2019版高中全程复习数学(文)课时作业：第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入24含答案

课时作业(二十三)1. C[解析] ①中说法不正确,单位向量的起点相同时,终点在以起点为圆心的单位圆上;②中说法不正确,两向量不能比较大小;③中说法不正确,当λ=μ=0时,a与b可能不共线;④中说法显然正确.选择C.2. D[解析] 由向量加法的平行四边形法则知四边形ABCD是平行四边形.3. A[解析] 由+-=0得+=,如图,由O为△ABC外接圆的圆心,结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形,且∠CAO=60°,故△ABC的内角A等于30°.故选A.4.-2[解析] 因为D是BC的中点,所以+=2.由++=0,得=.又=λ,所以点P 是以AB,AC为邻边的平行四边形的第四个顶点(如图所示),因此=+=2=-2,所以λ=-2.5.-a+b [解析] =-,=+=b+a,所以=b+a-a=b-a.6. D[解析] 依题意设c=λd,得ka+b=λ(a-b).因为a与b不共线,所以λ-k=0且λ+1=0,所以k=λ=-1,所以c与d反向.故选D.7. C[解析] 由已知,得=++=-8a-2b=2(-4a-b)=2,故∥.又因为与不共线,所以四边形ABCD是梯形.8. D[解析] ∵++=,∴++=-,∴=-2=2,∴P是AC边的一个三等分点.故选D.9. D[解析] 因为=λ=λ(+)=λ+λ,=,=,所以=λ+λ,而P,M,N 三点共线,所以λ+λ=1,解得λ=.10. B[解析] 作∠BAC的角平分线AD,与BC交于点D.∵=+λ,∴=λ=λ'·,λ'∈[0,+∞),即=·,∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.11.+[解析] 在Rt△AOB中,∠B=30°,则AB=2OA,在Rt△AOC中,∠AOC=30°,则OA=2AC,所以AB=4AC.=+=+=+(-)=+.12.-[解析] 因为a+λb与-(b-3a)共线,所以存在非零实数μ,使a+λb=μ(3a-b),即-所以-13.解:因为平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,BF=BC,所以=+=+=+=b+a,=-=+-=a+b-b=a-b.14.解:d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2,要使d与c共线,则应有实数k,使d=kc,即得λ=-2μ.(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2,所以--故存在实数λ,μ,当λ=-2μ时,d与c共线.15. D[解析] 如图所示,D为AB上靠近点B的三等分点,以AD,AC为邻边构造平行四边形ADEC,DE 与BC交于点F,则点P位于线段DF(包括端点)上.易知DF=AC=,∠ADF=120°,AF2=AD2+DF2-2AD·DF·cos 120°=,即AF=,由图可知||max=AF=,||min=AD=2,则||的取值范围为.16.-2[解析] 如图所示,作BM∥AD交AC于M,BN∥AC交AD于N,则AM∥BN且AM=BN.由题意知,当λ取得最大值时,点E与点B重合.在Rt△ABC中,||=||,在△ABM中,由正弦定理,得||==-||,则λ==-.在Rt△ABD中,||=||,在△ABN中,由正弦定理,得||==-||,则μ==-,∴λ-μ=-2.课时作业(二十四)1. B[解析] 由题图知,①中,不共线;③中,不共线,故选B.2. C[解析] 2a+b=2(-2,1)+(1,-1)=(-3,1).3. A[解析] a=(3,1),b=(x,-1),故a-b=(3-x,2),若a-b与b共线,则2x=x-3,解得x=-3.4. (0,6)[解析] =+=(0,6).5.-e1+e2[解析] 如图,=-=+2=+=-+(-)=-e2+(e2-e1)=-e1+e2.6. D[解析] (ka+b)∥(a-3b)⇒(k-3,2k+2)∥(10,-4)⇒10(2k+2)=-4(k-3)⇒k=-,故选D.7. D[解析] 因为a∥b,所以sin θ×1-(cos θ-sin θ)(cos θ+sin θ)=0,即sin θ-(cos2θ-sin2θ)=0,消去cos θ,得2sin2θ+sin θ-1=0,解得sin θ=-1或sin θ=.当sin θ=-1时,a=b=(-1,1),与a≠b矛盾,所以舍去sin θ=-1;当sin θ=时满足条件a≠b,所以θ=.故选D.8. A[解析] ∵M为边BC上任意一点,∴可设=x+y(x+y=1).∵N为AM的中点,∴==x+y=λ+μ,∴λ+μ=(x+y)=.9. C[解析] 因为a与b共线,所以y-1-x-=0,则y=x2-3x+1=(x-3)2-,所以当x=3时,y min=-.10. C[解析] 因为a=(cos x,-sin x),b=--,且a=tb,t≠0,所以cos x cos x-(-sin x)(-sin x)=0,即cos2x-sin2x=0,所以tan2x=1,则tan x=±1,所以x=+(k∈Z),2x=kπ+(k∈Z),所以sin 2x=±1. 11. 1[解析] 在平行四边形ABCD中,=λ+μ,=+,=-,则=λ(+)+μ(-)=(λ+μ)+(λ-μ),所以λ+μ=1,λ-μ=0.12.a-b [解析] 设e1+e2=ma+nb.因为a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.由平面向量基本定理,得-解得-故e1+e2=a-b.13.解:(1)由已知得=(2,-2),=(a-1,b-1).∵A,B,C三点共线,∴∥,即2(b-1)+2(a-1)=0,即a+b=2.(2)∵=2,∴(a-1,b-1)=2(2,-2),∴---解得-∴点C的坐标为(5,-3).14.解:(1)=t1+t2=t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2).当点M在第二或第三象限时,有故所求的充要条件为“t2<0且t1+2t2≠0”.(2)证明:当t1=1时,由(1)知=(4t2,4t2+2).因为=-=(4,4),=-=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2,且与有公共点A,所以不论t2为何实数,A,B,M三点都共线.15. 9[解析] 因为m∥n,所以a(b-1)=4b,即a+4b=ab,因为a,b均为正实数,所以+=1,所以a+b=(a+b)=5++≥5+4=9,当且仅当a=6,b=3时等号成立,所以a+b的最小值为9.16. 2[解析] 如图所示,以O为坐标原点,所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(1,0),B-,设∠AOC=α,则C(cos α,sin α),由=x+y,得-所以x=cos α+sin α,y=sin α,所以x+y=cos α+α=2sin,又α∈,所以α+∈,所以sin∈,故x+y的最大值为2.课时作业(二十五)1. C[解析] (a-b)2=(a+b)2-4a·b=(2)2-4×2=4,∴|a-b|=2.2. C[解析] 依题意得=-,即=-,所以x+2y=-5.故选C.3. A[解析] ∵a=(1,-2),b=(1,1),∴m=a+b=(2,-1),n=a-λb=(1-λ,-2-λ).∵m⊥n,∴m·n=2(1-λ)+(-1)(-2-λ)=0,解得λ=4.4.-5[解析] (a-b)·(a+b)=a2-b2=4-9=-5.5.a2[解析] 由菱形的性质得||=a,||=a,且,的夹角为,所以·=a2.6. A[解析] 由等边三角形的性质得||=||=,<,>=120°,所以·=||||cos<,>=××-=-.7. A[解析] 因为a+b=(1,3),a-b=(3,7),所以|a+b|2-|a-b|2=4a·b=10-58=-48,则a·b=-12.8. B[解析] 向量a=(1,x-1),b=(y,2),若a⊥b,则a·b=y+2(x-1)=0,所以2xy≤=1,即xy≤,当且仅当x=,y=1时,xy取得最大值,故选B.9. A[解析] 由AC=,AB=2,∠BAC=135°,可得·=||·||·cos∠BAC=2×-=-2.由D是BC的中点,可得=(+).=2,即有==(+),则·=(-)·(-)=-·-=--+·=-×4-×2-×2=-. 10. D[解析] 由向量的运算法则可知(a+b)⊥(a-b),(a+b)2+(a-b)2=4.设|a+b|=2cos θ,|a-b|=2sin θ,则|a+b|+|a-b|=2cos θ+2sin θ=2cos-,所以|a+b|+|a-b|的最大值为2.11. 2[解析] 如图所示,由已知得F1+F2+F3=0,∴F3=-(F1+F2).=++2F1·F2=++2|F1||F2|cos 60°=28,∴|F3|=2.12. 3[解析] ∵·=0,∴AC⊥BD.∵(+)·(+)=5,∴(+++)·(+++)=(+)·(+)=-=5,∴=+5=9,∴AC=3,∴四边形ABCD的面积S=×AC·BD=×3×2=3.13.解:由已知得,a·b=4×8×-=-16.(1)①因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(-16)+64=48,所以|a+b|=4.②因为|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2=16×16-16×(-16)+4×64=768,所以|4a-2b|=16.(2)因为(a+2b)⊥(ka-b),所以(a+2b)·(ka-b)=0,所以ka2+(2k-1)a·b-2b2=0,即16k-16(2k-1)-2×64=0,解得k=-7,即k=-7时,(a+2b)⊥(ka-b).14.解:(1)由m·n=-,得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-,所以cos A=-.因为0<A<π,所以sinA=-=--=.(2)由正弦定理,得=,则sin B===,因为a>b,所以A>B,又B是△ABC一个内角,所以B=.由余弦定理得(4)2=52+c2-2×5c×-,解得c=1或c=-7(舍去),故向量在方向上的投影为||cos B=c cos B=1×=.15. A[解析] ∵a,b,c均为非零向量,a·c=b·c⇔(a-b)·c=0,∴a=b或(a-b)⊥c,∴“a=b”是“a·c=b·c”的充分不必要条件.故选A.16.-2[解析] 由AM为△ABC的中线,可知M为BC的中点,则+=2,=+,则·(+)=(+)·2=2+2·=2||2-4||=2(||-1)2-2,当||=1时,·(+)的最小值为-2.课时作业(二十六)1. A[解析] ∵z=1+i,∴-=1-i,则复数z的共轭复数-的虚部为-1.2. B[解析] 在复平面内,复数z的对应点为(1,1),∴z=1+i,∴z2=(1+i)2=2i.3. C[解析] 依题意得,复数z=--=i(1-2i)=2+i,其在复平面内对应的点的坐标是(2,1),点(2,1)关于虚轴对称的点为A(-2,1),所以点A对应的复数为-2+i.4. 1-i[解析] 复数=--=1-i.5.一[解析] 依题意知cos θ>0,-sin θ<0,即cos θ>0,sin θ>0,所以θ为第一象限角.6. B[解析] 由题得z=2+i,所以z1=+i=-+i=+i.7. B[解析] 因为(1+z)(1+i)=(1+a i)(1+i)=(1-a)+(1+a)i为实数,所以1+a=0,a=-1,因此|z+2|=|-i+2|==.8. A[解析] 因为=1-a i=b+2i(a,b∈R),所以b=1,a=-2,则a-b=-3.9. C[解析] ∵z=-=-==i,∴z2017=(i4)504·i=i.10. C[解析] ∵=--=-=a+b i,∴a=,b=-,∴lg(a+b)=lg 1=0.11. B[解析] 由=1-y i,得--=1-y i,即-=1-y i,∴解得∴x+y i=2+i,其共轭复数为2-i,故选B.12.[解析] 设z=a+b i,则-=a-b i,由z+2-=3+2i,得3a-b i=3+2i,∴a=1,b=-2,∴|z|=-=.13. 5[解析] 由=x+y得3-2i=x(-1+2i)+y(1-i)=(-x+y)+(2x-y)i,所以---解得故x+y=5.14. 3[解析] -+z2=+(a2-10)i+-+(2a-5)i=-+[(a2-10)+(2a-5)]i=--+(a2+2a-15)i.因为-1+z2是实数,所以a2+2a-15=0,解得a=-5或a=3.又因为a+5≠0,所以a≠-5,故a=3.15. A[解析] 因为m+(m2-4)i>0,所以m+(m2-4)i是实数,且-⇒m=2,故-=-=i.16. B[解析] z=-=--cos θi,则z为纯虚数,则-解得θ=2kπ+(k∈Z)或θ=2kπ+π(k∈Z),结合题意可知“z=-(其中i是虚数单位)是纯虚数”是“θ=+2kπ(k∈Z)”的必要不充分条件.。

第24讲 平面向量的概念及其线性运算[解密考纲]本考点重点考查向量的概念、线性运算，多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等偏下．一、选择题1．在△ABC 中，已知M 是BC 的中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM →＝( A ) A ．12a －b B ．12a ＋b C ．a －12bD ．a ＋12b解析 AM →＝AC →＋CM →＝－CA →＋12CB →＝－b ＋12a ，故选A ．2．(2018·河北石家庄模拟)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是( D )A ．a ＋b ＝0B ．a ＝bC ．a 与b 共线反向D ．存在正实数λ，使a ＝λb解析 因为a ，b ，是两个非零向量，且|a ＋b|＝|a|＋|b|，则a 与b 共线同向，故D 正确．3．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，实数λ∈(1,2)，则( B ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，M ，B 一定共线解析 ∵OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，∴OM →－OA →＝λ(OB →－OA →)，∴AM →＝λAB →.∵λ∈(1,2)，∴点B 在线段AM 上．4．如图所示，在△ABC 中，若BC →＝3DC →，则AD →＝( C )A ．23AB →＋13AC →B ．23AB →－13AC →C ．13AB →＋23AC →D ．13AB →－23AC → 解析 AD →＝CD →－CA →＝13CB →－CA →＝13(AB →－AC →)＋AC →＝13AB →＋23AC →，故选C ．5．(2018·甘肃兰州模拟)已知D 为△ABC 的边AB 的中点，M 在边DC 上且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( C )A ．15 B ．25 C ．35D ．45解析 由5AM →＝AB →＋3AC →得2AM →＝2AD →＋3AC →－3AM →，则2(AM →－AD →)＝3(AC →－AM →)，即2DM →＝3MC →，故DM →＝35DC →，故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5，故S △ABM ∶S △ABC ＝3∶5.6．(2018·云南大理模拟)已知O 是△ABC 所在平面外一点且满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ为实数，则动点P 的轨迹必须经过△ABC 的( B ) A ．重心 B ．内心 C ．外心D ．垂心解析 如图，设AB→|AB →|＝AF →，AC →|AC →|＝AE →，已知AF →，AE →均为单位向量．故▱AEDF 为菱形，所以AD 平分∠BAC ， 由OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|得AP →＝λAD →，又AP →与AD →有公共点A ，故A ，D ，P 三点共线，所以P 点在∠BAC 的平分线上，故P 的轨迹经过△ABC 的内心．二、填空题7．已知m ，n 满足|m|＝2，|n|＝3，|m －n|＝17，则|m ＋n|＝__3__.解析 由平行四边形的对角线与边的关系及|m －n|与|m ＋n|为以m ，n 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，得|m －n|2＋|m ＋n|2＝2|m|2＋2|n|2＝26，又|m －n|＝17，故|m ＋n|2＝26－17＝9，故|m ＋n|＝3.8．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝__3__.解析 由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，则AM →＝23AD →，因为AD 为中线，则AB →＋AC →＝2AD →＝3AM →，所以m ＝3.9．设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为__－1__.解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λBD →，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1．三、解答题10．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，CD →＝13CA →＋λCB →，求实数λ的值．解析 如图，D 是AB 边上一点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，过点D 作DF ∥AC ，交BC 于点F ，连接CD ，则CD →＝CE →＋CF →.因为CD →＝13CA →＋λCB →，所以CE →＝13CA →，CF →＝λCB →.由△ADE ∽△ABC ，得DE BC ＝AE AC ＝23，所以ED →＝CF →＝23CB →，故λ＝23.11．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，若AE →＝mAB →＋AD →，求实数m 的值．解析 由N 是OD 的中点得AN →＝12A D →＋12AO →＝12AD →＋14(AD →＋AB →)＝34AD →＋14AB →，又因为A ，N ，E 三点共线，故AE →＝λAN →，即mAB →＋AD →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫34AD →＋14AB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14λ，1＝34λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，λ＝43，故实数m ＝13.12．如图，△ABC 中，GA →＋GB →＋GC →＝0，CA →＝a ，CB →＝b .若CP →＝m a ，CQ →＝n b ，CG ∩PQ ＝H ，CG →＝2CH →，求1m ＋1n的值．解析 由GA →＋GB →＋GC →＝0，知G 为△ABC 的重心，取AB 的中点D ，则CH →＝12CG →＝13CD →＝16(CA→＋CB →)＝16m CP →＋16n CQ →，由P ，H ，Q 三点共线，得16m ＋16n ＝1，则1m ＋1n＝6.。

第三节平面向量的数量积及其应用［考纲传真］1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2 了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.双基自主测评I基础知识环能力全面巩固■(对应学生用书第61页)［基础知识填充］1. 向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图4-3-1 ,作0A= a, 0B= b，则/ AOB=0 (0 °w 0 < 180° )叫作a与b的夹角.0 b B图4-3-1(2)当0 = 0°时，a与b共线同向.当0 = 180°时，a与b共线反向.当0 =90°时，a与b互相垂直. '—2•平面向量的数量积(1) 定义：已知两个非零向量a和b,它们的夹角为0，则数量| a|| b| • cos 0叫做a与b的数量积(或内积).规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2) 几何意义：数量积a • b等于a的长度| a|与b在a的方向上的投影| b|cos 0的乘积Jk 曜或b的长度| b|与a在b方向上射影| a|cos 0的乘积.3. 平面向量数量积的运算律(1) 交换律：a • b= b • a；(2) 数乘结合律：(入a) • b=入(a • b) = a •(入b)；(3) 分配律：a •( b+ c) = a • b+ a • C.4. 平面向量数量积的性质及其坐标表示122结论几何表示坐标表小2| a || b |cos 0夹角a - bcos 0 — . [[ i .|a || b |X 1X 2+ y 1y 2cos 0 — . y, ------------------------------- .,,V X 2 + y2^/X 2 + y 2a 丄ba -b — 0X 1X 2+ y 1y 2— 0|a • b | 与 | a || b | 的关系|a - b | w| a || b || X 1X 2+ y 1y 2| w 寸X 1 + y 2 •寸 X 2+ y ；［知识拓展］1两个向量a , b 的夹角为锐角？ a •b >0且a , b 不共线;两个向量a ，b 的夹角为钝角？ a •b <0且a , b 不共线. 2 •平面向量数量积运算的常用公式 (1)( (2)( (3)(2 2a +b ) •( a -b ) = a — b .2 2 2a +b ) = a + 2a • b + b .a -b )2= a 2-2a • b + b 2.3.当a 与b 同向时，a •b = | a||b1.当a 与b 反向时，a ・b = — |a||b |.［基本能力自测］(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X” (1) 两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量.由 a - b = 0,可得 a = 0 或 b = 0.()由a - b = a - c 及a ^0不能推出b = C.()2. 在四边形 ABCDh AB- DC &AC- BD= 0,则四边形 ABCD 为矩形•( [答案](1) V (2) X (3) V(2016 -全国卷川)已知向量BA=A . 30° ,1，则/ ABC=(3.C. 60°D. 120°A [因为BA=2, -2 , BC > 三3, 1，所以 E3A- £=¥+石3=_23.又因为 B A- B <> I B AII 航cos / ABC= 1X 1X cos / ABC 所以 cos / 又 0°<Z ABCc 180°,所以/ABC= 30° .故选 A .](2015 •全国卷 n )向量 a = (1 , - 1), b = ( — 1,2)，则(2a + b ) - a =()A . - 1 B. 0 C. 1D. 22C [法: T a = (1 , — 1) , b = ( — 1,2) ,.•. a = 2, a • b =— 3, 从而(2a + b ) • a = 2a 2 + a • b = 4 — 3= 1. 法二：T a = (1 , — 1) , b = ( — 1,2), .2a + b = (2 , — 2) + ( — 1,2) = (1,0),从而(2a + b ) • a = (1,0) • (1 , — 1) = 1，故选 C.]4. ______________ (教材改编)已知|a | = 5, | b | = 4, a 与b 的夹角0 = 120° ,则向量b 在向量a 方向上的 投影为 __ .—2 [由数量积的定义知， b 在a 方向上的投影为| b |cos 0 = 4x cos 120 ° =— 2.]5. (2017 •全国卷I)已知向量 a = ( — 1,2) , b = (m,1).若向量 a + b 与a 垂直，则 m=7 [ T a = ( — 1,2) , b = (m,1), ••• a + b = ( — 1 + m,2 + 1) = ( m- 1,3). 又 a + b 与 a 垂直，二(a + b ) • a = 0, 即(m-1) x ( — 1) + 3X 2= 0, 解得m= 7.]题型分类突破I 高琴题型烦律方法逐-突砸■(对应学生用书第62页)心 ......平面向量数量积的运算■■■I (1)(2016 •天津高考)已知△ ABC 是边长为1的等边三角形，点D, E 分别是边AB,BC 的中点，连接 DE 并延长到点F ,使得DE= 2EF,则AF- BC 勺值为()A . 11D -S'已知正方形 ABCD 勺边长为1,点E 是AB 边上的动点，则DE- CB 勺值为C.;DE ・DC的最大值为 【导学号: 00090135】AF = AM DF又D, E 分别为AB BC 的中点,(1) B (2) 1 1 [(1)如图所示,f 1 f f 1 ・_且DE=2EF所以AD= 1A B DF=2AC+；AC=4AC1f2当E 运动到B 点时，DE^DC 方向上的投影最大，即为 DC = 1, 所以(DE' Dg =| DC - 1= 1.］［规律方法］1.求两个向量的数量积有三种方法： 利用定义；利用向量的坐标运算； 利用数量积的几何意义.~T 1 -T 3 ~T 所以 AF = 2AB+ 4AC又 BC= AC- AB3T-4AC-又 | AB =|AQ = 1,z BAO 60°,故AF- E3C = 4-2 — 4X 1X 1X 2= 1.故选 B.4 2 4 2 8⑵ 法一：以射线AB AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0),巳1,0),C (1,1) ,D (0,1)，设E (t, 0) , t € [0,1]，则DE = (t , - 1),(t , -1) - (0，- 1) = 1.因为 DC = (1,0)，所以 DE- DC = (t ，- 1) - (1,0) = t w 1, 故D E- DC 的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE 在CB^向上的投影都是 CB= 1,所以DE- CB= | CB则 AF- BC= -(AC-AB 3 T T2. (1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量. (2)注意向量夹角的大小，以及夹角0 = 0°, 90°, 180°三种特殊情形.2[变式训练1] ⑴ 已知AB= (2,1)，点C ( — 1,0) , D (4,5)，则向量AB 在 C [方向上的投影为(1) C (2)C [(1)因为点 C ( —1,0) , Q4,5)，所以 C* (5,5)，又AB= (2,1)，所以向量 AB 在CD?向上的投影为|AB |cos 〈 AB C D =磊=芈I CD%2⑵ 由 AB- AF = 3 得AB ・(AM DF = AB- DF= 3,所以 |DF = 1, |CF = 2,BE • BC= — 6 + 2 = — 4.](1)(2017 •合肥二次质检)已知不共线的两个向量a ,b 满足|a — b | = 2且a 丄(a—2b )，则 | b | =( )A . 2 C. 2 2⑵(2018 •西安模拟)已知平面向量a , b 的夹角为 卡，且|a | = .3, | b | = 2,在厶ABC 中,AB= 2a + 2b , AC= 2a — 6b , D 为 BC 的中点，贝U |AQ = ______ .(1)B (2)2[(1)由 a 丄(a — 2b )得 a - (a — 2b ) = | a | — 2a - b = 0.又•/ | a — b | = 2,「. | a(2)(2018 •榆林模拟)已知在矩形ABCD 中 AB= 3, BC = 3, BE = 2EC 点 F 在边 CD 上.若AB- AF = 3,则 A E- 'BF 的值为()【导学号：00090136】A . 0B 育C.— 4D. 42B.- 3 5 D. 3 5C. 所以 AE - BF = ( AB+ BE ) •( BC+ CF ) =AB- BC+ AB- CF + BE- BC + BE- CF = AB- CF +ISfifl... ......... . ............................ j平面向量数量积的性质角度1平面向量的模MBB. 2 D. 4—b| 2= | a|2—2a - b+ | b|2= 4,则| b|2= 4, | b| = 2，故选B.■ ■ ~9 1 ~> (2)因为 A[> 2(AB+ AC 1=2(2a + 2b + 2a — 6b ) =2a — 2b ,所以 |AD 2= 4(a — b )2= 4(a 2— 2b •a + b 2)—e 2的夹角为B ,贝U cos 3 =⑵ 若向量a = (k, 3) , b = (1,4) , c = (2,1)，已知2a — 3b 与c 的夹角为钝角，贝U k 的取2=I — 2X 3X 2X1 X cos a + 4= I ,所以|a | = 3,i i222因为 b = (3e 1 — e 2) = I — 2X 3X 1 XI X cos a + 1 = 8, 所以 | b | = 2 2,a •b = (3 e 1 — 2e 2)- (3 e 1 — e ?)2 21 =9e 1 — 9e 1 • e2 + 2e 2= I — I X 1 X 1 X + 2 = 8,3 所以cos 3= rOi 占=3^=弩.(2) •/ 2a — 3b 与c 的夹角为钝角， ••• (2 a — 3b ) - c v 0, 即(2 k — 3, — 6) - (2,1) v 0,• 4k — 6— 6v 0, • k v 3.9又若(2a — 3b ) // c ,贝U 2k — 3 =— 12,即卩 k =—》 当 k =— I 时，2a — 3b = ( — 12,— 6) = — 6c ,=4X (3 — 2X 2X3 X cos n + 4) = 4,所以 | AD = 2.]角度2平面向量的夹角2-2 1(1)已知单位向量 e 1与e 2的夹角为 a ,且cos a = 3 向量 a = 3e i — 2e 2与 b = 3e i值范围是 (1)弩(2)[(1)因为 a 2= (3 e 1 — 2e 2)2△in 2 x — ¥cos x = 2,2 2即2a -3b 与c 反向. 综上，k 的取值范围为 一R, 角度3平面向量的垂直 (2016 •山东高考)已知向量a = (1 , - 1), b = (6 , - 4).若a 丄(ta + b )，则实 数t 的值为 _________ —5 [ - a = (1 , — 1), b = (6 , — 4)，…ta + b = (t + 6, — t — 4). 又 a 丄(ta + b )，则 a •( ta + b ) = 0，即 t + 6 +1 + 4= 0，解得 t =— 5.] a • b [规律方法]1.求两向量的夹角：cos 0 = ，要注意0 c [0 , n ]. 丨a l •丨b | 2.两向量垂直的应用： 两非零向量垂直的充要条件是： a 丄b ? a • b = 0? | a — b | = |a + b |. 3 •求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1) a 2= a • a = | a |2 或 | a | = a • a . (2) | a ± b | = a ± b 2= a ±2a • b + b . ⑶若 a = (x , y )，则 | a | = x 2 + y 2. |U3［ 平面向量与三角函数的综合 (2018 •佛山模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量m = ^2, — 2小=(sin cos x ) , x c (1)若 miL n ,求 tan x 的值; n ⑵若m 与n 的夹角为—，求x 的值. 【导学号：00090137】所以 sin x = cos x ,所以 tan x = 1. n 1⑵因为 | m = I n | = 1,所以 m-n = cos —=-,3 2x . 所以 m-n = 0, x , cos x ), n Ln . 即承n cos x(1)因为m = n = (sin所以sin 12因为 O v x v n ,所以—n_< x — n_<n n , 一 n n 5 n 所以x —才=6，即x =〒2. ［规律方法］平面向量与三角函数的综合问题的解题思路得到三角函数的关系式，然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题 sin x x= -------cos x •- tan 2 x = —=1 — tan x 53⑵•/ a = sin ^, , b = (cos x , — 1),3 2 2 2 2••• a •b = sin x cos x — ?, b = cos x + ( — 1) = cos x + 1,23 2 1 1 1• f (x ) = (a + b ) - b = a •b + b = sin x cos x — ~ + cos x + 1 = 2sin 2x + 尹 + cos 2x ) — ?⑴ 题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式, 运用向量共线或垂直或等式成立等, 思路是经过向量的运算，利用三角函数的定义域内的有界性，求得值域等. ［变式训练2］ (2018 •郴州模拟)已知向量a = sin x , | , b = (cos X , (1)当a //b 时，求tan 2 x 的值; (2)求函数f (x ) = (a + b ) - b 在|—-2 , 0上的值域. (1) ■/ a //b , a = sin x , | , b = (cos x , 3 x - ( — 1) — 2 • cos 即sin 3 X + 2C0S x = 0, 得sin 3 x = — 2C0S x , 二tan -32，匕2tan x 12 x = 0,1 n 1 sin 2x+ 才.I nT x€ |—— , 0••• sin 2x+4 € —1 ,n故函数 f (X ) = (a + b ) • b 在 | — , 0 • •• f(X)= 刍n -弓，2上的值域为•—， 2。