华师大版初中数学八年级上册《14.1 勾股定理》同步练习卷(含答案解析

2021-2022学年华师大版八年级数学上册《第14章勾股定理》同步练习题（附答案）1．已知三条线段的长是：①5k，12k，13k（k＞0）；②，，；③32，42，52；④11，60，61；⑤（m+1）2﹣1，2（m+1），（m+1）2+1．其中能够成直角三角形的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．下列说法中不正确的是（）A．三个内角度数之比为3：4：5的三角形是直角三角形B．三边长之比为3：4：5的三角形是直角三角形C．三个内角度数之比为1：2：3的三角形是直角三角形D．三边长之比为1：2：的三角形是直角三角形3．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2＝c2+2ab，则这个三角形是（）A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形4．下列四组数中，不能构成直角三角形边长的一组是（）A．0.3，0.4，0.5B．6，8，10C．52，122，132 D．1，，5．如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC＝500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA＝300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过（）小时它就会进入台风影响区．A．10B．7C．6D．126．如图，某公园内的一块草坪是长方形ABCD，已知AB＝8m，BC＝6m，公园管理处为了方便群众，沿AC修了一条近道，一个人从A到C走A﹣B﹣C比直接走AC多走了（）A．2米B．4米C．6米D．8米7．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（）A．6B．8C．9D．158．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49，②x﹣y＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9．其中说法正确的是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④9．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CD、GH D．AB、CD、EF 10．如图，有一圆柱，其高为8cm，它的底面周长为16cm，在圆柱外侧距下底1cm的A处有一只蚂蚁，它想得到距上底1cm的B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为（）A．10cm B．12cm C．15cm D．8cm11．美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（）A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCDC．S△EDA+S△CEB＝S△CDE D．S四边形AECD＝S四边形DEBC12．下列说法中，错误的是（）A．在△ABC中，若∠C＝∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5．则△ABC是直角三角形C．在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC是直角三角形D．在△ABC中，若三边长a，b，c满足a：b：c＝1：2：，则△ABC是直角三角形13．如图，由四个边长为2的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中AC边上的高是（）A．B．C．D．14．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是．15．如图，是一个3×3的魔方放在桌面上，该魔方上每一个小方格的边长都是2cm，其下底面点A处有一只蚂蚁，侧面点B处有一滴蜂蜜，若蚂蚁沿魔方的表面爬行从点A到点B去吃蜂蜜，则蚂蚁爬行的最短路径为．16．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．则下列关于面积的等式：①S A＝S B+S C；②S A＝S F+S G+S B；③S B+S C＝S D+S E+S F+S G，其中成立的有（写出序号即可）．17．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2等于．18．如图所示是一个长方体纸盒，纸盒的长为12cm，宽为9cm，高为5cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点G，蚂蚁爬行的最短路程是cm．19．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是3米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点处有一只蚂蚁，它想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米．20．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，BC＝5cm，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A爬到点B，求蚂蚁需要爬行的最短距离．21．如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB＝8m，BC＝17m，CD ＝9m，AD＝12m．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．（1）求需要绿化的空地ABCD的面积；（2）为方便师生出入，设计了过点A的小路AE，且AE⊥BC于点E，试求小路AE的长．22．随着疫情的持续，各地政府储存了充足的防疫物品．某防疫物品储藏室的截面是由如图所示的图形构成的，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝1.8m，BC＝2m，一辆装满货物的运输车，其外形高2.3m，宽1.6m，它能通过储藏室的门吗？请说明理由．23．如图，△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，D是BC上一点，AD＝15，且AD⊥AC，求BD长．24．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，连接AC．（1）求AC的长；（2）判断三角形ACD的形状，并求出四边形ABCD的面积．25．如图，网格中每个正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，请按要求回答下列问题：（1）线段BC的长度为．（2）连接AB，AC，请你判断△ABC的形状，并说明理由．（3）请计算△ABC的面积．26．如图所示，在四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12，BD＝8，CD＝17．求四边形ABDC的面积．参考答案1．解：①∵（5k）2+（12k）2＝（13k）2，∴能够成直角三角形；②∵（）2+（）2≠（）2，∴不能够成直角三角形；③∵（32）2+（42）2≠（52）2，∴不能够成直角三角形；④∵112+602＝612，∴能够成直角三角形；⑤∵[（m+1）2﹣1]2+[2（m+1）]2＝[（m+1）2+1]2，∴能够成直角三角形；故选：B．2．解：A、∵三角形三个内角度数之比为3：4：5，∴设三角形的三个内角分别为3x，4x，5x，则3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，∴5x＝75°，∴该三角形不是直角三角形，故本选项错误；B、∵三条边长之比为3：4：5，设三角形的三边分别为：3k，4k，5k，∵（3k）2+（4k）2＝（5k）2，∴该三角形是直角三角形，故B选项正确；C、三角形的最大角＝180°×＝90°，所以三角形是直角三角形，故本选项正确；D、∵三边长之比为1：2：，∴设三角形的三边分别为：k，2k，k，∵k2+（k）2＝（2k）2，∴该三角形是直角三角形，故D选项正确．故选：A．3．解：化简（a+b）2＝c2+2ab，得，a2+b2＝c2所以三角形是直角三角形，故选：C．4．解：A．∵0.32+0.42＝0.52，∴以0.3，0.4，0.5为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵62+82＝102，∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵（52）2+（122）2≠（132）2，∴以52，122，132为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；D．∵12+（）2＝（）2，∴以1，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．5．解：如图所示：设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出：CE＝40x千米，BB′＝20x千米，∵BC＝500km，AB＝300km，∴AC＝400（km），∴AE＝400﹣40x，AB′＝300﹣20x，∴AE2+AB′2＝EB′2，即（400﹣40x）2+（300﹣20x）2＝2002，解得：x1＝15，x2＝7，∴轮船经7小时就进入台风影响区．故选：B．6．解：由勾股定理，得捷径AC＝＝10（m），多走了8+6﹣10＝4（m）．故选：B．7．解：将台阶展开，如图，因为AC＝3×3+1×3＝12，BC＝9，所以AB2＝AC2+BC2＝225，所以AB＝15，所以蚂蚁爬行的最短线路为15．答：蚂蚁爬行的最短线路为15．故选：D．8．解：由题意，①﹣②得2xy＝45 ③，∴2xy+4＝49，①+③得x2+2xy+y2＝94，∴（x+y）2＝94，∴①②③正确，④错误．故选：B．9．解：设小正方形的边长为1，则AB2＝22+22＝8，CD2＝22+42＝20，EF2＝12+22＝5，GH2＝22+32＝13．因为AB2+EF2＝GH2，所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH．故选：B．10．解：如图，将圆柱的侧面展开，蚂蚁经过的最短距离为线段AB的长．由勾股定理，AB2＝AC2+BC2＝82+（8﹣1﹣1）2＝100，AB＝10cm．故选：A．11．解：根据勾股定理可得：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．故选：B．12．解：A、在△ABC中，若∠C＝∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形，可得∠A＝180°÷（1++）＝90°，是直角三角形，不符合题意；B、在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，可得∠C＝180°×＝75°，不是直角三角形，符合题意；C、在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则∠B＝90°，则△ABC是直角三角形，不符合题意；D、12+（）2＝22，是直角三角形，不符合题意．故选：B．13．解：作BD⊥AC于D，如图所示：∵小正方形的边长为2，∴AC＝＝，∵S△ABC＝4×4﹣×2×2﹣×2×4﹣×2×4＝6，∴S△ABC＝×AC×BD＝×2×BD＝6，解得：BD＝．故选：D．14．解：此题应分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD＝＝＝9，在Rt△ACD中，CD＝＝＝5∴BC＝5+9＝14∴△ABC的周长为：15+13+14＝42；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD＝＝＝9，在Rt△ACD中，CD＝＝＝5，∴BC＝9﹣5＝4．∴△ABC的周长为：15+13+4＝32∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC 的周长为32．综上所述，△ABC的周长是42或32．故填：42或32．15．解：如图1，把我们所看到的前面和上面组成一个平面，AB＝＝4（cm）；如图2，把我们所看到的前面和，右面组成一个平面，AB＝＝2（cm），∵4＞2，∴蚂蚁爬行的最短路径为2（cm），故答案为：2cm．16．解：由勾股定理和正方形的性质可知：S A＝S B+S C，S B＝S D+S E，S C＝S F+S G，∴S A＝S B+S C＝S F+S G+S B，S B+S C＝S D+S E+S F+S G，故答案为：①②③．17．解：S1＝π（）2＝πAC2，S2＝πBC2，所以S1+S2＝π（AC2+BC2）＝πAB2＝2π．故答案为：2π．18．解：①如图1，展开后连接AG，则AG就是在表面上A到G的最短距离，∵∠ACG＝90°，AC＝12+9＝21，CG＝5，在Rt△ACG中，由勾股定理得：AG＝＝（cm）；②如图2，展开后连接AG，则AG就是在表面上A到G的最短距离，∵∠ABG＝90°，AB＝12，BG＝9+5＝14，在Rt△ACBG中，由勾股定理得：AG＝＝＝2（cm）；③如图3，展开后连接AG，则AG就是在表面上A到G的最短距离，∵∠AFG＝90°，AF＝5+12＝17，FG＝9，在Rt△AFG中，由勾股定理得：AG＝＝（cm）．∴蚂蚁爬行的最短路程是2cm，故答案为：2．19．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为3，宽为（0.2+0.3）×3，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2＝32+[（0.2+0.3）×3]2＝11.25，解得x＝（米），答：蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米，故答案为：．20．解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，∴BD＝CD+BC＝10+5＝15cm，AD＝20cm，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB＝＝＝25cm；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，∴BD＝CD+BC＝20+5＝25cm，AD＝10cm，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB＝＝＝5cm；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，∴AC＝CD+AD＝20+10＝30cm，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：∴AB＝＝＝5cm；∵25＜5＜5，∴蚂蚁爬行的最短距离是25cm．21．解：（1）∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴AC＝＝＝15（m），∵CD＝9m，AD＝12m，∴AD2+CD2＝122+92＝225＝AC2，∴△ACD是直角三角形，∠D＝90°，∴需要绿化的空地ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝AB×AC+AD×CD＝×8×15+×12×9＝114（m2）；（2）∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，∴S△ABC＝BC×AE＝AB•AC，∴17×AE＝8×15，解得：AE＝（m），即小路AE的长为m．22．解：能通过；理由：由题意得，运输车从中间过更容易通过储藏室，能通过的最大高度为EF的长度，如图，设点O为半圆的圆心，点P为运输车的外边沿，则OP＝0.8m，OE＝1m，∠OPE＝90°，在Rt△OPE中，由勾股定理得，EP2＝OE2﹣OP2＝1﹣0.82＝0.36，∴EP＝0.6（m），∴EF＝0.6+1.8＝2.4（m），∵2.4＞2.3，∴运输车通过储藏室的门．23．解：∵AD⊥AC，AC＝20，AD＝15，∴CD＝＝25∴BD＝BC﹣CD＝32﹣25＝7．24．解：（1）∵∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，∴AC2＝AB2+BC2＝4+1＝5，∴AC＝；（2）∵△ACD中，AC＝，CD＝2，AD＝3，∴AC2+CD2＝5+4＝9，AD2＝9，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴四边形ABCD的面积＝1×2+2×＝1+．25．解：（1）BC＝；故答案为：5；（2）△ABC是直角三角形，∵AB2＝12+32＝10，AC2＝22+62＝40，∴AB2+AC2＝10+40＝50＝BC2，∴△ABC是直角三角形；（3）由（2）得，AB＝，AC＝2，∠BAC＝90°，∴△ABC的面积为：．26．解：∵∠A＝90°，AB＝9，AC＝12，∴BC＝＝＝15，∵BC＝15，BD＝8，CD＝17，∴BC2+BD2＝CD2，∴△BCD是直角三角形，∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABC＝×15×8+×9×12＝114．。

华师大新版八年级上学期《14.1 勾股定理》2019年同步练习卷一．选择题（共25小题）1．在下列各组数中，是勾股数的是（）A．1、2、3B．2、3、4C．3、4、5D．4、5、62．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，则点C到斜边AB的距离是（）A．B．C．5D．3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AC＝4m，BC＝3m，则线段CD的长为（）A．5m B．m C．m D．m4．在△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的度数之比是1：1：2，BC＝4，△ABC的面积为（）A．2B．C．4D．85．若直角三角形一条直角边长为6，斜边长为10，则斜边上的高是（）A．B．C．5D．106．在直角三角形中，∠C＝90°，已知两直角边为5cm，12cm，则斜边长为（）A．17cm B．13cm C．15cm D．18cm7．下列各组数据中不能作为直角三角形的三边长的是（）A．1，，B．6，8，10C．4，5，6D．5，12，138．如图，图中的小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点上，则△ABC 的周长为（）A．12+4B．16C．7+7D．5+119．下列长度的三条线段可以组成直角三角形的是（）A．3、4、2B．3、4、5C．3、3、4D．12、5、6 10．三角形三边为6，8，10，则最短边上的高为（）A．8B．6C．5D．1011．一个直角三角形的直角边是24，斜边是25，则斜边上的高为（）A．7B．C．168D．2512．△ABC三边之比为3：4：5，其周长24，则△ABC的面积为（）A．20B．24C．12D．6.813．已知下列三个数是直角三角形的三边的长度，能组成直角三角形的是（）A．3cm，9cm，7cm B．2cm，3cm，4cmC．1cm，D．4cm，5cm，6cm14．下列各组数据中，能构成直角三角形的是（）A．8，15，17B．6，7，8C．2，3，4D．，，15．下面各组数是三角形的三边的长，则能构成直角三角形的是（）A．2，2，3B．5，6，7C．4，5，6D．60，80，100 16．下列三组数据能构成直角三角形三边长的是（）①2，3，4 ②3，4，5 ③1，，2A．②B．②③C．①③D．①②17．下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（）A．1，2，3B．2，3，4C．4，5，6D．1，，2 18．下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．1，2，B．1，2，C．3，4，5D．6，8，12 19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则AB＝（）A．B．5C．D．320．在Rt△ABC中，∠C＝90°．如果BC＝3，AC＝5，那么AB＝（）A．B．4C．4或D．以上都不对21．下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（）A．，，B．7，24，25C．6，8，10D．32，42，52 22．△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．动点P从点C开始，按C→A→B→C 的路径运动，速度为每秒2cm，运动的时间为t秒．以下结论中正确的有（）①t为6秒时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分②t为6.5秒时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，且此时CP长为5cm：③t为3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形，A．①②③B．①②C．②③D．①③23．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是（）A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2＝b2﹣a2，则△ABC是直角三角形C．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形D．如果a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形24．如图，OC平分∠AOB，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点若OM＝4，OP＝5，则PN的最小值为（）A．2B．3C．4D．525．等腰三角形的腰长为10，底长为12，则这等腰三角形的面积为（）A．36B．48C．56D．64二．填空题（共13小题）26．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10cm，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，EG∥AB交AC于点G，则△GEF的周长为．27．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动设运动的时间为ts当t＝时，△ABP为直角三角形．28．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝7，E是BC上的一个动点（不与点B，C重合），△DEF≌△ABC，其中点A，B的对应点分别是点D，E．当点E运动时DE边始终经过点A．设EF与AC相交于点G，当△AEG是等腰三角形时，BE的长为．29．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为．30．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝60°，∠ABC＝30°，且AD＝CD，连接BD，若AB＝2，BD＝，则BC的长为．31．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D，E都在边AB上，且AD＝BE，过点D作DF⊥AC于点F，连接CD，CE，若S△CDE＝6，则线段CF的长为．32．已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为．33．定义：如图，点M，N把线段AB分割成三条线段AM，MN和BN，若以AM，MN，BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．若AM＝1，MN＝2，则BN的长为．34．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝8cm，AB＝6cm，BC＝10cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度向C点运动，P、Q两点同时出发，其中一点到达终点时另一点也停止运动．若DP≠DQ，当t＝s时，△DPQ是等腰三角形．35．若一个直角三角形的一条直角边为12cm，另一条直角边长比斜边短4cm，则斜边长为．36．在△ABC中，AB＝7.5，AC＝6.5，高AD＝6，则BC的长等于．37．已知三角形的三边分别是9，12，15，这个三角形的面积是．38．如图，白色长方形的面积为3，且长比宽多4，以长方形的一组邻边为边向外作如图所示两个灰色的等腰直角三角形，则两个灰色等腰直角三角形的面积和为．三．解答题（共12小题）39．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠A＝90°，∠CBD＝30°，∠C＝45°，如果AB＝，求CD的长．40．如图：在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠C＝90°，∠D＝90°，AC＝BD＝a，BC＝DE＝b，AB＝BE＝c，试利用图形证明勾股定理．41．如图，AM是△ABC的中线，∠C＝90°，MN⊥AB于N，求证：AN2﹣BN2＝AC242．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF ⊥AC于F，M为EF中点，求AM的最小值．43．学了勾股定理后，刘老师给学生布置了一道题：如图△ABC中，∠B＝45°，∠BAC＝75°，AB＝，求BC的长．有些同学认为△ABC不是直角三角形，求不出BC的长，老师让学生小组合作，经过讨论形成共识：可以通过作垂直构建直角三角形求解．请你结合他们的思路完成这一问题．44．在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12，求AC长．45．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，DE是△ABD的边AB上的高，且DE＝4，AD＝2，BD＝4，求△ABC的边AB上的高．46．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，DB＝，求（1）AD的长；（2）△ABC是直角三角形吗？为什么？47．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝4，CD＝4，AD＝6，求四边形ABCD的面积．48．已知：如图，△ABC的面积为84，BC＝21，现将△ABC沿直线BC向右平移a（0＜a ＜21）个单位到△DEF的位置．（1）求BC边上的高；（2）若AB＝10，①求线段DF的长；②连结AE，当△ABE时等腰三角形时，求a的值．49．已知三条线段的长分别为a，a+1，a+2．（1）当a＝3时，证明这三条线段可以组成一个直角三角形．（2）若这三条线段可以组成一个三角形，求a的取值范围．50．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝4，∠A＝45°，AH⊥BC，垂足为H．（1）求证：△AHC是等腰直角三角形．（2）求BC的长．华师大新版八年级上学期《14.1 勾股定理》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共25小题）1．在下列各组数中，是勾股数的是（）A．1、2、3B．2、3、4C．3、4、5D．4、5、6【分析】判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、12+22＝5≠32，不是勾股数，故本选项不符合题意．B、22+32＝13≠42，不是勾股数，故本选项不符合题意．C、32+42＝52，是勾股数，故本选项符合题意．D、42+52＝41≠62，不是勾股数，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了勾股数的知识，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．2．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，则点C到斜边AB的距离是（）A．B．C．5D．【分析】根据勾股定理求出BC，根据三角形的面积公式计算．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，∴CB＝＝，△ABC的面积＝×AC×BC＝×AB×CD，即×3×＝×4×CD，解得，CD＝，故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AC＝4m，BC＝3m，则线段CD的长为（）A．5m B．m C．m D．m【分析】根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式列式计算．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，△ABC的面积＝×AB×CD＝×AC×BC，即×5×CD＝×4×3，解得，CD＝，故选：B．【点评】本题考查的是勾股定理，三角形的面积计算，掌握直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2是解题的关键．4．在△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的度数之比是1：1：2，BC＝4，△ABC的面积为（）A．2B．C．4D．8【分析】依据∠A、∠B、∠C的度数之比是1：1：2，即可得到∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°，再根据BC＝AC＝4，即可得出S△ABC＝×4×4＝8．【解答】解：∵∠A、∠B、∠C的度数之比是1：1：2，∴∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°，∴BC＝AC＝4，∴S△ABC＝×4×4＝8，故选：D．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．5．若直角三角形一条直角边长为6，斜边长为10，则斜边上的高是（）A．B．C．5D．10【分析】根据勾股定理求出直角三角形另一条直角边长，根据三角形面积公式计算即可．【解答】解：设斜边上的高为h，由勾股定理得，直角三角形另一条直角边长＝＝8，则×6×8＝×10×h，解得，h＝故选：B．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．6．在直角三角形中，∠C＝90°，已知两直角边为5cm，12cm，则斜边长为（）A．17cm B．13cm C．15cm D．18cm【分析】根据勾股定理计算即可．【解答】解：由勾股定理得，斜边长＝＝13（cm），故选：B．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．7．下列各组数据中不能作为直角三角形的三边长的是（）A．1，，B．6，8，10C．4，5，6D．5，12，13【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、12+（）2＝（）2，故是直角三角形；B、62+82＝102，故是直角三角形；C、42+52≠62，故不是直角三角形；D、52+122＝132，故是直角三角形．故选：C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．8．如图，图中的小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点上，则△ABC 的周长为（）A．12+4B．16C．7+7D．5+11【分析】根据勾股定理分别求出AC、BC，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：如图：AB＝7，由勾股定理得，AC＝＝5，BC＝＝4，则△ABC的周长＝7+5+4＝12+4，故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．9．下列长度的三条线段可以组成直角三角形的是（）A．3、4、2B．3、4、5C．3、3、4D．12、5、6【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、22+32≠42，故不是直角三角形；B、32+42＝52，故是直角三角形；C、32+32≠42，故不是直角三角形；D、52+62≠122，故不是直角三角形．故选：B．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．10．三角形三边为6，8，10，则最短边上的高为（）A．8B．6C．5D．10【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断这个三角形是直角三角形，根据三角形的高的概念解答即可．【解答】解：∵62+82＝102，∴这个三角形是直角三角形，这个三角形的最短边是6，则最短边上的高为8，故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键，注意三角形的高的概念的理解要正确．11．一个直角三角形的直角边是24，斜边是25，则斜边上的高为（）A．7B．C．168D．25【分析】根据勾股定理求出直角三角形的另一条直角边的长，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：设斜边上的高h，由勾股定理得，直角三角形的另一条直角边＝＝7，则×24×7＝×25×h，解得，h＝，故选：B．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．12．△ABC三边之比为3：4：5，其周长24，则△ABC的面积为（）A．20B．24C．12D．6.8【分析】设三角形的三边是3x，4x，5x，根据周长公式可求得三边的长，根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状，再根据面积公式即可求得其面积．【解答】解：设三角形的三边是3x，4x，5x，则3x+4x+5x＝24，解得x＝2∴三角形的三边是6，8，10，∵62+82＝102，∴△ABC为直角三角形，∴三角形的面积＝×6×8＝24．故选：B．【点评】考查了勾股定理的逆定理，能够根据三边的比值和周长计算三角形的三边，再根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状，从而计算其面积即可．13．已知下列三个数是直角三角形的三边的长度，能组成直角三角形的是（）A．3cm，9cm，7cm B．2cm，3cm，4cmC．1cm，D．4cm，5cm，6cm【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、32+72≠92，故不是直角三角形；B、22+32≠42，故不是直角三角形；C、12+（）2＝（）2，故是直角三角形；D、42+52≠62，故不是直角三角形．故选：C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．14．下列各组数据中，能构成直角三角形的是（）A．8，15，17B．6，7，8C．2，3，4D．，，【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．【解答】解：82+152＝64+225＝289，172＝280，则82+152＝172，A能构成直角三角形；62+72≠82，B不能构成直角三角形；22+32≠42，C不能构成直角三角形；（）2+（）2≠（）2，D不能构成直角三角形；故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．15．下面各组数是三角形的三边的长，则能构成直角三角形的是（）A．2，2，3B．5，6，7C．4，5，6D．60，80，100【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、22+22≠32，故不是直角三角形；B、52+62≠72，故不是直角三角形；C、42+52≠62，故不是直角三角形；D、602+802＝1002，故是直角三角形．故选：D．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．16．下列三组数据能构成直角三角形三边长的是（）①2，3，4 ②3，4，5 ③1，，2A．②B．②③C．①③D．①②【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．【解答】解：22+32≠42，①不能构成直角三角形；42+32＝52，②能构成直角三角形；12+（）2＝22，③能构成直角三角形；故选：B．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．17．下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（）A．1，2，3B．2，3，4C．4，5，6D．1，，2【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．【解答】解：1+2＝3，A不能构成三角形；22+32≠42，B不能构成直角三角形；42+52≠62，C不能构成直角三角形；12+（）2＝22，D能构成直角三角形；故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．18．下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．1，2，B．1，2，C．3，4，5D．6，8，12【分析】根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．【解答】解：A、因为12+22＝（）2，能构成直角三角形，此选项错误；B、因为12+（）2＝22，能构成直角三角形，此选项错误；C、因为32+42＝52，故能构成直角三角形，此选项错误．D、因为62+82≠122，不能构成直角三角形，此选项正确．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理验证四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方”是关键．19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则AB＝（）A．B．5C．D．3【分析】根据勾股定理计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则AB＝＝，故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．20．在Rt△ABC中，∠C＝90°．如果BC＝3，AC＝5，那么AB＝（）A．B．4C．4或D．以上都不对【分析】直接利用勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，求出答案即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°．BC＝3，AC＝5，∴AB＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了勾股定理，正确掌握勾股定理是解题关键．21．下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（）A．，，B．7，24，25C．6，8，10D．32，42，52【分析】先求出两小边的平方和，再求出大边的平方，看看是否相等即可．【解答】解：A、∵（）2+（）2＝（）2，∴以、、为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵72+242＝252，∴以7、24、25为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵62+82＝102，∴以6、8、10为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵（32）2+（42）2≠（52）2，∴以32、42、52为边的三角形不是直角三角形，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．22．△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．动点P从点C开始，按C→A→B→C 的路径运动，速度为每秒2cm，运动的时间为t秒．以下结论中正确的有（）①t为6秒时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分②t为6.5秒时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，且此时CP长为5cm：③t为3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形，A．①②③B．①②C．②③D．①③【分析】①先由勾股定理求出△ABC的斜边AB＝10cm，则△ABC的周长为24cm，所以当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP＝BP+BC＝12cm，再根据时间＝路程÷速度即可求解；②根据中线的性质可知，点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可；③△BCP为等腰三角形时，分点P在边AC和边AB上讨论计算．【解答】解：△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，∴AB＝10cm，∴△ABC的周长＝8+6+10＝24cm，∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP＝BP+BC＝12cm，∴t＝12÷2＝6（秒），故①正确；当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，此时CA+AP＝8+5＝13（cm），∴t＝13÷2＝6.5（秒），∴CP＝AB＝×10＝5cm，故②正确；依据△BCP为等腰三角形，当点P在边AC上时，CP＝CB＝6cm，此时t＝6÷2＝3（秒）；当点P在边AB上时．①如图1，若CP＝CB，作AB边上的高CD，∵AC×BC＝AB×CD．∴CD＝＝4.8，在Rt△CDP中，根据勾股定理得，DP＝＝3.6，∴BP＝2DP＝7.2，AP＝2.8，∴t＝（AC+AP）÷2＝（8+2.8）÷2＝5.4（秒）；②若BC＝BP，∴BP＝6cm，CA+AP＝8+10﹣6＝12（cm），∴t＝12÷2＝6（秒）；③若PB＝PC，∴点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点处，此时CA+AP＝8+5＝13（cm），t＝13÷2＝6.5（秒）；综上可知，当t＝3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形，故③正确．故选：A．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，三角形的面积，周长，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线，解本题的关键是求出点P的运动路程．23．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是（）A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2＝b2﹣a2，则△ABC是直角三角形C．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形D．如果a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理即可作出判断．【解答】解：A、∠C﹣∠B＝∠A，即∠A+∠B＝∠C，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C ＝90°，那么△ABC是直角三角形，说法正确；B、c2＝b2﹣a2，即a2+c2＝b2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90，说法正确；C、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，说法正确；D、a＝3，b＝5，c＝4，32+52≠42，但是32+42＝52，则△ABC可能是直角三角形，故原来说法错误．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理，由三边满足的关系确定斜边、直角是解决问题的关键．24．如图，OC平分∠AOB，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点若OM＝4，OP＝5，则PN的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【分析】先根据勾股定理求出PM，再根据垂线段最短可得PN⊥OA时，PN最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM＝PN，从而得解．【解答】解：∵PM⊥OB于点M，OM＝4，OP＝5，∴PM＝3，当PN⊥OA时，PN的值最小，∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，∴PM＝PN，∵PM＝3，∴PN的最小值为3．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理、角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．25．等腰三角形的腰长为10，底长为12，则这等腰三角形的面积为（）A．36B．48C．56D．64【分析】构造等腰三角形ABC，并过顶点A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形性质求出BD 的长，根据勾股定理求出AD的长，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：如图，构造等腰三角形ABC，其中AB＝AC＝10，BC＝12，过A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC＝6，由勾股定理得：AD＝＝8，∴△ABC的面积是S＝BC×AD＝×12×8＝48．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理和等腰三角形的性质的应用，关键是求出等腰三角形的高，题目较好，难度不大．二．填空题（共13小题）26．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10cm，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，EG∥AB交AC于点G，则△GEF的周长为10cm．【分析】依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到AG＝EG，EF＝CF，再根据△GEF的周长＝EG+GF+EF＝AG+GF+CF＝AC，即可得出结论．【解答】解：∵EG∥AB，∴∠BAE＝∠AEG，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴∠CAE＝∠AEG，∴AG＝EG，同理可得，EF＝CF，∴△GEF的周长＝EG+GF+EF＝AG+GF+CF＝AC＝10cm，故答案为：10cm．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及角平分线的综合运用，等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段，解决问题的关键是判定等腰三角形．27．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动设运动的时间为ts当t＝2s或s时，△ABP为直角三角形．【分析】首先根据勾股定理求出BC的长度，再分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，∴BC＝4 cm．①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，∴t＝4÷2＝2s．②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣4）cm，AC＝3 cm，在Rt△ACP中，AP2＝32+（2t﹣4）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，∴52+[32+（2t﹣4）2]＝（2t）2，解得t＝s．综上，当t＝2s或s时，△ABP为直角三角形．故答案为：2s或s．【点评】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．28．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝7，E是BC上的一个动点（不与点B，C重合），△DEF≌△ABC，其中点A，B的对应点分别是点D，E．当点E运动时DE边始终经过点A．设EF与AC相交于点G，当△AEG是等腰三角形时，BE的长为1或．【分析】首先由∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AGE＞∠C，可得AE≠AG，然后分别从AE＝EG 与AG＝EG去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案．【解答】解：∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AGE＞∠C，∴∠AGE＞∠AEF，∴AE≠AG；当AE＝EG时，则△ABE≌△ECG，∴CE＝AB＝6，∴BE＝BC﹣EC＝7﹣6＝1，当AG＝EG时，则∠GAE＝∠GEA，∴∠GAE+∠BAE＝∠GEA+∠CEG，即∠CAB＝∠CEA，又∵∠C＝∠C，∴△CAE∽△CBA，∴＝，∴CE＝＝，∴BE＝7﹣＝；∴BE＝1或．故答案为：1或．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．29．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为24．【分析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，进而可求出该矩形的面积．【解答】解：设小正方形的边长为x，∵a＝3，b＝4，∴AB＝3+4＝7，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即（3+x）2+（x+4）2＝72，整理得，x2+7x﹣12＝0，∴x2+7x＝12，∴该矩形的面积＝（3+x）（x+4）＝x2+7x+12＝12+12＝24．故答案为：24．【点评】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，得到关于x的方程是解题的关键．30．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝60°，∠ABC＝30°，且AD＝CD，连接BD，若AB＝2，BD＝，则BC的长为．【分析】将△ADB以D为旋转中心，逆时针旋转60°，使A与C点重合，B与E点重合，连接BE，根据旋转的性质得∴∠ABD＝∠CED，∠A＝∠ECD，AB＝CE，DB＝DE，易得△DBE为等边三角形，则DB＝BE，根据周角的定义和四边形内角和定理得∠ECB＝360°﹣∠BCD﹣∠DCE＝360°﹣∠BCD﹣∠A＝360°﹣（360°﹣∠ADC﹣∠ABC）＝60°+30°＝90°，则△ECB为直角三角形，根据勾股定理得EC2+BC2＝BE2，利用等线段代换可得BD2＝AB2+BC2，再代入计算即可求解．【解答】解：如图，将△ADB以D为旋转中心，逆时针旋转60°，使A与C点重合，B与E点重合，连接BE，∴∠ABD＝∠CED，∠A＝∠ECD，AB＝CE，DB＝DE，又∵∠ADC＝60°，∴∠BDE＝60°，∴△DBE为等边三角形，∴DB＝BE，又∴∠ECB＝360°﹣∠BCD﹣∠DCE＝360°﹣∠BCD﹣∠A＝360°﹣（360°﹣∠ADC﹣∠ABC）＝60°+30°＝90°，∴△ECB为直角三角形，∴EC2+BC2＝BE2，∴BD2＝AB2+BC2．∴BC＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．31．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D，E都在边AB上，且AD＝BE，过点D作DF⊥AC于点F，连接CD，CE，若S△CDE＝6，则线段CF的长为或．【分析】分两种情况：①如图1，过C作CG⊥AB于G，先根据三角形面积计算DE的长为4，可得AD的长，根据△AFD是等腰直角三角形，计算AF的长，从而得CF的长．②如图2，同理可得DE的长，计算BD的长，根据△BDH是等腰直角三角形可得CF的长．【解答】解：分两种情况：①如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，∴AB＝6，∠A＝∠B＝45°，过C作CG⊥AB于G，∴AG＝BG，∴CG＝AB＝3，∵S△CDE＝＝6，×3＝6，DE＝4，∴AD＝BE＝＝1，∵DF⊥AC，∴△AFD是等腰直角三角形，∴AF＝＝，∴CF＝3﹣＝．②如图2，过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥BC于H，∵AD＝BE，∴BD＝AE，同理得：DE＝4，BD＝1，Rt△BDH中，∠B＝45°，∴△BDH是等腰直角三角形，∴DH＝CF＝，综上，CF的长是：或．故答案为：或．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理，解答此题的关键是运用等腰直角三角形的判定，本题容易丢解，要注意AD＝BE时，D、E有两个位置．32．已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为2或2．【分析】分两种情况：①当△ABC是锐角三角形，如图1，②当△ABC是钝角三角形，如图2，分别根据勾股定理计算AC和BC即可．【解答】解：分两种情况：①当△ABC是锐角三角形，如图1，∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∵CD＝，AD＝1，∴AC＝2，∵AB＝2AC，∴AB＝4，∴BD＝4﹣1＝3，∴BC＝＝＝2；②当△ABC是钝角三角形，如图2，同理得：AC＝2，AB＝4，∴BC＝＝＝2；综上所述，BC的长为2或2．故答案为：2或2．【点评】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长，要熟练掌握．33．定义：如图，点M，N把线段AB分割成三条线段AM，MN和BN，若以AM，MN，BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．若AM＝1，MN＝2，则BN的长为或．【分析】分两种情况：①当MN为最大线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最大线段时，由勾股定理求出BN即可．【解答】解：分两种情况：①当MN为最大线段时，∵点M、N是线段AB的勾股分割点，∴BN＝＝＝；②当BN为最大线段时，∵点M、N是线段AB的勾股分割点，∴BN＝＝＝．综上所述：BN的长为或．故答案为：或．【点评】本题考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理；理解新定义，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解决问题的关键．34．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝8cm，AB＝6cm，BC＝10cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度向C点运动，P、Q两点同时出发，其中一点到达终点时另一点也停止运动．若DP≠DQ，当t＝或s时，△DPQ是等腰三角形．【分析】先由运动速度表示出AQ，BP，再分两种情况讨论计算，求出时间，判断时间是否符合题意．【解答】解：由运动知，AQ＝t，BP＝2t，∵AD＝8，BC＝10，∴DQ＝AD﹣AQ＝（8﹣t）（cm），PC＝BC﹣BP＝（10﹣2t）（cm），∵△DPQ是等腰三角形，且DQ≠DP，∴①当DP＝QP时，∴点P在DQ的垂直平分线上，∴AQ+DQ＝BP，∴t+（8﹣t）＝2t，∴t＝，②当DQ＝PQ时，如图，。

2022-2023学年华东师大版八年级数学上册《14.1勾股定理》解答题专题训练（附答案）1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足为D．求AD，BD的长．2．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：（1）边AC、AB、BC的长；（2）求△ABC的面积；（3）点C到AB边的距离．3．在等腰△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；（2）若BC＝15，CD＝12，求AC的长．4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB于点E，已知CD＝6，AD＝10．（1）求线段AE的长；（2）求△ABC的面积．5．如图，Rt△OA1A2中，过A2作A2A3⊥OA2，以此类推．且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4…＝1，记△OA1A2的面积为S1，△OA2A3面积为S2，△OA3A4面积为S3，…，细心观察图，认真分析各题，然后解答问题：①（）2+1＝2，S1＝；②（）2+1＝3，S2＝；③（）2+1＝4，S3＝…（1）请写出第n个等式：；（2）根据式子规律，线段OA10＝；（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值．6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB于点D．（1）求AB的长；（2）求CD的长．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20cm，AC＝16cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度向点C运动，到C点停止，连接PB，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）求△ABC的面积；（2）当P A＝PB时，求t的值．8．我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”．下面是用三块全等的直角三角形移拼、补所形成的“无字证明”图形．已知直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c，图①、图②的面积相等，请你根据此图验证勾股定理．图①的面积S1＝；图②的面积S2＝；9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠CBA，DE⊥AB于E，若BC＝6，AC＝8，CD＝3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．10．（一）如图1在5×5的方格（每小格边长为1个单位长度）格点处有4只甲虫A、B、C、D，它们爬行规律总是先左右，再上下，规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：A→B（+1，+3），从B到A的爬行路线为：B→A（﹣1，﹣3），其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息，那么图中（1）A→C（，），D→B（，）；（2）若甲虫A的爬行路线为A→B→C→D（如左图），请计算甲虫A爬行的路程；（3）若甲虫A的爬行路线依次为（+2，+2），（+1，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），最终到达甲虫P处，请在图2标出甲虫A的爬行路线示意图及最终甲虫P的位置；若甲虫A向上爬行的速度为每秒2个单位长度，向下爬行的速度为每秒1个单位长度，向左或向右爬行的速度为每秒0.5个单位长度，请计算甲虫A爬行的时间．（二）数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c，且b是最小正整数，|a+b|+（c﹣5）2＝0．（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B、C分别以每秒m（m＜5）个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设经过t秒，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．若BC ﹣AB的值保持不变，求m的值．11．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c（1）已知a＝12，b＝5，求c；（2）已知c＝10，b＝9，求a．12．如图在△ABC中，∠B＝90°，点E，F分别在AB，BC上，求证：AF2+CE2＝AC2+EF2．13．如图，AB∥CD，∠C＝50°，点P是射线CD上一个动点（不与点C重合），点E、F 都在射线CD上，AE平分∠CAP，AF平分∠BAP．（1）求∠EAF的度数；（2）①当∠CAP＝20°时，∠1＝，∠2＝；②当∠CAP＝50°时，∠1＝，∠2＝；③当∠CAP＝60°时，∠1＝，∠2＝；④猜想∠1和∠2的数量关系，写出一个等量关系式，并说明理由；（3）设∠CAP＝x°时，∠AEF＝y°．①求y与x的关系式；②当△ACP为直角三角形时，求y的值．14．（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝4，求AC的长．（2）如图2，在△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠A＝120°，求BC的长．15．如图1，点O在线段AB上，AO＝4，OB＝2，OC为射线，且∠BOC＝60°，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC方向运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝1秒时，求OP的长和△ABP的面积；（2）当△OBP是直角三角形时，求t的值．16．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．（1）已知a＝7，b＝24，求c；（2）若c＝，b＝5，求a．17．数学之美，不仅是几何图形经过排列组合后呈现的炫美图案，还包括严谨推理引发的思维律动．已超过400种勾股定理的证明方法呈现的数学之美让我们陶醉，其中一种方法是：将两个全等的Rt△ABE和Rt△DEC如图所示摆放，使点A，E，D在同一条直线上，∠A＝∠D＝90°中，即可借助图中几何图形的面积关系来证明a2+b2＝c2．请写出证明过程．18．四边形ABCD如图所示，已知AB⊥BC，AB＝3，BC＝6，AD＝7，CD＝2．（1）求证：AC⊥CD；（2）求四边形ABCD的面积．19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心、BC为半径作圆弧，与边AB交于点D，再分别以A．D为圆心，大于AD的长为半径作圆弧交于点M，N，作直线MN，分别交AC，AB于点E，F．（1）判断：直线MN是线段AD的线；（2）若BC＝5，AC＝12，求AE的长．20．如图所示，△OA1A2、△OA2A3、△OA3A4、△OA4A5、…都是直角三角形，请细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．OA22＝（）2+1＝2，S1＝；OA32＝12+（）2＝3，S2＝；OA42＝12+（）2＝4，S3＝；…（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值．参考答案1．解：∵∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，∴BC＝＝25，∵S△ABC＝AB•AC＝BC•AD，∴AB•AC＝BC•AD，∴15×20＝25AD，∴AD＝12；∵AD⊥BC，∴BD＝＝＝9．2．解：（1）AC＝＝，AB＝＝，BC＝＝；（2）△ABC的面积＝3×3﹣×1×2﹣×3×2﹣×1×3＝；（3）点C到AB边的距离为h，则×AB×h＝，即××h＝，解得，h＝．3．解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠A＝40°，∴∠DBC＝70°，又∵CD⊥AB，∴∠DCB＝90°﹣70°＝20°；（2）Rt△BCD中，BD＝＝＝9，设AC＝AB＝x，则AD＝x﹣9，∵Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2，∴（x﹣9）2+122＝x2，解得x＝＝12.5，∴AC＝12.5．4．解：（1）∵∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB于点E，∴DE＝CD＝6，∴AE＝＝8；（2）设BC＝x，则BE＝x，AB＝8+x，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即162+x2＝（8+x）2，解得x＝12，即BC＝12，∴S＝96．5．解：（1）①（）2+1＝2，S1＝；②（）2+1＝3，S2＝；③（）2+1＝4，S3＝…则第n个等式为：③（）2+1＝n+1，S n＝，故答案为：（）2+1＝n+1，S n＝；（2）OA1＝1OA2＝，OA3＝，…则OA10＝，故答案为：；（3）S12+S22+S32+…+S102＝（）2+（）2+（）2+…+（）2＝＝．6．解：（1）∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝10；（2）∵CD⊥AB，∴S△ABC＝，∴×6×8＝×10×CD，∴CD＝．7．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20cm，AC＝16cm，由勾股定理得：BC＝＝＝12（cm），∴△ABC的面积＝AC•BC＝×16×12＝96（cm2）；（2）由题意得：AP＝tcm，在Rt△PBC中，PB2＝PC2+BC2＝（16﹣t）2+122，当AP＝PB时，t2＝（16﹣t）2+122，解得：t＝，∴当t＝时，AP＝PB．8．解：∵图①由一个边长为a的正方形、一个边长为b的正方形和三个直角边长分别为a、b的直角三角形拼成，∴S1＝a2+b2+3×ab＝a2+b2+ab；∵图②由一个边长为c的正方形和三个直角边长分别为a、b的直角三角形拼成，∴S2＝c2+3×ab＝c2+ab，故答案为：a2+b2+ab；c2+ab．∵S1＝S2，∴a2+b2+ab＝c2+ab，∴a2+b2＝c2，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．9．解：（1）∵BD平分∠CBA，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DE＝CD，∵CD＝3，∴DE＝3；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴＝，∴＝．10．解：（一）（1）A→C（+3，+2），D→B（﹣1，+2），故答案为：+3，+2，﹣1，+2；（2）甲虫A的爬行路线为A→B→C→D，∴甲虫A爬行的路程是1+3+2+1+1+1＝9；（3）甲虫A爬行示意图与点P的位置如图所示：（2+1+2+1）÷0.5+（2+3）÷2+（1+2）÷1＝12+2.5+3＝17.5（秒），所以甲虫A爬行的时间是17.5秒；（二）（1）∵b是最小正整数，|a+b|+（c﹣5）2＝0，∴b＝1，a＝﹣1，c＝5，故答案为：﹣1，1，5；（2）根据题意知，BC＝（5+5t）﹣（1+mt）＝4+5t﹣mt，AB＝（1+mt）﹣（﹣1﹣t）＝2+mt+t，∴BC﹣AB＝4+5t﹣mt﹣（2+mt+t）＝2+（4﹣2m）t，∵BC﹣AB的值不变，∴4﹣2m＝0，∴m＝2．11．解：（1）由勾股定理得，c＝＝13；（2）由勾股定理得，a＝＝．12．证明：∵∠B＝90°，∴AC2＝AB2+BC2，EF2＝BE2+BF2，AF2＝AB2+BF2，CE2＝BE2+BC2，∴AF2+CE2＝AB2+BF2+BE2+BC2＝AC2+EF2．即AF2+CE2＝AC2+EF2．13．解：（1）∵AB∥CD，∠C＝50°，∴∠CAB＝180°﹣∠C＝180°﹣50°＝130°，∵AE平分∠CAP，AF平分∠BAP，∴∠CAE＝∠P AE＝∠CAP，∠P AF＝∠BAF＝∠BAP，∴∠EAF＝∠P AE+∠P AF＝∠CAP+∠BAP＝（∠CAP+∠BAP）＝∠CAB＝×130°＝65°；（2）①∵∠1+∠C+∠CAP＝180°，∠C＝50°，∠CAP＝20°，∴∠1＝180°﹣∠C﹣∠CAP＝180°﹣50°﹣20°＝110°，∵AE平分∠CAP，∴∠CAE＝∠CAP＝10°，∵∠EAF＝65°，∴∠CAF＝∠CAE+∠EAF＝75°，∵∠C+∠CAF+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣∠C﹣∠CAF＝180°﹣50°﹣75°＝55°，故答案为：110°，55°；②∵∠1+∠C+∠CAP＝180°，∠C＝50°，∠CAP＝50°，∴∠1＝180°﹣∠C﹣∠CAP＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∵AE平分∠CAP，∴∠CAE＝∠CAP＝25°，∵∠EAF＝65°，∴∠CAF＝∠CAE+∠EAF＝90°，∵∠C+∠CAF+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣∠C﹣∠CAF＝180°﹣50°﹣90°＝40°，故答案为：80°，40°；③∵∠1+∠C+∠CAP＝180°，∠C＝50°，∠CAP＝60°，∴∠1＝180°﹣∠C﹣∠CAP＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∵AE平分∠CAP，∴∠CAE＝∠CAP＝30°，∵∠EAF＝65°，∴∠CAF＝∠CAE+∠EAF＝95°，∵∠C+∠CAF+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣∠C﹣∠CAF＝180°﹣50°﹣95°＝35°，故答案为：70，35°；④∠1＝2∠2，理由如下：∵AB∥CD，∴∠1＝∠P AB，∠2＝∠F AB，∵AF平分∠BAP，∴∠P AB＝2∠F AB，∴∠1＝2∠2；（3）①∵∠CAP＝x°，∴∠EAC＝x°，∵∠AEF＝∠EAC+∠C，∠C＝50°，∴y＝x+50；②当∠CAP＝90°时，则x＝90，∴y＝×90+50＝45+50＝95，当∠APC＝90°时，∠CAP＝90°﹣∠C＝90°﹣50°＝40°，则x＝40，∴y＝×40+50＝20+50＝70，综上所述，当△ACP为直角三角形时，y的值为95或70．14．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC＝＝＝2；（2）作CD⊥AB交BA的延长线于点D，∵∠BAC＝120°，∴∠DCA＝30°，∴AD＝AC＝2，∴CD＝＝＝2，BD＝AD+AB＝4，在Rt△CDB中，BC＝＝2．15．解：（1）当t＝1秒时，OP＝2t＝2×1＝2．如图，过点P作PD⊥AB于点D．在Rt△POD中，∠PDO＝90°，∠BOC＝60°，∴∠DPO＝30°，∴OD＝OP＝1，PD＝＝，∴S△ABP＝AB•PD＝×（4+2）×＝3，故OP＝2，S△ABP＝3；（2）当△OBP是直角三角形时，①若∠B＝90°．如图，∵∠BOC＝60°，∴∠OPB＝30°，∴OP＝2OB，即2t＝2×2，t＝2；②若∠BPO＝90°，如图，∵∠BOC＝60°，∴∠B＝30°，∴OP＝OB，又OP＝2t，∴t＝0.5；综上，当△OBP是直角三角形时，t＝2或t＝0.5．16．（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得：c＝＝＝25；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：a＝＝＝＝4．17．证明：如图，连接BC，∵Rt△ABE≌Rt△DEC，∴∠AEB＝∠DCE，BE＝EC＝c，∵∠D＝90°，∴∠DCE+∠DEC＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠BEC＝90°，∴△BEC是等腰直角三角形，∵S梯形ABCD＝S Rt△ABE+S Rt△CDE+S Rt△BEC，∴，即∴，∴a2+b2＝c2．18．（1）证明：∵AB⊥BC，AB＝3，BC＝6，∴AC＝，∵AC2+CD2＝45+4＝49＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴AC⊥CD；（2）解：四边形ABCD的面积＝＝9+3．19．解：（1）由作图可知：直线MN是线段AD的垂直平分线，故答案为：垂直平分；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝，∵BC＝BD＝5，∴AD＝AB﹣BD＝13﹣5＝8，∵直线MN是线段AD的垂直平分线，∴AF＝4，∠AFE＝90°，∵∠A＝∠A，∴AE＝．20．解：（1）结合已知数据，可得：OA n2＝n，则S n＝；（2）∵OA n2＝n，∴OA10＝；（3）S12+S22+S32+…+S102＝++++…+＝＝．。

第14章勾股定理14.1勾股定理专题一勾股定理与方程1.如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（）A．6B．3C．23D．32.一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6米.当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE＝米时,有DC2＝AE2＋BC2.专题二构造直角三角形3.如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝23，求AB的长．4.如图所示，在△ABC中，已知AB=13cm，AC=5cm，BC边上的中线AD=6cm，求BC.5.如图，在四边形ABCD中，AB:BC:CD:DA=2:2:3:1，且∠ABC=90°，求∠DAB的度数.专题三勾股定理中的分类讨论思想6.在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是．7.在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为_______.8.在△ABC中，AB=25，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．状元笔记【知识要点】1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a，b，c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.【温馨提示】在直角三角形中知道任意两边都可以利用勾股定理求出第三边.【方法技巧】1.当图形中没有直角三角形时，有时可以通过作高构造直角三角形.2.判定一个三角形是直角三角形有两种方法：①借助三角形内角和求出一个角是直角；②利用勾股定理的逆定理.()参考答案1.C【解析】由折叠可知BD=BA=6，DE=AE.∵BC=3，∴CD=BC=3，∴BE=DE=AE，由勾股定理可得AC=33，设DE=AE=BE=x，在△Rt BCE中，32＋33-x2=x2，解得x=23，即DE的长度为23.2.143【解析】因∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6米，所以AC＝12米.设当AE为x时，所以EC＝12－x，由DC2＝AE2＋BC2.及DC2＝DE2＋EC2，所以有22＋（12－x）2＝x2＋36，解得：x＝143.3.解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°.∴CD＝BD.∵∠A＝30°，AC＝23，∴CD＝3，∴BD＝CD＝3.由勾股定理得：AD＝AC2-CD2＝3，∴AB＝AD＋BD＝3＋3.答：AB的长是3＋3．4.解：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.在△ADC与△EDB中.∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，∴△ADC≌△EDB，∴EB=AC=5cm.在△AEB中，∵AB=13cm，EB=5cm，AE=2AD=12cm，∴AB2=EB2+AE2，∴∠E=90°.在△Rt BED中，由勾股定理得BD=EB2+DE2=61，∴CD=1∴BC=2BD=261cm.5.解：连结AC.设AB、BC、CD、DA分别为2x，2x，3x，x，则AC2=8x2,AD2=x2,CD2=9x2，∴AC2+AD2=CD2，∴∠DAC=90°，∴∠DAB=90°+45°=135°.6.43或43或4【解析】（1）如图①，当AB=AC时，3∵∠A=30°，1AC=×8=4；22（2）如图②，当AB=BC时，则∠A=∠ACB=30°，∴∠ACD=60°，∴∠BCD=30°，∴BD=1BC=4，2∴CD=BC2-BD2=43；（3）如图③，当AC=BC时，则AD=4.设CD=x，则AC=2x.则（2x)2-x2=42，解得x=433.故答案为433或43或4．7.42或32【解析】当△ABC是锐角三角形时，如图①，根据勾股定理可得BD=9，DC=5,∴BC=14,此时当△ABC的周长为15+13+14=42.当△ABC是钝角三角形时，如图②，根据勾股定理可得BD=9，DC=5,∴BC=9-5=4,此时当△ABC的周长为15+13+4=32.8.解：∵AC=4，BC=2，AB=25，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．分三种情况如图(1)，过点D作DE⊥CB，垂足为点E．易证△ACB≌△BED，易求CD=210如图(2)，过点D作DE⊥CA，垂足为点E．易证△ACB≌△DEA，易求CD=213．如图(3)，过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．易证△AFD≌△DEB，易求CD=32.∴CD的长为210或213或32.。

2022-2023学年华东师大版八年级数学上册《14.1勾股定理》题型分类综合练习题（附答案）一．勾股定理与图形面积1．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝．2．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为（）A．（）6B．（）7C．（）6D．（）73．由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积（a﹣b）2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2+b2＝c2，还可以用来证明结论：若a＞0、b＞0且a2+b2为定值，则当a b 时，ab取得最大值．4．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和5．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD 是△ABC的高，则BD的长为（）A．B．C．D．6．点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB 所在直线的距离是．7．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离为（）A．3B．4C．5D．2.48．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A．4.8B．4.8或3.8C．3.8D．59．学完了勾股定理后，张老师给同学们布置了这样一道题：有两个形状、大小完全相同的香烟盒按照图1放置，从正前方看图1得到的图形如图2所示，你能运用这个图形证明勾股定理吗？赶紧试一试吧，相信你一定能行！（提示：连接AC、CF、AF）10．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2．证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a．∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）∴a2+b2＝c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2证明：连接∵S五边形ACBED＝又∵S五边形ACBED＝∴∴a2+b2＝c2．二．勾股定理与方程思想11．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得图形证明了勾股定理，如图所示矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为（）A．20B．24C．D．12．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC边上的高AD＝6cm，腰AB上的高CE＝8cm，则△ABC的周长等于cm．13．设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是（）A．1.5B．2C．2.5D．314．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为．15．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1））．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH 的边长为2，则S1+S2+S3＝．16．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝2EF，则正方形ABCD的面积为（）A．12S B．10S C．9S D．8S17．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC＝．三．勾股定理与分类讨论18．如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连接BD．若BD的长为2，则m的值为．19．在△ABC中，AB＝，AC＝5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为．20．已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为．21．腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为．22．在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝5，AB＝3．如果点P在AC边上，且点P到Rt△ABC 的两个顶点的距离相等，那么AP的长为．23．如图，在△ABC中，已知：∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，连接P A，当△ABP为等腰三角形时，t的值为．24．如图，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝9，AB＝CD＝15．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE为．25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为．四．勾股定理与平面几何综合26．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为（）A．3B．6C．3D．27．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）A．5个B．4个C．3个D．2个28．把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝．29．如图，△ABC中，∠B＝45°，BC＝2，D是边AB靠近点B的三等分点，∠ADC ＝∠A，则CD长为（）A．2B．C．D．30．如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为（）A．B．C．D．2﹣31．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连接GH，则线段GH 的长为（）A．B．2C．D．10﹣532．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝（）A．184B．86C．119D．8133．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2+CD2＝2AB2．（1）求证：AB＝BC；（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE+CD．34．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是（）A．1.5B．2C．2.25D．2.535．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）A．90B．100C．110D．12136．如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE ＝，则AB的长是．37．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝4，则CD＝．38．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF ⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是（）A．1.5B．1.8C．2D．2.539．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD 于点E，交CB于点F．若AC＝3，AB＝5，则CE的长为（）A．B．C．D．40．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB＝3，BC＝4，则AD的长为．参考答案一．勾股定理与图形面积1．解：观察发现，∵AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，∴∠BAC＝∠EBD，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC＝ED，∵AB2＝AC2+BC2，∴AB2＝AC2+ED2＝S1+S2，即S1+S2＝1，同理S3+S4＝3．则S1+S2+S3+S4＝1+3＝4．故答案为：4．2．解：在图中标上字母E，如图所示．∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2+CE2＝CD2，DE＝CE，∴S2+S2＝S1．观察，发现规律：S1＝22＝4，S2＝S1＝2，S3＝S2＝1，S4＝S3＝，…，∴S n＝（）n﹣3．当n＝9时，S9＝（）9﹣3＝（）6，故选：A．3．解：如图，作斜边c上高h，∵（a﹣b）2≥0，∴a2+b2﹣2ab≥0，又∵a2+b2＝c2，a2+b2为定值，∴ab≤，∴ab最大值为，∵a，b为直角边的直角三角形面积＝a•b＝c•h，∴＝c•h，∴h＝，∵等腰直角三角形斜边上的高是斜边的一半，∴当a＝b时，h＝，故答案为：＝．4．解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2＝a2+b2，阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），较小两个正方形重叠部分的宽＝a﹣（c﹣b），长＝a，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选：C．5．解：由勾股定理得：AC＝＝，∵S△ABC＝3×3﹣＝3.5，∴，∴，∴BD＝，故选：D．6．解：连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h，∵S△ABC＝3×3﹣×2×1﹣×2×1﹣×3×3﹣1＝9﹣1﹣1﹣﹣1＝，AB＝＝，∴×h＝，∴h＝．故答案为：．7．解：作CD⊥AB于点D，如右图所示，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵，∴，解得CD＝2.4，故选：D．8．解：过A点作AF⊥BC于F，连接AP，∵△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，∴BF＝4，∴△ABF中，AF＝＝3，∴×8×3＝×5×PD+×5×PE，12＝×5×（PD+PE）PD+PE＝4.8．故选：A．9．证明：连接AC、CF、AF．由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积＝（a+c）（a+c）．从上图我们还发现梯形的面积＝三个三角形的面积，即ac+ac+b2．两者列成等式化简即可得：a2+c2＝b2．10．证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE＝ab+b2+ab，又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE＝ab+c2+a（b﹣a），∴ab+b2+ab＝ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2＝c2．二．勾股定理与方程思想11．解：设小正方形的边长为x，∵a＝3，b＝4，∴AB＝3+4＝7，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即（3+x）2+（x+4）2＝72，整理得，x2+7x﹣12＝0，而长方形面积为x2+7x+12＝12+12＝24∴该矩形的面积为24，故选：B．12．解：∵AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，∴AB•CE＝BC•AD，∵AD＝6，CE＝8，∴＝，∴＝，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC，∵AB2﹣BD2＝AD2，∴AB2＝BC2+36，∴＝，整理得；BC2＝，解得：BC＝，∴AB＝×BC＝×＝，∴△ABC的周长＝2AB+BC＝2×+＝12．故答案为：12．13．解：∵三角形的周长为6，斜边长为2.5，∴a+b+2.5＝6，∴a+b＝3.5，①∵a、b是直角三角形的两条直角边，∴a2+b2＝2.52，②由②得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝2.52∴3.52﹣2ab＝2.52ab＝3，故选：D．14．解：（14×14﹣2×2）÷8＝（196﹣4）÷8＝192÷8＝24，24×4+2×2＝96+4＝100，＝10．答：正方形EFGH的边长为10．故答案为：10．15．解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，∴CG＝KG，CF＝DG＝KF，∴S1＝（CG+DG）2＝CG2+DG2+2CG•DG＝GF2+2CG•DG，S2＝GF2，S3＝（KF﹣NF）2＝KF2+NF2﹣2KF•NF，∴S1+S2+S3＝GF2+2CG•DG+GF2+KF2+NF2﹣2KF•NF＝3GF2＝12，故答案是：12．16．解：设AM＝2a．BM＝b．则正方形ABCD的面积＝4a2+b2由题意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，∵AM＝2EF，∴2a＝2b，∴a＝b，∵正方形EFGH的面积为S，∴b2＝S，∴正方形ABCD的面积＝4a2+b2＝9b2＝9S，故选：C．17．解：设AE＝ED＝x，CD＝y，∴BD＝2y，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，∴AB2＝4x2+4y2，∴x2+y2＝1，在Rt△CDE中，∴EC2＝x2+y2＝1∵EC＞0∴EC＝1．另解：取AB中点F，连接DF、FE，∴DF＝AB＝1，∵E是AD中点，∴FE＝BD，FE∥BD，∵BD＝2DC，∴FE∥DC，FE＝DC，∴四边形FECD是平行四边形，∴EC＝FD＝1，故答案为：1．三．勾股定理与分类讨论18．解：由作图知，点D在AC的垂直平分线上，∵△ABC是等边三角形，∴点B在AC的垂直平分线上，∴BD垂直平分AC，设垂足为E，∵AC＝AB＝2，∴BE＝，当点D、B在AC的两侧时，如图，∵BD＝2，∴BE＝DE，∴AD＝AB＝2，∴m＝2；当点D、B在AC的同侧时，如图，∵BD′＝2，∴D′E＝3，∴AD′＝＝2，∴m＝2，综上所述，m的值为2或2，故答案为：2或2．19．解：有两种情况：①如图1，∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，由勾股定理得：BD＝＝＝5，CD＝＝＝4，∴BC＝BD+CD＝5+4＝9；②如图2，同理得：CD＝4，BD＝5，∴BC＝BD﹣CD＝5﹣4＝1，综上所述，BC的长为9或1；故答案为：9或1．20．解：分两种情况：①当△ABC是锐角或直角三角形，如图1，∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∵CD＝，AD＝1，∴AC＝2，∵AB＝2AC，∴AB＝4，∴BD＝4﹣1＝3，∴BC＝＝＝2；②当△ABC是钝角三角形，如图2，同理得：AC＝2，AB＝4，∴BC＝＝＝2；综上所述，BC的长为2或2．故答案为：2或2．21．解：①如图1则BD＝CD＝3，∴底边长为6；②如图2．当AB＝AC＝5，CD＝4时，则AD＝3，∴BD＝2，∴BC＝＝2，∴此时底边长为2；③如图3：当AB＝AC＝5，CD＝4时，则AD＝＝3，∴BD＝8，∴BC＝4，∴此时底边长为4．故答案为：6或2或4．22．解：在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，BC＝5，AB＝3，∴AC＝＝4．若PB＝PC，连接PB，设P A＝x，则PB＝PC＝4﹣x，在Rt△P AB中，∵PB2＝AP2+AB2，∴（4﹣x）2＝x2+32，∴x＝，即P A＝；若P A＝PB，由图知，在Rt△P AB中，不可能．综上所述，P A的长为：2或．故答案是：2或．23．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：BC＝cm，∵△ABP为等腰三角形，当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16；当BA＝BP＝10cm时，则t＝10；当P A＝PB时，如图：设BP＝P A＝x，则PC＝8﹣x，在Rt△ACP中，由勾股定理得：PC2+AC2＝AP2，∴（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝，∴t＝．综上所述：t的值为16或10或．故答案为：16或10或．24．解：如图1，∵折叠，∴△AD′E≌△ADE，∴∠AD′E＝∠D＝90°，∵∠AD′B＝90°，∴B、D′、E三点共线，又∵AD′＝BC，∴ABD′≌△BEC，∴BE＝AB＝15，∵BD′＝＝＝12，∴DE＝D′E＝15﹣12＝3；如图2，∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，∴∠CBE＝∠BAD″，在△ABD″和△BEC中，，∴△ABD″≌△BEC，∴BE＝AB＝15，∴DE＝D″E＝15+12＝27．综上所知，3或27．故答案为：3或2725．解：分三种情况：①如图1所示：当AD＝AB时，由AC⊥BD，可得CD＝BC＝3；②如图2所示：当AD＝BD时，设CD＝x，则AD＝x+3，在Rt△ADC中，由勾股定理得：（x+3）2＝x2+42，解得：x＝，∴CD＝；③如图3所示：当BD＝AB时，在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，∴BD＝5，∴CD＝5﹣3＝2；综上所述：CD的长为3或或2．故答案为：3或或2．四．勾股定理与平面几何综合26．解：∵∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，∴AB＝＝3，∠CAB＝45°，∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同，∴∠C′AB′＝∠CAB＝45°，AB′＝AB＝3，∴∠CAB′＝90°，∴B′C＝＝3，故选：A．27．解：过A作AE⊥BC，∵AB＝AC，∴EC＝BE＝BC＝4，∴AE＝＝3，∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．∴3≤AD＜5，∴AD＝3或4，∵线段AD长为正整数，∴AD的可以有三条，长为4，3，4，∴点D的个数共有3个，故选：C．28．解：如图，过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B＝45°，∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝AB＝×2＝，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD＝BC＝2，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝，∴CD＝BF+DF﹣BC＝+﹣2＝﹣，故答案为：﹣．29．解：过点C作CE⊥AB于点E，∵∠ADC＝∠A，∴AC＝CD，∵CE⊥AD，∴AE＝DE，∵D是边AB靠近点B的三等分点，∴AD＝2BD，∴BD＝AE＝DE，∵∠B＝45°，BC＝2，∴BE＝BC＝2，∴DE＝1，CE＝2，∴CD＝＝＝，故选：C．30．解：连接AD，如图所示：∵AD＝AB＝2，∴DE＝＝，∴CD＝2﹣；故选：D．31．解：如图，延长BG交CH于点E，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝CD＝10，∵AG＝8，BG＝6，∴AG2+BG2＝AB2，∴∠AGB＝90°，∴∠1+∠2＝90°，又∵∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，同理：∠4＝∠6，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∴∠2＝∠4，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，同理可得HE＝2，在Rt△GHE中，GH＝＝＝2，故选：B．32．解：由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，连接BD，在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，即S1+S4＝S3+S2，因此S2＝135﹣49＝86，故选：B．33．证明：（1）连接AC．∵∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2．∵CD⊥AD，∴AD2+CD2＝AC2．∵AD2+CD2＝2AB2，∴AB2+BC2＝2AB2，∴BC2＝AB2，∵AB＞0，BC＞0，∴AB＝BC．（2）过C作CF⊥BE于F．∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，∴∠FED＝∠CFE＝∠D＝90°，∴四边形CDEF是矩形．∴CD＝EF．∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴在△BAE与△CBF中∴，∴△BAE≌△CBF．（AAS）∴AE＝BF．∴BE＝BF+EF＝AE+CD．34．解：设AM＝x，连接BM，MB′，在Rt△ABM中，AB2+AM2＝BM2，在Rt△MDB′中，B′M2＝MD2+DB′2，∵MB＝MB′，∴AB2+AM2＝BM2＝B′M2＝MD2+DB′2，即92+x2＝（9﹣x）2+（9﹣3）2，解得x＝2，即AM＝2，故选：B．35．解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，易得△CAB≌△BOF≌△FLG，∴AB＝OF＝3，AC＝OB＝FL＝4，∴OA＝OL＝3+4＝7，∵∠CAB＝∠BOF＝∠L＝90°，所以四边形AOLP是正方形，边长AO＝AB+AC＝3+4＝7，所以KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，因此矩形KLMJ的面积为10×11＝110．故选：C．36．解：如图，延长BE交AD于点F，∵点E是DC的中点，∴DE＝CE，∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC，∴∠D＝∠BCE，∵∠FED＝∠BEC，∴△BCE≌△FDE（ASA），∴DF＝BC＝5，BE＝EF，∴BF＝2BE＝13，在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12．故答案为：12．37．解：∵AC＝BC，∠C＝90°，∴AC＝AB＝2，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAC＝∠DAE，∵∠C＝∠AED＝90°，∴∠ADC＝∠ADE，∴AC＝AE，∴BE＝AB﹣AE＝4﹣2，∵∠B＝45°，∠DEB＝90°，∴∠EDB＝∠B＝45°，∴DE＝BE，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE＝4﹣2，故答案为：4﹣2．38．解：连接DF，如图所示：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵AD＝AC＝3，AF⊥CD，∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝2，∴CF＝DF，在△ADF和△ACF中，，∴△ADF≌△ACF（SSS），∴∠ADF＝∠ACF＝90°，∴∠BDF＝90°，设CF＝DF＝x，则BF＝4﹣x，在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2＝BF2，即x2+22＝（4﹣x）2，解得：x＝1.5；∴CF＝1.5；故选：A．39．方法一：解：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠CAF+∠CF A＝90°，∠F AD+∠AED＝90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠F AD，∴∠CF A＝∠AED＝∠CEF，∴CE＝CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，∴FC＝FG，∵∠B＝∠B，∠FGB＝∠ACB＝90°，∵AC＝3，AB＝5，∠ACB＝90°，∴BC＝4，∵FC＝FG，∴＝，解得：FC＝，即CE的长为．故选：A．方法二：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠CAF+∠CF A＝90°，∠F AD+∠AED＝90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠F AD，∴∠CF A＝∠AED＝∠CEF，∴CE＝CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，∴FC＝FG，∵AC＝3，AB＝5，∠ACB＝90°，∴BC＝4，在Rt△AFC和Rt△AFG中，，∴Rt△AFC≌Rt△AFG（HL），∴AC＝AG＝3，∴设FG＝x，则BF＝4﹣x，BG＝AB﹣AG＝5﹣3＝2，∴FG2+BG2＝BF2，则x2+22＝（4﹣x）2，解得：x＝，即CE的长为．故选：A．40．解：∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝＝5，∵DE垂直平分AC，垂足为O，∴OA＝AC＝，∠AOD＝∠B＝90°，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠C，∴AD＝．解法二：连接AE．∵DE垂直平分线段AC，∴EA＝EC．设EA＝EC＝x，在Rt△ABE中，则有x2＝32+（4﹣x）2，∴x＝，∵AD∥EC，∴∠D＝∠DEC，∵EA＝EC，EO⊥AC，∴∠AEO＝∠CEO，∴∠D＝∠AEO，∴AD＝AE＝EC＝．故答案为：．。

第14章勾股定理一、选择题（共2小题〉1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A. 5B. 6C. 7D. 252.如图，在AABC 中，ZC二90° , AC=2,点 D 在BC±, ZADC二2ZB, AD=,则BC 的长为（）A. - 1B. +1C. - 1D. +1点E是AD的中点，且AE=1, BE的垂直平分线MN恰好过点C.则3.如图，矩形纸片ABCD中,矩形的一边AB的长度为（）A. 1B.C.D. 24. AABC中，AB二AC二5, BC二8,点P是BC边上的动点，过点P作PD丄AB于点D, PE丄AC于点E,则PD+PE的长是（）A. 4. 8B. 4. 8 或 3. 8C. 3. 8 D・ 55. 如图，在RtAABC中，ZBAC二90° , ZABC的平分线BD交AC于点D, DE是BC的垂直平分线，点E是垂足.已知DC二8, AD二4,则图中长为4 的线段有（）A. 4条B. 3条C. 2条D・1条6.如图，在四边形ABCD中，AD〃BC, DE±BC,垂足为点E,连接AC交DE于点F,点G为AF 的中点，ZACD 二2ZACB.若DG二3, ECh ,则DE 的长为（）A. 2B.C. 2D.7. 在边长为正整数的AABC中，AB二AC,且AB边上的中线CD将AABC的周长分为仁2的两部分，贝OAABC面积的最小值为（）A. B・C・ D.8. 如图，AABC中，BC二AC, D、E两点分别在BC与AC上，AD丄BC, BE丄AC, AD与BE相交于F 点.若AD二4, CD二3,则关于ZFBD、ZFCD、ZFCE的大小关系，下列何者正确？（）A. ZFBD>ZFCDB. ZFBDVZFCDC. ZFCE>ZFCDD. ZFCEVZFCD9.如图，在RtAABC中，ZACB二90°，点D是AB的中点，且CD二，如果RtAABC的面积为1,则它的周长为（）10.如图，AABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD丄AC于点D.则BD的长为（）A. B. C. D.二、填空题（共15小题〉门.如图，在AABC中，AB二BC二4, A0二BO, P是射线C0上的一个动点，ZA0C二60°,则当Z\PAB 为直角三角形时，AP的长为・12. 在AABC 中，AB=13cm, AC二20cm, BC 边上的高为12cm,则Z\ABC 的面积为 _____ cml13. 如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E,取BE的中点F,连接DF, DF二4.设AB二x, AD=y,贝lj x?+ （y-4）'的值为 .14. 正方形ABCD的边长是4,点P是AD边的中点，点E是正方形边上的一点.若APBE是等腰三角形，则腰长为—・15. 如图，在一张长为7cm,宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为・16.如图，AABC中，CD丄AB于D, E是AC的中点.若AD二6, DE二5,则CD的长等于17. 等腰Z\ABC 中，AB二AC二10c叫BC=12cm,则BC 边上的高是cm.18. 已知直角三角形的两边的长分别是3和4,则第三边长为_・19. 如图，在等腰AABC中，AB=AC, BC边上的高AD二6cm,腰AB上的高CE二8cm,则Z\ABC的周长等于___ cm.20.如图，四边形ABCD 中，AB〃DC, ZB二90°,连接AC, ZDAC=ZBAC.若BC二4c叫AD二5c叫则AB 二cm.21.如图，点D在AABC的边BC上,ZC+ZBAD=ZDAC, tan Z BAD二AD 二,CD=13,则线段AC的长为22.如图，RtAABC 中，ZABC二90。

华师大版八年级上册数学第14章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列各组数据中，不是勾股数的是（）A.5，7，9B.6，8，10C.7，24，25D.8，15，172、由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，最短的之边长为1，则图中阴影部分的面积为（）A.1B.3C.4﹣2D.4+23、否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为( )A.a、b、c都是奇数B.a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数 C.a、b、c都是偶数 D.a、b、c中至少有两个偶数4、如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为（）A.4B.5C.6D.不能确定5、用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时应假设（）A.三角形中有一个内角小于或等于60°B.三角形中有两个内角小于或等于60°C.三角形中有三个内角小于或等于60°D.三角形中没有一个内角小于或等于60°6、如图，网格中有一个△ABC，下图中与△ABC相似的三角形的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个7、如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍8、如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（）A.10mB.10 mC.15mD.5 m9、如图，斜靠在墙上的一根竹竿，AB=5m，OB=3m。

若B端沿地面OB方向外移0.5m，则A端沿垂直于地面AC方向下移( )A.等于0.5mB.小于0.5mC.大于0.5mD.不确定10、如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1， l2， l3上，且l1， l2之间的距离为1，l2， l3之间的距离为2，则AC的长是（）A. B. C. D.511、如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则△PQD的面积为（）A. B. C. D.12、用反证法证明：在一个三角形中至少有一个内角小于或等于60°．证明过程中，可以先（）A.假设三个内角没有一个小于60°的角B.假设三个内角没有一个等于60°的角C.假设三个内角没有一个小于或等于60°的角D.假设三个内角没有一个大于或等于60°的角13、如图，有一块菱形纸片，沿高剪下后拼成一个矩形，矩形的相邻两边和的长分别是5，3．则的长是（）A. B.1 C. D.214、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AB=15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )A.150cm 2B.200cm 2C.225cm 2D.无法计算15、直角三角形的一条直角边是另一条直角边的，斜边长为10，则它的面积为（）A.10B.15C.20D.30二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为________米（结果精确到0.1米，参考数据：=1.41，=1.73）．17、如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的点F处，已知AD＝10，AB＝6，则FC的长是________．18、一根长16cm牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中．牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是________．19、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且满足PA=3，PB=1，PC=2，则∠BPC的度数为________.20、如图，将边长为2的正方形 ABCD 绕点A按逆时针方向旋转，得到正方形AB'C'D'，连接BB'、BC'，在旋转角从0°到180°的整个旋转过程中，当BB'＝BC'时，△BB'C'的面积为________.21、如图，矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF的面积为________．22、如图，直线AB的解析式为y= x+4，与y轴交于点A，与x轴交于点B，点P为线段AB上的一个动点，作PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，连接EF，则线段EF的最小值为________.23、如图，在菱形中，，，是上一点，，是边上一动点，将四边形沿直线折叠，的对应点.当的长度最小时，则的长为________24、数学课上，同学提出如下问题：老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下：如图1，我们想要证明“如果直线AB，CD 被直线所截EF，AB∥CD，那么∠EOB=．”如图2，假设∠EOB≠ ，过点O作直线A'B'，使= ，可得∥CD．这样过点O就有两条直线AB，都平行于直线CD，这与基本事实________矛盾，说明∠EOB≠ 的假设是不对的，于是有∠EOB=∠ ．小贴士反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不符合题意，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法．请补充上述证明过程中的基本事实：25、已知⊙O的半径为5，点A到圆心O的距离为3，则过点A的所有弦中，最短弦的长为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，tanB= ，点D在BC上，且BD=AD，求AC的长和cos∠ADC的值．27、如图，铁路上A、B两点相距17千米，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA=12km，CB=5km，现要在铁路AB上建一个土产品收购站E，使得C．D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？28、如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，CD=15，BD=25，求AC 的长。

华师大新版八年级上学期《14.1 勾股定理》同步练习卷一．选择题（共25小题）1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，9，1，4，则最大正方形E的面积是（）A．18B．114C．194D．3242．如图，长方形OABC中，OA=12，AB=5，OA边在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．12B．13C．15D．173．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能构成直角三角形的是（）A．1，2，3B．4，5，6C．5，12，15D．1，，2 4．如图，△ABC中，CD是AB边上的高，若AB=1.5，BC=0.9，AC=1.2，则CD的值是（）A．0.72B．2.0C．1.125D．不能确定5．在△ABC中，三边之比分别为5：12：13，∠C﹣∠B=∠A，则△ABC为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形6．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4B．8C．16D．647．如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13．则小正方形的面积为（）A．3B．4C．5D．68．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，△BCD与△BC′D关于直线BD 轴对称，BC=6，CD=3，点C与点C′对应，BC′交AD于点E，则线段DE的长为（）A．3B．C．5D．9．如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，下列结论错误的是（）A．AB=5B．∠C=90°C．AC=2D．∠A=30°10．如图，OA=，以OA为直角边作Rt△OAA1，使∠AOA1=30°，再以OA1为直角边作Rt△OA1A2，使∠A1OA2=30°，……，依此法继续作下去，则A1A2的长为（）A．B．C．D．11．如图，在△ABC中，点M是AC边上一个动点．若AB=AC=10，BC=12，则BM的最小值为（）A．8B．9.6C．10D．4 512．一个三角形的三边长分别为3，4和5，那么它长边上的高线长为（）A．5B．2.5C．2.4D．213．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC 于点D，则BD的长为（）A．B．C．D．14．如图，△ABC是腰长为2的等腰直角三角形，△BCD是直角三角形，且∠D=30°，则两个三角形重叠部分（△OBC）的面积是（）A．3﹣B．2﹣C．1D．1+15．如图，在四边形ABCD中，AB=12cm，BC=3cm，CD=4cm，∠C=90°，当AD 为多少时，∠ABD=90°（）A．13B．6C．12D．616．直角三角形的两边长分别为6和8，那么它的第三边长度为（）A．8B．10C．8或2D．10或217．△ABC的三边分别为a，b，c，下列条件：①∠A=∠B﹣∠C；②a2=（b+c）（b﹣c）；③a：b：c=3：4：5．其中能判断△ABC是直角三角形的条件个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个18．如图图中，不能用来证明勾股定理的是（）A．B．C．D．19．如图Rt△ABC，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”；当AC=3，BC=4时，计算阴影部分的面积为（）A．6B．6πC．10πD．1220．Rt△ABC中，斜边BC=2，则AB2+BC2+CA2=（）A．8B．6C．4D．无法计算21．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB、BC、AC为直径作半圆，面积分别记S1，S2，S3，若S1=4，S2=9，则S3的值为（）A．13B．5C．11D．322．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足为D，AB=3，AC=4，AD=，BD=，则点B 到直线AD的距离为（）A．B．C．3D．423．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3=60，则S2的值是（）A．12B．15C．20D．3024．如图，已知直角三角形的三边长分别为a、b、c，以直角三角形的三边为边（或直径），分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形．那么，这四个图形中，其面积S1、S2、S3满足S1+S2=S3的个数是（）A．1B．2C．3D．425．一个直角三角形的直角边是24，斜边是25，则斜边上的高为（）A．7B．C．168D．25二．填空题（共13小题）26．一个直角三角形的两直角边长分别是3cm和2cm，则第三边长cm．27．如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的面积为40，另外四个正方形中的数字8，x，10，y分别表示该正方形面积，则x+y=．28．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，D点从A出发以每秒1cm 的速度向B点运动，当D点运动到AC的中垂线上时，运动时间为秒．29．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动设运动的时间为ts当t=时，△ABP为直角三角形．30．如图是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…依此类推，若正方形①的边长为64m，则正方形⑨的边长为cm．31．已知一等腰三角形有两边长分别是10cm和12cm，则底边上的高为．32．已知△ABC的面积为24，∠C=90°，若AC与BC的长的和是14，则AB的长是．33．勾股定理a2+b2=c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为．34．已知直角三角形的两直角边长分别是6，8，则它的周长为．35．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若较短的直角边BC=5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是．36．若一个直角三角形的一条直角边为12cm，另一条直角边长比斜边短4cm，则斜边长为．37．如图，已知△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AC的垂直平分线，DE 交AB于点D，连接CD，则CD=．38．若一个三角形的三边长分别是6、8、a，若这个三角形是直角三角形，则a 的最小值是．三．解答题（共19小题）39．细心观察图形，认真分析各式，然后回答问题：（1）推算出OA10的长和S10的值．（2）直接用含n（n为正整数）的式子表示OA n的长和S n的值．（3）求S12+S22+S32+…+S102的值．40．在△ABC中，AB=30，BC=28，AC=26．求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．41．阅读：所谓勾股数就是满足方程x2+y2=z2的正整数解，即满足勾股定理的三个正整数构成的一组数．我国古代数学专著《九章算术》一书中，在历史上第一次给出该方程的解为x=（m2﹣n2），y=mn，z=（m2+n2），其中m＞n ＞0，m、n是互质的奇数．应用：已知某直角三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n=5，求该直角三角形另两边的长．42．阅读并回答问题：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数，在一次数学活动课上，王老师设计了如下数表：（1）请你分别现察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a=，b=，c=．（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想．（3）观察下列勾股数32+42=52，52+122=132，72+242=252，92+402=412，分析其中的规律，写出第五组勾股数．43．如图，已知CD=6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m；求图中阴影部分的面积．44．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，点E是AD的中点，求CE的长．45．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，BC=AD=4，AB=CD=10，∠DCB=90°，E为CD边上的一点，DE=7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒．（1）求BE的长；（2）若△BPE为直角三角形，求t的值．46．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．47．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长；（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？48．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．49．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的面积；（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？50．阅读下面的情景对话，然后解答问题：（1）理解：①根据“奇异三角形”的定义，请你判断：“等边三角形一定是奇异三角形”吗？（填是或不是）②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形（是或不是）奇异三角形．（2）探究：若Rt△ABC是奇异三角形，且其两边长分别为2、2，则第三边的长为，且这个直角三角形的三边之比为（从小到大排列，不得含有分母）．（3）设问：请提出一个和奇异三角形有关的问题．（不用解答）51．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q 从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当t=2秒时，求PQ的长；（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．52．如图，在正方形网格中，请按要求画以线段AB为边的网格三角形．（网格三角形是指各顶点在格点上的三角形）（1）画出一个面积为3的网格三角形；（2）画出一个两条边相等的网格三角形．53．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有一条线段AB，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上，请在图①、图②中各画一个三角形，它们的顶点均在小正方形的顶点上，且满足以下要求：（1）在图①中以AB为斜边画Rt△ABC；（2）在图②中以AB为边画等腰三角形ABD，且△ABD只有两条边长为无理数．54．在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点称为格点，请在图中以格点为顶点，画出一个三角形，使三边长分别为3，，5，并求此三角形的面积．55．在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，一个运动的点P 从点A出发，以每秒钟1个单位的速度向点C运动，同时一个运动的点Q从点B出发，以每秒钟2个单位的速度向点A运动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止．运动的时间为t秒．（1）用含t的代数式表示线段AQ和CP．（2）t为何值时，AP=AQ？（3）t为何值时，AP=BP．56．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）从出发几秒钟后，△PQB第一次能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．57．已知：在△ABC中，∠C=90°，斜边AB为10，其中一条直角边为6，求另一条直角边AC．华师大新版八年级上学期《14.1 勾股定理》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共25小题）1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，9，1，4，则最大正方形E的面积是（）A．18B．114C．194D．324【分析】根据正方形的面积公式，勾股定理，得到正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1=42+92，S2=12+42，则S3=S1+S2，∴S3=16+81+1+16=114．故选：B．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．2．如图，长方形OABC中，OA=12，AB=5，OA边在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．12B．13C．15D．17【分析】根据勾股定理求出OB，根据实数与数轴的关系解答．【解答】解：在Rt△OAB中，OB===13，∴这个点表示的实数是13，故选：B．【点评】本题考查的是勾股定理，实数与数轴，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2是解题的关键．3．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能构成直角三角形的是（）A．1，2，3B．4，5，6C．5，12，15D．1，，2【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、12+22≠32，故不能组成直角三角形，错误；B、42+52≠62，故不能组成直角三角形，错误；C、52+122≠152，故不能组成直角三角形，错误；D、12+（）2=22，故能组成直角三角形，正确．故选：D．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．4．如图，△ABC中，CD是AB边上的高，若AB=1.5，BC=0.9，AC=1.2，则CD的值是（）A．0.72B．2.0C．1.125D．不能确定【分析】先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，根据计算直角三角形的面积的两种计算方法求出斜边上的高CD．【解答】解：∵AB=1.5，BC=0.9，AC=1.2，∴AB2=1.52=2.25，BC2+AC2=0.92+1.22=2.25，∴AB2=BC2+AC2，∴∠ACB=90°，∵CD是AB边上的高，∴S=，△ABC1.5CD=1.2×0.9，CD=0.72，故选：A．【点评】该题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形的面积公式及其应用问题；解题的方法是运用勾股定理首先证明△ABC为直角三角形；解题的关键是灵活运用三角形的面积公式来解答．5．在△ABC中，三边之比分别为5：12：13，∠C﹣∠B=∠A，则△ABC为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理均可判断△ABC为直角三角形．【解答】解：∵在△ABC中，三边之比分别为5：12：13，∠C﹣∠B=∠A，而52+122=132，∠A+∠B+∠C=180°，∴△ABC为直角三角形，∠C=∠A+∠B=90°．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．本题两个条件中只选择一个，仍然可以判定△ABC为直角三角形．6．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4B．8C．16D．64【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2=225，∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2=289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2=PQ2+QR2，∴QR2=PR2﹣PQ2=289﹣225=64，则正方形QMNR的面积为64．故选：D．【点评】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键．7．如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13．则小正方形的面积为（）A．3B．4C．5D．6【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2=21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．【解答】解：∵（a+b）2=21，∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面积为13，∴2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面积为13﹣8=5．故选：C．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键．8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，△BCD与△BC′D关于直线BD 轴对称，BC=6，CD=3，点C与点C′对应，BC′交AD于点E，则线段DE的长为（）A．3B．C．5D．【分析】首先根据题意得到BE=DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题．【解答】解：设ED=x，则AE=6﹣x，∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB=∠DBC；由题意得：∠EBD=∠DBC，∴∠EDB=∠EBD，∴EB=ED=x；由勾股定理得：BE2=AB2+AE2，即x2=9+（6﹣x）2，解得：x=，∴ED=．故选：B．【点评】本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．9．如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，下列结论错误的是（）A．AB=5B．∠C=90°C．AC=2D．∠A=30°【分析】根据勾股定理计算各边长，根据勾股定理逆定理计算角的度数．【解答】解：A、由勾股定理得：AB==5，故此选项正确；B、∵AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=52=25，∴AB2=BC2+AC2，∴∠C=90°，故此选项正确；C、AC==2，故此选项正确；D、∵BC=，AB=5，∴∠A≠30°，故此选项不正确；本题选择错误的结论，故选：D．【点评】本题考查了勾股定理和逆定理及格点问题，熟练掌握勾股定理是关键．10．如图，OA=，以OA为直角边作Rt△OAA1，使∠AOA1=30°，再以OA1为直角边作Rt△OA1A2，使∠A1OA2=30°，……，依此法继续作下去，则A1A2的长为（）A．B．C．D．【分析】由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出OA1，即可得出结果．【解答】解：∵∠OAA1=90°，OA=，∠AOA1=30°，∴AA1=OA1，由勾股定理得：OA2+AA12=OA12，即（）2+（OA1）2=OA12，解得：OA1=2，∵∠A1OA2=30°，∴A1A2的长=，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握勾股定理，通过计算得出规律是解决问题的关键．11．如图，在△ABC中，点M是AC边上一个动点．若AB=AC=10，BC=12，则BM的最小值为（）A．8B．9.6C．10D．4 5【分析】作AD⊥BC于D，则∠ADB=90°，由等腰三角形的性质和勾股定理求出AD，当BM⊥AC时，BM最小；由△ABC的面积的计算方法求出BM的最小值．【解答】解：作AD⊥BC于D，如图所示：则∠ADB=90°，∵AB=AC，∴BD=BC=6，由勾股定理得：AD==8，当BM⊥AC时，BM最小，此时，∠BMC=90°，∵△ABC的面积=AC•BM=BC•AD，即×10×BM=×12×8，解得：BM=9.6，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、垂线段最短、三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由三角形面积的计算方法求出BM的最小值是解决问题的关键．12．一个三角形的三边长分别为3，4和5，那么它长边上的高线长为（）A．5B．2.5C．2.4D．2【分析】由于32+42=52，可知此三角形是直角三角形，利用面积相等可得×3×4=×5•h，解即可．【解答】解：∵32+42=52，∴此三角形是直角三角形，∴×3×4=×5•h，解得h=2.4．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理逆定理．解题的关键是先证明三角形是直角三角形．13．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC 于点D，则BD的长为（）A．B．C．D．【分析】根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：如图所示：S△ABC=×BC×AE=×BD×AC，∵AE=4，AC==5，BC=4即×4×4=×5×BD，解得：BD=．故选：C．【点评】本题主要考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求出AC 的长，此题难度一般．14．如图，△ABC是腰长为2的等腰直角三角形，△BCD是直角三角形，且∠D=30°，则两个三角形重叠部分（△OBC）的面积是（）A．3﹣B．2﹣C．1D．1+【分析】过O作OE⊥BC于E，设BE=x，求出OE和DC，根据相似得出比例式求出x，再根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：∵在Rt△DCB中，∠DCB=90°，∠D=30°，BC=2，∴DC=BC=2，过O作OE⊥BC于E，∵∠ABC=90°，∴OE∥AB，∴∠BOE=30°，△OEC∽△ABC，∴设BE=x，则OE=BE=x，=，∴=，解得：x=﹣1，即OE=x=3﹣，∴阴影部分的面积S=（3﹣）=3﹣，故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形、相似三角形的性质和判定等知识点，能求出OE的长是解此题的关键．15．如图，在四边形ABCD中，AB=12cm，BC=3cm，CD=4cm，∠C=90°，当AD 为多少时，∠ABD=90°（）A．13B．6C．12D．6【分析】根据勾股定理的逆定理满足AD2=BD2+AB2，可说明∠ABD=90°．【解答】解：在△BDC中，∠C=90°，BC=3cm，CD=4cm，根据勾股定理得，BD2=BC2+CD2，即BD==5cm．当∠ABD=90°时，AD2=BD2+AB2，其中AB=12cm，BD=5cm，则AD=cm=13cm，故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的运用，考查了勾股定理逆定理的运用，本题中准确运用勾股定理与勾股定理的逆定理是解题的关键．16．直角三角形的两边长分别为6和8，那么它的第三边长度为（）A．8B．10C．8或2D．10或2【分析】分8为直角边、8为斜边两种情况，根据勾股定理计算．【解答】解：当8为直角边时，斜边==10，当8为斜边时，另一条直角边==2，故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．17．△ABC的三边分别为a，b，c，下列条件：①∠A=∠B﹣∠C；②a2=（b+c）（b﹣c）；③a：b：c=3：4：5．其中能判断△ABC是直角三角形的条件个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据三角形的内角和定理和已知求出最大角∠B的度数，即可判断①；根据已知得出a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理即可判断②；设a=3k，b=4k，c=5k求出a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理即可判断③．【解答】解：①∵∠A=∠B﹣∠C，∴∠A+∠C=∠B，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠B=180°，∴∠B=90°，∴△ABC是直角三角形，∴①正确；②a2=（b+c）（b﹣c），∴a2=b2﹣c2，∴a2+c2=b2，∴△BAC是直角三角形，∴②正确；③∵a：b：c=3：4：5，∴设a=3k，b=4k，c=5k，∵a2+b2=25k2，c2=25k2，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，∴③正确；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的辨析能力，题目比较典型，难度适中．18．如图图中，不能用来证明勾股定理的是（）A．B．C．D．【分析】根据图形的面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理，分别分析得出即可．【解答】解：A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C选项不符合题意；D、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理的证明方法，根据图形面积得出是解题关键．19．如图Rt△ABC，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”；当AC=3，BC=4时，计算阴影部分的面积为（）A．6B．6πC．10πD．12【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出三个半圆的面积和△ABC的面积，即可得出答案．【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得：AB= ==5，所以阴影部分的面积S=×π×（）2+×（）2+﹣×π×（）2=6，故选：A．【点评】本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．20．Rt△ABC中，斜边BC=2，则AB2+BC2+CA2=（）A．8B．6C．4D．无法计算【分析】利用勾股定理将AB2+AC2转化为BC2，再求值即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，BC为斜边，BC=2，∴AB2+AC2=BC2=4，∴AB2+AC2+BC2=2BC2=2×4=8．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理．正确判断直角三角形的直角边、斜边，利用勾股定理得出等式是解题的关键．21．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB、BC、AC为直径作半圆，面积分别记S1，S2，S3，若S1=4，S2=9，则S3的值为（）A．13B．5C．11D．3【分析】由扇形的面积公式可知S1=•π•AC2，S2=•π•BC2，S3=•π•AB2，在Rt △ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，即S1+S2=S3；【解答】解：∵S1=•π•AC2，S2=•π•BC2，S3=•π•AB2，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，即S1+S2=S3；∵S1=4，S2=9，∴S3=13．故选：A．【点评】本题考查勾股定理的应用，难度适中，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用，记住S1+S2=S3；22．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足为D，AB=3，AC=4，AD=，BD=，则点B 到直线AD的距离为（）A．B．C．3D．4【分析】根据点到直线的距离即可判定．【解答】解：∵BD⊥AD，∴点B到直线AD的距离为线段BD的长，故选：A．【点评】本题考查勾股定理、点到直线的距离等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3=60，则S2的值是（）A．12B．15C．20D．30【分析】设每个小直角三角形的面积为m，则S1=4m+S2，S3=S2﹣4m，依据S1+S2+S3=60，可得4m+S2+S2+S2﹣4m=60，进而得出S2的值．【解答】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1=4m+S2，S3=S2﹣4m，因为S1+S2+S3=60，所以4m+S2+S2+S2﹣4m=60，即3S2=60，解得S2=20．故选：C．【点评】此题主要考查了勾股定理和正方形、全等三角形的性质的运用，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．24．如图，已知直角三角形的三边长分别为a、b、c，以直角三角形的三边为边（或直径），分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形．那么，这四个图形中，其面积S1、S2、S3满足S1+S2=S3的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】分别表示出S1、S2、S3的面积，根据勾股定理判断即可．【解答】解：∵直角三角形的三边长分别为a、b、c，∴a2+b2=c2，图1中，S1=×a×a=a2，S2=b2，S3=c2，则S1+S2=（a2+b2），S3=c2，∴S1+S2=S3，同理，图2、图3、图4，都符合S1+S2=S3，故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．25．一个直角三角形的直角边是24，斜边是25，则斜边上的高为（）A．7B．C．168D．25【分析】根据勾股定理求出直角三角形的另一条直角边的长，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：设斜边上的高h，由勾股定理得，直角三角形的另一条直角边==7，则×24×7=×25×h，解得，h=，故选：B．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．二．填空题（共13小题）26．一个直角三角形的两直角边长分别是3cm和2cm，则第三边长cm．【分析】根据勾股定理计算即可．【解答】解：由勾股定理得，第三边长==（cm），故答案为：．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．27．如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的面积为40，另外四个正方形中的数字8，x，10，y分别表示该正方形面积，则x+y=22．【分析】先由S A=40，再根据勾股定理的几何意义，得到x+10+（8+y）=S A，由此得出x与y的数量关系．【解答】解：∵S A=40，根据勾股定理的几何意义，得x+10+（8+y）=S A=40，∴x+y=40﹣18=22，即x+y=22．【点评】本题考查了勾股定理的几何意义，要知道，以斜边边长为边长的正方形的面积是以两直角边边长为边长的正方形的面积之和．28．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，D点从A出发以每秒1cm 的速度向B点运动，当D点运动到AC的中垂线上时，运动时间为秒．【分析】画出图形，根据勾股定理解答即可．【解答】解：如图所示：∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，∴AC=，∵ED'是AC的中垂线，∴CE=5，连接CD'，∴CD'=AD'，在Rt△BCD'中，CD'2=BD'2+BC2，即AD'2=62+（8﹣AD'）2，解得：AD'=，∴当D点运动到AC的中垂线上时，运动时间为秒，【点评】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理构建直角三角形进行解答．29．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动设运动的时间为ts当t=2s或s时，△ABP为直角三角形．【分析】首先根据勾股定理求出BC的长度，再分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可．【解答】解：∵∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，∴BC=4 cm．①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=4 cm，∴t=4÷2=2s．②当∠BAP为直角时，BP=2tcm，CP=（2t﹣4）cm，AC=3 cm，在Rt△ACP中，AP2=32+（2t﹣4）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2，∴52+[32+（2t﹣4）2]=（2t）2，解得t=s．综上，当t=2s或s时，△ABP为直角三角形．故答案为：2s或s．【点评】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．30．如图是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…依此类推，若正方形①的边长为64m，则正方形⑨的边长为4cm．。

八年级数学上册《第十四章 勾股定理》单元测试卷及答案（华东师大版）一、选择题1．下列各组数据中是勾股数的是（ ）2．有一直角三角形纸片，∠C ＝90°BC ＝6，AC ＝8，现将∠ABC 按如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则CE 的长为( )A ．7B ．74C ．72D ．43．在∠ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，下列条件中，能判断∠ABC 是直角三角形的是（ ）A ．a ＝32，b ＝42，c ＝52B ．a ＝b ，∠C ＝45° C ．∠A ：∠B ：∠C ＝6：8：10D ．a 3b 7，c ＝24．在∠ABC 中，已知4AB =，5BC =和41AC =）A ．∠ABC 是锐角三角形B ．∠ABC 是直角三角形且90C ∠= C ．∠ABC 是钝角三角形D ．∠ABC 是直角三角形且90B ∠=5．要说明命题“若a 2＞b 2，则a ＞b”是假命题，能举的一个反例是（ ）A ．a ＝3，b ＝2B ．a ﹣3，b ＝2C ．a ﹣＝3，b ＝﹣1D ．a ＝﹣1，b ＝36．如图，在∠ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，AD 平分∠BAC ，则AD 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．97．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是9cm ，则图中所有正方形的面积的和是（ ）A ．264cmB ．281cmC ．2162cmD ．2243cm8．将直角三角形的三条边长做如下变化，得到的新三角形仍是直角三角形的是（ ）A ．同加一个相同的数B ．同减一个相同的数C ．同乘以一个相同的正整数D ．同时平方9．如图，在ABC 中AB AC =，点P 为ABC 内一点，连接PA 、PB 、PC 且APB APC ∠≠∠求证：PB PC ≠用反证法证明时，第一步应假设（ ）A ．AB AC ≠ B ．PB PC = C ．APB APC ∠=∠D ．PBC PCB ∠≠∠10．如图，圆柱的底面周长是24，高是5，—只在A 点的蚂蚁沿侧面爬行，想吃到B 点的食物，需要爬行的最短路径是（ ）A ．9B ．13C ．14D ．245π+ 二、填空题11．6，一条直角边长为1，则另一条直角边长为 . 12．如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC 的度数为 度．13．反证法证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先假设 .14．如图是某滑雪场U 型池的示意图，该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘16AB CD ==，点E 在CD 上，4CE =一名滑雪爱好者从A 点滑到E 点时，他滑行的最短路程约为 （π取3）．三、解答题15．如图，在ABC 中，AB=AC ，AD 平分BAC ∠，已知BC 10=，AD=12，求AC 的长.16．如图，在ABC 中，D 为AB 边上一点，已知AC=13，CD=12，AD=5，AB=BC ．请判断ACD 的形状，并求出BC 的长．17．求证：对顶角相等(请画出图形，写出已知、求证、证明.)18．一个零件的形状如图所示，按规定BAC ∠应为直角，工人师傅测得90ADC ∠=︒，AD=3，CD=4，AB=12，BC=13请你帮他看一下，这个零件符合要求吗？为什么．四、综合题19．如图，在ABC 中60BAC ∠=︒，45B ∠=︒且AD 是BAC ∠的平分线，且3AC =CH AB ⊥于点H ，交AD 于点O .（1）求证：ACD 是等腰三角形； （2）求线段BD 的长.20．如图，ABC 的三边分别为5AC =，12BC =和13AB =，如果将ABC 沿AD 折叠，使AC恰好落在AB 边上．（1）试判断ABC 的形状，并说明理由； （2）求线段CD 的长．21．综合与实践美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．（1）如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a ，较短的直角边为b ，斜边长为c ，结合图1，试验证勾股定理；（2）如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为243OC = 求该飞镖状图案的面积；（3）如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为123S S S ，，，若12342S S S ++=，求2S 的值．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A 、不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；B 、（32）2+（42）2≠（52）2，故不是勾股数，不符合题意；C 、92+122=152，三边是整数，同时能构成直角三角形，故正确，符合题意；D 、不是正整数，故不是勾股数，不符合题； 故答案为：C.【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此判断.2．【答案】B【解析】【解答】解：在Rt∠ACB 中，AC=8，BC=6∴2222=68AC BC ++． 根据翻折不变性得∠EDA∠∠EDB ∴EA=EB∴在Rt∠BCE 中，设CE=x ，则BE=AE=8-x ∴BE 2=BC 2+CE 2 ∴（8-x ）2=62+x 2 解得x=74． 故答案为：B ．【分析】在Rt∠ACB 中，利用勾股定理算出AB ，根据折叠性质得EA=EB ，在Rt∠BCE 中，设CE=x ，则BE=AE=8-x ，利用勾股定理建立方程，求解可得x 的值，从而得出答案.3．【答案】D【解析】【解答】解：A 、∵22337a b +=，2625c = ∴222+a b c ≠，不是直角三角形，故A 不符合题意；B 、 a ＝b ，∠C ＝45°∴∠A=∠B=180=67.5452︒︒-︒，不是直角三角形，故B 不符合题意；C 、∠A ：∠B ：∠C ＝6：8：10，解得∠C=180°×10=7524︒，不是直角三角形，故C 不符合题意； D 、 ∵2223277+==，∴是直角三角形，∠B 是直角，故D 符合题意故答案为：D ．【分析】A 、分别计算a 2+b 2和c 2的值，是否满足a 2+b 2=c 2，根据勾股定理的逆定理即可判断求解；B 、由等边对等角可得∠A=∠B ，然后用三角形内角和定理可判断求解；C 、由三角形内角和定理并结合∠A 、∠B 、∠C 的比值计算即可判断求解；D 、分别计算a 2+b 2和c 2的值，是否满足a 2+b 2=c 2，根据勾股定理的逆定理即可判断求解.4．【答案】D【解析】【解答】解：由题意知216AB =，225BC =和241AC =∵222AB BC AC +=∴ABC 是直角三角形，且90B ∠=︒ 故答案为：D ．【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可。

2021-2022学年华师大版八年级数学上册《第14章勾股定理》同步练习题（附答案）1．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t表示移动的时间，若△POQ是等腰三角形，此时t的值是（）A．6或12B．4或12C．4或6D．6或82．在直角三角形中，若两条边的长分别是1cm、2cm，则第三边的长为（）A．3cm B．cm C．2cm或cm D．cm或cm 3．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF2的值是（）A．169B．196C．392D．5884．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图以直角三角形的各边为边分别向同侧作正方形，若知道图中阴影部分的面积之和，则一定能求出（）A．正方形ABED的面积B．正方形ACFG的面积C．正方形BCMN的面积D．△ABC的面积5．△ABC在下列条件下不是直角三角形的是（）A．b2＝a2﹣c2B．a2：b2：c2＝1：2：3C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．∠A＝∠B﹣∠C6．已知△ABC的三边长分别是6，8，10，则△ABC的面积是（）A．12B．15C．20D．247．下列各组数为勾股数的是（）A．6，12，13B．10，24，26C．3，4，7D．8，15，168．如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者从测点A、B分别测得∠BAC＝90°，又量得AC＝9m，BC＝15m，则A、B两点之间的距离为（）A．10m B．11m C．12m D．13m9．如图，将一根长为20cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为（）A．13cm B．8cm C．7cm D．15cm10．如图，若圆柱的底面周长是50cm，高是120cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是（）A．170cm B．70cm C．145cm D．130cm11．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在小正方形的格点上，连接AB，BC，则∠ABC＝．12．我们规定：经过三角形的一个顶点且将三角形的周长分成相等的两部分的直线叫做该三角形的“等周线”，“等周线”被这个三角形截得的线段叫做该三角形的“等周径”．例如等边三角形的边长为2，则它的“等周径”长为．在中Rt△ABC中，∠C＝90°，AC ＝4，BC＝3，若直线l为Rt△ABC的“等周线”，请直接写出△ABC的所有“等周径”长为．13．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影的部分是一个小正方形EFGH，这样就组成了一个“赵爽弦图”．若AB＝13，AE＝12，则正方形EFGH的面积为．14．如图所示的网格是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，则∠DAB+∠CAB的度数是度．15．在四边形ABCD中，∠C＝90°，CD＝8，BC＝6，AB＝24，AD＝26，则四边形ABCD 面积为．16．如图所示的网格是正方形网格，则∠ACB﹣∠DCE＝°（点A、B、C、D、E 是网格线交点）．17．如图，△ABC中，AC＝b，BC＝a，CD⊥AB于D．（1）若a＝b＝13，AB＝10，求CD的长；（2）若∠ACB＝90°，CD＝4，求AD×DB的值；（3）若CD2＝AD×DB，判断△ABC的形状，并说明理由．18．已知：如图等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝10，BD⊥AC于D，且BD＝8．求△ABC的面积S△ABC．19．如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．请你开动脑筋，用它们拼出正方形图案，要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠．（1）请你画出拼成的这个图形的示意图；（2）利用（1）中画出的图形证明勾股定理．20．现有三块两直角边长分别为1和2的直角三角形纸板，借助下面5×5的网格，用全部纸板分别拼出3个面积为3且周长不同的四边形，并写出相应四边形的周长．21．如图1，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知A、B、C都是格点．（1）小明发现图2中∠ABC是直角，请在图1补全他的思路；（2）请借助图3用一种不同于小明的方法说明∠ABC是直角．22．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上（1）直接写出边AB、AC、BC的长．（2）判断△ABC的形状，并说明理由．23．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．24．如图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和△EDC，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉．经测量，∠EDC＝90°，DC ＝6m，CE＝10m，BD＝14m，AB＝16m，AE＝2m．（1）求DE的长；（2）求四边形ABDE的面积．25．在某段公路的正上方有一摄像头A距离地面7米，一天李叔叔驾驶的汽车正沿公路笔直匀速驶来，当行驶到B点时第一次摄像，此时AB两点相距25米，1.5秒后第二次摄像汽车恰好行驶到A点正下方C点，已知该路段限速60km/h，请判断李叔叔是否超速，说明理由．参考答案1．解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，设t时后△POQ是等腰三角形，有OP＝OC﹣CP＝OQ，即12﹣2t＝t，解得，t＝4；（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用6s，当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ＝60°，∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，即2（t﹣6）＝t，解得，t＝12，故选：B．2．解：①若直角边长分别为1cm、2cm，则由勾股定理可得斜边长为：＝（cm）；②若斜边为2cm，则第三边为直角边，由勾股定理得：＝（cm）．综上，第三边的长为cm或cm．故选：D．3．解：∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时，∴小正方形的边长＝24﹣10＝14，∴EF2＝142+142＝392，故选：C．4．解：∵∠BAC＝90°，∴AB2+AC2＝BC2，即S正方形ABDE+S正方形ACFG＝S正方形BCMN，∴S阴影＝2S△ABC，故选：D．5．解：A．∵b2＝a2﹣c2，∴b2+c2＝a2，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵a2：b2：c2＝1：2：3，∴a2+b2＝c2，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠C＝×180°＝75°＜90°，∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；D．∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B＝180°，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．6．解：∵△ABC的三边长分别是6，8，10，∴62+82＝102，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积是＝24，故选：D．7．解：A．∵62+122≠132，∴6，12，13不是勾股数，故本选项不符合题意；B．∵102+242＝262，∴10，24，26是勾股数，故本选项符合题意；C．∵32+42≠72，∴3，4，7不是勾股数，故本选项不符合题意；D．∵82+152≠162，∴8，15，16不是勾股数，故本选项不符合题意；故选：B．8．解：∵∠BAC＝90°，AC＝9m，BC＝15m，∴AB＝（m），故选：C．9．解：由题意可得：杯子内的筷子长度为：＝13，则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣13＝7（cm）．故选：C．10．解：如图，圆柱侧面展开图是矩形，矩形的长为120cm，宽为圆柱的底面周长50cm，根据勾股定理得：AB＝＝130（cm），根据两点之间线段最短，可得丝线的最小长度为130cm，故选：D．11．解：连接AC，由勾股定理得：AB＝AC＝，BC＝，∴BC2＝AC2+AB2，∴△ABC是直角三角形，∵AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，故答案为：45°．12．解：分三种情况讨论：①当“等周线”经过点C时，直线1交AB于点E，设BE＝x，则AE＝5﹣x，作CH⊥AB于H，由题意：3+x＝4+5﹣x，解得：x＝3，∵CH＝＝，∴BH＝＝，∴EH＝3﹣＝，在Rt△ECH中，CE＝＝，∴“等周径”长为；②当“等周径”经过点A时，直线l交BC于点E，设BE＝x，则CE＝3﹣x，由题意得：4+3﹣x＝5+x，解得：x＝1，∴EC＝2，在Rt△ACE中，AE＝＝2，∴“等周径”长为2；③当∴“等周径”经过点B时，直线l交AC于点E，设AE＝x，则CE＝4﹣x，由题意：3+4﹣x＝5+x，解得：x＝1，CE＝3，在Rt△BCE中，BE＝＝3，∴“等周径”长为3，故答案为：或2或3．13．解：直角三角形直角边的较短边为，正方形EFGH的面积＝13×13﹣4×＝169﹣120＝49．故答案为：49．14．解：作C点关于AB的对称点E，连接AE，DE，如图所示：∴∠CAB＝∠EAB，由勾股定理得：AD＝，DE＝，AE＝，∴AD2+DE2＝AE2，∴△AED是直角三角形，∵AD＝DE，∴∠DAE＝45°＝∠DAB+∠BAE＝∠DAB+∠CAB，故答案为：45．15．解：如图，连接BD，∵∠C＝90°，∴BD＝＝10，∵BD2+AB2＝102+242＝262＝AD2，∴∠ABD＝90°，∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝＝144．故答案为：14416．解：如图，连接CG、AG，由勾股定理得：AG2＝CG2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10，∴AG2+CG2＝AC2，∴∠CGA＝90°，∴△CAG是等腰直角三角形，∴∠CAG＝45°，∵AF∥BC，∴∠CAF＝∠BCA，在△AFG和△CDE中，，∴△AFG≌△CDE（SAS），∴∠F AG＝∠DCE，∴∠ACB﹣∠DCE＝∠CAF﹣∠F AG＝∠CAG＝45°．故答案为：45．17．解：（1）∵AC＝BC，CD⊥AB，∴AD＝BD＝5，在Rt△ADC中，CD＝＝12．（2在Rt△ACD中，由勾股定理得，AC2﹣AD2＝CD2＝16①，在Rt△BCD中，由勾股定理得，BC2﹣BD2＝CD2＝16②，联立①和②得：AC2+BC2﹣（AD2+BD2）＝32，∵AC2+BC2＝AB2，AD2+BD2＝（AD+BD）2﹣2AD•BD，∴AB2﹣AB2+2AD•BD＝32，∴2AD•BD＝32，∴AD•BD＝16；（3）∵CD2＝AD•DB，∴AC2﹣AD2＝AD•BD，BC2﹣BD2＝AD•BD，∴AC2﹣AD2+BC2﹣BD2＝2AD•BD，∴AC2+BC2＝AD2+BD2+2AD•BD，∴AC2+BC2＝（AD+BD）2，即AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．18．解：∵BD⊥AC，在Rt△BCD中，BD＝8，BC＝10，∴CD＝6，设AB＝AC＝x，则AD＝x﹣6，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，∴（x﹣6）2+82＝x2，∴x＝，∴．19．解：（1）（答案不唯一）如图；（2）证明：∵大正方形的面积可表示为（a+b）2，大正方形的面积也可表示为：c2+4×ab，∴（a+b）2＝c2+4×ab，即a2+b2+2ab＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．20．解；如图所示：21．解：（1）∵AB＝，BC＝，AC＝，∴AB2+BC2＝AC2，根据勾股定理的逆定理，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°，故答案为：，2，AB2+BC2＝AC2，勾股定理的逆定理；（2）过A点作AD⊥BE于D，过C作CE⊥DB于E，由图可知：AD＝BE，BD＝CE，∠ADB＝∠BEC＝90°，在△ADB和△BEC中，，∴△ADB≌△BEC（SAS），∴∠ABD＝∠BCE，在△BEC中，∠BEC+∠BCE+∠EBC＝180°，∴∠BCE+∠EBC＝180°﹣∠BEC＝90°，∴∠ABD+∠EBC＝90°，∵D，B，E三点共线，∴∠ABD+∠EBC+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣（∠ABD+∠EBC）＝90°，∴∠ABC是直角．22．解：（1）由勾股定理得：AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝5；（2）∵AB＝，AC＝2，BC＝5，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，即△ABC是直角三角形．23．解：（1）11，60，61；（2）后两个数表示为和，∵，，∴．又∵n≥3，且n为奇数，∴由n，，三个数组成的数是勾股数．故答案为：11，60，61．24．解：（1）在Rt△EDC中，∠EDC＝90°，DC＝6m，CE＝10m，∴m；（2）如图，连接BE，在Rt△EBD中，BD＝14m，ED＝8m，∴BE2＝BD2+ED2＝142+82＝260，∵AB＝16m，AE＝2m，∴AB2+AE2＝162+22＝260，∴AB2+AE2＝BE2，∴△ABE是直角三角形，∠A＝90°，∴S△ABE＝×16×2＝16（m2）．又∵S△BDE＝×14×8＝56（m2）．∴四边形ABDE的面积＝S△ABE+S△BDE＝72（m2）．25．解：李叔叔不超速，理由如下：如图，Rt△ABC中，AC＝7，AB＝25，由勾股定理得：BC＝＝24，v＝24÷1.5＝16（m/s）＝57.6（km/h），∵57.6＜60，∴李叔叔不超速．。