物理化学课件复合函数的偏微商公式.ppt

z x
0,
Fy
Fz
z y
0.
因为 Fz 连续,且Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0，所以存在
点( x0 , y0 ,
于就是得
z0 ) 得一个邻域,在这个邻域内 z Fx , z Fy .
Fz
0,
x Fz y Fz
隐函数的求导公式
z Fx , x Fz
例
已知 x2 a2
y2 b2
(2) F (0,0) 0; (3) Fy (0,0) 1 0, 隐函数存在定理1 所以方程在点 (0, 0) 附近确定一个有连续导数、 当x 0时y 0得隐函数 y f ( x),且
dy dx
Fx Fy
y x
e e
x y
.
隐函数的求导公式
例 已知ln x2 y2 arctan y ,求 dy . x dx
z f [ ( x, y), ( x, y),( x, y)]在对应点( x, y)
u
v
w
得两个偏导数存在, 且可用下列公式计算:
z x
z u
u x
z v
v x
z w
w x
ux
z y
z u u y
z v
v y
z w
w y
zv wy
多元复合函数的求导法则
例 设z
u2
1 v2
w2
,u
x2
y2,v
x2
x
x
z y z x x y
隐函数的求导公式
设方程 xy yz zx 1 确定了隐函数
z
y
z
z
z(
x,
y),
试求
2z x 2

et (cos t sin t ) cos t.
二、链式法则（一元套多元）
定 理 z f (u)在 点 u是 可 导 ，u ( x, y)在( x, y)
具 有 连 续 偏 导 数 ， 则 复 合 函 数 z f (( x, y))
在点( x, y)可微，且有
x
z dz u x du x
z
u
y
z dz u y du y
其它情况 z f ( x,u),u ( x, y)则z f ( x,u ( x, y))
z f z u
x
x x u x
z
x
x既是自变量， 也是中间变量
z z u
y u y
u
f 不 能 写 成 z
y
x
x
例2
设u
22
ex y
2
z
，z
2
x
sin
y,求
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
dz z du z dv z dw 如 dt u dt v dt w dt
u
z
v
t
w
以上公式中的导数 d z 称为全导数.
dt
例 1 设z uv sin t ，而u et ，v cos t ， 求全导数dz . dt
解 dz z du z dv z dt u dt v dt t vet usin t cos t et cos t et sin t cos t
u
,
u
x y
解
u f u z 2 xe x2 y2z2
2 22
2zex y z •2x sin y
x x z x
u f u z 2 ye x2 y2z2

fx
fy
fx
dz
fz
d
x
由于
du
fx
fy
fx
fz
fx
fu
d
x
.
du d x 1, f x (1,1) a, f y (1,1) fz (1,1) fu(1,1) b,
2021/4/24
前页 后页 返回 20
因此 (1) a b [a b(a b)] a ab ab2 b3 .
2021/4/24
前页 后页 返回 17
dy dx
y u
du dx
y v
v
w
dw dx
v x
v uv1 uv ln u [ x w x1 w x ln w ]
x x x x x 1 x x x ln x [ x x x1 x x ln x ]
xx
x xx
1 x
ln x (ln x)2
说明 上面的解法是通过引进中间变量 y, z, u后, 借
助链式法则而求得的; 上述过程还有一种比较简洁
而实用的写法 (省去了引入中间变量):
( x) f1 f2 [ f1 f2 ( f1 f2 1) ] ,
(1) f1(1,1) f2(1,1) { f1(1,1)
f2(1,1) [ f1(1,1) f2(1,1) ] } a b[ a b(a b) ] .
y2
,
0,
x2 y2 0, x2 y2 0.
由 §1 习题 6 已知 fx (0,0) f y (0,0) 0, 但 f ( x, y)
在点(0,0)不可微. 若以 f ( x, y) 为外函数, x t, y t
为内函数，则得到以 t 为自变量的复合函数

则复合函数 y = f { [ψ ( x )]}的导数为 dy dy du dv = . dx du dv dx
例1 求函数 y = e sin x 的导数 . 例2 求函数 y = ( x 2 + 1)10 的导数 . 例3 求函数 y = ln | x | 的导数 . 例4 求函数 y = cos x tan 2 x 的导数.
(C)′ = 0 (sin x)′ = cos x (tanx)′ = sec2 x
′ = ax ln a (a )
x
(x )′ = x (cos x)′ = sin x (cot x)′ = csc2 x
1
′ = ex (e )
x
1 (loga x)′ = xln a 1
(arcsinx)′ =
2
定理
且其值域为( A, B ) ,又设其反函数x=g ( y ) 在
设y = f ( x ) 在 ( a, b )内连续且严格单调
( A, B )内y0处有导数且不为零,则 y = f ( x ) 在对应点x0 =g ( y0 ) 处有导数,且
1 f ′ ( x0 ) = g′ ( y0 ) 或 f ′ ( x0 ) = 1
§2 复合函数与隐函数的求导法则 1. 复合函数的求导法则
定理 如果函数u = ( x)在点 x0可导, 而y = f (u)
在点u0 = ( x0 )可导, 则复合函数 y = f [( x)]在点 x0可导, 且其导数为 dy dx
x= x0
= f ′(u0 ) ′( x0 ).
推广 设 y = f ( u), u = ( v ), v = ψ ( x ),
说明: 说明 最基本的公式 (C)′ = 0

复合函数和隐函数微分法
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
END
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，பைடு நூலகம் 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃

的导数 . 利用复合函数求导法则，得
补例 求 解 两边取对数 , 得
的导数 .
两边对 x 求导
1 y
y
cos x ln x
sin x x
y xsin x(cos x ln x sin x ) x
第二章 习题2-1 2. (1);5.8.(7),(8),(9),(10);10.11.13.
(arccos x) 1
1 x2
(arc
cot
x)


1
1 x
2
2. 有限次四则运算的求导法则
(u v) u v
(Cu) Cu ( C为常数 )
(uv) uv uv

u v


u
v v2
uv
(v 0)
3. 复合函数求导法则
说明: 最基本的公式
(cos x) sin x
(tan x) sec2 x
(cot x) csc2 x
(a x ) a x ln a
(loga
x)

x
1 ln
a
(arcsin x) 1
1 x2
(arctan
x)

1
1 x
2
(ex ) ex
(ln x ) 1 x 0 x

lim
y0
1
x
y
lim
1
y0 g( y0 y) g( y0 )
1
y

.
g( y0 )
例 求反三角函数及指数函数的导数.
解: 1) 设
cos y 0 , 则
则
y ( , ) ,