江苏省南师大附中2020精品学案 集合与逻辑一集合基础

第三节简单的逻辑联络词、全称量词与存在量词1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p q p∧ q p∨ q綈 p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2．全称量词和存在量词量词名称常有量词符号表示全称量词所有、全部、随意、所有、每一个等?存在量词存在一个、起码一个、有些、某些等?3．全称命题和存在性命题名称全称命题存在性命题形式构造对 M中的随意一个x，有 p( x)建立存在 M中的一个 x，使 p( x)建立简记?x ∈， ()?x∈， () M p x M p x否认?x ∈ ，綈(x)?x∈，綈 () M p M p x[ 小题体验 ]1．(2019 ·启东中学期末检测) 在“綈p”，“p∧q”，“p∨q”形式的命题中，若“p ∨q”为真，“ p∧ q”为假，“綈p”为真，则p， q 的真假为 p________， q________.分析：∵“ p∨ q”为真，∴ p， q 起码有一个为真．“p∧ q”为假，∴ p，q 起码有一个为假，而“綈p”为真，∴p 为假，q 为真．答案：假真2 ．(2019·盱眙中学检测)命题“存在实数x，使x＞1”的否认是________________________ ．答案：对于随意的实数x，使得 x≤13．已知命题p：对随意 x∈R，总有2x＞0；q：“ x＞1”是“ x＞2”的充足不用要条件，则以下命题：①∨；②綈∧綈 q ；③綈 p ∨；④ ∧綈q . 此中为真命题的序号是 ________．p q pqp分析：由题设可知：p 是真命题， q 是假命题；所以綈 p 是假命题，綈q 是真命题；所以 p ∨ q 是真命题，綈 p ∧綈 q 是假命题，綈 p ∨q 是假命题， p ∧綈 q 是真命题，故①④正确．答案：①④1．注意命题所含的量词，对于量词有隐含的命题要联合命题的含义展现量词，再进行否认．2．注意“或”“且”的否认：“或”的否认为“且”，“且”的否认为“或”．[ 小题纠偏 ]1．命题“若 ab ＝ 0，则 a ＝ 0 或 b ＝0”，其否认为 _____________________________ ．答案：若 ab ＝ 0，则 a ≠0且 b ≠02．命题“全等三角形的面积必定都相等”的否认是________．分析：命题是省略量词的全称命题， 所以其否认是： 存在两个全等三角形的面积相等．答案：存在两个全等三角形的面积不相等不考点一全称命题与存在性命题基础送分型考点——自主练透[ 题组练透 ]1．已知命题p：?x∈ R ，log2(3 x＋1)≤0， 则 命 题p的否认是“______________________”．答案： ? x ∈ R ，log 2(3 x ＋ 1) ＞ 0122．(2018 ·淮安期末 ) 若“ ? x ∈ ， 2，使得2x － λ x ＋ 1＜ 0 建立”是假命题，则实2数 λ 的取值范围为 ________．12分析：若“ ? x ∈， 2，使得 2x －λ x ＋ 1＜0 建立”是假命题，211即“ ? x ∈ 2， 2 ，使得 λ＞ 2x ＋ x 建立”是假命题，1 1 所以“ ? x ∈ 2，2 ，都有 λ ≤2x ＋ x 建立”是真命题．由 x∈1，得函数1≥212，， 2y＝2x＋2x·＝ 22x x2当且仅当 x＝2时等号建立．所以λ ≤22，即实数λ的取值范围为 ( －∞， 2 2] ．答案： ( －∞， 22]3．已知函数f (x) ＝4) ＝ 2x＋，若 ?x1x2 ∈[2,3]，使得f(x1)≥(x2)，＋， (1∈，1，?x x g x a2g则实数 a 的取值范围是________．分析：由题意知，f (x) minx∈1≥ () min(∈ [2,3])，因为f(x) ＝＋4，所以f′( )， 12g x x x x x41＝1－x2，所以f ( x) 在2，1上单一递减，所以 f ( x)min＝f (1)＝ 5，又因为g( x) 在 [2,3]上的最小值为 g(2)＝4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1.答案： ( －∞， 1]4．(2019 ·南通中学调研) 已知命题p：“ ?x∈[0,1]xq：“?x∈R，， a≥e”，命题x2＋4x＋ a＝0”，若命题“ p∧ q”是真命题，则实数 a 的取值范围是________．分析：若命题：“ ?x ∈[0,1] ，xa≥e；若命题q：“ ?x∈ R，x2≥e”为真命题，则p a＋4x＋a＝0”为真命题，则＝16－4a≥0，即a≤4，所以若命题“p∧ q”是真命题，则实数 a 的取值范围是[e,4]．答案： [e,4][ 牢记通法 ]1．全称命题与存在性命题的否认(1)改写量词：确立数题所含量词的种类，省去量词的要联合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(2)否认结论：对原命题的结论进行否认．[ 提示 ]说明全称命题为假命题，只要给出一个反例；说明存在性命题为真命题，只要找出一个正例．2．由真假求参要转变含量词的命题的真假求参数取值问题，要点是依据量词等价转变相应的命题，一般要将其转变成恒建立或有解问题，从而依据有关知识确立对应条件．考点二含有逻辑联络词的命题的真假判断要点保分型考点——师生共研[ 典例引领 ]12x－ 2－x在 R 上为增函数，2x＋ 2－x(2019 ·泰州模拟 ) 已知命题p：函数y＝p ：函数 y＝2在 R 上为减函数，则在命题①p 1∨2；②1∧2；③(綈1)∨2；④p1∧(綈p2)中，真命题的p p p pp序号是 ________．分析：因为y＝2x在R上为增函数，y＝2－x1 x在 R 上为减函数，＝2所以 y＝－－x 1x2＝－2在 R 上为增函数，x－x是真命题．所以 y＝2－2在 R 上为增函数，故p1y＝2x＋2－x在R上为减函数是错误的，故p2是假命题，所以①p 1∨p2 是真命题；②p1∧ 2 是假命题；p③ ( 綈p1) ∧p2是假命题；④p1∧( 綈p2) 是真命题．答案：①④[ 由题悟法 ]判断含有逻辑联络词命题真假的 2 个步骤(1)先判断简单命题 p， q 的真假．(2)再依据真值表判断含有逻辑联络词命题的真假．[ 即时应用 ]1．(2018 ·启东期末 ) 命题p：0∈ N*，命题q：1∈ Q，则“p或q”是 ________命题． ( 填“真”“假”)分析：命题p：0∈N*，为假命题；命题 q：1∈Q，为真命题，则命题“p 或 q”为真命题．答案：真2．已知命题p ：若x＞，则－x＜－y；命题：若x＞，则x2＞y2. 在命题①p∧；y q y q②p∨ q；③ p∧(綈 q)；④(綈 p)∨ q 中，是真命题的序号是________．分析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故① p∧ q 为假命题；②∨q 为真命题；③綈q为真命题，则p∧( 綈) 为真命题；④綈p为假命题，则 ( 綈 ) ∨qp q p为假命题．答案：②③考点三依据命题的真假求参数的取值范围要点保分型考点——师生共研[ 典例引领 ](2019 ·无锡天一中学月考) 已知命题p：? m∈[－1，1]，使不等式a2－5a＋5≥ m＋2建立；命题：2＋ax ＋2＝ 0 有两个负数根，若p∨q为真，p∧q为假，务实数a的取值范q x围．解：因为 p∨ q 为真， p∧q 为假，所以p， q 一真一假．由题设知，对于命题p，因为 m∈[－1,1]，所以 m＋2∈[1,3]，所以不等式a2－5a＋5≥1建立，所以 a2－5a＋4≥0，解得 a≤1或 a≥4.对于命题 q，因为 x2＋ ax＋2＝0有两个负数根，＝ a2－8≥0，所以所以 a≥22.x1＋ x2＝－ a＜0，若 p 真 q 假，则 a≤1；若 p 假 q 真，则22≤a＜ 4，所以实数 a 的取值范围为(－∞，1]∪[22，4) ．[ 由题悟法 ]依据命题真假求参数范围的步骤(1)先依据题目条件，推出每一个命题的真假( 有时不必定只有一种状况 ) ；(2)而后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)最后依据每个命题的真假状况，求出参数的取值范围．[ 即时应用 ]1．(2018 ·江苏百校结盟联考) 已知命题：“ ?x∈[1,2]，使x2＋2x＋ a≥0”为真命题，则实数 a 的取值范围是________．分析：当x∈[1,2]时， x2＋2x＝( x＋1)2－1是增函数，所以3≤x2＋ 2x≤8，由题意得a＋8≥0，所以a≥－8.答案： [ － 8，＋∞)2．(2019 ·海门中学检测) 已知命题p：? x∈R， x2＋1＞0，命题 q：? x∈R，3sin x＋cosx ＜，且∧为假命题，则实数a的取值范围为 ________．a p q分析：由已知可得：命题p 为真命题，∵ p∧q 为假命题，∴ q 为假命题．若 q 为真，则 a＞3sin x＋cos x 对? x∈R恒建立，∵ 3sin x＋cos x＝2sin x＋π且正弦函数 y＝sin x 的值域为[－1,1]，6∴ 3sin x＋cos x＝2sin x＋π的最大值为 2，∴a＞2. 6∵q 为假命题，∴ a≤2，∴实数 a 的取值范围为(－∞，2]．答案： ( －∞， 2]一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019 ·南通中学高三检测) 命题“ ? x∈ (0 ，＋∞ ) ， ln x ＝ x －1”的否认是“________________”．答案： ? x∈ (0 ，＋∞ ) ， ln x≠ x－12．(2018 ·镇江模拟 ) 已知命题p：函数 y＝ a x＋1＋1( a＞0且 a≠1)的图象恒过点( －1,2) ；命题 q：已知平面α∥平面β，则直线m∥ α是直线 m∥β的充要条件，则有以下命题：①p∧ q；②(綈 p)∧(綈 q)；③(綈 p)∧ q；④ p∧(綈q)．此中为真命题的序号是 ________．分析：由指数函数恒过点(0,1)知，函数 y＝ a x＋1＋1是由 y＝ a x先向左平移1个单位，再向上平移 1 个单位获得．所以函数x ＋ 1－ 1,2)，故命题 p 为真命题；命题y＝a＋1 恒过点 (：与β 的地点关系也可能是?β ，故q 是假命题．所以p∧( 綈 ) 为真命题．q m m q答案：④3．若“x∈ [2,5] 或x∈ ( －∞，1) ∪ (4 ，＋∞ ) ”是假命题，则x的取值范围是 ________．解析：根据题意得“ x ? [2,5]且 x ?(－∞，1)∪(4，＋∞)”是真命题，所以x＜2或 x＞5，解得 1≤x＜ 2，故x∈ [1,2)．1≤x≤4，答案： [1,2)4．已知函数f ( x) ＝x2＋mx＋ 1，若命题“ ?x＞0， f ( x)＜0”为真，则m的取值范围是________．分析：因为函数f () ＝x2＋＋ 1 的图象过点 (0,1) ，若命题“ ?x＞0， (x) ＜0”为真，x mx f则函数 f ( x)＝ x2＋mx＋1的图象的对称轴必在y 轴的右边，且与x 轴有两个不一样交点，2－ 4＞ 0，＝ m所以m解得 m＜－2，所以 m的取值范围是(－∞，－2)．－2＞0，答案： ( －∞，－ 2)5．(2018 ·南京外国语学校模拟) 已知命题p：? x∈R，使tan x＝1，命题q： x2－3x ＋2＜ 0 的解集是 { x|1 ＜x＜ 2} ，给出以下结论：①命题“ p∧ q”是真命题；②命题“ p∧綈 q”是假命题；③命题“綈 p∨q”是真命题；④命题“綈 p∨綈 q”是假命题．此中正确的选项是________．分析：命题 p：? x∈R，使tan＜x ＜2}也是真命题，所以，①命题“题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈答案：①②③④x＝1是真命题，命题q： x2－3x＋2＜0的解集是{ x|1 p∧ q”是真命题；②命题“ p∧綈 q”是假命题；③命p∨綈 q”是假命题．故①②③④均正确．6．(2019 ·海门实验中学检测) 命题p： ? x∈ [ － 1,1]，使得2x＜a建立；命题q： ? x∈(0 ，＋∞ ) ，不等式＜x 2＋ 1 恒建立．若命题p∧q为真，则实数a的取值范围为 ________．ax分析：由 x∈[－1,1]可知，当 x＝－1时，x1 2获得最小值2，x1若命题 p：? x∈[－1,1] ，使得 2 ＜a建立为真，则a＞2.若命题 q：? x∈(0，＋∞)，不等式ax＜ x2＋1恒建立为真，1即 ? x∈ (0 ，＋∞ ) ，a＜x＋x恒建立为真，1当 x＝1时， x＋x取最小值2，故 a＜2.1因为命题 p∧ q 为真，所以a∈2，2 .1答案：， 22二保高考，全练题型做到高考达标1．命题“ ? n∈N*，f ( n) ∈N*且f ( n) ≤n”的否认形式是________________ ．分析：全称命题的否认为存在性命题，所以命题“? n∈ N*，f ( n) ∈ N*且f ( n) ≤n”的否定形式是“ ? n∈ N*，f ( n) ?N*或f ( n) ＞n”．答案： ? n∈ N*，f ( n) ?N*或f ( n) ＞n2．(2019 ·海安中学测试) 若命题“ ? x∈ [1,2]，x2－4ax＋3a2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．分析：令f (x) ＝2－ 4ax＋ 3 2，依据题意可得f＝ 1－ 4a＋ 3a2≤0，解得2 x a f＝ 4－ 8a＋ 3a2≤0，3 2≤a≤1，所以实数 a 的取值范围是3，1 .2答案：， 133．(2018 ·南通大学附中月考) 已知命题p：“随意 x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x ∈ R，使2＋ 2＋ 2－a＝0”．若命题“∧ ”是真命题，则实数a的取值范围是xax p q________．分析：由题意知，：≤1，q ：≤－2或≥1. 因为“p∧ ”为真命题，所以，均p a a a q p q为真命题，所以a≤－2或 a＝1.答案： ( －∞，－ 2] ∪ {1}4．(2018 ·沙市里校级期中3x，) 函数f ( x) ＝x－ 12x＋ 3，g( x) ＝3 －m，若对 ? x∈ [ － 1,5]1? x2∈ [0,2] ，f ( x1) ≥g( x2) ，则实数m的最小值是 ________．分析：由 f ′(x)＝3x2－12，可得 f ( x)在区间[－1,2]上单一递减，在区间[2,5]上单一递加，∴f ( x)min＝ f (2)＝－13，∵ g( x)＝3x－ m是增函数，∴ g( x)min＝1－ m，要知足题意，只要f(x)≥ (x) 即可，解得≥14，min min故实数 m的最小值是14.答案： 145．已知p： | x－a| ＜ 4，q：( x－ 2)(3 －x) ＞0，若綈p是綈q的充足不用要条件，则实数 a 的取值范围是________．分析：由题意知p： a－4＜ x＜ a＋4，q：2＜ x＜3，因为“綈p”是“綈 q”的充足不用要条件，所以q 是 p 的充足不用要条件．所以a－4≤2，a＋4＞3或a－4＜2，a＋4≥3，解得－ 1≤a≤6.答案： [ － 1,6]6．(2019 ·杨大附中月考) 给出以下命题：① ?x∈N， x3＞ x2；②所有能够被 5 整除的整数，末位数字都是0；③? x∈ R，x2－x＋1≤0；④存在一个四边形，它的对角线相互垂直．则上述命题的否认中，真命题的序号为________．分析：命题与命题的否认一真一假．①当x＝0或1时，不等式不建立，所以①是假命题，①的否认是真命题；②能够被 5 整除的整数，末位数字是0 或 5，所以②是假命题，②的否认是真命题；③x x11 2＋3＞恒建立，所以③是假命题，③的否认是真2－＋＝ x－24命题；④是真命题，所以④的否认为假命题．答案：①②③7 ．命题p 的否定是“对所有正数x ，x ＞ x ＋1”，则命题p 可写为________________________ ．分析：因为 p 是綈 p 的否认，所以只要将全称命题变成存在性命题，再对结论否定即可．答案： ?x∈(0，＋∞)，x≤ x＋1ππ8．若“ ? x∈ －4，4， m≤tan x＋1”为真命题，则实数m的最大值为________．分析：由 x∈ －ππ，可得－ 1≤tan x≤1，所以0≤tan x＋1≤2，4，4因为 ?xππ，≤tanx＋ 1，所以≤0，所以实数的最大值为 0.∈ －，44m m m答案： 09．(2018 ·南京期末 ) 已知∈ R，设命题：?x ∈R，2＋＋ 1＞0；命题：函数f(x)m p mx mx q＝x3－3x2＋ m－1只有一个零点，则使“p∨q”为假命题的实数 m的取值范围为________．分析：若p 为真，当＝0 时，切合题意；mm＞0，则 0＜＜4，当≠0时，－ 4m＜ 0，m＝2mm∴命题 p 为真时，0≤ m＜4.若 q 为真，由 f ( x)＝ x3－3x2＋ m－1，得 f ′(x)＝3x2－6x，令 f ′(x)＝0，得 x＝0或 x＝2.∴当x ∈( －∞，0) ∪(2 ，＋∞ ) 时，f′( )＞0；当x∈ (0,2)时，f′( ) ＜0，x x∴ f ( x)的单一递加区间为( －∞， 0) ， (2 ，＋∞ ) ，单一递减区间为(0,2) ．∴ f ( x)的极大值为 f (0)＝m－1，极小值为 f (2)＝ m－5.要使函数 f ( x)＝ x3－3x2＋ m－1只有一个零点，则m－1＜0或 m－5＞0，解得 m＜1或 m＞5.∵“ p∨ q”为假命题，∴ p 为假， q 为假，m＜0或m≥4，解得 4≤m≤5，即1≤m≤5，故实数 m的取值范围为[4,5]．答案： [4,5]10．(2018 ·南京一中模拟) 给出以下命题：①“ a≤3”是“? x∈[0,2]，使 x2－a≥0建立”的充足不用要条件；x＞1”的否认是“x≤1”；②命题“ ? x∈ (0 ，＋∞ ) ， 2? x∈ (0 ，＋∞ ) ， 2③若“p ∧ ”为假命题，则，q均为假命题．q p此中正确的命题是________． ( 填序号 )分析：对于①，由? x∈ [0,2]，使x2－a≥0建立，可得a≤4，所以为充足不用要条件，①正确；②明显正确；对于③，若“p 且 q”为假命题，则p，q 中有一假命题即可，所以③错误．答案：①②11．已知命题p：函数 y＝lg( ax2＋2x＋ a)的定义域为R；命题q：函数f ( x) ＝ 2x2－ax 在( －∞， 1) 上单一递减．(1) 若“∧綈”为真命题，务实数a 的取值范围；pq(2)设对于 x 的不等式( x－ m)( x－ m＋2)＜0的解集为 A，命题 p 为真命题时， a 的取值会合为 B.若 A∩ B＝ A，务实数 m的取值范围．解： (1) 若p为真命题，则ax2＋2x＋a＞0的解集为R，则 a＞0且4－4a2＜0，解得 a＞1.a若 q 为真命题，则4≥1，即 a≥4.因为“p ∧綈”为真命题，所以p为真命题且q为假命题，q所以实数 a 的取值范围是(1,4)．(2)解不等式 ( x－m)( x－m＋ 2) ＜ 0，得m－ 2＜x＜m，即 A＝( m－2， m)．由(1) 知，B＝ (1，＋∞ ) ．因为 A∩ B＝ A，则 A? B，所以 m－2≥1，即 m≥3.故实数 m的取值范围为[3，＋∞).12．设p：实数x知足x2－5ax＋ 4a2＜ 0( 此中a＞0) ，q：实数x知足 2＜x≤5.(1)若 a＝1，且 p∧ q 为真，务实数 x 的取值范围；(2) 若綈q是綈p的必需不充足条件，务实数 a 的取值范围．解： (1) 当a ＝1 时，x2－ 5 ＋ 4＜ 0，解得 1＜＜ 4，x x即 p 为真时，实数x 的取值范围是1＜x＜ 4.若 p∧q 为真，则 p 真且 q 真，所以实数 x 的取值范围是(2,4)．(2) 綈q是綈p的必需不充足条件，即p 是 q 的必需不充足条件，设 A＝{ x| p( x)}， B＝{ x| q( x)}，则 B A，由 x2－5ax＋4a2＜0得( x－4a)( x－ a)＜0，因为 a＞0，所以 A＝( a, 4a)，5又 B＝(2,5]，则a≤2且4a＞5，解得4＜a≤2.5所以实数 a 的取值范围为4，2 .13．(2019 ·启东检测) 已知p： ? x∈(0 ，＋∞ ) ，x2－ 2eln x≤ m； q：函数 y＝ x2－2mx ＋1 有两个零点．(1)若∨q 为假命题，务实数的取值范围；p m(2)若 p∨q 为真命题， p∧ q为假命题，务实数m的取值范围．解：若 p 为真，令 f ( x)＝x2－2eln x，问题转变成求函数 f ( x)的最小值．2e2x2－ 2ef ′(x)＝2x－x＝x，令 f ′(x)＝0，解得 x＝e，函数 f ( x)＝ x2－2eln x 在(0，e)上单一递减，在(e，＋∞ ) 上单一递加，故f () min＝(e) ＝0，故≥0. x f m若 q 为真，则2＝ 4m－ 4＞0，解得m＞ 1 或m＜－ 1.(1) 若p∨q为假命题，则p， q 均为假命题，即 m＜0且－1≤ m≤1，所以实数 m的取值范围为[－1,0)．(2)若 p∨ q 为真命题， p∧ q 为假命题，则 p， q 一真一假．p q m≥0，若真假，则实数知足即 0≤ ≤1；m－1≤m≤1，m若 p 假 q 真，则实数 m知足m＜0，即 m＜－1.＞1或＜－1，mm综上所述，实数m的取值范围为(－∞，－1)∪[0,1]．三登台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019 ·姜堰中学检测 ) 设p：函数f ( x) ＝x3－mx－ 1 在区间 [ －1,1]上单一递减； q：方程x2＋y2p∨ q 为真命题， p∧ q 为假命题，则实m－1＝ 1 表示焦点在y轴上的椭圆．假如9－m数 m的取值范围是________．分析：若p 为真，由函数f(x) ＝3－－ 1在区间 [ － 1,1] 上单一递减，x mx得 f ′(x)＝3x2－ m≤0在区间[－1,1]上恒建立，即 m≥3x2，当－ 1≤x≤1时， 3x2≤3，则m≥3；若 q为真，由方程x2y2＝ 1 表示焦点在y轴上的椭圆，＋m－1 9－m9－＞0，m得 m－1＞0，解得＜＜1m 5.9－＞－1，m m假如 p∨ q 为真命题， p∧q 为假命题，则 p，q 一真一假，若p 真q假，则m≥3，得≥5；m≥5或 m≤1，m若 p 假 q 真，则m＜3，得 1＜m＜ 3，1＜m＜ 5，综上，实数 m的取值范围是(1,3)∪[5 ，＋∞ ) ．答案： (1,3)∪ [5 ，＋∞)2．(2018 ·宿迁中学月考 ) 已知命题： ?x ∈ R，2＋2≤0，：?x∈ R，2－ 2＋ 1＞p mx q x mx 0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是________．分析：因为 p∨q 为假命题，所以p， q 都是假命题．由p ：?x∈ R，2＋2≤0为假命题，得綈p：?x∈ R，2＋ 2＞ 0 为真命题，所以≥0.mx mx m由 q：? x∈R， x2－2mx＋1＞0为假命题，得綈q：? x∈R，x2－2mx＋1≤0为真命题，所以＝ ( － 2m) 2－4≥0，解得m≤－ 1或 m≥1.综上，可得m≥1.答案： [1 ，＋∞)命题点一会合及其运算1.(2017 ·江苏高考 ) 已知会合＝ {1,2} ，＝{，2＋ 3} ．若∩＝ {1} ，则实数a 的A B a a A B值为 ________．分析：因为 a2＋3≥3，所以由 A∩ B＝{1}，得 a＝1，即实数 a 的值为1.答案： 12．(2016 ·江苏高考 ) 已知会合A＝{－1,2,3,6}， B＝{ x|－2＜ x ＜3}，则A∩ B＝________.分析：在会合 A中知足会合 B 中条件的元素有－1,2两个，故 A∩B＝{－1,2}．答案： { － 1,2}3．(2015 ·江苏高考) 已知会合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则会合A∪ B 中元素的个数为________．分析：因为 A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，所以∪＝ {1,2,3,4,5}，所以∪B 中元素个数为 5.A B A答案： 54．(2018 ·浙江高考改编 ) 已知全集U＝ {1,2,3,4,5}， A＝{1,3}，则? A＝________.U 分析：∵＝ {1,2,3,4,5}，＝ {1,3}，∴ ?U＝{2,4,5} ．U A A答案： {2,4,5}5．(2018 ·北京高考改编) 已知会合A＝{ x|| x|＜2}， B＝{－2，0,1,2}，则 A∩ B＝________.分析：∵ A＝{ x|| x|＜2}＝{ x|－2＜ x＜2}，B＝{－2,0,1,2}，∴ A∩ B＝{0,1}．答案： {0,1}6．(2018 ·全国卷Ⅰ改编) 已知会合A＝{0,2}， B＝{－2，－1,0,1,2}，则 A∩ B＝________.分析： A∩ B＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}．答案： {0,2}命题点二充足条件与必需条件1．(2017 ·浙江高考改编 ) 已知等差数列 { a n} 的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S ＋ S ＞2S ”的________条件．465分析：因为 { a n} 为等差数列，所以S4＋ S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d, 2S5＝10a1＋20d ， S 4＋ S 6－ 2S 5＝ d ，所以 d ＞ 0? S 4＋ S 6＞ 2S 5.答案：充要2．(2018 ·天津高考改编 ) 设 x ∈ R ，则“ x 3＞8”是“|x | ＞2”的 ________条件．分析：由 x 3＞ 8? x ＞ 2? | x | ＞ 2，反之不建立，故“ x 3＞8”是“|x | ＞2”的充足不用要条件．答案：充足不用要．·天津高考改编)设x ∈ ，则“ x － 1 1 x 3＜ ”的 ________条件．＜ ”是“3 (2018R221分析：由1 1 31＜ 13 3x －＜ ，得 0＜ x ＜ 1，则 0＜ x ＜ 1，即“ x －2 ” ? “ x ＜1”；由 x 2221 ≥1，即“ x 3＜1”“ x － 1＜1”．所以“ 1＜1，得 x ＜ 1，当 x ≤0时， x － 2 x － ＜2 22 212”是“ x 3＜1”的充足不用要条件．答案：充足不用要4．(2016 ·上海高考 ) 设 a ∈ R ，则“ a ＞1”是“ a 2＞1”的 ____条件．分析：由 a ＞ 1 可得 a 2 ＞1，由 a 2＞ 1 可得 a ＞ 1 或 a ＜－ 1. 所以“ a ＞1”是“ a 2＞1”的充足不用要条件．答案：充足不用要5．(2016 ·天津高考改编 ) 设{ a n } 是首项为正数的等比数列， 公比为 q ，则“ q ＜0”是“对随意的正整数 n ， a 2n － 1＋ a 2n ＜0”的 ________条件．分析：设数列 { a n } 的首项为 a 1，则 a 2n －1＋ a 2n ＝ a 1q 2n － 2＋ a 1q 2n － 1＝a 1q 2n －2(1 ＋q ) ＜ 0，即 q＜－ 1，故 q ＜0 是 q ＜－ 1 的必需不充足条件．答案：必需不充足命题点三命题及其真假性21．(2012 ·全国卷 ) 下边是对于复数z ＝ － 1＋ i 的四个命题：1： | z | ＝2， 2： z 2＝2i ，p pp 3： z 的共轭复数为1＋ i ，p 4：z 的虚部为－ 1.此中的真命题为 ________．分析：因为复数z ＝2 ＝－ 1－ i ，所以 | z | ＝ 2， z 2＝( － 1－ i) 2＝ (1 ＋ i) 2＝2i ， z－1＋ i的共轭复数为－ 1＋ i ， z 的虚部为－ 1，综上可知 p 2， p 4 是真命题．答案： p 2， p 42．(2015 ·山东高考改编 ) 设 ∈R ，命题“若 ＞ 0，则方程2＋ － ＝0 有实根”的逆m m x x m否命题是 ________．分析：依据逆否命题的定义，命题“若m＞0，则方程 x2＋ x－ m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋ x－ m＝0没有实根，则m≤0”．答案：若方程x2＋x－ m＝0没有实根，则 m≤0命题点四全称量词和存在量词1．(2015 ·全国卷Ⅰ改编 ) 设命题p： ?n∈N， n2＞2n，则綈 p 为________．分析：因为“ ? x∈M，p( x) ”的否认是“ ? x∈M，綈p( x) ”，所以命题“? n∈ N，n2 n n＞2 ”的否认是“ ? n∈N，n2≤2”．2n答案： ? n∈ N，n≤22．(2016 ·浙江高考改编 ) 命题“ ?*2x∈R，? n∈N，使得 n≥ x ”的否认形式是________．分析：因为存在性命题的否认形式是全称命题，全称命题的否认形式是存在性命题，所以“ ? x∈ R， ? n∈ N*，使得n≥x2”的否认形式为“? x∈ R，? n∈ N*，使得n＜x2”．答案： ? x∈ R，? n∈ N*，使得n＜x23．(2015 ·山东高考) 若“ ? x∈0，π， tan x≤ m”是真命题，则实数 m的最小值为4________．分析：由题意，原命题等价于 tanx ≤ 在区间0，π上恒建立，即y＝tanx在 0，πm44上的最大值小于或等于m，又 y＝tan x在0，π1，所以m≥1，即m的最小4上的最大值为值为 1.答案： 1。

高中数学高三教案学案江苏省南师大附中2020精品学案集合与逻辑（含教师版13个）1集合x一、知识清单：1.元素与集合的关系:用∈或∉表示；2.集合中元素具有确定性、无序性、互异性.3.集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特点分；数集，点集。

如数集{y |y =x 2},表示非负实数集，点集{(x ，y )|y =x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线；4.集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}； ②描述法③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N ；正整数集*N N +或；整数集Z ；有理数集Q 、实数集R;5．集合与集合的关系:用⊆，≠⊂，=表示;A 是B 的子集记为A ⊆B ；A 是B 的真子集记为A ≠⊂B 。

①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆；②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ；空集是任何非空集合的真子集；③假如B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B ；假如A B ⊆，B C ⊆，A C ⊆那么.④n 个元素的子集有2n 个；n 个元素的真子集有2n －1个；n 个元素的非空真子集有2n －2个.6．交集A∩B={x |x ∈A 且x ∈B};并集A ∪B={x |x ∈A ，或x ∈B};补集C U A=｛x |x ∈U ，且x ∉A ｝，集合U 表示全集.7.集合运算中常用结论:①;A B A B A ⊆⇔=A B A B B ⊆⇔=②()()();U U U C A B C A C B =()()()U U U C A B C A C B =③()()card A B card A =+()()card B card A B -二、课前预习1．以下关系式中正确的选项是〔 〕(A){}Φ⊆Φ (B){}0∈Φ (C)0{}Φ= (D)0{}⊆Φ2． 3231x y x y +=⎧⎨-=⎩解集为__ 3．设{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--,{}9A B =,求实数a 的值.4．设{}220,M x x x x R =++=∈，a =lg(lg10)，那么{a }与M 的关系是( )(A){a }=M (B)M ⊆{a } (C){a }∈M (D)M ⊇{a }5．用适当的符号()∈∉⊆⊄、、=、、填空： ①π Q ; ②{3.14}____Q ;③-R ∪R + R; ④{x |x =2k +1, k ∈Z} {x |x =2k －1, k ∈Z}。

[必修1]第一章 集合 第一节 集合的含义与表示学时：1学时 [学习引导] 一、自主学习 1．阅读课本15P P -. 2．回答问题：⑴本节内容有哪些概念和知识点？ ⑵尝试说出相关概念的含义？ 3完成5P 练习 4小结 二、方法指导1、要结合例子理解集合的概念，能说出常用的数集的名称和符号。

2、理解集合元素的特性，并会判断元素与集合的关系3、掌握集合的表示方法，并会正确运用它们表示一些简单集合。

4、在学习中要特别注意理解空集的意义和记法 [思考引导] 一、提问题1．集合中的元素有什么特点？ 2、集合的常用表示法有哪些？ 3、集合如何分类？4．元素与集合具有什么关系？如何用数学语言表述？ 5集合∅和{}∅是否相同？ 二、变题目1．下列各组对象不能构成集合的是（ ） A ．北京大学2008级新生 B ．26个英文字母 C ．著名的艺术家D ．2008年北京奥运会中所设定的比赛项目 2．下列语句：①0与{}0表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,2,1； ③方程22(1)(2)0x x --=的解集可表示为{}1,1,2； ④集合{}45x x <<可以用列举法表示。

其中正确的是（ ）A ．①和④B ．②和③C ．②D ．以上语句都不对 [总结引导]1．集合中元素的三特性：2．集合、元素、及其相互关系的数学符号语言的表示和理解： 3．空集的含义： [拓展引导]1．课外作业：6P 习题1—1第1,2,3,4题； 2．若集合{}233,23,1a a a -∈-++，求实数a 的值；3．若集合{}2440A x kx x =++=只有一个元素，则实数k 的值为 ；若A 为空集，则k 的取值范围是 ．撰稿：程晓杰 审稿：宋庆参考答案[思考引导] 一、提问题1．确定性、互异性、无序性 2、列举法、描述法、图示法3、按元素的个数分为：空集（集合中没有元素）、有限集（集合中有有限个元素）、无限集（集合中有无穷多个元素） 4．属于、不属于；A a A a ∉∈、 5不同二、变题目 1．C ； 2．C ； [拓展引导]2．0a =或3a =-； 3．0或1；{}1k k >撰稿：程晓杰 审稿：宋庆[必修1]第一章 集合 第二节 集合的基本关系学时：1学时 [学习引导] 一、自主学习 1．阅读课本78P -． 2．回答问题（1）本节引入了哪些新的数学概念？ （2）子集及真子集概念的内容是什么？ （3）Venn 图是什么？ 3完成练习9P 4、小结 二、方法指导1在学习子集概念时，注意体会“任意”二字，及符号“⊆”与“⊇”的区别。

高中数学高三教案学案江苏省南师大附中2020精品学案集合与逻辑（含教师版13个）一集合基础教师版一、明白得集合中的有关概念〔1〕集合中元素的特点：确定性，互异性，无序性 。

〔2〕集合与元素的关系用符号⊆∈, 表示。

〔3〕常用数集的符号表示：自然数集 N ；正整数集 N * 、 N + ；整数集 Z ；有理数集 Q 、实数集 R 。

〔4〕集合的表示法:列举法，描述法，符号法〔数轴法，韦恩图法〕注意：区分集合中元素的形式：如：}12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C }12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==； }12|)',{(2++==x x y y x F ；},12|{2xy z x x y z G =++== 〔5〕空集是指不含任何元素的集合。

〔}0{、φ和}{φ的区不；0与三者间的关系〕 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情形。

如：}012|{2=--=x ax x A ，假如φ=+R A ，求a 的取值。

二、集合间的关系及其运算〔1〕符号〝∉∈,〞是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的表达 点与直线〔面〕的关系 ；符号〝⊄⊂,〞是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的表达 面与直线(面)的关系 。

〔2〕A ⋂B={ x| x ∈A且x ∈B} A ⋃B={ x| x ∈A 或x ∈B}； C I A={ x| x ∈ I 且x ∉A }〔3〕关于任意集合B A ,，那么：①A B B A =；A B B A =；B A B A ⊆；②⇔=A B A A ⊆B ；⇔=A B A B ⊆A ；⇔=U B A C U A ⋃B=；⇔=φB A C U A ⋂B=U ；③=B C A C U U )(B A C U ⋃; B C A C U U ⋃)(B A C U =；〔4〕①假设n 为偶数，那么=n 2K,(k Z ∈)；假设n 为奇数，那么=n 2k+1, (k Z ∈)；②假设n 被3除余0，那么=n 3k, (k Z ∈)；假设n 被3除余1，那么=n 3k+1(k Z ∈)；假设n 被3除余2，那么=n 3k+2(k Z ∈)；三、集合中元素的个数的运算：〔1〕假设集合A 中有n 个元素，那么集合A 的所有不同的子集个数为2n ，所有真子集的个数是2n -1，所有非空真子集的个数是2n -2。

第一节集合的概念与运算1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N *或N＋Z Q R2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的任意一个元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈B A⊆B或B⊇A 真子集集合A是集合B的子集，并且集合A与集合B不相等A⊆B，且A≠B A B或B A 相等集合A，B的元素完全相同A⊆B，B⊆A A＝B空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集∀x，x∉∅，∅⊆A，∅B∅3．集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B并集所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B补集全集U中不属于集合{x|x∈U，且x∉A}∁U A(1)若集合A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个．(2)集合的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.(考虑A是空集和不是空集两种情况)(4)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．[小题体验]1．(2018·江苏高考)已知集合A＝{0,1,2,8}，B＝{－1,1,6,8}，那么A∩B＝________.答案：{1,8}2．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3,4}，N＝{4,5}，则∁U(M∪N)＝________.答案：{1,6}3．设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)＜0}，B＝{x|0≤x≤3}，则A∩B＝________.答案：{x|0≤x＜2}4．设全集U＝N*，集合A＝{2,3,6,8,9}，集合B＝{x|x＞3，x∈N*}，则图中阴影部分所表示的集合是________．答案：{2,3}1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他形式)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件．2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．3．注意空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．4．运用数轴图示法注意端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[小题纠偏]1．已知集合A＝{x∈N|x2－2x≤0}，则满足A∪B＝{0,1,2}的集合B的个数为________．解析：由A中的不等式解得0≤x≤2，x∈N，即A＝{0,1,2}．因为A∪B＝{0,1,2}，所以B可能为{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，∅，共8个．答案：82．已知集合M＝{1,2}，N＝{3,4,5}，P＝{x|x＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P的元素个数为________．解析：因为a ∈M ，b ∈N ，所以a ＝1或2，b ＝3或4或5.当a ＝1时，若b ＝3，则x ＝4；若b ＝4，则x ＝5；若b ＝5，则x ＝6.同理，当a ＝2时，若b ＝3，则x ＝5；若b ＝4，则x ＝6；若b ＝5，则x ＝7，由集合中元素的特性知P ＝{4,5,6,7}，则P 中的元素共有4个．答案：43．设集合A ＝{x |y ＝lg(－x 2＋x ＋2)}，B ＝{x |x －a ＞0}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题设条件得A ＝{x |－x 2＋x ＋2＞0}＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |x ＞a }．因为A ⊆B ，在数轴上表示出两集合如图所示， 故a ≤－1. 答案：(－∞，－1]4．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3， 根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，满足题意．故m ＝－32.答案：－32考点一 集合的基本概念基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(易错题)已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为________．解析：集合B 中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．答案：92．若－1∈{a －1,2a ＋1，a 2－1}，则实数a 的取值集合是________．解析：若a －1＝－1，解得a ＝0，此时集合中的元素为－1,1，－1，不符合元素的互异性；若2a ＋1＝－1，解得a ＝－1，此时集合中的元素为－2，－1，0，符合题意； 若a 2－1＝－1，解得a ＝0，不符合题意， 综上所述，a ＝－1，故填{－1}． 答案：{－1}3．若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________.解析：若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意．当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的值为0或98.答案：0或984．(易错题)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1，m }，若3－m ∈A ，则非零实数m 的值是________． 解析：由题意知，若3－m ＝1，则m ＝2，符合题意；若3－m ＝2，则m ＝1，此时集合B 不符合元素的互异性，故m ≠1；若3－m ＝3，则m ＝0，不符合题意． 故m ＝2. 答案：2[谨记通法]与集合中元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．考点二 集合间的基本关系重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．已知集合M ＝{1,2,3,4}，则集合P ＝{x |x ∈M 且2x ∉M }的子集有________个． 解析：由题意，得P ＝{3,4}，所以集合P 的子集有22＝4个． 答案：42．已知集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n ＋13，n ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n3＋1，n ∈Z ，则集合A ，B 的关系为________．解析：x ＝2n 3＋1＝2n ＋33，∵n ∈Z ，∴2n 为偶数，∴2n ＋1为奇数，2n ＋3为奇数， ∴A ＝B .答案：A ＝B3．(2019·无锡期中)已知集合A ＝{0,1,2}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，1x ，且B ⊆A ，则实数x ＝________.解析：∵B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，1x 且B ⊆A ，∴1x ＝2，∴x ＝12. 答案：12[由题悟法]判断集合间关系的3种方法1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________．解析：由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2， 所以A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，故所求集合C 的个数为4.答案：42．(2018·镇江二模)设集合A ＝{2,4}，B ＝{a 2,2}(其中a ＜0)，若A ＝B ，则实数a ＝________.解析：∵A ＝{2,4}，B ＝{a 2,2}，且A ＝B ，∴a 2＝4.又a ＜0，∴a ＝－2. 答案：－23．(2019·海门中学测试)已知集合A ＝{1,3，x }，B ＝{2－x,1}． (1)记集合M ＝{1,4，y }，若集合A ＝M ，求实数x ＋y 的值；(2)是否存在实数x ，使得B ⊆A ？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题可知⎩⎨⎧x ＝4，y ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝3，故x ＋y ＝19.(2)假设存在实数x，使得B⊆A，则2－x＝3，或2－x＝x.若2－x＝3，则x＝－1，不合题意；若2－x＝x，则x＋x－2＝0，解得x＝1，不合题意．故不存在实数x，使得B⊆A.考点三集合的基本运算题点多变型考点——多角探明[锁定考向]集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．常见的命题角度有：(1)集合的运算；(2)利用集合运算求参数；(3)新定义集合问题．[题点全练]角度一：集合的运算1．设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{1,2,3,4}，则(A∪B)∩C＝________.解析：由题意知A∪B＝{1,2,4,6}，所以(A∪B)∩C＝{1,2,4}．答案：{1,2,4}2．(2019·汇龙中学检测)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，集合B＝{2,4}，则(∁U A)∪B＝________.解析：因为∁U A＝{2,5}，所以(∁U A)∪B＝{2,4,5}．答案：{2,4,5}角度二：利用集合运算求参数3．(2019·苏州模拟)已知全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，∁U A＝{5}，则实数a＝________.解析：由题意知，a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2.当a＝－4时，|2a－1|＝9，而9∉U，所以a＝－4不满足题意，舍去；当a＝2时，|2a－1|＝3,3∈U，满足题意．故实数a 的值为2.答案：2角度三：新定义集合问题4.如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝3x，x＞0}，则A B＝________.解析：因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1＜x≤2}，结合Venn图可知A B＝∁A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}．答案：{x|0≤x≤1或x＞2}[通法在握] 解集合运算问题4个技巧看元素构成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键对集合化简有些集合是可以化简的，先化简集合再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决数形结合常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图新定义型问题以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决[演练冲关]1．(2018·南京高三年级学情调研)若集合P＝{－1,0,1,2}，Q＝{0,2,3}，则P∩Q＝________.解析：由已知可得，P∩Q＝{0,2}．答案：{0,2}2．(2018·苏州检测)设集合A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2,5)}，则a＋b＝________.解析：因为A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2,5)}，所以5＝2a＋1，且5＝2＋b，解得a＝2，b＝3，所以a＋b＝5.答案：53．(2019·南京师大附中检测)设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________.解析：因为A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，所以A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|0＜x＜2}，所以A⊗B＝{x|x＝0或x≥2}．答案：{x|x＝0或x≥2}4．(2018·泰州中学高三学情调研)已知全集I＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,3,5}，B ＝{2,3,6}，则(∁I A)∩B＝________.解析：因为全集I＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,3,5}，所以∁I A＝{2,4,6}，又因为B ＝{2,3,6}，所以(∁I A)∩B＝{2,6}．答案：{2,6}一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·徐州、连云港、宿迁三检)已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|0＜x ＜5}，则A∩B＝________.解析：因为集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}为奇数集，B＝{x|0＜x＜5}，所以A∩B＝{1,3}．答案：{1,3}2．定义：满足任意元素x∈A，则|4－x|∈A的集合称为优集，若集合A＝{1，a,7}是优集，则实数a的值为________．解析：依题意，当x＝1时，|4－x|＝3∈A，当x＝7时，|4－x|＝3∈A，所以a＝3符合条件．答案：33．(2018·如皋高三上学期调研)集合A＝{1,3}，B＝{a2＋2,3}，若A∪B＝{1,2,3}，则实数a的值为________．解析：∵A＝{1,3}，B＝{a2＋2,3}，且A∪B＝{1,2,3}，∴a2＋2＝2，解得a＝0，即实数a的值为0.答案：04．(2018·盐城三模)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,5,7,9}，C＝A∩B，则集合C 的子集的个数为________．解析：因为A∩B＝{1,3,5}，所以C＝{1,3,5}，故集合C的子集的个数为23＝8.答案：85．(2019·徐州期中)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＜y，x＋y∈A}，则集合B的子集个数是________．解析：∵集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＜y，x＋y∈A}，∴B＝{(1,2)，(2,3)，(1,3)，(1,4)}，∴集合B的子集个数是24＝16.答案：166．(2019·南通中学检测)已知集合A＝{x|y＝9－x2}，B＝{x|x≥a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是________．解析：因为A∩B＝A，所以A⊆B.因为A＝{x|y＝9－x2}＝{x|9－x2≥0}＝[－3,3]，所以[－3,3]⊆[a，＋∞)，所以a≤－3.答案：(－∞，－3]二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·常州调研)已知{1}⊆A ⊆{1,2,3}，则这样的集合A 有________个． 解析：根据已知条件知符合条件的A 为：A ＝{1}，{1,2}，{1,3}，{1,2,3}， ∴集合A 有4个． 答案：42．(2019·启东中学检测)已知集合A ＝{x |0＜x ≤6}，B ＝{x ∈N|2x＜33}，则集合A ∩B 的元素个数为________．解析：因为A ＝{x |0＜x ≤6}，B ＝{x ∈N|2x＜33}＝{0,1,2,3,4,5}，所以A ∩B ＝{1,2,3,4,5}，即A ∩B 的元素个数为5.答案：53．已知a ≤1时，集合{x |a ≤x ≤2－a }中有且只有3个整数，则实数a 的取值范围是________．解析：因为a ≤1，所以2－a ≥1，所以1必在集合中．若区间端点均为整数，则a ＝0，集合中有0,1,2三个整数，所以a ＝0符合题意； 若区间端点不为整数，则区间长度2＜2－2a ＜4，解得－1＜a ＜0，此时，集合中有0,1,2三个整数，所以－1＜a ＜0符合题意．综上，实数a 的取值范围是(－1,0]. 答案：(－1,0]4．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}，若B ⊆(A ∩B )，则实数a 的取值范围为________．解析：因为B ⊆(A ∩B )，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32.②当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32＜a ≤－1.由①②可知，实数a 的取值范围为(－∞，－1]． 答案：(－∞，－1]5．(2018·通州中学高三测试)设U ＝R ，A ＝(a ，a ＋1)，B ＝[0,5)，若A ⊆∁U B ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为∁U B ＝(－∞，0)∪[5，＋∞)，又A ⊆∁U B ，所以a ＋1≤0或a ≥5，解得a ≤－1或a ≥5.答案：(－∞，－1]∪[5，＋∞)6．(2019·淮阴中学检测)设全集U为实数集R ，已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，B ＝{x |1≤x ≤2}，则图中阴影部分所表示的集合为________．解析：由题意知，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞32，阴影部分表示的集合为(∁U A )∩B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤32∩{x |1≤x ≤2}＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1≤x ≤32.答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1≤x ≤327．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x ＜1，且x ∈Z}，则A ∩B ＝________. 解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1，x ∈Z}＝{－1,0}．答案：{－1,0}8．(2019·海安中学检测)已知集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2x＜1，N ＝{y |y ＝x －1}，则(∁R M )∩N＝________.解析：因为M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2x＜1＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，N ＝{y |y ＝x －1}＝[0，＋∞)，所以∁R M ＝[0,2]，(∁R M )∩N ＝[0,2]．答案：[0,2]9．设全集U ＝{x ∈N *|x ≤9}，∁U (A ∪B )＝{1,3}，A ∩(∁U B )＝{2,4}，则B ＝________. 解析：因为全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}， 由∁U (A ∪B )＝{1,3}， 得A ∪B ＝{2,4,5,6,7,8,9}，由A ∩(∁U B )＝{2,4}知，{2,4}⊆A ，{2,4}⊆∁U B . 所以B ＝{5,6,7,8,9}． 答案：{5,6,7,8,9}10．已知集合A ＝{x |4≤2x≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]11．(2019·启东检测)已知集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x 2＋x －6≤0}， (1)当a ＝0时，求A ∪B ，A ∩∁R B ； (2)若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，A ＝{x |0≤x ≤3}，又B ＝{x |－3≤x ≤2}，所以∁R B ＝{x |x ＜－3或x ＞2}，所以A ∪B ＝{x |－3≤x ≤3}，A ∩∁R B ＝{x |2＜x ≤3}．(2)因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥－3，a ＋3≤2，解得－3≤a ≤－1，所以实数a 的取值范围为[－3，－1]．12．(2018·南京高三部分学校联考)已知集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |2x －6≥0}，M ＝A ∩B .(1)求集合M ；(2)已知集合C ＝{x |a －1≤x ≤7－a ，a ∈R}，若M ∩C ＝M ，求实数a 的取值范围． 解：(1)由x 2－4x －5≤0，得－1≤x ≤5，所以A ＝[－1,5]．由2x －6≥0，得x ≥3，所以B ＝[3，＋∞)．所以M ＝[3,5]．(2)因为M ∩C ＝M ，所以M ⊆C ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3，7－a ≥5，a －1≤7－a ，解得a ≤2. 故实数a 的取值范围为(－∞，2]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．已知集合A ＝{x |x 2－2 019x ＋2 018＜0}，B ＝{x |log 2x ＜m }，若 A ⊆B ，则整数m 的最小值是________．解析：由x 2－2 019x ＋2 018＜0，解得1＜x ＜2 018，故A ＝{x |1＜x ＜2 018}． 由log 2x ＜m ，解得0＜x ＜2m ，故B ＝{x |0＜x ＜2m }．由A ⊆B ，可得2m ≥2 018， 因为210＝1 024,211＝2 048，所以整数m 的最小值为11.答案：112．对于集合M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1，x ∈M ，1，x ∉M .对于两个集合A ，B ，定义集合A ΔB＝{x |f A (x )·f B (x )＝－1}．已知A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A ΔB ＝________.解析：由题意知，要使f A (x )·f B (x )＝－1，必有x ∈{x |x ∈A 且x ∉B }∪{x |x ∈B 且x ∉A }＝{1,6,10,12}，所以A ΔB ＝{1,6,10,12}．答案：{1,6,10,12}3．已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }．(1)当m ＝－1时，求A ∪B ；(2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2＜x ＜2}，则A ∪B ＝{x |－2＜x ＜3}．(2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＞2m ，2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意； ②若2m ＜1－m ，即m ＜13时，需⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜13，2m ≥3，得0≤m ＜13或∅，即0≤m ＜13. 综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．。

____第1课__集合及其基本运算(1)____1. 理解元素和集合之间的关系；理解集合相等的含义．2. 会求集合的交集、并集、补集.1. 阅读：阅读必修1第5～10页．2. 解悟：①集合中元素的三个性质；②常见数集的符号；③集合相等的定义；④子集、真子集的定义；⑤空集的定义．3. 践习：在教材空白处，完成第7页练习第2、5题；第10页习题第6、7题.基础诊断1. 设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝__{0，1}__．2. 已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，那么A ∪∁U B ＝__{1，2，5}__． 解析：由题意得∁U B ＝{1，5}， 所以A ∪∁U B ＝{1，2，5}．3. 已知全集U ＝{1，3，5，7，9}，A ＝{1，5，9}，B ＝{3，5，9}，则∁U (A ∪B)的子集个数为__2__． 解析：由题意得A ∪B ＝{1，3，5，9}， 所以∁U (A ∪B)＝{7}， 所以∁U (A ∪B)的子集个数为2.4. 已知集合A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}，若A ∪B ＝{0，1，2，3}，则实数a 的值为__2__． 解析：因为A ∪B ＝{0，1，2，3}， A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}，所以a ＝2.范例导航考向❶ 利用数轴求集合的交集、并集、补集例1 设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|132≤2－x≤4，B ＝{|2＋2m －3m 2<0}，m>0. (1) 若m ＝2，求A ∩B ；(2) 若A ⊇B ，求实数m 的取值范围． 解析：由题意得，集合A ＝{|－2≤≤5}， 因为m>0，所以B ＝{|－3m<<m}． (1) 当m ＝2时，B ＝{|－6<<2}，所以A ∩B ＝{|－2≤<2}．(2) A ＝{|－2≤≤5}，B ＝{|－3m<<m}，因为A ⊇B ，所以⎩⎨⎧－3m ≥－2，m ≤5，所以m ≤23，所以0<m ≤23.综上所述，m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23.全集I ＝R ，集合A ＝{|y ＝2x －1}，B ＝{y |y ＝lg(2－2＋2)}，则A ∪∁I B ＝(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞．解析：由题意得，集合A ＝{|y ＝2x －1}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≥12，集合B ＝{y |y ＝lg(2－2＋2)}＝{y |y ≥0}，所以∁I B ＝{y |y <0}，所以A ∪∁I B ＝(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.考向❷ 对空集的分类讨论例2 已知集合A ＝{|－2≤≤7}，B ＝{|m ＋1<<2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解析：当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，则⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围是{}m|m ≤4.已知集合A ＝{|2－2－3＝0}，B ＝{|m －1＝0}，若B ⊆A ，则m 的值为__0，－1，13__．解析：由题意得，集合A ＝{－1，3}．因为B ⊆A ，所以当B 为∅时，m ＝0；当B 不为∅时，m ＝－1或m ＝13.综上，m 的值为0，－1，13.例3 若集合A ＝{|a 2＋a ＋1＝0}中只有一个元素，求实数a 的值．解析：当a ＝0时，不合题意，舍去；当a ≠0时，由题意得，Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4. 综上所述，a ＝4.若集合A ＝{|a 2＋a ＋1＝0}只有一个子集，求实数a 的取值范围． 解析：由题意得，集合A 为空集． ①若a ＝0，符合题意；②若a ≠0，则Δ＝a 2－4a<0，解得0<a<4. 综上，a 的取值范围是[0，4)．自测反馈1. 设集合A ＝{－1，1，3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，若A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为__1__． 解析：因为A ∩B ＝{3}，所以a ＋2＝3或a 2＋4＝3，解得a ＝1，此时B ＝{3，5}，符合题意，故实数a 的值为1.2. 已知全集U ＝R ，集合M ＝{|－2≤－1≤2}和N ＝{|＝2－1，＝1，2，…}的关系如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有__2__个．解析：由图可知，阴影部分表示的是M ∩N .由M ＝{|－2≤－1≤2}得M ＝{|－1≤≤3}．集合N 表示的是正奇数集，所以M ∩N ＝{1，3}，所以阴影部分所示的集合中的元素共有2个．3. 下面四个命题中，正确命题的序号为__②__． ①某班个子较高的同学构成集合A ；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程2－2＋1＝0的解集是{1，1}； ④∅与{∅}表示同一个集合．解析：①集合是指一定范围内某些确定的、不同的对象的全体，个子较高的同学不确定，所以①错误；②正确，集合中的元素具有无序性；③错误，集合中的元素具有互异性；④错误，∅表示不含任何元素的集合，{∅}表示集合中有一个元素∅，而不是空集．4. 已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，2，12，集合B ＝{y|y ＝2，∈A}，则A ∩B ＝__{1}__．解析：由题意得，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，4，14，所以A ∩B ＝{1}．1. 集合中元素的性质指确定性、无序性、互异性．2. 要特别注意空集，尤其是在分类讨论中不能遗漏．3. 你还有哪些体悟，写下;：。

一、集合与简易逻辑：一、理解集合中的有关概念（1）集合中元素的特征： ， ， 。

（2）集合与元素的关系用符号 ， 表示。

（3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 、实数集 。

（4）集合的表示法： ， ， 。

注意：区分集合中元素的形式：如：}12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C }12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==；}12|)',{(2++==x x y y x F ；},12|{2x y z x x y z G =++==（5）空集是指不含任何元素的集合。

（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。

如：}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+R A ，求a 的取值。

二、集合间的关系及其运算（1）符号“∉∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；符号“⊄⊂,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。

（2）_}__________{_________=B A ；____}__________{_________=B A ；_}__________{_________=A C U（3）对于任意集合B A ,，则：①A B B A ___；A B B A ___；B A B A ___； ②⇔=A B A ；⇔=A B A ；⇔=U B A C U ；⇔=φB A C U ；③=B C A C U U ； )(B A C U =；（4）①若n 为偶数，则=n ；若n 为奇数，则=n ； ②若n 被3除余0，则=n ；若n 被3除余1，则=n ；若n 被3除余2，则=n ； 三、集合中元素的个数的计算：（1）若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。