卓越联盟2020-2021学年新高考省份高三年级9月份检测数学试题

2020-2021年河北省某校高三（上）9月月考数学试卷一、选择题1. 已知集合A ={x|x 2−5x +6≤0}，B ={x ∈Z |1<x <5}，则A ∩B =( )A.[2,3]B.(1,5)C.{2,3}D.{2,3,4}2. 命题“对于任意x ∈R ，都有e x >0”的否定是( )A.对于任意x ∈R ，都有e x ≤0B.不存在x ∈R ，使得e x ≤0C.存在x 0∈R ，使得e x 0>0D.存在x 0∈R ，都有e x 0≤03. 函数f (x )=ln x +e x （e 为自然对数的底数）的零点所在的区间是( )A.(e,+∞)B.(0,1e )C.(1e ,1)D.(1,e )4. 已知cos α=14，则sin (π2−2α)=( )A.18B.−18C.78D.−785. 已知函数f(x)=kx −2ln x 在区间(1, +∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A.(2,+∞)B.(1, +∞)C.[2,+∞)D.[1, +∞)6. 俗语云：天王盖地虎，宝塔镇河妖．萍乡塔多，皆因旧时萍城多水患，民不聊生．迷信使然，建塔以辟邪镇邪．坐落在萍城小西门汪公潭境内的宝塔岭上就有这么一座“如愿塔”．此塔始建于唐代，后该塔曾因久失修倒塌，在清道光年间重建．某兴趣小组为了测量塔的高度，如图所示，在地面上一点A 处测得塔顶B 的仰角为60∘，在塔底C 处测得A 处的俯角为45∘．已知山岭高CD 为36米，则塔高BC 为( )A.(36√2−36)米B.(36√3−36)米C.(36√6−36)米D.(72√3−36)米7. 函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为( )A.3π4B.π4C.0D.−π48. 已知函数f(x)=e x−2x−1（其中e为自然对数的底数），则y=f(x)的图象大致为( )A. B.C. D.9. 在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为(12,√32)，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是( )A.(−√32,12) B.(−12,√32) C.(√32,12) D.(−√32,−12)10.定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f′(x)，满足f(x)<f′(x)，且f(0)=2，则不等式f(x)>2e x的解集为()A.(−∞, 0)B.(−∞, 2)C.(0, +∞)D.(2, +∞)11. 已知△ABC是斜三角形，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=2√21，c sin(B+C)+√3a cos(A+B)=0，且sin C+sin(B−A)=5sin2A，则△ABC的面积为( )A.5√34B.54C.5D.5√312. 已知函数f(x)=x22+(m+1)e x+2(m∈R)有两个极值点，则实数m的取值范围为( )A.[−1e , 0] B.(−1−1e, −1) C.(−∞, −1e) D.(0, +∞)二、填空题在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=π3，b=√2，c=√3，则A=________．已知函数f(x)=x3−2kx2+x−3在R上不单调，则k的取值范围是________.已知α为锐角，且sin(α+5π6)=−35，则cosα=________.已知函数f(x)=2x+1x2+1，函数g(x)=(12)x−m，若对任意的x1∈[1, 2]，存在x2∈[−1, 1]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围为________．三、解答题已知0<β<α<π2，sinα=45，sin(α−β)=√55.(1)求sin2α；(2)求cos(α+β).已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y=g(x)，设ℎ(x)=g(x)+f (x )，求函数ℎ(x )在[0,π2]上的最大值．设f(x)=a ln x −x +4(a ∈R )，曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线垂直于y 轴．(1) 求a 的值；(2) 求函数f(x)的极值．如图，在△ABC 中，已知B =π3，AC =4√3，D 为BC 边上一点．(1)若AD =2，S △DAC =2√3，求DC 的长；(2)若AB =AD ，试求△ADC 的周长的最大值．已知函数f (x )=ax 2+b ln x 在x =12处取得极小值12+ln 2. (1)求f (x );(2)令函数g (x )=mx 3−ln x +2，若f (x )≤g (x )对x ∈[1,4]恒成立，求m 的取值范围．已知函数f (x )=ln x −x−1a .(1)当a =1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x ) 在区间(2,e )上存在零点，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021年河北省某校高三（上）9月月考数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】(1)根据题目所给信息进行求解即可.【解答】解：已知集合A={x|x2−5x+6≤0}={x|2≤x≤3}，集合B={x∈Z|1<x<5}={2,3,4}，则A∩B={2,3} .故选C.2.【答案】D【考点】命题的否定【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对于任意x∈R，都有e x>0”的否定是：存在x0∈R，都有e x0≤0．故选D.3.【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】无【解答】解：因为函数f(x)=ln x+e x在(0,+∞)上为增函数，所以若函数f(x)存在零点，零点个数有且只有一个，)=−1+e1e>0，又f(e)=1+e e>0，f(1)=e>0，f(1e且x→0，f(x)→−∞，)，使f(x0)=0，所以∃x0∈(0,1e).即f(x)的零点所在的区间是(0，1e故选B ．4.【答案】D【考点】二倍角的余弦公式诱导公式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ cosα=14，∴ sin(π2−2α)=cos2α=2cos 2α−1=2×(14)2−1=−78.故选D .5.【答案】C【考点】已知函数的单调性求参数问题利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：∵ 函数f(x)=kx −2ln x 在区间(1, +∞)上单调递增，∴ 当x >1时，f ′(x)=k −2x ≥0恒成立， 即k ≥2x 在区间(1,+∞)上恒成立.∵ y =2x 在区间(1, +∞)上单调递减， ∴ k ≥2.故选C .6.【答案】B【考点】解三角形【解析】根据题意结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出塔高BC 的值．【解答】解：如图所示，在Rt△ACD中，∠CAD=45∘，CD=36米，所以AD=36米；在Rt△ABD中，∠BAD=60∘，所以BD=AD tan∠BAD=36√3米，所以BC=BD−CD=(36√3−36)米.故选B.7.【答案】B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的奇偶性【解析】利用函数y＝A sin(ωx+φ)的图象变换可得函数y＝sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．【解答】解：令y=f(x)=sin(2x+φ)，则f(x+π8)=sin[2(x+π8)+φ]=sin(2x+π4+φ)，∵f(x+π8)为偶函数，∴π4+φ=kπ+π2，∴φ=kπ+π4，k∈Z，∴当k=0时，φ=π4．故φ的一个可能的值为π4．故选B.8.【答案】C【考点】函数图象的作法【解析】找出四个选项的区别，用特值法验证．【解答】解：∵f(0)=e0−2×0−1=0，f(1)=e−2−1=e−3<0，∴ 函数图象过(0, 0)点，且在y轴右侧，x轴下方有图象.故选C.9.【答案】A【考点】诱导公式在实际问题中建立三角函数模型【解析】计算出运动3分钟时动点M转动的角，再利用诱导公式可求得结果．【解答】解：如图，动点每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为312×2π=π2.设点M的初始位置的坐标为(cosα,sinα)，则cosα=12,sinα=√32，运动到3分钟时动点M所处位置的坐标是M′(cos(α+π2),sin(α+π2))，由诱导公式可得cos(α+π2)=−sinα=−√32，sin(α+π2)=cosα=12，所以点M′的坐标为(−√32,1 2 ).故选A．10.【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】根据条件构造函数g(x)=f(x)e x，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【解答】解：设g(x)=f(x)e x，则g′(x)=f′(x)−f(x)e x，∵ f(x)<f′(x)，∴ g ′(x)>0，即函数g(x)在定义域内单调递增．∵ f(0)=2，∴ g(0)=f(0)=2.则不等式f(x)>2e x 等价于g(x)>g(0)，∵ 函数g(x)在定义域内单调递增．∴ x >0.∴ 不等式的解集为(0, +∞).故选C ．11.【答案】D【考点】解三角形余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：由 c sin (B +C )+√3a cos (A +B )=0得：c sin A −√3a cos C =0，由正弦定理，得 sin C sin A =√3sin A cos C ，显然 sin A ≠0 ，所以 tan C =√3，又C ∈(0，π)，所以 C =π3. 又sin C +sin (B −A )=5sin 2A ，所以 sin (B +A )+sin (B −A )=5sin 2A ，变形得 2sin B cos A =10sin A cos A .又A ≠π2 ，所以 sin B =5sin A ，所以 b =5a ，由余弦定理得 (2√21)2=b 2+a 2−2ab cos π3=21a 2，解得 a =2，b =10，所以 S △ABC =12ab sin C =12×2×10×√32=5√3.故选D.12.【答案】B【考点】利用导数研究函数的极值【解析】此题暂无解析【解答】解：函数的定义域为R ，f ′(x)=x +(m +1)e x ，∵ 函数f(x)有两个极值点，∴ f ′(x)=x +(m +1)e x 有两个不同的零点，故关于x 的方程−m −1=x e x 有两个不同的解.令g(x)=xe x ，则g ′(x)=1−xe x ，当x ∈(−∞, 1)时，g ′(x)>0，当x ∈(1, +∞)时，g ′(x)<0，∴ 函数g(x)=xe x 在区间(−∞, 1)上单调递增，在区间(1, +∞)上单调递减， 又当x →−∞时，g(x)→−∞，当x →+∞时，g(x)→0，g(1)=1e ，故0<−m −1<1e ，∴ −1−1e <m <−1. 故选B .二、填空题【答案】5π12【考点】正弦定理【解析】由已知利用正弦定理可得sin B =√22，利用大边对大角可得B 为锐角，可得B =π4，根据三角形内角和定理即可解得A 的值．【解答】解：∵ C =π3，b =√2，c =√3， ∴ 由正弦定理b sin B =c sin C ，可得：√2sin B =√3√32， 即sin B =√22. ∵ b <c ，∴ B =π4，∴ A =π−B −C =5π12．故答案为：5π12.【答案】(−∞，−√32)∪(√32，+∞) 【考点】已知函数的单调性求参数问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由已知得：f ′(x)=3x 2−4kx +1，因为函数 f(x)=x 3−2kx 2+x −3 在R 上不单调， 所以f ′(x)与x 轴有交点，即Δ=(−4k)2−4×3>0， 解得：k <−√32或k >√32， 故答案为：(−∞，−√32)∪(√32，+∞).【答案】4√3−310 【考点】两角和与差的余弦公式同角三角函数间的基本关系 三角函数值的符号 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：因为sin (α+5π6)=−35，α为锐角，则α+5π6∈(π,4π3)，则cos (α+5π6)=−45， 故cos α=cos (α+5π6−5π6)=cos (α+5π6)cos 5π6+sin (α+5π6)sin 5π6=(−45)×(−√32)+(−35)×12=4√3−310. 故答案为：4√3−310. 【答案】[−72, +∞) 【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题 【解析】条件等价于f(x)min≥g(x)min，利用导数可求得f(x)在[1, 2]上单调递增，根据指数函数性质可得g(x)在[−1, 1]上单调递减，进而得到f(1)≥g(1)，解得即可【解答】解：对任意的x1∈[1, 2]，存在x2∈[−1, 1]，使得f(x1)≥g(x2)，等价于f(x)min≥g(x)min，令f′(x)=2−2x3=0，解得x=1，且当x>1时，f′(x)>0，则f(x)在[1, 2]上单调递增，所以f(x)min=f(1)=2+1+1=4，又g(x)在[−1, 1]上单调递减，所以g(x)min=g(1)=12−m，则4≥12−m，解得m≥−72.故答案为：[−72, +∞)．三、解答题【答案】解：(1)因为0<α<π2，sinα=45，所以cosα=35，从而sin2α=2sinαcosα=2425．(2)由题知，cos2α=1−2sin2α=−725．因为0<β<α<π2，所以0<α−β<π2，所以cos(α−β)=√1−sin2(α−β)=2√55，所以cos(α+β)=cos[2α−(α−β)]=cos2αcos(α−β)+sin2αsin(α−β)=−725×2√55+2425×√55=2√525．【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式两角和与差的余弦公式同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】解：(1)因为0<α<π2，sinα=45，所以cosα=35，从而sin2α=2sinαcosα=2425．(2)由题知，cos2α=1−2sin2α=−725．因为0<β<α<π2，所以0<α−β<π2，所以cos(α−β)=√1−sin2(α−β)=2√55，所以cos(α+β)=cos[2α−(α−β)]=cos2αcos(α−β)+sin2αsin(α−β)=−725×2√55+2425×√55=2√525．【答案】解：(1)由图象可得A=2，最小正周期T=4×(7π12−π3)=π，则ω=2πT=2，由f(712π)=2sin(7π6+φ)=−2，又|φ|<π2，则易求得φ=π3，所以f(x)=2sin(2x+π3)；(2)由题意知g(x)=2sin[2(x−π6)+π3]=2sin2x，所以ℎ(x)=g(x)+f(x)=2sin(2x+π3)+2sin2x=2sin2x cos π3+2cos2x sinπ3+2sin2x=3sin2x+√3cos2x =2√3sin(2x+π6).因为0≤x≤π2，所以π6≤2x+π6≤7π6，所以ℎ(x)max=2√3.【考点】两角和与差的正弦公式三角函数的最值由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由图象可得A=2，最小正周期T=4×(7π12−π3)=π，则ω=2πT=2，由f(712π)=2sin(7π6+φ)=−2，又|φ|<π2，则易求得φ=π3，所以f(x)=2sin(2x+π3)；(2)由题意知g(x)=2sin[2(x−π6)+π3]=2sin2x，所以ℎ(x)=g(x)+f(x)=2sin(2x+π3)+2sin2x=2sin2x cos π3+2cos2x sinπ3+2sin2x=3sin2x+√3cos2x =2√3sin(2x+π6).因为0≤x≤π2，所以π6≤2x+π6≤7π6，所以ℎ(x)max=2√3.【答案】解：(1)∵f(x)=a ln x−x+4，∴f′(x)=ax−1.由于曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)=a−1=0，∴a=1.(2)由(1)知，f(x)=ln x−x+4(x>0)，f′(x)=1x −1=1−xx.令f′(x)>0，解得0<x<1，故f(x)在(0, 1)上为增函数；令f′(x)<0，解得x>1，故f(x)在(1, +∞)上为减函数；故f(x)在x=1处取得极大值f(1)=3．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的极值【解析】(1)求导函数，利用曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线垂直于y轴，可得f′(1)=0，从而可求a的值；(2)由(1)知，f(x)=ln x−x+4(x>0)，f′(x)=1x −1=1−xx，确定函数的单调性，即可求得函数f(x)的极值．【解答】解：(1)∵f(x)=a ln x−x+4，∴ f′(x)=ax −1.由于曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线垂直于y 轴， 故该切线斜率为0，即f′(1)=a −1=0， ∴ a =1.(2)由(1)知，f(x)=ln x −x +4(x >0)， f′(x)=1x −1=1−x x.令f′(x)>0，解得0<x <1，故f(x)在(0, 1)上为增函数； 令f′(x)<0，解得x >1，故f(x)在(1, +∞)上为减函数； 故f(x)在x =1处取得极大值f(1)=3． 【答案】解：(1)∵ S △DAC =2√3，AC =4√3，AD =2， ∴ 12⋅AD ⋅AC ⋅sin ∠DAC =2√3，∴ sin ∠DAC =12，∵ B =π3，∴ ∠DAC <∠BAC <π−π3=2π3，∴ ∠DAC =π6，在△ADC 中，由余弦定理得：DC 2=AD 2+AC 2−2AD ⋅AC cos π6， ∴ DC 2=4+48−2×2×4√3×√32=28，∴ DC =2√7；(2)∵ AB =AD ，B =π3，∴ △ABD 为正三角形，∵ ∠DAC =π3−C ，∠ADC =2π3，在△ADC 中，根据正弦定理，可得：ADsin C =4√3sin 2π3=DCsin (π3−C)，∴ AD =8sin C ，DC =8sin (π3−C)，∴ △ADC 的周长为AD +DC +AC =8sin C +8sin (π3−C)+4√3 =8(sin C +√32cos C −12sin C)+4√3 =8(12sin C +√32cos C)+4√3=8sin (C +π3)+4√3， ∵ ∠ADC =2π3，∴ 0<C <π3，∴ π3<C +π3<2π3，∴当C+π3=π2，即C=π6时，sin(C+π3)的最大值为1，则△ADC的周长最大值为8+4√3．【考点】三角函数的最值解三角形余弦定理正弦定理【解析】（1）利用三角形的面积公式表示出三角形ADC的面积，把已知的面积，以及AC、AD 的长代入，求出sin∠DAC的值，由B的范围，得到∠BAC的范围，进而确定出∠DAC的范围，利用特殊角的三角函数值求出∠DAC的度数，再由AD，AC及cos∠DAC的值，利用余弦定理即可求出DC的长；（2）由B=π3，AB=AD，得到三角形ABD为等边三角形，可得出∠ADC为2π3，进而得到∠DAC+∠C=π3，用∠C表示出∠DAC，在三角形ADC中，由AC，以及sin∠ADC，sin C，sin∠DAC，利用正弦定理表示出AD及DC，表示出三角形ADC的周长，整理后再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由∠ADC的度数，得到C的范围，可得出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的值域，确定出正弦函数的最大值，即可得到周长的最大值．【解答】解：(1)∵S△DAC=2√3，AC=4√3，AD=2，∴12⋅AD⋅AC⋅sin∠DAC=2√3，∴sin∠DAC=12，∵B=π3，∴∠DAC<∠BAC<π−π3=2π3，∴∠DAC=π6，在△ADC中，由余弦定理得：DC2=AD2+AC2−2AD⋅AC cosπ6，∴DC2=4+48−2×2×4√3×√32=28，∴DC=2√7；(2)∵AB=AD，B=π3，∴△ABD为正三角形，∵∠DAC=π3−C，∠ADC=2π3，在△ADC中，根据正弦定理，可得：ADsin C =4√3sin2π3=DCsin(π3−C)，∴AD=8sin C，DC=8sin(π3−C)，∴△ADC的周长为AD+DC+AC=8sin C+8sin(π3−C)+4√3=8(sin C +√32cos C −12sin C)+4√3 =8(12sin C +√32cos C)+4√3=8sin (C +π3)+4√3， ∵ ∠ADC =2π3，∴ 0<C <π3， ∴ π3<C +π3<2π3，∴ 当C +π3=π2，即C =π6时，sin (C +π3)的最大值为1， 则△ADC 的周长最大值为8+4√3． 【答案】解：(1)因为f ′(x)=2ax +bx ， 所以f ′(12)=a +2b =0，因为f (12)=14a −bln2=12+ln2， 所以a =2，b =−1， 所以f(x)=2x 2−lnx ． (2)若f(x)≤g(x)，则2x 2−lnx ≤mx 3−lnx +2，即2x 2−mx 3−2≤0对x ∈[1,4]恒成立， 等价于m ≥2x 2−2x 3对x ∈[1,4]恒成立，令ℎ(x)=2x 2−2x 3， 则ℎ′(x)=6−2x 2x 4=2(√3−x)(√3+x)x 4， 令ℎ′(x)>0，得1≤x <√3；令ℎ′(x)<0，得√3<x ≤4，所以ℎ(x) 在[1,√3) 上单调递增，在(√3,4]上单调递减， 所以ℎ(x)max =ℎ(√3)=4√39， 即m ∈[4√39,+∞)．【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 利用导数研究不等式恒成立问题 【解析】左侧图片未给出解析．左侧图片未给出解析． 【解答】解：(1)因为f ′(x)=2ax +bx ，所以f ′(12)=a +2b =0， 因为f (12)=14a −bln2=12+ln2，所以a =2，b =−1，所以f(x)=2x 2−lnx ． (2)若f(x)≤g(x)，则2x 2−lnx ≤mx 3−lnx +2，即2x 2−mx 3−2≤0对x ∈[1,4]恒成立， 等价于m ≥2x 2−2x 3对x ∈[1,4]恒成立，令ℎ(x)=2x 2−2x 3， 则ℎ′(x)=6−2x 2x 4=2(√3−x)(√3+x)x 4，令ℎ′(x)>0，得1≤x <√3； 令ℎ′(x)<0，得√3<x ≤4，所以ℎ(x) 在[1,√3) 上单调递增，在(√3,4]上单调递减， 所以ℎ(x)max =ℎ(√3)=4√39， 即m ∈[4√39,+∞)．【答案】解：(1)当a =1时，f (x )=ln x −x +1，定义域为(0,+∞) ， 则f ′(x )=1x −1，令f ′(x )=0， 解得x =1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈(1,+∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以f (x )max =f (1)=0. (2)由题意知，方程f (x )=ln x −x−1a=0在(2,e )上有实根．因为ln x ≠0 ， 所以方程可转化为a =x−1ln x.设g (x )=x−1ln x，则g ′(x )=ln x−1x(x−1)(ln x )2=ln x+1x−1(ln x )2.设ℎ(x )=ln x +1x −1，则ℎ′(x)=1x −1x2.当2<x<e时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在(2,e)上单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(2)=ln2−12>0，于是g′(x)>0，所以g(x)在(2,e)上单调递增，所以g(2)<g(x)<g(e)，即1ln2<g(x)<e−1.综上所述，实数a的取值范围是(1ln2,e−1).【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当a=1时，f(x)=ln x−x+1，定义域为(0,+∞)，则f′(x)=1x−1，令f′(x)=0，解得x=1.当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max=f(1)=0.(2)由题意知，方程f(x)=ln x−x−1a=0在(2,e)上有实根．因为ln x≠0，所以方程可转化为a=x−1ln x.设g(x)=x−1ln x，则g′(x)=ln x−1x(x−1)(ln x)2=ln x+1x−1(ln x)2.设ℎ(x)=ln x+1x−1，则ℎ′(x)=1x −1x2.当2<x<e时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在(2,e)上单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(2)=ln2−12>0，于是g′(x)>0，所以g(x)在(2,e)上单调递增，所以g(2)<g(x)<g(e)，<g(x)<e−1.即1ln2,e−1). 综上所述，实数a的取值范围是(1ln2。

2021年高三三校9月联考数学（文）试题含答案本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

第一部分选择题（共50分）一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集,集合,,则集合（）A．B． C．D．2.如果复数为纯虚数,则实数的值 ( )A. 等于1B. 等于2C. 等于1或2D. 不存在3．为假命题,则的取值范围为（）A． B. C. D.4．对某商店一个月30天内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46，45，56 B．46，45，53C．47，45，56 D．45，47，535．设是两条不同直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是（）A．且则B．且,则C．则D．则6.如图,三棱柱的棱长为2,底面是边长为2的正三角形,,正视图是边长为2 的正方形,俯视图为正三角形,则左视图的面积为（）A．4 B． C． D．27．若是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（）A．B．C．或D．8．函数的图像大致是( )9．在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示平面区域的面积等于2，则的值为（）A. -5B. 1C. 2D. 310．已知函数在点（1,2）处的切线与的图像有三个公共点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第二部分 非选择题（100分）二、填空题：本题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分(一)必做题(11～13题)11．已知向量(3,1),(0,1),(,3),2,a b c k a b c k ===+=若与垂直则 .12．在中，角的对边为，若，则角= .13．数列满足表示前n 项之积,则=_____________.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14. （几何证明选讲选做题）如图所示，是⊙的两条切线，是圆上一点，已知，则= .15. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为（，曲线、曲线的交点为，则弦长为 .三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知向量，函数·，且最小正周期为．（1）求的值；（2）设，求的值．17.（本小题满分12分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者。

2021届高三数学9月教育教学质量监测考试试题理注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。

3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。

5.考试范圃：必修1～5，选修2－1，2－2，2－3。

第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若z＝2－i，则|z2－z|＝A.3B.2C.10D.262.若集合A＝{x|y＝log3(x2－3x－18)}，B＝{－5，－2，2，5，7}，则A∩B＝A.{－2，2，5}B.{－5，7}C.{－5，－2，7}D.{－5，5，7}3.我国古代的宫殿金碧辉煌，设计巧夺天工，下图(1)为北京某宫殿建筑，图(2)为该宫殿某一“柱脚”的三视图，其中小正方形的边长为1，则根据三视图可知，该“柱脚”的表面积为A.9π＋2＋9B.18π＋2＋9C.18π＋2＋18D.18π＋2＋184.已知抛物线C1：y2＝6x上的点M到焦点F的距离为92，若点N在C2：(x＋2)2＋y2＝1上，则点M到点N距离的最小值为264333 1 D.25.根据散点图可知，变量x，y呈现非线性关系。

为了进行线性回归分析，设u＝2lny，v＝(2x－3)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程u＝－13v＋2，则A.变量y的估计值的最大值为eB.变量y的估计值的最小值为eC.变量y的估计值的最大值为e2D.变量y的估计值的最小值为e26.函数f(x)＝ln2x －x 3的图象在点(12，f(12))处的切线方程为 A.5344y x =- B.524y x =-+ C.1144y x =- D.14y x =- 7.已知函数f(x)＝3cos(ωx ＋φ)(ω>0)，若f(－3π)＝3，f(3π)＝0，则ω的最小值为 A.12 B.34 C.2 D.3 8.(3x －2)2(x －2)6的展开式中，x 4的系数为A.0B.4320C.480D.38409.已知圆C 过点(1，3)，(0，2)，(7，－5)，直线l ：12x －5y －1＝0与圆C 交于M ，N 两点，则|MN|＝A.3B.4C.6D.810.已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(1，m)，其中m>0；若tan2α＝－125，则cos(2α＋mπ)＝ A.－613 B.－1213 C.613 D.1213 11.已知三棱锥S －ABC 中，△SBC 为等腰直角三角形，∠BSC ＝∠ABC ＝90°，∠BAC ＝2∠BCA ，D ，E ，F 分别为线段AB ，BC ，AC 的中点，则直线SA ，SB ，AC ，SD 中，与平面SEF 所成角为定值的有A.1条B.2条C.3条D.4条12.已知函数f(x)＝x e x －m(lnx ＋x ＋2x)恰有两个极值点，则实数m 的取值范围为 A.(－∞，12] B.(12，＋∞) C.(12，3e )∪(3e ，＋∞) D.(－∞，12]∪(3e ，＋∞)第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

宝安区2021届高三数学上学期9月调研考试试题理〔含解析〕本套试卷满分是150分，考试时间是是120分钟．一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．的一共轭复数是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化形式，再根据一共轭复数概念求解.【详解】因为,所以一共轭复数是，选B.【点睛】此题重点考察复数的根本运算和复数的概念，属于基此题.首先对于复数的四那么运算，要实在掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关根本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、一共轭为，，假设，那么实数的取值集合为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合M={x|x2=1}={﹣1，1}，当a=0时，N=∅，成立；当a≠0时，N={}，由N⊆M，得或者=1．由此能求出实数a的取值集合．【详解】∵集合M={x|x2=1}={﹣1，1}，N={x|ax=1}，N⊆M，∴当a=0时，N=∅，成立；当a≠0时，N={}，∵N⊆M，∴或者=1．解得a=﹣1或者a=1，综上，实数a的取值集合为{1，﹣1，0}．应选：D．【点睛】此题考察实数的取值范围的求法，考察子集、不等式性质等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，是根底题．的运算原理如右边的流程图所示，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据流程图知运算为分段函数，根据分段函数进展计算.【详解】由流程图得所以,选A.【点睛】算法与流程图的考察，侧重于对流程图循环构造的考察.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择构造、循环构造、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.4.某景区在开放时间是内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，那么他等待时间是不多于10分钟的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，此人在50分到整点之间的10分钟内到达，等待时间是不多于10分钟，所以概率.应选B．的零点是和，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求函数零点得零点关系，再根据两角和正切公式求结果.【详解】由得，，所以, 因此，选C.【点睛】此题考察两角和正切公式以及韦达定理，考察根本求解才能.，满足，，，，那么，，的大小关系为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推导出0=log a1＜log a b＜log a a=1，由此利用对数函数的单调性能比拟m，n，l的大小．【详解】∵实数a，b满足a＞b＞1，m=log a〔log a b〕，，，∴0=log a1＜log a b＜log a a=1，∴m=log a〔log a b〕＜log a1=0，0＜＜1，1＞=2log a b＞．∴m，n，l的大小关系为l＞n＞m．应选：B．【点睛】此题考察三个数的大小的比拟，考察对数函数的单调性等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，是根底题．中，“〞是“为锐角三角形〞的〔〕A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：从两个方向去判断，先看能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果.详解：由题意可得，在中，因为，所以，因为，所以，，结合三角形内角的条件，故A,B同为锐角，因为，所以，即，所以，因此，所以是锐角三角形，不是钝角三角形，所以充分性不满足，反之，假设是钝角三角形，也推不出“，故必要性不成立，所以为既不充分也不必要条件，应选D.点睛：该题考察的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.的展开式中，含项的系数为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把x+看作一项，写出的展开式的通项，再写出的展开式的通项，由x的指数为5求得r、s的值，那么答案可求．【详解】的展开式的通项为．的展开式的通项为=．由6﹣r﹣2s=5，得r+2s=1，∵r，s∈N，∴r=1，s=0．∴在的展开式中，含x5项的系数为．应选：B．【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.，满足，那么的最小值为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先确定所表示区域，再根据M表示区域内点到定点〔1，0〕间隔平方减去1求最小值【详解】,而表示正方形及其外部〔如图〕，所以的最小值为点〔1，0〕到AB：y=-x+2的间隔平方减去1，即,选D.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界限是实线还是虚线，其次确定目的函数的几何意义，是求直线的截距、两点间间隔的平方、直线的斜率、还是点到直线的间隔等等，最后结合图形确定目的函数最值取法、值域范围.10.如图，在平面四边形ABCD中，假设点E为边CD上的动点，那么的最小值为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。

2021年高三数学9月月考试题文（含解析）【试卷综析】注重基础知识，基本技能的考查，符合新课程标准和命题的意图及宗旨。

解答题中，梯度明显，考查的都是集合与函数中的基本概念和基本方法，在关注学生基本能力的考查的同时，仍然紧扣双基。

总体感觉试题对学生双基的考查既全面又突出重点，对教师的教和学生的学检测到位，同时对后续的教与学又起到了良好的导向和激励.第1卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．设集合M={1,2,3}，N={x|），则=( )A．{3} B．{2,3} C．{1,3} D．{1,2,3}【知识点】解不等式；集合运算. E1 A1【答案解析】A 解析：N={x|x>2}，所以={3}，故选A.【思路点拨】解出集合N中的不等式，从而求得.【题文】2．已知等比数列{}满足：．等，则=( )A． B． C．± D．±【知识点】等比数列的性质. D3【答案解析】B 解析：，所以，所以cos=，故选B.【思路点拨】由等比数列的性质得，所以cos=.【题文】3．已知，则的值为( )A． B． C． D．【知识点】诱导公式；二倍角公式. C2 C6【答案解析】D 解析：由得，所以，故选D.【思路点拨】由诱导公式得，再由二倍角公式得.【题文】4．已知命题，命题,则( )A．命题是假命题 B．命题是真命题C．命题是真命题 D．命题是假命题【知识点】基本逻辑连结词及量词. A3【答案解析】C 解析：因为命题p是真命题，命题q是假命题，所以命题是真命题，所以命题是真命题，故选C.【思路点拨】先判断题干中各命题的真假，再确定正确选项.【题文】5．若x>0, y>0且，则的最小值为( )A．3 B． C．2 D．3+【知识点】基本不等式求最值. E6【答案解析】D 解析：因为，所以x=-2y+1,即x+2y=1，又x>0, y>0，所以=（x+2y）（）=3+，当且仅当时等号成立，故选D.【思路点拨】由已知条件得到x+2y=1，又x>0, y>0，所以=（x+2y）（）=3+，当且仅当时等号成立.【题文】6．函数的大致图象是( )【知识点】导数的应用. B12【答案解析】B 解析：因为函数的定义域，所以得，经检验在上递增，在上递减，且最大值，故选B.【思路点拨】利用导数确定函数的单调性和最大值，从而求得正确选项.【题文】7．若是奇函数，且是函数的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点( ) A． B． C． D．【知识点】奇函数定义；函数零点的意义. B4 B9【答案解析】C 解析：因为是函数的一个零点，所以，把，代入个选项得，选项C中，成立，故选C.【思路点拨】由已知得，把，代入个选项得，选项C正确.【题文】8．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知，，则cosA=( ) A． B． C． D．【知识点】解三角形. C8【答案解析】A 解析：由已知得，代入得，故选A.【思路点拨】根据已知条件可得a,b关于c的表达式，将其代入得所求结果.【题文】9．已知为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，的最大值是( )A．6 B．0 C．2 D．【知识点】线性规划. E5【答案解析】A 解析：画出可行域，由可行域面积为4得a=2，平移目标函数为0的直线y=2x，得使目标函数取得最大值的最优解是点（2，-2），所以的最大值是6，故选A.【思路点拨】画出可行域，根据已知得a=2，平移目标函数为0的直线y=2x，得使目标函数取得最大值的最优解是点（2，-2），所以的最大值是6.【题文】10．在△ABC中，E，F分别在边AB,AC上，D为BC的中点，满足，,则 cos A = ( ) A．0 B． C． D．【知识点】向量的线性运算；向量的数量积. F1 F3【答案解析】D 解析：AC=b, ,则AB=2b,根据题意得：= ,同理,因为，所以,整理得,即,所以，故选D.【思路点拨】把已知中涉及到的线段所对应的向量，都用向量表示，再用，得向量间的等量关系，从而求得cos A的值.第Ⅱ卷（非选择题共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小l15分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．【题文】11．已知，其中i为虚数单位，则=____________.【知识点】复数的运算. L4【答案解析】5 解析：由得，所以a=2,b=3,所以a+b=5.【思路点拨】利用复数乘法变形已知等式，得，所以a=2,b=3,所以a+b=5.【题文】12．已知等差数列{}的前n项和为，若，则=____________.【知识点】等差数列的性质及前n项和公式. D2【答案解析】36 解析：由已知得，所以.【思路点拨】利用等差数列的性质及前n项和公式求解.【题文】13.已知为单位向量，,则____________.【知识点】向量的坐标运算. F2【答案解析】23 解析：设，因为为单位向量，所以①，又,所以②，由①②得3x+4y=23,所以3x+4y=23.【思路点拨】设，利用已知得到关于x,y的方程组求得x,y的值，或x,y的关系，代入关于x,y的表达式即可.【题文】14．设m，n，p∈R，且，，则p的最大值和最小值的差为__ __．【知识点】直线与圆有公共点的条件. H4【答案解析】解析：把m,n看成变量p看成字母常数，则方程有解的条件是，把直线代入圆消去n整理得：,由判别式得，解得，所以p的最大值和最小值的差为.【思路点拨】把m,n看成变量p看成字母常数，利用直线与圆有公共点的条件得p的最大值与最小值，从而求得p的最大值和最小值的差.【题文】15．函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤≤>-=,1)21(2,2sin2),1(log)(2015xxxxxxfxπ，若a,b,c,d是互不相等的实数，且，则a+b+c+d的取值范围为___ .【知识点】分段函数. B1【答案解析】(4，xx) 解析：设=m，a<b<c<d，由函数的图像可知，平移直线y=m可得：当m趋向于0时，a、b都趋向于0，c、d都趋向于2，a+b+c+d趋向于0+0+2+2=4；当m趋向于1时，a趋向于-1，b、c都趋向于1，而d趋向于xx，a+b+c+d趋向于-1+1+1+xx=xx，所以a+b+c+d的取值范围为(4，xx).【思路点拨】作函数的图像，设=m，a<b<c<d，由函数的图像可知，平移直线y=m可得结论. 三．解答题：本大题6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】16．（13分）等差数列{}满足：，，其中为数列{}前n项和．(I)求数列{}通项公式；(II)若，且，，成等比数列，求k值．【知识点】等差数列；等比数列. D2 D3【答案解析】（Ⅰ）n；（Ⅱ）4. 解析：（Ⅰ）由条件，；（Ⅱ），∵22329(21)4 k k ka a S k k k k k=⋅⇒=⋅+⇒=．【思路点拨】（Ⅰ）把等差数列的通项公式、前n项和公式，代入已知等式得关于的方程组，求得，进而求；（Ⅱ）利用等差数列的通项公式、前n项和公式，求得，，，代入得关于k的方程解出k值.【题文】17．（13分）某中学高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86．求出x，y的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差、，并根据结果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？(II)从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率．【知识点】茎叶图；一组数据的数字特征；古典概型；I2 K2【答案解析】(Ⅰ)x=5，y=6，，，应选甲班参加；(Ⅱ) .解析：(Ⅰ)甲班的平均分为1748284(80)908355xx x+++++==⇒=，易知．；又乙班的平均分为，∴；∵，，说明甲班同学成绩更加稳定，故应选甲班参加．(Ⅱ) 分及以上甲班有人，设为；乙班有人，设为，从这人中抽取人的选法有：，共种，其中甲班至少有名学生的选法有种，则甲班至少有名学生被抽到的概率为.【思路点拨】(Ⅰ)根据平均数、中位数、方差的计算公式求得各值，通过比较平均数、方差得选派参加比赛的班；(Ⅱ) 分及以上甲班有人，乙班有人，用列举法写出，从这人中抽取人的选法共种，其中甲班至少有名学生的选法有种，则甲班至少有名学生被抽到的概率为. 【题文】18．（13分）已知函数(I)当a=2时，求曲线在点A(1，f（1）)处的切线方程；(II)讨论函数f(x)的单调性与极值．【知识点】导数的应用. B12【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）①当时，在上单调递增，无极值；②当时，在上单调递减，在上单调递增，，无极大值.解析：（Ⅰ）时，，，∴，又，故切线方程为：即.（Ⅱ）函数的定义域为，令①当时，在上单调递增，无极值；②当时，在上单调递减，在上单调递增，，无极大值.【思路点拨】（Ⅰ）根据导数的几何意义求得曲线在点A处切线的斜率，从而写出切线方程；（Ⅱ）先确定函数的定义域，再求函数的导函数，由导函数大于0得，所以，①当时，在上单调递增，无极值；②当时，在上单调递减，在上单调递增，，无极大值.【题文】19．（12分）设函数)0(41coscos)6sin()(2>-+⋅-=ϖϖϖπϖxxxxf图像上的一个最高点为A，其相邻的一个最低点为B，且|AB|=．(I)求的值；(II)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b+c=2，，求的值域．【知识点】函数的图像与性质；解三角形. C4 C8【答案解析】(Ⅰ) ；(Ⅱ) . 解析：(Ⅰ) ，由条件得，.(Ⅱ)由余弦定理：bcbccbAbccba343)(cos22222-=-+=-+=又，故，又，故由，，所以的值域为.【思路点拨】(Ⅰ)由二倍角公式、两角和与差的三角函数得，再由相邻最高点与最低点间距离为得周期T=2，从而求得的值；(Ⅱ)由已知条件及余弦定理得，又，故，又，故，由，，所以的值域为：.【题文】20.（12分）已知数列{}的前n 项和为，且满足．(I)证明：数列为等比数列，并求数列{}的通项公式；(II)数列{}满足，其前n 项和为，试求满足的最小正整数n ．【知识点】数列综合问题. D5【答案解析】（Ⅰ）证明数列为等比数列.略, ；（Ⅱ）8.解析：（Ⅰ）当时，；当时，1111212221(1)2n nn n n n n n n S n a a a a a a S n a ----+=⎫⇒+=-⇒=+⎬+-=⎭；即（），且，故为等比数列（）.（Ⅱ）设 ………………① 23121222(1)22n n n K n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯… …………② ①②：231112(12)222222(1)2212n n n n n n K n n n +++--=++++-⨯=-⨯=-⨯--…∴， ∴，21(1)22201582n n n n T n n +++=-⨯+>⇒≥，∴满足条件的最小正整数【思路点拨】（Ⅰ）利用公式将已知递推公式转化为关于的递推公式，从而证得数列为等比数列，由此进一步求得；（Ⅱ）由条件求得，从而求得数列的前n 项和，所以21(1)22201582n n n n T n n +++=-⨯+>⇒≥，∴满足条件的最小正整数.【题文】21.（12分）对于函数与常数a ，b ，若恒成立，则称（a ，b ）为函数的一个“P 数对”：设函数的定义域为，且f(1)=3．(I)若（a ，b ）是的一个“P 数对”，且，，求常数a ，b 的值；(Ⅱ)若(1，1)是的一个“P 数对”，求；(Ⅲ)若()是的一个“P 数对”，且当时，，求k 的值及在区间上的最大值与最小值．【知识点】函数综合问题. B14【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）当时，在上的最大值为，最小值为3；当且为奇数时，在上的最大值为，最小值为；当为偶数时，在上的最大值为，最小值为．解析：（Ⅰ）由题意知，即，解得：（Ⅱ）由题意知恒成立，令，可得，∴是公差为1的等差数列故，又，故．（Ⅲ）当时，，令，可得，解得，所以，时，，故在上的值域是．又是的一个“数对”，故恒成立，当时，，…，故为奇数时，在上的取值范围是；当为偶数时，在上的取值范围是．所以当时，在上的最大值为，最小值为3；当且为奇数时，在上的最大值为，最小值为；当为偶数时，在上的最大值为，最小值为．【思路点拨】（Ⅰ）根据“P数对”的定义及已知得，关于a,b的方程组，求得a,b值；（Ⅱ）因为(1，1)是的一个“P数对”，所以恒成立，令，可得，∴是公差为1的等差数列，因为，故.（Ⅲ）因为当时，，又f(1)=3，所以，所以，时，，故在上的值域是．又是的一个“数对”，故恒成立，当时，，…，故为奇数时，在上的取值范围是；当为偶数时，在上的取值范围是．所以当时，在上的最大值为，最小值为3；当且为奇数时，在上的最大值为，最小值为；当为偶数时，在上的最大值为，最小值为． 22768 58F0 声J21875 5573 啳29828 7484 璄i 34377 8649 虉j 34293 85F5 藵25978 657A 敺20705 50E1 僡 +。

2021届高三数学9月教学质量检测试题 理〔含解析〕考前须知：1.在答题之前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号填写上在套本套试卷相应的位置；2.全部答案在答题卡上完成，答在本套试题卷上无效；3.在在考试完毕之后以后，将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

{}2|230A x x x =--≤，{}|31B x x =-<<，那么A B =〔〕A. {}|31x x -<<B. {}|33x x -<≤C. {}|11x x -≤<D.{}|11x x -<<【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的交集运算求解【详解】{}{}2|230|13A x x x A x x =--≤⇒=-≤≤，那么AB ={}|11x x -≤<答案选C【点睛】此题考察集合的交集运算，需注意端点取不获得到的问题。

21z i=-，在复平面内复数z 的一共轭复数对应的点位于〔〕 A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 先对21z i=-进展化简，再求z 的一共轭复数及z 的一共轭复数在复平面对应的点【详解】21i 1iz ==+-，那么1z i =-，1z i =-在复平面内对应的点为()1,1-，为第四象限 答案选D【点睛】此题考察复数除法运算，一共轭复数的概念及复数与复平面的点的对应关系，难度不大，综合性强{}n a 的前n 项和为n S ，假设1530S =，104a ，那么9a 等于〔〕A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】B 【解析】 【分析】根据1530S =，可算出8a ，又104a ，根据等差中项的性质求解即可【详解】由158815302S a a ==⇒=，又104a ，98109263a a a a =+=⇒=答案选B【点睛】此题考察等差数列根本量的求法，常规思路为求解首项和公差，本通解题思路运用了()2121n n S n a -=-和等差中项的性质，简化了运算()2,1a =，()2,sin 1b α=-，()2,cos c α=-，假设()a bc +，那么tan α的值是〔〕A. 2B.12C. 12-D. -2【答案】D 【解析】 【分析】 由()a bc +表示出sin α与cos α的根本关系，化简求解即可【详解】()4,sin a b α+=，()4cos 2sin tan 2a b c ααα+⇒=-⇒=-答案选D【点睛】此题考察向量平行的坐标表示法、三角函数的化简求值，需熟记向量平行的坐标表示法为：1221x y x y =或者1122x y x y = 5.某校有1200人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布()()2105,0N σσ>，试卷满分是150分，统计结果显示数学成绩优秀〔高于120分〕的人数占总人数的15，那么此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为〔〕 A. 180 B. 240C. 360D. 480【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布对称性特征，成绩高于120分和成绩低于90分概率值应该一样，成绩在90分到105分的占余下的12，代入数值进展运算即可 【详解】由题知，1(120)(90)5P X P X >==<， 所以13(90120)1255P X =-⨯=，所以133(90105)2510P X =⨯=，所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为3120036010⨯=人。

2021年高三上学期9月月考数学试卷含解析一、填空题：（每题5分，共计70分）1．已知A={﹣1，0，2}，B={﹣1，1}，则A∪B= ．2．已知复数z=，（i为虚数单位）则复数z的实部为．3．写出命题：“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题：．4．一位篮球运动员在最近的5场比赛中得分的茎叶图如图，则他在这5场比赛中得分的方差是．5．如图所示的流程图，输出的n= ．6．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为．7．若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最大值为．8．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为．9．在等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，若a3=8，S3=20，则S5= ．10．将y=sin2x的图象向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图象仍过点（），则φ的最小值为．11．若直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，则a= ．12．已知函数f（x）=，为奇函数，则不等式f（x）＜4的解集为．13．在三角形ABC中，已知AB=3，A=120°，△ABC的面积为，则•的值= ．14．设点P，M，N分别在函数y=2x+2，y=，y=x+3的图象上，且=2，则点P横坐标的取值范围为．二、解答题：（满分90分，作答请写出必要的解答过程）15．已知f（x）=sinx+acosx，（1）若a=，求f（x）的最大值及对应的x的值．（2）若f（）=0，f（x）=（0＜x＜π），求tanx的值．16．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为PB中点，E为PC的中点，（1）求证：BC∥平面ADE；（2）求证：平面AED⊥平面PAB．17．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若点B在椭圆上，点D在y轴上，且=2，求直线AB方程．19．已知数列{a n}满足a1=1，a2=a＞0，数列{b n}满足b n=a n•a n+1（1）若{a n}为等比数列，求{b n}的前n项的和s n；（2）若b n=3n，求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=n+2，求证：++…+＞2﹣3．20．已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx，（1）求证：f（x）≥x+1；（2）设x0＞1，求证：存在唯一的x0使得g（x）图象在点A（x0，g（x0））处的切线l与y=f（x）图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得|﹣1|＜a成立．xx学年江苏省淮安市淮阴中学高三（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每题5分，共计70分）1．已知A={﹣1，0，2}，B={﹣1，1}，则A∪B= {﹣1，0，1，2} ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：利用并集的性质求解．解答：解：∵A={﹣1，0，2}，B={﹣1，1}，∴A∪B{﹣1，0，1，2}，故答案为：{﹣1，0，1，2}．点评：本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题．2．已知复数z=，（i为虚数单位）则复数z的实部为 1 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．解答：解：∵复数z===i+1．∴复数z的实部为1．故答案为：1．点评：本题考查了复数的运算法则、实部的定义，属于基础题．3．写出命题：“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题：“若x≠3则x2﹣2x﹣3≠0”．考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：若原命题的形式是“若p，则q”，它的否命题是“若非p，则非q”，然后再通过方程根的有关结论，验证它们的真假即可．解答：解：原命题的形式是“若p，则q”，它的否命题是“若非p，则非q”，∴命题：“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3则x2﹣2x﹣3≠0”．故答案为：“若x≠3则x2﹣2x﹣3≠0”．点评：写四种命题时应先分清原命题的题设和结论，在写出原命题的否命题、逆命题、逆否命题，属于基础知识．4．一位篮球运动员在最近的5场比赛中得分的茎叶图如图，则他在这5场比赛中得分的方差是 2 ．考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：先求得数据的平均数，再利用方差计算公式计算．解答：解：==10，∴方差Dx=×（4+1+0+1+4）=2．故答案为：2．点评：本题考查了由茎叶图求数据的方差，熟练掌握方差的计算公式是解题的关键．5．如图所示的流程图，输出的n= 4 ．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：当n=1时，S=1，不满足退出循环的条件，故n=2，S=4；当S=4，不满足退出循环的条件，故n=3，S=9；当S=9，不满足退出循环的条件，故n=4，S=16；当S=16，满足退出循环的条件，故输出的n值为4，故答案为：4点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程，算出它的焦点为F（2，0），即为双曲线的右焦点，由此建立关于a的等式并解出a值，进而可得此双曲线的渐近线方程．解答：解：∵抛物线方程为y2=8x，∴2p=8，=2，可得抛物线的焦点为F（2，0）．∵抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，∴双曲线的右焦点为（2，0），可得c==2，解得a2=1，因此双曲线的方程为，可得a=1且b=，∴双曲线的渐近线方程为y=x，即．故答案为：点评：本题给出双曲线的右焦点与已知抛物线的焦点相同，求双曲线的渐近线方程．着重考查了抛物线的简单性质、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．7．若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最大值为 6 ．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组对应的平面区域如图，将直线l：z=x+2y进行平移，并观察它在轴上截距的变化，可得当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值．由此求出A点坐标，不难得到本题的答案．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如右图，是位于△ABO及其内部的阴影部分．将直线l：z=x+2y进行平移，可知越向上平移，z的值越大，当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值由解得A（2，2）∴z max=F（2，2）=2+2×2=6故答案为：6点评：本题给出线性约束条件，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单线性规划等知识点，属于基础题．8．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为6π．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由圆柱的轴截面是边长为2的正方形可得圆柱底面圆的直径长为2，高为2．解答：解：∵圆柱的轴截面是边长为2的正方形，∴圆柱底面圆的直径长为2，高为2．则圆柱的表面积S=2•π•2+2•π•12=6π．故答案为6π．点评：考查了学生的空间想象力．9．在等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，若a3=8，S3=20，则S5= 40 ．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等差数列的首项和公差，由已知列式求出首项和公差，则答案可求．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由若a3=8，S3=20，得，解得：．∴．故答案为：40．点评：本题考查了等差数列的前n项和，考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题．10．将y=sin2x的图象向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图象仍过点（），则φ的最小值为．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：利用正弦函数的函数值相等，结合三角函数的图象的平移，判断平移的最小值即可．解答：解：因为y=sin2×=sin=，所以函数y=sin2x的图象向右平移单位，得到的图象仍过点（），所以φ的最小值为．故答案为：．点评：本题考查三角函数的值与函数的图象的平移，考查计算能力．11．若直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，则a= ﹣2 ．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由圆的方程，得到圆心与半径，根据直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，可得直线l：y=x+a过圆心，即可求出a的值．解答：解：∵圆（x﹣2）2+y2=1，∴圆心为：（2，0），半径为：1∵直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，∴直线l：y=x+a过圆心，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题主要考查直与圆的位置关系及其方程的应用，是常考题型，属中档题．12．已知函数f（x）=，为奇函数，则不等式f（x）＜4的解集为（﹣∞，4）．考点：其他不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的定义，求出a，b，即可得到结论．解答：解：若x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x）=bx2+3x，∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即bx2+3x=﹣x2﹣ax，则b=﹣1，a=﹣3，即f（x）=，若x≥0，则不等式f（x）＜4等价x2﹣3x＜4，即x2﹣3x﹣4＜0，解得﹣1＜x＜4，此时0≤x＜4，若x＜0，不等式f（x）＜4等价﹣x2﹣3x＜4，即x2+3x+4＞0，此时不等式恒成立，综上x＜4．即不等式的解集为（﹣∞，4）．点评：本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．13．在三角形ABC中，已知AB=3，A=120°，△ABC的面积为，则•的值= ．考点：平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：利用三角形面积公式列出关系式，将c，sinA及已知面积代入求出b的值，再利用余弦定理列出关系式，把b，c，cosA的值代入计算即可求出a的值，然后利用余弦定理求cosB，结合数量积的定义求•的值．解答：解：∵AB=c=3，A=120°，△ABC的面积为，∴S△ABC=bcsinA=b=，即b=5，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=25+9+15=49，则BC=a=7．由余弦定理得cosB=•=accosB=7×3×=．点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式以及向量的数量积的运算，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．14．设点P，M，N分别在函数y=2x+2，y=，y=x+3的图象上，且=2，则点P横坐标的取值范围为．．考点：向量数乘的运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，由=2，可得点P是线段MN的中点．设M（x1，y1），P（x，y），N（x2，y2）．可得，，，（0≤x1≤4），y2=x2+3，y=2x+2．化为2x=﹣1﹣x1（0≤x1≤4）．令f（t）=（0≤t≤4）．利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出．解答：解：如图所示，∵=2，∴点P是线段MN的中点．设M（x1，y1），P（x，y），N（x2，y2）．∴，，，（0≤x1≤4），y2=x2+3，y=2x+2．化为2x=﹣1﹣x1（0≤x1≤4）．令f（t）=（0≤t≤4）．f′（t）=﹣1，当2≤t≤4时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减．当0≤t＜2时，f′（t）=0，解得，则当时，函数f（t）单调递增；当时，函数f（t）单调递减．而极大值即最大值=﹣3，又f（0）=﹣1，f（4）=﹣5．∴点P横坐标的取值范围为．故答案为：．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、向量的共线、分类讨论思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、解答题：（满分90分，作答请写出必要的解答过程）15．（14分）（xx秋•泗洪县校级期中）已知f（x）=sinx+acosx，（1）若a=，求f（x）的最大值及对应的x的值．（2）若f（）=0，f（x）=（0＜x＜π），求tanx的值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数线．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）a=时，利用两角和的正弦值化简f（x），求出x取何值时f（x）有最大值；（2）由f（）=0求出a的值，再由f（x）=，求出cosx、sinx的值，从而求出tanx的值．解答：解：（1）a=时，f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），…（2分）当sin（x+）=1，即x+=+2kπ（k∈Z），∴x=+2kπ（k∈Z）时，f（x）有最大值2；…（6分）（2）∵f（）=sin+acos=+a=0，∴a=﹣1；…（8分）∴f（x）=sinx﹣cosx=，∴，∴，即（cosx+）cosx=；整理得，25cos2x+5cosx﹣12=0，解得，cosx=，或cosx=﹣；当cosx=时，sinx=，当cosx=﹣时，sinx=﹣；又∵x∈（0，π）∴取；∴tanx=．…（14分）点评：本题考查了三角恒等变换的应用问题以及三角函数求值的问题，也考查了一定的计算能力，是较基础题．16．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为PB中点，E为PC的中点，（1）求证：BC∥平面ADE；（2）求证：平面AED⊥平面PAB．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）由中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（2）由线面垂直的性质和判定定理，以及通过面面垂直的判定定理，即可得证．解答：（1）证明：∵PE=EC，PD=DB，∴DE∥BC，∵DE⊂平面ADE，BC⊄平面ADE，∴BC∥平面ADE；（2）证明：∵PA⊥平面PAC，BC⊂平面PAC，∴PA⊥CB，∵AB⊥CB，AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB，∵DE∥BC∴DE⊥平面PAB，又∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面PAB．点评：本题考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定定理，注意定理的条件的全面，属于基础题．17．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）求出第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；（2）利用利润=累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．解答：解：（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y=25x﹣[6x+x（x﹣1）]﹣50=﹣x2+20x﹣50（0＜x≤10，x∈N）由﹣x2+20x﹣50＞0，可得10﹣5＜x＜10+5∵2＜10﹣5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出，∴二手车出售后，小张的年平均利润为=19﹣（x+）≤19﹣10=9当且仅当x=5时，等号成立∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若点B在椭圆上，点D在y轴上，且=2，求直线AB方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知得，，由此能求出椭圆方程．（2）设B（x0，y0），D（0，m），则，，由此能求出直线方程．解答：解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（1，），∴，∴a=2c，…（2分）∴b2=a2﹣c2=3c2设椭圆方程为：，∴∴椭圆方程为：…（7分）（2）设B（x0，y0），D（0，m），则，，∴﹣x0=2，m﹣y0=3﹣2m，即x0=﹣2，y0=3m﹣3，代入椭圆方程得m=1，∴D（0，1），…（14分）∴．…（16分）点评：本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线与椭圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．19．已知数列{a n}满足a1=1，a2=a＞0，数列{b n}满足b n=a n•a n+1（1）若{a n}为等比数列，求{b n}的前n项的和s n；（2）若b n=3n，求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=n+2，求证：++…+＞2﹣3．考点：数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）分a=1和a≠1求出等比数列{a n}的通项公式，进一步求得{b n}是等比数列，则其前n项和s n可求；（2）把b n=3n代入b n=a n•a n+1，然后分n为奇数和偶数得到数列{a n}的偶数项和奇数项为等比数列，由等比数列的通项公式得答案；（3）由b n=n+2得到a n a n+1=n+2，进一步得到，代入++…+整理后利用基本不等式证得结论．解答：（1）解：由a1=1，a2=a＞0，若{a n}为等比数列，则，∴．当a=1时，b n=1，则s n=n；当a≠1时，．（2）解：∵3n=a n•a n+1，∴3n﹣1=a n﹣1•a n（n≥2，n∈N），∴．当n=2k+1（k∈N*）时，∴；当n=2k，（k∈N*）时，∴．∴．（3）证明：∵a n a n+1=n+2 ①，∴a n﹣1a n=n+1（n≥2）②，①﹣②得∴=（a3﹣a1）+（a4﹣a2）+…+（a n+1﹣a n﹣1）=a n+a n+1﹣a1﹣a2∴=．∵，∴＞﹣3．点评：本题是数列与不等式综合题，考查了等比关系的确定，考查了首项转化思想方法，训练了放缩法证明数列不等式，是压轴题．20．已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx，（1）求证：f（x）≥x+1；（2）设x0＞1，求证：存在唯一的x0使得g（x）图象在点A（x0，g（x0））处的切线l与y=f（x）图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得|﹣1|＜a成立．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．分析：（1）构造函数F（x）=e x﹣x﹣1，求函数的导数即可证明f（x）≥x+1；（2）求函数的导数，利用导数的几何意义即可证明存在唯一的x0使得g（x）图象在点A （x0，g（x0））处的切线l与y=f（x）图象也相切；（3）求函数的导数，利用导数和不等式之间的关系即可证明对任意给定的正数a，总存在正数x，使得|﹣1|＜a成立．解答：解：（1）令F（x）=e x﹣x﹣1，x∈R，∵F'（x）=e x﹣1=0得x=0，∴当x＞0时F'（x）＞0，F（x）递增；当x＜0时F'（x）＜0，F（x）递减；∴F（x）min=F（0）=0，由最小值定义得F（x）≥F（x）min=0即e x≥x+1．（2）g（x）在x=x0处切线方程为①设直线l与y=e x图象相切于点，则l：②，由①②得，∴⑤下证x0在（1，+∞）上存在且唯一．令，，∴G（x）在（1，+∞）上递增．又，G（x）图象连续，∴存在唯一x0∈（1，+∞）使⑤式成立，从而由③④可确立x1．故得证．（1）由（1）知即证当a＞0时不等式e x﹣1﹣x＜ax即e x﹣ax﹣x﹣1＜0在（0，+∞）上有解．令H（x）=e x﹣ax﹣x﹣1，即证H（x）min＜0，由H'（x）=e x﹣a﹣1=0得x=ln（a+1）＞0．当0＜x＜ln（a+1）时，H'（x）＜0，H（x）递减，当x＞ln（a+1）时，H'（x）＞0，H（x）递增．∴H（x）min=H（ln（a+1））=a+1﹣aln（a+1）﹣ln（a+1）﹣1．令V（x）=x﹣xlnx﹣1，其中x=a+1＞1则V'（x）=1﹣（1+lnx）=﹣lnx＜0，∴V（x）递减，∴V（x）＜V（1）=0．综上得证．点评：本题主要考查导数的综合应用，综合性较强，运算量较大．25479 6387 掇36279 8DB7 趷h31814 7C46 籆31899 7C9B 粛c>37172 9134 鄴638874 97DA 韚21629 547D 命Q23777 5CE1 峡。

高三9月模块诊断数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．设集合，，则A ．B ．C ．D ．2．下列函数中，满足“对任意，当时，都有”的是A ．B ．C ．D ．3．函数的单调递增区间是ABCD4．函数的零点个数为A ． 0B ． 1C ． 2D ． 35．设曲线在点处的切线与直线垂直，则＝A ．B ．C ．D ．6．在△ABC 中，“A ＞30°”是“sinA ＞”的A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件7．已知下列不等式①②③④⑤中恒成立的是A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 8．，则A ． 1-aB ．C ． a-1D ． -a9．如果方程lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0的两根是α、β，则α·β的值是 A ． lg5·lg7 B ． lg35 C ． 35 D ．10．已知函数f(x)=log 2(x+1)且a>b>c>0, 则,,的大小关系是A ．>> B ．>>C ．>> D ．>>11．已知函数，当时，取得最小值，则函数的图象为12．已知定义在R 上的函数满足且在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 A ．B ．C ．D ．二、填空题此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号13．函数，的单调递减区间为__________．14．设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是．15．定义在上的函数的图像关于对称，且当时，（其中是的导函数），若，则的大小关系是________．16．已知函数的定义域为，部分对应值如下表.的导函数的图象如图所示.下列关于函数的命题：①函数是周期函数；②函数在上是减函数；③如果当时的最大值是2，那么的最大值为4；④当时，函数有4个零点.其中真命题的序号是_______.三、解答题17．（1）已知,求值;（2）若，求值.18．在中，角的对边分别为且.(1)求;(2)若，求的面积.19．已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减20．已知函数(1)若的定义域为(－,+)，求实数的取值范围；(2)若的值域为(－,+)，求实数的取值范围21．已知函数(其中)．若为的极值点，解不等式．22．设，函数.（1）当时,求曲线在处的切线方程;（2）当时,求函数的最小值.高三9月模块诊断数学试题数学答案参考答案1．B【解析】【分析】先根据不等式的性质，化简集合A、B，再根据交集的定义求出A∩B．【详解】∵A={x|x2-4＞0}={x|x＞2或x＜-2}={x|x＜-2}∴A∩B={x|x＜-2}故选：B．【点睛】本题考查二次不等式的解法、指数不等式的解法及两个交集的求法：借助数轴．2．C【解析】依题意，函数为上的减函数，在选项中只有选项是符合题意的.3．A【解析】【分析】由二次函数的性质和复合函数的单调性及函数的定义域可得结论．【详解】由题可得x2-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2，由二次函数的性质和复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为：（-∞，1）故选：A．【点睛】本题考查对数函数的单调性和复合函数的单调性，属基础题．4．D【解析】【分析】根据题目条件：“函数的零点个数”转化为方程lnx=x2-2x的根的个数问题及一次函数2x+1=0的根的个数问题，分别画出方程lnx=x2-2x左右两式表示的函数图象即得．【详解】∵对于函数f（x）=lnx-x2+2x的零点个数∴转化为方程lnx=x2-2x的根的个数问题，分别画出左右两式表示的函数：如图．由图象可得两个函数有两个交点．又一次函数2x+1=0的根的个数是：1．故函数的零点个数为3故选：D．【点睛】本题考查函数的零点个数的藕断．在判断方程是否有解、解的个数及一次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题．体现了数形结合的数学思想．5．A【解析】试题分析：因为，所以，在点处的切线斜率，直线的斜率，与直线垂直的斜率，所以，解得．考点：导数的几何意义．6．B【解析】【分析】解题时注意三角形内角和是180度，不要丢掉这个大前提．【详解】：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°∵A＞30°∴30°＜A＜180°∴0＜sin A＜1∴可判读它是sinA ＞的必要而不充分条件故选：B．【点睛】此题要注意思维的全面性，不能因为细节大意失分．7．C【解析】【分析】①取a=-1，b=-2，即可判断出；②考察指数函数y=2x在R上单调性，即可判断出；③取a=1，b=-2，即可判断出；④考察幂函数在R上单调递增，即可判断出；⑤考察指数函数在R上单调性，即可判断出．【详解】①取a=-1，b=-2，虽然满足-1＞-2，但是（-1）2＞（-2）2不成立，因此a2＞b2不正确；②考察指数函数y=2x在R上单调递增，∵a＞b，∴2a＞2b，因此正确；③取a=1，b=-2，虽然满足1＞-2，但是不成立，因此不正确④考察幂函数在R上单调递增，∵a＞b ，∴正确；⑤考察指数函数在R上单调递减，∵a＞b ，∴，正确，故选：C．【点睛】本题考查了指数函数、幂函数的单调性、不等式的性质，属于基础题．8．A【解析】本题考查对数的运算.代数式的变形和运算.又，所以.故选A9．D【解析】lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0,选D.10．B【解析】【分析】把,,分别看作函数f（x）=log2（x+1）图象上的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（b））与原点连线的斜率，对照图象可得答案．【详解】由题意可得，,,分别看作函数f（x）=log2（x+1）图象上的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（b））与原点连线的斜率，结合图象可知当a＞b＞c＞0时，>>．故选：B．【点睛】本题考查了对数函数的图象，数形结合判断函数单调性的方法，利用单调性比较大小，转化化归的思想方法．11．B【解析】试题分析：因为，所以，则（当且仅当，即时取等号），即，即，则在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最大值1；故选B．考点：1.基本不等式；2.函数的图象与性质．12．B【解析】【分析】根据函数的对称性判断函数的单调性，采取排除法，由四个选项的特征代入特值求解【详解】，则函数关于对称函数在上是增函数函数在是减函数，即在上是减函数当时，不等式变为，根据函数的图象特征可得出：，解得或，满足不等式对任意恒成立，由此排除两个选项当时，不等式变为，根据函数的图象特征可得出：，解得，不满足不等式对任意恒成立，由此排除综上所述，选项是正确的故选【点睛】本题主要考查了抽象函数的性质探究方法与应用，解答本题直接求解较为复杂，采取排除法来求解，由四个选项中的特征找出切入点，通过验证特殊值来排除错误答案。

2020-2021学年黑龙江省某校高三（上）9月月考数学试卷（理科）一、单选题（每题5分，共60分）1. 已知集合A＝{y|y＝x2−1, x∈Z}，B＝{y|y＝sin3x, x∈R}，则A∩B＝（）A.{−1, 0, 1}B.[−1, 0]C.[−1, 1]D.{−1, 0}2. 设i为虚数单位，a∈R，“复数z＝不是纯虚数“是“a≠1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 在递减等比数列{a n}中，S n是其前n项和，若a2+a4＝5，a1⋅a5＝4，则S7＝（）A. B. C. D.4. 已知向量＝(4sinα, 1−cosα)，＝(1, −2)，若＝−2，则＝（）A.1B.−1C.D.5. 要得到函数f(x)=√2cos2x的图象，只需将函数g(x)=sin(2x+π4)−cos(2x+π4)的图象（）A.向左平移3π4个单位长度 B.向左平移π4个单位长度C.向左平移π2个单位长度 D.向右平移π4个单位长度6. 设S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且3a m−1−2a m2+3a m+1＝4，S2m−1＝4038，则m＝（）A.1000B.1010C.1020D.10307. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图①中的1，3，6，10…，由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图②中的1，4，9，16，…这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A.189B.1225C.1024D.13788. 边长为12的正三角形ABC中，E为BC中点，F在线段AC上且AF＝，若AE与BF交于M，则＝（）A.−12B.−27C.-D.9. 若3cos2α＝2sin（+α)，α∈（），则sin2α的值为（）A.-B.-C.-D.10. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)＝−f(x)，当0<x<1时，f(x)＝2x−10)＝（）1，则f(log2A. B.8 C. D.11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cos2，且△ABC的面积为b2，则角B＝（）A. B. C.或 D.或12. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线与AB，AD所在直线分别交于点M，N，若＝m，＝n(m>0, n>0)，则+n的最小值为（）A. B.1 C.2 D.2二、填空题（每题5分，共20分）已知两个单位向量、的夹角为120∘，向量＝3−2，则||＝________．在各项都是正数的等比数列{a n}中，a2，，a1成等差数列，则的值是________．若复数z满足z＝0，则复数|z−3−3i|的最大值与最小值的乘积为________．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角B＝且4a sin A+4c sin C＝ac sin B+4b sin B，则△ABC的面积的最大值为________．三、解答题（共70分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝，n∈N∗．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n ＝2+(−1)n a n ，n ∈N ∗，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．已知向量a →=(cos α, sin α)，b →=(cos β, sin β)，|a →−b →|=√105（1）求cos (α−β)的值；（2）若0<α<π2，−π2<β<0，且sin β=−513，求sin α的值．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且5S 5=S 10，a 4=2a 6+20． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1a 1+b 2a 2+...+b n a n=12n −1，n ∈N ∗，证明：b n ≤58．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足2cos 2＝1−cos A cos B +sin A cos B ． （1）求cos B 的值；（2）设△ABC 外接圆半径为R ，且R(sin A +sin C)＝1，求b 的取值范围．已知函数f(x)＝ln x −(a ∈R)．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)既有极大值，又有极小值，记x 1，x 2分别为函数f(x)的极大值点和极小值点，求证：f （）<；（3）设m 为整数，且对于任意的正整数n ，有(1+）(1+）…(1+）<m ，求m 的最小值．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

2020届高三数学9月第一次联考试题（含解析）注意事项：1．本试题卷共8页，满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。

3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。

4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项目符合题目要求的。

1.记全集，集合，集合，则（）A. B. ØC. D.【答案】C【解析】【分析】先解一元二次不等式和指数不等式，再求补集与交集.【详解】由得或，由得，则，所以，故选C.【点睛】本题考查集合的运算、解一元二次不等式和指数不等式，其一容易把交集看作并集，概念符号易混淆；其二求补集时要注意细节.2.已知复数（为虚数单位），则复数z的模长等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先化简复数z,利用模长公式即可求解.【详解】化简易得，所以，故选A.【点睛】本题考查复数的基本运算和概念，了解复数的基本概念、运算和共轭复数的概念、模长是解答本题的关键.3.若实数满足约束条件则的最大值为（）A. -2B. 12C. -4D. 8【答案】B【解析】【分析】作出可行域,平移目标函数即可求解.详解】如图中阴影部分所示（含边界），显然当目标函数经过点时有最大值12，故选B.【点睛】本题考查线性规划，准确作出可行域是解答本题的关键.4.在同一直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（）A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的图象,以指数函数的底数与1的大小分情况讨论，由指数函数图象与y轴的交点即可得出b的大小，从而能判断出二次函数图象的正误.【详解】对和分类讨论，当时，对应A,D:由A选项中指数函数图象可知，，A选项中二次函数图象不符，D选项符合；当时，对应B,C:由指数函数图象可知，，则B，C选项二次函数图象不符，均不正确，故选D.【点睛】本题易错在于函数图象的分类，从指数函数分类易正确得到函数图象.5.已知直线，平面满足，，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据面面垂直的判定定理进行判断.【详解】当时，，则可知；反之当时，与中的不一定平行，故选A.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理.若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面．6.已知随机变量满足下列分布列，当且不断增大时，（）A. 增大，增大B. 减小，减小C. 增大，先增大后减小D. 增大，先减小后增大【答案】C【解析】【分析】由分布列可知，随机变量服从二项分布，根据二项分布的期望、方差公式即可判断.【详解】由题意可知，随机变量满足二项分布，即，易得，所以当且不断增大时，增大，先增大后减小.故选C.【点睛】本题考查二项分布的期望、方差.理解二项分布的期望、方差，会判定和计算二项分布的期望和方差是解答本题的关键.7.已知双曲线右焦点为，左顶点为，右支上存在点满足，记直线AB与渐近线在第一象限内的交点为，且，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意依次求出点的坐标，求出直线的方程，联立渐近线求出点的横坐标，利用向量关系即可得出关系式，进而可求出渐近线方程.【详解】易知，，得直线，联立渐近线，得，又，所以，得，又，所以，所以双曲线的渐近线方程为，故选D.【点睛】本题考查双曲线的渐近线.当双曲线的标准方程为时，渐近线方程为；当双曲线的标准方程为时，渐近线方程为.8.已知函数，e是自然对数的底数，存在（）A. 当时，零点个数可能有3个B. 当时，零点个数可能有4个C. 当时，零点个数可能有3个D. 当时，零点个数可能有4个【答案】C【解析】【分析】首先将的零点转化为两个图象的交点，利用以直代曲的思想可以将等价为，根据穿针引线画出草图，即可判断.【详解】将看成两个函数的交点，利用以直代曲，可以将等价看成，利用“穿针引线”易知时图象如图，所以当时最多有两个交点，当时最多有三个交点.故选C.【点睛】本题考查函数的零点,函数零点个数的3种判断方法(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.9.三棱柱中，平面，动点在线段上滑动（包含端点），记与所成角为，与平面所成线面角为，二面角为，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意找出这三个角，分别在直角三角形中表示出这三个角对应的三角函数值，将角的大小比较转化为线段长度的大小比较即可.【详解】过点作于，则，过点作于，连接，则,过点作于，连接，则．所以，，，由可知（位于处等号成立），由可知（当为直角时，等号成立），故选B.【点睛】本题主要考查线线角、线面角、二面角，本题也可以直接用线线角最小角定理（线面角是最小的线线角）和线面角最大角定理（二面角是最大的线面角）判断.10.已知函数若函数的零点个数为2，则（）A. 或B.C. 或D.【答案】D【解析】【分析】由，可知当时，的图象可由的图象沿轴翻折，并向右平移2个单位长度，纵坐标变为原来的一半，即可作出函数的图象，将的零点问题转化为两个函数图象的焦点问题即可.【详解】如图，可得的图象.令，当时，不符合题意；当时，得，若，则满足可得；若，因左支已交于一点，则右支必然只能交于一点，当时，因为，所以在上有两个交点，不合题意舍去，当时，则需解得，故选D.【点睛】本题考查分段函数的图象和零点问题.对函数图象的正确绘制是解答本题的关键.二、选择题：本大题共7小題，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。

2020-2021学年广东省佛山市某校高三（上）9月月考数学试卷一、选择题1. 已知集合A ={x|x 2−x −2≤0}，B ={x|y =√x}，则A ∪B =( ) A.{x|−1≤x ≤2} B.{x|0≤x ≤2} C.{x|x ≥−1} D.{x|x ≥0}2. 若复数z 满足z(1+i)=−2i （其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数是( ) A.1−i B.1+i C.−1−i D.−1+i3. 命题“∀x ∈R ，x 2−x +1>0”的否定是( ) A.∀x ∈R ，x 2−x +1≤0B.∀x ∈R ，x 2−x +1<0C.∃x 0∈R ，x 02−x 0+1≤0 D.∃x 0∈R ，x 02−x 0+1<04. 设x ∈R ，则“2x >4”是“lg (|x|−1)>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 设a =log 0.5 3，b =0.53，c =(13)−0.5，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a <b <cB.a <c <bC.b <a <cD.b <c <a6. 已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以．若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有( ) A.36种 B.30种 C.24种 D.20种7. 已知函数f (x )={x ln x ，x >0，x ex ，x ≤0，则函数y =f (1−x )的图象大致是( )A. B.C. D.8. 函数f (x )={2log 2 x ，x ≥1，f (x +1)，x <1,若方程f (x )=−2x +m 有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( ) A.(−∞,4)B.(−∞,4]C.(−2,4)D.(−2,4]二、多选题某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据（单位：cm ）如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是( )A.女生身高的中位数为165B.女生身高的极差为12C.男生身高的均值较大D.男生身高的方差较小已知f (x )=sin (ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π，则下列说法正确的有( )A.ω=2B.函数f (x )在[0,π6]上为增函数C.点(π3,0)是函数y =f (x )图象的一个对称中心D.直线x =π4是函数y =f (x )图象的一条对称轴若f (x )=lg (|x −2|+1)，则下列命题正确的是( ) A.f (x +2)是偶函数B.f (x )在区间(−∞,2)上是减函数，在(2,+∞)上是增函数C.f (x )没有最大值D.f (x )没有最小值若10a =4，10b =25，则( ) A.b −a =1 B.a +b =2C.ab >8lg 22D.b −a >lg 6三、填空题(2x −y)5的展开式中，含x 3y 2项的系数为________.（用数字作答）已知向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=√2，a →⊥(a →+b →)，则a →与b →夹角的大小是________．已知随机变量X 服从正态分布N (1,σ2)，P (−1<X <1)=0.4，则P (X ≥3)=________.设点P 是曲线y =e x +x 2上任一点，则点P 到直线x −y −1=0的最小距离为________． 四、解答题为了解学生的体能情况，某校随机抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图，如图所示次数在[100, 110)间的频数为7，规定次数在110以下（不含110）视为不达标，次数在[110, 130)间的视为达标，次数在130以上视为优秀．(1)求此次抽样的样本总数为多少人？(2)在样本中，随机抽取一人调查，则抽中不达标学生、达标学生、优秀学生的概率分别是多少？在条件①(a +b )(a −b )=(c −b )c ，②sin A =cos (A +π6)，③sinB+C 2=sin A 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， b +c =6，a =2√6，________. 求△ABC 的面积．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）已知数列{a n }满足a 1=1，且数列{a n +1}是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知数列{b n }的通项公式为b n =1n (n+1)．设c n =a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和．已知函数f(x)=e x cosx −x ．(1)求曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值 ．某企业拥有三条相同的且相互独立的生产线．据统计，每条生产线每月出现故障的概率为13，且至多可能出现一次故障．(1)求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；(2)在正常生产的情况下，每条生产线每月的利润是12万元；如果一条生产线出现故障能及时维修，还能创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线就没有利润．为提高生产效益，企业决定安排维修工人对出现故障的生产线进行维修．如果一名维修工人每月只能及时维修一条生产线，且一名工人每月所需费用为1万元，以该企业每月实际利润的期望值为决策依据，你选择安排几名维修工？（实际利润=生产线创造利润−维修工人费用）已知函数f(x)=(12x2−ax)ln x+2ax−34x2，其中0<a<e．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)讨论函数f(x)零点的个数；(3)若f(x)存在两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2<e2．参考答案与试题解析2020-2021学年广东省佛山市某校高三（上）9月月考数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】一元二次不等式的解法并集及其运算【解析】首先求出A，B，再求出并集即可.【解答】解：由题意得：A={x∣x2−x−2≤0}={x∣−1≤x≤2}，B={x∣y=√x}={x∣x≥0}，所以A∪B={x∣x≥−1}.故选C.2.【答案】D【考点】共轭复数复数代数形式的乘除运算【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵ z(1+i)=−2i，∴ z=−2i1+i =−2i(1−i)(1+i)(1−i)=−2i(1−i)2=−1−i，∴z¯=−1+i.故选D.3.【答案】C【考点】全称命题与特称命题【解析】利用全称命题的否定为特称命题即可得出结果.【解答】解：由全称命题的否定为特称命题可知：命题“∀x∈R，x2−x+1>0”的否定是：∃x0∈R，x02−x0+1≤0. 故选C.4.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】“2x>4”⇒“lg(|x|−1)>0”，“lg(|x|−1)>0”⇒“x>2或x<−2”⇒“2x>4或2x<14”，由此能求出结果．【解答】解：设x∈R，2x>4，即2x>22，解得x>2，lg(|x|−1)>0，则|x|−1>1，解得x>2或x<−2，∴ “2x>4”是“lg(|x|−1)>0”的充分不必要条件．故选A．5.【答案】A【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】利用中间值，结合对数函数和指数函数的性质进行比较即可求解.【解答】解：a=log0.53<log0.51=0，0<b=0.53<0.50=1，c=(13)−0.5>(13)=1，故a<b<c.故选A.6.【答案】D【考点】分类加法计数原理【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，甲只能用现金，乙可以用现金或银联卡，丙的付款方式分两类：①乙用现金，则丙的付款方式有三种，此时丁的付款方式有四种，②乙用银联卡，则丙的付款方式有两种，此时丁的付款方式有四种，他们结账方式的组合种数共有3×4+2×4=20(种).故选D.7.【答案】B【考点】函数图象的作法【解析】(1)可对函数在(0,+∞)上的单调性进行讨论，进而解题即可.【解答】解：当x=1时，y=f(1−1)=f(0)=0e0=0，故排除C，D；当x=3时，f(−2)=−2e−2<0，故排除A；当0<x<1时，0<1−x<1，y=f(1−x)=(1−x)ln(1−x)，∵ 0<1−x<1，ln(1−x)<0，∴ y=f(1−x)=(1−x)ln(1−x)<0，故B符合，当x>1时，1−x<0，y=f(1−x)=1−xe1−x，∵ 1−x<0，e1−x>0，∴ y=f(1−x)=1−xe1−x<0，故B符合.故选B.8.【答案】A【考点】分段函数的应用根的存在性及根的个数判断【解析】本题考查了函数图象的应用，函数零点与方程根的关系，属于中档题.作出函数的图象，根据函数图象即可求出m的取值范围.【解答】解：函数f(x)={2log2x，x≥1,f(x+1)，x<1的图象如图所示，由图象可知，当y=−2x+m过A点时，m=4，故当m<4时，函数y=f(x)的图象与函数y=−2x+m的图象有两个交点，即方程f(x)=−2x+m有且只有两个不相等的实数根，所以m的取值范围是(−∞,4).故选A.二、多选题【答案】B,C【考点】极差、方差与标准差众数、中位数、平均数茎叶图【解析】A，根据中位数的定义求出数值；B，根据极差的公式：极差＝最大值-最小值解答；C，根据两组数据的取值范围判断均值大小；D，根据两组数的据波动性大小.【解答】解：A，抽取的10名女生中，身高数据从小到大排列后，排在中间的两个数为165和167，所以中位数是166，故本选项不符合题意；B，女生身高最大值为173，最小值为161，所以极差=173−161=12，故本选项符合题意；C，男生身高数据在167∼192之间，女生身高数据在161∼173之间，所以男生身高的均值较大，故本选项符合题意；D，抽取的学生中，男生身高数据在167∼192之间，女生身高数据在161∼173之间，男生身高数据波动性大，所以方差较大，故本选项不符合题意．故选BC.【答案】A,C【考点】正弦函数的周期性正弦函数的对称性正弦函数的单调性【解析】首先得到y=f(x)的解析式，再利用性质逐个判断即可.【解答】解：A，由题意可知：ω=2ππ=2，则f(x)=sin(2x+π3)，故选项A正确；B，x∈[0,π6]，则2x+π3∈[π3,2π3]，故函数f(x)在[0,π6]上不是增函数，故选项B错误；C，f(π3)=sin(2×π3+π3)=sinπ=0，则点(π3,0)是y=f(x)图象的一个对称中心，故选项C正确；D，当x=π4时，sin(2×π4+π3)=12≠±1，故直线x=π4不是y=f(x)图象的一个对称轴，故选项D错误.故选AC.【答案】A,B,C【考点】函数奇偶性的判断函数的最值及其几何意义函数的单调性及单调区间【解析】令g(x)=f(x+2)=lg(|x|+1)，讨论g(x)的性质，从而确定f(x)的性质即可.【解答】解：A，设g(x)=f(x+2)=lg(|x|+1)，则定义域为R，又g(−x)=lg(|−x|+1)=lg(|x|+1)=g(x)，所以函数g(x)是偶函数，即f(x+2)是偶函数，故选项A正确；B，由g(x)=lg(|x|+1)可知：函数g(x)在区间(−∞,0)上为减函数，在区间(0,+∞)上为增函数，即函数f(x+2)在区间(−∞,0)上为减函数，在区间(0,+∞)上为增函数，所以函数f(x)在区间(−∞,2)上为减函数，在区间(2,+∞)上为增函数，故选项B正确；C，由于x→+∞时，f(x)→+∞，故函数f(x)没有最大值，故选项C正确；D，由函数f(x)在区间(−∞,2)上为减函数，在区间(2,+∞)上为增函数可知，当x=2时，f(x)取最小值f(2)=lg1=0，故选项D错误.故选ABC.【答案】B,C,D【考点】对数的运算性质【解析】推导出a=lg4，b=lg25，从而a+b=lg4+lg25=lg100=2，且ab=2lg2×2lg5=4lg2⋅lg5>8lg22= 4lg2⋅lg4【解答】解：∵10a=4，10b=25，∴ a=lg4，b=lg25，∴ b−a=lg25−lg4=lg254>lg6，故A错误，D正确；∴ a+b=lg4+lg25=lg100=2，故B正确；ab=2lg2×2lg5=4lg2⋅lg5>4lg2⋅lg4=8lg22，故C正确．故选BCD.三、填空题【答案】80【考点】二项展开式的特定项与特定系数【解析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令r=2，可得含x3y2的项的系数.【解答】解：二项式(2x−y)5的展开式的通项为T r+1=25−r(−1)r C5r x5−r y r，令r=2，可得含x3y2项的系数是23×(−1)2×C52=80. 故答案为：80.【答案】3π4【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系数量积表示两个向量的夹角【解析】由两个向量垂直的性质可得a→⋅(a→+b→)=a→2+a→⋅b→=0，再由两个向量的数量积的定义可得cosθ=−√22，由此求得θ的值，即为所求．【解答】解：∵a→⊥(a→+b→)，∴a→⋅(a→+b→)=a→2+a→⋅b→=0．设a→与b→夹角的大小是θ，则由题意可得1+1×√2cosθ=0，解得cosθ=−√22，再由0≤θ<π，可得θ=3π4.故答案为：3π4.【答案】0.1【考点】正态分布的密度曲线【解析】随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到结果．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，∴ 曲线关于x=1对称．∵ P(−1<X<1)=0.4 ,∴ P(X≥3)=P(X≤−1)=0.5−P(−1<X<1)=0.1．故答案为：0.1．【答案】√2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程两条平行直线间的距离点到直线的距离公式【解析】求出原函数的导函数，得到切点坐标，写成过P且与直线x−y−1=0平行的直线方程，利用两平行线间的距离公式求解．【解答】解：由y=e x+x2，得y′=e x+2x，设平行于直线x−y−1=0的直线与曲线y=e x+x2切于(x0,y0)，则e x0+2x0=1，解得x0=0，则切点为(0,1)，过切点的直线方程为y=x+1，即x−y+1=0，点P到直线x−y−1=0的最小距离为d=√2=√2.故答案为：√2.四、解答题【答案】解：(1)设样本总数为n，由频率分布直方图可知：次数在[100, 110)间的频率为：0.014×10=0.14，所以7n=0.14，解得n=50．(2)记抽中不达标学生的事件为C，抽中达标学生的事件为B，抽中优秀学生的事件为A．P(C)=0.006×10+0.014×10=0.20；P(B)=0.028×10+0.022×10=0.50；P(A)=1−P(B)−P(C)=0.30．【考点】用频率估计概率概率的应用频率分布直方图【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设样本总数为n，由频率分布直方图可知：次数在[100, 110)间的频率为：0.014×10=0.14，所以7n=0.14，解得n=50．(2)记抽中不达标学生的事件为C，抽中达标学生的事件为B，抽中优秀学生的事件为A．P(C)=0.006×10+0.014×10=0.20；P(B)=0.028×10+0.022×10=0.50；P(A)=1−P(B)−P(C)=0.30．【答案】解：若选①：即b2+c2−a2=bc，所以cos A=b 2+c2−a22bc=bc2bc=12.因为A∈(0,π)，所以A=π3．又a2=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc，a=2√6，b+c=6，所以bc=4，所以S△ABC=12bc sin A=12×4×sinπ3=√3.若选②：sin A=cos(A+π6)，化简得sin A=√32cos A−12sin A，即tan A=√33，因为0<A<π，所以A=π6，又因为a2=b2+c2−2bc cosπ6，所以bc=222+√3=2√6)22+√3，即bc=24−12√3，所以S△ABC=12bc sin A=12×(24−12√3)×12=6−3√3.若选③：sin B+C2=sin A，因为B+C=π−A，所以cos A2=2sin A2cos A2.因为0<A<π，0<A2<π2，所以cos A2≠0，所以sin A2=12，A2=π6，所以A=π3.又a2=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc，a=2√6，b+c=6，所以bc=4，所以S△ABC=12bc sin A=12×4×sinπ3=√3．【考点】二倍角的正弦公式两角和与差的余弦公式余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：若选①：即b2+c2−a2=bc，所以cos A=b2+c2−a22bc=bc2bc=12.因为A∈(0,π)，所以A=π3．又a2=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc，a=2√6，b+c=6，所以bc=4，所以S△ABC=12bc sin A=12×4×sinπ3=√3.若选②：sin A=cos(A+π6)，化简得sin A=√32cos A−12sin A，即tan A=√33，因为0<A<π，所以A=π6，又因为a2=b2+c2−2bc cosπ6，所以bc=222+√3=2√6)22+√3，即bc=24−12√3，所以S△ABC=12bc sin A=12×(24−12√3)×12=6−3√3.若选③：sin B+C2=sin A，因为B+C=π−A，所以cos A2=2sin A2cos A2.因为0<A<π，0<A2<π2，所以cos A2≠0，所以sin A2=12，A2=π6，所以A=π3.又a2=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc，a=2√6，b+c=6，所以bc=4，所以S△ABC=12bc sin A=12×4×sinπ3=√3．【答案】解：(1)∵a1+1=2，∴ 数列{a n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n+1=2×2n−1=2n，∴a n=2n−1．(2)设数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，则S n=(21+22+23+⋯+2n)−n=2(1−2n)1−2−n=2n+1−2−n，∵b n=1n(n+1)=1n−1n+1，∴T n=(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1，∴数列{c n}的前n项和为：S n+T n=2n+1−2−n+1−1n+1=2n+1−1n+1−n−1．【考点】数列的求和等比数列的前n项和等比数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵a1+1=2，∴ 数列{a n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n+1=2×2n−1=2n，∴a n=2n−1．(2)设数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，则S n=(21+22+23+⋯+2n)−n=2(1−2n)1−2−n=2n+1−2−n，∵b n=1n(n+1)=1n−1n+1，∴T n=(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1，∴数列{c n}的前n项和为：S n+T n=2n+1−2−n+1−1n+1=2n+1−1n+1−n−1．【答案】解：(1)因为f(x)=e x cosx−x，所以f′(x)=e x(cosx−sinx)−1，f′(0)=0．又因为f(0)=1，所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1．(2)设ℎ(x)=e x(cosx−sinx)−1，则ℎ′(x)=e x(cosx−sinx−sinx−cosx)=−2e x sinx．当x∈(0,π2]时，ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)在区间[0,π2]上单调递减，所以对任意x ∈(0,π2]，有ℎ(x)<ℎ(0)=0，即f ′(x)<0， 所以函数f(x)在区间[0,π2]上单调递减．因此f(x)在区间[0,π2]上的最大值为f(0)=1， 最小值为f (π2)=−π2．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的单调性【解析】本题考查导数的几何意义，导数在研究函数中的应用． 【解答】解：(1)因为f(x)=e x cosx −x ，所以f ′(x)=e x (cosx −sinx)−1，f ′(0)=0． 又因为f(0)=1，所以曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y =1． (2)设ℎ(x)=e x (cosx −sinx)−1，则ℎ′(x)=e x (cosx −sinx −sinx −cosx)=−2e x sinx ． 当x ∈(0,π2]时，ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)在区间[0,π2]上单调递减，所以对任意x ∈(0,π2]，有ℎ(x)<ℎ(0)=0，即f ′(x)<0，所以函数f(x)在区间[0,π2]上单调递减． 因此f(x)在区间[0,π2]上的最大值为f(0)=1， 最小值为f (π2)=−π2．【答案】解：(1)设3条生产线中出现故障的条数为X ， 则X 服从二项分布B (3,13)，因此P (X =1)=C 31(13)1(23)2=1227=49．(2)①安排一名维修工时，设该企业每月的实际获利为Y 1万元． 若X =0，则Y 1=12×3−1=35；若X =1，则Y 1=12×2+8×1−1=31；若X =2，则Y 1=12×1+8×1+0×1−1=19； 若X =3，则Y 1=12×0+8×1+0×2−1=7．又P (X =0)=C 30(13)0(23)3=827，P (X =2)=C 32(13)2(23)1=627， P (X =3)=C 33(13)3(23)0=127，此时，实际获利Y 1的均值EY 1=35×827+31×1227+19×627+7×127=77327．②安排二名维修工时，设该企业每月的实际获利为Y 2万元． 若X =0，则Y 2=12×3−2=34；若X =1，则Y 2=12×2+8×1−2=30； 若X =2，则Y 2=12×1+8×2−2=26；若X =3，则Y 2=12×0+8×2+0×1−2=14； EY 2=34×827+30×1227+26×627+14×127=80227.③安排三名维修工时，设该企业每月的实际获利为Y 3万元． 若X =0，则Y 3=12×3−3=33；若X =1，则Y 3=12×2+8×1−3=29； 若X =2，则Y 3=12×1+8×2−3=25； 若X =3，则Y 3=12×0+8×3−3=21； EY 3=33×827+29×1227+25×627+21×127=78327．显然利润期望值最大化是决策的依据． 在上述情形中EY 2=80227最大，由计算过程易知安排三名以上的维修工时利润还会下降，故选择安排二名维修工，此时实际利润最大． 【考点】两点分布二项分布超几何分布的期望与方差 二项分布的应用【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)设3条生产线中出现故障的条数为X ， 则X 服从二项分布B (3,13)， 因此P (X =1)=C 31(13)1(23)2=1227=49．(2)①安排一名维修工时，设该企业每月的实际获利为Y 1万元． 若X =0，则Y 1=12×3−1=35；若X =1，则Y 1=12×2+8×1−1=31；若X =2，则Y 1=12×1+8×1+0×1−1=19； 若X =3，则Y 1=12×0+8×1+0×2−1=7． 又P (X =0)=C 30(13)0(23)3=827，P (X =2)=C 32(13)2(23)1=627，P (X =3)=C 33(13)3(23)0=127，此时，实际获利Y 1的均值 EY 1=35×827+31×1227+19×627+7×127=77327．②安排二名维修工时，设该企业每月的实际获利为Y 2万元． 若X =0，则Y 2=12×3−2=34；若X =1，则Y 2=12×2+8×1−2=30； 若X =2，则Y 2=12×1+8×2−2=26；若X =3，则Y 2=12×0+8×2+0×1−2=14； EY 2=34×827+30×1227+26×627+14×127=80227.③安排三名维修工时，设该企业每月的实际获利为Y 3万元． 若X =0，则Y 3=12×3−3=33；若X =1，则Y 3=12×2+8×1−3=29； 若X =2，则Y 3=12×1+8×2−3=25； 若X =3，则Y 3=12×0+8×3−3=21； EY 3=33×827+29×1227+25×627+21×127=78327．显然利润期望值最大化是决策的依据． 在上述情形中EY 2=80227最大，由计算过程易知安排三名以上的维修工时利润还会下降，故选择安排二名维修工，此时实际利润最大． 【答案】(1)解：函数f(x)的定义域为{x|x >0}， f ′(x)=(x −a)ln x +(12x 2−ax)⋅1x +2a −32x=(x −a)ln x +12x −a +2a −32x=(x −a)ln x −(x −a) =(x −a)(ln x −1)，令f ′(x)=0，得x =a 或x =e ，因为0<a <e ，当0<x <a 或x >e 时，f ′(x)>0，f(x)单调递增； 当a <x <e 时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)的单调递增区间为(0,a)，(e,+∞)；单调递减区间为(a,e)． (2)解：取δ=min {1,2a}，则当x ∈(0,δ)时，12x −a <0，ln x <0，2a −34x >0， 所以f(x)=x (12x −a)ln x +x (2a −34x)>0；又因为0<a <e ，由(1)可知f(x)在(0,a)上单调递增，因此，当x ∈(0,a]，f(x)>0恒成立，即f(x)在(0,a]上无零点； 下面讨论x >a 的情况：①当0<a <e4时，因为f(x)在(a,e)上单调递减，在(e,+∞)上单调递增，且f(a)>0， f(e)=e (12e −a)+e (2a −34e)=e (a −e4)<0，f (e 2)=2e 2(12e 2−a)+e 2(2a −34e 2)=14e 4>0， 根据零点存在定理，f(x)有两个不同的零点； ②当a =e4时，由f(x)在(a,e)上单调递减，在(e,+∞)上单调递增，且f(e)=0，此时f(x)有唯一零点e ； ③若e4<a <e ，由f(x)在(a,e)上单调递减，在(e,+∞)上单调递增， f(x)≥f(e)=e (a −e4)>0，此时f(x)无零点；综上，若0<a <e4，f(x)有两个不同的零点；若a =e4，f(x)有唯一零点e ； 若e4<a <e ，f(x)无零点．(3)证明：不妨设x 1<x 2，由(2)知0<a <e4，且a <x 1<e <x 2， 构造函数F(x)=f(x)−f (e 2x),x ∈(a,e)，则F ′(x)=(x −a)(ln x −1)−(e 4x 3−a e 2x 2)(ln x −1) =(ln x −1)x 4−ax 3+e 2ax−e 4x 3，令g(x)=x 4−ax 3+e 2ax −e 4,x ∈(a,e)，因为当x ∈(a,e)时，x 2+e 2−ax >0，x 2−e 2<0，所以g(x)=x 4−ax 3+e 2ax −e 4=(x 2+e 2−ax )(x 2−e 2)<0．又ln x −1<ln e −1=0，所以F ′(x)>0恒成立，即F(x)在(a,e)上单调递增， 于是当a <x <e 时，F(x)<F(e)=0，即f(x)<f (e 2x )，因为x 1∈(a,e)，所以f (x 1)<f (e 2x 1)，又f (x 1)=f (x 2)，所以f (x 2)<f (e 2x 1)，因为x 2>e ，e 2x 1>e 2e=e ，且f(x)在(e,+∞)上单调递增，第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页所以由f (x 2)<f (e 2x 1)，可得x 2<e 2x1，即x 1x 2<e 2．【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题 利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的单调性 函数的零点【解析】（1）先求出f(x)的定义域，求得导函数f ′(x)=(x −a)(ln x −1)，令f ′(x)=0可解得x =a 或x =e ，分类讨论判断f ′(x)>0或f ′(x)<0，进而解得单调区间．（2）整理函数为f(x)=x (12x −a)ln x +x (2a −34x)>0,则令δ=min {1,2a}，当x ∈(0,δ)时，f(x)>0，则分别讨论0<x ≤a 和x >a 两种情况，利用零点存在性定理判断零点个数．（3）由（2）可知a <x 1<e <x 2，构造函数F(x)=f(x)−f (e 2x )，利用导数可得F(x)在(a,e)单调递增，则f(x)<f (e 2x )，整理即可得证． 【解答】(1)解：函数f(x)的定义域为{x|x >0}， f ′(x)=(x −a)ln x +(12x 2−ax)⋅1x +2a −32x=(x −a)ln x +12x −a +2a −32x=(x −a)ln x −(x −a) =(x −a)(ln x −1)，令f ′(x)=0，得x =a 或x =e ，因为0<a <e ，当0<x <a 或x >e 时，f ′(x)>0，f(x)单调递增； 当a <x <e 时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)的单调递增区间为(0,a)，(e,+∞)；单调递减区间为(a,e)． (2)解：取δ=min {1,2a}，则当x ∈(0,δ)时，12x −a <0，ln x <0，2a −34x >0， 所以f(x)=x (12x −a)ln x +x (2a −34x)>0；又因为0<a <e ，由(1)可知f(x)在(0,a)上单调递增，因此，当x ∈(0,a]，f(x)>0恒成立，即f(x)在(0,a]上无零点； 下面讨论x >a 的情况： ①当0<a <e4时，因为f(x)在(a,e)上单调递减，在(e,+∞)上单调递增，且f(a)>0， f(e)=e (12e −a)+e (2a −34e)=e (a −e4)<0， f (e 2)=2e 2(12e 2−a)+e 2(2a −34e 2)=14e 4>0，根据零点存在定理，f(x)有两个不同的零点； ②当a =e4时，由f(x)在(a,e)上单调递减，在(e,+∞)上单调递增，且f(e)=0， 此时f(x)有唯一零点e ； ③若e4<a <e ，由f(x)在(a,e)上单调递减，在(e,+∞)上单调递增， f(x)≥f(e)=e (a −e4)>0，此时f(x)无零点；综上，若0<a <e4，f(x)有两个不同的零点； 若a =e4，f(x)有唯一零点e ； 若e4<a <e ，f(x)无零点．(3)证明：不妨设x 1<x 2，由(2)知0<a <e4，且a <x 1<e <x 2，构造函数F(x)=f(x)−f (e 2x ),x ∈(a,e)， 则F ′(x)=(x −a)(ln x −1)−(e 4x3−ae 2x 2)(ln x −1)=(ln x −1)x 4−ax 3+e 2ax−e 4x 3，令g(x)=x 4−ax 3+e 2ax −e 4,x ∈(a,e)，因为当x ∈(a,e)时，x 2+e 2−ax >0，x 2−e 2<0，所以g(x)=x 4−ax 3+e 2ax −e 4=(x 2+e 2−ax )(x 2−e 2)<0．又ln x −1<ln e −1=0，所以F ′(x)>0恒成立，即F(x)在(a,e)上单调递增， 于是当a <x <e 时，F(x)<F(e)=0，即f(x)<f (e 2x )，因为x 1∈(a,e)，所以f (x 1)<f (e 2x1)，又f (x 1)=f (x 2)，所以f (x 2)<f (e 2x 1)，因为x 2>e ，e 2x 1>e 2e =e ，且f(x)在(e,+∞)上单调递增，所以由f (x 2)<f (e 2x 1)，可得x 2<e 2x 1，即x 1x 2<e 2．。

卜人入州八九几市潮王学校五大联盟2021届高三数学9月份联考试题理〔含解析〕一、选择题 1.集合，，那么中的元素的个数为()A.0B.1 C.2D.3 【答案】C 【解析】因为或者，所以，应选答案C 。

2.，为虚数单位，，那么()A.9B.C.24D.【答案】A 【解析】因为，所以，那么，应选答案A 。

3.幂函数的图象过点，那么函数在区间上的最小值是()A.B.0C.D.【答案】B 【解析】由题设，故在上单调递增，那么当x =12时取最小值g(12)=2−2=0，应选答案B 。

4.a =40.3，b =813，c =log0.3，这三个数的大小关系为()A.b <a <cB.a <b <cC.c <a <bD.c <b <a 【答案】C【解析】因为0<0.3<1⇒c =log 20.3<0,1<a =40.3=20.6<2=b =813，所以c <a <b ，应选答案C 。

5.设等比数列{a n}的前n项和为S n，且a4=2a2，那么S8S4=()A.4B.5C.8D.9【答案】B【解析】由题设q2=a4a2=2，S8=S4+q4S4=(1+4)S4=5S4，所以S8S4=5，应选答案B。

6.设x,y满足约束条件{y≥0x−y+1≥0x+y−3≤0，那么z=x−3y的最大值为()A.3B.−5C.1D.−1【答案】A【解析】画出不等式组{y≥0x−y+1≥0x+y−3≤0表示的区域如图，那么问题转化为求动直线y=13x−13z在y上的截距−13z的最小值的问题，结合图形可知：当动直线y=13x−13z经过点P(3,0)时，z max=3−3×0=3，应选答案A。

7.函数f(x)=Acos(ωx+φ)+1(A>0,ω>0,0<ω<π)的最大值为3，y=f(x)的图象的相邻两条对称轴间的间隔为2，与y轴的交点的纵坐标为1，那么f(13)=()A.1B.−1C.√32D.0【答案】D【解析】由题设条件可得A=2,T2=2⇒T=4，那么ω=2π4=π2，所以f(x)=2cos(π2x+φ)+1，将点P(0,1)代入可得f(x)=2cos(0+φ)+1=1⇒cosφ=0，即φ=kπ+π2,k ∈Z ，又0<φ<π⇒φ=π2，所以f(x)=2cos(π2x +π2)+1=2cos2π3+1=0，应选答案D 。

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学9月统一联考试题文〔含解析〕第一卷一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．〕A ={x |x <1}，B ={x |31x<}，那么A.{|0}A B x x =<B.A B R =C.{|1}A B x x =>D.AB =∅【答案】A 【解析】 ∵集合{|31}x B x =<∴{}|0B x x =<∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=<应选A2.i 为虚数单位，假设1i(,)1ia b a b =+∈-R ，那么b a =〔〕A.1C.2D.2【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算得到1112i a bi i +==+-，再由复数相等的概念得到参数值，进而得到结果. 【详解】i 为虚数单位，假设1(,)1a bi a b R i =+∈-，1112ia bi i +==+-根据复数相等得到1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.1212().22b a ==故答案为：C.【点睛】这个题目考察了复数除法运算，以及复数相等的概念，复数a bi +与i c d +相等的充要条件是a c =且b d =．复数相等的充要条件是化复为实的主要根据，多用来求解参数的值或者取值范围．步骤是：分别别离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程〔组〕求解． 3.5log 2a=，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，那么,,a b c 的大小关系为〔〕A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】利用10,,12等中间值区分各个数值的大小。

2020-2021学年广东省清远市某校高三（上）9月月考数学试卷一、选择题1. 已知集合A ={x ∈N |x 2−4x ≤0}，集合B ={x|x 2+2x +a =0}，A ∪B ={0,1,2,3,4,−3}，则A ∩B 等于( )A.{1,−3}B.{1}C.{−3}D.⌀2. 已知向量a →=(λ, −2)，b →=(1+λ, 1)，则“λ=1”是“a →⊥b →”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知命题q:∀x ∈R ，x 2>0，则( )A.命题¬q:∀x ∈R ，x 2≤0为假命题B.命题¬q:∀x ∈R ，x 2≤0为真命题C.命题¬q:∃x ∈R ，x 2≤0为假命题D.命题¬q:∃x ∈R ，x 2≤0为真命题4. 已知函数f(x)=ln (x +√1+x 2)，则不等式f(x −1)+f(x)>0的解集是( )A.{x|x >2}B.{x|x <1}C.{x|x >12}D.{x|x >0}5. 已知函数 f (x )={(12)x , x ≥2,f (x +1), x <2，则函数f(log 23)的值为( ) A.3B.13C.6D.166. 若函数f(x)=(k −1)a x −a −x (a >0且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g(x)=log a (x +k)的图象是图中的( ) A. B.C.D.7. 已知函数f(x)={e x ,x ≤0，ln x,x >0，g(x)=f(x)+x +a ，若g(x)存在2个零点，则a 的取值范围是( )A.[−1, 0)B.[0, +∞)C.[−1, +∞)D.[1, +∞)8. 已知函数f(x)=x +e x−a ，g(x)=ln (x +2)−4e a−x ，其中e 为自然对数的底数．若存在实数x 0，使f(x 0)−g(x 0)=3成立，则实数a 的值为( )A.−1−ln 2B.ln 2−1C.−ln 2D.ln 2 二、多选题“悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况，某人根据2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是( )A.月跑步里程逐月增加B.月跑步里程最大值出现在9月C.月跑步里程的中位数为6月份对应的里程数D.1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳如图所示，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，其中正确的结论为( )A.直线AM与C1C是相交直线B.直线AM与BN是平行直线C.直线BN与MB1是异面直线D.直线MN与AC所成的角为60∘已知三个数1，a，9成等比数列，则圆锥曲线x2a +y22=1的离心率为( )A.√5B.√33C.√102D.√3对于函数f(x)=ln xx，下列说法正确的有( )A.f(x)在x=e处取得极大值1eB.f(x)有两个不同的零点C.f(π)<f(3)<f(2)D.若f(x)<k−1x在(0, +∞)上恒成立，则k>1三、填空题若x，y满足约束条件{x−y+1≤0,x−2y≤0,x+2y−2≤0则z=x+y的最大值是________.曲线y=ln x上的点到直线x−y+1=0的最短距离是________.二项式(√x+2x2)n展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F作一条直线交抛物线于A，B两点，若|AF|=3，则|BF|=________．四、解答题在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a +b)(sin A −sin B)=c(sin C −sin B)．(1)求A ；(2)若a =4，求△ABC 面积S 的最大值．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =43(a n −1)，n ∈N ∗．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n =log 2a n ，记数列{1(b n −1)(b n +1)}的前n 项和为T n ，证明：13≤T n <12．为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：(1)试判断能否有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关；附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(2)为了宣传消防知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出6人组成宣传小组．现从这6人中随机抽取2人到校外宣传，求到校外宣传的同学中男生人数X 的分布列与数学期望．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v （米/单位时间），每单位时间的用氧量为(v10)3+1（升），在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9（升），返回水面的平均速度为v 2（米/单位时间），每单位时间用氧量为1.5（升），记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y（升）．(1)求y关于v的函数关系式；(2)若c≤v≤15(c>0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．参考答案与试题解析2020-2021学年广东省清远市某校高三（上）9月月考数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】交集及其运算并集及其运算【解析】由并集定义得−3∈B ，从而a =−3，进而B ={x|x 2+2x −3=0}={−3, 1}，由此能求出A ∩B ．【解答】解：集合A ={x ∈N |x 2−4x ≤0}={x ∈N |0≤x ≤4}={0,1,2,3,4}，又A ∪B ={0, 1, 2, 3, 4, −3}，∴ −3∈B ，∴ (−3)2+2×(−3)+a =0，解得a =−3，∴ B ={x|x 2+2x −3=0}={−3,1}，∴ A ∩B ={1}．故选B .2.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】解：向量a →=(λ, −2)，b →=(1+λ, 1)，若λ=1，则a →=(1, −2)，b →=(2, 1)，此时1×2−2×1=0，向量a →与向量b →垂直；若向量a →与向量b →垂直，则λ(1+λ)−2=0，即λ2+λ−2=0，解得：λ=−2或λ=1．∴ “λ=1”是“a →⊥b →”的充分不必要条件．故选A .3.【答案】D【考点】命题的否定【解析】本题考查全称命题的否定．【解答】解：命题q:∀x∈R，x2>0的否定是：¬q:∃x∈R，x2≤0，为真命题．故选D．4.【答案】C【考点】其他不等式的解法函数奇偶性的判断函数单调性的性质【解析】根据条件判断函数f(x)的奇偶性和单调性，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化进行求解即可．【解答】解：∵函数f(x)=ln(x+√1+x2)，∴f(−x)=ln(−x+√1+x2)=x+√1+x2=−ln(x+√1+x2)=−f(x)，∴f(x)为奇函数，∵f(x−1)+f(x)>0，∴f(x−1)>−f(x)=f(−x)，又f(x)为增函数，∴x−1>−x，解得x>12.故选C.5.【答案】D【考点】分段函数的应用对数的运算性质函数的求值【解析】【解答】解：∵log24=2，∴log23<2，∴f(log23)=f(log23+1)=f(log 26).又log 26>2，∴ f(log 26)=(12)log 26=2−log 26=16. 故选D ．6.【答案】A【考点】对数函数的图象与性质奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】根据函数是一个奇函数，函数在原点出有定义，得到函数的图象一定过原点，求出k 的值，根据函数是一个减函数，看出底数的范围，得到结果．【解答】解：∵ 函数f(x)=(k −1)a x −a −x (a >0且a ≠1)在R 上是奇函数，∴ f(0)=0，∴ (k −1)−1=0，∴ k =2，∴ f(x)=a x −a −x .又∵ f(x)在R 上为减函数，∴ 0<a <1，∴ g(x)=log a (x +2)在(−2,+∞)上为减函数且过点(−1,0).故选A .7.【答案】C【考点】函数的零点【解析】由g(x)=0得f(x)=−x −a ，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：由g(x)=0得f(x)=−x −a ，作出函数f(x)和y =−x −a 的图象如图：当直线y=−x−a的截距−a≤1，即a≥−1时，f(x)和y=−x−a的图象都有2个交点，即函数g(x)存在2个零点，故实数a的取值范围是[−1, +∞).故选C．8.【答案】A【考点】函数与方程的综合运用利用导数研究函数的单调性基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：f(x)−g(x)=x+e x−a−ln(x+2)+4e a−x．令y=x−ln(x+2)(x>−2)，则y′=1−1x+2=x+1x+2，故y=x−ln(x+2)在(−2,−1)上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增，所以当x=−1时，该函数有最小值为−1−0=−1．又因为e x−a+4e a−x≥4，当且仅当e x−a=4e a−x，即x=a+ln2时，等号成立，所以f(x)−g(x)≥3，要使f(x0)−g(x0)=3，需满足x0=a+ln2=−1，即a=−1−ln2．故选A．二、多选题【答案】B,D【考点】众数、中位数、平均数频率分布折线图、密度曲线【解析】【解答】解：在A中，2月跑步里程比1月的小，7月跑步里程比6月的小，10月跑步里程比9月的小，故A错误；在B中，月跑步里程最大的为9月，故B正确；在C中，月跑步平均里程的月份从高到低依次为：9月，10月，11月，6月，5月，8月，1月，⋯，2月，8月恰好在中间位置，故其中位数为8月份对应的里程数，故C错误；在D中，1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确．故选BD．【答案】C,D【考点】异面直线的判定异面直线及其所成的角【解析】在A中，直线AM与C1C是异面直线；在B中，直线AM与BN是异面直线；在C中，直线BN与MB1是异面直线；在D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线MN与AC所成的角为60∘．【解答】解：如图，A，∵直线CC1⊂在平面CC1D1D上，而点M在平面CC1D1D内，且不在直线CC1上，点A不在平面CC1D1D内，∴直线AM与直线CC1异面.故选项错误；B，取D1D的中点F，连结AF，可得AF//BN，又AF与AM相交，∴直线AM与BN不平行.故选项错误；C，取CD的中点G，连结BG，可得BG//MB1，又BG与BN相交，∴直线MB1与BN是异面直线.故选项正确；D，连结CD1，AD1，可得MN // CD1，则∠ACD1为直线MN与AC所成的角，易知△ACD1为等边三角形，即直线MN与AC所成的角为60∘.故选项正确．故选CD.【答案】B,C【考点】双曲线的标准方程椭圆的标准方程等比数列的性质【解析】由已知求得a值，然后分类讨论求得圆锥曲线x 2a +y22=1的离心率．【解答】解：∵三个数1，a，9成等比数列，∴a2=9，则a=±3．当a=3时，曲线方程为x 23+y22=1，表示椭圆，则长半轴长为√3，半焦距为1，离心率为√33；当a=−3时，曲线方程为y 22−x23=1，表示双曲线，实半轴长为√2，半焦距为√5，离心率为√52=√102．故选BC．【答案】A,D【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：A，f(x)的导函数为f′(x)=(ln x)′x−x′ln xx2=1−ln xx2，∴f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，∴f(x)在x=e处有极大值为f(e)=ln ee =1e.故选项正确；B，令f(x)=ln xx=0，得x=1，即f(x)只有一个零点. 故选项错误；C，∵f(2)=ln22=2ln24=ln44=f(4)，且函数f(x)在(e,+∞)上单调递减，∴f(3)>f(π)>f(4)，∴f(3)>f(π)>f(2) .故选项错误；D，若f(x)<k−1x在(0, +∞)上恒成立，则k>ln x+1x.设g(x)=ln x+1x，则g′(x)=−ln xx2，则g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，∴g(x)max=g(1)=1，∴k>1成立.故选项正确.故选AD.三、填空题【答案】1【考点】求线性目标函数的最值【解析】【解答】解：作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分（含边界）所示，直线z=x+y过点C(0,1)时，z=x+y取最大值为1．故答案为：1．【答案】√2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：设M(x0,ln x0)为曲线y=ln x上的任意一点，由题意得，曲线y的导函数为y′=1，x=1，令1x0得x0=1，则曲线y=ln x上与直线x−y+1=0平行的切线的切点坐标为M(1,0)，=√2.所以M点到直线x−y+1=0的距离d=√12+(−1)2故答案为：√2．【答案】180【考点】二项式系数的性质【解析】)n展开式中只有第六项的二项式系数最大，可得n=10．再利用通项公式即由(√x+2x2可得出．【解答】)n展开式中只有第6项的二项式系数最大，解：∵(√x+2x2∴n=10．∴(√x+2)10的通项公式为：x2C10r(√x)10−r(2)r=2r C10r x5−5r2，x2=0，令5−5r2解得：r=2．∴展开式的常数项为：22C102=180．故答案为：180．【答案】32【考点】抛物线的性质与抛物线有关的中点弦及弦长问题直线的点斜式方程【解析】此题暂无解析【解答】解：设A(x A,y A)，B(x B,y B)，点A在第一象限，则|AF|=x A+1=3，所以x A=2，则y A=2√2，=2√2，则直线AB的斜率为k=2√22−1则直线AB的方程为y=2√2(x−1).与抛物线方程联立整理得2x2−5x+2=0，所以x A+x B=52，所以x B=12，所以|BF|=x B+p2=12+1=32.故答案为：32.四、解答题【答案】解：∵(a+b)(sin A−sin B)=c(sin C−sin B)，∴根据正弦定理得：(a+b)(a−b)=c(c−b)，即a2−b2=c2−bc，∴b2+c2−a2=bc.根据余弦定理得：cos A=b2+c2−a22bc，∴cos A=bc2bc =12，即cos A=12.由于0<A<π，∴A=π3．(2)由(1)得：a2=b2+c2−bc，由于a2≥2bc−bc=bc，即bc≤16，∴△ABC面积S=12bc sinπ3=√34bc≤4√3，当且仅当b=c=4时等号成立，故△ABC面积S的最大值为4√3．【考点】基本不等式在最值问题中的应用余弦定理正弦定理【解析】（1）由已知根据正弦定理得a2−b2=c2−bc，利用余弦定理可求cos A的值，结合范围0<A<π，可求A的值．（2）根据余弦定理及基本不等式可求bc≤16，进而利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：∵(a+b)(sin A−sin B)=c(sin C−sin B)，∴根据正弦定理得：(a+b)(a−b)=c(c−b)，即a2−b2=c2−bc，∴b2+c2−a2=bc.根据余弦定理得：cos A=b2+c2−a22bc，∴cos A=bc2bc =12，即cos A=12.由于0<A<π，∴A=π3．(2)由(1)得：a2=b2+c2−bc，由于a2≥2bc−bc=bc，即bc≤16，∴△ABC面积S=12bc sinπ3=√34bc≤4√3，当且仅当b=c=4时等号成立，故△ABC面积S的最大值为4√3．【答案】(1)解：由题意得，S n=43(a n−1)①，当n=1时，a1=S1=43(a1−1)，解得a1=4.当n≥2时，S n−1=43(a n−1−1)②，①−②得，a n=43(a n−1)−43(a n−1−1)，整理得a n=4a n−1，则数列{a n}是首项为4，公比为4的等比数列，所以a n=4×4n−1=4n(n∈N∗).(2)证明：由(1)得b n=log2a n=log24n=2n，则1(b n+1)(b n−1)=1(2n+1)(2n−1)=12(12n−1−12n+1)，可得前n项和为T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)，易知数列{T n}为递增数列，所以T1≤T n<12，即13≤T n<12．【考点】数列与不等式的综合数列的求和数列递推式等比数列的通项公式【解析】（I ）运用数列的递推式，求得首项，再由n ≥2时，a n ＝S n −S n−1，结合等比数列定义和通项公式可得所求；(II)由(I)有b n =log 2a n =log 24n =2n ，求得1(b n +1)(b n −1)=1(2n+1)(2n−1)=12(12n−1−12n+1)，再由数列的求和：裂项相消求和，化简整理，结合数列的单调性和不等式的性质，即可得证． 【解答】(1)解：由题意得，S n =43(a n −1)①， 当n =1时，a 1=S 1=43(a 1−1)，解得a 1=4. 当n ≥2时，S n−1=43(a n−1−1)②，①−②得，a n =43(a n −1)−43(a n−1−1)， 整理得a n =4a n−1，则数列{a n }是首项为4，公比为4的等比数列， 所以a n =4×4n−1=4n (n ∈N ∗).(2)证明：由(1)得b n =log 2a n =log 24n =2n ， 则1(b n +1)(b n −1)=1(2n+1)(2n−1)=12(12n−1−12n+1)，可得前n 项和为T n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)， 易知数列{T n }为递增数列， 所以T 1≤T n <12， 即13≤T n <12． 【答案】 解：(1)因为K 2=120×(15×40−35×30)245×75×50×70≈2.057，且2.057<2.706，所以没有90%的把握认为，消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关. (2)用分层抽样的方法抽取时，抽取比例是645=215，则抽取女生为30×215=4（人），抽取男生为15×215=2（人）. 因此X 的可能取值为0，1，2， 则P(X =0)=C 42C 62=25，P(X =1)=C 41C 21C 62=815，P(X =2)=C 22C 62=115.所以X 的分布列为：数学期望EX =0×25+1×815+2×115=23． 【考点】离散型随机变量及其分布列 独立性检验古典概型及其概率计算公式 分层抽样方法【解析】(Ⅰ)根据公式计算K 2，对照数表即可得出概率结论；(Ⅱ)用分层抽样法求出抽取的男、女生数，由题意知X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列及数学期望EX ． 【解答】 解：(1)因为K 2=120×(15×40−35×30)245×75×50×70≈2.057，且2.057<2.706，所以没有90%的把握认为，消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关. (2)用分层抽样的方法抽取时，抽取比例是645=215， 则抽取女生为30×215=4（人），抽取男生为15×215=2（人）.因此X 的可能取值为0，1，2， 则P(X =0)=C 42C 62=25，P(X =1)=C 41C 21C 62=815，P(X =2)=C 22C 62=115.所以X 的分布列为：数学期望EX =0×25+1×815+2×115=23． 【答案】解：(1)由题意，下潜用时60v（单位时间），用氧量为[(v 10)3+1]×60v=3v 250+60v（升），水底作业时的用氧量为10×0.9=9（升）， 返回水面用时60v2=120v（单位时间）， 用氧量为120v×1.5=180v（升）， ∴ 总用氧量y =3v 250+240v+9(v >0)． (2)y′=6v 50−240v 2=3(v 3−2000)25v 2，令y ′=0得v =10√23，在0<v <10√23时，y ′<0，函数单调递减，在v >10√23时，y ′>0，函数单调递增，∴ 当c <10√23时，函数在(0,10√23)上递减，在(10√23，15)上递增，∴ 此时v =10√23时用氧量最少．当c ≥10√23时，[c, 15]上递增，此时v =c 时，总用氧量最少． 【考点】利用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的单调性 函数模型的选择与应用【解析】（1）分别计算潜入水底用时、用氧量；水底作业时用氧量；返回水面用时、用氧量，即可得到总用氧量的函数；（2）利用基本不等式可得v =10√23，时取等号，再结合c ≤v ≤15(c >0)，即可求得确定下潜速度v ，使总的用氧量最少． 【解答】解：(1)由题意，下潜用时60v （单位时间）， 用氧量为[(v 10)3+1]×60v=3v 250+60v（升），水底作业时的用氧量为10×0.9=9（升）， 返回水面用时60v2=120v（单位时间）， 用氧量为120v×1.5=180v（升）， ∴ 总用氧量y =3v 250+240v+9(v >0)． (2)y ′=6v50−240v 2=3(v 3−2000)25v 2，令y ′=0得v =10√23，在0<v <10√23时，y ′<0，函数单调递减，在v >10√23时，y ′>0，函数单调递增，∴ 当c <10√23时，函数在(0,10√23)上递减，在(10√23，15)上递增，∴此时v=10√23时用氧量最少．3时，函数在[c, 15]上递增，此时v=c时，总用氧量最少．当c≥10√2。

2021届全国卓越联盟新高考模拟试卷（九）理科数学试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|A x x x =≤，1|1B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A. (,1]-∞B. [0,1]C. (0,1]D. (,1](0,1]-∞⋃【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式和分式不等式的解法可求得集合,A B ，根据交集定义可求得结果. 【详解】{}[]2|0,10A x x x -=≤=，(]11|0|00,1x x B x x x x --⎧⎫⎧⎫=≥=≤=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， (]0,1A B ∴=.故选：C .【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到一元二次不等式和分式不等式的求解，属于基础题. 2.已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2z i i +=，则z =（ ）A. 2B. 1i +C. 1i -+D. 1i - 【答案】B【解析】【分析】将(1)2z i i +=化为21i z i=+，再利用复数的代数形式的乘除法运算化简，即可得到答案． 【详解】因为(1)2z i i +=，所以22(1)2211(1)(1)2i i i i z i i i i -+====+++-． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，属于基础题．3.“01x <<”是“2sin sin x x <”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先将2sin sin x x <化简可得0sin 1x <<，然后根据充分条件和必要条件即可得到答案【详解】由2sin sin x x <得0sin 1x <<， 因为sin y x =在(0,1)上单调递增，所以0sin sin1x <<，而sin11<，所以0sin 1x <<，故充分性成立；而当0sin 1x <<时，22k x k πππ<<+且2,2πx k πk Z ≠+∈， 故必要性不成立．故选：A ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，属于基础题．4.运行如图所示的程序框图，设输出的数据构成集合A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数a y x =在(0,)+∞上是增函数的概率为（ ）A. 12B. 35C. 45D. 34【答案】A【解析】【分析】按照程序框图运行程序即可得到集合A ，根据幂函数单调性可确定满足条件的a 的所有可能的取值，根据古典概型概率公式计算可得结果.【详解】按照程序框图运行程序，输入1i =-，满足3i <，则1y =-，0i =，满足3i <；则0y =，1i =，满足3i <；则3y =，2i =，满足3i <；则8y =，3i =，不满足3i <，框图运行结束，{}1,0,3,8A ∴=-.当3a =或8时，a y x =在()0,∞+上是增函数，∴所求概率2142p ==. 故选：A .【点睛】本题以程序框图和幂函数单调性为载体，考查了古典概型概率问题的求解；关键是能够熟练掌握幂函数的解析式与该函数在第一象限内图象单调性之间的关系.5.已知向量()3,1a =，()b 0,1=-，(),3c k =，若()2c a b -⊥，则k 等于 A. 23 B. 2 C. -3D. 1 【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直坐标表示得方程，解得k .【详解】因为()2a b c -⊥，233a b -=，，所以3?330k 3k ，+==-,选C.【点睛】向量平行：1221//a y b x y x ⇒=，向量垂直：121200a b x x y y ⋅=⇒+=，向量加减： 1212(,).a b x x y y ±=±±6.已知斜率为2的直线l 过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则p ＝（ ）A. 1B. 2C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】 设直线l 的方程为x ＝12y 2p +，与抛物线联立利用韦达定理可得p ． 【详解】由已知得F （2p ，0），设直线l 的方程为x ＝12y 2p +，并与y 2＝2px 联立得y 2﹣py ﹣p 2＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点C （x 0，y 0），∴y 1+y 2＝p ，又线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则y 012=（y 1+y 2）＝12p =，所以p=2, 故选C ．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题． 7.我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如图所示，则其体积为（ ）A. 843π+B. 883π+C. 84π+D. 88π+【答案】C【解析】【分析】根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，结合三视图求出相应的长度，利用柱体和椎体的体积公式，即可得到答案．【详解】根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，半圆柱的底面半圆的直径为4，高为2，故半圆柱的体积为212242ππ⨯⨯⨯=， 三棱柱的底面三角形的一边长为4，该边上的高为2，该三棱柱的高为2， 故该三棱柱体积为142282⨯⨯⨯=， 所以该“柱脚”的体积为84π+．故选：C ．【点睛】本题主要考查对三视图所表达的空间几何体的识别及几何体体积的计算．由三视图还原几何体，要弄清楚几何体的特征，把三视图中的数据、图形特点准确地转化为对应几何体中的线段长度、图形特点，再进行计算．8.将函数()sin 22f x x x =+的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位，再向上平移1个单位，所得图象经过点,18π⎛⎫⎪⎝⎭，则ϕ的最小值为（ ） A. 512π B. 712π C. 524π D. 724π 【答案】D【解析】【分析】 先逆用两角和的正弦公式化简可得()2sin(2)3f x x π=+，再根据sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，可得变换后的解析式为2sin(22)13πy x φ=+-+，将点,18π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解方程并结合0ϕ>，即可求出ϕ的最小值．【详解】()sin 22f x x x =+12(sin 22)2x x =+ 2(sin 2cos cos 2sin )33ππx x =+2sin(2)3x π=+ 所以将函数()f x 的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位，得到的函数图象对应的函数解析式为2sin 2()2sin(22)33ππy x φx φ⎡⎤=-+=+-⎢⎥⎣⎦， 再向上平移1个单位，得到的函数图象对应的函数解析式为2sin(22)13πy x φ=+-+， 因为所得图象经过点,18π⎛⎫⎪⎝⎭，所以2sin(22)1183ππφ⨯+-+=， 所以7sin(2)012πφ-=， 所以72,12=πφk πk Z -∈， 所以7,224k ππφk Z =-+∈，又0ϕ>， 所以当0k =时，ϕ取得最小值724π． 故选：D ．【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式的逆用，三角函数图象的平移变换及三角方程的解法．9.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的在、右焦点分别12,F F ，过1F 作222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若1245F MF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）A. 2B. 3 【答案】D【解析】【分析】设切线与圆222x y a +=切于点N ，连结ON ，则1ON F M ⊥，过2F 作21F A F M ⊥，垂足为A ，又O 为12F F的中点，所以ON 为12F AF ∆的中位线，结合图形可求得1||22MF b a =+，2||MF =，再由双曲线的定义列出方程，即可求出双曲线的离心率．【详解】设切线与圆222x y a +=切于点N ，连结ON ，则1ON F M ⊥，过2F 作21F A F M ⊥，垂足为A ，因为1ON F M ⊥，21F A F M ⊥，所以2//ON AF ，又O 为12F F 的中点，所以ON 为12F AF ∆的中位线，又||ON a =，所以2||2AF a =，在2AMF ∆中，1245F MF ∠=︒，所以2||22MF a =，||2AM a =，在1Rt F NO ∆中，1||OF c =，||ON a =，所以2211||||||F N OF ON b =-=，所以1||2AF b =，所以11||||||22MF AF AM b a =+=+，由双曲线的定义可得12||||2MF MF a -=，即22222b a a a +-=， 所以2b a =，所以222223c a b a a a +=+=， 所以33c a e a === 故选：D ．【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质中的离心率的求解，关键是利用平面几何的知识求出12||||MF MF ，，再利用双曲线的定义找到问题解决的切入点．10.有一个长方形木块，三个侧面积分别为8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，则该正四面体模型棱长的最大值为（ ）A. 2B. 22C. 4D. 42【答案】B【解析】【分析】先求长方体从同一顶点出发的三条棱的长度，从而可得正四面体模型棱长的最大值.【详解】设长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为,,a b c ，则81224ab ac bc =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故246a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，若能从该长方体削得一个棱长最长的正四面体模型，则该四面体的顶点必在长方体的面内，过正四面体的顶点作垂直于长方体的棱的垂面切割长方体，含正四面体的几何体必为正方体， 故正四面体的棱长为正方体的面对角线的长，而从长方体切割出一个正方体，使得面对角线的长最大，需以最小棱长2为切割后的正方体的棱长切割才可，故所求的正四面体模型棱长的最大值故选：B.【点睛】本题考查正四面体的外接，注意根据外接的要求确定出顶点在长方体的侧面内，从而得到正四面体的各顶点为某个正方体的顶点，从而得到切割的方法，本题属于中档题.11.已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()0,2A ，2220OB OA +=，若平面内点P 满足3PB PA =，则PO 的最大值为（ ）A. 7B. 6C. 5D. 4 【答案】C【解析】【分析】 设(),P x y ，(),B m n ，根据3PB PA =可得262m x n y =-⎧⎨=-⎩，再根据2220OB OA +=可得点P 的轨迹，它一个圆，从而可求PO 的最大值.【详解】设(),P x y ，(),B m n ，故(),PB m x n y =--，(),2PA x y =--.由3PB PA =可得363m x x n y y -=-⎧⎨-=-⎩，故262m x n y =-⎧⎨=-⎩， 因为2220OB OA +=，故()22443420x y +-+=，整理得到()2234x y +-=，故点P 的轨迹为圆，其圆心为()0,3，半径为2， 故PO 的最大值为325+=，故选：C.【点睛】本题考查坐标平面中动点的轨迹以及圆中与距离有关的最值问题，一般地，求轨迹方程，可以动点转移法，也可以用几何法，而圆外定点与圆上动点的连线段长的最值问题，常转化为定点到圆心的距离与半径的和或差，本题属于中档题.12.已知,A B 是函数2,(),x a x e x a f x e x a --⎧≥=⎨<⎩（其中0a >）图象上的两个动点，点(,0)P a ，若PA PB ⋅的最小值为0，则函数()f x 的最小值为（ ） A. 21e - B. 1e - C. 21e D. 1e【答案】D【解析】【分析】由指数函数单调性可确定()()min f x f a =，当PA PB ⋅最小时，可确定,A B 分别为过P 作()f x 两段图象的切线，利用过某一点曲线切线的求解方法可构造方程组求得a ，进而得到所求最小值.【详解】由解析式可知：()f x 在(),a -∞上单调递减，在[),a +∞上单调递增，()()min a f x f a e -∴==.设过点(),0P a 的直线()1y k x a =-与()f x 在(),a -∞上的图象相切，设切点坐标为()11,M x y ，则()1111111x x k e y e y k x a --⎧=-⎪=⎨⎪=-⎩，解得：11x a =-，11a y e -=， 设过点(),0P a 的直线()2y k x a =-与()f x 在(),a +∞上的图象相切，设切点坐标为()22,N x y ，同理可求得：21x a =+，12a y e -=，,A B 是()f x 图象上的点，且PA PB ⋅的最小值为0，0PM PN ∴⋅=，又()11,a PM e -=-，()11,a PN e -=，2210a PM PN e -∴⋅=-+=，解得：1a =，()1min 1f x e e-∴==. 故选：D .【点睛】本题考查函数最值的求解问题，涉及到导数几何意义的应用；关键是能够通过平面向量数量积的定义将问题转化为过某一点的曲线切线方程的求解问题，充分体现了转化与化归思想在考试中的应用.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数,x y 满足约束条件2060230x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则23z x y =-的最小值是_____．【答案】8-.【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，23z x y =-表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最值即可． 【详解】实数,x y 满足约束条件2060230x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩的可行域如图：目标函数23z x y =-，点()24A ，，z 在点A 处有最小值：22348z =⨯-⨯=-，故答案为-8．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法．14.已知向量,a b 的夹角为45︒，若(1,1)a =，||2b =，则|2|a b +=______． 【答案】5【解析】【分析】 根据向量数量积运算公式可知222|2|(2)44a b a b a a b b +==+⋅++，只需根据已知求出a b ⋅，即可求出|2|a b +的值．【详解】因为(1,1)a =，所以22||112a =+=,a b 的夹角为45︒，所以||||cos 452222a b a b ⋅==⨯=，所以222|2|(2)44=42+4a b a b a a b b +=+=+⋅+⨯故答案为：【点睛】本题主要考查向量模的求法，属于基础题 15.记7270127(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++++，则126a a a ++⋯+=______.【答案】126 【解析】 【分析】分别令0x =、1x =-，可求得各项系数和与常数项；利用()()77211x x +=++，得到展开式通项公式，求得7a ，进而求得结果.【详解】令0x =得：701272a a a a +++⋅⋅⋅+=；令1x =-得：7011a ==；()()77211x x +=++，∴展开式通项为()71r rC x +，令7r =，则71a =，7126211126a a a ∴++⋅⋅⋅+=--=.故答案为：126.【点睛】本题考查二项式定理中与各项系数和、指定项系数有关的问题的求解；在求解与各项系数和有关的问题时，通常采用赋值法来快速求得结果.16.已知ABC ∆的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且3cos cos 5a C c Ab -=，则tan()A C -的最大值为______． 【答案】34【解析】 【分析】利用正弦定理将3cos cos 5a C c A b -=化为3sin cos sin cos sin 5A C C AB -=，然后利用三角形内角和定理将B 用()πAC -+代换，再利用两角和的正弦公式展开整理可得2sin cos 8cos sin A C A C =，再由同角三角函数关系可得tan 4tan A C =，将其代入tan()A C -展开式消去tan A ，结合基本不等式即可求出tan()A C -的最大值．【详解】因为3cos cos 5a C c A b -=，由正弦定理得3sin cos sin cos sin 5A C C AB -=， 又()B AC π=-+，所以3sin cos sin cos sin[()]5A C C A A C -=-+π， 即3sin cos sin cos sin()5A C C A A C -=+， 所以5sin cos 5sin cos 3sin cos 3cos sin A C C A A C A C -=+， 所以2sin cos 8cos sin A C A C =，当cos 0C ≤或cos 0A ≤时，等式不成立，所以,(0,)2A C π∈，所以tan 4tan A C =， 所以2tan tan 3tan 3tan()11tan tan 14tan 4tan tan A C CA C A C CC C--===+++又tan 0C >，所以14tan tan C C +≥， 当且仅当14tan tan C C =，即1tan 2C =时，等号成立， 所以33tan()144tan tan A C C C-=≤+，所以tan()A C -的最大值为34． 故答案为：34【点睛】本题主要考查正弦定理，两角差的正切公式及基本不等式的应用，需要注意的是在利用基本不等式时，要根据条件确定tan 0C >．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：（共60分）17.设等比数列{}n a 的公比为q ，n S 是{}n a 的前n 项和，已知12a +，22a ，31a +成等差数列，且3241S a =-，1q >.（1）求{}n a 的通项公式； （2）记数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，试问是否存在*n ∈N 使得3n T <？如果存在，请求出n 的值：如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）12n n a （2）存在；当1,2,3n =时，3n T <【解析】 【分析】（1）根据等差中项的性质和等比数列通项公式可构造出方程组求得1a 和q ，进而得到所求通项公式； （2）采用错位相减法可求得n T ，可证得{}n T 为递增数列，结合31134T =<，41334T =>可确定结果. 【详解】（1）12a +，22a ，31a +成等差数列，213134213a a a a a ∴=+++=++，即211143a q a a q =++…①，由3241S a =-可得：2111141a a q a q a q ++=-，即2111310a a q a q -++=…②，联立①②及1q >可解得：11a =，2q，12n na .（2）由（1）知：12n n nb -=， 则01211232222n n nT -=+++⋅⋅⋅+，123111*********n n n n n T --=+++++⋅⋅⋅， 两式作差得：012111111222222n n n n T -=++++-⋅⋅⋅1122212212n n n n n -+=-=--， 1242n n n T -+∴=-.当2n ≥时，112121440222n n n n n n n nT T ----++-=--+=>， {}()*n T n N ∴∈单调递增.而113T =<，223T =<，31134T =<，41334T =>，∴当1,2,3n =时，3n T <.【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解、错位相减法求解数列的前n 项和、利用数列的单调性求解参数值的问题；关键是能够通过n T 的形式确定数列{}n T 的单调性，进而避免将问题变为解不等式的问题. 18.某少儿游泳队需对队员进行限时的仰卧起坐达标测试.已知队员的测试分数y 与仰卧起坐个数x 之间的关系如下：0,03060,304080,4050100,50x x y x x ≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩；测试规则：每位队员最多进行三组测试，每组限时1分钟，当一组测完，测试成绩达到60分或以上时，就以此组测试成绩作为该队员的成绩，无需再进行后续的测试，最多进行三组；根据以往的训练统计，队员“喵儿”在一分钟内限时测试的频率分布直方图如下：（1）计算a 值；（2）以此样本的频率作为概率，求①在本次达标测试中，“喵儿”得分等于80的概率； ②“喵儿”在本次达标测试中可能得分的分布列及数学期望. 【答案】（1）0.03a =；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）频率分布直方图中所有频率之和为1，由此可求得a ；（2）①由频率分布直方图可得一次测试得分的分布列，三组测试中，“喵儿”得80分为事件A ，则“喵儿”可能第一组得80分，或者第二组得80分，或者第三组得80分，由于三组相互独立，从而可计算概率，②仿照①可计算出三组测试其得分的概率，得分布列，再由期望公式计算出期望．【详解】（1）0.010.010.05)101,0.03a a +++⨯=∴=（ （2）由直方图可知，“喵儿”的得分ξ情况如下：ξ0 60 80 100p0.10.30.5 0.1①在本次的三组测试中，“喵儿”得80分为事件A ，则“喵儿”可能第一组得80分，或者第二组得80分，或者第三组得80分，则()0.50.10.50.10.10.50.555P A =+⨯+⨯⨯=（6分） ②(0)0.10.10.10.001P δ==⨯⨯=，(60)P δ=0.30.10.30.10.10.30.333+⨯+⨯⨯=，(100)10.0010.3330.5550.111P δ==---=，分布列如下：δ0 60 80 100p0.0010.333 0.5550.111数学期望()00.001600.333800.5551000.11175.48E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查频率分布直方图，考查相互独立事件的概率，考查随机变量的分布列和期望．解题时依据概率公式计算出概率是解题关键. 19.如图，在三棱柱ADE BCF 中，侧面ABCD 是为菱形，E 在平面ABCD 内的射影O 恰为线段BD 的中点.（1）求证：AC CF ⊥；（2）若60BAD ∠=︒，AE AB =，求二面角E BC F --的平面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）17【解析】 【分析】（1）连接AC ，由线面垂直的判定方法可证得AC ⊥面BED ，从而得到AC ED ⊥，根据平行关系可证得结论；（2）以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法可求得结果. 【详解】（1）证明：如图，连接AC ，易知ACBD O =.∵侧面ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥.由射影定义可知：EO ⊥面ABCD ，又AC ⊂面ABCD ，∴EO AC ⊥， 而EOBD O =，且EO ，BD ⊂面BED ，∴AC ⊥面BED ，ED ⊂平面BED ，∴AC ED ⊥.∵//CF ED ，∴AC CF ⊥.（2）由（1）知：AO BO ⊥，OE AO ⊥，OE BO ⊥，，于是以O 为坐标原点，OA ，OB ，OE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：不妨设2AB AE ==.∵在菱形ABCD 中，60BAD ∠=，∴3AO =1BO =. 在Rt EAO △中，221EO EA AO =-=.于是()0,0,0O，)3,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,1E ，()3,0,0C -，∴()3,1,0AB =-，()0,1,1BE =-，()3,1,0BC =--. 又由EF AB =，可解得：()3,1,1F ，()3,0,1BF ∴=-. 设平面BCE 的法向量为()1111,,n x y z =，则由10n BE ⋅=，10n BC ⋅=得1111030y z x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令11y =，则13x =-，11z =，即13n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.同理可得平面BCF 的法向量231,1n ⎛⎫=-⎪⎝⎭. ∴1212121cos ,7n n n n n n ⋅<>==-⋅，二面角E BC F --的平面角为锐角，∴所求的余弦值为17. 【点睛】本题考查立体几何中线线垂直关系证明、空间向量法求解二面角的问题；立体几何需要证明线线垂直时，通常采用证明线面垂直的方式，利用线面垂直的性质得到线线垂直结论.20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>A B 、分别为E 的左顶点和上顶点，若AB 的中点的纵坐标为12.12,F F 分别为E 的左、右焦点. （1）求椭圆E 的方程；（2）设直线2:2m L x my =+与E 交于,M N 两点，12MF F △，12NF F △的重心分别为,G H .若原点O 在以GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=；（2）()2,2- 【解析】 【分析】（1）根据离心率、中点坐标和椭圆,,a b c 关系可构造方程组求得,,a b c ，进而得到椭圆方程；（2）将L 方程与椭圆方程联立，得到韦达定理的形式；根据重心的坐标表示和点与圆的位置关系可得到0OG OH ⋅<，代入韦达定理的结论可构造不等式求得m 的范围，验证后确定满足>0∆即可.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意有(),0A a -，()0,B b ，c e a ∴==，且122b =，结合222a b c =+，解得：2a =，1b =， ∴椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程222214m x my x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 得：()42234404m m y m y +++-=，由>0∆可得：424160m m --<，解得：22m <+则31224m y y m -+=+，()41221644m y y m -=+，由题意得：12MF F ∆，12NF F ∆的重心11,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，22,33x y H ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵原点O 在以GH 为直径的圆内，∴0OG OH ⋅<，即121209x x y y +<.∵()()34212121212124m mx x y y m y y y y +=++++()()4334222161024444m m m m m m m ⎛⎫--=+++< ⎪++⎝⎭，()4221616044m m m --∴<+， 变形为()()225440m m +-<，解得：24m <，满足22m <+22m ∴-<<， 即实数m 的取值范围为()2,2-.【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、点与圆的位置关系的应用等知识；解决直线与椭圆的应用问题常常将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理来表示出已知中的等量或不等关系，进而构造关于参数的等式或不等式求得结果.21.已知函数2()(1)ln ()f x a x x a =-+∈R ，且()f x 在(0,)+∞上满足()0f x ≤恒成立. （1）求实数a 的值； （2）令()()f x axg x x x a+=⋅-在(,)a +∞上的最小值为m ，求证：11()10f m -<<-.【答案】（1）2a =（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分别在0a ≤和0a >两种情况下讨论导函数的正负，得到原函数单调性，由此可知0a ≤时不合题意，并求出0a >时，()()max f x f a =，则只需()max 0f x ≤即可，令()22ln 22ln a a a ϕ=-+-，利用导数可求得()0a ϕ≥，结合()20ϕ=，由此可确定仅有2a =满足条件；（2）利用导数和零点存在性定理可确定函数()g x 的单调性，得到()()0min g x g x =，由()08,9x ∈可化简得到0m x =，代入()f x 解析式即可证得结论.【详解】（1）当0x >时，原函数可化为：()()12ln f x a x x =-+，则()22axf x a x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，()10f =，∴当1x >时，()()10f x f >=，不合题意；当0a >时，()2a x a f x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=， ∴当20x a<<时，()0f x '>；当2x a >时，()0f x '<，()f x ∴在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()f x 在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，即()max 222ln 22ln f x f a a a ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭.∴要使()0f x ≤在()0,∞+时恒成立，则只需()max 0f x ≤，即22ln22ln 0a a -+-≤.令()22ln 22ln a a a ϕ=-+-，则()221a a a aϕ-'=-=， ∴当02a <<时，()0a ϕ'<；当2a >时，()0a ϕ'>， 即()a ϕ在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增. 又()20ϕ=，∴满足条件的a 只有2，即2a =. （2）由（1）知：2a =，()222ln f x x x ∴=-+，()()()22ln 22f x ax x x xg x x x x a x ++∴=⋅=>--，()()()222ln 42x x g x x --'∴=-. 令()2ln 4s x x x =--，则()221x s x x x-'=-=， 2x >，()0s x ∴'>，即()s x 在()2,+∞上单调递增；又()846ln 20s =-<，()954ln30s =->，()08,9x ∴∃∈，使得()00s x =，即0042ln x x =-，且当02x x <<时，()0s x <；当0x x >时，()0s x >， 即()g x 在()02,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增，()()20000000min0022ln 222x x x x x g x g x x x x +-∴====--，即0m x =，()()()0000222ln 211,10f m f x x x x ∴==-+=--∈--，即()1110f m -<<-.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数解决恒成立问题、证明不等式；在证明不等式的过程中，由于无法确定方程准确的根，此时常采用零点存在定理锁定零点所在区间，进而得到所需的等量关系.（二）选考题：共10分.请考生在第2、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系xOy ，(2,0)P ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2ρ=，点(,)(0)Q ρθθπ为C 上的动点，M 为PQ 的中点．（1）请求出M 点轨迹1C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(1,)A π若直线l 经过点A 且与曲线1C 交于点,E F ，弦EF 的中点为D ，求||||||AD AE AF ⋅的取值范围．【答案】(1)22(1)1(0)x y y -+=≥；(2)233⎛⎤⎥ ⎝⎦【解析】 【分析】(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为224x y +=，可得点()00,Q x y 满足224(0)x y y +=≥．利用相关点法即可得出M 点轨迹1C 的直角坐标方程；(2)根据已知条件求出直线l 的参数方程，把直线l 的参数方程代入1C ，利用根与系数关系求出1212,t t t t +，由直线l 的参数方程中t 的几何意义可将||||||AD AE AF ⋅用12,t t 表示，再将1212,t t t t +代入即可求出||||||AD AE AF ⋅的取值范围． 【详解】(1)因为C 的直角坐标方程为224x y +=，所以点()00,Q x y 满足224(0)x y y +=≥． 设(,)M x y ，因为M 为PQ 的中点，(2,0)P 所以022x x +=，02y y =，所以022x x =-，02y y =， 所以22(22)(2)4(0)x y y -+=≥，整理得1C 的轨迹方程为22(1)1(0)x y y -+=≥．(2)因为直线l 过点(1,0)A -， 所以直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数，θ为倾斜角，0,6πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭) 代入1C 得24cos 30t t -+=θ，所以124cos t t +=θ，123t t =，所以1212||2cos 22,||||333t t AD AM AN t t θ+⎛⎤==∈ ⎥⋅⋅⎝⎦． 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线l 的参数方程中参数t 的几何意义，本题中求||||||AD AE AF ⋅的关键是联立直线的参数方程与1C 的直角坐标方程的基础上，利用直线的参数方程的几何意义并结合根与系数关系求解．23.已知0a >，0b >．(1)若关于x 的不等式2|3||1|3x x a a +---对任意实数x 都成立，求实数a 的最小值；(2)a b ++【答案】(1)最小值为4；(2)见解析【解析】【分析】(1) 不等式2|3||1|3x x a a +---对任意实数x 都成立，只需()2max |3||1|3x x a a +---即可，将|3||1|x x +--化为|3||1|x x +--利用绝对值不等式即可求出()max |3||1|4x x +--=，再解不等式234a a -≥，即可求出实数a 的最小值；(2)作差后通分并因式分解，即可确定差式的符号，从而证得结论．【详解】(1)因为|3||1||3||1||(3)(1)|4x x x x x x +--=+--≤++-=，所以234a a -≥，解得4a ≥或1a ≤-，又0a >，所以4a ≥，所以a 的最小值为4．(2)===20=≥+≥． 【点睛】本题主要考查恒成立问题处理方法，绝对值不等式的应用，一元二次不等式的解法及作差法证明不等式．作差法证明不等式关键是将差式进行因式分解变形为几个因式积的形式，以便好判断差式的符号．。

河南省名校联盟2020-2021学年高三9月质量检测数学（理）试题一、单选题(★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2. 设（为虚数单位），则（）A．1B．C．D．(★) 3. 某工厂生产，，三种不同型号的产品，某月生产这三种产品的数量之比依次为，现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本，已知 B种型号产品抽取了60件，则（）A．3B．4C．5D．6(★) 4. 在展开式中，含的项的系数是（）A．220B．-220C．100D．-100(★★★) 5. 已知，则（）A．B．C．D．(★★) 6. 2019年北京世园会的吉祥物“小萌芽”“小萌花”是一对代表着生命与希望、勤劳与美好、活泼可爱的园艺小兄妹.造型创意来自东方文化中百子图的“吉祥娃娃”，通过头饰、道具、服装创意的巧妙组合，被赋予了普及园艺知识、传播绿色理念的特殊使命.现从5张分别印有“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”“杜鹃花”的这5个图案的卡片（卡片的形状、大小、质地均相同）中随机选取3张，则“小萌芽”和“小萌花”卡片都在内的概率为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 已知是奇函数，且实数满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★) 8. 将函数的图象向左平移个单位长度，若所得图象与原图象关于轴对称，则（）A．B．0C．D．(★★★)9. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 10. 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，母线与底面所成角的正切值为．打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（取，精确到0.1）A．B．C．D．(★★) 11. 在中，内角，，的对边分别为，，，且三边互不相等，若，，，则的面积是（）A．B．C．D．1(★★★★) 12. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 已知实数，满足不等式组则的最小值为_______．(★★) 14. 若平面向量与的夹角为，，，则________.(★★★) 15. 已知双曲线的左右焦点为、，过左焦点作垂直于轴的直线交双曲线的两条渐近线于、两点，若是钝角，则双曲线离心率的取值范围是______.(★★★) 16. 已知半径为4的球面上有两点，，且，球心为，若球面上的动点满足：与所在截面所成角为60°，则四面体的体积的最大值为________.三、解答题(★★) 17. 已知等差数列中，，公差大于0，且是与的等比中项. （1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．(★★★) 18. 在棱长为1的正方体中，为的中点，过，，的平面交于点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.(★★★) 19. 某学校高三甲、乙两班同学进行拔河比赛，各局比赛相互之间没有影响.（1）若单局比赛甲班胜乙班的概率为，比赛采用“3局2胜”制，即先胜两局的班获胜，那么甲、乙两班获胜的概率是否相等?并说明理由；（2）设单局比赛甲班胜乙班的概率为，若比赛6局，甲班恰好获胜3局，当甲班恰好获胜3局的概率最大时，求的值；（3）若单局比赛甲班胜乙班的概率为（2）中的甲班恰好获胜3局的概率取最大值时的值，比赛采用“5局3胜”制，设为本场比赛的局数，求的数学期望.(★★★) 20. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形的面积为，坐标原点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆上一点作两条直线分别与椭圆相交于点，（异于点），试判断以和为对角线的四边形是否为菱形?若是，求出直线的方程；若不是，请说明理由.(★★★★) 21. 已知函数.（1）判断方程的根个数；（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.(★★★) 22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；以原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求直线和曲线的直角坐标方程；（2）设直线和曲线交于，两点，直线，，的斜率分别为，，，求证：．(★★★) 23. 已知函数．（1）当时，解不等式．（2）若对任意的，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．。

卜人入州八九几市潮王学校四校联考2021届高三数学9月阶段性考试试题〔含解析〕一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的. 1.假设“01x <<〞是“()()20x a x a ⎡⎤--+≤⎣⎦〞的充分不必要条件，那么实数a 的取值范围是〔〕A.[]1,0-B.()1,0-C.(][),01,-∞⋃+∞D.(][),10,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】 试题分析：记{}{}|01,|2A x x B x a x a =<<=≤≤+，因为p 是q 的充分而不必要条件，所以A ÜB ，所以0,{21a a ≤+≥，解得10a -≤≤.应选A.考点：充分条件、必要条件、充要条件.p ，q 相应的集合：p ：{}|()A x p x =成立，q ：{}|()B x q x =成立，那么：①假设A B ⊆，那么p 是q 的充分条件；假设A ÜB 时，那么p 是q 的充分不必要条件；②假设B A ⊆，那么p 是q 的必要条件；假设B ÜA 时，那么p 是q 的必要不充分条件；③假设A B ⊆且B A ⊆，即A B =时，那么p 是q 的充要条件.此题考察充分条件、必要条件、充要条件的判断，其中分别求出满足A ÜB 的a 的取值范围是解答此题的关键.属于根底题.x ，y满足不等式组021000x y x y y ⎧-≥⎪--≤⎨+-≥那么2x ＋y 的最大值是A.11B.23C.26D.30【答案】D【解析】【详解】满足不等式组021003530x y x y x y ⎧-≥⎪--≤⎨⎪+-≥⎩,可行域如下列图，设2z x y =+,即2y x z =-+，平移直线，由图象可知当直线经过点D 时， 直线2y x z =-+的截距最大，此时最大，由02100x y x y -=⎧⎨--=⎩，解得1010x y =⎧⎨=⎩，即(10,10)D ，代入得230zx y =+=，所以最大值为30，应选D.点评：此题考察的知识点是简单的线性规划，其中角点法是解答线性规划小题最常用的方法，一定要纯熟掌握． 〕 A.假设平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=，那么l γ⊥B.假设平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC.假设平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD.假设平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β【答案】D 【解析】 【分析】根据线面垂直的断定定理，与面面垂直的性质定理判断即可。