矩形的性质和判定一、基础知识（一）矩形的定义有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。
（二）矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的一切性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是900； 4.矩形是轴对称图形；边 角 对角线 对称性 矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称，中心对称（三）矩形的判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；2.对角线相等的平行四边形是矩形；3.有三个角是直角的四边形是矩形；4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
（四）直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（如图：OB=OC=OA=21AC ）二、例题讲解考点一：矩形的基本性质例1：如图，在矩形ABCD 中，AE•⊥BD ，•垂足为E ，•∠DAE=•2•∠BAE ，•那么，•∠BAE=________， ∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________．AEDCBO练习 1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15,求矩形的对角线的长度.练习2：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB＝3∶1，求∠ACD.例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?练习1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,已知矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长。
例3：如图，在矩形ABCD 中，相邻两边AB 、BC 分别长15cm 和25cm ，内角∠BAD 的角平分线与边BC 交于点E ．试求BE 与CE 的长度．练习1：如图，在矩形ABCD 中，E 是边AD 上的一点．试说明△BCE 的面积与矩形ABCD 的面积之间的关系．例4：（2009年广西钦州）已知：如图1，在矩形ABCD 中，AF ＝BE ．求证：DE ＝CF ；ADCB 图1F E练习1：如图，矩形ABCD 中，E 为AD 中点，∠BEC 为直角，矩形ABCD 的周长是20，求AD 、AB 的长。
矩形中考要求知识点睛矩形的性质及判定1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且相等．②角的性质：四个角都是直角．③对角线性质：对角线互相平分且相等．④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，30 角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．例题精讲模块一矩形的概念【例1】矩形的定义：__________________的平行四边形叫做矩形．【答案】有一个角是直角；【例2】矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．【答案】都是直角，相等，经过对边中点的直线；【例3】矩形的判定：一个角是直角的______是矩形；对角线______的平行四边形是矩形；有______个角是直角的四边形是矩形．【答案】平行四边形；对角线相等；三个角【例4】矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等【解析】省略 【答案】A【巩固】矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH ⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件 时，四边形PEHF 是矩形 【解析】省略 【答案】2BC AB =模块二 矩形的性质【例5】如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠=FED CBA【解析】省略 【答案】15︒【例6】矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，∠AOB ＝60°，AC ＝10cm ，则BC ＝______cm ，周长为 ．【答案】，【例7】如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 上的点，且BE DF =. 求证：ABE ∆≌CDF ∆.D EFCAB【解析】省略【答案】∵四边形ABCD 是矩形∴90AB AD B D =∠=∠=，. 在ABE ∆和CDF ∆中， 又∵BE DF =， ∴ABE ∆≌CDF ∆.【例8】如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。
矩形的性质和判定【知识梳理】一、定义：有一个是直角的平行四边形是矩形。
二、性质：①矩形的四个角都是直角②矩形的对角线相互平分且相等③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴④矩形的面积S=长×宽三、判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
四、矩形与平行四边形的区别与联系：①相同点1、两组对边分别平行2、两组对边分别相等3、两组对角分别相等4、对角线相互平分②区别1、有一个角是直角的平行四边形矩形2、对角线相互平分且相等【例题精讲】考点1 矩形的性质【例1】已知：如图，在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。
【例2】如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 上的点，且BE DF =。
求证：ABE ∆≌CDF ∆。
【例3】如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，60AOB ∠=︒，2AB =，则矩形的对角线AC 的长是（ ） A ．2 B ．4 C ．23 D ．43【变式1】下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ） A 、对边相等 B 、对角相等 C 、对角线相等 D 、对边平行【变式2】矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则边AD 的长是 。
【变式3】如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠= 。
FED CBA考点2 矩形的判定【例4】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，四边形ABDE 是平行四边形。
求证：四边形ADCE 是矩形。
【例5】如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，△ABE 是等边三角形，求证：四边形ABCD 是矩形。
ODC BAD EFCAB【变式6】如图11，已知E 是ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F 。
