r 0,
Rl (r) ~ r l
(4)
Rl(r ) r 2 Rl (r ) 0
r ,
Rl (r ) ~ e
r2 / 2
(5)
设方程(3)的解是：
Rl (r ) r e
l r2 / 2
u(r )
(6)
2 代入方程(3)可得：u (l 1 r 2 )u 2 E ( 2l 3)u 0 (7) r
方程(22)描述的是质心的运动，是自由粒子的能量本征方程，Ec 是质心运动的能量，与体系的内部结构无关；方程(23)描述的是 相对运动，其形式与单粒子的能量本征方程相同，只不过时把粒 子的质量改为约化质量，E为相对运动能量。
§5.2 无限深球方势阱
无限深球方势阱
V(r)
0, r a V (r ) , r a
V (r) 1 m 2 r 2 2 (1)
选自然单位制 m 1 ，则径向方程可化为
Rl(r ) 2 l (l 1) Rl( r ) 2 E r 2 Rl ( r ) 0 2 r r (3)
在r=0处，波函数的渐进行为是 在r→∞时，方程(3)可化为 其解为
2 ˆ 2 2 2 r 2 l p r 2 r r r 2 2 2 2 2 2 2 l l 2 2 r r2 2 2 r r r r r r
2
(3)
能量本征方程
ˆ 2 1 2 l2 ˆ (r ) E r V 2 r r 2 2 r 2
0
1/ 2
当a→∞时，此时粒子无任何限制，为自由粒子，其波Байду номын сангаас数不能 归一化，此时选径向波函数为
Rkl ( r )
2
π
jl ( kr)
a
0
Rkl (r )Rk r 2dr δ (k k )
§5.3 三维各向同性谐振子
势函数 径向方程是
2 1 2m l (l 1) Rl(r ) Rl(r ) 2 E m 2r 2 Rl (r ) 0 2 r 2 r (2)
引进质心坐标R和相对坐标r m1r 1 m2 r2 R , r r1 r2 m1 m2 可以证明 其中
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 R r m1 m2 M μ
(17)
(19)
M m1 m2 , μ m1m2 /(m1 m2 )
由于 ξ 1γ r 2l 1 ，则在ξ=0的邻域内，u2在物理上不能接受。 则方程(8)的解为
u F (α , γ ,ξ ) F ((l 3 / 2 E ) / 2, l 3 / 2,ξ ) (10)
合流超几何函数的级数形式
α α (α 1)ξ 2 α (α 1)(α 2)ξ 3 F (α , γ ,ξ ) 1 ξ (11) γ γ (γ 1)2 γ (γ 1)(γ 2)3!
引进无量纲参量 ρ kr ，则方程(10)可化为
l (l 1) d2 2 d Rl Rl 1 Rl 0 2 2 dρ ρ dρ ρ
(12 )
此为球Bessel方程，其解可取球Bessel函数和球Neumann函数.
ρ 0
jl ( ρ ) ρ l /( 2l 1)!! n l ( ρ ) ( 2l 1)!! ρ ( l 1) (13)
d2 2 d l (l 1) 2 R ( r ) R ( r ) ( E V ( r )) Rl (r ) 0 l l 2 2 2 dr r dr r (6)
令 则有
Rl (r ) χ l (r ) / r
(7)
(8)
l (l 1) 2 l(r ) 2 ( E V (r )) 2 l (r ) 0 r
与能量本征值对应的径向本征函数为
Rnrl (r) Cnrl jl (knrl r), knrl ξ nrl / a
2 Cnrl 3 / jl 1 (k nrl a ) jl 1 (knrl a) a a 2 R ( r ) R r nrl nr l dr δ nr nr
l 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6， s, p, d , f , g , h, i,
5.1.2 径向波函数在r →0邻域的渐进行为
假定势函数满足
lim
r 0
r 2V (r ) 0
(10)
在r →0时，方程(6)可渐进表示成为
d2 2 d l (l 1) Rl ( r ) Rl ( r ) Rl ( r ) 0 2 2 dr r dr r (11)
(1)
(1) 对s（l=0）态，径向方程为
2mE ( r ) 2 0 ( r ) 0 0
边界条件
( 2)
0
a
r
χ 0 (0) χ 0 (a) 0
(r ) k 2 χ 0 (r ) 0 χ0
(3)
在势阱内(0<r<a)，方程(2)可化成
(4) (5)
其解为
式中
分离变量
(r1.r2 ) ( R) (r )
(21)
代入(20)得 2 2 R ( R) EC ( R) (22) 2M 2 2 V ( r ) ( r ) E ( r ), E ET EC (23) 2 r
R0 (r ) 1 / r
的解并不违反此要求。但若把r=0包含在内
ψ R0 (r )Y00 1 / r
并不是能量本征方程
(14)
2 2 V ( r )ψ Eψ 2m
的解。
利用下列公式可进行验证 因此方程(6)在r →0的解为
1 4πδ ( r ) r
若将r=0（ρ = 0）考虑在内，Neumann函数的解在物理上不能 接受，因此在球方势阱内的解应取为
Rl (r ) jl (kr)
由边界条件得
(14)
jl (ka) 0
r
(15)
ka
来确定 jl (ξ ) 0 的根，依次记为
ξ n l , nr 0,1,2,
则粒子能量的本征值为 粒子的能级图
l rp
r l pl 0
5.1.1 角动量守恒与径向方程 设质量为μ的粒子在中心力场V(r)中运动，其哈密顿为 2 ˆ2 p ˆ ˆ (r ) ˆ (r ) H V 2 V (1) 2 2 可以证明： ˆ ˆ ˆ2 ˆ ˆ ] [lˆ , H ˆ ] [lˆ , H ˆ]0 [l , H ] [l , H ] [lˆx , H (2) y z 在球坐标下有
2s
Enr l
2 , nr 0,1,2, (16) 2 nr l 2a
0h
1d
20 9.00 05 8.86 12 8.37 04 6.77 11 6.04
0g
1p
0f 1s 0d 0p
0s
03 4.94 10 4.00 02 3.36 01 2.04
00
nr l
1
Enrl / E00
离心势能
(4)
径向动能
2 在中心力场中，l2, l, lx, ly, lz均是守恒量，选守恒量完全集 ( H , l , l z )
其共同本征函数为
ψ (r,θ ,υ ) Rl (r )Ylm (θ ,υ ),l 0,1,2,, m 0,1,2,,l
(5)
代入方程(4)得到径向波函数满足的方程
令
ξ r2
，则(7)可化为
d 2u du ξ (γ ξ ) αu 0 2 dξ dξ 此方程是合流超几何方程，其中参数为
1 α (l 3 / 2 E ), γ l 3 / 2 整数 2
(8)
( 9)
方程(8)有两个解： u1 F (α , γ ,ξ ), u2 ξ 1γ F (α γ 1,2 γ ,ξ )
V (r ) V (r )
dl dr dp 1 pr p p r [ V ( r )] dt dt dt μ ˆ]0 r dV ( r ) [l , H r 0 r dr
l rp
(3) 中心力场中粒子的运动必为平面运动，平面的法线方向 就是角动量的方向
显然，能量本征值 E与m无关，能级有2l+1重简并。但选用守恒量 2 完全集 ( H , l , l z ) 后， 同一能级的各简并态的标记和它们间的 正交性自动解决
对角动量l=0的情况，(8)式与一维势场的情况相同，只不过 自变量的取值范围不同。
对于非束缚态，E连续变化；对于束缚态，则E取离散值。在求 解径向方程时，将出现径向量子数nr, nr=0,1,2,…,代表径向波函数 节点的个数(不包括0和∞)。能级E依赖于量子数nr和l，记为Enrl。 在给定l的情况下，随nr增大Enrl增大；在给定nr的情况下，随l增 大，Enrl增大。 原子光谱学记号
第五章 中心力场
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 中心力场中粒子运动的一般性质 无限深球方势阱 三维各向同性谐振子 氢原子
§5.1 中心力场中粒子运动的一般性质
中心力场：粒子所受的力总是通过一个中心，如万有引力场， 原子中电子所受的库仑场，三维各向同性谐振子。
经典力学中中心力场的特点： (1)势函数仅是径向坐标的函数，即 (2)角动量守恒
Total mass
2 R
Reduced mass
