高二数学上册 7.7《极限的运算法则》教案 沪教版

概念符号 运用与深化(例题解析、巩固练习)7.7（1）数列的极限一、教学内容分析极限概念是微积分中最重要和最基本的概念之一，因为微积分中其它重要的基本概念 （如导数、微分、积分等）都是用极限概念来表述的，而且它们的运算和性质也要用极限的运算和性质来推导，同时数列极限的掌握也有利于函数极限的学习，所以，极限概念的掌握至关重要.二、教学目标设计1. 理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限.2. 观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力.3. 利用刘徽的割圆术说明极限，渗透爱国主义教育，增强民族自豪感和数学学习的兴趣.三、教学重点及难点重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解.难点：数列极限的定义的理解.四、教学用具准备电脑课件和实物展示台，通过电脑的动画演示来激发兴趣、引发思考、化解难点，即对极限定义的理解，使学生初步的完成由有限到无限的过渡，运用实物展示台来呈现学生的作业，指出学生课堂练习中的优点和不足之处，及时反馈.五、教学流程设计实例引入 数列的极限 几何理解六、教学过程设计一、 情景引入1、创设情境，引出课题1. 观察教师：在古代有人曾写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 哪位同学能解释一下此话意思？学生：一根一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取第一天剩下的一半，…… ，如此继续下去，永远也无法取完.2. 思考教师：如果把每天取得的木棒长度排列起来，会得到一组怎样的数？1学生 ： , 2 3. 讨论1 , 1 , , 1 , 2n 教师； 随着n 的增大，数列{a n }的项会怎样变化？学生： 慢慢靠近 0.教师：这就是我们今天要学习的数列的极限 --------- 引出课题二、学习新课2、观察归纳，形成概念（1）直观认识教师：请同学们考察下列几个数列的变化趋势1 （ a ）10 1 ,102 , 1103 , , 1 10n , ①“项”随 n 的增大而减小 ②但都大于 01③当 n 无限增大时，相应的项10n 可以“无限趋近于”常数 0 1 1 (-1)n（b ） - 1, 2 ,- 3 , , n ,①“项”的正负交错地排列，并且随 n 的增大其绝对值减小(-1)n②当 n 无限增大时，相应的项 可以“无限趋近于”常数 0n（c ） 1 , 2 , 2 3 3 , , 4n , n + 1 8 4n n ⎩ n ①“项”随 n 的增大而增大②但都小于 1 n③当 n 无限增大时，相应的项 可以“无限趋近于”常数 1n + 1 教师：用电脑动画演示数列的不同的趋近方式：（a ）从右趋近（c ）从左趋近 （b ）从左右两方趋近，使学生明白不同的趋近方式教师：上面的庄子讲的话体现了极限的思想，其实我们的先辈还会用极限的思想解决问题,我国魏晋时期杰出的数学家刘徽于公元前 263 年创立的“割圆术”借助圆内接正多边形的周长，得到圆的周长就是极限思想的一次很好的应用.刘徽把他的操作方法概括这样几个字：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆和体，而无所失矣.”概念辨析教师：归纳数列极限的描述性定义学生：一般地，如果当项数 n 无限增大时，数列{a n }的项无限的趋近于某一个常数 n 那么就说数列{a n }以a 为极限.教师： 是不是每个数列都有极限呢？学生 1：（思考片刻）不是.如 a n = n学生 2： a = n 2 a = (-1)n 教师：请大家再看一下，下面的数列极限存在吗？如果有，说出极限.⎧ 1 （a ） a = ⎪ n n 是奇数 n⎨ n - 1 ⎪ n 是偶数（b ）无穷数列： 0.3,0.33,0.333, ,0.3 3 33, n 学生 1：数列（a ）有极限，当n 是奇数时，数列{a n }的极限是0，当n 是偶数时，数列{a n }的极限是1.数列（b ）的极限是0.4.教师： 有不同意见吗？学生 2：数列（b ）的极限是 0.34学生 3：数列（b ）的极限不存在（这时课堂上的学生们都在纷纷议论，大家对数列（b ）的极限持有各自不同的观点，但对数列（a ）的极限的认识基本赞同学生 1 的观点.）教师：数列（a ）有极限吗？数列（b ）的极限究竟是多少？（学生们沉思） 1 学生 4：数列（a ）没极限，原因是极限的描述性定义中要求趋近与一个常数,数列（b ）的极限是 . 3教师：回答的非常正确（用动画演示数列（b ）的逼近过程），同学们对（a ）判断错误的原因是对描述性定义还未很好的理解.对（b ）判断错误的原因是描述性定义的局限性导致的，数列（b ）随着n 的无限增大，它会趋近于 0.4、0.34、0.334，但是接近到一定的程度就不在接近了，所以无限的接近必须有量化的表述.（2）量化认识教师：用什么来体现这种无限接近的过程呢？学生：用 n a n 和a 之间的距离的缩小过程，即 a n - a 趋近 0(-1)n教师：现在以数列 n a n =为例说明这种过程观察：n距离量化：1 1 a n - 0 = 1 充分的大，都有 n- 0 = ，随着n 的增大， 的值越来越小，不论给定怎样小的一个正数（记为ε），只要n n n n比给定的正数小. 教师：请同桌的两位同学，一个取ε，另一个找n .问题拓展学生：老师再来几个其它的数列教师：以上我们以提到的 1 ,1 , 1 , , 1 , 和1 - 1 ,1 - 1 ,1 - 1 , ,1 - 1 , 为例，2 4 8 2n大家可以再操作一下.10 102 103 10n教师：（学生问答完毕）大家作了这项活动以后有什么感受？学生：只要数列有极限，对于给定的正数ε，总可以找到一项a N ，使得它后面的所有的项与数列的极限的差的绝对值小于ε.教师：顺理成章的给出数列极限的- N 定义：(-1)n nn n ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ 一般地，设数列{a n }是一个无穷数列， a 是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数 N ，使得只要正整数 n > N ，就有 a n - a < ，那么就说数列 {a n }以a 为极限，记作lim a = a ，或者 n → ∞ 时 a → a . n →∞教师：常数数列的极限如何？学生：是这个常数本身.教师：为什么？学生：因为极限和项的差的绝对值为 0，当然比所有给定的正数小.三、巩固练习讲授例题已知数列⎧ n - 1⎫ n + 1 ⎩ ⎭①把这个数列的前 5 项在数轴上表示出来.②写出 n a n - 1 的解析式.③ ⎧ n - 1⎫ 中的第几项以后的所有项都满足 a n + 1 n - 1 < 1 100 ⎩ ⎭④指出数列⎧ n - 1⎫ 的极限. n + 1 ⎩ ⎭课堂练习 第 41 至 42 的练习.四、课堂小结①无穷数列是该数列有极限的什么条件.②常数数列的极限就是这个常数.③数列极限的描述性定义.④数列极限的- N 的定义.五、作业布置1．课本第 42 页习题 2，3,42．根据本节课的学习，结合你自己对数列极限的体会，写一篇《我看极限》的短文，格式不限（本作业的意图是想把学生的态度、情感、价值观融入到所学的知识中去.）七、教学设计说明对于数列极限的学习，对学生来说是有限到无限认识上的一次飞跃，由于学生知识结构的局限性和学习习惯、方法的影响，学习过程中的困难会较大，根据一般的认识规律和学生的心理特征，设计了直观认识、量化认识和极限定义三个教学步骤，由浅入深，由表及里，由感性到理性的逐步深化，力求使学生很好的理解极限的概念.。

上教版高二数学教案——7.7数列的极限1第一篇：上教版高二数学教案——7.7数列的极限1数列的极限教学目的：1．理解数列极限的概念；2．会根据数列极限的定义，由数列的通项公式考察数列的极限。

教学重点：会判断一些简单数列的极限教学难点：数列极限概念的理解授课类型：新授课教学过程：一、复习引入：1.战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限地进行下去。

可以求出第n天剩余的木棒长度an=二、讲解新课：数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限趋近于某个常数A（即．．．．．，那么A叫做数列{an}的极限，或叫做数列{an}收敛于A。

记作an-A无限趋近于0）(尺)；分析变化趋势（从数和形两个角度分析）2nliman=A，读作“当n趋向于无穷大时，an的极限等于A”。

n→∞“n→∞”表示“n趋向于无穷大”，即n无限增大的意思。

理解：数列的极限是直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义。

“随着项数n的无限增大，数列的项an无限地趋近于某个常数A”的意义有两个方面：一方面，数列的项an趋近于A是在无限过程中进行的，即随着n的增大an越来越趋近于A（即极限与数列前面的有限项无关）；另一方面，an不是一般地接近于A，而是“无限”地趋近于A，即an-A随n的增大而无限地趋近于0。

注：（1）liman=A等价为liman-A=0n→∞n→∞（2）“无限趋近于”不能用“越来越接近”代替。

三、讲解范例：例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由。

111，；23n1111，(-)n,（2）-，-39273（1）1，,（3）2,4,6,（4）-； ,2n,；3927，-,2483,(-)n,2；（5）-2,-2,-2,（6）a,a,a，-2,；（变化：4,16，4100,-2,-2,-2,）,a分析：判断是否有极限的方法可通过直观判断，画图像，列表等方法。

2019-2020年高二数学函数极限的运算法则教案 上教版教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限教学重点：运用函数极限的运算法则求极限教学难点：函数极限法则的运用教学过程：一、引入：一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如.若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算.二 、新课讲授对于函数极限有如下的运算法则：0）. 说明：当n x x n x x x f x f oo )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于的情况仍然适用.三 典例剖析例1 求例2 求例3 求分析：当时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数在定义域内，可以将分子、分母约去公因式后变成，由此即可求出函数的极限.例4 求分析：当时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。

总结：),(lim ,lim *N k x x C C k o k x x x x o o ∈==→→ )(01lim ,lim *N k x C C kx x ∈==∞→∞→ 例5 求分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以，就可以运用法则计算了。

四 课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限）（1）； （2）（3）； （4）（5） （6）（7） （8）五小结1 有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；2 函数的运算法则成立的前提条件是函数的极限存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点.3 两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在.4 在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限.六作业（求下列极限）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）2019-2020年高二数学函数的单调性与导数教案教学目标：1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学过程：一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．二．新课讲授1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数．相应地，．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而减少，即是减函数．相应地，．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数表示函数在点处的切线的斜率．在处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近单调递增；在处，，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数．3．求解函数单调区间的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．已知导函数的下列信息：当时，；当，或时，；当，或时，试画出函数图像的大致形状．解：当时，，可知在此区间内单调递增；当，或时，；可知在此区间内单调递减；当，或时，，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数图像的大致形状如图3.3-4所示．例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）； （2）（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+解：（1）因为，所以，'22()333(1)0f x x x =+=+>因此，在R 上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为，所以，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减；函数的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，因此，函数在单调递减，如图3.3-5（3）所示．（4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以 ．当，即 时，函数 ；当，即 时，函数 ；函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图3.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生练例3 如图 3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像． 分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数在或内的图像“陡峭”，在或内的图像“平缓”．例4 求证：函数在区间内是减函数．证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x =+-=+-=-+当即时，，所以函数在区间内是减函数．说明：证明可导函数在内的单调性步骤：（1）求导函数；（2）判断在内的符号；（3）做出结论：为增函数，为减函数．例5 已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间上是增函数，求实数的取值范围．解：，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：所以实数的取值范围为．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．四．课堂练习1．求下列函数的单调区间1.f (x )=2x 3－6x 2+72.f (x )=+2x3. f (x )=sin x , x4. y=xlnx2．课本 练习五．回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数单调区间（3）证明可导函数在内的单调性六．布置作业。

《函数极限的运算法则》教案【教学目标】：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限 【教学重点】：运用函数极限的运算法则求极限 【教学难点】：函数极限法则的运用 【教学过程】： 一、引入：一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o==→∞→lim ,01lim.若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算.二 、新课讲授对于函数极限有如下的运算法则：也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf oox x x x →→=n x x n x x x f x f oo)](lim [)]([lim →→=这些法则对于∞→x 的情况仍然适用. 三 典例剖析 例1 求)3(lim 22x x x +→例2 求112lim 231++-→x x x x例3 求416lim 24--→x x x分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数4162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限.例4 求133lim 22++-∞→x x x x分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。

总结：),(lim ,lim *N k x x C C kok x x x x oo∈==→→ )(01lim,lim *N k x C C kx x ∈==∞→∞→例5 求1342lim 232+--+∞→x x x x x分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以3x ，就可以运用法则计算了。

7.7 (2)极限的运算法则一、教学内容分析本小节的教学内容是在理解无穷数列极限的概念的基础上学习数列极限的运算性质及四个重要的极限，鉴于高二学生现有的数学基础，教材采取从实际的例子引入，给出数列极限的运算性质及四个重要极限的结论，然后通过例题加以说明的方式.教学重点是数列极限的运算性质，教学中要强调运算性质成立的条件是两个数列的极限都存在.教学难点是数列极限的运算性质及四个重要极限结论的灵活运用，会进行恒等变形，运算性质可从两个数列推广到有限个数列，注意有限与无限的本质区别.二、教学目标设计掌握数列极限的运算性质，会利用这些性质计算数列的极限.知道数列极限的四个重要结论，并会用它们来求有关数列的极限；会运用式的恒等变形，把分子、分母极限不存在的分式转化为若干个极限存在的数列的代数和，从而求出极限，提高观察，分析以及等加转换的能力.三、教学重点及难点重点：数列极限的运算性质.难点：数列极限的运算性质及重要极限的灵活运用.四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习回顾1、数列极限的定义.2、已知123-=n na n 试判断数列{}n a 是否有极限，如果有，写出它的极限.二、讲授新课1、实例引入计算由抛物线x y =2，x 轴以及直线x=1所围成的区域 面积S ：26)12)(1(lim lim n n n S S n n n --==∞→∞→2、数列极限的运算性质（1）数列极限的运算性质如果B b A a n n n n ==∞→∞→lim ,lim ，那么 （1）B A b a b a n n n n n n n ±=±=±∞→∞→∞→lim lim )(lim ； （2）B A b a b a n n n n n n n ⋅=⋅=⋅∞→∞→∞→lim lim )(lim ；（3）B A b a b a n n n n n n n ==∞→∞→∞→lim lim lim ；（2）的推论：若C 是常数，则A C a C b C n n n n n ⋅=⋅=⋅∞→∞→∞→lim lim )(lim 说明：1、运算性质成立的条件2、在数列商的极限中，作为分母的数列的项及其极限都不为零.（2）常用的数列极限的几个结论（1）对于数列{}n q ，当1<q 时，有0lim =∞→n n q（2）对于数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1，有01lim =∞→n n（3）对于无穷常数列{}C ，有C C n =∞→lim（3）例题解析例1：（1）)27(lim n n -∞→；（2）n n n 43lim +∞→；（3）26)12)(1(lim n n n n --∞→例2：（1）)23741(lim 2222n n n n n n -++++∞→ （2）1323443lim +++∞→+-n n n n n说明：1、（2）（3）中，当n 无限增大时，分式中的分子，分 母的极限都不存在，因式极限的运算性质不能直接运用，为此，可将公式中的分子，分母同时除以n 的最高次幂，再运用极限的运算性质求出极限；2、极限的运算性质可由两个数列的和、差、积、商推 广到有限项的和、差、积、商.3、巩固练习1.“B b A a n n n n ==∞→∞→lim ,lim ”是“B A b a n n n +=+∞→)(lim ”成立的 什么条件？为什么？2.已知2lim ,3lim -==∞→∞→n n n n b a ，求n n n n b b a 2lim+∞→ 3.计算：（1）)32(lim ++∞→n n n ；（2）22)12()2(3lim -+∞→n n n ；（3）)1131211(lim 2222++++++++∞→n n n n n n （4）n n n n n 5335lim 121-++++∞→三、课堂小结1、数列极限的运算性质（1）条件（2）运算（3）推广2、四个重要极限四、课后作业1、书面作业：课本练习7.7 A 组 9/（1）（3）（4）（5）、10、11、122、思考题：设0,0>>b a ，求21lim ++∞→+-n n nn n b a b a。

7.7（1）数列的极限一、教课内容剖析极限看法是微积分中最重要和最基本的看法之一，因为微积分中其余重要的基本看法（如导数、微分、积分等）都是用极限看法来表述的，并且它们的运算和性质也要用极限的运算和性质来推导，同时数列极限的掌握也有益于函数极限的学习，因此，极限看法的掌握至关重要 .二、教课目的设计1．理解数列极限的看法，能初步依据数列极限的定义确立一些简单数列的极限.2．察看运动和变化的过程，初步认识有限与无穷、近似与精准、量变与质变的辩证关系，提升的数学归纳能力、抽象思想能力和审美能力.3．利用刘徽的割圆术说明极限，浸透爱国主义教育，加强民族骄傲感和数学学习的兴趣 .三、教课要点及难点要点：数列极限的看法以及简单数列的极限的求解.难点：数列极限的定义的理解.四、教课器具准备电脑课件和实物展现台，经过电脑的动画演示来激发兴趣、引起思虑、化解难点，即对极限制义的理解，使学生初步的达成由有限到无穷的过渡，运用实物展现台来表现学生的作业，指出学生讲堂练习中的长处和不足之处，实时反应.五、教课流程设计实例引入看法几何符号数列的极限理解运用与深入 (例题分析、稳固练习)讲堂小结并部署作业六、教课过程设计一、情形引入1、创建情境，引出课题1.察看教师：在古代有人曾写道：“一尺之棰，日取其半，万世不断. ”哪位同学能解说一下此话意思？学生：一根一尺长的木棒，第一天取它的一半，次日取第一天剩下的一半，，这样继续下去，永久也没法取完.2.思虑教师：假如把每日获得的木棒长度摆列起来，会获得一组如何的数？1111,学生：,,,,n24823．谈论教师；跟着 n 的增大，数列a n的项会如何变化？学生：慢慢凑近0.教师：这就是我们今日要学习的数列的极限---- 引出课题二、学习新课2、察看归纳，形成看法（ 1）直观认识教师：请同学们观察以下几个数列的变化趋向（a）1,12,13, ,1n, 10 10 1010①“项”随 n 的增大而减小②但都大于 0③当 n 无穷增大时，相应的项1n能够“无穷趋近于”常数 010（ b ）1,1, 1, , ( 1)n ,2 3n①“项”的正负交织地摆列，并且随 n 的增大其绝对值减小②当 n 无穷增大时，相应的项( 1)n 能够“无穷趋近于”常数 0n（ c ）1 ,2 , 3, , n,2 3 4n 1①“项”随 n 的增大而增大②但都小于 1③当 n 无穷增大时，相应的项n 能够“无穷趋近于”常数 1n 1教师：用电脑动画演示数列的不一样的趋近方式：（ a ）从右趋近 （ c ）从左趋近 （ b ）从左右双方趋近，使学生理解不一样的趋近方式教师：上边的庄子讲的话表现了极限的思想，其实我们的先辈还会用极限的思想解决问题, 我国魏晋期间优秀的数学家刘徽于公元前 263 年创办的“割圆术”借助圆内接正多边形的周长，获得圆的周长就是极限思想的一次很好的应用. 刘徽把他的操作方法归纳这样几个字：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以致不行割，则与圆和体，而无所失矣. ”看法辨析教师：归纳数列极限的描绘性定义学生：一般地，假如当项数n 无穷增大时，数列 a n 的项无穷的趋近于某一个常数 n 那么就说数列 a n 以 a 为极限 .教师：是否是每个数列都有极限呢？学生 1：（思虑片晌）不是 . 如 a n n 学生 2： a n n 2a n( 1) n教师：请大家再看一下，下边的数列极限存在吗？假如有，说出极限.1n 是奇数（ a ） a nn n 1n（ b）无量数列：0.3,0.33,0.333, ,0.333 3,n学生 1：数列（a）有极限，当n是奇数时，数列a n 的极限是，当 n 是偶数时，数列a n的极限是1.数列（b）的极限是 0.4.教师：有不一样建议吗？学生 2：数列（ b）的极限是0.34学生 3：数列（ b）的极限不存在（这时讲堂上的学生们都在纷繁谈论，大家对数列（ b）的极限拥有各自不一样的看法，但对数列（ a）的极限的认识基本赞成学生 1 的看法 . ）教师：数列（a）有极限吗？数列（b）的极限终究是多少？（学生们深思）学生 4：数列（a）没极限，原由是极限的描绘性定义中要求趋近与一个常数, 数列（b）的极限是1 .3教师：回答的特别正确（用动画演示数列（b）的迫近过程），同学们对（ a）判断错误的原由是对描绘性定义还未很好的理解. 对（ b）判断错误的原由是描绘性定义的限制性致使的，数列（ b）跟着n的无穷增大，它会趋近于0.4 、 0.34 、0.334 ，可是凑近到必定的程度就不在凑近了，因此无穷的凑近一定有量化的表述.（2）量化认识教师：用什么来表现这类无穷凑近的过程呢？学生：用 n a n和 a 之间的距离的减小过程，即a n a趋近 0(1)n教师：此刻以数列n a n为例说明这类过程察看：n距离量化： a n 0( 1) n01，跟着 n 的增大，1的值愈来愈小，无论给定如何小的一个正数（记n n n为ε），只需 n n 充足的大，都有1比给定的正数小.n教师：请同桌的两位同学，一个取ε，另一个找n .问题拓展学生：老师再来几个其余的数列1 1 11 1 111,教师：以上我们以提到的 2 , 4,8,,2n,和 110 ,1 102,1 103,,1 10n 为例，大家能够再操作一下 .教师：（学生问答完成）大家作了这项活动此后有什么感觉？学生：只需数列有极限，关于给定的正数ε，总能够找到一项a N ，使得它后边的全部的项与数列的极限的差的绝对值小于ε.教师：理所应当的给出数列极限的N 定义：一般地，设数列a n 是一个无量数列， a 是一个常数，假如关于早先给定的随意小的正数ε，总存在正整数 N ，使得只需正整数 nN ，就有 a na，那么就说数列a n 以 a 为极限，记作 lim a na，或许 n时 a na .n教师：常数数列的极限如何？学生：是这个常数自己.教师：为何？学生：因为极限和项的差的绝对值为0，自然比全部给定的正数小 .三、稳固练习讲解例题已知数列n 1n 1① 把这个数列的前 5 项在数轴上表示出来 . ②写出 n a n1 的分析式 .③n1a n1中的第几项此后的全部项都知足 1n 1100④指出数列n 1 的极限 .n 1讲堂练习第41至42的练习.四、讲堂小结①无量数列是该数列有极限的什么条件.②常数数列的极限就是这个常数.③数列极限的描绘性定义.④数列极限的N的定义.五、作业部署1．课本第42 页习题 2， 3,42．依据本节课的学习，联合你自己对数列极限的领会，写一篇《我看极限》的短文，格式不限（本作业的企图是想把学生的态度、感情、价值观融入到所学的知识中去. ）七、教课方案说明关于数列极限的学习，对学生来说是有限到无穷认识上的一次飞腾，因为学生知识构造的限制性和学习习惯、方法的影响，学习过程中的困难会较大，依据一般的认识规律和学生的心理特点，设计了直观认识、量化认识和极限制义三个教课步骤，由浅入深，由表及里，由感性到理性的逐渐深入，力争使学生很好的理解极限的看法.。

7.7（1）数列的极限一、教学内容分析极限概念是微积分中最重要和最基本的概念之一，因为微积分中其它重要的基本概念（如导数、微分、积分等）都是用极限概念来表述的，而且它们的运算和性质也要用极限的运算和性质来推导，同时数列极限的掌握也有利于函数极限的学习，所以，极限概念的掌握至关重要.二、教学目标设计1．理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限.2．观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力.3．利用刘徽的割圆术说明极限，渗透爱国主义教育，增强民族自豪感和数学学习的兴趣.三、教学重点及难点重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解.难点：数列极限的定义的理解.四、教学用具准备电脑课件和实物展示台，通过电脑的动画演示来激发兴趣、引发思考、化解难点，即对极限定义的理解，使学生初步的完成由有限到无限的过渡，运用实物展示台来呈现学生的作业，指出学生课堂练习中的优点和不足之处，及时反馈.五、教学流程设计六、教学过程设计一、 情景引入1、创设情境，引出课题1. 观察教师：在古代有人曾写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 哪位同学能解释一下此话意思？学生：一根一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取第一天剩下的一半，…… ，如此继续下去，永远也无法取完.2. 思考教师：如果把每天取得的木棒长度排列起来，会得到一组怎样的数？学生 ： ΛΛΛ , 21 , , 81 , 41 , 21n 3．讨论教师； 随着n 的增大，数列{}n a 的项会怎样变化？学生： 慢慢靠近0.教师：这就是我们今天要学习的数列的极限----引出课题二、学习新课2、观察归纳，形成概念（1）直观认识教师：请同学们考察下列几个数列的变化趋势（a ）ΛΛ,101,,101,101,10132n ①“项”随n 的增大而减小 ②但都大于0③当n 无限增大时，相应的项n 101可以“无限趋近于”常数（b ）ΛΛ,)1(,,31,21,1nn--- ①“项”的正负交错地排列，并且随n 的增大其绝对值减小②当n 无限增大时，相应的项nn)1(-可以“无限趋近于”常数0 （c ） ΛΛ,1,,43,32,21+n n ①“项”随n 的增大而增大 ②但都小于1③当n 无限增大时，相应的项1+n n 可以“无限趋近于”常数1 教师：用电脑动画演示数列的不同的趋近方式：（a ）从右趋近 （c ）从左趋近 （b ）从左右两方趋近，使学生明白不同的趋近方式教师：上面的庄子讲的话体现了极限的思想，其 实我们的先辈还会用极限的思想解决问题,我国魏晋时期杰出的数学家刘徽于公元前 263年创立的“割圆术”借助圆内接正多边形的周长，得到圆的周长就是极限思想的一次很好的应用.刘徽把他的操作方法概括这样几个字：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆和体，而无所失矣.”概念辨析教师：归纳数列极限的描述性定义学生：一般地，如果当项数n 无限增大时，数列{}n a 的项无限的趋近于某一个常数n 那么就说数列{}n a 以a 为极限.教师：是不是每个数列都有极限呢？学生1：（思考片刻）不是.如n a n =学生2：2n a n = n n a )1(-= 教师：请大家再看一下，下面的数列极限存在吗？如果有，说出极限.（a ）⎪⎩⎪⎨⎧-=n n n a n 11 n 是奇数（b ）无穷数列：Λ321ΛΛ,3333.0,,333.0,33.0,3.0n学生1：数列（a ）有极限，当n 是奇数时，数列{}n a 的极限是0，当n 是偶数时，数列{}n a 的极限是1.数列（b ）的极限是0.4.教师： 有不同意见吗？学生2：数列（b ）的极限是0.34学生3：数列（b ）的极限不存在（这时课堂上的学生们都在纷纷议论，大家对数列（b ）的极限持有各自不同的观点，但对数列（a ）的极限的认识基本赞同学生1的观点.）教师： 数列（a ）有极限吗？数列（b ）的极限究竟是多少？（学生们沉思）学生4：数列（a ）没极限，原因是极限的描述性定义中要求趋近与一个常数,数列（b ）的极限是31. 教师：回答的非常正确（用动画演示数列（b ）的逼近过程），同学们对（a ）判断错误的原因是对描述性定义还未很好的理解.对（b ）判断错误的原因是描述性定义的局限性导致的，数列（b ）随着n 的无限增大，它会趋近于0.4、0.34、0.334，但是接近到一定的程度就不在接近了，所以无限的接近必须有量化的表述.（2）量化认识教师：用什么来体现这种无限接近的过程呢？学生：用n n a 和a 之间的距离的缩小过程，即 a a n - 趋近0 教师：现在以数列n na nn )1(-=为例说明这种过程观察：距离量化：nn a n n 10)1(0=--=-，随着n 的增大，n 1的值越来越小，不论给定怎样小的一个正数（记为ε），只要n n 充分的大，都有n1比给定的正数小.教师：请同桌的两位同学，一个取ε，另一个找n .问题拓展学生：老师再来几个其它的数列 教师：以上我们以提到的ΛΛΛ , 21 , , 81 , 41 , 21n 和ΛΛ,1011,,1011,1011,101132n ---- 为例，大家可以再操作一下.教师：（学生问答完毕）大家作了这项活动以后有什么感受？学生：只要数列有极限，对于给定的正数ε，总可以找到一项N a ，使得它后面的所有的项与数列的极限的差的绝对值小于ε.教师：顺理成章的给出数列极限的N -ε定义：一般地，设数列{}n a 是一个无穷数列，a 是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N ，使得只要正整数N n >，就有ε<-a a n ，那么就说数列{}n a 以a 为极限，记作a a n n =∞→lim ，或者∞→n 时a a n →. 教师：常数数列的极限如何？学生：是这个常数本身.教师：为什么？学生：因为极限和项的差的绝对值为0，当然比所有给定的正数小.三、巩固练习讲授例题 已知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-11n n ① 把这个数列的前5项在数轴上表示出来.②写出n 1-n a 的解析式. ③⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-11n n 中的第几项以后的所有项都满足10011<-n a ④指出数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-11n n 的极限. 课堂练习第41至42的练习.四、课堂小结①无穷数列是该数列有极限的什么条件.②常数数列的极限就是这个常数.③数列极限的描述性定义.④数列极限的N -ε的定义.五、作业布置1．课本第42页习题2，3,42．根据本节课的学习，结合你自己对数列极限的体会，写一篇《我看极限》的短文，格式不限（本作业的意图是想把学生的态度、情感、价值观融入到所学的知识中去.）七、教学设计说明对于数列极限的学习，对学生来说是有限到无限认识上的一次飞跃，由于学生知识结构的局限性和学习习惯、方法的影响，学习过程中的困难会较大，根据一般的认识规律和学生的心理特征，设计了直观认识、量化认识和极限定义三个教学步骤，由浅入深，由表及里，由感性到理性的逐步深化，力求使学生很好的理解极限的概念.。