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华师大版4.7-2相交线中的角教学目标1．结合图形了解怎样的两个角是同位角、内错角和同旁内角，并能区分它们是由哪两条直线被哪一条直线所截得的.2．培养观察和动手能力，自主探索与合作交流能力.培养学生抽象概括问题的能力;;使学生认识图形是由简到繁组合而成，培养学生形成基本图形的结构的能力 教学重点三线八角的意义是重点，能在各种变式的图形中找出这三类角既是重点，也是难点 教学难点1） 在复杂的图形中如何识别截线和被截直线.（2）能在各种变式的图形中找出这三类角既在复杂的图形中如何识别同位角、内错角及同旁内角. 教学方法教师引导学生；启发式教学 教学用具多媒体辅助教学.投影仪、自制胶片、三角板和玻璃棒. 教学过程：一：创设情境，提出问题，引入新课（动） 1：如图，直线AB 和直线CD 相交，可得到 几个角？图中共有几对对顶角？几对补角？ 学生举手回答：1. 图中可得到4个角.2. 有2对对顶角，4对. (在书上标出相等的；)2：师：我们知道两条直线相交可得到4个角，加入直线c ，会有几种画法？三条直线之间也可以有什么样的位置关系?(可以让学生用手中的铅笔表示直线)在学生回答的基础上，教师打出投影，(四种情况，如图2—30)如果有两条直线和一条直线相交，可得到几个角？ 学生分小组讨论后举手发言，有8个角.师：这是我们在数学上常讲的“三线八角”.“三线“就是指图上直线a 、直线b 和直线c .我们可以把直线a 与直线b 、c 相交说成直线a 截直线b 、c.那么也常把直线a 叫做截线，直线b 、c 叫做被截直线.图中有几对对顶角？几对补角？学生举手回答：有4对对项角，师：下面请一位同学回忆一下 对顶角和补角的区别和联系分别是什么.生：区别——两条相交直线中，对顶角没有公共边，.联系——都有一个公共顶点.师：通过学习，我们知道在AB C D O 图1 ab l 1 3 5 7 4 8 6 2c ba同一个顶点处可找对顶角，那么在图2—31中，l 1和l 3(或l 2和l 3)所形成的四个角是有公共顶点的，而每两个角之间的关系从位置来分，可分为两类：对顶角和邻补角，而上面四个角和下面四个角是没有公共顶点的，那么上面的一个与下面的一个又有什么样的位置关系呢?这就是下面所要研究的问题二：引入新课（动(板书)））不在同一顶点处可以找到什么角呢？请同学们自学课本第164页，然后回答. 三：新课：(1：学生自学两分钟，然后集体回答：不在同一顶点处可找同位角、内错角及同旁内角. 师：为什么课本把∠ 1和∠ 5称为同位角？这两个角在图中的位置有什么特征呢？内错角和同旁内角的位置特征呢？学生分小组讨论，选代表发言，最后由数学课代表总结.同位角——在两被截直线的同旁()，且在截线的同侧(shm 相同的位置).在两条被截直线的同方向上（同上或同下）内错角——在两被截直线的内部，且在截线的两侧. 同旁内角——在两被截直线的内部，且在截线的同侧.师：用三根玻璃棒演示“三线”.请部分同学根据老师不断改变的“三线”位置，找出哪些角是同位角、内错角及同旁内角，然后让学生拿出三枝笔自己再演示一下.2：师：实物演示能让我们迅速、直观地识别同位角、内错角及同旁内角，那么同学们有没有更好的方法呢？一位学生回答说有，他站起来用剪子把跳绳用的红色橡皮筋剪成三段，按照老师的板书图形用透明胶贴在黑板上.师：你是怎么想的呢？生：这样看上去直观，给人一种美感，当然这也能很好地找出同位角、内错角及同旁内角.师：那么图中共有几对同位角？几对内错角？几对同旁内角？ 学生抢答：①4对同位角.②2对内错角.③2对同旁内角.师：当我们知道截线和被截直线时，根据角的位置特征，很容易识别出这三种角，同学们还有什么疑问？一位学生举手问道：图上除了这些角外，还有其他一些角？ 它们又叫什么角？例如图中∠ 1和∠ 7？师：可以根据∠ 1和∠ 7在图中的位置关系称之为？？？？？？现在学习的这三种角是为下节学习平行线的识别和平行线的特征做铺垫的，其他角的关系暂不研究. 3；：例1，如图，∠ 1和∠ 4，∠ 2和∠ 3是哪两条直线被哪一条直线所截得的，它们是什么角？ 学生分小组讨论后回答.4：师：前面讲了，知道截线、被截直线后三种角很容易找出来，现在这道题中截线、被截直线都不知道，仅告诉我们两组角，怎么找呢？下面我们能不能换种思维方法来考虑.图1（本篇后所附）中∠ 4和∠ 8是同位角，我们可以试着把其他的角去掉，就看这组角，想一下：这组角的图形特征是什么？同样地也看一下内错角∠ 3和∠ 5的图形待征和同旁内角∠ 4和∠ 5的图形特征.学生很快回答：∠ 4和∠ 8的图形像字母“F ”，∠ 3和∠ 5的图形像字母“Z ”，∠ 4和∠ 5的图形像字母“C ”.师：同学们回答得很好.“F ”、“Z ”和“C ”是同位角、内错角及同旁内角的特征图形.那么根据这几种角的特征怎么找截线和被截直线？学生小组讨论后回答：两个角的公共边是截线，不是公共边的是被截直线.师：通过上述分析，要识别复杂图形中的三种角及截线、被截直线，我们可先对图形进行简化，找出各种角的特征图形，然后再根据特征图形来判断.一位学生板演，其他同学在练习本上做.5．、较量（练习.）变式训练，培养能力.教师出示投影. 1．如图：（1）∠ 1和∠ 4是AB 、 被 所截得的 角. （2）∠ 2和∠ 5是 、 被 所截得的内错角. （3）AB 、DC 被BC 所截得的同旁内角是 、 .2．如图：∠ 1和∠ 4是什么角？由哪两条直线被什么样的第三条直线所截？∠ 2和∠ 3呢？∠ 2和∠ 4呢？第1题，一名学生思考后回答，其他同学可给予更正或补充.第2题，学生在练习本（或胶片）上完成.3：书上的试一试及书上的165页的“1；2 四、归纳小结.师：今天我们一起学习了同位角、内错角和同旁内角的识别以及在图形中怎样判断截线和被截直线.五、布置作业. 1．课本第166页第3、2.2．思考题.如图：三直线两两相交，共有多少对同位角、内错角及同旁内角？（三）、总结 七、练习设计：第166页第1、题.书上的179页的 八、板书设计a bc C八：【同步达纲练习】1：如上图，直线DE.BC被直线AB所截（1）∠1与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4各是什么角？（2）若∠ 1 =∠4，则∠1与∠2相等吗？∠ 1 与∠3互补吗？2变式练习，揭露概念本质属性(1)（竞赛题，学生一般的不讲）如图2—32，说出以下各对角是哪两条直线被第三条直线所截而得到的?∠ 1与∠ 2，∠ 2与∠ 4，∠ 2与∠3答：∠ 1与∠ 2是l 2、l3被l1所截而得到的一对同旁内角∠ 2与∠ 4是直线l2、l1被l3所截而得到的同旁内角∠ 2与∠ 3是l 2、l1被l3所截而得到的同位角(2)（层次二）如图2—33，找出下列图中的同位角，内错角和同旁内角答：同位角有：∠ 2与∠ 3，∠ 4与∠ 7，∠ 4与∠ 8；内错角有∠ 1与∠ 3，∠ 6与∠ 8，∠ 6与∠ 7；同旁内角有∠ 3与∠ 8，∠ 1与∠ 4(3)如图2—34，指出图中∠ 1与∠ 2，∠ 3与∠ 4的关系答：∠ 1与∠ 2是内错角，∠ 3与∠ 4也是内错角4正确识别这三类角应注意的问题(1)识别这三类角首先要抓住“三条线”，即：哪两条线被哪一条直线所截(2)抓住“截线”，截线的同侧有哪些角、从中找出同位角和同旁内角，在截线的两侧找内错角3：（用复习中去）找出如图2—35中的对顶角和邻补角答：对顶角有四对：它们是∠ 1与∠ 3，∠ 2与∠ 4，∠ 5与∠ 6，∠7与∠ 8；邻补角有∠ 1与∠ 2，∠ 2与∠ 3，∠ 3与∠ 4，∠ 4与∠ 1，∠ 5与∠ 8，∠ 8与∠ 6，∠ 6与∠ 7，∠ 7与∠ 5(还可以找出图2—35中相等的角，即四对对顶角)4：如图2—36，如果∠ 1=∠ 2=∠ 7，那么还有哪些角是相等的答：∠ 1与∠ 4是邻补角，∠ 2与∠ 5是邻补角，∠ 3与∠ 6是邻补角∠ 7与∠ 8是邻补角，因为∠ 1=∠ 2=∠ 7，∠ 2=∠ 3(对顶角相等)，所以∠ 1=∠ 2=∠ 3=∠ 7，则∠ 4=∠ 5=∠ 6=∠ 8(等角的补角相等)3如图2—37中，若∠ 1=∠ 2，证明：∠ 3与∠ 4是互补的角证明：因为∠ 1=∠ 3，(对顶角相等∠ 1=∠ 2，(已知)所以∠ 2=∠ 3(等量代换)又因为∠2+∠4=180所以∠3+∠4=180(等量代换)即∠3与∠4是互补的角此题在证明的分析中，可以用以下逻辑思考的过程，即“执果索因”法若要证∠ 3与∠ 4互补，即证∠ 3+∠ 4=180°，但∠ 4与∠ 2的和为180°，因此需证∠ 3=∠ 2，由于∠ 3=∠ 1(对顶角相等)，∠ 1=∠ 2是已知，所以∠ 2=∠ 3而写出证明过程时，要从先证∠ 2=∠ 3出发，最后得到∠ 3+∠ 4=180以上的几何证明题的思考过程是一种常见的方法，它是从要证明结果的出发，探索要得出这个结果时，应具备的条件，只要将条件准备充足，就能5：以下六个题供选用(1)指出图2—39(1)中，①∠ 2和∠ 5的关系是___________；②∠ 3和∠ 5的关系是___________；③∠ 2和____是直线____、______被_____所截，形成的同位角；④∠ 1和∠ 4呢?∠ 3和∠ 4呢?∠ 6和∠ 7是对顶角吗?(2)指出图中2—39(2)中，①∠ C和∠ D的关系：②∠ B和∠ GEF的关系；③∠ A和∠ D的关系；④∠ AGE和∠ BGE的关系；⑤∠ CFD和∠ AFB的关系(3)如图2—39(3)，用数学标出的八个角中①同位角有________________；②内错角有________________；③同旁内角有_______________；(4)如图2—39(4)，若∠1=∠2，可推出∠1与∠ADE______________；∠1与∠ BD E__________________(5)判断正误：如图2—39(5)，①∠ 1和∠ B是同位角；②∠ 2和∠ B是同位角；③∠ 2和∠ C是内错角；④∠ EAD和∠ C是内错角；(6)如图2—39(6)，①∠ 1和∠ 4是同位角；②∠ 1和∠ 5是同位角；③∠ 2和∠ 7是内错角；④∠ 1和∠ 4是同旁内角；⑤∠ 1和∠ 2是同旁内角；板书设计略课堂教学设计说明1本教案为1课时45分钟2上节课讨论了两条直线相交以后所形成的四个角，这一节课是进一步讨论三条直线相交后所形成的八个角，所以在教课过程，要运用基本图形结构将所学的知识及其内在联系向学生展示3在讲三线八角概念时，一定要细致地分析、顾名思义，把握住两个关键的环节，“三条线与一条线”，尽量给出变式的图形，让学生分辨清楚4这节课虽然不涉及两条直线平行后被第三条直线所截的问题，但在可能的情况下，将平行线的图形让学生见到，对下一步的学习很有好处，例如，平行四形中的内错角，学生开始接受起来有一定困难，在这一课时中，出现这个基本图形，为以后学习打下基础5在课堂练习中，用到等量代换的公理，建议教师参考小资料，将等量公理补充给学生6本课时对“执果索因”的方法进行了介绍在今后的学习中经过教师多次引导，学生就会建立正确的思维习惯。
专训一：识别相交线中的几种角我们已经学习了对顶角、邻补角和“三线八角”，能够准确地识别这几种角，对我们以后的学习起着铺垫作用．识别“三线八角”中的两个角属于何种类别时可联想英文大写字母，即“F”形的为同位角，“Z”形的为内错角，“U”形的为同旁内角，每类角都有一个共同点，即：有两条边在截线上，另外两条边在被截直线上．识别对顶角1．如图，∠1和∠2是对顶角的有( )(第1题)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图所示，直线AB、CD相交于点O，OE、OF是过点O的射线，其中构成对顶角的是( )(第2题)A．∠AOF和∠DOEB．∠EOF和∠BOEC．∠BOC和∠AODD．∠COF和∠BOD识别邻补角3．邻补角是指( )A．和为180°的两个角B．有公共顶点且互补的两个角C．有一条公共边且相等的两个角D．有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角4．下列选项中∠1与∠2互为邻补角的是( )A BC D5．下列说法中错误的是( )A．互为邻补角的两个角一定是互补的角B．互补的两个角不一定是邻补角C．相邻的两个角一定是邻补角D．两条直线相交形成的四个角中，一个角有两个邻补角(第6题)(第7题)6．如图，∠1的邻补角是( )A．∠BOC B．∠BOE和∠A OFC．∠AOF D．∠BOC和∠AOF7．如图，点O是直线AB上的任意一点，OC，OD，OE是过O的三条射线，若∠AOD＝∠COE＝90°，则下列说法：①与∠AOC互为邻补角的角只有一个；②与∠AOC互为补角的角只有一个；③与∠AOC互为邻补角的角有两个；④与∠AOC互为补角的角有两个．其中正确的是( )A．②③B．②④C．③④D．①④识别同位角、内错角、同旁内角8．如图，试判断∠1与∠2，∠1与∠7，∠1与∠BAD，∠2与∠9，∠2与∠6，∠5与∠8各对角的位置关系．(第8题)9．如图，请结合图形找出图中所有的同位角、内错角和同旁内角．(第9题)专训二：活用判定两直线平行的六种方法1.直线平行的判定方法很多，我们要根据图形的特征和已知条件灵活选择方法．2．直线平行的判定常结合角平分线、对顶角、邻补角、垂直等知识．3．直线平行的判定和性质常常结合在一起，解决有关角度的计算或说明角相等等问题．利用平行线的定义1．下面几种说法中，正确的是( )A．同一平面内不相交的两条线段平行B．同一平面内不相交的两条射线平行C．同一平面内不相交的两条直线平行D．以上三种说法都不正确利用“同平行于第三条直线的两直线平行”2．如图所示，已知∠B＝∠CDF，∠E＋∠ECD＝180°.试说明AB∥EF.(第2题)利用“同垂直于第三条直线的两直线平行(在同一平面内)”3．如图，在三角形ABC中，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，DE∥CA，CE平分∠ACB，试说明∠EDF＝∠BDF.(第3题)利用“同位角相等，两直线平行”4．(探究题)如图，已知∠ABC＝∠ACB，∠1＝∠2，∠3＝∠F，试判断EC 与DF是否平行，并说明理由．(第4题)利用“内错角相等，两直线平行”5．如图所示，已知∠ABC＝∠BCD，∠1＝∠2，试说明BE∥CF.(第5题)利用“同旁内角互补，两直线平行”6．如图，∠BEC＝95°，∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，则AB与CD平行吗？请说明理由．(第6题)专训三：平行线中常见辅助线的作法在解决平行线的问题时，当无法直接得到角的关系或两条线之间的位置关系时，通常借助辅助线来帮助解答，如何作辅助线需根据已知条件确定，辅助线的添加既可以产生新的条件，又能将题目中原有的条件联系在一起．加截线(连接两点或延长线段相交)1．已知：如图，AB∥CD，∠ABF＝∠DCE.试说明：∠BFE＝∠FEC.(第1题)过“拐点”作平行线a．“”形图2．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，求∠1的度数．(第2题)b．“”形图3．如图，已知AB∥CD，请你猜想一下∠B＋∠BED＋∠D的度数，并说明理由．(第3题)c．“”形图4．如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？为什么？(第4题)d．“”形图5．已知：如图，AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°，求∠ABC的度数．(第5题)平行线间多折点角度问题探究6．(1)如图①中，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？(2)在图②中，若AB∥CD，又能得到什么结论？(第6题)专训一：几何计数的四种常用方法1.对于几何中的计数问题，掌握一定的方法能够让我们准确、高效地得出结果，常见的计数方法有：按顺序计数、按画图计数、按基本图形计数、按从特殊到一般的思想方法计数．2．计数的原则是不重复、不遗漏．按顺序计数问题1．如图，两条直线相交于一点O，则图中共有( )对邻补角．A．2 B．3 C．4 D．5(第1题)(第2题)2．如图，在同一平面内有A、B、C、D、E五个点，以其中任意两点画直线最多有________条．按画图计数问题3．请你画图说明同一平面内的4条直线的位置关系，它们分别有几个交点？4．平面内有10条直线，无任何三线共点，要使它们恰好有31个交点，请你画出示意图．按基本图形计数问题5．如图，一组互相平行的直线有6条，它们和两条平行线a，b都相交，构成若干个“#”形，则此图中共有多少个“#”形？(第5题)按从特殊到一般的思想方法计数问题6．观察如图所示的图形，寻找对顶角(不含平角)．(第6题)(1)两条直线相交于一点，如图①，共有________对对顶角；(2)三条直线相交于一点，如图②，共有________对对顶角；(3)四条直线相交于一点，如图③，共有________对对顶角；….(4)根据以上结果探究：当n条直线相交于一点时，所构成的对顶角有____________对；(5)根据探究结果，求2 016条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数．7．平面内n条直线最多将平面分成多少个部分？专训二：与相交线、平行线相关的角的计算的四种类型,与相交线、平行线有关的角的计算大致有两类呈现形式，一类是利用平行线的性质和判定进行有关的计算，另一类则是利用余角、补角、对顶角、角平分线等进行相关的计算．直接利用平行线的性质求角1．如图，已知AB∥CD，∠AMP＝150°，∠PND＝60°.试说明：MP⊥PN.(第1题)综合应用平行线的性质与判定求角2．如图，∠1与∠2互补，∠3＝135°，则∠4的度数是( )(第2题)A．45° B．55° C．65° D．75°3．如图，∠1＝72°，∠2＝72°，∠3＝60°，求∠4的度数．(第3题)4．如图，已知FE⊥AB于点E，CD是过点E的直线，且∠AEC＝120°，则∠DEF＝________°.5．如图，MO⊥NO于点O，OG平分∠MOP，∠PON＝3∠MOG，则∠GOP的度数为________．(第5题)6．如图，两直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD，∠AOC∶∠AOD＝7∶11. (1)求∠COE 的度数；(2)若OF⊥OE，求∠COF 的度数．(第6题)利用余角、平角、对顶角转换求角7．如图，直线l 1与l 2相交于点O ，OM⊥l 1.若α＝44°，则β＝( ) A ．56° B．46° C．45° D．44°(第7题)8．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD.若∠BOD＝100°，则∠AOE ＝________度．(第8题),专训三：几种常见的热门考点本章知识是中考的必考内容，也是后面学习有关几何中计算和证明的基础．其常见的题目涉及角度的计算，垂线段及其应用，平行线的判定和性质，命题形式有填空题，选择题，解答与说理题，题目难度不大．相交线与对顶角1．如图，直线AB和CD相交于点O，若∠AOC＝125°，则∠AOD等于( ) A．50° B．55°C．60° D．65°(第1题)(第2题)2．图中的对顶角共有( )A．1对 B．2对C．3对 D．4对3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠COF＝35°，∠BOD＝60°，求∠EOF的度数．(第3题)垂线与垂线段4．如图，直线AB与CD相交于点O，EO⊥AB，则∠1与∠2()(第4题)A．是对顶角B．相等C．互余D．互补5．如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C，D两个用水点，现有两种铺设管道的方案：方案一：分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别为点E，F，沿CE，DF铺设管道；方案二：连接CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管道．这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？(忽略河流的宽度)(第5题)同位角、内错角和同旁内角(第6题)6．如图，如果∠1＝40°，∠2＝100°，那么∠3的同位角等于________°，∠3的内错角等于________°，∠3的同旁内角等于________°.7．如图，点E在AB的延长线上，指出下面各组中的两个角是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？(第7题)(1)∠A和∠D；(2)∠A和∠CBA；(3)∠C和∠CBE.平行线的判定与性质8．(2015·雅安)如图所示，已知AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，且EG平分∠FEB，∠1＝50°，则∠2等于( )A．50° B．60° C．70° D．80°(第8题)9．如图，∠1＋∠2＝180°，∠3＝100°，则∠4等于( )(第9题)A．70° B．80° C．90° D．100°10．(2015·抚顺)如图，分别过等边三角形ABC的顶点A、B作直线a，b，使a∥b.若∠1＝40°，则∠2的度数为________．(第10题)11．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线的其中一条上，若∠1＝35°，则∠2的度数为________．(第11题)12．已知：如图，∠1＝∠2.试说明：∠C＝∠DBA.(第12题)解：∵∠1＝∠2(已知)，∠1＝∠DGF(对顶角相等)，∴∠2＝∠DGF(等量代换)．∴BD∥CE(____________)．∴∠C＝∠DBA(____________)．①两直线平行，内错角相等；②同位角相等；③内错角相等，两直线平行；④两直线平行，同位角相等；⑤同位角相等，两直线平行．以上空缺处依次所填正确的是( )A．③④ B．④⑤ C．⑤④ D．⑤②13．如图，由∠1＝∠2能判断AB∥DF吗？若不能判断AB∥DF，你认为还需要再添加一个什么样的条件？并请说明理由．(第13题)14．如图所示，已知CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，∠1＝∠2，猜想FG和BC的位置关系，并说明理由．(第14题)数学思想方法的应用a ．数形结合思想15．如图，是用两块完全一样的三角板(含30°角)拼成的图形．请问AC 与BD 平行吗？为什么？(第15题)b ．转化思想16．如图，AB∥EF，BC⊥CD 于点C ，∠ABC＝30°，∠DEF ＝45°，则∠CDE 等于( )(第16题)A ．105° B．75° C．135° D．115° c ．分类讨论思想17．如图，已知直线l 1∥l 2，直线l 3交l 1于C 点，交l 2于D 点，P 是线段CD 上的一个动点，当P 在线段CD 上运动时，请你探究∠1，∠2，∠3之间的关系．(第17题)答案专训一1．A 2.C 3.D 4.D5．C 点拨：同时满足“相邻”和“互补”这两个条件的两个角才是邻补角，故选项C是错误的．6．B 点拨：根据邻补角的定义，与∠1有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的角为∠BOE与∠AOF，故选项B正确．7．D 点拨：邻补角既包含数量关系，又包含位置关系；补角仅包含数量关系．8．解：∠1与∠2是同旁内角，∠1与∠7是同位角，∠1与∠BAD是同旁内角，∠2与∠9没有特殊的位置关系，∠2与∠6是内错角，∠5与∠8是对顶角．9．解：(1)当直线AB、BE被AC所截时，所得到的内错角有：∠BAC与∠ACE，∠BCA与∠FAC；同旁内角有：∠BAC与∠BCA，∠FAC与∠ACE.(2)当AD、BE被AC所截时，内错角有：∠ACB与∠CAD；同旁内角有：∠DAC 与∠ACE.(3)当AD、BE被BF所截时，同位角有：∠FAD与∠B；同旁内角有：∠DAB 与∠B.(4)当AC、BE被AB所截时，同位角有：∠B与∠FAC；同旁内角有：∠B与∠BAC.(5)当AB、AC被BE所截时，同位角有：∠B与∠ACE，同旁内角有：∠B与∠ACB.专训二1．C 点拨：根据定义判定两直线平行，一定要注意前提条件“同一平面内”，同时要注意在同一平面内，不相交的两条线段或两条射线不能判定其平行．2．解：因为∠B＝∠CDF，所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)，因为∠E＋∠ECD＝180°，所以CD∥EF(同旁内角互补，两直线平行)，所以AB∥EF(平行于同一条直线的两直线平行)．3．解：∵DF⊥AB，CE⊥AB，∴DF∥CE.∴∠BDF＝∠DCE，∠EDF＝∠DEC.∵DE∥CA，∴∠DEC＝∠ACE.∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠DCE.∴∠DCE＝∠DEC.∴∠EDF＝∠BDF.4．解：EC∥DF，理由如下：∵∠ABC＝∠ACB，∠1＝∠2，∴∠3＝∠ECB.又∵∠3＝∠F，∴∠ECB＝∠F.∴EC∥DF(同位角相等，两直线平行)．5．解：因为∠ABC＝∠BCD，∠1＝∠2，所以∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2，即∠EBC＝∠FCB，所以BE∥CF(内错角相等，两直线平行)．6．解：AB∥CD，理由如下：如图，延长BE，交CD于点F，则直线CD，AB被直线BF所截．因为∠BEC＝95°，所以∠CEF＝180°－95°＝85°.又因为∠DCE＝35°，(第6题)所以∠BFC＝180°－∠DCE－∠CEF＝180°－35°－85°＝60°.又因为∠ABE＝120°(已知)，所以∠ABE＋∠BFC＝180°.所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．点拨：本题利用现有条件无法直接判断AB与CD是否平行，我们可考虑作一条辅助线，架起AB与CD之间的桥梁．专训三1．解：方法一：连接BC，如图①.∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD(两直线平行，内错角相等)．又∵∠ABF＝∠DCE，∴∠ABC－∠ABF＝∠BCD－∠DCE，即∠FBC ＝∠ECB.∴BF∥CE(内错角相等，两直线平行)．∴∠BFE＝∠FEC(两直线平行，内错角相等)．(第1题)方法二：延长AB、CE相交于点G，如图②.∵AB∥CD，∴AG∥CD.∴∠DCE＝∠G(两直线平行，内错角相等)．又∵∠ABF＝∠DCE，∴∠ABF＝∠G.∴BF∥CG(同位角相等，两直线平行)．∴∠BFE＝∠FEC(两直线平行，内错角相等)．2．解：方法一：过点P作射线PN∥AB，如图①.∵AB∥CD，∴PN∥CD.∴∠4＝∠2＝28°.∵PN∥AB，∴∠3＝∠1.又∵∠3＝∠BPC－∠4＝58°－28°＝30°.∴∠1＝30°.方法二：过点P作射线PM∥AB，如图②.∵AB∥CD，∴PM∥CD.∴∠4＝180°－∠2＝180°－28°＝152°.∵∠4＋∠BPC＋∠3＝360°，∴∠3＝360°－∠BPC－∠4＝360°－58°－152°＝150°.∵AB∥PM，∴∠1＝180°－∠3＝180°－150°＝30°.(第2题)3．解：∠B＋∠BED＋∠D＝360°.理由如下：理由一：如图①，过E作EF∥AB.(第3题)∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD.∵AB∥EF，∴∠B＋∠1＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵EF∥CD，∴∠D＋∠2＝180°.∴∠B＋∠1＋∠2＋∠D＝180°＋180°＝360°，即∠B＋∠BED＋∠D＝360°.理由二：如图②，过E作EF∥AB.∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD.∵AB∥EF，∴∠B＝∠BEF(两直线平行，内错角相等)．∵EF∥CD，∴∠D＝∠DEF.又∠BED＋∠BEF＋∠DEF＝360°，∴∠B＋∠BED＋∠D＝360°.4．解：∠BCD＝∠B－∠D.理由：如图，过点C作CF∥AB.(第4题)∵CF∥AB，∴∠B＝∠BCF(两直线平行，内错角相等)．∵AB∥DE，CF∥AB，∴CF∥DE(平行于同一条直线的两条直线平行)．∴∠DCF＝∠D(两直线平行，内错角相等)．∴∠B－∠D＝∠BCF－∠DCF.∵∠BCD＝∠BCF－∠DCF，∴∠BCD＝∠B－∠D.点拨：已知图形中有平行线和折线或拐角时，常过折点或拐点作平行线，构造出同位角、内错角或同旁内角，这样就可利用角之间的关系求解了．(第5题)5．解：如图，过点C作CF∥AB.∵AB∥DE，∴DE∥CF.∴∠DCF＝180°－∠CDE ＝180°－138°＝42°.∴∠BCF＝∠BCD＋∠DCF＝30°＋42°＝72°.又∵AB∥CF，∴∠ABC＝∠BCF＝72°.6．解：(1)∠E＋∠G＝∠B＋∠F＋∠D.理由：过折点E、F、G分别作EM∥AB，FN∥AB，GH∥AB，如图①所示，由AB∥CD，得AB∥EM∥FN∥GH∥CD，这样∠1＝∠B，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D.因此∠BEF＋∠FGD＝∠1＋∠2＋∠5＋∠6＝∠B＋∠3＋∠4＋∠D＝∠B＋∠EFG＋∠D.(2)在图②中有∠E1＋∠E2＋∠E3＋…＋∠En＝∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠Fn－1＋∠D.(第6题)全章整合提升密码专训一1．C 方法规律：此题是按一定顺序来计数，将满足条件的图形按一定顺序一一列举，并最终求出总对数，此类方法适合于简单的几何图形的计数．2．10 点拨：如图，可作直线AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE，共10条．(第2题)3．解：图①有0个交点，图②有1个交点，图③、图④有3个交点，图⑤、图⑥有4个交点，图⑦有5个交点，图⑧有6个交点．(第3题)4．解：如图所示．(第4题)5．解：此题可以按基本图形进行计数，以一个“#”形为基本图形的有5个，以两个“#”形为基本图形的有4个，以三个“#”形为基本图形的有3个，以四个“#”形为基本图形的有2个，以五个“#”形为基本图形的有1个，所以共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．6．解：(1)2 (2)6 (3)12(4)n(n－1)(5)当2 016条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数为2 016×(2 016－1)＝2 016×2 015＝4 062 240.方法规律：本题运用了从特殊到一般的思想，前三题可以直接数出对顶角的对数．根据前三题中的结果，探究出一般规律，再运用规律来解决最后一个问题．7．解：首先画图如下，列表如下：(第7题)直线条数 1 2 3 4 … n … 平面最多被分 成的部分个数24711……当n ＝1时，平面被分成2个部分；当n ＝2时，增加2个，分成2＋2＝4(个)部分； 当n ＝3时，增加3个，分成2＋2＋3＝7(个)部分； 当n ＝4时，增加4个，分成2＋2＋3＋4＝11(个)部分；…；所以当有n 条直线时，分成2＋2＋3＋4＋…＋n ＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋n ＝1＋n （n ＋1）2＝n 2＋n ＋22(个)部分．专训二(第1题)1．解：如图，过点P 作PE∥AB. ∵PE∥AB，∴∠AMP＋∠MPE＝180°.∴∠MPE＝180°－∠AMP＝180°－150°＝30°. ∵AB∥CD，PE∥AB，∴PE∥CD， ∴∠EPN＝∠PND＝60°.∴∠MPN＝∠MPE＋∠EPN＝30°＋60°＝90°.∴MP⊥PN. 2．A3．解：∵∠1＝72°，∠2＝72°，∴∠1＝∠2. ∴a∥b.∴∠3＋∠4＝180°. 又∵∠3＝60°，∴∠4＝120°. 4．305．54° 点拨：设∠GOP＝x°，则∠MOG ＝x°，∠PON＝3x°，由题意得：x ＋x ＋3x ＝360－90，解得x ＝54.∴∠GOP＝54°.6．解：(1)∵∠AOC∶∠AOD＝7∶11，∠AOC＋∠AOD＝180°，∴∠AOC＝70°，∠AOD＝110°.又∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝12∠DOB＝12∠AOC＝12×70°＝35°.∴∠COE＝180°－∠DOE＝180°－35°＝145°.(2)∵OF⊥OE，∴∠FOE＝90°.又∵∠DOE＝35°，∴∠FOD＝90°－∠DOE＝90°－35°＝55°.∴∠COF＝180°－∠FOD＝180°－55°＝125°.7．B 点拨：∵OM⊥l1，∴α＋β＝180°－90°＝90°，∴β＝90°－α＝90°－44°＝46°.8．40专训三1．B 2.B3．解：根据对顶角的性质，得∠AOC＝∠BOD＝60°.∵OE平分∠AOC，∴∠COE＝12∠AOC＝12×60°＝30°，∴∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝30°＋35°＝65°.4．C5．解：按方案一铺设管道更节省材料．理由如下：因为CE⊥AB，DF⊥AB，CD不垂直于AB，根据“垂线段最短”可知，CE＜PC，DF＜PD，所以CE＋DF＜PC＋PD.所以按方案一铺设管道更节省材料．6．80 80 1007．解：(1)∠A和∠D是由直线AE，CD被直线AD所截形成的，它们是同旁内角；(2)∠A和∠CBA是由直线AD，BC被直线AE所截形成的，它们是同旁内角；(3)∠C和∠CBE是由直线CD，AE被直线BC所截形成的，它们是内错角．8．D 9.D 10.80°11.25°12.C13．解：不能．添加条件：∠CBD＝∠BDE.理由如下：∵∠1＝∠2，∠CBD＝∠BDE，∴∠1＋∠CBD＝∠2＋∠BDE，即∠ABD＝∠BDF.∴AB∥DF.点拨：本题添加条件不唯一，如还可添加BC∥DE.14．解：FG∥BC.理由如下：∵CF⊥AB，ED⊥AB，∴CF∥DE，∴∠1＝∠BCF.又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠BCF.∴FG∥BC.15．解：AC与BD平行．理由如下：两块三角板按题图方式拼接，则∠ACB＝∠DBC＝30°，∴AC∥BD.16．A17．分析：观察图形，仅靠题图中的线难以找到∠1，∠2，∠3之间的关系，为此过P点作l1的平行线，因为P是线段CD上的一个动点，所以P点可能在C、D两点之间，也可能与C点或D点重合，因此应按上述三种情况分类讨论．解：当点P在C、D之间时，过P点作PE∥AC，则PE∥BD，如图①.∵PE∥AC, ∴∠APE＝∠1(两直线平行，内错角相等)．∵PE∥BD，∴∠BPE＝∠3(两直线平行，内错角相等)．∵∠2＝∠APE＋∠BPE，∴∠2＝∠1＋∠3.当点P与点C重合时，∠1＝0°，如图②.∵l1∥l2(已知), ∴∠2＝∠3(两直线平行，内错角相等)．∵∠1＝0°，∴∠2＝∠1＋∠3.当点P与点D重合时，∠3＝0°，如图③.∵l1∥l2(已知)，∴∠2＝∠1(两直线平行，内错角相等)．∵∠3＝0°，∴∠2＝∠1＋∠3.综上所述，当点P在线段CD上运动时，∠1，∠2，∠3之间的关系为∠2＝∠1＋∠3.(第17题)初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。
