江苏省宿迁市泗洪中学高中数学2.4向量的数量积(3)导学案(无答案)苏教版必修4

2.4 向量的数量积（2）【课前预习】一． 回顾复习1.在平面直角坐标系内，向量,i j r r 分别是与x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量，则i i ⋅=u r u r ，i j ⋅=u r u u r ，j i ⋅=u u r u r ，j j ⋅=u u r u u r 。

2.已知),(),,(2211y x b y x a ==，如何求a b ⋅r r ？二．新知感受预习课本P86-87相关内容，填要点,并找出不理解的地方先在课本上作出记号.1. 设两个向量()()1122=x y ,b=x y a ⋅⋅v v ，则a b=⋅v v （坐标形式）。

这就是说：两个向量的数量积等于 （文字语言）。

2.设=(x,y),a v 则2=a v ________________或a =v ________________。

设平面内两点()11,A x y ，()22,B x y ，则两点间的距离公式AB =________ ________。

3. 设两个非零向量()()1122=x ,y ,b=x ,y ,a v v 它们的夹角为θ（0θπ≤≤），则cos θ＝__________________________________＝_______________________________。

4．设两个非零向量()()1122=x ,y ,b=x ,y ,a v v 若b a ⊥，则_____________________________。

反之，若______________________________，则b a ⊥。

说明：平面向量的数量积是平面向量的重点，而数量积的坐标运算又是数量积的重点，也是高考的热点、重点，因此坐标法很重要。

【概念运用】1. 设a v =(5,-7), b v =(-6,-4),则a b ⋅vu v =___________。

2. 设a v =(5,-7),则2a v =___________，a v =___________。

一、课题：向量的数量积二、教学目标：要求学生掌握平面向量数量积的运算律，明确向量垂直的充要条件。

三、教学重、难点：向量数量积的运算律和运算律的理解； 四、教学过程： （一）复习：1．平面向量数量积（内积）的定义及其几何意义、性质； 2．判断下列各题正确与否：①若0a =，则对任一向量b ，有0a b ⋅=； ( √ ) ②若0a ≠，则对任一非零向量b ，有0a b ⋅≠； ( × ) ③若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =； ( × ) ④若0a b ⋅=，则,a b 至少有一个为零向量； ( × ) ⑤若a b a c ⋅=⋅，则b c =当且仅当0a ≠时成立； ( × ) ⑥对任意向量a ，有22||a a =． ( √ ) （二）新课讲解： 1．交换律：a b b a ⋅=⋅证：设,a b 夹角为θ，则||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅，||||cos b a b a θ⋅=⋅⋅ ∴a b b a ⋅=⋅．2．()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ 证：若0λ>，()||||cos a b a b λλθ⋅=，()||||cos a b a b λλθ⋅=， ()||||cos a b a b λλθ⋅=，若0λ<，()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ⋅=-=--=，()||||cos a b a b λλθ⋅=，()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ⋅=-=--=．3．()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．在平面内取一点O ，作OA a =, AB b =，OC c =， ∵a b +（即OB ）在c 方向上的投影等于,a b在c 方向上的投影和，即：12||cos ||cos ||cos a b a b θθθ+=+ ∴12||||cos ||||cos ||||cos c a b c a c b θθθ+=+，∴()c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅ 即：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． 4． 例题分析：例1 已知,a b 都是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a 与b 的夹角。

第 11 课时：§ 2.4 向量的数量积（三）【三维目标】：一、知识与技能1.掌握数量积的坐标表达式，并会简单应用；2.掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式3.揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识. 能用所学知识解决有关综合问题.二、过程与方法1.让学生充分经历，体验数量积的运算律以及解题的规律。

2.通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理解析几何问题是一种有效手段，通过应用帮助学生掌握几个公式的等价形式，然后和同学一起总结方法，最后巩固强化.三、情感、态度与价值观通过本节的学习，使同学们对用坐标来研究向量的数量积有了一个崭新的认识；提高学生迁移知识的能力.【教学重点与难点】：重点：数量积的坐标表达式及其简单应用难点: 用坐标法处理长度、角度、垂直问题.【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习法+探究式学习法(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.两平面向量垂直条件；2.两向量共线的坐标表示3.x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ，则：1i i ⋅=，1j j ⋅=，0i j j i ⋅=⋅=． 二、研探新知1．向量数量积的坐标表示：设1122(,),(,)a x y b x y == ，设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，试用a和b 的坐标表示a b ⋅，则1122,a x i y j b x i y j =+=+，∴22112212121212()()a b x i y j x i y j x x i x y i j y x j i y y j ⋅=++=+⋅+⋅+ 又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i从而得向量数量积的坐标表示公式：1212a b x x y y ⋅=+这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 即a b ⋅2121y y x x +=2．长度、夹角、垂直的坐标表示：（1）长度：设(,)a x y =，则22222||||a x y a x y =+⇒=+（2）两点间的距离公式：若1122(,),(,)A x y B x y ，则212212)()(||y y x x AB -+-=−→−；（3）夹角：12cos ||||a b a b x θ⋅==⋅+；（πθ≤≤0）（4）垂直的充要条件：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则b a ⊥⇔02121=+y y x x（注意与向量共线的坐标表示的区别）三、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 设(5,7),(6,4)a b =-=--，求a b ⋅．解：5(6)(7)(4)30282a b ⋅=⨯-+-⨯-=-+=-．例2（教材79P 例2）已知1122(,),(,)a x y b x y ==，求（3a -b ）·（a -2b ）例3 已知(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，求证ABC ∆是直角三角形。

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2.4 向量的数量积错误!教学分析课本从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的5个重要性质、运算律．向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来,这样为解决三角形的有关问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题．因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系．既然向量可以进行加减运算，一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能，运算结果应该是什么呢？另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面）之间度量关系的基本量我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系．众所周知，向量概念的引入与物理学的研究密切相关，物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1），那么力F所做的功图1W＝｜F｜|s｜cosθ.功W是一个数量，其中既涉及“长度”，也涉及“角”，而且只与向量F，s有关．熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算，从而引进向量的数量积的定义a·b＝｜a||b｜cosθ。

这个定义不仅满足人们熟悉的运算律（如交换律、分配律等），而且还可以用它来更加简捷地表述几何中的许多结果．向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量．平面向量的数量积，教材将其分为两部分，在第一部分向量的数量积中，首先研究平面向量所成的角，其次，介绍了向量数量积的定义，最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中，在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定的方法．本节课可采用“启发探索”式的教学方法，从教材内容看，由于前面已经学习了平面向量的线性运算的坐标表示，因此在教学中运用指导探究为教学的主线，通过启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探索，将学生的独立思考、自主探究、交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体地位．三维目标1．通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，并掌握向量垂直的条件．2．通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力．3．通过探究平面向量的数量积的坐标运算，掌握两个向量数量积的坐标表示方法；掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题．4．通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数量积的认识，提高学生的运算速度,培养学生的运算能力，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质．重点难点教学重点:平面向量数量积的定义，平面向量数量积的坐标表示．教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用,平面向量坐标表示的应用．课时安排2课时错误!第1课时导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答地更简捷、更清晰．并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题认识更深刻．物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量，这些物理现象都可以用向量来研究．在物理课中，我们学过功的概念,即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F 所做的功W可由下式计算：W＝|F｜｜s｜cosθ.其中θ是F与s的夹角．我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量（数量)．故从力所做的功出发,我们就顺其自然的引入向量数量积的概念．思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算，并且两个向量的和与差仍是一个向量．我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除（除数不为零）运算，就自然地会想到，任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？推进新课错误!1．平面向量数量积的概念，向量的夹角．2．数量积的重要性质及运算律．3．两向量垂直的条件．活动：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a｜｜b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝｜a｜|b｜cosθ（0≤θ≤π），其中θ是a与b的夹角．图2为两向量数量积的关系，并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2教师在与学生的一起探究活动中，应特别点拨引导学生注意：(1)两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积；（2）零向量与任一向量的数量积为0，即a·0＝0；(3)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；（4)当0≤θ〈错误!时cosθ>0，从而a·b〉0；当错误!〈θ≤π时，cosθ〈0，从而a·b<0.与学生共同探究并证明数量积的运算律．已知a，b,c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①a·b＝b·a（交换律）;②(λa）·b＝λ(a·b)＝a·(λb)（数乘结合律）;③（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律）．特别是：(1)当a≠0时,由a·b＝0不能推出b一定是零向量．这是因为任一与a垂直的非零向量b,都有a·b＝0.(2)已知实数a、b、c（b≠0），则ab＝bc a＝c，但对向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·c不能推出a＝c.由图3很容易看出，虽然a·b＝b·c,但a≠c。

平面向量数量积的再研究
教学目标
1.理解平面向量的数量积的含义及几何意义
2.掌握向量的数量积的坐标表示，会进行平面向量的数量积的运算。

3.培养学生的观察能力、化归能力、运算能力以及灵活运用的实践能力。

【诊断练习】
1.，,，那么
2.菱形的边长为2，，那么
【探究1】
正方形的边长为6，是以为直径的圆上任一点，那么的取值范围是。

【变式1】
1.如图,在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB = 60︒，C为弧上的动点, AB与OC 交于点P ,那么的取值范围是．
【探究2】
2.圆是的外接圆，点是的中点，假设,那么
【变式2】
2.是锐角的外接圆的圆心，且,假设,
那么。

〔用表示〕
总结：
【当堂反应】
1.是圆的直径，长为，是圆上异于、的一点，是圆内一点〔含圆周〕，那么的最小值为。

2.点是的重心，且，，那么。

【课后检测】
1、直角中，，、是线段的动点，且，那么的取值范围为。

2、正边长为，点在其外接圆上运动，那么的取值范围是。

3、中，是的中点，，，，，那么。

4、假设点和点分别是双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上任意一点，那么的取值范围是。

5、中，，，。

假设是所在平面内任意一点，且，那么的最大值为。

6、在锐角中，，，那么的取值范围是。

7、在平面直角坐标系中，O为原点，,动点满足,那么的最大值是。

2.4 向量的数量积一、 学习内容、要求及建议二、 预习指导1. 预习目标(1)理解两个向量的数量积的概念及其几何意义，掌握两个向量夹角的概念，通过数量积的概念和运算解决有关的几何问题；(2)掌握平面向量的数量积的坐标表示形式；通过平面向量数量积的坐标表示，推出平面上两点之间的距离公式并解决一些问题．2. 预习提纲(1)复习平面向量的加法、减法和数乘运算．(2)阅读课本P76-80，弄清以下内容：①向量的数量积定义；②向量的夹角；③向量的数量积满足下列运算律；④a b ⋅的几何意义；⑤平面向量数量积的坐标表示；⑥平面向量的模及平方的坐标表示；⑦两点间的距离公式；⑧向量的夹角公式；⑨向量垂直的等价条件.(3)阅读课本P76-80例题.例1讲了数量积的计算，直接利用数量积公式a b ⋅=cos a b θ⋅． 例2讲了数量积的坐标表示，除了书上的解法，还可以先计算出b a -3、b a 2-这两个向量的坐标表示，在计算它们的数量积．例3在直线上任取两个，构成一个向量，称为直线的方向向量，本例就是利用求两条直线的方向向量的夹角，间接求直线的夹角．例4用到了分类讨论的数学思想方法．3. 典型例题(1) 平面向量数量积的概念及几何意义向量的数量积是一个数量而不是一个向量.向量夹角的定义强调共起点,对数量积的运算律要熟练掌握.例1 已知||a =3，||4b =，a 与b 的夹角为32π，求： (1)a ·b ；(2))2()23(b a b a +⋅-；(3)22a b -；(4) ||b a -；(5) |3|a b -.分析：由条件可获得以下信息：已知向量的模及夹角，所求的问题涉及a b ⋅，22,a b ，还涉及平方差公式、多项式与多项式乘法法则.解：(1) a b ⋅=6)21(43cos ||||-=-⨯⨯=⋅θb a ； 2222(2)(32)(2)3443||44||a b a b a a b b a a b b -⋅+=+⋅-=+⋅-394(6)41661=⨯+⨯--⨯=-；(3)22229167a b a b -=-=-=-；(4)222||()292a b a b a a b b -=-=-⋅+=-(5)|3|a b -222(3)9681a b a a b b -=-⋅+=+=点评：此类题目要充分利用有关的运算法则转化为数量积的问题，特别灵活运用22a a =.尤其是求解模问题是一般利用2a a =转化为求模的平方. 例2 (1)设|a |=12，|b |=9 ，a ⋅b =-542 求a 与b 的夹角θ；(2)已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2．如果向量a ＋k b 与5a ＋b 垂直，某某数k 的值；(3)已知,a b 都是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求,a b 的夹角的大小．分析：考查向量数量积公式的逆用及向量垂直的条件.解：(1)cos θ=||||a b a b ⋅⋅=22912254-=⨯- ∵0︒＜θ＜180︒∴θ=1350．(2)由题意a b ⋅=|a |⋅|b |cos120°=4×2×(-21)=-4， ∵(a ＋k b )⊥(5a ＋b )，∴(a ＋k b )⋅(5a ＋b )=0，即 5a 2＋(5k ＋1) a b ⋅＋k b 2＝０，∴5|a |2＋(5k ＋1)⋅(-4)＋k |b |2＝0， ∴5×16-(20k ＋4)＋4k =0，∴k =419． (3)因为3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，(3)(75)0(4)(72)0a b a b a b a b ⎧+⋅-=⎪∴⎨-⋅-=⎪⎩，2222716150(1)73080(2)a ab b a a b b ⎧+⋅-=⎪⎨⎪+⋅+=⎩ (1)-(2)得：22a b b ⋅=(3)将(3)代入(1)得22a b =即a b =． 22112cos 2b a b a b bθ⋅∴=== 又∵0︒＜θ＜180︒ ， ∴θ=600． 点评：求向量夹角的问题应用数量积的变形公式cos a ba b θ⋅=，故应求两个整体a b ⋅与a b ⋅；(2)转化垂直条件建立参数k 的方程，此题中利用例1数量积计算公式及重要性质22a a =；本题(3)中为求两整体或寻求两者关系，转化条件解方程组，特别注意向量夹角X 围．例3 已知向量a =(4，-2)，b ＝(6，-3)，记a 与b 的夹角为θ．求：(1)a b ⋅；(2)θ的大小；(3)|2a -3b |；(4)(2a -3b )⋅(a ＋2b )．分析：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=+， cos θ||||b a ba ⋅222221212121y x y x y y x x +⋅++解：(1)a b ⋅＝4×6＋(-2)×(-3)＝30；(2)cos θ=||||b a b a ⋅⋅=2461164369+=+⋅+，又因为[]0,θπ∈，所以θ=0； (3)方法一：|2a －3b |＝2229124)32(b b a a b a +⋅-=-＝])3(6[9)]3)(2(64[12])2(4[42222-++--+⨯--+＝5512540536080==+-；方法二：232(4,2)3(6,3)(8,4)(18,9)(10,5)a b -=---=---=-|23a b -|=1002512555+==；(4)方法一：(2a －3b )⋅(a ＋2b )=2a 2＋a ⋅b －6b 2=2×[42＋(-2)2]＋[4×6＋(-2)(-3)]-6[62＋(-3)2]=40＋30-270＝-200．方法二：23a b -=(-10，5)，a ＋2b =(4，-2)+2(6，-3)=(16，-8)(23a b -)⋅(a ＋2b )=(-10，5)⋅(16，-8)= -160-40= -200．点评：此类问题是有关向量数量积的坐标运算，在灵活应用基本公式的前提下要认真细心，特别注意向量夹角的X 围．例4 在ABC ∆中,120,2,1,BAC AB AC ︒∠===D 是边BC 边上一点,DC =2DB ,求AD BC ⋅． 分析：若由定义求解则要求解三角形，计算比较复杂，所以，思路一：转化为AB 与AC 的内积计算．思路二：建系利用坐标运算．解：方法一：1()()()()3AD BC AB BD AC AB AB BC AC AB ⋅=+⋅-=+⋅- =22118[2][121cos12024]333AC AB AC AB ο+⋅-=+⨯⨯-⨯=- 方法二：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则(0,0)A ,(1,0)C ,(1,3)B -,(2,3)BC =-,由13BD BC =,设(,)D x y , 则213333x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，得D (123,33-)28233AD BC ⋅=--=-． 4. 自我检测(1)已知63a =,1b =,9a b ⋅=-,则向量a 与向量b 的夹角θ＝．(2)已知,5b =,当(1)//a b ；(2)a b ⊥；(3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积．(3)已知(1,)a m =与(,4)b n =-共线，且(2,3)c =与b 垂直，则m +n 值为．(4)已知(3,2)a =--,(4,3)b =--,则3a 2－2a b ⋅等于． (5)点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是△ABC 的心．三、 课后巩固练习A 组1．已知向量a 和向量b 的夹角为30o ，||2,||3a b ==，则向量a 和向量b 的数量积a b ⋅=．2．已知|a |＝|b |＝1，且(2a -b )⋅(3a －2b )＝8，则a 与b 的夹角为．3．在ABC △中，2AB =，3AC =，D 是边BC 的中点，则AD BC ⋅=．4．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且相互不共线，则有下列命题：①(a ⋅b )c －(c ⋅b )a ＝0 ；②|a |－|b | < |a －b |；③(b ⋅c )a －(c ⋅a )b 与c 不垂直；④(3a ＋2b )⋅(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2． 这些命题中，是真命题的有．5．在△ABC 中，若AB ⋅AC <0，则△ABC 的形状一定是_________三角形．6．已知向量,a b 夹角为45︒，且1,210a a b =-=；则b =．7．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=3, ||BC =4, |CA |=5，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅ 的值等于________．8．在ABC ∆中,M 是BC 的中点，AM =1,点P 在AM 上且满足2PA PM =,则()PA PB PC ⋅+等于________．D C A B 9．已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且||||||,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅,则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的．(选用重心、外心、垂心、内心填空 )10．已知向量OA =(－1，2)，OB =(3，m)，且OA ⊥AB ，则m 的值为____． 11．已知a +b =(2，-8)，a -b =(-8，16)，则a b ⋅＝______，a 与b 的夹角的余弦值是_______． 12．已知向量(2,1)a =，10a b ⋅=，52a b +=，则b =_______．13．已知向量(1,2)a =，(2,3)b =-．若向量c 满足()c a +∥b ，()c a b ⊥+，则c =______．14．已知点A (-2，-3)，B (19，4)，C (-1，-6)，则△ABC 的形状是是．15．设a ＝(x ，2)，b ＝(－3，5)，且a 与b 的夹角是钝角，则x 的取值X 围是．16．已知a =(-3，2)，b =(1，2)，c =a +k b ，d =3a －b ，若c //d ，则k =_____；若c ⊥d ，则k =__________．B 组17．已知1e 和2e 是互相垂直的单位向量，且a ＝31e ＋22e ，b ＝－31e ＋42e ，求a b ⋅．18．设|a |=2，|b |=1，且a 与b 的夹角为45︒，向量x =a +b ，y =a -b ，试求x 与y 的夹角的余弦值．19．已知|a |＝|b |＝1，|3a －2b |＝3，求|3a ＋2b |的值． 20．已知向量a ,b 的夹角为60°,且(a ＋3b )⊥(7a －5b )，求证：(a －4b )⋅(7a －2b )＝0．21．设向量OA ＝(3，1)，向量OB ＝(－1，2)，向量OC ⊥OB ，向量BC //OA ，若OD ＋OA ＝OC ，求D 的坐标(其中O 为坐标原点)．22．如图，在四边形ABCD 中，4AB BD DC ++=， 4AB BD BD DC ⋅+⋅=，0AB BD BD DC ⋅=⋅=，则()AB DC AC +⋅的值为__________．23．在平面四边形ABCD 中，若6AC =，4BD =，则()()AB DC AC BD +⋅+的值为．24. 如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ==，，点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若2AB AF =,则AE BF 的值是____.25．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是弧AB 的三等分点， M 、N 是线段AB 的三等分点，若OA =6，MD NC ⋅的值是____________．26．已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ,090ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为____________.27.已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅的值为________;DE DC ⋅的最大值为________.C 组28．直角坐标系xOy 中，i,j 分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若2,3AB AC k =+=+i j i j ，则k 的可能值个数是．29．设向量a ，b 满足：|a |=3，|b |=4，a ⋅b =0．以a ，b ，a -b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为．30．设a ，b ，c 是单位向量，且a b ⋅＝0，则()()a c b c -⋅-的最小值为．31．(1)在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CNBC CD =，则AM AN ⋅的取值X 围是．(2).在平行四边形ABCD 中,3A π∠=, 边,AB AD 的长分别为2、1. 若,M N 分别是边,BC CD 上的点,且满足||||||||BM CN BC CD =,则AM AN ⋅的取值X 围是_________ . 32. 对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅. 若两个非零的平面向量a ，b O A M N BC D满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，则a b =. 33．如图，设向量a 与b 的夹角为60°，且|a |>|b |．是否存在满足条件的a ，b ，使|a +b |＝2|a -b |？请说明理由．34．在直角ABC ∆中，已知BC =a ，若长为2a 的线段PQ 以A 为中点，问PQ 与BC 的夹角取何值时，BP CQ ⋅的取值最大？并求出这个最大值．四、 学习心得五、题，例如勾股定理、平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和、菱形的对角线相互垂直、长方形对角线许多、正方形的对角线垂直平分等．你给出具体的证明吗？你能用向量运算推导关于三角形、四边形、圆等平面图形的一些其他性质吗?2.5 向量的应用一、 学习内容、要求及建议二、 预习指导1. 预习目标(1)了解向量的加法与物理中力的合成、速度的合成之间的联系，经历用向量方法解决物理中有关问题的过程；(2)体会向量是一种数学工具，掌握用向量方法解决某些简单的几何问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．2. 预习提纲(1)物理中，如果力F 与物体位移s 的夹角为θ，那么F 所做的功W =θs F cos ⋅⋅．(2)证明直线平行或三点共线常用向量共线定理；证明垂直常证两个向量的数量积为0；求向量的夹角常用公式cos θ||||b a ⋅222221212121y x y x y y x x +⋅++．(3)思考：向量可以解决哪些常见的几何问题和物理问题？解决这些问题的基本步骤是什么？3. 典型例题(1) 利用向量解决物理中有关的力、速度问题向量是既有大小，又有方向的量，物理中的很多量都是向量，如力、速度、加速度等.用向量解决物理问题的方法：把物理问题转化为数学问题，抽象成数学模型，对这个数学模型进行研究，进而解释相关物理现象.例1 如图，一条河的两岸平行，河的宽度500d =m ，一艘船从A 处出发到河对岸．已知船的速度|1v |=10km /h ，水流的速度|2v |=2km /hmin )？分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短．考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸． 解：||v 2212||||96v v -=km /h )，所以，0.560 3.1||96d t v ==≈(min )． 答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min ．AF EC D B H点评：上述问题中涉及速度等物理量，可根据平面向量的基本定理和物理问题的需要，把0v 分解为水平方向和竖直方向两个不共线的向量，再利用运动学知识建立数学模型，最后利用向量的知识求解.(2) 利用向量解决平面几何中有关的问题向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，因而向量方法是几何研究的一个有力的工具.在运用向量方法解决平面几何问题时，将几何问题转化为向量问题是关键.对具体问题是选用向量几何法还是选用向量坐标法是难点，利用向量坐标法会给解决问题带来方便.例2 求证△ABC 的三条高相交于一点.证明：设△ABC 的AB 、AC 边的高分别为CF ，BE ，它们交于点H ，连接AH (如图)，设AB c =，AC b =,AH h = 则,CH h b BH h c =-=- ∵CH ⊥AB ，BE ⊥AC ∴()0,()0c h b b h c ⋅-=⋅-=即0,0c h c b b h b c ⋅-⋅=⋅-⋅=两式相减得0c h b h ⋅-⋅=，即()0c b h -⋅=∵CB c b =-∴BC ⊥AH ，即三角形三条高相交于一点.例3 如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交与R 、T 两点，证明：AR =RT =TC .解：设,,,AB a AD b AR r AT t ====，则AC a b =+.由于AR 与AC 共线，所以设()AR n a b =+.又因为12EB AB AE a b =-=-，ER 与EB 共线，设ER =1()2mEB m a b =-因为AR =AE +ER ，所以11()22r b m a b =+-. 因此11()()22n a b b m a b +=+-，即1()()02m n m a n b --++=. 由于向量,a b 不共线，要使上式为0，则有0102n m m n -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得13m n ==. 所以AR =13AC .同理TC =13AC . 所以AR =RT =TC . 点评：本题中由于R 、T 是对角线AC 上两点，要证AR =RT =TC ，只需证明AR 、RT 、TC 都等于13AC 即可. 4. 自我检测(1)一质点受到平面上的三个力123,,F F F (单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成060角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为．(2)已知(3,2)a =-，(1,0)b =-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为． (3)在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，已知点A (－2，0)，B (6，8)，C (8,6),则D 点的坐标为___________.(4)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3, 1)，B (-1, 3)， 若点C 满足=+OC aOA bOB ，其中α，β∈R 且α+β=1，则点C 的轨迹方程为_______.(5)一艘船距对岸34km 处，以2km /h 的速度向垂直于岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速. 三、 课后巩固练习Ａ组1．已知向量a 与b 的夹角为120o，3,13,a a b =+=则b 等于．2．已知a =(3，λ)，b =(4，-3)，若a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值X 围为_______． 3．若A (0，2)，B (3，1)，C (-2，k )三点共线，则向量a ＝AC +AB 的模为． 4．设点O 是正2n 边形122n A A A ⋅⋅⋅的中心，则在下列各结论中：①122n OA OA OA ==⋅⋅⋅=；②122||||||n OA OA OA ==⋅⋅⋅= ③1OA +2OA +…+2n OA =0；④i OA ⋅n i OA +=0(i =1，2，…，n )． 正确的共有个．5．已知向量a =(2，3)，b =(x ，6)，若│a ⋅b │=|a |⋅|b |，则x ＝．6．已知{|(1,0)(0,1),},{|(1,1)(1,1),}P a a m m R Q b b n n R ==+∈==+-∈是两个向量集合，则PQ =．7．在四边形ABCD 中，有AB ⋅BC ＝AB ⋅AD ＝AD ⋅DC =0，则该四边形是． 8．设向量a =(1,－3), b =(－2,4),若表示向量4a 、3b －2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为．9．已知,0||2||≠=b a 且关于x 的方程0||2=⋅++b a x a x 有实根, 则a 与b 的夹角的取值X 围是．Ｂ组10．平面上三个力F 1 、F 2、F 3作用于同一点O ，而处于平衡状态，11F N =，212,,F N F F =成45ο，求(1)F 3的大小 ；(2)F 3与F 1的夹角． 11．边形ABCD 中，已知AB +CD =0，AC ⋅BD =0，试证明四边形ABCD 是菱形． 12．在四边形ABCD 中，AB 2+CD 2=AD 2+BC 2成立，求证：AC ⊥BD ．13．已知()23,2c ma nb =+=-，a 与c 垂直，b 与c 的夹角为0120，且b 4-=⋅c ，22a =，某某数n m ,的值及a 与b 的夹角．四、 学习心得五、 拓展视野向量与三角形的四“心”三角形四“心”即三角形的外心、重心、垂心、内心．外心即三角形的外接圆的圆心；重心即三角形三条中线的交点；垂心即三角形三条高的交点；内心即三角形内角平分线的交点．它们在各类考试中屡见不鲜．现举例如下．例1 已知O 是ABC ∆所在平面上一点，若222()()()OA OB OC ==，证明O 是ABC ∆的外心．证明：222()()()OA OB OC ==222OA OB OC ∴==，所以O 是ABC ∆的外心．例2 已知O 是△ABC 内一点，若0OA OB OC ++=，则O 是△ABC 的重心． 证明：如图所示，延长OD 到G ，使DG ＝OD ，连接AG ，BG ，因为D 是AB 和OG 的中点， 所以四边形OAGB 为平行四边形， 由向量加法性质得OA OB OG +=又由0OA OB OC ++=得OA OB OC +=-OG OC ∴=-，∴C 、O 、D 、G 四点共线 ∴O 在中线CD 上同理得O 在中线AE 和BF 上，∴O 是△ABC 的重心． 点评：本题同时证明了CO=2OD=23CD ，即重心O 分中线CD 为2:1两部分． 例3O 为平面中一定点，动点P 在A 、B 、C 三点确定的平面内且满足(OA OP -)·(AC AB -)=0，则点P 的轨迹一定过△ABC 的（选用重心 、外心 、垂心、 内心 填空 ）.解：由题0AP BC ⋅=，所以AP BC ⊥，故P 的轨迹一定过△ABC 的垂心． 例4O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上的共线三点，动点P 满足OP ＝OA ＋λ||AB AB ||AC AC ，λ∈[)+∞,0，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（选用重心 、外心 、垂心、 内心填空 ）. 解：||AB AB ||AC AC 特征着手．||AB AB，||AC AC||AB AB，||AC AC||AB ||ACλ||AB AB ||AC AC 与角平分线向量共线，由三角形法则，点P 在∠A 平分线上，点P 轨迹过△ABC 内心．例5 如图：ABC ∆外接圆的圆心为Ｏ，三条高的交点为H ，连结BO 并延长交外接圆于D ，求证：(1)DC OC OB =+；(2)OH OA OB OC =++.分析：运用向量的加减法解决几何问题时，需要构造三角形或平行四边形，证明：(1),OB OD =-DC OC OD OC OB ∴=-=+．(2)因为ＢＤ为直径，90//,//BAD BCD AE CD AD CHο∴∠=∠=∴所以四边形AHCD 为平行四边形．,AH DC OH OA AH OA DC OA OB OC∴=∴=+=+=++点评：利用平面向量的知识解决平面几何问题，关键是充分挖掘题目中的条件，本题中O为外心，H为垂心，在本题中作用很大；另外，平面几何中的一些性质在解题中也有很大的用处．。

向量的数量积（1）班级 姓名一、学习目标：1.从实例理解平面向量数量积的概念；2.通过例题熟悉平面向量数量积计算.二．重点与难点：数量积的概念与数量积的运算三．学习过程问题：前面我们学习了向量的加法，减法和数乘三种运算，那么向量与向量之间能否相乘呢？通过力对物体做功引入向量与向量相乘。

四．构建数学1.向量的数量积2.当0θ=时，a 与b ；当180θ=时，a 与b ；当90θ=时，a 与b .3.当a 与b 同向时，⋅a b = ；当a 与b 反向时，⋅a b = ； 特别地，⋅= ；||=a .4.运算律（1）⋅a b = （2）()λ⋅a b = （3）()+⋅a b c =五、例题分析例1.已知向量a 与向量b 的夹角为θ，||2,||3==a b .分别在下列条件下，求⋅a b ：（1）135θ=； （2）//a b ； （3）⊥a b .例2．已知||2,||3==a b ，a 与b 的夹角为120，求①⋅a b ② ||+a b ③||-a b 的值.五、巩固练习1. 已知,,a b c 是三个非零向量，试判断下列结论正确的是 .=； ⑵若⋅=⋅，则=a b ； ⑶若+=-a b a b ，则⊥a b2. 在四边形ABCD 中，·0BC =，且AB =,则四边形ABCD 是 .3. 已知221,2,()0==-⋅=a b a b a ，则a 与b 的夹角为 .4. 已知3,|4,()()k k ==+⊥-|a |b |a b a b ，那么实数k 的值为 .5. 设向量a 和b 的长分别为6和5，夹角为120°，求+a b 与||-a b 的值.6. 已知4,6==a b ，a 与b 的夹角为60,求：⑴⋅a b ； ⑵()⋅+a a b ；⑶(2)(3)-⋅+a b a b .向量的数量积（二）班级 姓名一、学习目标: 1．掌握两个向量数量积的坐标表示方法；2．掌握两个向量垂直的坐标条件； 3．通过求模来推导平面内两点间的距离公式；4．运用两个向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度和垂直等问题.二、数学建构问题1：若两个向量为1122(,),(,)x y x y ==a b ，如何用,a b 的坐标来表示它们的数量积？1.向量的数量积的坐标表示：若1122(,),(,)x y x y ==a b ，则⋅a b = . 特别地，设(,),x y =a 则2=a ，=a .两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离公AB = .2.设两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==，它们的夹角为θ，由向量数量积的定义可得： cos θ= = .特别地，⊥⇔a b三、例题分析例1.已知()()2,1,3,2,=-=-a b )1,2(=c ,求: (1) )(⋅和()⋅的坐标； (2) ()()32--a b a b 与的数量积；(3)()()32--a b a b 与夹角的余弦值。

2.4 向量的数量积（1）【课前预习】一． 回顾复习回忆向量的加、减法和数乘的意义。

二．新知感受预习课本P83-84相关内容，填要点,并找出不理解的地方先在课本上作出记号.1. 对于两个非零向量,a b ，作=,a =b ，则 叫做向量a 与b 的夹角。

如果记,θ=∠AOB 则θ的取值范围是 。

当θ= 时，a 与b 同向；当θ= 时，a 与b 反向；当θ= 时，就称a 与b 垂直，记作 。

2. 已知两个非零向量a b 与，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做a b 与的数量积（或内积），记作 ，即 ＝ 。

我们规定：零向量与任一向量的数量积为 ，即⋅= 。

（1）特殊情况: 当a b 与同向时，⋅＝ ；当a b 与反向时，⋅＝ ； 当a b ⊥时，⋅＝ ；反之，当⋅＝ 时，a b ⊥；a a ⋅= = 或||a = = 。

（2）公式的变形：cos θ= 。

3.设向量c b a ,,和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：（1）b a ⋅= ； （2）⋅)(λ= = = ；（3）⋅+)(= 。

4． 对于两个非零向量,a b ，作=,a =b ，过B 作1BB 垂直于直线OA ,垂足为1B , 则 叫b 在a 方向上的投影。

数量积b a ⋅等于 与b 在a 方向上的投影的乘积。

说明：（1）两个向量的数量积是一个数量，而不是向量。

（2）利用数量积公式可计算长度、求向量夹角和证明垂直。

（3）注意00a ⋅=，而00a ⋅=。

【概念运用】1. 已知a =4,b =2a b 且与的夹角为120º，则a b=⋅___________。

2. 若向量a ，b 满足11a b ==，，且a 与b 的夹角为60º，则a b += 。

3. 已知12a b ==，, 且1a b ⋅=, 那么向量a 与b 的夹角为 。

4．在四边形ABCD 中， AB BC ⋅=0，且AB =,则四边形ABCD 是 。

【典型例题】例1 已知,的夹角为θ32==，分别在下列条件下求⋅：（1）0135=θ；（2）a ‖b ；（3）b a ⊥。

2.1 向量的概念及表示【课前预习】一．回顾复习1、位移和距离这两个量有什么不同？生活中还有哪些量既有大小又有方向？2、角的正弦线、余弦线、正切线是怎样的图形？什么是有向线段？有向线段如何表示？二．新知感受预习课本P59-60相关内容，填要点,并找出不理解的地方先在课本上作出记号.1、______________ _______称为向量．2、向量常用一条______ ______来表示,它的长度表示向量的____________,箭头所指的方向表示向量的________________.以A为起点,B为终点的向量记作____________.向量也可用小写字母____ ____来表示（用小写字母a表示向量时，课本印刷用粗体，我们书写用a）.3、向量AB的____________称为向量的长度（或称为模），记作__________.4、______ _______称为零向量,记作______.零向量的方向 .5、______ _______，叫做单位向量.6、______ _______叫做平行向量.向量,a b平行，记作__________.我们规定零向量与_________________________.7、______ _______叫做相等向量.向量,a b相等，记作__________.将一个向量平移后所得的向量与原向量是相等的.所以,任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上,故平行向量又称为______________.8、我们把与向量a______ , ______叫做a的相反向量,记作__________.并且规定零向量的相反向量仍是零向量.对任一向量a有____ ______.说明：(1) 数量之间可以比较大小.因为向量既有大小，又有方向，由于方向不能比较大小，所以向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.(2)数量常用数轴上的点来表示. 向量常用有向线段来表示. 用有向线段表示向量，既显示了图形的直观性，又提供了一种几何方法，为用向量处理几何问题和物理问题打下了基础.有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段. 有向线段有起点、长度和方向三个要素.本章学习的向量都是平面内的自由向量.它们仅有方向和大小确定,而与起点位置无关.(3) 零向量是特殊的向量，方向可看作是任意的，所以规定零向量与任意方向的向量平行.今后解答问题时，一定要注意题目中的向量是“零向量”还是“非零向量”，否则很容易出错.【概念运用】1.在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，是数量，是向量.2.在下列结论中，是正确的.（1）若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；（2）模相等的两个平行向量是相等的向量；（3）若a 和b 都是单位向量，则a =b；（4）两个相等向量的模相等。