1)(1)0G x G h h >=-=，即()(2)>-h x h x (12)x <<.而12(1,2)x -∈，故()()()()1112222h x h x h x h x ->--==⎡⎤⎣⎦， 又121x ->，21>x ，()h x 在(1,)+∞单调递减，故122x x -<，即122x x +>； 由122x x +>知21121x x x >->>；由(1)知，()ln f x x x x a '=--，12x x 、为函数()f x 的极值点， 当1(0,)x x ∈时()0f x '<，函数()f x 单调递减，当12(,)x x x ∈时()0f x '>，函数()f x 单调递增，2(,)x x ∈+∞时()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以()()212f x f x >-，故()()()()12112f x f x f x f x +>+-， 令()()(2)F x f x f x =+-（01x <<）.()()(2)2(1)ln (2)ln(2)F x f x f x x x x x x '''=--=--+--， ()ln(2)ln F x x x ''=---，令()001F x x ''>⇒<<，故当01x <<时， ()F x '单调递增，且(1)0F '=，所以()0F x '<，故()F x 单调递减， 由01x <<，得3()(1)2(1)2F x F f >==， 即3()(2)2f x f x +->，即()()1232f x f x +>. 22．(1)直线l的参数方程为212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t 可得l 的普通方程为10x y --=.曲线C 的极坐标方程为2(cos θsin θ)ρ=+，即22(cos θsin θ)ρρ=+，根据222cos θsin θx y x y ρρρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，可得2222x y x y +=+. ∴曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=(2)在直线l的参数方程21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）中，设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 将直线l的参数方程221x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入22220x y x y +--=，得210t +-=，∴12t t +=，121t t =-. ∴()2221212121221121224PA PB t t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+=== 23．(1)当1a =-时，不等式()1|21|2|1|f x x x x >+⇔-->+，当1x <-时，不等式化为：2121x x -+->--，解得0x <，则有1x <-， 当112x -≤<时，不等式化为：2121x x -+->+，解得23x <-，则有213x -≤<-， 当12x ≥时，不等式化为：2121x x -->+，解得4x >，则有4x >， 综上得：23x <-或4x >， 所以不等式()1f x x >+的解集为：2(,)(4,)3-∞-+∞. (2) 不等式()000021|1||21|2|1|x f a x x x >+⇔-<--+，因存在0x 使得不等式()0021f x x >+成立，则存在0x 使得不等式00|1||21|2|1|a x x -<--+成立， 而000000|21|2|1||21||22||(21)(22)|3x x x x x x --+=--+≤--+=，当且仅当01x ≤-时取“=”， 因此有|1|3a -<，解得24a -<<，所以实数a 的取值范围是24a -<<.。

高考数学第五次模拟考试数学试卷（理科）A 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分） 1． 计算：=+-ii i 1)1( （ ）A ．i -B ．iC ．1D ．-12．已知集合{}{}=>-=≤+-=B A x x B x x x A 则集合,312,0652（ ）A ．{}32≤≤x xB ．{}32<≤x xC ．{}31<<-x xD ．{}32≤<x x 3．设随机变量服从正态分布,)1(),1,0(p p N =>ξ则=<<-)11(ξP（ ）A ．P 21B ．P -1C ．P 21-D ．P -214．01)12(1=+-+-=y m mx m 是直线和直线033=++my x 垂直的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．地球半径为R ，在北纬30°的圆上，A 点经度为东经120°，B 点的经度为西经60°， 则A 、B 两点的球面距离为 （ ）A ．R 3πB ．R π23C ．R π21D ．R π326．函数)2)(1ln(>-=x x y 的反函数是（ ）A ．)0(>+=x e y xB ．)0(1>-=x e y xC ．)(1R x e y x∈+=D ．)(1R x e y x∈-=7．直线1-=x y 上的点到圆042422=+-++y x y x 上的点的最近距离是 （ ）A ．22B ．12-C ．122-D ．18．将函数∈+=x x y )(6sin(πR ）的图象上所有的点向左平行移动4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为（ ）A ．))(1252sin(R x x y ∈+=πB ．))(1252sin(R x x y ∈+=πC ．))(122sin(R x x y ∈-=πD ．))(2452sin(R x x y ∈+=π9．若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ）A ．34≥a B ．10≤<aC ．341≤≤a D ．3410≥≤<a a 或 10．以知函数)32(log )(22--=x x x f ，则使)(x f 为减函数的区间是（ ）A ．（1,∞-）B ．)0,1(-C ．（1，2）D ．（1,3--）11．由0，1，2，3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有 （ ）A ．168个B ．174个C ．232个D ．238个 12．已知向量)sin 2,cos 2(θθ=a ，)1,0(),,2(-=∈b ππθ，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．θπ-23 B ．θπ+2C ．2πθ-D ．θB 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．10)2(y x -的展开式中，含46y x 项的系数 .14．抛物线2ax y =的准线方程是1=y ，则a 的值为 .15．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，21,632==S a 则公比=q . 16．关于正四棱锥ABCD P -，给出下列命题：○1异面直线PA 与BD 所成的角为直角； ○2侧面为锐角三角形； ○3侧面与底面所成的二面角大于侧棱与底面所成的角； ○4相邻两侧面所成的二面角为钝角。

2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题-数学（五）(数学)1. 已知，则( )A. B. C. D.2. 已知集合，，，则A. B. C. D.3.已知，，设命题，命题，则p是q的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若，则( )A. B. C. D.5. 科研团队对某型号投篮机器人进行投篮试验，假设机器人每次投篮的命中率相同，且两次投篮试验中至少投中一次的概率为若机器人进行5次投篮试验，则投中次数的期望为( )A. B. 3 C. D. 46.已知数列的前n项和为，，则A. 132B. 134C. 136D. 1387. 某中学开展劳动实习，学生需要将半径为4的实心木球加工成由同底的圆锥和圆柱组成的陀螺半成品，圆锥的顶点在球面上，如图所示.若圆锥与圆柱的体积之比为，则陀螺半成品的底面积的最大值为( )A. B. C. D.8. 函数的零点个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 39. 空气质量指数简称是能够对空气质量进行定量描述的数据，污染物监测为6项：二氧化硫、二氧化氮、PM10、、一氧化碳和臭氧，AQI将这6项污染物用统一的评价标准呈现，AQI越小代表空气质量越好．甲、乙两地在9次空气质量监测中的AQI数据如图所示，则( )A. 甲地的AQI的平均值大于乙地B. 甲地的AQI的方差大于乙地C. 甲地的AQI的中位数大于乙地D. 甲地的空气质量好于乙地10. 已知函数，，则( )A. 与的图象有公共点B. 与的图象关于y轴对称C. 将的图象向左平移个单位长度得到的图象D. 与在区间上单调性相反11. 已知椭圆C：的右顶点为A，上顶点为B，P为C上一点．若的面积为，则点P可能位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限12. 已知，则A. 的最大值为1B. 的最小值为C. 的最大值为D. 的最小值为13. 若双曲线C的两个顶点是以两个焦点为端点的线段的三等分点，则C的一个标准方程为__________.14. 若展开式中项的系数为80，则__________.15. 如图，在等腰直角中，，，D为AC的中点，将线段AC绕点D旋转得到线段设M为边AB上的点，则的最小值为__________.16. 在直角梯形ABCD中，，，，P为四边形ABCD所在平面外一点，且，，设M为PD的中点，则CM的值为__________.17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足求若，，求的周长.18. 已知数列的前n项和为，，数列为等差数列，且，求的通项公式；若对任意的N，都有，证明：19. 光伏发电是利用半导体界面的光生伏特效应而将光能直接转变为电能的一种技术，具有充分的清洁性、绝对的安全性，相对的广泛性、资源的充足性及潜在的经济性等优点，但同时受到四季、昼夜以及阴晴等气象条件的影响．某西部城市统计了从3月份以来连续6个月的光伏发电量单位：万千瓦时如表所示：月份x345678发电量万千瓦时172019242526从前4个月中随机选择2个月，求这2个月的光伏发电量均不低于20万千瓦时的概率；由数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系．根据表中前4组数据，求y关于x的线性回归方程；根据所求的线性回归方程计算7，8月发电量的预测值，并与当月发电量的真实值y进行比较．若满足，则可用此回归方程预测以后的发电量，并预测9月的发电量；若不满足，请说明理由．参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，20. 如图，四棱锥的底面是矩形，证明：若，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值的取值范围.21. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，过点A作C 的切线l，过点A作垂直于l的直线交y轴于点求t的取值范围;设直线AH与C的另一个交点为D，BH与C的另一个交点为E，证明：22. 已知函数当时，证明：；若存在极小值点，求的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查复数的四则运算以及共轭复数，复数的模，属于基础题.先由复数的四则运算化简复数z，得，再求即可.【解答】解：因为，所以，所以，则故选：2.【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的表示方法，考查集合间的关系.由题意化简B、C，即可解答.【解答】解：由题意知，，故故选：3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件，必要条件的判断，涉及基本不等式，属于基础题.利用基本不等式，可推出“\(p⇒q\)”，取特殊值可得到“\(q⇏p\)”，从而得到答案.【解答】解：，若，则，所以p是q的充分条件，若\(x=0.81\)，\(y=0.25\)，则\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=1.4\leqslant\sqrt{2}\)，而\(x+y=1.06>1\)，所以\(q⇏p\)，故p是q的充分不必要条件.故选4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦公式，属于基础题.利用同角三角函数中的平方关系，完成弦与切的互化，进而得出结论．【解答】解：由，得，故选：5.【答案】B【解析】【分析】本题考查n次独立重复试验与二项分布，考查离散型随机变量的期望，属于基础题.先求出p，再利用二项分布的期望即可求解.【解答】解：设机器人投篮命中的概率为p，在两次投篮中投中的次数为X，则，则，解得，则在5次投篮试验中，投中次数的期望为6.【答案】D【解析】【分析】本题考查递推公式的应用，考查数列分组求和，属于中档题.由数列的递推公式，得，再求和得出答案．【解答】解：因为，所以，所以，所以7.【答案】B【解析】【分析】本题考查圆锥与圆柱的体积公式，考查直观想象的核心素养，属于中档题．若使陀螺半成品的底面积最大，则圆锥的顶点和圆柱底面圆均在球面上，作出轴截面，结合圆锥与圆柱的体积公式，即可得结果．【解答】解：若使陀螺半成品的底面积最大，则圆锥的顶点和圆柱底面圆均在球面上，此陀螺半成品的轴截面如图，球心O即为长方形ABCD对角线的交点，由圆锥与圆柱的体积之比为，得圆锥与圆柱的高之比为，则，由，得，故为等边三角形，则，故底面积的最大值故选：8.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了函数零点个数求解，属于基础题.利用对数的运算和函数的零点求解即可.【解答】解：由题知的定义域为，因为，所以令，得，所以，所以或，所以或，所以的零点个数为9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查折线统计图和样本的数据特征，属于基础题.利用已知图表对选项逐个判断即可.【解答】解：由题图可知，甲地AQI除第2次低于乙地外，其他8次均高于乙地，所以甲地的AQI的平均值不会小于乙地的平均值，A选项正确;甲地的AQI没有乙地的波动大，所以甲地的AQI数据更为稳定，则甲地的AQI的方差小于乙地的方差，B选项错误;甲地的AQI的中位数位于50到60之间，乙地的AQI的中位数位于40到50之间，甲地的AQI的中位数大于乙地的中位数，C选项正确;因为AQI越小代表空气质量越好，所以乙地的空气质量好于甲地的空气质量，D选项错误.故选：10.【答案】ABD【解析】【分析】本题主要考查三角函数的性质，函数的对称性，单调性以及函数图像的平移.对于A：取，可得出函数与有公共点，进而判断选项A；对于B：根据函数对称性来判断选项B；对于C：根据函数平移法则可判断选项C；对于D：根据函数单调性可判断选项【解答】解：对于A：因为，所以与的图象均经过点，故A选项正确;对于B：，故与的图象关于y轴对称，故B选项正确;对于C：的图象向左平移个单位长度得到的函数解析式为：，故C选项不正确;对于D：令，，得：，，令，得：函数在区间上单调递增，同理可得函数在区间上单调递减，故与在区间上单调性不同，故D选项正确.，故选：11.【答案】ABD【解析】【分析】本题主要考查椭圆的性质，属于中档题.先求出三角形面积的表达式，进而解出m的可能取值，进而分析这个公共点所在的象限.【解答】解：由得，，，则直线AB的方程为，设经过点P且与AB平行的直线l的方程为，则直线AB与l的距离，的面积，所以，解得或，当时，由得，解得，此时l与椭圆有一个公共点位于第一象限；当时，因为，所以公共点位于第二象限、第四象限.故答案选：12.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题.转化为利用基本不等式求最值进行求解即可.【解答】解：，当且仅当时取等号，A 选项正确；，则，当且仅当时取等号，故B错误；当a，b，c同号时，，则，当且仅当时取等号，故C正确；当a，c同号，b与a，c异号时，则当且仅当时取取等号，D选项正确.故选：13.【答案】【解析】【分析】本题考查双曲线的标准方程，属于基础题.根据题意，得到，进而求得标准方程.【解答】解：设C的方程为，设焦距为由题意，，则，即，不妨设则则C的一个标准方程为14.【答案】2【解析】【分析】本题考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题.利用二项展开式的通项公式进行求解即可.【解答】解：展开式的通项公式为，由可得，则由题意可得，解得故答案为：15.【答案】【解析】【分析】本题考查向量的数量积，属于中档题.先判断四边形AECF为矩形，得，设，再利用数量积的运算性质得，利用二次函数的性质即可求解.【解答】解：连接AF，FC，CE，EA，因为，D为AC，EF的中点，所以四边形AECF为矩形，则，，设，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为16.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了空间几何体中线段长度的求法，涉及余弦定理，属于中档题.取AD的中点N，连接MN，CN，利用三角形中位线定理、勾股定理等知识计算MN，NC的长，并且得到，在中，利用余弦定理计算CM的长即可.【解答】解：由题意可知，，，取AD的中点N，连接MN，CN，如图，在中，因为，，所以，在直角梯形ABCD中，因为，，所以四边形ANCB为平行四边形，所以，，所以在中，由余弦定理可得，故故答案为：17.【答案】解：因为，所以由正弦定理得，而，因此，所以，即因为C为三角形内角，所以，因此，即，所以因为，所以由正弦定理得①.又因为，，所以由余弦定理得②，因此由①②解得，，所以的周长为【解析】本题考查了两角和与差的三角函数公式，正弦定理和余弦定理，属于中档题.利用正弦定理，结合题目条件得，再利用两角和的正弦函数公式，计算得结论;利用正弦定理，结合题目条件得，再利用余弦定理得余弦定理得，解得，，从而得结论.18.【答案】解：因为数列的前n项和，当时，，当时，，满足，所以，则，设等差数列的公差为d，则，，即，所以证明：，对任意的，，即因为对任意的，都有，所以，，所以【解析】本题考查数列的递推关系式及等差数列的通项公式，以及数列的函数特征，属于中档题.先由与的关系得出，再由等差数列的通项公式得出由得出，由得出的取值范围即可得出.19.【答案】解：设“从前4个月中随机选择2个月，这2个月的光伏发电量均不低于20万千瓦时”为事件A，从前4个月中随机选择2个月的基本事件有：3月和4月，3月和5月，3月和6月，4月和5月，4月和6月，5月和6月，共6个基本事件.其中事件A包括1个基本事件，所以，，，，则所以所求线性回归方程为当时，，当时，，故可用此回归方程预测以后的发电量，当时，，所以9月的发电量预计为29万千瓦时.【解析】本题考查古典概型和回归直线方程及其应用，属于中档题.利用古典概型的概率公式即可求解;求出回归直线方程的系数，得所求线性回归方程为；分别令、和，即可求出预测值.20.【答案】证明：因为四边形ABCD为矩形，所以，因为所以，又，AB，平面PAB，所以平面PAB，又因为平面PAB，所以，同理，，又，平面ABCD，所以平面ABCD，因为平面ABCD，所以解：如图，以A为坐标原点，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.设则，则则设平面PCD的一个法向量为，则有，得令可得所以设直线PB与平面PCD所成角为，，因为，所以所以在上单调递增，所以当时，当时，所以即直线PB与平面PCD所成角的正弦值的取值范围为【解析】本题考查了线面垂直的判定与性质及利用空间向量求线面角，属于中档题.利用已知条件证明平面ABCD，再利用线面垂直的性质即可求解.利用空间向量求线面角，再利用边长的范围确定正弦值的范围.21.【答案】解：由，得，设，则切线l的斜率，即直线AH的斜率，故直线AH的方程为，整理得当时，点H的纵坐标，因为，所以，故t的取值范围是证明：设，，，由题意得直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为，联立整理得，，，即设直线AD的方程为，联立整理得，，，即同理可得，即则，故【解析】本题考查导数的几何意义，考查直线与抛物线的位置关系，属于较难题.利用导数的几何意义求出直线AH的方程，进而求出t的范围；设，，，由题意得直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为，分别求出，，，进而得到，即可证明结论.22.【答案】证明：，由，得，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，故解：由可知当时，无极小值.当时，令，解得或①若，则，当x变化时，，的变化情况如下表：x-+-单调递减单调递增单调递减故在处取极小值，则②若，即时，在R上恒成立，所以单调递减，无极值.③若，则，当x变化时，，的变化情况如下表：x-+-单调递减单调递增单调递减故在处取极小值.则令，设，则，令，得或舍去当时，，单调递增;当时，，单调递减;所以所以，当且仅当时取等号，综上，的最大值为【解析】本题考查了利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数的极值、最值，属于较难题.，由，得，，再利用单调性求得的最大值，即可证明；由可知当时，无极小值.当时，令，解得或，讨论两根的大小，结合单调性求得极小值点，进而可得的最大值.。

2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。

高考数学模拟试卷复习试题高考模拟考试数学（理科）注意事项：1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

2． 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3． 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i+25（ i 是虚数单位）的共轭复数是 A ．i -2B ．i +2C ．i +-2D ．i --22．等比数列{}n a 的前n （*N n ∈）项和为n S ，若11=S ，32=S ，则=3SA ．7B ．8C ．9D ．103．已知向量)0 , 3 , 2(--=t a ，)2 , , 1(-=t b ，R t ∈，则||b a +的最小值是 A ．5B ．4C ．3D ．24．若)cos()sin()(ϕωϕω+++=x x x f （0>ω）的最小正周期为π，2)0(=f ，则A ．)(x f 在)4 , 4(ππ-单调递增B ．)(x f 在)4, 4(ππ-单调递减C ．)(x f 在)2, 0(π单调递增D ．)(x f 在2, 0(π单调递减5是圆，若该几何体的表面积π=S ，则它的体积=V A ．πB ．3πC ．9πD ．27π6．某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布) , 100(2σN ，已知40.0)10080(=≤<ξP ，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取A ．5份B ．10份C ．15份D ．20份 7．执行如图2所示的程序框图，输出S 的值是3D ．3-8．若83)1(xa x +的展开式中常数项为1，则实数=a A ．72-B ．7C ．72±D ．7±9．如果某射手每次射击击中目标的概率为7.0，每次射击的结果相互独立，那么他在15次射击中，最有可能击中目标的次数是A ．10B ．11C ．10或11D ．1210．在平面直角坐标系xOy 中，P 是由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--≥04040y x y x x 所确定的平面区域内的动点，Q 是圆0308822=+--+y x y x 上的动点，则||PQ 的最小值为A ．22B ．2C ．22D ．122- 11．函数)(x f （0>x ）的导函数为)(/x f ，若xe xf x xf =+)()(/，且e f =)1(，则 A ．)(x f 的最小值为e B ．)(x f 的最大值为e C ．)(x f 的最小值为e 1D ．)(xf 的最大值为e1 12．过双曲线12222=-by a x （0>a ，0>b ）的一个焦点F 作平行于渐近线的两直线，与双曲线分别交于A 、B 两点，若a AB 2||=，则双曲线离心率e 的值所在区间是A ．)2 , 1(B ．)3 , 2(C ．)2 , 3(D ．)5 , 2(第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2021年汤阴一中高三数学理科第五次模拟考试卷第I 局部(选择题)一. 选择题(每一小题5分,一共60分)1. 假如命题“⌝〔p 或者q 〕〞为假命题，那么:〔A 〕p ，q 均为真命题 〔B 〕p ，q 均为假命题〔C 〕p ，q 中至少有一个为真命题 〔D 〕p ，q 中至多有一个为真命题2.n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，51013S S =，那么1020S S =A ．19B ．18C ．310D ．133. 设⎩⎨⎧>≤+=0,0,3)(x e x m x x f x，假设)(lim 0x f x →存在，那么常数m 的值是:A ．0B ．－1C ．1D ．e4. 当,x y 满足条件020x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩(k 为常数)时,能使3Z x y =+的最大值为12的k 的值:A.9-B.9C.12-),0(x π∈ 时, 函数xsin xsin 3x 2cos 1)x (f 2++=的最小值为 :A. 22B. 3C. 32D. 4 6. 正四面体的四个外表上分别写有数字1,2,3,4.将3个这样均匀的四面体同时投掷于桌面上,与桌面接触的三个面上的数字的乘积能被3整除的概率为:A .641 B . 6413 C. 6437 D . 64617. 把函数y=2x 2－4x ＋5的图像按向量→a 平移得到y=2x 2的图像，且→a →⊥b ,→c =(－1,1),→b →•c =4,那么→b =A ．〔－1，－3〕B ．〔―3，―1〕C ．〔 1，―3〕D ．〔―3，1〕8. 二面角l αβ--的平面角为1200,在α内AB ⊥l 于点B ，AB =2 , 在β内CD ⊥l 于点D ，CD = 3 , 且BD = 1 ，假设M 为 l 上的一动点，那么AM+ CM 的最小值是: 52656 9. 函数()sin f x x x =⋅，假设A 、B 是锐角三角形两个内角，那么:.A (sin )(sin )f A f B ->- .B (cos )(cos )f A f B > .C (cos )(sin )f A f B ->- .D (cos )(sin )f A f B <10. 设点A 为圆22(1)1x y -+=上的动点，PA 是圆的切线，且||1PA =，那么P 点的轨迹方程为 : A ．22y x = B ．22(1)4x y -+= C ．22y x =- D ．22(1)2x y -+= y(m 2)与时间是t 〔月〕的关系：y=a t,有以下表达： ①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m 2; ③浮萍从4m 2蔓延到12m 2需要经过个月； ④浮萍每月增加的面积都相等；⑤假设浮萍蔓延到2m 2，3m 2,6m 2所经过的时间是分 别为t 1,t 2,t 3,那么t 1+t 2=t 3.其中正确的选项是:A ．①②B ．①②③④C ．②③④⑤D ．①②⑤2222:by a x M +=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 21PF PF 的最大值的取值范围是[2c 2, 3c 2]，其中22b a c -=. 那么椭圆M 的离心率e 的取值范围是:A.]22,33[B. )1,22[C. )1,33[ D.)1,21[第II 局部(非选择题)二. 填空题(每一小题4分,一共16分) 13. 设复数Z=iia ++12+(3－i )，假设Z 为纯虚数，那么实数a = . 14. 一烷烃起始物的分子构造式是,将其中的所有氢原子用甲基取代得到:,再将其中的12个氢原子全部用甲基代换,如此循环以致无穷,球形烷烃分子由小到大成一系列,那么在这个系列中,由小到大第n 个分子中含有的碳原子的个数是_______.15. 现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取2张，ξ表示所得金额，那么ξE =___________.16. 空间四边形ABCD 的四条边的长均相等，且AD AB ⊥，CD BC ⊥，二面角C BD A --为直二面角，那么以下判断：①BD AC ⊥；②ADC ∆是正三角形；③AB 与CD 成︒60角；④⊥AB 平面BCD 。

高考数学高三模拟考试试卷压轴题高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=1+i，则的值等于（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣12．设全集U={0，1，2}，A={x|x2+ax+b=0}，若∁UA={0，1}，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣43．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入的n=3，则输出的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．94．Sn是等比数列{an}的前n项和，若S2，S4，S3成等差数列，则数列{an}的公比q等于（）A．B．2 C．﹣2 D．5．已知双曲线的离心率为，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则该双曲线的方程可以是（）A．x2﹣=1 B．x2﹣=1 C． =1 D． =16．设x，y满足条件且z=x+y+a（a为常数）的最小值为4，则实数a的值为（）A．B．2 C．4 D．57．现有A，B两个箱子，A箱装有红球和白球共6，B箱装有红球4个、白球1个、黄球1个．现甲从A箱中任取2个球，乙从B箱中任取1个球．若取出的3个球恰有两球颜色相同，则甲获胜，否则乙获胜．为了保证公平性，A箱中的红球个数应为（）A．2 B．3 C．4 D．58．已知命题p：y=sin（x﹣）在（0，π）上是减函数；命题q：“a=”是“直线x=为曲线f（x）=sinx+acosx的一条对称轴”的充要条件．则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q9．在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，0，0），（2，1，1），（0，1，1）．若画该四面体三视图时，正视图以zOy平面为投影面，则得到的侧视图是（）A．B．C．D．10．过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为45°的直线交C于A，B两点，若以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16，则p的值为（）A．8 B．8C．12 D．1611．已知四面体ABCD的一条棱长为a，其余各棱长均为2，且所有顶点都在表面积为20π的球面上，则a的值等于（）A．3B．2C．3D．312．已知点A（1，1），点P在曲线f（x）=x3﹣3x2+3x（0≤x≤2）上，点Q在直线y=3x ﹣14上，M为线段PQ的中点，则|AM|的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知△ABC为等边三角形，在方向上的投影为2， =3，则=______．14．（1+2x）（x+）5展开式中x的系数为______．15．已知函数f（x）=若函数g（x）=f（x）﹣x恰有两个零点，则实数a的取值范围是______．16．若数列{an}满足++…+=﹣，且对任意的n∈N*，存在m∈N*，使得不等式an≤am恒成立，则m的值是______．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．（Ⅰ）求∠ABC；（Ⅱ）若∠A=，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．18．某职业学校有2000名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如图：（Ⅰ）试估计该校学生在校月消费的平均数；（Ⅱ）根据校服务部以往的经验，每个学生在校的月消费金额x（元）和服务部可获得利润y（元），满足关系式：根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：（ⅰ）对于任意一个学生，校服务部可获得的利润记为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（ⅱ）若校服务部计划每月预留月利润的，用于资助在校月消费低于400元的学生，那么受资助的学生每人每月可获得多少元？19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PA=3，AD=4，AC=2，∠ADC=60°，E为线段PC上一点，且=λ．（Ⅰ）求证：CD⊥AE；（Ⅱ）若平面PAB⊥平面PAD，直线AE与平面PBC所成的角的正弦值为，求λ的值．20．已知点F（1，0），点P在圆E：（x+1）2+y2=16上，线段PF的垂直平分线交PE于点M．记点M的轨迹为曲线Γ．过x轴上的定点Q（m，0）（m＞2）的直线l交曲线Γ于A，B两点．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）设点A关于x轴的对称点为A′，证明：直线A′B恒过一个定点S，且|OS|•|OQ|=4．21．已知函数f（x）=﹣+（a﹣1）x+lnx．（Ⅰ）若a＞﹣1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＞1，求证：（2a﹣1）f（x）＜3ea﹣3．四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．[选修41：几何证明选讲]22．如图，已知⊙A和⊙B的公共弦CD与AB相交于点E，CB与⊙A相切，⊙B半径为2，AE=3．（Ⅰ）求弦CD的长；（Ⅱ）⊙B与线段AB相交于点F，延长CF与⊙A相交于点G，求CG的长．[选修44：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若点A，B为曲线C上的两点，且OA⊥OB，求|OA|•|OB|的最小值．[选修45：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≤x的解集；（Ⅱ）当x≤﹣时，不等式f（x）+t2+2t+3≥0对任意t∈R恒成立，求实数a的取值范围．市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=1+i，则的值等于（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把z=1+i代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵数z=1+i，∴=，故选：A．2．设全集U={0，1，2}，A={x|x2+ax+b=0}，若∁UA={0，1}，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【考点】补集及其运算．【分析】根据补集关系确定方程有两个相等的实根2，进行求解即可．【解答】解：∵∁UA={0，1}，∴A={2}，即方程x2+ax+b=0有两个相等的实根2，则﹣=2，即a=﹣4，故选：D．3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入的n=3，则输出的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算变量n的值，满足条件时退出循环，输出相应的i的值，模拟程序的运行过程，可得答案；【解答】解：模拟执行程序，可得n=3，i=0不满足条件n是偶数，n=10，i=1不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=5，i=2不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是偶数，n=16，i=3不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=8，i=4不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=4，i=5不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=2，i=6不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=1，i=7满足条件n=1，退出循环，输出i的值为7．故选：B，4．Sn是等比数列{an}的前n项和，若S2，S4，S3成等差数列，则数列{an}的公比q等于（）A．B．2 C．﹣2 D．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式、前n项和公式即可得出．【解答】解：∵S2，S4，S3成等差数列，∴2S4=S3+S2，∴2a1（1+q+q2+q3）=a1（2+2q+q2），化为：1+2q=0，解得q=﹣．故选：D．5．已知双曲线的离心率为，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则该双曲线的方程可以是（）A．x2﹣=1 B．x2﹣=1 C． =1 D． =1【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据一个焦点到一条渐近线的距离为2，离心率的值，建立方程关系求出a，b的值即可得到结论．【解答】解：设双曲线的一个焦点为F（c，0），双曲线的一条渐近线为y=，取bx﹣ay=0，所以焦点到渐近线的距离d==2，∵离心率e==，∴c=，则c2=a2+b2，即3a2=a2+4，即2a2=4，则a2=2，则该双曲线的方程可以是=1，故选：C．6．设x，y满足条件且z=x+y+a（a为常数）的最小值为4，则实数a的值为（）A．B．2 C．4 D．5【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y+a为y=﹣x+z﹣a，由图可知，当直线y=﹣x+z﹣a过点A（2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2+0+a=4，即a=2．故选：B．7．现有A，B两个箱子，A箱装有红球和白球共6，B箱装有红球4个、白球1个、黄球1个．现甲从A箱中任取2个球，乙从B箱中任取1个球．若取出的3个球恰有两球颜色相同，则甲获胜，否则乙获胜．为了保证公平性，A箱中的红球个数应为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】概率的意义．【分析】取出的3个球中有两个颜色相同包括：从A箱取出2个红球从B箱中取出的是白球或黄球；从A箱取出的是白球从B箱中取出红球或黄球；从A箱中取出一个红球一个白球从B箱中取出是黄球，这个事件的概率是．【解答】解：设A箱中有x个红球，则有（6﹣x）个白球，从6个球任取2个共有C62=15种，取出的3个球中有两个颜色相同包括：从A箱取出2个红球从B箱中取出的是白球或黄球，其概率为××2，从A箱取出的是白球从B箱中取出红球或黄球，其概率为×（+），从A箱中取出一个红球一个白球从B箱中取出是黄球，期概率为×（+），故××2+×（+）+×（+）=，解得x=5，故答案为：5．8．已知命题p：y=sin（x﹣）在（0，π）上是减函数；命题q：“a=”是“直线x=为曲线f（x）=sinx+acosx的一条对称轴”的充要条件．则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：∵0＜x＜π，∴﹣＜x﹣＜，∴y=sin（x﹣）在（0，π）上是增函数，命题p是假命题；若a=，则f（x）=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+），对称轴x+=kπ+，∴x=kπ+，是充分条件，若直线x=为曲线f（x）=sinx+acosx的一条对称轴，则f（﹣x）=f（+x）当x=即f（0）=f（）∴f （0）=a=f（）=+，解得a=，故命题q是真命题；则命题￢p∧q是真命题，故选：C．9．在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，0，0），（2，1，1），（0，1，1）．若画该四面体三视图时，正视图以zOy平面为投影面，则得到的侧视图是（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由题意，利用空间直角坐标系，借助于正方体在坐标系中画出几何体，再画出它的侧视图．【解答】解：由题意，画出直角坐标系，在坐标系中各点对应位置如图①所示；以平面zOy为投影面，得到的侧视图如图②所示：故选：C．10．过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为45°的直线交C于A，B两点，若以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16，则p的值为（）A．8 B．8C．12 D．16【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点，设出直线AB的方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理和抛物线的定义，根据以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16，即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=2px的焦点F为（，0），设直线AB的方程为y﹣0=x﹣，即为y=x﹣，代入抛物线的方程，可得x2﹣3px+=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=3p，x1x2=，∴y1+y2=2p由抛物线的定义可得，|AB|=x1+x2+p=4p．∵以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16，∴4p2=（8）2+p2，∴p=8故选：A．11．已知四面体ABCD的一条棱长为a，其余各棱长均为2，且所有顶点都在表面积为20π的球面上，则a的值等于（）A．3B．2C．3D．3【考点】球内接多面体．【分析】由题意画出几何体的图形，推出四面体的外接球的球心的位置，利用球的半径建立方程，即可求出a的值．【解答】解：表面积为20π的球的半径为．画出几何体的图形，BC=a，BC的中点为O，连接AO，DO，则AO⊥BC，DO⊥BC，∴BC⊥平面AOD，取AD的中点E，则OE⊥AD，球的球心在AD的中点E与O的连线上，设球心为G，∵OA=OD=，AD=2，∴OE=设球的半径为R，GE=x，则R2=5=3+x2=+（﹣x）2，∴x=，a=3故选：C．．12．已知点A（1，1），点P在曲线f（x）=x3﹣3x2+3x（0≤x≤2）上，点Q在直线y=3x ﹣14上，M为线段PQ的中点，则|AM|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出f（x）的导数，令导数为3，求得切线的方程，以及中点M所在直线的方程，运用点到直线的距离公式求出A到它们的距离，即可得到最小值．【解答】解：f（x）=x3﹣3x2+3x的导数为f′（x）=3x2﹣6x+3，令f′（x）=3，解得x=0或2，可得与直线y=3x﹣14平行，且与y=f（x）图象相切的直线为y=3x或y=3x﹣4，可得中点M所在直线的方程为y=3x﹣7或y=3x﹣9，由图象可得A到直线y=3x﹣7的距离为=，A到直线y=3x﹣9的距离为=．即有|AM|的最小值为，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知△ABC为等边三角形，在方向上的投影为2， =3，则=4．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先由，在方向上的投影为2，求出三角形的边长为4，再根据=（）即可求出答案．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，在方向上的投影为2，∴||=2，∴AB=AC=BC=4，∴=（）=（﹣）•=||2﹣•=×42﹣4×4×=4，故答案为：414．（1+2x）（x+）5展开式中x的系数为40．【考点】二项式系数的性质．【分析】展开式的x项来源于第一个括号的1和m=（x+）5展开式的x项的乘积或第一个括号的2x和m=（x+）5展开式的常数项的乘积，分别由m的展开式可得．【解答】解：展开式的x项来源于第一个括号的1和m=（x+）5展开式的x项的乘积或第一个括号的2x和m=（x+）5展开式的常数项的乘积，又m=（x+）5的通项为Tk+1=x5﹣k（）k=2k•x5﹣2k，令5﹣2k=1可得k=2，故m展开式中含x的项为40x，令5﹣2k=0可得k=∉Z，故m展开式中无常数项，∴原式展开式中x的系数为40，故答案为：40．15．已知函数f（x）=若函数g（x）=f（x）﹣x恰有两个零点，则实数a的取值范围是．【考点】函数的图象；函数零点的判定定理．【分析】画出函数f（x）=的图象，若函数g（x）=f（x）﹣x恰有两个零点，则函数f（x）的图象与函数y=x的图象有且只有两个交点，数形结合可得答案．【解答】解：函数f（x）=的图象如下图所示：当x＞0时，函数f（x）的图象与函数y=x的图象有且只有一个交点，即函数g（x）=f（x）﹣x恰有一个零点，故x≤0时，函数g（x）=f（x）﹣x也恰有一个零点，即x≤0时，函数f（x）的图象与函数y=x的图象有且只有一个交点，故a＞0，y=x与y=﹣x2+a相切，解得：a=﹣，故实数a的取值范围是：，故答案为：16．若数列{an}满足++…+=﹣，且对任意的n∈N*，存在m∈N*，使得不等式an≤am恒成立，则m的值是5．【考点】数列与不等式的综合．【分析】通过作差可知数列{an}的通项公式，计算出数列的前几项即可判断出数列的变化规律，进而即得结论．【解答】解：∵++…+=﹣，∴当n≥2时， ++…+=﹣，两式相减得： =﹣=，∴an=（2n﹣1）•（n≥2），又∵=﹣=﹣不满足上式，∴an=，∵a2=，a3=，a4=，a5=，a6=，且易知从第六项开始数列递减，∴m=5，故答案为：5．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．（Ⅰ）求∠ABC；（Ⅱ）若∠A=，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得cosBsinC=sinBsinC，结合sinC≠0，可求tanB=1，结合范围B∈（0，π），即可求得B的值．（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD，由已知及（Ⅰ）可知，利用三角形面积公式可求S△ABC，S△BDC，从而可求，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a=b（sinC+cosC），∴sinA=sinB（sinC+cosC），…∴sin（π﹣B﹣C）=sinB（sinC+cosC），∴sin（B+C）=sinB（sinC+cosC），…∴sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC，…∴cosBsinC=sinBsinC，又∵C∈（0，π），故sinC≠0，…∴cosB=sinB，即tanB=1．…又∵B∈（0，π），∴．…（Ⅱ）在△BCD中，DB=2，DC=1，∴BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD．…又，由（Ⅰ）可知，∴△ABC为等腰直角三角形，…∴，…又∵，…∴．…∴当时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为．…18．某职业学校有2000名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如图：（Ⅰ）试估计该校学生在校月消费的平均数；（Ⅱ）根据校服务部以往的经验，每个学生在校的月消费金额x（元）和服务部可获得利润y（元），满足关系式：根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：（ⅰ）对于任意一个学生，校服务部可获得的利润记为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（ⅱ）若校服务部计划每月预留月利润的，用于资助在校月消费低于400元的学生，那么受资助的学生每人每月可获得多少元？【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图能求出学生月消费的平均数．（Ⅱ）（ⅰ）月消费值落入区间[200，400）、[400，800）、[800，1200]的频率分别为0.05、0.80、0.15，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．（ii）先求出服务部的月利润，再求出受助学生人数，由此能求出每个受助学生每月可获得多少元．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得学生月消费的平均数：…=680…（Ⅱ）（ⅰ）月消费值落入区间[200，400）、[400，800）、[800，1200]的频率分别为0.05、0.80、0.15，∴P（ξ=20）=0.05，P（ξ=40）=0.80，P（ξ=80）=0.15，∴ξ的分布列为：ξ 20 40 80P 0.05 0.80 0.15Eξ=20×0.05+40×0.80+80×0.15=45．（ii）服务部的月利润为45×2000=90000（元），受助学生人数为2000×0.05=100，每个受助学生每月可获得90000×÷100=200（元）．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PA=3，AD=4，AC=2，∠ADC=60°，E为线段PC上一点，且=λ．（Ⅰ）求证：CD⊥AE；（Ⅱ）若平面PAB⊥平面PAD，直线AE与平面PBC所成的角的正弦值为，求λ的值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）由PA⊥平面ABCD得出PA⊥CD，在△ACD中使用正弦定理可得∠ACD=90°，故而CD⊥平面PAC，于是CD⊥AE；（II）由面面垂直可得AB⊥AD，以A为原点建立空间直角坐标系，求出和平面PBC的法向量，则|cos＜＞|=，列方程解出λ即可．【解答】证明：（Ⅰ）在△ADC中，AD=4，，∠ADC=60°，由正弦定理得：，即，解得sin∠ACD=1，∴∠ACD=90°，即DC⊥AC．∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴DC⊥PA．又AC∩PA=A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC．∵AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE．（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD．∴∠BAD即为二面角B﹣PA﹣D的平面角．∵平面PAB⊥平面PAD，∴∠BAD=90°．以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，． =（，3，﹣3）. =（0，0，3）．∴=（，3λ，﹣3λ），∴==（，3λ，3﹣3λ）．设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，∴，令，得=（，0，1）．设直线AE与平面PBC所成的角为θ，则，∴或．20．已知点F（1，0），点P在圆E：（x+1）2+y2=16上，线段PF的垂直平分线交PE于点M．记点M的轨迹为曲线Γ．过x轴上的定点Q（m，0）（m＞2）的直线l交曲线Γ于A，B两点．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）设点A关于x轴的对称点为A′，证明：直线A′B恒过一个定点S，且|OS|•|OQ|=4．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（I）利用垂直平分线的性质、椭圆的定义即可得出．（Ⅱ）由椭圆的对称性可得，定点S必在x轴上．设直线l的方程为y=k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），直线A'B与x轴的交点为S（s，0）则A'（x1，﹣y1），直线方程与椭圆方程联立可得：（3+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣12=0，利用根与系数的关系，及其A'，B，S三点共线，进而得出．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，|MP|=|MF|，∴|ME|+|MF|=4，∵|ME|+|MF|＞|EF|，∴点M的轨迹是以点F（1，0）和E（﹣1，0）为焦点，2a=4的椭圆，∴，∴曲线Γ的方程为．（Ⅱ）由椭圆的对称性可得，定点S必在x轴上．设直线l的方程为y=k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），直线A'B与x轴的交点为S（s，0）则A'（x1，﹣y1），∴=（x1﹣s，﹣y1），=（x2﹣s，y2），由得，（3+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣12=0，△＞0，即（4﹣m2）k2+3＞0，∴，当k≠0时，由A'，B，S三点共线，可得（x1﹣s）y2+（x2﹣s）y1=0，即k（x1﹣s）（x2﹣m）+k（x2﹣s）（x1﹣m）=0，2x1x2﹣（s+m）（x1+x2）+2sm=0，∴，∴，∴，即，k=0时，直线A'B与x轴重合，过点．综上述，直线A'B恒过一个定点，且=4．21．已知函数f（x）=﹣+（a﹣1）x+lnx．（Ⅰ）若a＞﹣1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＞1，求证：（2a﹣1）f（x）＜3ea﹣3．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求导，令f′（x）=0，解得x1、x2，再进行分类讨论，利用导数大于0，求得函数的单调增区间；利用导数小于0，求得函数的单调减区间；（Ⅱ）a＞1，由函数单调性可知，f（x）在x=1取极大值，也为最大值，f（x）max=a﹣1，因此（2a﹣1）f（x）≤（2a﹣1）（a﹣1），构造辅助函数g（a）=，求导，求出g（a）的单调区间及最大值，＜=3，可知g（a）＜3，ea﹣3＞0，即可证明（2a﹣1）f（x）＜3ea﹣3．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=﹣+（a﹣1）x+lnx，x＞0则f′（x）=﹣ax+（a﹣1）+=，令f′（x）=0，解得x1=1，x2=﹣，当﹣＞1，解得﹣1＜a＜0，∴﹣1＜a＜0，f′（x）＞0的解集为（0，1），（﹣，+∞），f′（x）＜0的解集为（1，﹣），∴函数f（x）的单调递增区间为：（0，1），（﹣，+∞），函数f（x）的单调递减区间为（1，﹣）；当﹣＜1，解得a＞0，∴a＞0，f′（x）＞0的解集为（0，1），f′（x）＜0的解集为（1，+∞）；∴当a＞0，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），函数f（x）的单调递减区间为（1，+∞）；综上可知：﹣1＜a＜0，函数f（x）的单调递增区间为：（0，1），（﹣，+∞），函数f （x）的单调递减区间为（1，﹣）；a＞0，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），函数f（x）的单调递减区间为（1，+∞）；（Ⅱ）证明：∵a＞1，故由（Ⅰ）可知函数f（x）的单调递增区间为（0，1）单调递减区间为（1，+∞），∴f（x）在x=1时取最大值，并且也是最大值，即f（x）max=a﹣1，又∵2a﹣1＞0，∴（2a﹣1）f（x）≤（2a﹣1）（a﹣1），设g（a）=，g′（a）=﹣=﹣，∴g（a）的单调增区间为（2，），单调减区间为（，+∞），∴g（a）≤g（）==，∵2＞3，∴＜=3，∴g（a）＜3，ea﹣3＞0，∴（2a﹣1）f（x）＜3ea﹣3．四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．[选修41：几何证明选讲]22．如图，已知⊙A和⊙B的公共弦CD与AB相交于点E，CB与⊙A相切，⊙B半径为2，AE=3．（Ⅰ）求弦CD的长；（Ⅱ）⊙B与线段AB相交于点F，延长CF与⊙A相交于点G，求CG的长．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（Ⅰ）连结CA，由圆的切线的性质、对称性，根据射影定理求出BE，再根据勾股定理，继而得出弦CD的长；（Ⅱ）在△CEF中，求出EF，CF的长，根据勾股定理求出AC，设⊙A与直线AB相交于M，N两点，分别求出AF，MF，NF，根据相交弦定理求得CF•FG，得出FG，继而求得CG的值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结CA，则CA⊥CB，∵由圆的对称性知CD⊥AB，∴由射影定理得：BC2=BE•BA=BE•（BE+EA），∴22=BE•（BE+3），∴BE=1；∴在 Rt△BEC中，，∴．（Ⅱ）在△CEF中，，EF=BF﹣BE=1，∴CF=2，在△ACE中，．设⊙A与直线AB相交于M，N两点，AF=AE﹣EF=3﹣1=2，，∵由相交弦定理得CF•FG=FM•NF=（2+2）•（2﹣2）=8，∴FG=4，∴CG=4+2=6．[选修44：坐标系与参数方程][选修45：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≤x的解集；（Ⅱ）当x≤﹣时，不等式f（x）+t2+2t+3≥0对任意t∈R恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）将a=1代入f（x），通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f（x）的最小值，根据函数恒成立求出a的范围即可．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）≤x化为|2x+1|﹣|x﹣1|≤x，…当，不等式化为2x+2≥0，解得；…当，不等式化为2x≤0，解得；…当x≥1，不等式化为2≤0，无解；…所以f（x）≤x解集为{x|﹣1≤x≤0}．…（2）∵当时f（x）=﹣2x﹣1﹣（a﹣x）=﹣x﹣a﹣1，∴．…∵t2+2t+3=（t+1）2+2≥2，…要使当时f（x）+t2+2t+3≥0对任意t∈R恒成立，则当时f（x）+2≥0恒成立，…∴，又由已知a＞0∴．…23．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若点A，B为曲线C上的两点，且OA⊥OB，求|OA|•|OB|的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C：（α为参数），利用平方关系可得曲线C的普通方程．把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线C的极坐标方程．（2）由对称性，设点A、B的极坐标分别为（ρ1，θ），，其中，代入极坐标方程化简利用三角函数的值域即可得出．【解答】解：（1）曲线C：（α为参数），可得曲线C的普通方程为．∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的极坐标方程为．（2）由对称性，设点A、B的极坐标分别为（ρ1，θ），，其中，则=．当且仅当sin22θ=1即，|OA|•|OB|取到最小值．高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A.30B.20C.15D.102.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A.{﹣1，0，1，2}B.{﹣2，﹣1，0，1}C.{0，1}D.{﹣1，0}3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A.＞B.＜C.＞D.＜5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A.0B.1C.2D.36.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192种B.216种C.240种D.288种7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A.﹣2B.﹣1C.1D.28.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A.[，1]B.[，1]C.[，]D.[，1]9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A.①②③B.②③C.①③D.①②10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A.2B.3C.D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.（5分）复数=.12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=.13.（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）14.（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）.则|PA|•|PB|的最大值是.15.（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B.④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.其中的真命题有.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）.（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值.17.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.18.（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.19.（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）.（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn.20.（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标.21.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A.30B.20C.15D.10【分析】利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数.然后求解即可.【解答】解：（1+x）6展开式中通项Tr+1=C6rxr，令r=2可得，T3=C62x2=15x2，∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15.故选：C.【点评】本题考查二项展开式的通项的简单直接应用.牢记公式是基础，计算准确是关键.2.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A.{﹣1，0，1，2}B.{﹣2，﹣1，0，1}C.{0，1}D.{﹣1，0}【分析】计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得.【解答】解：A={x|﹣1≤x≤2}，B=Z，∴A∩B={﹣1，0，1，2}.故选：A.【点评】本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分.3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度【分析】根据 y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得。

高考模拟试卷理 科 数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，复数21i z =+，z 与z 共轭，则z z ⋅等于（ ） A ．1 B ．2 C ．12 D ．02．已知集合{}21M x x =<，{}2log ,2N y y x x ==>，则下列结论正确的是（ ）A ．M N N =IB ．()M N =∅R I ðC ．M N U =ID ．()M N ⊆R ð 3．某学校为了更好地培养尖子生，使其全面发展，决定由3名教师对5个尖子生进行“包教”，要求每名教师的“包教”学生不超过2人，则不同的“包教”方案有（ ）A ．60B ．90C ．150D ．1204．下列命题中的假命题为（ ）A ．设α、β为两个不同平面，若直线l 在平面α内，则“αβ⊥”是“l β⊥”的必要不充分条件B ．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1102P p ξ-<<=-C ．要得到函数()πcos 23fx x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位长度D ．π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，sin x x <5．阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为0，则判断框中的条件不可能是（ ） A ．2014n ≤ B ．2015n ≤ C ．2016n ≤ D ．2018n ≤ 6．在平面直角坐标系中，若不等式组221210x y x ax y +⎧⎪⎨⎪-+⎩≥≤≤≥（a 为常数）表示的区域面积等于1，则抛物线2y ax =的准线方程为（ ） A ．124y =- B ．124x =- C ．32x =- D ．32y =- 7．函数()20164cos 2016e x y x =-（e 为自然对数的底数）的图像可能是（ ） 8．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则截面所在平面与底面所在平面所成的锐二面角的正切值为（ ） A ．2 B ．2 C ．12 D ．22 此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号9．若11n x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[]0,π和0,4n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内任取两个实数x ，y ，满足sin y x >的概率为（ ）A ．11π- B ．21π- C ．31π- D ．1210．函数()()ln 1e x f x x -=++的单调递增区间为（ ）A ．()1,-+∞B ．()0,+∞C ．()e,+∞D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．若有()7,16λ∈，则在正方形的四条边上，使得PE PF λ⋅=u u u r u u u r 成立的点P 有（ ）个A ．2B ．4C ．6D ．012．已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为1 A 、2 A ，动直线:l y kx m =+与圆221x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为()111,P x y ，()222,P x y ，则21x x -的最小值为（ ）A ．22B ．2C ．4D ．32第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，0n a >，且()136n n n S a a =+，则数列{}n a 的通项公式为________．14．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x （厘米）和体重y （公斤）数据如下表；x 165 160 175 155 170y 58 52 62 43根据上表可得回归直线方程为ˆ0.9296.8y x =-，则表格中空白处的值为________．15．已知点A 是抛物线214y x =的对称轴与准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PF m PA =，则m 的最小值为________． 16．若函数()()()2ln 0f x x x a a =++>与()()21e 02x g x x x =+-<的图象上存在关于y 轴对称的点，则关于x 的方程22ln 20x a x ax +-=解的个数是________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知ABC △的面积为S ，且3AB AC S ⋅=u u u r u u u r ，3AC AB -=u u u r u u u r ． （1）若()()()2cos 0f x x B ωω=+>的图象与直线2y =相邻两个交点间的最短距离为2，且116f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求ABC △的面积S ； （2）求33cos cos S B C +的最大值． 18．（本小题满分12分） 如图：已知平面ABCD ⊥平面BCE ，平面ABE ⊥平面BCE ，AB CD P ，4AB BC ==，2CD =，BEC △为等边三角形，P 是线段CD 上的动点． （1）求证：平面ABE ⊥平面ADE ； （2）求直线AB 与平面APE 所成角的最大值； （3）是否存在点P ，使得AP BD ⊥？请说明理由．19．（本小题满分12分）2016年国家已全面放开“二胎”政策，但考虑到经济问题，很多家庭不打算生育二孩，为了解家庭收入与生育二孩的意愿是否有关，现随机抽查了某四线城市50个一孩家庭，他们中有二孩计划的家庭频数分布如下表：家庭月收入（单位：元）2千以下2千~5千5千~8千8千~1万1万~2万2万以上调查的总人数 5 10 15 10 5 5有二孩计划的家庭数1 2 9 7 3 4（1）由以上统计数据完成如下2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关？说明你的理由．收入不高于8千的家庭数收入高于8千的家庭数合计有二孩计划的家庭数无二孩计划的家庭数合计（2）若二孩的性别与一孩性别相反，则称该家庭为“好字”家庭，设每个有二孩计划的家庭为“好字”家庭的概率为12，且每个家庭是否为“好字”家庭互不影响，设收入在8千~1万的3个有二孩计划家庭中“好字”家庭有X个，求X的分布列及数学期望．下面的临界值表供参考：20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>2，直线y x=被椭圆C截得的线段长为33．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l是圆222:O x y r+=的任意一条切线，l与椭圆C交于A、B两点，若以AB为直径的圆恒过原点，求圆O的方程，并求出AB的取值范围．21．（本小题满分12分）已知()lnf x x x mx=+，且曲线()y f x=在点()()1,1f处的切线斜率为1．（1）求实数m的值；（2）设()()()22ag x f x x x a a=--+∈R在其定义域内有两个不同的极值点1x，2x，且12x x<，已知0λ>，若不等式112e x xλλ+<⋅恒成立，求λ的范围．选做题：请考生在22~23两题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为13232x ty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为23ρθ=．（1）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（2）在圆C上求一点D，使它到直线l的距离最短，并求出点D的直角坐标．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知,,a b c∈R，且1ab bc ac++=．（1）求证：3a b c++≥（2）若x∃∈R使得对一切实数,,a b c不等式()211m x x a b c+-++++≤恒成立，求m的取值范围．答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】1i z =-，1i z =+，()()1i 1i 2z z ⋅=-+=，2z z ∴⋅=．2．【答案】D【解析】{}11M x x =-<<，{}1N y y =>，{}1N y y ∴=R ≤ð，()M N ∴⊆R ð．3．【答案】B【解析】12543C C 90⋅=．4．【答案】D【解析】l l ααββ⊂⎫⇒⊥⎬⊥⎭，反之不成立，故A 为真命题；()0,1N ξQ :，()0P p ξ∴<=，()1112P p ξ-<<=-，从而()1102P p ξ-<<=-，故B为真命题；函数()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位长度得π4g x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭πππππsin 2sin 2cos 243233x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故命题C 为真命题；设()sin f x x x =-，则()1cos 0f x x '=->，()f x ∴单调递增，()()00f x f >=，即sin x x >，故命题D 为假命题．5．【答案】A【解析】前6步的执行结果如下：0,1s n ==；3,2s n ==；0,3s n ==；0,4s n ==；3,5s n ==；0,6s n ==；观察可知，s 的值以3为周期循环出现，所以判断条件为2014n ≤？时，3s =符合题意．6．【答案】D【解析】作可行域：由题知：()2,21A a +，()1,1B a +，11,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,0D ，12112112a a s +++-=⨯=，16a ∴=，抛物线26x y =，即：26x y =，准线方程为：32y =-． 7．【答案】A 【解析】由解析式知函数为偶函数，故排除B 、D ，又()04130f =-=>，故选A ． 8．【答案】B 【解析】如图建立空间直角坐标系， 则()000A ，，，()002E ，，，()024D ，，，()200C ，，，()022DE =--u u u r ，，，()202CE =-u u u r ，，．设平面DEC 的法向量为(),,n x y z =r ，则00n DE n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r ，即：220220y z x z --=⎧⎨-+=⎩，()1,1,1n =-r ，又()002AE =u u u r ，，为平面ABC 的法向量， 设所求二面角为θ，则3cos 323n AE n AE θ⋅===⋅r u u u r r u u u r ，从而tan 2θ= 9．【答案】B 【解析】由题意知，381n =，解得4n =，0πx ∴≤≤，01y ≤≤．作出对应的图象如图所示：则此时对应的面积π1πS=⨯=，满足siny x≤的点构成区域的面积为：ππ10sin cos cosπcos02S xdx x==-=-+=⎰，则满足siny x>的概率为121πS SPS-==-．10．【答案】A【解析】函数定义域为()1,-+∞，()()()e11exxxf xx-+'=+，令()()e1xm x x=-+，()1x>-，则()e1xm x'=-，由()0m x'=，得0x=，则()1,0x∈-时，()0m x'<；()0,x∈+∞时，()0m x'>，所以()m x在()1,0-上是减函数，在()0,+∞上是增函数，所以()()00e10m x m=-=≥，即()f x'≥0，所以()f x在()1,-+∞上是增函数，即()f x的增区间为()1,-+∞．11．【答案】B【解析】若P在AB上，()()[]5,4PE PF PA AE PB BF PA PB AE BF⋅=++=⋅+⋅∈-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r；若P在CD上，()()[]7,16PE PF PD DE PC CF PD PC DE CF⋅=++=⋅+⋅∈u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r；若P在AE上，()[]0,4PE PF PE PA AB BF PE PA PE BF⋅=⋅++=⋅+⋅∈u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r；同理，P在BF上时也有[]0,4PE PF⋅∈u u u r u u u r；若P在DE上，()[]0,16PE PF PE PD DC CF PE PD PE CF⋅=⋅++=⋅+⋅∈u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r；同理，P在CF上时也有[]0,16PE PF⋅∈u u u r u u u r；所以，综上可知当()7,16λ∈时，有且只有4个不同的点P使得PE PFλ⋅=u u u r u u u r成立．12．【答案】A【解析】lQ与圆相切，211mk∴=+，221m k∴=+．由221y kx mx y=+⎧⎨-=⎩，得()()2221210k x mkx m---+=，()()()22222222122104411418011km k k m m kmx xk⎧⎪-≠⎪⎪∴∆=+-+=+-=>⎨⎪+⎪⋅=<⎪-⎩，21k∴<，11k∴-<<，故k的取值范围为()1,1-．由于12221mkx xk+=-，()2211212222222411x x x x x xkk∴-=+-==--，201k<Q≤，∴当20k=时，21x x-取最小值22第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】3na n=【解析】当1n=时，()1111136S a a a==+，解得13a=；当2n≥时，()()1111336n n n n n n na S S a a a a---=-=+-+⎡⎤⎣⎦，整理得()()1130n n n na a a a--+--=．因为0na>，所以130n na a---=，即13n na a--=，所以{}n a是以3为首项，3为公差的等差数列，所以()3313na n n=+-=，即3na n=．14．【答案】60【解析】根据回归直线经过样本中心(),x y可得，表格中空白处的值为60．15．【答案】22 【解析】如图所示，()0,1A -，()0,1F ，过P 作准线的垂线，垂足是H ，由对称性，不妨令P 在第一象限，sin PFPHm PAH PA PA ∴===∠，∴问题等价于求PAH ∠的最小值，而211111114tan 2144x y PAH x x x x x x ++∠===+⋅=≥，当且仅当1124x x x =⇒=时等号成立，所以2sin 2m PAH =∠≥，即：min 22m =．16．【答案】1【解析】若函数()()()2ln 0f x x x a a =++>与()()21e 02x g x x x =+-<图象上存在关于y轴对称的点，则等价为()() g x f x =-，在 0x <时，方程有解， 即()221e ln 2x x x x a +-=+-+，即()1e ln 02x x a ---+=在(),0-∞上有解，令()()1e ln 2x m x x a =---+，则()m x 在其定义域上是增函数，且x →-∞时，()0m x <，0a >Q ，()1e ln 02x x a ∴---+=在(),0-∞上有解可化为：()01e ln 02a -->，即()1ln 2a <，故0e a <<令()22ln 2h x x a x ax =+-，()()22222a h x x a x ax a x x '=+-=-+，240a a -<Q ，()0h x '∴>，()h x 单调递增，0x →时，()h x →-∞，x →+∞时，()h x →+∞．()0h x ∴=有一个解．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 【答案】（1）33ABC S =△；（2）33 【解析】（1）()()()2cos 0f x x B ωω=+>Q 的图象与直线2y =相邻两个交点间的最短距离为 T ， 2T ∴=，即：2π 2ω=，解得 πω=，()()2cos πf x x B =+， 1π2cos 166f B ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即：π1cos 62B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，B Q 是ABC △的内角，π 6B ∴=， 3AB AC S ⋅=u u r u u u r ，设ABC △的三个内角的对边分别为,,a b c ， 31cos sin 22bc A bc A =， tan 3A =π 3A =，从而ABC △是直角三角形， 由已知3AC AB -=u u u r u u u r 得3BC a ==u u u r ，从而3b =13322ABC S ab ==△． （2）由（1）知π 3A =，3a =， 设ABC △的外接圆半径为R ，则23sin 3a R A ===3R = ()1333cos sin 33cos 33cos 2433sin 33cos 33S B C bc A B C B C B C B C B C ∴+=+=+=+=-， 故33cos S B C +的最大值为33 18．（本小题满分12分） 【答案】（1）见解析；（2）π4；（3）不存在． 【解析】（1）Q 平面ABCD I 平面BCE BC =，在平面ABCD 内作AM BC ⊥，则AM ⊥平面BCE ， 同理，在平面ABE 内作AN BE ⊥，则AN ⊥平面BCE ， AM AN ∴P ，即AM ，AN 重合，AB ⊥平面BCE ， 取 BE AE 、中点O F 、，连结 O C OF 、， 以 O 为原点，OE OC OF 、、为x y z ，，轴正方向建立坐标系，则()2,0,4A -，()2,0,0B -，()0,23,0C ，()0,23,2D ，()2,0,0E ， 可得平面ABE 的法向量为()3,0OC =u u u r ，设面ADE 的一个法向量为(),,m x y z =u r ， 则44022320m AE x z m DE x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ur u u u r u r u u u r ，可得()1,0,1m =u r，从而0m OC ⋅=u r u u u r ，平面ABE ⊥平面ADE ．（2）设CP d =，则()0,23,P d ，设面APE 的一个法向量为(),,n m n k =r ， 则440230n AE m k n PE m n dk ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩r u u u r r u u u r ，可得23n ⎛⎫=⎪⎝⎭r ．设直线AB 与面APE 所成角为θ， 则()2sin 241112AB n AB n d θ⋅==⋅-++uu u r r u u u r r ，所以()max 2sin 2θ=，从而直线AB 与平面APE 所成角的最大值为π4．（3）由（2）知()0,23,P d ，则()3,4AP d =-u u u r ，()2,23,2BD =u u u r ，40AP BD d ⋅=+=u u u r u u u r ，40d =-<，故不存在点P ，使得AP BD ⊥．19．（本小题满分12分）【答案】（1）见解析；（2）()13322E X =⨯=；．【解析】（1）依题意得：12a =，18b =，14c =，6d =； 收入不高于8千的家庭数 收入高于8千的家庭数 合计有二孩计划的家庭数 12 14 26 无二孩计划的家庭数 18 6 24合计 30 20 50 ()22501261814225 4.327 3.8413020262452K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 因此有95%的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关． （2）由题意知，13,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，X 的可能取值为0，1，2，3； ()311028P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()2131131C 228P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231132C 228P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()311328P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 18 38 38 18 ()13322E X =⨯=． 20．（本小题满分12分） 【答案】（1）22184x y +=；（2）圆O 的方程为2283x y +=，AB 的取值范围是46,233⎡⎢⎣． 【解析】（1）22c e a ==Q ，222a b ∴=， 设直线与椭圆交于P ，Q 两点．不妨设P 点为直线和椭圆在第一象限的交点， 又Q 弦长为33，6633P ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，2288133a b ∴+=，又222a b =， 解得28a =，24b =，∴椭圆方程为22184x y +=． （2）（i ）当切线l 的斜率不存在时，设x r =（或x r =-），代入椭圆方程得：282r y -=282r A r ⎛-∴ ⎝，28,2r B r ⎛- ⎝， Q 以AB 为直径的圆恒过原点，OA OB ∴⊥u u u r u u u r ，22802r r -∴-=，283r ∴=， ∴圆O 的方程为2283x y +=，此时AB ==．（同理当x r =-时，上述结论仍然成立）（ii ）当切线l 的斜率存在时，设l 方程为：y kx m =+， l Q 与圆O相切，r =，即()2221m k r =+，将直线方程代入椭圆方程并整理得：()22222124280840k x kmx m k m ⎧+++-=⋅⋅⋅⋅⎪⎨∆=+->⋅⋅⋅⋅⎪⎩①②设()11,A x y ，()22,B x y ，则1x ，2x 是方程①的两个解，由韦达定理得： 122412kmx x k +=-+，21222812m x x k -=+，()()()222212121212812m k y y kx m kx m k x x km x x m k -∴=++=+++=+， Q 以AB 为直径的圆恒过原点，OA OB ∴⊥u u u r u u u r ，12120x x y y ∴+=，222228801212m m k k k --∴+=++， 223880m k ∴--=，()22381m k ∴=+，又()2221m k r =+Q ，()()2223181k r k ∴+=+， 283r ∴=，此时()22813m k =+，代入②式后成立，∴圆O 的方程为2283x y +=，此时：22133AB k =====+==i ）若 0k =，则AB =ii ）若 0k ≠，则AB =⎝综上，圆O 的方程为2283x y +=，AB的取值范围是⎣．21．（本小题满分12分）【答案】（1）0m =；（2）1λ≥． 【解析】（1）()1ln f x x m '=++， 由题意知()11f '=，即：11m +=，解得0m =． （2）因为112e x x λλ+<⋅等价于121ln ln x x λλ+<+． 由题意可知1x ，2x 分别是方程()0g x '=即ln 0x ax -=的两个根， 即11ln x ax =，22ln x ax =， 所以原式等价于()12121ax ax a x x λλλ+<+=+， 因为0λ>，120x x <<，所以原式等价于121a x x λλ+>+． 又由11ln x ax =，22ln x ax =作差得，()1122ln x a x x x =-，即1212ln x x a x x =-． 所以原式等价于121212ln 1x x x x x x λλ+>-+， 因为120x x <<，原式恒成立，即()()1212121ln x x x x x x λλ+-<+恒成立． 令12x t x =，()0,1t ∈，则不等式()()11ln t t t λλ+-<+在()0,1t ∈上恒成立． 令()()()11ln t h t t t λλ+-=-+，又()()()()()()2222111t t h t t t t t λλλλ+--'=-=++， 当21λ≥时，可见()0,1t ∈时，()0h t '>，所以()h t 在()0,1t ∈上单调增，又()10h =， ()0h t <在()0,1t ∈恒成立，符合题意． 当21λ<时，可见()20,t λ∈时，()0h t '>，()2,1t λ∈时()0h t '<， 所以()h t 在()20,t λ∈时单调增，在()2,1t λ∈时单调减，又()10h =， 所以()h t 在()0,1t ∈上不能恒小于0，不符合题意，舍去． 综上所述，若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，只须21λ≥，又0λ>，所以1λ≥． 选做题：请考生在22~23两题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程【答案】（10y --=，(223x y +=；（2）122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）消去参数t 得，直线l0y --=；由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=，所以(223x y +=； （2）因为点D 在圆C上，所以可设点()[)()cos sin 0,2πD ϕϕϕ∈， 所以点D 到直线l的距离为πsin 3d ϕ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 因为[)0,2πϕ∈，所以当11π6ϕ=时，min 1d =．此时122D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以点D的坐标为122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲【答案】（1）见解析；（2）1m ≤．【解析】（1）()22222223333a b c a b c ab bc ac ab bc ac ++=+++++++=≥，所以a b c ++a b c ==时等号成立；（2）由题意得()()2min min 11m x x a b c +-++++≤， 由（1）知()2min 3a b c ++=， 又()()11112x x x x -++--+=≥，23m ∴+≤，m 的取值范围为：1m ≤．。

2021年高三第五次高考模拟考试 理科数学（word 版含答案）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．的值为A ．B ．C ．D ． 2．设全集，(2){|ln(2)},{|21}x x A x N y x B x -=∈=-=≤，A ．B ．C ．D ． 3．设，则“”是“复数”为纯虚数的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设等差数列的前n 项和为，若，则必定有 A ． B ．C ．D ．5．若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为 A. B. C. D. 6．函数在区间上的单调递增区间为 A ． B ． C ． D ．7．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体， 其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何 体的体积是A ．B ．4C ．D ．3 8．、、三点不共线，为的中点，对于平面 内任意一点都有，则A. B. C. D.9．将边长为的等边沿轴正方向滚动，某时刻与坐标原点重合(如图)，设顶点的轨迹方程是，关于函数的有下列说法： ①的值域为； ②是周期函数； ③； ④.其中正确的说法个数为A ．0B ．1C ．2D ．310．过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为A ．B ．C ．D ．11．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含个小正方形．则等于 A ．761 B ．762 C ．841 D ．842 12．若、是方程，的解，函数，则关于的方程的解的个数是 A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．） 13．下图是某中学甲、乙两名学生xx 年篮球比 赛每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两名学生得 分的中位数之和是___________．正视图 侧视图 俯视图14．已知平面截一球面得圆,过圆心且与成二面角的平面截该球面得圆.若该球面的半径为5,圆的面积为,则圆N 的面积为______________. 15．已知，是曲线与围成的区域，若向区域上随机投一点，则点落入区域的概率为________． 16．对于四面体，以下命题中，真命题的序号为 （填上所有真命题的序号） ①若AB ＝AC ，BD ＝CD ，E 为BC 中点，则平面AED ⊥平面ABC ； ②若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，则BD ⊥AC ；③若所有棱长都相等，则该四面体的外接球与内切球的半径之比为； ④若以A 为端点的三条棱所在直线两两垂直，则A 在平面BCD 内的射影为△BCD 的垂心； ⑤分别作两组相对棱中点的连线，则所得的两条直线异面。