[精品]2019学年九年级数学下册y=ax2+k的图象与性质同步练习新版华东师大版5

第26章 二次函数二次函数y =ax 2的图象与性质1．关于抛物线y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝－x 2的共同性质：①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称．其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.已知抛物线y ＝ax 2()a >0经过A ()－2，y 1，B ()1，y 2两点，则下列关系式一定正确的是( )A ．y 1>0>y 2B ．y 2>0>y 1C ．y 1>y 2>0D ．y 2>y 1>03．在同一坐标系中画出下列函数的图象： (1)y ＝3x 2；(2)y ＝－13x 2.4．当物体自由下落时，下落的高度h (m)与下落时间t (s)之间的关系式是h ＝12gt 2(g 为定值，g 取9.8 m/s 2)，这表明h 是t 的函数．(1)当t ＝1、2、3时，求出物体的下落高度h ； (2)画出函数h ＝12gt 2的图象．5．已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象有可能是( )A B C D6．[2018·株洲]已知二次函数y ＝ax 2的图象如图，则下列表示的点有可能在反比例函数y ＝a x的图象上的是( )A ．(－1，2)B ．(1，－2)C ．(2，3)D ．(2，－3)7．[2018·岳阳]在同一直角坐标系中，二次函数y ＝x 2与反比例函数y ＝1x(x >0)的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A (x 1，m )、B (x 2，m )、C (x 3，m )，其中m 为常数，令ω＝x 1＋x 2＋x 3，则ω的值为( )A ．1B ．mC ．m2D.1m8．[2018·孝感]如图，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为A (－2，4)、B (1，1)，则方程ax 2＝bx ＋c 的解是______________．9．已知直线y ＝kx ＋b 与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)相交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴正半轴相交于点C ，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为点D .若∠AOB ＝60°，AB ∥x 轴，AB ＝2，求a 的值．10．二次函数y ＝3x 2的图象如图所示，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B ，C 在二次函数y ＝3x 2的图象上，四边形OBAC 为菱形，且∠OBA ＝120°，求菱形OBAC的面积．11．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交函数y 1＝x 2(x ≥0)与y 2＝x 23(x ≥0)的图象于B 、C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1的图象于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2的图象于点E ，求DEAB的值．12．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20 m ，拱顶距离水面4 m. (1)在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；(2)设正常水位时桥下的水深为 2 m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18 m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．参考答案【分层作业】 1．B 2．C 3．解：列表：3(2)描点，连线，图略．4．解：(1)把t ＝1、2、3分别代入关系式h ＝12gt 2，可求得h 1＝12×9.8×12＝4.9(m)，h 2＝12×9.8×22＝19.6(m)， h 3＝12×9.8×32＝44.1(m)．(2)列表：答图在平面直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数h ＝12gt 2的图象，如答图所示．5．C 6．C【解析】∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∴点(2，3)可能在反比例函数y ＝ax的图象上． 7．D【解析】根据题意可得A ，B ，C 三点有两点在二次函数图象上，一点在反比例函数图象上．不妨设A ，B 两点在二次函数图象上，点C 在反比例函数图象上．∵二次函数y ＝x 2的对称轴是y 轴，∴x 1＋x 2＝0.∵点C 在反比例函数y ＝1x (x >0)上，∴x 3＝1m ，∴ω＝x 1＋x 2＋x 3＝1m .8．x 1＝－2，x 2＝1【解析】∵抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为A (－2，4)、B (1，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2，y ＝bx ＋c 的解为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，y 1＝4， ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1， 即方程ax 2＝bx ＋c 的解是x 1＝－2，x 2＝1. 9． 解：∵AB ∥x 轴，∴点A 、B 关于y 轴对称． ∵AB ＝2，∴AC ＝BC ＝1. ∵∠AOB ＝60°， ∴OC ＝3，AD ＝ 3. 又∵点A 在第二象限， ∴点A 的坐标是(－1，3)． ∴3＝a ·(－1)2，解得a ＝ 3.10．答图解：连结BC 交OA 于点D ，如答图． ∵四边形OBAC 为菱形，∴BC ⊥O A. ∵∠OBA ＝120°，∴∠OBD ＝60°， ∴OD ＝3BD .设BD ＝t ，则OD ＝3t ，∴B (t ，3t )， 把B (t ，3t )代入y ＝3x 2，得3t ＝3t 2， 解得t 1＝0(舍去)，t 2＝1，∴BD ＝1，OD ＝ 3. ∴BC ＝2BD ＝2，OA ＝2OD ＝23， ∴菱形OBAC 的面积＝12×2×23＝2 3.11．解：设A 点坐标为(0，a )(a ＞0)， 则x 2＝a ，解得x ＝a ， ∴点B (a ，a )． 又∵x 23＝a ，则x ＝3a ，∴点C (3a ，a )． ∵CD ∥y 轴，∴点D 的横坐标与点C 的横坐标相同，为3a ， ∴y ＝(3a )2＝3a ，∴点D 的坐标为(3a ，3a )． ∵DE ∥AC ，∴点E 的纵坐标为3a ， ∴x 23＝3a ，∴x ＝3a ， ∴点E 的坐标为(3a ，3a )， ∴DE ＝3a －3a ，∴DEAB＝3a－3aa＝3－ 3.12．解：(1)设该抛物线的解析式是y＝ax2.结合图象，把(10，－4)代入，得100a＝－4,∴a＝－125，则该抛物线的解析式是y＝－125x2.(2)当x＝9 m时，则有y＝－125×81＝－3.24，4＋2－3.24＝2.76(m)，所以水深超过2.76 m时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．。

26.2.1 二次函数y ＝ax 2的图象与性质知识点 1 二次函数y ＝ax 2的图象1．二次函数y ＝－5x 2的图象开口________，对称轴为________，顶点坐标为________． 2．抛物线y ＝ax 2(a <0)经过( ) A ．第一、二象限 B ．第三、四象限 C ．第一、三象限 D ．第二、四象限3．经过测试，某种汽车的刹车距离s (单位：米)与刹车时的速度v (千米/时)满足关系式s ＝1100v 2，则下列表示s 与v 之间函数关系的图象为( )图26－2－14．2017·启东市校级月考已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象可能是( )图26－2－2A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④5．在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象． (1)y ＝－3x 2； (2)y ＝14x 2.知识点 2 二次函数y ＝ax 2的性质6．在二次函数y ＝－14x 2中，当x >0时，若x 1>x 2，则y 1________y 2; 当x <0时，若x 1>x 2，则y 1________y 2.(填“>”或“<”)7．抛物线y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝－x 2的共同性质是：①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点； ③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称． 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．关于二次函数y ＝12x 2，有下列说法：(1)其图象是轴对称图形；(2)当x <0时，y 随x的增大而减小；(3)当x >0时，y 随x 的增大而增大；(4)当x ＝0时，y 有最小值．其中说法正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．2017·连云港已知抛物线y ＝ax 2(a ＞0)经过A (－2，y 1)，B (1，y 2)两点，则下列关系式一定正确的是( )A ．y 1>0>y 2B ．y 2>0>y 1C ．y 1>y 2>0D ．y 2>y 1>010．已知抛物线y ＝ax 2经过点(1，3)． (1)求a 的值；(2)当x ＝3时，求出y 的值； (3)说出此二次函数的三条性质．11．如图26－2－3，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝12x 2和函数y ＝－12x 2的图象，已知坐标原点O 为正方形ABCD 对角线的交点，且正方形的边分别与x 轴、y 轴平行，如果点D 的坐标为(2，2)，那么阴影部分的面积为( )图26－2－3A ．4B ．8C ．12D ．1612．函数y ＝k (x －k )，y ＝kx 2与y ＝kx (k ≠0)在同一平面直角坐标系内的图象正确的是( )图26－2－413．定义运算“※”为：a ※b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ab 2（b >0），－ab 2（b ≤0），如1※(－2)＝－1×(－2)2＝－4.则函数y ＝2※x 的图象大致是( )图26－2－514．已知y ＝(k ＋2)xk 2＋k －4是关于x 的二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则k 的值为________．15．根据下列条件求m 的取值范围：(1)二次函数y ＝(m ＋3)x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；(2)二次函数y ＝(2m －1)x 2有最小值．16．教材练习第1题变式(1)在同一坐标系中，画出下列函数的图象：①y ＝12x 2；②y ＝2x 2；③y ＝－12x 2；④y ＝－2x 2.(2)从“函数关系式、函数的对应值表、图象”三个方面进行对比，说说函数关系式中二次项系数a 对抛物线的形状有什么影响．17．如图26－2－6①所示，P 为抛物线y ＝x 2在第一象限内的一点，点A 的坐标为(4，0)．(1)设点P 的坐标为(x ，y )，试求出△AOP (O 为坐标原点)的面积S 关于点P 的横坐标x 之间的函数关系式；(2)试在图②所给的网格图中建立平面直角坐标系，并画出S 关于x 的函数图象．图26－2－618.如图26－2－7，平行于x 轴的直线AC 与抛物线y 1＝x 2(x ≥0)和y 2＝x 23(x ≥0)分别交于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则DEAB＝________．图26－2－7详解详析1．向下 y 轴(或直线x ＝0) (0，0)2．B [解析] ∵a <0，∴抛物线的开口向下． 又∵抛物线y ＝ax 2的顶点坐标为(0，0)， ∴该抛物线经过第三、四象限．故选B.3．C [解析] 因为1100>0，所以函数s ＝1100v 2的图象开口向上．由于自变量v >0，故选C.4．B [解析] 当a ＞0时，则函数y ＝ax 中，y 随x 的增大而增大，函数y ＝ax 2的图象开口向上，故①不正确，②正确；当a ＜0时，则函数y ＝ax 中，y 随x 的增大而减小，函数y ＝ax 2的图象开口向下，故④不正确，③正确．∴两函数的图象可能是②③，故选B.5．略 6．< >7．B [解析] 抛物线y ＝12x 2，y ＝x 2的开口向上，y ＝－x 2的开口向下，故①错误；抛物线y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝－x 2的顶点坐标为(0，0)，对称轴为y 轴，②③正确；④错误．故选B. 8．D9．C [解析] ∵抛物线y ＝ax 2(a ＞0)，∴A (－2，y 1)关于y 轴的对称点的坐标为(2，y 1)．又∵a ＞0，0＜1＜2，∴y 1>y 2>0.故选C.10．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2经过点(1，3)， ∴a ×1＝3， ∴a ＝3.(2)把x ＝3代入y ＝3x 2中，得y ＝3×32＝27. (3)抛物线的开口向上； 坐标原点是该抛物线的顶点；当x ＞0时，y 随着x 的增大而增大(答案合理即可)．11．B [解析] 由图象的对称性可知阴影部分的面积为正方形面积的一半，即12×4×4＝8.故选B.12．C [解析] 一次函数y ＝k (x －k )＝kx －k 2， ∵k ≠0，∴－k 2＜0，∴一次函数的图象与y 轴的交点在y 轴负半轴上．A 项，一次函数图象与y 轴交点在y 轴正半轴上，A 不正确；B 项，一次函数图象与y 轴交点在y 轴正半轴上，B 不正确；C 项，一次函数图象与y 轴交点在y 轴负半轴上，C 正确；D 项，一次函数图象与y 轴交点在y 轴正半轴上，D 不正确．13．C [解析] y ＝2※x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2（x >0），－2x 2（x ≤0）.当x ＞0时，图象是抛物线y ＝2x 2对称轴右侧的部分；当x ≤0时，图象是抛物线y ＝－2x 2对称轴左侧的部分．故选C.14．2 [解析] 因为该函数是二次函数，所以x 的指数为2.又因为在对称轴的右边，y 随x 的增大而增大，所以二次函数的图象开口向上，可得二次项的系数大于0.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋k －4＝2，k ＋2＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3或k ＝2，k >－2，∴k ＝2.15．解：(1)∵二次函数y ＝(m ＋3)x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，∴m ＋3＜0，解得m ＜－3.(2)∵二次函数y ＝(2m －1)x 2有最小值， ∴2m －1＞0，解得m ＞12.16．解：(1)列表如下：x －2 －1 0 1 2 y ＝12x 2 2 12 0 12 2 y ＝2x 2 8 2 0 2 8 y ＝－12x 2－2 －12 0 －12 －2 y ＝－2x 2－8－2－2－8描点：以表中的数据作为点的坐标在平面直角坐标系中描点． 连线：用平滑的曲线顺次连结各点，图象如图所示：(2)答案不唯一，如|a |相同，两条抛物线的形状就相同；|a |越大，抛物线的开口就越小． 17．解：(1)由于P 为抛物线y ＝x 2在第一象限内的一点，且点P 的坐标为(x ，y )，所以点P 到x 轴的距离为y ＝x 2，所以S ＝12×4×x 2＝2x 2(x ＞0)．(2)由于x >0，所以画出的图象为抛物线S ＝2x 2对称轴右侧的部分(不含原点)，具体图象如图．18．3－3 [解析] 设点A 的坐标为(0，a )，令x 2＝a ，解得x ＝a (负值已舍去)，∴点B (a ，a )．令x 23＝a ，则x ＝3a (负值已舍去)，∴点C(3a，a)．∵CD∥y轴，∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为3a，∴点D的纵坐标为(3a)2＝3a，∴点D的坐标为(3a，3a)．∵DE∥AC，∴点E的纵坐标为3a.令x23＝3a，∴x＝3a(负值已舍去)，∴点E的坐标为(3a，3a)，∴DE＝3a－3a.故DEAB＝3a－3aa＝3－ 3.。

课时作业(十)[第二章 2 第2课时二次函数y＝ax2，y＝ax2＋c的图象与性质]一、选择题1．2017·余杭区期中已知二次函数y＝ax2的图象经过点(－2，6)，则下列点中不在该函数图象上的是( )A．(2，6) B．(1，1.5)C．(－1，1.5) D．(2，8)2．2018·虹口区一模抛物线y＝2x2－4的顶点在( )A．x轴上 B．y轴上C．第三象限 D．第四象限3．若在同一直角坐标系中，作函数y＝2x2，y＝－2x2，y＝－2x2＋1的图象，则它们( )A．都关于y轴对称B．开口方向相同C．都经过原点D．互相可以通过平移得到4．2017·北京房山区期末已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y＝－2x2＋m(m是常数)的图象上的两个点，如果x1＜x2＜0，那么y1，y2的大小关系是链接听课例2归纳总结( )A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．y1，y2的大小关系不能确定5．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位长度，那么所得新抛物线的表达式是( )链接听课例4归纳总结A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝x2＋1 D．y＝x2＋36．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝－15x2＋3.5的一部分(如图K－10－1所示为示意图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是( )图K－10－1A．3.5 m B．4 mC．4.5 m D．4.6 m7．2017·东莞一模在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝bx2＋a的图象可能是( )图K －10－2二、填空题8．抛物线y ＝－12x 2＋3的对称轴是________，顶点坐标是________，它与抛物线y ＝－12x 2的形状________．9．若点A (2，m )在抛物线y ＝－12x 2上，则点A 关于y 轴对称的点的坐标是________．10．如图K －10－3所示，四个函数图象对应的关系式分别是：①y ＝ax 2，②y ＝bx 2，③y ＝cx 2，④y ＝dx 2.则a ，b ，c ，d 的大小关系是____________．(用“＞”连接)链接听课例1归纳总结图K －10－311．赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图K －10－4所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y ＝－125x 2.当水面离桥拱顶的高度OD 为2 m 时，水面的宽度AB 为________m.图K －10－412．如图K －10－5，过x 轴上一点A 作平行于y 轴的直线与抛物线y ＝14x 2及y ＝x 2分别交于B ，C 两点，若正方形BCDE 的一边DE 与y 轴重合，则正方形BCDE 的面积为________．图K －10－5三、解答题13．已知点P (1，－2a )在二次函数y ＝ax 2＋6的图象上，并且点P 关于x 轴的对称点在反比例函数y ＝k x的图象上．(1)求此二次函数和反比例函数的表达式；(2)点(－1，4)是否同时在(1)中的两个函数的图象上？14．已知抛物线y ＝ax 2＋n (an >0)与抛物线y ＝－2x 2的形状相同，且其图象上与x 轴最近的点到x 轴的距离为3.(1)求a ，n 的值；(2)在(1)的情况下，指出抛物线y ＝ax 2＋n 的开口方向、对称轴和顶点坐标． 15．如图K －10－6，一辆宽为2米的货车要通过跨度为8米，拱高为4米的单行抛物线隧道(从正中通过)，抛物线满足表达式y ＝－14x 2＋4.为保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有0.5米的距离，求货车的限高应是多少．图K －10－616．如图K －10－7，直线AB 经过点B (0，6)，且与抛物线y ＝ax 2＋2在第一象限内相交于点P ，又知tan∠ABO ＝23，△AOP 的面积为6.(1)求a 的值；(2)能否将抛物线y ＝ax 2＋2上下平移，使得平移后的抛物线经过点A ？链接听课例4归纳总结图K －10－7数形结合思想如图K －10－8，抛物线y ＝－12x 2＋2与x 轴交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴的正半轴上，点B 在x 轴的负半轴上(1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C 的坐标．(2)在抛物线上是否存在一点M ，使△MAC ≌△OAC ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图K －10－8详解详析【课时作业】 [课堂达标]1．[解析] D 把(－2，6)代入y ＝ax 2中，得4a ＝6，则a ＝32，所以这个二次函数的表达式为y ＝32x 2.A.当x ＝2时，y ＝32×22＝6，所以点(2，6)在该函数的图象上；B.当x ＝1时，y ＝32×12＝1.5，所以点(1，1.5)在该函数的图象上；C.当x ＝－1时，y ＝32×(－1)2＝1.5，所以点(－1，1.5)在该函数的图象上；D.当x ＝2时，y ＝32×22＝6，所以点(2，8)不在该函数的图象上．故选D.2．[解析] B 根据题意知，抛物线y ＝2x 2－4的对称轴为直线x ＝0，故它的顶点在y 轴上．故选B. 3．[答案] A4．[解析] C ∵A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是函数y ＝－2x 2＋m (m 是常数)的图象上的两个点，∴y 1＝－2x 12＋m ，y 2＝－2x 22＋m .∵x 1＜x 2＜0，∴x 12＞x 22，∴y 1＜y 2.故选C.(也可以利用二次函数的增减性得出y 1＜y 2)5．[答案] C6．[解析] B 将y ＝3.05代入y ＝－15x 2＋3.5，得3.05＝－15x 2＋3.5，解得x ＝－1.5(舍去)或x ＝1.5，∴若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是2.5＋1.5＝4(m)，故选B.7．[解析] C A 项，由抛物线可知，图象与y 轴交于负半轴，∴a ＜0，由直线可知，图象过第一、二、三象限，∴a ＞0，故此选项不符合题意；B 项，由抛物线可知，图象与y 轴交于正半轴，∴a ＞0，开口向下，∴b <0，由直线可知，图象过第一、二、三象限，∴a ＞0，b ＞0，故此选项不符合题意；C 项，由抛物线可知，图象与y 轴交于负半轴，∴a ＜0，开口向上，∴b >0，由直线可知，图象过第一、二、四象限，∴a ＜0，b >0，故此选项符合题意；D 项，由直线可知，图象与y 轴交于负半轴，∴b ＜0，由抛物线可知，开口向上，∴b ＞0，故此选项不符合题意．故选C.8．[答案] y 轴 (0，3) 相同[解析] 抛物线y ＝ax 2＋c 的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，c )，它与抛物线y ＝ax 2的形状相同，可由抛物线y ＝ax 2经过平移得到．9．[答案] (－2，－2)[解析] ∵点A (2，m )在抛物线y ＝－12x 2上，∴m ＝－12×22＝－2，∴点A 的坐标是(2，－2)，它关于y 轴对称的点的坐标是(－2，－2)．10．[答案] a ＞b ＞c ＞d[解析] 因为直线x ＝1与四条抛物线的交点坐标从上到下依次为(1，a )，(1，b )，(1，c )，(1，d )，所以a ＞b ＞c ＞d .11．[答案] 10 2[解析] 根据题意，当y ＝－2时，有－2＝－125x 2，解得x ＝±5 2，∴A (－5 2，－2)，B (5 2，－2)，∴此时水面的宽度AB ＝2×5 2＝10 2(m)．12．[答案] 169[解析] 设点A 的坐标为(a ，0)，由题意可得，点B 的坐标为(a ，14a 2)，点C 的坐标为(a ，a 2)，∴a ＝a2－14a 2，解得a 1＝0(舍去)，a 2＝43，∴正方形BCDE 的面积是43×43＝169， 故答案为169.13．[解析] (1)将点P (1，－2a )的坐标代入二次函数y ＝ax 2＋6，组成方程即可求出a 的值，从而求出点P 关于x 轴的对称点的坐标，代入反比例函数表达式即可求出k 的值，从而得到函数表达式；(2)将(－1，4)分别代入两个函数的表达式，若同时成立，则表示该点同时在(1)中的两个函数的图象上．解：(1)∵点P (1，－2a )在二次函数y ＝ax 2＋6的图象上，∴－2a ＝a ＋6，解得a ＝－2，∴点P 的坐标为(1，4)，所求二次函数的表达式为y ＝－2x 2＋6.点P 关于x 轴对称的点的坐标为(1，－4)，∴k ＝－4，∴所求反比例函数的表达式为y ＝－4x.(2)点(－1，4)既在二次函数y ＝－2x 2＋6的图象上，也在反比例函数y ＝－4x的图象上．14．[解析] 抛物线y ＝ax 2＋n 与y ＝－2x 2的形状相同，则a ＝±2.因为图象上与x 轴最近的点到x 轴的距离为3，即|n |＝3，所以n ＝±3.解：(1)由题意，得a ＝±2，n ＝±3.∵an >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，n ＝－3.(2)当a ＝2，n ＝3时，抛物线y ＝2x 2＋3开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，3)；当a ＝－2，n ＝－3时，抛物线y ＝－2x 2－3开口向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，－3)．15．解：当x ＝1时，y ＝－14×12＋4＝154.又因为车顶离隧道的顶部至少要有0.5米的距离， 所以限高为154－0.5＝3.25(米)．即货车的限高应是3.25米．16．解：(1)∵直线AB 经过点B (0，6)， 且tan ∠ABO ＝23，∴OB ＝6，OA OB ＝23，∴OA ＝4，∴A (4，0)．设点P 的坐标为(m ，n )， ∵△AOP 的面积为6， ∴12×4×n ＝6，∴n ＝3. 过点P 作PC ⊥OA 于点C ，∴PC ∥OB ， ∴PC OB ＝AC OA ，即36＝AC 4， ∴AC ＝2，∴点P 的横坐标为m ＝4－2＝2， ∴点P 的坐标为(2，3)．∵点P 在抛物线y ＝ax 2＋2上，∴3＝4a ＋2，解得a ＝14.(2)设平移后的抛物线的表达式为y ＝14x 2＋2＋k ，把A (4，0)代入y ＝14x 2＋2＋k ，得4＋2＋k ＝0，解得k ＝－6，∴将抛物线y ＝ax 2＋2向下平移6个单位长度，可使平移后的抛物线经过点A . [素养提升]解：(1)抛物线y ＝－12x 2＋2的对称轴为直线x ＝0，顶点C 的坐标为(0，2)．(2)对于抛物线y ＝－12x 2＋2，当y ＝0时，x ＝±2，∴A (2，0)，B (－2，0)，则△OAC 是等腰直角三角形．假设抛物线上存在一点M ，使△MAC ≌△OAC ， ∵AC 为公共边，OA ＝OC ，∴点M 与点O 关于直线AC 对称， 则四边形OAMC 是正方形， ∴点M 的坐标为(2，2)．当x ＝2时，y ＝－12×22＋2＝0≠2，∴点M (2，2)不在抛物线上，即抛物线上不存在点M ，使△MAC ≌△OAC .。

26.2.2 第1课时 二次函数y =ax 2+k 的图象与性质【基础练习】知识点 1 二次函数y =ax 2+k 的图象与y =ax 2的图象的关系1.如图8,将抛物线y=13x 2向 平移 个单位得到抛物线y=13x 2+2;将抛物线y=13x 2向 平移 个单位得到抛物线y=13x 2-2.图82.将二次函数y=x 2的图象向下平移1个单位,则平移后所得图象的函数关系式为 ( )A .y=x 2-1B .y=x 2+1C .y=(x -1)2D .y=(x+1)23.不画出图象,回答下列问题:(1)函数y=4x 2+2的图象可以看成是由函数y=4x 2的图象通过怎样的平移得到的?(2)说出函数y=4x 2+2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;(3)如果要将函数y=4x 2的图象经过适当的平移,得到函数y=4x 2-5的图象,应怎样平移?知识点 2 二次函数y =ax 2+k 的图象与性质4.抛物线y=12x 2-6的开口向 ,顶点坐标是 ,对称轴是 .因为a=12>0,所以当x 时,y 有最 值,为 .当x 0时,y 随x 的增大而增大;当x 0时,y 随x 的增大而减小. 5.二次函数y=-x 2+1的图象大致是( )图96.二次函数y=2x 2+1,y=-2x 2-1,y=12x 2-2的图象的共同特征是( )A .对称轴都为y 轴B .顶点坐标相同C .开口方向相同D .都有最高点7.与抛物线y=-45x 2-1的顶点相同,形状也相同,而开口方向相反的抛物线所对应的函数关系式是 ( ) A .y=-54x 2-1 B .y=45x 2-1C .y=-45x 2+1D .y=45x 2+18.下列关于二次函数y=2x 2-3的说法正确的是( )A .其图象开口向下B .其图象的顶点坐标是(2,3)C .当x>1时,y 随x 的增大而增大D .当x=0时,y 有最大值39.下列函数中,当x>0时,y 随x 的增大而减小的有 .(填序号) ①y=-x+1;②y=2x ;③y=-2x ;④y=-x 2.10.已知点(-1,y 1),(-12,y 2)都在函数y=5x 2-2的图象上,则y 1 y 2.(填“>”“<”或“=”) 【提升训练】11.抛物线y=ax 2+c 与抛物线y=-ax 2+c 的关系是 ( )A .关于y 轴对称B .关于x 轴对称C .有公共顶点且开口相反D .关于原点对称12.抛物线y=-x 2+b 与抛物线y=-ax 2-2的形状相同,开口方向相反且顶点的位置不同,则a ,b 需满足的条件分别是 ( ) A .a=1,b ≠-2 B .a=-2,b ≠2C .a=-1,b ≠-2D .a=2,b ≠-213.在同一直角坐标系中,函数y=ax 2+b 与y=ax+b (a ,b 都不为0)的图象的相对位置可以是( )图1014.从函数y=2x 2-3的图象上可以看出,当-1≤x ≤2时,y 的取值范围是 ( ) A .-1≤y ≤5B .-5≤y ≤5C .-3≤y ≤5D .-2≤y ≤115.小华同学想用“描点法”画二次函数y=ax 2+c 的图象,取自变量x 的5个值,分别计算出对应的y 值,如下表:x … -2 -1 0 1 2 … y (11)2-125…由于粗心,小华算错了其中的一个y 值,请你指出这个算错的y 值所对应的x= . 16.能否适当地上下平移函数y=12x 2的图象,使得到的新图象过点(4,-2)?若能,说出平移的方向和距离;若不能,请说明理由.17.已知抛物线y=ax 2+n 与抛物线y=-2x 2的开口大小和开口方向相同,且抛物线y=ax 2+n 上的点到x 轴的最小距离为3. (1)求a ,n 的值;(2)指出抛物线y=ax 2+n 的开口方向、对称轴和顶点坐标; (3)若抛物线y=ax 2+n 上有点A -12,y 1,B32,y 2,比较y 1,y 2的大小.26.2.2第1课时二次函数y=ax2+k的图象与性质1.上2下22.A3.解:(1)函数y=4x2+2的图象可以看成是由函数y=4x2的图象向上平移2个单位得到的.(2)函数y=4x2+2的图象开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,2).(3)将函数y=4x2的图象向下平移5个单位得到函数y=4x2-5的图象.4.上(0,-6)y轴(或直线x=0)=0小-6><5.B6.A7.B8.C9.①④[解析] ①y=-x+1,y随x的增大而减小,符合题意;②y=2x,y随x的增大而增大,不符合,在每一个象限内,y随x的增大而增大,不符合题意;④y=-x2,当x<0时,y随x的增题意;③y=-2x大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小,符合题意.故答案为①④.<0, 10.>[解析] 因为抛物线y=5x2-2中5>0,所以当x<0时,y随x的增大而减小.因为-1<-12所以y1>y2.11.C[解析] 因为y=ax2+c和y=-ax2+c中只有二次项系数互为相反数,所以两条抛物线有公共的顶点为(0,c)且开口相反,所以C正确.故选C.12.C13.A[解析] A.由抛物线可知a<0,b<0.由直线可知a<0,b<0,故A项符合题意;B.由抛物线可知a<0,由直线可知a>0,相矛盾,故B项不符合题意;C.由抛物线可知a>0,b<0,由直线可知a>0,b>0,相矛盾,故C项不符合题意;D.由抛物线可知a>0,b>0,由直线可知a<0,b>0,相矛盾,故D项不符合题意.故选A.14.C[解析] 函数y=2x2-3的图象如图所示:根据图象可得,在-1≤x≤2的范围内,当x=0时,y取得最小值,且最小值为-3,当x=2时,y取得最大值,且最大值为2×22-3=5.故当-1≤x≤2时,y的取值范围是-3≤y≤5.故选C.15.2[解析] 根据函数关系式可得出,该函数图象的对称轴为直线x=0,进而可得函数关系式为y=3x2-1,则当x=2与x=-2时y的值相同,为11.故这个算错的y值所对应的x=2.16.解:能.设将函数y=1x2的图象向上平移c个单位后,所得新图象过点(4,-2),所得新图象为抛2x2+c.物线y=12x2+c,将(4,-2)代入y=12得-2=12×16+c ,解得c=-10,所以将函数y=12x 2的图象向下平移10个单位后,所得新图象过点(4,-2). 17.解:(1)因为抛物线y=ax 2+n 与抛物线y=-2x 2的开口大小和开口方向相同, 所以a=-2.因为抛物线y=ax 2+n 上的点到x 轴的最小距离为3, 所以n=-3.(2)由(1)知抛物线y=ax 2+n=-2x 2-3,则该抛物线的开口向下,对称轴是y 轴,顶点坐标是(0,-3). (3)点A -12,y 1关于y 轴的对称点的坐标为12,y 1.因为-2<0,所以在对称轴(y 轴)右侧,y 随x 的增大而减小.因为12<32,所以y 1>y 2.。

课时作业(十一)[第二章 2 第3课时 二次函数y ＝a (x －h )2，y ＝a (x －h )2＋k 的图象与性质]一、选择题1．2018·临安区抛物线y ＝3(x －1)2＋1的顶点坐标是( ) A ．(1，1) B ．(－1，1) C ．(－1，－1) D ．(1，－1)2．如图K －11－1，在平面直角坐标系中，抛物线的函数表达式为y ＝－2(x －h)2＋k ，则下列结论正确的是( )图K －11－1A ．h>0，k>0B ．h<0，k>0C ．h<0，k<0D ．h>0，k<03．2018·虹口区一模如果将抛物线y ＝－x 2－2向右平移3个单位长度，那么所得到的新抛物线的表达式是链接听课例3归纳总结( )A ．y ＝－x 2－5B ．y ＝－x 2＋1C ．y ＝－(x －3)2－2D ．y ＝－(x ＋3)2－24．2018·徐汇区一模对于二次函数y ＝－(x ＋2)2＋3，下列结论中正确的个数为( ) 链接听课例2归纳总结①其图象开口向下；②其图象的对称轴是直线x ＝－2；③其图象不经过第一象限；④当x ＞2时，y 随x 的增大而减小．A ．4B ．3C ．2D ．15．2018·枣庄如图K －11－2是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，且过点A(3，0)，二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，则下列结论正确的是( )图K －11－2A ．b 2＜4acB ．ac ＞0C ．2a －b ＝0D ．a －b ＋c ＝06．下列抛物线中，以直线x ＝2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( ) A ．y ＝(x －2)2＋1 B ．y ＝(x ＋2)2＋1 C ．y ＝(x －2)2－3 D ．y ＝(x ＋2)2－37．2017·宜宾如图K －11－3，抛物线y 1＝12(x ＋1)2＋1与y 2＝a(x －4)2－3交于点A(1，3)，过点A 作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于B ，C 两点，且D ，E 分别为顶点．则下列结论：①a ＝23；②AC ＝AE ；③△ABD 是等腰直角三角形；④当x ＞1时，y 1＞y 2.其中正确结论的个数是( )图K －11－3A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题8．已知二次函数y ＝(x －2)2＋3，当x________时，y 随x 的增大而减小．9．如果二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象的对称轴为直线x ＝－1，那么h ＝________；如果它的顶点坐标为(－1，－3)，那么k ＝________．10．2018·江西模拟把抛物线y ＝3x 2先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得抛物线的表达式是________.链接听课例3归纳总结11．如图K －11－4是二次函数y ＝a(x ＋1)2＋2的图象的一部分，该图象在y 轴右侧与x 轴的交点坐标是________．图K －11－412．二次函数y ＝a(x ＋m)2＋n 的图象的顶点在第四象限，则一次函数y ＝mx ＋n 的图象经过第________象限．13．如图K －11－5，将函数y ＝12(x －2)2＋1的图象沿y 轴向上平移得到一个新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′，B ′.若曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是________．图K －11－5三、解答题14．二次函数y ＝a(x －3)2＋4的图象是由二次函数y ＝－12x 2的图象经过平移得到的．(1)请指出a 的值，并说明平移的方法；(2)说出二次函数y ＝a(x －3)2＋4的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．链接听课例3归纳总结15．已知抛物线y＝a(x＋2)2过点(1，－3)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)指出抛物线的对称轴、顶点坐标；(3)当x取何值时，y随x的增大而增大？16．如图K－11－6，已知二次函数y＝a(x－h)2＋3的图象经过原点O(0，0)，A(2，0)．(1)写出该函数图象的对称轴；(2)若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是不是该函数图象的顶点．图K－11－617．2017·金华甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图K－11－7，甲在O点正上方1 m的点P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y＝a(x －4)2＋h.已知点O与球网的水平距离为5 m，球网的高度为1.55 m.(1)当a＝－124时，①求h 的值；②通过计算判断此球能否过网．(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O 的水平距离为7 m ，离地面的高度为125 m 的点Q 处，在此处乙扣球成功，求a 的值．图K －11－7分类讨论已知二次函数y ＝－(x －1)2＋5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，求m ＋n 的值．详解详析【课时作业】 [课堂达标]1．[解析] A ∵y ＝3(x －1)2＋1是顶点式，∴抛物线的顶点坐标是(1，1)．故选A.2．[解析] A 根据题意可得抛物线的顶点坐标为(h ，k )，而从图象中可看出顶点在第一象限，根据第一象限内点的坐标特征，可得h >0，k >0.故选A.3．[解析] C y ＝－x 2－2的顶点坐标为(0，－2)，∵向右平移3个单位长度，∴平移后的抛物线的顶点坐标为(3，－2)，∴所得到的新抛物线的表达式是y＝－(x －3)2－2.故选C.4．[解析] A ∵y ＝－(x ＋2)2＋3，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x ＝－2，顶点坐标为(－2，3)，故①②都正确；在y ＝－(x ＋2)2＋3中，令y ＝0可求得x ＝－2＋3＜0，或x ＝－2－3＜0，∴抛物线不经过第一象限，故③正确；∵抛物线开口向下，对称轴为x ＝－2，∴当x ＞－2时，y 随x 的增大而减小，∴当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，故④正确．综上可知正确的结论有4个，故选A.5．[解析] D ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0，即b 2＞4ac ，∴A 选项错误； ∵抛物线开口向上，∴a ＞0.∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0， ∴ac ＜0，∴B 选项错误；∵二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，∴－b2a＝1，∴2a ＋b ＝0，∴C 选项错误；∵抛物线过点A (3，0)，二次函数图象的对称轴是直线x ＝1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(－1，0)， ∴a －b ＋c ＝0，∴D 选项正确．故选D. 6．[答案] C7．[解析] B 把点A 的坐标代入y 2，求出a 的值，即可得到函数的表达式；令y ＝3，求出B ，C 两点的横坐标，然后求出BD ，AD 的长，利用勾股定理的逆定理以及结合二次函数图象分析得出答案．∵抛物线y 1＝12(x ＋1)2＋1与y 2＝a (x －4)2－3交于点A (1，3)，∴3＝a (1－4)2－3，解得a ＝23，故①正确；∵E 是抛物线y 2的顶点，∴E (4，－3)． 当y 2＝3时，即23(x －4)2－3＝3，解得x 1＝1，x 2＝7.故C (7，3)．则AC ＝6，AE ＝（3＋3）2＋（1－4）2＝3 5， ∴AC ≠AE .故②错误；当y 1＝3时，即3＝12(x ＋1)2＋1，解得x 1＝1，x 2＝－3，故B (－3，3)，D (－1，1)，则AB ＝4，AD ＝BD ＝22，∴AD 2＋BD 2＝AB 2，∴△ABD 是等腰直角三角形，故③正确； 令12(x ＋1)2＋1＝23(x －4)2－3， 解得x 1＝1，x 2＝37，∴当1<x <37时，y 1＞y 2，故④错误．故选B.8．[答案] ＜2[解析] 对于二次函数y ＝(x －2)2＋3，其中二次项系数a ＝1＞0，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，即当x ＜2时满足要求．9．[答案] －1 －310．[答案] y ＝3(x －3)2＋2[解析] 把y ＝3x 2先向上平移2个单位长度，得到y ＝3x 2＋2，再向右平移3个单位长度，得到y ＝3(x －3)2＋2.故所得抛物线的表达式为y ＝3(x －3)2＋2.11．[答案] (1，0) 12．[答案] 二、三、四[解析] 二次函数y ＝a (x ＋m )2＋n 的图象的顶点坐标为(－m ，n )，因为该点在第四象限，所以－m >0，n <0，即m <0，n <0，所以一次函数y ＝mx ＋n 的图象经过第二、三、四象限．故填二、三、四．13．[答案] y ＝12(x －2)2＋4[解析] 连接AB ，A ′B ′，则S 阴影＝S 四边形ABB ′A ′.由平移可知，AA ′＝BB ′，AA ′∥BB ′，所以四边形ABB ′A ′是平行四边形．分别延长A ′A ，B ′B 交x 轴于点M ，N .因为A (1，m )，B (4，n )，所以MN ＝4－1＝3.因为S ▱ABB ′A ′＝AA ′·MN ，所以9＝3AA ′，解得AA ′＝3，即原抛物线沿y 轴向上平移了3个单位长度，所以新图象的函数表达式为y ＝12(x －2)2＋4.14．解：(1)a ＝－12，将二次函数y ＝－12x 2的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到二次函数y ＝－12(x －3)2＋4的图象(平移方法不唯一)．(2)开口向下，对称轴为直线x ＝3，顶点坐标为(3，4)． 15．解：(1)∵抛物线经过点(1，－3)， ∴－3＝9a ，a ＝－13，∴抛物线的函数表达式为y ＝－13(x ＋2)2.(2)对称轴是直线x ＝－2，顶点坐标为(－2，0)． (3)∵a ＝－13<0，∴当x <－2时，y 随x 的增大而增大．16．解：(1)∵二次函数y ＝a (x －h )2＋3的图象经过原点O (0，0)，A (2，0)，∴该函数图象的对称轴是直线x ＝0＋22＝1.(2)点A ′是该函数图象的顶点．理由如下： 如图，作A ′B ⊥x 轴于点B .∵线段OA 绕点O 逆时针旋转60°到OA ′， ∴OA ′＝OA ＝2， ∠A ′OA ＝60°，∴在Rt △A ′OB 中，∠OA ′B ＝30°， ∴OB ＝12OA ′＝1，A ′B ＝3OB ＝3，∴点A ′的坐标为(1，3)，由(1)知函数的表达式为y ＝a (x －1)2＋3， ∴点A ′为该函数图象的顶点．17．[解析] (1)①把(0，1)，a ＝－124代入y ＝a (x －4)2＋h 即可求得h 的值；②把x ＝5代入y ＝a (x －4)2＋h 可求得网球的高度，与1.55 m 比较大小，做出正确的判断．(2)由题意，把点(0，1)，(7，125)代入y ＝a (x －4)2＋h 即可求得a 的值．解：(1)①把(0，1)，a ＝－124代入y ＝a (x －4)2＋h ，得1＝－124×16＋h ，解得h ＝53. ②把x ＝5代入y ＝－124(x －4)2＋53，得y ＝－124×(5－4)2＋53＝1.625.∵1.625>1.55，∴此球能过网．(2)把点(0，1)，(7，125)代入y ＝a (x －4)2＋h ，得⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋h ＝1，9a ＋h ＝125，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，h ＝215.∴a 的值为－15.[素养提升]解：二次函数y ＝－(x －1)2＋5的大致图象如图． ①若m ＜0＜n ＜1， ∵m ≤x ≤n ，∴当x ＝m 时y 取得最小值，即2m ＝－(m －1)2＋5， 解得m ＝－2或m ＝2(不合题意，舍去)；当x ＝n 时y 取得最大值，即2n ＝－(n －1)2＋5，解得n ＝2或n ＝－2(均不合题意，舍去)． ②若m ＜0＜1≤n ， ∵m ≤x ≤n ，∴当x ＝1时y 取得最大值， 即2n ＝－(1－1)2＋5，解得n ＝52.此时，若函数在x ＝m 时取得最小值，则由①可知m ＝－2；若函数在x ＝n 时取得最小值，则2m ＝－(n －1)2＋5，由n ＝52解得m ＝118(不合题意，舍去)．综上，m ＋n ＝－2＋52＝12.。

26．2 二次函数的图象与性质1．二次函数y ＝ax 2的图象与性质知|识|目|标1．根据画一次函数图象的步骤，能够用描点法作出二次函数y ＝ax 2的图象．2．通过对比几个二次函数图象的共同点和不同点，理解二次函数的性质，并能根据其性质解决问题．目标一 会画二次函数y ＝ax 2的图象例1 教材补充例题 画二次函数y ＝－12x 2的图象．【归纳总结】1．画二次函数y ＝ax 2的图象的步骤：用描点法画二次函数的图象分三步：列表、描点、连线．列表：根据二次函数的关系式用表格的形式列出部分点的坐标； 描点：把表格中坐标对应的点描到平面直角坐标系内； 连线：用光滑的曲线顺次连结各点．2．画二次函数y ＝ax 2的图象的四点技巧： (1)二次函数的图象是轴对称图形，列表时先找到函数图象的对称轴，然后在对称轴两侧对称地取自变量的值； (2)列好表后，观察表中各点在坐标系中对应的大致位置，根据需要画出平面直角坐标系； (3)因为二次函数的自变量的取值是一切实数，所以二次函数图象的两端是无限延伸的；(4)点取得越多，图象越精确，图象必须光滑，顶点不能画成尖的，当描出的相邻两点相距较远时，可先用线段连结这两点，再把此段图象修成光滑的曲线．目标二 能理解二次函数y ＝ax 2的性质例2 教材补充例题 已知二次函数y ＝2x 2和y ＝－2x 2的图象如图26－2－1所示，根据图象回答下列问题： (1)指出①的函数关系式是什么，②的函数关系式是什么；(2)写出函数y ＝2x 2和y ＝－2x 2的图象的对称轴、顶点坐标及对称轴左、右两边y 随x 的变化情况；(3)二次函数y ＝2x 2和y ＝－2x 2何时取得最大值或最小值？图26－2－1例3 高频考题 下列说法中错误的是( )A ．在函数y ＝－x 2中，当x ＝0时，y 有最大值B ．在函数y ＝2x 2中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大C ．在抛物线y ＝ax 2中，若抛物线的开口向下，则a ＞0D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y ＝ax 2的顶点都是原点【归纳总结】二次函数y＝ax2的图象与性质的应用：二次函数的图象与性质一般包括图象的开口方向和对称性、函数值的变化情况以及最值．运用二次函数的图象与性质解题需注意以下两点：(1)在二次函数y＝ax2中，a的符号决定图象的开口方向、有最大值(或最小值)以及函数值的变化情况，反过来，由图象的开口方向、有最大值(或最小值)以及函数值的变化情况可以确定a 的符号；(2)利用二次函数的图象与性质解题时，一般要画出草图，利用图象的直观性解决问题．知识点一二次函数y＝ax2的图象二次函数y＝ax2的图象是一条________，它是轴对称图形，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的________．[点拨]当自变量是全体实数时，抛物线是向上或向下无限伸展的．21.注意：|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．2．二次函数的函数值y随x的变化情况要以对称轴为界分左右两部分分别描述．晓明用描点法作函数y＝x2的图象，过程如下：解：列表如下：描点、连线，如图26－2－2所示．图26－2－2晓明的解答正确吗？如果不正确，存在哪些问题？请你写出正确的解答过程．教师详解详析【目标突破】例1 [解析] 二次函数y ＝－12x 2的图象是轴对称图形，顶点坐标是(0，0)，所以列表时从x ＝0往两边取适当的自变量的值，并计算对应的函数值，再把相应的点描到平面直角坐标系中，然后用光滑的曲线顺次连结各点．解：列表：在平面直角坐标系中描点、连线，得到二次函数y ＝－12x 2的图象，如图所示．例2 解：观察图象可以看出：(1)①的函数关系式是y ＝2x 2，②的函数关系式是y ＝－2x 2.(2)函数y ＝2x 2的图象的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，0)，在y 轴左侧，y 随x 的增大而减小，在y 轴右侧，y 随x 的增大而增大．函数y ＝－2x 2的图象的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，0)，在y 轴左侧，y 随x 的增大而增大，在y 轴右侧，y 随x 的增大而减小．(3)二次函数y ＝2x 2，当x ＝0时，y 取得最小值0；二次函数y ＝－2x 2，当x ＝0时，y 取得最大值0. 例3 [答案] C备选目标 二次函数的图象与性质的应用例 已知二次函数y ＝2x 2.(1)点A(1，a)，B(－2，b)均在二次函数y ＝2x 2的图象上，比较a ，b 的大小；(2)M ，N 是二次函数y ＝2x 2的图象上的点，它们的横坐标分别为2和12，在y 轴上找一点P ，使得PM ＋PN 最小．[解析] (1)根据点A ，B 均在函数y ＝2x 2的图象上，将横坐标分别代入关系式，求出纵坐标a ，b 的值，再比较大小，也可以利用图象进行比较，还可以利用函数值的变化情况比较其大小．(2)求出点M ，N 的坐标，再作点M 关于y 轴的对称点M ′，连结NM ′，与y 轴的交点即为点P. 解：(1)方法一：通过计算得a ＝2，b ＝8，故a ＜b.方法二：画出函数y ＝2x 2的图象，如图①，并把点A ，B 描于图上，可得a ＜b.方法三：点B(－2，b)与点B ′(2，b)关于y 轴对称，点A 与点B ′均在对称轴的右侧．因为在对称轴右侧，函数值y 随x 的增大而增大，且1<2，故a ＜b.(2)易得点M ，N 的坐标分别为(2，8)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12.作点M 关于y 轴的对称点M ′，则M ′(－2，8)，连结NM ′，与y 轴的交点即为点P ，如图②所示．设NM ′所在直线对应的函数关系式为y ＝kx ＋n ，则⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋n ＝8，12k ＋n ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，n ＝2，即y ＝－3x ＋2，当x ＝0时，y ＝2，所以点P 的坐标为(0，2)．【总结反思】[小结] 知识点一 抛物线 顶点知识点二 向上 y 轴 减小 增大 低 向下 y 轴 增大 减小 高[反思] 晓明的解答不正确．错误的原因有三个：一是列表时取的数据不全面；二是没有用光滑的曲线连结相邻的点；三是所画的抛物线没有向上延长． 正解：列表如下：描点、连线，如图所示．。

5.2 二次函数的图像和性质第2课时 二次函数y ＝ax 2＋k ，y ＝a (x ＋h )2的图像和性质知|识|目|标1．经历比较同一坐标系中y ＝ax 2和y ＝ax 2＋k 的图像，探究并掌握它们之间的上下平移规律．2．通过观察课本“思考与探索”中的两个函数的图像，比较它们的异同，探究并掌握二次函数y ＝ax 2＋k 的性质．3．经历比较同一坐标系中y ＝ax 2和y ＝a (x ＋h )2的图像，探究并掌握它们之间的左右平移规律．4．通过观察课本“思考与探索”中的两个函数的图像，比较它们的异同，探究并掌握二次函数y ＝a (x ＋h )2的性质．目标一 掌握二次函数y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2的图 像的平移规律例1 教材“思考与探索”针对训练写出抛物线y ＝－14x 2＋3的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由抛物线y ＝－14x 2通过怎样的平移得到的．【归纳总结】 抛物线平移中的“变”与“不变”抛物线平移后开口的大小和方向不变，即a 的值不变，上下平移后，其顶点的横坐标不变，纵坐标发生变化．目标二 掌握二次函数y ＝ax 2＋k 的性质例2 教材补充例题已知函数y ＝x 2－2，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是( )A ．x ＜2B ．x ＞0C ．x ＞－2D ．x ＜0目标三 掌握二次函数y ＝a (x ＋h )2与y ＝ax 2的 图像的平移规律例3 教材练习第2题针对训练已知抛物线y ＝－23x 2，y ＝－23(x －4)2，y ＝－23(x ＋4)2，列表比较它们的开口方向、对称轴和顶点坐标，并总结它们平移的规律．【归纳总结】 二次函数图像左右平移的“四字诀”(1)左负右正：由抛物线y ＝ax 2平移得到抛物线y ＝a (x －h )2时符合h 左负右正(h >0，向右平移，h <0，向左平移)．(2)左正右负：由抛物线y ＝ax 2平移得到抛物线y ＝a (x ＋h )2时符合h 左正右负(h >0，向左平移，h <0，向右平移)．目标四 掌握二次函数y ＝a (x ＋h )2的图像和性质 例 4 教材补充例题已知二次函数y ＝－12(x －2)2.(1)画出函数图像，确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；(2)当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？知识点一 二次函数y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2的图像的关系1．二次函数y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2的图像的形状、开口方向________(填“相同”或“不同”)，但顶点坐标________(填“相同”或“不同”)．2．抛物线y ＝ax 2――→向上平移k 个单位长度抛物线y ＝ax 2＋k(k>0)； 抛物线y ＝ax 2――→向下平移k 个单位长度抛物线y ＝ax 2－k(k>0)．口诀：上加下减．[点拨] 对于二次项系数a 相同的两个二次函数的图像，可以只通过观察顶点的位置来判断抛物线的平移情况．2知识点三 二次函数y ＝a (x ＋h ) 与y ＝ax 的图像的关系1．二次函数y ＝a(x ＋h)2与y ＝ax 2的图像的形状、开口方向________(填“相同”或“不同”)，但对称轴和顶点坐标________(填“相同”或“不同”)．2．抛物线y ＝ax 2――→向右平移h 个单位长度抛物线y ＝a(x －h)2(h>0)；抛物线y ＝ax 2――→向左平移h 个单位长度抛物线y ＝a(x ＋h)2(h>0)．口诀：左加右减．知识点四 二次函数y ＝a (x ＋h )2的图像和性质已知拋物线y ＝－13x 2＋2，当－1≤x ≤3时，y 的取值范围是________．某同学的解答如下：当x ＝－1时，y ＝53；当x ＝3时，y ＝－1，所以当－1≤x ≤3时，y 的取值范围是－1≤y ≤53.上述解答正确吗？如果不正确，请说明理由，并给出正确的答案．详解详析【目标突破】例1 解：抛物线y ＝－14x 2＋3开口向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，3)，它是由抛物线y ＝－14x 2沿y 轴方向向上平移3个单位长度得到的．例2 [解析] D ∵y ＝x 2－2，∴抛物线的开口向上，对称轴为y 轴， ∴当x ＜0时，y 随x 的增大而减小． 故选D .将抛物线y ＝－23x 2向右平移4个单位长度得到抛物线y ＝－23(x －4)2；将抛物线y ＝－23x 2向左平移4个单位长度得到抛物线y ＝－23(x ＋4)2.例4 解：(1)二次函数y ＝－12(x －2)2的图像如图：抛物线开口向下，对称轴为直线x ＝2，顶点坐标为(2，0)． (2)当x ＜2时，y 随x 的增大而增大； 当x ＞2时，y 随x 的增大而减小．【总结反思】[小结] 知识点一 1.相同 不同知识点二 向上 向下 (0，k) (0，k) y 轴 y 轴 减小 增大 增大 减小 k k 知识点三 1.相同 不同 知识点四 (－h ，0) (－h ，0) x ＝－h x ＝－h 上方 下方 上 下 减小 增大 增大 减小 －h 小 0 －h 大 0 小 大[反思] 不正确，上述解答没有考虑二次函数图像的特点，在－1≤x ≤3的范围内包含抛物线的顶点，因而y 的最大值就是抛物线顶点的纵坐标．正解：由拋物线y ＝－13x 2＋2的二次项系数a ＝－13＜0，得该抛物线开口向下，当x ＝0时，y 最大＝2；当x ＝－1时，y ＝53；当x ＝3时，y ＝－1.所以当－1≤x ≤3时，y 的取值范围是－1≤y ≤2.归纳·演绎： 解答这一类最值问题不能简单地把二次函数自变量取值范围的边界值代入函数表达式求得的函数值直接作为结果，应根据给出的自变量的范围，找出所对应的图像部分，再结合二次函数的增减性，确定相应的二次函数的最值．。

华东师大版初三数学下册同步练习：26一、选择题1．下列函数：①y＝x2＋1；②y＝1x2＋1；③y＝x2＋1；④y＝x＋1；⑤y＝(x＋1)2－x2；⑥y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数)；⑦y＝3(x－1)2＋1；⑧y＝x＋1x；⑨y＝1x2＋x.其中y是x的二次函数的有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知二次函数y＝1－3x＋5x2，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是()A．1，－3，5 B．1，3，5 C．5，3，1 D．5，－3，13．在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有()①设正方形的边长为x，面积为y，则y与x之间的函数关系；②x个球队参加竞赛，每两个队之间竞赛一场，则竞赛的场次y与x之间的函数关系；③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系；④若一辆汽车以120 km/h的速度匀速行驶，则汽车行驶的里程y(km)与行驶时刻x(h)之间的函数关系．A．1个B．2个C．3个D．4个4．若函数y＝(a－1)xa2＋1＋x－3是关于x的二次函数，则a的值是( )A．1 B．－1 C．±1 D．05．若等边三角形的边长为x，则它的面积y与x之间的函数关系式是( )A．y＝12x(x＞0) B．y＝32x2(x＞0)C．y＝34x2(x＞0) D．y＝33x2(x＞0)6．共享单车为市民出行带来了方便．某单车公司第一个月投放a辆单车，打算第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x之间的函数关系式是() A．y＝a(1＋x)2 B．y＝a(1－x)2C ．y ＝(1－x)2＋aD ．y ＝x2＋a7．某种品牌服装的进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查发觉，每件服装每降价2元，每天可多卖出1件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x 元，每天售出服装的利润为y 元，则y 关于x 的函数关系式为( )A ．y ＝－12x2＋10x ＋1200(0≤x<60)B ．y ＝－12x2－10x ＋1250(0<x<60)C ．y ＝－12x2＋10x ＋1250(0<x<60)D ．y ＝－12x2＋10x ＋1250(x ≤60)二、填空题8．下列属于二次函数的有________．(填序号) (1)S ＝πR2；(2)C ＝2πR ；(3)V ＝a3；(4)S ＝12ab ；(5)d ＝n （n －2）2. 链接听课例1归纳总结9．将二次函数y ＝2(x ＋1)2－3化为一样形式为________________．10．已知二次函数y ＝x2＋kx －8，当x ＝2时，y ＝－8，则k ＝________．11．(1)已知关于x 的函数y ＝(m2－m)x2＋(m －1)x ＋m ＋1，若那个函数是二次函数，则m________；(2)已知函数y ＝(k ＋2)xk2＋k －4是关于x 的二次函数，则k ＝________．12．2021·常德如图K －1－1，正方形EFGH 的顶点在边长为2的正方形ABCD 的边上．若设AE ＝x ，正方形EFGH 的面积为y ，则y 关于x 的函数关系式为________．图K －1－113．某产品每件的成本为10元，试销时期每件产品的销售单价x(元/件)与日销售量y(件)之间的关系如下表．按照如此的规律可得，日销售利润w(元)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式是________(不必写出自变量的取值范畴)．三、解答题14．依照下面的条件列出函数关系式(不要求写出自变量的取值范畴)，并判定列出的函数是不是二次函数．(1)假如两个数中，一个数比另一个数大5，那么这两个数的乘积p是较大的数m的函数；(2)一个半径为10 cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余部分的面积S(cm2)是方孔边长x(cm)的函数；(3)有一块长为60 m，宽为40 m的矩形绿地，打算在它的四周相同的宽度内种植草坪，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S(m2)是草坪宽度a(m)的函数.链接听课例1归纳总结15．若函数y＝(a－1)xb＋1＋x2＋1是关于x的二次函数，试讨论a，b 的取值范畴．16．如图K－1－2，在正方形ABCD中，AB＝2，M为正方形ABCD 的边CD上的动点(与点C，D不重合)，连接BM，作MF⊥BM，与正方形ABCD的外角∠ADE的平分线交于点F.设CM＝x，△MDF的面积为y，求y与x之间的函数关系式．(不必写出自变量的取值范畴，提示：在BC上截取CH＝CM，连接MH)图K－1－217．快乐果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.2021年快乐果园预备多种一些橙子树以提高产量，然而假如多种树，那么树与树之间的距离就会减小，每一棵树所接收的阳光也会减少．依照体会估量，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．(1)问题中有哪些变量？(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3)假假如园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的函数关系式(不必写出自变量的取值范畴)．(4)依照(3)观看表中的数字，你明白增种多少棵橙子树，能够使果园橙子的总产量最多吗？链接听课例2归纳总结1．[解析] B ①和⑦符合题意．2．[解析] D ∵函数y ＝1－3x ＋5x2是二次函数，∴a ＝5，b ＝－3，c ＝1.3．[解析] C ①依题意，得y ＝x2，属于二次函数关系，故符合题意；②依题意，得y ＝12x(x －1)＝12x2－12x ，属于二次函数关系，故符合题意；③依题意，得y ＝6x2，属于二次函数关系，故符合题意；④依题意，得y ＝120x ，属于一次函数关系，故不符合题意．综上所述，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有3个．4．[解析] B 依题意，得a2＋1＝2且a －1≠0，解得a ＝－1.故选B.5．[解析] C 由等边三角形的边长为x ，可求得它任意边上的高为32x ，因此它的面积y ＝12·x ·32x ＝34x2(x>0)．6．[解析] A 设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，依题意得第三个月投放单车a(1＋x)2辆，则y ＝a(1＋x)2，故选A.7．[解析] A 由题意，得y ＝(210－150－x)×⎝ ⎛⎭⎪⎫20＋12x ＝－12x2＋10x ＋1200(0≤x<60)．8．[答案] (1)(5)9．[答案] y ＝2x2＋4x －110．[答案] －211．[答案] (1)≠0且m ≠1 (2)2或－3[解析] (1)要使函数是二次函数，则二次项系数不能等于零. ∵m2－m ≠0，∴m ≠0且m ≠1，即当m ≠0且m ≠1时，那个函数是二次函数．(2)由题意可得k2＋k －4＝2且 k ＋2≠0，解得k ＝2或k ＝－3.12．[答案] y ＝2x2－4x ＋4(0<x<2)[解析] 如图所示，∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝2，∴∠1＋∠2＝90°.∵四边形EFGH为正方形，∴∠HEF＝90°，EH＝EF，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠2＝∠3，∴△AHE≌△BEF，∴AE＝BF＝x，AH＝BE＝2－x.在Rt△AHE中，由勾股定理，得EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(2－x)2＝2x2－4x＋4，即y＝2x2－4x＋4(0＜x ＜2)．故答案为y＝2x2－4x＋4(0<x<2)．13．[答案] w＝－10x2＋500x－4000[解析] 由表中数据易得y与x之间的函数关系式为y＝250－10(x－15)＝－10x＋400，故日销售利润w(元)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式为w＝(x－1 0)y＝(x－10)(－10x＋400)＝－10x2＋500x－4000.14．解：(1)这两个数的乘积p与较大的数m之间的函数关系式为p＝m(m－5)＝m2－5m，是二次函数．(2)剩余部分的面积S(m2)与方孔边长x(cm)之间的函数关系式为S＝10 0π－4x2，是二次函数．(3)郁金香的种植面积S(m2)与草坪宽度a(m)之间的函数关系式为S＝(6 0－2a)(40－2a)＝4a2－200a＋2400，是二次函数．15．解：①由b＋1＝2，解得b＝1，由a－1＋1≠0，解得a≠0.∴当a≠0，b＝1时，函数是关于x的二次函数．②由b＋1＝1或b＋1＝0，得b＝0或b＝－1，∴当b＝0或b＝－1，a取全体实数时，函数是关于x的二次函数．③当a ＝1，b 为全体实数时，y ＝x2＋1是二次函数．16．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴CD ＝BC ，∠C ＝∠CDA ＝90°＝∠ADE.∵DF 平分∠ADE ，∴∠ADF ＝12∠ADE ＝45°，∴∠MDF ＝90°＋45°＝135°.如图，在BC 上截取CH ＝CM ，连接MH ，则△MCH 是等腰直角三角形，BH ＝MD ，∴∠CHM ＝∠CMH ＝45°，∴∠BHM ＝135°，∴∠1＋∠BMH ＝45°，∠BHM ＝∠MDF.∵MF ⊥BM ，∴∠FMB ＝90°，∴∠2＋∠BMH ＝45°，∴∠1＝∠2.在△BHM 与△MDF 中，∵∠1＝∠2，BH ＝MD ，∠BHM ＝∠MDF ，∴△BHM ≌△MDF ，∴BH ＝MD ＝2－x ，S △MDF ＝S △BHM ，∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝12x(2－x)＝－12x2＋x.17．解：(1)变量有果园里面的橙子树的棵数和果园的总产量．(2)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有(100＋x)棵橙子树，这时平均每棵树结(600－5x)个橙子．(3)果园橙子的总产量y ＝(100＋x)(600－5x)＝－5x2＋100x ＋60000.(4)由上表可知，当x 取10时，y 取得最大值，即增种10棵橙子树时，能够使果园橙子的总产量最多．[素养提升] [答案] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x2＋8（0≤x ≤4），－12x2＋8x －24（4＜x ≤8）[解析] 在点P ，Q 的运动过程中，当0≤x ≤4时，y ＝S △ABD －S △A PQ ＝12×4×4－12x2＝－12x2＋8；当4＜x ≤8时，y ＝S △CBD －S △CPQ ＝12×4×4－12(8－x)2＝－12x2＋8x －24.。

——教学资料参考参考范本——【初中教育】2019华师大版初中数学九年级（初三）上册《二次函数y=ax^2的图象和性质》参考教案______年______月______日____________________部门教学目标1．知识与技能能够用描点法作出函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解其性质2．过程与方法经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程，体会数形结合的思想和方法.3．情感、态度与价值观在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内在的美感．教学重点难点1．重点函数y=ax2的图象的画法，了解抛物线的含义，理解函数y=ax2的图象与性质．2．难点用描点的方法准确地画出函数y=ax2的图象，掌握其性质特征．教与学互动设计（一）创设情境导入新课导语一回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？导语二展示（用课件或幻灯片）具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？导语三用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？（二）合作交流解读探究1．函数y=ax2 的图象画法及相关名称【探究 l】画y=x2的图象学生动手实践、尝试画y=x2的图象教师分析，画图像的一般步骤：列表→描点→连线教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y=x2的图象，如图22-1-1.【共同探究】次函数图像有何特征？特征如下：①形状是开口向上的抛物线②图象关于y轴对称③由最低点，没有最高点.结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向.2．函数y=ax2的图象特征及其性质【探究2】在同一坐标系中，画出y=x2，y=2x2的图象.12学生自己完成此题.教师做个别指导，在学生（大部分）完成后，教师可示范性地画出两函数的图象.如图22-1-2比较图中三个抛物线的异同.相同点：①顶点相同，其坐标都为（0，0）.②对称轴相同，都为y轴③开口方向相同，它们的开口方向都向上.不同点：开口大小不同.【练一练】画函数y=-x2，y=-x2，y=-2x2的图象.（分析：仿照探究1的实施过程）比较函数y=-x2，y=-x2，y=-2x2的图象.找出它们的异同点.相同点：①形状都是抛物线.②顶点相同，其坐标都为（0，0）.③对称轴相同，都为y轴④开口方向相同，它们的开口方向都向下.不同点：开口大小不同.【归纳】y=ax2的图象特征：(1)二次函数y=ax2的图象是一条抛物线(2)抛物线y=ax2的对称轴是y轴.顶点时原点.a>0时，抛物线开口向上，顶点时抛物形的最低点.a<0时，抛物线开口向下，顶点时抛物形的最高点.(3)|a|越大，抛物线y==ax2的开口越小（三）应用迁移巩固提高类型之一如何画好二次函数的图象【点拨】画二次函数图象一般是按以下三个步骤进行.①列表、取值；②描点；③连线但初学者对三个步骤，易犯下列错误，注意避免.【易错点1】表格中，取值过多或过少.画函数y=ax2图象,取对应值时，一般5组或7组有代表性的对应值即可.【易错点2】连线不是光滑曲线，有的用折线，有的画的过渡不自然，不象抛物线.例1 下图是甲、乙、丙三人画得二次函数y=2x2的图象.请你帮助修改.解：图甲中有两个错误的地方.①连线不能用直尺作线段，图象中相邻两点时用光滑曲线连接.②抛物线开口应向上无限延伸，不能到两端点为止.修改见图甲中虚线.图乙中有一个错误，其中有一个点（1，-2）的位置画错.（或表格中对应值算错）修改见图乙中虚线.图丙种错误是x的值都是非负数，没有负数，导致出现其图象只是抛物线的一半，没有对称性. 修改见图丙中虚线.【点评】此三类错误是初学者应注意的三个方面，以后的练习中，应提醒大家注意.类型之二函数y=ax2的图象特征的应用例2（1）填空：函数的图象是，顶点坐标是，对称轴是，开口方向是 .（2）函数y=x2，y=，y=-2x2图象如图所示，请指出三条抛物线的名称.解：（1）可化为y=2x2.它的图象是抛物线，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，开口方向向上.【点评】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误.(2)根据抛物线y=ax2中，a的值的作用来判断，最上面的抛物线为y=x2，中间的为y=x2，x轴下方的为y=-2x2【点评】抛物线y=ax2中a>0时，开口向上.a<0时，开口向下.|a|越大，开口越小.（四）总结反思拓展升华【总结】1.本节所学知识：①二次函数y=ax2的图象的画法.②二次函数y=ax2的图象特征及其性质.2.本节所用的方法：实践比较法【反思】函数y=ax2与y=-ax2的图象之间有何关系？（它们关于x轴对称）【拓展】已知函数y=ax2经过(1,2).（1）求a的值.（2）当x<0时，y的值随x的增大而变化的情况解：(1)将x=1，y=2代入y=ax2中，得2=a×12 ∴a=2.(2)根据函数y=2x2知x<0时y随x的增大而减小.【点评】①通常用待定系数法函数y=ax2中只有一个待定系数a,故知道其图象上一点坐标或x，y的一组对应值就可求出解析式.②结合图象知：x<0时，x的值增大时，图像上的点的位置越来越低，故y的值越来越小，即y随x的增大而减小..（五）当堂检测反馈1. 抛物线y=4x2中的开口方向是向上，顶点坐标是（0，0），对称轴是 y轴 .抛物线y=-x2的开口方向是向下，顶点坐标是（0，0），对称轴是 y轴 .2. 二次函数y=ax2与y=2x2，开口大小，形状一样，开口方向相反，则a= 2 .【分析】a与-2互为相反数3. 在同一坐标系中：①y=，②y=-x2，③y=2x2这三个函数图象开口最大的是①，最小的是③y=2x2，开口向下的是②y=-x2.解：∵||<|-1|<|2|,∴抛物线①的开口最大，抛物线③开口最小.∵函数y=-x2中，二次项系数为-1<0.∴此函数图象的开口向下.4. 二次函数y=2x2， y=-2x2 ，y=的图象共同点是①顶点相同，都是原点（0，0）；②对称轴相同，都是y轴.5．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过(-3,2).求此抛物线的解析式，并指出x>0时，y随x的变化情况.解：设此抛物线的解析式为y=ax2, ∵此抛物线过点（-3，2），∴2=a·(-3)2,即a=,.∴y=x2, ∴当x>0时，y随x的增大而增大.作业。