苏教版版高考数学一轮复习第二章函数函数及其表示教学案

江苏高三数学高考一轮复习函数与方程教案江苏高三数学高考一轮复习函数与方程教案江苏高三数学高考一轮复习函数与方程教案一.知识梳理1.一元二次方程与相应二次函数的图象关系如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。

定理推论：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f(a)·f(b)二.课堂练习1.已知函数满足，且当时，，则当时，方程的实数解的个数为A.0B.1C.2D.32.已知函数与的图象上存在关于x轴对称的点，则a的取值范围是A.B.C.D.3.对于函数和，设，，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是A.B.C.D.4.已知函数，函数有四个不同的零点、、、，且满足：，则的取值范围是A.B.C.D.5.函数的零点个数为．6.若方程有两个不同的实数解，则b的取值范围是_____．7.设函数，若方程有三个相异的实根，则实数k的取值范围是______．8.已知函数，若函数恰有4个零点，则实数a的取值范围是．9.已知函数，且曲线在处的切线经过点．求实数的值；若函数，试判断函数的零点个数并证明．10.已知函数．求函数在上的零点之和；证明：在上只有1个极值点．三.例题选讲[例1]已知函数是自然对数的底数求的单调递减区间；若函数，证明在上只有两个零点．参考数据：[参考]解：，定义域为R．由得，解得Z的单调递减区间为Z证明：，令，当时，当时，．在上单调递增，在上单调递减，又，，，，，使得，，且当或时，当时，，在和上单调递减，在上单调递增．，．，，又，由零点存在性定理得，在和内各有一个零点，函数在上有两个零点．[解析]本题主要考查学生运用导数研究函数的单调性及函数的零点问题[例2]已知函数．当时，判断函数的单调性；讨论零点的个数．[参考]解：因为，所以，又，设，又，所以在为单调递增，在为单调递减，所以的最大值为，所以，所以在单调递减；因为，所以是一个零点，设，所以的零点个数等价于中不等于1的零点个数再加上1，当时，由可知，单调递减，又是零点，所以此时有且只有一个零点；当时，单调递增，又，，又，所以，综上可知，在有一个零点且，所以此时有两个零点；又，所以当，在单调递增，在单调递减，的最大值为，又，，又，所以在有一个零点，在也有一个零点且，所以此时，共有3个零点；又，所以当时，在单调递增，在单调递减，的最大值为，所以没有零点，此时，共有1个零点．综上所述，当时，共有1个零点；当0时，共有3个零点；当时，有两个零点．[解析]本题考查学生利用导数研究函数的单调性，函数的零点与方程根的关系，分类讨论思想，化归与转化思想，考查运算化简的能力和逻辑推理能力[例3]已知，解不等式；若方程有三个不同的解，求实数a的取值范围．[答案]解：，当时，解不等式得：，当时，解不等式得：，综合得：不等式的解集为：．，即．作出函数的图象如图所示：当直线与函数的图象有三个公共点时，方程有三个解，所以．所以实数a的取值范围是．[解析]本题考查了分段函数及数形结合的思想方法四.反思与总结在复习过程中，我掌握了，还存在等问题.自我知识梳理：。

考点１函数的单调性与奇偶性函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路（１）解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．（２）解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f（x１）＞f（x２）或f （x１）＜f（x２）的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式（组），要注意函数定义域对参数的影响．（１）（２0１9·全国卷Ⅲ）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，＋∞）单调递减，则（）（２）（２0１7·全国卷Ⅰ）函数f（x）在（—∞，＋∞）上单调递减，且为奇函数．若f（１）＝—１，则满足—１≤f（x—２）≤１的x的取值范围是（）Ａ．[—２,２] Ｂ．[—１,１]Ｃ．[0,４] Ｄ．[１,３]（１）C（２）D[（１）∵f（x）是定义域为R的偶函数，∴f（—x）＝f（x）．∴f错误!＝f（—log３４）＝f（log３４）．又∵log３４＞log３３＝１，且１＞２错误!＞２错误!＞0，∴log３４＞２错误!＞２错误!＞0．∵f（x）在（0，＋∞）上单调递减，∴f（２错误!）＞f（２错误!）＞f（log３４）＝f错误!.故选Ｃ．（２）∵f（x）为奇函数，∴f（—x）＝—f（x）．∵f（１）＝—１，∴f（—１）＝—f（１）＝１．故由—１≤f（x—２）≤１，得f（１）≤f（x—２）≤f（—１）．又f（x）在（—∞，＋∞）上单调递减，∴—１≤x—２≤１，∴１≤x≤３．][逆向问题] 设f（x）是定义在[—２b,３＋b]上的偶函数，且在[—２b,0]上为增函数，则f（x—１）≥f（３）的解集为（）Ａ．[—３,３] Ｂ．[—２,４]Ｃ．[—１,５] Ｄ．[0,6]B[因为f（x）是定义在[—２b,３＋b]上的偶函数，所以有—２b＋３＋b＝0，解得b＝３，由函数f（x）在[—6,0]上为增函数，得f（x）在（0,6]上为减函数，故f（x—１）≥f（３）⇒f（|x—１|）≥f（３）⇒|x—１|≤３，故—２≤x≤４．]（１）函数值的大小比较问题，可以利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用其单调性比较大小．（２）对于抽象函数不等式的求解，应变形为f（x１）＞f（x２）的形式，再结合单调性脱去法则“f”变成常规不等式，如x１＜x２（或x１＞x２）求解．１．已知函数f（x）满足以下两个条件：１任意x１，x２∈（0，＋∞）且x１≠x２，（x１—x２）·[f（x１）—f（x２）]＜0；２对定义域内任意x有f（x）＋f（—x）＝0，则符合条件的函数是（）Ａ．f（x）＝２xＢ．f（x）＝１—|x|Ｃ．f（x）＝—x３Ｄ．f（x）＝ln（x２＋３）C[由条件１可知，f（x）在（0，＋∞）上单调递减，则可排除A、D选项，由条件２可知，f（x）为奇函数，则可排除B选项，故选Ｃ．]２．函数y＝f（x）在[0,２]上单调递增，且函数f（x＋２）是偶函数，则下列结论成立的是（）Ａ．f（１）＜f错误!＜f错误!Ｂ．f错误!＜f（１）＜f错误!Ｃ．f错误!＜f错误!＜f（１）Ｄ．f错误!＜f（１）＜f错误!B[∵函数y＝f（x）在[0,２]上单调递增，且函数f（x＋２）是偶函数，∴函数y＝f（x）在[２,４]上单调递减，且在[0,４]上函数y＝f（x）满足f（２—x）＝f（２＋x），∴f（１）＝f（３），f错误!＜f（３）＜f错误!，即f错误!＜f（１）＜f错误!.]３．（２0１9·滨州模拟）设奇函数f（x）定义在（—∞，0）∪（0，＋∞）上，f（x）在（0，＋∞）上为增函数，且f（１）＝0，则不等式错误!＜0的解集为（）Ａ．（—１,0）∪（１，＋∞）Ｂ．（—∞，—１）∪（0,１）Ｃ．（—∞，—１）∪（１，＋∞）Ｄ．（—１,0）∪（0,１）D[∵奇函数f（x）定义在（—∞，0）∪（0，＋∞）上，在（0，＋∞）上为增函数，且f（１）＝0，∴函数f（x）的图象关于原点对称，且过点（１,0）和（—１,0），且f（x）在（—∞，0）上也是增函数．∴函数f（x）的大致图象如图所示．∵f（—x）＝—f（x），∴不等式错误!＜0可化为错误!＜0，即xf （x）＜0．不等式的解集即为自变量与对应的函数值异号的x的范围，据图象可知x∈（—１,0）∪（0,１）．]考点２函数的周期性与奇偶性已知f（x）是周期函数且为偶函数，求函数值，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解．（２0１9·福州质量检测）已知函数f（x）对任意的x∈R都满足f（x）＋f（—x）＝0，f错误!为偶函数，当0＜x≤错误!时，f（x）＝—x，则f（２0１7）＋f（２0１8）＝________.—２[依题意，f（—x）＝—f（x），f错误!＝f错误!，所以f（x＋３）＝f（—x）＝—f（x），所以f（x＋6）＝f（x），所以f（２0１7）＝f（１）＝—１，f（２0１8）＝f（２）＝f错误!＝f错误!＝f（１）＝—１，所以f（２0１7）＋f（２0１8）＝—２．]解奇偶性、周期性的综合性问题的２个关键点（１）利用奇偶性和已知等式求周期．（２）将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题求解．１．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝—f错误!，且f（１）＝２，则f（２0１8）＝________.—２[因为f（x）＝—f错误!，所以f（x＋３）＝f错误!＝—f错误!＝f（x）．所以f（x）是以３为周期的周期函数．则f（２0１8）＝f（67２×３＋２）＝f（２）＝f（—１）＝—f（１）＝—２．]２．已知f（x）是定义在R上以３为周期的偶函数，若f（１）＜１，f（５）＝２a—３，则实数a 的取值范围为________．（—∞，２）[∵f（x）是定义在R上的周期为３的偶函数，∴f（５）＝f（５—6）＝f（—１）＝f （１），∵f（１）＜１，∴f（５）＝２a—３＜１，即a＜２．]考点３单调性、奇偶性、周期性、对称性等综合问题函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．[一题多解]（２0１8·全国卷Ⅱ）已知f（x）是定义域为（—∞，＋∞）的奇函数，满足f （１—x）＝f（１＋x）．若f（１）＝２，则f（１）＋f（２）＋f（３）＋…＋f（５0）＝（）Ａ．—５0 Ｂ．0 Ｃ．２Ｄ．５0C[法一：（直接法）∵f（x）是奇函数，∴f（—x）＝—f（x），∴f（１—x）＝—f（x—１）．由f（１—x）＝f（１＋x），得—f（x—１）＝f（x＋１），∴f（x＋２）＝—f（x），∴f（x＋４）＝—f（x＋２）＝f（x），∴函数f（x）是周期为４的周期函数．由f（x）为奇函数得f（0）＝0．又∵f（１—x）＝f（１＋x），∴f（x）的图象关于直线x＝１对称，∴f（２）＝f（0）＝0，∴f（—２）＝0．又f（１）＝２，∴f（—１）＝—２，∴f（１）＋f（２）＋f（３）＋f（４）＝f（１）＋f（２）＋f（—１）＋f（0）＝２＋0—２＋0＝0，∴f（１）＋f（２）＋f（３）＋f（４）＋…＋f（４9）＋f（５0）＝0×１２＋f（４9）＋f（５0）＝f（１）＋f（２）＝２＋0＝２．法二：（特例法）由题意可设f（x）＝２sin错误!，作出f（x）的部分图象如图所示．由图可知，f（x）的一个周期为４，所以f（１）＋f（２）＋f（３）＋…＋f（５0）＝１２[f（１）＋f（２）＋f（３）＋f（４）]＋f（４9）＋f（５0）＝１２×0＋f（１）＋f（２）＝２．]（１）函数的奇偶性与对称性的关系１若函数f（x）满足f（a＋x）＝f（a—x），则其函数图象关于直线x＝a对称；当a＝0时可以得出f（x）＝f（—x），函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数．２若函数f（x）满足f（２a—x）＝２b—f（x），则其函数图象关于点（a，b）对称；当a＝0，b ＝0时得出f（—x）＝—f（x），函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数．（２）函数的对称性与周期性的关系１若函数f（x）关于直线x＝a与直线x＝b对称，那么函数的周期是２|b—a|.２若函数f（x）关于点（a,0）对称，又关于点（b,0）对称，那么函数的周期是２|b—a|.３若函数f（x）关于直线x＝a对称，又关于点（b,0）对称，那么函数的周期是４|b—a|.（３）函数的奇偶性、周期性、对称性的关系其中a≠0，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个．[教师备选例题]（１）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x＋１）＝—f（x），若f（x）在[—１,0]上单调递减，则f（x）在[１,３]上是（）Ａ．增函数Ｂ．减函数Ｃ．先增后减的函数Ｄ．先减后增的函数１函数f（x）的图象关于直线x＝４k＋２（k∈Z）对称；２函数f（x）的单调递增区间为[8k—6,8k—２]（k∈Z）；３函数f（x）在区间（—２0１8,２0１8）上恰有１008个极值点；４若关于x的方程f（x）—m＝0在区间[—8,8]上有根，则所有根的和可能为0或±４或±8．其中真命题的个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４（１）D（２）C[（１）根据题意，因为f（x＋１）＝—f（x），所以f（x＋２）＝—f（x＋１）＝f（x），所以函数f（x）的周期是２．又因为f（x）在定义域R上是偶函数，在[—１,0]上是减函数，所以函数f（x）在[0,１]上是增函数，所以函数f（x）在[１,２]上是减函数，在[２,３]上是增函数，所以f （x）在[１,３]上是先减后增的函数，故选Ｄ．（２）１正确，∵定义在R上的连续奇函数f（x）满足f（x—４）＝—f（x），∴f[（x—４）—４]＝—f（x—４）＝f（x），即f（x—8）＝f（x），∴f（x）是以8为周期的周期函数，8k（k∈Z且k≠0）也是其周期．又f（x）为R上的连续奇函数，由f（x—４）＝—f（x），即f（x）＝—f（x—４），得f （x）＝f（４—x），∴函数f（x）的一条对称轴为x＝错误!＝２．又8k（k∈Z且k≠0）是f（x）的周期，∴f（x）＝f（x＋8k）＝f（４—x），∴函数的对称轴为x＝错误!＝４k＋２（k∈Z且k≠0）．综上，函数f（x）的图象关于直线x＝４k＋２（k∈Z）对称，故１正确；２错误，作图如下：由图可知，函数f（x）的单调递减区间为[8k—6,8k—２]（k∈Z），故２错误；３正确，由图可知，f（x）在一个周期内有两个极值点，在区间（—２0１6,２0１6）上有５0４个完整周期，有１008个极值点，在区间（—２0１8，—２0１6]和[２0１6,２0１8）上没有极值点，故在区间（—２0１8,２0１8）上有１008个极值点，３正确；４正确，由图中m１，m２，m３，m４，m５五条直线可知，关于x的方程f（x）—m＝0在区间[—8,8]上有根，则所有根的和可能为0或±４或±8，故４正确．综上所述，１３４正确，故选Ｃ．]１．（２0１6·全国卷Ⅱ）已知函数f（x）（x∈R）满足f（—x）＝２—f（x），若函数y＝错误!与y＝f（x）图象的交点为（x１，y１），（x２，y２），…，（x m，y m），则错误!（x i＋y i）＝（）Ａ．0 Ｂ．mＣ．２mＤ．４mB[函数f（x）（x∈R）满足f（—x）＝２—f（x），即f（x）＋f（—x）＝２，可得f（x）的图象关于点（0,１）对称，函数y＝错误!，即y＝１＋错误!的图象关于点（0,１）对称，∴函数y＝错误!与y＝f（x）图象的交点也关于（0,１）对称，关于（0,１）对称的两个点的横坐标和为0，纵坐标和为２．当交点不在对称轴上时，m为偶数，∴错误!（x i＋y i）＝错误!x i＋错误!y i＝0×错误!＋２×错误!＝m；当有交点在对称轴上时，m为奇数，则错误!（x i＋y i）＝错误!x i＋错误!y i＝0×错误!＋0＋２×错误!＋１＝m.综上，错误!（x i＋y i）＝m.]２．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x—４）＝—f（x），且在区间[0,２]上是增函数，则（）Ａ．f（—２５）＜f（１１）＜f（80）Ｂ．f（80）＜f（１１）＜f（—２５）Ｃ．f（１１）＜f（80）＜f（—２５）Ｄ．f（—２５）＜f（80）＜f（１１）D[因为f（x）满足f（x—４）＝—f（x），所以f（x—8）＝f（x），所以函数f（x）是以8为周期的周期函数，则f（—２５）＝f（—１），f （80）＝f（0），f（１１）＝f（３）．由f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x—４）＝—f（x），得f（１１）＝f（３）＝—f（—１）＝f（１）．因为f（x）在区间[0,２]上是增函数，f（x）在R上是奇函数，所以f（x）在区间[—２,２]上是增函数，所以f（—１）＜f（0）＜f（１），即f（—２５）＜f（80）＜f（１１）．]课外素养提升２数学运算——用活函数性质中的三个结论论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神．奇函数的最值性质已知函数f（x（x）＋f（—x）＝0．特别地，若奇函数f（x）在D上有最值，则f（x）max＋f（x）min＝0，且若0∈D，则f（0）＝0．【例１】设函数f（x）＝错误!的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.２[显然函数f（x）的定义域为R，f（x）＝错误!＝１＋错误!，设g（x）＝错误!，则g（—x）＝—g（x），∴g（x）为奇函数，由奇函数图象的对称性知g（x）max＋g（x）min＝0，∴M＋m＝[g（x）＋１]max＋[g（x）＋１]min＝２＋g（x）max＋g（x）min＝２．]【素养提升练习】已知函数f（x）＝ln（错误!—３x）＋１，则f（lg ２）＋f错误!＝（）Ａ．—１Ｂ．0 Ｃ．１Ｄ．２D[设g（x）＝ln（错误!—３x），易知函数的定义域为R，关于原点对称，∵g（x）＋g（—x）＝ln（错误!—３x）＋ln（错误!＋３x）＝ln（错误!—３x）（错误!＋３x）＝ln １＝0，∴g（x）为奇函数，∴g（lg ２）＋g错误!＝g（lg ２）＋g（—lg ２）＝0，又∵f（x）＝g（x）＋１，∴f（lg ２）＋f错误!＝g（lg ２）＋１＋g错误!＋１＝２．]抽象函数的周期性（１）如果f（x＋a）＝—f（x）（a≠0），那么f（x）是周期函数，其中一个周期T＝２a.（２）如果f（x＋a）＝错误!（a≠0），那么f（x）是周期函数，其中的一个周期T＝２a.（３）如果f（x＋a）＋f（x）＝c（a≠0），那么f（x）是周期函数，其中的一个周期T＝２a.【例２】已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f（x＋３）＝—f（x），且当x∈（0,３）时，f（x）＝x＋１，则f（—２0１7）＋f（２0１8）＝（）A．３Ｂ．２Ｃ．１Ｄ．0C[因为函数f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（—２0１7）＝—f（２0１7），因为当x≥0时，有f（x＋３）＝—f（x），所以f（x＋6）＝—f（x＋３）＝f（x），即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次．又当x∈（0,３）时，f（x）＝x＋１，∴f（２0１7）＝f（３３6×6＋１）＝f（１）＝２，f（２0１8）＝f（３３6×6＋２）＝f（２）＝３．故f（—２0１7）＋f（２0１8）＝—f（２0１7）＋３＝１．]【素养提升练习】（２0１9·山西八校联考）已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x＋２）＝—错误!，当２≤x≤３时，f（x）＝x，则f错误!＝________.错误![∵f（x＋２）＝—错误!，∴f（x＋４）＝f（x），∴f错误!＝f错误!，又２≤x≤３时，f（x）＝x，∴f错误!＝错误!，∴f错误!＝错误!.]抽象函数的对称性已知函数f（x（１）若f（a＋x）＝f（b—x）恒成立，则y＝f（x）的图象关于直线x＝错误!对称，特别地，若f （a＋x）＝f（a—x）恒成立，则y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称．（２）若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＋f（a—x）＝0，即f（x）＝—f（２a—x），则f（x）的图象关于点（a,0）对称．【例３】函数y＝f（x）对任意x∈R都有f（x＋２）＝f（—x）成立，且函数y＝f（x—１）的图象关于点（１,0）对称，f（１）＝４，则f（２0１6）＋f（２0１7）＋f（２0１8）的值为________．４[因为函数y＝f（x—１）的图象关于点（１,0）对称，所以函数y＝f（x）的图象关于原点对称，所以f（x）是R上的奇函数，则f（x＋２）＝f（—x）＝—f（x），所以f（x＋４）＝—f（x＋２）＝f（x），故f（x）的周期为４．所以f（２0１7）＝f（５0４×４＋１）＝f（１）＝４，所以f（２0１6）＋f（２0１8）＝—f（２0１４）＋f（２0１４＋４）＝—f（２0１４）＋f （２0１４）＝0，所以f（２0１6）＋f（２0１7）＋f（２0１8）＝４．]【素养提升练习】已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（２—x），若函数y＝|x２—２x—３|与y＝f（x）图象的交点为（x１，y１），（x２，y２），…，（x m，y m），则错误!x i＝（）Ａ．0 Ｂ．mＣ．２mＤ．４mB[∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（２—x），故函数f（x）的图象关于直线x＝１对称，函数y＝|x２—２x—３|的图象也关于直线x＝１对称，故函数y＝|x２—２x—３|与y＝f（x）图象的交点也关于直线x＝１对称，且相互对称的两点横坐标和为２．当f（x）不过点（１,４）时，错误!x i＝错误!×２＝m，当f（x）过点（１,４）时，错误!x i＝错误!×２＋１＝m.综上，错误!x i＝m.]。

１．根式（１）n次方根的概念１若x n＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞１且n∈N*.式子错误!叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．２a的n次方根的表示x n＝a⇒（２）根式的性质１（错误!）n＝a（n∈N*，n＞１）．２错误!＝错误!２．有理数指数幂（１）幂的有关概念３0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．（２）有理数指数幂的运算性质１a r a s＝a r＋s（a＞0，r，s∈Q）；２（a r）s＝a rs（a＞0，r，s∈Q）；３（ab）r＝a r b r（a＞0，b＞0，r∈Q）．３．指数函数的图象与性质y＝a x a＞１0＜a＜１图象定义域R值域（0，＋∞）性质过定点（0,１）当x＞0时，y＞１；当x＜0时，0＜y＜１当x＞0时，0＜y＜１；当x＜0时，y＞１在R上是增函数在R上是减函数错误!１．指数函数图象的画法画指数函数y＝a x（a＞0，且a≠１）的图象，应抓住三个关键点：（１，a），（0,１），错误!.２．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数（１）y＝a x，（２）y＝b x，（３）y＝c x，（４）y＝d x的图象，底数a，b，c，d与１之间的大小关系为c＞d＞１＞a＞b＞0．由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝a x（a ＞0，a≠１）的图象越高，底数越大．３．指数函数y＝a x（a＞0，a≠１）的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞１与0＜a ＜１来研究．[答案]（１）×（２）×（３）×（４）×二、教材改编１．函数f（x）＝２１—x的大致图象为（）A B C DA[f（x）＝２１—x＝错误!错误!，又f（0）＝２，f（１）＝１，故排除B，C，D，故选Ａ．]２．若函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠１）的图象经过点P错误!，则f（—１）＝________.错误![由题意知错误!＝a２，所以a＝错误!，所以f（x）＝错误!错误!，所以f（—１）＝错误!错误!＝错误!.]３．化简错误!（x＜0，y＜0）＝________.[答案] —２x２y４．已知a＝错误!错误!，b＝错误!错误!，c＝错误!错误!，则a，b，c的大小关系是________．c＜b＜a[∵y＝错误!错误!是减函数，∴错误!错误!＞错误!错误!＞错误!错误!，则a＞b＞１，又c＝错误!错误!＜错误!错误!＝１，∴c＜b＜a.]考点１指数幂的运算指数幂运算的一般原则（１）有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．（２）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．（３）底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．（４）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．考点２指数函数的图象及应用（１）与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．（２）一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．（１）函数f（x）＝a x—b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（）Ａ．a＞１，b＜0Ｂ．a＞１，b＞0Ｃ．0＜a＜１，b＞0Ｄ．0＜a＜１，b＜0（２）若曲线y＝|３x—１|与直线y＝m有两个不同交点，则实数m的取值范围是________．（１）D（２）（0,１）[（１）由f（x）＝a x—b的图象可以观察出，函数f（x）＝a x—b在定义域上单调递减，所以0＜a＜１．函数f（x）＝a x—b的图象是在f（x）＝a x的基础上向左平移得到的，所以b＜0．故选Ｄ．（２）曲线y＝|３x—１|的图象是由函数y＝３x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，它的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|３x—１|与直线y＝m有两个公共点，则m的取值范围是（0,１）．][母题探究]１．（变条件）若本例（２）条件变为：方程３|x|—１＝m有两个不同实根，则实数m的取值范围是________．（0，＋∞）[作出函数y＝３|x|—１与y＝m的图象如图所示，数形结合可得m的取值范围是（0，＋∞）．]２．（变条件）若本例（２）的条件变为：函数y＝|３x—１|＋m的图象不经过第二象限，则实数m 的取值范围是________．（—∞，—１] [作出函数y＝|３x—１|＋m的图象如图所示．由图象知m≤—１，即m∈（—∞，—１]．]应用指数函数图象的技巧（１）画指数函数y＝a x（a＞0，且a≠１）的图象，应抓住三个关键点：（１，a），（0,１），错误!.（２）已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．（３）对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、对称变换而得到．特别地，当底数a与１的大小关系不确定时应注意分类讨论．１．函数f（x）＝１—e|x|的图象大致是（）A BC DA[f（x）＝１—e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|≥１，∴f（x）≤0，符合条件的图象只有Ａ．]２．函数y＝a x—b（a＞0，且a≠１）的图象经过第二、三、四象限，则a b的取值范围是________．（0,１）[因为函数y＝a x—b的图象经过第二、三、四象限，所以函数y＝a x—b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上．令x＝0，则y＝a0—b＝１—b，由题意得错误!解得错误!故a b∈（0,１）．]３．已知实数a，b满足等式２0１9a＝２0２0b，下列五个关系式：１0＜b＜a；２a＜b＜0；３0＜a＜b；４b＜a＜0；５a＝b.其中不可能成立的关系式有________（填序号）．３４[作出y＝２0１9x及y＝２0２0x的图象如图所示，由图可知a＞b＞0，a＝b＝0或a＜b＜0时，有２0１9a＝２0２0b，故３４不可能成立．]考点３指数函数的性质及应用指数函数性质的应用主要是利用单调性解决相关问题，而指数函数的单调性是由底数a决定的，因此解题时通常对底数a按0＜a＜１和a＞１进行分类讨论．比较指数式的大小（１）已知a＝２0．２，b＝0．４0．２，c＝0．４0．6，则（）Ａ．a＞b＞cＢ．a＞c＞bＣ．c＞a＞bＤ．b＞c＞a（２）设函数f（x）＝x２—a与g（x）＝a x（a＞１且a≠２）在区间（0，＋∞）上具有不同的单调性，则M＝（a—１）0．２与N＝错误!错误!的大小关系是（）Ａ．M＝NＢ．M≤NＣ．M＜NＤ．M＞N（１）A（２）D[（１）由0．２＜0．6,0．４＜１，并结合指数函数的图象可知0．４0．２＞0．４0．6，即b＞c.因为a＝２0．２＞１，b＝0．４0．２＜１，所以a＞b.综上，a＞b＞c.（２）因为f（x）＝x２—a与g（x）＝a x（a＞１且a≠２）在区间（0，＋∞）上具有不同的单调性，所以a＞２，所以M＝（a—１）0．２＞１，N＝错误!0．１＜１，所以M＞N.故选Ｄ．]指数式的大小比较，依据的就是指数函数的单调性，原则上化为同底的指数式，并要注意底数范围是（0,１）还是（１，＋∞），若不能化为同底，则可化为同指数，或利用中间变量比较，如本例（１）．解简单的指数方程或不等式（１）已知函数f（x）＝a＋错误!的图象过点错误!，若—错误!≤f（x）≤0，则实数x的取值范围是________．（２）方程４x＋|１—２x|＝１１的解为________．（１）错误!（２）x＝log２３[（１）∵f（x）＝a＋错误!的图象过点错误!，∴a＋错误!＝—错误!，即a＝—错误!.∴f（x）＝—错误!＋错误!.∵—错误!≤f（x）≤0，∴—错误!≤错误!—错误!≤0，∴错误!≤错误!≤错误!，∴２≤４x＋１≤３，即１≤４x≤２，∴0≤x≤错误!.（２）当x≥0时，原方程化为４x＋２x—１２＝0，即（２x）２＋２x—１２＝0．∴（２x—３）（２x＋４）＝0，∴２x＝３，即x＝log２３．当x＜0时，原方程化为４x—２x—１0＝0．令t＝２x，则t２—t—１0＝0（0＜t＜１）．由求根公式得t＝错误!均不符合题意，故x＜0时，方程无解．]（１）a f（x）＝a g（x）⇔f（x）＝g（x）．（２）a f（x）＞a g（x），当a＞１时，等价于f（x）＞g（x）；当0＜a＜１时，等价于f（x）＜g（x）．（３）有些含参指数不等式，需要分离变量，转化为求有关函数的最值问题．与指数函数有关的复合函数的单调性（１）函数f（x）＝的单调减区间为________．（２）函数f（x）＝４x—２x＋１的单调增区间是________．（１）（—∞，１] （２）[0，＋∞）[（１）设u＝—x２＋２x＋１，∵y＝错误!错误!在R上为减函数，所以函数f（x）＝的减区间即为函数u＝—x２＋２x＋１的增区间．又u＝—x２＋２x＋１的增区间为（—∞，１]，所以f（x）的减区间为（—∞，１]．（２）设t＝２x（t＞0），则y＝t２—２t的单调增区间为[１，＋∞），令２x≥１，得x≥0，又y＝２x 在R上单调递增，所以函数f（x）＝４x—２x＋１的单调增区间是[0，＋∞）．][逆向问题] 已知函数f（x）＝２|２x—m|（m为常数），若f（x）在区间[２，＋∞）上单调递增，则m的取值范围是________．（—∞，４] [令t＝|２x—m|，则t＝|２x—m|在区间错误!上单调递增，在区间错误!上单调递减．而y＝２t在R上单调递增，所以要使函数f（x）＝２|２x—m|在[２，＋∞）上单调递增，则有错误!≤２，即m≤４，所以m的取值范围是（—∞，４]．]求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．指数函数性质的综合应用（１）函数f（x）＝a＋错误!（a，b∈R）是奇函数，且图象经过点错误!，则函数f（x）的值域为（）Ａ．（—１,１）Ｂ．（—２,２）Ｃ．（—３,３）Ｄ．（—４,４）（２）若不等式１＋２x＋４x·a＞0在x∈（—∞，１]时恒成立，则实数a的取值范围是________．（１）A（２）错误![（１）函数f（x）为奇函数，定义域是R，则f（0）＝a＋错误!＝0１，函数图象过点错误!，则f（ln ３）＝a＋错误!＝错误!２．结合１２可得a＝１，b＝—２，则f（x）＝１—错误!.因为e x＞0，所以e x＋１＞１，所以0＜错误!＜２，所以—１＜１—错误!＜１，即函数f（x）的值域为（—１,１）．（２）从已知不等式中分离出实数a，得a＞—错误!.因为函数y＝错误!错误!和y＝错误!x在R上都是减函数，所以当x∈（—∞，１]时，错误!错误!≥错误!，错误!错误!≥错误!，所以错误!错误!＋错误!错误!≥错误!＋错误!＝错误!，从而得—错误!≤—错误!.故实数a的取值范围为a＞—错误!.]指数函数的综合问题，主要涉及单调性、奇偶性、最值问题，应在有关性质的基础上，结合指数函数的性质进行解决，而指数函数性质的重点是单调性，注意利用单调性实现问题的转化．１．函数y＝的值域是（）Ａ．（—∞，４）Ｂ．（0，＋∞）Ｃ．（0,４] Ｄ．[４，＋∞）C[设t＝x２＋２x—１，则y＝错误!错误!.因为0＜错误!＜１，所以y＝错误!错误!为关于t的减函数．因为t＝（x＋１）２—２≥—２，所以0＜y＝错误!错误!≤错误!错误!＝４，故所求函数的值域为（0,４]．]２．已知实数a≠１，函数f（x）＝错误!若f（１—a）＝f（a—１），则a的值为________．错误![当a＜１时，４１—a＝２１，所以a＝错误!；当a＞１时，代入可知不成立，所以a的值为错误!.]３．设函数f（x）＝错误!若f（a）＜１，则实数a的取值范围是________．（—３,１）[当a＜0时，不等式f（a）＜１可化为错误!错误!—7＜１，即错误!错误!＜8，即错误!错误!＜错误!错误!，∴a＞—３．又a＜0，∴—３＜a＜0．当a≥0时，不等式f（a）＜１可化为错误!＜１．∴0≤a＜１，综上，a的取值范围为（—３,１）．]。

１．对数的概念如果a x＝N（a＞0且a≠１），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数．２．对数的性质、换底公式与运算性质（１）对数的性质：１a log a N＝N；２log a a b＝b（a＞0，且a≠１）．（２）换底公式：log a b＝错误!（a，c均大于0且不等于１，b＞0）．（３）对数的运算性质：如果a＞0，且a≠１，M＞0，N＞0，那么：１log a（M·N）＝log a M＋log a N；２log a错误!＝log a M—log a N；３log a M n＝n log a M（n∈R）．３．对数函数的定义、图象与性质定义函数y＝log a x（a＞0且a≠１）叫做对数函数图象a＞１0＜a＜１性质定义域：（0，＋∞）值域：R当x＝１时，y＝0，即过定点（１,0）当0＜x＜１时，y＜0；当x＞１时，y＞0当0＜x＜１时，y＞0；当x＞１时，y＜0在（0，＋∞）上为增函数在（0，＋∞）上为减函数４．反函数指数函数y＝a x（a＞0且a≠１）与对数函数y＝log a x（a＞0且a≠１）互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．错误!１．换底公式的两个重要结论（１）log a b＝错误!；（２）log am b n＝错误!log a b.其中a＞0且a≠１，b＞0且b≠１，m，n∈R，m≠0．２．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝１，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜１＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数y＝log２（x＋１）是对数函数．（）（２）log２x２＝２log２x. （）（３）函数y＝ln错误!与y＝ln（１＋x）—ln（１—x）的定义域相同．（）（４）对数函数y＝log a x（a＞0且a≠１）的图象过定点（１,0），且过点（a,１），错误!，函数图象不在第二、三象限．（）[答案]（１）×（２）×（３）√（４）√二、教材改编１．（log２9）·（log３４）＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．２Ｄ．４D[（log２9）·（log３４）＝错误!×错误!＝错误!×错误!＝４．故选Ｄ．]Ａ．a＞b＞cＢ．a＞c＞bＣ．c＞b＞aＤ．c＞a＞bD[因为0＜a＜１，b＜0，c＝log错误!错误!＝log２３＞１．所以c＞a＞b.故选Ｄ．]３．函数y＝的定义域是________．[由（２x—１）≥0，,得0＜２x—１≤１．,∴错误!＜x≤１．,∴函数y＝的定义域是.]４．函数y＝log a（４—x）＋１（a＞0，且a≠１）的图象恒过点________．（３,１）[当４—x＝１即x＝３时，y＝log a１＋１＝１．,所以函数的图象恒过点（３,１）．]考点１对数式的化简与求值对数运算的一般思路（１）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．（２）合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．１．设２a＝５b＝m，且错误!＋错误!＝２，则m等于（）Ａ．错误!Ｂ．１0Ｃ．２0 Ｄ．１00A[由已知，得a＝log２m，b＝log５m，,则错误!＋错误!＝错误!＋错误!,＝log m２＋log m５＝log m １0＝２．,解得m＝错误!.]２．计算：错误!÷１00错误!＝________.—２0 [原式＝（lg ２—２—lg ５２）×１00错误!＝lg错误!×１0＝lg １0—２×１0＝—２×１0＝—２0．]３．计算：错误!＝________.１[原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝１．]对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常会用到换底公式及其推论．在对含有字母的对数式进行化简时，必须保证恒等变形．考点２对数函数的图象及应用对数函数图象的识别及应用方法（１）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项．（２）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．（１）（２0１9·浙江高考）在同一直角坐标系中，函数y＝错误!，y＝log a（a ＞0，且a≠１）的图象可能是（）A BC D（２）当0＜x≤错误!时，４x＜log a x，则a的取值范围是（）Ａ．0，错误!Ｂ．错误!，１Ｃ．（１，错误!）Ｄ．（错误!，２）（１）D（２）B[（１）对于函数y＝log a，当y＝0时，有x＋错误!＝１，得x＝错误!，即y＝log a的图象恒过定点错误!，0，排除选项A、C；函数y＝错误!与y＝log a在各自定义域上单调性相反，排除选项B，故选Ｄ．（２）构造函数f（x）＝４x和g（x）＝log a x，当a＞１时不满足条件，当0＜a＜１时，画出两个函数在的图象，可知f＜g，即２＜log a错误!，则a＞错误!，所以a的取值范围为.][母题探究]１．（变条件）若本例（２）变为：若不等式x２—log a x＜0对x∈恒成立，求实数a的取值范围．[解] 由x２—log a x＜0得x２＜log a x，设f１（x）＝x２，f２（x）＝log a x，要使x∈时，不等式x２＜log a x恒成立，只需f１（x）＝x２在上的图象在f２（x）＝log a x图象的下方即可．当a ＞１时，显然不成立；当0＜a＜１时，如图所示．要使x２＜log a x在x∈上恒成立，需f１≤f２，所以有错误!≤log a错误!，解得a≥错误!，所以错误!≤a＜１．即实数a的取值范围是.２．（变条件）若本例（２）变为：当0＜x≤错误!时，错误!＜log a x，求实数a的取值范围．[解] 若错误!＜log a x在x∈成立，则0＜a＜１，且y＝错误!的图象在y＝log a x图象的下方，如图所示，由图象知错误!＜log a错误!，所以解得错误!＜a＜１．即实数a的取值范围是.１．（２0１9·合肥模拟）函数y＝ln（２—|x|）的大致图象为（）,A BC DA[令f（x）＝ln（２—|x|），易知函数f（x）的定义域为{x|—２＜x＜２}，且f（—x）＝ln（２—|—x|）＝ln（２—|x|）＝f（x），,所以函数f（x）为偶函数，排除选项C，Ｄ．,当x＝错误!时，f错误!＝ln 错误!＜0，排除选项B，故选Ａ．]２．已知函数y＝log a（x＋c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠１）的图象如图，则下列结论成立的是（）Ａ．a＞１，c＞１Ｂ．a＞１,0＜c＜１Ｃ．0＜a＜１，c＞１Ｄ．0＜a＜１,0＜c＜１D[由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0＜a＜１,0＜c＜１．]３．设方程１0x＝|lg（—x）|的两个根分别为x１，x２，则（）Ａ．x１x２＜0 Ｂ．x１x２＝0Ｃ．x１x２＞１Ｄ．0＜x１x２＜１D[作出y＝１0x与y＝|lg（—x）|的大致图象，如图．显然x１＜0，x２＜0．不妨令x１＜x２，则x１＜—１＜x２＜0，所以１0x１＝lg（—x１），１0x２＝—lg（—x２），此时１0x１＜１0x２，即lg（—x１）＜—lg（—x２），由此得lg（x１x２）＜0，所以0＜x１x２＜１，故选Ｄ．]考点３对数函数的性质及应用解与对数函数有关的函数性质问题的３个关注点（１）定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．（２）底数与１的大小关系．（３）复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．比较大小（１）（２0１9·天津高考）已知a＝log５２，b＝log0．５0．２，c＝0．５0．２，则a，b，c 的大小关系为（）Ａ．a＜c＜bＢ．a＜b＜cＣ．b＜c＜aＤ．c＜a＜b（２）已知a＝log２e，b＝ln ２，c＝log错误!错误!，则a，b，c的大小关系为（）Ａ．a＞b＞cＢ．b＞a＞cＣ．c＞b＞aＤ．c＞a＞b（１）A（２）D[（１）因为a＝log５２＜log５错误!＝错误!，b＝log0．５0．２＞log0．５0．５＝１，c＝0．５0．２＝错误!错误!＞错误!，0．５0．２＜１，所以a＜c＜b，故选Ａ．（２）因为a＝log２e＞１，b＝ln ２∈（0,１），c＝log错误!错误!＝log２３＞log２e＞１，所以c ＞a＞b，故选Ｄ．]对数值大小比较的主要方法（１）化同底数后利用函数的单调性．（２）化同真数后利用图象比较．（３）借用中间量（0或１等）进行估值比较．解简单对数不等式（１）若log a错误!＜１（a＞0且a≠１），则实数a的取值范围是________．（２）若log a（a２＋１）＜log a２a＜0，则a的取值范围是________．（１）错误!∪（１，＋∞）（２）错误![（１）当0＜a＜１时，log a错误!＜log a a＝１，∴0＜a＜错误!；当a＞１时，log a错误!＜log a a＝１，∴a＞１．∴实数a的取值范围是错误!∪（１，＋∞）．（２）由题意得a＞0且a≠１，故必有a２＋１＞２a，又log a（a２＋１）＜log a２a＜0，所以0＜a＜１，同时２a＞１，所以a＞错误!.综上，a∈错误!.]对于形如log a f（x）＞b的不等式，一般转化为log a f（x）＞log a a b，再根据底数的范围转化为f（x）＞a b或0＜f（x）＜a b.而对于形如log a f（x）＞log b g（x）的不等式，一般要转化为同底的不等式来解．和对数函数有关的复合函数解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤已知函数f（x）＝log a（３—ax）．（１）当x∈[0,２]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；（２）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[１,２]上为减函数，并且最大值为１？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．[解]（１）因为a＞0且a≠１，设t（x）＝３—ax，则t（x）＝３—ax为减函数，x∈[0,２]时，t（x）的最小值为３—２a，当x∈[0,２]时，f（x）恒有意义，即x∈[0,２]时，３—ax＞0恒成立．所以３—２a＞0．所以a＜错误!.又a＞0且a≠１，所以a∈（0,１）∪错误!.（２）t（x）＝３—ax，因为a＞0，所以函数t（x）为减函数．因为f（x）在区间[１,２]上为减函数，所以y＝log a t为增函数，所以a＞１，当x∈[１,２]时，t（x）最小值为３—２a，f（x）最大值为f（１）＝log a（３—a），所以错误!即错误!故不存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[１,２]上为减函数，并且最大值为１．利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与１的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．１．已知函数f（x）＝log0．５（x２—ax＋３a）在[２，＋∞）单调递减，则a的取值范围为（）Ａ．（—∞，４] Ｂ．[４，＋∞）Ｃ．[—４,４] Ｄ．（—４,４]D[令g（x）＝x２—ax＋３a，因为f（x）＝log0．５（x２—ax＋３a）在[２，＋∞）单调递减，所以函数g（x）在区间[２，＋∞）内单调递增，且恒大于0，所以错误!a≤２且g（２）＞0，所以a≤４且４＋a＞0，所以—４＜a≤４．故选Ｄ．]２．函数y＝log a x（a＞0且a≠１）在[２,４]上的最大值与最小值的差是１，则a＝________.２或错误![分两种情况讨论：１当a＞１时，有log a４—log a２＝１，解得a＝２；２当0＜a＜１时，有log a２—log a４＝１，解得a＝错误!.所以a＝２或错误!.]３．设函数f（x）＝若f（a）＞f（—a），则实数a的取值范围是________．（—１,0）∪（１，＋∞）[由题意得错误!或解得a＞１或—１＜a＜0．]。

１．函数的单调性（１）单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f（x）的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量的值x１，x２当x１＜x２时，都有f（x１）＜f（x２），那么就说函数f（x）在区间D上是单调增函数当x１＜x２时，都有f（x１）＞f（x２），那么就说函数f（x）在区间D上是单调减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做函数y＝f（x）的单调区间．２．函数的最值前提设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足条件１对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；２存在x∈I，使得f（x）＝M１对于任意x∈I，都有f（x）≥M；２存在x∈I，使得f（x）＝M结论M为函数y＝f（x）的最大值M为函数y＝f（x）的最小值[小题体验]１．（２0１9·常州一中月考）f（x）＝|x＋２|的单调递增区间为________．答案：[—２，＋∞）２．若函数f（x）＝错误!在区间[２，a]上的最大值与最小值的和为错误!，则a＝________.解析：由f（x）＝错误!的图象知，f（x）＝错误!在（0，＋∞）上是减函数，因为[２，a]⊆（0，＋∞），所以f（x）＝错误!在[２，a]上也是减函数，所以f（x）max＝f（２）＝错误!，f（x）min＝f（a）＝错误!，所以错误!＋错误!＝错误!，所以a＝４．答案：４３．函数f（x）是在区间（—２,３）上的增函数，则y＝f（x＋５）的一个递增区间是________．解析：由—２＜x＋５＜３，得—7＜x＜—２，故y＝f（x＋５）的递增区间为（—7，—２）．答案：（—7，—２）１．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．２．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f （x）在区间（—１,0）上是减函数，在（0,１）上是减函数，但在（—１,0）∪（0,１）上却不一定是减函数，如函数f（x）＝错误!.３．两函数f（x），g（x）在x∈（a，b）上都是增（减）函数，则f（x）＋g（x）也为增（减）函数，但f（x）·g（x），错误!等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．[小题纠偏]１．（２0１9·海安期中）函数f（x）＝错误!的单调递减区间为________．答案：错误!和错误!２．已知函数f（x）＝log５（x２—３x—４），则该函数的单调递增区间为________．解析：由题意知x２—３x—４＞0，则x＞４或x＜—１，令y＝x２—３x—４，则其图象的对称轴为x＝错误!，所以y＝x２—３x—４的单调递增区间为（４，＋∞）．单调递减区间为（—∞，—１），由复合函数的单调性知f（x）的单调递增区间为（４，＋∞）．答案：（４，＋∞）错误!错误![题组练透]１．讨论函数f（x）＝错误!在x∈（—１,１）上的单调性．解：设—１＜x１＜x２＜１，则f（x１）—f（x２）＝错误!—错误!＝错误!.因为—１＜x１＜x２＜１，所以x２—x１＞0，x１x２＋１＞0，（x错误!—１）（x错误!—１）＞0，所以f（x１）—f（x２）＞0，即f（x１）＞f（x２），故函数f（x）在（—１,１）上为减函数．２．已知函数f（x）＝a＋错误!（a∈R），判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明．解：f（x）在（—∞，0），（0，＋∞）上均为减函数，证明如下：函数f（x）的定义域为（—∞，0）∪（0，＋∞），在定义域内任取x１，x２，使0＜x１＜x２，则f（x２）—f（x１）＝错误!—错误!＝错误!.因为0＜x１＜x２，所以２x１＜２x２，２x２＞１,２x１＞１，所以２x１—２x２＜0,２x１—１＞0,２x２—１＞0，从而f（x２）—f（x１）＜0，即f（x２）＜f（x１），所以f（x）在（0，＋∞）上为减函数，同理可证f（x）在（—∞，0）上为减函数．[谨记通法]１．定义法判断函数单调性的步骤取值错误!错误!错误!２．导数法判断函数单调性的步骤错误!错误!错误!错误!错误![典例引领]求下列函数的单调区间：（１）y＝—x２＋２|x|＋１；（２）y＝log错误!（x２—３x＋２）．解：（１）由于y＝错误!即y＝错误!画出函数图象如图所示，单调递增区间为（—∞，—１]和[0,１]，单调递减区间为[—１,0]和[１，＋∞）．（２）令u＝x２—３x＋２，则原函数可以看作y＝log错误!u与u＝x２—３x＋２的复合函数．令u＝x２—３x＋２＞0，则x＜１或x＞２．所以函数y＝log错误!（x２—３x＋２）的定义域为（—∞，１）∪（２，＋∞）．又u＝x２—３x＋２的对称轴x＝错误!，且开口向上．所以u＝x２—３x＋２在（—∞，１）上是单调减函数，在（２，＋∞）上是单调增函数．而y＝log错误!u在（0，＋∞）上是单调减函数，所以y＝log错误!（x２—３x＋２）的单调递减区间为（２，＋∞），单调递增区间为（—∞，１）．[由题悟法]确定函数的单调区间的３种方法[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．[即时应用]１．函数f（x）＝log２（x２—４）的单调递增区间为________．解析：令t＝x２—４＞0，解得x＜—２或x＞２，故函数f（x）的定义域为{x|x＜—２或x＞２}，且f（x）＝log２t.利用二次函数的性质可得，t ＝x ２—４在定义域{x |x ＜—２或x ＞２}内的单调递增区间为（２，＋∞），所以函数f （x ）的单调递增区间为（２，＋∞）．答案：（２，＋∞） ２．函数y ＝错误!2231x x －＋的单调递增区间为________．解析：令u ＝２x ２—３x ＋１＝２错误!２—错误!.因为u ＝２错误!２—错误!在错误!上单调递减，函数y ＝错误!u 在R 上单调递减． 所以y ＝错误!2231x x －＋在错误!上单调递增．答案：错误! 错误! 错误![锁定考向]高考对函数单调性的考查多以填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中． 常见的命题角度有： （１）求函数的值域或最值； （２）比较数值的大小； （３）利用单调性解函数不等式；（４）利用单调性求参数的取值范围或值．[题点全练]角度一：求函数的值域或最值１．（２0１9·启东中学检测）设m ∈R ，若函数f （x ）＝|x ３—３x —２m |＋m 在x ∈[0,２]上的最大值与最小值之差为３，则m ＝________.解析：令y ＝x ３—３x ，x ∈[0,２]，则y ′＝３x ２—３． 由y ′＞0，得１＜x ＜２；由y ′＜0，得0＜x ＜１，所以y ＝x ３—３x 在（0,１）上单调递减，在（１,２）上单调递增，所以当x ∈[0,２]时，y ＝x ３—３x 的值域为[—２,２]，y ＝x ３—３x —２m 的值域为[—２—２m,２—２m ]．１当m ＝0时，f （x ）max ＝２，f （x ）min ＝0，不符合题意；２当m ≥１时，f （x ）max ＝f （—２）＝２＋３m ，f （x ）min ＝f （２）＝３m —２，f （x ）max —f （x ）＝４，不符合题意；min３当0＜m＜１时，f（x）max＝f（—２）＝２＋３m，f（x）min＝m，f（x）max—f（x）min＝２＋２m＝３，解得m＝错误!，符合题意；４当—１＜m＜0时，f（x）max＝f（２）＝２—m，f（x）min＝m，f（x）max—f（x）min＝２—２m＝３，解得m＝—错误!，符合题意；５当m≤—１时，f（x）max＝２—m，f（x）min＝—２—m，f（x）max—f（x）min＝４，不符合题意．综上可得，m＝±错误!.答案：±错误!角度二：比较数值的大小２．设函数f（x）定义在实数集R上，它的图象关于直线x＝１对称，且当x≥１时，f（x）＝３x—１，则f错误!，f错误!，f错误!的大小关系为________________（用“＜”号表示）．解析：由题设知，f（x）的图象关于直线x＝１对称，当x＜１时，f（x）单调递减，当x≥１时，f（x）单调递增，所以f错误!＝f错误!＝f错误!＝f错误!，又错误!＜错误!＜错误!＜１，所以f错误!＞f错误!＞f 错误!，即f错误!＞f错误!＞f错误!.答案：f错误!＜f错误!＜f错误!角度三：利用单调性解函数不等式３．设函数f（x）＝错误!若f（a＋１）≥f（２a—１），则实数a的取值范围是________．解析：易知函数f（x）在定义域（—∞，＋∞）上是增函数，∵f（a＋１）≥f（２a—１），∴a＋１≥２a—１，解得a≤２．故实数a的取值范围是（—∞，２]．答案：（—∞，２]x）＞0４．定义在R上的奇函数y＝f（x）在（0，＋∞）上递增，且f 错误!＝0，求不等式f（log19的解集．解：∵y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且y＝f（x）在（0，＋∞）上递增．∴y＝f（x）在（—∞，0）上也是增函数，又f 错误!＝0，知f 错误!＝—f 错误!＝0．故原不等式f（log19x）＞0可化为f（log19x）＞f错误!或f错误!＜f（log19x）＜f错误!，∴log19x＞错误!或—错误!＜log19x＜0，解得0＜x＜错误!或１＜x＜３．∴原不等式的解集为错误!.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值５．（２0１9·南通调研）已知函数f（x）＝错误!（a＞0，且a≠１）满足对任意x１≠x２，都有错误!＜0成立，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知f（x）为减函数，所以错误!解得0＜a≤错误!.答案：错误![通法在握]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略（１）求函数最值（五种常用方法）（２）比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于填空题能数形结合的尽量用图象法求解．（３）解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．（４）利用单调性求参数的范围（或值）的方法１视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；２需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[提醒] １若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；２分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．[演练冲关]１．（２0１9·连云港调研）若函数f（x）＝错误!是在R上的减函数，则a的取值范围是________．解析：由题意得错误!解得—6≤a＜１．答案：[—6,１）２．函数f（x）＝—错误!＋b（a＞0）在错误!上的值域为错误!，则a＝________，b＝________.解析：因为f（x）＝—错误!＋b（a＞0）在错误!上是增函数，所以f错误!＝错误!，f（２）＝２．即错误!解得a＝１，b＝错误!.答案：１错误!３．已知函数f（x）＝ln（２＋|x|）—错误!，则使得f（x＋２）＞f（２x—１）成立的x的取值范围是________．解析：由f（—x）＝f（x）可得函数f（x）是定义域R上的偶函数，且x＞0时函数f（x）单调递增，则不等式等价于f（|x＋２|）＞f（|２x—１|），即|x＋２|＞|２x—１|，两边平方化简得３x２—8x—３＜0，解得—错误!＜x＜３．答案：错误!一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·如皋中学月考）函数f（x）＝|x２—２x＋２|的增区间是________．解析：因为函数f（x）＝|x２—２x＋２|＝|（x—１）２＋１|＝（x—１）２＋１，所以函数f（x）＝|x２—２x＋２|的增区间是[１，＋∞）．答案：[１，＋∞）２．函数y＝错误!—x（x≥0）的最大值为________．解析：令t＝错误!，则t≥0，所以y＝t—t２＝—错误!２＋错误!，结合图象知，当t＝错误!，即x＝错误!时，y max＝错误!.答案：错误!３．（２0１8·徐州质检）函数f（x）＝错误!x—log２（x＋２）在区间[—１,１]上的最大值为________．解析：因为y＝错误!x和y＝—log２（x＋２）都是[—１,１]上的减函数，所以y＝错误!x—log２（x ＋２）是在区间[—１,１]上的减函数，所以最大值为f（—１）＝３．答案：３４．已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递减，则满足f（２x—１）＜f（５）的x的取值范围是________．解析：因为偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递减，且f（２x—１）＜f（５），所以|２x—１|＞５，即x＜—２或x＞３．答案：（—∞，—２）∪（３，＋∞）５．若函数f（x）＝—x２＋２ax与g（x）＝（a＋１）１—x在区间[１,２]上都是减函数，则a的取值范围是________．解析：因为f（x）＝—x２＋２ax＝—（x—a）２＋a２在[１,２]上是减函数，所以a≤１．又g（x）＝（a＋１）１—x在[１,２]上是减函数．所以a＋１＞１，所以a＞0．综上可知0＜a≤１．答案：（0,１]6．（２0１9·海门中学高三检测）已知函数f（x）＝错误!满足对任意x１＜x２，都有f（x１）＜f（x２）成立，那么实数a的取值范围是________．解析：∵函数f（x）满足对任意x１＜x２，都有f（x１）＜f（x２）成立，∴函数f（x）在定义域上是增函数，则满足错误!即错误!解得错误!≤a＜２．答案：错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．设函数f（x）＝错误!在区间（—２，＋∞）上是增函数，则a的取值范围是________．解析：f（x）＝错误!＝a—错误!，因为函数f（x）在区间（—２，＋∞）上是增函数．所以错误!解得a≥１．答案：[１，＋∞）２．（２0１9·江阴高三检测）设a＞0且a≠１，函数f（x）＝log a|ax２—x|在[３,５]上是单调增函数，则实数a的取值范围为______________．解析：∵a＞0且a≠１，函数f（x）＝log a|ax２—x|＝log a|x·（ax—１）|在[３,５]上是单调增函数，∴当a＞１时，y＝x·（ax—１）在[３,５]上是单调增函数，且y＞0，满足f（x）是增函数；当0＜a＜１时，要使f（x）在[３,５]上是单调增函数，只需错误!解得错误!≤a＜错误!.综上可得，a＞１或错误!≤a＜错误!.答案：错误!∪（１，＋∞）３．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝错误!设函数f（x）＝—x＋３，g（x）＝log２x，则函数h（x）＝min{f（x），g（x）}的最大值是________．解析：依题意，h（x）＝错误!当0＜x≤２时，h（x）＝log２x是增函数，当x＞２时，h（x）＝—x ＋３是减函数，所以h（x）在x＝２时，取得最大值h（２）＝１．答案：１４．（２0１8·徐州一模）已知函数y＝f（x）和y＝g（x）的图象关于y轴对称，当函数y＝f（x）和y＝g（x）在区间[a，b]上同时递增或者同时递减时，把区间[a，b]叫做函数y＝f（x）的“不动区间”，若区间[１,２]为函数f（x）＝|２x—t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是________．解析：因为函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于y轴对称，所以g（x）＝f（—x）＝|２—x—t|.因为区间[１,２]为函数f（x）＝|２x—t|的“不动区间”，所以函数f（x）＝|２x—t|和函数g（x）＝|２—x—t|在[１,２]上单调性相同，因为y＝２x—t和函数y＝２—x—t的单调性相反，所以（２x—t）（２—x—t）≤0在[１,２]上恒成立，即２—x≤t≤２x在[１,２]上恒成立，解得错误!≤t≤２．答案：错误!５．（２0１8·金陵中学月考）定义在[—２,２]上的函数f（x）满足（x１—x２）[f（x１）—f（x２）]＞0，x１≠x２，且f（a２—a）＞f（２a—２），则实数a的取值范围为________．解析：函数f（x）满足（x１—x２）[f（x１）—f（x２）]＞0，x１≠x２，所以函数在[—２,２]上单调递增，所以错误!所以错误!所以0≤a＜１．答案：[0,１）6．设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数，则f（—２），f（π），f （—３）的大小关系为____________（用“＜”表示）．解析：因为f（x）是偶函数，所以f（—３）＝f（３），f（—２）＝f（２）．又因为函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数，所以f（π）＞f（３）＞f（２），所以f（—２）＜f（—３）＜f（π）．答案：f（—２）＜f（—３）＜f（π）7．（２0１8·苏州高三暑假测试）已知函数f（x）＝x＋错误!（a＞0），当x∈[１,３]时，函数f（x）的值域为A，若A⊆[8,１6]，则a的值等于________．解析：因为A⊆[8,１6]，所以8≤f（x）≤１6对任意的x∈[１,３]恒成立，所以错误!对任意的x∈[１,３]恒成立，当x∈[１,３]时，函数y＝１6x—x２在[１,３]上单调递增，所以１6x—x２∈[１５,３9]，函数y＝8x—x２在[１,３]上也单调递增，所以8x—x２∈[7,１５]，所以错误!即a的值等于１５．答案：１５8．若函数f（x）＝a x（a＞0，a≠１）在[—１,２]上的最大值为４，最小值为m，且函数g（x）＝（１—４m）错误!在[0，＋∞）上是增函数，则a＝________.解析：函数g（x）在[0，＋∞）上为增函数，则１—４m＞0，即m＜错误!.若a＞１，则函数f（x）在[—１,２]上的最小值为错误!＝m，最大值为a２＝４，解得a＝２，错误!＝m，与m＜错误!矛盾；当0＜a＜１时，函数f（x）在[—１,２]上的最小值为a２＝m，最大值为a—１＝４，解得a＝错误!，m＝错误!.所以a＝错误!.答案：错误!9．已知函数f（x）＝a—错误!.（１）求证：函数y＝f（x）在（0，＋∞）上是增函数；（２）若f（x）＜２x在（１，＋∞）上恒成立，求实数a的取值范围．解：（１）证明：当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝a—错误!，设0＜x１＜x２，则x１x２＞0，x２—x１＞0，f（x２）—f（x１）＝错误!—错误!＝错误!—错误!＝错误!＞0，所以f（x）在（0，＋∞）上是增函数．（２）由题意a—错误!＜２x在（１，＋∞）上恒成立，设h（x）＝２x＋错误!，则a＜h（x）在（１，＋∞）上恒成立．任取x１，x２∈（１，＋∞）且x１＜x２，h（x１）—h（x２）＝（x１—x２）错误!.因为１＜x１＜x２，所以x１—x２＜0，x１x２＞１，所以２—错误!＞0，所以h（x１）＜h（x２），所以h（x）在（１，＋∞）上单调递增．故a≤h（１），即a≤３，所以实数a的取值范围是（—∞，３]．１0．（２0１9·江阴期中）设函数f（x）＝错误!是定义在（—１,１）上的奇函数，且f错误!＝错误!.（１）求函数f（x）的解析式；（２）用单调性定义证明f（x）在（—１,１）上是增函数；（３）解不等式f（|t|—１）＋f（t２）＜f（0）．解：（１）因为f（x）＝错误!是定义在（—１,１）上的奇函数，所以f（0）＝b＝0，所以f（x）＝错误!，而f错误!＝错误!＝错误!，解得a＝１，所以f（x）＝错误!，x∈（—１,１）．（２）证明：任取x１，x２∈（—１,１）且x１＜x２，则f（x１）—f（x２）＝错误!—错误!＝错误!.因为x１＜x２，所以x１—x２＜0，又因为x１，x２∈（—１,１），所以１—x１x２＞0，所以f（x１）—f（x２）＜0，即f（x１）＜f（x２），所以函数f（x）在（—１,１）上是增函数．（３）由题意，不等式f（|t|—１）＋f（t２）＜f（0）可化为f（|t|—１）＋f（t２）＜0，即f（t２）＜—f（|t|—１），因为f（x）是定义在（—１,１）上的奇函数，所以f（t２）＜f（１—|t|），所以错误!解得错误!＜t＜错误!且t≠0，所以该不等式的解集为错误!∪错误!.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（xy）＝f（x）＋f（y），f（３）＝１，当f （x）＋f（x—8）≤２时，x的取值范围是____________．解析：因为f（9）＝f（３）＋f（３）＝２，所以由f（x）＋f（x—8）≤２，可得f[x（x—8）]≤f （9），因为f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，所以有错误!解得8＜x≤9．答案：（8,9]２．已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）满足f错误!＝f（x１）—f（x２），且当x＞１时，f （x）＜0．（１）证明：f（x）为单调递减函数；（２）若f（３）＝—１，求f（x）在[２,9]上的最小值．解：（１）证明：任取x１，x２∈（0，＋∞），且x１＞x２，则错误!＞１，由于当x＞１时，f（x）＜0，所以f错误!＜0，即f（x１）—f（x２）＜0，因此f（x１）＜f（x２），所以函数f（x）在区间（0，＋∞）上是单调递减函数．（２）因为f（x）在（0，＋∞）上是单调递减函数，所以f（x）在[２,9]上的最小值为f（9）．由f错误!＝f（x１）—f（x２）得，f错误!＝f（9）—f（３），而f（３）＝—１，所以f（9）＝—２．所以f（x）在[２,9]上的最小值为—２．。

１．几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0）反比例函数模型f（x）＝错误!＋b（k，b为常数且k≠0）二次函数模型f（x）＝ax２＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）指数函数模型f（x）＝ba x＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠１）对数函数模型f（x）＝b log a x＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠１）幂函数模型f（x）＝ax n＋b（a，b为常数，a≠0）（１）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；（２）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；（３）解模：求解函数模型，得出数学结论；（４）还原：将数学结论还原为实际意义的问题．以上过程用框图表示如下：[小题体验]１．（２0１9·徐州诊断）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过１0立方米的，按每立方米３元收费；用水超过１0立方米的，超过的部分按每立方米５元收费．某职工某月的水费为５５元，则该职工这个月实际用水为________立方米．解析：设该职工某月的实际用水为x立方米时，水费为y元，由题意得y＝错误!即y＝错误!易知该职工这个月的实际用水量超过１0立方米，所以５x—２0＝５５，解得x＝１５．答案：１５２．用１8 m的材料围成一块矩形场地，中间有两道隔墙．若使矩形面积最大，则能围成的最大面积是________m２.解析：设隔墙长为x m，则面积S＝x·错误!＝—２x２＋9x＝—２错误!２＋错误!.所以当x＝错误!时，能围成的面积最大，为错误!m２.答案：错误!１．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确理解题意，选择适当的函数模型．２．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．３．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．[小题纠偏]１．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为４000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0．３元，普通车存车费是每辆一次0．２元．若普通车存车量为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是__________．答案：y＝—0．１x＋１２00（0≤x≤４000）２．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f（n）＝错误!n（n＋１）（２n＋１）吨，但如果年产量超过１５0吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．解析：各年产量为a n＝f（n）—f（n—１）＝错误!n（n＋１）（２n＋１）—错误!n（n—１）（２n—１）＝３n２（n∈N*），令３n２≤１５0，得１≤n≤５错误!.又n∈N*，所以１≤n≤7，故生产期限最长为7年．答案：7错误!错误![典例引领]某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段．已知跳水板AB长为２m，跳水板距水面CD的高BC为３m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距h m（h≥１）时达到距水面最大高度４m，规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．（１）当h＝１时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（２）若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．解：由题意，最高点为（２＋h,４），h≥１．设抛物线方程为y＝a[x—（２＋h）]２＋４．（１）当h＝１时，最高点为（３,４），方程为y＝a（x—３）２＋４．（*）将点A（２,３）代入（*）式得a＝—１．即所求抛物线的方程为y＝—x２＋6x—５．（２）将点A（２,３）代入y＝a[x—（２＋h）]２＋４，得ah２＝—１．由题意，方程a[x—（２＋h）]２＋４＝0在区间[５,6]内有一解．令f（x）＝a[x—（２＋h）]２＋４＝—错误![x—（２＋h）]２＋４，则错误!解得１≤h≤错误!.故达到比较好的训练效果时的h的取值范围是错误!.[由题悟法]二次函数模型问题的３个注意点（１）构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域；（２）二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；（３）解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．[即时应用]（２0１9·启东中学高三检测）某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创利润１万元，据评估，在生产条件不变的情况下，每裁员１人，则留岗员工每人每年可多创收0．0１万元，但每年需付给每个下岗工人0．４万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的错误!，设该企业裁员x人后纯收益为y万元．（１）写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；（２）当１４0＜a≤２80时，问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？（在保证能获得较大经济效益的情况下，应尽量少裁员）解：（１）由题意，y＝（a—x）（１＋0．0１x）—0．４x＝—错误!x２＋错误!x＋a，因为a—x≥错误!，所以x≤错误!.故x的取值范围为0≤x≤错误!且x∈N*.（２）由（１）知y＝—错误!错误!２＋错误!错误!２＋a，当１４0＜a≤２80时，0＜错误!—70≤错误!，当a为偶数时，x＝错误!—70，y取最大值；当a为奇数时，x＝错误!—70或x＝错误!—70，y取最大值，因尽可能少裁员，所以x＝错误!—70，所以当a为偶数时，应裁员错误!人；当a为奇数时，应裁员错误!人．错误!错误![典例引领]为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用２0年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系C（x）＝错误!（0≤x≤１0），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f（x）为隔热层建造费用与２0年的能源消耗费用之和．（１）求k的值及f（x）的表达式；（２）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．解：（１）由已知条件得C（0）＝8，则k＝４0，因此f（x）＝6x＋２0C（x）＝6x＋错误!（0≤x≤１0）．（２）f（x）＝6x＋１0＋错误!—１0≥２错误!—１0＝70（万元），当且仅当6x＋１0＝错误!，即x＝５时等号成立．所以当隔热层厚度为５cm时，总费用f（x）达到最小值，最小值为70万元．应用函数y＝x＋错误!模型的关键点（１）明确对勾函数是正比例函数f（x）＝ax与反比例函数f（x）＝错误!叠加而成的．（２）解决实际问题时一般可以直接建立f（x）＝ax＋错误!的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f（x）＝ax＋错误!的形式．（３）利用模型f（x）＝ax＋错误!求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．[即时应用]某隧道长２１５0 m，通过隧道的车速不能超过２0 m/s.一列有５５辆车身长都为１0 m的同一车型的车队（这种型号的车能行驶的最高速为４0 m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为x m/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤１0时，相邻两车之间保持２0 m的距离；当１0＜x≤２0时，相邻两车之间保持错误!m的距离．自第１辆车车头进入隧道至第５５辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．（１）将y表示为x的函数；（２）求车队通过隧道的时间y的最小值及此时车队的速度．（错误!≈１．7３）解：（１）当0＜x≤１0时，y＝错误!＝错误!，当１0＜x≤２0时，y＝错误!＝错误!＋9x＋１8，所以y＝错误!（２）当x∈（0,１0]时，在x＝１0时，y min＝错误!＝３78（s）．当x∈（１0,２0]时，y＝错误!＋9x＋１8≥１8＋２× 错误!＝１8＋１80错误!≈３２9．４（s），当且仅当9x＝错误!，即x≈１7．３（m/s）时取等号．因为１7．３∈（１0,２0]，所以当x＝１7．３（m/s）时，y min＝３２9．４（s），因为３78＞３２9．４，所以当车队的速度为１7．３m/s时，车队通过隧道的时间y有最小值３２9．４s.错误!错误!已知某物体的温度θ（单位：摄氏度）随时间t（单位：分钟）的变化规律是：θ＝m·２t＋２１—t（t≥0，并且m＞0）．（１）如果m＝２，求经过多少时间，物体的温度为５摄氏度；（２）若物体的温度总不低于２摄氏度，求m的取值范围．解：（１）若m＝２，则θ＝２·２t＋２１—t＝２错误!，当θ＝５时，２t＋错误!＝错误!，令２t＝x（x≥１），则x＋错误!＝错误!，即２x２—５x＋２＝0，解得x＝２或x＝错误!（舍去），此时t＝１．所以经过１分钟，物体的温度为５摄氏度．（２）物体的温度总不低于２摄氏度，即θ＝m·２t＋错误!≥２恒成立，亦即m≥２错误!恒成立．令错误!＝x，则0＜x≤１，所以m≥—２x２＋２x，因为—２x２＋２x＝—２错误!２＋错误!∈错误!，所以m≥错误!，因此，当物体的温度总不低于２摄氏度时，m的取值范围是错误!.[由题悟法]指数函数与对数函数模型的应用技巧（１）与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于１）的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．（２）在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．[即时应用]候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v（单位：m/s）与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋b log３错误!（其中a，b是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为３0个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为１m/s.（１）求出a，b的值；（２）若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于２m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解：（１）由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为３0个单位，故有a＋b log３错误!＝0，即a＋b＝0．当耗氧量为90个单位时，速度为１m/s，故a＋b log３错误!＝１，整理得a＋２b＝１．解方程组错误!得错误!（２）由（１）知，v＝a＋b log３错误!＝—１＋log３错误!.所以要使飞行速度不低于２m/s，则有v≥２，所以—１＋log３错误!≥２，即log３错误!≥３，解得错误!≥２7，即Q≥２70．所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于２m/s，则其耗氧量至少要２70个单位．一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．某种商品进价为４元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售１00件，当单价每增加１元，日均销量减少１0件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为２0元，则预计单价为________元/件时，利润最大．解析：设单价为6＋x，日均销售量为１00—１0x，则日利润y＝（6＋x—４）（１00—１0x）—２0＝—１0x２＋80x＋１80＝—１0（x—４）２＋３４0（0＜x＜１0）．所以当x＝４时，y max＝３４0．即单价为１0元/件，利润最大．答案：１0２．（２0１8·盐城中学检测）“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a错误!（a为常数），广告效应为D ＝R—A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为________．（用常数a表示）解析：D＝R—A＝a错误!—A，令t＝错误!（t＞0），则A＝t２，所以D＝at—t２＝—错误!２＋错误!a２.所以当t＝错误!a，即A＝错误!a２时，D取得最大值．答案：错误!a２３．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为３km（不超过３km按起步价付费）；超过３km但不超过8 km时，超过部分按每千米２．１５元收费；超过8 km时，超过部分按每千米２．8５元收费，另每次乘坐需付燃油附加费１元．现某人乘坐一次出租车付费２２．6元，则此次出租车行驶了________km.解析：设出租车行驶x km时，付费y元，则y＝错误!由y＝２２．6，解得x＝9．答案：9４．（２0１9·盐城调研）一批货物随１7列货车从A市以v km/h匀速直达B市，已知两地铁路线长４00 km，为了安全，两列货车间距离不得小于错误!２km，那么这批物资全部运到B市，最快需要________ h（不计货车的身长）．解析：设这批物资全部运到B市用的时间为y，因为不计货车的身长，所以设列车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为１6×错误!２时，时间最快．则y＝错误!＝错误!＋错误!≥２错误!＝8，当且仅当错误!＝错误!，即v＝１00时等号成立，y min＝8．答案：8５．（２0１9·南通模拟）用长度为２４的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．解析：设矩形场地的宽（即隔墙的长度）为x，则长为错误!，其面积S＝错误!·x＝１２x—２x２＝—２（x—３）２＋１8，当x＝３时，S有最大值１8，所以隔墙的长度为３．答案：３6．有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话m分钟的电话费由函数f（m）＝１．06×（0．５[m]＋１）（元）决定，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数．则从北京到上海通话时间为５．５分钟的电话费为________元．解析：因为m＝５．５，所以[５．５]＝6．代入函数解析式，得f（５．５）＝１．06×（0．５×6＋１）＝４．２４．答案：４．２４二保高考，全练题型做到高考达标１．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租２0元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t（分钟）与电话费s（元）的函数关系如图所示，当通话１５0分钟时，这两种方式电话费相差________元．解析：依题意可设s A（t）＝２0＋kt，s B（t）＝mt，又s A（１00）＝s B（１00），所以１00k＋２0＝１00m，得k—m＝—0．２，于是s A（１５0）—s B（１５0）＝２0＋１５0k—１５0m＝２0＋１５0×（—0．２）＝—１0，即两种方式电话费相差１0元．答案：１0２．某商店已按每件80元的成本购进某商品１000件，根据市场预测，销售价为每件１00元时可全部售完，定价每提高１元时销售量就减少５件，若要获得最大利润，销售价应定为每件________元．解析：设售价提高x元，利润为y元，则依题意得y＝（１000—５x）×（１00＋x）—80×１000＝—５x２＋５00x＋２0 000＝—５（x—５0）２＋３２５00，故当x＝５0时，y max＝３２５00，此时售价为每件１５0元．答案：１５0３．（２0１9·海安中学检测）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司全年投入研发资金１３0万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长１２%，则该公司全年投入的研发资金开始超过２00万元的年份是________．（参考数据：lg １．１２≈0．0５，lg １．３≈0．１１，lg ２≈0．３0）解析：设后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过２00万元，由１３0（１＋１２%）n＞２00，得１．１２n＞错误!，两边取常用对数，得n＞错误!≈错误!＝３．8，所以n≥４，所以从２0２１年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过２00万元．答案：２0２１年４．（２0１9·启东中学检测）某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y１与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y２与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站１0千米处建仓库，这两项费用y１，y２分别是２万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．解析：由题意设仓库在离车站x千米处，则y１＝错误!，y２＝k２x，其中x＞0，由错误!得错误!，即y１＋y２＝错误!＋错误!x≥２错误!＝8，当且仅当错误!＝错误!x，即x＝５时等号成立．答案：５５．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝a e nt.假设过５分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有错误!，则m＝________.解析：根据题意知错误!＝e５n，令错误!a＝a e nt，即错误!＝e nt，因为错误!＝e５n，故错误!＝e１５n，比较知t＝１５，m＝１５—５＝１0．答案：１06．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为１0海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶１0海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．解析：设每小时的总费用为y元，则y＝kv２＋96，又当v＝１0时，k×１0２＝6，解得k＝0．06，所以每小时的总费用y＝0．06v２＋96，匀速行驶１0海里所用的时间为错误!小时，故总费用为W＝错误!y＝错误!（0．06v２＋96）＝0．6v＋错误!≥２错误!＝４8，当且仅当0．6v＝错误!，即v＝４0时等号成立．故总费用最小时轮船的速度为４0海里/小时．答案：４07．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料（如图），为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图阴影部分）备用，则截取的矩形面积的最大值为________．解析：依题意知：错误!＝错误!，即x＝错误!（２４—y），所以阴影部分的面积S＝xy＝错误!（２４—y）·y＝错误!（—y２＋２４y）＝—错误!（y—１２）２＋１80．所以当y＝１２时，S有最大值为１80．答案：１808．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励１万元．销售额x为6４万元时，奖励４万元．若公司拟定的奖励模型为y＝a log４x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为______（万元）．解析：依题意得错误!即错误!解得a＝２，b＝—２．所以y＝２log４x—２，当y＝8时，即２log４x—２＝8．x＝１0２４（万元）．答案：１0２４9．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w（单位：百千克）与肥料费用x（单位：百元）满足如下关系：w＝４—错误!，且投入的肥料费用不超过５百元，此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）２x百元．已知这种水蜜桃的市场售价为１6元/千克（即１6百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L（x）（单位：百元）．（１）求L（x）的函数关系式，并写出定义域；（２）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？解：（１）L（x）＝１6错误!—x—２x＝6４—错误!—３x，x∈（0,５]．（２）法一：L（x）＝6４—错误!—３x＝67—错误!≤67—２错误!＝４３，当且仅当错误!＝３（x＋１），即x＝３时取等号．故L（x）max＝４３．答：当投入的肥料费用为３00元时，该水密桃树获得的利润最大，为４３00元．法二：L′（x）＝错误!—３，令L′（x）＝0，得x＝３．故当x∈（0,３）时，L′（x）＞0，L（x）在（0,３）上单调递增；当x∈（３,５]时，L′（x）＜0，L（x）在（３,５]上单调递减．故L（x）max＝L（３）＝４３．答：当投入的肥料费用为３00元时，该水蜜桃树获得的利润最大，为４３00元．１0．（２0１9·镇江调研）如图，政府有一个边长为４00 m的正方形公园ABCD，在以四个角的顶点为圆心，以１５0 m为半径的四分之一圆内都种植了花卉．现在中间修建一块长方形的活动广场P Q MN，其中P，Q，M，N四点都在相应的圆弧上，并且活动广场边界与公园边界对应平行，记∠Q BC＝α，长方形活动广场的面积为S.（１）请把S表示成关于α的函数关系式；（２）求S的最小值．解：（１）过Q作Q E⊥BC于E，连结B Q（图略）．在Rt△B Q E中，BE＝１５0cos α，Q E＝１５0sin α，0≤α≤错误!，可得矩形P Q MN的P Q＝４00—３00sin α，Q M＝４00—３00cos α，则S＝P Q·Q M＝（４00—３00sin α）（４00—３00cos α）＝１0 000（４—３sin α）（４—３cos α），α∈错误!.（２）由（１）知，S＝１0 000[１6—１２（sin α＋cos α）＋9sin αcos α]，设t＝sin α＋cos α＝错误!sin 错误!，则错误!≤α＋错误!≤错误!，可得１≤t≤错误!，sin αcos α＝错误!，∴S＝１0 000错误!＝５000错误!.∴当t＝错误!时，S取得最小值５000×7＝３５000 m２.三上台阶，自主选做志在冲刺名校某辆汽车以x千米/时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤１２0）时，每小时的耗油量（所需要的汽油量）为错误!错误!升，其中k为常数，且60≤k≤１00．（１）若汽车以１２0千米/时的速度行驶时，每小时的耗油量为１１．５升，欲使每小时的耗油量不超过9升，求x的取值范围；（２）求该汽车行驶１00千米的耗油量的最小值．解：（１）由题意知，当x＝１２0时，错误!错误!＝１１．５，∴k＝１00，由错误!错误!≤9，得x２—１４５x＋４５00≤0，∴４５≤x≤１00．又60≤x≤１２0，∴60≤x≤１00．故x的取值范围为[60,１00]．（２）设该汽车行驶１00千米的耗油量为y升，则y＝错误!·错误!错误!＝２0—错误!＋错误!（60≤x≤１２0）．令t＝错误!，则t∈错误!，∴y＝90 000t２—２0kt＋２0＝90 000错误!２＋２0—错误!，∴该函数图象的对称轴为直线t＝错误!.∵60≤k≤１00，∴错误!∈错误!.１若错误!≥错误!，即7５≤k≤１00，则当t＝错误!，即x＝错误!时，y min＝２0—错误!.２若错误!＜错误!，即60≤k＜7５，则当t＝错误!，即x＝１２0时，y min＝错误!—错误!.答：当7５≤k≤１00时，该汽车行驶１00千米的耗油量的最小值为错误!升；当60≤k＜7５时，该汽车行驶１00千米的耗油量的最小值为错误!升．命题点一基本初等函数（Ⅰ）１．（２0１7·全国卷Ⅰ改编）设x，y，z为正数，且２x＝３y＝５z，则２x,３y,５z的大小关系为________．解析：设２x＝３y＝５z＝k＞１，所以x＝log２k，y＝log３k，z＝log５k.因为２x—３y＝２log２k—３log３k＝错误!—错误!＝错误!＝错误!＝错误!＞0，所以２x＞３y；因为３y—５z＝３log３k—５log５k＝错误!—错误!＝错误!＝错误!＝错误!＜0，所以３y＜５z；因为２x—５z＝２log２k—５log５k＝错误!—错误!＝错误!＝错误!＝错误!＜0，所以５z＞２x.所以５z＞２x＞３y.答案：５z＞２x＞３y２．（２0１8·天津高考改编）已知a＝log３错误!，b＝错误!13，c＝log13错误!，则a，b，c的大小关系为________．解析：∵c＝log13错误!＝log３５，a＝log３错误!，又y＝log３x在（0，＋∞）上是增函数，∴log３５＞log３错误!＞log３３＝１，∴c＞a＞１．∵y＝错误!x在（—∞，＋∞）上是减函数，∴错误!13＜错误!0＝１，即b＜１．∴c＞a＞b.答案：c＞a＞b３．（２0１５·江苏高考）不等式２2x x－＜４的解集为________．解析：因为２x２—x＜４，所以２2x x－＜２２，所以x２—x＜２，即x２—x—２＜0，所以—１＜x＜２．答案：（—１,２）４．（２0１５·全国卷Ⅰ）若函数f（x）＝x ln（x＋错误!）为偶函数，则a＝________.解析：因为f（x）为偶函数，所以f（—x）—f（x）＝0恒成立，所以—x ln（—x＋错误!）—x ln（x＋错误!）＝0恒成立，所以x ln a＝0恒成立，所以ln a＝0，即a ＝１．答案：１５．（２0１8·上海高考）已知常数a＞0，函数f（x）＝错误!的图象经过点P错误!，Q错误!，若２p ＋q＝３6pq，则a＝________.解析：因为函数f（x）的图象经过点P错误!，Q错误!，所以f（p）＋f（q）＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!—错误!＝１，化简得２p＋q＝a２pq.因为２p＋q＝３6pq，所以a２＝３6且a＞0，所以a＝6．答案：66．（２0１6·江苏高考）已知函数f（x）＝a x＋b x（a＞0，b＞0，a≠１，b≠１）．（１）设a＝２，b＝错误!.１求方程f（x）＝２的根；２若对于任意x∈R，不等式f（２x）≥mf（x）—6恒成立，求实数m的最大值．（２）若0＜a＜１，b＞１，函数g（x）＝f（x）—２有且只有１个零点，求ab的值．解：（１）因为a＝２，b＝错误!，所以f（x）＝２x＋２—x.１方程f（x）＝２，即２x＋２—x＝２，亦即（２x）２—２×２x＋１＝0，所以（２x—１）２＝0，即２x＝１，解得x＝0．２由条件知f（２x）＝２２x＋２—２x＝（２x＋２—x）２—２＝（f（x））２—２．因为f（２x）≥mf（x）—6对于x∈R恒成立，且f（x）＞0，所以m≤错误!对于x∈R恒成立．而错误!＝f（x）＋错误!≥２错误!＝４，且错误!＝４，所以m≤４，故实数m的最大值为４．（２）因为函数g（x）＝f（x）—２＝a x＋b x—２有且只有１个零点，而g（0）＝f（0）—２＝a0＋b0—２＝0，所以0是函数g（x）的唯一零点．因为g′（x）＝a x ln a＋b x ln b，又由0＜a＜１，b＞１知ln a＜0，ln b＞0，所以g′（x）＝0有唯一解x0＝log错误!.ba令h（x）＝g′（x），则h′（x）＝（a x ln a＋b x ln b）′＝a x（ln a）２＋b x（ln b）２，从而对任意x∈R，h′（x）＞0，所以g′（x）＝h（x）是（—∞，＋∞）上的单调增函数．于是当x∈（—∞，x0）时，g′（x）＜g′（x0）＝0；当x∈（x0，＋∞）时，g′（x）＞g′（x0）＝0．因而函数g（x）在（—∞，x0）上是单调减函数，在（x0，＋∞）上是单调增函数．下证x0＝0．若x0＜0，则x0＜错误!＜0，于是g错误!＜g（0）＝0．又g（log a２）＝a log a２＋b log a２—２＞a log a２—２＝0，且函数g（x）在以错误!和log a２为端点的闭区间上的图象不间断，所以在错误!和log a２之间存在g（x）的零点，记为x１.因为0＜a＜１，所以log a２＜0．又错误!＜0，所以x１＜0，与“0是函数g（x）的唯一零点”矛盾．若x0＞0，同理可得，在错误!和log b２之间存在g（x）的非0的零点，与“0是函数g（x）的唯一零点”矛盾．因此，x0＝0．于是—错误!＝１，故ln a＋ln b＝0，所以ab＝１．7．（２0１6·上海高考）已知a∈R，函数f（x）＝log２错误!.（１）当a＝５时，解不等式f（x）＞0；（２）若关于x的方程f（x）—log２[（a—４）x＋２a—５]＝0的解集中恰有一个元素，求a的取值范围；（３）设a＞0，若对任意t∈错误!，函数f（x）在区间[t，t＋１]上的最大值与最小值的差不超过１，求a的取值范围．解：（１）由log２错误!＞0，得错误!＋５＞１，解得x∈错误!∪（0，＋∞）．（２）由原方程可得错误!＋a＝（a—４）x＋２a—５，即（a—４）x２＋（a—５）x—１＝0．１当a＝４时，x＝—１，经检验，满足题意．２当a＝３时，x１＝x２＝—１，经检验，满足题意．３当a≠３且a≠４时，x１＝错误!，x２＝—１，x１≠x２.若x１是原方程的解，则错误!＋a＞0，即a＞２；若x２是原方程的解，则错误!＋a＞0，即a＞１．由题意知x１，x２只有一个为方程的解，所以错误!或错误!于是满足题意的a∈（１,２]．综上，a的取值范围为（１,２]∪{３,４}．（３）易知f（x）在（0，＋∞）上单调递减，所以函数f（x）在区间[t，t＋１]上的最大值与最小值分别为f（t），f（t＋１）．f（t）—f（t＋１）＝log２错误!—log２错误!≤１，即at２＋（a＋１）t—１≥0对任意t∈错误!恒成立．因为a＞0，所以函数y＝at２＋（a＋１）t—１在区间错误!上单调递增，当t＝错误!时，y有最小值错误!a—错误!.由错误!a—错误!≥0，得a≥错误!.故a的取值范围为错误!.命题点二函数与方程１．（２0１7·江苏高考）设f（x）是定义在R上且周期为１的函数，在区间[0,１）上，f（x）＝错误!其中集合D＝错误!，则方程f（x）—lg x＝0的解的个数是________．解析：由于f（x）∈[0,１），因此只需考虑１≤x＜１0的情况，在此范围内，当x∈Q且x∉Z时，设x＝错误!，q，p∈N*，p≥２且p，q互质．若lg x∈Q，则由lg x∈（0,１），可设lg x＝错误!，m，n∈N*，m≥２且m，n互质，因此１0错误!＝错误!，则１0n＝错误!m，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x∉Q，故lg x不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等，只需考虑lg x与每个周期内x∉D部分的交点．画出函数草图（如图），图中交点除（１,0）外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x∉D的部分，且x＝１处（lg x）′＝错误!＝错误!＜１，则在x＝１附近仅有一个交点，因此方程f（x）—lg x＝0的解的个数为8．答案：8２．（２0１５·江苏高考）已知函数f（x）＝|ln x|，g（x）＝错误!则方程|f（x）＋g（x）|＝１实根的个数为________．解析：１当0＜x≤１时，方程为—ln x＝１，解得x＝错误!.２当１＜x＜２时，f（x）＋g（x）＝ln x＋２—x２单调递减，值域为（ln ２—２,１），方程f（x）＋g（x）＝１无解，方程f（x）＋g（x）＝—１恰有一解．３当x≥２时，f（x）＋g（x）＝ln x＋x２—6单调递增，值域为[ln ２—２，＋∞），方程f（x）＋g （x）＝１恰有一解，方程f（x）＋g（x）＝—１恰有一解．综上所述，原方程有４个实根．答案：４３．（２0１8·全国卷Ⅰ改编）已知函数f（x）＝错误!g（x）＝f（x）＋x＋a.若g（x）存在２个零点，则a的取值范围是________．解析：令h（x）＝—x—a，则g（x）＝f（x）—h（x）．在同一坐标系中画出y＝f（x），y＝h（x）的示意图，如图所示．若g（x）存在２个零点，则y＝f（x）的图象与y＝h（x）的图象有２个交点，平移y＝h（x）的图象，可知当直线y＝—x—a过点（0,１）时，有２个交点，此时１＝—0—a，a＝—１．当y＝—x—a在y＝—x＋１上方，即a＜—１时，仅有１个交点，不符合题意．当y＝—x—a在y＝—x＋１下方，即a＞—１时，有２个交点，符合题意．综上，a的取值范围是[—１，＋∞）．答案：[—１，＋∞）４．（２0１8·天津高考）已知a＞0，函数f（x）＝错误!若关于x的方程f（x）＝ax恰有２个互异的实数解，则a的取值范围是________．解析：法一：作出函数f（x）的大致图象如图所示．l１是过原点且与抛物线y＝—x２＋２ax—２a相切的直线，l２是过原点且与抛物线y＝x２＋２ax＋a相切的直线．由图可知，当直线y＝ax在l１，l２之间（不含直线l１，l２）变动时，符合题意．由错误!消去y，整理得x２—ax＋２a＝0．由Δ＝a２—8a＝0，得a＝8（a＝0舍去）．由错误!消去y，整理得x２＋ax＋a＝0．由Δ＝a２—４a＝0，得a＝４（a＝0舍去）．综上可得a的取值范围是（４,8）．法二：当x≤0时，由x２＋２ax＋a＝ax，得a＝—x２—ax；当x＞0时，由—x ２＋２ax—２a＝ax，得２a＝—x２＋ax.令g（x）＝错误!作出直线y＝a，y＝２a，函数g（x）的图象如图所示，g（x）的最大值为—错误!＋错误!＝错误!，由图象可知，若f（x）＝ax恰有２个互异的实数解，则a＜错误!＜２a，解得４＜a＜8．答案：（４,8）命题点三函数模型及其应用１．（２0１8·浙江高考）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则错误!当z＝8１时，x＝______，y＝_______.解析：由题意，得错误!即错误!解得错误!答案：8 １１２．（２0１５·江苏高考）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l１，l２，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l１，l２的距离分别为５千米和４0千米，点N到l１，l２的距离分别为２0千米和２．５千米．以l２，l１所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y＝错误!（其中a，b为常数）模型．（１）求a，b的值．（２）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.１请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域．２当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．解：（１）由题意知，点M，N的坐标分别为（５,４0），（２0，２．５）．将其分别代入y＝错误!，得错误!解得错误!（２）１由（１）知，y＝错误!（５≤x≤２0），则点P的坐标为错误!.设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B两点，y′＝—错误!，则l的方程为y—错误!＝—错误!（x—t），由此得A错误!，B错误!.故f（t）＝错误!＝错误!错误!，t∈[５,２0]．２设g（t）＝t２＋错误!，则g′（t）＝２t—错误!.令g′（t）＝0，解得t＝１0错误!.当t∈（５,１0错误!）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；当t∈（１0错误!，２0）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数．从而，当t＝１0错误!时，函数g（t）有极小值，也是最小值，所以g（t）min＝３00，此时f（t）min＝１５错误!.故当t＝１0错误!时，公路l的长度最短，最短长度为１５错误!千米．３．（２0１２·江苏高考）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为１千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx—错误!（１＋k２）x２（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（１）求炮的最大射程；（２）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为３．２千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解：（１）令y＝0，得kx—错误!（１＋k２）x２＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，故x＝错误!＝错误!≤错误!＝１0，当且仅当k＝１时取等号．所以炮的最大射程为１0千米．（２）因为a＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k＞0，使３．２＝ka—错误!（１＋k２）a２成立⇔关于k的方程a２k２—２0ak＋a２＋6４＝0有正根⇔判别式Δ＝（—２0a）２—４a２（a２＋6４）≥0⇔a≤6．所以当a不超过6（千米）时，可击中目标．。

新高考卷两年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章在高考中一般考查2道小题，一般占10分.2.考查内容(1)函数的表示主要考察新定义问题、分段函数的求值等问题.(2)函数的性质主要考查函数奇偶性、单调性的应用以及函数的对称性与周期性的综合问题.(3)函数的图象主要考察图象的识别问题.(4)指数、对数、幂函数常常考察代数值的大小比较、对数函数的性质应用等问题.(5)函数的应用主要考察函数的零点问题、函数的建模问题等.函数的概念及其表示[考试要求]1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用.1．函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．2．函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．[常用结论]1．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．2．常见函数定义域的求法四则运算组成的函数各个函数定义域的交集 实际问题使实际问题有意义一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数． ( ) (2)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B ． ( ) (3)f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数．( )(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数． ( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材习题衍生1．设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x 2＋2x ，x ≥0，2x ＋4，x <0，则f (f (－1))＝( )A ．16B ．4C ．5D ．－4A [f (f (－1))＝f (2)＝16.]2．函数f (x )＝|x －1|的图象是( )A B C DB [函数f (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1.结合选项可知，选项B 正确．]3．(多选)下列各组函数是同一个函数的是( ) A ．f (x )＝x 2－2x －1与g (s )＝s 2－2s －1 B ．f (x )＝－x 3与g (x )＝x －x C ．f (x )＝x x 与g (x )＝1x 0 D ．f (x )＝x 与g (x )＝x 2AC [f (x )＝－x 3与g (x )＝x －x 的值域不同；f (x )＝x 与g (x )＝x 2＝|x |的对应关系不同，故BD 错误，AC 正确．]4．已知函数f (x )＝x ＋1x ，则f (x )的定义域为________；若f (a )＝2，则a 的值为________．(－∞，0)∪(0，＋∞) 1 [要使函数f (x )有意义，必须使x ≠0， 故f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 由f (a )＝2得a ＋1a ＝2，解得a ＝1.]考点一 求函数的定义域1．函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为( ) A ．(2，＋∞) B ．(1,2) C ．(0,2)D ．[1,2]B [要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2x －x 2>0，解得1<x <2. 所以函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为(1,2)．]2．(2021·湖北荆州中学模拟)定义域是一个函数的三要素之一，已知函数Jzzx (x )定义域为[211,985]，则函数shuangyiliu (x )＝Jzzx (2 018x )＋Jzzx (2 021x )的定义域为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112 018，9852 021B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112 021，9852 018C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112 018，9852 018D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112 021，9852 021A [由抽象函数的定义域可知，⎩⎪⎨⎪⎧211≤2 018x ≤985，211≤2 021x ≤985，解得2112 018≤x ≤9852 021， 所以所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112 018，9852 021.故选A ．]3．已知函数f (x －1)的定义域为[0,2 022]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域为________．[－2,1)∪(1,2 020] [由函数f (x －1)的定义域为[0，2 022]，得函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2 021]．令⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋1≤2 021，x ≠1， 得－2≤x ≤2 020且x ≠1.所以函数g (x )的定义域为[－2,1)∪(1,2 020]．]4．若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________．[0,4] [由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0对x ∈R 恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ ＝m 2－4m ≤0， 解得0<m ≤4.综上可得0≤m ≤4.]求函数的定义域的策略(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域．考点二 求函数的解析式[典例1] (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(2)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式． (3)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )的解析式． [解] (1)(换元法)令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1.代入得f (t )＝lg2t －1. 又x >0，所以t >1. 故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1，x ∈(1，＋∞)． (2)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0知c ＝0，所以f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.(3)(解方程组法)由f (－x )＋2f (x )＝2x ，① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x .②①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x ，即f (x )＝2x ＋1－2－x3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3，x ∈R.求函数解析式的常用方法[跟进训练]1．(1)已知f (x ＋1)＝x －2x ，则f (x )＝________. (2)已知f (x )满足f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，则f (x )＝________.(3)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________.(1)x 2－4x ＋3(x ≥1) (2)－2x 3－43x (3)2x ＋7[(1)法一：(换元法)令t ＝x ＋1，则t ≥1，x ＝(t －1)2， 代入原式有f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3， 所以f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1)．法二：(配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1－4x －4＋3 ＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3，因为x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1)． (2)因为f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，①以1x 代替①中的x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝2x ，②①＋②×2得－3f (x )＝2x ＋4x ，所以f (x )＝－2x 3－43x .(3)(待定系数法)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝ax ＋5a ＋b ，所以ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17对任意实数x 都成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7.所以f (x )＝2x ＋7.]考点三 分段函数求分段函数的函数值[典例2－1] (2021·山东枣庄二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ＋ln 2，x ≤0，f (x －3)，x >0，则f (2 021)＝( )A ．2eB ．2eC ．2e 2D ．2e 2A [当x >0时，因为f (x )＝f (x －3)，所以f (x )＝f (x ＋3)，所以f (x )是周期为3的函数， 所以f (2 021)＝f (3×673＋2)＝f (2). 又因为f (2)＝f (－1)＝e －1＋ln 2＝e ln 2e ＝2e ，所以f (2 021)＝2e ，故选A ．]求参数或自变量的值[典例2－2] 函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1<x <0，2x ，x ≥0，若实数a 满足f (a )＝f (a －1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8D [由分段函数的结构知，f (x )的定义域是(－1，＋∞)，所以a >0. ①当0<a <1时，－1<a －1<0，则f (a )＝f (a －1)可化为2a ＝a ，解得a ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝8；②当a ≥1时，a －1≥0，则f (a )＝f (a －1)可化为2a ＝2(a －1)，方程无解．故选D ．]解与分段函数有关的不等式[典例2－3] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，11－x ，x <1则不等式f (x )≤1的解集为( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，0]∪(1,2]C ．[0,2]D ．(－∞，0]∪[1,2]D [∵当x ≥1时，log 2x ≤1，∴1≤x ≤2. 当x <1时，11－x≤1，解得x ≤0， ∴f (x )≤1的解集为(－∞，0]∪[1,2]．]分段函数的几类题型及解决方法(1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参．(2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值．(3)涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解．[跟进训练]2．(1)已知f (x )＝⎩⎨⎧cos πx ，x ≤1，f (x －1)＋1，x >1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值为( )A ．12 B ．－12 C ．－1D ．1(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(3)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ≤1，ln x ＋1，x >1，则满足f (x )＋f (x ＋1)>1的x 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)(1)D (2)A (3)B [(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－1＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝cos π3＋1＝32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＝cos 2π3＝－12， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝32－12＝1.(2)∵f (1)＝21＝2，∴f (a )＋2＝0，∴f (a )＝－2， 当a ≤0时，f (a )＝a ＋1＝－2，∴a ＝－3， 当a >0时，f (a )＝2a ＝－2，方程无解， 综上有a ＝－3.(3)由题意，根据函数的解析式可知，当⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ＋1≤1，即x ≤0时，f (x )＋f (x ＋1)＝2x ＋1＋2x ＋3>1，得－34<x ≤0；当⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，x ＋1>1，即x >1时，ln x ＋1>1，ln(x ＋1)＋1>1，所以当x >1时，f (x )＋f (x ＋1)>1恒成立；当⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ＋1>1，即0<x ≤1时，1<x ＋1≤2，所以f (x )＋f (x ＋1)＝2x ＋1＋ln(x ＋1)＋1>1恒成立．综上，x >－34.故选B ．] 2.与高等数学接轨的函数新定义问题 常以小题的形式呈现，意在考查数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养．因此在复习备考中，有意识地加强这方面的训练是很有必要的，这有利于培养学生的探究、创新精神，拓宽思维，提升核心素养．[典例3] 高斯函数[x ]，也称为取整函数，即[x ]表示不超过x 的最大整数．例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2.则下列结论：①[－2.1]＋[1]＝－2；②[x ]＋[－x ]＝0；③若[x ＋1]＝3，则x 的取值范围是2≤x ≤3；④当－1≤x ＜1时，[x ＋1]＋[－x ＋1]的值为1,2.其中正确的结论有________．(写出所有正确结论的序号)①④ [①[－2.1]＋[1]＝－3＋1＝－2，正确；②[x ]＋[－x ]＝0，错误，例如：[2.5]＝2，[－2.5]＝－3,2＋(－3)≠0； ③若[x ＋1]＝3，则x 的取值范围是2≤x ＜3，故错误；④当－1≤x ＜1时，0≤x ＋1＜2,0＜－x ＋1≤2，∴[x ＋1]＝0或1，[－x ＋1]＝0或1或2，当[x ＋1]＝0时，[－x ＋1]＝1或2；当[x ＋1]＝1时，[－x ＋1]＝1或0；所以[x ＋1]＋[－x ＋1]的值为1,2，故正确．]本题以高斯函数为载体，考查了应用函数新定义分析问题和解决问题的能力，考查了抽象函数的应用，考查了推理能力与理解能力．破解本题的关键是读懂高斯函数的定义，其实质是分段函数．[跟进训练]3. 已知著名的狄利克雷函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x ∈Q ，0，x ∈∁R Q ，其中R 为实数集，Q 为有理数集，若m ∈R ，则f (f (f (m )))的值为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．无法求 B [若m ∈Q ，则f (m )＝1，所以f (f (f (m )))＝f (f (1))＝f (1)＝1.若m ∈∁R Q ，则f (m )＝0，所以f (f (f (m )))＝f (f (0))＝f (1)＝1.故选B ．]。

１．函数的零点（１）函数零点的定义对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的零点．（２）三个等价关系方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．（３）函数零点的判定（零点存在性定理）如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）＜0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．２．二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与x轴的交点（x１,0），（x２,0）（x１,0）无交点零点个数２１0有关函数零点的３个结论（１）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点．（２）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．（３）连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（）（２）函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）＜0．（）（３）若函数f（x）在（a，b）上单调且f（a）·f（b）＜0，则函数f（x）在[a，b]上有且只有一个零点．（）（４）二次函数y＝ax２＋bx＋c在b２—４ac＜0时没有零点．（）[答案]（１）×（２）×（３）×（４）√二、教材改编１．已知函数y＝f（x）的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数yＡ．２个Ｂ．３个Ｃ．４个Ｄ．５个B[∵f（２）·f（３）＜0，f（３）·f（４）＜0，f（４）·f（５）＜0，故函数f（x）在区间[１,6]内至少有３个零点．]２．函数f（x）＝ln x＋２x—6的零点所在的区间是（）Ａ．（0,１）Ｂ．（１,２）Ｃ．（２,３）Ｄ．（３,４）C[由题意得f（１）＝ln １＋２—6＝—４＜0，f（２）＝ln ２＋４—6＝ln ２—２＜0，f（３）＝ln ３＋6—6＝ln ３＞0，f（４）＝ln ４＋8—6＝ln ４＋２＞0，∴f（x）的零点所在的区间为（２,３）．]３．函数f（x）＝e x＋３x的零点个数是________．１[由已知得f′（x）＝e x＋３＞0，所以f（x）在R上单调递增，又f（—１）＝错误!—３＜0，f （0）＝１＞0，因此函数f（x）有且只有一个零点．]４．函数f（x）＝x错误!—错误!错误!的零点个数为________．１[作函数y１＝x错误!和y２＝错误!错误!的图象如图所示．由图象知函数f（x）有１个零点．]考点１函数零点所在区间的判定判断函数零点所在区间的方法（１）解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程．（２）零点存在性定理．（３）数形结合法，画出相应函数图象，观察与x轴交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上是否有交点来判断．１．函数f（x）＝ln x—错误!的零点所在的区间为（）Ａ．（0,１）Ｂ．（１,２）Ｃ．（２,３）Ｄ．（３,４）B[由题意知函数f（x）是增函数，因为f（１）＜0，f（２）＝ln ２—错误!＝ln ２—ln 错误!＞0，所以函数f（x）的零点所在的区间是（１,２）．故选Ｂ．]２．若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x—a）（x—b）＋（x—b）（x—c）＋（x—c）（x—a）的两个零点分别位于区间（）Ａ．（a，b）和（b，c）内Ｂ．（—∞，a）和（a，b）内Ｃ．（b，c）和（c，＋∞）内Ｄ．（—∞，a）和（c，＋∞）内A[∵a＜b＜c，∴f（a）＝（a—b）（a—c）＞0，f（b）＝（b—c）（b—a）＜0，f（c）＝（c—a）（c—b）＞0，由函数零点存在性判定定理可知：在区间（a，b）（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内，故选Ａ．]３．已知函数f（x）＝ln x＋２x—6的零点在错误!（k∈Z）内，那么k＝________.５[∵f′（x）＝错误!＋２＞0，x∈（0，＋∞），∴f（x）在x∈（0，＋∞）上单调递增，且f错误!＝ln 错误!—１＜0，f（３）＝ln ３＞0，∴f（x）的零点在错误!内，则整数k＝５．]（１）f（a）·f（b）＜0是连续函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．（２）若函数f（x）在[a，b]上是单调函数，且f（x）的图象连续不断，则f（a）·f（b）＜0⇒函数f（x）在区间[a，b]上只有一个零点．考点２函数零点个数的判断函数零点个数的讨论，基本解法有（１）直接法，令f（x）＝0，在定义域范围内有多少个解则有多少个零点．（２）定理法，利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．（３）图象法，一般是把函数分拆为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．（１）（２0１9·全国卷Ⅲ）函数f（x）＝２sin x—sin ２x在[0,２π]的零点个数为（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５（２）函数f（x）＝错误!的零点个数为（）A．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３（３）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e x＋x—３，则f（x）的零点个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４（１）B（２）D（３）C[（１）由f（x）＝２sin x—sin ２x＝２sin x—２sin x cos x＝２sin x·（１—cos x）＝0得sin x＝0或cos x＝１，∴x＝kπ，k∈Z，又∵x∈[0,２π]，∴x＝0，π，２π，即零点有３个，故选Ｂ．（２）依题意，在考虑x＞0时可以画出函数y＝ln x与y＝x２—２x的图象（如图），可知两个函数的图象有两个交点，当x≤0时，函数f（x）＝２x＋１与x轴只有一个交点，综上，函数f（x）有３个零点．故选Ｄ．（３）因为函数f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）＝0，即x＝0是函数f（x）的１个零点．当x＞0时，令f（x）＝e x＋x—３＝0，则e x＝—x＋３，分别画出函数y＝e x和y＝—x＋３的图象，如图所示，两函数图象有１个交点，所以函数f（x）有１个零点．根据对称性知，当x＜0时，函数f（x）也有１个零点．综上所述，f（x）的零点个数为３．]（１）利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）f（b）＜0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点．（２）图象法求函数零点个数的关键是正确画出函数的图象．在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．１．函数f（x）＝２x|log0．５x|—１的零点个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４B[令f（x）＝２x|log0．５x|—１＝0，可得|log0．５x|＝错误!错误!.设g（x）＝|log0．５x|，h（x）＝错误!错误!.在同一坐标系下分别画出函数g（x），h（x）的图象，可以发现两个函数图象一定有２个交点，因此函数f（x）有２个零点．故选Ｂ．]２．已知函数f（x）＝错误!若f（0）＝—２，f（—１）＝１，则函数g（x）＝f（x）＋x的零点个数为________．３[依题意得错误!由此解得错误!由g（x）＝0得f（x）＋x＝0，该方程等价于错误!１或错误!２解１得x＝２，解２得x＝—１或x＝—２．因此，函数g（x）＝f（x）＋x的零点个数为３．]考点３函数零点的应用根据函数零点的情况求参数的３种常用方法（１）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．（２）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．（３）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．根据函数零点个数求参数已知函数f（x）＝|x２＋３x|，x∈R，若方程f（x）—a|x—１|＝0恰有４个互异的实数根，则实数a的取值范围是________．（0,１）∪（9，＋∞）[设y１＝f（x）＝|x２＋３x|，y２＝a|x—１|，在同一直角坐标系中作出y１＝|x２＋３x|，y２＝a|x—１|的图象如图所示．由图可知f（x）—a|x—１|＝0有４个互异的实数根等价于y１＝|x２＋３x|与y２＝a|x—１|的图象有４个不同的交点且４个交点的横坐标都小于１，所以错误!有两组不同解，消去y得x２＋（３—a）x＋a＝0有两个不等实根，所以Δ＝（３—a）２—４a＞0，即a２—１0a＋9＞0，解得a＜１或a＞9．又由图象得a＞0，∴0＜a＜１或a＞9．]由函数的零点个数求参数的值或范围的策略已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题．根据函数有无零点求参数已知函数f（x）＝错误!则使函数g（x）＝f（x）＋x—m有零点的实数m的取值范围是________．（—∞，0]∪（１，＋∞）[函数g（x）＝f（x）＋x—m的零点就是方程f（x）＋x＝m的根，画出h（x）＝f（x）＋x＝错误!的大致图象（图略）．观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m＞１时，有交点，即函数g（x）＝f（x）＋x—m有零点．]函数有无零点问题⇔函数图象与x轴有无公共点问题．根据零点的范围求参数若函数f（x）＝（m—２）x２＋mx＋（２m＋１）的两个零点分别在区间（—１,0）和区间（１,２）内，则m的取值范围是________．错误![依题意，结合函数f（x）的图象分析可知m需满足错误!即错误!解得错误!＜m＜错误!.]此类问题多转化为讨论区间端点处函数值的符号求解．１．函数f（x）＝２x—错误!—a的一个零点在区间（１,２）内，则实数a的取值范围是（）Ａ．（１,３）Ｂ．（１,２）Ｃ．（0,３）Ｄ．（0,２）C[因为f（x）在（0，＋∞）上是增函数，则由题意得f（１）·f（２）＝（0—a）（３—a）＜0，解得0＜a＜３，故选Ｃ．]２．方程log错误!（a—２x）＝２＋x有解，则a的最小值为________．１[若方程log错误!（a—２x）＝２＋x有解，则错误!错误!＝a—２x有解，即错误!错误!错误!＋２x＝a有解，因为错误!错误!错误!＋２x≥１，故a的最小值为１．]３．已知函数f（x）＝若关于x的方程f（x）＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________．（—１,0）[关于x的方程f（x）＝k有三个不同的实根，等价于函数y１＝f（x）与函数y２＝k的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是（—１,0）．]。

高考数学一轮复习第二章函数2.5幂函数与二次函数教学案苏教版[最新考纲] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x12，y ＝1x的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1图象性质定义域 R RR {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R{y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性奇函数偶函数 奇函数非奇非偶 函数奇函数单调性在R 上单 调递增 在(－∞，0]上单调递减； 在(0，＋∞) 上单调递增在R 上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c(a ＜0)图象定义域R R值域⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac－b24a单调性在x∈上单调递减；在x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a，＋∞上单调递增在x∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b2a上单调递增；在x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于直线x＝－b2a对称[常用结论]1．幂函数y＝xα性质研究的方法(1)先确定幂函数的定义域(分数指数幂先转化为根式)，若对称，判定其奇偶性；(2)研究幂函数在第一象限的图象与性质：①当α＞0时，函数y＝xα恒经过(0,0)，(1,1)；在[0，＋∞)上为增函数；②当α＜0时，函数恒经过(1,1)；在(0，＋∞)上为减函数；(3)结合函数的奇偶性研究其它象限的图象．(4)当x∈(0,1)时，α越大，函数值越小；当x∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大．2．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．3．一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是“a＞0且Δ＜0”；(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是“a＜0且Δ＜0”．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x12是幂函数．( )(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( )(3)当α＜0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数．( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b24a.( )(5)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数． ( )(6)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )[答案](1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、教材改编1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2 C [因为函数f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1，又函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＝22，解得α＝12，则k ＋α＝32.] 2.如图是①y ＝x a；②y ＝x b；③y ＝x c在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜bD [根据幂函数的性质，可知选D.]3．已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a ＜－3D ．a ≤－3D [函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧，所以－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D.]4．函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0,3])的值域是________． [－1,3] [∵g (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ∈[0,3]， ∴当x ＝1时，g (x )min ＝g (1)＝－1，又g (0)＝0，g (3)＝9－6＝3， ∴g (x )max ＝3，即g (x )的值域为[－1,3]．]考点1 幂函数的图象及性质 幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y ＝x α(α∈R )的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.1.幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( )A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数D [设幂函数f (x )＝x α，则f (3)＝3α＝3，解得α＝12，则f (x )＝x 12＝x ，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．]2．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2＋m －1)x －5m －3为减函数，则实数m 的值为( )A ．－2B ．1C ．1或－2D ．m ≠－1±52B [因为函数y ＝(m 2＋m －1)x－5m －3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，－5m －3＜0，解得m ＝1.]3．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜cD [因为y ＝x23在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＞b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＜c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，所以b ＜a ＜c .]4．若(a ＋1)12＜(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23 [易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1＜3－2a ，解得－1≤a ＜23.]在比较幂值的大小时， 必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，如T 3.考点2 求二次函数的解析式 求二次函数解析式的策略[一题多解]已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[解] 法一：(利用二次函数的一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用二次函数的顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n .∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋－12＝12.∴m ＝12，又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a －2a －1－a24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，故所求函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同．1.已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f (x )＝________.19x 2＋49x －59[法一：(一般式)设所求解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ －b2a＝－2，4ac －b24a ＝－1，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝19，b ＝49，c ＝－59，所以所求解析式为f (x )＝19x 2＋49x －59.法二：(顶点式)设所求解析式为f (x )＝a (x －h )2＋k . 由已知得f (x )＝a (x ＋2)2－1，将点(1,0)代入，得a ＝19，所以f (x )＝19(x ＋2)2－1，即f (x )＝19x 2＋49x －59.]2．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则函数的解析式f(x)＝________.x2－4x＋3[∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象经过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.]考点3 二次函数的图象与性质解决二次函数图象与性质问题时应注意2点(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．二次函数的图象已知abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )A BC DD[A项，因为a＜0，－b2a＜0，所以b＜0.又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故A错．B项，因为a＜0，－b2a＞0，所以b＞0.又因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＞0，故B错．C项，因为a＞0，－b2a＜0，所以b＞0.又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故C错．D项，因为a＞0，－b2a＞0，所以b＜0，因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＜0，故选D.]识别二次函数图象应学会“三看”。

１．常见的几种函数模型（１）一次函数模型：y＝kx＋b（k≠0）.（２）反比例函数模型：y＝错误!＋b（k，b为常数且k≠0）.（３）二次函数模型：y＝ax２＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）.（４）指数函数模型：y＝a·b x＋c（a，b，c为常数，b＞0，b≠１，a≠0）.（５）对数函数模型：y＝m log a x＋n（m，n，a为常数，a＞0，a≠１，m≠0）.（6）幂函数模型：y＝a·x n＋b（a≠0）.２．三种函数模型之间增长速度的比较函数性质y＝a x（a＞１）y＝log a x（a＞１）y＝x n（n＞0）在（0，＋∞）上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢因n而异图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有log a x＜x n＜a x（１）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；（２）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（３）解模：求解数学模型，得出数学结论；（４）还原：将数学问题还原为实际问题.错误!形如f（x）＝x＋错误!（a＞0）的函数模型称为“对勾”函数模型：（１）该函数在（—∞，—错误!］和［错误!，＋∞）内单调递增，在［—错误!，0）和（0，错误!］上单调递减.（２）当x＞0时，x＝错误!时取最小值２错误!，当x＜0时，x＝—错误!时取最大值—２错误!.一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数y＝２x与函数y＝x２的图象有且只有两个公共点.（）（２）幂函数增长比直线增长更快. （）（３）不存在x0，使ax0＜x错误!＜log a x0. （）（４）f（x）＝x２，g（x）＝２x，h（x）＝log２x，当x∈（４，＋∞）时，恒有h（x）＜f（x）＜g（x）. （）［答案］（１）×（２）×（３）×（４）√二、教材改编１．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是（）（注：结余＝收入—支出）Ａ．收入最高值与收入最低值的比是３∶１Ｂ．结余最高的月份是7月Ｃ．１至２月份的收入的变化率与４至５月份的收入的变化率相同Ｄ．前6个月的平均收入为４0万元D［由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为３0万元，其比是３∶１，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80—２0＝60（万元），故B正确；由题图可知，１至２月份的收入的变化率与４至５月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为错误!×（４0＋60＋３0＋３0＋５0＋60）＝４５（万元），故D错误.］２．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据如下表：x0．５00．99２．0１３．98y—0．990．0１0．98２．00则对x，yＡ．y＝２xＢ．y＝x２—１Ｃ．y＝２x—２Ｄ．y＝log２xD［根据x＝0．５0，y＝—0．99，代入计算，可以排除A；根据x＝２．0１，y＝0．98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log２x，可知满足题意，故选Ｄ．］３．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）＝错误!x２＋２x＋２0（万元）.一万件售价为２0万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为万件.１8 ［利润L（x）＝２0x—C（x）＝—错误!（x—１8）２＋１４２，当x＝１8时，L（x）有最大值.］４．用长度为２４的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为.３［设隔墙的长度为x（0＜x＜6），矩形面积为y，则y＝x×错误!＝２x（6—x）＝—２（x—３）２＋１8，∴当x＝３时，y最大.］考点１用函数图象刻画变化过程判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的２种方法（１）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.（２）验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.１．（２0１9·遵义模拟）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是４m和a m（0＜a＜１２）.不考虑树的粗细，现用１6 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f（a）（单位：m２）的图象大致是（）A B C DB［设AD的长为x m，则CD的长为（１6—x）m，则矩形ABCD的面积为x（１6—x）m２.因为要将点P围在矩形ABCD内，所以a≤x≤１２．当0＜a≤8时，当且仅当x＝8时，u＝6４；当8＜a ＜１２时，u＝a（１6—a）.画出函数图象可得其形状与B选项接近，故选Ｂ．］２．有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示.若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是（）A B C DB［由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细.再由PQ为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A，C，D，选Ｂ．］３．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗１升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（）Ａ．消耗１升汽油，乙车最多可行驶５千米Ｂ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多Ｃ．甲车以80千米/小时的速度行驶１小时，消耗１0升汽油Ｄ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D［根据图象知消耗１升汽油，乙车最多行驶里程大于５千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为１0千米/升，行驶１小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对.］准确掌握常见函数模型图象的变化趋势是解决此类问题的关键.考点２应用所给函数模型解决实际问题求解所给函数模型解决实际问题的３个关注点（１）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.（２）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.（３）利用该模型求解实际问题.小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为３万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W（x）万元，在年产量不足8万件时，W（x）＝错误!x２＋x（万元）.在年产量不小于8万件时，W（x）＝6x＋错误!—３8（万元）.每件产品售价为５元.通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完.（１）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入—固定成本—流动成本）（２）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？［解］（１）因为每件商品售价为５元，则x万件商品销售收入为５x万元，依题意得，当0＜x ＜8时，L（x）＝５x—错误!—３＝—错误!x２＋４x—３；当x≥8时，L（x）＝５x—错误!—３＝３５—错误!.所以L（x）＝错误!（２）当0＜x＜8时，L（x）＝—错误!（x—6）２＋9．此时，当x＝6时，L（x）取得最大值L（6）＝9万元，当x≥8时，L（x）＝３５—错误!≤３５—２错误!＝３５—２0＝１５，此时，当且仅当x＝错误!，即x＝１0时，L（x）取得最大值１５万元.因为9＜１５，所以当年产量为１0万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为１５万元.解决实际问题时，应注意自变量的取值范围，如本例中x∈（0，＋∞）.一个容器装有细沙a cm３，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝a e—bt（cm３），经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.１6 ［当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝a e—8b＝错误!a，∴e—8b＝错误!，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝a e—b t＝错误!a，e—b t＝错误!＝（e—8 b）３＝e—２４b，则t＝２４，所以再经过１6 min.］考点３构建函数模型解决实际问题构建函数模型解决实际问题的步骤构造二次函数、分段函数模型国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在３0或３0以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于３0，则给予优惠：每多１人，机票每张减少１0元，直到达到规定人数7５为止.每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费１５000元.（１）写出每张飞机票的价格关于人数的函数；（２）每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？［解］（１）设每团人数为x，由题意得0＜x≤7５（x∈N*），每张飞机票价格为y元，则y＝错误!即y＝错误!（２）设旅行社获利S元，则S＝错误!即S＝错误!因为S＝900x—１５000在区间（0,３0］上为增函数，故当x＝３0时，S取最大值１２000．又S＝—１0（x—60）２＋２１000，x∈（３0,7５］，所以当x＝60时，S取得最大值２１000．故当x＝60时，旅行社可获得最大利润.解题过程——谨防２种失误（１）二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性等解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错.（２）求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，然后比较大小得解.构造y＝x＋错误!（a＞0）模型某养殖场需定期购买饲料，已知该养殖场每天需要饲料２00千克，每千克饲料的价格为１．8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0．0３元，购买饲料每次支付运费３00元.求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.［解］设该养殖场x（x∈N*）天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y元.因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少２00×0．0３＝6（元），所以x天饲料的保管费与其他费用共是6（x—１）＋6（x—２）＋…＋6＝（３x２—３x）（元）.从而有y＝错误!（３x２—３x＋３00）＋２00×１．8＝错误!＋３x＋３５7≥２错误!＋３５7＝４１7，当且仅当错误!＝３x，即x＝１0时，y有最小值.故该养殖场１0天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.利用模型f（x）＝ax＋错误!求解最值时，要注意自变量的取值范围及取得最值时等号成立的条件.构建指数函数、对数函数模型（１）世界人口在过去４0年翻了一番，则每年人口平均增长率约是（参考数据lg ２≈0．３0１0,１00．007 ５≈１．0１7）（）Ａ．１．５% Ｂ．１．6%Ｃ．１．7% Ｄ．１．8%（２）十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出：过去五年来，我国经济实力跃上新台阶.国内生产总值从５４万亿元增加到8２．7万亿元，年均增长7．１%，占世界经济比重从１１．４%提高到１５%左右，对世界经济增长贡献率超过３0%,发展的预期目标是国内生产总值增长6．５%左右.如果从开始，以后每年的国内生产总值都按6．５%的增长率增长，那么的国内生产总值约为（提示：１．06５３≈１．２08）（）Ａ．9３．8万亿元Ｂ．99．9万亿元Ｃ．97万亿元Ｄ．１06．３9万亿元（１）C（２）B［（１）设每年人口平均增长率为x，则（１＋x）４0＝２，两边取以１0为底的对数，则４0lg（１＋x）＝lg ２，所以lg（１＋x）＝错误!≈0．007 ５，所以１00．007 ５＝１＋x，得１＋x≈１．0１7，所以x≈１．7%.故选Ｃ．（２）由题意可知，我国国内年生产总值约为：8２．7×（１＋6．５%）３≈99．9（万亿元）.故选Ｂ．］（１）与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，指数函数模型（底数大于１）是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型.（２）在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数.１．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0．１%，若初时含杂质２%，每过滤一次可使杂质含量减少错误!，至少应过滤次才能达到市场要求.（已知lg ２≈0．３0１0，lg ３≈0．４77 １）8 ［设至少过滤n次才能达到市场要求，则２%错误!错误!≤0．１%，即错误!错误!≤错误!，所以n lg 错误!≤—１—lg ２，所以n≥7．３9，所以n＝8．］２．某景区提供自行车出租，该景区有５0辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日１１５元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过１元，租不出的自行车就增加３辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分）.（１）求函数y＝f（x）的解析式；（２）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？［解］（１）当x≤6时，y＝５0x—１１５，令５0x—１１５＞0，解得x＞２．３，∵x为整数，∴３≤x≤6，x∈Z.当x＞6时，y＝［５0—３（x—6）］x—１１５＝—３x２＋68x—１１５．令—３x２＋68x—１１５＞0，有３x２—68x＋１１５＜0，结合x为整数得6＜x≤２0，x∈Z.∴y＝错误!（２）对于y＝５0x—１１５（３≤x≤6，x∈Z），显然当x＝6时，y max＝１8５；对于y＝—３x２＋68x—１１５＝—３错误!错误!＋错误!（6＜x≤２0，x∈Z），当x＝１１时，y max ＝２70．∵２70＞１8５，∴当每辆自行车的日租金定为１１元时，才能使一日的净收入最多.。