三角函数公式及推导

三角函数和角公式推导三角函数和角公式又称三角函数的加法定理，是几个角的和的三角函数通过其中各个角的三角函数来表示的关系。

下面我整理了一些相关公式，供大家参考!三角函数和角公式整理一般的最常用公式有:Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosASin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosACos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinBCos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinBTan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB)Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB)平方关系sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]三角函数和角公式怎么推导这里需要用到向量和余弦定理的知识设直角坐标平面中有单位圆O,点P和点Q分别是圆上两点,P(cosb,sinb)Q(cosa,sina)且π>b>a>0则向量PQ=(cosa-cosb,sina-sinb)向量PQ的模的平方|PQ|^2=(cosa-cosb)^2+(sina-sinb)^2=2-2(cosacosb+sinasinb)根据余弦定理,|PQ|^2=|PO|^2+|QO|^2-2|PO||QO|cos(b-a)=2-2cos(b-a) 所以2-2cos(b-a)=2-2(cosacosb+sinasinb)所以cos(b-a)=cosacosb+sinasinb也就能得出cos(b+a)=cosacosb-sinasinb然后用诱导公式就能得出正弦的和角公式了,然后相除,就得出正切和余切的公式了。

;三角函数基本运算公式推导三角函数基本运算有加减乘除和幂乘和开以及几何关系，以下主要介绍运算公式推导。

（1）加减乘除加减无非是函数相加减，即三角函数相加减，有sin（a±b）=sin a cos b±cos a sin b;cos（a±b）=cos a cos b∓sin a sin b。

乘法有sin（ab）=sin a cos b-cos a sin b;cos（ab）=cos a cos b+sin a sin b。

除法有sin（a/b）=sin a/cos b+cos a×tan b;cos（a/b）=cosa/cos b-sin a×tan b。

（2）幂乘开幂乘有cos^2a+sin^2a=1; sin2a=2sina×cosa; cos2a=cos^2a-sin^2a; sin3a=3sin a-4sin^3a; cos3a=3cos a-4cos^3a;sin2xcos2x=sin^2x×cos^2x-1/2; cos2xsin2x=-1/2+sin^2x×cos^2x; sin2x=2sinxcosx; cos2x=cos^2x-sin^2x。

开方有sin a=+-√(1-cos 2a)/2; cos a=+-√(1+cos 2a)/2。

（3）几何关系有sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB;cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB;sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB;cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB。

另外还有sinAcosB=1/2(sin(A+B)+sin(A-B));cosAcosB=1/2(cos(A+B)+cos(A-B))。

总之，上述公式均能够满足三角函数运算的需求，我们可以根据它们计算三角函数基本运算，只要坚持推导及方法即可轻松解决问题。

三角函数求导公式推导三角函数是高等数学中的重要内容，涉及到多个方面的知识和技能。

其中，求导是三角函数研究中的基本操作，也是其应用中必不可少的一环。

本文将从定义入手，逐步推导三角函数的求导公式，让读者深入理解其中的原理，掌握实用技能。

一、概述三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，其定义如下：正弦函数：y=sin x余弦函数：y=cos x正切函数：y=tan x其中，x为自变量，y为函数值。

三角函数的定义域均为实数集R，值域均为区间[-1,1]。

二、求导基础知识在推导三角函数的求导公式之前，我们需要掌握一些基础知识。

1.导数的定义函数f(x)在点x0处的导数定义为：f'(x0)=lim（h→0）[f(x0+h)-f(x0)]/h即当自变量x在x0处取一个很小的变化h时，函数f(x)在该点的变化趋势，即切线斜率。

2.求导的规律①常数函数导数为0：(c)'=0②幂函数求导：(x^n)'=n*x^(n-1)③指数函数求导：(e^x)'=e^x④对数函数求导：(lnx)'=1/x（以下简称公式1、公式2、……）三、三角函数的求导公式1.正弦函数的求导公式根据导数的定义，我们有：sin'(x0)=lim（h→0）[sin(x0+h)-sin(x0)]/h=lim（h→0）[sinx0*cosh+cosx0*sinh-sinx0]/h=sin(x0)*lim（h→0）[cos(h)-1]/h+cos(x0)*lim（h→0）sinh/h=cos(x0)综上可得：(sin x)'=cos x2.余弦函数的求导公式同样，根据导数的定义，我们有：cos'(x0)=lim（h→0）[cos(x0+h)-cos(x0)]/h=lim(h→0）[cosx0*cosh-sinx0*sinh-cosx0]/h=-sin(x0)*lim（h→0）sinh/h+cos(x0)*lim（h→0）[cos(h)-1]/h=-sin(x0)综上可得：(cos x)'=-sin x3.正切函数的求导公式对于正切函数，我们利用求导的规律，将其转化为两个三角函数的比值，即：tan x=sin x/cos x因此有：(tan x)'=(sin x/cos x)'=sin'x/cos x-sin x/cos^2x*cos'x=cos x/cos^2x-sin^2x/cos^2x=1/cos^2x综上可得：(tan x)'=sec^2x四、结论与应用通过以上推导过程，我们得出了三角函数的求导公式：(sin x)'=cos x(cos x)'=-sin x(tan x)'=sec^2x这些公式是三角函数求导中的基础，应用广泛。

三角函数诱导公式万能公式和差化积公式倍角公式等公式总结及其推导一、三角函数诱导公式1、万能公式a sin(A+B) = a sinAcosB + a cosAsinBa cos(A+B) = a cosAcosB - a sinAsinB2、差化积公式sinAcosB - cosAsinB = sin(A-B)cosAcosB + sinAsinB = cos(A-B)3、倍角公式sin2A = 2sinAcosAcos2A = cos2A - sin2A = 2cos2A - 1 = 1 - 2sin2A4、和差公式sin(A±B) = sinAcosB±cosAsinBcos(A±B) = cosAcosB∓sinAsinB二、推导1、万能公式推导过程设定A+B=C，则有：a sin(A + B)= a sinC左右两侧同时乘以cosB:a sin(A + B)cosB = a sinCcosB左右两侧同时乘以sinB:a sin(A + B)sinB = a sinCsinB将上式整合即可得：a sin(A + B)= a sinAcosB + a cosAsinB同理，可推导出：a cos(A + B) = a cosAcosB - a sinAsinB2、差化积公式推导过程设定A=B，则有：sinAcosB - cosAsinB = sinAcosA - cosAcosA 经过整合可得：sinAcosB - cosAsinB = sinA -cosA将A=B替换为A-B,即可得sinAcosB - cosAsinB = sin(A-B)同理：cosAcosB + sinAsinB = cosAcosA + sinAsinA 经过整合可得：cosAcosB +sinAsinB = cosA +sinA将A=B替换为A-B,即可得cosAcosB +sinAsinB = cos(A-B)3、倍角公式的推导过程由于A为任意角度，对其两侧两边可以分别进行乘以cosA及sinA，得到：sinAcosA + sinAcosA = cosA*sinA + cosA*sinA经过整合可得：sin2A = 2sinAcosAcos2A = cosAcosA - sinAcosA经过整合可得：cos2A = 2cos2A - 1再把上式中的cos2A代入：2cos2A - 1 = 1 - 2sin2A4、和差公式推导过程设定A+B=C，则有：sin(A + B)= sinC将左右两侧分别乘以cosB及sinB：。

三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。

接下来给分享三角函数和差化积公式及推导过程。

和差化积公式sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]cosA-cosB=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]tAnA+tAnB=sin(A+B)/cosAcosB=tAn(A+B)(1-tAnAtAnB)tAnA-tAnB=sin(A-B)/cosAcosB=tAn(A-B)(1+tAnAtAnB)和差化积公式推导过程首先，我们知道sin(A+B)=sinA*cosB+cosA*sinB，sin(A-B)=sinA*cosB-cosA*sinB我们把两式相加就得到sin(A+B)+sin(A-B)=2sinA*cosB所以，sinA*cosB=(sin(A+B)+sin(A-B))/2同理，若把两式相减，就得到cosA*sinB=(sin(A+B)-sin(A-B))/2同样的，我们还知道cos(A+B)=cosA*cosB-sinA*sinB，cos(A-B)=cosA*cosB+sinA*sinB所以，把两式相加，我们就可以得到cos(A+B)+cos(A-B)=2cosA*cosB所以我们就得到，cosA*cosB=(cos(A+B)+cos(A-B))/2同理，两式相减我们就得到sinA*sinB=-(cos(A+B)-cos(A-B))/2这样，我们就得到了积化和差的四个公式：sinA*cosB=(sin(A+B)+sin(A-B))/2cosA*sinB=(sin(A+B)-sin(A-B))/2cosA*cosB=(cos(A+B)+cos(A-B))/2sinA*sinB=-(cos(A+B)-cos(A-B))/2有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的A+B设为A，A-B设为B，那么A=(A+B)/2，B=(A-B)/2把A，B分别用A，B表示就可以得到和差化积的四个公式：sinA+sinB=2sin((A+B)/2)*cos((A-B)/2)sinA-sinB=2cos((A+B)/2)*sin((A-B)/2)cosA+cosB=2cos((A+B)/2)*cos((A-B)/2)cosA-cosB=-2sin((A+B)/2)*sin((A-B)/2)三角函数积化和差公式sinAcosB=(sin(A+B)+sin(A-B))/2cosAsinB=(sin(A+B)-sin(A-B))/2cosAcosB=(cos(A+B)+cos(A-B))/2sinAsinB=-(cos(A+B)-cos(A-B))/2。

高中数学三角函数的常用公式及推导方法三角函数是高中数学中的重要内容，它在几何、物理等领域中有广泛的应用。

掌握三角函数的常用公式和推导方法，对于解题和理解数学概念都非常重要。

本文将介绍高中数学中常见的三角函数公式，并通过具体的题目来说明其考点和解题技巧。

一、正弦函数和余弦函数的常用公式及推导方法1. 正弦函数的常用公式：a) 余弦函数的平方与正弦函数的平方的和等于1，即sin^2θ + cos^2θ = 1。

b) 正弦函数的奇偶性：sin(-θ) = -sinθ，即正弦函数是奇函数。

c) 正弦函数的周期性：sin(θ+2π) = sinθ，即正弦函数的周期为2π。

2. 余弦函数的常用公式：a) 余弦函数的奇偶性：cos(-θ) = cosθ，即余弦函数是偶函数。

b) 余弦函数的周期性：cos(θ+2π) = cosθ，即余弦函数的周期为2π。

通过以下题目来说明正弦函数和余弦函数的应用和推导方法：例题1：已知角A为锐角，且sinA = 3/5，求cosA的值。

解析：根据正弦函数的定义可知，sinA = 对边/斜边= 3/5。

根据勾股定理可得，邻边为4，斜边为5。

由此可得cosA = 邻边/斜边 = 4/5。

例题2：已知角θ的终边与x轴的夹角为α，且sinα = 1/2，求sin(θ+π/2)的值。

解析：根据正弦函数的周期性可知，sin(θ+π/2) = sinθ。

又因为sinα = 1/2，根据三角函数的定义可知，邻边为1，斜边为2。

由此可得sin(θ+π/2) = sinθ = 邻边/斜边= 1/2。

二、正切函数和余切函数的常用公式及推导方法1. 正切函数的常用公式：a) 正切函数的定义：tanθ = 正弦函数/余弦函数= sinθ/cosθ。

b) 正切函数的奇偶性：tan(-θ) = -tanθ，即正切函数是奇函数。

c) 正切函数的周期性：tan(θ+π) = tanθ，即正切函数的周期为π。

2. 余切函数的常用公式：a) 余切函数的定义：cotθ = 余弦函数/正弦函数= cosθ/sinθ。

三角函数导数公式推导三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数以及其他相关的三角函数。

求解三角函数的导数是数学中重要的一部分，对于分析、微积分等领域有着广泛的应用。

下面将对三角函数的导数进行推导。

1.正弦函数的导数开始我们先推导正弦函数的导数。

正弦函数的定义如下：y = sin(x) (1)我们需要求解其导数：dy/dx = ?我们可以使用极限的概念来推导。

极限定义为：lim(h-->0) [f(a+h) - f(a)] / h其中a是输入变量的一个值。

对于正弦函数，我们将a设置为x，即：lim(h-->0) [sin(x+h) - sin(x)] / h这里我们需要用到正弦函数的和差公式：sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)将a设置为x，b设置为h，代入上式计算，得到：[sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h) - sin(x)] / h再进行后续的求导计算，得到：[sin(x)cos(h) - sin(x)] / h + [cos(x)sin(h)] / h利用极限可以将第一部分化简为：[sin(x)(cos(h)-1)] / h对于第二部分，我们需要用到余弦函数的性质：cos(0) = 1，由此可以推出：lim(h-->0) sin(h) / h = 1所以第二部分可以简化为：cos(x)lim(h-->0) sin(h) / h = cos(x)综合两部分的结果，得到正弦函数的导数为：dy/dx = lim(h-->0) [sin(x)(cos(h)-1)] / h + cos(x)最终简化为：dy/dx = cos(x)即正弦函数的导数为余弦函数。

2.余弦函数的导数接下来，我们推导余弦函数的导数。

余弦函数的定义如下：y = cos(x) (2)同样，我们需要求解其导数：dy/dx = ?同样使用极限的概念，可以得到：lim(h-->0) [cos(x+h) - cos(x)] / h利用余弦函数的和差公式：cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)代入上式，计算后得到：[cos(x)cos(h) - sin(x)sin(h) - cos(x)] / h利用极限，我们可以将第一部分化简为：[cos(x)(cos(h) - 1)] / h对于第二部分，我们需要用到正弦函数的性质：sin(0) = 0，由此可以推出：lim(h-->0) -sin(h) / h = -1所以第二部分可以简化为：-sin(x)lim(h-->0) sin(h) / h = -sin(x)综合两部分的结果，得到余弦函数的导数为：dy/dx = lim(h-->0) [cos(x)(cos(h)-1)] / h - sin(x)最终简化为：dy/dx = -sin(x)即余弦函数的导数为负的正弦函数。

三角恒等变换的所有公式及其推导公式三角恒等变换是指对于任意角度x，存在一系列等价的三角函数表达式。

这些等价的表达式可以通过一些特定的关系来推导出来。

下面将介绍一些常见的三角恒等变换公式及其推导过程。

1. 倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan^2(x))推导过程：对于sin(2x)，可以利用三角函数的加法公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，将A=B=x代入得到：sin(2x) = sin(x+x) = sin(x)cos(x) + cos(x)sin(x) = 2sin(x)cos(x)对于cos(2x)，可以利用cos(2x)=cos^2(x) - sin^2(x)得到：cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)对于tan(2x)，可以利用tan(2x) = sin(2x) / cos(2x)得到：tan(2x) = 2sin(x)cos(x) / (1 - 2sin^2(x)) = 2tan(x) / (1 - tan^2(x))2. 和差公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB - cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB推导过程：对于sin(A+B)，可以利用sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB得到：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB对于sin(A-B)，可以利用sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB得到：sin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB对于cos(A+B)，可以利用cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB得到：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB对于cos(A-B)，可以利用cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB得到：cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB3. 万能公式：sin^2(x) + cos^2(x) = 11 + tan^2(x) = sec^2(x)1 + cot^2(x) = csc^2(x)推导过程：对于sin^2(x) + cos^2(x)，可以利用三角函数的平方和公式sin^2(x) + cos^2(x) = 1得到：sin^2(x) + cos^2(x) = 1对于1 + tan^2(x)，可以利用tan^2(x) + 1 = sec^2(x)得到：1 + tan^2(x) = sec^2(x)对于1 + cot^2(x)，可以利用cot^2(x) + 1 = csc^2(x)得到：1 + cot^2(x) = csc^2(x)通过以上的公式及其推导过程，我们可以在三角函数的计算中灵活运用，简化计算过程，提高计算的准确性和效率。

三角函数公式大全及其推导1. 三角函数的定义由此，我们定义：如Figure I, 在ΔABC 中sin () cos () tan ()11 cot ()tan 11 sec ()cos 11 csc ()sin b c ac ba ab b ac a a cc b b cθθθθθθθθθθθθθθθ∠=∠=∠=∠===∠===∠===对边的正弦值：斜边邻边的余弦值：斜边对边的正切值：邻边邻边的余切值：对边斜边的正割值：邻边斜边的余割值：对边 备注：当用一个字母或希腊字母表示角时，可略写∠符号，但用三个子母表示时，不能省略。

在本文中，我们只研究sin 、cos 、tan 。

2. 额外的定义222222sin (sin )cos (cos )tan (tan )θθθθθθ===Ac b θC a B Figure I3. 简便计算公式22sin cos cos(90)cos sin sin(90)111tan tan tan(90)sin cos 1bA c cA b b a a A bθθθθθθθθ===-∠===-∠====-∠+= 证明：2222222222901sin sin 1sin cos 1ABC ABC a b c a b c cB A θθ∆∠=∴+=∴+=∴+=∴+=在中,证完222222sin tan cos sin cos 1tan 1cos cos cos b b c a a cθθθθθθθθθ===+=+=4. 任意三角形的面积公式如Figure II ,Ca b hd eFigure II121sin 21sin ()2ABC S ah ab C ac B ∆===两边和其夹角正弦的乘积 5. 余弦定理：任意三角形一角的余弦等于两邻边的平方和减对边的平方之差与两邻边积的两倍之比。

证明： 如Figure II,2222222222222222222222(cos )(sin )2cos cos sin =2cos (cos sin )2cos cos 22b d h a c B c B a ac B c B c Ba ac B c B B a c ac Bb ac a c b B ac ac=+=-+=-++-++=+---+-⇒==-证完6. 海伦公式 证明： 如Figure II ,1sin 212121212ABC S ab C ∆=========2ABC a b c s S ∆===++=设：7. 正弦定理如 Figure III ,c 为ΔABC 外接圆的直径,sin 2 sin a A cac r r ABC A =∴==∆（为的外接圆半径）同理：, sin sin 2sin sin sin b c c c B Ca b c r A BC ==∴===Figure III8. 加法定理(1)两角差的余弦如 Figure IV,AOC BOC AOB αβαβ∠=∠∠=∠∠=∠-∠令AO=BO=r点A 的横坐标为cos A x r α= 点A 的纵坐标为sin A y r α= 点B 的横坐标为cos B x r β= 点B 的纵坐标为sin B y r β=()()()()()()22222222222222222222222222sin sin cos cos sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos sin cos sin cos 2sin sin 2cos cos 112s A B A B AB y y x x r r r r r r r r r r r r r αββααβαβαβαβαβαβαβαβααββαβαβ=-+-=-+-=+-++-=+-++-=+++--=+-()()()22in sin cos cos 22sin sin cos cos 21sin sin cos cos r r αβαβαβαβαβαβ+⎡⎤⎣⎦=-+⎡⎤⎣⎦=-+⎡⎤⎣⎦Figure IV由余弦公式可得：()()()()2222222222cos 2cos 22cos 22cos 21cos AB AC BC AC BC ACBr r r r r r r r αβαβαβαβ=+-⋅∠=++⋅-=+-=--⎡⎤⎣⎦=--⎡⎤⎣⎦综上得：()cos sin sin cos cos αβαβαβ-=+ (2)两角和的余弦 ()()()()cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβ+=--⎡⎤⎣⎦=-+-=-+=-(3)两角和的正弦()()()()()sin cos 90cos 90sin 90sin cos 90cos cos sin sin cos αβαβαβαβαβαβαβ+=︒-+⎡⎤⎣⎦=︒--⎡⎤⎣⎦=︒-+︒-=+(4)两角差的正弦 ()()()()sin sin cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβαβαβ-=+-⎡⎤⎣⎦=-+-=-+=-(5)两角和的正切()()()sin tan cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos sin sin cos cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin 1cos cos tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββαβααβαβαβαβ++=++=-+=-+=-+=-(6)两角差的正切()()()()tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ-=+-⎡⎤⎣⎦+-=---=+9. 两倍角公式()()()()()()()222222222222sin 2sin sin cos sin cos 2sin cos cos 2cos cos cos sin sin cos sin 12sin 2cos 1sin 2tan 2cos 22sin cos cos sin 2sin cos cos cos sin cos 2sin cos sin 1cos 2tan 1ta αααααααααααααααααααααααααααααααααααααα=+=+==+=-=-=-=-==-=-=-=-2n α10.积化和差公式()()()()1sin cos 2sin cos 21sin cos sin cos cos sin cos sin 21sin sin 2αβαβαβαβαβαβαβαβ==++-=++-⎡⎤⎣⎦()()()()()()()()1cos cos 2cos cos 21cos cos cos cos sin sin sin sin 21cos cos 21sin sin 2sin sin 21sin sin sin sin cos cos cos cos 21cos cos 2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ==++-=++-⎡⎤⎣⎦==++-=+--⎡⎤⎣⎦ 11.和差化积公式(1)设：A=α+β, B=α-β,()()()()sin sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos 2sin cos 222sin cos 22sin sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos si A B A B A B A B αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα+=++-=++-=++-+--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=+--=+-+=n 2cos sin 222cos sin 22A B A B βαβαβαβαβ++-+-+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)设：cos sin αα==∵22cos sin 1αα+=()()sin sin cos cos sin sin cos sin sin b a θθθθαθαθαθ+=+=+=+12.其他常用公式()()()()()()()()()()()()()()000sin 360sin cos 360cos tan 360tan sin 90cos cos 90sin 1tan 90tan sin 90cos cos 90sin 1tan 90tan sin 90cos cos 90sin 1tan 90tan sin 180sin cos 180cos n n n θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+⨯=+⨯=+⨯=︒-=︒-=︒-=︒+=︒+=-︒+=--︒=--︒=-︒=-︒-=︒-=-()()()()()()()()tan 180tan sin 180sin cos 180cos tan 180tan sin sin cos cos tan tan tan 2190 1cos 1cos 11sin 1sin 1n θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ︒-=-±︒=-±︒=-±︒=-=--=-=-+⨯︒⎡⎤⎣⎦-≤≤⇒≤-≤≤⇒≤不存在在计算机中，三角函数的算法是这样的，其中x 用弧度计算()()1357210246sin 1!3!5!7!21!cos 0!2!4!6!2!n n nn x x x x x x n x x x x x x n +=∞=∞=-+-+=+=-+-+=∑∑推导公式：(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R(其中，R为外接圆半径) 由正弦定理有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R所以a=2R*sinAb=2R*sinBc=2R*sinC加起来a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC)带入(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB+sinC)=2R 两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式Sin2A=2SinA?CosA对数的性质及推导用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a为底，b的对数*表示乘号，/表示除号定义式：若a^n=b(a>0且a≠1)则n=log(a)(b)基本性质：1.a^(log(a)(b))=b2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)推导1.这个就不用推了吧，直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b)2.MN=M*N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]*a^[log(a)(N)]由指数的性质a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)3.与2类似处理MN=M/N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(M/N)]=a^[log(a)(M)]/a^[log(a)(N)]由指数的性质a^[log(a)(M/N)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}又因为指数函数是单调函数，所以4.与2类似处理M^n=M^n由基本性质1(换掉M)a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n由指数的性质a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M^n)=nlog(a)(M)其他性质：性质一：换底公式log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)推导如下N=a^[log(a)(N)]a=b^[log(b)(a)]综合两式可得N={b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}又因为N=b^[log(b)(N)]所以b^[log(b)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}所以log(b)(N)=[log(a)(N)]*[log(b)(a)]{这步不明白或有疑问看上面的} 所以log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)性质二：（不知道什么名字）推导如下由换底公式[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]log(a^n)(b^m)=ln(a^n)/ln(b^n)由基本性质4可得log(a^n)(b^m)=[n*ln(a)]/[m*ln(b)]=(m/n)*{[ln(a)]/[ln(b)]}再由换底公式log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]--------------------------------------------（性质及推导完）公式三:log(a)(b)=1/log(b)(a)证明如下:由换底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)----取以b为底的对数,log(b)(b)=1=1/log(b)(a)还可变形得:log(a)(b)*log(b)(a)=1平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·商的关系：tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)一般的最常用公式有:Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosASin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosACos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinBCos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinBTan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB) Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB) 平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·积的关系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*( n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*( n-1)/n]=0以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0部分高等内容·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

三角函数和差公式大全及推导过程三角函数中的和差公式是非常重要的公式之一，它们可以用来简化三角函数的运算。

本文将介绍三角函数的和差公式，并推导它们的过程。

1.余弦和差公式余弦函数的和差公式可以表示为：cos(A ± B) = cosA · cosB ∓ sinA · sinB该公式可以通过欧拉公式来推导。

欧拉公式是一个非常重要的公式，它表达了复数和三角函数之间的关系。

欧拉公式可以表示为：e^(ix) = cosx + isinxe^(-ix) = cosx - isinx其中，e表示自然对数的底数，i表示虚数单位，i^2=-1将上述欧拉公式相加和相减得到：e^(ix) + e^(-ix) = cosx + isinx + cosx - isinx = 2cosxe^(ix) - e^(-ix) = cosx + isinx - cosx + isinx = 2isinx通过上述求和和求差的过程，我们可以得到：cosx = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2sinx = (e^(ix) - e^(-ix)) / 2i根据上面的欧拉公式，可以得到：e^(i(A+B))=e^(iA)·e^(iB)e^(i(A-B))=e^(iA)/e^(iB)将上述结果代入到之前的公式中：cos(A ± B) = (e^(i(A ± B)) + e^(-i(A ± B))) / 2=(e^(iA)·e^(iB)+e^(-iA)·e^(-iB))/2=(e^(iA)·e^(iB)+1/(e^(iA)·e^(iB)))/2= (cosA · cosB - sinA · sinB) ± (sinA · cosB +cosA · sinB) / 2i= cosA · cosB ∓ sinA · sinB所以，余弦函数的和差公式得证。