2017-2018学年四川省蓉城名校联盟高二数学上期中考试理科试题(含答案)

详解】2018-2019 学年四川省蓉城名校联盟高二下学期期中联考数学（理）试题一、单选题21． 2 3i 2（ ） A ．13 12iB ． 13 12iC ． 5 12iD ． 5 12i【答案】 D【解析】 根据复数的乘法运算法则计算可得结果 . 【详解】222 3i 2 4 12i 9i 2 5 12i . 故选： D .【点睛】 本题考查复数的乘法运算，属于基础题 . 2．已知命题 p为 x R ，5x 22x22A ． x R ， 5x 22x 2 0C ． x R ， 5x 22x 2 0【答案】 C【解析】 根据含全称量词命题的否定的定义可直接得到结果 . 【详解】由含全称量词的否定的定义可得命题 p的否定为： x R ， 5x 22x 2 0.故选： C . 【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题3．曲线 y = x 2与 x 轴及直线 x 2所围成的图形的面积为（）答案】 A解析】 根据定积分的几何意义将所围图形面积转化为定积分求解0 ，则命题 p 的否定为（）2B ． x R ， 5x 2 2x 2 0 D ． x R ， 5x 2 2x 2 0A ．4 3 1 B ．C ．D ．342故选：A点睛】本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积，属于基础题4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（解析】根据三视图知几何体为三棱锥，勾股定理求出最长棱长详解】根据三视图知几何体为三棱锥，其中AC 1,BC 3,DC 3，且AC BC,BC CD,DC CA ，该几何体的最长棱长为BD223213.故选：C【点睛】本题考查根据三视图还原几何体，属于基础题.225．函数f x 2cos x sin x 的最小正周期为（）A ．B．C．3 D ．22依题意所围图形面积为x2dx1 3 2x30C．13 D．3 2 答案】C2答案】B解析】利用同角三角函数的平方关系及降幂公式化简函数解析式，算公式即可得解。

绝密★启用前四川省蓉城名校联盟2019-2020学年高二上学期期中联考数学（理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．在空间直角坐标系中，已知点()2,1,3A ，()4,3,0B -，则A ，B 两点间的距离是（ ） A ．5B ．6-C ．7D ．82．命题“1x ∀≥，2210x x -+≥”的否定是（ ）A ．01x ∃≥，200210x x -+<B ．01x ∃<，200210x x -+<C ．01x ∃≥，200210x x -+≤ D ．01x ∃<，200210x x -+≤3．若命题p 是真命题，q ⌝是真命题，则下列命题中，真命题是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∨C ．p q ⌝∧⌝D ．p q ∨4．双曲线22125100x y -=的渐近线方程是（ ）A ．4y x =±B ．2y x =±C ．14y x =±D ．12y x =±5．若圆1C ：()()22111x y -+-=与圆2C ：()()22223x y r +++=外切，则正数r 的值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．66．“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=”相切的（ ）C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右顶点分别为()1,0A a -，()2,0A a ，点()0,B b ，若三角形12BA A 为等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） AB C ．2D ．38．已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()221225x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ）A ．[]4,10B ．[]3,5C ．[]8,10D ．[]6,109．经过点()1,1P 作直线l 交椭圆22132x y +=于M ，N 两点，且P 为MN 的中点，则直线l 的斜率为（ ） A ．23-B ．23C ．32-D ．3210．已知圆M ：()22225x y -+=（M 为圆心），点()2,0N -，点A 是圆M 上的动点，线段AN 的垂直平分线交线段AM 于P 点，则动点P 的轨迹是（ ） A ．两条直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线11．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，且128F F =，过左焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，连接2PF ，2QF ，若三角形2PQF 的周长为20，290QPF ∠=︒，则三角形12PF F 的面积为（ ） A ．9B ．18C ．25D ．5012．已知圆1C ：()()22111x y -+-=，圆2C ：()()22214x y -+-=，A ，B 分别是圆1C ，2C 上的动员.若动点M 在直线1l ：10x y +-=上，动点N 在直线2l ：10x y ++=上，记线段MN 的中点为P ，则PA PB +的最小值为（ ）A ．3BC 3D 3第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．双曲线2214x y k -=的其中一个焦点坐标为)，则实数k =________.14．两圆2220x y +-=，220x y x y +--=相交于M ，N 两点，则公共弦MN 所在的直线的方程是______.（结果用一般式表示）15．已知定点()2,0A -，()2,0B ，若动点M 满足8MA MB +=，则MA 的取值范围是__________.16()210y -=表示的图形是一个点；②命题“若0x y +≠，则1x ≠-或1y ≠”为真命题；③已知双曲线224x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 被双曲线截得的弦长为4的直线有3条；④已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>上有两点()00,A x y ，()00,B x y --，若点(),P x y 是椭圆C 上任意一点，且0x x ≠±，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k ⋅为定值22b a-；⑤已知命题“x ∃，y R ∈满足224x y +=，23y m x -≤-”是真命题，则实数2m ≤.其中说法正确的序号是__________. 三、解答题17．命题p ：方程221313x y m m +=--表示焦点在x 轴上的双曲线：命题q ：若存在0,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得02tan 0m x -=成立.（1）如果命题p 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）如果“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围. 18．已知直线1l ：24y x =+，直线2l 经过点()2,1. （1）若12l l ⊥，求直线2l 的方程；（2）若2l 与两坐标轴的正半轴分别交于P 、Q 两点，求OPQ ∆面积的最小值（其中O为坐标原点）.19．已知圆C 经过()3,0M ，()2,1N 两点，且圆心在直线l ：240x y +-=上. （1）求圆C 的方程；（2）从y 轴上一个动点P 向圆C 作切线，求切线长的最小值及对应切线方程.20．已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的实轴长为2.（1）若C 的一条渐近线方程为2y x =，求b 的值；（2）设1F 、2F 是C 的两个焦点，P 为C 上一点，且12PF PF ⊥，12PF F ∆的面积为9，求C 的标准方程.21．已知直线1l ：()0x my m R +=∈，2l ：()240mx y m m R --+=∈. （1）求证：无论m 取何实数，直线1l 与2l 一定相交； （2）求1l 与2l 的交点P 的轨迹方程C .22．已知椭圆C 长轴的两个端点分别为()2,0A -，()2,0B ， 离心率e =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）作一条垂直于x 轴的直线，使之与椭圆C 在第一象限相交于点M ，在第四象限相交于点N ，若直线AM 与直线BN 相交于点P ，且直线OP 的斜率大于25，求直线AM 的斜率k 的取值范围.参考答案1．C 【解析】 【分析】根据空间中两点间的距离公式，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，根据空间中两点间的距离公式，可得7AB ==.故选：C. 【点睛】本题主要考查了空间中两点间的距离公式的应用，其中解答中熟记空间中两点间的距离公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“21,210x x x ∀≥-+≥”的否定是“01x ∃≥，200210x x -+<”.故选：A. 【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，准确改写是解答的关键，着重考查了推理与辨析能力，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】由题意，命题q ⌝是真命题，则q 是假命题，根据真值表，即可判定，得到答案. 【详解】由题意，命题q ⌝是真命题，则q 是假命题，由真值表可得，命题p q ∧和p q ⌝∨和p q ⌝∧⌝都为假命题，只有命题p q ∨为真命题.故选：D. 【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判定，其中解答中熟记复合命题的真假判定的真值表，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与辨析能力，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】由双曲线的方程，求得5,10a b ==，进而得到双曲线的渐近线的方程，得到答案. 【详解】由双曲线22125100x y -=，可得2225,100a b ==，即5,10a b ==，所以双曲线的渐近线的方程为2by x x a=±=±. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5．C 【解析】 【分析】由圆1C 和圆2C 相外切，可得1212C C r r =+，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，圆1C ：()()22111x y -+-=与圆2C ：()()22223x y r +++=， 可得圆心坐标分别为12(1,1),(2,3)C C --，半径分别为121,r r r ==，又由圆1C 和圆2C 相外切，可得1212C C r r =+1r =+，解得4r =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的位置关系的判定方法，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6．B 【解析】 【分析】根据直线与圆相切，求得1c =或3c =，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解. 【详解】由题意，圆()()22212x y -++=的圆心坐标为(2,1)-， 当直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=相切，可得d r =，即d ==12c +=，解得1c =或3c =，所以“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=”相切的充分不必要条件. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 7．A 【解析】 【分析】由双曲线的几何性质，根据12BA A ∆为等腰直角三角形，求得a b =，得到222c a =，即可求解双曲线的离心率，得到答案. 【详解】由题意，三角形12BA A 为等腰直角三角形，可得a b =，即22a b =，又由222c a b =+，所以222a c a =-，即222c a =，所以222ca=，即22e =，又因为1e >，所以双曲线的离心率e =故选：A. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8．D 【解析】 【分析】由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=，又由2010x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ，当CP l ⊥时弦长最短，此时2222AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得min 6AB =，再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =， 所以弦长AB 的取值范围是[]6,10. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 9．A 【解析】 【分析】设()11,M x y ，()22,N x y ，利用直线与圆锥曲线的“点差法”，即可求得直线的斜率. 【详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，则22112222132132x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，可得22222121032x x y y --+=，整理得()()()()21212121032x x x x y y y y +-+-+=， 所以()()2121212123x x y y k x x y y +-==-+，又由P 为MN 的中点，可得12122,2x x y y +=+=，则222323k ⨯=-=-⨯， 即直线l 的斜率为23-. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中熟练应用“点差法”求解直线的斜率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 10．B 【解析】 【分析】由线段AN 的垂直平分线交线段AM 于P 点，AP PN =，得到5PM PN +=，结合椭圆的定义，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，线段AN 的垂直平分线交线段AM 于P 点，AP PN =， 又由5AM AP PM r =+==，即54PM PN MN +=>=， 根据椭圆的定义，可得点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆. 故选：B.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及其应用，其中解答中熟练应用垂直平分线的性质，以及椭圆的定义进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11．A 【解析】 【分析】由290QPF ∠=︒和椭圆的定义，可得1222121064PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，求得1218PF PF =，进而求得直角12PF F ∆的面积，得到答案. 【详解】由题意，过左焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，三角形2PQF 的周长为20， 根据椭圆的定义，可得420a =，解得5a =， 又由128F F =，即28c =，解得4c =，又由290QPF ∠=︒和椭圆的定义，可得1222212210(1)(2)64(2)PF PF a PF PF c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩， 由2(1)(2)-，可得1218PF PF =，所以直角12PF F ∆的面积为12192S PF PF ==. 故选:A 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义的应用，以及三角形面积的计算，其中解答中熟练应有椭圆的定理和直角三角形的勾股定理，求得12PF PF 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 12．D 【解析】 【分析】根据圆的几何性质，结合点关于直线的对称，得到1222PC PC PC PC CC +=+≥，即可求解. 【详解】由题意，点动点M 在直线1l ：10x y +-=上，动点N 在直线2l ：10x y ++=上， 线段MN 的中点为P ，可得点P 在直线0x y +=上，又由1122123PA PB PC r PC r PC PC +≥-+-=+-，点()11,1C 关于直线0x y +=对称的点()1,1C --，则1222PC PC PC PC CC +=+≥=所以PA PB +3.故选：D【点睛】本题主要考查了圆的几何性质的应用，以及直线的对称最值问题的求解，其中解答中根据圆的几何性质，以及结合点关于直线的对称最值求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.13．2【解析】【分析】由双曲线方程，得到22,4a k b ==，根据222c a b =+，即可求解.【详解】 由双曲线2214x y k -=，可得22,4a k b ==， 又由222c a b =+，即46k +=，解得2k =.故答案为：2.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及合理利用222c a b =+，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 14．20x y +-=【分析】根据两圆方程相减，即可求解两圆的公共弦所在直线的方程，得到答案.【详解】由题意，圆2220x y +-=，220x y x y +--=，两圆方程相减，可得直线方程为20x y +-=，即两圆的公共弦所在直线的方程为20x y +-=.故答案为：20x y +-=.【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的公共弦所在直线方程的求法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15．[]2,6【解析】【分析】由根据椭圆的定义，得到点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，再由根据椭圆的性质，得到[],MA a c a c ∈-+，即可求解.【详解】由题意，动点M 满足84MA MB AB +=≥=，根据椭圆的定义，可得点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，且28,24a c ==，解得4a =，2c =， 根据椭圆的性质，可得[],MA a c a c ∈-+，即[]2,6MA ∈.故答案为：[]2,6.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义的应用，以及椭圆的几何性质的应用，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.16．①②④【分析】利用曲线与方程可判定①是正确；根据四种命题的关系，可得②是正确的；根据双曲线的几何性质，可得③是不正确的；根据直线与椭圆的位置关系，可判定④是正确的；直线与圆的位置关系，可判定⑤是不正确的，得到答案.【详解】()210y-=，可得1010xy+=⎧⎨-=⎩，解得11xy=-⎧⎨=⎩，即方程表示的图形是一个点()1,1-，所以是正确的；对于②中，根据四种命题的定义，可得命题“若0x y+≠，则1x≠-或1y≠”的逆否命题为“若1x=且1y=-，则0x y+=”为真，所以原命题为真，所以是正确的；对于③中，根据双曲线的性质，可得两支总实轴最短，最短为24a=，同支焦点弦通径最短，最短为224ba=，所以满足条件的直线只有2条，所以不正确；对于④中，由已知可得220001222000y y y y y yk kx x x x x x-+-⋅=⨯=-+-，又由220022222211x ya bx ya b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减可得222222200022222x x y y y y ba b x x a---+=⇒=--，则2122bk ka⋅=-，所以是正确的；对于⑤中，令23ykx-=-，即23y kx k-=-，数形结合，如图所示，2≤，解得120,5k⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又由由已知可得23ymx-≤-存在成立，则125m≤，所以不正确.综上可得：正确命题的序号为：①②④.【点睛】本题主要考查了命题的真假判断与应用，其中解答中涉及双曲线的几何性质，四种命题的关系，直线与圆的位置关系的应用等知识点的综合应用，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.17．（1）133m <<；（2）()12,2,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）由方程表示焦点在x 轴上的双曲线，得到31030m m ->⎧⎨-<⎩，即可求解； （2）由（1）中命题p 为真命题时，得到133m <<，再求得命题q 为真命题，得到22m -≤≤，结合“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，得p 、q 两个命题一真一假，分类讨论，即可求解.【详解】（1）由题意，方程221313x y m m +=--表示焦点在x 轴上的双曲线， 则满足31030m m ->⎧⎨-<⎩，解得133m <<， 即命题p 为真命题时，实数m 的取值范围是133m <<. （2）若命题q 为真命题，则02tan m x =在0,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有解，解得22m -≤≤， 又由“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，则p 、q 两个命题一真一假，若p 真q 假，则13322m m m ⎧<<⎪⎨⎪-⎩或，解得23m <<；若p 假q 真，则13322m m m ⎧≤≥⎪⎨⎪-≤≤⎩或，解得123m -≤≤， 综上，实数m 的取值范围为()12,2,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，以及利用复合命题的真假求解参数的范围，其中解答中正确求解命题,p q ，合理利用复合命题的真假，分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.18．（1）122y x =-+；（2）4. 【解析】【分析】（1）设直线2l 的方程为12y x b =-+，代入点()2,1，求得2b =，即可求解直线的方程； （2）设为斜率为()0k k <，得到2l 的方程为()12y k x -=-，求得其在坐标轴上的截距，得出面积的表示，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，可设直线2l 的方程为12y x b =-+ 又由直线经过()2,1点，代入可得1122b =-⨯+，解得2b = 即直线2l 的方程为122y x =-+. （2）由题意可知，直线2l 的斜率存在且小于0，设为斜率为()0k k <，可得2l 的方程为()12y k x -=-，令0x =，可得2l 与y 轴的交点为()0,21Q k -+令0y =，可得2l 与x 轴的交点为12,0P k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，其中k 0< 故三角形OPQ 的面积()112122S k k ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭()1222k k ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭2≥+=4（当且仅当12k =-时等号成立） 即三角形OPQ 的面积最小值为4【点睛】本题主要考查了直线方程的求解及应用，以及基本不等式求最值的应用，其中解答中熟练应用两条直线的位置关系，合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．（1）()2221x y -+=；（2）min d =，y x =. 【解析】【分析】（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据题设条件，列出方程组，求得,,D E F 的值，即可求得圆的方程；（2）利用圆的切线长公式22221PC d r d =+=+，结合直线与圆的位置关系，分类讨论，即可求解.【详解】（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，由圆C 经过()3,0M ，()2,1N 两点，可得930D F ++=， ……① 520D E F +++=，……②又由圆心,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在直线240x y +-=上，即402E D ---=，……③ 由①②③，可解得4D =-，0E =，3F =，所以圆C 的方程为：22430x y x +-+=，即圆C 的方程()2221x y -+=.（2）对于动点P ，设切线长为d ，则22221PC d r d =+=+， 所以要使得切线长最短，必须且只需PC 最小即可，最小值为圆心()2,0到y 轴的距离，此时距离为2，故切线长的最小值为min d ==P 点为原点， 过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆C 相切；当斜率存在时，设直线方程为y kx =,代入圆C ：22430x y x +-+=，可得()22430x kx x +-+=，即()221430k x x +-+=,令()()2244310k ∆=--⨯+=，解得k =,故切线方程为3y x =±【点睛】 本题主要考查了圆的方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记圆的方程，以及合理应用直线与圆的位置关系，合理判定与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20．（1）2；（2）2219y x -=. 【解析】【分析】（1）由双曲线C 的实轴长为2，求得1a =，再由渐近线方程为2y x =，得到2b a=，即可求解；（2）由12PF PF ⊥和12PF F △的面积为9，求得1218PF PF =，再结合直角三角形的勾股定理和双曲线的定义，即可求解3b =，得到双曲线的方程.【详解】 （1）由题意，双曲线C ：22221x y a b-=的实轴长为2，即22a =，则1a =， 又由双曲线一条渐近线方程为2y x =，所以2b a=，可得22b a ==.（2）由双曲线定义可得1222PF PF a -==，又因为12PF PF ⊥，且12PF F △的面积为9，即121182PF PF ⨯=， 所以1218PF PF =，且222212124PF PF F F c +== 又由()2221212124240c PF PF PF PF PF PF =+=-+=，解得210c =，所以2221019c a b =-==-，解得3b =，故双曲线C 的标准方程为：2219y x -=. 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及合理应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21．（1）证明见解析；（2）()222400x y x y y +--=≠. 【解析】【分析】（1）当0m =时，求得两直线有交点()0,4，当0m ≠时，分别求得直线12,l l 的斜率，判定得到两直线斜率不可能相等，即可得到结论；（2）由直线1l 的方程，当0y ≠时，求得x m y=-，代入2l ，整理可得轨迹方程，再验证当0y =时，适合题意，即求解.【详解】（1）由题意，当0m =时，1l :0x =，2l ：4y =，两直线有交点()0,4；当0m ≠时，直线()1:0l x my m R +=∈斜率为11k m=-， 直线()2:240l mx y m m R --+=∈的斜率2=k m ，令12k k =，即1m m-=，此时方程无解，即故两直线斜率不可能相等，即两直线必定相交， 综上可得，无论m 取何实数，直线1l 与2l 一定相交.（2）由直线()1:0l x my m R +=∈，当0y ≠时，可得x m y=-， 代入直线()2:240l mx y m m R --+=∈，可得2240x x y y y--++= 整理得()222400x y x y y +--=≠ 当0y =时，由()1:0l x my m R +=∈，得0x =，此时交点坐标为()0,0，满足上式， 综上可得，点P 点轨迹方程为：()222400x y x y y +--=≠. 【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，以及轨迹方程的求解，其中解答中熟记两条直线的位置关系的判定方法，以及合理分类讨论，利用代入法求解曲线的轨迹方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.22．（1）2214x y +=；（2）11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）利用已知条件，求得,a c ，再由222b a c =-，求得b 的值，即可求解；（2）设()00,M x y ，其中002x <<，001y <<，可得()00,N x y -，求得直线,AM BN 的方程，联立方程组，求得点P 的坐标，得出直线OP 斜率，结合椭圆的范围，即可求解斜率k 的取值范围.【详解】（1）由题意知，椭圆C 长轴的两个端点分别为()2,0A -，()2,0B ，可得2a =，又由e =2c a =，可得c =，又因为2222221b a c --===，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （2）设()00,M x y ，其中002x <<，001y <<，可得()00,N x y -，由斜率公式，可得002AM y k x =+，002BN y k x =-， 所以直线AM 的方程为()0022y y x x =++；直线BN 的方程为()0022y y x x =--， 联立方程组()()00002222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，解得00024,y x y x x ==，即点00024,y P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以000022425OPy x y k x ==>，即0415y <<，又由)002000224y y k x y ====+-t =，30,5t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0y =所以111222k ====， 因为30,5t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以25,214t ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，则111,242⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以11,42k ⎛⎫∈⎪⎝⎭，即实数直线AM 的斜率k 的取值范围11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】 本题主要考查了椭圆方程及其简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，其中解答中合理利用直线的斜率公式和椭圆的几何性质，求得斜率k 的表达式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题.。

四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高二数学上学期期中联考试题理考试时间共120分钟，满分150分注意事项：1。

答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0。

5毫米黑色签字笔填写清楚,考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0。

5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答,超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3。

考试结束后由监考老师将答题卡收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线a⊥平面α,直线b⊥平面α，则直线a与直线b的位置关系为A。

异面B。

相交C。

平行D。

平行或异面2.已知直线l经过点A(1，－1）,B(2，m),若直线l的斜率为1，则m的值为A。

0 B.1 C.－1 D.23.某校高一、高二、高三共有2800名学生，为了解暑假学生在家的每天学习情况，计划用分层抽样的方法抽取一个容量为56人的样本,已知从高二学生中抽取的人数为19人,则该校高二学生人数为A.900B.950C.1000 D。

10504。

已知点A（1,0),直线l：x－y＋1＝0，则点A到直线l的距离为A。

1 B.2 C.2 D.225.若直线2x－y＋a＝0始终平分圆x2＋y2－4x＋4y＝0的周长，则a的值为A.4 B。

6 C。

－6 D.－26。

设α、β是互不重合的平面，l、m、n是互不重合的直线，下列命题正确的是,A.若m⊂α，n⊂α,l⊥m,l⊥n，则l⊥αB。

若l⊥n，m⊥n，则l//mC。

若m//α，n//β，α⊥β，则m⊥n D。

若l⊥α，l//β，则α⊥β7.若实数x，y满足约束条件y2x402y x80y20--≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则z＝3x－y的最小值为A.－6B.－5 C。

四川省蓉城名校联盟2017-2018学年度上期高2016级期末联考数学试卷第Ⅰ卷 选择题(共60分)一.选择题:（本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）。

1. 设命题，则为2:,2n p n N n ∀∈≤p ⌝A.B.C.D. 2,2nn N n >∀∈2,2n n N n ∃∈≤2,2n n N n >∃∈2,2nn N n =∃∈2.某学校高中部学生中，高一年级有700人，高二年级有500人，高三年级有300人，为了了解该校高中学生的健康状况，用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为的样本，已知从高n 三年级学生中抽取15人，则为n A.40B.55C. 65D.753.某人在打靶中，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是A.两次都不中靶B.只有一次中靶C.至多有一次中靶D.两次都中靶4.“”是方程“表示椭圆”的52m -＜＜22152x y m m +=-+A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件5.已知命题；命题：若，则，下列命题为真命题的是2:0,1p x R x x ∈++>∀q a b ＜22a b ＜A.B. C. D. p q ∧p q ∧⌝p q ⌝∨p q⌝∨⌝6.已知双曲线－＝1 (a >0，b >0)的离心率为，则双曲线的渐进线方程为:C x 2a 2y 2b 243C A. B.C. D. 43y x =±34y x =±y x =y x =7.过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线的条数为(2,1)A -A.2 B.3C.4D.无法确定8.右图是把二进制的数111111（2）化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是A ．i≤4B ．i≤5C ．i ＞5D ．i ＞49.已知集合表示的平面区域为，若在区域内任取一点，则点240(,)00x y x y x y x y +-≤⎧⎧⎫⎪⎪⎪+≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≥⎩⎩⎭ΩΩ(,)P x y 的坐标满足不等式的概率为P 221x y +≤A.B.C.D.316π16π32π364π10.点是抛物线上的点，点是圆关于直线对称的曲M 22y x =N 221:(1)(3)1C x y +++=10x y ++=线上的点，则的最小值是C MN1-1-1-1-11.过双曲线右焦点作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右22221(0)5a a x ya -=>-F 两支各有一个交点；当直线斜率为2时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则的取值范围为a A. B.C. D.2)12.设为椭圆上一点，点关于原点的对称点为，为椭圆的右焦点，且A 22221(0)x y a b b a +=>>A B F ，若，已知椭圆离心率为，则的取值范围为0AF BF =g ,123ABF ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦e 1eA. B.C.D.⎛ ⎝(第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数不小于3的概率的是________.14.甲乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如右图所示，甲乙的平均数都等于乙的众数，则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为_______.15.已知动点分别与两点连线的斜率乘积为，则动点的轨迹方程为P (2,0),(2,0)A B -34-P ________________.16.在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线xOy 22221(0,0)x y a bb a -=＞＞F交于、，若，则=_______.20)2(x py p =＞A B AF BF t OF +=t 三、解答题（本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）现从A 、B 、C 、D 、E 五人中选取三人参加一个重要会议，五人中每个人被选中的机会均相等，求：（1）A 和B 都被选中的概率；（2）A 和B 至少有一个被选中的概率。

2017-2018学年度高二上半期考试数学试题(理科)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两个部分。

2. 本堂考试 120分钟，满分 150分。

3．答题前，考生务必先将自己的姓名、班级、考号、座位号填写在答题卷的密封 线内。

4．考试结束后，将所有答题卷和机读卡交回。

第Ⅰ卷（60分）一．选择题：（本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分，在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）。

1.设命题 p : n N ,n 22n ,则p 为 ()A.n N ,n 2 2nB.n N ,n 2 2nC.n N ,n 22nD.n N ,n 22n2.抛物线 y 4x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是（）17 157 A ．B.C.D.1616813."m "是直线 (m 2)x 3my 1 0 与直线 (m 2)x (m 2)y 30 相互垂直2的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.过点 A (1,1) ,B (1,1) 且圆心在直线 x y 20上的圆的方程为（ ）A.(x 3)2 (y 1)2 4B.(x 3)2 (y 1)2 4C.(x1)2(y1)24D.(x1)2(y1)245.已知曲线C 上的动点 M （x , y ），向量 a (x 2, y )和b (x 2, y ) 满足 a b 6，则曲线C 的离心率是（ ）2 3 A.B. C.D.33313xy5226.已知双曲线 C :1(a0,b0) 的离心率为，则 C 的渐近线方程为a222b（）1 1A.y xB.yx43- 1 -1yxC.y xD.27.已知两定点A (2，0),B(1,0),如果动点P满足PA 2PB，则点P的轨迹所表示的图形的面积等于（）A． B.4 C.8 D.98.已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过点F的直线l与E相交于A,B两点，且AB的中点为N (12,15),则E的方程为（）x22yA. 1B.36x24y251x22yC. 1D.63x25y2419.四棱柱中，与的交点为点，设，ABCD A1B C D AC BD M A1B a，A D b,AA c 1111111则下列与B M相等的向量是( ）1111111A．-a b c B．a b c C．a b cD．222222121a b2c10.一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）(4)3(8)3A. B. C. D.(4)332(86)3第10题图11.已知两定点A(2,0)和B(2,0)，动点P(x,y)在直线l:y x3上移动，椭圆C以A,B 为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）- 2 -26 2 26 2 13 A.B.C.D.1313134 13 13xy2212.已知点 P 是椭圆 1上位于第一象限内的任一点，过点 P 作圆 x 2y 2 16 的两条25 16切线 PA , PB （点 A , B 是切点），直线 AB 分别交 x 轴、 y 轴于点 M , N ，则 MON 的面积SO( 是坐标原点)的最小值是（）MON64 41 A.B. C.D.145532 5第Ⅱ卷（90分）二、填空题：（本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分，把答案填在答题卷上的相应位置）. 13.已知直线l 经过点 ( 7,1) 且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l 的方程为 .x214.若抛物线 y 2 2px 的焦点与双曲线1的右焦点重合,则 的值.y 2p 315.若函数 f (x ) x a x 2 2 （a0）没有零点，则实数 a 的取值范围为.sincos0,216.已知由直线： xy 1(a ,b 为给定的正常数， 为参数，）构成a b的集合为S ，给出下列命题：S b （1） 当时， 中直线的斜率为 ；4a（2） S 中的所有直线可覆盖整个坐标平面。

2017-2018学年四川省蓉城名校联盟高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知直线l1：x+3y﹣1=0与直线l2：mx﹣y=0平行，则实数m的取值是（）A．B．C．3 D．﹣32．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x3．（5分）下列选项中，说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．命题p：∃x∈R，x2﹣x≤0，则¬p：∀x∉R，x2﹣x＞0D．若p∨q为假命题，则p，q均为假命题4．（5分）圆（x﹣4）2+y2=9和圆x2+（y﹣3）2=25的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离5．（5分）已知双曲线的离心率为，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．6．（5分）如果点M在运动的过程中总满足关系式，则点M的轨迹是（）A．椭圆B．圆C．线段D．双曲线7．（5分）已知命题“∃x∈R，使2x2+（a﹣1）x+2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）B．（﹣1，3）C．（﹣3，5）D．（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）8．（5分）已知双曲线方程为，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条9．（5分）关于x的方程有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）椭圆上一点P到直线x+y+11=0的距离最大值为（）A．B．C．D．11．（5分）设P是椭圆上一动点，Q是圆（x+3）2+y2=1上一动点，直线kx+y﹣6k﹣4=0恒过定点M，则|PQ|+|PM|的最大值为（）A．15 B．16 C． D．12．（5分）如图，已知双曲线C1：=1（a＞0，b＞0），椭圆C2以双曲线的焦点为顶点，以双曲线的顶点为焦点，双曲线C1的一条渐近线与以椭圆C2的长轴为直径的圆交于A，B两点，与椭圆C2交于C，D两点，且|CD|=t|AB|，则t的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）空间直角坐标系中，点A（﹣3，﹣4，5）和点B（2，﹣1，6）的距离是．14．（5分）在圆x2+y2=16上任取一点P，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D，点M满足．当点P在该圆上运动时，点M的轨迹方程是．15．（5分）若双曲线的焦点分别为F1，F2，其上一点P满足∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积是．16．（5分）已知点E为不等式组表示区域内的一点，过点E的直线l与圆M：（x﹣1）2+y2=16相交于A、C两点，过点E与l垂直的直线交圆M于B，D两点，当AC取最小值时，四边形ABCD的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）求过两直线x﹣2y+3=0和x+y﹣3=0的交点，且满足下列条件的直线l的方程．（Ⅰ）和直线x+3y﹣1=0垂直；（Ⅱ）在y轴的截距是在x轴上的截距的2倍．18．（12分）已知命题p：实数m满足m2﹣5am+4a2＜0，其中a＞0；命题q：方程=1表示双曲线．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数m的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（12分）已知圆C经过点A（5，2），B（1，4）且圆心在直线x﹣y+1=0上．（1）求圆C的方程；（2）过点P（3，1）作直线l与圆C相交于M，N两点，且|MN|=6，求直线l 的方程．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）过点（0，﹣3），且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C上存在不同的两点A，B关于直线y=2x﹣6对称，求直线AB的方程．21．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，一动圆C与圆M 外切，与圆N内切，动圆圆心P的轨迹为曲线W．（1）求曲线W的方程；（2）若P，Q为曲线W上的两动点，且，求证：为定值．22．（12分）已知椭圆C：与双曲线有共同的焦点，若动直线l与定圆O：x2+y2=1相切，且与椭圆C交于M、N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求△OMN面积的取值范围．2017-2018学年四川省蓉城名校联盟高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知直线l1：x+3y﹣1=0与直线l2：mx﹣y=0平行，则实数m的取值是（）A．B．C．3 D．﹣3【解答】解：由﹣1﹣3m=0，解得m=﹣．经过验证两条直线平行．故选：B．2．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：化已知双曲线的方程为标准方程，可知焦点在y轴，且a=3，b=2，故渐近线方程为y==故选：A．3．（5分）下列选项中，说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．命题p：∃x∈R，x2﹣x≤0，则¬p：∀x∉R，x2﹣x＞0D．若p∨q为假命题，则p，q均为假命题【解答】解：命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，故A正确；“x2﹣3x+2=0”⇔“x=1，或x=2”，故“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，故B 正确；命题p：∃x∈R，x2﹣x≤0，则¬p：∀x∈R，x2﹣x＞0，故C错误；若p∨q为假命题，则p，q均为假命题，故D正确；故选：C．4．（5分）圆（x﹣4）2+y2=9和圆x2+（y﹣3）2=25的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离【解答】解：根据题意，圆（x﹣4）2+y2=9的圆为（4，0），半径为3，而圆x2+（y﹣3）2=25的圆心为（0，3），半径为5，两圆的圆心距d==5，则有5﹣3＜d＜5+3，两圆相交；故选：B．5．（5分）已知双曲线的离心率为，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，双曲线的焦点是（﹣4，0），（4，0），则其焦点在x轴上且c=4，又由双曲线的离心率e=，则有=，则有a=，则b2=c2﹣a2=16﹣6=10，则双曲线的标准方程为：﹣=1；故选：D．6．（5分）如果点M在运动的过程中总满足关系式，则点M的轨迹是（）A．椭圆B．圆C．线段D．双曲线【解答】解：根据题意，关系式，则动点M到（0，﹣3）与（0，3）的距离之和为6，设A（0，﹣3），B（0，3），而点A（0，﹣3）与B（0，3）之间的距离为6，即|AB|=6，则点M的轨迹是线段AB，故选：C．7．（5分）已知命题“∃x∈R，使2x2+（a﹣1）x+2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）B．（﹣1，3）C．（﹣3，5）D．（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）【解答】解：命题“∃x∈R，使2x2+（a﹣1）x+2≤0”是假命题，那么：“∀x∈R，使2x2+（a﹣1）x+2＞0”是真命题，即（a﹣1）2﹣16＜0，解得：﹣3＜a＜5．故选：C．8．（5分）已知双曲线方程为，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条【解答】由题意可得：双曲线x2﹣=1的渐近线方程为：y=±2x，点P（1，0）是双曲线的右顶点，故直线x=1 与双曲线只有一个公共点；过点P （1，0）平行于渐近线y=±2x时，直线L与双曲线只有一个公共点，有2条所以，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，这样的直线共有3条故选：B．9．（5分）关于x的方程有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：设y1=，y2=k（x﹣2）+3，图象如图所示，当直线与半圆相切时，圆心O到直线AB的距离d=r，，解得：k=﹣（舍去）或k=，则利用图象得：实数k的范围为（]．故选：D．10．（5分）椭圆上一点P到直线x+y+11=0的距离最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，椭圆上一点P，设P的坐标为（4cosθ，3sinθ），则P到直线x+y+11=0的距离d==，（tanα=），分析可得：当sin（θ+α）=1时，d=取得最大值8；故选：B．11．（5分）设P是椭圆上一动点，Q是圆（x+3）2+y2=1上一动点，直线kx+y﹣6k﹣4=0恒过定点M，则|PQ|+|PM|的最大值为（）A．15 B．16 C． D．【解答】解：设椭圆的两个焦点分别F1（﹣3，0），F2（3，0）．直线kx+y﹣6k﹣4=0即k（x﹣6）+y﹣4=0，令，解得x=6，y=4，可得直线恒过定点M（6，4），则|PQ|+|PM|=|PF1|+1+|PM|=10﹣|PF2|+1+|PM|=11+|PM|﹣|PF2≤11+|MF2|=11+=16，故选：B．12．（5分）如图，已知双曲线C1：=1（a＞0，b＞0），椭圆C2以双曲线的焦点为顶点，以双曲线的顶点为焦点，双曲线C1的一条渐近线与以椭圆C2的长轴为直径的圆交于A，B两点，与椭圆C2交于C，D两点，且|CD|=t|AB|，则t的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：依题意可得椭圆C2的方程为：，以椭圆C2的长轴为直径的圆的方程为：x2+y2=a2+b2．由，可得，由，可得由|CD|=t|AB|=|OC|=t|OB|⇒|=|OC|2=t2|OB2|⇒=t2•b2，∴=∵，∴，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）空间直角坐标系中，点A（﹣3，﹣4，5）和点B（2，﹣1，6）的距离是．【解答】解：|AB|==．故答案为：．14．（5分）在圆x2+y2=16上任取一点P，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D，点M满足．当点P在该圆上运动时，点M的轨迹方程是．【解答】解：设M的坐标为（x，y），由，可得M为PD的中点，∴P的坐标为（x，2y），∵点P在圆x2+y2=16上，∴x2+4y2=16，即．故答案为：．15．（5分）若双曲线的焦点分别为F1，F2，其上一点P满足∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积是3．【解答】解：根据题意，双曲线中a==3，b=，则c==2，双曲线上有一点P，设|PF1|=m，|PF2|=n，则有|m﹣n|=2a=6，则有m2+n2﹣2mn=36，①又由∠F1PF2=60°，则有m2+n2﹣2mncos60°=4c2=48，即m2+n2﹣mn=48，②①﹣②可得：mn=12，则△F1PF2的面积S=mnsin60°=3；故答案为：3．16．（5分）已知点E为不等式组表示区域内的一点，过点E的直线l 与圆M：（x﹣1）2+y2=16相交于A、C两点，过点E与l垂直的直线交圆M于B，D两点，当AC取最小值时，四边形ABCD的面积为8．【解答】解：由不等式组作可行域如图，圆M：（x﹣1）2+y2=16的圆心为M（1，0），半径为4．E为图中阴影三角形及其内部一动点，由图可知，当E点位于直线x+y=2与y轴交点时，E为可行域内距离圆心M最远的点．此时当AC过E且与ME垂直时最短．与AC垂直的直线交圆得到直径BD．|ME|=，|AC|=2=2，S四边形ABCD=×8×2=8．故答案为：8．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）求过两直线x﹣2y+3=0和x+y﹣3=0的交点，且满足下列条件的直线l的方程．（Ⅰ）和直线x+3y﹣1=0垂直；（Ⅱ）在y轴的截距是在x轴上的截距的2倍．【解答】解：（Ⅰ）由可得两直线的交点为（1，2）∵直线l与直线x+3y﹣1=0垂直，∴直线l的斜率为3，则直线l的方程是：y﹣2=3（x﹣1），即：3x﹣y﹣1=0；（Ⅱ）当直线l过原点时，直线l的方程为2x﹣y=0，当直线l不过原点时，令l的方程为，∵直线l过（1，2），∴a=2，则直线l的方程为2x+y﹣4=0．18．（12分）已知命题p：实数m满足m2﹣5am+4a2＜0，其中a＞0；命题q：方程=1表示双曲线．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数m的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p：实数m满足m2﹣5am+4a2＜0，其中a＞0，解得a＜m＜4a；命题q：方程=1表示双曲线则（m﹣3）（m﹣5）＜0，解得3＜m ＜5．（1）若a=1，则p：1＜m＜4．由p∧q为真，∴，解得3＜m＜4．∴实数m的取值范围是（3，4）．（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件．∴，等号不能同时成立．解得3．∴实数a的取值范围是．19．（12分）已知圆C经过点A（5，2），B（1，4）且圆心在直线x﹣y+1=0上．（1）求圆C的方程；（2）过点P（3，1）作直线l与圆C相交于M，N两点，且|MN|=6，求直线l 的方程．【解答】解：（1）线段AB的中点E（3，3），k AB==﹣，可得线段AB的垂直平分线的方程：y﹣3=2（x﹣3），化为：2x﹣y﹣3=0．联立，解得圆心C（4，5）．∴r2=|AC|2=（5﹣4）2+（2﹣5）2=10．∴圆C的方程为：（x﹣4）2+（y﹣5）2=10．（2）直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x=3，则圆心C到直线l的距离d=1，可得弦长=2=6，满足条件．直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y﹣1=k（x﹣3），即kx﹣y+1﹣3k=0，则圆心C到直线l的距离d==，可得弦长|MN|=2=2=6，解得d=1．∴=1，解得k=，可得直线l的方程为：y﹣1=（x﹣3），化为：15x﹣8y﹣37=0．综上可得直线l的方程为：x=3或15x﹣8y﹣37=0．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）过点（0，﹣3），且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C上存在不同的两点A，B关于直线y=2x﹣6对称，求直线AB的方程．【解答】解：（1）由题意可得b=3，又，∴，得a2=36．∴椭圆C的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点（x0，y0），点A，B在椭圆上，有，∴，则，又y0=2x0﹣6，联立可得x0=4，y0=2，∵AB中点（4，2）在椭圆内，∴直线AB存在，直线AB的方程是y=（x﹣4）+2，即x+2y﹣8=0．21．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，一动圆C与圆M 外切，与圆N内切，动圆圆心P的轨迹为曲线W．（1）求曲线W的方程；（2）若P，Q为曲线W上的两动点，且，求证：为定值．【解答】解：（1）∵圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线W，设圆P的半径为r，由题意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5﹣r）=6，∴曲线W是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，∴曲线W的方程为+=1，证明（2）∵，∴OP⊥OQ，当OP，OQ斜率都存在且不为0时，设l OP：y=kx，P（x1，y1），Q（x2，y2），由，可得x12=，y12=，则|OP|2=设l OQ：y=x，联立，可得x22=，y22=，则|OQ|2=∴==，当OP，OQ斜率一个为0，一个不存在时，=+=综上所述：为定值．22．（12分）已知椭圆C：与双曲线有共同的焦点，若动直线l与定圆O：x2+y2=1相切，且与椭圆C交于M、N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求△OMN面积的取值范围．【解答】解：（1）由双曲线，得，，∴，则双曲线的焦点坐标为（﹣1，0），（1，0），即椭圆的焦点坐标也为（﹣1，0），（1，0），∴a2=b2+c2=2+1=3，则椭圆方程为；（2）如图，设圆O：x2+y2=1的切线为x=ty+m，由，得m2=t2+1．联立，得（3+2t2）y2+4tmy+2m2﹣6=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，∴|MN|=====∈[）．∴∈[）．。

2020-2021学年四川省成都市蓉城名校联盟高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若直线a ⊥平面α，直线b ⊥平面α，则直线a 与直线b 的位置关系为( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．平行或异面2．（5分）已知直线l 经过点(1,1)A -，(2,)B m ，若直线l 的斜率为1，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．1-D ．23．（5分）某校高一、高二、高三共有2800名学生，为了解暑假学生在家的每天学习情况，计划用分层抽样的方法抽取一个容量为56人的样本，已知从高二学生中抽取的人数为19人，则该校高二学生人数为( )A ．900B ．950C ．1000D ．10504．（5分）已知点(1,0)A ，直线:10l x y -+=，则点A 到直线l 的距离为( )A ．1B ．2C ．2D ．225．（5分）若直线20x y a -+=始终平分圆22440x y x y +-+=的周长，则a 的值为( )A ．4B ．6C ．6-D ．2-6．（5分）设α、β是互不重合的平面，1、m 、n 是互不重合的直线，下列命题正确的是( )A ．若m α⊂，n α⊂，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥B ．若l n ⊥，m n ⊥，则//l mC ．若//m α，//n β，αβ⊥，则m n ⊥D ．若l α⊥，//l β，则αβ⊥7．（5分）若实数x ，y 满足约束条件24028020y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩，则3z x y =-的最小值为( )A ．6-B ．5-C ．4-D ．2-8．（5分）如图，在以下四个正方体中，直线MN 与平面ABC 平行的是( )A ．B ．C ．D ．9．（5分）直线210y x -+=关于30y x -+=对称的直线方程是( )A ．280x y --=B ．2100x y --=C ．2120x y +-=D ．2100x y +-=10．（5分）如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，2SA =，2AC =，1BC =，90ACB ∠=︒，则直线SC 与平面SAB 所成角的正弦值为( )A ．1010B ．24C ．22D ．3101011．（5分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，AD PA ⊥，BC PB ⊥，PB BC =，PA AB =，M 为PB 的中点，若PC 上存在一点N 使得平面PCD ⊥平面AMN ，则(PN NC= )A ．12B ．13C ．23D ．112．（5分）已知圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>，若圆C 上至少有3个点到直线20x y ++=2r 的取值范围为( )A ．(0，22)B ．(2232]C ．(32)+∞D ．[32，)+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）某次物理考试，小明所在的学习小组六名同学的分数茎叶图如图所示，发现有一个数字（茎叶图中的)x 模糊不清，已知该组的物理平均分为88分，则数字x 的值为 ．14．（5分）已知直线1:10l mx y ++=，2:(1)20l x m y +-+=，若12l l ⊥，则m 值为 ．15．（5分）已知圆22:(4)4C x y ++=，过点(6,3)-与圆C 相切的直线方程为 ．16．（5分）在长方体1111ABCD A B C D -中，12AD AA ==，3AB =，P 为BC 的中点，点Q 为侧面11ADD A 内的一点，当1B P AQ ⊥，CDQ ∆的面积最小值时，三棱锥Q ACD -的体积为 ．三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）在ABC ∆中，已知(1,2)A -，BC 边所在直线方程为2150x y +-=．（1）求BC 边上的高AD 所在直线的方程；（2）若AB ，AC 边的中点分别为E ，F ，求直线EF 的方程．18．（12分）已知圆C 经过点(1,0)A 和(1,2)B --，且圆心C 在直线34110x y --=上．（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与圆222:4250M x y x ay a ++-+-=相交，求实数a 的取值范围．19．（12分）如图，四面体ABCD 中，点E ，F 分别为线段AC ，AD 的中点，平面EFNM ⋂平面BCD MN =，90CDA CDB ∠=∠=︒，DH AB ⊥，垂足为H ．（1）求证：//EF MN ；（2）求证：平面CDH ⊥平面ABC ．20．（12分）成都是全国闻名的旅游城市，有许多很有特色的旅游景区．某景区为了提升服务品质，对过去100天每天的游客数进行了统计分析，发现这100天每天的游客数都没有超出八千人，统计结果见下面的频率分布直方图：（1）估计该景区每天游客数的中位数和平均数；（2）为了研究每天的游客数是否和当天的最高气温有关，从这一百天中随机抽取了5天，统计出这5天的游客数（千人）分别为0.8、3.7、5.1、5.6、6.8，已知这5天的最高气温(C)︒依次为8、18、22、24、28．（ⅰ）根据以上数据，求游客数y 关于当天最高气温x 的线性回归方程（系数保留一位小数）； （ⅱ）根据（ⅰ）中的回归方程，估计该景区这100天中最高气温在20C ~26C ︒︒内的天数（保留整数）参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是ˆˆˆybx a =+； 其中：1122211()()ˆ()n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-． 本题参考数据：51()()70i i i x x y y =--=∑，521()232i i x x =-=∑．21．（12分）如图，六面体ABCDEFGH 中，平面//ABCD 平面EFGH ，2EF AB =．（1）若AE EF ⊥，平面ABFE ⊥平面EFGH ，二面角F AE H --的大小为120︒，1AB AE ==，2EH =，求三棱锥A EFH -的体积；（2）若A ，E ，G ，C 四点共面，求证：直线FB 与HD 相交．22．（12分）已知圆22:(3)(4)16C x y ++-=，直线:(21)(2)340()l m x m y m m R ++---=∈．（1）若圆C 截直线l 所得弦AB 的长为211m 的值；（2）若0m >，直线l 与圆C 相离，在直线l 上有一动点P ，过P 作圆C 的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，且cos MPN 的最小值为1345．求m 的值，并证明直线MN 经过定点．2020-2021学年四川省成都市蓉城名校联盟高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若直线a ⊥平面α，直线b ⊥平面α，则直线a 与直线b 的位置关系为( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．平行或异面【分析】由直线a ⊥平面α，直线b ⊥平面α，利用反证法证明//a b ．【解答】解：若直线a ⊥平面α，直线b ⊥平面α，则直线a 与直线b 的位置关系是平行． 原因如下：若a 与b 相交，设交点为O ，则过O 点有两条直线都有平面α垂直，与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾；若a 与b 异面，如图，设b O α=，则由a 与O 可确定平面β，在β内过O 作直线//c a ，则c α⊥，这样，过O 有两条直线b 与c 与α垂直，也与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾．故选：C ．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．2．（5分）已知直线l 经过点(1,1)A -，(2,)B m ，若直线l 的斜率为1，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．1-D ．2【分析】由题意利用直线的斜率公式，计算求得结果．【解答】解：直线l 经过点(1,1)A -，(2,)B m ，若直线l 的斜率为1， 则1121m +=-，求得0m =，故选：A ．【点评】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．3．（5分）某校高一、高二、高三共有2800名学生，为了解暑假学生在家的每天学习情况，计划用分层抽样的方法抽取一个容量为56人的样本，已知从高二学生中抽取的人数为19人，则该校高二学生人数为( )A ．900B ．950C ．1000D ．1050【分析】由题意利用分层抽样的定义和方法，求出高二年级的人数．【解答】解：抽样的比例为1956，则高二年级的人数为19280095056⨯=， 故选：B ．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．4．（5分）已知点(1,0)A ，直线:10l x y -+=，则点A 到直线l 的距离为( )A ．1B ．2CD ．【分析】由题意利用点到直线的距离公式，求得结果．【解答】解：点(1,0)A ，直线:10l x y -+=，则点A 到直线l故选：C ．【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题．5．（5分）若直线20x y a -+=始终平分圆22440x y x y +-+=的周长，则a 的值为( )A ．4B ．6C ．6-D ．2- 【分析】由圆的方程可得圆心的坐标，由题意可得直线20x y a -+=过圆的圆心，将圆心的坐标代入可得a 的值．【解答】解：由题意可得直线20x y a -+=过圆22440x y x y +-+=的圆心，而圆的圆心坐标为：(2,2)-，所以可得22(2)0a -⨯-+=，解得6a =-，故选：C ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题6．（5分）设α、β是互不重合的平面，1、m 、n 是互不重合的直线，下列命题正确的是( )A ．若m α⊂，n α⊂，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥B ．若l n ⊥，m n ⊥，则//l mC ．若//m α，//n β，αβ⊥，则m n ⊥D ．若l α⊥，//l β，则αβ⊥【分析】由直线与平面垂直的判定判断A ；由垂直于同一条直线的两直线的位置关系判断B ，由线面平行即面面垂直的定义判断C ，由线面平行的性质及面面垂直的判定判断D ．【解答】解：对于A ，若m α⊂，n α⊂，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥，错误，满足条件m 与n 相交时正确，若m 与n 平行，l 不一定垂直于α；对于B ，若l n ⊥，m n ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，故B 错误；对于C ，若//m α，//n β，αβ⊥，则//m n 或m 与n 相交或m 与n 异面，相交于异面时也不一定垂直，故C 错误；对于D ，若//l β，则β内存在直线m 与l 平行，又l α⊥，m α∴⊥，而m β⊂，αβ∴⊥，故D 正确．故选：D ．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．7．（5分）若实数x ，y 满足约束条件24028020y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩，则3z x y =-的最小值为( )A ．6-B ．5-C ．4-D ．2-【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件24028020y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩作出可行域如图，联立2402y x y --=⎧⎨=⎩，解得(1,2)A -， 化目标函数3z x y =-，得3y x z =-，由图可知，当直线3y x z =-过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为3(1)25⨯--=-．故选：B ．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．8．（5分）如图，在以下四个正方体中，直线MN 与平面ABC 平行的是( )A ．B ．C ．D ．【分析】证明直线与平面垂直判定A ；由直线与平面相交的定义判断B 与C ；由直线与平面平行的判定判断D ．【解答】解：A 中，连接MG ，可得MG BC ⊥，由正方体的结构特征可得NG BC ⊥，又NGMG G =，BC ∴⊥平面MNG ，可得BC MN ⊥，同理可得，AB MN ⊥， 又AB BC B =，MN ∴⊥平面ABC ；B 中，//AC BN ，则平面ABC 与平面ANBC 为同一平面，N ∈平面ANBC ，M ∉平面ANBC ， 则直线MN 与平面ABC 相交；C 中，//BC AN ，则平面ABC 与平面ANBC 为同一平面，N ∈平面ANBC ，M ∉平面ANBC ， 则直线MN 与平面ABC 相交；D 中，由CM AN =，//CM AN ，可得四边形ANMC 为平行四边形，得//MN CA ，CA ⊂平面ABC ，MN ⊂/平面ABC ，//MN ∴平面ANBC ．故选：D ．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．9．（5分）直线210y x -+=关于30y x -+=对称的直线方程是( )A ．280x y --=B ．2100x y --=C ．2120x y +-=D ．2100x y +-=【分析】利用当对称轴斜率为1±时，由对称轴方程分别解出x ，y ，代入已知直线的方程，即得此直线关于对称轴对称的直线方程．【解答】解：因为直线30y x -+=即30x y --=的斜率为1，故有33x y y x =+⎧⎨=-⎩将其代入直线210x y --=即得：(3)2(3)10y x +---=，整理即得280x y --=．故选：A ．【点评】本题考查求一直线关于某直线的对称直线方程的求法．当对称轴斜率为1±时，由对称轴方程分别解出x ，y ，代入已知直线的方程，即得此直线关于对称轴对称的直线方程．10．（5分）如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，2SA =，2AC =，1BC =，90ACB ∠=︒，则直线SC 与平面SAB 所成角的正弦值为( )A 10B 2C 2D 310【分析】在平面ABC 内，过C 作CD AB ⊥于D ，连接SD ，即可得CSD ∠就是直线SC 与平面SAB 所成的角， 求得5CD =2222SC SA AC =+【解答】解：在平面ABC 内，过C 作CD AB ⊥于D ，连接SD ，SA ⊥平面ABC ，CD SA ∴⊥，即可得到CD ⊥面SAB ，CSD ∴∠就是直线SC 与平面SAB 所成的角，因为2AC =，1BC =，90ACB ∠=︒，所以5AB由AC BC AB CD =，可得5CD =又2222SC SA AC += ∴10sin CD CSD SC ∠==． 故选：A ．【点评】本题考查了空间线面角，考查了运算能力，属于中档题．11．（5分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，AD PA ⊥，BC PB ⊥，PB BC =，PA AB =，M 为PB 的中点，若PC 上存在一点N 使得平面PCD ⊥平面AMN ，则(PN NC= )A ．12B ．13C ．23D ．1【分析】取BC 的中点R ，AD 的中点Q ，PA 的中点为O ，连接MR ，RQ ，MO ，OQ ，由面面平行的判定定理可得平面//MOQR 平面PCD ，由线面垂直和面面垂直的判定定理、性质定理，结合直角三角形的勾股定理，可得所求值．【解答】解：取BC 的中点R ，AD 的中点Q ，PA 的中点为O ，连接MR ，RQ ，MO ，OQ ， 由//CD RQ ，//OQ PD ，可得平面//MOQR 平面PCD ，由平面PCD ⊥平面AMN ，可得平面MOQR ⊥平面AMN ，过M 作NM PC ⊥，垂足为N ，底面ABCD 是平行四边形，可得//AD BC ，又BC PB ⊥，可得AD PB ⊥，又AD PA ⊥，可得AD ⊥平面PAB ，BC ⊥平面PAB ，可得BC AM ⊥，在PAB ∆中，PA AB =，M 为PB 的中点，可得AM PB ⊥，则AM ⊥平面PBC ，AM M R ⊥，而MN PC ⊥，MN MR ⊥，可得MR ⊥平面AMN ，设2PB BC ==，则22PC =， 而1PM =，则22PN =，2322222NC =-=， 所以13PN NC =， 故选：B ．【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查推理能力、转化思想，属于中档题．12．（5分）已知圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>，若圆C 上至少有3个点到直线20x y ++=2r 的取值范围为( )A ．(0，22)B ．(2232]C ．(32)+∞D ．[32，)+∞【分析】22r 的不等式，求解即可．【解答】解：要使圆C 上至少有三个不同的点到直线l 2只需2r d-， 即22211r +； 解得32r ．所以圆半径r 的取值范围是[32)+∞．故选：D ．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，可转化为圆心到直线的距离来解．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）某次物理考试，小明所在的学习小组六名同学的分数茎叶图如图所示，发现有一个数字（茎叶图中的)x 模糊不清，已知该组的物理平均分为88分，则数字x 的值为 3 ．【分析】根据茎叶图中数据计算该组数据的平均值，列方程求出x 的值．【解答】解：由茎叶图中数据知，计算该组数据的平均分为1(848586909090)886x ⨯++++++=， 解得3x =．故答案为：3．【点评】本题考查了利用茎叶图中数据计算平均值的应用问题，是基础题．14．（5分）已知直线1:10l mx y ++=，2:(1)20l x m y +-+=，若12l l ⊥，则m 值为12 ． 【分析】根据直线与直线的垂直可得(1)0m m +-=，解得即可．【解答】解：直线1:10l mx y ++=，2:(1)20l x m y +-+=，若12l l ⊥，则(1)0m m +-=，解得12m =． 故答案为：12． 【点评】本题考查了两直线垂直，考查运算能力，属于基础题．15．（5分）已知圆22:(4)4C x y ++=，过点(6,3)-与圆C 相切的直线方程为 6x =-，或51260x y +-= ．【分析】易知点(6,3)-在圆外，然后设切线的方程为点斜式，利用点到切线的距离等于半径求出k 的值；别忘了考虑斜率不存在时斜率是否存在．【解答】解：由已知，圆心(4,0)C -，半径2r =．点(6,3)-在圆C 外，设切线方程为3(6)y k x -=+，即630kx y k -++=221k =+， 解得512k =-，故切线方程为53(6)12y x -=-+，即51260x y +-=．经验证，6x =-也是圆C 的切线方程．故答案为：6x =-，或51260x y +-=．【点评】本题考查直线与圆的位置关系以及圆的切线方程的求法．属于基础题．16．（5分）在长方体1111ABCD A B C D -中，12AD AA ==，3AB =，P 为BC 的中点，点Q 为侧面11ADD A 内的一点，当1B P AQ ⊥，CDQ ∆的面积最小值时，三棱锥Q ACD -的体积为 45 ． 【分析】由题意画出图形，以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，设出Q 的坐标，由1B P AQ ⊥，转化为数量积为0可得Q 的横坐标与竖坐标的关系，利用二次函数求出使CDQ ∆的面积取最小值的竖坐标，再由棱锥体积公式求三棱锥Q ACD -的体积．【解答】解：如图，以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则(2A ，0，0)，1(2B ，3，2)，(1P ，3，0)，设(Q x ，0，)z ，则(2,0,)AQ x z =-，1(1,0,2)B P =--，1B P AQ ⊥，∴1220AQ B P x z =--=，即22x z =-．22||DQ x z =+，222221333(22)584222CDQ S x z z z z z ∆=⨯⨯+=-+=-+． ∴当45z =，25x =时，CDQ ∆的面积取最小值355． 此时三棱锥Q ACD -的体积为111442333255AQD S CD ∆⨯=⨯⨯⨯⨯=． 故答案为：45．【点评】本题考查多面体体积的求法，考查向量垂直与坐标关系的应用，训练了利用二次函数求最值，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）在ABC ∆中，已知(1,2)A -，BC 边所在直线方程为2150x y +-=．（1）求BC 边上的高AD 所在直线的方程；（2）若AB ，AC 边的中点分别为E ，F ，求直线EF 的方程．【分析】（1）设直线AD 的方程为20x y a -+=，点(1,2)A -代入，能求出直线AD 的方程．（2）EF 为ABC ∆的中位线，从而//EF BC ，且点A 到直线EF 的距离等于直线EF ，BC 之间的距离，设直线EF 的方程为20x y b ++=，利用两平行线间的距离公式能求出直线EF 的方程．【解答】解：（1）BC 的方程为2150x y +-=，AD BC ⊥，∴设直线AD 的方程为20x y a -+=，点(1,2)A -代入，解得5a =，∴直线AD 的方程为250x y -+=．（2）AB ，AC 边的中点分别为E ，F ，EF ∴为ABC ∆的中位线，//EF BC ∴，且点A 到直线EF 的距离等于直线EF ，BC 之间的距离，设直线EF 的方程为20x y b ++=，=|||15|b b =+， 解得152b =-． ∴直线EF 的方程为42150x y +-=．【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线与直线垂直、两平行线间的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（12分）已知圆C 经过点(1,0)A 和(1,2)B --，且圆心C 在直线34110x y --=上．（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与圆222:4250M x y x ay a ++-+-=相交，求实数a 的取值范围．【分析】（1）设出圆的一般方程，由题意可得关于D 、E 、F 的方程组，求得D 、E 、F 值，即可得到圆的方程；（2）化两圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，利用圆心距与两圆半径和与差的关系列不等式求解实数a 的取值范围．【解答】解：（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则圆心(,)22D E C --， 由已知得10520321102D F DEF D E ⎧⎪++=⎪--+=⎨⎪⎪-+-=⎩，解得241D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．∴圆C 的方程为222410x y x y +-++=； （2）圆C 的方程为222410x y x y +-++=，即22(1)(2)4x y -++=，圆心坐标(1,2)C -，半径2r =，圆M 的方程为2224250x y x ay a ++-+-=，即22(2)()9x y a ++-=，圆心坐标为(2,)M a -，半径3R =，圆C 与圆M 相交，||R r CM R r ∴-<<+，即219(2)5a <++<，解得62a -<<．∴实数a 的取值范围是(6,2)-．【点评】本题考查利用待定系数法求圆的方程，考查圆与圆位置关系的应用，考查数学转化思想，是基础题．19．（12分）如图，四面体ABCD 中，点E ，F 分别为线段AC ，AD 的中点，平面EFNM ⋂平面BCD MN =，90CDA CDB ∠=∠=︒，DH AB ⊥，垂足为H ．（1）求证：//EF MN ；（2）求证：平面CDH ⊥平面ABC ．【分析】（1）可得//EF 平面BDC ．再利用线面平行的性质可得//EF MN ．（2）只需证明AB ⊥平面DCH ，即可证明平面CDH ⊥平面ABC ．【解答】证明：（1）因为点E ，F 分别为线段AC ，AD 的中点，所以//EF CD ，因为CD⊂面BDC，EF⊂/面BDC，EF∴平面BDC．//EF⊂面EFNM，平面EFNM⋂平面BDC MN=．EF M∴//（2）90⊥，∴⊥，CD DB∠=∠=︒，CD DACDA CDB=，DA⊂平面ADB，BD⊂平面ADB，DA DB D∴⊥平面ADB，CD∴⊥，CD AB⊥，DH CD DD H AB=，DC⊂平面DCH，DH⊂平面DCH，∴⊥平面DCH，ABAB⊂平面ABC，∴平面CDH⊥平面ABC．【点评】本题考查了空间线面、面面位置关系，考查了空间线线垂直、面面垂直的证明，属于中档题．20．（12分）成都是全国闻名的旅游城市，有许多很有特色的旅游景区．某景区为了提升服务品质，对过去100天每天的游客数进行了统计分析，发现这100天每天的游客数都没有超出八千人，统计结果见下面的频率分布直方图：（1）估计该景区每天游客数的中位数和平均数；（2）为了研究每天的游客数是否和当天的最高气温有关，从这一百天中随机抽取了5天，︒统计出这5天的游客数（千人）分别为0.8、3.7、5.1、5.6、6.8，已知这5天的最高气温(C)依次为8、18、22、24、28．（ⅰ）根据以上数据，求游客数y关于当天最高气温x的线性回归方程（系数保留一位小数）；︒︒内的天数（ⅱ）根据（ⅰ）中的回归方程，估计该景区这100天中最高气温在20C~26C（保留整数）参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是ˆˆˆybx a =+； 其中：1122211()()ˆ()n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-． 本题参考数据：51()()70i i i x x y y =--=∑，521()232i i x x =-=∑．【分析】（1）由频率分布直方图中频率为0.5的底边对应坐标值，求出中位数；利用条形图底边中点乘以对应面积，再求和得出平均数；（2）（ⅰ）由题意知计算x 、y ，求出ˆb 、ˆa ，写出y 关于x 的线性回归方程； （ⅱ）计算最高气温在20C ~26C ︒︒内时ˆy 的值，求出游客人数；再由频率分布直方图求出这个范围内的条形图面积，计算对应天数．【解答】解：（1）由频率分布直方图知，左边三个条形图面积之和为0.32，所以中位数在第四个条形图中，所以中位数为0.50.3231 3.750.24-+⨯=； 计算平均数为0.50.07 1.50.09 2.50.16 3.50.24 4.50.18 5.50.14 6.50.077.50.05 3.82⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；所以估计该景区每天游客数的中位数为3.7510003750⨯=（人)，平均数为3.8210003820⨯=（人)；（2）（ⅰ）由题意知，计算1(818222428)205x =⨯++++=， 1(0.8 3.7 5.1 5.6 6.8) 4.45y =⨯++++=， 又51()()70i i i x x y y =--=∑，521()232i i x x =-=∑，所以121()()70ˆ0.3232()ni i i n i i x x y y b xx ==--==≈-∑∑， ˆˆ 4.40.320 1.6ay bx =-=-⨯=-， 所以y 关于x 的线性回归方程是ˆ0.3 1.6yx =-； （ⅱ）当最高气温在20C ~26C ︒︒内时，根据ˆ0.3 1.6yx =-，得游客数在4.4~6.2内； 频率分布直方图中这个范围内的条形图面积为(5 4.4)0.180.14(6.26)0.070.262-⨯++-⨯=， 所以天数为0.26210026⨯≈，所以这100天中最高气温在20C ~26C ︒︒内的天数约为26天．【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了频率分布直方图的应用问题，是中档题．21．（12分）如图，六面体ABCDEFGH 中，平面//ABCD 平面EFGH ，2EF AB =．（1）若AE EF ⊥，平面ABFE ⊥平面EFGH ，二面角F AE H --的大小为120︒，1AB AE ==，2EH =，求三棱锥A EFH -的体积；（2）若A ，E ，G ，C 四点共面，求证：直线FB 与HD 相交．【分析】（1）由已知结合面面垂直的性质可得AE EH ⊥，得FEH ∠为二面角F AE H --的平面角，再由已知条件利用体积公式求解；（2）连接AC ，EG ，由三角形相似及比例关系证明直线FB 与HD 相交．【解答】解：（1）AE EF ⊥，AE ⊂平面ABEF ，平面//ABCD 平面EFGH ，平面ABCD ⋂平面EFGH EF =，AE ∴⊥平面EFGH ，则AE EH ⊥，得FEH ∠为二面角F AE H --的平面角120FEH ∴∠=︒，∴111(sin )332A EFH EFH V S AE EF EH FEH AE -∆=⋅=⋅⋅⋅∠⋅ 1332216=⨯⨯=，∴三棱锥A EFH -的体积为33； 证明：（2）连接AC ，EG ，A 、E 、G 、C 四点共面，∴平面ABCD ⋂平面ACGE AC =，平面EFGH ⋂平面ACGE EG =，又平面//ABCD 平面EFGH ，//AC EG ∴，同理可证，//AB EF ，//BC FG ，//AD EH ，//CD GH ，BAC FEG ∴∠=∠，ABC EFG ∠=∠，DAC HEG ∠=∠，ADC EHG ∠=∠，ABC EFG ∴∆∆∽，ADC EHG ∆∆∽，可得12AD AC AB EH EG EF ===． 延长FB 交EA 的延长线于点P ，延长HD 交EA 的延长线于点Q ，//AB EF ，//AD EH ，∴线段AB 、AD 分别为PFE ∆、QHE ∆的中位线，AP AE ∴=，AQ AE =，得AP AQ =，即P 与Q 重合，则直线FB HD P =．【点评】本题考查多面体体积的求法，考查空间中直线与平面间的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，考查推理论证能力，是中档题．22．（12分）已知圆22:(3)(4)16C x y ++-=，直线:(21)(2)340()l m x m y m m R ++---=∈．（1）若圆C 截直线l 所得弦AB 的长为211m 的值；（2）若0m >，直线l 与圆C 相离，在直线l 上有一动点P ，过P 作圆C 的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，且cos MPN ∠的最小值为1345．求m 的值，并证明直线MN 经过定点．【分析】（1）由已知写出求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求解m 值；（2）设圆心到直线的距离为d ，由cos MPN ∠的最小值求得d 的最小值，由（1）知，点C到直线L 的距离d =，由此列式求得m 值，然后求出直线l 的方程．设(,25)P a a -，求出以CP 为直径的圆的方程，与圆C 的方程联立，可得MN 所在直线方程，再由直线系方程即可证明直线MN 过定点．【解答】解：（1）圆C 的圆心(3,4)C -，半径4r =，由弦AB 的长为，得C 到直线l 的距离d ==又d =∴=43m =-； （2）222||32cos 12sin 12()1||||CM MPN MPC CP CP ∠=-∠=-=-，由（1）知，点C 到直线L 的距离d ，||CP d ∴， ||CP d ∴=时，cos MPN ∠的值最小，即cos MPN ∠的最小值为2321d -，由已知得23213145d -=，解得d =∴=34m =或0m =． 0m >，34m ∴=， 当34m =时，直线l 的方程为250x y --=． 设(,25)P a a -，以CP 为直径的圆记为圆D ，则圆D 的方程为(3)()(4)(25)0x x a y y a +-+--+=，即22(3)(12)5200x y a x a y a ++-+-+-=．圆C 的方程为226890x y x y ++-+=，联立两圆方程，可得MN 所在直线方程为(3)(29)5290a x a y a ++--+=．变形为(25)39290x y a x y+-+-+=，由25039290x yx y+-=⎧⎨-+=⎩，解得13154415xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴直线MN过定点1344 (,) 1515 -．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想和运算求解能力，是中档题．。

高二年级上学期期中考试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只将答题卷交回．第I 卷（选择题）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卷上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1．直线y =+的倾斜角是（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒ 2．l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A.l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B.l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C.l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D.l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面[来源:学,科,网Z,X,X,K]3．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是A ．10x y --=B ．10x y -+=C ．10x y +-=D ．10x y ++= 4．圆22(4)9x y -+=和圆22(3)4x y +-=的公切线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5．直线L 1：ax+3y+1=0，L 2：2x+（a+1）y+1=0，若L 1∥L 2，则a 的值为（ ） A.﹣3 B.2 C.﹣3或2 D.3或﹣26．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于（ ） A.B.C. D.7．若点(5,)b 在两条平行直线6810x y -+=与3450x y -+=之间，则整数b 的值为A ．4-B ．4C ．5-D ．58．过点(1,0)P -作圆22:(1)(2)1C x y -+-=的两切线，设两切点为A 、B ，圆心为C ，则过A 、B 、C 的圆方程是A ．22(1)2x y +-=B ．22(1)1x y +-=C ．22(1)4x y -+=D ．22(1)1x y -+=9．10．如图，在正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面的射影 为底面的中心）S ﹣ABCD 中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论中恒成 立的个数为（ ） （1）EP ⊥AC ；（2）EP ∥BD ； （3）EP ∥面SBD ；（4）EP ⊥面SAC ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC l ⊥，BD l ⊥且1AB AC ==，2BD =，则CD 的长为A ．1 BC ．2 D11．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为错误！未找到引用源。

四川省蓉城名校联盟2019—2020学年高二数学上学期期中联考试题理（含解析)一、选择题：1。

在空间直角坐标系中,已知点()2,1,3A ，()4,3,0B -，则A ，B 两点间的距离是( ） A. 5 B 。

6-C 。

7D 。

8【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中两点间的距离公式，准确运算，即可求解。

【详解】由题意，根据空间中两点间的距离公式,可得7AB ==。

故选:C 。

【点睛】本题主要考查了空间中两点间的距离公式的应用,其中解答中熟记空间中两点间的距离公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

2.命题“1x ∀≥，2210x x -+≥”的否定是（ ）A 。

01x ∃≥，200210x x -+<B 。

01x ∃<，200210x x -+<C 。

01x ∃≥，200210x x -+≤ D 。

01x ∃<,200210x x -+≤【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系,准确改写,即可求解。

【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“21,210x x x ∀≥-+≥”的否定是“01x ∃≥,200210x x -+<"。

故选：A 。

【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，准确改写是解答的关键，着重考查了推理与辨析能力，属于基础题。

3。

若命题p 是真命题，q ⌝是真命题，则下列命题中，真命题是（ )A 。

p q ∧ B. p q ⌝∨ C 。

p q ⌝∧⌝ D 。

p q ∨【答案】D 【解析】 【分析】由题意,命题q ⌝是真命题,则q 是假命题，根据真值表，即可判定，得到答案。

【详解】由题意，命题q ⌝是真命题,则q 是假命题，由真值表可得，命题p q ∧和p q ⌝∨和p q ⌝∧⌝都为假命题，只有命题p q ∨为真命题。