122三角形全等的判定(2)教案

三角形全等的判定(二)一、教案目的和要求熟练掌握角边角公理，能正确找出公理的条件，从而证明两个三角形全等，进而由三角形全等还可以得出对应边相等和对应角相等。

利用三角形全等解决证明边相等或角相等的问题。

二、教案重点和难点重点：对于证明两个三角形全等条件的正确运用，可以由两角和夹边对应相等的条件证明三角形全等，在图形较复杂的情况下，对应关系应当找对，同时对角角边公理应加以重视。

难点：例题难度加强了，使学生能够经过几步推理逐渐找到解题最佳途径。

证明两次全等，运用不同判定公理时，要思路清楚。

二、教案过程(一)复习、引入提问：1. 我们已经学习了角边角公理，“角、边、角”的含义是什么？（两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等）。

2. 已知两个三角形有两个角相等，能否推出第三个角也对应相等？为什么？由此可以得到哪个判定公理？（第三个角也应相等，因为三角形内角和等于180 ，由此可以得到角角边公理）。

3. 两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个三角形全等吗？为什么？（全等，由AAS公理可得出）4. 两个直角三角形中，有一条直角边和它的对角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？（全等，由AAS公理可得出）5. 两个直角三角形中，有一条直角边和与它相邻的锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？（全等，由AAS公理可得出）(二)新课刚才同学们能很快运用ASA和AAS公理证明三角形全等，但是有些题目的条件比较隐蔽，需经过分析方能找到解题的思路，这类题目能锻炼同学们的思维能力，请特别注意，下面我们看几个例题：例1 已知：如图67，∠1＝∠2，AD＝AE求证：OB＝OCAD 1 2 EOB C 图67分析：这题与书中例1图相同，但改变了已知条件，难度有所增加，所求线段OB 和OC 分别在∆BOD 和∆COE 中，但直接证这两个三角形全等，条件不够，需要从另两个三角形全等中创造条件。

根据已知条件，可证明∆ABE ≅∆ACD 。

优质资料---欢迎下载12.2三角形全等的判定（2）——“边角边”【教学目标】1、知识与技能：（1）掌握三角形全等的“边角边”的条件；（2）能初步应用“边角边”条件证明两个三角形全等，进而证明线段或角相等。

2、数学思考：（1）使学生经历利用SAS探索三角形全等的过程，体验操作、归纳得出数学结论的过程；（2）在探索三角形全等条件及其应用的过程中，能够进行有条理的数学思考并进行简单的逻辑推理。

3.解决问题：能应用“边角边”条件证明两个三角形全等，进而证明线段或角相等。

4.情感与态度：（1）通过对问题的共同探讨，感悟三角形全等的应用价值，体会数学在实际生活的作用，增强学习数学的兴趣。

（2）通过合作交流，培养合作意识，体验成功的喜悦。

【学情分析】根据本班学生的心理特征及其认知规律，本班学生的学习水平参差不齐，学生在识别图形能力上不足，教材要求学生会确定全等三角形的对应元素也就成了学生有待突破的难点。

对本节课的学习，学生已经经历了探索三角形全等的边边边判定定理的活动，大部分学生已经获得了一些数学活动的经验，具有一定的操作经验、合作学习的经验以及简单的逻辑推理的经验。

【教学内容分析】《三角形全等的判定-“边角边”定理》是人教版八年级数学第十二章第二节的内容。

本节在知识结构上，它是学生们在学习了全等三角形的性质和“边边边”判定定理的基础上，进一步学习三角形全等的判定方法，为后续的学习内容奠定了基础，是初中数学的重要内容。

在能力培养上，无论是动手操作能力、逻辑思维能力，还是分析问题、解决问题的能力，都可在全等三角形教学中得以培养和提高。

本节内容是数学说理与逻辑推理的继续，是对几何推理格式的进一步加强。

通过本节的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其他图形知识打好基础。

因此，全等三角形的教学对全章乃至以后的学习都是至关重要的。

【教学重难点】1、重点：理解并掌握运用SAS证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等.2、难点：满足两边一角的两三角形全等条件的分析和探索，能在解题应用时正确寻找判定三角形全等的条件．【教学用具】多媒体课件，三角形硬纸，圆规，三角板（一副）【教学过程】一、复习回顾，引入课题1、填空：已知：AC=AD,BC=BD,求证：AB 是∠DAC 的平分线. 证明:在△ABC 和△ABD 中，AC = AD ( 已知 )BC = BD ( 已知 ) = ( ) ∴△ABC≌△ABD ( )∴∠1=∠2 ( ）∴AB 是∠DAC 的平分线（角平分线定义）二、实践操作，探究新知1、（课前操作）活动1： 已知三角形的两条边分别是 10cm ，18cm ，且这两边的夹角是80°，画出这个三角形，把所画的三角形剪下来。

12.2 三角形全等的判定第2课时一、教学目标（一）学习目标1．探索三角形全等的“边角边”的条件；2．掌握“边角边”判定两个三角形全等的方法；3．能运用“边角边”证明简单的三角形全等问题．（二）学习重点掌握“边角边”判定两个三角形全等的方法．（三）学习难点掌握图形特征，寻找适合条件的两个三角形全等.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）三角形全等的条件：_________和它们的______对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“______”．注：______及其中一边所对的_____对应相等，两个三角形不一定全等.【答案】两边夹角SAS 两边角2．预习自测（1）如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果PN与QM互相平分，则只需测出其长度的线段是（）A．PO B．PQ C．MO D．MQ【知识点】三角形全等的判定方法“SAS”、全等三角形的性质【解题过程】解：在△POQ和△NOM中，OP ONQOP MON OQ OM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△POQ≌△NOM(SAS)．∴PQ=MN ．故选B ．【思路点拨】用“SAS”判定两个三角形全等，从而可得PQ=MN ．【答案】B ．（2）如图，在ABC △和DEF △中，已知AB DE =，BC EF =，根据（SAS ）判定ABC DEF △≌△，还需的条件是（ ）A ．A D ∠=∠B ．B E ∠=∠C ．C F ∠=∠D ．以上三个均可以【知识点】三角形全等的判定方法“SAS”【解题过程】解：用“SAS”判定△ABC ≌△DEF ．故选B ．【思路点拨】用全等三角形的判定方法“SAS”．【答案】B ．（3）下图中全等的三角形有（ ）图1 图2 图3 图4A ．图1和图2B ．图2和图3C ．图2和图4D ．图1和图3【知识点】三角形全等的判定方法“SAS”【解题过程】解：用“SAS”判定图1与图3两个三角形全等．故选：D ．【思路点拨】利用“SAS”判定三角形全等．【答案】D ．（4）如图所示，在△ABD 和△ACE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，要证△ABD ≌△ACE ，需补充的条件是（）A ．∠B ＝∠C B ．∠D ＝∠E C ．∠DAE ＝∠BAC D ．∠CAD ＝∠DAC【知识点】三角形全等的判定方法“SAS”【解题过程】解：∵∠DAE ＝∠BAC∴∠DAE+∠DAC ＝∠BAC+∠DACA DC即：∠CAE ＝∠BAD在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAEAD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACE ，故选：C ．【思路点拨】利用“SAS”判定三角形全等．【答案】C ．(二)课堂设计1.知识回顾（1）能够完全重合的两个图形叫做全等形，完全重合的两个三角形叫做全等三角形；（2）全等三角形的对应边相等，对应角相等．（3）边边边公理：三边分别对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）2.问题探究探究一：探索三角形全等的“边角边”的条件.●活动① 回顾旧知，回忆三角形全等的判定方法1三角形全等的判定方法1边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等．简写为“边边边”或“SSS”.用符号语言表达:在△ABC 和△A'B'C'中AB A B BC B C AC A C ''=⎧⎪''=⎨⎪''=⎩∴△ABC ≌△A'B'C'（SSS ）【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫.●活动② 整合旧知，探究三角形全等的“边角边”的条件.1．猜一猜：教师演示：把两根木条的一端用螺栓固定在一起．问题1：连接另两端所成的三角形能唯一确定吗？问题2：如果将两条木条之间的夹角(即∠BAC)大小固定，那么△ABC能唯一确定吗？2．做一做：(1)用量角器和刻度尺画△ABC，使AB＝2cm，BC＝2.5 cm，∠ABC＝60°.学生动手画图，然后剪下来，再与其他同学进行比较．(2)将∠ABC的度数换成20°，再试一试，情况会怎么样？学生活动：带着以上两个问题，学生小组合作动手试验，验证猜想．追问:通过“猜一猜”和“做一做”，你能归纳两个三角形全等的判定方法吗？学生活动：讨论、交流并归纳得出：在两个三角形中，如果有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．【设计意图】通过操作、观察、分析、归纳、总结，让学生体会到成功的喜悦，培养学生的观察、分析能力．探究二：掌握“边角边”判定两个三角形全等的方法★●活动①集思广益，归纳得出新知识三角形全等的判定方法 2 在两个三角形中，如果有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．（简写成“边角边”或“SAS”）.（教师强调：“边角边”中的角必须是对应相等的两边的夹角.必须是“对应相等”．）B'C'B用符号语言表达:在△ABC和△A'B'C'中AB A B BAC B A C AC A C ''=⎧⎪'''∠=∠⎨⎪''=⎩∴ △ABC ≌△A'B'C'（SAS ）【设计意图】老师综合学生的疑惑，把有意义的问题归纳，并展示出来．●活动② 发散思维，重新认识做一做 画△ABC ，使AB=2cm ，BC=2.5cm ，∠ACB=40°学生动手画图，然后剪下来，再与其他同学进行比较．（学生画出的可能有锐角三角形、钝角三角形．）归纳得出：两边及其一边所对的角对应相等时，两个三角形不一定全等．（没有“边边角”）强调：1）格式要求：先指出在哪两个三角形中说明全等；再按判定顺序列出三个条件，并用括号把它们括在一起；写出结论．2）在应用时，怎样寻找已知条件：已知条件包含两部分，一是已知中给出的，二是图形中隐含的（如公共边，公共角、对顶角、邻补角、外角、平角等）所以找条件归结成两句话：已知中找，图形中看．3）平面几何中常要说明角相等和线段相等，其说明常用方法：证明角相等的方法――对顶角相等；同角（或等角）的余角（或补角）相等；两直线平行，同位角相等，内错角相等；角平分线定义；等式性质；全等三角形的对应角相等．证明线段相等的方法――中点定义；全等三角形的对应边相等；等式性质．【设计意图】全等三角形的全等的用途很广泛，而说明全等的的格式很有必要要求学生书写规范，而这里复习说明角相等和线段相等的知识点，有利于学生知识系统的完善．探究三：能运用“边角边”证明简单的三角形全等问题．★ ▲●活动①直接利用“SAS”证明三角形全等例1.已知AB=AD ，AC=AE ，∠BAC=∠DAE ，说明△BAC 和△DAE 全等的理由．D【知识点】三角形全等的判定方法“SAS”【解题过程】在△BAC 和△DAE 中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAC ≌△DAE （SAS ）【思路点拨】直接应用全等的判定方法“SAS”即可．【答案】见解析练习：已知：如图，AB ＝CB ，∠ABD ＝∠CBD ，△ABD 和△CBD 全等吗？【知识点】三角形全等的判定方法“SAS”【解题过程】解：全等，因为AB ＝CB ，∠ABD ＝∠CBD ，BD ＝BD ，所以△ABD ≌△CBD ．【思路点拨】直接应用全等的判定方法“SAS”即可．【答案】全等【设计意图】通过简单练习，掌握三角形全等的判定方法“SAS”．●活动2利用“SAS”及全等三角形的性质证明线段相等例2.如图，在△ABC 和△ABD 中，AC 与BD 相交于点E ，AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA.求证：AC ＝BD.【知识点】三角形全等的判定方法“SAS”、全等三角形的性质【解题过程】证明：在△ABC 和△ABD 中，AD BC DAB CBAAB BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△BAD(SAS)．∴AC ＝BD. 【思路点拨】先利用全等的判定方法“SAS”证两个三角形全等，再利用全等三角形的对应边相等可得．【答案】练习：如图所示，AC 和BD 相交于点O ，OA ＝OC ，OB ＝OD.求证：DC ∥AB.【知识点】三角形全等的判定方法“SAS”、全等三角形的性质、平行线的性质【解题过程】证明：在△AOB 和△COD 中，OA OC AOB CODOB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOB ≌△COD.∴∠A ＝∠C ，∴AB//CD. 【思路点拨】先利用全等的判定方法“SAS”证两个三角形全等，再利用全等三角形的对应角相等证两个角相等，再由平行线的判定得平行.【设计意图】让学生明白利用全等解决问题的思路：(1)从已知出发，探究要证明的相等的线段或角分别在哪两个全等三角形中；(2)分解图形——将所证全等三角形从“复合”图形中分离出来；(3)“移植”条件——将已知转移至图形，再根据已知条件及隐含条件寻求恰当的判定方法．●活动3添加辅助线利用“SAS”解决综合性问题例3问题背景：如图①所示，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝60°.探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ，使DG ＝BE ，连接AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是______________；探索延伸：如图②，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O 处)北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ，F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．【知识点】三角形全等的判定方法“SAS”、全等三角形的性质【解题过程】解：问题背景： EF ＝BE ＋FD探索延伸：EF ＝BE ＋FD 仍然成立．理由：延长FD 到点G ，使DG ＝BE ，连接AG ，∵∠B ＋∠ADC ＝180°，∠ADG ＋∠ADC ＝180°，∴∠B ＝∠ADG.在△ABE 和△ADG 中，BE DG B ADGAB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ADG. ∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG.又∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠FAG ＝∠FAD ＋∠DAG ＝∠FAD ＋∠BAE ＝∠BAD －∠EAF ＝∠BAD －12∠BAD ＝12∠BAD ，∴∠EAF ＝∠GAF.在△AEF 和△AGF 中AE AG EAF GAFAF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEF ≌△AGF(SAS)又∵FG ＝DG ＋DF ＝BE ＋DF ，∴EF ＝BE ＋FD.实际应用：如图，连接EF ，延长AE ，BF 相交于点C ，在四边形AOBC 中， ∵∠AOB ＝30°＋90°＋20°＝140°，∠EOF ＝70°＝12∠AOB ，又∵OA ＝OB ，∠OAC ＋∠OBC ＝60°＋120°＝180°，符合探索延伸中的条件，∴结论EF ＝AE ＋FB 成立．即EF ＝AE ＋FB ＝1.5×(60＋80)＝210(海里)．答：此时两舰艇之间的距离为210海里．【思路点拨】（1）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题；（2）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题．（3）连接EF ，延长AE.BF 相交于点C ，然后与（2）同理可证．【答案】问题背景： EF ＝BE ＋FD ．探索延伸：EF ＝BE ＋FD 仍然成立．实际应用：此时两舰艇之间的距离为210海里．练习：请阅读，完成证明和填空.八年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：(1)如图1，正三角形（等边三角形）ABC 中，在AB.AC 边上分别取点M 、N ，使BM=AN ，连接BN 、CM ，发现BN=CM ，且∠NOC=60°．请证明：∠NOC=60°．(2)如图2，正方形ABCD 中，在AB.BC 边上分别取点M 、N ，使AM=BN ，连接AN 、DM ，那么AN=___，且∠DON=___°．(3)如图3，正五边形ABCDE 中，在AB.BC 边上分别取点M 、N ，使AM=BN ，连接AN 、EM ，那么AN=___，且∠EON=___°．(4)在正n 边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．请大胆猜测，用一句话概括你的发现：_________________________________________．【知识点】三角形全等的判定方法“SAS”和全等三角形的性质综合运用【解题过程】(1)证明：∵△ABC 是正三角形∴∠A=∠ABC=60°，AB=BC在△ABN 和△BCM 中，AB BC A MBCAN BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABN ≌△BCM(SAS)∴∠ABN=∠BCM又∵∠ABN+∠OBC=60°∴∠BCM+∠OBC=60°∴∠NOC=60°；(2)∵四边形ABCD 是正方形∴∠DAM=∠ABN=90°，AD=AB ，在△ABN 和△DAM 中AB DA ABN DAMBN AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABN ≌△DAM(SAS)∴AN=DM ，∠ADM=∠BAN又∵∠ADM+∠AMD=90°∴∠BAN+∠AMD=90°∴∠AOM=90°即∠DON=90°(3)∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠A=∠B ，AB=AE ，在△ABN 和△EAM 中，AB EA B EAMBN AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABN ≌△EAM(SAS)∴AN=ME∴∠AEM=∠BAN∴∠NOE=∠NAE+∠AEM=∠NAE+∠BAN=∠BAE=108°(4)以上所求的角恰好等于正n 边形的内角()2180n n -⋅︒．【思路点拨】（1）利用△ABC 是正三角形，可得∠A=∠ABC=60°，AB=BC ，又因BM=AN ，所以△ABN ≌△BCM ，∠ABN=∠BCM ，所以∠NOC=∠BCM+∠OBC=∠ABN+∠OBC=60°；（2）同（1）利用三角形全等，可知在正方形中，AN=DM ，∠DON=90°；（3）同（1）利用三角形全等，可知在正五边形中，AN=EM ，∠EON=108°；（4）以上所求的角恰好等于正n 边形的内角()2180n n -⋅︒．【设计意图】综合考查全等三角形的判定与性质的题目，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是这类问题的难点．利用全等三角形解决问题要注意综合运用相等的量及有关知识进行推理论证或计算．3. 课堂总结知识梳理（1）三角形全等的判定方法：SAS ；（2）判定应用的书写格式．重难点归纳（1）掌握三角形全等的判定方法：SAS ；特别注意：角必须是两条相等的对应边的夹角，边必须是夹相等角的两组对应边．（2）用“分析法”寻找命题结论也是一种推理论证的方法，即从结论出发逐步递推到题中条件，常以此作为分析寻求推理论证的途径．（3）证明线段、角相等常见的方法：证明角相等的方法――对顶角相等；同角（或等角）的余角（或补角）相等；两直线平行，同位角相等，内错角相等；角平分线定义；等式性质；全等三角形的对应角相等．证明线段相等的方法――中点定义；全等三角形的对应边相等；等式性质．。

12.2 三角形全等的判定（第2课时）教学内容三角形全等的条件（SAS）教学过程一、导入新课教师让学生先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A．把画好的△A′B′C′剪下来，放在△ABC上，它们全等吗？二、探究新知1．边角边定理教师指导学生按上面的要求作图，并验证．画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A．（1）画∠DA′E＝∠A；（2）在射线A′D上截取A′B′＝AB，在射线A′E上截取A′C′ ＝AC；（3）连接B′C．师生共同归纳出判定两个三角形全等的定理：如果两个三角形的两边和它们的夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．（简写成“边角边”或“SAS”）2．定理的应用例1 如图，有一池塘，要测池塘两侧A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，•使CE＝CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？分析：如果能够证明△ABC≌△DEC，就可以得出AB＝DE．由题意可知，△ABC和△DEC具备“边角边”的条件．证明：在△ABC和△DEC中，CA＝CD，∠1＝∠2，CB＝CE，∴△ABC≌△DEC（SAS）．∴AB＝DE．提示：全等三角形的对应角、对应边相等．所以证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应角、对应边相等．让学生思考以下问题：例2 把一长一短的两根木棍的一端用螺钉固定在一起，摆出△ABC，固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD，这个实验说明了什么？学生思考后，教师进行点评．△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC 与△ABD不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．三、课堂小结1．记住“边角边”定理内容．2．会用“边角边”定理判定全等三角形，并能解决简单的问题．四、布置作业习题12.2第2题．教学反思：。

人教版数学八年级上册教案《12-2三角形全等的判定》（第2课时）一. 教材分析《12-2三角形全等的判定》是人教版数学八年级上册的教学内容，这部分内容是在学生已经掌握了三角形的基本概念、性质以及三角形相似的基础上进行学习的。

判定三角形全等是几何学习中重要的内容，它不仅巩固了学生对三角形性质的理解，而且为后续四边形、多边形的全等学习打下基础。

本节课主要让学生掌握三角形全等的判定方法，包括：SSS（三边全等）、SAS （两边及夹角全等）、ASA（两角及夹边全等）、AAS（两角及非夹边全等）四种方法，并能够运用这些方法解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念、性质，对几何图形有了一定的认识。

但是，对于三角形全等的判定方法，他们可能还不太熟悉，需要通过实例来加深理解。

此外，学生可能对四种判定方法之间的联系和区别不够明确，需要在教学过程中进行引导和讲解。

三. 教学目标1.了解三角形全等的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS。

2.能够运用全等三角形的判定方法判断两个三角形是否全等。

3.理解全等三角形的性质，并能够运用性质解决实际问题。

4.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

四. 教学重难点1.教学重点：三角形全等的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS。

2.教学难点：四种判定方法之间的联系和区别。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索、发现和总结三角形全等的判定方法。

2.通过实例讲解，让学生加深对全等三角形判定方法的理解。

3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论中巩固所学知识。

4.运用多媒体辅助教学，展示几何图形的动态变化，提高学生的空间想象力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.几何模型或教具。

3.三角形全等的判定方法相关资料。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾三角形的基本概念、性质，为新课的学习做好铺垫。

然后，教师提出本节课要学习的内容：三角形全等的判定方法。

人教版八年级数学上册12.2.2《三角形全等的判定(2)》教学设计一. 教材分析《三角形全等的判定(2)》是人教版八年级数学上册第12.2节的一部分，主要介绍SSS、SAS、ASA、AAS四种三角形全等的判定方法。

这部分内容是在学生已经学习了三角形全等的概念和初步判定方法的基础上进行讲解的，目的是让学生能够熟练运用这些判定方法判断两个三角形是否全等。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对于之前学习的三角形全等的概念和初步判定方法有一定的了解。

但是，学生在实际操作中可能对判定方法的运用还不够熟练，需要通过大量的练习来提高。

三. 教学目标1.让学生掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种三角形全等的判定方法。

2.培养学生运用这些判定方法判断两个三角形是否全等的能力。

3.提高学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

四. 教学重难点1.重点：SSS、SAS、ASA、AAS四种三角形全等的判定方法。

2.难点：如何灵活运用这些判定方法判断两个三角形是否全等。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索和发现三角形全等的判定方法。

2.通过大量的例题和练习，让学生在实际操作中掌握判定方法的应用。

3.利用多媒体辅助教学，提高学生的空间想象能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.教案、PPT、练习题等教学资料。

3.三角板、直尺等学具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的三角形图片，引导学生关注三角形的全等问题。

然后提出问题：“如何判断两个三角形是否全等？”让学生思考和讨论。

2.呈现（10分钟）介绍SSS、SAS、ASA、AAS四种三角形全等的判定方法，并通过PPT展示每个判定方法的证明过程和例子。

3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，每组选出一道题目，运用所学的判定方法判断两个三角形是否全等。

教师巡回指导，解答学生的问题。

4.巩固（10分钟）选取一些判断题，让学生判断两个三角形是否全等。

12-2三角形全等的判定(4课时)第1课时“边边边”判定三角形全等1．掌握“边边边”条件的内容．2．能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等．3．会作一个角等于已知角．重点“边边边”条件．难点探索三角形全等的条件．一、复习导入多媒体展示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形的对应边相等，对应角相等．反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等．思考：三角形的六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等吗？二、探究新知根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢？如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢？出示探究1：先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个或两个．你画出的△A′B′C′与△ABC一定全等吗？(1)三角形的两个角分别是30°，50°.(2)三角形的两条边分别是4 cm，6 cm.(3)三角形的一个角为30°，一条边为3 cm.学生剪下按不同要求画出的三角形，比较三角形能否和原三角形重合．引导学生按条件画三角形，再通过画一画，剪一剪，比一比的方式得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．出示探究2：先任意画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，C′A′＝CA.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？让学生充分交流后，教师明确已知三边画三角形的方法，并作出△A′B′C′，通过比较得出结论：三边分别相等的两个三角形全等．强调在应用时的简写方法：“边边边”或“SSS”．实物演示：由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的．明确：三角形的稳定性．三、举例分析例1 如右图，△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架．求证：△ABD≌△ACD.引导学生应用条件分析结论，寻找两个三角形的已有条件，学会观察隐含条件．让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程．教师引导学生作图．已知∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.讨论尺规作图法，作一个角等于已知角的理论依据是什么？教师归纳：(1)什么是尺规作图；(2)作一个角等于已知角的依据是“边边边”．四、巩固练习教材第37页练习第1，2题．学生板演．教师巡视，给出个别指导．五、小结与作业回顾反思本节课对知识的研究探索过程，小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律．进一步明确：三边分别相等的两个三角形全等．布置作业：教材习题12.2第1，9题．本节课的重点是探索三角形全等的“边边边”的条件；运用三角形全等的“边边边”的条件判别两个三角形是否全等．在课堂上让学生参与到探索的活动中，通过动手操作、实验、合作交流等过程，学会分析问题的方法．通过三角形稳定性的实例，让学生产生学数学的兴趣，学会用数学的眼光去观察、分析周围的事物，为下一节内容的学习打下基础．第2课时“边角边”判定三角形全等1．掌握“边角边”条件的内容．2．能初步应用“边角边”条件判定两个三角形全等．重点“边角边”条件的理解和应用．难点指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件．一、复习引入1．什么是全等三角形？2．全等三角形有哪些性质？3．“SSS”具体内容是什么？二、新知探究已知△ABC，画一个三角形△A′B′C′，使AB＝A′B′∠B＝∠B′，BC＝B′C′.教师画一个三角形△ABC.先让学生按要求讨论画法，再给出正确的画法． 操作：(1)把画好的三角形剪下和原三角形重叠，观察能重合在一起吗？ (2)上面的探究说明什么规律？ 总结：判定两个三角形全等的方法：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”．三、举例分析多媒体出示教材例2.例2 如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 的距离，可先在平地上取一个点C ，从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B.连接AC 并延长到点D ，使CD ＝CA.连接BC 并延长到点E ，使CE ＝CB.连接DE ，那么量出DE 的长就是A ，B 的距离，为什么？分析：如果证明△ABC ≌△DEC ，就可以得出AB ＝DE. 证明：在△ABC 和△DEC 中，⎩⎨⎧CA ＝CD ，∠1＝∠2，CB ＝CE ，∴△ABC ≌△DEC(SAS )． ∴AB ＝DE.归纳解决实际问题的一般方法是：分析实际问题，按要求画出图形，根据图形及已知条件选择对应的方法．四、课堂练习如图，已知AB ＝AC ，点D ，E 分别是AB 和AC 上的点，且DB ＝EC.求证：∠B ＝∠C.学生先独立思考，然后讨论交流，用规范的书写完成证明过程． 五、小结与作业 1．师生小结：(1)“边角边”判定两个三角形全等的方法．(2)在判定两个三角形全等时，要注意使用公共边和公共角． 2．布置作业：教材习题12.2第3，4题．本节课的重点是让学生认识掌握运用“边角边”判定两个三角形全等的方法，让学生自己动手操作，合作交流，通过学生之间的质疑讨论，发现此定理中角必为夹角，从而得出“边角边”的判定方法．不仅学习了知识，也训练了思维能力，对三角形全等的判定(SAS)掌握的也好，但要强调书写的格式的规范，同时让学生感受到在证明分别属于两个三角形的线段或角相等的问题时，通常通过证明这两个三角形全等来解决．第3课时“角边角”和“角角边”判定三角形全等1．掌握“角边角”及“角角边”条件的内容．2．能初步应用“角边角”及“角角边”条件判定两个三角形全等．重点“角边角”条件及“角角边”条件．难点分析问题，寻找判定两个三角形全等的条件．一、复习导入1．复习旧知：(1)三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？三个角、三个边、两边一角、两角一边．(2)到目前为止，可以作为判定两三角形全等的方法有几种？各是什么？2．[师]在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，我们接着探究已知两角一边是否可以判定两三角形全等．二、探究新知1．[师]三角形中已知两角一边有几种可能？[生](1)两角和它们的夹边；(2)两角和其中一角的对边．做一做：三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4 cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？学生活动：自己动手操作，然后与同伴交流，发现规律．教师活动：检查指导，帮助有困难的同学．活动结果展示：以小组为单位将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．提炼规律：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．(可以简写成“角边角”或“ASA”)[师]我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个△ABC，能不能作一个△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AB＝A′B′呢？[生]能．学生口述画法，教师进行多媒体课件演示，使学生加深对“ASA”的理解．[生](1)先用量角器量出∠A 与∠B 的度数，再用直尺量出AB 的边长； (2)画线段A ′B ′，使A ′B ′＝AB ；(3)分别以A ′，B ′为顶点，A ′B ′为一边作∠DA ′B ′，∠EB ′A ′，使∠DA ′B ′＝∠CAB ，∠EB ′A ′＝∠CBA ；(4)射线A ′D 与B ′E 交于一点，记为C ′. 即可得到△A ′B ′C ′.将△A ′B ′C ′与△ABC 重叠，发现两三角形全等． [师]于是我们发现规律：两角和它们的夹边分别相等的两三角形全等．(可以简写成“角边角”或“ASA ”)这又是一个判定两个三角形全等的条件． 2．出示探究问题：如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，△ABC 与△DEF 全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？证明：∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝∠D ＋∠E ＋∠F ＝180°， ∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ， ∴∠A ＋∠B ＝∠D ＋∠E. ∴∠C ＝∠F.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∠C ＝∠F ，∴△ABC ≌△DEF(ASA )． 于是得规律：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等．(可以简写成“角角边”或“AAS ”)例 如下图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB ＝AC ，∠B ＝∠C.求证：AD ＝AE.[师生共析]AD 和AE 分别在△ADC 和△AEB 中，所以要证AD ＝AE ，只需证明△ADC ≌△AEB 即可．学生写出证明过程．证明：在△ADC 和△AEB 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠A ，AC ＝AB ，∠C ＝∠B ，∴△ADC ≌△AEB(ASA )． ∴AD ＝AE. [师]到此为止，在三角形中已知三个条件探索两个三角形全等问题已全部结束．请同学们把两个三角形全等的判定方法作一个小结．学生活动：自我回忆总结，然后小组讨论交流、补充． 三、随堂练习1．教材第41页练习第1，2题． 学生板演． 2．补充练习图中的两个三角形全等吗？请说明理由．四、课堂小结有五种判定两个三角形全等的方法： 1．全等三角形的定义 2．边边边(SSS ) 3．边角边(SAS ) 4．角边角(ASA ) 5．角角边(AAS )推证两个三角形全等，要学会联系思考其条件，找它们对应相等的元素，这样有利于获得解题途径．五、课后作业教材习题12.2第5，6，11题．在前面研究“边边边”和“边角边”两个判定方法的前提下，本节研究“角边角”和“角角边”对于学生并不困难，让学生通过直观感知、操作确认的方式体验数学结论的发现过程，在这节课的教学中，学生也了解了分类思想和类比思想．第4课时 “斜边、直角边”判定三角形全等1．探索和了解直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”．2．会运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等．重点探究直角三角形全等的条件．难点灵活运用直角三角形全等的条件进行证明．一、情境引入(显示图片)舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？方法一：测量斜边和一个对应的锐角(AAS)；方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角(ASA或AAS)．工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”．你相信他的结论吗？二、探究新知多媒体出示教材探究5.任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°.再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB.把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC 上，它们全等吗？画一个Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB.想一想，怎么样画呢？按照下面的步骤作一作：(1)作∠MC′N＝90°；(2)在射线C′M上截取线段B′C′＝BC；(3)以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′；(4)连接A′B′.△A′B′C′就是所求作的三角形吗？学生把画好的△A′B′C′剪下放在△ABC上，观察这两个三角形是否全等．由探究5可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简写成“斜边、直角边”或“HL”．多媒体出示教材例5如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD.求证：BC＝AD.证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ， ∴∠C 与∠D 都是直角． 在Rt △ABC 和Rt △BAD 中， ⎩⎨⎧AB ＝BA ，AC ＝BD ，∴Rt △ABC ≌Rt △BAD(HL )． ∴BC ＝AD. 想一想：你能够用几种方法判定两个直角三角形全等？ 直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法：SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，还有直角三角形特殊的判定全等的方法——“HL ”．三、巩固练习如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由．学生独立思考完成．教师点评． 四、小结与作业1．判定两个直角三角形全等的方法：斜边、直角边． 2．直角三角形全等的所有判定方法： 定义，SSS ，SAS ，ASA ，AAS ，HL .思考：两个直角三角形只要知道几个条件就可以判定其全等？ 3．作业：教材习题12.2第7题．本节课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理解．在教学过程中，让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力．。

12.2 三角形全等的判定(第2课时)一、内容和内容解析1．内容“SAS”判定方法及其简单应用．2．内容解析本节内容是在学生已探明了两个三角形全等至少需要满足三个条件，及三边分别相等的两个三角形全等的基础上，探究两边和一角分别相等的情形．两边和一角分别相等包括两种情况：一是两边和它们的夹角分别相等；二是两边和其中一边的对角分别相等．其中第一种情况教科书采用了作图实验的方法，让学生验证两边及夹角分别相等的两个三角形全等，与“SSS”判定方法的探究过程类似，“SAS”也是证明线段、角相等的一种重要方法．第二种情况由于三角形的形状不固定，作图对学生的要求过高，所以教科书采用了教具演示的方法予以解释．基于以上分析，本节课的教学重点是：理解“SAS”判定方法，并会用“SAS”判定方法证明两个三角形全等．二、目标和目标解析1．目标(1)探索并理解“SAS”判定方法．(2)会用“SAS”判定方法证明两个三角形全等．(3)了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件．2．目标解析达成目标(1)的标志是：学生能类比“SSS”判定方法的探索过程，通过动手操作，探究出“SAS”判定方法．达成目标(2)的标志是：学生会运用“SAS”证明两个三角形全等，并能通过证明三角形全等来证明线段相等或角相等．达成目标(3)的标志是：学生通过操作、试验，认识到两边及一边对角分别相等不能作为判定两个三角形全等的依据．三、教学问题诊断分析在本节课中，教科书没有通过作图来解释“SSA”不成立，虽然教师通过教具进行了演示、说明，但学生缺乏作图、比对的切身体验，而且八年级学生的理性思维还不强，很容易知其然不知其所以然．另一方面，“两边及一角分别相等”是“SAS ”判定方法与“SSA ”的共同点，两者的相似度较高，学生在运用的过程中很容易将两者混淆，把“SSA ”当作“SAS ”来用．基于以上分析，确定本节课的教学难点：“SSA ”的理解及其与“SAS ”判定方法的区别．四、教学过程设计引言 在前面的学习中，我们通过动手画图、观察猜想、总结归纳，对三角形全等的条件进行了探究，了解了两个三角形全等至少需要满足三个条件，并且研究了三边分别相等的情况，得到了“SSS ”判定方法．本节课将探究“两边一角”分别相等的情形．设计意图：教师通过引导，帮助学生回忆已学知识，了解探究两个三角形全等的基本思路是要寻找使两个三角形全等的简捷条件．让学生明确本节课要探究的问题，是两边一角分别相等的两个三角形是否全等．1．尺规作图，探究“边角边”判定方法问题1 先任意画出一个△ABC ，再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB ，∠ A′＝∠A ，C′A′＝CA (即两边和它们的夹角分别相等)．把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC 上，它们全等吗？图1师生活动：教师先让学生讨论“先画角还是先画边”，然后引导学生认识到先画角∠ A'＝∠A ，再用圆规截取A′B′＝AB ，C′A′＝CA 比较简捷．学生通过剪纸、叠放，发现两三角形完全重合．追问：通过实验，你能得出什么结论？请用文字语言和符号语言加以概括．师生活动：学生回答问题，并相互补充．教师板书：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简称为“边角边”或“SAS ”)．设计意图：让学生通过作图、剪图、叠合等过程，感悟基本事实的正确性，获得三角形ACBDB'A'C'E全等的又一种判定方法——“SAS”．在概括基本结论的过程中，引导学生透过现象看本质，锻炼学生用数学语言概括结论的能力．练习在图2中找一找有没有全等三角形，并说明全等的理由．图2师生活动：学生观察、思考后回答，并说明理由．教师强调：甲与丙全等的依据是“SAS”，而图乙中30º的角不是已知两边的夹角，所以不与另两个三角形全等．设计意图：通过本题的练习，让学生在尝试运用“SAS”判定两个三角形全等的过程中，进一步加深对三个条件的理解，强调角必须是两边的夹角．2．应用“SAS”判定方法，解决简单的实际问题问题2 如图3，某同学不小心把一块三角形的玻璃从两个顶点处摔裂开来，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃．请问如果只带一块碎片，你应该带哪一块去．试着说明理由．图3师生活动：学生讨论，各抒己见，表达观点．教师暂不发表意见．学生大多会回答带黑色的那一块．追问：理由是什么？师生活动：学生回答：利用今天所学“SAS”判定方法，大块完整地保留了两边及其夹角，一个三角形两条边的长度和夹角的大小确定了，这个三角形的形状、大小就确定下来了．设计意图：用所学知识解释生活现象，进一步体会“SAS”判定方法的用途，感悟数学的应用价值．了解数学与实际生活的密切联系．3．例题讲解，学会运用例 如图4，有一池塘，要测池塘两端A 、B 的距离，可先在平地上取一个点C ，从点C 不经过池塘可以直接到达A 和B ．连接AC 并延长到点D ，使CD ＝CA ．连接BC 并延长到点E ，使CE ＝CB ．连接DE ，那么量出DE 的长就是A ，B 的距离．为什么？师生活动：教师引导学生分析，由测量的结果可知，已具备了“CD ＝CA ”与“CE ＝CB ”两个条件，只需再找到它们所夹的角相等即可．而它们的夹角是对顶角，故具备了全等三角形的条件“SAS ”，进而由全等三角形的性质得出AB ＝CD ．设计意图：本道例题通过运用“SAS ”的判定方法证明几何问题，让学生进一步体会可以通过证明三角形全等的方法来证明线段相等或角相等．同时让学生在利用所学知识解决实际问题中获得乐趣．4．探索“SSA”问题3 如图5，摆出△ABC ．固定住长木棍，转动短木棍，得到△师生活动：形不全等． 追问：画△ABC 和△DEF ，使∠B ＝∠E ＝30º，AB ＝DE ＝5 cm ，AC ＝DF ＝3 cm ．观察所得的两个三角形是否全等？师生活动：学生作图，并回答△ABC 与△EDF 不一定全等．教师强调：两边和其中一边的对角这三个条件无法唯一确定三角形的形状，所以不能保证两个三角形全等．设计意图：判断一个命题是假命题，只要举一个反例，但找反例对学生来说比较困难，所以教师通过演示给出一个反例，让学生揣摩，反思，模仿画图，得出结论．5．小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： (1)本节课学习了哪些主要内容？(2)我们是怎么探究出“SAS ”判定方法的？用“SAS ”判定三角形全等应注意什么问ABDEC21图4C题?(3)到现在为止，你学到了几种证明两个三角形全等的方法?设计意图：帮助学生梳理本节课的知识，掌握本节课的核心 ——“SAS ”判定方法． 6．布置作业教科书习题12.2第2，3，10题． 五、目标检测设计1．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，欲证△ABD ≌△ACE ，可补充条件( ).A ．∠1＝∠2B ．∠B ＝∠CC ．∠D ＝∠E D ．∠BAE ＝∠CAD设计意图：考查学生对“SAS ”判定方法的正确运用．2．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，请补充完整过程说明△ABD ≌△ACD 的理由．∵ AD 平分∠BAC ，∴∠________＝∠_________(角平分线的定义)． 在△ABD 和△ACD 中，____________________________________，∴ △ABD ≌△ACD ( )．设计意图：考查学生对“SAS ” 判定方法的正确运用．3．如图，已知AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2，求证∠ADE ＝∠B ．设计意图：考查学生能否会将证明角相等的问题，转化为证明三角形全等的问题，并正确运用“SAS ”判定方法．E2BA 1 AEDCB21ABD C。