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简介多元线性回归分析是一种统计技术，用于评估两个或多个自变量与因变量之间的关系。
它被用来解释基于自变量变化的因变量的变化。
这种技术被广泛用于许多领域，包括经济学、金融学、市场营销和社会科学。
在这篇文章中，我们将详细讨论多元线性回归分析。
我们将研究多元线性回归分析的假设，它是如何工作的，以及如何用它来进行预测。
最后，我们将讨论多元线性回归分析的一些限制，以及如何解决这些限制。
多元线性回归分析的假设在进行多元线性回归分析之前，有一些假设必须得到满足，才能使结果有效。
这些假设包括。
1）线性。
自变量和因变量之间的关系必须是线性的。
2）无多重共线性。
自变量之间不应高度相关。
3）无自相关性。
数据集内的连续观测值之间不应该有任何相关性。
4）同质性。
残差的方差应该在自变量的所有数值中保持不变。
5）正态性。
残差应遵循正态分布。
6）误差的独立性。
残差不应相互关联，也不应与数据集中的任何其他变量关联。
7）没有异常值。
数据集中不应有任何可能影响分析结果的异常值。
多重线性回归分析如何工作？多元线性回归分析是基于一个简单的数学方程，描述一个或多个自变量的变化如何影响因变量（Y）的变化。
这个方程被称为"回归方程"，可以写成以下形式。
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε 其中Y是因变量；X1到Xn是自变量；β0到βn是系数；ε是代表没有被任何自变量解释的随机变化的误差项（也被称为"噪音"）。
系数（β0到βn）表示当所有其他因素保持不变时（即当所有其他自变量保持其平均值时），每个自变量对Y的变化有多大贡献。
例如，如果X1的系数为0.5，那么这意味着当所有其他因素保持不变时（即当所有其他独立变量保持其平均值时），X1每增加一单位，Y就会增加0.5单位。
同样，如果X2的系数为-0.3，那么这意味着当所有其他因素保持不变时（即所有其他独立变量保持其平均值时），X2每增加一个单位，Y就会减少0.3个单位。
统计学中的多元线性回归分析多元线性回归分析是统计学中常用的一种回归分析方法，用于研究多个自变量对一个或多个因变量的影响关系。
本文将介绍多元线性回归分析的基本原理、应用场景以及分析步骤。
1. 多元线性回归的基本原理多元线性回归分析是建立在线性回归的基础上的。
线性回归分析是研究一个自变量对一个因变量的影响关系，而多元线性回归分析则是研究多个自变量对一个或多个因变量的影响关系。
在多元线性回归中，我们假设因变量Y与自变量X1、X2、...、Xn之间存在线性关系，即Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中β0、β1、β2、...、βn为回归系数，ε为误差项。
我们的目标是通过样本数据来估计回归系数，以便预测因变量Y。
2. 多元线性回归的应用场景多元线性回归分析广泛应用于各个领域，例如经济学、社会学、医学等。
以下是一些常见的应用场景：2.1 经济学领域在经济学领域，多元线性回归可以用于分析各种经济变量之间的关系。
例如，研究GDP与劳动力、资本投入等因素之间的关系，或者研究物价与通货膨胀、货币供应量等因素之间的关系。
2.2 社会学领域在社会学领域，多元线性回归可以用于分析社会现象与各种因素之间的关系。
例如，研究教育水平与收入、社会地位等因素之间的关系，或者研究犯罪率与社会福利、失业率等因素之间的关系。
2.3 医学领域在医学领域，多元线性回归可以用于分析疾病或健康状况与各种因素之间的关系。
例如，研究心脏病发病率与吸烟、高血压等因素之间的关系，或者研究生存率与年龄、治疗方法等因素之间的关系。
3. 多元线性回归的分析步骤进行多元线性回归分析时，通常需要按照以下步骤进行：3.1 数据收集首先，需要收集相关的自变量和因变量的数据。
这些数据可以通过实地调查、问卷调查、实验等方式获得。
3.2 数据预处理在进行回归分析之前，需要对数据进行预处理。
这包括数据清洗、缺失值处理、异常值处理等。
如何理解和使用多元线性回归分析多元线性回归分析是一种统计分析方法，用于探索自变量与因变量之间的关系。
它基于线性假设，假设自变量和因变量之间存在线性关系，并通过最小二乘法估计未知参数。
多元线性回归可以同时考虑多个自变量对因变量的影响，相比于一元线性回归，具有更多的灵活性和应用场景。
以下是关于多元线性回归分析的理解和使用。
一、理解多元线性回归分析：1.模型表达：多元线性回归模型可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε，其中Y是因变量，X1～Xn是自变量，β0～βn是回归系数，ε是误差项。
2.线性假设：多元线性回归假设自变量和因变量之间的关系是线性的，即因变量的期望值在给定自变量的条件下是一个线性函数。
3.参数估计：根据最小二乘法原理，通过使残差平方和最小化来估计回归系数。
最小二乘估计量是使得残差平方和最小的回归系数。
4.假设检验：在多元线性回归中，常用的假设检验包括回归系数的显著性检验、模型整体的显著性检验和多重共线性检验等。
二、使用多元线性回归分析：1.确定研究目标：明确研究目标，确定自变量和因变量。
了解问题背景、变量间关系，并结合实际情况选择合适的方法进行分析。
2.数据收集与整理：收集需要的数据，包括自变量和因变量的观测值。
对数据进行验证和清洗，排除缺失值、异常值等。
3.变量选择：根据研究目标和变量间的相关性，进行自变量的筛选。
可以通过相关分析、方差膨胀因子(VIF)等指标来评估自变量间的共线性。
4.模型建立与估计：根据选定的自变量和因变量，使用统计软件进行模型建立和回归系数的估计。
多元线性回归可以通过扩展一元线性回归的方法来计算。
5.模型诊断与改善：对建立的模型进行诊断，检验残差的正态性、独立性、同方差性等假设。
若存在违反假设的情况，则需要考虑进一步改善模型。
6.模型解释与预测：解释回归系数的含义，明确变量间的关系。
利用模型进行预测和决策，对未知因变量进行估计和预测。
7.模型评价与报告：评估模型的拟合程度，包括R方、调整R方、残差分析等指标。
多元线性回归分析
为了研究两个变量之间的关系，最简单的方法是绘制散点图。
就是把一个因素作为自变量x ，另一个因素作为因变量y ，将它们成对的观察值标在直角坐标图上，判断出各点分布是呈直线还是曲线，从而看出它们之间存在着怎样的关系，以上方法是解决两个变量之间的相关关系问题，然而，客观事物的变化往往受到多种因素的影响，即使其中一个因素起着主导作用，但有时其他因素的作用也是不可忽视的，这种对多因素的相关和回归，称为多元相关和回归因素分析，运算机理可以通过下面计算表示：
设影响因变量y 的自变量因素共有k 个：12,,,k x x x ，通过实验得到下列n 组观
察值：（12,,
,k x x x ，t y ）， t=1，2，3 …n 。
一般地，如果因变量y 与解释变量12,,,k x x x 之间服从如下干系： 01122k k y b b x b x b x u =+++++
（4-1）
则对因变量y 及解释变量12,,,k x x x 作n 次观测后，所得到n 组观测样本
（t y ，12,,
,t t kt x x x ）(t=1，2， …，n)将满足如下关系：
01122t t t k kt t y b b x b x b x u =+++
++ （4-2）
这就是多元线性回归模型的一般形式。
（t y ，12,,
,t t kt x x x ）(t=1，2，…，
n)为第t 次观测样本，j b （j=0，2，…，k ）为模型参数，t u 为随机误差项。
模型中的回归系数j b （j=0，2，…，k ）就表示当其他解释变量不变的条件下，第j 个解释变量的单位变动对因变量均值的影响，多元线性回归模型中这样的回归系数，称为偏回归系数。
将n 次观测样本所遵从的n 个随机方程式（4-2）写成方程组形式，有：
1011122111k k y b b x b x b x u =+++
++
2011222222k k y b b x b x b x u =+++
++
（4-3）
…… …… …… 01122n n n k kn n y b b x b x b x u =+++++
其中，随机误差u 满足： ()0
j E u =
()2
j Var u σ=
（4-4）
(),0,j k Cov u u j k
=≠
将（4-3）利用矩阵运算，可表示为：
111211012212221212111
k k n n
n
kn k n y x x x b u y x x x b u y x x x b u ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪
=+
⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（4-5）
同样（4-4）可以表示为： ()0
E u =
()()2Cov u E uu I
σ=（常数）
记12n y y Y y ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为被解释变量的观测值向量：1121
12122212111k k n n kn x x x x x x X x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭为解释变量的观测值矩阵，则多元线性回归模型的矩阵表示如下：
Y =XB +U （4-6）
4.1.2 多元线性回归模型结果检验
4.1.2.1 回归方程的显著性检验 (1) 回归平方和与剩余平方和
建立回归方程以后， 回归效果如何呢？因变量y 与自变量12,,
,m x x x 是否
确实存在线性关系呢？这是需要进行统计检验才能加以肯定或否定， 为此， 我们要进一步研究因变量y 取值的变化规律。
y 的每次取值k y （k=1，2，…，n ）是有波动的， 这种波动常称为变差， 每次观测值k y 的变差大小， 常用该次观侧值k y 与n 次观测值的平均值
11n
k
k y y n -=∑ （4-7） （5-7）式子中的k y y
-称为离差， 而全部n 次观测值的总变差可由总的离差
平方和
()()()2
2
2
1
1
1
ˆˆn
n
n
yy k k k k k k s y y y y
y y Q U ---=-=-+-=+∑∑∑ （4-8）
其中:
()2
1
ˆn
k k U y
y -=-∑
称为回归平方和， 是回归值
ˆk y
与均值y 之差的平方和， 它反映了自变量
12,,
,m x x x 的变化所引起的y 的波动，其自由度
U f m
=(m 为自变量的个数)。
()2
1
ˆn
k k Q y y
-=-∑ （4-9）
（4-9）式称为剩余平方和(或称残差平方和)，是实测值k
y 与回归值
ˆk y
之差的平
方和， 它是由试验误差及其它因素引起的，其自由度1Q f n m =--。
总的离差平方和yy s 的自由度为1n -。
如果观测值给定，则总的离差平方和yy s 是确定的，即Q +U 是确定的，因此U 大则Q 小 反之，U 小则Q 大，所以U 与Q 都可用来衡量回归效果，且回归平方和U 越大则线性回归效果越显著，或者说剩余平方和Q 越小回归效果越显著，如果Q ＝0，则回归超平面过所有观测点; 如果Q 大，则线性回归效果不好。
(2) 复相关系数
为检验总的回归效果， 人们也常引用无量纲指标
2yy yy yy
s Q U R s s -=
=
或
R = （4-10）
（4-10）式中的R 称为复相关系数。
因为回归平方和U 实际上是反映回归方程中全部自变量的“方差贡献”，因此R 2就是这种贡献在总回归平方和中所占的比例，因此R 表示全部自变量与因变量y 的相关程度。
显然0≤R ≤1。
复相关系数越接近１，回归效果就越好，因此它可以作为检验总的回归效果的一个指标。
但应注意，R 与回归方程中自变量的个数m 及观测组数n 有关，当n 相对于m 并不很大时，常有较大的R 值， 因此实际计算中应注意m 与n 的适当比例，一般认为应取n 至少为m 的5到10倍为宜。
（3）回归模型总体显著性检验：F 检验
回归模型的总体显著性检验，旨在对模型中的被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立做出推断。
检验模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立，即是
检验方程：
t 01122y t t t kt kt t b b x b x b x u =+++
++ （4-11）
中参数是否显著不为0，按照建设检验的原理与程序，提出原假设与备择假设为
0120
k H b b b ===
==，
()
1:1,2,,j H b j k =
不全为零，由于t y 服从正太分布，按照假设检验的原理与程序，t y 的一组样本的平方和服从2χ分布。
所以有
ESS = ()
2
t y y -∑~
()
2k χ RSS =
()2
ˆt y y
-∑~
()
21n k χ--
即回归平方和、残差平方和分别服从自由度为k 和（n-k-1）的2χ分布。
将自由度考虑进去进行方差分析，有如下方差分析表： 进一步根据数理统计学中的定义，可以证明，在H0成立的条件下，统计量 ()
1ESS k
F RSS n k =
-- （4-12）
服从第一自由度为k 和第二自由度为（n-k-1）的F 分布。
4.1.3.2 回归系数的显著性检验：t 检验
前面讨论了回归方程中全部自变量的总体回归效果， 但总体回归效果显著并不说明每个自变量12,,
,m x x x 对因变量y 都是重要的， 即可能有某个自变量
对y 并不起作用或者能被其它的k x
的作用所代替， 因此对这种自变量我们希望
从回归方程中剔除， 这样可以建立更简单的回归方程。
显然某个自变量如果对
作用不显著， 则它的系数i β就应取值为0， 因此检验每个自变量i x
是否显著， 就要检验假设:
0:0,1,2,
,i H i m
β==
在
0i β=假设下， 可应用t 检验:
1
i
ii
i b c t Q n m =
-- 1,2,,i m = （4-13）
其中
为矩阵
()()
1
1ii ii C c S s --===的对角线上第i 个元素。
变差来源 平方和 自由度 方差 源于回归 ESS k ESS/k 源于残差 RSS n-k-1 RSS/(n-k-1) 总变差
TSS
n-1
对给定的检验水平α， 从t 分布表中可查出与α对应的临界值t α， 如果有
i t t α>， 则拒绝假设0H ， 即认为i β与0有显著差异， 这说明i x 对y 有重要作用不应剔除; 如果有i t t α≤则接受假设0H ， 即认为00β=成立， 这说明i x 对y 不起作用， 应予剔除。
4.1.3关系模型计算过程
相关和回归因素分析的主要内容有以下三个方面：
（1）应用统计软件，从数据出发，分析使事物变动的各因素之间存在着什么样的联系，以确定相关关系的表现形式，建立事物变动与各因素之间的回归方程，并对其可信度进行统计检验。
（2）从影响某一事情的许多因素中，判断哪些因素的影响是显著的，哪些是不显著的，从而建立更切合实际的回归方程式。
（3）利用回归方程式，根据一个或几个因素的值，控制或预报另一个因素的值，得出众多因素中的主要影响因素。
