数列的综合应用
【考纲说明】
1．会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的 和； 2．能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题； 3 .理解数列作为函数的特性，能够抽象出数列的模型；
【知识梳理】
考点一：通项公式的求解技巧
1. 归纳、猜想数列的通项.
2. 迭代法求一阶递推式的通项公式.
3. 用等差（等比）数列的通项公式求数列的通项公式.
4. 已知数列{}前n 项和，则???-=-11n n
n S S S a 21≥=n n .
5. 已知1(n)(n ≥2),则可用叠加法求.
6. 已知(n)(n ≥2),则可用叠乘法求.
7. 已知数列{}前n 项之积，一般可求1，则11
1 n 2n n T n T T -=??
?≥??.
8. 已知混合型递推式f()=0,可利用1(n ≥2)将关系式转化为只含有或的递推式,再求或先间接求出再求出.
9. 已知数列{}的递推关系，研究它的特点后，可以通过一系列的恒等变形如:倒数、通分、约分、裂项、等式两
边同时乘以或除以同一个式子、因式分解、平方、开方、配方、取对数、辅助数列、待定系数等等构造得出新数列{f()}为等差或等比数列.
例如:形如1(n)或1,均可以两边同时除以1
后进行求解,也可以通过待定系数法将其转化为等比数列求解;形如＝的递推数列可以两边同时倒数来求通项.
考点二：数列求和的技巧 一、公式法
1、等差数列的前n 项和公式 2
)1(2)(11d
n n na a a n S n n -+=+=
2、等比数列的前n 项和公式
??
?
??≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n
3、常用几个数列的求和公式 （1）)1(2
1
3211+=
+?+++==
∑=n n n k S n
k n （2）)12)(1(6
1
321222212++=
+?+++==
∑=n n n n k S n
k n （3）233331
3
)]1(2
1
[321+=+?+++==
∑=n n n k
S n
k n
二、错位相减法
用于求数列}{n n b a ?的前n 项和，其中}{n a ，}{n b 分别是等差数列和等比数列。 三、裂项相消法
适用于{}其中{}是各项不为0的等差数列。即:=(-), 特别:
111)1(1+-=+n n n n ;
)2
1
1(21)2(1+-=+n n n n . n n n
n a n -+=++=
111
四、倒序相加法
推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它 与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +。
五、分组求和法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等 差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。
考点三：数列的综合应用 一、数列与函数的综合 二、等差与等比数列的综合 三、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合
【经典例题】
【例1】 (2011年高考天津卷理科4)已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的 等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和, *
n N ∈,则10S 的值为
A ．-110
B ．-90
C ．90
D ．110 【解析】D
【例2】(2011年高考江西卷理科5)已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足:m n m n S S S +=+,且 11=a ,那么=10a ( )
A. 1
B. 9
C. 10
D. 55 【解析】A
【例3】（2008年江西省高考题）数列{}的通项公式是
1
1++n n ，若前n 项和为10，
则项数为（ ）
A 、11
B 、99
C 、120
D 、121 【解析】C 【例4】（2008安徽）设数列{}满足a 1，11，n ∈N*，其中a ，c 为实数，c ≠0 1.求数列{}的通项公式； 2.设
21，2
1，（1），n ∈N*，求数列{}的前n 项和。
【解析】（1）∵1-1（1）
∴当a ≠1时，{1}是首项为1，公比为c 的等比数列
∴1=（1）1，即（1）1
+1 当1时，仍满足上式。
∴数列{}的通项公式为（1）1
+1（n ∈N*）
（2）由（1）得（1）1
（
2
1）n
， 12+…212（21）2+…（21）n
①
21（21）2+2（21）3+…+（1）（21）（2
1）1 ② ∴①-②得2121（21）2+…+（21）（21）
1
∴121（21）2+…+（21）1（21）2[1-（21）n ]（2
1）n
∴2-（2）（2
1）n
【例5】（2008浙江省） 已知数列{}的首项x 1=3，通项2（n ∈N*，p ，q 为常数）， 且x 1，x 4，x 5成等差数列，求： （1） P ，q 的值；
（2） 数列{}前n 项和的公式。 【解析】
（1） 由x 1=3，得23
又x 4=244q ，x 5=255q ，且x 15=2x 4，得3+25525
8q 解得1，1
（2）（2+22
+ (2)
）+（1+2+…）=21
-2+2
)
1(+n n
【例6】 (2011年福建理16)已知等比数列{}的公比3，前3项和S 3=133
。 （I ）求数列{}的通项公式； （）若函数
()sin(2)(0,0)f x A x A p ??π=+><<<在6
x π
=处取得最大值，且最大值
为a 3，求函数f （x ）的解析式。
【解析】（I ）由313(13)13133,,3133
a q S -===-得 解得11
.3
a =
所以12
133.3
n n n a --=?=
（）由（I ）可知2
33, 3.n n a a -==所以
因为函数()f x 的最大值为3，所以3。 因为当6
x π
=
时()f x 取得最大值，
所以sin(2) 1.6
π
??
+=
又0,.6
π
?π?<<=
故
所以函数()f x 的解析式为()3sin(2)6
f x x π
=+
【例7】(2011年全国新课标卷)等比数列{}n a 的各项均为正数，且2
12326231,9.a a a a a +==
(1)求数列{}n a 的通项公式.
(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ??
?
???
的前项和.
【解析】（Ⅰ）设数列{}的公比为q ，由2
3269a a a =得32
349a a =所以21
9
q =
。 由条件可知a>0,故13
q =
。 由12231a a +=得12231a a q +=，所以113
a =
。 故数列{}的通项式为
13n
。 （Ⅱ ）31323n log log ...log n b a a a =+++
(12...)
(1)
2
n n n =-++++=-
故
12112()(1)1
n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311
n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21
n
n -+
【例8】(2011年高考浙江卷理科19)已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a a = (a R ∈),设数列的前n 项和为n S ，且
11a ，21a ，41a 成等比数列（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及n S （Ⅱ）记1231111
...n n
A S S S S =
++++，212221111
...n
n B a a a a =
++++
，当2n ≥时，试比较n A 与n B 的大小.
【解析】 （Ⅰ）
2
22141112
214
111()(3)a a a a d a a d a a a =??=?+=+1d a a ?==
则 1111(1)(1)n a a n d a n a na na =+-=+-==，1(1)(1)(1)
222
n n n n n n n S a n d an a a --+=+
=+= （Ⅱ）1231111...n n
A S S S S =++++1111...122334(1)2222
n n a a a a =++++
???+ 21211223a a =
+??21
34
a +
?2121
(1)(1)1
a n n a n ++
=-++
因为22n n a a =，所以2112221111...n n B a a a a -=++++
1
1()121
12n a -=?-21(1)2n a =-
当2n ≥时，
201221n
n n n n C C C C n =++++>+即111112
n n -<-+；
所以当0a >时，n n A B <；当0a <时，n n A B > .
【课堂练习】
1.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中 项, 832S =,则10S 等于
A. 18
B. 24
C. 60
D. 90 2.（2010江西理数）等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数()128()()()f x x x a x a x a =---，则()'0f =（ ）
A ．6
2 B. 9
2 C. 12
2 D. 15
2
(1)（2010湖北文数）7.已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ，321
,22
a a 成等差数
列，则91078
a a a
a +=+
A.1
B. 1
C. 3+
D 3-
4.（2010福建理数）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S
取最小值时等于
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
51.（2013
年福建（理））已知等比数列
{}n a 的公比为
q,记
(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=???∈则以下结论一定正确的
是( )
A.数列{}n b 为等差数列,公差为m q
B.数列{}n b 为等比数列,公比为2m q
C.数列{}n c 为等比数列,公比为2
m q
D.数列{}n c 为等比数列,公比为m
m q
62．（2013年重庆（理））已知{}n a 是等差数列,11a =,公差0d ≠,n S 为其前n 项和,若125,,a a a 成等比数列,则
8_____S =
73．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（版））已知等比数列{}n a 是递增数列,n S 是{}n a 的前n 项和,若13a a ，是方程2540x x -+=的两个根,则6S =.
8、（2009年全国卷）设等差数列{n a }的前n 项和为n s ，公比是正数的等比数列{n b }的前n 项和为n T ，已知
1133331,3,17,12,},{}n n a b a b T S b ==+=-=求{a 的通项公式。
9、（2011浙江卷）已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项为)(R a a ∈，且11a ，21a ，4
1
a 成等比数列． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）对*
N n ∈，试比较n a a a a 2
322221...111++++与11
a 的大小．
10、（2010年山东卷）已知等差数列{}n a 满足：73=a ，2675=+a a ，{}n a 的前n 项和为n S
（Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令1
12
-=n n a b （*
N n ∈），求数列{}n b 的前n 项和为n T 。
11.（2013年湖北卷（理））已知等比数列{}n a 满足:2310a a -=,123125a a a =. (I)求数列{}n a 的通项公式; ()是否存在正整数m ,使得12
111
1m
a a a +++
≥?若存在,求m 的最小值;若不存在,说明理由.
124．（2013年山东（理））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且424S S =,221n n a a =+. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)设数列{}n b 前n 项和为n T ,且 12
n n n
a T λ++=(λ为常数).令2n n c
b =*
()n N ∈.求数列{}n c 的前n 项和n R .
【课后作业】
1.（2009重庆卷文）设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）
A ．2744n n +
B ．2533n n +
C ．2324
n n
+ D ．2
n n +
2.（2010安徽理数）设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别 为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是 A 、2X Z Y += B 、()()Y Y X Z Z X -=- C 、2
Y XZ =
D 、()()
Y Y X X Z X -=-
5 3．（2013辽宁）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题:
{}1:n p a 数列是递增数列； {}2:n p na 数列是递增数列；
3:n a p n ??
????
数列是递增数列；
{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为
(A)12,p p (B)34,p p (C)23,p p (D)14,p p
46．（2013年新课标Ⅱ卷）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知10150,25S S ==,则n nS 的最 小值为.
5. 已知（2008年湖北省质检题）求和：1+3-5+7-…+（-1）n
（21） 6. {}的通项()11n
+，求{}的前n 项和。
77．（2013年高考四川卷（理））在等差数列{}n a 中,218a a -=,且4a 为2a 和3a 的等比中项,求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和.
8.（2009辽宁卷）等比数列{n
a }的前n 项和为
n
s ，已知
1S ,
3S ,
2
S 成等差数列
（1）求{n
a }的公比q ； （2）求1a 3a 3，求
n
s
9.（2010重庆文数）（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分. ）
已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和. （Ⅰ）求通项n a 及n S ；
（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .
10.若函数)(x f 对任意R x ∈都有2)1()(=-+x f x f 。 （1）)1()1
()2()1()0(f n
n f n f n f f a n +-+?+++=，数列}{n a 是等差数列吗？是证明你的结论； （2）求数列}1
{1
+?n n a a 的的前n 项和n T 。
【参考答案】
【课堂练习】
1、C
2、C
3、C
4、A
5、C
6、64
7、63
8、解： 设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q
由3317a b +=得2
12317d q ++= ① 由3312T S -=得2
4q q d +-= ②
由①②及0q >解得 2,2q d ==
故所求的通项公式为 1
21,32n n n a n b -=-=?
9、解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知2214
111(
)a a a =? 即2111()(3)a d a a d +=+，从而2
1a d d = 因为10,.d d a a ≠==所以
故通项公式.n a na =
（Ⅱ）解：记2
2222111
,2n n
n n T a a a a a =
+++
=因为
所以211(1())
111111122()[1()]1222
2
12
n n n n T a a a -=
+++=?=--
从而，当0a >时，11n T a <
；当1
10,.n a T a <>时 10、解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，
由于73=a ，2675=+a a ，所以721=+d a ，261021=+d a ， 解得31=a ，2=d ，由于d n a a n )1(1-+=，2
)
(1n n a a n S += ， 所以12+=n a n ，)2(+=n n S n
（Ⅱ）因为12+=n a n ，所以)1(412
+=-n n a n
因此)1
1
1(41)1(41+-=+=
n n n n b n
故n n b b b T +++= 21)1
113121211(41+-++-+-=
n n )1
1
1(41+-=
n )1(4+=n n 所以数列{}n b 的前n 项和)1(4+=n n T n
11、解:(I)由已知条件得:25a =,又2110a q -=,13q ∴=-或, 所以数列{}n a 的通项或2
53n n a -=?
()若1q =-,
12
1111
05
m a a a +++
=-或,不存在这样的正整数m ; 若3q =,12
11
1919110310
m
m a a a ????++
+=-
{}n a 的首项为1a ,公差为d ,
由424S S =,221n n a a =+得 11114684(21)22(1)1a d a d a n a n d +=+?
?
+-=+-+?,
解得,11a =,2d = 因此
21n a n =-*
()n N ∈ (Ⅱ)由题意知:
12n n n T λ-=-
所以2n ≥时,
11
212
2n n n n n n n b T T ----=-=-
+ 故,1
221221(1)()24n n n
n n c b n ---===- *()n N ∈
所以01231
11111
0()1()2()3()(1)()44444n n R n -=?+?+?+?+???+-?, 则12311111110()1()2()(2)()(1)()4
44444n n
n R n n -=?+?+?+???+-?+-? 两式相减得1231311111()()()()(1)()444444n n n R n -=+++???+--? 11
()144(1)()1414n n n -=---
整理得
1131
(4)94n n n R -+=
-
所以数列数列{}
n c 的前n 项和
1131
(4)94n n n R -+=
-
【课后作业】
1、A
2、D
3、D
4、-49
5、当n 为偶数时，；当n 为奇数时，
6、∵
n
n 1
+（1）
∴（21）+（32）+…+（（1））（1）1（1）
7、解:设该数列公差为d ,前n 项和为n s .由已知,可得
()()()2
1111228,38a d a d a d a d +=+=++. 所以()114,30a d d d a +=-=,
解得14,0a d ==,或11,3a d ==,即数列{}n a 的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.
所以数列的前n 项和4n s n =或232
n n n s -=
8、解：（Ⅰ）依题意有)(2)(2
111111q a q a a q a a a ++=++ 由于 01≠a ，故
022
=+q q 又0≠q ，从而
21
－
=q
（Ⅱ）由已知可得3212
1
1=--）（a a
故41=a ）
）（（）
（）
）（（n n
n 211382112114--=----=S
9、
10.解：（1）、)1()1
(
)2()1()0(f n n f n f n f f a n +-+?+++=（倒序相加）
?)0()1
()2()1()1(f n
f n n f n n f f a n ++?+-+-+= 12
21101=?=-+=-+=+n
n n n n n
则，由条件：对任意R x ∈都有2)1()(=-+x f x f 。
?）（
1222222+=+?+++=n a n ?1+=n a n ?21+=+n a n ?11=-+n n a a
从而：数列}{n a 是1,21==d a 的等差数列。 （2）、
2
1
11)2)(1(111+-+=++=?+n n n n a a n n
?n T =
)
2(11541431321+?++?+?+?+?n n ）（ ?n T =422121211141313121+=+-=+-++
?+-+-n n
n n n 故：n T =4
2+n n