卓越联盟2021届新高考省份高三年级9月份检测数学试题

卜人入州八九几市潮王学校百校联盟2021届高三数学上学期九月联考试题文〔含解析〕第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.,，那么的真子集个数为〔〕A.9个B.7个C.3个D.1个【答案】C【解析】【详解】依题意：，∴故，的真子集个数为3个.应选：C点睛：1.用描绘法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进展集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】.应选：B3.分层抽样是将总体分成互不穿插的层，然后按照一定的比例，从各层HY地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法；在九章算术第三章“衰分〞中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？〞其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税一共100钱，要按照各人带钱多少的比例进展交税，问三人各应付多少税？那么以下说法错误的选项是〔〕A.甲应付钱B.乙应付钱C.丙应付钱D.三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少【答案】B【解析】依题意：由分层抽样知识可知，，那么甲应付：钱；乙应付：钱；丙应付：钱.应选：B的首项，，，成等比数列，那么〔〕A.238B.C.D.【答案】D【解析】∵，，，成等比数列，∴，即，由此得到，或者，∴，.应选：D5.运行如下列图的程序框图，假设输入的〔〕分别为、、、、、、、、、7.0，那么输出的值是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，该程序框图的作用是计算大于等于的数字的比例，故输出的的值是.应选:C点睛：算法与流程图的考察，侧重于对流程图循环构造的考察.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序构造、条件构造、循环构造，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，该几何体由一个四棱锥和一个圆锥拼接而成，故所求体积为.应选：A点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的局部用实线表示，不能看到的局部用虚线表示．(2)由几何体的局部视图画出剩余的局部视图．先根据的一局部三视图，复原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下局部三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的局部三视图是否符合．(3)由几何体的三视图复原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图复原为实物图．7.，且，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得：，又，∴，那么.应选：D函数，那么以下说法错误的选项是〔〕A.假设，那么函数无零点B.假设，那么函数有零点C.假设，那么函数有一个零点D.假设，那么函数有两个零点【答案】A【解析】作出函数的图象如下列图：观察可知：当时，函数有一个零点，故A错误.应选：A：的左、右焦点分别为，，直线过点且与双曲线的一条渐进线垂直，直线与两条渐进线分别交于，两点，假设，那么双曲线的渐进线方程为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，∴为的中点，又∵，∴，又∵，∴，∴双曲线的渐进线的斜率为=，即双曲线的渐进线方程为.应选：B与的夹角为,向量与的夹角为，那么〔〕A. B. C.或者 D.【答案】B【解析】依题意可得：，同理：，而，又向量与的夹角为，可知：，由此解得：或者，又,∴.应选：B11.如图,点是正方形外的一点,过点作直线,记直线与直线，的夹角分别为，，假设，那么满足条件的直线〔〕A.有1条B.有2条C.有3条D.有4条【答案】D【解析】∵故可知；由于平移不改变两直线的夹角，故题目可以转化为过点的直线与直线，的夹角为的直线有多少条；记直线，的夹角为，可以求得，故,故，即，故，，故过点的直线与直线，的夹角为的直线有4条，分别在这两直线夹角及补角的平分面上应选：D的不等式有唯一整数解，那么实数的最小值为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得：,令，∴，得到减区间为；得到增区间为，∴，，，且,∴要使不等式有唯一整数解，实数m应满足,∴实数的最小值为.应选：A点睛：不等式有唯一整数解问题可以转化为两个图像的位置关系问题，观察与的图象的上下关系，只要保证上方只有一个整数满足即可.第二卷〔一共90分〕二、填空题〔每一小题5分，总分值是20分，将答案填在答题纸上〕的一条直径为线段，为圆上一点，，，那么向圆中任意投掷一点，该点落在阴影区域内的概率为__________．【答案】【解析】不妨设，那么所求的概率故答案为：〔，〕的图象如下列图，其中，，那么函数__________．【答案】【解析】依题意，，解得：，故，将点A带入，得：，解得：.故答案为：，满足那么的取值范围为__________．【答案】【解析】作出可行域:观察可知：，易得：,故，故答案为：点睛：此题考察的是线性规划问题，解决线性规划问题的本质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目的函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进展比较，防止出错;三，一般情况下，目的函数的最大值或者最小值会在可行域的端点或者边界上获得.为数列的前项和，，假设〔〕，那么__________．【答案】【解析】当为奇数时，，那么，，，，当为偶数时，，那么，，，，又，∴故答案为：三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕中，的面积为，角，，所对的边分别是，，，且，．〔1〕求的值；〔2〕假设，求的值．【答案】(1);(2).【解析】试题分析：〔1〕由，可得：，再利用同角关系易得，又，故；〔2〕由，得，由正弦定理，得，可得,联立二者可得的值.试题解析：〔1〕因为，得，得，即，所以，又，所以，故，又∵，故，即，所以，故，故．〔2〕，所以，得①，又，所以，在中，由正弦定理，得，即，得②，联立①②，解得．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合条件灵敏转化边和角之间的关系，从而到达解决问题的目的.其根本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，施行边角之间的互化.第三步：求结果.18.如下列图，四棱锥中，平面平面，，，.〔1〕证明：在线段上存在一点，使得平面；〔2〕假设，在〔1〕的条件下，求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析：〔1〕取的中点，易得：四边形是平行四边形，从而，所以平面；〔2〕∵是的中点，∴到平面的间隔等于到平面的间隔的一半从而易得三棱锥的体积.试题解析：〔1〕如图，取的中点，的中点，连接，，∵是的中位线，∴，依题意得，，那么有，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面．〔2〕∵平面平面，平面平面，，平面，故平面，∵是的中点，∴到平面的间隔等于到平面的间隔的一半，且平面，，∴三棱锥的高是2，，在等腰中，，，边上的高为，，∴到的间隔为，∴，∴．点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.①割补法：求一些不规那么几何体的体积时，常用割补法转化成体积公式的几何体进展解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或者几何体)的面积(或者体积)通过条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或者几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过详细作图得到三角形(或者三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．19.某产品的历史收益率的频率分布直方图如下列图：〔1〕试计算该产品收益率的中位数；〔2〕假设该产品的售价〔元〕与销量〔万件〕之间有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如表5组与的对应数据：售价〔元〕25 30 38 45 52销量〔万份〕据此计算出的回归方程为，求的值；〔3〕假设从上述五组销量中随机抽取两组，求两组销量中恰有一组超过6万件的概率．【答案】(1);(2)；〔3〕.【解析】试题分析：〔1〕利用频率分布直方图求出该产品收益率的中位数；〔2〕由表格易得：，，利用回归直线经过样本中心点，求出的值;(3)利用古典概型公式求出两组销量中恰有一组超过6万件的概率.试题解析：解：〔1〕依题意，所求中位数为．〔2〕，，∴．〔3〕依题意，所有销量情况为，，，，，，，，，，恰有一组超过6万件的情况为，，，，，，故所求概率．的前项和为，假设，，〔，且〕．〔1〕求数列的通项；〔2〕求数列的前项和．【答案】(1);(2).【解析】试题分析：〔1〕利用等差数列有关公式求得根本量，，从而得到数列的通项；〔2〕利用错位相减法求数列的前项和.试题解析：〔1〕由得，且，设数列的公差为，那么由，∴，由，得，即，∴，∴，故．〔2〕；下面先求的前项和，①；②；两式相减得，∴〔〕．故的前项和为．点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要擅长识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n〞与“qS n〞的表达式时应特别注意将两式“错项对齐〞以便下一步准确写出“S n－qS n〞的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，假设等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.：过点，点，是椭圆上异于长轴端点的两个点．〔1〕求椭圆的离心率；〔2〕直线：，且，垂足为，，垂足为，假设且，求中点的轨迹方程．【答案】(1);(2)点的轨迹方程为〔〕.【解析】试题分析：〔1〕点带入椭圆方程，解得，易得椭圆的离心率；〔2〕由，且，易得：.分类讨论直线AB的斜率情况，联立椭圆方程，易得：，借助韦达定理，易得〔〕.试题解析：〔1〕依题意，，解得，故椭圆的方程为，那么其离心率为．〔2〕设直线与轴相交于点，，，由于，即，且，得，〔舍去〕或者，即直线经过点，设，，的中点，①直线垂直于轴时，那么的重担为；②直线与轴不垂直时，设的方程为，那么整理得，，，，消去，整理得〔〕．经检验，点也满足此方程．综上所述，点的轨迹方程为〔〕．，．求函数的单调递增区间；假设，，且，，，务实数a的取值范围．【答案】(1)函数的单调递增区间为;(2).【解析】试题分析：〔1〕,解得,从而得到增区间；〔2〕，，等价于对恒成立，或者对恒成立，而，只需研究的符号情况即可.试题解析：〔1〕依题意，，令，解得，故函数的单调递增区间为．〔2〕当，对任意的，都有；当时，对任意的，都有；故对恒成立，或者对恒成立，而，设函数，．那么对恒成立，或者对恒成立，，①当时，∵,∴，∴恒成立，∴在上单调递增，，故在上恒成立，符合题意．②当时，令，得，令，得，故在上单调递减，所以，而，设函数，，那么，令，那么〔〕恒成立，∴在上单调递增，∴恒成立，∴在上单调递增，∴恒成立，即，而，不合题意．综上，故实数的取值范围为.。

2021届全国卓越联盟新高考模拟试卷（九）理科数学试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|A x x x =≤，1|1B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A. (,1]-∞B. [0,1]C. (0,1]D. (,1](0,1]-∞⋃【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式和分式不等式的解法可求得集合,A B ，根据交集定义可求得结果. 【详解】{}[]2|0,10A x x x -=≤=，(]11|0|00,1x x B x x x x --⎧⎫⎧⎫=≥=≤=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， (]0,1A B ∴=.故选：C .【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到一元二次不等式和分式不等式的求解，属于基础题. 2.已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2z i i +=，则z =（ ）A. 2B. 1i +C. 1i -+D. 1i - 【答案】B【解析】【分析】将(1)2z i i +=化为21i z i=+，再利用复数的代数形式的乘除法运算化简，即可得到答案． 【详解】因为(1)2z i i +=，所以22(1)2211(1)(1)2i i i i z i i i i -+====+++-． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，属于基础题．3.“01x <<”是“2sin sin x x <”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先将2sin sin x x <化简可得0sin 1x <<，然后根据充分条件和必要条件即可得到答案【详解】由2sin sin x x <得0sin 1x <<， 因为sin y x =在(0,1)上单调递增，所以0sin sin1x <<，而sin11<，所以0sin 1x <<，故充分性成立；而当0sin 1x <<时，22k x k πππ<<+且2,2πx k πk Z ≠+∈， 故必要性不成立．故选：A ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，属于基础题．4.运行如图所示的程序框图，设输出的数据构成集合A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数a y x =在(0,)+∞上是增函数的概率为（ ）A. 12B. 35C. 45D. 34【答案】A【解析】【分析】按照程序框图运行程序即可得到集合A ，根据幂函数单调性可确定满足条件的a 的所有可能的取值，根据古典概型概率公式计算可得结果.【详解】按照程序框图运行程序，输入1i =-，满足3i <，则1y =-，0i =，满足3i <；则0y =，1i =，满足3i <；则3y =，2i =，满足3i <；则8y =，3i =，不满足3i <，框图运行结束，{}1,0,3,8A ∴=-.当3a =或8时，a y x =在()0,∞+上是增函数，∴所求概率2142p ==. 故选：A .【点睛】本题以程序框图和幂函数单调性为载体，考查了古典概型概率问题的求解；关键是能够熟练掌握幂函数的解析式与该函数在第一象限内图象单调性之间的关系.5.已知向量()3,1a =，()b 0,1=-，(),3c k =，若()2c a b -⊥，则k 等于 A. 23 B. 2 C. -3D. 1 【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直坐标表示得方程，解得k .【详解】因为()2a b c -⊥，233a b -=，，所以3?330k 3k ，+==-,选C.【点睛】向量平行：1221//a y b x y x ⇒=，向量垂直：121200a b x x y y ⋅=⇒+=，向量加减： 1212(,).a b x x y y ±=±±6.已知斜率为2的直线l 过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则p ＝（ ）A. 1B. 2C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】 设直线l 的方程为x ＝12y 2p +，与抛物线联立利用韦达定理可得p ． 【详解】由已知得F （2p ，0），设直线l 的方程为x ＝12y 2p +，并与y 2＝2px 联立得y 2﹣py ﹣p 2＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点C （x 0，y 0），∴y 1+y 2＝p ，又线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则y 012=（y 1+y 2）＝12p =，所以p=2, 故选C ．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题． 7.我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如图所示，则其体积为（ ）A. 843π+B. 883π+C. 84π+D. 88π+【答案】C【解析】【分析】根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，结合三视图求出相应的长度，利用柱体和椎体的体积公式，即可得到答案．【详解】根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，半圆柱的底面半圆的直径为4，高为2，故半圆柱的体积为212242ππ⨯⨯⨯=， 三棱柱的底面三角形的一边长为4，该边上的高为2，该三棱柱的高为2， 故该三棱柱体积为142282⨯⨯⨯=， 所以该“柱脚”的体积为84π+．故选：C ．【点睛】本题主要考查对三视图所表达的空间几何体的识别及几何体体积的计算．由三视图还原几何体，要弄清楚几何体的特征，把三视图中的数据、图形特点准确地转化为对应几何体中的线段长度、图形特点，再进行计算．8.将函数()sin 22f x x x =+的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位，再向上平移1个单位，所得图象经过点,18π⎛⎫⎪⎝⎭，则ϕ的最小值为（ ） A. 512π B. 712π C. 524π D. 724π 【答案】D【解析】【分析】 先逆用两角和的正弦公式化简可得()2sin(2)3f x x π=+，再根据sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，可得变换后的解析式为2sin(22)13πy x φ=+-+，将点,18π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解方程并结合0ϕ>，即可求出ϕ的最小值．【详解】()sin 22f x x x =+12(sin 22)2x x =+ 2(sin 2cos cos 2sin )33ππx x =+2sin(2)3x π=+ 所以将函数()f x 的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位，得到的函数图象对应的函数解析式为2sin 2()2sin(22)33ππy x φx φ⎡⎤=-+=+-⎢⎥⎣⎦， 再向上平移1个单位，得到的函数图象对应的函数解析式为2sin(22)13πy x φ=+-+， 因为所得图象经过点,18π⎛⎫⎪⎝⎭，所以2sin(22)1183ππφ⨯+-+=， 所以7sin(2)012πφ-=， 所以72,12=πφk πk Z -∈， 所以7,224k ππφk Z =-+∈，又0ϕ>， 所以当0k =时，ϕ取得最小值724π． 故选：D ．【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式的逆用，三角函数图象的平移变换及三角方程的解法．9.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的在、右焦点分别12,F F ，过1F 作222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若1245F MF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）A. 2B. 3 【答案】D【解析】【分析】设切线与圆222x y a +=切于点N ，连结ON ，则1ON F M ⊥，过2F 作21F A F M ⊥，垂足为A ，又O 为12F F的中点，所以ON 为12F AF ∆的中位线，结合图形可求得1||22MF b a =+，2||MF =，再由双曲线的定义列出方程，即可求出双曲线的离心率．【详解】设切线与圆222x y a +=切于点N ，连结ON ，则1ON F M ⊥，过2F 作21F A F M ⊥，垂足为A ，因为1ON F M ⊥，21F A F M ⊥，所以2//ON AF ，又O 为12F F 的中点，所以ON 为12F AF ∆的中位线，又||ON a =，所以2||2AF a =，在2AMF ∆中，1245F MF ∠=︒，所以2||22MF a =，||2AM a =，在1Rt F NO ∆中，1||OF c =，||ON a =，所以2211||||||F N OF ON b =-=，所以1||2AF b =，所以11||||||22MF AF AM b a =+=+，由双曲线的定义可得12||||2MF MF a -=，即22222b a a a +-=， 所以2b a =，所以222223c a b a a a +=+=， 所以33c a e a === 故选：D ．【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质中的离心率的求解，关键是利用平面几何的知识求出12||||MF MF ，，再利用双曲线的定义找到问题解决的切入点．10.有一个长方形木块，三个侧面积分别为8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，则该正四面体模型棱长的最大值为（ ）A. 2B. 22C. 4D. 42【答案】B【解析】【分析】先求长方体从同一顶点出发的三条棱的长度，从而可得正四面体模型棱长的最大值.【详解】设长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为,,a b c ，则81224ab ac bc =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故246a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，若能从该长方体削得一个棱长最长的正四面体模型，则该四面体的顶点必在长方体的面内，过正四面体的顶点作垂直于长方体的棱的垂面切割长方体，含正四面体的几何体必为正方体， 故正四面体的棱长为正方体的面对角线的长，而从长方体切割出一个正方体，使得面对角线的长最大，需以最小棱长2为切割后的正方体的棱长切割才可，故所求的正四面体模型棱长的最大值故选：B.【点睛】本题考查正四面体的外接，注意根据外接的要求确定出顶点在长方体的侧面内，从而得到正四面体的各顶点为某个正方体的顶点，从而得到切割的方法，本题属于中档题.11.已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()0,2A ，2220OB OA +=，若平面内点P 满足3PB PA =，则PO 的最大值为（ ）A. 7B. 6C. 5D. 4 【答案】C【解析】【分析】 设(),P x y ，(),B m n ，根据3PB PA =可得262m x n y =-⎧⎨=-⎩，再根据2220OB OA +=可得点P 的轨迹，它一个圆，从而可求PO 的最大值.【详解】设(),P x y ，(),B m n ，故(),PB m x n y =--，(),2PA x y =--.由3PB PA =可得363m x x n y y -=-⎧⎨-=-⎩，故262m x n y =-⎧⎨=-⎩， 因为2220OB OA +=，故()22443420x y +-+=，整理得到()2234x y +-=，故点P 的轨迹为圆，其圆心为()0,3，半径为2， 故PO 的最大值为325+=，故选：C.【点睛】本题考查坐标平面中动点的轨迹以及圆中与距离有关的最值问题，一般地，求轨迹方程，可以动点转移法，也可以用几何法，而圆外定点与圆上动点的连线段长的最值问题，常转化为定点到圆心的距离与半径的和或差，本题属于中档题.12.已知,A B 是函数2,(),x a x e x a f x e x a --⎧≥=⎨<⎩（其中0a >）图象上的两个动点，点(,0)P a ，若PA PB ⋅的最小值为0，则函数()f x 的最小值为（ ） A. 21e - B. 1e - C. 21e D. 1e【答案】D【解析】【分析】由指数函数单调性可确定()()min f x f a =，当PA PB ⋅最小时，可确定,A B 分别为过P 作()f x 两段图象的切线，利用过某一点曲线切线的求解方法可构造方程组求得a ，进而得到所求最小值.【详解】由解析式可知：()f x 在(),a -∞上单调递减，在[),a +∞上单调递增，()()min a f x f a e -∴==.设过点(),0P a 的直线()1y k x a =-与()f x 在(),a -∞上的图象相切，设切点坐标为()11,M x y ，则()1111111x x k e y e y k x a --⎧=-⎪=⎨⎪=-⎩，解得：11x a =-，11a y e -=， 设过点(),0P a 的直线()2y k x a =-与()f x 在(),a +∞上的图象相切，设切点坐标为()22,N x y ，同理可求得：21x a =+，12a y e -=，,A B 是()f x 图象上的点，且PA PB ⋅的最小值为0，0PM PN ∴⋅=，又()11,a PM e -=-，()11,a PN e -=，2210a PM PN e -∴⋅=-+=，解得：1a =，()1min 1f x e e-∴==. 故选：D .【点睛】本题考查函数最值的求解问题，涉及到导数几何意义的应用；关键是能够通过平面向量数量积的定义将问题转化为过某一点的曲线切线方程的求解问题，充分体现了转化与化归思想在考试中的应用.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数,x y 满足约束条件2060230x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则23z x y =-的最小值是_____．【答案】8-.【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，23z x y =-表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最值即可． 【详解】实数,x y 满足约束条件2060230x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩的可行域如图：目标函数23z x y =-，点()24A ，，z 在点A 处有最小值：22348z =⨯-⨯=-，故答案为-8．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法．14.已知向量,a b 的夹角为45︒，若(1,1)a =，||2b =，则|2|a b +=______． 【答案】5【解析】【分析】 根据向量数量积运算公式可知222|2|(2)44a b a b a a b b +==+⋅++，只需根据已知求出a b ⋅，即可求出|2|a b +的值．【详解】因为(1,1)a =，所以22||112a =+=,a b 的夹角为45︒，所以||||cos 452222a b a b ⋅==⨯=，所以222|2|(2)44=42+4a b a b a a b b +=+=+⋅+⨯故答案为：【点睛】本题主要考查向量模的求法，属于基础题 15.记7270127(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++++，则126a a a ++⋯+=______.【答案】126 【解析】 【分析】分别令0x =、1x =-，可求得各项系数和与常数项；利用()()77211x x +=++，得到展开式通项公式，求得7a ，进而求得结果.【详解】令0x =得：701272a a a a +++⋅⋅⋅+=；令1x =-得：7011a ==；()()77211x x +=++，∴展开式通项为()71r rC x +，令7r =，则71a =，7126211126a a a ∴++⋅⋅⋅+=--=.故答案为：126.【点睛】本题考查二项式定理中与各项系数和、指定项系数有关的问题的求解；在求解与各项系数和有关的问题时，通常采用赋值法来快速求得结果.16.已知ABC ∆的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且3cos cos 5a C c Ab -=，则tan()A C -的最大值为______． 【答案】34【解析】 【分析】利用正弦定理将3cos cos 5a C c A b -=化为3sin cos sin cos sin 5A C C AB -=，然后利用三角形内角和定理将B 用()πAC -+代换，再利用两角和的正弦公式展开整理可得2sin cos 8cos sin A C A C =，再由同角三角函数关系可得tan 4tan A C =，将其代入tan()A C -展开式消去tan A ，结合基本不等式即可求出tan()A C -的最大值．【详解】因为3cos cos 5a C c A b -=，由正弦定理得3sin cos sin cos sin 5A C C AB -=， 又()B AC π=-+，所以3sin cos sin cos sin[()]5A C C A A C -=-+π， 即3sin cos sin cos sin()5A C C A A C -=+， 所以5sin cos 5sin cos 3sin cos 3cos sin A C C A A C A C -=+， 所以2sin cos 8cos sin A C A C =，当cos 0C ≤或cos 0A ≤时，等式不成立，所以,(0,)2A C π∈，所以tan 4tan A C =， 所以2tan tan 3tan 3tan()11tan tan 14tan 4tan tan A C CA C A C CC C--===+++又tan 0C >，所以14tan tan C C +≥， 当且仅当14tan tan C C =，即1tan 2C =时，等号成立， 所以33tan()144tan tan A C C C-=≤+，所以tan()A C -的最大值为34． 故答案为：34【点睛】本题主要考查正弦定理，两角差的正切公式及基本不等式的应用，需要注意的是在利用基本不等式时，要根据条件确定tan 0C >．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：（共60分）17.设等比数列{}n a 的公比为q ，n S 是{}n a 的前n 项和，已知12a +，22a ，31a +成等差数列，且3241S a =-，1q >.（1）求{}n a 的通项公式； （2）记数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，试问是否存在*n ∈N 使得3n T <？如果存在，请求出n 的值：如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）12n n a （2）存在；当1,2,3n =时，3n T <【解析】 【分析】（1）根据等差中项的性质和等比数列通项公式可构造出方程组求得1a 和q ，进而得到所求通项公式； （2）采用错位相减法可求得n T ，可证得{}n T 为递增数列，结合31134T =<，41334T =>可确定结果. 【详解】（1）12a +，22a ，31a +成等差数列，213134213a a a a a ∴=+++=++，即211143a q a a q =++…①，由3241S a =-可得：2111141a a q a q a q ++=-，即2111310a a q a q -++=…②，联立①②及1q >可解得：11a =，2q，12n na .（2）由（1）知：12n n nb -=， 则01211232222n n nT -=+++⋅⋅⋅+，123111*********n n n n n T --=+++++⋅⋅⋅， 两式作差得：012111111222222n n n n T -=++++-⋅⋅⋅1122212212n n n n n -+=-=--， 1242n n n T -+∴=-.当2n ≥时，112121440222n n n n n n n nT T ----++-=--+=>， {}()*n T n N ∴∈单调递增.而113T =<，223T =<，31134T =<，41334T =>，∴当1,2,3n =时，3n T <.【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解、错位相减法求解数列的前n 项和、利用数列的单调性求解参数值的问题；关键是能够通过n T 的形式确定数列{}n T 的单调性，进而避免将问题变为解不等式的问题. 18.某少儿游泳队需对队员进行限时的仰卧起坐达标测试.已知队员的测试分数y 与仰卧起坐个数x 之间的关系如下：0,03060,304080,4050100,50x x y x x ≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩；测试规则：每位队员最多进行三组测试，每组限时1分钟，当一组测完，测试成绩达到60分或以上时，就以此组测试成绩作为该队员的成绩，无需再进行后续的测试，最多进行三组；根据以往的训练统计，队员“喵儿”在一分钟内限时测试的频率分布直方图如下：（1）计算a 值；（2）以此样本的频率作为概率，求①在本次达标测试中，“喵儿”得分等于80的概率； ②“喵儿”在本次达标测试中可能得分的分布列及数学期望. 【答案】（1）0.03a =；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）频率分布直方图中所有频率之和为1，由此可求得a ；（2）①由频率分布直方图可得一次测试得分的分布列，三组测试中，“喵儿”得80分为事件A ，则“喵儿”可能第一组得80分，或者第二组得80分，或者第三组得80分，由于三组相互独立，从而可计算概率，②仿照①可计算出三组测试其得分的概率，得分布列，再由期望公式计算出期望．【详解】（1）0.010.010.05)101,0.03a a +++⨯=∴=（ （2）由直方图可知，“喵儿”的得分ξ情况如下：ξ0 60 80 100p0.10.30.5 0.1①在本次的三组测试中，“喵儿”得80分为事件A ，则“喵儿”可能第一组得80分，或者第二组得80分，或者第三组得80分，则()0.50.10.50.10.10.50.555P A =+⨯+⨯⨯=（6分） ②(0)0.10.10.10.001P δ==⨯⨯=，(60)P δ=0.30.10.30.10.10.30.333+⨯+⨯⨯=，(100)10.0010.3330.5550.111P δ==---=，分布列如下：δ0 60 80 100p0.0010.333 0.5550.111数学期望()00.001600.333800.5551000.11175.48E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查频率分布直方图，考查相互独立事件的概率，考查随机变量的分布列和期望．解题时依据概率公式计算出概率是解题关键. 19.如图，在三棱柱ADE BCF 中，侧面ABCD 是为菱形，E 在平面ABCD 内的射影O 恰为线段BD 的中点.（1）求证：AC CF ⊥；（2）若60BAD ∠=︒，AE AB =，求二面角E BC F --的平面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）17【解析】 【分析】（1）连接AC ，由线面垂直的判定方法可证得AC ⊥面BED ，从而得到AC ED ⊥，根据平行关系可证得结论；（2）以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法可求得结果. 【详解】（1）证明：如图，连接AC ，易知ACBD O =.∵侧面ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥.由射影定义可知：EO ⊥面ABCD ，又AC ⊂面ABCD ，∴EO AC ⊥， 而EOBD O =，且EO ，BD ⊂面BED ，∴AC ⊥面BED ，ED ⊂平面BED ，∴AC ED ⊥.∵//CF ED ，∴AC CF ⊥.（2）由（1）知：AO BO ⊥，OE AO ⊥，OE BO ⊥，，于是以O 为坐标原点，OA ，OB ，OE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：不妨设2AB AE ==.∵在菱形ABCD 中，60BAD ∠=，∴3AO =1BO =. 在Rt EAO △中，221EO EA AO =-=.于是()0,0,0O，)3,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,1E ，()3,0,0C -，∴()3,1,0AB =-，()0,1,1BE =-，()3,1,0BC =--. 又由EF AB =，可解得：()3,1,1F ，()3,0,1BF ∴=-. 设平面BCE 的法向量为()1111,,n x y z =，则由10n BE ⋅=，10n BC ⋅=得1111030y z x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令11y =，则13x =-，11z =，即13n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.同理可得平面BCF 的法向量231,1n ⎛⎫=-⎪⎝⎭. ∴1212121cos ,7n n n n n n ⋅<>==-⋅，二面角E BC F --的平面角为锐角，∴所求的余弦值为17. 【点睛】本题考查立体几何中线线垂直关系证明、空间向量法求解二面角的问题；立体几何需要证明线线垂直时，通常采用证明线面垂直的方式，利用线面垂直的性质得到线线垂直结论.20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>A B 、分别为E 的左顶点和上顶点，若AB 的中点的纵坐标为12.12,F F 分别为E 的左、右焦点. （1）求椭圆E 的方程；（2）设直线2:2m L x my =+与E 交于,M N 两点，12MF F △，12NF F △的重心分别为,G H .若原点O 在以GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=；（2）()2,2- 【解析】 【分析】（1）根据离心率、中点坐标和椭圆,,a b c 关系可构造方程组求得,,a b c ，进而得到椭圆方程；（2）将L 方程与椭圆方程联立，得到韦达定理的形式；根据重心的坐标表示和点与圆的位置关系可得到0OG OH ⋅<，代入韦达定理的结论可构造不等式求得m 的范围，验证后确定满足>0∆即可.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意有(),0A a -，()0,B b ，c e a ∴==，且122b =，结合222a b c =+，解得：2a =，1b =， ∴椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程222214m x my x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 得：()42234404m m y m y +++-=，由>0∆可得：424160m m --<，解得：22m <+则31224m y y m -+=+，()41221644m y y m -=+，由题意得：12MF F ∆，12NF F ∆的重心11,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，22,33x y H ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵原点O 在以GH 为直径的圆内，∴0OG OH ⋅<，即121209x x y y +<.∵()()34212121212124m mx x y y m y y y y +=++++()()4334222161024444m m m m m m m ⎛⎫--=+++< ⎪++⎝⎭，()4221616044m m m --∴<+， 变形为()()225440m m +-<，解得：24m <，满足22m <+22m ∴-<<， 即实数m 的取值范围为()2,2-.【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、点与圆的位置关系的应用等知识；解决直线与椭圆的应用问题常常将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理来表示出已知中的等量或不等关系，进而构造关于参数的等式或不等式求得结果.21.已知函数2()(1)ln ()f x a x x a =-+∈R ，且()f x 在(0,)+∞上满足()0f x ≤恒成立. （1）求实数a 的值； （2）令()()f x axg x x x a+=⋅-在(,)a +∞上的最小值为m ，求证：11()10f m -<<-.【答案】（1）2a =（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分别在0a ≤和0a >两种情况下讨论导函数的正负，得到原函数单调性，由此可知0a ≤时不合题意，并求出0a >时，()()max f x f a =，则只需()max 0f x ≤即可，令()22ln 22ln a a a ϕ=-+-，利用导数可求得()0a ϕ≥，结合()20ϕ=，由此可确定仅有2a =满足条件；（2）利用导数和零点存在性定理可确定函数()g x 的单调性，得到()()0min g x g x =，由()08,9x ∈可化简得到0m x =，代入()f x 解析式即可证得结论.【详解】（1）当0x >时，原函数可化为：()()12ln f x a x x =-+，则()22axf x a x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，()10f =，∴当1x >时，()()10f x f >=，不合题意；当0a >时，()2a x a f x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=， ∴当20x a<<时，()0f x '>；当2x a >时，()0f x '<，()f x ∴在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()f x 在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，即()max 222ln 22ln f x f a a a ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭.∴要使()0f x ≤在()0,∞+时恒成立，则只需()max 0f x ≤，即22ln22ln 0a a -+-≤.令()22ln 22ln a a a ϕ=-+-，则()221a a a aϕ-'=-=， ∴当02a <<时，()0a ϕ'<；当2a >时，()0a ϕ'>， 即()a ϕ在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增. 又()20ϕ=，∴满足条件的a 只有2，即2a =. （2）由（1）知：2a =，()222ln f x x x ∴=-+，()()()22ln 22f x ax x x xg x x x x a x ++∴=⋅=>--，()()()222ln 42x x g x x --'∴=-. 令()2ln 4s x x x =--，则()221x s x x x-'=-=， 2x >，()0s x ∴'>，即()s x 在()2,+∞上单调递增；又()846ln 20s =-<，()954ln30s =->，()08,9x ∴∃∈，使得()00s x =，即0042ln x x =-，且当02x x <<时，()0s x <；当0x x >时，()0s x >， 即()g x 在()02,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增，()()20000000min0022ln 222x x x x x g x g x x x x +-∴====--，即0m x =，()()()0000222ln 211,10f m f x x x x ∴==-+=--∈--，即()1110f m -<<-.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数解决恒成立问题、证明不等式；在证明不等式的过程中，由于无法确定方程准确的根，此时常采用零点存在定理锁定零点所在区间，进而得到所需的等量关系.（二）选考题：共10分.请考生在第2、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系xOy ，(2,0)P ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2ρ=，点(,)(0)Q ρθθπ为C 上的动点，M 为PQ 的中点．（1）请求出M 点轨迹1C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(1,)A π若直线l 经过点A 且与曲线1C 交于点,E F ，弦EF 的中点为D ，求||||||AD AE AF ⋅的取值范围．【答案】(1)22(1)1(0)x y y -+=≥；(2)233⎛⎤⎥ ⎝⎦【解析】 【分析】(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为224x y +=，可得点()00,Q x y 满足224(0)x y y +=≥．利用相关点法即可得出M 点轨迹1C 的直角坐标方程；(2)根据已知条件求出直线l 的参数方程，把直线l 的参数方程代入1C ，利用根与系数关系求出1212,t t t t +，由直线l 的参数方程中t 的几何意义可将||||||AD AE AF ⋅用12,t t 表示，再将1212,t t t t +代入即可求出||||||AD AE AF ⋅的取值范围． 【详解】(1)因为C 的直角坐标方程为224x y +=，所以点()00,Q x y 满足224(0)x y y +=≥． 设(,)M x y ，因为M 为PQ 的中点，(2,0)P 所以022x x +=，02y y =，所以022x x =-，02y y =， 所以22(22)(2)4(0)x y y -+=≥，整理得1C 的轨迹方程为22(1)1(0)x y y -+=≥．(2)因为直线l 过点(1,0)A -， 所以直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数，θ为倾斜角，0,6πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭) 代入1C 得24cos 30t t -+=θ，所以124cos t t +=θ，123t t =，所以1212||2cos 22,||||333t t AD AM AN t t θ+⎛⎤==∈ ⎥⋅⋅⎝⎦． 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线l 的参数方程中参数t 的几何意义，本题中求||||||AD AE AF ⋅的关键是联立直线的参数方程与1C 的直角坐标方程的基础上，利用直线的参数方程的几何意义并结合根与系数关系求解．23.已知0a >，0b >．(1)若关于x 的不等式2|3||1|3x x a a +---对任意实数x 都成立，求实数a 的最小值；(2)a b ++【答案】(1)最小值为4；(2)见解析【解析】【分析】(1) 不等式2|3||1|3x x a a +---对任意实数x 都成立，只需()2max |3||1|3x x a a +---即可，将|3||1|x x +--化为|3||1|x x +--利用绝对值不等式即可求出()max |3||1|4x x +--=，再解不等式234a a -≥，即可求出实数a 的最小值；(2)作差后通分并因式分解，即可确定差式的符号，从而证得结论．【详解】(1)因为|3||1||3||1||(3)(1)|4x x x x x x +--=+--≤++-=，所以234a a -≥，解得4a ≥或1a ≤-，又0a >，所以4a ≥，所以a 的最小值为4．(2)===20=≥+≥． 【点睛】本题主要考查恒成立问题处理方法，绝对值不等式的应用，一元二次不等式的解法及作差法证明不等式．作差法证明不等式关键是将差式进行因式分解变形为几个因式积的形式，以便好判断差式的符号．。

2021年高三上学期9月质检考试数学试题含答案注意事项：1.本卷分第I卷和第II卷，满分150分，考试时间150分钟。

2.考生答题前注意答题要求（文理合卷），填写好自己的姓名、班级、考号等信息，条形码应贴在方框内，并将答案正确填写在答题卡上。

一、选择题：在每题所给的A、B、C、D四个选项中，只有一个选项最符合题意。

1、已知集合，，则＝( )A．B．C．D．2、已知函数y=f（2x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．2 B．3 C．4 D．53、已知函数f（x）的定义域为，且为偶函数，则实数a的值是( )A． B．2 C．4 D．6 4、已知函数若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.5、若正四面体ABCD的棱长为1，则它的外接球体积为（）A．π B．π C．π D．π6、两圆与的公共切线有( )A．1条B．2条C．3条 D．4条7、在一次案件中，公民D谋杀致死。

嫌疑犯A、B、C对簿公堂。

嫌疑犯A说：“我没有去D 家，我和C去了B家”；嫌疑犯B说：“C去了A家，也去了D家”；嫌疑犯C说：“我没去D 家”。

由此推断嫌疑最大的是（）A.AB.BC.CD.A和C8、函数的图象大致为（）9、已知函数满足，且当时，，则的大小关系是（）A． B．C． D．10、《九章算术》是我国古代最具影响力的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问积及委米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（米堆形状为圆锥的四分之一状），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出米堆的米约有（）斛.A.14B.22C.36D.6611、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值为（）A. B. C.或 D. 或12、过椭圆+y2=1的左焦点F作斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于A，B两点，使得AB的中点M在直线x+2y=0上，则k的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2二、填空题：每题5分，共20分.13.设f是从集合A={1，2}到集合B={1，2，3，4}的映射，则满足f(1)+f(2)=4的所有映射的个数为 _____．14.用二分法求函数y=f(x)在区间上零点的近似解，经验证有f(2)•f(4)＜0．取区间的中点为x1=3，计算得f(2)•f(x1)＜0，则此时零点x0∈_____.(填区间)16. 平面直角坐标系中，过原点O的直线l与曲线y=e x-1交于不同的A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线，与曲线y=lnx交于点C，D，则直线CD的斜率是_____．三、解答题：70分，作答时应给出相关解题步骤、文字说明和公式过程。

2021年高三上学期9月调研数学（文）试卷含解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合A={x|x≤0}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=__________．2．命题：“∀x∈R，3x＞0”的否定是__________．3．已知复数z=（1﹣i）i（i为虚数单位），则|z|=__________．4．计算÷=__________．5．“α=”是“tanα=1”的__________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）6．正弦曲线y=sinx在处的切线的斜率为__________．7．设函数，则f（x）≤2时x的取值范围是__________．8．曲线y=和y=x2在它们的交点处的两条切线互相垂直，则a的值是__________．9．设数列{a n}满足a1=3，a n+1=a n2﹣2na n+2，n=1，2，3，…，通过计算a2，a3，a4，试归纳出这个数列的通项公式a n=__________．10．已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为__________时，log2a•log2（2b）取得最大值．11．已知集合A={（x，y）|y≤x}，集合B={（x，y）|（x﹣a）2+y2≤3}，若A∩B=B，则实数a 的取值范围为__________．12．已知点P是函数y=lnx的图象上一点，在点P处的切线为l1，l1交x轴于点M，过点P 作l1的垂线l2，l2交x轴于点N，MN的中点为Q，则点Q的横坐标的最大值为__________．13．已知函数f（x）=．若存在x1，x2，当1≤x1＜x2＜3时，f（x1）=f（x2），则的取值范围是__________．14．设函数f（x）=若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围__________．二、解答题：15．（14分）函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为集合A，函数g（x）=2x﹣a（x≤2）的值域为集合B．（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若集合A，B满足A∩B=B，求实数a的取值范围．16．（14分）设命题p：函数f（x）=lg（x2+ax+1）的定义域为R；命题q：函数f（x）=x2﹣2ax﹣1在（﹣∞，﹣1]上单调递减．（1）若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围；（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题p为真命题时，a的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．17．设a为实数，记函数的最大值为g（a）．（1）设t=，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；（2）求g（a）．18．如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？19．（16分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x ﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．20．（16分）已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．xx学年江苏省泰州市兴化一中高三（上）9月调研数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合A={x|x≤0}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B={﹣1，0}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由A与B，求出两集合的交集即可．解答：解：∵A={x|x≤0}，B={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={﹣1，0}，故答案为：{﹣1，0}．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．命题：“∀x∈R，3x＞0”的否定是∃x0∈R，使得≤0．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题，直接写出该命题的否定即可．解答：解：根据全称命题的否定是特称命题，得；命题：“∀x∈R，3x＞0”的“”的否定是：“∃x0∈R，使得≤0”．故答案为：∃x0∈R，使得≤0．点评：本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应熟记全称命题与特称命题的关系是什么，是基础题．3．已知复数z=（1﹣i）i（i为虚数单位），则|z|=．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数模的计算公式即可求得复数z的模．解答：解：z=（1﹣i）i=1+i，∴|z|==，故答案为：．点评：本题考查复数求模，属于基础题．4．计算÷=﹣20．考点：有理数指数幂的化简求值；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：计算题．分析：利用对数的商的运算法则及幂的运算法则求出值．解答：解：=lg=﹣20故答案为：﹣20点评：本题考查对数的四则运算法则、考查分数指数幂的运算法则．5．“α=”是“tanα=1”的充分不必要条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件、必要条件的概念，以及tanα=1时α的取值情况即可判断是tanα=1的什么条件．解答：解：时，tanα=1；tanα=1时，，所以不一定得到；∴是tanα=1的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．点评：考查充分条件、必要条件以及充分不必要条件的概念，以及根据tanα=1能求α．6．正弦曲线y=sinx在处的切线的斜率为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求出y=sinx的导数，将代入，由特殊角的三角函数值，即可得到所求．解答：解：y=sinx的导数为y′=cosx，即有曲线在处的切线的斜率为k=cos=．故答案为：．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率，主要考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键．7．设函数，则f（x）≤2时x的取值范围是[0，+∞）．考点：对数函数的单调性与特殊点；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数的表达式，解不等式即可，注意要对x进行分类讨论．解答：解：由分段函数可知，若x≤1，由f（x）≤2得，21﹣x≤2，即1﹣x≤1，∴x≥0，此时0≤x≤1，若x＞1，由f（x）≤2得1﹣log2x≤2，即log2x≥﹣1，即x，此时x＞1，综上：x≥0，故答案为：[0，+∞）．点评：本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数的表达式讨论x的取值范围，解不等式即可．8．曲线y=和y=x2在它们的交点处的两条切线互相垂直，则a的值是a=．考点：曲线与方程；两条直线垂直的判定．专题：计算题．分析：先求出它们交点的横坐标，再求出它们的斜率表达式，由两条切线互相垂直、斜率之积等于﹣1，解出a的值．解答：解：曲线y=和y=x2的交点的横坐标是，它们的斜率分别是=﹣和2x=2，∵切线互相垂直，∴﹣•2=﹣1，∴a=±，故答案为a=±．点评：本题考查曲线与方程、两条直线垂直的条件．9．设数列{a n}满足a1=3，a n+1=a n2﹣2na n+2，n=1，2，3，…，通过计算a2，a3，a4，试归纳出这个数列的通项公式a n=2n+1．考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：先由递推公式求a2，a3，a4，再猜想通项公式；解答：解：∵a1=3，a n+1=a n2﹣2na n+2，∴a2=a12﹣2a1+2=9﹣6+2=5，a3=a22﹣2×2a2+2=25﹣20+2=7，a4=a32﹣2×3a3+2=49﹣42+2=9，即a2=5，a3=7，a4=9，由归纳推理猜想an=2n+1．故答案为：2n+1．点评：本题主要考查数列的通项公式的猜想，根据数列的递推关系求出a2，a3，a4是解决本题的关键．10．已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为4时，log2a•log2（2b）取得最大值．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由条件可得a＞1，再利用基本不等式，求得当a=4时，log2a•log2（2b）取得最大值，从而得出结论．解答：解：由题意可得当log2a•log2（2b）最大时，log2a和log2（2b）都是正数，故有a＞1．再利用基本不等式可得log2a•log2（2b）≤===4，当且仅当a=2b=4时，取等号，即当a=4时，log2a•log2（2b）取得最大值，故答案为：4．点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题．11．已知集合A={（x，y）|y≤x}，集合B={（x，y）|（x﹣a）2+y2≤3}，若A∩B=B，则实数a 的取值范围为[2，+∞）．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：先根据集合A、B的关系，画出满足条件的平面区域，结合点到直线的距离从而求出a 的范围．解答：解：集合B={（x，y）|（x﹣a）2+y2≤3}，∴集合B是以（a，0）为圆心，以为半径的圆，若A∩B=B，画出图象，如图示：，显然，直线和圆相切时是临界值，∴圆心（a，0）到直线的距离d==，解得：a=2，∴a≥2，故答案为：[2，+∞）．点评：本题考查了集合之间的关系，考查点到直线的距离公式，数形结合思想，是一道中档题．12．已知点P是函数y=lnx的图象上一点，在点P处的切线为l1，l1交x轴于点M，过点P 作l1的垂线l2，l2交x轴于点N，MN的中点为Q，则点Q的横坐标的最大值为．考点：对数函数的图像与性质．专题：导数的综合应用．分析：设切点为（a，b），利用导数求出直线PM的方程，继而求出M点的横坐标，再根据直线PM⊥直线PN，求出直线PN的方程，继而求出N点的横坐标，根据中点坐标公式，求出Q点的横坐标，再利用导数求出最值，问题得以解决．解答：解：设P点的坐标为（a，b），如图所示，∵f（x）=lnx，∴f′（x）=，∴直线PM的斜率k PM=f′（a）=，∴直线PM的方程为y﹣b=（x﹣a），令y=0，解得x M=a﹣ab，∵直线PM⊥直线PN，∴k PN=﹣=﹣a，直线PN的方程为y﹣b=﹣a（x﹣a），令y=0，解得x N=a+，∵MN的中点为Q，∴x Q=（x M+x N=）=（a﹣ab+a+），又b=lna，∴x Q=（a﹣alna+a+），令g（a）=a﹣alna+a+，∴g′（a）=1﹣（lna+1）+1+=（1﹣lna）（1+），令g′（a）=0，解的a=e，当0＜a＜e时，g′（a）＞0，g（a）单调递增；当a＞e时，g'（a）＜0，g（a）单调递减，当a=e时取得极大值，即为最大值，最大值为g（e）=e﹣e+e+=，故点Q的横坐标的最大值为故答案为：点评：本题主要考查了曲线的切线方程和导数与最值得关系，关键是把点的坐标问题转化为求函数的最值问题，培养了学生的转化能力，属于中档题．13．已知函数f（x）=．若存在x1，x2，当1≤x1＜x2＜3时，f（x1）=f（x2），则的取值范围是（，]．考点：分段函数的应用．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：作函数f（x）的图象，结合图象可得+≤x1＜；化简==1+；从而求取值范围．解答：解：作函数f（x）=的图象如下，f（）=+1=1+；故令x+=1+得，x=+；故+≤x1＜；又∵==1+；＜≤=﹣1；＜1+≤；故答案为：（，]．点评：本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用，属于中档题．14．设函数f（x）=若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围或a≥2．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a 的范围．解答：解：设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），若在x＜1时，h（x）=2x﹣a与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2故答案为：或a≥2．点评：本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．二、解答题：15．（14分）函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为集合A，函数g（x）=2x﹣a（x≤2）的值域为集合B．（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若集合A，B满足A∩B=B，求实数a的取值范围．考点：交集及其运算；函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：（I）对数的真数＞0求解函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的定义域得到集合A，再根据指数函数的值域求解B即可；（II）由题意A，B满足A∩B=B得B是A的子集，建立关于a的不等关系，可解出实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）A={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|（x﹣3）（x+1）＞0}={x|x＜﹣1，或x＞3}，..…..…B={y|y=2x﹣a，x≤2}={y|﹣a＜y≤4﹣a}．…..…..（Ⅱ）∵A∩B=B，∴B⊆A，..…．∴4﹣a＜﹣1或﹣a≥3，…∴a≤﹣3或a＞5，即a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪（5，+∞）．…．（13分）点评：本题考查集合的求法，对数函数的定义域、值域的求解是解题的关键，考查计算能力．16．（14分）设命题p：函数f（x）=lg（x2+ax+1）的定义域为R；命题q：函数f（x）=x2﹣2ax﹣1在（﹣∞，﹣1]上单调递减．（1）若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围；（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题p为真命题时，a的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：（1）先分别求出p真，q真时的x的范围，再通过讨论p真q假或p假q真的情况，从而求出a的范围；（2）根据M、N的关系，得到不等式组，解出即可．解答：解：（1）若p真：即函数f（x）的定义域为R∴x2+ax+1＞0对∀x∈R恒成立，∴△=a2﹣4＜0，解得：﹣2＜a＜2，若q真，则a≥﹣1，∵命题“p∨q”为真，“p∧q”为假∴p真q假或p假q真∵或，解得：﹣2＜a＜﹣1或a≥2．（2）∵M∪N=M∴N⊆M，∵M=（m﹣5，m），N=（﹣2，2）∴，解得：2≤m≤3．点评：本题考查了集合之间的关系，考查复合命题的性质，本题是一道中档题．17．设a为实数，记函数的最大值为g（a）．（1）设t=，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；（2）求g（a）．考点：二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；分类讨论．分析：（1）令，由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，再由，且t≥0…①，可得t的取值范围是，进而得m（t）的解析式．（2）由题意知g（a）即为函数m（t）=，的最大值，直线是抛物线m（t）=的对称轴，分a ＞0、a=0、a＜0三种情况利用函数的单调性求出函数f（x）的最大值为g（a）．解答：解：（1）∵，∴要使t有意义，必须1+x≥0且1﹣x≥0，即﹣1≤x≤1．∵，且t≥0…①，∴t的取值范围是．由①得：，∴=，．（2）由题意知g（a）即为函数m（t）=，的最大值，∵直线是抛物线m（t）=的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：1）当a＞0时，函数y=m（t），的图象是开口向上的抛物线的一段，由知m（t）在上单调递增，故g（a）=m（2）=a+2；2）当a=0时，m（t）=t，在上单调递增，有g（a）=2；3）当a＜0时，函数y=m（t），的图象是开口向下的抛物线的一段，若即时，g（a）=，若即时，g（a）=，若∈（2，+∞）即时，g（a）=m（2）=a+2．综上所述，有g（a）=．点评：本题主要考查二次函数在闭区间上的最值的求法，函数解析式求解的方法，体现了分类讨论的数学思想．18．如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？考点：基本不等式；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：（Ⅰ）求当t=时，直路l所在的直线方程，即求抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）在x=时的切线方程，利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（Ⅱ）求出x=t时的抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t＜）上的极大值，也就是最大值．解答：解：（I）∵y=﹣x2+2，∴y′=﹣2x，∴过点M（t，﹣t2+2）的切线的斜率为﹣2t，所以，过点M的切线方程为y﹣（﹣t2+2）=﹣2t（x﹣t），即y=﹣2tx+t2+2，当t=时，切线l的方程为y=﹣x+，即当t=时，直路l所在的直线方程为12x+9y﹣22=0；（Ⅱ）由（I）知，切线l的方程为y=﹣2tx+t2+2，令y=2，得x=，故切线l与线段AB交点为F（），令y=0，得x=，故切线l与线段OC交点为（）．地块OABC在切线l右上部分为三角形FBG，如图，则地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积为S=（2﹣）×2=4﹣t﹣=4﹣（t+）≤2．当且仅当t=1时，取等号．∴当t=100米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为xx0平方米．点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，在实际问题中，函数在定义域内仅含一个极值，该极值往往就是最值．属中档题型．19．（16分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x ﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，∵f（x）＞1，∴e x lnx+＞1，∴lnx＞﹣，∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．20．（16分）已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由1+x≥0且1﹣x≥0可求得定义域，先求[f（x）]2的值域，再求f（x）的值域；（2）F（x）=a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，由此可转化为关于t的二次函数，按照对称轴t=﹣与t的范围[，2]的位置关系分三种情况讨论，借助单调性即可求得其最大值；（3）先由（2）求出函数g（x）的最小值，﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）恒成立，从而转化为关于t的一次不等式，再根据一次函数的单调性可得不等式组，解出即可．解答：解：（1）由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，所以函数的定义域为[﹣1，1]，又[f（x）]2=2+2∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[，2]，所以函数值域为[，2]；（2）因为F（x）==a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，∴F（x）=m（t）=a（﹣1）+t=，t∈[，2]，由题意知g（a）即为函数m（t）=，t∈[，2]的最大值．注意到直线t=﹣是抛物线m（t）=的对称轴．因为a＜0时，函数y=m（t），t∈[，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，①若t=﹣∈（0，]，即a≤﹣，则g（a）=m（）=；②若t=﹣∈（，2]，即﹣＜a≤﹣，则g（a）=m（﹣）=﹣a﹣；③若t=﹣∈（2，+∞），即﹣＜a＜0，则g（a）=m（2）=a+2，综上有g（a）=，（3）易得，由﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）=恒成立，⇒m2﹣2tm≥0，令h（t）=﹣2mt+m2，对所有的t∈[﹣1，1]，h（t）≥0成立，只需，解得m的取值范围是m≤﹣2或m=0，或m≥2．点评：本题考查函数恒成立问题，考查函数定义域、值域的求法，考查学生对问题的转化能力，恒成立问题往往转化为函数最值问题解决．24565 5FF5 念26435 6743 权)39299 9983 馃X32324 7E44 繄737513 9289 銉q227775 6C7F 汿733495 82D7 苗H40277 9D55 鵕。

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学上学期9月第一次教学质量检查试题理〔含解析〕本卷须知：2.答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答复非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在套本套试卷上无效。

一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。

1.i 为虚数单位，复数z 满足(12i)2i z +=-+，那么z =〔〕B.1D.5【答案】B 【解析】 【分析】令za bi =+，得出,ab ,再计算z =，即可求出答案．【详解】解：令z a bi =+，那么(12)(12)()2(2)2i z i a bi a b b a i i +=++=-++=-+，∴2221a b b a -=-⎧⎨+=⎩解得01a b =⎧⎨=⎩，∴1z ==，应选B.【点睛】此题考察复数模的运算，属于根底题．{}2|log (1)A x y x ==-，{|(1)(2)0}B x x x =+-，那么A B =〔〕A.(]0,2B.()0,1C.(]1,2D.[)+2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】分别化简集合A 和B ,再求交集即可． 【详解】解：{}|1)A x x =>，{}|12B x x =-≤≤,∴{}|12A B x x ⋂=<≤,应选C.【点睛】此题考察集合的交集运算，属于根底题．3.01a b <<<，那么在a a ，b a ，a b ，b b 中，最大的是〔〕 A.a a B.b aC.a bD.b b【答案】C 【解析】 【分析】用做商法，两两比较大小，最后得出最大值． 【详解】解：∵01,0a a b <<-<，∴1a a b ba a a-=>，即a b a a >，同理可得，a b b b >， 又∵1aa aa ab b ⎛⎫=< ⎪⎝⎭∴aa b a >，即a b 最大．应选C ．【点睛】考察了有理数大小比较，在比较较为复杂的式子时，对于选择题最好的方法是举出详细的数值，利用特殊值进展比较即准确又快捷．kx y ce =拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，其变换后得到线性回归方程0.32z x =+，那么c =〔〕A.2eB.4eC.2D.4【答案】A 【解析】 【分析】通过对数函数的运算性质，求得ln 2c =，即可得出答案． 【详解】解：2ln ln ln()ln ln 0.3kx kx ce c e z y kx c x =+====++，∴ln 2c =即2c e =应选A.【点睛】此题考察对数函数的运算性质，属于根底题． 5.,m n ∈R ，那么“10mn->〞是“0m n ->〞的〔〕 A.既不充分也不必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】此题只需解出条件和结论对应的,m n 的取值范围，再从集合的角度，即可得出答案． 【详解】解：前者：1010m mm n n n->⇒>⇒>>或者0m n <<， 后者：0m n m n ->⇒>； 所以“10mn->〞是“0m n ->〞的既不充分也不必要条件 【点睛】此题结合解不等式，考察充分必要条件，属于根底题．6.执行如程序框图所示的程序，假设输入的x 的值是2，那么输出的x 的值是〔〕A.3B.5C.7D.9【答案】D 【解析】 【分析】直接利用程序框图的循环构造的应用求出结果． 【详解】解：执行程序框图，输入x ， 当i =1时，得到2x -1；当i =2时，得到2〔2x -1〕-1=4x -3， 当i =3时，得到4〔2x -1〕-3=8x -7，当i =4时，退出循环，输出8x -7=82-7=9⨯， 应选D ．【点睛】此题考察循环构造的程序框图的输出结果的计算问题，着重考察推理与运算才能，属于根底题．:21l y kx k =-+将不等式组2010220x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩表示平面区域的面积分为1：2两局部，那么实数k 的值是〔〕 A.1或者14B.14或者34C.13或者23D.14或者13【答案】A 【解析】 【分析】根据线性约束条件，画出可行域，根据直线l 过定点，通过数形结合，即可求解． 【详解】如下列图，∵直线l 恒过点()2,1B，故当直线l 过AB 的三等分点2241,,,3333D E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时,此时可行域的面积被分为1:2的两局部，此时1k =或者14. 应选A.【点睛】此题考察线性规划问题，属于根底题．)232sin x x dx -+⎰的值是〔〕A.πB.2πC.2π+2cos2D.π+2cos2【答案】B 【解析】 【分析】根据定积分的性质，将定积分)232sin x x dx-+⎰可以展开为：222322(sin )x dx x dx ---+-+⎰⎰⎰，利用定积分的运算，分别求出定积分值．【详解】解：利用定积分的运算法那么，将定积分)232sin x x dx-+⎰展开为：222322(sin )x dx x dx ---+-+⎰⎰⎰，∴2-⎰表示以()0,0为圆心，2为半径12圆的面积，∴21422ππ-=⨯=⎰∴)232sin 2x x dx π-+=⎰应选B ．【点睛】此题考察定积分的性质，学生应纯熟掌握定积分的运算法那么和几何意义，属于中档题．P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，假设三棱锥P ABC -O 的外表积为〔〕A.16πB.20πC.28πD.32π【答案】B【分析】一条棱垂直底面的三棱锥和与其同底等高的三棱柱的外接球是同一个，再结合正弦定理求出底面三角形外接圆半径r ，最后即可求出外接球半径R =h 为三棱柱垂直底面的棱长〕，再结合球的外表积公式2=4S R π球,即可求解． 【详解】解：如下列图，三棱锥P ABC -的外接球就是三棱柱''PB C ABC -的外接球，∵三棱锥P ABC -的体积为11123sin1203323ABC S PA AB AC PA ∆==，∴2PA =由正弦定理得：ABC ∆外接圆的直径24sin sin 30AB crACB ===∠∴三棱锥P ABC -的外接球的半径R ==∴球O 的外表积为20π，应选B.【点睛】此题考察三棱锥的外接球外表积，确定三棱锥的外接球的半径是关键．2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为C 与圆22(16x y ++=交于M ，N 两点，且4MN =，那么椭圆C 的方程为〔〕A.2211512x y += B.221129x y += C.22163x y +=D.22196x y += 【答案】D 【解析】先画出草图，通过计算，便可得到MN 的中点即为椭圆的另一个焦点，再利用椭圆的几何性质，即可求出． 【详解】解：如下列图： ∵2,4MD MC ==,∴CD ==,∴点D 就是椭圆的另一个焦点，∴26a MC MD =+=,即3a =,又∵c=，∴2226b a c =-=，∴椭圆的HY 方程为：22196x y +=，应选D ．【点睛】此题考察求椭圆的HY 方程和作图才能，充分利用题目所给条件，挖掘根本量,,a b c 的关系，即可求解．()sin cos f x a x x =+，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，假设12x x ∃≠，使得()()12f x f x =，那么实数a 的取值范围是〔〕A.⎛ ⎝⎭B.(C.⎝D.⎛ ⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】此题可转化为函数()f x 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭不单调，即对称轴要落在,6πϕϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上，即可求解．【详解】解：依题意得1()sin cos )(tan )f x a x x x a ϕϕ=++=在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，即2()62k k Z k πϕπππϕπ⎧<+⎪⎪∈⎨⎪+>+⎪⎩化简得：()32k k k Z πππϕπ+<<+∈，tan ϕ<1a <，解得0,3a ⎛∈ ⎝⎭，应选D. 【点睛】此题考察辅助角公式和正弦函数的根本性质，属于中档题．1111ABCD A B C D -，点P 是四边形11BB D D 内〔含边界〕任意一点，Q 是11B C 中点，有以下四个结论：①=0ACBP ；②当P 点为11B D 中点时，二面角P AD C --的余弦值12；③AQ 与BC 所成角的正切值为CQ AP ⊥时，点P 的轨迹长为32. 其中所有正确的结论序号是〔〕 A.①②③ B.①③④C.②③④D.①②④【答案】B 【解析】 【分析】①利用线面平行，得到线线平行．②要求二面角的余弦值，转化为求二面角的平面角余弦值．③要求线线角，将其平移至一个三角形中，即可求解．④证明CQ ⊥平面AHB ，那么HB 即为点P 的运动途径，通过计算即可求解． 【详解】解：如下列图， ①根据正方体的几何性质，易得AC ⊥平面11BB D D ,又因为BP ⊆平面11BB D D ,故AC BP ⊥，即=0AC BP ，故①对．②当P 点为11B D 中点时，PA PD=,且OA OD =,所以二面角P AD C --的平面角为OFP ∠,连接OP ,又90POF∠=，故所求二面角的余弦值为cos 5OF OFPFP∠==.故②错．③因为AD BC ∥,所以AQ 与BC 所成角即为AQ 与AD 所成角，即为DAC ∠,连接,QD QF ,在等腰三角形AQD 中，F 为底边中点，所以90AFQ ∠=，所以AQ 与BC 所成角的正切值为tan 12FQ DAC AF∠===故③对．④点H 为1DD 中点，所以CQ AH ⊥，又因为,CQ AB ⊥所以CQ ⊥平面AHB ,即点P 在线段HB上运动时，CQ AP ⊥，所以点P 的轨迹长为32HB =，故④对． 应选B .【点睛】此题考察直线与平面位置关系的断定、二面角〔范围[]0,π〕以及异面直线的夹角〔范围0,2π⎛⎤⎥⎝⎦〕．属于中档题． 二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分。

2021年高三上学期9月月考数学试卷含解析一、填空题：（每题5分，共计70分）1．已知A={﹣1，0，2}，B={﹣1，1}，则A∪B= ．2．已知复数z=，（i为虚数单位）则复数z的实部为．3．写出命题：“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题：．4．一位篮球运动员在最近的5场比赛中得分的茎叶图如图，则他在这5场比赛中得分的方差是．5．如图所示的流程图，输出的n= ．6．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为．7．若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最大值为．8．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为．9．在等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，若a3=8，S3=20，则S5= ．10．将y=sin2x的图象向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图象仍过点（），则φ的最小值为．11．若直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，则a= ．12．已知函数f（x）=，为奇函数，则不等式f（x）＜4的解集为．13．在三角形ABC中，已知AB=3，A=120°，△ABC的面积为，则•的值= ．14．设点P，M，N分别在函数y=2x+2，y=，y=x+3的图象上，且=2，则点P横坐标的取值范围为．二、解答题：（满分90分，作答请写出必要的解答过程）15．已知f（x）=sinx+acosx，（1）若a=，求f（x）的最大值及对应的x的值．（2）若f（）=0，f（x）=（0＜x＜π），求tanx的值．16．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为PB中点，E为PC的中点，（1）求证：BC∥平面ADE；（2）求证：平面AED⊥平面PAB．17．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若点B在椭圆上，点D在y轴上，且=2，求直线AB方程．19．已知数列{a n}满足a1=1，a2=a＞0，数列{b n}满足b n=a n•a n+1（1）若{a n}为等比数列，求{b n}的前n项的和s n；（2）若b n=3n，求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=n+2，求证：++…+＞2﹣3．20．已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx，（1）求证：f（x）≥x+1；（2）设x0＞1，求证：存在唯一的x0使得g（x）图象在点A（x0，g（x0））处的切线l与y=f（x）图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得|﹣1|＜a成立．xx学年江苏省淮安市淮阴中学高三（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每题5分，共计70分）1．已知A={﹣1，0，2}，B={﹣1，1}，则A∪B= {﹣1，0，1，2} ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：利用并集的性质求解．解答：解：∵A={﹣1，0，2}，B={﹣1，1}，∴A∪B{﹣1，0，1，2}，故答案为：{﹣1，0，1，2}．点评：本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题．2．已知复数z=，（i为虚数单位）则复数z的实部为 1 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．解答：解：∵复数z===i+1．∴复数z的实部为1．故答案为：1．点评：本题考查了复数的运算法则、实部的定义，属于基础题．3．写出命题：“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题：“若x≠3则x2﹣2x﹣3≠0”．考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：若原命题的形式是“若p，则q”，它的否命题是“若非p，则非q”，然后再通过方程根的有关结论，验证它们的真假即可．解答：解：原命题的形式是“若p，则q”，它的否命题是“若非p，则非q”，∴命题：“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3则x2﹣2x﹣3≠0”．故答案为：“若x≠3则x2﹣2x﹣3≠0”．点评：写四种命题时应先分清原命题的题设和结论，在写出原命题的否命题、逆命题、逆否命题，属于基础知识．4．一位篮球运动员在最近的5场比赛中得分的茎叶图如图，则他在这5场比赛中得分的方差是 2 ．考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：先求得数据的平均数，再利用方差计算公式计算．解答：解：==10，∴方差Dx=×（4+1+0+1+4）=2．故答案为：2．点评：本题考查了由茎叶图求数据的方差，熟练掌握方差的计算公式是解题的关键．5．如图所示的流程图，输出的n= 4 ．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：当n=1时，S=1，不满足退出循环的条件，故n=2，S=4；当S=4，不满足退出循环的条件，故n=3，S=9；当S=9，不满足退出循环的条件，故n=4，S=16；当S=16，满足退出循环的条件，故输出的n值为4，故答案为：4点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程，算出它的焦点为F（2，0），即为双曲线的右焦点，由此建立关于a的等式并解出a值，进而可得此双曲线的渐近线方程．解答：解：∵抛物线方程为y2=8x，∴2p=8，=2，可得抛物线的焦点为F（2，0）．∵抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，∴双曲线的右焦点为（2，0），可得c==2，解得a2=1，因此双曲线的方程为，可得a=1且b=，∴双曲线的渐近线方程为y=x，即．故答案为：点评：本题给出双曲线的右焦点与已知抛物线的焦点相同，求双曲线的渐近线方程．着重考查了抛物线的简单性质、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．7．若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最大值为 6 ．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组对应的平面区域如图，将直线l：z=x+2y进行平移，并观察它在轴上截距的变化，可得当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值．由此求出A点坐标，不难得到本题的答案．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如右图，是位于△ABO及其内部的阴影部分．将直线l：z=x+2y进行平移，可知越向上平移，z的值越大，当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值由解得A（2，2）∴z max=F（2，2）=2+2×2=6故答案为：6点评：本题给出线性约束条件，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单线性规划等知识点，属于基础题．8．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为6π．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由圆柱的轴截面是边长为2的正方形可得圆柱底面圆的直径长为2，高为2．解答：解：∵圆柱的轴截面是边长为2的正方形，∴圆柱底面圆的直径长为2，高为2．则圆柱的表面积S=2•π•2+2•π•12=6π．故答案为6π．点评：考查了学生的空间想象力．9．在等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，若a3=8，S3=20，则S5= 40 ．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等差数列的首项和公差，由已知列式求出首项和公差，则答案可求．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由若a3=8，S3=20，得，解得：．∴．故答案为：40．点评：本题考查了等差数列的前n项和，考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题．10．将y=sin2x的图象向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图象仍过点（），则φ的最小值为．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：利用正弦函数的函数值相等，结合三角函数的图象的平移，判断平移的最小值即可．解答：解：因为y=sin2×=sin=，所以函数y=sin2x的图象向右平移单位，得到的图象仍过点（），所以φ的最小值为．故答案为：．点评：本题考查三角函数的值与函数的图象的平移，考查计算能力．11．若直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，则a= ﹣2 ．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由圆的方程，得到圆心与半径，根据直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，可得直线l：y=x+a过圆心，即可求出a的值．解答：解：∵圆（x﹣2）2+y2=1，∴圆心为：（2，0），半径为：1∵直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，∴直线l：y=x+a过圆心，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题主要考查直与圆的位置关系及其方程的应用，是常考题型，属中档题．12．已知函数f（x）=，为奇函数，则不等式f（x）＜4的解集为（﹣∞，4）．考点：其他不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的定义，求出a，b，即可得到结论．解答：解：若x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x）=bx2+3x，∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即bx2+3x=﹣x2﹣ax，则b=﹣1，a=﹣3，即f（x）=，若x≥0，则不等式f（x）＜4等价x2﹣3x＜4，即x2﹣3x﹣4＜0，解得﹣1＜x＜4，此时0≤x＜4，若x＜0，不等式f（x）＜4等价﹣x2﹣3x＜4，即x2+3x+4＞0，此时不等式恒成立，综上x＜4．即不等式的解集为（﹣∞，4）．点评：本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．13．在三角形ABC中，已知AB=3，A=120°，△ABC的面积为，则•的值= ．考点：平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：利用三角形面积公式列出关系式，将c，sinA及已知面积代入求出b的值，再利用余弦定理列出关系式，把b，c，cosA的值代入计算即可求出a的值，然后利用余弦定理求cosB，结合数量积的定义求•的值．解答：解：∵AB=c=3，A=120°，△ABC的面积为，∴S△ABC=bcsinA=b=，即b=5，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=25+9+15=49，则BC=a=7．由余弦定理得cosB=•=accosB=7×3×=．点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式以及向量的数量积的运算，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．14．设点P，M，N分别在函数y=2x+2，y=，y=x+3的图象上，且=2，则点P横坐标的取值范围为．．考点：向量数乘的运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，由=2，可得点P是线段MN的中点．设M（x1，y1），P（x，y），N（x2，y2）．可得，，，（0≤x1≤4），y2=x2+3，y=2x+2．化为2x=﹣1﹣x1（0≤x1≤4）．令f（t）=（0≤t≤4）．利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出．解答：解：如图所示，∵=2，∴点P是线段MN的中点．设M（x1，y1），P（x，y），N（x2，y2）．∴，，，（0≤x1≤4），y2=x2+3，y=2x+2．化为2x=﹣1﹣x1（0≤x1≤4）．令f（t）=（0≤t≤4）．f′（t）=﹣1，当2≤t≤4时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减．当0≤t＜2时，f′（t）=0，解得，则当时，函数f（t）单调递增；当时，函数f（t）单调递减．而极大值即最大值=﹣3，又f（0）=﹣1，f（4）=﹣5．∴点P横坐标的取值范围为．故答案为：．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、向量的共线、分类讨论思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、解答题：（满分90分，作答请写出必要的解答过程）15．（14分）（xx秋•泗洪县校级期中）已知f（x）=sinx+acosx，（1）若a=，求f（x）的最大值及对应的x的值．（2）若f（）=0，f（x）=（0＜x＜π），求tanx的值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数线．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）a=时，利用两角和的正弦值化简f（x），求出x取何值时f（x）有最大值；（2）由f（）=0求出a的值，再由f（x）=，求出cosx、sinx的值，从而求出tanx的值．解答：解：（1）a=时，f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），…（2分）当sin（x+）=1，即x+=+2kπ（k∈Z），∴x=+2kπ（k∈Z）时，f（x）有最大值2；…（6分）（2）∵f（）=sin+acos=+a=0，∴a=﹣1；…（8分）∴f（x）=sinx﹣cosx=，∴，∴，即（cosx+）cosx=；整理得，25cos2x+5cosx﹣12=0，解得，cosx=，或cosx=﹣；当cosx=时，sinx=，当cosx=﹣时，sinx=﹣；又∵x∈（0，π）∴取；∴tanx=．…（14分）点评：本题考查了三角恒等变换的应用问题以及三角函数求值的问题，也考查了一定的计算能力，是较基础题．16．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为PB中点，E为PC的中点，（1）求证：BC∥平面ADE；（2）求证：平面AED⊥平面PAB．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）由中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（2）由线面垂直的性质和判定定理，以及通过面面垂直的判定定理，即可得证．解答：（1）证明：∵PE=EC，PD=DB，∴DE∥BC，∵DE⊂平面ADE，BC⊄平面ADE，∴BC∥平面ADE；（2）证明：∵PA⊥平面PAC，BC⊂平面PAC，∴PA⊥CB，∵AB⊥CB，AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB，∵DE∥BC∴DE⊥平面PAB，又∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面PAB．点评：本题考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定定理，注意定理的条件的全面，属于基础题．17．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）求出第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；（2）利用利润=累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．解答：解：（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y=25x﹣[6x+x（x﹣1）]﹣50=﹣x2+20x﹣50（0＜x≤10，x∈N）由﹣x2+20x﹣50＞0，可得10﹣5＜x＜10+5∵2＜10﹣5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出，∴二手车出售后，小张的年平均利润为=19﹣（x+）≤19﹣10=9当且仅当x=5时，等号成立∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若点B在椭圆上，点D在y轴上，且=2，求直线AB方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知得，，由此能求出椭圆方程．（2）设B（x0，y0），D（0，m），则，，由此能求出直线方程．解答：解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（1，），∴，∴a=2c，…（2分）∴b2=a2﹣c2=3c2设椭圆方程为：，∴∴椭圆方程为：…（7分）（2）设B（x0，y0），D（0，m），则，，∴﹣x0=2，m﹣y0=3﹣2m，即x0=﹣2，y0=3m﹣3，代入椭圆方程得m=1，∴D（0，1），…（14分）∴．…（16分）点评：本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线与椭圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．19．已知数列{a n}满足a1=1，a2=a＞0，数列{b n}满足b n=a n•a n+1（1）若{a n}为等比数列，求{b n}的前n项的和s n；（2）若b n=3n，求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=n+2，求证：++…+＞2﹣3．考点：数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）分a=1和a≠1求出等比数列{a n}的通项公式，进一步求得{b n}是等比数列，则其前n项和s n可求；（2）把b n=3n代入b n=a n•a n+1，然后分n为奇数和偶数得到数列{a n}的偶数项和奇数项为等比数列，由等比数列的通项公式得答案；（3）由b n=n+2得到a n a n+1=n+2，进一步得到，代入++…+整理后利用基本不等式证得结论．解答：（1）解：由a1=1，a2=a＞0，若{a n}为等比数列，则，∴．当a=1时，b n=1，则s n=n；当a≠1时，．（2）解：∵3n=a n•a n+1，∴3n﹣1=a n﹣1•a n（n≥2，n∈N），∴．当n=2k+1（k∈N*）时，∴；当n=2k，（k∈N*）时，∴．∴．（3）证明：∵a n a n+1=n+2 ①，∴a n﹣1a n=n+1（n≥2）②，①﹣②得∴=（a3﹣a1）+（a4﹣a2）+…+（a n+1﹣a n﹣1）=a n+a n+1﹣a1﹣a2∴=．∵，∴＞﹣3．点评：本题是数列与不等式综合题，考查了等比关系的确定，考查了首项转化思想方法，训练了放缩法证明数列不等式，是压轴题．20．已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx，（1）求证：f（x）≥x+1；（2）设x0＞1，求证：存在唯一的x0使得g（x）图象在点A（x0，g（x0））处的切线l与y=f（x）图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得|﹣1|＜a成立．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．分析：（1）构造函数F（x）=e x﹣x﹣1，求函数的导数即可证明f（x）≥x+1；（2）求函数的导数，利用导数的几何意义即可证明存在唯一的x0使得g（x）图象在点A （x0，g（x0））处的切线l与y=f（x）图象也相切；（3）求函数的导数，利用导数和不等式之间的关系即可证明对任意给定的正数a，总存在正数x，使得|﹣1|＜a成立．解答：解：（1）令F（x）=e x﹣x﹣1，x∈R，∵F'（x）=e x﹣1=0得x=0，∴当x＞0时F'（x）＞0，F（x）递增；当x＜0时F'（x）＜0，F（x）递减；∴F（x）min=F（0）=0，由最小值定义得F（x）≥F（x）min=0即e x≥x+1．（2）g（x）在x=x0处切线方程为①设直线l与y=e x图象相切于点，则l：②，由①②得，∴⑤下证x0在（1，+∞）上存在且唯一．令，，∴G（x）在（1，+∞）上递增．又，G（x）图象连续，∴存在唯一x0∈（1，+∞）使⑤式成立，从而由③④可确立x1．故得证．（1）由（1）知即证当a＞0时不等式e x﹣1﹣x＜ax即e x﹣ax﹣x﹣1＜0在（0，+∞）上有解．令H（x）=e x﹣ax﹣x﹣1，即证H（x）min＜0，由H'（x）=e x﹣a﹣1=0得x=ln（a+1）＞0．当0＜x＜ln（a+1）时，H'（x）＜0，H（x）递减，当x＞ln（a+1）时，H'（x）＞0，H（x）递增．∴H（x）min=H（ln（a+1））=a+1﹣aln（a+1）﹣ln（a+1）﹣1．令V（x）=x﹣xlnx﹣1，其中x=a+1＞1则V'（x）=1﹣（1+lnx）=﹣lnx＜0，∴V（x）递减，∴V（x）＜V（1）=0．综上得证．点评：本题主要考查导数的综合应用，综合性较强，运算量较大．25479 6387 掇36279 8DB7 趷h31814 7C46 籆31899 7C9B 粛c>37172 9134 鄴638874 97DA 韚21629 547D 命Q23777 5CE1 峡。

2021届普通高中教育教学质量监测考试全国卷理科数学注意事项：1 .本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

2 .答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。

3 .全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4 .本试卷满分150分，测试时间120分钟。

5 .考试范画：必修1〜5,选修2 — 1, 2-2, 2—3。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。

1.若 z=2—L 则区一zl= A3 B.2 C. VTO D.V262,若集合 A={xly=k )g3(x2—3x-18)}, B={-5, -2, 2, 5, 7),则 AAB = A.{—2, 2, 5}B.{-5, 7}C.{-5, -2, 7}D.{-5, 5, 7)3.我国古代的宫殿金碧辉煌，设计巧夺天工，下图(1)为北京某宫殿建筑，图(2)为该宫殿某一 “柱脚”的三视图，其中小正方形的边长为1,则根据三视图可知，该“柱脚”的表面积为94•已知抛物线G ： y2=6x 上的点M 到焦点F 的距离为一,若点N 在Cz ： (x+2)2+y 2=l ・ 2则点M 到点N 距离的最小值为A.A /26-1B.>/43-1C.V33-1D.25.根据散点图可知，变量x, y 呈现非线性关系。

为了进行线性回归分析，设u=21ny, v=(2x -3)2,利用最小二乘法，得到线性回归方程u=-1v+2,则3B.变量y 的估计值的最小值为eA.变量y 的估计值的最大值为e图⑴ 图⑵A.9TT +9+9 B.18 兀+18 点 +9 C.18 兀+18& +18D.18TT +91 + 18C 变量y 的估计值的最大值为e 2 D.变量y 的估计值的最小值为e 26,函数f(x)=h]2x —x3的图象在点(1, f(L))处的切线方程为 2 25 3 5 c — 1 1 、1 A. y = — x--B. y = — —x + 2C. y = —x--D. y = --x44 44447,已知函数 f(x)=3cos(sx+<p)(3>0),若 f (一二)=3, f( —)=0,则 3 的最小值为3 31 3 A.-B.-C.2D.3248 .(3x-2)2(x-2)6的展开式中，X”的系数为 A.O B.4320C.480D.38409 .已知圆C 过点(1, 3), (0, 2), (7, -5),直线/： 12x-5y —1=0与圆C 交于M, N 两点, 则 IMNI = A.3B.4C.6D.8 10・已知角a 的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(1, m),其中m>0：若tan2a12 rll—,则 cos(2a+ni7i) = 6「 口A.— —B.— —131311 .已知三棱锥S-ABC 中，ZiSBC 为等腰直角三角形，ZBSC=ZABC = 90°, ZBAC=2Z BCA, D, E, F 分别为线段AB, BC, AC 的中点，则直线SA, SB, AC, SD 中，与平面SEF 所成角为定值的有A.1条B.2条 C3条 D.4条e x212.已知函数f(x)= — —m(h]x+x+ —)恰有两个极值点，则实数m 的取值范围为 x x11 1 c c 1 eA.(-8, _] B,(一，+8) C.(一，-)U (- , 4-oo)D .(—8, —]U(—，+8)222 332 3第n 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2021年高三上学期9月质检数学试卷（理科）含解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞﹣2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤22．是成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3，则a，b，c的大小关系是（）4．设a=20.1，b=lg，c=log3A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c5．已知命题p：∃x∈R，使sinx﹣cosx=，命题q：集合{x|x2﹣2x+1=0，x∈R}有2个子集，下列结论：（1）命题“p∧q”是真命题；（2）命题“p∧（￢q）”是假命题；（3）命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e7．函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A．1 B．2 C．3 D．48．函数f（x）=x a满足f（2）=4，那么函数g（x）=|log a（x+1）|的图象大致为（）A．B．C．D．9．设函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，若f（1）＜1，，则（）A．且a≠﹣1 B．﹣1＜a＜0 C．a＜﹣1或a＞0 D．﹣1＜a＜210．已知f（x）=，若a，b，c，d是互不相同的四个正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（）A．（21，25）B．（21，24）C．（20，24）D．（20，25）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．．12．设函数f（x）=x2ln（﹣x+）+1，若f（a）=11，则f（﹣a）=．13．函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．14．已知f（x）是定义在实数集上的函数，且f（x+2）=，f（1）=，则f下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②若命题P：∃x∈R，x2+x+1＜0，则﹁p：∀x∈R，x2+x+1≥0；③若命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1则log a（a+1）＜”是真命题．其中正确命题的序号是．（把所有正确命题序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知集合A={x|log2x＜8}，B={x|＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（1）求集合A∩B；（2）若B∪C=B，求实数a的取值范围．17．设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．18．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax．（I）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值．19．已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）．（I）若f（﹣1）=f（2），且函数y=f（x）﹣x的值域为[0，+∞），求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若c＜0，且函数f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，求2b+c的取值范围．20．某地气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用．（Ⅰ）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．21．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．xx学年山东省枣庄三中高三（上）9月质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞﹣2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤2【考点】集合关系中的参数取值问题．【分析】A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，两个集合有公共元素，得到两个集合中所包含的元素有公共的元素，得到a与﹣1的关系．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，∴两个集合有公共元素，∴a要在﹣1的右边，∴a＞﹣1，故选C．2．是成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分充分性和必要性两方面加以论证：根据不等式的性质，可证明出充分性成立；再通过举出反例说明必要性是不成立的．因此得出正确选项．【解答】解：①充分性，当x1＞3且x2＞3时，根据不等式的性质可得：x1x2＞9且x1+x2＞6∴充分性成立②必要性，当x1x2＞9且x1+x2＞6成立，x1＞3且x2＞3不一定成立‘比如：x1=2，x2=8满足“x1x2＞9且x1+x2＞6”，但“x1＞3且x2＞3”不成立∴必要性不成立所以是成立的充分不必要条件故选A3．函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的零点．【分析】先求定义域，然后令y=0，解出x的值，判断即可．【解答】解：函数的定义域是{x|2＜x＜3或x＞3}，令y=0，得x=3．显然无解．故选A．4．设a=20.1，b=lg，c=log3，则a，b，c的大小关系是（）A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用幂函数，指数函数，以及对数函数的性质判断即可．【解答】解：∵20.1＞20=1=lg10＞lg＞0＞log3，∴a＞b＞c，故选：D．5．已知命题p：∃x∈R，使sinx﹣cosx=，命题q：集合{x|x2﹣2x+1=0，x∈R}有2个子集，下列结论：（1）命题“p∧q”是真命题；（2）命题“p∧（￢q）”是假命题；（3）命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】复合命题的真假．【分析】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．【解答】解：∵sinx﹣cosx=∈∴sinx﹣cosx=∉∴命题p是假命题又∵集合{x|x2﹣2x+1=0，x∈R}={1}，那么{1}的子集有两个：{1}、φ，∴命题q是真命题由复合命题判定真假可知．（1）命题“p∧q”是真命题，错误（2）命题“p∧（￢q）”是假命题，正确（3）命题“（△￢p）∨（￢q）”是真命题，正确故选C6．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故选B；7．函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】根据函数定义域和值域的关系，判断函数的单调性，结合对数的运算法则进行求解即可．【解答】解：当x=1时，y=0，则函数为减函数，故a＞1，则当x=0时，y=1，即y==1，即a﹣1=1，则a=2，则log a+log a=log a（•）=log28=3，故选：C．8．函数f（x）=x a满足f（2）=4，那么函数g（x）=|log a（x+1）|的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用f（3）=9，可得3a=9，解得a=2．于是g（x）=|log2（x+1）|=，分类讨论：当x≥0时，当﹣1＜x＜0时，函数g（x）单调性质，及g（0）=0即可得出．【解答】解：∵f（2）=4，∴2a=4，解得a=2．∴g（x）=|log2（x+1）|=∴当x≥0时，函数g（x）单调递增，且g（0）=0；当﹣1＜x＜0时，函数g（x）单调递减．故选C．9．设函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，若f（1）＜1，，则（）A．且a≠﹣1 B．﹣1＜a＜0 C．a＜﹣1或a＞0 D．﹣1＜a＜2【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质．【分析】根据函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，所以有f（2）=f（﹣1）=﹣f （1），再由f（1）＜1，解不等式即可．【解答】解：由题意得f（﹣2）=f（1﹣3）=f（1）＜1，∴﹣f（2）＜1，即．∴，即3a（a+1）＞0．∴a＜﹣1或a＞0．故选C．10．已知f（x）=，若a，b，c，d是互不相同的四个正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（）A．（21，25）B．（21，24）C．（20，24）D．（20，25）【考点】分段函数的应用．【分析】图象法：画出函数y=f（x）的图象，根据图象分析a，b，c，d的关系及取值范围，从而求出abcd的取值范围．【解答】解：先画出f（x）=的图象，如图：∵a，b，c，d互不相同，不妨设a＜b＜c＜d．且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），3＜c＜4，d＞6．∴﹣log3a=log3b，c+d=10，即ab=1，c+d=10，故abcd=c（10﹣c）=﹣c2+10c，由图象可知：3＜c＜4，由二次函数的知识可知：﹣32+10×3＜﹣c2+10c＜﹣42+10×4，即21＜﹣c2+12c＜24，∴abcd的范围为（21，24）．故选：B．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．．【考点】定积分．【分析】直接利用定积分的运算法则求解即可．【解答】解：由题意==8．故答案为：8．12．设函数f（x）=x2ln（﹣x+）+1，若f（a）=11，则f（﹣a）=．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】通过观察，可以得到f（a）+f（﹣a）=2，进而即可得出．【解答】解：∵f（a）+f（﹣a）=a2ln（﹣a+）+1+（﹣a）2ln（a+）+1=2，f（a）=11，∴f（﹣a）=2﹣11=﹣9．故答案为：﹣9．13．函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】依题意，函数f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数，须考虑两个方面：一是结合二次函数x2﹣ax+3a的单调性可；二是对数的真数要是正数．【解答】解：依题意函数f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数，所以应有，解得﹣4＜a≤4，此即为实数a的取值范围．故答案为﹣4＜a≤4，14．已知f（x）是定义在实数集上的函数，且f（x+2）=，f（1）=，则f=﹣，f（x+8）=f （x），从而可得f=﹣，而f（3）==，从而解得．【解答】解：∵f（x+2）=，∴f（x+4）===﹣，∴f（x+8）=﹣=f（x），∴f（x）是周期为8的函数；而xx=251×8+7，∴f=﹣，∵f（3）==，∴f=．故答案为：．15．下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②若命题P：∃x∈R，x2+x+1＜0，则﹁p：∀x∈R，x2+x+1≥0；③若命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1则log a（a+1）＜”是真命题．其中正确命题的序号是．（把所有正确命题序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用命题的否定的形式判断出①错；利用含量词的命题的否定形式判断出②对；利用复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系判断出③对；利用对数函数的单调性判断出④错．【解答】解：对于①，由于否命题是对命题的条件、结论同时否定，①只否定了结论，条件没否定，故①错；对于②，由于含量词的命题有否定公式是：量词交换，结论否定，故②对；对于③，因为”￢p“为真，故p假；因为“p或q”为真，所以p，q有真，所以q一定为真，故③对；对于④，因为0＜a＜1，y=log a x是减函数，∵∴，故④错．故答案为：②③三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知集合A={x|log2x＜8}，B={x|＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（1）求集合A∩B；（2）若B∪C=B，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；并集及其运算．【分析】（1）求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可；（2）根据B与C的并集为B，得到C为B的子集，确定出a的范围即可．【解答】解：（1）由A中log2x＜8=log223，得到0＜x＜3，即A=（0，3），由B中不等式解得：﹣2＜x＜4，即B=（﹣2，4），则A∩B=（0，3）；（2）由B∪C=B，得到C⊆B，∵B=（﹣2，4），C=（a，a+1），∴，解得：﹣2≤a≤3，则实数a的取值范围为[﹣2，3]．17．设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】易得p：k＞0，q：或，由p∧q是假命题，p∨q是真命题，可得p，q一真一假，分别可得k的不等式组，解之可得．【解答】解：∵函数y=kx+1在R上是增函数，∴k＞0，又∵曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，∴△=（2k﹣3）2﹣4＞0，解得或，∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，∴命题p，q一真一假，①若p真q假，则，∴；②若p假q真，则，解得k≤0，综上可得k的取值范围为：（﹣∞，0]∪[，]18．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax．（I）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f′（x）由f′（0）=1﹣a=2，求得a=﹣1．得到f（x）=e x﹣x2+x，再由f （0）=1求得b值；（Ⅱ）由题意f′（x）≥0，即e x﹣2x﹣a≥0恒成立，∴a≤e x﹣2x恒成立．令h（x）=e x﹣2x，利用导数求其最小值得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x﹣x2﹣ax，∴f′（x）=e x﹣2x﹣a，则f′（0）=1﹣a．由题意知1﹣a=2，即a=﹣1．∴f（x）=e x﹣x2+x，则f（0）=1．于是1=2×0+b，b=1．（Ⅱ）由题意f′（x）≥0，即e x﹣2x﹣a≥0恒成立，∴a≤e x﹣2x恒成立．设h（x）=e x﹣2x，则h′（x）=e x﹣2．∴当x∈（﹣∞，ln2）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；当x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数．∴h（x）min=h（ln2）=2﹣2ln2．∴a≤2﹣2ln2，即a的最大值为2﹣2ln2．19．已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）．（I）若f（﹣1）=f（2），且函数y=f（x）﹣x的值域为[0，+∞），求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若c＜0，且函数f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，求2b+c的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（I）因为f（﹣1）=f（2），函数y=f（x）﹣x的值域为[0，+∞），可得b，c的值，及函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若c＜0，且函数f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，则，利用线性规划可得2b+c的取值范围．【解答】解：（I）因为f（x）=x2+bx+c，f（﹣1）=f（2），所以1﹣b+c=4+2b+c，解得：b=﹣1，…又因为函数y=f（x）﹣x的值域为[0，+∞），即y=x2﹣2x+c的值域为[0，+∞），故=0，解得：c=1，所以f（x）=x2﹣x+1；…（Ⅱ）因为f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，且c＜0，所以有，即其对应的平面区域如图所示：…令Z=2b+c，则当b=﹣1，c=0时，Z取最小值﹣2，当b=1，c=0时，Z取最大值2，由于可行域不包括（﹣1，0）和（1，0）点故﹣2＜2b+c＜220．某地气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用．（Ⅰ）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用已知可得：一次喷洒4个单位的净化剂，浓度f（x）=4y=，分类讨论解出f（x）≥4即可；（2）设从第一次喷洒起，经x（6≤x≤10）天，可得浓度g（x）=2（5﹣x）+a[﹣1]，变形利用基本不等式即可得出．【解答】解：（1）∵一次喷洒4个单位的净化剂，∴浓度f（x）=4y=则当0≤x≤4时，由﹣4≥4，解得x≥0，∴此时0≤x≤4．当4＜x≤10时，由20﹣2x≥4，解得x≤8，∴此时4＜x≤8．综合得0≤x≤8，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天．（2）设从第一次喷洒起，经x（6≤x≤10）天，浓度g（x）=2（5﹣x）+a[﹣1]=（14﹣x）+﹣a﹣4∵14﹣x∈[4，8]，而1≤a≤4，∴4∈[4，8]，故当且仅当14﹣x=4时，y有最小值为8﹣a﹣4．令8﹣a﹣4≥4，解得24﹣16≤a≤4，∴a的最小值为24﹣16≈1.6．21．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，然后分类讨论，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，）；（Ⅱ）首先求出F（x）的导函数，然后分类讨论，当a≥0时，恒有F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＜0时，F（x）有极大值，无极小值；（Ⅲ），又，求出g（x）的导函数，然后设出0＜x1＜x2，即证，再设，即证：，再进一步设出k（t），求出k（t）的导函数，则结论可证．【解答】（Ⅰ）解：在区间（0，+∞）上，．（1）当a≤0时，∵x＞0，∴f′（x）＞0恒成立，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；（2）当a＞0时，令f′（x）＞0，即，得．∴f（x）的单调增区间为（0，）；综上所述：当a≤0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，）；（Ⅱ）由F（x）=f（x）+ax2+ax=lnx﹣ax+ax2+ax=lnx+ax2得（x＞0），当a≥0时，恒有F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＜0时，令F′（x）=0，得，x∈（0，），F′（x）＞0，F′（x）单调递增，x∈（，+∞），F′（x）＜0，F′（x）单调递减．∴．F（x）无极小值．综上所述：a≥0时，F（x）无极值，a＜0时，F（x）有极大值，无极小值；（Ⅲ）证明：，又，∴g′（x0）=，要证k＞g′（x0），即证，不妨设0＜x1＜x2，即证，即证，设，即证：，也就是要证：，其中t∈（1，+∞），事实上：设t∈（1，+∞），则=，∴k（t）在（1，+∞）上单调递增，因此k（t）＞k（1）=0，即结论成立．xx年10月13日35430 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卜人入州八九几市潮王学校内蒙古HY2021届高三数学9月月考试题理〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题〕1.，，那么的元素个数为A.1B.2C.3D.4A.p，qB.“〞是“〞的必要不充分条件C.D.2.设函数，那么的值是A.3B.6C.8D.123.函数的最大值为M，最小值为m，那么A.0B.1C.2D.44.函数有两个不同的零点，那么实数a的取值范围是A. B. C. D.5.a的最小值为A.2B.C.D.6.函数，满足和是偶函数，且，设，那么A. B. C. D.7.函数的图像与x轴切于点，那么的极大值、极小值分别为A.，0B.0，C.，0D.0，8.当时，，那么a的取值范围是9.关于函数有下述四个结论：是偶函数在区间单调递增在有4个零点的最大值为2其中所有正确结论的编号是A. B. C. D.10.函数，那么的极大值点为A. B.1 C.e D.2e11.函数与函数的图象上存在关于y轴对称的点，那么实数a的取值范围为A. B. C. D.二、填空题〔本大题一一共4小题〕12.，，三个数中最大数的是______．13.，，且，那么______．14.______p：方程的实数解的个数为2，q15.假设，那么在处获得极值；16.假设不等式的解集为P，的定义域为Q，那么“〞是“〞的充分不必要条件17.为正常数，，假设，，，那么实数a的取值范围是______三、解答题〔本大题一一共7小题〕18.p：；q：函数在区间上有零点．19.Ⅰa的取值范围；20.Ⅱ假设p是q成立的充分不必要条件，务实数m的取值范围．21.22.23.24.25.26.27.28.假设函数，且其导函数的图象过原点．29.Ⅰ当时，求函数的图象在处的切线方程；30.Ⅱ假设存在使得，务实数a的最大值．31.32.33.34.35.36.37.38.三棱锥中，，，，N为AB上一点，，M，S分别为PB，BC的中点．39.Ⅰ证明：；40.Ⅱ求SN与平面CMN所成角的大小．41.43.44.45.椭圆：：的离心率为，过的左焦点的直线l：被圆：截得的弦长为．46.求椭圆的方程；47.设的右焦点为，在圆上是否存在点P，满足，假设存在，指出有几个这样的点不必求出点的坐标；假设不存在，说明理由．48.49.50.51.52.53.54.55.函数，．56.Ⅰ试讨论的单调性；57.Ⅱ记的零点为，的极小值点为，当时，求证：．58.59.60.61.62.63.64.65.在平面直角坐标系xOy中，设倾斜角为的直线l的参数方程为为参数在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C相交于不同的两点A，B．66.假设，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；67.假设为与的等比中项，其中，求直线l的斜率．68.69.70.71.72.73.74.75.函数，为常数且假设，求不等式的解集；假设函数在上有两个零点，求的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：，或者，，或者，，0，，的元素个数为3个；应选：C．首先化简集合B求出其补集，然后与集合A进展交集运算．此题考察了集合的交集、补集的运算，特别注意元素的属性．2.【答案】Cp，qA错误；可得，反之不成立，也成立，“〞是“〞的充分不必要条件，故BCD错误．应选：C．由p且q的真值表可判断A；由充分必要条件的定义和二次方程的解法，可判断BCD3.【答案】D【解析】解：根据题意，函数，，那么；应选：D．根据题意，由于，结合函数的解析式可得，进而计算可得答案．此题考察分段函数的应用，涉及函数值的计算，属于根底题．4.【答案】C【解析】解：，且，；设，那么函数是定义域上的奇函数；又的最大值为M，最小值为m，的最大值是，最小值是；，那么．应选：C．化简函数，设，那么函数是定义域上的奇函数；由的最大值与最小值，得出的最大值与最小值，由此求出的值．此题考察了函数的奇偶性与最值的应用问题，是根底题目．5.【答案】C【解析】【分析】此题考察分段函数的零点问题解法，注意运用定义法和函数的单调性，考察方程思想，运算求解才能，属于中档题．由分段函数，分别判断时，时，的单调性，可得恰有一个零点，由对数函数的单调性，即可得到a的范围．【解答】解：由函数，，为增函数，最多一个零点．当时，，即有，由，可得．当时，，可得或者舍去，那么实数a的取值范围是．应选C．6.【答案】Da，利用配方法与指数函数的性质即可求得实数aa的最小值为．应选：D．7.【答案】B【解析】解：由题意得：，，故，那么，应选：B．根据函数的奇偶性和周期性求出，从而求出答案．此题考察了函数的奇偶性和周期性问题，考察函数求值，是一道根底题．8.【答案】A【解析】解：对函数求导可得，，由，可得由，得或者，当或者时，函数单调递增；当时，函数单调递减当时，取极大值，当时，取极小值0，应选A．对函数求导可得，，由，可求p，q，进而可求函数的导数，然后由导数判断函数的单调性，进而可求函数的极值此题主要考察了导数在求解函数的单调性、函数的极值中的应用，属于导数根本方法的应用9.【答案】B【解析】【分析】此题主要考察了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题的一般解法，属根底题由指数函数和对数函数的图象和性质，将不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可【解答】解：时，要使，由对数函数的性质可得，数形结合可知只需，即对时恒成立解得10.【答案】C3个零点，故错误；当，时，获得最大值2，故正确，故正确是，应选C．11.【答案】D【解析】【分析】此题考察了函数的单调性、极值问题，考察导数的应用，求出的值是解题的关键．求出的值，求出函数的解析式，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值点即可．【解答】解：，令，可得：，，令，解得：；令，解得：．故在递增，在递减，时，获得极大值2ln2，那么的极大值点为：2e．应选：D．12.【答案】C此题主要考察函数的图象，把方程的根的问题转化为函数图象的交点问题，导数的应用，属于中档题．由题意可化为在上有解即在上有解，即函数与在上有交点，画出函数与在上的图象，求得直线和曲线相切的条件，即可得到所求a的范围．【解答】解：由题意知，方程在上有解，即，即在上有解，即函数与在上有交点，的导数为，当时，，函数在递减；当时，，函数在递增．可得处函数获得极大值，函数与在上的图象如图，当直线与相切时，切点为，可得，由图象可得a的取值范围是．应选：C．13.【答案】【解析】解：由于，，，那么三个数中最大的数为故答案为：运用指数函数和对数函数的单调性，可得，，，即可得到最大数．此题考察数的大小比较，主要考察指数函数和对数函数的单调性的运用，属于根底题．14.【答案】【解析】解：，，，，，，，故答案为：．根据对数的运算和性质即可求出．此题考察了对数的运算和性质，属于根底题．15.【答案】【解析】解：假设p：方程的实数解的个数为2，根据函数的图象，p正确．qqP，即．的定义域为Q，那么，所以那么“〞是“〞的充分不必要条件．正确．故答案为：直接利用函数的图象和函数的极值点的应用及函数的定义域的应用求出结果．此题考察的知识要点：函数图象和性质的应用，导数的极值点的应用，函数的定义域的应用，主要考察学生的运算才能和转换才能，属于根底题型．16.【答案】【解析】解：a为正常数，，当时，，其对称轴为，．当时，递增，即，，，，，．解得．实数a的取值范围是．a为正常数，，利用二次函数与指数函数的单调性画出函数图象，进而得出a满足的条件．此题考察了二次函数与指数函数的单调性、函数零点，考察了数形结合方法、推理才能与计算才能，属于中档题．17.【答案】解：Ⅰ当时，p：，那么：或者．函数在区间上单调递增，且函数在区间上有零点，，解得，那么qa的取值范围是．Ⅱ：，q：，且p是q成立的充分条件．，即．又是q成立的不必要条件，不等式组等号不能同时成立．．综上得，实数m的取值范围是．【解析】Ⅰ当时，求解不等式化简p，可得，由函数在区间上单调递增且有零点，得到关于a的不等式组，求得aa的取值范围可求；Ⅱ由结合p是q成立的充分条件，可得，又p是q成立的不必要条件，可得不等式组等号不能同时成立，由此求得实数m的取值范围．此题考察交、并、补集的混合运算，考察充分必要条件的断定与应用，考察数学转化思想方法，是中档题．18.【答案】解：，求导数，可得，由得，．，．函数的图象在处的切线方程为，即．Ⅱ存在，使得，，，当且仅当时，．的最大值为【解析】Ⅰ求导函数，利用导函数的图象过原点，化简函数，进而可求函数的图象在处的切线方程；Ⅱ存在，使得，再别离参数，利用根本不等式，即可求得实数a的最大值．此题考察导数知识的运用，考察导数的几何意义，考察别离参数，根本不等式的运用，解题的关键是正确求出导函数，属于中档题．19.【答案】证明：设，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图．那么0，，1，，0，，0，，0，，分Ⅰ，因为，所以分Ⅱ，设y，为平面CMN的一个法向量，那么令，得1，．因为，所以SN与平面CMN所成角为．【解析】由，N为AB上一点，，我们不妨令，然后以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系．由此不难得到各点的坐标要证明，我们可要证明即可，根据向量数量积的运算，我们不难证明；要求SN与平面CMN所成角的大小，我们只要利用求向量夹角的方法，求出SN和方向向量与平面CMN 的法向量的夹角，再由它们之间的关系，易求出SN与平面CMN所成角的大小．假设向量的坐标，求向量的夹角，我们可以分别求出两个向量的坐标，进一步求出两个向量的模及他们的数量积，然后代入公式即可求解20.【答案】解：在直线l的方程中，令，得，即得，，又离心率，，，椭圆的方程为．圆心到直线l：的间隔为，又直线l被圆截得的弦长为，由垂径定理得，故圆的方程为：．设圆上存在点，满足，即，，那么，整理得此方程表示圆心在点，半径是的圆，，故有，即两圆相交，有两个公一共点．圆上存在两个不同点P，满足，【解析】第问，由，，及的坐标满足直线l的方程，联立此三个方程，即得，，从而得椭圆方程；第问，根据弦长，利用垂径定理与勾股定理得方程，可求得圆的半径r，从而确定圆的方程，再由条件，将点P满足的关系式列出，通过此关系式与圆的方程联络，再探求点P的存在性．此题考察了椭圆的性质，直线与圆的位置关系，以及圆与圆的位置关系，弦长计算，属于中档题21.【答案】解：Ⅰ，假设，那么，在递增；假设，那么一正一负两根，且正根是，当时，，递增，时，，递减；综上，时，在递增；时，在递增，在递减；Ⅱ，，故在递增，又，，故存在零点，且在递减，在递增，即是的极小值点，故，由知，，故，又，故，由Ⅰ知，时，在递增，故．【解析】Ⅰ求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；Ⅱ结合函数的极小值点，得到，又，故，从而证明结论．此题考察了函数的单调性，极值问题，考察导数定义域以及不等式的证明，考察转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．22.【答案】解：，直线l的点斜式方程为，化简得：，由得，根据互化公式可得曲线C的直角坐标方程为，将直线l的参数方程代入并整理得：，，得，，设A，B对应的参数为，，那么，由得，即，化简得，，，，，根据判别式舍去负值，所以斜率为．【解析】根据直线方程的点斜式可得直线l的普通方程，根据互化公式可得曲线C的直角坐标方程；根据参数t的几何意义以及等比中项列式可解得．此题考察了参数方程化成普通方程，属中档题．23.【答案】解：由于，故函数．假设，那么，即，解得；假设，那么，即，，故不等式无解．综上所述：的解集．因为，所以因为函数在上有两个零点有两种情况：可以在上有一零点，在上有一零点；或者在上有两个零点．当在上有两个零点，那么有，，所以不等式组无解．当在上有一零点，在上有一零点，，且，，，所以k的取值范围为．不妨令，，令，那么在区间上为减函数，，【解析】由于，故函数，分类讨论去掉绝对值，求得的解集．由题意可得，在在上有一零点，在上有一零点；或者在上有两个零点．分别求得k的范围，再利用二次函数的性质求得的取值范围．此题主要考察带有绝对值的函数，方程根的存在性以及个数判断，二次函数的性质，属于中档题．。

2021年高三九月考试试卷（数学）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上）1. 设则A． B．（1，3）C．（1，）D．（3，）2．下列四组函数中，表示同一函数的是A． B．C．D．3．函数（）的反函数是A．（） B.（）C．（） D.（）4．设P＝{x|x2－4x＋3≤0}，Q＝{x|y＝x＋1＋3－x}，则“x∈P”是“x∈Q”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是A. B. C. D.6．（理）已知函数是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3, 且A．4 B．2 C．－2 D．（文）已知函数是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3, 且则A．4 B．2 C．D．7．函数在定义域R内可导，若，若则的大小关系是A．B．C．D．8．函数的图像关于A．轴对称B．直线对称C．坐标原点对称D．直线对称9．函数的图象的大致形状是10．（理）下列关于函数的判断正确的是①②是极小值，是极大值③有最小值，没有最大值④有最大值，没有最小值A．①③B．①②③ C．②④D．①②④（文）若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是A．B．C．D．11．已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意都有，当时f(x)=2x+1，若函数f(x)在区间[－2，0]上的反函数为f－1(x)，则f－1(19)=A．B．C．D．12．函数值域为R，且f(x)在,上是增函数，则实数a的取值范围是A．［0，2］B．C．(－4，0) D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13.（理）函数在时有极值10，则的值分别为。

（文）函数在区间上的最小值是。

14．函数的对称中心是。

15．若定义运算，则函数的值域是。

16. 设函数，给出下列命题：⑴有最小值；⑵当时，的值域为；⑶当时，在区间上有单调性；；⑷若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是.其中正确的命题是_____________________（写上所有正确命题的序号）三、解答题：（本大题共6小题，满分７0分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）. 17．（本小题满分10分）已知曲线上一点。

2021届全国卓越联盟新高考模拟试卷（九）数学试卷（文）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设全集为R ，集合{}220|A x x x =-<，集合{}|1B x x =<，则A B =（ ）A. ()1,1-B. ()1,2-C. ()0,1D. ()0,2【答案】C 【解析】 【分析】化简集合,A B ，根据交集定义，即可求解. 【详解】()0,2A =，()1,1B =-，所以()0,1AB =，故选：C .【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题. 2.已知复数()20201z i i =⋅+，则z 的模z =（ ）A. 1B.C.D. 4【答案】B 【解析】 【分析】 由20201,1iz i ==+，根据模长公式，即可求解.【详解】已知()111z i i =⋅+=+，所以z =故选：B【点睛】本题考查虚数的定义，以及复数的模长，属于基础题.3.在2019年的国庆假期中，重庆再次展现“网红城市”的魅力，吸引了3000多万人次的客流.北京游客小李慕名而来，第一天打算游览“洪崖洞”，“解放碑”，“朝天门”.如果随机安排三个景点的游览顺序，则最后游览“朝天门”的概率为（ ）A. 16B.56 C. 13D. 23【答案】C 【解析】 【分析】“洪崖洞”，“解放碑”，“朝天门”分别记为,,A B C ，列出游览三个景点的所有安排顺序，确定最后游览“朝天门”安排个数，根据古典概型的概率即可求解.【详解】“洪崖洞”，“解放碑”，“朝天门”分别记为,,A B C ， 随机安排三个景点的游览顺序，有以下安排方法：{,,},{,,},{,,},{,,}A B C A C B B A C B C A ， {,,},{,,}C B A C A B 共有6种安排方法，其中最后游览“朝天门”由2种安排方法其概率为2163P ==. 故选：C【点睛】本题考查古典概型的概率，属于基础题.4.已知非零向量a ，b 满足：()1,1a =，1b =，()a b b -⊥，则向量a ，b 的夹角大小为（ ） A.6π B.4π C.3π D.2π 【答案】B 【解析】 【分析】由()a b b -⊥，()1,1a =，1b =，求出a b ⋅，再由向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由()a b b -⊥，有20a b b ⋅-=，则2cos a b b θ=，有2cos ,242ba bπθθπθ===≤≤=. 故选：B【点睛】本题考查向量的数量积运算，考查向量的夹角，属于基础题.5.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，其内切球与外接球的表面积分别为1S ，2S ，则12S S =（ ） A. 1 B.12 C.13D. 14【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体的内切球的直径为正方体的棱，求出其半径，外接球的直径为正方体的对角线，求出半径，由球的表面积公式，即可求解. 【详解】内切球的半径112r =，外接球的半径22r =，所以表面积之比为2112213 S rS r⎛⎫==⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】本题考查正方体的内切球和外接球的表面积，属于基础题.6.已知tan2θ=-，则sin sin2πθθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（）A.25 B. 25- C. 35 D. 45【答案】B 【解析】【分析】首先利用诱导公式化简函数解析式，之后利用正余弦平方和等于1，得到关于弦的分式型二次齐次式，之后化成切的式子，代入求解得结果.【详解】222cos sin tan22sin sin cos sin2cos sin1tan145πθθθθθθθθθθ-⎛⎫+=⋅====-⎪+++⎝⎭，故选：B.【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值的问题，涉及到的知识点有诱导公式，同角三角函数关系式，属于简单题目.7.如图所示的一个算法的程序框图，则输出d的最大值为（）A. 2B. 2C. 12D. 122+【答案】C【解析】【详解】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是 求半圆y ＝上的点到直线x ﹣y ﹣2＝0的距离的最大值，如图：可得：d 的最大值为OP +r ＝+1．故选：C ．8.已知()f x 是定义在[)0,+∞的函数，满足()()3f x f x +=-，当[)0,3x ∈时，()2xf x =，则()2log 192f =（ ）A.12B.13C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据条件确定函数的周期为6，利用函数周期性进行转化即可. 【详解】()()()()36f x f x f x f x +=-⇒+=，6T =，()()22log 192log 643f f =⨯()()2log 3226log 3log 323f f =+===，故选：D.【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有函数的周期性，对数式的运算法则，属于简单题目.9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）A.11223πB.44113πC. 4411πD. 1122π【答案】B 【解析】 【分析】借助长方体作出棱锥，利用球心到顶点的距离相等确定O 的位置，利用球的性质求出半径，即可计算. 【详解】由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥A BCD -，F 为BD 的中点，外接球球心O 在过CD 的中点E 且垂直于平面BCD 的直线l 上， 又点O 到,,A B D 的距离相等，所以O 又在过左边正方体一对棱的中点,M N 所在直线上， 在OEN ∆中，由NF MF NE OE =，即223OE=，得3OE =， 所以三棱锥A BCD -外接球的球半径22223(2)11R OE BE =+=+=44113V π=. 【点睛】本题主要考查了三视图，棱锥的外接球，球的体积，属于中档题.10.已知函数(2),1()1,11f x x f x x x ->⎧=⎨--≤≤⎩，关于x 的方程()log (1)a f x x =+恰有5个解，则a 的取值范围为（ ） A.1175a ≤< B.1175a << C.1164a << D.1164a ≤< 【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 求出()f x 有表达式，可用图象来分析，再由()f x 的图象与()log (1)a g x x =+有5个交点可得a 的范围．【详解】由题意函数()y f x =的图象与log (1)a y x =+的图象有5个交点．作出()f x 的图象，根据函数解析式，其图象在区间[21,21]n n -+（*n N ∈）上的图象与[1,1]-上相同，如图，若1a >，则log (1)a y x =+是增函数，它与()f x 的图象只有一个交点，不合题意， 当01a <<时log (1)a y x =+是减函数，要有5个交点，，因此有log (41)1log (61)1a a +>-⎧⎨+<-⎩，解得1175a <<．故选：B.【点睛】本题考查方程解的个数与函数零点问题．解题时转化为函数图象交点个数，通过数形结合思想求解．11.已知抛物线24x y =的焦点为F ,过直线2y x =-上任一点引抛物线的两条切线,切点为A ,B ,则点F 到直线AB 的距离( ) A. 无最小值B. 无最大值C. 有最小值,最小值为1D. 有最大值,【答案】D 【解析】 【分析】设()11,A x y ,()22,B x y ,可得2114x y =,2224x y =,即可求得A 为切点的切线方程1l 和以B 为切点的切线方程2l ,设过直线2y x =-上任一点为()00,P x y ,将()00,P x y 代入1l 和2l ,即可求得直线AB 的方程,进而求得点F 到直线AB 的距离.【详解】设()11,A x y ,()22,B x y ,可得2114x y =,2224x y =以A 为切点的切线方程为1l :()1112x y y x x -=-,即112xy x y =-——① 同理可得,以B 为切点的切线方程为2l :222xy x y =- ——②设过直线2y x =-上任一点为()00,P x y∴ ()00,P x y 代入①②得10012002,2,2x y x y x y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以直线AB 的方程为002xy x y =-,即002x y x y =-,又002y x =-,即0122x y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭AB 过定点()2,2P ,∴ 当PF AB ⊥时,()0,1F 到l 的距离的最大值为=当AB 过点F 时,距离的最小值为0【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,综合性强,本题涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.12.已知函数()()()()()22213122x x f x a a e a x e x =---+++有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为( ) A. 1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭B. 11,22e +⎛⎫⎪⎝⎭C. ()1,11,2e ⎛⎫⎪⎝⎭D. 11,11,22e +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】 因为()0f x =,故()()()()222131220x x a a e a x e x ---+++=,化简为:()()()e 221e 20xxa x a x ⎡⎤⎡⎤-+--+=⎣⎦⎣⎦,即2e x x a +=,221e x x a +-=,构造函数()2exx g x +=,求其最值即可求得实数a 的取值范围. 【详解】由()0f x =,()()()()222131220x x a a e a x e x ---+++=∴ 得()()()e 221e 20x xa x a x ⎡⎤⎡⎤-+--+=⎣⎦⎣⎦,可得:2e x x a +=,221e xx a +-=, 设()2e x x g x +=,则()()1e xx g x -+'=, 当()0g x '>时,1x <- 当()<0g x '时,1x >-∴ ()g x 在(),1-∞-上单调递增,在()1,-+∞上单调递减,故()20g -=,()()max 1e g x g =-=, 当2x >-,()0g x >.x →-∞,()g x →-∞,x →+∞,()0g x +→.要使方程有4个不同的零点,则0e021e 21a a a a<<⎧⎪<-<⎨⎪-≠⎩,可得11e 22a +<<,1a ≠,【点睛】本题考查了函数零点问题,要将函数的求零点问题转化为求方程根的问题,就自变量取不同范围进行讨论求解这是解题关键.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.设x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则2x y -的最小值是______.【答案】-3 【解析】 【分析】设2z x y =-，根据约束条件画出可行域，可知z 取最小值时，2y x z =-在y 轴截距最大；由图象可知当2y x z =-过A 时截距最大，求出A 点坐标，代入可得结果.【详解】设2z x y =-，由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：则z 取最小值时，2y x z =-在y 轴截距最大 由图象可知，当2y x z =-过A 时，截距最大由3400x y x y -+=⎧⎨+=⎩得：()1,1A -min 213z ∴=--=-，即()min 23x y -=-本题正确结果：3-【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为在y 轴截距的最值求解问题，根据图象平移求得结果.14.对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，定义：设()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称()()00,x f x 为函数()f x 的拐点.某同学经过探索发现任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数()3211533212g x x x x =-+-，则122020202120212021g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______；()20201112021i i i g -=⎛⎫'= ⎝-⎪⎭∑______. 【答案】 (1). 2020 (2). 0 【解析】 【分析】利用二阶导数求出三次函数()y g x =的拐点，进而可得出三次函数()y g x =图象的对称中心坐标，由此可计算出122020202120212021g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭以及()20201120211i i i g -=⎛⎫' ⎪⎝-⎭∑的值.【详解】()3211533212g x x x x =-+-，()23g x x x '∴=-+，()21g x x ''=-，令()0g x ''=，得12x =，又112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以，三次函数()y g x =图象的对称中心坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，即()()12g x g x +-=，所以，122020101022020202120212021g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()2221212212112021202120212021n n n n n n g g g g ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222212122202243320212021202120212021n n n n n ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫=-+--+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 因此，()()()202010102211121212111202120220211n n i i n g n n g i g =--=--⎛⎫⎛⎫''-⎡-+-⎢ ⎤⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭⎛⎫'= ⎪⎥⎝⎣⎦∑∑()1010221101011010202210104202242020212021n n=⨯+⨯-⨯-===∑. 故答案为：2020；0.【点睛】本题考查新定义“拐点”的应用，涉及三次函数的对称中心以及等差数列求和问题，考查计算能力，属于难题.15.已知双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)的左,右焦点为1F ,2F ,以12F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点P ,线段2PF 与双曲线的交点M 为2PF 的中点,则双曲线C 的离心率为______.1 【解析】 【分析】因为以12F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点P ,故222x y c by xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得,,x a y b =⎧⎨=⎩,求得(),P a b ,由中点坐标公式解得,22a c b M +⎛⎫ ⎪⎝⎭,将其代入22221x y a b-=,即可求得双曲线C 的离心率. 【详解】以12F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点P ,∴ 222x y c by xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得:,,x a y b =⎧⎨=⎩ 故(),P a b ,又()2,0F c ,∴,22a c b M +⎛⎫⎪⎝⎭,代入双曲线方程22221x y a b-= 可得:22240c ac a +-=,化简可得2240e e +-=∴1e =-,又1e >,∴1e =.故答案为1.【点睛】本题考查了求双曲线离心率的问题,解题关键双曲线的几何性质及离心率的求法,数形结合是本题的关键,查分析能力和计算能力,属于中档题. 16.已知数列{}n a ,满足()()*112n n na n a n +--=∈N ,{}na 的前n 项和为nS,对任意的*n ∈N ,当5n ≠时,都有5n S S <,则5S 的取值范围为______. 【答案】()5,6 【解析】 【分析】由()112n n na n a +--=,当1n =,得12a =.由()()1121212n n n n na n a n a na +++⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩ 可得212n n n a a a +++=,即可求得{}n a 为等差数列,结合当5n ≠时,都有5n S S <,即可求得5S 的取值范围.【详解】由()112n n na n a +--=,∴ 当1n =,得12a =.()112n n na n a +--=——① 可得()1212n n n a na +++-=——②∴ 由①②得:212n n n a a a +++=,故{}n a 为等差数列.又120a =>,5S 最大,则0d <,50a >,60a <,即240,250d d +>⎧⎨+<⎩1225d ⇒-<<-, 又51010S d =+,可得()55,6S ∈ 故答案为:()5,6.【点睛】本题解题关键是根据已知条件判断出数量是等差数列,掌握数列单调性是解本题的关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.三、解答题（共6个小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知数列{}n a ,是一个等差数列,且22a =,145a a +=,数列{}n b 是各项均为正数的等比数列,且满足:112b =,24164b b ⋅=. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;（2）求证:11222n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+<.【答案】（1）n a n =，12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）因为{}n a 为等差数列,设公差为d ,则1112,35,a d a a d +=⎧⎨++=⎩即可求得首项和公差,即可求得{}n a .因为{}n b 为等比数列,2243164b b b ⋅==,23118b b q ==,即可求得公比,进而求得{}n b . （2）因为n a n =,12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以()23111111123122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,根据数列求和错位相减法,即可求得n T ,进而求得答案. 【详解】（1）{}n a 为等差数列,设公差为d ,∴1112,35,a d a a d +=⎧⎨++=⎩∴11,1,a d =⎧⎨=⎩ ∴()11n a a n d n =+-=.{}n b 为等比数列,0n b >,设公比为q ,则0q >,∴2243164b b b ⋅==,23118b b q ==, ∴12q =,1111222n nn b -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）令112233n n n T a b a b a b a b =+++⋅⋅⋅+,∴ ()23111111123122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭——①可得:()2311111112122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭——②∴由①-②得:23111112211111111222222212nn n n n T n n ++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-,∴1112222n nn T n -⎛⎫⎛⎫=--⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故11222n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+<.【点睛】本题考查求等差数列通项公式和数列求和.错位相减法求数列和,适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式,考查了学生的计算能力,属于基础题型.18.如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD PA =，E 点为AD 的中点，PE CD ⊥.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若正方形的边长为4，求D 点到平面PEC 的距离. 【答案】（1）见解析；（2）455DH = 【解析】 【分析】（1）PD PA =，E 点为AD 的中点，可知PE AD ⊥，再由已知条件PE CD ⊥，可证PE ⊥平面ABCD ，即可证明结论；（2）连CE ，由（1）可得平面PEC ⊥平面ABCD ，过D 作DH CE ⊥与H ，根据面面垂直的性质定理，可得DH ⊥平面PCE ，即DH 为所求，且DH 为Rt CDE ∆斜边上的高，可得出结论 【详解】（1）证明：由PD PA =，E 点为AD 的中点， 可知PE AD ⊥，再已知PE CD ⊥，且AD ，CD 相交于D ，则PE ⊥平面ABCD . 又PE ⊂平面ADP ，所以平面PAD ⊥平面ABCD . （2）解：由（1）知PE ⊥平面ABCD ， 则平面PEC ⊥平面ABCD ，相交于EC .作DH EC ⊥，可知DH 为D 点到平面PEC 的距离， 且2245524DH ==+ 【点睛】本题考查面面垂直的证明以及面面垂直性质的应用，考查空间垂直的转化，属于基础题. 19.2019年双十一落下帷幕，天猫交易额定格在268（单位：十亿元）人民币（下同），再创新高，比去年218（十亿元）多了50（十亿元），这些数字的背后，除了是消费者买买买的表现，更是购物车里中国新消费的奇迹，为了研究历年销售额的变化趋势，一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销售额数据y （单位：十亿元），绘制如下表1： 表1 年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 编号x12 3 4 5 6 7 8 9 10 销售额y 0.9 8.722.4416594132.5172.5218268根据以上数据绘制散点图，如图所示．（1）把销售额超过100（十亿元）的年份叫“畅销年”，把销售额超过200（十亿元）的年份叫“狂欢年”，从2010年到2019年这十年的“畅销年”中任取2个，求至少取到一个“狂欢年”的概率；（2）根据散点图判断，y a bx =+与2y cx d =+哪一个适宜作为销售额y 关于x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（3）根据（2）的判断结果及下表中的数据，建立y 关于x 的回归方程，并预测2020年天猫双十一的销售额．（注：数据保留小数点后一位）参考数据：2i i t x =，1011020ii y==∑1018088i ii x y==∑101385ii t==∑102125380ii t=≈∑10167770i ii t y=≈∑ 2()1483t ≈参考公式：对于一组数据(),i i u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ni i i nii u v nuvunuβ==-=-∑∑，v u αβ=-．【答案】（1）56（2）2y cx d =+更适宜．（3）22.7 2.0y x =-，324.7十亿元． 【解析】 【分析】（1）由表中数据可记畅销年中不是狂欢年为,a b ，狂欢年为,A B ，列举出基本事件个数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.（2）由散点图可得出回归方程类型.（3）根据公式代入数据，求出b 、a ，得出回归方程，从而可求解.【详解】解：（1）畅销年个数：4，其中的狂欢年个数：2，记畅销年中不是狂欢年为,a b ； 狂欢年为,A B ，则总共有(,)a b ，(,)a A ，(,)b A ，(,)a B ，(,)b B ，(,)A B 则5()6P A =（2）由题意2y cx d =+更适宜．（3）1011022110677701038.5102285005702.725380148301055021110i ii i i t y t yb t t==--⨯⨯====≈--∑∑，102 2.738.5 2.0a y bt =-=-⨯≈-，22.7 2.0y x ∴=-，当11x =时，324.7y =（十亿元），∴预测2020年双十一的销售额为324.7十亿元．【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式、回归方程的求法，考查了学生的数据分析与处理能力，属于中档题.20.已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的两个焦点为1F ,2F ,焦距为直线l :1y x =-与椭圆C 相交于A ,B 两点,31,44P ⎛⎫-⎪⎝⎭为弦AB 的中点.（1）求椭圆的标准方程;（2）若直线l :y kx m =+与椭圆C 相交于不同的两点M ,N ,()0,Q m ,若3OM ON OQ λ+=（O 为坐标原点）,求m 的取值范围.【答案】（1）2213x y +=（2）113m <<或113m -<<-【解析】 【分析】（1）因为31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点,设()11,A x y ,()22,B x y ,将其代入22221x y a b+=利用点差法,即可求得答案.（2）因为M ,Q ,N 三点共线,133OQ OM ON λ=+, 根据三点共线性质可得:1133λ+=,则2λ=,将直线l 和椭圆C 联立方程22,33y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消掉y ,结合已知,利用韦达定理即可求得答案. 【详解】（1）焦距为则c =设()11,A x y ,()22,B x y , 31,44P ⎛⎫-⎪⎝⎭为弦AB 的中点,根据中点坐标公式可得:1232x x +=,1212y y +=-,又 将其()11,A x y ,()22,B x y 代入椭圆C :22221x y a b+=∴ 2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩ ∴ 将两式作差可得:()()()()22121212120b x x x x a y y y y +-++-=, ∴()()22121222121231AB b x x y y b k x x a y y a+-==-==-+, ∴223a b ——①.222a c b -=——②由①②得: 2231a b ⎧=⎨=⎩∴椭圆的标准方程为2213x y +=.（2）M ,Q ,N 三点共线,133OQ OM ON λ=+ ∴ 根据三点共线性质可得:1133λ+=,则2λ= 设()11,M x y ,()22,N x y ,则1212033x x +=,∴122x x =-.将直线l 和椭圆C 联立方程22,33y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消掉y . 可得:()222136330kxkmx m +++-=.220310k m ∆>⇒-+>——①,根据韦达定理:122613km x x k +=-+,21223313m x x k -=+,代入122x x =-,可得:22613km x k =+,222233213m x k --=+,∴ ()222222363321313k m m kk --⨯=++,即()2229131m k m -⋅=-. 2910m -≠,219m ≠, ∴22213091m k m -=≥-——②, 代入①式得22211091m m m --+>-,即()22211091m m m -+->-, ∴()()2221910m m m --<,∴2119m <<满足②式, ∴113m <<或113m -<<-.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理解决.21.已知函数()x f x e ax =-.（1）若函数()f x 在1(,2)2x ∈上有2个零点，求实数a 的取值范围.（注319e >） （2）设2()()g x f x ax =-，若函数()g x 恰有两个不同的极值点1x ，2x ，证明：12ln(2)2x x a +<. 【答案】（1）(a e ∈（2）见证明 【解析】 【分析】（1）将a 分离，构造函数()xe h x x=，利用导数研究()h x 的图像，得到a 的范围.（2）由已知()g x ，求其导函数，由x 1，x 2是g （x ）的两个不同极值点，可得a ＞0，结合g ′（x 1）＝0，g ′（x 2）＝0得到1120x e ax a --=，2220x e ax a --=进一步得到12122x x e e a x x -=-，把问题转化为证明1212212x x x x e e ex x +--＜，将其变形后整体换元构造函数()t ϕ．再利用导数证明()t ϕ＞0得答案．【详解】（1）1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()0f x =得xe a x =，令()()()21x xe x e h x h x x x ='-=⇒ ∴112x ≤<时，()0h x '<， 12x <≤时，()0h x '>，∴()h x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，在()1,2上是增函数.又12h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()222e h =，()1h e =()344161640444e e e e e e ---==>， ∴()122h h ⎛⎫>⎪⎝⎭，∴h（x ）的大致图像：利用()y h x =与y a =的图像知(,2a e e ∈.（2）由已知()2x g x e ax ax =--，∴()2x g x e ax a =--'， 因为1x ，2x 是函数()g x 的两个不同极值点（不妨设12x x <），易知0a >（若0a ≤，则函数()f x 没有或只有一个极值点，与已知矛盾），且()10g x '=，()20g x '=.所以1120x e ax a --=，2220x e ax a --=. 两式相减得12122x x e e a x x -=-， 于是要证明()12ln 22x x a +<，即证明1212212x x x x e e e x x +-<-，两边同除以2x e ， 即证12122121x x x x e e x x ---<-，即证()12122121x x x x x x e e --->-， 即证()121221210x x x x x x e e ----+>，令12x x t -=，0t <.即证不等式210t t te e -+>，当0t <时恒成立.设()21t t t te e ϕ=-+，则()2212t t t t te t e e ϕ=+⋅⋅-'= 22211]22t t t t t t e e e e ⎡⎫⎛⎫+-=--+⎪⎢ ⎪⎝⎭⎣⎭. 设()212t t h t e =--，则()221111222t t h t e e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭'， 当0t <时，()0h t '<，()h t 单调递减，所以()()00h t h >=，即2102t t e ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，所以()0t ϕ'<， 所以()t ϕ在0t <时是减函数.故()t ϕ在0t =处取得最小值()00ϕ=.所以()0t ϕ>得证.所以()12ln 22x x a +<. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查了导数在解决不等式证明问题中的应用，考查了数学转化思想方法和函数构造法，属于难题．请考生在第22、23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号．【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中,曲线1C :22cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C :24sin 3ρρθ=-,曲线1C 与曲线2C 相交于M ,N 两点.（1）求曲线2C 的直角坐标方程与直线MN 的一般方;（2）点3,04P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,求PM PN +. 【答案】（1）2C ：2243x y y +=-，直线MN ：4430x y -+=（2）4【解析】【分析】 （1）将曲线1C :22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩化简为:2cos 2sin 2x y θθ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,根据22sin cos 1θθ+=消参,即可得到2C 的直角坐标方程,将1C 和2C 直角坐标方程作差,即可求得直线MN 的一般方程.（2）将MN l :34y x =+方程,改写成直线参数方程: 3422x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 参数）,将其代入1C ,即可求得PM PN +.【详解】（1）1C :()2224x y -+=即2240x x y -+=. ——① 2C :2243x y y +=-——②将①-②得: MN l :4430x y -+-=,∴ 曲线2C 的直角坐标方程: 2243x y y +=-,直线MN 的一般方程为:4430x y -+=.（2）MN l :34y x =+, ∴ 3,04P ⎛⎫- ⎪⎝⎭在MN l 上, 直线MN 的参数方程为:3422x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,代入1C :()2224x y -+=,整理得257016t +=, 根据韦达定理:124t t +=,125716t t =⋅, ∴10t >,20t >.故:124PM PN t t +=+=. 【点睛】本题考查了极坐标和直角坐标方程.解题关键是掌握直线的标准参数方程,结合韦达定理来求线段和,意在考查学生的转化能力和计算求解能力,属于基础题.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()122f x x x a =-++.（1）若1a =,求不等式()4f x ≥的解集;（2）证明:对任意x ∈R ,()22f x a a ≥+-.【答案】（1）[)5,1,3x ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦（2）证明见解析【解析】【分析】（1）当1a =时,()122f x x x =-++,分别讨论1x ≤-,11x -<<和1x ≥时求解()4f x ≥,即可求得答案;（2）因为()()221f x x x a x a =-++++,根据||||||||||a b a b a b -≤+≤+即可求得答案.【详解】（1）当1a =时,()122f x x x =-++①当1x ≤-时,()1224f x x x =---≥,得53x ≤-；②当11x -<<时,()12234f x x x x =-++=+≥,得1x ≥,∴x ∈∅③当1x ≥时,()122314f x x x x =-++=+≥,得1x ≥, ∴[)5,1,3x ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦.（2） ()()()22121f x x x a x a x x a x a =-++++≥---++ ()2121222a x a a a a a =+++≥+=+≥+-.∴ 对任意x ∈R ,()22f x a a ≥+-.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解,其中解答中合理分类讨论去掉绝对值,转化为等价不等式求解是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.。

2021届卓越联盟新高考省份高三9月份检测数学试题一、单选题1.若全集U={1,2,3,4}, " = {1,2}, N = {2,3},则《知)4以%)=()A. {4}B. {1,2,3}C. {2}D. {1,3,4} 【答案】A【解析】根据集合的运算法则运算即可.【详解】因为全集。

={1,2,3,4}, M={1,2}, N = {2,3},所以LM = {3,4}, ” = {1,4},则（。

加用（。

%）={4}.故选：A.【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，属于简单题.2.已知1为虚数单位，若色（。

£用为纯虚数，则实数。

的值为（）a + i1 1A. 2B. -2C. -D.--2 2 【答案】B【解析】先由更数的除法运算，化简上上」，再由纯虚数的概念，即可得出结果. a + i【详解】(l + 2z)(a-z) a + 2 +(2”l)i+ a2 +1又上吆（awR）为纯虚数，所以。

+ 2 = 0,即。

=一2. a + i故选：B.【点睛】本题主要考查由更数类型求参数，考查复数的运算，属于基础题型.3.将函数y = 2sin12x-gj图象上的点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变,则所得函数图象的解析式为（）【答案】D【解析】根据三角函数的伸缩变换原则，可直接得出结果.【详解】函数y = 2sm(2x-g)图象上的点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变,乃所得函数图像的解析式为y = 2sin x--. \ ')故选：D.【点睛】本题主要考查求三角函数图像变换后的解析式，属于基础题型.4.已知点4(0,3), 6(3,2),向量云= (—6,2),则向量而与记()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向【答案】D【解析】由向量的坐标运算法则计算出而，再判断而与正的关系.【详解】而=(3,-1) = 一^/，所以向量丽芳与何平行且反向.故选：D.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算及向量垂直、共线的判断，属于简单题.5.若f(x)是偶函数且在［0,+8)上为增函数，又"—2) = 1,则不等式/(工一1)<1的解集为()A. {止1cx<3}B. 或x>3}C. {小<-1 或0cx〈3}D. {x|x>l或一3vx〈0}【答案】A【解析】利用函数y = /(x)为偶函数将所求不等式变形为f(卜一力</(2),利用该函数在区间［0,+s)上的单调性可得出卜―1| <2 ,解此不等式即可得解.【详解】由于函数y = f(x)为偶函数，则〃2)= 〃-2)= 1,且函数y = /(x)在［0,+8)上为增函数,由/(x-i)vi,可得〃卜一1|)</(2), /.|x-l|<2,即一2vx—lv2,解得一l<x<3.因此，不等式的解集为{止l<x<3}.故选：A.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，考查计算能力，属于中等题.6.股票价格上涨10%称为“涨停”，下跌10%称为“跌停”.某位股民购进某只股票, 在接下来的交易时间内，这只股票先经历了3次跌停，又经历了3次涨停，则该股民在这只股票上的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况【答案】B【解析】根据题中条件，直接计算，即可得出结果.【详解】由题意，该股民在经历了3次跌停，又经历了3次涨停后，股票价格为原来的(1 —0.1)3 (1 + 0.1)3 = 0.993、0.97 ,即略有节损；故选：B.【点睛】本题主要考查指数运算，属于基础题型.7.已知A(—3,o), 3是圆/+。

2021年高三上学期9月调研数学试卷含解析一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．1．设集合A={1，2，3}，B={1，3，5}，则A∪B中的元素个数是．2．若复数z满足z﹣2=i（1+i）（i为虚数单位），则z= ．3．双曲线x2﹣=1的离心率为．4．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差s2．5．如图，边长为2的正方形内有一个半径为1的半圆．向正方形内任投一点（假设该点落在正方形内的每一点都是等可能的），则该点落在半圆内的概率为．6．已知||=2，||=1，•=﹣1，则，的夹角大小为．7．已知4张卡片（大小，形状都相同）上分别写有1，2，3，4，从中任取2张，则这2张卡片中最小号码是2的概率为．8．等比数列{an }中，若a3=3，a6=24，则a8的值为．9．已知钝角α满足cosα=﹣，则tan（α+）的值为．10．已知函数f（x）=，则f（0）的值为．11．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=3，PA=4，E为棱CD上一点，则三棱锥E﹣PAB的体积为．12．如图是一个算法流程图，则输出的x的值为．13．若曲线C1：y=ax3﹣6x2+12x与曲线C2：y=e x在x=1处的两条切线互相垂直，则实数a 的值为．14．设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且满足f（﹣x）=f（x），则函数f（x）的单调增区间为．二．解答题：本大题共六小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知，计算：（1）；（2）．16．如图，在三棱锥S﹣ABC，平面EFGHBC，CA，AS，SB交与点E，F，G，H，且SA ⊥平面EFGH，SA⊥AB，EF⊥FG．（1）AB∥平面EFGH；（2）GH∥EF；（3）GH⊥平面SAC．17．已知函数f（x）=2sin（+）cos（+）﹣sin（x+π）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．18．如图所示，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC；另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD是以O为顶点，x轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC 是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜），x∈[4，8]时的图象，图象的最高点为B （5，），DF⊥OC，垂足为F．（I）求函数y=Asin（ωx+φ）的解析式；（II）若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE，问点P落在曲线OD上何处时，水上乐园的面积最大？19．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=64，圆O1与圆O相交，圆心为O1（9，0），且圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21．（1）求圆O1的标准方程；（2）过定点P（a，b）作动直线l与圆O，圆O1都相交，且直线l被圆O，圆O1截得的弦长分别为d，d1．若d与d1的比值总等于同一常数λ，求点P的坐标及λ的值．20．已知a为正实数，函数（e为自然对数的底数）．（1）若f（0）＞f（1），求a的取值范围；（2）当a=2时，解不等式f（x）＜1；（3）求函数f（x）的单调区间．xx学年江苏省宿迁市沭阳县潼阳中学高三（上）9月调研数学试卷参考答案与试题解析一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．1．设集合A={1，2，3}，B={1，3，5}，则A∪B中的元素个数是4．【考点】并集及其运算．【分析】利用并集的定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={1，3，5}，∴A∪B={1，2，3，5}，∴A∪B中的元素个数为4个．故答案为：4．2．若复数z满足z﹣2=i（1+i）（i为虚数单位），则z=1+i．【考点】虚数单位i及其性质．【分析】直接利用复数的基本性质计算得答案．【解答】解：由z﹣2=i（1+i），得z=i+i2+2=1+i．故答案为：1+i．3．双曲线x2﹣=1的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的方程为标准形式，求出a、b、c 的值，即得离心率的值．【解答】解：双曲线，a=1，b=，∴c=，∴双曲线的离心率为e==，故答案为：．4．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差s2=0.8．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先计算数据的平均数，然后利用方差公式直接计算即可．【解答】解：8，9，10，10，8的平均分为9∴该组数据的方差s2= [（8﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（8﹣9）2]= =0.8故答案为：0.85．如图，边长为2的正方形内有一个半径为1的半圆．向正方形内任投一点（假设该点落在正方形内的每一点都是等可能的），则该点落在半圆内的概率为．【考点】几何概型．【分析】先明确是几何概型中的面积类型，再分别求出半圆与正方形的面积，进而由概率公式求得要应面积的比值即可得到答案．【解答】解：根据题意可得此问题是几何概型，因为半圆的半径为1，所以其面积为：，因为正方形的边长为2，所以其面积为4所以该点落在正方形内的概率为：故答案为：6．已知||=2，||=1，•=﹣1，则，的夹角大小为．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据平面向量数量积的定义求出夹角即可．【解答】解：∵||=2，||=1，且•=﹣1，∴||×||×cosθ=2×1×cosθ=﹣1，解得cosθ=﹣；又θ∈[0，π]，∴θ=，即，的夹角为．故答案为：．7．已知4张卡片（大小，形状都相同）上分别写有1，2，3，4，从中任取2张，则这2张卡片中最小号码是2的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】所有的取法有=6种，其中这2张卡片中最小号码是2的取法有两种，由此求得2张卡片中最小号码是2的概率．【解答】解：所有的取法有=6种，其中这2张卡片中最小号码是2的取法有两种：2、3；2、4．故这2张卡片中最小号码是2的概率为=．故答案为．8．等比数列{a n}中，若a3=3，a6=24，则a8的值为96．【考点】等比数列的通项公式．【分析】设公比为q，则由题意可得24=3q3，解得q=2，由此根据a8=a6•q2求得结果．【解答】解：∵等比数列{a n}中，若a3=3，a6=24，设公比为q，则有24=3q3，解得q=2，∴a8=a6•q2=24×4=96，故答案为96．9．已知钝角α满足cosα=﹣，则tan（α+）的值为．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由同角三角函数关系得到sinα=，易得tanα=﹣，所以结合两角和与差的正切函数解答即可．【解答】解：∵钝角α满足cosα=﹣，∴sinα==，∴tanα===﹣，∴tan（α+）===﹣．故答案是：．10．已知函数f（x）=，则f（0）的值为27．【考点】函数的值．【分析】由已知得f（0）=f（1）=f（2）=f（3），由此能求出f（0）的值．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（0）=f（1）=f（2）=f（3）=33=27．故答案为：27．11．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=3，PA=4，E为棱CD上一点，则三棱锥E﹣PAB的体积为4．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由V E﹣PAB =V P﹣ABE，利用等积法能求出三棱锥E﹣PAB的体积．【解答】解：∵四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=3，PA=4，E为棱CD上一点，∴S△ABE==，∴三棱锥E﹣PAB的体积：V E﹣PAB =V P﹣ABE===4．故答案为：4．12．如图是一个算法流程图，则输出的x的值为．【考点】程序框图．【分析】模拟执行算法流程，依次写出每次循环得到的x，n的值，当n=6时，满足条件n ＞5，退出循环，输出x的值为．【解答】解：模拟执行算法流程，可得n=1，x=1x=，n=2不满足条件n＞5，x=，n=3不满足条件n＞5，x=，n=4不满足条件n＞5，x=，n=5不满足条件n＞5，x=，n=6满足条件n＞5，退出循环，输出x的值为．故答案为：．13．若曲线C1：y=ax3﹣6x2+12x与曲线C2：y=e x在x=1处的两条切线互相垂直，则实数a 的值为﹣．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出两个函数的导函数，求得两函数在x=1处的导数值，由题意知两导数值的乘积等于﹣1，由此求得a的值．【解答】解：由y=ax3﹣6x2+12x，得y′=3ax2﹣12x+12，∴y′|x=1=3a，由y=e x，得y′=e x，∴y′|x=1=e．∵曲线C1：y=ax3﹣6x2+12x与曲线C2：y=e x在x=1处的切线互相垂直，∴3a•e=﹣1，解得：a=﹣．故答案为：﹣．14．设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且满足f（﹣x）=f（x），则函数f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ]，k∈Z．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．【分析】化简函数解析式可得f（x）=2sin（ωx+φ+），由最小正周期为π，可求ω，由f（﹣x）=f（x），且|φ|＜，可解得φ，由2kπ﹣≤2x≤2kπ+，k∈Z，可解得函数f（x）的单调增区间．【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=2sin[（ωx+φ）+]=2sin（ωx+φ+），最小正周期为π，∴ω==2，∵f（﹣x）=f（x），∴可得：φ+=kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴解得：φ=，∴f（x）=2cos2x，∴由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，可解得：kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z故答案为：[kπ﹣，kπ]，k∈Z．二．解答题：本大题共六小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知，计算：（1）；（2）．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据题意，先解出tanα值，（1）把所求的式子的分子分母同时除以cosα，把tanα值代入进行运算．（2）把所求的式子的分子分母同时除以cos2α，把tanα值代入进行运算．【解答】解：∵，∴．（1）．（2）==．16．如图，在三棱锥S﹣ABC，平面EFGHBC，CA，AS，SB交与点E，F，G，H，且SA ⊥平面EFGH，SA⊥AB，EF⊥FG．（1）AB∥平面EFGH；（2）GH∥EF；（3）GH⊥平面SAC．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质．【分析】（1）根据线面垂直的性质，得SA⊥GH，结合在同一个平面SAB内SA⊥AB，得AB∥GH，结合线面平行判定定理，得AB∥平面EFGH；（2）由线面平行的性质，得AB∥EF，结合AB∥GH，得EF∥GH；（3）由面面垂直的判定定理，得平面SAC⊥平面EFGH，而直线GH在平面EFGH内与交线FG垂直，根据面面垂直的性质定理，得GH⊥平面SAC．【解答】解：（1）∵SA⊥平面EFGH，GH⊆平面EFGH，∴SA⊥GH又∵在平面SAB内，SA⊥AB，∴AB∥GH∵AB⊈平面EFGH，GH⊆平面EFGH，∴AB∥平面EFGH；…（2）∵AB∥平面EFGH，AB⊆平面ABC，平面ABC∩平面EFGH=EF∴AB∥EF又∵AB∥GH，∴EF∥GH…（3）∵SA⊥平面EFGH，SA⊆平面SAC∴平面SAC⊥平面EFGH，交线为FG∵EF∥GH，EF⊥FG，∴GH⊥FG∵GH⊆平面EFGH，∴GH⊥平面SAC．…17．已知函数f（x）=2sin（+）cos（+）﹣sin（x+π）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）利用二倍角公式、诱导公式、两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，即可求f（x）的最小正周期；（2）将f（x）的图象向右平移个单位，求出函数g（x）的解析式，然后在区间[0，π]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）===．所以f（x）的最小正周期为2π．（2）∵将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，∴=．∵x∈[0，π]时，，∴当，即时，，g（x）取得最大值2．当，即x=π时，，g（x）取得最小值﹣1．18．如图所示，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC；另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD是以O为顶点，x轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC 是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜），x∈[4，8]时的图象，图象的最高点为B （5，），DF⊥OC，垂足为F．（I）求函数y=Asin（ωx+φ）的解析式；（II）若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE，问点P落在曲线OD上何处时，水上乐园的面积最大？【考点】利用导数研究函数的单调性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；已知三角函数模型的应用问题．【分析】（I）利用函数的解析式，结合函数的图象求出A，ω，通过函数经过B，求出φ，即可求函数y=Asin（ωx+φ）的解析式；（II）求出D（4，4），曲线OD的方程为y2=4x，（0≤x≤4）．推出矩形的面积的表达式，利用函数的导数求出面积的最大值，推出P的位置即可．【解答】解：（Ⅰ）对于函数y=Asin（ωx+φ）由图象可知，A=，ω==，将（5，），代入y=sin（x+φ）得：，|φ|＜，所以φ=，所以函数的解析式为y=sin（x）．（Ⅱ）在y=sin（x）中，令x=4，得D（4，4）从而得曲线OD的方程为y2=4x，（0≤x≤4）．设点P（）（0≤t≤4），则矩形PMFE的面积为S=，0≤t≤4．因为S′=4﹣，由S′=0得t=，且t∈时S′＞0，S递增，t∈时S′＜0，S递减，所以当t=，S最大，此时点P的坐标．19．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=64，圆O1与圆O相交，圆心为O1（9，0），且圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21．（1）求圆O1的标准方程；（2）过定点P（a，b）作动直线l与圆O，圆O1都相交，且直线l被圆O，圆O1截得的弦长分别为d，d1．若d与d1的比值总等于同一常数λ，求点P的坐标及λ的值．【考点】直线和圆的方程的应用；圆的标准方程．【分析】（1）圆O1的半径为4，圆心为O1（9，0），从而可得圆O1的标准方程；（2）当直线l的斜率存在时，设方程为y﹣b=k（x﹣a），求出O，O1到直线l的距离，从而可得d与d1的值，利用d与d1的比值总等于同一常数λ，建立方程，从而利用等式对任意实数k恒成立，得到三个方程，由此可得结论．【解答】解：（1）∵圆O：x2+y2=64，圆O1与圆O相交，圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21，∴圆O1的半径为4，∵圆心为O1（9，0），∴圆O1的标准方程为（x﹣9）2+y2=16；（2）当直线l的斜率存在时，设方程为y﹣b=k（x﹣a），即kx﹣y﹣ka+b=0∴O，O1到直线l的距离分别为，∴，∵d与d1的比值总等于同一常数λ，∴64﹣=λ2[16﹣]∴[64﹣a2﹣16λ2+λ2（a﹣9）2]k2+2b[a﹣λ2（a﹣9）]k+64﹣b2﹣λ2（16﹣b2）=0由题意，上式对任意实数k恒成立，所以64﹣a2﹣16λ2+λ2（a﹣9）2=0，2b[a﹣λ2（a﹣9）]=0，64﹣b2﹣λ2（16﹣b2）=0同时成立，①如果b=0，则64﹣16λ2=0，∴λ=2（舍去负值），从而a=6或18；∴λ=2，P（6，0），P（18，0）②如果a﹣λ2（a﹣9）=0，显然a=9不满足，从而，3a2﹣43a+192=0，△=432﹣4×3×192=﹣455＜0，故方程无解，舍去；当点P的坐标为（6，0）时，直线l的斜率不存在，此时d=，，∴也满足综上，满足题意的λ=2，点P有两个，坐标分别为（6，0），（18，0），斜率不存在时P（18，0），直线与圆外离，舍去．20．已知a为正实数，函数（e为自然对数的底数）．（1）若f（0）＞f（1），求a的取值范围；（2）当a=2时，解不等式f（x）＜1；（3）求函数f（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的单调性；指、对数不等式的解法．【分析】（1）根据f（0）＞f（1），可得，利用a＞0，可求a的取值范围；（2）确定f（x）在（﹣∞，﹣2）及（﹣2，+∞）上均为减函数，从而可解不等式；（3）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，即可得到函数的单调区间．【解答】解：（1）∵f（0）＞f（1），∴∵a＞0，∴a（e﹣1）＜e+1∵e﹣1＞0，∴∵a＞0，∴；（2）当a=2时，，定义域为{x|x≠﹣2}∵∴f（x）在（﹣∞，﹣2）及（﹣2，+∞）上均为减函数∵x∈（﹣∞，﹣2），f（x）＜0，∴x∈（﹣∞，﹣2）时，f（x）＜1；x∈（﹣2，+∞）时，f（0）=1，∴由f（x）＜f（0）得x＞0综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）；（3）当x≠﹣a时，令f′（x）=0，可得x2=a2﹣2a①a=2时，由（2）知，函数的单调减区间为（﹣∞，﹣2），（﹣2，+∞）；②0＜a＜2时，a2﹣2a＜0，f′（x）＜0恒成立，故函数的单调减区间为（﹣∞，﹣a），（﹣a，+∞）；③a＞2时，a2﹣2a＞0令f′（x）＞0，得x2＜a2﹣2a，∴；令f′（x）＜0，得x2＞a2﹣2a，∴或∴函数的单调增区间为，单调减区间为（﹣∞，﹣a），（﹣a，），（，+∞）．xx年12月26日u36949 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卜人入州八九几市潮王学校五大联盟2021届高三数学9月份联考试题理〔含解析〕一、选择题 1.集合，，那么中的元素的个数为()A.0B.1 C.2D.3 【答案】C 【解析】因为或者，所以，应选答案C 。

2.，为虚数单位，，那么()A.9B.C.24D.【答案】A 【解析】因为，所以，那么，应选答案A 。

3.幂函数的图象过点，那么函数在区间上的最小值是()A.B.0C.D.【答案】B 【解析】由题设，故在上单调递增，那么当x =12时取最小值g(12)=2−2=0，应选答案B 。

4.a =40.3，b =813，c =log0.3，这三个数的大小关系为()A.b <a <cB.a <b <cC.c <a <bD.c <b <a 【答案】C【解析】因为0<0.3<1⇒c =log 20.3<0,1<a =40.3=20.6<2=b =813，所以c <a <b ，应选答案C 。

5.设等比数列{a n}的前n项和为S n，且a4=2a2，那么S8S4=()A.4B.5C.8D.9【答案】B【解析】由题设q2=a4a2=2，S8=S4+q4S4=(1+4)S4=5S4，所以S8S4=5，应选答案B。

6.设x,y满足约束条件{y≥0x−y+1≥0x+y−3≤0，那么z=x−3y的最大值为()A.3B.−5C.1D.−1【答案】A【解析】画出不等式组{y≥0x−y+1≥0x+y−3≤0表示的区域如图，那么问题转化为求动直线y=13x−13z在y上的截距−13z的最小值的问题，结合图形可知：当动直线y=13x−13z经过点P(3,0)时，z max=3−3×0=3，应选答案A。

7.函数f(x)=Acos(ωx+φ)+1(A>0,ω>0,0<ω<π)的最大值为3，y=f(x)的图象的相邻两条对称轴间的间隔为2，与y轴的交点的纵坐标为1，那么f(13)=()A.1B.−1C.√32D.0【答案】D【解析】由题设条件可得A=2,T2=2⇒T=4，那么ω=2π4=π2，所以f(x)=2cos(π2x+φ)+1，将点P(0,1)代入可得f(x)=2cos(0+φ)+1=1⇒cosφ=0，即φ=kπ+π2,k ∈Z ，又0<φ<π⇒φ=π2，所以f(x)=2cos(π2x +π2)+1=2cos2π3+1=0，应选答案D 。

卜人入州八九几市潮王学校HY2021届高三数学上学期9月月考试题文〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.〕 1.集合A ＝{x|y ＝lg(x －2x )}，B ＝{x|2x －cx<0，c>0}，假设A ⊆B ，那么实数c 的取值范围是() A.(0,1] B.[1，＋∞) C.(0,1) D.(1，＋∞)【答案】B 【解析】 【分析】A 集合用对数的真数的定义即可求出范围，B 集合化简后含有参数，所以，画出数轴，用数轴表示A ⊆B ，即可求出c 的取值范围.【详解】解法1：A ＝{x|y ＝lg(x －2x )}＝{x|x －2x >0}＝{x|0<x<1}，B ＝{x|2x －cx<0，c>0}＝{x|0<x<c}，因为A ⊆B ，画出数轴，如下列图，得c≥1.解法2：因为A ＝{x|y ＝lg(x －2x )}＝{x|x －2x >0}＝{x|0<x<1}，取c ＝1，那么B ＝{x|0<x<1}，所以A ⊆B 成立，故可排除C ，D ；取c ＝2，那么B ＝{x|0<x<2}，所以A ⊆B 成立，故可排除A ，应选B.【点睛】此题考察集合关系求参数范围的题目，这类题目采用数形结合的方法，通过数轴来表示集合间的关系来求解，属于中等题. 2.假设复数z 满足(34)43i z i-=+，那么z 的虚部为〔〕A.45i -B.45-C.45D.45i 【答案】C 【解析】分析:由复数的模长公式计算出等式右边，再把复数变形，利用复数代数形式的乘除运算计算出z ，进而得到虚部。

详解：由题意得，()()()534534z 34343455i i i i i +===+--+ 所以z 的虚部为45. 故此题答案为45点睛：此题主要考察复数的概念，复数的模长公式以及复数代数形式的四那么运算，属于根底题。

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学9月结合诊断考试试题理〔含解析〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。

{}{}22,1,0,1,|1A B x x =--=，那么A B =A.{}2,1,1--B.{}|1,0-C.{}0,1D.{}2,1,0--【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的交集运算求解 【详解】由{}2|1B x x =可得B 中11x x ≥≤-或，那么A B ={}2,1,1--答案选A【点睛】此题考察集合的交集运算，整体简单，需注意数集与范围集合相交最终为数集2000(1)()2i z i i -+=，那么z =A.i -B.iC.-1D.1【答案】D 【解析】 【分析】需对运算公式进展变形，由20002000200022(1)()211i i i z i iz i z i i i-+=⇒+=⇒=---，再进展化简即可【详解】由200020002000222(1)()21111i i i z i iz i z i i i i i-+=⇒+=⇒=-=-=---答案选D【点睛】此题考察复数的根本运算，处理技巧在于变形成除法运算形式3.某运动队由足球运发动18人，篮球运发动12人，乒乓球运发动6人组成〔每人只参加一项〕，现从这些运发动中抽取一个容量为n 的样本，假设分别采用系统抽样法和分层抽样法，都不用删除个体，那么样本容量n的最小值为 A.6 B.12C.18D.24【答案】A 【解析】 【分析】从系统抽样和分层抽样的特点考虑，系统抽样相当于等间距抽样，分层抽样相当于按比例抽样【详解】由题，总体样本容量为36人，当样本容量为n 时，系统抽样的样距为36n ，分层抽样的样比为36n ，那么采用分层抽样抽取的足球运发动人数为18362n n ⨯=，篮球运发动人数为12363n n⨯=，乒乓球运发动人数为6366n n ⨯=，可知n 是6的整数倍，最小值为6答案选A【点睛】此题考察了分层抽样和系统抽样的应用问题，解题时应对两种抽样方法进展分析和讨论，以便求出样本容量 4.()391(1)x x --的展开式中4x 的系数为A.124B.135C.615D.625【答案】B 【解析】 【分析】可采用分类讨论法；当第一个因式取1时，后面因式应取4x 对应的通项；当第一个因式取3x -时，后面因式应取x 对应的通项，将两种情况对应的系数相加即可 【详解】当第一个因式取1时，后面因式应取4x 对应的通项：()445491126C x x -=，441126126x x ⋅=，对应4x 系数为126当第一个因式取3x -时，后面因式应取x 对应的通项：()118919C x x -=-，()3499x x x -⋅-=对应4x 系数为9 所以()391(1)x x --的展开式中4x 的系数为；126+9=135答案选B【点睛】此题考察二项式定理某一项的项的系数求法，由于表达式是由两个因式构成，所以解题时应该对前面因式中每一项进展拆分，采用分类讨论法，可简化运算难度{}n a 中，4112,2a a ==，假设52k a -=，那么k = A.5 B.6C.9D.10【答案】D 【解析】 【分析】先求出公比q ，再根据通项公式直接求k 值【详解】由34231112,224a a q q -==⇒=⇒=，115122k k k a a q q ---∴==⋅=，答案选D【点睛】此题考察等比数列根本量的求法，先求q ，再求通项，属于根底题型()f x 的导函数为'()f x ，假设()f x 为偶函数，且在(0,1)上存在极大值，那么'()f x 的图像可能为〔〕A. B.C. D.【答案】C 【解析】 假设()f x 为偶函数，那么()f x '为奇函数，故排除B 、D .又()f x 在()0,1上存在极大值，故排除A 选项，此题选择C 选项.ln y x x =在点(,)M e e 处的切线方程为A.2y x e =+B.2y x e =-C.y x e =+D.y x e =-【答案】B 【解析】 【分析】先对曲线求导，再根据点斜式写出切线方程即可 【详解】由ln '1ln y x x y x=⇒=+，()'1ln 2y e e =+=，所以过点(,)M e e 切线方程为()22y x e e x e =-+=-答案选B【点睛】此题考察在曲线上某一点()00,x y 切线方程的求法，相比照拟简单，一般解题步骤为：先求曲线()f x 导数表达式()'f x ，求出()0'f x ，最终表示出切线方程()()000'y f x x x y =-+8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如下列图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，假设输入,n x 的值分别为3,4，那么输出v 的值是 A.6 B.25C.100D.400【答案】C 【解析】根据流程图中的运算程序，可知第一步3,3120n i ==-=≥，那么1426,2110v i =⨯+==-=≥；第二步程序继续运行，那么64125,1100v i =⨯+==-=≥；第三步程序继续运行；那么2540100,0110v i =⨯+==-=-<，运算程序完毕，输出100v =，应选答案C 。

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学9月统一联考试题文〔含解析〕第一卷一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．〕A ={x |x <1}，B ={x |31x<}，那么A.{|0}A B x x =<B.A B R =C.{|1}A B x x =>D.AB =∅【答案】A 【解析】 ∵集合{|31}x B x =<∴{}|0B x x =<∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=<应选A2.i 为虚数单位，假设1i(,)1ia b a b =+∈-R ，那么b a =〔〕A.1C.2D.2【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算得到1112i a bi i +==+-，再由复数相等的概念得到参数值，进而得到结果. 【详解】i 为虚数单位，假设1(,)1a bi a b R i =+∈-，1112ia bi i +==+-根据复数相等得到1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.1212().22b a ==故答案为：C.【点睛】这个题目考察了复数除法运算，以及复数相等的概念，复数a bi +与i c d +相等的充要条件是a c =且b d =．复数相等的充要条件是化复为实的主要根据，多用来求解参数的值或者取值范围．步骤是：分别别离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程〔组〕求解． 3.5log 2a=，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，那么,,a b c 的大小关系为〔〕A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】利用10,,12等中间值区分各个数值的大小。

2021年高三上学期9月质量检测考试数学（理）试题 含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.5．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．B ．C ．D ．6、若正数满足,则的最小值是（ ）A ．B ．5C ．D ．67．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－π2C ．8－πD ．8－π48、将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1,2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( ) A ．52种 B ．36种 C ． 20种 D ．10种 9、在△ABC 中，内角的对边分别是，若，，则（ ）A ．B ．C ．D ．10．执行如右图的程序框图，若输出的，则输入的值可以为( ) A ． B ． C ． D ．11．二项式展开式中含有项，则可能的取值是 （ ）A ．8B ．7C ．6D ．512．设函数在上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围为（ ） A ． B ． C ． D ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13. 若函数f (x )=为偶函数，则=14. 一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 15.若满足约束条件：；则的取值范围为16. 是定义在R 上的函数，且，，，则 ．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）已知数列满足，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求．.18.（本小题满分１2分）如图，在长方体中，==1，，点E 是线段AB 的中点．(1)求证：;(2)求二面角的大小的余弦值．19．名同学的语文、英语成绩如下表所示：（第10题图）BA 1CD B 1C 1D 1E（1）根据表中数据，求英语分y 对语文分x 的线性回归方程；（2）要从4名语文成绩在90分（含90分）以上的同学中选出2名参加一项活动，以表示选中的同学的英语成绩高于90分的人数，求随机变量的分布列及数学期望． （线性回归方程中，，，其中为样本平均值，，的值的结果保留二位小数.）20．(本小题满分12分) 已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1()a >b >0的右焦点与抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点F 重合，椭圆C 1与抛物线C 2在第一象限的交点为P ，||PF ＝53．(1)求椭圆C 1的方程；(2)过点A ()－1，0的直线与椭圆C 1相交于M 、N 两点，求使FM →＋FN →＝FR →成立的动点R 的轨迹方程．21. （本小题满分12分）已知函数，其中a 为常数，且．（1）当时，求的单调区间；（2）若在处取得极值，且在上的最大值为，求a 的值.选做题：请考生从第22、23、24题中任选一题做答，并按要求在答题卷上注明题号．多答按所答的首题进行评分．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲。