(课件)：高三数学第7章2012高考导航

考点探究·挑战高考
考点突破 双曲线的定义
在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的 条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条 双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是 哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性．
例1 已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与 圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹 方程． 【思路分析】 利用两圆内、外切的充要条件找 出M点满足的几何条件，结合双曲线定义求解．
2 14
双曲线的标准方程
求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式” 和“定量”三个方面去考虑．“定形”是指对 称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下， 焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设 双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义 法或待定系数法确定a，b的值．
例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)虚轴长为 12，离心率为5；
A. 6
B. 5
C. 6 2
D. 5 2
【思路分析】 由渐近线方程过点(4，－2)寻找a 与b的关系；
【解析】 由题意知，过点(4，－2)的渐近
线方程为
y＝－bax，
∴－2＝－ba×4，∴a＝2b.设 b＝k，
则 a＝2k，
c＝ 5k，
∴ e＝ac ＝
5k＝ 2k
5 .
2
【答案】 D
【规律方法】 要解决双曲线中有关求离心率或求 离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等
名师预测
1．(2010 年高考安徽卷)双曲线方程为 x2－2y2＝1， 则它的右焦点坐标为( )
A. 22，0 C. 26，0
答案：C
B. 25，0
D．( 3，0)
2．(教材习题改编)已知双曲线的离心率为 2，

解析：选 D.条件 A 中，增加 l 与 m 相交才能判断出 α∥β，A 错．由条件 B、C 都有可能 α 与 β 相交，排除 B 和 C.而垂直 于同一直线的两个平面平行，D 成立．
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4． (2013· 安康模拟)在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， 是 DD1 E 的中点，则 BD1 与平面 ACE 的位置关系为________．
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跟踪训练 1．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD 外一点，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH. 求证：AP∥GH.
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证明：如图，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴O 是 AC 中点， 又 M 是 PC 的中点， ∴AP∥OM. 则有 PA∥平面 BMD.(根据直线和平面平行的判定定理) ∵平面 PAHG∩平面 BMD＝GH， ∴PA∥GH. (根据直线和平面平行的性质定理)
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【规律小结】 (1)利用定义；
判定平面与平面平行的方法：
(2)利用面面平行的判定定理； (3)利用面面平行的判定定理的推论； (4)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)；
(5)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．
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跟踪训练 2. (2013· 南昌调研)如图，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中， 底面是正方形， F、 分别是棱 B1B， 1D， 的中点． E、 G D DA 求 证： (1)平面 AD1E∥平面 BGF； (2)D1E⊥AC.
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【解】 当 Q 为 CC1 的中点时， 平面 D1BQ∥平面 PAO.证明如下： ∵Q 为 CC1 的中点，P 为 DD1 的中点， ∴QB∥PA. ∵P，O 分别为 DD1，DB 的中点， ∴D1B∥PO. 又∵D1B 平面 PAO，PO 平面 PAO， QB 平面 PAO，PA 平面 PAO， ∴D1B∥平面 PAO，QB∥平面 PAO， 又 D1B∩QB＝B，D1B、QB ∴平面 D1BQ∥平面 PAO. 平面 D1BQ，

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2．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动 直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理 及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往将 角的顶点取在其中的一条直线上，特别地，可以取其中一条直 线与另一条直线所在平面的交点或异面线段的端点．总之，顶 点的选择要与已知量有关，以便于计算，具体步骤如下： (1)利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平 移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上； (2)证明作出的角即为所求角； (3)利用三角形来求解．
∴EF∥BA1. 又 A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E、C、D1、F 四点共面． (2)∵EF∥CD1， ∵EF<CD1，
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∴CE 与 D1F 必相交，设交点为 P， 则由 P∈CE，CE 平面 ABCD，得 P∈平面 ABCD.
同理 P∈平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1＝DA， ∴P∈直线 DA.∴CE、D1F、DA 三线共点．
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文字语言 图形语言 符号语言 如果两个不重合的平面 若A∈α,A∈β, 有一个公共点 ____________，那么它 公理3 则 有且只有 们___________一条通过 α∩β＝l,且A∈l ______________ 这个点的公共直线 若a∥b，b∥c, 平行于同一条直线的两 公理4 a∥c 平行 条直线______ 则________ 若AO∥A′O′, B′O′ BC∥_______,则 空间中，如果两个角的 ∠AOB＝ 等角 两条边分别对应平行， ∠A′O′B′, 定理 那么这两个角相等或互 或∠AOC和 补 ∠A′O′B′ 互补
目录
考点 2
异面直线的判定 (2013· 金华模拟)在图中，G，N，M，H 分别是正

主主干干知知识识回回顾顾
名师考点精讲
综合能力提升
-6-
4.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理 对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使 a=λb . (2)共面向量定理 如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组x,y,使得p=xa+yb. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a,b,c 不共面 ,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组{x,y,z},使得 p=xa+yb+zc . 我们把{a,b,c}叫做空间的一个 基底 ,a,b,c都叫做 基向量 .
则实数λ= ( )
A.8
B.10
C.11
D.12
【解题思路】利用空间向量共面的条件,设出实数 x,y,使 c=xa+yb,列出方程组,求出 λ 的值即可.∵向量 a,b,c
2������-������ = 7,
共面,∴存在实数 x,y 使得 c=xa+yb,即(7,0,λ)=(2x-y,-x+4y,3x-2y),∴ -������ + 4������ = 0,解得 x=4,y=1,λ=10.
第七章
第六节 空间直角坐标系、空间向量及其运算
主干知识回顾
名师考点精讲
综合能力提升
-19-
【变式训练】
已知 ABCD 为矩形,P 为平面 ABCD 外一点,且 PA⊥平面 ABCD,G 为△PCD 的重心,若������������=x������������+y������������+z������������,
与
b
为共线向量,∴21������
=
1 3

4．不等式选讲 (1)理解不等式的基本性质并会简单应用． (2)理解绝对值的几何意义；会解绝对值不等式 |ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c；理解绝对值不等式|x－c| ＋|x－b|≥a的解法．理解绝对值不等式|a＋ b|≤|a|＋|b|. (3)理解证明不等式的基本方法：比较法、综合 法、分析法、反证法、放缩法；能用比较法、 综合法、分析法证明简单的不等式． (4)了解二元柯西不等式的几种不同形式．了解 两个或三个正数的算术—几何平均不等式． (5)理解数学归纳法的原理及其使用范围；会用 数学归纳法证明简单的不等式．
选修系列
2012高考导航
江苏考纲解读 1．几何证明选讲 (1)了解平行线等分线段定理和平行截割定 理；理解相似三角形的判定定理及性质定 理；了解直角三角形的射影定理． (2)理解圆周角定理及其推论；理解圆的切 线的判定定理及性质定理；理解弦切角定 理及其推论；理解相交弦定理、割线定理、 切割线定理；理解圆内接四边形的性质定 理与判定定理．
(5)理解二阶矩阵特征值与特征向量的意义．会求 二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是 两个不同实数的情形)．会用二阶矩阵的特征值、 特征向量解决简单的问题． 3．坐标系与参数方程 (1)了解坐标系；会在极坐标系中用极坐标刻画点 的位置；会进行极坐标和直角坐标的互化． (2)理解曲线的极坐标方程的求法；会进行曲线的 极坐标方程与直角坐标方程的互化；理解简单图 形(过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的 圆)的极坐标方程． (3)理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆 (椭圆的中心在原点)的参数方程及其简单应 用．会进行阵与变换 (1)了解矩阵的有关概念；理解二阶矩阵与平面向量的 乘法． (2)理解矩阵对应的变换是把平面上的直线变成直线， 即A(λ1α＋λ2β)＝λ1A α＋λ2A β.了解几种常见的平面变 换：恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投 影变换、切变变换． (3)理解二阶矩阵的乘法；理解矩阵乘法的简单性质． (4)会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵．了解二阶 行列式的定义；会用二阶行列式求逆矩阵．了解用变 换与映射的观点解二元线性方程组的意义．会用系数 矩阵的逆矩阵解二元线性方程组．理解二元线性方程 组解的存在性、惟一性．

又a 1，b 2，〈a,b〉||，
所以2cos||1cos|| 1.
2
由0 ，所以 .
2
3
2
|
O
A|Biblioteka 1 ，| OB|
2 .记
〈
O
B,O
C 〉
，
1
〈O
A，O
C 〉
2.
因 为 O C (0， d )， d 0，
所
以
1
2
,2
2
,且
，
1
2
( 0， 2
)．
由 OB OC OC
OB
cos1 1
cos1
解析： 1 向量b与向量a共线．因为是ABC中最大的
内角，所以＜，
3
所以b(sin2， 1cos2)2sin(cos，sin) 2sin a.因为2sinR，所以向量b与向量a共线．
2 因 为 2sin ＞ 0， 所 以 b 2sin ，
所 以 f ( ) a b c b
(c o s sin 2 ， sin 1 c o s2 ) (0， 1) 2 sin
拓展练习：已知向量OA a (cos，sin)，
OB b (2cos ，2sin )，OC c (0,d)d 0，
其中O为坐标原点，且0 .
2
1若a b a，求 的值；
2若OB OC 1，OA OC 3 ，求OAB的面积S.
| OC |
| OC | 2
解析：1由abaa ba0a ba2 0.
AB||
AC|
sinCAB30.
5.一 条 河 宽 为 400m ， 一 船 从 A 出 发 航 行 垂 直 到 达 河 正 对 岸 的 B处 ， 船 速 为 20km/h， 水 速 为 12km/h， 则 船 到 达 B处 所 需 时 间 为1.5min .

栏目 导引
第十二章
选考部分
【跟踪训练】
1．已知：空间四边形 ABCD(如图所示)，E、F 分别是 AB、AD 的中点，G、H 分别是 BC、CD 上的 1 1 点，且 CG＝ BC，CH＝ DC.求证： 3 3 (1)E、F、G、H 四点共面； (2)三直线 FH、EG、AC 共点．
栏目 导引
第十二章
符号语言 定一个平面 α 面 α，使 a⊂α，b⊂α 使 a⊂α，b⊂α 若 P∈α，P∈β，则 α∩β＝a， P∈a，且 a 是唯一的
一点 ， 若点 A∉直线 a，则 A 和 a 确 经过一条直线和直线外的_______ 相交 直线，有且只有一 a∩b＝P⇒有且只有一个平 经过两条_______
平行 直线，有且只有一 a∥b⇒有且只有一个平面 α， 经过两条_______
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第十二章
选考部分
小题快做 1.思考辨析 (1)两个平面 α、β 有一个公共点 A，就说 α、β 相交于过 A 点的任意一条直线．( × ) (2)两两相交的三条直线最少可以确定三个平面．( × ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( × )
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第十二章
选考部分
3 2．[教材改编]两两相交的三条直线最多可确定________ 个平面． 7 3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________个部分．
个平面 如果两个不重合的平面有一个公共 点，那么它们有且只有一条过该点 的公共直线 ———l1 ———l2 ———l
公理 4
平行于同一直线的两条直线平行
l1∥l，l2∥l⇒l1∥l2
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第十二章
选考部分
2．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角__________ 相等或互补．

目录
解：由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个 四棱锥 P－ABCD，其中 PD⊥平面 ABCD，因此该四棱锥的 1 体积 V＝ ×6×6×6＝72，而棱长为 6 的正方体的体积 V＝ 3 216 6×6×6＝216，故需要 ＝3 个这样的几何体， 才能拼成一 72 个棱长为 6 的正方体．
目录
1 1 从而 S△ DAB＝S△ DBC＝S△ DCA＝ ×1×1＝ ， 2 2 1 3 S△ ABC＝ × 2× 2×sin 60° ＝ ， 2 2 1 3 3＋ 3 ∴三棱锥 D－ABC 的表面积 S＝ ×3＋ ＝ . 2 2 2
目录
【规律小结】 解决折叠问题时要注意： (1)对于翻折前后，线线、线面的位置关系，所成角及距离加 以比较，观察并判断变化情况． (2)一般地，分别位于两个半平面内的元素其相对位置关系和 数量关系发生变化， 位于同一个半平面的元素， 其相对位置和 数量关系不变． (3)对于某些翻折不易看清的元素，可结合原图形去分析、计 算，即将空间问题转化为平面问题．
目录
考点 3 例3
展开与折叠问题 (2011· 高考陕西卷)如图，在△ABC 中，∠ABC＝
45° ，∠BAC＝90° ，AD 是 BC 上的高，沿 AD 把△ABD 折 起，使∠BDC＝90° .
(1)证明：平面 ADB⊥平面 BDC； (2)设 BD＝1，求三棱锥 DABC 的表面积．
目录
【解】
本节目录
教 材 回 顾 夯 实 双 基
考 点 探 究 讲 练 互 动
名 师 讲 坛 精 彩 呈 现
知 能 演 练 轻 松 闯 关
•
•
•
•
教材回顾•夯实双基
基础梳理
1．柱、锥、台与球的侧面积和体积

a
(2) 三角形法则
b
向量的加法符合下列运算规律：
（（12））交结换合律律：：aa
b b
cb
(aa.
b)
c
a
a a
(b
b
c ).
多个向量相加，可以按照三角形法则.
负向量：大小相a 等但方向a相反的向量.
减法：a b a (b)
ab
b
a
ab
特例：a
(a)
0.
b
α φ1 = φ
=λ|α|cosφ
λα φ1=π- φ
=λPrjlα
λ<0
当λ<0时 φ1=π-φ
λα
Prj(λα)=|λ|.|α|cos(φ1) =-λ|α|(-cosφ)
λ >0 α
=λPrjlα； 当λ=0时
λα
φ1 = φ φ1=π- φ
Prj(λα)= 0 =λPrjlα；
λ<0
（二） 向量的坐标表示
单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1 M 20
零向量：模长为0的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
a
向量平行 方向相反或者方向b 相同的向量a
a//b
零向量和任何向量都平行.
三、向量的线性运算
（一） 向量的加 减法
加法：a b c
(1) 平行四边形法则
b c
a
b
c
a
(b )
ab
（向(二((123量))）)aa向与000,,,量实aaa与数与 与数aa0的2同 的反a乘向乘向法，积，|| 记aa作|||a||12,a规a||a定 | a是一个向量.

D，E，F 分别为 B1A，C1C，BC 的中点．求
证：
核
(1)DE∥平面 ABC；
心
考 向
(2)B1F⊥平面 AEF.
课
图7－7－4
时
限
时
检
测
菜单
【证明】 如图建立空间直角坐标系 A－xyz，令 AB＝AA1
＝4，
基
础
则 A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，
知
识 点
B(4,0,0)，B1(4,0,4)．
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|
课
核
时
心 考
2.求直线与平面所成的角
限 时
向
检
设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，直线 l 测
|a·n|
与平面 α 所成的角为 θ，则 sin θ＝_|c_o_s_〈__a_，__n_〉__|_＝__|a_|_|n_|_.
菜单
3．求二面角的大小
方 法 技 巧
A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)
B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)
核
D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
课 时
心
限
考 向
【答案】 D
时 检
测
菜单
基 础 知 识 点
方
4．已知两平面的法向量分别为 m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，
2．已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、 法向量，若 cos〈m，n〉＝－12，则 l 与 α 所成的角为( )
方 法 技 巧
A．30°