2019-2020年数学同步优化指导课件：本章整合提升2

第二章 变化率与导数
本章整合提升
知识点一 导数的概念
定义式
lim
Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
记法
f′(x0)＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
实质 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数就是 y＝f(x)在 x＝x0 处的 瞬时变化率
知识点二 导数的几何意义
Δx→0
fx＋ΔΔxx－fx的结构特征．
设
f(x)为可导函数，且满足条件lim x→0
f1－2fx1－x＝
－1，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率．
解：∵f(x)为可导函数，且lim x→0
f1－2fx1－x＝－1，∴12lxi→m0
f1－fx1－x＝－1.∴lxi→m0 f1－－x－x f1＝－2，即 f′(1)＝－2.
令 y＝0，得切线与 x 轴的交点为3a22a－3 3，0，
则有3a22a－3 3＝－a，解得
a＝±
15 5.ຫໍສະໝຸດ ∵a＞0，∴a 的值为15 5.
• 【点评】 本题主要考查导数的几何意义，要注
意题设条件a＞0.
•
已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，
若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处
• 1．导数的概念，要注意结合实例，理解概念的实 质，利用导数的几何意义，求曲线的切线方程，要注 意当切线平行于y轴时，导数不存在，此时的切线方程 为x＝x0.
• 2．利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则 求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键， 有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式 子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的 关键．
(2)求证：直线 l 与曲线 y＝x3 恒有两个不同的公共点，且这
两个公共点之间的距离不小于 3 6a2. (1)解：∵y′＝3x2，
∴直线 l 的斜率为 3a2(a≠0)． ∴直线 l 的方程为 y－a3＝3a2(x－a)， 即 3a2x－y－2a3＝0(a≠0)．
(2)证明：由题意得yy＝ ＝x33a，2x－2a3， ∴x3－3a2x＋2a3＝0. 即(x－a)2(x＋2a)＝0，解得 x1＝a，x2＝－2a. ∵a≠0，∴x1≠x2. ∴直线 l 与曲线有两个不同的交点 A(a，a3)，B(－2a，－8a3)． |AB|＝ 3a2＋9a32≥ 2·|3a·9a3|＝3 6a2. 即这两个公共点之间的距离不小于 3 6a2.
∴曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为－2.
【点评】
本题解决的关键在于对比lim x→0
f1－2fx1－x与 f(x)
导数的定义式得出 f′(1)．
专题二 导数的计算
• 求导公式和导数法则的建立使求导问题程序化， 为许多较复杂的函数的求导提供了简捷的途径．在运 用时必须严格按照已有的公式、法则进行，运用求导 公式和法则必须做到：
【点评】 证明第(2)题的难点在于求方程 x3－3a2x＋2a3 ＝0 的根，事实上，x3－3a2x＋2a3＝0 可化为(x3－a3)－(3a2x－ 3a3)＝0.在证明|AB|≥3 6a2 时，利用了基本不等式 a2＋b2≥2ab， 得 a2＋b2≥ 2|ab|.
曲线
y＝sin
sin x x＋cos
• (1)正确掌握基本函数的求导公式．
• (2)正确利用代数、三角恒等变形对函数进行化简， 然后再求导．
• (3)正确运用函数四则运算的求导法则和简单的复 合函数的求导法则．
求下列函数的导数：
(1)y＝ln tan x＋cotx2＋π3；
(2)y＝－sin 2x1－2cos24x. 解：(1)y′＝[ln tan x＋cotx2＋π3]′＝
答案：B
•
曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为
_________．
•所以解切析线：方由程题为意y－得3y＝′＝2(3xx－2－1)1，，即y′|2x＝x－1＝y3＋×11＝2－0. 1＝2，
• 答案：2x－y＋1＝0
专题四 求参数取值问题
•
设曲线C：y＝x3－3x和直线x＝a(a＞0)的交
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
专题三 导数的几何意义
•ff导((xx数)0在 )＝由的点f于方′(Px函法(0x)(数0解x，－y决f＝(xx0．0f)()．x)处)在因的点此切x关0线处于的的曲斜导线率数的，f切′(其x线0)切就问线是题方曲可程线尝为y试＝y用－
•
设曲线y＝x3在x＝a(a≠0)处的切线为直线l.
• (1)求直线l的方程；
• 【点评】 求函数的导数时要准确地把函数分割 为基本初等函数的和、差、积、商及其复合形式．在 求导数的过程中，要仔细分析解析式的结构特征，紧 扣求导法则，联系基本初等函数的求导公式，对于不 具备求导法则结构形式的解析式要进行适当恒等变 形．对于较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会 使求导过程繁琐冗长，且易出错，此时可将解析式进 行合理变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数， 但必须注意等价变形．
2019/7/18
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函数
f(x)在
x＝x0
处的导数就是切线
PT
的斜率
k，即
k＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝f′(x0)．
知识点三 导数的运算
• 1．基本初等函数的导数公式 • (1)若f(x)＝c(c是常数)，则f′(x)＝0； • (2)若f(x)＝xα(α是常数)，则f′(x)＝αxα－1； • (3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x； • (4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x； • (5)若f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，则f′(x)＝axln a； • (6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex；
• 3．复合函数的求导公式
• (1)复合函数的定义：
• ①一般形式是y＝f(φ(x))．
• ②可分解为y＝f(u)与u＝φ(x)，其中u称为中间变 量．
• (2)求导法则：复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝ f(u)，u＝φ(x)的导数间的关系为y′x＝f′(u)φ′(x)．
• 学习本章应注意的问题
• 3．对复合函数的求导，关键在于选取合适的中间
变量，弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导， 不要混淆，最后要按中间变量，换成自变量的函数．
专题一 利用导数的定义解题
• 对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内 容以及Δx→0的方式，掌握用定义求导数的三个步骤 以及用定义求导数的一些简单变形．
有相同的切线y＝4x＋2，求a，b，c，d的值．
• 解：由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0) ＝4，
• 而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，∴a＝4， b＝2，c＝2，d＝2.
•阶段质量评估(二)
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编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
x－12在点
Mπ4，0处的切线的斜
率为( )
A．－12
B．12
C．－
2 2
D．
2 2
解析：y′＝cos
xsin
x＋cos sin
x－sin x＋cos
xcos x2
x－sin
x＝
sin
1 x＋cos
x2，
∴y′|x＝π4＝ sin

1 π4＋cos
π42＝12.
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
点为P，在P点处的曲线C的切线与x轴交于点Q(－a,0)，
求a的值．
解：依题意有yx＝＝xa3，－3x， 解得xy＝＝aa，3－3a.
∴P(a，a3－3a)．∵y′＝3x2－3，
∴在 P 点处切线斜率为 3a2－3 的曲线 C 的切线方程为 y－
(a3－3a)＝(3a2－3)(x－a)．
若 f′(x0)＝2，则lki→m0 fx0－k2k－fx0等于(
)
A．－1
B．－2
C．1
D．12
解析：lim k→0
fx0－k2k－fx0＝－12－likm→0
f[x0＋－k]－fx0 －k
＝－12 f′(x0)＝－12×2＝－1. 答案：A 【 点 评 】 解 决 此 类 题 型 一 定 要 注 意 f′(x) ＝ lim
1 tan
x·(tan
x)′＋－sin2x12＋3π·x2＋π3′
＝ta1n x·co1s2x－sin2x12＋π3·2x
＝csoins xx·co1s2x－sin22xx2＋3π＝sin22x－sin22xx2＋3π. (2)y＝－sin 2x1－2cos24x＝－sin2x－cos 2x＝12sin x. y′＝12sin x′＝12(sin x)′＝12cos x.