最新人教版高中数学选修1-2《演绎推理》主动成长

数学人教B 选修1-2第二章2.1.2 演绎推理1．结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能用其进行简单的推理．2．通过具体的实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和区别．1．演绎推理由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到________的过程，通常叫做演绎推理．演绎推理的特征是：当前提为____时，结论必然为____．(1)演绎推理是以某一类事物的一般判断为前提，而作出关于该类事物中的个别特殊事物的判断的思维方式，因此，演绎推理是一种从一般到特殊的推理．(2)演绎推理的特征是：当前提为真时，只要推理规则正确，则结论必然为真，是一种必然性推理．即：由真命题a ，b ，遵循演绎推理规则得出命题q ，则q 必然为真．【做一做1】下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同时和第三条直线相交，同旁内角互补．如果∠A 和∠B 是同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．某校高三年级共有10个班，其中一班51人，二班53人，三班52人，由此推测各班都超过50人D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式2．演绎推理的四种推理规则(1)假言推理：用符号表示这种推理规则就是“如果p ⇒q ，p 真，则q 真”．假言推理的本质是，通过验证结论的充分条件为真，判断结论为真．(2)三段论推理：用符号表示这种推理规则就是“如果M 是P ，S 是M ，则S 是P . (3)传递性关系推理：推理规则是“如果aRb ，bRc ，则____”．(4)完全归纳推理：把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理． 【做一做2】下面说法正确的有( ) ①演绎推理是由一般到特殊的推理； ②演绎推理得到的结论一定是正确的； ③演绎推理的一般模式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个1．合情推理与演绎推理的区别与联系有哪些？ 剖析：2．演绎推理的特点是什么？剖析：(1)演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的，因而演绎推理是数学中严格证明的工具．(3)演绎推理是一种收敛性的思维方式，它较缺乏创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证特点，有助于科学的理论化和系统化．题型一 假言推理【例题1】已知函数f (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 的图象与函数h (x )＝14⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求m 的值；(2)若g (x )＝f (x )＋a4x在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．分析：应用假言推理，根据对称性质，f (x )图象上的点关于点A (0,1)的对称点在h (x )的图象上，代入h (x )即可求得．反思：本题主要考查了假言推理的应用，假言推理的规则为“如果p ⇒q ，p 为真，则q 为真”．本题由题设条件入手，通过推理，求得参数的取值范围．题型二 三段论推理【例题2】已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ＝DC ＝AD ．AC 和BD 是它的对角线．求证：AC 平分∠BCD ，DB 平分∠CBA ．分析：“三段论”中，大前提是已知的一般原理，小前提为所研究的特殊情况，结论则是根据一般原理对特殊情况作出的判断．反思：本题可写出六次三段论形式，但是事实上，每一次三段论的大前提并不需要写出，某一次三段论的小前提如果是它前面某次三段论的结论，也可以不写出．如本题的证明还可写成：因为DA ＝DC (省略大前提)，所以∠1＝∠2.因为AD ∥BC ，且被AC 截得的内错角为∠1和∠3(省略大前提)，所以∠1＝∠3.所以∠2＝∠3，所以AC 平分∠BCD (省略大前提，小前提)，同理可证DB 平分∠CBA ．题型三 传递性关系推理【例题3】已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：a ＋12＋b ＋12≤2. 分析：本题属于条件不等式的证明，直接用条件a ＋b ＝1来推理，方向不够明确，但只要注意所求证式子的特点，我们不难想到利用传递性关系推理进行证明．反思：解本题的关键在于找准突破口，选择合理的方法． 题型四 完全归纳推理【例题4】求证：当1≤n ≤4时，f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9能被36整除(n ∈N ＋)．分析：由于1≤n ≤4(n ∈N ＋)，故n 只取1,2,3,4四个自然数，从而可以进行完全归纳推理．反思：完全归纳推理有两个规则：一是前提中被判断的对象必须是该类事物的全部对象；二是前提中的所有判断都必须是正确的．题型五 易错辨析易错点：在应用三段论推理来证明问题时，首先应明确什么是问题中的大前提和小前提．在应用三段论进行推理的过程中，大前提、小前提或推理形式任何一个出现错误，都可能导致结论错误．【例题5】如图，在△ABC 中，AC ＞BC ，CD 是AB 边上的高．求证：∠ACD ＞∠BCD ．错解：证明：在△ABC 中，因为CD ⊥AB ，AC ＞BC ，所以AD ＞BD ，所以∠ACD ＞∠BCD ．反思：应用三段论证明问题时，必须保证大前提、小前提及推理过程全部正确．1若a ＞0，b ＞0，则有( ) A ．b 2a ＞2b －a B ．b 2a ＜2b －aC ．b 2a ≥2b －aD ．b 2a≤2b －a2“因为四边形ABCD 是矩形，所以四边形ABCD 的对角线相等”，上述推理的大前提是( )A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形3因为当a ＞0时，|a |＞0；当a ＝0时，|a |＝0；当a ＜0时，|a |＞0，所以当a 为实数时，|a |≥0.此推理过程运用的是演绎推理中的__________推理．4补充下列三段论：(1)因为互为相反数的两个数的和为0，又因为a 与b 互为相反数且__________，所以b ＝8.(2)因为____________________________________________________________________，又因为e ＝2.718 28…是无限不循环小数，所以e 是无理数． 答案： 基础知识·梳理1．正确结论 真 真【做一做1】A 选项B 为类比推理，选项C ，D 为归纳推理，由演绎推理的定义知，选项A 正确．2．(3)aRc【做一做2】C ①③④正确．②错误的原因是演绎推理的结论要为真，必须前提和推理形式都正确．典型例题·领悟 【例题1】解：(1)设P (x ，y )为函数h (x )图象上的任一点，点P 关于点A 的对称点为Q (x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－x ，y ′＝2－y .∵点Q (x ′，y ′)在函数f (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 的图象上， ∴y ′＝m ⎝⎛⎭⎫x ′＋1x ′. 将x ′＝－x ，y ′＝2－y 代入上式， 得2－y ＝m ⎝⎛⎭⎫－x －1x . 整理，得y ＝m ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2. 又点P (x ，y )满足h (x )＝14⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2， 即y ＝14⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2，∴m ＝14. (2)由(1)知，g (x )＝14⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋a 4x ＝14⎝⎛⎭⎫x ＋1＋a x . 设x 1，x 2是区间(0,2]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝14(x 1－x 2)·x 1x 2－(1＋a )x 1x 2＞0对一切x 1，x 2∈(0,2]恒成立．∴x 1x 2－(1＋a )＜0对一切x 1，x 2∈(0,2]恒成立．∵x 1x 2的最大值为4， ∴1＋a ＞4，∴a 的取值范围是(3，＋∞)．【例题2】证明：(1)等腰三角形的两底角相等，(大前提) △DAC 是等腰三角形，DA ，DC 是两腰，(小前提) ∠1＝∠2.(结论)(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等，(大前提) ∠1和∠3是平行线AD ，BC 被AC 截出的内错角，(小前提) ∠1＝∠3.(结论)(3)等于同一个量的两个量相等，(大前提) ∠2和∠3都等于∠1，(小前提) ∠2＝∠3.(结论) 即AC 平分∠BCD .(4)同理DB 平分∠CBA .【例题3】证明：∵a ＞0，b ＞0，且1＝a ＋b ≥2ab ， ∴ab ≤14.∴12(a ＋b )＋ab ＋14≤1.∴⎝⎛⎭⎫a ＋12⎝⎛⎭⎫b ＋12≤1. ∴2＋2⎝⎛⎭⎫a ＋12⎝⎛⎭⎫b ＋12≤4， 即⎝⎛⎭⎫a ＋12＋⎝⎛⎭⎫b ＋12＋2⎝⎛⎭⎫a ＋12⎝⎛⎭⎫b ＋12≤4. ∴⎝⎛⎭⎫a ＋12＋b ＋122≤4. ∴a ＋12＋b ＋12≤2. 【例题4】证明：当n ＝1时，f (1)＝(2＋7)×3＋9＝36，能被36整除； 当n ＝2时，f (2)＝(2×2＋7)×9＋9＝108＝36×3，能被36整除； 当n ＝3时，f (3)＝(2×3＋7)×27＋9＝360＝36×10，能被36整除； 当n ＝4时，f (4)＝(2×4＋7)×81＋9＝1 224＝36×34，能被36整除． 综上，当1≤n ≤4时，f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9能被36整除(n ∈N ＋)．【例题5】错因分析：上面的证明过程中，小前提由AD ＞BD 得出∠ACD ＞∠BCD 是错误的．因为只有在同一个三角形中才有大边所对的角较大这一结论．正解：证明：在△ABC 中，因为CD ⊥AB ， 所以∠ACD ＋∠A ＝∠BCD ＋∠B ＝90°. 又因为AC ＞BC ， 所以∠B ＞∠A ，所以∠ACD ＞∠BCD . 随堂练习·巩固1．C b 2－2ab ＋a 2≥0⇒b 2≥a (2b －a )⇒b 2a≥2b －a .2．B 由结论可得要证的问题是“对角线相等”，因此它应在大前提中体现出来． 3．完全归纳4．(1)a ＝－8 (2)无限不循环小数是无理数。

2.1.2演绎推理一、教学目标1．核心素养通过对演绎推理的学习，在数学体验中培养学生的抽象能力和逻辑推理的能力．2．学习目标(1)结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理．(2)结合生活中的实例，创设民主的学习氛围和生动的学习情景，鼓励，引导学生通过思考，质疑等丰富多彩的认知过程来获取数学知识(3)发展学习数学的兴趣，让学生乐于探究数与形变化的奥秘，体验数学探究的艰辛和喜悦，感受数学世界的奇妙和谐．(4)结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理．3．学习重点了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理4．学习难点分析证明过程中包含的“三段论”形式．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1预习教材P30—P33思考：什么是演绎推理？演绎推理的模式是什么？2．预习自测1．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误答案：C2．演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法（）A．一般的原理原则B．特定的命题C．一般的命题D．定理、公式答案：A3．下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤答案：D（二）课堂设计1．知识回顾现在冰雪覆盖的南极大陆，地质学家说它们曾在赤道附近，是从热带飘移到现在的位置的，为什么呢？原来在它的地底下，有着丰富的煤矿，煤矿中的树叶表明它们是阔叶树．从繁茂的阔叶树可以推知当时有温暖湿润的气候．所以南极大陆曾经在温湿的热带．被人们称为世界屋脊的西藏高原上，一座座高山高入云天，巍然屹立．西藏高原南端的喜马拉雅山横空出世，雄视世界．珠穆郎玛峰是世界第一高峰，登上珠峰顶，一览群山小．谁能想到，喜马拉雅山所在的地方，曾经是一片汪洋，高耸的山峰的前身，竟然是深不可测的大海．地质学家是怎么得出这个结论的呢？科学家们在喜马拉雅山区考察时，曾经发现高山的地层中有许多鱼类、贝类的化石．还发现了鱼龙的化石．地质学家们推断说，鱼类贝类生活在海洋里，在喜马拉雅山上发现它们的化石，说明喜马拉雅山曾经是海洋．科学家们研究喜马拉雅变迁所使用的方法，就是一种名叫演绎推理的方法．2．问题探究问题探究一什么是演绎推理●活动一1．什么是演绎推理？从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法．●活动二2．演绎推理的一般模式分析喜马拉雅山所在的地方，曾经是一片汪洋推理过程：鱼类、贝类、鱼龙，都是海洋生物，它们世世代代生活在海洋里……大前提在喜马拉雅山上发现它们的化石……小前提喜马拉雅山曾经是海洋……结论三段论（1）大前提……已知的一般原理（2）小前提……所研究的特殊情况（3）结论……根据一般原理，对特殊情况作出的判断三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c．”其中，b⇒c 为大前提，提供了已知的一般性原理；a⇒b为小前提，提供了一个特殊情况；a⇒c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．先看下面的例子：把下列语句写成三段论的形式：（1）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行；（2）在一个标准大气压下，水的沸点是100°C，所以在一个标准大气压下把水加热到100°C 时，水会沸腾；（3）一切奇数都不能被2整除，)12(100+是奇数，所以)12(100+不能被2整除；（4）三角函数都是周期函数，αtan是周期函数；tan是三角函数，因此α（5）两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A+∠B=180°解答如下：（1）大前提：太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行小前提：冥王星是太阳系的大行星结论：冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行(2) 大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100°C小前提：在一个标准大气压下把水加热到100°C时结论：水会沸腾（3）大前提：一切奇数都不能被2整除小前提：)12(100+是奇数结论：)12(100+不能被2整除（4）大前提：三角函数都是周期函数小前提：αtan是三角函数结论：αtan是周期函数（5）大前提：两条直线平行，同旁内角互补小前提：∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角结论：∠A+∠B=180°问题探究二三段论推理的可靠性●活动一三段论推理一定是可靠的吗？只有“大前提、小前提”都正确的前提下，“结论”才正确．看下面的例子：（1）有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”．这个推理是否正确？为什么？显然这个推理不正确，原因是大前提不正确．（2）两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行线的同位角，那么∠A ＋∠B＝180°显然这个推理不正确，原因是小前提不正确．问题探究三合情推理与演绎推理的区别●活动一归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取经验；也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、整理，使之条理化、系统化．合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要角色．就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程．但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．问题探究四活学活用演绎推理●活动一把演绎推理写成三段论的形式把演绎推理写成三段论的形式必须弄清问题的大前提、小前提和结论．例1 将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数．(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°．(3)菱形对角线互相平分．(4)通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．【知识点：演绎推理】详解：(1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)75不能被2整除．(小前提)75是奇数．(结论)(2)三角形的内角和为180°．(大前提)Rt△ABC是三角形．(小前提)Rt△ABC的内角和为180°．(结论)(3)平行四边形对角线互相平分．(大前提)菱形是平行四边形．(小前提)菱形对角线互相平分．(结论)(4)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列．(大前提)通项公式a n＝3n＋2，n≥2时，a n－a n＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提)－1通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．(结论)点拔：注意“三段论”的基本形式，即：“大前提、小前提和结论”．三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c．”其中，b⇒c为大前提，提供了已知的一般性原理；a⇒b为小前提，提供了一个特殊情况；a⇒c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．●活动二三段论在几何中的应用例2 已知在梯形ABCD中，如图，AB＝CD＝AD，AC和BD是梯形的对角线，求证：AC平分∠BCD，DB平分∠CBA．【知识点：演绎推理】 详解：∵等腰三角形两底角相等，(大前提)△DAC 是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角， (小前提) ∴∠1＝∠2．(结论)∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，(大前提)∠1和∠3是平行线AD 、BC 被AC 截得的内错角， (小前提) ∴∠1＝∠3．(结论) ∵等于同一个角的两个角相等，(大前提)∠2＝∠1，∠3＝∠1，(小前提) ∴∠2＝∠3，即AC 平分∠BCD ．(结论)同理可证DB 平分∠CBA ．例3 已知A ，B ，C ，D 四点不共面，M ，N 分别是△ABD 和△BCD 的重心，求证：MN ∥平面ACD ．【知识点：演绎推理，三角形的重心，线线平行，线面平行】详解：如图所示，连接BM ，BN 并延长，分别交AD ，DC 于P ，Q 两点，连接PQ ．因为M ，N 分别是△ABD 和△BCD 的重心， (小前提) 所以P ，Q 分别是AD ，DC 的中点． (结论)又因为BM MP ＝BN NQ ，(小前提)所以MN ∥PQ ， (结论)又MN⊄平面ADC，PQ⊂平面ADC，(小前提)所以MN∥平面ACD．(结论)点拔：(1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提．(2)几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．●活动三三段论在代数中的应用例4 已知a，b，m均为正实数，b＜a，用三段论形式证明ba＜b＋ma＋m【知识点：演绎推理，不等式的性质】详解：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提) b＜a，m＞0，(小前提)所以，mb＜ma．(结论)因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提) mb＜ma，(小前提)所以，mb＋ab＜ma＋ab，即b(a＋m)＜a(b＋m)．(结论) 因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)b(a＋m)＜a(b＋m)，a(a＋m)＞0，(小前提)所以，()()()()b a m a b ma a m a a m++<++，即b b ma a m+<+．(结论)点拔：使用三段论应注意的问题(1)应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论．(2)证明中常见的错误：①条件分析错误(小前提错)．②定理引入和应用错误(大前提错)．③推理过程错误等．●活动四三段论在应用中的易错问题例5 (1)定义在实数集R上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x－y)＋f(x＋y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数．【知识点：演绎推理，奇、偶函数】证明：令x＝y＝0，则有f(0)＋f(0)＝2f(0)×f(0)，因为f(0)≠0，所以f(0)＝1，令x＝0，则有f(－y)＋f(y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，所以f(－y)＝f(y)，因此，f(x)是偶函数．以上证明结论“f(x)是偶函数”运用了演绎推理的“三段论”，其中大前提是：___________________________．解析：通过两次赋值先求得“f(0)＝1”，再证得“f(－y)＝f(y)”，从而得到结论“f(x)是偶函数”．所以这个三段论推理的小前提是“f(－y)＝f(y)”，结论是“f(x)是偶函数”，显然大前提是“若对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数”．答案：若对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数(2)所有眼睛近视的人都是聪明人，我近视得很厉害，所以我是聪明人．下列各项中揭示了上述推理是明显错误的是________．【知识点：演绎推理】①我是个笨人，因为所有的聪明人都是近视眼，而我的视力那么好．②所有的猪都有四条腿，但这种动物有八条腿，所以它不是猪．③小陈十分高兴，所以小陈一定长得很胖，因为高兴的人都长得很胖．④所有尖嘴的鸟都是鸡，这种总在树上待着的鸟是尖嘴的，因此这种鸟是鸡．解析：根据④中的推理可得：这种总在树上待着的鸟是鸡，这显然是错误的．①②③不符合三段论的形式．答案：④点拔：解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式：大前提——小前提——结论，其中大前提是一个一般性的命题，即证明这个具体问题的理论依据．因此结合f(x)是偶函数的定义和证明过程容易确定本题答案．本题易误认为题目的已知条件为大前提而导致答案错误．3．课堂总结【知识梳理】比较：合情推理与演绎推理的区别与联系从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个体到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取经验；也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、整理，使之条理化，系统化，合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要的角色.就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．【难点突破】（1）检验假设和理论：演绎法对假说作出推论,同时利用观察和实验来检验假设．（2）逻辑论证的工具：为科学知识的合理性提供逻辑证明．（3）作出科学预见的手段：把一个原理运用到具体场合,作出正确推理．演绎推理是一种必然性推理,推理的前提是一般,推出的结论是个别,一般中概括了个别．事物有共性,必然蕴藏着个别,所以“一般”中必然能够推演出“个别”,而推演出来的结论是否正确,取决于：大前提是否真确,推理是否合乎逻辑．演绎法也有其局限,推理结论的可靠性受前提（归纳的结论）的制约,而前提是否正确在演绎范围内是无法解决的．归纳法和演绎法在认识论中的辩证关系：归纳法是由认识个别到认识一般；演绎法是由认识一般进而认识个别．4．随堂检测1．已知函数f(x)＝x3＋m·2x＋n是奇函数，则（）A．m＝0B．m＝0，或n＝0C．n＝0D．m＝0，且n＝0解：D【知识点：演绎推理，奇、偶函数】2．设a＝(x,4)，b＝(3,2)，若a∥b，则x的值是（）A．－6B．8 3C．－8 3D．6解：∵a ∥b ，∴x 3＝42，∴x ＝6． 故答案为D ． 3．设n 是自然数，则18(n 2－1)的值（ ） A ．一定是零 B ．不一定是偶数 C ．一定是偶数D ．是整数但不一定是偶数 答案：C解析：当n 为偶数时，18(n 2－1)＝0为偶数；当n 为奇数时(n ＝2k ＋1，k ∈N)，18(n 2－1)＝18(4k 2＋4k )·2＝k (k ＋1)为偶数．所以18(n 2－1)的值一定为偶数．答案为C4．等差数列{a n }中，a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，写出b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系________． 答案：b 4＋b 8>b 5＋b 7解析：将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b 4＋b 8>b 5＋b 7． （三）课后作业 基础型 自主突破1．“所有的金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此类推理类型属于（ ） A ．演绎推理 B ．类比推理 C ．合情推理 D ．归纳推理 答案：A【知识点：演绎推理】“所有的金属都能导电”是大前提，“铁是金属”是小前提，“铁能导电”是结论．此类推理类型属于演绎推理，故选A ．2．“e 是无限不循环小数，所以e 是无理数．”该命题是演绎推理中的三段论推理，其中大前提是（ ）A ．无理数是无限不循环小数B ．有限小数或有限循环小数为有理数C ．无限不循环小数是无理数D．无限小数是无理数答案：C【知识点：演绎推理】解：大前提是无限不循环小数是无理数，选C．3．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段认推理（）A．正确B．推理形式不正确C．不正确，两个“自然数”概念不一致D．不正确，两个“整数”概念不一致答案：A【知识点：演绎推理】解：大前提“凡是自然数都是整数”，正确；小前提“4是自然数”也正确；推理形式符合演绎推理，所以结论正确．4．推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形．”中的小前提是（）A．①B．③C．①②D．②答案：D【知识点：演绎推理】解：，其理由为“大前提：矩形是平行四边形；小前提：三角形不是平行四边形；结论：三角形不是矩形．”5．在△ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，则有EF//BC．这个命题的大前提为（）A．三角形的中位线平行于第三边B．三角形的中位线等于第三边的一半C．EF为中位线D．EF//BC答案：A【知识点：演绎推理】解：大前提是一个一般性的结论，故选A6．下列说法正确的是（ ）A ．类比推理是由特殊到一般的推理B ．演绎推理是由特殊到一般的推理C ．归纳推理是个别到一般的推理D ．合情推理可以作为证明的步骤答案：C【知识点：演绎推理】解：归纳推理是由部分到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；合情推理的结论不一定正确，不可以作为证明的步骤．故选C ．7．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A ．两条直线平行，同旁内角互补，因为∠A 和∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，所以∠A ＋∠B ＝180°B ．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中细亚的地质结构类似，而中细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽地区也蕴藏着丰富的石油C ．由633,835,1037,1257,1477=+=+=+=+=+，得出结论：一个偶数（大于4）可以写成两个素数之和D ．在数列{}n a 中，111111,2n n n a a a a --⎛⎫==+ ⎪⎝⎭（2n ≥），由此归纳出数列{}n a 的通项公式 答案：A【知识点：演绎推理】解：选项A 中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B 为类比推理，选项C 、D 都是归纳推理．能力型 师生共研1．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以20a >”．你认为这个推理（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．是正确的答案：A【知识点：演绎推理】解：大前提“任何实数的平方大于0”错误，应该是“任何实数的平方大于或等于0”．故选择A ．2．以下说法正确的个数是（ ）①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是类比推理；②农“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的；③由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质，这是运用了类比推理；④个位是5的整数是5的倍数，2 375的个位是5，因此，2 375是5的倍数，这是运用了演绎推理．A ．0B ．2C ．3D ．4答案：C【知识点：演绎推理】解：本题主要考查了几种推理与证明的判断．②③④都是正确的，对于①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是归纳推理，故选C ．3．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（ ）①函数cos ()y x x R =∈是三角函数；②三角函数是周期函数；③函数cos ()y x x R =∈是周期函数．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②①答案：B【知识点：演绎推理】解：∵“三段论”的结构是“若S 是P ，Q 是S ，则Q 是P”，故选择B ．4．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价)(a b b >以及实数)10(<<x x 确定实际销售价格)(a b x a c -+=，这里x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得)(a c -是)(c b -和)(a b -的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于______．答案：215-【知识点：演绎推理，等比数列，等比中项】解：∵)(a b x a c -+=，即()c a x b a -=---，∴()()b c b a x b a -=---①∵)(a c -是)(c b -和)(a b -的等比中项，即2()()()b c b a c a --=-将①两边同乘以)(a b -，可得22()()()()b c b a b a x b a --=---，即222()()()c a b a x b a -=---②根据)(a b x a c -+=，可得()c a x b a -=-，则222()()c a x b a -=-③由②③可得，2222()()()x b a b a x b a -=---又b a >，∴210x x +-=，解得：x =，又01x <<，∴x = ∴最佳乐观系数x 的值等于215-． 探究型 多维突破1．对于三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，给出定义)(''x f 是)(x f y =的导函数)('x f 的导函数，若方程0)(''=x f 有实数解0x ，则称点))(,(00x f x 为函数)(x f y =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若三次函数12532131)(23-+-=x x x x f ，请你根据这一发现，求： （1）12532131)(23-+-=x x x x f 的对称中心为____________；（2）=++⋯+++)20192018()20192017()20193()20192()20191(f f f f f ____________． 答案：)1,21(；2018 【知识点：演绎推理，函数与导数】解：（1）2()3f x x x '=-+，()21f x x ''=-，令''()0f x =得，12x =，又1()12f =，故对称中心为)1,21(．（2）由（1）可得：()(1)2f x f x +-=，12320172018()()()()()201820192019201920192019f f f f f +++⋯++=． 2．如右图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°．(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．答案：见解析解析：【知识点：演绎推理，棱锥的概念，锥体的体积，线线垂直，线面垂直，点到平面的距离】(1)∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ．由∠BCD ＝90°，得BC ⊥DC ．又PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PDC ．∵PC ⊂平面PDC ，∴BC ⊥PC ，即PC ⊥BC ．(2)连接AC ．设点A 到平面PBC 的距离为h ，∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°．从而由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1，由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13．∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥DC ，又PD ＝DC ＝1．∴PC ＝PD 2＋DC 2＝2．由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22，由V ＝13S △PBC ·h ＝13·22·h ＝13，得h ＝2．因此，点A 到平面PBC 的距离为2．（四）自助餐1．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行线的同旁内角，那么∠A ＋∠B ＝180°B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．某高校共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 解：A【知识点：演绎推理】2．在演绎推理中，只要________是正确的，结论必定是正确的．答案：大前提和推理过程【知识点：演绎推理】3．关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题：①其图象关于y 轴对称；②当x >0时，f (x )为增函数；③f (x )的最小值是lg2；④当－1<x <0，或x >1时，f (x )是增函数；⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中正确结论的序号是________．答案：①③④【知识点：演绎推理,函数的性质】易知f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，①正确．当x>0时，f(x)＝lg x2＋1 |x|＝lg(x＋1x)．∵g(x)＝x＋1x在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故②不正确，而f(x)有最小值lg2，故③正确，④也正确，⑤不正确．答案为①③④4．因为中国的大学分布在全国各地，大前提北京大学是中国的大学，小前提所以北京大学分布在全国各地．结论(1)上面的推理形式正确吗？为什么？(2)推理的结论正确吗？为什么？【知识点：演绎推理】解：(1)推理形式错误．大前提中的M是“中国的大学”它表示中国的所有大学，而小前提中M虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误．(2)由于推理形式错误，故推理的结论错误．5．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，当|x|≤1时，|f(x)|≤1，证明|c|≤1，并分析证明过程中的三段论．证明∵|x|≤1时，|f(x)|≤1．x＝0满足|x|≤1，∴|f(0)|≤1，又f(0)＝c，∴|c|≤1．证明过程中的三段论分析如下：大前提是|x|≤1，|f(x)|≤1；小前提是|0|≤1；结论是|f(0)|≤1．6．如图，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，试用三段论的形式证明EF∥平面BCD．【知识点：演绎推理，三角形的中位线，线面平行的判定】证明：连接BD ． ∵三角形的中位线平行于第三边，大前提而EF 是△ABD 的中位线，小前提∴EF ∥BD ．结论∵如果不在平面内的一条直线和该平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行，大前提而EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，且EF ∥BD ，小前提∴EF ∥平面BCD ．结论7．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n ，(n ＝1,2,3，…)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎪⎫S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n ．【知识点：演绎推理，数列的概念，等比数列】证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ＝1,2,3，…)，∴(n ＋2)S n ＝na n ＋1＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ，∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n (n ＝1,2,3，…)． 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为1，公比为2的等比数．(2)由(1)知，S n ＋1n ＋1＝2·S n n ＝4·S n －1n －1(n ≥2)，则S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4a n (n ≥2)． 又∵a 2＝3S 1＝3，∴S 2＝a 1＋a 2＝4＝4a 1． 故对任意的n ∈N *，有S n ＋1＝4a n ．数学视野类比推理虽然不能直接推动社会进步，但它在人们的认识中具有重要作用．它可以拓展人们的眼界，可以为人们改造和认识世界、推动社会进步提供一个有效的思维方法．1．类比推理是探索真理的重要逻辑形式类比推理是在已有知识的基础上进一步发展科学的一种有效的探索方法．在科学研究中具有开拓思路、提供线索、举一反三、触类旁通的作用，正如康德所说：“每当理智缺乏可靠的论证思路时，类比这个方法往往指引我们前进．”科学史上很多著名的发现是借助于类比推理而获得的．据历史记载，西拉克斯的国王为庆功谢神，命金匠打造了一顶纯金皇冠，要献给不朽的神．完工后，国王怀疑皇冠不纯，但在不毁坏皇冠的情况下找不到解决的方法，便请教好友阿基米德．这就是著名的皇冠问题．阿基米德苦思一段时间，也无所得．一日，他到澡堂洗澡，当他的身体进入浴池时，他敏锐地察觉到水位上升，由此受到启迪，产生联想，于是把在自己进入浴池中水位上升与求皇冠质量进行类比，发现了浮力原理这一共同规律，并解决了“皇冠问题”．在这之后，浮力原理被广泛应用于科学研究与生产生活之中．2．类比推理可以帮助人们提出科学假说类比推理是形成科学假说的重要推理形式．在科学史上，许多重要的科学假说都是利用类比推理的思维方法建立起来的．19世纪中叶，奥地利首都维也纳有一位医生，名叫奥恩布鲁格．有一次，他给一位病人看病，没有检查出什么严重疾病，但病人很快就死了．经过解剖尸体查看，发现胸膛积满脓水．医生想，以后再碰到这样的病人怎么诊断？忽然想起他父亲在经营酒店时，常用手指关节敲木质酒桶，听到卜卜的叩击声，就能估量出木桶中还有多少酒．他思考：人们的胸膛不是很像酒桶吗？他通过反复探索胸部疾病和叩击声音之间变化的关系，终于写出《用叩诊人体胸部发现胸膛内部疾病的新方法》的医学论文，发明了“叩诊”这一医疗方法．在上例中，奥恩布鲁格就是运用类比推理把“酒桶和装酒量”与“人的胸膛和胸腔积水”作类比：同是封闭的物体，内藏液体，叩击时能发出声音等，从而根据叩桶知酒量而推出叩胸知病情的结论．此外，在科学发展史上，惠更斯提出的光的波动假说，卢瑟福及其学生提出的原子结构的行星模型假说，也都是运用类比推理建立了巨大的功绩．3．类比推理为现代科学技术经常应用的仿生学提供了理论基础自然界的动植物，它们的生长都极为巧妙，它们是孕育出新事物、新方法绝无仅有的好样板．人类还在蒙昧的幼年时期，为了生存繁衍，便开始模仿大自然，利用类比的方法，从自然界万事万物身上吸取有利于自己生存的优点，用来武装自己，改变命运．20世纪30年代出现的仿生学，就是专门研究生物系统的结构和功能，并将生物的某些特征应用到我们的创造发明之中，以创造先进技术装置的新学科．人类对自然的模仿，正是建立在类比推理的理。

教学设计2．1.2演绎推理整体设计教材分析《演绎推理》是高中数学中的基本思维过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，是正确进行逻辑推理必不可少的基础知识，是高考热点．演绎推理具有证明结论、整理和构建知识体系的作用，是公理体系中的基本推理方法．本节内容相对比较抽象，教学中应紧密结合已学过的生活实例和数学实例，让学生了解演绎推理的含义，并在上一节学习的基础上，了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异，同时纠正推理过程中可能犯的典型错误，增强学生的好奇心，激发出潜在的创造力，使学生能正确应用合情推理和演绎推理去进行一些简单的推理，证明一些数学结论．课时划分1课时．教学目标1．知识与技能目标了解演绎推理的含义，了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别，能正确地运用演绎推理，进行简单的推理．2．过程与方法目标了解和体会演绎推理在日常生活和学习中的应用，培养学生的逻辑推理能力，使学生学会观察，大胆猜想，敢于归纳、挖掘其中所包含的推理思路和思想；明确演绎推理的基本过程，提高学生的创新能力．3．情感、态度与价值观通过本节课的学习，体验推理源于实践，又应用于实践的思想，激发学生学习的兴趣，培养学生勇于探索、创新的个性品质．重点难点重点：正确地运用演绎推理进行简单的推理证明．难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．教学过程引入新课观察与思考：新学期开始了，班里换了新的老师，他们是林老师、王老师和吴老师，三位老师分别教语文、数学、英语．已知：每个老师只教一门课；林老师上课全用汉语；英语老师是一个学生的哥哥；吴老师是一位女教师，她比数学老师活泼．问：三位老师各上什么课？活动设计：让学生带着浓厚的兴趣，先独立思考，然后小组交流．引导分析：启发学生把自己的思考过程借助于下列表格展示出来，从而解决问题．注意与学生交流．学情预测：开始学生的回答可能不全面、不准确，但在其他学生的不断补充、纠正下，会趋于准确．活动结果：林老师——数学，王老师——英语，吴老师——语文．设计意图本着“兴趣是最好的老师”的原则，结合生活中具体的实例，激发学生学习的兴趣，让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习气氛，体会演绎推理的现实意义．探究新知判断下列推理是合情推理吗？分析推理过程，明确它们的推理形式．(1)所有的金属都能导电，铜是金属，所以，铜能够导电．(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以，(2100＋1)不能被2整除．(3)三角函数都是周期函数，tanα是三角函数，所以，tanα是周期函数．活动设计：学生口答，教师板书．学情预测：学生积极思考片刻，有学生举手回答且回答准确．活动结果：以上推理不是合情推理，它们的推理形式如下：(1)所有的金属都能导电，第一段铜是金属，第二段所以，铜能够导电．第三段(2)一切奇数都不能被2整除，第一段(2100＋1)是奇数，第二段所以，(2100＋1)不能被2整除．第三段(3)三角函数都是周期函数，第一段tanα是三角函数，第二段所以，tanα是周期函数．第三段提出问题：对于上面的三个推理，它们的推理形式有什么特点？活动设计：学生独立思考，并自由发言．学情预测：通过观察和分析，学生有足够的能力来解决上面所提问题．活动结果：上面的例子都有三段，是以一般的判断为前提，得出一些个别的、具体的判断：(1)所有的金属都能导电，大前提铜是金属，小前提所以，铜能够导电．结论(2)一切奇数都不能被2整除，大前提(2100＋1)是奇数，小前提所以，(2100＋1)不能被2整除．结论(3)三角函数都是周期函数，大前提tanα是三角函数，小前提所以，tanα是周期函数．结论教师：演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．1．演绎推理是由一般到特殊的推理；2．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．设计意图通过对演绎推理概念的学习，体会以“三段论”模式来说明演绎推理的特点，从中概括出演绎推理的推理过程，对演绎推理是一般到特殊的推理有一个直观的认识，训练和培养学生的演绎推理能力．理解新知提出问题：在应用“三段论”进行推理的过程中，得到的推理结论一定正确吗？为什么？例如：(1)所有阔叶植物都是落叶的，葡萄树是阔叶植物，所以，葡萄树都是落叶的．(2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，而菱形是所有边长都相等的凸多边形，所以菱形是正多边形．(3)英雄难过美人关，我难过美人关，所以，我是英雄．活动设计：学生独立思考，先有学生自由发言，然后教师小结并形成新知．学情预测：学生们在积极思考，对(2)(3)两个小题的结论产生分歧，意见不统一．活动结果：(1)推理形式正确，前提正确，结论正确．(2)推理形式正确，大前提错误，结论错误．(3)推理形式错误(大、小前提没有连接起来)，结论错误．教师：通过上面的学习，学生们对演绎推理和“三段论”模式都有了更深的了解，其中特别注意：(1)三段论的基本格式M—P(M是P)(大前提)S—M(S是M)(小前提)S—P(S是P)(结论)(2)三段论推理的依据，用集合的观点来理解：若集合M的所有元素都具有性质P，S 是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.(3)在演绎推理中，只有前提和推理形式都正确，结论才是正确的．设计意图通过所举的例子，教师可以了解学生对演绎推理和三段论模式的理解程度，明确概念的内涵和外延，加深理解，及时更正学生在认识推理中产生的错误和偏差．提出问题：合情推理与演绎推理有什么区别与联系？活动设计：学生独立思考，先由学生自由发言，然后教师小结并形成新知．活动结果：设计意图通过比较合情推理与演绎推理的区别与联系，有助于学生更清晰地理解和掌握这两种推理方法，并能灵活应用．运用新知例1如图，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D ，E 是垂足，求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等．思路分析：根据三段论的推理过程进行证明．证明：(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，——大前提 在△ABC 中，AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°，——小前提 所以△ABD 是直角三角形．——结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，——大前提 因为DM 是直角三角形ABD 斜边上的中线，——小前提 所以DM ＝12AB.——结论同理EM ＝12AB.所以DM ＝EM.点评：通过对上述问题的证明，挖掘其中包含的推理思路，使学生明确演绎推理的基本过程，突出演绎推理中的“大前提”“小前提”和“结论”．巩固练习由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理得出一个结论，则这个结论是( )A ．正方形的对角线相等B ．平行四边形的对角线相等C ．正方形是平行四边形D ．其他 答案：A例2证明函数f(x)＝－x 2＋2x 在(－∞，1)内是增函数．思路分析：证明本例所依据的大前提是：在某个区间(a ，b)内，如果f ′(x)>0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递增．小前提是f(x)＝－x 2＋2x 在(－∞，1)内有f ′(x)>0，这是证明本例的关键． 证明：f ′(x)＝－2x ＋2，因为当x ∈(－∞，1)时，有1－x>0， 所以f ′(x)＝－2x ＋2＝2(1－x)>0，于是，根据“三段论”，可知f(x)＝－x 2＋2x 在(－∞，1)内是增函数．点评：通过对上述问题的证明，挖掘其中包含的推理思路，使学生明确演绎推理的基本过程，并加深对演绎推理的认识．教师：许多学生能写出证明过程，但不一定非常清楚证明的逻辑规则，因此在表述证明过程时往往显得杂乱无章，通过这两个例子的教学，应当使这种状况得到改善．变练演编(1)已知a ，b ，m 均为正实数，且b<a ，求证：b a <b ＋ma ＋m.(2)已知△ABC 的三条边分别为a ，b ，c ，则1＋ <1＋.思路分析：(1)中根据演绎推理的证明过程进行证明；(2)中不必证明，答案不唯一． 证明：(1)不等式两边乘以同一个正数，不等式仍成立，——大前提 b<a ，m>0，——小前提 所以mb<ma.——结论不等式两边加上同一个数，不等式仍成立，——大前提 mb<ma ，ab ＝ab ，——小前提所以ab ＋mb<ab ＋ma ，即b(a ＋m)<a(b ＋m)．——结论不等式两边除以同一个正数，不等式仍成立，——大前提 b(a ＋m)<a(b ＋m)，a(a ＋m)>0，——小前提 所以，b (a ＋m )a (a ＋m )<a (b ＋m )a (a ＋m )，即b a <b ＋m a ＋m .——结论(2)c 1＋c <a ＋b 1＋a ＋b (答案不唯一，例如a1＋a <c ＋b 1＋c ＋b)． 点评：通过证明(1)中不等式成立，感知条件与结论的不唯一性，例如：已知a ，b ，m 均为正实数，若a<b ，求证：a b <a ＋mb ＋m.(2)中加强学生思维的灵活性、分析问题的深刻性．活动设计：学生讨论交流并回答问题，老师对不同的合理答案给予肯定，将所有发现的结论一一列举，并由学生予以评价．设计意图通过变练演编，使学生对演绎推理的认识不断加深，同时培养学生逻辑思维的严谨性． 达标检测1．下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A ．①②③B ．②③④C ．②④⑤D ．①③⑤2．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误3．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内的所有直线；已知直线b 平面α，直线a 平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”，结论显然是错误的，这是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误 答案：1.D 2.C 3.A课堂小结1．知识收获：(1)演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．2．方法收获：利用演绎推理判断进行证明的方法与步骤：①找出大前提；②找出小前提；③根据“三段论”推出结论．3．思维收获：培养和训练学生严谨缜密的逻辑思维．布置作业课本本节练习1、2、3.补充练习基础练习1．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论．2．下面说法正确的有()(1)演绎推理是由一般到特殊的推理；(2)演绎推理得到的结论一定是正确的；(3)演绎推理的一般模式是“三段论”形式；(4)演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列几种推理过程是演绎推理的是()A．5和22可以比较大小B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C．东升高中高二年级有15个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D．预测股票走势图4．已知△ABC，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a<b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B，∴a<b，画线部分是演绎推理的()A．大前提B．小前提C．结论D．三段论5．用演绎推理法证明y＝x是增函数时的大前提是______．答案：1.解：二次函数的图象是一条抛物线(大前提)，函数y＝x2＋x＋1是二次函数(小前提)，所以，函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线(结论)．2．C 3.A 4.B 5.增函数的定义拓展练习6．S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.证明：如图，作AE⊥SB于E.∵平面SAB⊥平面SBC，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.∵SA∩AE＝A，SA⊂平面SAB，AE⊂平面SAB，∴BC⊥平面SAB.∵AB⊂平面SAB，∴AB⊥BC.设计说明由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学方式会使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是上好本节课的关键．教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去总结概念“下定义”，去体会概念的本质属性．学生对于演绎推理和三段论的理解，需要经过一定时间的体会，先给出学生常见问题的解决步骤，结合以前所学的知识来解决问题，在教学中经常借助这些概念表达、阐述和分析问题．引导学生从日常生活中的推理问题出发，激发学生的学习兴趣，结合学生熟知的旧知识归纳新知识，同时在应用新知的过程中，将所学的知识条理化，使学生的认知结构更趋于合理．备课资料例1小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一起议论．小王说：“我肯定考上重点大学．”小刘说：“重点大学我是考不上了．”小张说：“要是不论重点不重点，我考上肯定没问题．”发榜结果表明，三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个，并且他们三个人的预言只有一个人是对的，另外两个人的预言都同事实恰好相反．可见() A．小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上重点大学B．小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上重点大学C．小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上一般大学D．小王考上一般大学，小刘考上重点大学，小张没考上解析：根据推理知识得出结论．答案：C例2已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m∥β，给出下列四个命题：(1)若α∥β，则l⊥m；(2)若l⊥m，则α∥β；(3)若α⊥β，则l∥m；(4)若l∥m，则α⊥β.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：根据演绎推理的定义，逐一判断结论的正误．由直线和平面、平面和平面平行和垂直的判定定理、性质定理，可知应选B.答案：B点评：以准确、完整地理解条件为基础，才能判断命题的正误．例3函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是______．解析：根据函数的性质进行判断．∵函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，∴0＜x＋2＜2，即－2＜x＜0.∴函数y＝f(x＋2)在(－2,0)上是增函数．又∵函数y＝f(x＋2)是偶函数，∴函数y＝f(x＋2)在(0,2)上是减函数．由图象可得f(2.5)>f(1)>f(3.5)．故应填f(2.5)>f(1)>f(3.5)．答案：f(2.5)>f(1)>f(3.5)点评：根据函数的基本性质，结合三段论的推理模式可得．例4已知lg2＝m，计算lg0.8.分析：利用所学的推理知识解决问题．解：lga n＝nlga(a>0)，——大前提lg8＝lg23，——小前提lg8＝3lg2.——结论lg ab＝lga－lgb(a>0，b>0)，——大前提lg0.8＝lg 810，——小前提所以lg0.8＝lg8－1＝3lg2－1＝3m－1.——结论点评：找出三段论的大前提与小前提即可得到答案．(设计者：李小青)。