量子力学第五章全同粒子

量子力学中的替换对称性与全同性原理在物理学中，替换对称性和全同性原理是两个重要的概念。

它们都与量子力学密切相关。

本文将从量子力学中的替换对称性和全同性原理两个方面进行探讨，深入理解这些概念。

一、替换对称性替换对称性是一种数学上的对称性，也称为置换对称性。

在物理学中，替换对称性是指系统对于物体的交换不会发生变化，即在相同的物理环境下，交换两个相同的物体后，物理状态不发生任何变化。

这种对称性在经典力学中是自然而然的，但在量子力学中却带有非常重要的意义。

以氢原子为例，它只有一个电子。

在经典力学中，我们可以毫不犹豫地说，电子可以转化为任何标记相同的粒子。

这是因为它们的性质是相同的，例如质量、电荷、自旋等。

但在量子力学中，我们知道电子是一种具有特殊性质的粒子，即它们是全同粒子。

因此，当相同的两个电子交换位置时，我们需要考虑这种全同性质。

在这种情况下，我们不能确定粒子的真实位置，这个过程被称为“全同交换”。

量子力学中的替换对称性与全同性质密不可分。

因为替换对称性的出现需要具有相同性质的粒子，这种性质正是全同性质所包含的内容。

因此，我们可以得出结论：替换对称性与全同性质是量子力学中的一对密切相关的物理概念。

二、全同性原理全同性原理是量子力学的基本原理之一。

它表明，在某些物理系统中，如果两个粒子是全同的，则它们在任何情况下都不能被区分。

这意味着，如果我们有两个全同粒子，我们不能将它们标记为例如“粒子A”和“粒子B”，亦即对于粒子无论在哪个空间点上，都没有“名字”。

根据量子力学，当两个全同粒子交换位置时，该系统的波函数应该只发生相位的变化，而波函数的强度不应该改变。

这是因为全同粒子之间的比较是一种无法进行的行为，因此它们之间的交换行为不应该对系统的内在性质产生影响。

全同性原理是量子力学的基石之一，它具有非常重要的物理意义。

例如，在具有相同自旋的两个电子组成的物理系统中，如果我们使用两个不同的波函数来描述它们，那么这个物理系统就不是全同的，因为我们可以通过波函数的形状来区分这两个不同的电子。

全同粒子本讲介绍多粒子体系的量子力学基本原理。

首先从全同粒子的基本概念出发，根据全同性原理，给出描述全同粒子体系的波函数；最后以氦原子为例讨论多粒子体系问题。

1. 全同粒子的基本概念1.1 全同粒子：静质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。

例如，电子、质子，中子等。

在经典力学中，粒子是用坐标和动量来描述，可以根据各自的运动轨迹来区分。

而在 量子力学中，微观全同粒子的状态是用波函数来描述，每个粒子的波函数弥散于整个空 间，即处于同一区域各粒子波函数重迭，对粒子无法加以区分；另外，对全同粒子体系进 行测量时，关心的是在空间某点附近粒子出现的概率（或数目），而这个概率（或数目） 究竟属于体系中的哪几个，是无法确定的。

即全同粒子具有不可区分性，这是微观粒子的 基本性质之一。

1.2 全同性原理：由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系中，任意两个全同粒子相互交换后并不会引起整个体系物理状态的改变，即不会出现任何可观测的物理效应，该论断称为量子力学中的全同性原理。

这是量子力学基本原理之一。

1.3哈密顿算符∧H 的交换对称性考虑N 个全同粒子组成的体系，i q 表示第i 个粒子的空间坐标i r ϖ与自旋变量i S ，),(t q u i 表示 第i 个粒子在外场中的能量，),(j i q q w 表示第i 、j 粒子的相互作用能量，则体系的哈密顿算符∧H 写为∑∑<++∇-=ji j i i i i N j i q q w t q u t q q q q q H ),()],(2[),,,(ˆ2221μηΛΛΛ （1） 任何两个粒子（如第i 个与第j 个）相互交换后，∧H 显然是不变的，记为),,,(ˆ21t q q q q q H P Nj i ij ΛΛΛ∧),,,(ˆ21t q q q q q H Ni j ΛΛΛ= ),,,(ˆ21t q q q q q H Nj i ΛΛΛ= （2） ij P ∧称为交换算符，它同时交换两个粒子的坐标和自旋，哈密顿算符的这种交换对称性又可记为0,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧∧H P ij （3）1.4 全同粒子波函数的交换对称性 （1）ij P ∧对波函数的作用设N 个全同粒子体系用波函数),,,,,(21t q q q q q N j i ΛΛΛΦ描述，则有),,,,,(),,,,,(2121t q q q q q t q q q q q P N i j N j i ij ΛΛΛΛΛΛΦ=Φ∧（4）根据全同性原理，Φ∧ij P 与Φ所描述的是同一量子态，而量子力学中描述同一量子态的波函数之间最多只能相差一个常数因子λ，即Φ=Φ∧λij P （5） 上式用ij P ∧再作用一次，相当于Φ中的交换复原，即Φ=Φ=Φ=Φ∧∧22λλij ijP P （6）由此得12=λ，所以交换算符的本征值为 1±=λ （7） （2）波函数的交换对称性当λ＝+1时，则Φ=Φ∧ij P ，表示交换两个粒子后波函数不变，这时的波函数称为对称波函数，记为S Φ 。

第五章习题解5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。

解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。

据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 rze r U 024πε-=）（)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞-=r Edr e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,434410200300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H +∇-=<<'μ ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Ze a Z 02/1303)0(1)(-=πψ）⎰∞'=τψψd H E 111 ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∴0a r <<，故102≈-r a Ze 。

∴ ⎰⎰+--=0302404220330024)1(1)3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z Eπεπε2030024505030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 23002410r a e Z πε= 2032452r a e Z s = #5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。

量⼦⼒学讲义第五章第五章中⼼⼒场§5.1 中⼼⼒场中粒⼦运动的⼀般性质⼀、⾓动量守恒与径向⽅程设质量为µ的粒⼦在中⼼⼒场中运动，则哈密顿量算符表⽰为：2??()2p H V r µ=+ 22()2V r µ=-?+ ，与经典⼒学中⼀样，⾓动量 l r p =? 也是守恒量，即0l t=[,]0l H = 222221?()22l H r V r r r r rµµ=-++ ? 2,0z l l ??=； 2?,0l H ??= ； ()2?,,z H l l构成⼒学量完全集，存在共同本征态；定态薛定谔(能量本征⽅程)：2 22221()22l r V r E r r r r ψψµµ-++= ?上式左边第⼆项称为离⼼势能，第⼀项称为径向动能算符。

取ψ为 ()2,,z H l l 共同本征态，即：()()(),,,l lmr R r Y ψθ?θ?= (),lm Y θ?是()2,z l l共同本征态：0,1,2,...l =，0,1,2,...,m l =±±± 分离变量：()()22222120l l l E V l l d d R R R r dr dr r µ-+??++-=径向⽅程可写为：()()22222()120l l l E V r l l dR d R R dr r dr r µ-+??++-=，0,1,2,...l = (1) 为求解径向⽅程，引⼊变换：()()l l r R r rχ=；径向⽅程简化为：()()22222()10l l E V r l l d dr r µχχ-+??+-=(2) 不同的中⼼⼒场中粒⼦的能量本征波函数的差别仅在于径向波函数R l (r )或χl (r )，它们由中⼼势V (r )的性质决定。

⼀般⽽⾔，中⼼⼒场中粒⼦的能级是2l +1重简并的。

全同的概念全同是一个数理概念，主要用于描述具有完全相同性质和特征的对象或系统。

在不同的领域中，全同的概念有所不同，下面我将从物理学、化学和数学三个方面来详细介绍全同的概念。

在物理学中，全同的概念主要应用于描述物质的微观粒子，如原子、分子和粒子等。

根据量子力学理论，全同粒子是指具有相同质量、电荷和自旋等性质的粒子。

此外，全同粒子还需要满足波函数对称或反对称的性质。

对于玻色子（如光子、声子等）来说，它们具有对称的波函数，因此可以在同一时刻处于相同量子状态；而费米子（如电子、质子等）具有反对称的波函数，因此不能在同一时刻处于相同量子状态。

这一特性导致了玻色子可以同时处于同一量子态，形成玻色凝聚和激光等现象；而费米子则遵循泡利不相容原理，不同电子要占据不同的量子态。

全同粒子的特性在量子信息和量子计算中有重要的应用。

在化学中，全同的概念用于描述等电子体系，如电子对、自旋三重态等。

根据量子力学的电子交换对称性原理，对于完全满足洪克尔规则的电子体系，如氦原子，在电子交换后的波函数中，总的电子交换性质不会改变。

这意味着，交换两个全同的电子粒子，不会改变整个体系的能量和波函数的形式。

如果交换两个不同的电子粒子，整个体系的能量和波函数就会发生改变。

这一性质解释了物质中化学键的形成和反应的进行。

同时，全同电子对的性质也对化学键的强度和性质有重要影响。

在数学中，全同的概念主要应用于集合论和代数结构。

在集合论中，全同指的是具有相同成员的集合。

即使成员的排列顺序不同，只要集合的成员相同，就可以看作是全同的。

例如，{1, 2, 3}和{3, 2, 1}是全同的集合。

在代数结构中，全同的概念是对称性的重要性质之一。

例如，全同变换是指保持代数结构的不变性的变换。

在群论中，全同变换是将群的元素映射回自身的变换，满足封闭性、结合律和单位元等性质。

全同变换是群的重要概念，对于研究群的结构和性质有很大的意义。

综上所述，全同是一个数理概念，它在物理学、化学和数学等领域中有着重要的应用。

第五章全同粒子5.1两-粒子体系对于一个单粒子而言,ψ(r , t)是空间坐标r 和时间t 的函数（我们暂时忽略自旋）。

而有两个粒子的体系的状态则是粒子1的坐标（r 1）、粒子2的坐标（r 2）和时间的函数：12().ψr r ,,t (5.1) 它随时间的演化由薛定谔方程决定：,i H t ψψ∂=∂ (5.2) 其中H 是整个体系的哈密顿： 2222121212(,,)22H V t m m =-∇-∇+r r (5.3)（∇的下标1或2表示微分仅对粒子1或粒子2的坐标作用）。

此时的统计诠释很明确： 2331212()d d ψr r r r ,,t(5.4) 是在体积元31d r 中发现粒子1并在体积元32d r 中发现粒子2的几率；当然，Ψ必须是归一化的：2331212()d d 1ψ=⎰r r r r ,,t (5.5) 对于势能不显含时间的情况，我们通过分离变量得到一套完备的解： /1212()(,),iEt e ψψ-r r r r ,,t =(5.6) 这里，空间波函数Ψ满足定态薛定谔方程：22221212,22V E m m ψψψψ-∇-∇+= (5.7) 其中，E 为系统总能量。

**问题 5.1 通常相互作用势仅依赖于两粒子间的相对位置矢量12≡-r r r 。

在这种情况下，如果我们将变量r 1,r 2代换为r 和R ≡(m 1r 1+m 2r 2)/(m 1+m 2)（质心坐标），薛定谔方程就可以分离变量。

(a) 证明r 1=R +(μ/ m 1) r ，r 2=R -(μ/ m 2) r ，12(/)R r m μ∇=∇+∇，21(/)R r m μ∇=∇-∇, 其中：1212m m m m μ≡+ (5.8)是体系的约化质量。

(b)证明（定态）薛定谔方程可以写作：222212().2()2R r V E m m ψψψψμ-∇-∇+=+r (c) 分离变量，令(,)()()R r ψψψ=R r R r 。