第三章 输运现象与分子动理学理论的非平衡态理论[策划]

第三章 输运现象与分子动理学理 论的非平衡态理论¾ 黏性现象的宏观规律 ¾ 扩散现象的宏观规律 ¾ 热传导现象的宏观规律 ¾ 对流传热 ¾ 气体分子平均自由程 ¾ 气体分子碰撞的概率分布 ¾ 气体黏性系数的导出 ¾ 稀薄气体中的输运过程在第二章中已利用分子动理学理论讨论了处于平衡态的 理想气体的微观过程。

本章将讨论非平衡态气体的微观过程，特别是那些在接 近平衡态时的非平衡态过程。

典型例子是气体的黏性、 热传导与扩散现象，统称为输运现象。

当然，首先应对 这些输运现象的宏观规律作较系统的介绍。

§ 3.1 黏性现象的宏观规律§3.1.1 层流与牛顿黏性定律 （一） 层流流体在河道、沟槽及管道内的流动情况相当复杂，它与流 速有关，与管道、沟槽的形状及表面情况有关，也与流体 本身的性质及温度、压强等因素有关。

实验发现，流体在流速较小 时将做分层平行流动，流体 质点轨迹是有规则的光滑曲 线，不同质点轨迹线不相互 混杂，这样的流动称为层流。

直圆管中流体流速分布: 直圆管中流体达到稳定流动时，虽然平均流速箭头的包 络面为平面，但是真正的流速箭头的包络面不是平面。

因为在管壁上的一层流体的流速为零。

直圆管中流体的 流速分布如图所示，流速箭头的包络面为抛物面。

平均流速雷诺数: 一般用雷诺数来判别流体能否处于层流状态。

雷诺数 Re 是一种无量纲因子，它可表示为： Re = ρvrη其中 ρ、v、r 分别为流体的密度、流速及管道半径， η 为流体黏度。

有关雷诺数及它的导出见选读材料3-1量纲分析法简介。

层流是发生在流速较小，更确切些说是发生在雷诺数较 小时的流体流动。

对于直圆管中的流动，当雷诺数超过 2 300 左右时流体流动成为湍流。

（二）湍流湍流是流体的不规则运动，是一种宏观的随机现象。

湍 流中流体流速随时间和空间坐标作随机的紊乱变化。

第三章输运现象与分子动理论的非平衡态理论（气体内的输运过程）§3.0 近平衡态的驰豫和输运过程一、驰豫过程1．在均匀且恒定的外部条件约制下，热力学系统稍偏离平衡态时，发生的向平衡态趋近的过程——驰豫过程。

（1）趋近平衡的原因：分子间相互碰撞。

（2）偏离方式（以经典气体为例）分子速度偏离麦克斯韦分布，温度、密度、速度偏离。

（3）驰豫时间：偏离麦氏分布——τ小；其余较小（可以引入局域流速，局域温度、局域密度的概念）2．三个守恒量：动量、能量、粒子数（无化学反应情形）二、输运过程由于气体分子热运动和碰撞，使内部某种不均匀性消失，从而将某种量转移，使气体内部趋于平衡的现象。

1．分子类型：无引力刚球模型§3.1 粘滞现象的宏观规律（P106）一、层流（laminar flow）1．平行分层流动的流体。

（1）流速较小（质点定向流动）v u <<（2）相邻质点轨迹稍有差别，不同质点轨迹不混杂。

（3）分层平行流动3．层流与湍流（turbulent folow ）湍流：流速随时间和空间变，流体不规则运动，是一种宏观的随机现象。

雷诺数e R vrρη=。

1880年前后，英国的实验流体力学家雷诺（O.Reynolds ）用长管力的均匀流动来研究产生湍流的过程。

（参见：赵凯华.罗蔚茵编著.力学）发现湍流的临介速度v 总与无量纲的组合ηρvl的一定数值相对应。

后人（索末菲）把这个无量纲的组合参数命名为“雷诺数”。

(a)、(b) 图分别表示了在水流中的层流与湍流流动的情况；(c) 图表示了一枝香烟的烟雾，烟雾中的下段（竖直流动部分）是层流流动 在流体力学方程中，R e 数值的增减能引起多样的转折，令人叹为观止！理查德.费因曼因此发出感慨：很难设想方程式中丢了什么，只是除了小雷诺数外，我们今天的数学能力还不会解它。

所以仅把流体力学方程式写出来，还不能消除流体流动带给我们的魅力、惊讶和神秘感。

第三章输运现象与分子动理学理论的非平稳态理论3－1 氢气在，时的平均自由程为×m，求氢分子的有效直径。

解：由＝得：＝代入数据得：（m）3－2 氮分子的有效直径为，求其在标准状态下的平均自由程和持续两次碰撞间的平均时刻。

解：＝代入数据得：－（m）＝代入数据得：＝（s）3－3 氧分子的有效直径为×m，求其碰撞频率，已知：（1）氧气的温度为300K，压强为；（2）氧气的温度为300K，压强为×atm解：由＝得＝＝代入数据得：＝×（）（）3－4 某种气体分子在时的平均自由程为。

（1）已知分子的有效直径为，求气体的压强。

（2）求分子在的路程上与其它分子的碰撞次数。

解：（1）由得：代入数据得：（2）分子走路程碰撞次数（次）3－5 假设在下，痒分子的平均自由程为，在什么压强下，其平均自由程为？设温度维持不变。

解：由得3－6 电子管的真空度约为HG，设气体分子的有效直径为，求时单位体积内的分子数，平均自由程和碰撞频率。

解：（2）（3）假设电子管中是空气，那么3－7 今测得温度为压强为时，氩分子和氖分子的平均自由程别离为和，问：（1）氩分子和氖分子的有效直径之比是多少？（2）时，为多大？（3）时，为多大？解：（1）由得：（2）假设氩分子在两个状态下有效直径相等，由得：（3）设氖气分子在两个状态下有效直径相等，与（2）同理得：3－8 在气体放电管中，电子不断与气体分子相碰撞，因电子的速度远远大于气体分子的平均速度，因尔后者能够以为是静止不动的。

设电子的“有效直径”比起气体分子的有效直径来能够忽略不计。

（1）电子与气体分子的碰撞截面为多大？（2）证明：电子与气体分子碰撞的平均自由程为：，n为气体分子的数密度。

解：（1）因为电子的有效直径与气体分子的有效直径相较，能够忽略不计，因此可把电子看成质点。

又因为气体分子可看做相对静止，因此凡中心离电子的距离等于或小于的分子都能与电子相碰，且碰撞截面为：（2）电子与气体分子碰撞频率为：（为电子平均速度）3－9 设气体分子的平均自由程为试证明：一个分子在持续两次碰撞之间所走路程至少为x的概率是解：依照（）式知在个分子中自由程大于x的分子占总分子数的比率为＝由概率概念知：关于一个分子，自由程大于x的概率为，故一个分子持续两次碰撞之间所走路程至少为x的概率是。

习题解答第三章输运现象与分子动理学理论的非平衡态理论3.1.1 分析：如图所示，为圆盘与平板间液柱，盘以转动，由于粘滞力作用于液面沿切向「，则作用于圆盘，：、「为一对作用力和反作用力。

液柱du边缘各点线速度也沿轴线向下减少，形成梯度丄。

解：（1）盘受力矩（粘滞力的矩，使盘… 二;变小，某瞬间与悬丝转矩平衡）丄::一-（/盘转惯量，二角加速度）M - la - mR2M = fR =出，且出或丄（1）（2）牛顿粘滞定律別_险_曲_ 0 dzAz d A=7^即: (2)3.1.2 分析：如图为题述装置的正视图。

当外面以.；〕旋转，由于被测气体的粘滞性，使内筒表面受切向粘滞力 ., 产生力矩G,当柱体静止不动时，该力矩与悬丝形变（扭转）矩平衡。

在内、外筒间，「—；岸处取厚度为厂的圆柱体（被测气体），其柱面积为，则此时作用于该柱面气体的切向力dn du * *j= 7——A 二马一2TT Ldt dr(7- = 2 押duConst分离变量得：2吨％胡:乡内摩擦矩为积分:3.1.3油滴在空气中下落时，受重力与空气浮力作用:f = v(p-p f)g = ~^{p-p'}g (1)合力一即作用于油滴（球体）切向的粘滞力（相等）按（3.9 ）式「—当、'三:时，‘一d二为收尾速度6叽工二:圖“通（1）= （2）: :(2)3.1.4R22(P - P')g T （1）由上题结论19x1.62x10^x(0.2+0.04)72x(5.00 xl03-l r29)x 9.8&二竺= 01*1(2)雷诺数.当-：■时「与粘滞力无关故空气相对于尘埃运动是层流。

层流间应存在分子(微粒)热运动而交流动量, 作用于层间切向存在内摩擦力(粘滞力)。

3.1.5 解：粘滞系数为「从. 缓慢流动(可认为是匀速地)，从动力学观点看，应有外力来抵消流体的粘滞力，此外来力就本问题而言是A、B液柱的压强差二•，由图依题提供的参数可得: 二 (1), 莎二1加也设工内通过细管的液体体积为— (2)dV _由泊肃叶(Poiseuille )定律：-花■［辿空丄M2二空二严h h 4班住24?}La~如NOT 1、( 2)式中为泌内流过L的流体体积，朋与d卩符号相反。