光在球面上的反射和折射参考幻灯片

§1.4、光在球面上的反射与折射1.4.1、球面镜成像<1）球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射定律，法线是球面的半径。

一束近主轴的平行光线，经凹镜反射后将会聚于主轴上一点F<图1-4-1），这F 点称为凹镜的焦点。

一束近主轴的平行光线经凸面镜反射后将发散，反向延长可会聚于主轴上一点F<图1-4-2），这F 点称为凸镜的虚焦点。

焦点F 到镜面顶点O 之间的距离叫做球面镜的焦距f 。

可以证明，球面镜焦距f 等于球面半径R 的一半，即b5E2RGbCAP<2）球面镜成像公式 根据反射定律可以推导出球面镜的成像公式。

下面以凹镜为例来推导：<如图1-4-3所示）设在凹镜的主轴上有一个物体S ，由S 发出的射向凹镜的光线镜面A 点反射后与主轴交于点，半径CA为反图1-4-1图1-4-2射的法线，即S的像。

根据反射定律，，则CA为角A的平分线，根据角平分线的性质有p1EanqFDPw①由为SA为近轴光线，所以，，①式可改写为②②式中OS叫物距u，叫像距v，设凹镜焦距为f，则代入①式化简这个公式同样适用于凸镜。

使用球面镜的成像公式时要注意：凹镜焦距f取正，凸镜焦距f取负；实物u取正，虚物u取负；实像v为正，虚像v为负。

DXDiTa9E3d上式是球面镜成像公式。

它适用于凹面镜成像和凸面镜成像，各量符号遵循“实取正，虚取负”的原则。

凸面镜的焦点是虚的，因此焦距为负值。

在成像中，像长和物长h之比为成像放大率，用m表示，RTCrpUDGiT由成像公式和放大率关系式可以讨论球面镜成像情况，对于凹镜，如表Ⅰ所列；对于凸镜，如表Ⅱ所列。

表Ⅰ 凹镜成像情况～2f表Ⅱ 凸镜成像情况～～2f同侧～<3）球面镜多次成像 球面镜多次成像原则：只要多次运用球面镜成像公式即可，但有时前一个球面镜反射的光线尚未成像便又遇上了后一个球面镜，此时就要引进虚像的概念。

5PCzVD7HxA 如图1-4-4所示，半径为R 的凸镜和凹镜主轴相互重合放置，两镜顶点O1 、 O2 相距2.6R ，现于主轴上距凹镜顶点O1为0.6R 处放一点光源S 。

§3-5 光在球面上的反射和折射单独一个球面不仅是一个简单的光学系统，而且是组成光学仪器的基本元件，研究光经由球面的反射和折射，是一般光学系统成象的基础。

一、符号法则为了研究光线经由球面反射和折射后的光路，必须先说明一些概念以及规定一些适当的符号法则，以便使所得的结果能普遍适用。

(图3－12)图3-12中的AOB 所示球面的一部分，这部分球面的中心点O 称为顶点，球面的球心C 称为曲率中心，球面的半径称为曲率半径，连接顶点的曲率中心的直线CO 称为主轴，通过主轴的平面称为主截面，主轴对于所有的主截面具有对称性，因而我们只须讨论一个主截面内光线的反射。

图3-12表示球面的一个主截面。

在计算任一条光线的线段长度和角度时，我们对符号作如下规定。

（1）光线和主轴交点的位置都从顶点算起，凡在顶点右方者，其间距离的数值为正；凡在顶点左方者，其间距离的数值为负，物点或象点至主轴的距离，在主轴上方为正，在下方为负。

（2）光线方向的倾斜角度都从主轴（或球面法线）算起，并取小于2π的角度，由主轴（或球面法线）转向有关光线时，若沿顺时针方向转，则该角度的数值为正；若沿逆时针方向转动的，则该角度的数值为负（在考虑角度的符号时，不必考虑组成该角度两边的线段的符号）。

（3）在图中出现的长度和角度（几何量）只用正值，例如s 表示的某线段值是负的，则应用()s -来表示该线值的几何长度。

以下讨论的都是假定光线自左向右进行。

二、球面反射对光束单心性的破坏在图3-12中，一个从点光源P 发出的光波从左向右入射到曲率中心为C ，顶点为O ，曲率半径为γ的一个凹球面镜上，光线PA 经球面镜AOB 反射后，在'P 点与主轴相交，令 '',,'',ττ==-=-=AP PA s O P s PO半径AC 与主轴的夹角为ϕ，则光线'PAP 的光程为 (')'P A P n n ττ=+ 在PAC ∆和'ACP ∆中应用余弦定理，并注意c o s c o s ()()()'()(')',P C sr r s C P r s s r ϕπϕ=--=---=-=---=- 从而可得()()()()[]2122cos 2ϕs r r s r r l --+-+-=（3-10）以及()()()()[]2122'cos '2'ϕr s r r s r l ----+-= （3-11）因此，光线'PAP 的光程可写成12221222(')()()2()()cos ()(')2()(')cos PAP n r r s r r s n r s r r s r ϕϕ⎡⎤=-+-+--⎣⎦⎡⎤+-+----⎣⎦（3－12）由于当A 点在镜面上移动时，半径r 是常数，而ϕ才是位置的变量，根据费马原理，物象间的光程应取稳定值，为此，把（3-12）式对ϕ求导，并令其等于零，即()()[]()[]0sin '21sin 21''=-+--=ϕϕϕr s r ln s r r l n d PAP d 由此可得 0''=---l rs l s r 或者⎪⎭⎫⎝⎛+=+l s l s r l l ''111'（3-13） 如果发光点P 至O 点的距离s 为已知，从此式即可算出任一反射线和主轴的交点'P 到 O 点的距离's 的值，显然's 的值将随着所取入射线的倾斜角u ，亦即角ϕ的变化而变化，这就是说，从物点发散的单心光束经球面反射后，将不再保持单心（即使平等光束入射时也不例外），关于这一点可说明如下：PC A 1A 2OP 2P'P 3 (图3－13)图3-13中，相应于1PA 及2PA 两入射光线的反射线分别交主轴于1P 和2P 两点，且相交于'P 点，把该图绕主轴PO 转过一个小角度，使三角形12PA A 展成一单心的空间光束，此时'P 点描出一条很短的弧线，它垂直于图面即反射光束的子午象线，而图面中的12PP 则为弧矢象线。

§1.4、光在球面上的反射与折射1.4.1、球面镜成像（1）球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射定律，法线是球面的半径。

一束近主轴的平行光线，经凹镜反射后将会聚于主轴上一点F （图1-4-1），这F 点称为凹镜的焦点。

一束近主轴的平行光线经凸面镜反射后将发散，反向延长可会聚于主轴上一点F （图1-4-2），这F 点称为凸镜的虚焦点。

焦点F 到镜面顶点O 之间的距离叫做球面镜的焦距f 。

可以证明，球面镜焦距f 等于球面半径R 的一半，即2Rf =（2）球面镜成像公式 根据反射定律可以推导出球面镜的成像公式。

下面以凹镜为例来推导：（如图1-4-3所示）设在凹镜的主轴上有一个物体S ，由S 发出的射向凹镜的光线镜面A 点反射后与主轴交于S '点，半径CA 为反射的法线，S '即S 的像。

根据反射定律，AC S SAC '∠=∠，则CA 为S SA '角A 的平分线，根据角平分线的性质有图1-4-1图1-4-2S C CSS A AS '=' ①由为SA 为近轴光线，所以O S S A '='，SO AS=，①式可改写为S C CSS O OS '=' ②②式中OS 叫物距u ，S O '叫像距v ，设凹镜焦距为f ，则f u OC OS CS2-=-=υ-='-='f S O OC S C 2代入①式υυ--=f fu u22化简f u 111=+υ 这个公式同样适用于凸镜。

使用球面镜的成像公式时要注意：凹镜焦距f 取正，凸镜焦距f 取负；实物u 取正，虚物u 取负；实像v 为正，虚像v 为负。

f u 111=+υ上式是球面镜成像公式。

它适用于凹面镜成像和凸面镜成像，各量符号遵循“实取正，虚取负”的原则。

凸面镜的焦点是虚的，因此焦距为负值。

在成像中，像长 和物长h 之比为成像放大率，用m 表示，u h h m υ='=由成像公式和放大率关系式可以讨论球面镜成像情况，对于凹镜，如表Ⅰ所列；对于凸镜，如表Ⅱ所列。