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高中数学组合数学与应用组合数学是高中数学的一个重要内容，它是数学中研究离散结构、组合问题的一个分支，也是许多实际问题的数学建模工具。
在本文中，我们将介绍组合数学的基本概念和应用。
一、组合数学的基本概念组合数学主要研究离散的、无序的集合以及其中的元素组合的方式。
下面是组合数学中常用的概念：1. 排列排列是指从$n$个不同元素中选出$m$个元素进行有序排列的方法数，通常用$P(n,m)$表示。
2. 组合组合是指从$n$个不同元素中选出$m$个元素进行无序组合的方法数，通常用$C(n,m)$或$\binom{n}{m}$表示。
3. 排列组合公式排列和组合之间存在一定的关系，可以通过以下公式进行转化：$$C(n,m)=\frac{P(n,m)}{m!}=\binom{n}{m}$$4. 二项式系数二项式系数是指二项式展开的系数，通常用$\binom{n}{k}$表示。
它的计算公式是：$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$二、组合数学的应用组合数学在实际问题中有着广泛的应用，主要体现在以下几个方面：1. 梅化尔问题梅化尔问题是组合数学中的经典问题之一。
问题描述为：在一个$n$个人的舞会中，每个人都想和其他所有人跳一次舞。
问需要进行多少次舞会可以满足所有人的需求？解答该问题需要使用组合数学的知识，即求解$n$个元素的排列数$P(n,n)$。
答案为$(n-1)!$次。
2. 集合运算组合数学中的集合运算包括并集、交集和差集等。
这些运算在数据库查询、信息检索等领域中得到广泛应用。
3. 赛事安排在体育赛事中，如何安排参赛队伍的对战组合是一个常见的问题。
组合数学可以帮助我们确定合适的赛程安排，以确保每个队伍都能与其他所有队伍进行比赛。
4. 密码学密码学是组合数学的重要应用领域之一。
组合数学中的排列和组合技术被广泛应用于密码的生成、破解以及信息加密等方面。
5. 图论图论是组合数学中的一个重要分支，它研究的是离散结构中的节点和边的关系。
高中数学组合 1.3.3 组合的应用导学案新人教A版选修1、3、3组合的应用学习目标：1、进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；2、能够解决一些组合应用问题学习重点：解决一些组合应用问题学习过程一、复习引入：1、组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”无序性；⑶相同组合：元素相同2、组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数、用符号表示、3、组合数公式的推导：（1）一般地，求从n个不同元素中取出m 个元素的排列数，可以分如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；② 求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：＝、（2）组合数的公式：或4、组合数的性质1：、5、组合数的性质2：＝+、二、学习新课：典例分析例1、将1，2，3，…，9这9个数字填在如下图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为()34A、6种B、12种C、18种D、24种例2、从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？例3、现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？例4、甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？例5、6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？例6、按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本、课堂练习：1、已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，C＝{8,9}、现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成的集合个数为()A、24B、36C、26D、272、(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为几种？(2)有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？(3)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？第六课时1、3、3组合的应用答案典例分析例1、答案：A解析：第一行从左到右前面两个格子只能安排1，2，最右下角的格子只能是9，这样只要在剩余的四个数字中选取两个，安排在右边一列的上面两个格子中(由小到大)，剩余两个数字安排在最下面一行的前面两个格子中(由小到大)，故总的方法数是C＝6、例2、解：分为三类：1奇4偶有；3奇2偶有；5奇1偶有，∴一共有++、例3、解：我们可以分为三类：①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有；②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有；③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有，∴一共有++＝42种方法、例4、解法一：（排除法）、解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有；另一类为甲不值周一，但值周六，有，∴一共有+＝42种方法、例5、解：第一步：从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有种方法；第二步：将5个“不同元素（书）”分给5个人有种方法、根据分步计数原理，一共有＝1800种方法例6、解：(1)无序不均匀分组问题、先选1本，有C种选法；再从余下的5本中选2本，有C种选法；最后余下3本全选，有C 种选法、故共有分配方式CCC＝60(种)、(2)有序不均匀分组问题、由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑再分配，共有分配方式CCCA＝360(种)、(3)无序均匀分组问题、先分三组，则应是CCC种方法，但是这里出现了重复、不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则CCC种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共有A种情况，而这A种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有＝15(种)、(4)有序均匀分组问题、在(3)的基础上再分配给3个人，共有分配方式A＝CCC＝90(种)、(5)无序部分均匀分组问题、共有分配方式＝15(种)、(6)有序部分均匀分组问题、在(5)的基础上再分配给3个人，共有分配方式A＝90(种)、(7)直接分配问题、甲选1本，有C种方法；乙从余下的5本中选1本，有C种方法；余下4本留给丙，有C种方法、共有分配方式CCC＝30(种)、课堂小节：本节课学习了组合的应用课堂练习1、解析：分三类：第一类：选集合A、B可组成CC＝12个集合；第二类：选集合A、C可组成CC＝8个集合；第三类：选集合B、C可组成CC＝6个集合、由分类加法计数原理，可组成12＋8＋6＝26个集合、答案：C2、解析：(1)由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A＝24(种)、(2)∵总的排法数为A＝120(种)，∴甲在乙的右边的排法数为A＝60(种)、(3)解法一每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数、分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；若分配到2所学校有C2＝42(种)；若分配到3所学校有C＝35 (种)、∴共有7＋42＋35＝84(种)方法、解法二10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C＝84种不同方法、所以名额分配的方法共有84种、。
组合数学的基本概念与应用组合数学是一门研究离散对象的组合结构和数量关系的数学分支。
它在日常生活、计算机科学、物理学、生物学等众多领域都有着广泛而重要的应用。
首先，我们来了解一下组合数学中的几个基本概念。
排列是指从给定的元素集合中按照一定的顺序选取若干个元素进行排列。
比如，从数字 1、2、3 中选取两个数字进行排列，就有 12、21、13、31、23、32 这六种可能。
组合则是从给定的元素集合中选取若干个元素，不考虑其顺序。
还是以数字1、2、3 为例，从中选取两个数字的组合有12、13、23 这三种。
容斥原理是组合数学中的一个重要原理。
它用于计算多个集合的并集中元素的个数。
例如，假设有集合 A、B，A 中有 10 个元素，B 中有 15 个元素，A 和 B 的交集有 5 个元素，那么 A 和 B 的并集中元素的个数就是 10 ＋ 15 5 ＝ 20 个。
在组合数学中，还有一个常见的概念是鸽巢原理。
简单来说，如果有 n ＋ 1 只鸽子要放进 n 个鸽巢，那么至少有一个鸽巢里会有两只或两只以上的鸽子。
这个原理看似简单，却在很多问题的解决中发挥着关键作用。
接下来，让我们看看组合数学在现实生活中的一些应用。
在密码学中，组合数学起着至关重要的作用。
为了保证信息的安全传输，需要设计复杂的加密算法。
这些算法往往基于组合数学中的排列、组合等概念。
例如，通过对明文进行特定的排列和组合操作，生成难以被破解的密文。
组合数学在计算机科学领域也有广泛的应用。
在算法设计中，经常需要考虑如何在众多可能的解决方案中找到最优解。
例如，在旅行商问题中，需要找到一条经过多个城市且路径最短的路线。
这就需要运用组合数学的知识来分析各种可能的路线组合，并找到最优解。
在物流和供应链管理中，组合数学也大有用武之地。
比如，在货物的配送规划中，需要考虑如何选择最优的配送路线和运输方式，以降低成本和提高效率。
这就涉及到对各种组合方案的评估和选择。
在生物信息学中，组合数学也发挥着重要作用。
数字的组合与分拆数字是构成我们日常生活和工作的基本元素之一。
无论是进行算术运算、统计数据、计算时间还是解决实际问题，数字都扮演着至关重要的角色。
在数学中，数字的组合与分拆也是一个值得探索的领域。
本文将讨论数字的组合与分拆的方法以及其在实际生活中的应用。
一、数字的组合数字的组合指的是将一组数字按照一定的规则进行排列，形成新的数值。
在组合中，每个数字可以使用零次、一次或多次，但顺序不同则视为不同的组合。
例如，对于数字1、2和3的组合，可以得到以下的排列：123、132、213、231、312和321。
1. 排列组合排列组合是数字组合中常用的方法，用于计算从一组数字中选择若干个数字进行排列的可能性。
在排列中，考虑数字的顺序。
例如，在数字1、2和3中选择两个数字进行排列，可以得到以下的结果：12、21、13、31、23和32。
公式可以表示为：P(n,r) = n! / (n-r)!2. 组合数组合数是指从一组数字中选择若干个数字进行组合的可能性，不考虑数字的顺序。
例如，在数字1、2和3中选择两个数字进行组合，可以得到以下的结果：12、13和23。
公式可以表示为：C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)二、数字的分拆数字的分拆指的是将一个数字拆分为几个部分，每个部分可以是一个或多个数字的和。
数字的分拆在数学中被广泛应用于问题求解和数论等领域。
1. 分拆问题分拆问题通常出现在算术运算和数学推理中。
例如，将数字5分拆成几个不同的数字之和，可以有多种分拆方式，如1+4、2+3、1+1+1+1+1等。
分拆问题可以通过递归、贪心算法或动态规划等方法进行求解。
2. 不同形式的分拆数字的分拆不仅仅局限于加法运算，还可以采用其他运算符号进行分拆。
例如，将数字10进行乘法运算的分拆，可以有2*5和1*2*5等多种组合形式。
此外，数字的分拆还可以包括减法、除法、幂运算等。
三、数字的组合与分拆的应用数字的组合与分拆在实际生活中具有广泛的应用价值，包括但不限于以下几个方面：1. 组合与分拆在密码学中的应用数字的组合与分拆在密码学中扮演着重要的角色。
高中数学组合数学与排列数学知识点总结组合数学和排列数学都是高中数学中的重要内容，它们不仅在学科内部有深入的应用，还在许多实际问题中发挥着重要的作用。
本文将对高中数学中的组合数学与排列数学知识点进行总结和归纳。
一、组合数学知识点总结1.1 定义及性质组合数学是研究离散结构的一门学科，其中组合数是其中的一个重要概念。
组合数表示从n个不同元素中选取r个元素的所有可能情况的个数，记作C(n,r)或者(nCr)。
组合数有以下性质：- C(n,0) = 1，表示从n个元素中选取0个元素，只有一种情况，即空集。
- C(n,n) = 1，表示从n个元素中选取n个元素，只有一种情况，即全集。
- C(n,r) = C(n,n-r)，表示从n个元素中选取r个元素与选取剩下的n-r个元素是等价的。
1.2 组合的计算方法计算组合数可以使用以下方法：- 递推公式：C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)，即组合数等于上一层的左上方和正上方的组合数之和。
- 公式法：C(n,r) = n! / [(n-r)! * r!]，即组合数等于n的阶乘除以剩下的n-r个元素的阶乘和r个元素的阶乘的乘积。
1.3 组合数的应用组合数在实际问题中的应用非常广泛，以下是一些常见的应用场景：- 概率计算：组合数可以用于计算事件发生的概率。
- 集合的子集计数：组合数可以计算集合的子集个数。
- 礼物分配问题：组合数可以用于计算礼物分配的方式。
- 编码组合问题：组合数可以用于计算编码方式的组合数。
二、排列数学知识点总结2.1 定义及性质排列数学是研究有序排列的一门学科，其中排列数是其中的一个重要概念。
排列数表示从n个不同元素中选取r个元素按照一定的顺序排列的所有可能情况的个数，记作P(n,r)。
排列数有以下性质：- P(n,1) = n，表示从n个元素中选取1个元素进行排列，排列结果个数等于元素个数。
- P(n,n) = n!，表示从n个元素中选取n个元素进行排列，排列结果个数等于n的阶乘。
数的组合与分解数字是数学中最基本的概念之一，它们可以进行各种组合和分解。
在数论和组合数学中，探索数字的组合和分解方法具有重要意义。
本文将讨论数的组合和分解的相关概念、方法和应用。
一、组合数学中的数的组合数的组合是组合数学中的一个重要概念。
组合是指从一组元素中选取若干个元素的方式，不考虑元素的顺序。
比如，从1、2、3这三个数字中选取两个数字的组合为{1, 2}、{1, 3}和{2, 3}。
组合的个数可以用组合数来表示，通常用C(n, k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
组合数的计算公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即n！= n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
组合数的计算方法在概率论、统计学和计算机科学等领域有广泛应用。
例如，计算从一副扑克牌中抽取5张牌的组合数，可以帮助我们理解抽奖概率和手牌概率等问题。
二、整数的因式分解整数的因式分解是将一个整数表示为若干个素数的乘积的过程。
例如，将12分解为2 * 2 * 3，将18分解为2 * 3 * 3。
因素分解是数论中一个基本问题，也是解决其他复杂问题的基础。
对于一个大整数的因子分解，可以使用试除法、分解定理等方法。
试除法是一种简单但有效的方法，它从最小的质数2开始，不断将整数除以质数，直到最后的商为1为止。
例如，对于90，首先将其除以2，得到商为45，再将45除以3，得到商为15，再将15除以3，得到商为5，最后将5除以5，得到商为1，即90的因子分解为2 * 3 * 3 * 5。
因式分解在数学和计算机科学中有广泛应用。
在密码学中，因式分解的困难性是基于整数的RSA加密算法的核心。
在求解最大公约数、求解线性方程等问题中，也需要进行因式分解。
三、应用案例：密码学中的密码学是应用数学的一个重要分支，它涉及到保护信息和数据的安全性。
在密码学领域中，数的组合和分解方法得到了广泛应用。
高中数学排列与组合的应用及解题思路在高中数学中，排列与组合是一个重要的概念和工具，被广泛应用于各个领域的问题求解中。
掌握排列与组合的应用方法和解题思路，对于高中学生来说至关重要。
本文将以具体的题目为例，分析排列与组合的考点和解题技巧，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、排列与组合的基本概念在开始讨论具体问题之前，我们先来回顾一下排列与组合的基本概念。
排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列成一列，通常用P 表示。
组合是指从一组元素中选取若干个元素按照任意顺序组合成一组，通常用C 表示。
例如，从1、2、3、4四个数字中选取2个数字进行排列，可以得到以下6种不同的排列：12、13、14、23、24、34。
而组合就是将这6种排列中相同的数字组合在一起，即{12, 13, 14, 23, 24, 34}。
二、排列与组合的应用举例1. 题目：某班有10个学生，要从中选出3个学生组成一个小组，问有多少种不同的选法？解析：这是一个典型的组合问题。
我们需要从10个学生中选出3个学生，顺序不重要，即为组合。
根据组合的定义，可以使用组合公式C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)来求解。
代入具体的数值，即C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 120。
答案：有120种不同的选法。
2. 题目：某班有10个学生，要从中选出3个学生排成一排，问有多少种不同的排法？解析：这是一个典型的排列问题。
我们需要从10个学生中选出3个学生排成一排，顺序重要，即为排列。
根据排列的定义，可以使用排列公式P(n, k) = n! / (n-k)!来求解。
代入具体的数值，即P(10, 3) = 10! / (10-3)! = 720。
答案：有720种不同的排法。
三、排列与组合的解题思路在解决排列与组合问题时，我们可以采用以下几个步骤：1. 确定问题类型：首先要明确问题是排列还是组合，根据题目的要求来确定使用哪种方法。
数学中的组合数学数学是一门用于研究数量、结构、空间以及变化等概念的学科，而组合数学则是数学中的一个重要分支。
组合数学涉及到各种离散的对象和计数技巧，是解决实际问题和优化算法的重要工具。
在本文中，我们将探讨组合数学的基本概念、应用和研究领域。
一、基本概念组合数学主要研究离散的对象，如集合、排列、组合等。
其中，组合是组合数学中的一个基本概念。
组合指的是从集合中选取若干元素组成一个子集的方式。
在组合中，元素的顺序并不重要，只要元素相同即可。
例如，从1、2、3、4这四个元素中选取2个元素组成的组合是{1, 2}、{1, 3}、{1, 4}、{2, 3}、{2, 4}、{3, 4}。
在组合数学中，常用的计数方法有排列计数和组合计数。
排列计数指的是对于给定的一组对象，按照一定的规则进行排列，计算排列的总数。
组合计数指的是对于给定的一组对象，从中选取若干个对象组成一个子集，计算子集的总数。
二、应用领域组合数学在许多领域都有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用领域：1.密码学密码学是研究加密和解密技术的学科，而组合数学在密码学中扮演着重要的角色。
通过组合数学的方法，可以设计出处理大量数据的密码算法，确保信息的安全性。
2.图论图论是研究图及其性质的学科，而组合数学在图论中也有重要的应用。
通过组合数学的方法，可以研究图的连通性、最短路径等问题，从而优化网络通信、交通规划等领域的算法设计。
3.组合优化组合优化是一种研究在给定限制条件下求解最优解的方法，而组合数学是组合优化中的一个重要工具。
通过组合数学的方法，可以在有限的资源条件下，寻找出最优解，解决诸如旅行推销员问题、背包问题等实际应用中的优化难题。
三、研究领域除了应用领域外，组合数学在学术研究中也有着广泛的应用。
以下是几个典型的研究领域：1.组合图论组合图论是研究图结构及其性质的一个分支学科，主要研究图的最短路径、连通性等组合问题。
通过组合数学的方法，可以分析图的特性，揭示图的结构之间的关系。
数的组合认识数的组合关系数的组合——认识数的组合关系数学中的组合是一个重要的概念，它涉及到数的排列、组合以及数的性质和关系。
在这篇文章中，我们将深入探讨数的组合，并介绍一些与之相关的概念和应用。
一、数的组合与排列数的组合和排列是组合数学中的两个基本概念。
在数学中，排列是指从一组元素中取出若干个元素按照一定的顺序排列成一组，而组合则是从一组元素中取出若干个元素组成一组，不考虑元素的顺序。
例如，从1、2、3三个元素中取出两个元素进行排列，可以得到以下六种不同的排列：12、13、21、23、31、32而从1、2、3三个元素中取出两个元素进行组合，则只有以下三种情况：12、13、23这里可以明显看到，组合与排列的区别在于排列考虑了元素的顺序，而组合则不考虑。
二、组合数的计算组合数是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的组合的种数。
在组合数的计算中，我们使用了二项式系数的概念。
二项式系数表示为C(n, m)，也可以写作(n choose m)，其计算公式为：C(n, m) = n! / [m!(n-m)!]其中，n!表示n的阶乘，表示从1到n的所有正整数的乘积。
阶乘的计算公式为：n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1。
例如，计算C(3, 2)，即从3个元素中取出2个元素的组合数，可以得到如下计算过程：C(3, 2) = 3! / (2!(3-2)!) = 3! / (2! * 1!) = (3 * 2 * 1) / (2 * 1) = 3所以C(3, 2)等于3，即从3个元素中取出2个元素的组合种数为3种。
三、数的组合关系与应用数的组合关系在实际生活和数学领域中有着广泛的应用。
我们来看几个典型的例子：1. 组合游戏在游戏中，经常会出现将数字或字符进行组合的情况。
例如，猜数字游戏中，猜数字的人可以根据游戏规则从给出的数字中选取若干个数字进行组合，猜测正确的数字。
这就涉及到了数的组合关系。
组合数的意义及其计算组合数，是指从n个不同的元素中，取出m个元素（m ≤ n）组成的组合的个数。
组合数是一个非常基础且重要的概念，被广泛地应用于数学、物理、化学等各个领域。
本文将详细介绍组合数的意义及其计算方法。
一、组合数的意义组合数是指从n个不同的元素中，取出m个元素（m ≤ n）组成的组合的个数。
组合数的意义在于表示从n个元素中选出m个元素的方案数，也就是如何从众多事物中有序地选择一定数量的事物，而不同于排列，组合不考虑元素的顺序。
例如，我们有5个不同的数字，想要从中选出3个数字进行组合，那么这5个数字的组合数是10，即C(5,3) = 10。
所以，我们可以看出，组合数是从一堆元素中找出不同的排列方式的总数。
二、组合数的计算方法组合数的计算方法有多种，其中最常见的是公式法和递推法。
1. 公式法公式法是指根据组合数的定义及排列组合的知识，利用公式直接计算出组合数。
根据组合数的定义，可以得到其计算公式如下：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)其中n!表示从1到n的所有正整数的乘积，m!表示从1到m的所有正整数的乘积，(n-m)!表示从1到(n-m)的所有正整数的乘积。
这个公式可以在计算机上进行计算，但当n和m很大时，需要进行高精度运算，计算量会非常大。
2. 递推法递推法是指根据组合的性质，通过已知的组合数计算出未知的组合数。
根据组合数的定义，可以得到其递推公式如下：C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)使用递推公式可以不断地往下递推计算组合数，直到计算得到需要的组合数。
虽然递推法的计算方法相对复杂，但是可以用于计算较大的组合数，计算效率也比公式法高得多。
三、组合数的应用组合数在现代数学中广泛应用，例如：1. 计算概率组合数可以用于计算事件的概率。
在抽取n个物品中，抽出m个物品的概率就等于m个物品的组合数除以n个物品的组合数。
2. 图论组合数可以用于计算图论中的问题，例如计算图中的生成树数量，或最大流量等问题。
第三节 组 合考纲解读理解组合的意义，掌握组合数公式，并能用它们解决一些简单的应用问题.命题趋势探究预测2015年高考，有关组合的试题主要以选择题和填空题的形式出现，大多数试题难度与教材相当，主要涉及单纯组合题、分选问题、选排问题、分组问题和分配问题.知识点精讲1.单纯组合问题2.分选问题和选排问题①分选问题，几个集合按要求各选出若干元素并成一组的方法数.②选排问题，分选后的元素按要求再进行排列的排列数.3.分组问题和分配问题①分组问题，把一个集合中的元素按要求分成若干组的方法数；②分配问题，把一个集合中的元素按要求分到几个去处的方法数.题型归纳及思路提示题型169 单纯组合应用问题思路提示把所给问题归结为从n 个不同元素中取m 个元素，可用分类相加、分布相乘，也可用总数减去对立数.例12.21 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？（1）只有一名女生当选；（2）两队长当选；（3）至少有一名队长当选；（4）至多有两名女生当选；（5）既要有队长，又要有女生当选.分析 注意理解组合与排列问题的不同——取出的元素有无顺序.解析 （1）1名女生，4名男生，故共有3504815=C C （种）.（2）只需从剩余的11人中选择3人即可，故有165311=C （种）.（3）解法一：（直接法）至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长，故共有8253112241112=+C C C C （种）.解法二：（间接法）采用排除法825511513=-C C （种）. （4）至多两名女生含有3类情形：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故选法为：9665848153825=++C C C C C 种.（5）解法一：（直接法）分两类：①女队长当选，故有412C 种；②男队长当选，故至少需要另外4名女生中的一名，故44173427243714C C C C C C C +++种.综上可知，选法有412C +44173427243714C C C C C C C +++=790种.解法二：分两类：①女队长当选，故有412C 种；②男队长当选，故至少需要另外4名女生中的一名.若另外的4人都是男生，则有47C 种方法，故男队长当选，且至少有一名女生（且为非女队长）的方法有()474111C C -⋅种，故共有412C +()47411C C -=790种. 变式1 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，10人中甲、乙不能都去，共有（ ）种邀请方法.A.84B.98C.112D.140变式2 在四面体的顶点和各棱中共10个点中选4个点不共面，共有（ ）种不同取法.A.150B.147C.141D.142变式3 若A x ∈1，就称A 为有伴关系的集合，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=4,3,2,1,21,31,1M ，则M 的非空子集中，具有有伴关系的集合有（ ）个.A.15B.16C.82D.52例12.22 在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，y 轴正半轴上有3个点，将x 轴上5个点和y 轴上3个点连成15条线段，这些线段在第一象限交点最多有（ ）个.A.30B.35C.20D.15解析 如图12-21所示，在x 轴正半轴上5个点中取两点B A ,，在y 轴正半轴上3个点中取两点D C ,，确定四边形ABCD ，其对角线P BC AD =⋂是第一象限的点，能确定多少个四边形，就可以确定多少个符合第一象限的点，这些点互不重合（这是可以做到的），得这样的点最多有302325=C C 个，故选A.评注 解决与几何有关的组合问题，必须注意几何问题本身的限制条件，解题时可借助图形来帮助.变式1 AOB ∠的边OA 上有4321,,,A A A A 四个点，OB 边上有4321,,,B B B B ，5B 五个点，共9个点，连接线断j i B A ()51,41≤≤≤≤j i ，若其中两条线段不相交，则称之为和睦线对，则共有和睦线（ ）对.A.30B.60C.120D.160变式2 在坐标平面上有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，若经5次跳动质点落在()0,3处，则质点共有______种跳法；若经过m 次跳动质点落在()0,n 处，0,1,≥≥≥n m n m 且n m +为偶数，则质点共有______种跳法.题型170 分选问题和选排问题思路提示两个集合B A ,，()()21,n B card n A card ==.A 选1m ，B 选2m ，共有2211m n m n C C 种方法，选排为选出再排列. 例12.23 6女4男选出4人.（1）女选2，男选2有多少种选法？再安排4个不同工作，有多少方法？（2）至少有一女有多少种选法？（3）至多3男有多少选法？（4）男女都有，有多少种选法？（5）选男甲不选女A,B ，有多少种选法？解析 （1）女选2，男选2有902624=C C 种选法，再安排4个不同工作有2160442624=A C C 种方法.（2）加法：20946143624263416=+++C C C C C C C ；减法：20944410=-C C .（3）减法：20944410=-C C .（4）加法：194143624263416=++C C C C C C ；减法：1944446410=--C C C .（5）从10-3=7人中选3人，3537=C .评注 涉及“至多”、“至少”的问题通常用排除法；变式1 有7名翻译，4人会英语，4人会日语，从中选2名英语翻译和2名日语翻译，共有多少种选法？变式2 9名水手，6人会左舵位，6人会右舵位.现选3名右舵手和3名左舵手分坐于6个舵位，共有多少种安排方法？变式3 甲组5男3女，乙组6男2女，两组各选2人，则选出的4人中恰有1女，共有（ ）种取法.A.150B.180C.300D.345例12.24 （2012浙江理6）若从9,3,2,1，⋯这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ）种.A.60B.63C.65D.66解析 由数字特征可知，9,7,5,3,1共5个奇数，8,6,4,2共四个偶数，取出四个不同的数，和为偶数有以下几类：四个均为奇数，有545=C 种取法；两个奇数，两个偶数，有602524=C C 种取法；四个均为偶数，有144=C 种取法.共有66种不同的取法，故选D.变式1 从7,6,5,4,3,2,1这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成无重复数字的四位数，其中有（ ）个奇数.A.432B.288C.216D.108变式2 由数字6,5,4,3,2,1,0组成的没有重复数字的四位数中，个、十、百3位数字之和为偶数的有______个（用数字回答）.变式3 从10~1这10个数字中任取4个数，其中第二个大的数字是7的取法有（ ）种.A.18B.20C.45D.84例12.25 （2012陕西理8）两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，所有可能出现的情形各人输赢局次的不同视为不同情形，则共有（ ）种.A.10B.15C.20D.30解析 根据题意可分3类：当比赛3场结束时，有332C =2种不同的情形；当比赛4场结束时，有6213=C 种；当比赛5场结束时，有12224=C 种不同情形.故共有201262=++种不同的情形.故选C.变式1 5名乒乓球运动员，有2名老队员和3名新队员，从中选出3人排成3,2,1号参加团体比赛，则其中至少一名老队员，且2,1号至少一名新队员，有______种排法（用数字作答）. 变式2 已知集合{}{}{}4,3,1,2,1,5===C B A ，从3个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系的一个点的坐标()z y x ,,，则共可确定（ ）个点的坐标.A.33B.34C.35D.36变式3 用4张分别标有4,3,2,1的红色卡片和4张分别标有4,3,2,1的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，如果取出来的4张卡片的数字之和为10，则共有______种排法（用数字作答）.题型171 平均分组和分配问题思路提示分组定义：把一个非空有限集A 按要求分成若干个互相没有公共元素的非空子集的并集.①分组三原则：一组一组的分出来（与顺序无关）；②有若干组为含单一元素的集合，不去管他们，分出其他组即可；③由若干（m 个）元素不为1的组，且元素个数相同，把①②的结果除以m m A .分配定义：把一个非空有限集A 的元素按要求分到若干个去处，每个去处分配元素至少为1个.分配问题共四个类型：逐方向分配即可，共有分配数：m mnn n n n m n n m n m C C C C N ⋯=---321211（额配法） . ②不定方向分配问题：各分配方向名额不确定.先把A 按要求分成若干组（分组问题），再把每组打包成一个元素，在m 个分配方向上排列（组排法）.③信箱问题.3封不同信任意投入4信箱，共有34种投法.④相同元素的分配问题（不定方程组的个数）——隔板问题. ⎪⎩⎪⎨⎧≤∈∈⋯=+⋯++nm N n m N x x x n x x x m m ,,,,,,**2121，共有11--m n C 组不同的解.例12.26 按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？（1）平均分配给甲、乙、丙3人，每人2本；（2）平均分成3份，每份2本；（3）分成3份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）甲、乙、丙3人，一人得1本，一人得2本，一人得3本；（5）分成3份，一份4本，另两份各1本；（6）甲、乙、丙3人，一人得4本，另外两个人每人得1本；（7）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本.解析 （1）解法一：（分步计数原理）因为要分给甲、乙、丙3人，可分三步完成，先从6本书中选择2本分给甲，其方法有26C 种；再从余下的4本中选2本分给乙，其方法有24C 种，最后的两本分给丙，方法有22C 种.有分步计数原理，故所求的分配方法有26C 24C 22C =90种. 解法二：（定序问题全排消序法）把分配给甲、乙、丙的3堆书看成无序排列（分到每个人的两本书是无序的）即定序问题，故考虑使用定序问题全排消序法求解，共有22222266A A A A 种分法.解法三：（先（平均）分组后分配）把6本书平均分成3份，每份2本的方法有33222426A C C C 种，再分配3个人的方法有33A 种。
数字游戏：认识全排列和组合数字游戏一直是人们生活中的一部分，它们既能提供娱乐，又能锻炼我们的思维能力。
在数字游戏中，全排列和组合是两个常见的概念和技巧。
本文将着重介绍全排列和组合，并通过几个实例来帮助读者更好地理解这两个概念。
1. 全排列全排列是指将一组数字按照不同顺序进行排列的所有可能结果。
在全排列中，每个数字都会出现且仅出现一次。
例如，对于数字1、2和3，全排列的结果有6种：123、132、213、231、312和321。
全排列可以通过递归来进行求解。
具体而言，可以将全排列分解为两个步骤：首先确定第一个位置的数字，然后对剩下的数字进行全排列。
通过递归的方式，不断确定每个位置的数字，直到最后一个位置。
这样就能得到所有的全排列。
2. 组合组合是指从一组数字中选择出若干个数字，使得它们的顺序不重要。
与全排列不同的是，组合中的每个数字只能出现一次，且不考虑数字的顺序。
例如，对于数字1、2和3，所有的组合有7个：1、2、3、12、13、23和123。
计算组合可以使用数学公式进行求解。
假设有n个数字，要选取k个数字进行组合，那么组合的数量可以通过公式C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!) 来计算。
其中，!表示阶乘操作。
3. 实例分析我们通过几个实例来说明全排列和组合的应用。
实例1：假设有4个数字1、2、3和4，我们要求这些数字的全排列。
解答：根据全排列的定义，我们首先确定第一个位置的数字，可以选择1、2、3或4作为开头。
然后对剩下的三个数字进行全排列。
通过递归的方式，我们可以得到所有的全排列。
实例2：假设有5个人，要从中选择3个人进行组合，以便参加一个活动。
解答：根据组合的定义，我们可以使用组合的公式C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10来计算。
因此，从5个人中选择3个人进行组合的方法有10种。
通过以上的实例分析，我们可以看到全排列和组合在解决实际问题中的应用。
1．排列与排列数(1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A m n.2．组合与组合数(1)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C m n.排列数、组合数的公式及性质顺序有关，组合问题与顺序无关．一、排列问题排列典型例题：有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻．解：(1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37·A44＝5 040(种)．(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种)．法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种)．(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种)．(5)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种)．1.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A．324 B．648C．328 D．3602.用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________．3.甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有()A．10种B．16种C．20种D．24种二、组合问题组合典型例题：某运动队有男运动员6名，女运动员4名，若选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员．解：(1)任选3名男运动员，方法数为C36，再选2名女运动员，方法数为C24，共有C36·C24＝120(种)方法．(2)法一：(直接法)至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，由分类加法计数原理可得总选法数为C14C46＋C24C36＋C34C26＋C44C16＝246(种)．法二：(间接法)“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”，因此用间接法求解，不同选法有C510－C56＝246(种)．1.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有()A．30种B．36种C．60种D．72种2.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种三、排列组合综合问题(1)简单的排列与组合的综合问题；(2)分组、分配问题．1.将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为()A．15 B．20C．30 D．422.将5位同学分别保送到大学、交通大学、大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有()A ．150种B ．180种C ．240种D ．540种此题是高考出现频率最高的题型，我把他称为均分问题：对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．(3)涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。
组合数学与其应用研究组合数学是现代数学中非常重要和广泛应用的一个分支。
它的主要研究对象是离散的结构，例如排列、组合、图论等，多数应用于计算机科学、信息学、统计、物理、化学、生物学及社会科学等领域。
一、排列与组合排列与组合是组合数学的两个基本概念。
它们的区别在于：排列是有顺序的选取若干不同元素，而组合则没有顺序。
举个例子，从1、2、3、4四个数中选取两个数，其排列是四个数中选取一个数，再从剩下的三个数中选取一个数，排列共有4×3=12种情况，组合是直接在四个数中选取两个数，组合只有6种情况。
在实际应用中，排列和组合的计算方法十分常用。
例如在组合化学中，我们需要计算一定数量的元素可以组成多少种不同的化合物；在物理学中，我们需要考虑不同原子之间的相互作用，其中也需要用到排列组合的知识；在数据分析中，也需要对数据进行排列组合，通过排列和组合来推测数据的规律。
二、图论图论是组合数学中的一个重要概念，它研究由一些点和连接这些点的边组成的图形。
图论的应用非常广泛，例如在计算机科学中，常用于网络拓扑结构的建模和优化，以及计算机程序复杂度分析。
最常见的图形是无向图和有向图。
无向图是由一些点和这些点之间的边组成的，这些边没有方向。
有向图是由一些节点和这些节点之间的有向边组成的，这些有向边有方向。
图的很多性质都可以通过图的矩阵或者邻接矩阵来表示。
例如，邻接矩阵可以表示图的连通性、环路等。
三、生成函数生成函数是组合数学中的一种工具，它可以将数列转化为函数，通过对函数进行变化，来求出数列的某些性质。
例如，我们可以将数列a1, a2, a3, ……转化成函数g(x) = a1 + a2x + a3x^2 + ……，这个函数叫做这个数列的生成函数。
通过对生成函数进行分析和变换，我们可以得到这个数列的很多性质，例如平均值、方差等。
生成函数的应用非常广泛。
例如，在组合计数中，我们需要计算对于一个集合，元素个数分别是1、2、3、…，n的所有不同子集数量之和，这个问题可以通过计算集合对应的生成函数的系数之和来解决。
