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Wednesday, April 01, 2015
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稳定裕度的计算
例3 G ( s )
5 s s s( 1)( 1) 2 10 100 , s( s 2)( s 10 ) ,求
kg。
解法I:由幅相曲线求 , kg。 (1)令 G( jωc ) 1
100
c c2 2 2 c2 10 2
2015
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[例]设控制系统如下图所示 R( s ) k=10和k=100时,试求系统 的相位稳定裕度和幅值裕度。
k s ( s 1)(s 5)
C (s)
[解]:相位稳定裕度和幅值裕度可以很容易地从波德图中求得。 当k=10时,开环系 统波德图如右所示。 这时系统的相位稳 定裕度和幅值裕度 大约是8dB和21度。 因此系统在不稳定 之前,增益可以增 加8dB. 5
剪切频率 ωc 相角裕度
G( jωc ) 1
180 G( jc )
kg 1 G( jg )
相位交界频率ωg G( jωg ) 180 幅值裕度 kg
, k g 的几何意义 , k g 的物理意义
系统在 kg
一般要求
40 kg 2
相角 方面的稳定储备量 幅值
由三角函数关系得: g 0.2g 1, 解得: g 2.24 2 A( g ) 0.33216 2 2 g 1 g 1 0.04 g 所以,幅值裕度为: Lg 20log A( g ) 9.6(dB)
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c
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10
' (c ) 180 30 150 ,从图中看出: c 10 。所以原始 幅频曲线向下移动的分贝数为: Lg 20log A(c ' ) 20log A(10) 22dB
'
设新的开环放大系数为 k1 ,原始的开环放大系数为k=200,则有 22 20log k 20log k1 (讨论 1 时较明显)。解得: k1 15
第六节
稳定裕度
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本节主要内容:
稳定裕度的概念 使用稳定裕度概念综合系统
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当频率特性曲线穿过(-1,j0)点时,系统处于临界稳定状态。 A ( ) 1 , ( ) 180 ,c g 。对于最小相位系统, 这时: g c 可以用 A( g )和 (c )来表示频率特性曲线接近(-1,j0)点的程度, 或称为稳定裕度。稳定裕度越大,稳定性越好。
180 (c ) 180155.38 24.6 相角裕度为:
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幅值裕度:先求相角穿越频率 g
g 的相角为: 相角穿越频率处 (g ) 90 tg 1g tg 1 0.2g 180
即:tg 1g tg 1 0.2g 90
g 2 10 4.47
kg 1 G( j 4.47) 1 2.4 0.4167
16
例4
s 1) 2.5 ,求 , kg。 G( s ) s s s s( 1)( 1)( 1) 2 5 12.5 6(
解.作L(w)求
c
6
c
2.5 1 1
c2[c4 104 c2 400] 1000
试根得
c 2.9
180 G( jc ) 180 (2.9)
2.9 2.9 180 90 arctan arctan 2 10 90 55.4 16.1 18.5
g
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稳定裕度的概念 稳定裕量的定义
(开环频率指标) 剪切频率 ωc 相位裕量
G( jωc ) 1
180 G( jc )
kg 1 G( jg )
相位交接频率ωg G( jωg ) 180 幅值裕量kg
稳定裕量的意义
8dB
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相位裕度和幅值裕度的计算:
相位裕度:先求穿越频率 c 0.2k 2 A( ) (当k 10时) | s | | s 1 | | 0.2s 1 | 1 2 1 0.04 2 在穿越频率处,A( ) 1 ,所以 2 (1 2 )(1 0.04 2 ) 4 ,解 此方程较困难,可采用近似解法。由于 c较小(小于2),所以: 2 A( ) 1, 解得: c 1.25 2 1 穿越频率处的相角为: (c ) 90 tg 1c tg 1 0.2c 155.38
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解法II:由Bode图 , kg。 求 5
s s 1)( 1) 2 10 5 10 2 由L(w): G( jc ) 1 c c 1 c 2 得 c 10 3.16 2.9 s( G( s)
7
当增益从k=10增大到k=100时,幅值特性曲线上移20dB,相位 特性曲线不变。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度分别是12dB和-30度。因此系统在k=10时是稳定的,在k=100时是不稳 定的。
12dB
30
Wednesday, 所示。试确定当k=10时闭环系统的稳定性 及其使相位稳定裕度为30度时的开环放大系数k。
180 G( jc ) 180 (3.16)
3.16 3.16 180 90 arctan arctan 2 10 90 57.67 17.541 14.8 18.5
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g
g
g
g
g
g
g
g
A B 90 arctan 1 A B
整理得
A B 1
4 2 解出 g 7.4 (rad/ s) g 49.75g 312.5 0 2 2 2 2 2 2 1 2 5 12 . 5 g g g g kg 3.135 G( jg ) 2 2 300 2.5
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(2.1)令
( g ) 180
90 arctan
g
2
arctan
g
10
可得 arctan
g
2
arctan
g
10
90
g
2 g 20 2 10 tan 90 2 g 4.47 g 1 20
所以当开环放大系数下降到15时,闭环系统的相位稳定裕度是 g 20,所以 30度,这时的幅频稳定裕度为:由图中看出 Lg 20log A(g ) |k 15 20log A(20) |k 15 10(dB)
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稳定裕度的定义
, k g 的几何意义 , k g 的物理意义
L( ) c 180 (c ) 1 ( ) 180 g kg G( jg )
稳定裕度计算方法
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' ωc g c
150 210
(c ) 210 180 ,c 38,显然 闭环系统是不稳 上图蓝线为原始波德图。 定的。为了使相位稳定裕度达到30度,可将幅频曲线向下平移。即将开环放 ' 大系数减小,这时相频特性不变。截止频率左移至 ,移到哪里?
1200 j100(20 2 ) G X jGY 2 2 (4 )(100 )
令 得
Im[G( j )] GY 0
g 20 4.47 代入实部 GX ( g ) 0.4167
G ( g ) 0.4167
1 1 kg 2.4 G( jg ) 0.4167
L( )
1
g
A( g )
c g
( c )
( )
Lg
c
( g )
1 180 (c ) 为幅值稳定裕度和相位稳定裕 [定义]: 和 kg A( g ) 度。 在对数坐标图上,用 Lg表示 k g 的分贝值。即 Lg 20logkg 20log A(g )
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求g ( g ) arctan2.5 90 arctan 2 arctan 5 arctan12.5 180
arctan arctan arctan arctan 90 12.5 5 2 2.5 g g g g 12 . 5 5 2 2 . 5 arctan 90 arctan 2 2 g g 1 1 12 . 5 5 2 2.5
G( jc ) 1
c
c
2
6 2 2.5 c
c
6 2 4. 8 2. 5
180 G( jc )
4.8 4.8 4.8 4.8 180 arctan 90 arctan arctan arctan 2.5 2 5 12.5 180 62.5 90 67.4 43.8 21 20.3
g
2 2 1 g g 22 g 102 kg G( jg ) 100