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高中数学 第二章 函数 3 数的单调性课件 北师大版必修1.pptx

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高中数学 2.3 函数的单调性配套课件 北师大版必修1

高中数学 2.3 函数的单调性配套课件 北师大版必修1

●教学建议 在研究函数的性质时，单调性是一个重要内容，实际 上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减 性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性 的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图像得出， 而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高：给出函数 在某个区间上增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减 性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有 从图像上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证 明的较为严格的方法，最后根据图像观察得出猜想，用推理 证明猜想，将图像法和定义法统一起来．
函数在区间上的增加(递增)或减少(递减)性 1．在函数f(x)定义域内的一个区间A上，如果对于任意 两数 x1，x2∈A，当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2) ，那么就称函 数y＝f(x)在区间A上是增加的，或称函数y＝f(x)在区间A上 是递增的． 2．在函数f(x)定义域内的一个区间A上，如果对于任意 两数x1，x2∈A，当 x1<x2 时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函 数y＝f(x)在区间A上是减少的，或称函数y＝f(x)在区间A上是 递减 的．
由于函数图像是发现函数性质的直观载体，因此，在 本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情景，以利于 学生画函数图像，以便有更多的时间用于思考、探究函数 的单调性、最值等性质．还要特别重视让学生经历这些概 念的形成过程，以便加深对单调性的理解．
●教学流程
演示结束
1.理解函数的单调性的概念及
1．证明过程中要注意x1，x2在所给区间上的任意性， 切忌以特殊值代替一般．
2．证明函数单调性的步骤：
证明：f(x)＝－1x－1在区间(－∞，0)上是单调增函数．
【证明】 设x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)

高中数学第2章函数3第1课时函数的单调性课件北师大版必修第一册

高中数学第2章函数3第1课时函数的单调性课件北师大版必修第一册

定义中的“任意 x1，x2∈D”能否改成“存在 x1，x2∈D”？ [提示] 不能．
1.下列命题中真命题的个数为( ) ①定义在(a，b)上的函数 f(x)，如果∃x1，x2∈(a，b)，当 x1<x2 时， 有 f(x1)<f(x2)，那么 f(x)在(a，b)上是增函数； ②如果函数 f(x)在区间 I1 上为减函数，在区间 I2 上也为减函数，那 么 f(x)在区间 I1 和 I2 上就一定是减函数； ③∀x1，x2∈(a，b)，且 x1≠x2，当fxx11－ －fx2x2<0 时，f(x)在(a，b) 上为减函数；
第二章 函数
§3 函数的单调性和最值 第1课时 函数的单调性
学习目标
核心素养
1．理解函数单调区间、单调性等概 1．通过单调区间、单调性等
念．(重点)
概念的学习，培养抽象概括素
2．会划分函数的单调区间，判断单调 养．
性．(重点、易混点)
2．通过用定义证明函数的单
3．会用定义证明函数的单调性．(难点) 调性，培养逻辑推理素养.
合作探究·释疑难
类型1 函数单调性的判定与证明 类型2 求函数的单调区间 类型3 函数单调性的应用
类型 1 函数单调性的判定与证明
【例 1】 求证：函数 f(x)＝x12在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞， 0)上是增函数．
[证明] 对于任意的 x1，x2∈(－∞，0)，且 x1<x2， 有 f(x1)－f(x2)＝x121－x122＝x22x－21x22x21＝x2－xx121xx222＋x1. ∵x1<x2<0， ∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x22>0.
(1)(－∞，－4] (2)(－∞，1) [(1)∵ f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3 的开 口向下，要使 f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即 a≤－ 4.∴实数 a 的取值范围为(－∞，－4]．

北师大版必修1数学【原创精品课件】：2.3函数的单调性(导学式)(共25张PPT)

北师大版必修1数学【原创精品课件】：2.3函数的单调性(导学式)(共25张PPT)
1
O
x
结论：单调区间通常不能合并，除非确 无错误.
探究点3
函数单调性概念的辨析
2.任意性：x1，x2的取值是任意的.
定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，那么f(x)一定是R上 问题5：
的增函数吗？
y
f(2)
提示：不一定，仅由f(2)>f(1)并不能推出 对于任意x1，x2，x1<x2时，f(x1)<f(x2). 结论：特殊代替不了一般.
间D上的图象是上升的或下降的．
探究点3
函数单调性概念的辨析
1.局部性：函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质.
反比例函数在，上均为减函数，能说其在定义域内为减 问题4： 函数吗？
y
提示：不能！因为函数单调性是一个 局部性质.例如取x1=2，x2=1，此时 x1<x2，但是f(x1)<f(x2)，不符合减函数 的定义.
第二章
函数
§3 函数的单调性
高中数学必修1· 精品课件
学习目标
1．理解单调函数的定义，理解增函数、减函数的定义． 2．掌握定义法判断函数单调性的步骤． 3．掌握求函数单调区间的方法(定义法、图象法)
引入课题
生活中我们都有这样的常识：在一碗水中加入一定量的糖，糖 加得越多水就越甜，在这一现象中又蕴含着什么样的数学知识呢？ 这就谈到了本节课的课题：函数的单调性.
[解析]
(1) y(x>0) ；
变式训练
(2)证明：任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝
＝.
∵0<x1<x2， ∴x1－x2<0，且>0，>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． ∴f(x)＝在(0, +∞)上是增函数．

北师大版高中数学必修一课件2-3函数的单调性71张

北师大版高中数学必修一课件2-3函数的单调性71张

[答案]
1.增加的
递增的
x1<x2
f(x1)>f(x2)
递减的 减
2．单调区间 少的
上升的
减少的
增加的
f(x1)>f(x2)
3．在定义域的某个子集上是增加的或是减少的 减函数 单调函数Biblioteka 增函数思路方法技巧
利用定义证明或判断函数的单调性
[例 1] 上递减． [分析] 按照函数单调性的定义进行证明． 9 (2012· 南阳高一检测)证明：函数 y＝x＋ 在(0,3] x
取值 → 作差 → 变形 → 判断符号 → 得结论
[证明]
设 0<x1<x2≤3，则有
9 9 y1－y2＝(x1＋x )－(x2＋x ) 1 2 9x1－x2 ＝(x1－x2)－ x1x2 9 ＝(x1－x2)(1－x x )． 1 2 ∵0<x1<x2≤3，
9 ∴x1－x2<0， >1， x1x2 9 即 1－x x <0， 1 2 ∴y1－y2>0，即 y1>y2， 9 ∴函数 y＝x＋ x在(0,3]上递减．
知能自主梳理
1．函数的递增与递减 在函数 y＝f(x)的定义域内的一个区间 A 上，如果对于任 意两个数 x1，x2∈A，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就称 函数 y＝f(x)在区间 A 上是________，有时也称函数 y＝f(x)在 区间 A 上是________．在函数 y＝f(x)的定义域内的一个区间 A 上，如果对于任意两个数 x1，x2∈A，当________时，都有 ________，那么就称函数 y＝f(x)在区间 A 上是减少的，有时 也称函数 y＝f(x)在区间 A 上是________．

北师大版高中数学课件必修第1册第二章 §3 第1课时 函数的单调性

北师大版高中数学课件必修第1册第二章 §3 第1课时 函数的单调性

特别提醒作差变形的常用技巧:
(1)因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后通常进行因式分解.
(2)通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因
式分解.
(3)配方.当所得的差式是含有x1,x2的二次三项式时,可以考虑配方,便于判
断符号.
(4)分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化.
提示不能.不连续的单调区间必须分开写,中间用“,”或“和”连接,不能用符
1
x
号“∪”连接.如y= 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减.
课堂篇 探究学习
探究一
判断函数的单调性
1.利用图象判断函数的单调性
例1根据函数图象直观判断下列函数的单调性:
(1)y=|x2+2x-3|;(2)y=-x2+2|x|+1.
递增;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔
f(x 1 )-f(x 2 )
x 1 -x 2
x 1 -x 2
>0⇔f(x)在[a,b]上单调
<0⇔f(x)在[a,b]上单调递减.
二、单调性、单调区间
如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数y=f(x)在区间
I上具有单调性.此时,区间I为函数y=f(x)的单调区间.
由图象可得原函数在区间[-3,-1]和[1,+∞)上单调递增,原函数在区间(-∞,-3]
和[-1,1]上单调递减.
- 2 + 2 + 1, ≥ 0,
(2)y= 2
- -2 + 1, < 0,
-(-1)2 + 2, ≥ 0,
即 y=

2.3函数的单调性ppt课件高中数学必修1北师大版(2)

2.3函数的单调性ppt课件高中数学必修1北师大版(2)
高密度淋巴细胞分离的配制及其应用
市售淋巴细胞分离液密度为1.077±0.002 g/m1,适于人外周血淋巴细胞的分离…。小鼠脾淋巴细胞的分离应使用密度为1.088 g/m1的淋巴细胞分离液。国外已有该分离液出售,但目前国内尚无供应。我们用聚蔗糖(Ficoll 400)和泛影葡胺(Hypaque)将市售淋巴细胞分离液的密度调至1.C89g/ml,用于小鼠脾淋巴细胞分离,取得了满意的效果。 材料和方法 淋巴细胞分离液(P=l,哪9 g/m1)的配制 量取40％Ficoll 400溶液(上海试剂二厂)72 m1,∞％泛影葡胺注射液(北京第三制药厂)25.3 ml,双蒸水72.7 ml,混匀后加入密度1.077g/m1的淋巴细胞分离液(上海试剂二厂)340 m1,再混匀。司P20℃用比重天平测其密度;用冰点渗透压计测定渗透压两次,取平均值。抽滤除菌后分装,每瓶6 ml,低温保存。 小鼠脾淋巴细胞的分离雄性BALB/e小鼠,16—20周龄,体重14—18 g,摘除眼球放...
三、操作方法
1．标本的制备取肝素抗凝血1ml，加等量或适量的生理盐水稀释，取分层液2ml加入离心管内，然后将上述稀释的血液沿管壁缓缓加入至分层液上，注意不要打破两层界面。以水平转子离心机1 000～1 500r/min离心20min。结果形成四层，最上面第一层为血浆层，第二层为淋巴细胞（包括单核细胞）层，第三层为分层液，第四层为红血球。用毛细管吸取血浆层，然后吸取淋巴细胞放入适量的Hank’s液（或生理盐水）中，充分摇匀。2 000r/min离心5min～10min弃上清液，再重复洗涤一次，即获淋巴细胞。以此淋巴细胞粥涂片。自然干燥后，以40%甲醛蒸汽固定10min。
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酸性
一、原理
T淋巴细胞质内含有酯酶，可以水解α-醋酸萘酯，产生α-萘酚，α-萘酚又可与重氮付品红偶联生成不溶性的偶氮付品红萘酚，在T淋巴细胞浆酯酶存在的部位生成不溶性的黑红色的颗粒沉淀，而B淋巴细胞无此反应。以资鉴别。

北师大版高中数学必修《函数的单调性》演示PPT1


它是增函数还是减函数？
解:函数y=f(x)的单调区间有
[-5, -2), [-2,1), [1, 3), [3, 5].
其中y=f(x)在区间[-5, -2), [1, 3)上是减函数， 在区间[-2, 1), [3, 5] 上是增函数.
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》演 示PPT1
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》演 示PPT1
1.3 函数的基本性质 1.3.1函数的单调性
引
入
观察下列各个函数的图象，并说说它们分别 反映了相应函数的哪些变化规律：
观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？ 随x的增大，y的值有什么变化？
☞画出下列函数的图象，观察其变化规律：
f(x) = x
1.从左至右图象上升还是下降 上__升__? 2.在区间 _(_-_∞_,_+_∞_)_上，随着x的增大，f(x)的值 随着 _增__大___ ．
☞画出下列函数的图象，观察其变化规律：
f(x) = x2
1.在区间_(_-_∞__, _0_] 上,f(x)的值随着x的增大而_减__小__． 2. 在区间_(_0_,_+_∞__)上,f(x)的值随着x的增大而 _增__大__．
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》演 示PPT1
☞画出下列函数的图象，观察其变化规律：11作差 化简
f(x1)-f(x2) x1 x 2 x 2 x1
y
y 1
x
x1 x 2 由x1、x2∈（0，+∞） ，得 x2 x1 ＞0
x
又由x1<x2 ，得 x2- x1 ＞0
判号 于是 f(x1)-f(x2) ＞ 0，即 f(x1) ＞ f(x2)
定论 所以，f(函 x)数 1在（ 0， ）上是减函

【高中课件】北师版高中数学必修一2.3.1函数的单调性课件ppt.ppt

中小学精编教育课件
阅读与思考
• 1、阅读教材 P36---37例1 上方止。
• 2、思考问题
（1）从P36图2-15 （北京从20030421-20030519
每日新增非典病例的变化统计图）看出，形势从
何日开始好转？
图
（2）从P36图2-16你能否说出y随x如何变化？
的（单3调）性什、么函是数增的函单数调、区减间函？数、单调函数、函数图
① 分解因式, 得出因式x1－x2 .
② 配成非负实数和.
(4). 作结论.
1. 教材P38 ：T1、2. 练习实践
2. 判断函数 f (x) = x2+1在 (0, ＋∞)上是增函数还是减函数?
3. 若函数f (x) 在区间[a, b]及
(b, c]上都单调递减, 则f (x)在区间
[a, c]上的单调性为 ( D ) A. 单调递减; B. 单调递增;
问题探究
1. 教材P37：例1、2.
2. 证明函数f (x)=－2x+3在R
上是减函数.
3.
讨论函数f (x) =
k x
( k≠0 )
在(0, ＋∞)上的单调性.
方法小结
用定义证明函数的单调性的步骤:
(1). 设x1＜x2, 并是某个区间上任意二值; (2). 作差 f(x1)－f(x2) ; (3). 判断 f(x1)－f(x2) 的符号:
间[a, b]上( D ).
A.至少有一实根; B.至多有一实根; C.没有一实根; D.必有唯一实根.
小结
1. 概念 2. 方法
定义法 图象法
思考交流
1.教材p39 ：B 1
2.若f(x) = a ┃ x-b ┃ +2在[0， + ∞ ）上为增函数，则a,b的取 值范围是————————。

北师大版必修一第二章2.3.1函数的单调性课件

__减__小__．
2.在区间_(_0_,_+__∞_)_上，f(x)的值随着x的增大而
_增__大__.
概念讲授
1．函数单调性的定义
一般地，设函数 y f (x) 的定义域为 D . 如果对于定义域 D 内的某个区间 I 内的任意两个自变
量 x1 ， x2 ，当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 ) ，那么就
由于x1,x2 0, ,得x1x2>0,又由
x1<x2 ,得x2-x1>0, 所以f(x1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2). 因此 f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数.
推广：反比例函数的单调性 y k (k 0) x
结论：k 0时，
函数在（ ，0）和（0， ）
例2 证明函数f (x) 3x 2在R上是增函数.
证明：任取 x1 ， x2 (, ) ，且 x1 x2 ，则
f (x1) f (x2 ) (3x1 2) (3x2 2)
3(x1 x2 )
x1 x2
x1 x2 0
f (x1) f (x2 ) 0 f (x1) f (x2 )
解:（-∞，0）和（0，+∞）都是函数的单调区间，在 这两个区间上函数 f (x) 是1减小的.
x
练习：证明：函数 f (x) 1 在(0，+∞)上是减函数。 x
证明: 设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1<x2，则
f(x1)- f(x2)=
1 1 x2 x1 . x1 x2 x1x2
(3)函数的单调区间是其定义域的子集；
(4)一般地，函数f(x)在区间A、B上都是增（减） 函数，并不能说函数f(x)在A∪B上是增（减）函数.

《函数单调性北师大》PPT课件

如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的 或减少,这个函数为增函数或减函数,统称 为单调函数.
精选课件ppt
8
练习:给出下列函数的图象,指出函数的单调区间, 并指明其单调性.
图（1）
图（2）
注意：单调区间不能求并集
精选课件ppt
9
[-6,-5],[-2,1],[3,4.5],[7,8]上是增加的 [-5,-2],[1,3],[4.5,7],[8,9]上是减少的
1.3.1.1函数的单调性
y
0
精选课件ppt
x
1
【教材分析】
函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数 的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理 论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数 大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中 对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利 用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我 们整个高中数学教学。
yB
A
1
0 x1 x2
1
Ay
B
1
x x1 x2 0 1 x
y
B A
1
1 0 x 1 x1 x2
1
精选课件ppt
5
思考交流
对于下图的函数,你能说出它的函数值y随自变 量x值的变化情况吗?
问题2：如何描述函数图像的上升和下降趋势？
图像上升：y随x的增大而增大 图像下降：y随x的增大而减少
精选课件ppt
借助多媒体动态地展示图象的上升与下 降过程，完成从感性认识到理性思维的质 的飞跃．注重学生的参与意识，让学生从 问题中发现、归纳、总结，最终运用概 念．同时，潜移默化地渗透各种数学思想 方法．精选课件ppt Nhomakorabea4
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4．单调函数 如果函数y＝f(x)在整个 定义域 内是增加的或是减少的 ，我们分别称这个函数为 增函数 或 减函数 ，统称为 单调函数 ．
5
[问题思考] 1．在增加的和减少的函数定义中，能否把“任意x1，x2∈A” 改为“存在x1，x2∈A”？ 提示：不能，如图，虽然存在－1＜2使f(－1) ＜f(2)，但f(x)在[－1,2]上并不是增加的． 2．函数 f(x)＝1x的单调减区间能否写成(－∞，0)∪(0，＋∞)? 提示：不能，如x1＝－1，x2＝1满足x1＜x2，但有f(x1)＝－1 ＜f(x2)＝1，不符合减少的要求．
17
(2)由题意可知
－1≤x－2≤1， －1≤1－x≤1，
解得 1≤x≤2.
∵f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且 f(x－2)＜f(1－x)，∴
x－2＜1－x.∴x＜32.
∴1≤x＜3为满足题设条件的 x 的取值范围． 2
18
(1)函数的单调性应用比较广泛，可利用单调性比较大小， 求函数的最值，求参数的范围．
6
3．函数区间端点对函数单调区间有作用吗？是否应考虑？ 提示：函数在某一点处的单调性并无意义．所以不存在单调 性问题．在书写函数的单调区间时，区间端点开或闭一般可不予 考虑．若端点处函数有意义，包括不包括端点均可；但若函数在 区间端点处无定义，则必须写成开区间．
7
讲一讲 1. 试判断函数 f(x)＝x－x 1在其定义域上的单调性，并加以证明．
14
(1)求函数单调区间的常用方法有： ①转化为已知的基本初等函数(如一次，二次等函数)的 单调性判断；②图像法；③定义法； (2)求函数的单调区间时应首先明确函数的定义域，必须 在函数的定义域内进行．
15
练一练 2．求函数y＝|x＋1|＋|2－x|的单调区间．
解：函数可化为分段函数形式：
－2x＋1， x＜－1，
x2－x1 x1x2
>0，即

f(x1)>f(x2)；
当
a<0
时，有a
x2－x1 x1x2
<0，即
f(x1)<f(x2)．
∴当 a>0 时，f(x)＝ax(a≠0)在(－∞，0)上是减函数；
12
当 a<0 时，f(x)＝ax(a≠0)在(－∞，0)上是增函数． (2)同理，f(x)＝ax(a≠0)在(0，＋∞)上， 当 a>0 时是减函数，当 a<0 时是增函数． 综上所述，函数 y＝ax(a≠0)， 当 a>0 时，在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数； 当 a<0 时，在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数.
3
2．函数的单调区间
如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为
单调区间 ．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图 像是 上升 的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降 的．
4
3．函数的单调性 如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是 增加的或是减少的 ，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具 有 单调性 ．
13
讲一讲 2.求函数 y＝－x2＋2|x|＋3 的增区间和减区间．
[尝试解答] y＝－x2＋2|x|＋3 ＝－－xx＋－1122＋＋44xx<≥00.， 函数图像如右图所示． 由图像可知： 函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数， 函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． ∴函数的单调增区间是(－∞，－1]，[0,1]， 单调减区间是[－1,0]，[1，＋∞)．
1
2
[核心必知] 1．函数在区间上增加(减少)的定义
在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两
数x1，x2∈A，当x1＜x2时：
(1)都有 f(x1)＜f(x2) ，就称函数y＝f(x)在区间A上是增
加的．
(2)都有 f(x1)＞f(x2) ，就称函数y＝f(x)在区间A上是减
少的．
10
判断函数的单调性通常利用定义法和图像法两种．而证 明单调性一般要用定义法，其一般步骤为：
(1)设元：设x1，x2为区间上的任意两个变量，且x1＜x2； (2)作差：计算f(x1)－f(x2)； (3)变形：将差式变形整理(配方、通分、因式分解)； (4)判号：结合题设判定差的符号；
11
练一练
1．试讨论函数 f(x)＝a(a≠0)在其定义域内的单调性． x
解：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(1)设
x1<x2<0，则由已知
f(x)＝a(a≠0)，有 x
f(x1)－f(x2)＝xa1－xa2＝a
x2－x1 x1x2
.
∵x1<x2<0，∴x2－x1>0，x1x2>0.
当
a>0
时，有a
3. (1)已知函数 f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，试比较 f(a2－a＋1)与 f34的大小； (2)已知 f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且 f(x－2)＜f(1－x)，求 x 的取值范围．
[尝试解答] (1)∵a2－a＋1＝a－122＋34≥34， ∴34与 a2－a＋1 都是区间(0，＋∞)上的值． 又∵f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，∴f34≥f(a2－a＋1)；
y＝ 3， －1≤x≤2，
2x－1， x＞2，
法一：由解析式可知函数的单调递增区间为(2，＋∞)，单 调递减区间为(－∞，－1)．
－2x＋1， x＜－1，
法二：作出 y＝ 3， －1≤x≤2，
的图像，由图像
2x－1， x＞2
观察得．
单调增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1)．
16
讲一讲
9
f(x2)－f(x1)＝x2x－2 1－x1x－1 1＝x2－x11－xx12－1. ∵1＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x2－1＞0，x1－1＞0. ∴f(x2)－f(x1)＜0，∴f(x2)＜f(x1)． ∴f(x)在(1，＋∞)上为减函数， 同理可证 f(x)在(－∞，1)上为减函数． 综上，f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上为减函数．
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[尝试解答] 函数定义域为{x|x≠1}， 又 f(x)＝x－x 1＝x－x－11＋1＝x－1 1＋1， 可由反比例函数 y＝1x图像得其图像如图所示： 由图像知，函数在(－∞，1)和(1，＋∞)上为减函数，证明如下： 设 x1，x2∈(1，＋∞)，且 x1＜x2， 则 f(x1)＝x1x－1 1，f(x2)＝x2x－2 1.